Embed Size (px)
Citation preview
11. INTRODUCERE
1.1 Stadiul actual al roboticii
1921 Karel Capek „Roboţii industriali ai lui Rossum“
1943 Isaac Asimov „I am a Robot“
1954 Kernward – UK Brevet – Manipulator cu două braţe
1956 George C. Devol – USA Brevet – Dispozitiv de transfer automat
1959 Joseph Engelberger Cumpără brevetul de la Devol şi realizează în
anul 1960 robotul Unimate la firma Unimation Inc., firmă ce va lucra în
profit de abia din anul 1973.
1968 38 roboţi Unimate la linia de sudare a caroseriilor din Lordstown
1968 Kawasaki Heawy Industries a cumpărat licenţa Unimate
1971 Primul robot japonez la Nissan Motors
1971 Fiat – Italia / Torino Linia de sudat în puncte caroserii
1971 ASEA – Suedia Primul robot cu acţionare electrică
1974 RV – 70 Regie Renault / Franţa robot cu acţionare electrică
1976 Prof. Chr. Pelecudi – UP Bucureşti / „Introducere în robotică” primul
articol de robotică apărut în România – MTM 76 Timişoara / Reşiţa
1979 „Colectiv Multidisciplinar de Roboţi Industriali” la Institutul Politehnic
„Traian Vuia” Timişoara.
1982, 8 februarie REMT – 1 Primul robot industrial românesc,
Institutul Politehnic „Traian Vuia” Timişoara şi Electromotor Timişoara
Distins cu Premiul „TRAIAN VUIA“ al Academiei Române
21982 Kovacs Fr. Cojocaru G – “Manipulatoare, Roboţi şi aplicaţiile lor
industriale” prima carte de robotică din România.
1983 RIP 6,3 – Automatica Bucureşti Implementat la Autobuzul Bucureşti
1985 RIC – 25, RIS – 63 ICSIT TITAN Bucureşti în cadrul Programului
Naţional de Roboţi Industriali
1986 Institutul Politehnic „Traian Vuia” Timişoara şi Electro-Timiş Timişoara
Familie de Roboţi cu:
Acţionare electrică mR 2,5 MRE 12,5 MAE 100
Acţionare pneumatică MRP 12,5 MAP 100
Acţionare hidraulică RH 1kN
1987 Institutul Politehnic „Traian Vuia” Timişoara şi IMMUM Baia Mare
Manipulator sincron – MASINh 500 Expus la TIB´87 şi distins
cu Medalia de aur
1988 Institutul Politehnic „Traian Vuia” Timişoara şi IMMUM Baia Mare
Robotul Portal – ROPOS 50 Expus la TIB´88 şi distins cu
Medalia de aur
31.2 Tendinţe de dezvoltare ale roboticii
- creşterea gradului de autonomie ale roboţilor
- scăderea gradului de structurare al mediului
a) ROBOŢI INDUSTRIALI 1960 –
- mediu structurat
- obiecte situate în puncte de precizie ale mediului
- sarcini predefinite prin program
- executarea automată de programe explicite
b) ROBOŢI de PRESTĂRI SERVICII 1984 –
- model al universului bazat pe prelevate din mediu
- percepţie artificială
- procesare informaţională multisenzorială
- programe implicite
- planificarea traiectoriei (traiectorie dinamică)
b) ROBOŢI PERSONALI 2003 –
- capacităţi de comunicare cu mediul
- utilizare de modele pentru înţelegerea mediului
- planificarea automată a întregului program
- funcţii de supraveghere a întregii activităţi
Robot staţionar – Manipulare
Vehicul ghidat automat (VGA) – Deplasare prin rulare
Maşini păşitoare – Deplasare prin păşire
4
Fig. 1.1 Dezvoltarea Roboticii
1. ROBOŢI INDUSTRIALI:
• Robot Industrial (Manipulare) + Senzori = Asamblare automată;
• Roboţi inteligenţi staţionari; Pe viitor Roboţi de dezasamblare
2. VEHICULE GHIDATE AUTOMAT:
• Fără elemente de inteligenţă artificială = Roboţi Mobili pentru Transportul
Materialelor pe o traiectorie ghidată în mediu structurat;
• cu Senzori (Video, de Proximitate) îşi aleg traiectoria într-un mediu nestructurat.
3. MAŞINI PĂŞITOARE multi-ped şi biped
Robot Industrial
Robot industrial avansat
Robot prestări servicii
staţionar
Roboţi de Servicii
Vehicule Ghidate Automat
Vehicule Ghidate Automat Avansate
Roboţi de Serviciu Mobili
Telerobot
Mecanism de păşire
Maşină Păşire
multiped
Maşină Păşire biped
Robot Humanoid
Manipulare
Deplasare pe roţi
Deplasare prin păşire
Stabilitate
Interacţiune om maşină
Senzori
Senzori
Reţea Internet
5
Fig. 1.2 Mecatronica şi Robotica
MECANICĂ
ELECTRONICĂ
CALCULATOARE
MECATRONICĂ şi ROBOTICĂ
62. NOŢIUNI DE TEORIA SISTEMELOR
2.1 Clasificarea sistemelor
Sistem: ansamblu de elemente şi relaţiile (legăturile) dintre ele.
Mediu: ansamblul elementelor care nu fac parte din sistem.
Legături orientate: Intrări (INPUT) sau Ieşiri (OUTPUT)
Legături neorientate: perturbaţii („zgomote”).
Sistem închis: nu are legături cu mediul său.
Sistem deschis: are legături orientate sau neorientate cu mediul său.
Sistem simplu: are puţine elemente şi legături între acestea.
Sistem complex: are multe elemente şi legături între ele.
Sistem concret: are elemente materiale.
Sistem abstract: nu are elemente materiale.
Sistem natural: există fără intervenţia omului.
Sistem artificial: este creat de om.
Sistem determinist: are legături orientate.
Sistem stohastic: are legături neorientate.
Fig. 2.1 Sistem deschis
(S)
T ...
. . .
.
.
