Mecanica Avansata a Pamanturilor

Mecanica Avansată a Pământurilor – Note de Curs

Cuprins 1

CUPRINS

Cuprinsul figurilor .......................................................................................... 3 1 Scurt istoric ............................................................................................ 7

2 Considerații generale. Stare de eforturi. Stare de deformații ............... 13

2.1 Stare de eforturi ............................................................................ 13 2.2 Polul cercului lui Mohr ................................................................ 24 2.3 Stări de deformație ....................................................................... 25 2.4 Legea eforturilor efective ............................................................. 31

2.5 Probleme plane ............................................................................. 33 2.6 Coordonate de efort ...................................................................... 35

3 Compresibilitate. Consolidare .............................................................. 41 3.1 Compresibilitate ........................................................................... 41

3.2 Teoria consolidării liniare unidimensionale ................................. 47 3.3 Calculul coeficientului de consolidare cu ajutorul încercării

edometrice ................................................................................................ 52

4 Rezistență la forfecare. Drumuri de efort ............................................. 55

4.1 Criteriul Mohr-Coulomb .............................................................. 55 4.1.1 Prezentare generală .................................................................. 55 4.1.2 Efectul supraconsolidării asupra parametrilor rezistenței la

forfecare ............................................................................................... 57 4.1.3 Drumuri de efort de forfecare în coordonate totale s - t ........... 63

4.1.4 Drumuri de efort în coordonate totale versus efective ............. 75 4.1.5 Criteriul Mohr-Coulomb exprimat în coordonate de efort

principale. Criteriul Tresca................................................................... 75 4.2 Criteriul Drucker-Prager .............................................................. 80

5 Modele de comportare neliniară........................................................... 85 6 Elemente de teoria stării critice ............................................................ 91

6.1 Noțiunea de stare critică ............................................................... 91

6.2 Suprafața Roscoe .......................................................................... 92 6.3 Suprafața Hvorslev ....................................................................... 95

7 Cedarea prin poansonare ...................................................................... 99 Bibliografie ................................................................................................ 105


Cuprins 2


Cuprinsul figurilor 3

CUPRINSUL FIGURILOR

Fig. 1.1: Robert Hooke ................................................................................... 7

Fig. 1.2: Leonhard Euler ................................................................................ 7

Fig. 1.3: Giordano Ricatti .............................................................................. 8 Fig. 1.4: Thomas Young ................................................................................ 8 Fig. 1.5: Siméon Denis Poisson ..................................................................... 8 Fig. 1.6: Gabriel L. J. B. Lamé ...................................................................... 8

Fig. 1.7: Augustin-Luis Cauchy ..................................................................... 9 Fig. 1.8: George Green ................................................................................... 9

Fig. 1.9: Joseph-Louis Lagrange .................................................................. 10 Fig. 1.10: Charles Augustin de Coulomb ..................................................... 10

Fig. 1.11: Carl Culmann ............................................................................... 10 Fig. 1.12: Christian Otto Mohr ..................................................................... 10 Fig. 1.13: Henri Édouard Tresca .................................................................. 11

Fig. 1.14: Richard Edler von Mises ............................................................. 11

Fig. 1.15: Daniel Charles Drucker ............................................................... 12 Fig. 1.16: William Prager ............................................................................. 12 Fig. 1.17: Henry Darcy................................................................................. 12

Fig. 1.18: Karl von Terzaghi ........................................................................ 12 Fig. 1.19: Maurice Anthony Biot ................................................................. 12

Fig. 2.1: Corp solid în echilibru sub acțiunea unui set de forțe exteriare .... 14 Fig. 2.2: Punctul material delimitat de plane paralele cu sistemul local de axe

de coordonate ............................................................................................... 14 Fig. 2.3: Notația eforturilor unitare ce acționează pe fețele punctului material

orientate după direcțiile oxyz ....................................................................... 16

Fig. 2.4: Eforturile unitare pe un plan înclinat cu unghiul față de sistemul

de referință al direcțiilor principale .............................................................. 18

Fig. 2.5: Reprezentarea parametrică a cercului lui Mohr în funcție de

eforturile principale ...................................................................................... 20

Fig. 2.6: Eforturile unitare pe un plan oarecare într-o stare tridimensională de

eforturi .......................................................................................................... 21 Fig. 2.7: Cercurile lui Mohr într-o stare tridimensională de eforturi ........... 21



Fig. 2.8: Metoda grafică de determinare a polului cercului stării de efortur 24

Fig. 2.9: Starea de deformații unidimensionale și bidimensionale .............. 26 Fig. 2.10: Reprezentarea stării de deformații în jurul unui punct ................ 29 Fig. 2.11: Definirea modulilor de deformație liniară în funcție de modelul de

comportare ales pentru material ................................................................... 30 Fig. 2.12: Relație de tip „strain softening” ................................................... 31

Fig. 2.13: Modelul mecanic al consolidării unidimensionale conceput de Karl

Terzaghi........................................................................................................ 33 Fig. 2.14: Reprezentarea stării de eforturi în coordonate σ1 – σ2 – σ3 ......... 36

Fig. 2.15: Exemplu de reprezentare în drum de efort a unei încercări de

compresiune monoaxială .............................................................................. 39 Fig. 3.1: Reprezentarea modulului edometric în scară zecimală și semi-

logaritmică.................................................................................................... 43 Fig. 3.2: Reprezentarea modului de compresibilitate folosind variația σ – e în

scară zecimală .............................................................................................. 44

Fig. 3.3: Variația volumului specific și indicelui porilor unei probe de pământ

cu sarcina aplicată ........................................................................................ 45

Fig. 3.4: Efortul de preconsolidare – originea și metoda de determinare .... 47 Fig. 3.5: Condițiile de efort și drenare într-un element infinitesimal supus

consolidării unidimensionale ....................................................................... 48

Fig. 3.6: Determinarea valorii t50 ................................................................. 53 Fig. 4.1: Tipurile de rezistență la forfecare .................................................. 56

Fig. 4.2: Aproximarea înfășurătorii Mohr prin dreapta intrinsecă ............... 57 Fig. 4.3: Eforturile, deformațiile și deplasările necesare pentru caracterizarea

mobilizării și fenomenelor de dilatanță / contractanță pentru încercarea de

forfecare directă ........................................................................................... 59

Fig. 4.4: Eforturile și deformațiile deplasările necesare pentru caracterizarea

mobilizării și fenomenelor de dilatanță / contractanță pentru încercarea de

forfecare triaxială ......................................................................................... 59 Fig. 4.5: Variația efortului tangențial cu deformația axială ......................... 60

Fig. 4.6: Convergența curbelor de mobilizare pentru un pământ

supraconsolidat și normal consolidat spre aceeași valoare a deviatorului la

mobilizări mari în ipoteza efortului sferic constant ..................................... 61 Fig. 4.7: Criteriul de cedare de vârf vs. criteriul de cedare rezidual ............ 62 Fig. 4.8: Valori de vârf și reziduale obținute pentru diferite grade de

supraconsolidare ........................................................................................... 62 Fig. 4.9: Dreapta intrinsecă pentru o probă consolidată izotrop și forfecată

prin încărcare axială ..................................................................................... 64



Fig. 4.10: Dreapta kf pentru o probă consolidată izotrop și forfecată prin

încărcare axială............................................................................................. 65 Fig. 4.11: Dreapta de stare critică pentru o probă consolidată izotrop și

forfecată prin încărcare axială ...................................................................... 65 Fig. 4.12: Stare de eforturi tangentă la dreapta intrinsecă............................ 66 Fig. 4.13: Dreapta intrinsecă pentru o probă consolidată anizotrop k0 și

forfecată pe drumul de efort de descărcare specific împingerii active ......... 68 Fig. 4.14: Dreapta kf pentru o probă consolidată anizotrop k0 și forfecată pe

drumul de efort de descărcare specific împingerii active ............................. 69

Fig. 4.15: Drumuri de efort care nu duc la cedare datorită limitei de

compresiune ................................................................................................. 70 Fig. 4.16: Obținerea parametrilor rezistenței la forfecare folosind trei valori

ale efortului de consolidare și un tip de drum de efort ................................. 71 Fig. 4.17: Obținerea parametrilor rezistenței la forfecare folosind o singură

valoare a efortului de consolidare și trei tipuri de drum de efort ................. 71

Fig. 4.18: Dreapta intrinsecă pentru o probă consolidată anizotrop k0 și

forfecată pe drumul de efort de descărcare specific rezistenței pasive ........ 72

Fig. 4.19: Dreapta kf pentru o probă consolidată anizotrop k0 și forfecată pe

drumul de efort de descărcare specific rezistenței pasive ............................ 73 Fig. 4.20: Dreapta intrinsecă pentru o probă consolidată anizotrop k0 și

forfecată pe drum de efort vertical ............................................................... 74 Fig. 4.21: Dreapta kf pentru o probă consolidată anizotrop k0 și forfecată pe

drum de efort vertical ................................................................................... 74 Fig. 4.22: Reprezentarea în eforturi totale și efective a unei încercări triaxiale

de tip CU ...................................................................................................... 75 Fig. 4.23: Expresia criteriului Mohr-Coulomb în planul σ2 = 0................... 77

Fig. 4.24: Criteriul Mohr-Coulomb reprezentat în spațiul σ1 – σ2 – σ3 ........ 78 Fig. 4.25: Criteriul Tresca ............................................................................ 79 Fig. 4.26: Lege de deformație elastic-perfect plastic cu rezistențe egale la

întindere și compresiune .............................................................................. 80

Fig. 4.27: Compatibilizarea criteriului Drucker-Prager cu criteriul Mohr-

Coulomb în planul σ2 = 0 ............................................................................. 81 Fig. 4.28: Conul Drucker-Prager tangent exterior piramidei Mohr-Coulomb

...................................................................................................................... 82 Fig. 4.29: Conul Drucker-Prager secant interior piramidei Mohr-Coulomb 83

Fig. 5.1: Reprezentarea carteziană (scală zecimală) a curbei de mobilizare

pentru un pământ normal consolidat ............................................................ 85

Fig. 5.2: Schimbarea de variabilă pentru construirea modelului hiperbolic

pentru un pământ normal consolidat ............................................................ 86



Fig. 5.3: Trunchierea curbei de mobilizare a pământurilor supraconsolidate și

compensarea valorii deviatorului la cedare față de valoarea asimptotei

orizontale ...................................................................................................... 87 Fig. 6.1: Curba de stare critică ..................................................................... 92 Fig. 6.2: Suprafețele în spațiul p-q-v descrise de forfecarea unor probe drenate

și nedrenate................................................................................................... 93

Fig. 6.3: Drumuri de efort drenat și nedrenat în coordonate p’-q ................ 94 Fig. 6.4: Suprafața Roscoe ........................................................................... 94 Fig. 6.5: Normalizarea în raport cu efortul de consolidare, pc ..................... 95

Fig. 6.6: Starea critică pentru diferite grade de supraconsolidare ................ 95 Fig. 6.7: Suprafața Hvorslev ........................................................................ 96 Fig. 6.8: Reprezentarea tridimensională a suprafeței Hvorslev ................... 97


1. Scurt istoric 7

1 SCURT ISTORIC

Relația dintre încărcare și deformație a fost pusă pentru prima dată în

evidență, după cum se știe, de către Robert Hooke (Fig. 1.1). În anul 1660, el

a publicat celebra anagramă „ceiiinosssttuv” a cărei cheie „ut tensio, sic vis”

a oferit-o abia în 1678, stimulat de concurența directă pe plan științific cu

Isaac Newton. În forma enunțată, legea se poate traduce ca „alungirea este

proporțională cu forța”, și a rezultat în urma studierii comportării arcurilor în

zona încărcărilor mici. Această ecuație era, în mod evident, dependentă de

configurația fizică a sistemului încărcat (cum ar fi diametrul arcului sau

lungimea acestuia). Este meritul lui Thomas Young (Fig. 1.4) de a normaliza

legea lui Hooke, împărțind forța la arie (rezultând efortul unitar) și alungirea

la lungimea inițială (rezultând deformația) și transformând ecuația într-o lege

de material. Lucrarea lui Young a fost publicată în 1807, dar ideea în sine nu

i-a aparținut, ea fiind preluată dintr-un articol al lui Leonhard Euler (Fig. 1.2)

din 1727 și reformulată în 1782 de către Giordano Ricatti (Fig. 1.3).

Fig. 1.1: Robert Hooke

(1635 - 1703)

Fig. 1.2: Leonhard Euler

(1707 – 1783)


1. Scurt istoric 8

Contribuții deosebite la studiul comportării efort-deformație a materialelor au

avut și Siméon Denis Poisson (Fig. 1.5) care a pus în evidență, prin efectul

care îi poartă numele, distribuția deformației pe alte direcții decât cea a

solicitării, precum și Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (Fig. 1.6) care a studiat

și comportarea elastică sub efort deviatoric, modulul de forfecare fiind

cunoscut și sub numele de „al doilea parametru Lamé”.

Fig. 1.3: Giordano Ricatti

(1709 - 1790)

Fig. 1.4: Thomas Young

(1773 – 1829)

Fig. 1.5: Siméon Denis Poisson

(1781 - 1840)

Fig. 1.6: Gabriel L. J. B. Lamé

(1795 - 1870)

Reprezentarea tensorială a eforturilor unitare îi aparține lui Augustin-Louis

Cauchy (Fig. 1.7), care a demonstrat și faptul că valoarea eforturilor unitare

într-un punct depind doar de direcția normalei în punct pe direcția analizată.

Reprezentarea tensorială, prin care se încapsulau în același obiect matematic,


1. Scurt istoric 9

atât scalari (tensor de ordin 0) cât și operațiuni (atât scalare cât și vectoriale)

au permis identificarea invarianților tensoriali, ca valori proprii ai tensorului,

independente de direcția pe care se determină elementele acestuia, cât și a

unor formulări energetice (prin adăugarea unei operațiuni suplimentare

echivalente cu creșterea ordinului tensorului), dezvoltate de către George

Green (Fig. 1.8), contribuind fundamental la rezolvarea problemelor

mecanicii Lagrangiene (Fig. 1.9).

Fig. 1.7: Augustin-Luis Cauchy

(1789 – 1857)

Fig. 1.8: George Green

(1793 – 1841)

Noțiunea de rezistență la forfecare a fost studiată pentru prima dată de Charles

Augustin de Coulomb (Fig. 1.10), care a publicat în 1773 o lucrare având ca

temă un studiu al cedării prin forfecare aplicat la structuri, observând că limita

de rezistență a materialului este o relație liniară între efortul unitar tangențial

și cel normal.

