METODO DEGLI ELEMENTI FINITI C

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A

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io P

anta

no -

Dip

artim

ento

di M

ecca

nica

, Uni

vers

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i Pal

erm

o 3.7.1.3 Elemento triangolare piano a sei gradi di libertà con comportamento a membrana (per stati piani di tensione o di deformazione) Siano x,y ed ui, vi rispettivamente, le coordinate e gli spostamenti dei nodi lungo le direzioni x ed y di riferimento (fig. 3.12). Le espressioni delle componenti di spostamento lungo gli assi si ricavano dalle (3.7) tenendo presente che il numero di coordinate generalizzate deve essere uguale al numero di gradi di libertà, che deve essere rispettata la condizione di isotropia e che devono essere considerati i termini noti (per la verifica della condizione di completezza sugli spostamenti) ed i termini lineari (per la verifica della condizione di completezza sulle deformazioni). Si ottengono allora le espressioni lineari: Figura 3.12

u x y= + +α α α1 2 3

v x y= + +α α α4 5 6

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o In corrispondenza dei tre nodi risulta: Risolvendo il sistema di sei equazioni nelle sei incognite α1, α2,….,α6 si ha, applicando la regola di Cramer: e similmente per α2, α3,….,α6; in tali espressioni è:

u x y1 1 2 1 3 1= + +α α αu x y2 1 2 2 3 2= + +α α αu x y3 1 2 3 3 3= + +α α α

v x y1 4 5 1 6 1= + +α α αv x y2 4 5 2 6 2= + +α α αv x y3 4 5 3 6 3= + +α α α

α1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1

2 2

3 3

111

=

u x yu x yu x y

x yx yx y

1 1

2 2

3 3

1 x ydet 1 x y 2 area (123) 2A

1 x y= =

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o Ponendo: si ottiene infine con semplici passaggi: Tali espressioni forniscono per ogni elemento le espressioni delle componenti dello spostamento nel generico punto interno all'elemento di coordinate (x,y) in funzione degli spostamenti ai nodi; esse, con le posizioni:

a x y x y1 2 3 3 2= −

a x y x y2 3 1 1 3= −

a x y x y3 1 2 2 1= −

b y y1 2 3= −

132 yyb −=

213 yyb −=

c x x1 3 2= −

312 xxc −=

123 xxc −=

( ) ( ) ( ){ }uA

a b x c y u a b x c y u a b x c y u= + + + + + + + +1

2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

( ) ( ) ( ){ }vA

a b x c y v a b x c y v a b x c y v= + + + + + + + +1

2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

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o possono scriversi: (3.9)

( )NA

a b x c y1 1 1 1

12

= + +

( )NA

a b x c y2 2 2 2

12

= + +

( )NA

a b x c y3 3 3 3

12

= + +

{ } [ ]{ }

1

1

1 2 3 2

1 2 3 2

3

3

uv

N 0 N 0 N 0 uus N q

0 N 0 N 0 N vvuv

= = =

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o Le quantità Ni rappresentano i coefficienti della matrice delle funzioni di forma per ciascun nodo; esse sono calcolabili allorché si conoscano le coordinate del nodo cui si riferiscono. Risulta pertanto formulata la funzione degli spostamenti cercata. Si noti che le funzioni di forma trovate valgono 1 nel nodo cui si riferiscono e zero in tutti gli altri nodi e lungo i lati che li congiungono. Per rendersi conto di quest'ultima proprietà si consideri che l'espressione di una funzione di forma relativa al generico nodo i rappresenta nello spazio (x,y,Nm) l'equazione di un piano che passa per la quota Nm=1 in corrispondenza del nodo m e per la quota 0 in corrispondenza degli altri due nodi; allora tale piano interseca il piano Nm=0 in corrispondenza di tali due punti, ma anche della loro congiungente, ai punti della quale competono pertanto valori Nm=0. Risulta pertanto verificato che la funzione di spostamento lungo un lato dipende solo dagli spostamenti dei nodi appartenenti a quel lato. Per stato piano di tensione o di deformazione il vettore deformazioni vale:

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o Poiché i coefficienti della matrice sono tutti indipendenti dalle coordinate del punto, lo stato di deformazione e, quindi, di tensione è costante in tutti i punti dell'elemento. Per questa ragione l'elemento triangolare con tre nodi è chiamato anche CST (constant strain triangle).

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }

{ }

11 2 3

1

21 2 3

2

31 1 2 2 3 3

3

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

B q L N q

uN N N0 0 0 vx x xuN N N0 0 0vy y yuN N N N N N

y x y x y x v

b 0 b 0 b 01 0 c 0 c 0 c q

2Ac b c b c b

ε = = =

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ = = ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

=

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o La matrice di rigidezza dell'elemento si ricava dalla 3.6, tenendo presente che le matrici [B] ed [E] non dipendono dalle coordinate dei punti e che dV=h dA, essendo h lo spessore dell'elemento ed A l'area della sua superficie; si ha: Considerando per la matrice degli operatori differenziali [L], necessaria al calcolo di [B], l’espressione valida per problemi bidimensionali e per [E] quella per stato piano di deformazione o di tensione si ottiene la matrice di rigidezza del caso desiderato. Le condizioni di convergenza risultano verificate; infatti: Completezza La funzione degli spostamenti è in grado di rappresentare: - il moto rigido nell'elemento lungo la direzione x (u=cost) e lungo la direzione y (v=cost): perchè si abbia ciò è sufficiente che sia rispettivamente

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]T T

V

k B E B dV hA B E B= =∫

α α α α α α1 2 3 4 5 60 0≠ = = = = =,α α α α α α4 1 2 3 5 60 0≠ = = = = =,

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o -la deformazione uniforme: è rappresentabile lo stato di deformazione uniforme se si è in presenza di un problema di stato piano delle deformazioni o delle tensioni, come si è visto; tale funzione di spostamento non rispetterebbe invece la condizione di completezza se lo stato di deformazione da rappresentare fosse, per esempio, quello della trave o della piastra inflessa, per la quale il legame tra spostamento e deformazione è diverso dalla derivata prima.

Compatibilità -la funzione degli spostamenti è continua all'interno dell'elemento;

-gli spostamenti lungo un lato dipendono solo dagli spostamenti dei nodi che appartengono a quel lato; infatti gli spostamenti lungo un lato si calcolano dalla 3.9 nella quale risulta uguale a zero la funzione di forma relativa al terzo nodo;

-la differenza tra le deformazioni alle interfacce tra gli elementi sono finite se il tipo di problema è tale che le deformazioni sono legate agli spostamenti dalla derivata prima.

Si conclude che l'elemento fornisce soluzioni convergenti all'aumentare del numero degli elementi se lo stato di deformazione o di tensione è piano.

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