.
x1 x2
xm
y1 y2
yn
z1 z2 zk
Intrări Input
Ieşiri Output
Perturbaţii („zgomote“)
MEDIU
72.2 Funcţia de transfer T
Funcţia de transfer: asigură transformarea mărimii de intrare X = X (t) în mărimi de
ieşire Y = Y (t) conform relaţiei:
Y = T . X (2.1)
Vectorul intrărilor X = X (x1, x2, x3, . . . , xm)T
Vectorul ieşirilor Y = Y (y1, y2, y3, . . . , yn)T
Matricea de transfer T
Vectorul perturbaţiilor Z = Z (z1, z2, z3, . . . , zk)T
Fig. 2.2 Sistem cu buclă de reacţie
Z – caracter aleatoriu
Y’ – Vectorul ieşirilor perturbate
Y’ = T ( X + Z ) (2.2)
(S)
T X Y
Z MEDIU
(SR)
TR
ΔY TR ΔY
8Bucla de reacţie (SR) asigură eliminarea perturbaţiilor.
Vectorul erorilor = intrarea în bucla de reacţie
ΔY = Y’ – Y (2.3)
TR . ΔY – ieşirea din bucla de reacţie
TR – funcţia de transfer a buclei de reacţie
Y = T ( X + Z + TR . ΔY ) (2.4)
Ierarhizarea sistemelor
Sistemul de rang „R“ conţine unul sau mai multe sisteme de rang „R-1“ .
S R - 1 ∈ S R S R ∈ S R + 1 (2.5)
Sistemul de rang „R“ este un element al unui sistem de rang „R+1“ .
Ierarhizarea sistemelor = cunoaşterea structurii unui sistem şi a legăturilor dintre
subsistemele acestuia.
2.3 Cuplarea a două sisteme
Două sisteme sunt cuplate dacă cel puţin o ieşire a unuia este o intrare în celălalt.
Fig. 2.3 Două sisteme cuplate
X (2) = [x21, x22, x23, . . . , x2m]T (2.6)
Y (1) = [y11, y12, y13, . . . , y1n]T
x2p = y1q p = 1...m q = 1...n (2.7)
Matricea de cuplare = Matrice „m x n“ cu „m“ intrări in S2 şi „n“ ieşiri din S1.
K 12 = [ e pq ] p = 1...m q = 1...n (2.8)
(S1)
X (2) Y (1)
(S2)
9
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmqm2m1
pnpqp2p1
2n2q2221
1n1q1211
12
e...e...ee........
e...e...ee........
e...e...eee...e...ee
K (2.9)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠∀
==∀=
n,1qyx0
m,1pyx1e
q1p2
q1p2pq (2.10)
epq = 1 există o legătură între S1 şi S2
epq = 0 nu există o legătură între S1 şi S2
Modelul matematic al cuplării sistemelor S1 şi S2
X (2) = K12 . Y (1) (2.11)
EXEMPLUL 2.1 m = 5 X (2) = [1 0 1 0 0]T
n = 3 Y (1) = [1 1 0]T
K 12 = [ e pq ]5 x 3 x21 = y11 ⇒ e11 = 1
x23 = y13 ⇒ e32 = 1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000000010000001
K12
Fig. 2.4 Cuplarea a două sisteme
(S1)
x25 y13
x11
(S2)
x12
x24 x22
x21 x23
y11 y12
y21 y22
10Matricea de structură = matricea unui sistem de rang „R“ care conţine "Si" subsistem
i = 1...n.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0.KKK....
K.0KKK.K0KK.KK0
S
3n2n1n
n33231
n22321
n11312
(2.12)
K ij – matricele de cuplare ale sistemelor "Si" K ii = 0
Umărul maxim de cuplări Nmax = n (n-1) (2.13)
EXEMPLUL 2.2 n = 3 Nmax = 3 . 2 = 6
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000K0KKK0
S 2321
1312
K 31 = 0 K 32 = 0
Fig. 2.5 Matricea de structură
(S1)
x11
(S2)
x12
x21
y11 y12
y21 y22
(S3)
y31
x31
x32
113. MODULUL MATEMATIC AL MANIPULĂRII
Celulă de fabricaţie = Mediu Industrial (MI) + Robot Industrial (RI) + Dispozitiv de
Alimentare / Evacuare + Maşină - Unealtă + Dispozitiv de lucru (DL) + Obiect (OB)
+ Sculă (SC) + Efector Final (EF)
Fig. 3.1 Modelul matematic al manipulării
Manipulare = Corelarea elementelor lanţului tehnologic de către sistemul de comandă
prin programe elaborate pe baza algoritmelor de calcul‚ transformări succesive de
coordonate între diferite sisteme de referinţă.
RI
EF
SC
OB
DLMI
12
)S(P j∈
Fig. 3.2 Transformări de coordonate între două sisteme de referinţă
pj
ji
pi
rrr +=
pj
ijji
pi
rBrr ⋅+= (3.1)
Vectorul de poziţie al punctului P în sistemul solidului „Si“ ( )Tiiipi
zyxr =
Vectorul de poziţie al punctului P în sistemul solidului „Sj“ ( )Tjjjpj
zyxr = (3.2)
Vectorul de poziţie al originii Oj in raport cu Oi ( )Tz0y0x0ji
rrrr =
Matricea cosinusurilor directoare [ ] 3,1jieB ijij ===
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
j
j
j
333231
232221
131211
z0
y0
x0
i
i
i
zyx
eeeeeeeee
rrr
zyx
(3.1’)
Cu quadri-vector pj
ji
pi
rTr ⋅= (3.3)
Si
Sj
Xi
Yi
( Xi, Yi, Zi ) ( Xj, Yj, Zj )
XjZi
Yj Zj
Oi
Oj
P Pj r
Pi r
ji r
13
( )Tiiipi
1zyxr = ( )Tjjjpj
1zyxr = [ ] 3,1lkaT klij === (3.4)
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
1zyx
1000aaaaaaaaaaaa
1zyx
j
j
j
34333231
24232221
14131211
i
i
i
(3. 3’)
3.1 Matricea de transformare omogenă
Exprimă situarea relativă a solidului Sj în raport cu solidul Si.