Pornind de la elipsoidul lui Lamé, care a descris starea de eforturi din jurul

unui punct sub forma unui elipsoid care unește vârfurile tuturor vectorilor

rezultanți perpendiculari pe orice plan ce trece prin punct, Carl Culmann (Fig.

1.11), studiind cedarea grinzilor, a descompus rezultantele din punct în

eforturi unitare normale și tangențiale, obținând astfel reprezentarea stării de

eforturi sub formă de cerc. În mod eronat, această reprezentare îi este atribuită

lui Christian Otto Mohr (Fig. 1.12), care a realizat o serie de încercări de

forfecare și a observat că există o înfășurătoare comună a tuturor stărilor de

eforturi pentru care rezistența a fost atinsă. Aproximând această înfășurătoare

prin criteriul liniar propus de Coulomb a rezultat modelul de calcul atât de

larg răspândit și în ziua de astăzi.


1. Scurt istoric 10

Fig. 1.9: Joseph-Louis Lagrange

(1736 - 1813)

Fig. 1.10: Charles Augustin de Coulomb

(1736 – 1806)

Exprimând criteriul Mohr-Coulomb în coordonate tridimensionale având ca

axe eforturile principale, suprafața limită în care se transformă criteriul de

cedare are forma unei piramide cu baza un hexagon. Pentru abordarea de

material elastic-perfect plastic, Henri Édouard Tresca (Fig. 1.13) dezvoltă

suprafața de cedare de forma prismatică cu bază hexagonală.

Fig. 1.11: Carl Culmann

(1821 - 1881)

Fig. 1.12: Christian Otto Mohr

(1795 - 1870)

Dezavantajul principal al criteriului Mohr-Coulomb și cel asociat Tresca, îl

reprezintă discontinuitatea suprafeței de cedare, lucru care conduce la

incertitudini numerice în ceea ce privește direcția normalei în punctele de colț.


1. Scurt istoric 11

Fig. 1.13: Henri Édouard Tresca

(1814 – 1885)

Fig. 1.14: Richard Edler von Mises

(1883 - 1953)

Această problemă a fost rezolvată de Richard Edler von Mises (Fig. 1.14),

care transformă criteriul Tresca într-o suprafață cilindrică având baza eliptică,

folosindu-se de o formulare a legii de cedare în funcție de al doilea invariant

al tensorului deviatoric. În anul 1952, Daniel Charles Drucker (Fig. 1.15) și

William Prager (Fig. 1.16) propun un criteriu de cedare liniar, similar Mohr-

Coulomb, care însă este continuu, având forma unei suprafețe conice, în care

este generalizată noțiunea de rezistență la forfecare printr-o relație liniară

între primul invariant sferic și al doilea deviatoric.

Părintele Ingineriei Geotehnice, Karl von Terzaghi (Fig. 1.18) înțelege faptul

că deformarea pământului sub sarcini de compresiune reprezintă rearanjarea

particulelor solide într-o stare mai îndesată, iar dacă materialul este saturat,

este necesară drenarea apei pentru ca tasarea să se producă. Exprimând

echilibrul de eforturi unitare între scheletul solid și apa din pori, el enunță

legea eforturilor efective pornind de la un model de drenaj și deformare pe o

singură direcție, generalizând legea de curgere a lui Henry Darcy (Fig. 1.17)

sub formă de regim nepermanent, considerând comportarea scheletului solid

ca liniar elastică. El numește acest proces „consolidare”. În 1941, Maurice

Anthony Biot generalizează ecuația consolidării sub formă tridimensională.


1. Scurt istoric 12

Fig. 1.15: Daniel Charles Drucker

(1918 - 2001)

Fig. 1.16: William Prager

(1903 – 1980)

Fig. 1.17: Henry Darcy

(1803 – 1858)

Fig. 1.18: Karl von

Terzaghi

(1883 - 1953)

Fig. 1.19: Maurice

Anthony Biot

(1905 - 1985)

Deși la ora actuală comportarea pământului sub sarcini este descrisă folosind

nenumărate legi constitutive, contribuția determinantă a întemeietorilor

Teoriei Elasticității și Plasticității și a Geotehnicii face ca orice progres să

păstreze compatibilitatea cu modelele fizice și matematice simple și eficiente

pe care aceștia le-au creat.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Henry_Darcy.jpg

http://www.google.ro/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=1ejpsO9obSm_GM&tbnid=b2yoNAGxEQLW6M:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://ramcodes.org/mecanicadesuelos/historias-y-hombres/%C2%BFque-es-mecanica-de-suelos/&ei=RC9tUs33OOWL4gS3v4Ao&psig=AFQjCNHC6jYLHGWM5Y5Ew9M9QoY91PrYIA&ust=1382973636984704


2. Considerații generale. Stare de eforturi. Stare de deformații 13

2 CONSIDERAȚII GENERALE. STARE DE EFORTURI. STARE

DE DEFORMAȚII

2.1 Stare de eforturi

Deși în literatura de specialitate din domeniul Teoriei Elasticității și

Plasticității se consideră eforturile unitare de întindere ca fiind pozitive, în

domeniul Ingineriei Geotehnice, unde marea majoritate a solicitărilor sunt de

compresiune, ar fi contraproductiv a se lucra cu această convenție de semn,

astfel încât în prezenta lucrare se vor considera pozitive eforturile unitare de

compresiune.

Să considerăm un corp solid (Fig. 2.1), cu geometrie oarecare, aflat în

echilibru sub efectul unui set de forțe exterioare Fe 1 ... Fe n. Pentru referință,

poziția corpului este definită în raport cu un sistem global de coordonate

carteziene OXYZ. Să considerăm un punct material oarecare din corp și un

plan arbitrar care trece prin respectivul punct secționând corpul. Pentru

respectarea condițiilor de echilibru, putem înlocui una dintre cele două părți

secționate prin forța internă echivalentă. În punctul considerat, se poate defini

un sistem ortogonal de axe locale oxyz, cu axa z normală pe plan.

Secționăm în continuare corpul după direcțiile suprafețelor ozx și ozy și vom

izola punctul material în discuție, având dimensiuni infinitezimale și forma

unui cub cu laturile paralele cu sistemul local de coordonate (Fig. 2.2).

Volumul punctului material este V, iar suprafețele laterale ale acestuia sunt

Ax, Ay, respectiv Az.

Pentru a se îndeplini condiția de echilibru, pe fețele opuse ale punctului

material, forțele rezultante care îi revin acestuia trebuie să formeze cupluri

egale și de sens contrar. Notăm forța internă care acționează pe o față cu

indicele axei normale, de exemplu Fi z este forța ce revine punctului material

pe fața având ca normală axa oz.



Fe 1

Fe2

...

...

Fe n

Fe n-1

...

...

O

Z

Y

X

x

zy

∂V

Fig. 2.1: Corp solid în echilibru sub acțiunea unui set de forțe exteriare

-∂Fi z

-∂Fi x∂Fi y

-∂Fi y

∂Fi z

∂Fi x

x

z

y

∂Ax

∂Az

∂Ay

∂V

Fig. 2.2: Punctul material delimitat de plane paralele cu sistemul local de axe de

coordonate



În continuare descompunem fiecare forță de pe o față după direcțiile celor trei

axe și folosim numele axei pentru a nota componenta paralelă cu respectiva

direcție. De exemplu: Fi zz este componenta normală a forței Fi z, în timp ce

forța Fi zx reprezintă componenta forței Fi z pe direcția ox.

Putem defini eforturile unitare din punctul material (Fig. 2.3) normalizând

fiecare componentă a forțelor rezultante interne cu aria pe care ele acționează:

x

xxix

A

F

y

yy i

yA

F

z

zz iz

A

F

x

xyi

xyA

F

y

yz i

yzA

F

z

zx izx

A

F

x

xzixz

A

F

y

yz i

yzA

F

z

zy i

zyA

F

(2.1)

Este necesar ca și componentele forțelor interne să fie în echilibru pentru ca

punctul material să fie în echilibru. Este astfel necesar ca efortul unitar normal

σx de pe o față să fie egal cu cel de pe fața opusă, iar efortul tangențial τxy să

fie în aceeași relație cu vectorul τxy de pe fața opusă. Mai mult decât atât,

vectorul τyx, de pe fața alăturată trebuie să producă același cuplu și de semn

contrar ca și perechea lui pentru a menține echilibrul punctului material și a

nu produce rotirea acestuia.

Se poate remarca faptul că tendința cuplului format de componentele normale

(eforturile σ) are tendința de a modifica volumul particulei, în timp ce

componentele tangențiale (eforturile τ) tind să o deformeze. În mod

generalizat, eforturile care induc deformații volumice poartă numele de

eforturi sferice, în timp ce acelea care induc deformații de formă se numesc

deviatorice.



x

z

y

z

zy

zx

x

xz

xy

y

yz

yx

Fig. 2.3: Notația eforturilor unitare ce acționează pe fețele punctului material orientate

după direcțiile oxyz

Notăm cu n̅ vectorul normal al sistemului de coordonate oxyz astfel încât

componentele sale (versorii) să fie:

zyx nnnn (2.2)

Tensorul eforturilor unitare din punct pe direcțiile oxyz se scrie:

nT (2.3)

unde este matricea stării de eforturi:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(2.4)

Atunci când una dintre fețele punctului material este orientată pe direcția

rezultantelor forțelor interioare în punct, F ix, F iy și F iz, componentele



orizontale ale acestora sunt nule, astfel încât, la rândul lor, eforturile

tangențiale pe aceste direcții sunt nule. Direcțiile de-a lungul cărora nu există

efort tangențial poartă numele de direcții principale, iar eforturile normale de

pe aceste direcții se numesc eforturi principale. Tradițional, valoarea maximă

a eforturilor principale se noteză cu σ1, valoarea intermediară cu σ2, iar

valoarea minimă cu σ3. Matricea stării de eforturi descrisă prin eforturi

principale se poate scrie ca:

3

2

1

00

00

00

(2.5)

Comparând definiția matricei eforturilor principale (2.4) cu (2.5) se poate

observa că folosirea eforturilor principale pentru a descrie starea de eforturi

simplifică exprimarea acesteia de la șase valori distincte și nenule la doar trei.

Exprimarea stării de eforturi (2.4) este per se o simplificare a cazului general

în care punctul unitar ar fi considerat ca un corp paralelipipedic în care fețele

nu sunt paralele. În acest caz, dualitatea eforturilor tangențiale nu s-ar mai fi

aplicat astfel încât descrierea stării de eforturi s-ar fi făcut pe baza a nouă

valori distincte și nenule, eforturile tangențiale de pe fețele alăturate având

valori diferite. Evident, generalizarea ar putea continua până la o exprimare

complet aleatorie a formei ceea ce ar complica și mai mult lucrurile.

Toate aceste mențiuni au fost făcute pentru a înțelege exact rolul eforturilor

principale, și anume acela de a minimiza numărul de valori prin care este

descrisă starea de eforturi fără a exista nici o pierdere de informație. Evident,

direcțiile principale asociate se utilizează pentru simplificare pentru

exprimarea sistemului de coordonate locale pentru punctul material.

Astfel, consideram un punct unitar de formă cubică, având laturile unitare și

fețele paralele pe direcțiile principale și vom analiza eforturile unitare σ și

τ ce acționează pe un plan înclinat cu unghiul față de referință (Fig. 2.4).

Dacă din elementul unitar este desprinsă pana secționată după unghiul ,

lungimile laturii acesteia devin cele prezentate în Fig. 2.4 b.



3

1

1

’3

1

1

3

3

”3

a. Echilibrul de eforturi pe elementul unitar

1

sin

1

cos

b. Dimensiunile laturii panei

secționate Fig. 2.4: Eforturile unitare pe un plan înclinat cu unghiul față de sistemul de referință

al direcțiilor principale

Ca să exprimăm echilibrul de forțe pe pana secționată, vom înmulți eforturile

unitare proiectate pe direcția înmulțită cu ariile pe care acestea acționează

(2.6). Se va ține cont de faptul că latura elementului este unitară.

coscos

coscos

31

31

(2.6)

Dar:

cos'

sin'

sin

cos

33

33

11

11

(2.7)

unde efortul care acționează pe pană pe direcția 3 este:



tan' 33 (2.8)

Înlocuind (2.8) în (2.7) și apoi în (2.6), se obține:

cossincossin

cossin

31

2

3

2

1 (2.9)

Ca artificiu de calcul în prima ecuație (2.9) înmulțim și împărțim la 2 termenii

existenți după care adăugăm și scădem

2321 sin

2cos

2, iar în a doua

ecuație înmulțim și împărțim la 2 după ce dăm factor comun cossin .

cossin)(2

2

sin2

cos2

sin2

cos2

cos2

2sin

2

2

31

232123

212321

(2.10)

Rezultă:

2sin2

2cos22

31

3131

(2.11)

Ecuațiile (2.11) reprezintă ecuația parametrică a cercului din Fig. 2.5. Putem

remarca faptul că pentru o înclinare a planului pe care se determină

eforturile unitare, punctul de pe cerc va fi rotit cu un unghi 2. Pentru

exprimarea formei canonice a cercului respectiv, în prima ecuație (2.11)

ducem în stânga termenul 2

31 , după care ridicăm la pătrat ambele ecuații

și le însumăm. Fiind o ecuație generală nu are rost să mai utilizăm indicele

care își pierde semnificația. Se obține:



2

312

2

31

22

(2.12)

Dacă generalizăm pentru trei dimensiuni problema descrisă anterior în două

dimensiuni, planul oarecare se reprezintă ca în Fig. 2.6. Unghiurile diedre

formate între planul oarecare și planurile O12, O23 și O31, nu pot fi oarecare,

ci suma pătratelor cosinusurilor trebuie să fie egală cu 1.

1coscoscos 3

2

2

2

1

2 (2.13)

În aceste condiții, toate perechile de valori σ – τ corespunzătoare stării

tridimensionale de eforturi se vor găsi pe trei cercuri după cum se poate

observa în Fig. 2.7.

După cum se va arăta în capitolele următoare, în general în problemele

inginerești se realizează un calcul simplificat în care starea de eforturi este

considerată plană. Din starea tridimensională de eforturi, prin suprapunerea a

două axe din cele trei cercuri rămâne unul singur pe care vom alege să folosim

direcțiile 1 și 3 corespunzând eforturilor principale maxim, respectiv minim.

