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ProbabilidadesDefinicin y propiedades

Bioestadstica

MEF103A

Segundo Semestre 2015

Tabla de Contenidos

1. Probabilidad Condicional

2. Independencia

3. Ley de Probabilidades Totales

4. Teorema de Bayes

MEF103ASegundo Semestre 2015

Segundo Semestre 2015 MEF103A

Introduccin

( )Nmerode casos favorables a A

P ANmerode casos totales

De acuerdo a la definicin clsica de probabilidad, paraun evento A, la probabilidad de que A ocurra se obtienecomo:

Actividad. Se lanza un dado y se observa el resultado.Sea A= obtener un nmero impar.

B= obtener un nmero menor a 6.

Calcule P(A), P(B) y P(A B). Cul es la probabilidad de obtener un nmero impardado que obtuve un nmero inferior a 6? Calculeusando casos favorables / casos totales. A partir de las probabilidades anteriores, cmo sepuede obtener P(A condicionado en B)?


Introduccin

Sean y dos eventos contenidos en el espaciomuestral , con () > 0. Se define la probabilidadcondicional de dada la ocurrencia del evento como:

Si ambos eventos son posibles, entonces se tiene que:

() = () (|)() = () (|)

)(

)()|(

BP

BAPBAP


Probabilidad Condicional

Ejemplo 1. La siguiente tabla muestra ladistribucin de peso (en grupos) segn sexo de unapoblacin de inters

Grupo Hombres Mujeres Total

83 24 4 28

Total 60 64 124





En el Ejemplo 1, cul es la probabilidad de pesar entre67 y 75 kilos en las mujeres?

Definamos los siguientes eventos:

A: El peso es entre 67 y 75 kilosB: El sexo es mujer

Notemos que se pide (|), qu necesitamos?



Notas:

P(A) se llama probabilidad a priori

P(A|B) corresponde a la probabilidad a posteriori

( )( \ )

( )

( )( \ )

( )

P A BP A B

P B

P A BP B A

P A

( \ ) ( )( \ )

( )

P B A P AP A B

P B


< 3000 grs >= 3000 grs.

Hombres 54 396

Mujeres 48 352

Independencia

Considere la siguiente tabla de Peso del RN

Cul es la probabilidad de pesar menos de 3000 grs.?Y si el RN es un nio?


Independencia

Dos eventos y se dice que son estadsticamenteindependientes si la ocurrencia de un evento no dependede la ocurrencia o no ocurrencia del otro. Es decir,

= o

(|) = ()

A partir de la definicin de probabilidad condicional, setiene que si y son dos eventos posibles eindependientes, entonces

( ) = () ()


Independencia

Para los datos del Ejemplo 1.

Son los eventos y , definidos anteriormente,independientes?

Consider eventos posibles 1, 2, , colectivamenteexhaustivos y mutuamente excluyentes, es decir,

4321 BBBB

433121 ... BBBBBB


Ley de Probabilidades Totales

Formalmente, consideremos los eventos posibles1, 2, 3, , , tales que:

=1

= =

Luego, para cualquier evento A se cumple que:

() = =1

)()



Luego,

= |1 1 + |2 2 + |3 3 + |4 4

.



Si es un evento contenido en el espacio muestraltenemos que:


Ejemplo 3, definamos los siguientes eventos :

: tener dificultad de aprendizaje: haber tenido educacin preescolar: no haber tenido educacin preescolar

Cul es la probabilidad de tener dificultad deaprendizaje? Si no conozco directamente, puedointentar averiguar la probabilidad de presentar dificultadde aprendizaje dado si el sujeto tuvo educacinpreescolar o no.



Ley de Probabilidades TotalesEjemplo 3

Supongamos que se cuenta con la siguienteinformacin: se sabe que un 5% de los nios queasisten a enseanza pre-escolar presentan problemasde aprendizaje, en cambio un 15% de los que noasisten presentan problemas de aprendizaje. Se sabeadems que un 40% de los nios no asiste aenseanza pre-escolar.

Cul es la probabilidad de presentar problemas deaprendizaje?

El Teorema de Bayes permite calcular probabilidadesinversas.