ji R = Matricea de rotaţie
jir = Matricea de translaţie ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=1O
rR
1000reeereeereee
T Tj
ij
i
z0333231
y0232221
x0131211
ji (3. 5)
Fig. 3.3 Transformări de coordonate între trei sisteme de referinţă
S0
X0
Y0
Z0
O0
Sj
Xj
Zj
Oj
P Pj r
Pi r
ji r
Si
Xi
YiZi
Oi
P0 r
j0 r
i0 r
14
pj
j0
p0
rTr ⋅=
pi
i0
p0
rTr ⋅= (3.6)
pj
ji
pi
rTr ⋅=
pj
ji
i0
p0
rTTr ⋅⋅= (3.7)
Relaţia de recurenţă ji
i0
j0 TTT ⋅= i=j-1 j=1..6 (3.8)
SCEF
EFRI
RIMI
SCMI TTTT ⋅⋅= (3.9)
SCOB
OBDL
DLMI
SCMI TTTT ⋅⋅=
SCOB
OBDL
DLMI
SCEF
EFRI
RIMI
SCMI TTTTTTT ⋅⋅=⋅⋅= (3.10)
RIMI T = depinde de amplasarea robotului în hală
EFRI T = funcţie de coordonatele generalizate
SCEF T = depinde de construcţia efectorului final
DLM T = depinde de amplasarea DL (MU) în hală
OBDL T = depinde de situarea OB în DL
SCOB T = se citeşte din desenul de execuţie al OB
1SC
EFSC
OBOB
DLDL
MI1RI
MIEF
RI TTTTTT −− ⋅⋅⋅⋅= (3.11)
Conform cerinţelor tehnologice = situarea sculei în raport cu obiectul Situarea
efectorului final în raport cu robotul EFR
SCOB TT ⇒ prin modificarea
coordonatelor generalizate, qi , i=1...6;
Pentru o cuplă de rotaţie qi = θi; Pentru o cuplă de translaţie qi = di.
⇒
153.1.1 Matricele de transformare omogene elementare
Fig. 3.4 Cuplă de rotaţie
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθ−θ
=θ
10000cossin00sincos00001
),x(Rotii
iiii
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθ−
θθ
=θ
10000cos0sin00100sin0cos
),y(Rotii
ii
ii
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡θθθ−θ
=θ
1000010000cossin00sincos
),z(Rot ii
ii
ii (3.12)
Fig. 3.5 Cuplă de translaţie
X0
Y0
Z0
O0
Xi Yi
Zi
Oic
a
b
ji
ki
ii k0
i0
j0
X0 = Xi
Y0
Z0
O0 = Oi
Zi
Yi
θi
θi
θi
k0
i0 j0 ji ki
ii
16
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100001000010a001
)a,x(Trans i (3.13)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
10000100b0100001
)b,y(Trans i
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000c10000100001
)c,z(Trans i
3.2 Matricea de situare
Fig. 3.6 Matricea de situare
Versor normal { }Tzyx nnnn =
Versor de orientare { }Tzyx oooo = (3.14)
Versor de apropiere { }Tzyx aaaa =
Vectorul de poziţie { }Tzyx pppp =
RI
EF
6 1
δ'
δ a
n
o
z0
x0 y0
p
O0
M OB
17
ji
i0
j0 TTT ⋅= i=j-1 j=1..6 (3.15)
65
50
60 TTT ⋅= 5
44
05
0 TTT ⋅= 43
30
40 TTT ⋅= . . . 2
11
02
0 TTT ⋅=
∏ −=⋅⋅⋅⋅⋅=6
1i
1i6
55
44
33
22
11
06
0 TTTTTTTT (3.16)
Matricea de situare ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1000paonTEF
R (3.17)
Ecuaţia matriceală a manipulării 60
EFR TT = (3.18)
184. MODELUL GEOMETRIC AL SITUĂRII OBIECTULUI MANIPULAT
4.1 Modelul geometric direct al situării obiectului manipulat
4.1.1 Modelul Denavit - Hartenberg
Fig. 4.1 Notaţiile utilizate de modelul Denavit - Hartenberg
Metoda Denavit - Hartenberg s-a introdus în 1955. Este cea mai răspândită metoda
de modelare geometrică a roboţilor. Avantajul metodei constă în numărul redus de
parametri necesari trecerii de la un sistem de referinţă la altul (6 4).
Algoritmul este următorul:
1) Se notează elementele pornind de la baza robotului (elementul 0) şi terminând
cu efectorul final. Numărul cuplei cinematice este dat elementul cu cifră mai
mare din componenţa ei.
2) Axa z i-1 este axa cuplei cinematice „i”, care leagă elementul „i-1” de elementul „i”.
3) Axa x i-1 este perpendiculara comună a axelor z i-1 şi z i-2 şi este orientată de la
Oi-2 la Oi-1. Originea sistemului de referinţă se alege în punctul de intersecţie al
perpendicularei comune cu axele cuplelor cinematice.
xi-1xi
i+1i
i-1
i-2
zi-1
zi-2
zi
di
ai αi
θiOi-1
Oi-2
Oi O’i-1
i-1
i i+1
19 Sensul pozitiv fiind de la indicele mai mic la cel cu indice mai mare.
4) Axele Y sunt definite de produsul vectorial XZY ×= .
5) Se construieşte un tabel cu parametri: θi , di , ai , αi
Trecerea de la sistemul de referinţă Oi-1 la cel cu originea în Oi se face prin 4 mişcări
elementare:
⇒ o rotaţie cu unghiul θi în jurul axei z i-1 , de suprapunere a axei xi-1 pe
direcţia axei xi, sensul pozitiv fiind de la xi-1 la x i.
⇒ o translaţie cu di de-a lungul axei z i-1 ce aduce originea Oi-1 în O’i-1,
sensul pozitiv de la Oi-1 în O’i-1.
⇒ o translaţie cu ai de-a lungul axei xi suprapunând originea O’i-1cu Oi,
sensul pozitiv de la O’i-1 la Oi.
⇒ o rotaţie cu unghiul αi în jurul axei xi , de suprapunere a axei zi-1 pe
axa zi, pozitiv în sensul trigonometric.