13

2Raza 31

2Centrul 31

Fig. 2.5: Reprezentarea parametrică a cercului lui Mohr în funcție de eforturile

principale



y

x

z3

x

2

xz

xy

1

O

3

2

1

Fig. 2.6: Eforturile unitare pe un plan oarecare într-o stare tridimensională de eforturi

13 2

Fig. 2.7: Cercurile lui Mohr într-o stare tridimensională de eforturi



Pentru a determina valorile eforturilor unitare de pe un plan înclinat cu

unghiurile xy, yz și zx, ale unei stări oarecare de eforturi definită prin

matricea coeficienților (2.4), trebuie găsită valoarea rezultantei σ a eforturilor

pe direcția respectivă, astfel încât se poate scrie sistemul de ecuații:

0cos)(coscos

0coscos)(cos

0coscoscos)(

zzyzyxzx

zyzyyxyx

zxzyxyxx

(2.14)

Acestui sistem de ecuații i se adaugă ecuația (2.13). Pentru a fi evitată soluția

banală, adică 0coscoscos 321 , atunci determinantul sistemului

(2.14) trebuie să fie nul, adică:

0

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(2.15)

Dezvoltând, se obține o ecuație de gradul 3:

0III 32

2

1

3 (2.16)

unde:

y

2

zxx

2

yzz

2

xyzxyzxyzyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

3

2

zx

2

yz

2

xyxzzyyx

xxz

zxz

zzy

yzy

yyx

xyx

2

zyx1

2I

I

I

(2.17)



Dar, valoarea lui σ este unică pentru starea de eforturi, reprezentând valoarea

rezultantei tuturor încărcărilor exterioare, deci și valorile coeficienților I1, I2

și I3, numiți în continuare invarianți ai tensorului sferic trebuie să fie unice.

Cel mai simplu este să îi calculăm pornind de la eforturile principale astfel

încât valorile eforturilor tangențiale să fie nule. Ecuațiile (2.17) devin:

3213

1332212

3211

I

I

I

(2.18)

În cazul unei stări de eforturi izotrope, de exemplu cea hidrostatică, nu ar

exista eforturi tangențiale, iar cele normale ar fi egale (această stare fiind

simetrică pe toate direcțiile). Se poate concluziona că abaterea de la simetria

de încărcare este cea care este indusă de eforturile deviatorice. Pentru a se

pune în evidență efectul fiecărei componente principale la anizotropia

încărcării, se definesc eforturile principale reduse, acestea fiind componentele

tensorului deviatoric:

3

Is

3

Is

3

Is

133

122

111

(2.19)

Dacă dorim să punem în evidență invarianții tensorului deviatoric, pornind de

la un raționament similar celui sferic, obținem:

3213

1332212

3211

sssJ

ssssssJ

0sssJ

(2.20)

Invariantul J1 este întotdeauna nul din însăși definiția eforturilor deviatorice

reduse.



2.2 Polul cercului lui Mohr

Polul cercului stării de eforturi este locul geometric obținut prin trasarea prin

punctul corespunzător unei perechi oarecare de eforturi σ și τ a unei linii

paralele la direcția planului pe care acționează respectiva combinație de

eforturi. Punctul în care această paralele intersectează pentru a doua oară

cercul, notat în cu P, reprezintă polul cercului.

13

b

b

b

b

P

b

b

Fig. 2.8: Metoda grafică de determinare a polului cercului stării de efortur



Dacă se repetă construcția grafică pentru o altă pereche de eforturi care

acționează pe un alt plan aleatoriu, înclinat cu un unghi b, se observă că

paralela la plan prin punctul de pe cerc determinat de combinația σb – τb,

intersectează pentru a doua oară cercul tot în punctul P definit anterior.

Se demonstrează astfel ca polul cercului este un punct unic al stării de eforturi.

Din punct de vedere geometric, același lucru se poate obține și dacă în loc de

paralelă la plan se construiește o perpendiculară pe plan, cu toate acestea, în

mod axiomatic, din rațiuni istorice și de compatibilitate, polul se determină

cu ajutorul paralelei.

Polul cercului se utilizează fie pentru a determina o direcție pe care acționează

o anumită combinație de eforturi σ – τ, cum ar fi, de exemplu în cazul ipotezei

Rankine la modelul Coulomb al împingerii active și rezistenței pasive, sau

pentru determinarea valorilor eforturilor unitare pe o anumită direcție dată ce

trece prin punctul în care este definită starea de eforturi.

2.3 Stări de deformație

Conform definițiilor date în capitolul 2.1, eforturile care induc deformații de

volum se numesc eforturi sferice, iar cele care induc deformații de formă se

numesc deviatoare. În Fig. 2.9a sunt ilustrate relațiile efort-deformație între

efortul normal σ și deformația specifică axială ε, respectiv între efortul unitar

tangențial τ și deformația de lunecare γ. Considerând această relație în

domeniul liniar elastic putem enunța legea lui Hooke reformulată de Young

pentru eforturi și deformații sferice, respectiv relația lui Lamé pentru eforturi

și deformații deviatoare:

G

E (2.21)

unde E este modulul lui Young, în general numită în Ingineria Geotehnică și

„modul de deformație liniară”, iar G este modulul de forfecare sau „al doilea

parametru al lui Lamé”. Semnificația acestor moduli este descrisă în (2.23).



1

1

1

a. Deformații

unidimensionale

z

x

x

zx

z

xz

1z

zx

xz1

x

zx

z

xz

x

b. Stare bidimensională de deformații Fig. 2.9: Starea de deformații unidimensionale și bidimensionale

Pentru stările biaxiale sau triaxiale de deformații este necesară considerarea

distribuției încărcărilor și pe direcții perpendiculare celei pe care încărcarea

este aplicată. Această redistribuire se efectuează pe baza legii lui Hooke

generalizate care cuantifică distribuția de deformație prin intermediul

coeficientului Poisson, ν:



zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

G

1

G

1

G

1

)]([E

1

)]([E

1

)]([E

1

(2.22)

Având în vedere că relația între E, G și ν este:

)1(2

EG

(2.23)

Putem scrie relația (2.22) sub formă compactă, matricială:

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

E

1 (2.24)

Dacă vom considera o relație liniară între eforturi și deformații, putem

concluziona că o relație similară celei între eforturile unitare σ și τ este

valabilă și între deformațiile specifice ε și γ. Putem reprezenta starea de

deformații sub forma unui cerc conform în Fig. 2.10. Pe cercul din figură sunt

reprezentate deformațiile specifice determinate pentru exemplul din Fig. 2.9

b. Neliniaritatea relației dintre eforturi unitare și deformații specifice conduce

doar la scalarea cercurilor unul în raport cu celălalt.



Deformația volumetrică totală reprezintă este egal cu volumul inițial (unitar)

din care se scade volumul final calculat ca produs al laturilor elementului

deformat:

)1)(1)(1(1 zyxv (2.25)

Dezvoltând relația (2.25) și ținând cont că deformațiile sunt infinitezimale,

deci produsul al două sau trei deformații este neglijabil, putem scrie că:

zyxv (2.26)

Studiind Fig. 2.9 se observă că deformația de lunecare totală a elementului γ

se poate calcula direct din suma deformațiilor pe fețele adiacente:

xzzxxz 2 (2.27)

Modulele de deformație liniară care se folosesc în mod curent în ingineria

geotehnică (2.23) sunt:

- pentru modelul de comportare liniară, Fig. 2.11 a., este irelevant

modul de definire al pantei curbei σ – ε, deoarece acesta este constant

pe tot domeniul;

- pentru un model de comportare neliniară, de exemplu Fig. 2.11 b.,

sunt relevanți doi moduli, cel inițial, tangent la curbă în origine, notat

cu Etangent sau E0 și valorile secante, alese în general între limitele de

încărcare la care materialul urmează a fi solicitat. Acest modul, notat

Esecant, aproximează prin coardă arcul curbei ce definește relația σ –

ε;

- în cazul solicitărilor ciclice, pentru pământuri, curba histerezisului are

un arc de intrare, unde sunt relevanți modulii prezentați la punctul

anterior, după care, prin rearanjarea succesivă a particulelor solide în

stare din ce în ce mai îndesată, buclele încărcare-descărcare vor

converge de la ciclu la ciclu (în cazul în care nu este atinsă cedarea)

spre o formă stabilă a cărei pantă medie este modulul resilient Eresilient.



/2

13 z

xz/2

x

zx/2

Fig. 2.10: Reprezentarea stării de deformații în jurul unui punct

minmax

minmaxresilient

antsec

genttan

E

E

d

dE

(2.28)

Valorile modulului de deformație liniară poate varia în funcție de regimul de

solicitare, de exemplu, pentru solicitări ciclice la care este variat domeniul de

deformație aplicată unei probe de pământ, curba E – ε, sau analoaga sa G –γ

folosită pentru calculul neliniar al comportării seismice a masivelor de

pământ, are forma descrisă în Fig. 2.12.



d

dE

a. Comportare liniară

antsecE

d

dE genttan

b. Comportare neliniară

antsecE

d

dE genttan

minmax

minmaxresilientE

c. Comportare resilientă

Fig. 2.11: Definirea modulilor de deformație liniară în funcție de modelul de

comportare ales pentru material



E

E0

00

Fig. 2.12: Relație de tip „strain softening”

Pentru simplificarea relațiilor dintre diferite tipuri de eforturi cu deformațiile

corespunzătoare există moduli elastici mai puțin utilizați sau specifici unor

anumite tipuri de aplicații.

Unul dintre aceste module este K, modulul deformației volumice, care se

definește prin relația dintre efortul sferic I1 și deformația volumică εv::

v1 KI (2.29)

de unde rezultă:

21

E

))(21(E

1

)(IIK

zyx

zyx

zyx

1

v

1 (2.30)

Necesitatea exprimării semi-logaritmice a relației efort-deformație pentru

pământuri a condus la apariția a două alte module secante pentru curba de

încărcare (coeficientul de compresiune primară Cc), respectiv de descărcare

(coeficientul de descărcare Ce) etc., care vor fi definiți în (3.8) și (3.9).

2.4 Legea eforturilor efective

Pentru punerea în evidență a distribuției eforturilor unitare în masivele

saturate de pământ, Karl Terzaghi publică în 1924, în cartea sa de căpătâi,



„Erdbaumechanik”, descrierea unui model mecanic alcătuit dintr-un cilindru

plin cu apă instrumentat cu un tub piezometric la bază, în care culisează un

piston prevăzut cu un robinet. Cilindrul și pistonul sunt conectate printr-un

arc modelând comportarea elastică a scheletului solid al pământului (Fig.

2.13). Pistonul este încărcat cu un efort unitar σ, numit „efort total”, invariabil

în timp.

La momentul inițial t0, robinetul este închis. Lichidul din piston fiind

incompresibil, iar drenajul imposibil, în tubul piezometric se va înregistra o

presiune în lichid, u, egală cu efortul total aplicat. Arcul este solicitat

hidrostatic, astfel încât, neîncărcându-se diferențial la capete, nu se

deformează. În concluzie, la momentul t0, echilibrul de eforturi se scrie:

u (2.31)

Robinetul pistonului se deschide, astfel încât după o perioadă oarecare t, apa

din cilindru este evacuată, iar presiunea u din lichid scade. Pentru păstrarea

echilibrului, diferența de efort între efortul total și presiunea din lichid u, este

preluată de către arcul ce modelează scheletul solid al pământului. Arcul se

deformează, iar efortul ce a produs acest efect se notează cu σ’ și se numește

„efort efectiv”. Deci, la un moment intermediar t, echilibrul de eforturi este:

u' (2.32)

Ecuația (2.32) poartă numele de „legea eforturilor efective”. Încărcarea

arcului va continua concomitent cu drenajul apei care se realizează în regim

variabil în timp (curgere nepermanentă) cauzat de scăderea presiunii apei. La

momentul final t100 toată presiunea preluată de apă este transferată scheletului

solid, astfel încât putem scrie:

' (2.33)

Din cauza faptului că presiunea apei din porii pământului, fiind un efort

hidrostatic, nu conduce la deformații, mai poate fi întâlnită și sub numele de

„presiune neutrală”. Apa nu poate prelua eforturi deviatorice, ci numai

sferice, iar într-un punct, valoarea ei este aceeași pe toate direcțiile, asfel

încât, sub formă matricială, legea eforturilor efective poate fi scrisă ca:



u00

0u0

00u

'

'

'

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(2.34)

’’

u

u

’0

u=0

t0 t t100

= u = ’ + u = ’ Fig. 2.13: Modelul mecanic al consolidării unidimensionale conceput de Karl Terzaghi

Fenomenul reologic (dependent de timp) de transfer al efortului total aplicat

de la apa din pori la scheletul solid al pământului poartă numele de

„consolidare”.

2.5 Probleme plane

În anumite situații se pot considera modele simplificate ale stării

tridimensionale de eforturi și deformații:

- starea plană de eforturi (sau problema plană de eforturi - PP), în care

se consideră z = 0;

- starea plană de deformații (sau problema plană de deformații – PP),

în care se consideră z = 0;

De exemplu, în cazul analizei unui zid de sprijin încărcat pe direcție

perpendiculară pe suprafața din spate de către împingerea pământului se poate



considera că nu își modifică dimensiunea longitudinală, cu alte cuvinte z =

0, acest lucru însă nu înseamnă că eforturile pe această direcție nu vor varia.

O caracteristică importantă a problemelor plane este aceea că grosimea fâșiei

pe direcția normală secțiuni analizate este egală cu unitatea.

Din punct de vedere static o problemă plană de deformații va avea

deformațiile blocate pe direcția perpendiculară (echivalând cu impunerea unei

rezemări simple pe această direcție sau restricționarea gradului de libertate

translație), în timp ce problema plană de eforturi va fi liberă la translație pe

direcția perpendiculară.

Alegerea modelului simplificat se face în general în funcție de geometria

solidului deformabil studiat: PP se folosește, în general, la modelarea

elementelor structurale de grosime mică (pereți, diafragme, șaibe, etc.), în

timp ce PP este folosit în special la elemente structurale de lungime mare față

de dimensiunile secțiunii transversale (ziduri de sprijin, diguri, drumuri, etc.).

O problemă aparte este cea a semispațiilor sau a elementelor cu o axă de

simetrie verticală în pământ (puțuri cilindrice, piloți cilindrici etc.).