Ejemplo 4.Diamond y Forrester (1979) usaron la regla de Bayes paradiagnosticar enfermedad coronaria a las arterias. De unexamen mdico, determinaron cuntas arteriascoronarias (0, 1, 2 o 3) estaban calcificadas. Denotaroncomo 0, 1, 2y 3 a estos eventos y como

+ y si lapersona haba muerto o no.


Teorema de Bayes

Un estudio clnico revel los siguientes resultados:

Supongamos que llega un paciente (hombre, 34 aos) condolor en el pecho. De los registros mdicos se sabe que

(|+) (|

)0 0,42 0,96

1 0,24 0,02

2 0,20 0,02

3 0,14 0,00

i

05,)( DP


Teorema de Bayes

Supongamos que el examen mdico no muestra arteriascalcificadas. Bajo estas condiciones, cul es laprobabilidad de que el paciente muera?


Teorema de Bayes

Definicin formal, consideremos los eventos posibles1, 2, 3, , , tales que:

=1

= =

Luego, para cualquier evento posible se cumple que:

= ()

=1 )()


Teorema de Bayes

0 0,42 0,96

1 0,24 0,02

2 0,20 0,02

3 0,14 0,00

Ejemplo 4

Cul es la probabilidad deque el paciente muera?

)|( DTP ii

05,)( DP


Teorema de Bayes

)|( DTP i

Ejercicio 5.

Para aumentar las chances de diagnosticar correctamente unaenfermedad, se mide (con un test) la concentracin de ciertasustancia en la sangre. Los resultados se muestran en la siguientetabla:

T+: alta concentracin en sangre (test positivo)T-: baja concentracin en sangre (test negativo)D+: intoxicacin (enfermedad presente)D-: no intoxicacin (enfermedad ausente)

D+ D- Total

T+ 25 14 39

T- 18 78 96

Total 43 92 135


Ejercicio 5.

Qu informacin nos entregaconvertir las frecuencias enproporciones (relativas al total)?

Notemos:-Hay dos eventos: la enfermedad(que puede estar presente oausente) y el resultado del test(positivo o negativo).Para el evento de la enfermedad: de qu partes secompone ?

D+ D- Total

T+ 25 14 39

T- 18 78 96

Total 43 92 135

D+ D- Total

T+ 0,185 0,104 0,289

T- 0,133 0,578 0,711

Total 0,319 0,681 1,000

)(DP )(DP ))(( cDPSegundo Semestre 2015 MEF103A

Ejercicio 5. D+ D- TotalT+ 25 14 39

T- 18 78 96

Total 43 92 135

D+ D- Total

T+ 0,185 0,104 0,289

T- 0,133 0,578 0,711

Total 0,319 0,681 1,000

( )P D T

)|( TDP

)|( DTP


Ejercicio 5.

Usando definicin de prob.condicional:

Usando teorema de Bayes:

Usando ley de probabilidades totales:

D+ D- Total

T+ 0,185 0,104 0,289

T- 0,133 0,578 0,711

Total 0,319 0,681 1,000

)(DP


)|( TDP

)|( TDP

Ejercicio 6.

Suponga que el nivel socio-econmico (NSE) se clasificanen tres niveles: Bajo (B), Medio (M) y Alto (A). denotarel evento que el padre tiene un NSE alto, que el hijotiene un NSE alto, etc.

Cmo se interpreta la celda con probabilidad 0,25?

1A

2A

A2 M2 B2

A1 0,45 0,48 0,07

M1 0,05 0,70 0,25

B1 0,01 0,50 0,49


Ejercicio 6.

Cul es la probabilidadde que un hijo sea de NSEMedio?

Suponga la siguiente distribucin de NSE para el padre:NSE alto es el 10%, en el NSE medio el 40% y en el bajo el50%?

A2 M2 B2

A1 0,45 0,48 0,07

M1 0,05 0,70 0,25

B1 0,01 0,50 0,49



Resumen

Probabilidad Condicional :

Independencia: = ( ) = () ()

Ley de Probabilidades totales:

() = =1

)()

)(

)()|(

BP

BAPBAP


Resumen

Teorema de Bayes:

= ()

=1 )()

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