Matricea de transformare de la elementul „i” la elementul „i-1” este de forma:
i-1Ti = Rot (zi-1 , θi) . Trans (zi-1 , di) . Trans (xi , ai) . Rot (xi , αi) (4.1)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ααα−α
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡θθθ−θ
=−
10000cossin00sincos00001
100001000010a001
1000d10000100001
1000010000cossin00sincos
Tii
ii
i
i
ii
ii
i1i (4.2)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ααθ⋅α⋅θ−α⋅θθθ⋅α⋅θα⋅θ−θ
=−
1000dcossin0sinasincoscoscossincosasinsincossincos
Tiii
iiiiiii
iiiiiii
i1i (4.2’)
20Deci rezolvarea modelului geometric direct necesită cunoaşterea unor dimensiuni
(liniare şi unghiulare):
Pentru o cuplă de rotaţie: di , ai , αi sunt constante şi θi = θi (t)
Pentru o cuplă de translaţie: θi , ai , αi sunt constante şi di = di (t)
Tabelul Denavit-Hartenberg
θi di ai αi
0-1 θ1 d1 a1 α1 1-2 θ2 d2 a2 α2 2-3 θ3 d3 a3 α3
Revenind la ecuaţia matriceală:
60
EFR TT = ∏ −=
6
1i
1i6
0 TT (4.3)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1000ffffffffffff
1000paonpaonpaon
34333231
24232221
14131211
zzzz
yyyy
xxxx
(4.4)
unde ( )iiiiijij adff αθ= (4.5)
Pentru convenţia Denavit - Hartenberg, soluţia problemei geometrice directe constă
în egalarea elementelor matricelor din relaţia 4.4:
34z33z32z31z
24y23y22y21y
14x13x12x11x
fpfafofnfpfafofnfpfafofn
============
(4.6)
21EXEMPLUL 4.1
Fig. 4.2 Modelul geometric direct - Structura RTT: a) schema cinematică b) schema asociată
θi di ai αi
0 – 1 θ1 0 0 0 1 – 2 0 d2 a2 +900 2 – 3 0 d3 0 0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ααθ⋅α⋅θ−α⋅θθθ⋅α⋅θα⋅θ−θ
=−
1000dcossin0sinasincoscoscossincosasinsincossincos
Tiii
iiiiiii
iiiiiii
i1i (4.2’)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡θθθ−θ
=
1000010000cossin00sincos
T 11
11
10
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
1000d1100100a001
T2
2
21
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000d10000100001
T3
32
32
21
10
30 TTTT ⋅⋅=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡θ⋅−θ⋅θ−θθ⋅+θ⋅θθ
=
1000d010
cosdsinacos0sinsindcosasin0cos
T2
131211
131211
30
θ1
d2
d3
A
B C
M1
0
2 3
a) θ1
d2
d3
O0=O1
M=O3 1
z3
2 3
b)
a2
O’1
O2
z2
z1
z0
x0
x1
x2
x3
α2
224.1.2 Modelul Craig
Fig. 4.3 Notaţiile utilizate de modelul Craig
Particularitatea modelului Craig constă în alegerea axei z i în axa cuplei
cinematice „i”, care leagă elementul „i-1” de elementul „i”. Transformarea omogenă este o
funcţie de 4 parametri dintre care una este variabilă iar celelalte trei sunt constante. De fapt
putem afirma că fiecare parametru exprimă o matrice elementară motiv pentru care se mai
ataşează 3 sisteme de referinţă intermediare R, Q şi P. Strategia de trecere de la sistemul
legat de elementul „i-1” la elementul „i” constă în:
⇒ Trecerea de la sistemul de referinţă „i-1” la sistemul de referinţă „R”, care
are loc printr-o rotaţie cu unghiul αi-1 în jurul axei xi-1 de suprapunere a
axei zi-1 pe axa zR, pozitiv în sensul trigonometric;
⇒ Trecerea de la sistemul de referinţă „R” la sistemul de referinţă „Q” care
are loc printr-o translaţie cu ai-1 de-a lungul axei xi-1 suprapunând originea
„R” cu „Q”, sensul pozitiv de la „R” la „Q”.
xQ
xi
i i-1
i-2
zi-1
zi
di ai-1
αi-1
θi Oi-1=R
Oi
Q=P
i-1
i
xR
zR
xi-1
zQ
zP
xP
23⇒ Trecerea de la sistemul de referinţă „Q” la sistemul de referinţă „P” care are
loc printr-o rotaţie cu unghiul θi în jurul axei zi de suprapunere a axei xQ
pe axa direcţia axei xP, pozitiv în sensul trigonometric;
⇒ Trecerea de la sistemul de referinţă „P” la sistemul de referinţă „i” care are
loc printr-o translaţie cu di de-a lungul axei zi ce aduce originea „P” în
„Oi”, sensul pozitiv de la „P” în „Oi”.
Conform relaţiei de recurenţă:
iP
PQ
QR
R1i
i1i TTTTT ⋅⋅⋅= −− (4.7)
sau matricea de transformare omogenă de la elementul „i-1” la elementul „i” este:
i-1Ti = Rot (xi-1 , αi-1) . Trans (xi-1 , ai-1) . Rot (zi , θi) . Trans (zi , di)
respectiv i-1Ti = Elice (xi-1 , αi-1 , ai-1) . Elice (zi , θi , di) (4.8)
Utilizând matricele elementare se obţine:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡θθθ−θ
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−α−α−α−−α
=−
1000id100
00100001
1000010000icosisin00isinicos
100001000010
1ia001
100001icos1isin001isin1icos00001
iT1i (4.9)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α⋅αα⋅θα⋅θα⋅−α−α⋅θα⋅θ
θθ
=−−−−
−−−−
−
−
1000cosdcossincossinsinsindsincoscoscossin
a0sincos
T1ii1i1ii1ii
1ii1i1ii1ii
1iii
i1i (4.10)
Modelul Craig elimină confuzia datorată utilizării indicelui „i” pentru axa „i-1” ca în
cazul convenţiei Denavit – Hartenberg, dar păstrează problema singularităţii de
model datorat cazului axelor paralele. Transformarea omogenă după modelul Craig
poate fi privită ca o compunere de două mişcări elicoidale.
244.1.3 Modelul Hayati
Fig. 4.4 Notaţiile utilizate de modelul Hayati
Pe baza modelului Denavit – Hartenberg, modelul Hayati încearcă eliminarea
singularităţii de model pentru cazul axelor paralele succesive, prin înlocuirea distanţei
„di”, dintre originile sistemelor „i” şi „i-1” (modelele Denavit–Hartenberg şi Craig),
cu unghiul de aliniere „βi”, al axei „yi” cu axa „yi-1”. Utilizând acest model
singularitatea de axe paralele este înlocuită cu singularitatea de axe perpendiculare,
problemele menţinându-se.