Elementele cu o axă de simetrie (să zicem axa z) au particularitatea că în

fiecare fâșie având față de axă o deschidere de un grad sau un radian. Astfel,

într-un plan perpendicular pe axa de simetrie, două puncte materiale vor fi

încărcate identic, astfel încât deformațiile sunt nule, iar eforturile sunt egale,

adică y = x. Pe direcție verticală există diferențe de încărcare, mai ales din

cauza greutății proprii a masivului.

O situație particulară a problemei axial simetrice o reprezintă situația

semispațiului încărcat uniform doar pe direcție normală pe plan și sau

accelerație gravitațională pe această direcție. În această situație, oricare

dreaptă perpendiculară pe plan reprezintă o axă de simetrie. Această problemă

poartă numele de „stare de repaos”. Având în vedere că direcția verticală este

o axă de simetrie pentru încărcare, rezultă că pe această direcție nu pot acționa

eforturi antisimetrice de tipul eforturilor unitare tangențiale, deci axa verticală

și, implicit, cele orizontale sunt direcții principale.

În ecuația a treia din sistemul (2.22) exprimată pe direcțiile principale:



)]([E

12133 (2.35)

punând condiția ε3 = 0 și σ2 = σ3 corespunzătoare stării de repaos se obține:

131

(2.36)

se notează

1k0 (2.37)

astfel încât ecuația (2.36) devine:

103 k (2.38)

k0 poartă numele de coeficient al împungerii pământului în stare de repaos și,

după cum se poate deduce din demonstrația de mai sus, corespunde unei stări

elastice a masivelor de pământ.

2.6 Coordonate de efort

Reprezentarea stărilor de eforturi sub forma cercului lui Mohr prezintă

evidente avantaje cu ar fi descrierea tuturor perechilor de eforturi unitare σ –

τ ce pot să apară în jurul unui punct din solidul analizat precum și posibilitatea

determinării direcției de acțiune a eforturilor unitare prin intermediul polului,

dar în cazul în care se dorește studierea unei succesiuni de stări de eforturi la

care este supus punctul material, reprezentarea devine mult prea inexpresivă

din punct de vedere grafic.

Din acest motiv, se pot păstra din starea de eforturi doar informațiile din care

se poate reconstitui fără pierdere reprezentarea mai complexă Mohr. În mod

evident, toate reprezentările trebuie să pornească de la eforturile principale,

care îndeplinesc această condiție.



O primă variantă de coordonate de efort este chiar reprezentarea în eforturi

principale. Dacă se studiază o stare tridimensională de eforturi, reprezentarea

unei stări în coordonate σ1 – σ2 – σ3 se realizează printr-un punct (Fig. 2.14).

3

2

1

dreapta

trise

ctoare

(1 =

1 =

3)

1

23

planul octaedric al

starii de eforturi

(cos 12 = cos 23 = cos 31)oct

oct

a. Reprezentarea carteziană

1

2

3

1

2

3

oct

planul octaedric

al starii de eforturi

b. Proiecția în planul octaedric

Fig. 2.14: Reprezentarea stării de eforturi în coordonate σ1 – σ2 – σ3

Pentru caracterizarea componentei sferice și deviatoare a stării de eforturi

într-un mod cât mai apropiat de invarianții definiți în ecuațiile (2.18) și (2.20),

se utilizează un sistem de coordonate cilindrice în care ca axă longitudinală,



care arată valoarea componentei sferice se alege dreapta trisectoare a

sistemului cartezian σ1 – σ2 – σ3, axa polară va descrie componenta

deviatoare, iar azimutul nu are o importanță deosebită în descrierea stării de

eforturi astfel încât va fi ignorat în cele ce urmează. Planul în care se găsește

starea de eforturi în coordonate cilindrice este un plan octaedric al sistemului

cartezian, perpendicular pe trisectoare. Din acest motiv, înălțimea planului

față de origine sau componenta longitudinală a stării de efort poartă numele

de efort sferic octaedric și se notează cu σoct, în timp ce deviatorul ce

reprezintă în plan distanța radială față de axă se numește deviator octaedric și

se notează cu τoct.

Pentru calculul lui σoct se calculează suma proiecțiilor valorilor eforturilor

principale pe axa trisectoare, dar, într-un tetraedru cu trei fețe triunghiuri

dreptunghic isoscele cu latura „l” înălțimea față de baza triunghi echilateral

cu latura „ 2l ” este l/3 deci suma proiecțiilor va fi:

3

I

333

1321oct

(2.39)

pentru calculul lui τoct vom folosi teorema lui Pitagora în triunghiul

dreptunghic având ca ipotenuză distanța între originea sistemului de

coordonate și poziția carteziană a stării de eforturi, adică 2

3

2

2

2

1 și o

catetă σoct, deci:

3

J2)()()(

3

1

9

I)(

22

13

2

32

2

21

2

12

3

2

2

2

1oct

(2.40)

Pentru simplificarea reprezentării stării de eforturi din trei dimensiuni în două

s-ar putea folosi în mod direct σoct – τoct, dar, simplificând pentru situația axial

simetrică, adică σ2 = σ 3 și pătrând pentru axa deviatorică primul invariant

diferit de zero al respectivului tensor, pentru care, pentru păstrarea

compatibilității unităților de măsură se înmulțește cu 3 și extrage radicalul de

ordinul doi, se obține sistemul de coordonate de efort „Cambridge”:



31

2

3311332212

313211

)sss2(3)ssssss(3J3q

3

2

33

Ip

(2.41)

Marea majoritate a lucrărilor britanice în domeniu, inclusiv Teoria Stării

Critice, care va fi prezentată în capitolul 6, folosesc sistemul de coordonate

de efort p – q, dar pentru o reprezentare mai apropiată de mărimile uzuale ale

cercului lui Mohr, echipa de cercetători de la M.I.T. a propus un sistem diferit

de coordonate de efort, în care componenta sferică, notată cu s este dată de

poziția pe axa Oσ a cercului, iar cea deviatoare, notată cu t este raza cercului,

adică:

2t

2s

31

31

(2.42)

Ca observație generală, atât în σoct – τoct, cât și în p – q și s – t, stare de eforturi

este redusă la un punct, existând întotdeauna posibilitatea conversiei sub

forma cercului lui Mohr. O altă observație este că legea eforturilor efective

rămâne valabilă indiferent de coordonatele de efort aplicate, adică pentru

coordonate σ – τ, conform ecuațiilor (2.34):

'

u'

(2.43)

în eforturi octaedrice:

oct

2

13

2

32

2

21

2

13

2

32

2

21

oct

oct3213211

oct

'3

)''()''()''(

3

)()()(

u'3

)u'()u'()u'(

33

I

(2.44)

în coordonate Cambridge:



'q)u'()u'(q

u'p3

)u'(2)u'(

3

2p

3131

3131

(2.45)

și în coordonate MIT:

't2

)u'()u'(

2t

u's2

)u'()u'(

3s

3131

3131

(2.46)

Coordonatele de efort bazate pe eforturi principale sunt deosebit de utile

atunci când se studiază modificarea stării de eforturi dintr-un punct sub

acțiunea încărcărilor exterioare. Această succesiune a stărilor de eforturi se

numește „drum de efort”.

Pentru a ilustra câteva tipuri de drum de efort, vom folosi în paralel

reprezentarea σ – τ și s – t. Un prim caz este cel al compresiunii monoaxiale.

În această situație, efortul radial σ3 este permanent nul, iar efortul pe direcție

verticală σ1 crește de la zero la valoarea maximă.

t

s

3

1

in

itia

l = 0

1 final

Fig. 2.15: Exemplu de reprezentare în drum de efort a unei încercări de compresiune

monoaxială




3. Compresibilitate. Consolidare 41

3 COMPRESIBILITATE. CONSOLIDARE

3.1 Compresibilitate

Pământul ca material comportă o serie de particularități care fac dificilă

abordarea simplificată a comportării sale sub încărcări. S-a arătat în capitolul

anterior prin legea eforturilor efective faptul că pământul se poate deforma

numai în condiția drenării apei interstițiale, deci, fără a lua în calcul această

componentă ar rezulta o încălcare a principiului conservării maselor. Mai

mult decât atât, pământul este un „material cu memorie”. Ținând seama de

faptul că deformațiile volumetrice nu reprezintă decât rearanjarea particulelor

solide într-o configurație mai îndesată, capabilă de a prelua încărcarea, se

poate explica faptul că în cazul descărcării această configurație se păstrează,

astfel încât se poate deduce care a fost sarcina maximă aplicată vreodată

masivului de pământ respectiv.

Un pământ care este supus pentru prima dată unui anumit nivel de efort de

compresiune, după echilibrarea presiunii apei din pori, se numește „normal

consolidat”. Studiul relației efort-deformație al pământurilor se studiază în

general fie pentru o stare de eforturi corespunzătoare stării de repaos, fie

izotropă, astfel încât deformațiile de lunecare să fie nule sau să aibă valori

nesemnificative. Starea de eforturi izotropă apare în mod natural asupra

probelor de pământ, deformabilitatea în aceste condiții fiind studiată numai

atunci când condițiile tehnice o impun, mai exact pentru aparatele de

compresiune triaxială cu deformație impusă. Studiul fenomenului păstrând

cât mai puțin alterată starea probelor, adică menținând starea de repaos, se

realizează cu ajutorul edometrului, în care pământul este fretat într-un inel

metalic ce nu îi permite deformația radială, iar proba se încarcă doar axial.

Același lucru se poate obține și în urma consolidării în aparatul de

compresiune triaxială cu efort impus controlând ca deformațiile rezultate în

urma încărcării să nu se dezvolte pe direcție radială. În acest capitol ne vom

referi numai la consolidarea în stare de repaos.



În scară zecimală, curba de încărcare primară, cunoscută și sub numele de și

de curbă de consolidare normală are un modul tangent foarte scăzut pentru

valori mici ale efortului aplicat deoarece pământul are porozitate mare iar

particulele solide dispun de spații mari în care să se rearanjeze. Odată cu

creșterea domeniului de eforturi, pentru fiecare increment aplicat, porozitatea

este din ce în ce mai scăzută ca și spațiul disponibil pentru rearanjare.

Granulele solide se zdrobesc local în zonele de contact și se împănează din ce

în ce mai mult pentru a se îndesa. În aceste condiții deformațiile sunt din ce

în ce mai reduse. Rezumând, în zona eforturilor mici deformațiile materialului

sunt mari, în timp ce pentru eforturi mari deformațiile sunt reduse. Pentru a

avea o reprezentare balansată a curbei efort-deformație se alege o scară

semilogaritmică, mai exact zecimală pentru deformații și logaritmică pentru

eforturi.

Modulul de deformație obținut în general în urma încercării edometrice, în

care starea de eforturi se păstrează ca stare de repaos poartă numele de modul

edometric și se notează cu M:

if

ifM

(3.1)

Pornind de la ipoteza stării de repaos, deformația pe direcție radială este egală

cu zero, adică εr = ε3 =0. Acest lucru înseamă că pe direcție orizontală aria A

rămâne constantă, deci:

a

00

vhA

hA

V

V

(3.2)

unde εa este deformația axială.

Pe de altă parte, variația de volum nu se poate realiza decât ca variație a

volumului de pori Vp, volumul de solid Vs rămânând constant. Deci:

0

s

f0

s

s

s

p

f0s

f0spfs

0

ve1

e

V

V

V

V

V

V

VV

)VV()VV(

V

V

(3.3)



unde e este indicele porilor. Din ecuațiile (3.2) și (3.3) rezultă că:

0

ae1

e

(3.4)

Înlocuind (3.4) în (3.1) obținem:

v

0

0

a

e1

e1

eM

(3.5)

Prin av se notează modulul de deformabilitate. Acest modul se obține ca pantă

a graficului e-p care se poate obține din Fig. 3.1a aplicând ecuația (3.4) și

cunoscând valoarea indicelui inițial al porilor e0. În modelul consolidării

unidimensionale descris în capitolul 3.2 va fi folosit și modulul echivalent mv,

numit modul de compresibilitate volumetrică și definit ca:

0

vv

e1

a

M

1m

(3.6)

log

i f

i

f

i

f

fi

if

ifM

if

ifM

a. reprezentarea zecimală a variației σ-ε

în stare de repaos

b. reprezentarea semilogaritmică a

variației σ-ε în stare de repaos Fig. 3.1: Reprezentarea modulului edometric în scară zecimală și semi-logaritmică



f

ea v

e0

e0

ef

Fig. 3.2: Reprezentarea modului de compresibilitate folosind variația σ – e în scară

zecimală

Logaritmând axa eforturilor din curba σ – e reprezentată în Fig. 3.2, se obține,

similar situației curbei de compresiune – tasare din Fig. 3.1 a, o aplatizare a

acesteia. Această reprezentare a fost propusă de Cassagrande în 1936 pentru

obținerea efortului geologic maxim la care proba a fost supusă în trecutul

geologic. În teoria stării critice în locul indicelui porilor este preferat volumul

specific definit ca:

e1v (3.7)

În acest model, axa eforturilor este fie logaritmată natural, fie este

reprezentată zecimal și înlocuită cu efortul sferic efectiv p’.

Mulțumită liniarizării, anumite modele constitutive preferă folosirea unor

module secante derivate din expresia logaritmică. Astfel, se disting pentru

curba de compresiune – porozitate sau compresibilitate, următorii coeficienți,

având toți aceeași expresie, dar determinați pe segmente diferite de curbă:



fi

if

r

e

c

ee

p logp log

e)reincarcar de curba(din

ereincarcar de coeficient C

)descarcare de curba(din

extensie de coeficient C

normala) econsolidar de curba(din

ecompresiun de coeficient C

(3.8)

Același tip de module se obțin din curba compresiune – volum specific:

fi

if

vv

p lnp ln

e)reincarcar de curba(din

secundara ecompresiun de coeficient

normala) econsolidar de curba(din

primara ecompresiun de coeficient

(3.9)

log

e

Cr

Cc

Ce

curba de consolidare normala

curba de reincarcare

curba de

descarcare

(extensie)

e0

a. Curba de compresiune - porozitate

ln p

v


curba de reincarcare

N

b. Curba compresiune - volum specific

Fig. 3.3: Variația volumului specific și indicelui porilor unei probe de pământ cu sarcina

aplicată

Notând prin N volumul specific inițial și prin e0 indicele porilor inițial, putem

exprima ecuația curbei de de consolidare normală echivalată liniar ca fiind:



vC0 lg Cee

p ln Nv

(3.10)

În practica inginerească orice probă de pământ necimentat prelevată din teren,

când este supusă unei încărcări edometrice va avea prima parte a curbei de

compresibilitate pe o ramură de reîncărcare cel puțin până la starea de efort

geologic de la cota de la care a fost prelevată. Istoricul încărcării nu poate fi

cunoscut, dar studiind punctul de frângere al curbei de compresiune-

porozitate se poate afla presiunea de preconsolidare σc corespunzătoare

efortului maxim la care proba a fost supusă în trecutul geologic (Fig. 3.4).