i-1Ti = Rot (zi-1 , θi) . Trans (xi-1 , ai) . Rot (xi -1, αi) . Rot (yi , βi) (4.11)
x'i-1
i
i-1
zi-1
zi
αi
θi Oi-1
Oi
i i+1
xi-1
yi-1
y'i-1
i+1
θi
βi
βi
βi αi
xi αi
yi
z'i-1
y'i-1
zi-1
ai
254.1.4 Modelul Hsu - Everett
Fig. 4.5 Notaţiile utilizate de modelul Hsu - Everett
Pentru a elimina problemele apărute în urma modificării făcute de Hayati, Hsu
şi Everett menţin această modificare (unghiul de aliniere „βi”), dar reintroduc
parametrul „di”,
i-1Ti = Rot (zi-1 , θi) . Trans (zi-1 , di) . Trans (xi-1 , ai) . Rot (xi-1 , αi) . Rot (yi , βi)
(4.12)
Calibrarea utilizând acest model, precum şi studiul sensibilităţii de model
referitor la liniaritatea operatorului au condus la rezultate remarcabile privind
insensibilitatea datorată erorilor de execuţie şi de montaj. Numărul parametrilor
variabili rămâne acelaşi, fiind vorba doar de unul singur pentru o cuplă cinematică
conducătoare. Chiar dacă iniţial volumul de calcul este mai mare, simplificările de
model pentru studiul dinamicii pot justifica folosirea a 5 parametrii.
ai
zi
αi
Oi
i+1
i+1
βi
βi
βi αi
xi αi
yi
z'i-1
y'i-1
zi-1
i
i-1
zi-1
i θi
θi Oi-1
xi-1
yi-1
y'i-1 O'i-1
di
x'i-1
x'i-1
264.1.5 Modelul Kovács - Stone
Fig. 4.6 Notaţiile utilizate de modelul Kovács pentru o structura de robot RTT a) schema cinematică b) schema asociată
Modelul Kovács constă în ataşarea unui contur poligonal deschis dispozitivului
de ghidare, ataşându-se câte un sistem de referinţă fiecărui laturi a conturului şi
elementelor în mişcare relativă. Convenţia este următoarea:
⇒ Axele z se aleg ca axe ale cuplelor cinematice de rotaţie sau de translaţie;
⇒ Offseturile se aleg ca axe x;
⇒ Axele x se aleg paralele între ele.
3''2
''2'2
'22
21
10
30 TTTTTT ⋅⋅⋅⋅= (4.13)
0 T 3 = Rot (z0 , θ1) . Trans (z1 , d2) . Trans (x2’ , a2’) . Rot (x2’’ , α2’’) . Trans (z2’’ , d3)
(4.14)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅−
⋅⋅⋅θθθ−θ
=
10003d10000100001
1000001001000001
1000010000102a001
10002d10000100001
10000100001cos1sin001sin1cos
3T0
(4.15)
θ1
d2
d3
A
B C
M1
0
2 3
a)
O2’= O2’’
θ1
d2
d3
O0=O1
M=O3
z3
b)
a2’
O2 z2’’
z1
z0
x0
x1
x2’
x3
α2’’ x2’’ z2
x2
z2’
27
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡θ+θ−θ−θθ+θθθ
=
1000d010
sinacosdcos0sincosasindsin0cos
T2
121311
121311
30 (4.16)
Modelul STONE (Arm Signature Model, S – Model) este analog cu cel
prezentat anterior, utilizând însă alte notaţii. Situarea (orientarea + poziţionarea) sunt
calculate asemănător modelului Denavit – Hartenberg.
Sn = B1 . B2 . . . . . Bn (4.17)
Matricele Bi descriu transformările elementare relative dintre sistemele Si-1 şi Si
având ca referinţă Si-1, fiind definită prin:
i-1 B i = Rot (z, γi) . Trans (0, 0, di) . Trans (ai, 0, 0) . Rot (x, αi) . Trans (0, 0, bi)
(4.18)
284.1.6 Modelul Kovács utilizând noţiunea PeSiR
PeSiR = Perechi de Sisteme de Referinţă
Fig. 4.7 Notaţiile utilizate de modelul PeSiR
Elementele N şi N’ în contact materializează o cuplă cinematică generalizată.
Sistemele de referinţă N şi N’ ataşate constituie Perechea de Sisteme de Referinţă,
PeSiR N - N’. Situarea relativă a două sisteme de referinţă N şi N’, se exprimă prin
matricea de situare:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzz
yyyy
xxxx'N
N
aonraonraonr0001
S (4.19)
Situarea relativă a sistemului de referinţă N’ faţă de sistemul de referinţă N se
poate exprima şi prin intermediul matricei de trecere de la N’ la N:
N S N’ = N T N’ (4.20)
SN
pMM'N r
'NN r
O’
O
SM
SO
SS
pNN’
N
M
M’
p'N
P
29unde:
N T N’ = Trans (x, q1) . Trans (y, q2) . Trans (z , q3) . Rot (x, q4) . Rot (y, q5) . Rot (z, q6)
(4.21)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅−−⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅
=
545453
6465464654652
6465464654651'N
N
cccssqcssscccsssscqsscscsccssccq
o001
T (4.22)
unde s4 = sin q4 c4 = cos q4
N T N’ se poate exprima şi ca o matrice în formă vectorială (6 x 1) şi anume:
{ }T654321
v'N
N qqqqqqT = (4.23)
Ceea ce conduce la exprimarea situării sistemului N’ în raport cu N cu expresia:
v'N
Nv'N
N TS = (4.24)
unde matricea de situare v'N
N S are expresia:
{ }Trzryrxzyx
v'N
N ooorrrS = (4.25)
⇒ { }Tzyx'N
N rrrr = este vectorul de poziţie al originii sistemului de referinţă
N’ în raport cu sistemul de referinţă N;
⇒ { }Trzryrx'Nr
N oooo = este vectorul de orientare al sistemului de referinţă
N’ în raport cu sistemul de referinţă N.
Modelul matricial de ordinul zero al cuplei generalizate este definit de expresia:
{ } 6,1iqT Ti
v'N
N == (4.26)
având în componenţă elemente constante şi elemente variabile:
30
( ) ( ) .varv
'NN
.ctv
'NNv
'NN TTT += (4.27)
sau
{ } { } { } 6,1iqqq T.vari
T.cti
Ti =+= (4.28)
Modelul cinematic de ordinul 1 al cuplei generalizate are expresia:
( ) ( ) { } ( ) 0Tt
qTTt
T .ctv
'NNT
.vari.varv
'NNv
'NNv
'NN
=∂∂
==∂∂
= &&& (4.29)
Modelul cinematic de ordinul 2 al cuplei generalizate are expresia:
( ) ( ) { }T.vari.var
v'N
Nv'N
N2
2v
'NN qTT
tT &&&&&& ==
∂∂
= (4.30)
unde: qi ct. este partea constantă { }
0t
q .cti =∂
∂
qi var. este partea variabilă qi var.= qi var.(t)
Numărul gradelor de libertate al cuplei generalizate se calculează cu relaţia:
( )
( ) 0qq
qL .var
j.var
6
1jj.var
≠=∑= (4.31)
Clasa cuplei generalizate este: i = 6 - L
Elementul N’M formează un „offset” generalizat (Fig. 4.7). O pereche de sisteme de
referinţă N’ şi M se solidarizează cu acest element. Modelul matematic de ordinul
zero al „offset”-ului generalizat are expresia:
{ }T6c5c4c3c2c1c
vM
'N qqqqqqT = (4.32)
în care elementul N’M este nedeformabil (rigid). Întrucât 0qq cici == &&& modelele
cinematice de ordinul 1 şi 2 al „offset”-ului generalizat nu mai au sens.
31Alegând un reper P∈M, vectorul de poziţie al punctului P (Fig. 4.7), în raport cu
sistemul de referinţă N se exprimă prin:
pTpTp 'N'N
NMM
NN⋅=⋅= (4.33)
iar în raport cu sistemul de referinţă N’ cu relaţia:
pTp MM
'N'N⋅= (4.34)
Din sistemul format de relaţiile (4.33) şi (4.34):
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅=
⋅⋅=
pTp
pTTpM
MNN
MM
'N'N
NN
(4.35)
se obţine:
∏=⋅=N
MM
'N'N
NM
N TTTT (4.36)
Astfel în raport cu un reper exterior, „offset”-ul generalizat are ca expresie a
modelelor cinematice de ordinul 1 şi 2:
0TTTT M'N
M'N
'NN
MN
=⋅= &&& (4.37)
respectiv:
M'N
'NN
MN TTT ⋅= &&&& (4.38)
Considerând lanţul cinematic deschis (Fig. 4.8 a) format din două elemente N şi M
legate printr-o cuplă cinematică NN’ şi având un „offset” N’M, expresia matricei de
situare a elementului M în raport cu elementul N este:
∏==N
MM
NM
N TTS (4.39)
respectiv pentru un reper exterior:
32
pTp MN
M
N⋅=∏ (4.40)
Viteza şi acceleraţia de schimbare a situării elementului M în raport cu elementul N
este dată de expresia:
∏∂∂
=N
MM
N Tt
S& ∏∂∂
=N
M2
2
MN T
tS&& (4.41)
respectiv pentru un reper exterior:
pTt
p MN
M
N⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=′
∏ pTt
p MN
M2
2N⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=″
∏ (4.42)
deoarece pentru P∈M rezultă: 0pp MM=
″=′
Fig. 4.8 Mecanism generator de traiectorie: a) robot serial; b) robot paralel
Contururile închise ale mecanismului (Fig. 4.8 b) se formează astfel încât fiecare conexiune
care leagă elementul „m” de elementul „0” să se includă în maximum două contururi închise.
Conturul I: 0 – A1 – B1 – C1 – C2 – B2 – A2 – 0
Conturul II: 0 – A2 – B2 – C2 – C3 – B3 – A3 – 0
Conturul III: 0 – A1 – B1 – C1 – C3 – B3 – A3 – 0
A
B
C
M
1
2
3
0 A3
1’’’
A11’
0
2’
B1
C1
2’’’
B3
C3
A2
1’’
2’’ B2
I
C2
II
IIIa b
33
⋅⋅⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∏∏∏
3
0
m2
0
m1
0
mm
0 TTTS (4.43)
'3'2
'2'1
'3'1
NN
NN
NN TTT == (4.44)
unde ∏0
mT corespunde conexiunii NN’, iar numărul de egalităţi matriceale din
sistemul 4.44 este de : ( )∑ −= ε 2ordl (4.45)
unde s-a notat cu ordε, ordinul elementului ε, dacă ordε ≥ 3
4.1.7 Modelul geometric invers Denavit – Hartenberg
Pornind de la ecuaţia matriceală prezentată în relaţia 4.3
∏ −==6
1i
1i6
0EF
R TTT
Pe baza matricei coordonatelor generalizate:
{ }T654321 qqqqqqq = (4.46)
şi înmulţind la stânga se separă succesiv variabilele „qi”:
61
65
54
43
32
21
EFR1
10 TTTTTTTT =⋅⋅⋅⋅=⋅−
62
65
54
43
32
EFR1
101
21 TTTTTTTT =⋅⋅⋅=⋅⋅ −−
63
65
54
43
EFR1
101
211
32 TTTTTTTT =⋅⋅=⋅⋅⋅ −−− (4.47)
64
65
54
EFR1
101
211
321
43 TTTTTTTT =⋅=⋅⋅⋅⋅ −−−−
65
EFR1
101
211
321
431
54 TTTTTTT =⋅⋅⋅⋅⋅ −−−−−
Produsele matriceale conduc la următoarea egalitate:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1000hhhhhhhhhhhh
1000)p(f)a(f)o(f)n(f)p(f)a(f)o(f)n(f)p(f)a(f)o(f)n(f
34333231
24232221
14131211
3333
2222
1111
(4.48)
34respectiv următoarele relaţii între elementele matricelor:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
============
343333323313
242232222212
141131121111
h)p(fh)a(fh)o(fh)n(fh)p(fh)a(fh)o(fh)n(fh)p(fh)a(fh)o(fh)n(f
(4.49)
Dintre aceste relaţii se selectează relaţia care este dependentă numai de variabila „qi”
unde i=1...6. Soluţionând pe rând relaţiile 4.47 se obţin variabilele „qi”.
EXEMPLUL 4.2
Aferent structurii robotului prezentat în Exemplul 4.1. Pornind de la expresia matricei
de transformare omogenă aferentă mecanismului generator de traiectorie de structura
RzTzTx:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡θ⋅−θ⋅θ−θθ⋅+θ⋅θθ
=
1000d010
cosdsinacos0sinsindcosasin0cos
T2
131211
131211
30
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
θ−θ=θ+θ=
2z
1312y
1312x
dp
cosdsinapsindcosap
(4.50)
Prima soluţie este d2 = pz.
Primele două ecuaţii ale sistemului 4.50 conduc la obţinerea lui d3.
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
θ−θ=
θ+θ=2
13122y
21312
2x
cosdsinap
sindcosap
⎪⎩
⎪⎨⎧
θ+θθ−θ=
θ+θθ+θ=
122
31132122
22y
122
31132122
22x
sindcossinda2sinap
cosdcossinda2cosap (4.51)
( ) ( ) 2y
2x1
21
2221
21
223 ppsincosasincosd +=θ+θ+θ+θ
352y
2x
22
23 ppad +=+ pt. a2 = const.