Având în vedere faptul că efortul geologic σg la care proba este supusă în

prezent, poate fi determinat raportul de supraconsolidare, notat RSC, care

reprezintă raportul dintre efortul de preconsolidare și cel geologic:

g

cRSC

(3.11)

În literatură, raportul de supra-consolidare RSC este întâlnit și sub acronimul

OCR al numelui său în limba engleză „over-consolidation ratio”. Pământurile

pentru care RSC = 1, poartă numele de pământuri normal consolidate (NC),

se găsesc pe curba de consolidare normală, semnificând faptul că niciodată în

trecutul geologic pământul starea de eforturi aplicată nu a depășit efortul

geologic din prezent. Acest lucru poate fi caracteristic atât probelor din

profunzimea unui strat, de obicei de dată recentă, care nu a fost supus unor

încărcări suplimentare care să fi dispărut sau unor fenomene de eroziune, dar

este supus unor încărcări litologice care să îi garanteze rezistența, dar și

pământurile proaspăt sedimentate, în stare moale sau curgătoare.

Pentru grade de supraconsolidare mici (în general mai mici decât 5), structura

pământului nu este afectată de descărcarea până la nivelul efortului geologic,

însă pentru valori foarte mari (de exemplu, mai mari de 15), argilele

supraconsolidate micro-fisurează formând așa-numitele „glomerule”.

Structurile de argilă glomerulară au comportarea mecanică de materiale

grosiere cu particule degradabile, iar anumite proprietăți caracteristice

argilelor (de exemplu permeabilitatea scăzută) sunt alterate de formarea

spațiilor dintre agregate. Micro-fisurarea argilelor puternic supraconsolidate



este cauzată de atingerea rezistenței la întindere a materialului prin

decomprimarea stratului în timpul fenomenului ce a condus la decomprimare.

log

e

e0cicluri de incarcare-descarcare cauzate de fenomene

naturale: sedimentare, eroziune, formare si topire de

ghetari, cutarea structurilor geologice etc.

ramura de reincarcare a probei in laborator

ramura de incarcare primara

a probei in laborator

descarcarea probei in urma prelevarii


c – efort de

preconsolidare

tangente la ramurile curbelor de

reincarcare si incarcare primara

starea de eforturi actuala din teren

g – efort

litologic

g

cRSC

Fig. 3.4: Efortul de preconsolidare – originea și metoda de determinare

3.2 Teoria consolidării liniare unidimensionale

Ipotezele teoriei consolidării liniare unidimensionale sunt:

1. Pământul este saturat și omogen.

2. Principiul eforturilor efective este valabil.

3. Legea lui Darcy este valabilă.

4. Apa din pori și particulele solide sunt incompresibile.

5. Curgerea lichidului și toate deplasările particulelor solide se

realizează unidimensional.

6. Coeficientul de permeabilitate k și modulul de compresibilitate

volumică mv sunt constante.

Având în vedere faptul că s-a presupus că mv este constant, teoria este valabilă

pentru un increment relativ mic de efort.



Să considerăm un strat de pământ de grosime 2H aflat între două straturi

infinit permeabile (Fig. 3.5). În urma creșterii presiuni apei din pori,

considerând că în straturile infinit permeabile presiunea apei în pori este nulă,

se va crea un flux de apă dinspre pământ spre straturile permeabile. Cum

gradientul hidrostatic este același pentru stratul permeabil superior ca și

pentru cel inferior, drenarea apei se va face în fiecare jumătate de strat de

pământ către stratul permeabil cel mai apropiat. Mai mult decât atât problema

curgerii între cele două straturi permeabile este simetrică față de jumătatea

distanței dintre ele (axă de simetrie).

Vom considera un element de grosime dz, la o distanță z de axa de simetrie.

Efortul total cu care este încărcat stratul de pământ este notat cu . Acest efort

este considerat constant. Sub efectul efortului efectiv d’ rezultat, stratul

unitar se va deforma cu dl. Presiunea apei în pori va fi la partea superioară a

stratului unitar egală cu u, iar la partea lui inferioară egală cu u + du.

z

z + dz

2H

q

q + dq

u '

A

u

u + dudl

Fig. 3.5: Condițiile de efort și drenare într-un element infinitesimal supus consolidării

unidimensionale



Astfel, modulul de compresibilitate volumică îl putem defini ca:

'd

dm v

v

(3.12)

Dar,

dz

dld v (3.13)

Deci:

dz 'd mdl v (3.14)

Cum particulele solide și apa s-a presupus că sunt incompresibile, putem

exprima ecuația de continuitate ca:

dt dqdl A (3.15)

Din ecuațiile (3.14) și (3.15) rezultă:

dt

'd m A

dz

dqv

(3.16)

Ținând cont că atât q cât și sunt funcții atât de z cât și de t, ecuația (3.16)

devine:

t

' m A

z

qv

(3.17)

Gradientul hidraulic sub care se face curgerea prin element este

z

u

i w

(3.18)



Debitul prin elementul de pământ, exprimat cu ajutorul legii lui Darcy,

devine:

z

uAki k Aq

w

(3.19)

Sau:

2

2

w z

uAk

z

q

(3.20)

Din ecuațiile (3.17) și (3.20) obținem:

dt

'

z

u

m

k

2

2

wv

(3.21)

Exprimând legea eforturilor efective în formă diferențială față de timp

obținem:

t

u

dtdt

'

(3.22)

În ipoteză am considerat că efortul total nu variază în timp, deci 0t

.

Notând wv

v m

kc

, unde cv poartă numele de coeficient de consolidare,

obținem ecuația diferențială a consolidării unidimensionale:

dt

u

z

uc

2

2

v

(3.23)



Condițiile la limită pentru consolidarea unidimensională sunt:

0t Hz0 'u

t0 0z 0u

t0 Hz 0

z

u

t Hz0 0u

La un moment oarecare t se pot defini factorul timp, Tv și gradul de

consolidare Ut după cum urmează:

2

vv

H

tcT

(3.24)

s

sU t

t (3.25)

unde st este tasarea la momentul t pe înălțimea H a stratului de pământ în

proces de consolidare, iar s este tasarea finală a pământului pe înălțimea H.

Valorile limită ale gradului de consolidare sunt:

0t 0U0

t 1U

Gradul consolidare locală la adâncimea z se exprimă ca:

)0,z(u

)t,z(u1)z(U t (3.26)

Soluția ecuației (3.23), rezolvată prin dezvoltare în serii Fourier este:

0m

TM v2

eH

Mzsin

M

2)t,z(u (3.27)

unde: )1m2(2

M



Obținem expresia gradului de consolidare:

0m

TMt

v2

eH

Mzsin

M

21)z(U (3.28)

și:

0m

TM

2tv

2

eM

21U (3.29)

Pentru valori Ut < 0.6, gradul de consolidare poate fi aproximat prin:

v

tT

2U (3.30)

3.3 Calculul coeficientului de consolidare cu ajutorul încercării

edometrice

În urma încercării de consolidare edometrică pentru o anumită treaptă de efort

se va cunoaște evoluția tasării în timp și valoarea finală a tasării. Astfel se

poate trasa cu ușurință curba Ut – t. Având în vedere că se poate exprima prin

diverse metode curba Ut – Tv, rezultă că din faptul că cele două curbe sunt

omoloage, putem deduce o relație t – Tv și obține valoarea lui cv.

O metodă se bazează pe ideea că se poate obține o precizie mai bună pentru

stabilirea punctului de pe curba Ut – lg t pentru care Ut este 0.5 decât pentru

Ut = 1.

Astfel, se trasează curba Ut – lg t. Se construiește o paralelă la asimptota Ut =

1 prin Ut = 0.5. Din punctul în care paralela intersectează curba se coboară o

perpendiculară pe axa t și se găsește t50 (Fig. 3.6). Din ecuația (3.29), aflăm

că pentru Ut = 0.5, Tv = 0.196. Deci:50

2

vt

H 196.0c , unde H este jumătate

din înălțimea probei din inelul edometrului.



0.5

1.0

Ut

lg tt50

Fig. 3.6: Determinarea valorii t50




4. Rezistență la forfecare. Drumuri de efort 55

4 REZISTENȚĂ LA FORFECARE. DRUMURI DE EFORT

4.1 Criteriul Mohr-Coulomb

4.1.1 Prezentare generală

În capitolul 2 au fost prezentate pe larg diferite tipuri de reprezentări ale

stărilor de eforturi care pot să apară într-un punct într-un material granular ca

urmare a încărcărilor aplicate.

Coulomb a arătat că pământul cedează prin forfecare după un plan oarecare

în momentul în care, ca urmare a încărcărilor aplicate efortul tangențial se

găsește într-o relație liniară cu efortul normal care este unică pentru fiecare

tip de pământ. Se disting astfel următoarele tipuri de relații:

- pământ necoeziv - Fig. 4.1 a., caracteristică pământurilor grosiere

(nisip și pietriș);

- pământ coeziv - Fig. 4.1 b., specifică pământurilor cu particule fine a

căror complex de adsorbție induce forțe electrostatice semnificative

sau pământuri care prezintă legături de cimentare;

- pământ pur coeziv - Fig. 4.1 c., se folosește numai pentru pământurile

coezive cu plasticitate mare (argile), solicitate în condiții nedrenate, a

căror unghi de frecare este redus și poate fi neglijat. Acest model se

utilizează și în situația în care în sunt disponibile încercări mecanice

pentru un amplasament caracterizat preponderent de argile și pentru

care se realizează încercări simplificate in-situ care, prin corelații

empirice, furnizează valoarea cu cunoscută sub numele de „coeziune

nedrenată”.



= tan f +c

fc

= tan f

f

= cu

cu

a. pământ necoeziv b. pământ coeziv c. pământ pur coeziv

(model)

Fig. 4.1: Tipurile de rezistență la forfecare

Având în vedere faptul că dreapta Coulomb este exprimată în general sub

forma canonică a ecuației dreptei, putem descrie numeric ca o funcție τ(σ),

având ca parametrii panta tan ϕ și tăietura c. Având în vedere faptul că funcția

descrie rezistența la forfecare, parametrii ϕ și c sunt cunoscuți sub numele de

„parametrii rezistenței la forfecare”, iar ecuația generală este:

c tan f (4.1)

Contribuția fundamentală a lui Mohr la descrierea rezistenței la forfecare a

fost acela că a efectuat un studiu parametric al mai multor stări de eforturi

care au dus la cedarea prin forfecare a unui pământ. Cu această ocazie, a

observat faptul că respectivele stări de eforturi au o înfășurătoare comună,

cunoscută sub numele de „înfășurătoarea Mohr”. Această curbă, în domeniul

eforturilor normal utilizate în practica inginerească, poate fi aproximată prin

dreapta lui Coulomb. Fiind aproximată ca tangentă comună a cercurilor

stărilor de eforturi caracterizând cedarea, este cunoscută și sub numele de

„dreaptă intrinsecă”. Forma liniară a relației este o aproximare inadecvată în

cazul zonei eforturilor foarte mici pentru pământuri normal consolidate și a

celor foarte mari pentru pământuri puternic supraconsolidate.

Pentru determinarea parametrilor rezistenței la forfecare folosind stări de

eforturi este necesară cunoașterea a cel puțin trei stări diferite (întotdeauna se

poate construi o tangentă comună la două cercuri, dar nu și la trei), dar din

considerentul curburii criteriului de cedare real, dacă cercurile nu sunt perfect

cotangente dreptei, pentru determinarea parametrilor se aleg stările extreme,

iar cercul corespunzător stării de eforturi intermediare trebuie să depășească

puțin dreapta. Dacă în realitate criteriul ar fi liniar, această depășire ar fi fost



imposibilă din moment ce dincolo de cedare proba nu s-ar mai fi putut opune

efortului deviator aplicat.

infasuratoarea Mohr

dreapta intrinseca

stari de efort in care se

atinge cedarea

Fig. 4.2: Aproximarea înfășurătorii Mohr prin dreapta intrinsecă

Construirea criteriului de cedare în coordonate σ – τ prezintă atât dezavantajul

dificultății determinării dreptei Mohr-Coulomb ca tangentă comună la un set

de cercuri cât și a imposibilității urmăririi evoluției stărilor de eforturi care

conduce la cedare.

Din acest motiv se preferă obținerea parametrilor rezistenței la forfecare din

reprezentarea în coordonate de efort simplificate s – t sau p – q. Fiind mai

intuitiv din punctul de vedere al încercării în aparatul de compresiune

triaxială, în cele ce urmează vom exemplifica prin câteva situații curente

avantajele utilizării acestui sistem.

4.1.2 Efectul supraconsolidării asupra parametrilor rezistenței la

forfecare

Dacă se reprezintă pentru încercarea de forfecare directă variația efortului

deviator τ cu deplasarea de forfecare (Fig. 4.3), sau în cazul încercării de

compresiune triaxială, variația efortului deviator q cu deformația axială εa, se

poate remarca faptul că pământurile necoezive afânate sau cele coezive

normal consolidate vor prezenta o alură a curbei q-a ca cea din Fig. 4.5a. în

timp ce pentru nisipurile îndesate sau pământurile coezive supraconsolidate

curba va arăta ca cea din Fig. 4.5b.



Acest lucru este cauzat în primul caz de încleștarea dintre particule. Granulele

ce alcătuiesc scheletul solid al pământului (până aproximativ în domeniul

granulometric al nisipurilor grosiere) sunt foarte rigide și rezistente la

solicitarea de forfecare astfel încât pentru formarea suprafeței de cedare este

necesară învingerea forțelor de interacțiune dintre particule însoțită de

deplasarea acestora în afara planului de forfecare. La nivel macroscopic,

aceste fenomene se traduc printr-un supliment de eforturi necesar producerii

forfecării (zona de „vârf” a curbei de mobilizare q – εa) și de o creștere a

volumului din considerente mecanice numită „dilatanță”. Nu trebuie

confundat termenul de dilatanță cu cel de dilatare, care este de sorginte

termică sau cu cel de umflare, care se utilizează în cazul în care pământul își

mărește volumul în urma adsorbției de apă.

După depășirea valorii de vârf a rezistenței la forfecare, caracterizată pentru

o anumită stare de eforturi de efortul deviatoric qvârf sau qf, granulele solide

se reorientează în zona planului de cedare, fenomen însoțit de o mai mică

mărire de volum, iar efortul deviatoric cu care proba se opune acțiunii

mecanice scade până la o valoare qrez, numită valoare reziduală și datorată fie

frecării suprafață plană pe suprafață plană a particulelor grosiere din jurul

suprafeței de forfecare, fie interacțiunii electorstatice dintre complexele de

adsorbție ale particulelor de argilă.

Valoarea de vârf a deviatorului va fi cu atât mai mare cu cât încleștarea este

mai accentuată, mai ales pentru pământurile grosiere și cu cât există legături

suplimentare de cimentare între granulele solide.

În cazul pământurilor coezive normal consolidate sau a nisipurilor afânate

(Fig. 4.5b.) configurația internă a granulelor solide corespunde dispunerii

inițiale sub formă de bolți ce se dezvoltă în timpul sedimentării. Pe măsură ce

eforturile cresc, bolțile mai slabe colapsează, iar structura internă devine mai

densă. În zona suprafeței de cedare, bolțile de sedimentare sunt încărcate pe

direcție perpendiculară direcției de formare astfel încât se produce o

compresie a granulelor care se vor orienta să preia mai bine solicitarea de

forfecare. La nivel macroscopic, această diminuare a volumului probei poartă

numele de contractanță, noțiune diferită de cea de contractare sau contracție.

Pentru cuantificarea valorii dilatanței sau contractanței, se definește unghiul

în graficul de variație a deformației volumice cu cea axială:



a

v

d

dtan

(4.2)

/2v/2

v/2/2

Fig. 4.3: Eforturile, deformațiile și deplasările necesare pentru caracterizarea

mobilizării și fenomenelor de dilatanță / contractanță pentru încercarea de forfecare

directă

a/2

a/2

v = a + 2r

3 3

3

3

q = 1 - 3

q = 1 - 3 Fig. 4.4: Eforturile și deformațiile deplasările necesare pentru caracterizarea

mobilizării și fenomenelor de dilatanță / contractanță pentru încercarea de forfecare

triaxială



qrez

qf = qrez

q

a. Nisipuri îndesate şi pământuri coezive supraconsolidate

b. Nisipuri afânate şi pământuri coezive normal consolidate

qf

plan de

forfecare

plan de

forfecare

contractanță

contractanță

dilatanță

dilatanță

v

v

v/2

v/2

v/2

v/2

– unghi de dilatanta

– unghi de contractanta

a

a

a

a

q

Fig. 4.5: Variația efortului tangențial cu deformația axială



Având în vedere faptul că după producerea cedării, particulele solide se vor

orienta în planul de forfecare astfel încât să prezinte înspre aceasta același tip

de suprafață, indiferent dacă starea inițială a fost îndesată (supraconsolidată)

sau afânată (normal consolidată), valoarea reziduală a deviatorului va fi

același.

qrez

q

a

qf p = constant

Fig. 4.6: Convergența curbelor de mobilizare pentru un pământ supraconsolidat și

normal consolidat spre aceeași valoare a deviatorului la mobilizări mari în ipoteza

efortului sferic constant

Dacă se ține seama că întotdeauna comportarea reziduală este caracterizară

de o coeziune aproape de zero și o valoare foarte mică a unghiului de frecare

internă (spre exemplificare o argilă moale sau curgătoare, normal consolidată,

nu își poate menține forma sub formă de taluz vertical) putem enunța faptul

că sursa coeziunii pământurilor este dată fie de supraconsolidare, fie de efecte

de cimentare (Fig. 4.7). Acest lucru este valabil mai ales pentru eforturi de

preconsolidare semnificativ mai mari decât efortul de consolidare de la care

se pornește drumul de efort de forfecare pentru determinarea parametrilor

rezistenței la forfecare. În caz contrar, se poate obține situația din Fig. 4.8, în

care istoricul încărcărilor influențează calitatea rezultatelor eforturilor

deviatorice de vârf, probele aflate la diferite grade de supraconsolidare

comportându-se practic ca materiale diferite.



q

p

qrez

qf

d

brez

bq = p tan b + d

q = p tan brez

Fig. 4.7: Criteriul de cedare de vârf vs. criteriul de cedare rezidual

qIrez

q

a

qIf

qIIrez

qIIf

qIIIf = q

IIIrez

p << pc

p < pc

p > pc

Fig. 4.8: Valori de vârf și reziduale obținute pentru diferite grade de supraconsolidare

O consecință importantă a existenței parametrilor de vârf și reziduali o

reprezintă faptul că în cazul unor fenomene (de exemplu alunecări de teren)

unde valoarea de vârf a rezistenței la forfecare a fost depășită iar particulele

solide s-au orientat în zona de interfață a planului de forfecare, această zonă

va rămâne predispusă forfecării, parametrii de rezistență neputând să revină

la valorile de vârf, recuperarea față de rezidual făcându-se într-o măsură

redusă. Același fenomen apare la argilele supraconsolidate microfisurate

(glomerulare) unde există în întreaga masă de material plane preferențiale de



cedare. Acest lucru arată că influența pozitivă a gradului de supraconsolidare

asupra rezistenței la forfecare se manifestă până la un anumit prag în care

materialul atinge rezistența la întindere din descărcare.

4.1.3 Drumuri de efort de forfecare în coordonate totale s - t

Exemplul 1 – încercare de compresiune triaxială pe drum de efort izotrop de

consolidare urmat de forfecare prin creșterea efortului deviatoric

În faza de consolidare, proba este încărcată izotrop prin mărirea presiunii în

celulă, fără a se acționa pe pistonul axial. Prezentarea acestui exemplu a fost

începută în capitolul 2.6.

După cum s-a arătat, în faza de consolidare eforturile unitare normale la care

este supusă proba sunt egale pe toate direcțiile, deci:

02

t

2s

31

331

(4.3)

În etapa următoare, presiunea din celulă va fi menținută constantă (adică σ3 =

constant), iar pe piston se apasă cu un efort deviator egal cu diferența dintre

valoarea dorită a lui σ1 și valoarea existentă a lui σ3 (ecuația (4.4), în care sunt

marcate cu săgeți tendințele crescătoare ale lui s și t). Evoluția stării de

eforturi sub forma cercurilor lui Mohr este prezentată în Fig. 4.9.

2

t

2

s

econsolidar

31

econsolidar

31

(4.4)

Se remarcă faptul că, datorită menținerii fixe a valorii lui σ3, atât s cât și t

cresc la fiecare increment cu aceeași valoare, mai exact 2

1 (Fig. 4.10). Starea

de efort va progresa pe un drum cu o declivitate ascendentă de 1:1 (45°). În

mod similar, în coordonate p – q același drum de efort ar avea înclinarea de



1:3 (Fig. 4.11). Criteriul de cedare în coordonate s – t se numește „dreapta

kf”, în timp ce în coordonate p – q se numește „dreapta de stare critică”.

Această ultimă reprezentare, după cum se va detalia în capitolul 6, a fost

inițial formulată pentru argile moi de către Roscoe, după care a fost dezvoltată

pentru pământuri supraconsolidate de către Hvorslev. Deși acesta a

normalizat criteriul de cedare cu efortul de preconsolidare, forma nealterată

este numită în continuare dreaptă de stare critică.

Parametrii rezistenței la forfecare în coordonate σ – τ, ϕ și c sunt neechivoc

asociați dreptei intrinseci. Parametrii b și d sunt însă folosiți la modul general

ca unghi de frecare internă și coeziune atât pentru modelele prezentate aici,

asociate criteriului Mohr-Coulomb, dar în alte sisteme de coordonate de efort,

cât și altor legi de cedare, cum ar fi cazul modelului Drucker-Prager.

Deși în practica inginerească curentă parametrii rezistenței la forfecare sunt

considerați ca fiind constante de material, totuși procedeul de încercare și

condițiile de realizare ale acestuia, influențează în mod semnificativ valorile

ce vor fi obținute. Un alt aspect, care nu face obiectul prezentei lucrări îl

constituie și influența gradului de saturare a probelor, în ipoteza materialului

parțial saturat apărând importante presiuni negative (de sucțiune) în planul

suprafeței de cedare.

1 forfecare

f

c

3 consolidare = 1 consolidare

dreapta intrinseca: = tan f + c

fo

rfec

are

forfecare Fig. 4.9: Dreapta intrinsecă pentru o probă consolidată izotrop și forfecată prin

încărcare axială



s

d

t

b

t forf

ecar

e

dreapta k f: t = s t

an b + d

sforfecaresconsolidare

1

1

Fig. 4.10: Dreapta kf pentru o probă consolidată izotrop și forfecată prin încărcare

axială

p

d

q

b

qfo

rfec

are

dreapta de stare critic

a: q = p tan b + d

pforfecarepconsolidare

1

3

Fig. 4.11: Dreapta de stare critică pentru o probă consolidată izotrop și forfecată prin

încărcare axială



Parametrii b și d ai rezistenței la forfecare în coordonate s - t sunt derivați din

cei ai dreptei intrinseci pornind de la studierea în coordonate de efort σ – τ a

unei stări de eforturi care a condus la cedare.

OA

B

O'

C

3

1

fc

2R 31

2

31

Fig. 4.12: Stare de eforturi tangentă la dreapta intrinsecă

Din Fig. 4.12, se observă că ABO ~ AO’C, deci:

C'O

BO

'AO

AB (4.5)

adică:

2

c

2 tg

c

sin

c

3131

f

f (4.6)

De unde:

ff coscsin st (4.7)

Dar:



d gt st b (4.8)

Din egalitatea relațiilor (4.8) și (4.9) rezultă că:

f

fb

coscd

sin tg (4.9)

Exemplul 2 – evoluția împingerii active a pământului pornind din stare de

repaos

În prima etapă a acestui istoric de încărcare trebuie analizată evoluția stării de

eforturi din pământ începând cu momentul sedimentării. Practic, acesta poate

fi considerat ca moment inițial, eforturile pe toate direcțiile fiind practic nule.

Odată cu sedimentarea altor particule solide peste punctul de referință, începe

încărcarea acestuia urmând condițiile stării de repaos descrisă în capitolul 2.5.

Raportul dintre efortul axial σ1 și cel radial σ3 este cel descris de relația (2.38),

unde coeficientul de distribuție k0 este definit de (2.39).

Panta drumului de efort de consolidare în coordonate s-t va fi:

0k

0k0k

s

ttan (4.10)

unde tk0 și sk0 sunt descrise în Fig. 4.14. Înlocuind în (4.10) relația (2.38),

obținem:

0

0

k0 cons

10

k0 cons

1

k0 cons

10

k0 cons

1

k0 cons

3

k0 cons

1

k0 cons

3

k0 cons

10k

k1

k1

k

k2

2tan

(4.11)

După încheierea drumului de efort de consolidare anizotropă k0 se continuă

prin forfecarea probei în condițiile Rankine de împingere activă, care în acest

caz se traduc prin păstrarea efortului axial la nivelul de la sfârșitul consolidării k0 cons

1 și scăderea efortului axial σ3 din cauza deplasării echivalente a

structurii de sprijin până la cedare. În aceste condiții, efortul sferic s descrește



cu aceeași valoare (2

3) cu care crește cel deviatoric t, rezultând un drum de

efort de descărcare înclinat la 45°.

2

t

2

s

3

k0 cons

1

3

k0 cons

1

(4.12)

1cons k0

c


forf

ecar

e

forfecare

f

3cons k03

forfecare

Fig. 4.13: Dreapta intrinsecă pentru o probă consolidată anizotrop k0 și forfecată pe

drumul de efort de descărcare specific împingerii active



s

d

t

b

tforfecare


an b + d

sforfecare sk0

1

1

tk0

k0

Fig. 4.14: Dreapta kf pentru o probă consolidată anizotrop k0 și forfecată pe drumul de

efort de descărcare specific împingerii active

O observație importantă ar fi că în acest caz, pentru pământuri coezive și stări

de efort reduse, cedarea poate să nu fie atinsă datorită limitei zonei de

compresiune (Fig. 4.15), când împingerea activă nu produce efecte, taluzul

fiind stabil când are suprafața verticală (condiția Taylor

c4

hh cr ).

O altă observație ar fi aceea că valorile finale ale parametrilor rezistenței la

forfecare nu depind de modul în care proba a fost forfecată dacă sunt

respectate condițiile de drenare (de exemplu, o forfecare realizată în condiții

drenate va atinge același criteriu de cedare ca și o forfecare efectuată nedrenat

pentru care se calculează eforturile efective scăzând valoarea presiunii apei

din pori din eforturile totale – Fig. 6.3), dar depind de gradul de

supraconsolidare de la care se pleacă pentru efectuarea forfecării. Acest lucru

este ilustrat cel mai bine de teoria lui Hvorslev (Fig. 6.6). Se poate trage

concluzia că în anumite situații se obțin parametri ai rezistenței la forfecare

mai apropiați de comportarea reală a materialului dacă se realizează încercări

pornind de la același efort de consolidare și efectuând forfecările pe drumuri

de efort diferite pentru a se obține puncte distincte pe dreapta kf.



s

d

t

b


an b + d

k0

dreapta -kf: t = -s tan b - d

d

b

lim

ita

de

com

pre

siu

ne

stari de eforturi limitate de axa s = 0

Fig. 4.15: Drumuri de efort care nu duc la cedare datorită limitei de compresiune

În mod evident, drumul de efort de forfecare prezentat în cadrul exemplului

1 poate fi obținut pornind de la consolidare anizotropă k0 (Fig. 4.16). Utilizare

unui drum de efort de încărcare la 45° (exemplul 1), unul vertical (exemplul

4) și unul de descărcare la 45° (exemplul 2) sunt cea mai frecvent utilizată

combinații de drumuri de efort de forfecare când sunt obținuți parametrii

rezistenței la forfecare pornind de la aceeași valoare de consolidare și drumuri

de efort diferite (Fig. 4.17).



s

d

t

b

dreapta kf: t = s ta

n b + d

k0

sIIIcsII

csIc sI

f sIIf sIII

f

tIc

tIIc

tIIIc

tIf

tIIf

tIIIf

Fig. 4.16: Obținerea parametrilor rezistenței la forfecare folosind trei valori ale

efortului de consolidare și un tip de drum de efort

s

d

t

b


n b + d

sk0 = sIIf

tk0

k0

sIf sIII

f

tIf

tIIf

tIIIf

Fig. 4.17: Obținerea parametrilor rezistenței la forfecare folosind o singură valoare a

efortului de consolidare și trei tipuri de drum de efort

Exemplul 3 – evoluția stării de eforturi în cazul mobilizării rezistenței pasive

pornind din stare de repaos

Acest caz este similar exemplului anterior în ceea ce privește faza de

consolidare, atingându-se o stare de eforturi de consolidare corespunzând

stării de repaos.