A doua soluţie este 22
2y
2x3 appd −+=
Din prima relaţie a sistemului 4.50 şi anume
x1213 pcosasind =θ+θ Fig. 4.9
se admite o soluţie de forma:
DcosBsinA 11 =θ+θ (4.52)
Utilizând substituţia (conform Fig. 4.9):
22 BAriarABarctgundesinrBsicosrA +==ϕϕ=ϕ= (4.53)
( )
( )
( ) ( )( )
ABarctg
DBADarctg
DBADarctg
DrDarctg
DrD
rD1
rD
cossintg
rD1cos
rDsin
rDcossinsincos
Dcossinrsincosr
2221
222221
22
2
21
11
2
2
1
1
11
11
−−+±
=θ
−+±=
−±=θ+ϕ
−±=
−±
=θ+ϕθ+ϕ
=θ+ϕ
−=θ+ϕ
=θ+ϕ
=θϕ+θϕ
=θϕ+θϕ
(4.54)
Pentru A = d3 B = a2 şi D = px se obţine a treia soluţie θ1:
3
22x
22
23
x1 d
aarctgpad
parctg −−+
±=θ
ϕ B
A
r
x
y
365 MODELUL CINEMATIC DIRECT ŞI INVERS AL ROBOTULUI
In cazul rezolvării problemei cinematice directe a vitezelor se cunosc lungimile elemen-
telor şi vitezele lor relative şi se calculează viteza rezultantă a punctului caracteristic M.
In cazul rezolvării problemei cinematice inverse a vitezelor se cunosc lungimile
elementelor şi viteza rezultantă a punctului caracteristic M (Fig. 5.1) şi se calculează
vitezele relative ale cuplelor conducătoare.
5.1 Modelul cinematic direct al robotului
Fig. 5.1 Model de calcul pentru analiza cinematică directă a vitezelor
Se consideră un sistem de referinţă fix ataşat bazei robotului - RI cu originea în
punctul O0 şi un sistem de referinţă mobil ataşat efectorului final – EF sau obiectului
manipulat cu originea în punctul caracteristic M = Oi. Starea de viteză a EF se
defineşte prin matricea:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Φ= &r
&r&r PX (5.1)
unde: { }Tzyx PPPP &&&&r = este vectorul viteză liniară al originii Oi;
{ }Tzyx ΦΦΦ=Φ &&&&r este vectorul viteză unghiulară rezultant al EF;
zi
A
N
OPz0
x0 y0O0
M=Oi
xi
yi RI
EF
37Se defineşte matricea vitezelor generalizate:
{ }T654321 qqqqqqQ &&&&&&&r = (5.2)
unde: ( )ii tq θ
∂∂
=& pentru o cuplă conducătoare de rotaţie;
( )ii dt
q∂∂
=& pentru o cuplă de translaţie;
Legătura dintre cele două relaţii X&r
şi Q&r
este dată de matricea Jacobiană:
QJX &r&r ⋅= (5.3)
sau
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
ΦΦΦ
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
z
y
x
z
y
x
qqqqqq
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
PPP
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
(5.4)
Soluţia problemei constă în determinarea elementelor matricei Jacobiene.
Explicitând prima linie:
616515414313212111x qJqJqJqJqJqJP &&&&&&& +++++= (5.5)
pentru: t
PP xx ∂
∂=&
tqq i
i ∂∂
=& (5.6)
se obţine 1616515414313212111x q/qJqJqJqJqJqJP ∂∂+∂+∂+∂+∂+∂=∂ (5.7)
respectiv:
1
616
1
515
1
414
1
313
1
212
1
x11 q
qJqqJ
qqJ
qqJ
qqJ
qPJ
∂∂
−∂∂
−∂∂
−∂∂
−∂∂
−∂∂
= (5.8)
38şi având în vedere că în fiecare cuplă conducătoare parametrii cinematici sunt
independenţi între ei, adică:
0qq
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2 =∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
1
x11 q
PJ∂∂
= (5.9)
În mod similar se deduc şi celelalte elemente ale matricei Jacobiene,
soluţionând linie cu linie relaţia 5.4. Sistemul de 36 de relaţii rezultat este de forma:
i
xi1 q
PJ∂∂
= i
yi2 q
PJ
∂
∂=
i
zi3 q
PJ∂∂
= i
xi4 q
J∂Φ∂
= i
yi5 q
J∂
Φ∂=
i
zi6 q
J∂Φ∂
= (5.10)
5.2 Modelul cinematic invers al robotului
Cunoscând starea de viteză a EF prin matricea X&r
, se determină starea de viteză a
cuplelor conducătoare cu relaţia:
XJQ 1 &r&r ⋅= − (5.11)
Din expresiile elementelor matricei Jacobiene, se constată că elementele primei
coloane depind numai de q1, elementele celei de-a doua coloane depind numai de q2,
ş.a.m.d., adică: Ji1 = f(q1) Ji2 = f(q2) . . . Ji6 = f(q6) (5.12)
Astfel primele trei linii ale matricei Jacobiene se obţin cu ajutorul submatricei de
translaţie, iar următoarele trei linii cu ajutorul submatricei de rotaţie din cadrul
matricei de transformare omogenă.
5.3 Metoda P. G. Ránky de determinare a elementelor matricei Jacobiene
Considerând un punct „P”, definit de vectorul de poziţie Pr
, faţă de un sistem de
referinţă mobil cu originea OM, poziţionat în raport cu un sistem de referinţă fix cu
originea în OF, prin vectorul 0Xr
.