În ceea ce privește faza de forfecare, deplasarea echivalenta a structurii de

sprijin in ipotezele Rankine induce o creștere a efortului pe direcție radială

(direcția principală 3) și menține eforturile unitare pe direcție axială (σ1 =

constant). Creșterea efortului σ3 duce la scăderea deviatorului t și la creșterea

sfericului s, astfel încât cedarea se produce prin atingerea dreptei -kf, efortul

deviatoric trecând în prealabil prin zero.

2

t

2

s

3

k0 cons

1

3

k0 cons

1

(4.13)

c


fo

rfec

are

f

3

forf

ecar

e

1

con

s k0

fo

rfec

are

3

con

s k0


drumul de efort de descărcare specific rezistenței pasive



sd

tb


an b + d

sforfecare

sk0

tk0k0

1

tforfecare

1dreapta -kf: t = -s tan b - d

b

Fig. 4.19: Dreapta kf pentru o probă consolidată anizotrop k0 și forfecată pe drumul de

efort de descărcare specific rezistenței pasive

Exemplul 4 – drum de efort vertical

Acest tip de drum de efort nu simulează neapărat o situație reală din teren,

apropiindu-se de situația unei excavații în care pământul săpat este depozitat

pe marginea gropii, astfel încât creșterea efortului axial să fie egală cu

scăderea efortului radial. În această situație efortul sferic s se menține

constant în timp ce efortul deviatoric crește.

2

t

constant 2

s

k0 cons

3

k0 cons

1

k0 cons

3

k0 cons

1

(4.14)



1

forf

ecar

e

c


fo

rfec

are

fo

rfec

are

f

3

con

s k

0

3

forf

ecar

e

1

con

s k

0


drum de efort vertical

s

d

t

b

tforfecare


an b + d

sk0 = sforfecare

tk0

k0

Fig. 4.21: Dreapta kf pentru o probă consolidată anizotrop k0 și forfecată pe drum de

efort vertical



4.1.4 Drumuri de efort în coordonate totale versus efective

După cum s-a afirmat anterior în acest capitol, modul de obținere al

parametrilor rezistenței la forfecare se poate reflecta în valorile acestora. De

exemplu (Fig. 4.22), în cazul unei încercări de compresiune triaxială de tip

CU, dacă există posibilitatea înregistrării variației presiunii apei din pori, vor

putea fi calculate atât valorile parametrilor rezistenței la forfecare

corespunzând eforturilor totale cât și celor efective. Pentru acest tip de

încercarea din valorile totale măsurate (drumul de efort total – linie roșie

continuă) a fost scăzută valoarea corespunzătoare a presiunii apei din pori și

a fost obținut drumul de eforturi exprimat în eforturi efective (reprezentat cu

linie roșie întreruptă).

s

d

t b


n b + d

sIIIcsI

c sIf sII

f sIIIf

tIf

tIIf

tIIIf

b’

d’

sIIc s’I

f s’IIf s’III

f

dreapta k’ f: t = s’

tan b’ + d’

uIf

uIIf

uIIIf

s = s’ + u

t = t’

Fig. 4.22: Reprezentarea în eforturi totale și efective a unei încercări triaxiale de tip CU

Se poate observa faptul ca parametrii rezistenței la forfecare în ipoteza

eforturilor totale conduc la niște valori mai mici pentru b (implicit f) d decât

în ipoteza eforturilor efective.

4.1.5 Criteriul Mohr-Coulomb exprimat în coordonate de efort

principale. Criteriul Tresca

În cadrul paragrafului 2.6 a fost arătat modul de reprezentare a unei stări de

eforturi în coordonate σ1 – σ2 – σ3. Pentru a exprima zona de existență a unei



stări de eforturi limitată de criteriul Mohr-Coulomb, vom studia locul

geometric descris de acesta la intersecția cu planul în care σ2 = 0.

Enunțând ecuațiile dreptelor kf și –kf (Fig. 4.15) obținem:

f

f

k- dreaptadtanst

k dreaptadtanst

b

b (4.15)

sau, aplicând relațiile (4.9):

ff

ff

coscsinst

coscsinst (4.16)

Ținând cont de (2.42), obținem:

ff

ff

coscsin22

coscsin22

3131

3131

(4.17)

Exprimând considerând σ1 în funcție de σ3, expresia criteriului de cedare

Mohr-Coulomb în planul σ2 = 0 devine:

f

f

f

f

f

f

f

f

sin1

cosc2

sin1

sin1

sin1

cosc2

sin1

sin1

31

31

(4.18)



1

Rc =2c cos f

1 – sinf

Rt =2c cos f

1 + sinf

Rc =2c cos f

1 – sinf

Rt =2c cos f

1 + sinf 3

A

B

CD

E

F

Fig. 4.23: Expresia criteriului Mohr-Coulomb în planul σ2 = 0

Ecuațiile (4.18) exprimă ecuațiile de cedare prin forfecare din cadranele II și

IV, prezentate în Fig. 4.23, mai exact ecuațiile dreptelor BC și EF. Dacă se

ține cont de faptul că σ2 = 0, pentru a se dezvolta un efort deviatoric în vederea

producerii cedării prin forfecare, σ1 și σ3 trebuie să aibă semne opuse. În cazul

în care și unul dintre cele două eforturi principale din plan este nul, cedarea

se produce prin compresiune (cadranul I) sau întindere (cadranul III) sub

efortul rămas diferit de zero, ceea ce înseamnă că valorile respectivelor

rezistențe sunt:



intindere la rezistentasin1

cosc2R

ecompresiun la rezistentasin1

cosc2R

t

c

f

f

f

f

(4.19)

Reprezentând tridimensional criteriul Mohr-Coulomb (Fig. 4.24) se obține o

piramidă având baza un hexagon, iar vârful V, pe trisectoare, în zona de

întindere, la o distanță față de centrul O:

f

tan

3cOV (4.20)

3

dreapta trisectoare (1 =

1 = 3)2

A

B

C

D

E

F

1

O

V

oct

oct

Fig. 4.24: Criteriul Mohr-Coulomb reprezentat în spațiul σ1 – σ2 – σ3

În spațiul σ1 – σ2 – σ3, o stare de eforturi nu conduce la cedare dacă aceasta

se găsește în interiorul suprafeței.



O remarcă importantă ce decurge din (4.19) este că materialele pur coezive,

rezistența la întindere este egală cu cea la compresiune, ceea ce în cazul

pământurilor este destul de departe de adevăr astfel încât modelul materialului

pur coeziv trebuie folosit cu atenție. Criteriul Mohr-Coulomb pentru ϕ = 0 se

reprezintă printr-o suprafață prismatică cunoscută sub numele de criteriul

Tresca (Fig. 4.25). Acest model de cedare este fezabil pentru comportarea

efort-deformație de tip elastic-perfect plastic (Fig. 4.26), în care materialul

este liniar-elastic până la atingerea valorii limită de cedare, de unde devine

incapabil de a mai prelua încărcare și are deformație infinită pentru orice

increment infinitesimal dincolo de limita de rezistență.

3


1 = 3)

2

1

E

oct

oct

F

B

C

D

OA

Fig. 4.25: Criteriul Tresca



octintindere

octcompresiune

Fig. 4.26: Lege de deformație elastic-perfect plastic cu rezistențe egale la întindere și

compresiune

4.2 Criteriul Drucker-Prager

Dezavantajul major la criteriului Mohr-Coulomb îl reprezintă faptul că

suprafața de cedare este alcătuită dintr-o intersecție de plane, astfel încât în

zonele de „muchie” nu se poate determina cu exactitate direcția normală la

suprafața de cedare. Cea mai simplă rezolvare a acestei probleme este

utilizarea unei suprafețe conice în locul celei piramidale.

Suprafața conică propusă de Drucker și Prager în 1952 păstrează noțiunea de

rezistență la forfecare a criteriului Mohr-Coulomb, în sensul că reprezintă o

funcție a primului invariant nenul al tensorului deviatoric având ca variabilă

primul invariant al tensorului sferic. Pentru păstrarea consistenței unităților

de măsură, se utilizează 2J . Astfel, expresia modelului de cedare este:

dtanIJ 12 b (4.21)

Modelul Drucker-Prager, fiind ca ecuație radical diferit de Mohr-Coulomb,

nu are o corespondență biunivocă față de acesta (cum ar fi corespondența între

dreapta intrinsecă și cea kf care reprezintă, practic, aceeași ecuație în două

sisteme diferite de coordonate de efort), astfel încât valorile lui b și d



exprimate în (4.21) trebuie alese astfel încât să apropie suprafața conică într-

un mod cât mai convenabil de cea piramidală.

Valorile parametrilor se aleg astfel încât vârfurile celor două suprafețe de

cedare să coincidă, ceea ce înseamnă că relația (4.20) rămâne valabilă.

Suprafața conică se alege fie în sens acoperitor, circumscris suprafeței

piramidale (Fig. 4.28), ceea ce în planul σ2 = 0 (Fig. 4.27) se traduce printr-o

secțiune eliptică tangentă la hexagon în punctele B, D și F, fie secant

suprafeței piramidale (Fig. 4.29), care în planul σ2 = 0 (Fig. 4.27) este tangent

la suprafața Mohr-Coulomb în punctele A, C și E.

1

3

ff

b

cos csin st:CoulombMohr

dtanIJ:PragerDrucker 12

Rc =2c cos f

1 – sinf

Rt =2c cos f

1 + sinf

A

B

CD

E

F

Drucker-Prager interioara (ACE)

Druker-Prager exterioara (BDF)

Mohr-Coulomb

Fig. 4.27: Compatibilizarea criteriului Drucker-Prager cu criteriul Mohr-Coulomb în

planul σ2 = 0



3


1 = 3)2

A

B

C

D

E

F

1

a. Vedere izometrică

3

A

B

C

D

E

F

1

b. Intersecția cu cu planul σ2=0

Fig. 4.28: Conul Drucker-Prager tangent exterior piramidei Mohr-Coulomb



1

2

3


1 = 3)

A

B

C

D

E

F

a. Vedere izometrică

A

B

C

D

E

F

1

3

b. Intersecția cu cu planul σ2=0

Fig. 4.29: Conul Drucker-Prager secant interior piramidei Mohr-Coulomb



Parametrii conului Drucker-Prager se aleg din condițiile geometrice amintite

după cum urmează:

- pentru suprafața exterioară (puncte de tangență BDF):

)sin3(3

cosc6d

)sin3(3

sin2tan

f

f

f

fb

(4.22)

- pentru suprafața interioară (puncte de tangență ACE):

)sin3(3

cosc6d

)sin3(3

sin2tan

f

f

f

fb

(4.23)


5. Modele de comportare neliniară 85

5 MODELE DE COMPORTARE NELINIARĂ

Modelul hiperbolic (Duncan & Chang, 1970) este una dintre cele mai folosite

relații neliniare pentru descrierea comportării efort-deformație a pământurilor

normal consolidate prezentată în Fig. 4.5b. și reluată cu parametrii ce urmează

a fi determinați în Fig. 5.1, folosind drept curbă de regresie o hiperbolă cu

asimptotă orizontală (Fig. 5.2).

qf =

qult

a

q

a

0d

dqE

Fig. 5.1: Reprezentarea carteziană (scală zecimală) a curbei de mobilizare pentru un

pământ normal consolidat



a

ultq

1b

q

a

0E

1a

Fig. 5.2: Schimbarea de variabilă pentru construirea modelului hiperbolic pentru un

pământ normal consolidat

Modelul hiperbolic s-a dovedit a fi un instrument deosebit de util în

prelucrarea datelor obținute din încercările de compresiune triaxială,

determinarea pantei și tăieturii dreptei de regresie obținută prin schimbarea

de variabilă ducând la rezultate corecte într-un mod rapid care include și

compensarea datelor prin liniarizare. Ecuația hiperbolei este:

ult

a

0

ault

qE

1q

(5.1)

Dacă se notează:

ult

0

q

1b

E

1a

(5.2)

se schimbă funcția din q în q

a, hiperbola devine o dreaptă cu ecuația:



qba

q

aa

(5.3)

Pentru modelarea pământurilor supraconsolidate (Fig. 5.3), a fost introdus un

parametru, denumit raport de cedare, Rf, care definește diferența dintre curba

de mobilizare trunchiată imediat după obținerea valorii de vârf qf și valoarea

spre care hiperbola tinde asimptotic, qult. Valoarea lui Rf este în general între

0.75 și 1, dar unele studii (Zhang, Wu, & Chen, 2009) recomandă în caz de

incertitudine, valori de 0.55-0.65.

ult

ff

q

qR (5.4)

Înlocuind relația (5.4) în valoarea lui b din (5.2), aceasta devine:

f

f

q

Rb (5.5)

qf

a

q

qult

curba de mobilizare

~10%

hiperbola de regresie

E0

Fig. 5.3: Trunchierea curbei de mobilizare a pământurilor supraconsolidate și

compensarea valorii deviatorului la cedare față de valoarea asimptotei orizontale



Pornind de la ecuația (4.18) pentru dreapta kf, se scade în ambele părți ale

semnului de egalitate valoarea efortului principal maxim σ1 pentru a

determina variația deviatorului q la cedare față de efortul de confinare σ3,

obținem:

f

f

f

f

sin1

cosc2

sin1

sin13331 (5.6)

de unde:

f

ff

sin1

coscsin2q 3

f (5.7)

Înlocuind (5.7) în (5.5) se obține:

)coscsin(2

)sin1(Rb

3

f

ff

f (5.8)

Pentru simularea variației modulului de deformație liniară E, Duncan și

Chang au propus o lege putere în funcție de efortul radial σ3. Pentru

consistența unităților de măsură a fost introdusă o presiune unitară numită

„presiune atmosferică” ce anulează unitățile de sub putere și înmulțește

expresia pentru revenire la cele inițiale, deci:

n

a

3a

ppK

a

1E

(5.9)

în care K și n sunt parametrii modelului, adimensionali, ce pot fi determinați

experimental prin găsirea unei curbe de regresie putere.

Practic, introducere artificiului de calcul prin împărțire la presiunea unitară a

deschis calea folosirii unor funcții matematice complexe care să se suprapună

empiric pe datele obținute prin încercări de laborator sau teren. O astfel de

relație este și cea folosită pentru modelarea înfășurătoarei Mohr prezentată în

Fig. 4.2, care se poate pentru pământurile necoezive.



fff

a

30

plog (5.10)

unde:

ϕ0 – este unghiul de frecare internă corespunzător unei presiunii atmosferice

ce are aceeaşi unitate de măsură cu efortul 3;

∆ϕ – reprezintă scăderea unghiului de frecare pentru o creştere de 10 ori a

efortului 3.




6. Elemente de teoria stării critice 91

6 ELEMENTE DE TEORIA STĂRII CRITICE

6.1 Noțiunea de stare critică

Prezentul capitol a fost adaptat după (Atkinson & Bransby, 1978) și

(Whitlow, 2001).

Prin prisma teoriei stării critice, o probă de pământ este considerată cedată

prin forfecare în momentul în care aceasta prezintă deformații mari sub

efortul de forfecare fără modificarea efortului și a porozității. Presiunea apei

în pori chiar și în cazul unei încercări nedrenate devine zero.

În general, dacă se obține o diagramă q’-a similară celei din Fig. 4.5, pentru

forfecarea unei probe de pământ, condițiile de stare critică se îndeplinesc în

vecinătatea valorii de vârf a efortului deviator, la un a>a qmax și nu pentru

valoarea de vârf. Datorită acestui motiv, pământurile analizate prin prisma

teoriei stării critice nu mai prezintă doi parametrii ai rezistenței la forfecare ci

unul singur, M, unde:

'p

'qM (6.1)

unde p’ și q’ sunt efortul sferic, respectiv deviator definite prin ecuațiile 1.3.

Teoria stării critice a fost dezvoltată în principal de școala engleză de

geotehnică (în special colectivul de la Cambridge), acesta fiind un motiv

principal pentru care pentru formularea ei se folosesc coordonatele de efort

p’ și q’. M este, așadar panta proiecției curbei de stare critică pe planul p’-q’.

Curba de stare critică este descrisă într-un spațiu de coordonate p’-q’-v (Fig.

6.1).



q'

p'

v

Curba de consolidare normala

Curba de stare critica

Proiectiile curbei de

stare criticaM

1

Fig. 6.1: Curba de stare critică

O remarcă deosebit de importantă este că proiecția suprafeței stării critice

trece prin originea planului p-q atât pentru pământurile coezive cât și pentru

cele necoezive.

6.2 Suprafața Roscoe

Reprezentând în coordonate de efort p’-q’ două seturi de încercări pentru

același pământ, un set consolidat izotrop și forfecat nedrenat (Fig. 6.2.a), iar

un altul consolidat izotrop și forfecat în condiții nedrenate (Fig. 6.2.b), se

observă că se obține aceeași înfășurătoare de stare critică (proiecția pe planul

p’-q’ a curbei stării critice). Mai mult decât atât, se poate pune în evidență că

pe drumul de forfecare, dacă se pleacă de la condiții de consolidare normală,

indiferent dacă forfecarea se face în condiții drenate sau nedrenate, unui punct

de pe drumul de forfecare p’-q’ îi va corespunde o singură valoare a

volumului specific v (Fig. 6.3).



a. Încercări nedrenate pe trei probe normal consolidata

p'

q' v

p'

v1

v2

v3

v1

v2

v3

A1

A2

A3

B1

B2

B3

A1

A2

A3

B3

B2

B1

vq'

p' p'

A3

A2

A1

B1

B2

B3

A1

A2

A3

B1

B2

B3

b. Încercări drenate pe trei probe normal consolidata

Linia de consolidare normală

Proiecţia curbei de stare critică

Proiecţia curbei de stare critică

Linia de consolidare normală

Fig. 6.2: Suprafețele în spațiul p-q-v descrise de forfecarea unor probe drenate și

nedrenate



q'

p' Fig. 6.3: Drumuri de efort drenat și nedrenat în coordonate p’-q

Rezultă că fiecărui punct de pe drumurile de efort de forfecare, îi va

corespunde o unică valoare a volumului specific. Toate punctele din spațiul

p’-q’-v care sunt caracterizate astfel alcătuiesc o suprafață ce poartă numele

de „suprafață Roscoe” ( Fig. 6.4)

q'

p'

v

Curba de consolidare normală

Suprafaţa Roscoe

Curba de stare critică

Fig. 6.4: Suprafața Roscoe



Realizând secțiuni prin suprafața Roscoe cu plane v = constant, se remarcă

faptul ca alura acestor secțiuni este aproximativ aceeași (Fig. 6.2.a), ceea ce

conduce la concluzia că prin normalizare se poate găsi o singură curbă care

să păstreze proprietățile suprafeței Roscoe și într-o reprezentare plană. Acest

factor de normalizare este chiar efortul de consolidare izotropă de la care s-a

pornit forfecarea. În Fig. 6.5 a fost reprezentată suprafața Roscoe normalizată

cu acest efort, notat cu pc.

0.1

q'/p'c

p'/p'c0

.2

0.3

0.4

0.0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Curba de stare critică


Suprafaţa Roscoe

Fig. 6.5: Normalizarea în raport cu efortul de consolidare, pc

6.3 Suprafața Hvorslev

În paragraful 6.2 s-a pornit de la ipoteza că pământul este normal consolidat.

În cazul în care pământul este supraconsolidat, efortul deviator de forfecare

pentru care se atinge starea critică va fi diferit pentru fiecare valoare a

gradului de supraconsolidare în parte (Fig. 6.6).

0.1

q'/p'c

p'/p'c0

.2

0.3

0.4

0.0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Puncte de stare critică


Suprafaţa Roscoe

Fig. 6.6: Starea critică pentru diferite grade de supraconsolidare



Raportul q’/p’ este maxim atunci când 1 este maxim, iar 3 este minim.

Valoarea minimă pentru care pământul lucrează în compresiune este atunci

când 3 = 0. În acest caz avem:

3'p

'q

'3

1'p

''q

1

1

(6.2)

Astfel, în Fig. 6.7 este pusă în evidență limita pentru care pământul este supus

la compresiune. Pe intervalul OA starea critică s-ar putea atinge doar prin

eforturi de întindere. Locul geometric al punctelor de stare critică între limita

cedării prin întindere și suprafața Roscoe, poartă numele de suprafață

Hvorslev.

Parametrii suprafeței Hvorslev în coordonate cc /p'q' - /p'p' sunt g și h,

constante de material, unde:

cc 'p

'phg

'p

'q (6.3)

q'/p'c

p'/p'c

Suprafaţa Roscoe

Limita de întindere

1

3

1 h

g

Suprafaţa Hvorslev

A

B

Fig. 6.7: Suprafața Hvorslev



Relația care leagă efortul de consolidare de porozitatea reprezentată de

volumul specific al pământului (Fig. 3.2 și relația (3.7)), astfel încât pentru

diferite eforturi de consolidare curba AB din Fig. 6.7 se va transforma într-o

suprafață în sistemul p’-q’-v (Fig. 6.8). Tot într-o suprafață tridimensională

se transformă și limita de întindere.

Suprafaţa Hvorslev

Suprafaţa Roscoe

Limita de întindere

q'

p'

v

Fig. 6.8: Reprezentarea tridimensională a suprafeței Hvorslev




7. Cedarea prin poansonare 99

7 CEDAREA PRIN POANSONARE

Prezentul capitol a fost adaptat după (Chirică, 1991).

În urma mai multor încercări de laborator și la scară naturală pe fundații

directe așezate pe pământuri nesaturate cu macrostructură contractantă s-au

evidențiat următoarele aspecte:

- Fundațiile directe prezintă tasări cu deformare locală a planului de

fundare numai în dreptul suprafeței de contact fundație – teren.

- În punctele de pe suprafața terenului situate în afara suprafeței de

fundare nu se înregistrează deplasări verticale sau orizontale

semnificative;

- Corpul fundației pătrunde în mediul poros prin sfărâmarea

macrostructurii sale contractante și crearea unui dop de material cu

porozități reduse, delimitat de un contur ce se închide pe perimetrul

suprafeței de fundare.

Acest mod de tasare este denumit tasare prin poansonare, respectiv cedare

prin poansonare. Se consideră că deformația inițială a modelului din zona

elastică este nulă, iar materialul începe să se deformeze prin zdrobire, atunci

când efortul aplicat depășește rezistența structurală a materialului.

Astfel, pentru un poanson într-un mediu sensibil la umezire sau afânat și

cimentat, după depășirea rezistenței structurale, materialul zdrobit de va

acumula sub suprafața poansonului, iar deformația înregistrată va fi guvernată

de frecarea laterală de-a lungul perimetrului de poansonului, între dop și restul

masivului. Acest lucru va continua până când efortul pe direcția orizontală la

nivelul dopului depășește efortul geologic în stare de repaus, continuându-se

cu cedare de tip general.



Prism de

pământ îndesat

b) Cedare prin poansonare

Reful

lateral

Linie de

alunecare

Fundație

a) Cedare generală

Fig. 7.1: Posibilități de cedare a terenului de fundare

În Fig. 7.1 sunt prezentate două moduri de cedare ale terenului de fundare. În

primul caz terenul de fundare va ceda prin refularea terenului din jurul

fundației, iar în cel de-al doilea caz nu există deformații ale terenului din jurul

fundației.

h

s

R

01

02

Tm

Tc

01

02

Tm

Tc

n1

1-n1

P

h

s

so

B

L

Placă

rigidă

Pământ

îndesat

A=B*L

P=2(B+L)

1-n

n

1

1

1

Fig. 7.2: Cedarea prin poansonare

În Fig. 7.2 este exemplificat fenomenul de poansonare și eforturile care se

formează în pământ.



Pentru o solicitare la compresiune, P, procesul de deformare prin poansonare

se încheie atunci când forța aplicată de placa rigidă este în echilibru cu

ansamblul forțelor care acționează pe conturul dopului de material îndesat.

Astfel, din condiția de echilibru pe verticală rezultă relația (7.1).

P − (Tμ+Tc) = A∙R (7.1)

Tμ =σ01+σ02

2∙ h∙Pp ∙ μ (7.2)

Tc = c∙Pp ∙ h (7.3)

σ01 = σ∙K0 (7.4)

σ02 = R∙K0 (7.5)

în care,

Pp – este perimetrul de poansonare al suprafeței de contact dintre placa rigidă

și materialul poros. Acesta este egal cu perimetrul dopului de material îndesat;

Ko – este coeficientul frecării laterale în stare de repaos pentru materialul

poros friabil;

h – este grosimea dopului de material îndesat;

A – este aria suprafeței de contact dintre placa rigidă și materialul poros

friabil;

R – este rezistența la compresiune a macrostructurii materialului cu porozitate

inițială;

Tm și Tc – sunt eforturile de frecare ce se dezvoltă pe verticală;

– presiunea verticală aplicată terenului prin placa rigidă;

c – coeziunea materialului poros friabil;

Se fac următoarele notații:

ND =Pp

A (7.6)

Nμ =1 − n

1 − n1∙ K0 ∙ μ (7.7)

cm=c

K0∙μ (7.8)

n – este porozitatea inițială a mediului friabil solicitat;



n1 – este porozitatea medie a dopului de material îndesat sub placa rigidă;

s0 – este adâncimea de la suprafața la care se limitează procesul de sfărâmare

a structurii mediului poros friabil;

Introducând relațiile (7.2) și (7.3) în ecuatia (7.1), și utilizând notațiiile (7.6),

(7.7), și (7.8) se rezultă:

σ =R+s0 ∙ ND ∙ Nμ ∙ (1/2∙R + cm)

1 + 1/2∙s0 ∙ ND ∙ Nμ∙ K0 ∙ μ (7.9)

s =2∙(σ − R)∙Ng

ND ∙ Nμ ∙ (σ + R+2cm) (7.10)

în care,

Ng =n − n11 − n1

Dacă se înlocuiește σ=P

A în ecuația (7.10) se va obține o relație neliniară între

încărcare și tasare ce poate fi reprezentată conform Error! Reference source

not found..

s =2∙(P − 𝐴 ∙ R)∙Ng

ND ∙ Nμ ∙ (𝑃+𝐴 ∙ R+2∙𝐴 ∙ cm) (7.11)



Pi=RA Pi Pi=RA/Ko

slim

si

s1=0

s

P

Fig. 7.3: Reprezentarea relației liniare încărcare – tasare

Procesul de tasare prin poansonare are loc pentru valori ale încărcarilor în

domeniul A∙R≤Pi<A∙𝑅

K0 și pentru valori ale tasărilor s1=0≤si<slim.

Prin înlocuirea lui P=A∙R

K0 în ecuația (7.11) se obține ecuația tasării limite:

slim =2∙R∙(1 − K0)∙Ng

ND ∙ Nμ ∙ (R + K0∙R+2∙K0∙cm) (7.12)

Dacă se aproximează curba de încărcare – tasare cu o dreaptă se obține panta

medie a dreptei ca fiind:

K =A∙R∙(1 − K0)

K0 ∙ slim (7.13)



După cum se poate observa, panta medie a realției încărcare – tasare depinde

de caracteristicile mecanice ale materialului macroporic contractant, dar și de

raportul dintre perimetrul activ, Pp al dopului de pământ îndesat și de aria

secțiunii transversale a fundațiilor directe așezate pe asemenea pământuri.


Bibliografie 105

BIBLIOGRAFIE

Atkinson, J., & Bransby, P. (1978). The Mechanics of Soils: an Introduction

to Critical State Soil Mechanics. London: McGraw-Hill.

Chirică, A. (1991). Tasarea și cedarea pământurilor macrostructurate.

București: Universitatea Tehnica de Construcții București.

Duncan, J. M., & Chang, C. Y. (1970). Nonlinear analysis of stress and strain

in soils. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division,

ASCE, 1629-1653.

Whitlow, R. (2001). Basic Soil Mechanics. Harlow: Pearson Education.

Zhang, Z. Y., Wu, C. F., & Chen, Y. M. (2009). Study on Duncan-Chang

model parameters of stress compression for municipal solid waste.

International Symposium on Geoenvironmental Engineering ISGE

2009 (pp. 602-606). Hanzhou: China.

Documents

Mecanica Avansata a Pamanturilor