39
Fig. 5.2 Model de calcul pentru viteza punctului P
Ecuaţia vectorială a punctului P în sistemul de referinţă fix:
PXX F0
FF rrr+= (5.13)
derivată în raport cu timpul:
PVV F0
FF ′+=rrr
(5.14)
Considerând submatricea de orientare definită prin relaţia_
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αααθ−αθθαθαθ−θ
=cossin0
sincoscoscossinsinsincossincos
R (5.15)
Vectorul de poziţie al punctului P în raport cu sistemul de referinţă fix se exprimă
prin relaţia:
PRP MM
FF rr⋅= (5.16)
sau derivata ei:
PRPRP MM
FMM
FF ′⋅+⋅′=′rrr
(5.17)
Întrucât matricea R este ortonormală, având proprietatea:
T1 RR =− IRR 1 =⋅−
şi cum: 0PP MM ttancons =′⇒=rr
(5.18)
zM 0x
zF
xF yFOF
OM
xM
yM P
xP
40se obţine:
( ) ( ) PRPRRRPRRRP MFFMFTFMTFF rrrr⋅⋅Ω=⋅⋅⋅′=⋅⋅⋅′=′ (5.19)
Derivând relaţia 5.15 se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡αθαθ−θαθαθ−θ−
=′
000sinsincossincossincoscoscossin
R (5.20)
Transpusa matricei din relaţia 5.15 este:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ααθ−αθααθαθ−
θθ=
cossincossinsinsincoscoscossin
0sincosR T (5.21)
iar produsul matriceal:
Ω=θ⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=⋅′ &
000001010
RR T (5.22)
Revenind la relaţia 5.14:
PRVV MFF0
FF rrr⋅⋅Ω+= (5.23)
Submatricea de translaţie are expresia:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧θ⋅θ⋅
=dsinacosa
X0F r (5.24)
care prin derivare:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θ⋅⋅θθ⋅⋅θ−
=dcosasina
V0F
&
&
&r
(5.25)
41Relaţia finală a vitezei liniare este
Pcossin0
sincoscoscossinsinsincossincos
000001010
dcosasina
V MF r&
&
&
&r
⋅αα
αθ−αθθαθαθ−θ
⋅θ⋅−
+θ⋅⋅θθ⋅⋅θ−
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
(5.26)
5.4 Cinematica unei cuple conducătoare de rotaţie
Fig. 5.3 Schema unei cuple conducătoare de rotaţie
Pentru cupla conducătoare de rotaţie conform Fig. 5.3 viteza liniară a originii 0F Vr
,
deci din relaţia 5.23 se obţine: PRV MFFF rr⋅⋅Ω= (5.27)
Fig. 5.4 Calculul vectorilor de poziţie al punctului P
Pentru două elemente succesive „i-1” şi „i” legate între ele printr-o cuplă
conducătoare de rotaţie i-1Ci relaţia 5.27 devine:
ni
i1i
i1i
i1i PRV
rr⋅⋅Ω= −−− (5.28)
yi-1 Oi-1
zi-1 xi-1
Oi
zi
xi
yi
On-1
zn-1
xn-1
yn-1
On=M
zn
xn
yn
ni Pr
n1i Pr−
ZF = ZM
YM
XF
OF = OM
XM
YFθi
θi
θi
0
1
42
Considerând vectorul ni Pr
ca unind punctul caracteristic M, aparţinând efectorului
final cu originea Oi, vectorul n1i Pr
− se obţine din relaţia:
ni
i1i
n1i PRP
rr⋅= −− (5.29)
Expresie utilizată în relaţia 5.28 conduce la:
n1i
i1i
i1i PV
rr−−− ⋅Ω= (5.30)
sau: i
n
x
y1i
iz
y
x1i
i
i
1i
i1i
0PP
PPP
000001010
V θ⋅⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅θ⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
−−−
− &&r
(5.31)
Pentru a exprima viteza elementului „i” în sistemul de referinţă fix este necesar să
apelăm la submatriacea de rotaţie R a matricei de transformare omogenă 0 T i-1 şi
anume 0 R i-1 şi obţinem:
( ) ( ) inx1i
1iz
y
x0
ny1i
1iz
y
x0
i
n
x
y1i
1izzz
yyy
xxx0
i
n
x
y1i
1i0
i0
POOO
PNNN
0PP
AONAONAON
0PP
RV
θ⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
=θ⋅⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=θ⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−⋅=
−
−
−
−
−
−
−
−
&
&&r
(5.32)
Mişcarea de rotaţie finită în jurul axei zi:
iiiii1i
100
kj0i0 θ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=θ++=Φ−
rrrr (5.33)
iar derivata: ii1i
100θ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=Φ− &&r (5.34)
43În mod similar pentru a exprima viteza unghiulară a elementului „i” în sistemul de
referinţă fix, apelăm la submatricea de rotaţie 0 R i-1:
i
1iz
y
x0
ii1i
1izzz
yyy
xxx0
i1i
1izzz
yyy
xxx0
i0
AAA
100
AONAONAON
AONAONAON
θ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=θ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=Φ⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Φ⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Φ
−
−
−
−
−
&&&r&r&r (5.35)
Grupând viteza liniară şi viteza unghiulară relativă şi absolută conform relaţiei 5.1:
i
1i
i1i VX
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Φ=
−−
&r
r&r i
n
x
y1i
i1i
1000PP
X θ⋅
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧−
=
−
− &&r (5.36a)
i
0
i0 VX
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Φ= &r
r&r
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
ΦΦΦ
=
−
−
−
−
−
1iz
y
x0
nx1i
1iz
y
x0
ny1i
1iz
y
x0
iz
y
x
z
y
x0
i0
AAA
POOO
PNNN
PPP
X
&
&
&
&
&
&
&riθ& (5.36b)
5.5 Cinematica unei cuple conducătoare de translaţie
Fig. 5.5 Schema unei cuple conducătoare de translaţie
ZM
YM
XF
OM
XM
YF
0
OF
1 ZF
di
44Se caracterizează prin lipsa mişcării de rotaţie: 0ttancons =θ⇒=θ & deci
rămâne numai componenta specifică translaţiei: 0FF VVrr
= (5.37)
Considerând sistemele fix şi mobil ca fiind două sisteme succesive ataşate
elementelor „i-1” şi ”i” legate între ele printr-o cuplă de translaţie i-1Ci:
i
n
1i
ni
1i
i1i d
100
d00
V &
&
r⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−
− (5.38)
Pentru a exprima viteza elementului „i” în sistemului de referinţă fix se apelează la
submatricea de orientare 0 R i-1 a matricei de transformare omogenă 0 T i-1:
i
1iz
y
x
i
n
1i
1izzz
yyy
xxx0
i1i
1i0
i0 d
AAA
d100
AONAONAON
VRV &&rr
⋅⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⋅=
−
−
−
−− (5.39)
Ţinând cont că vectorul viteză unghiulară relativă 0i1i =Φ− &r şi absolută i
0Φ&r
= 0,
alături de viteza liniară relativă şi absolută se obţine:
i
1i
i1i VX
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Φ=
−−
&r
r&r i
n
1i
i1i d
000100
X &&r ⋅
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−
− (5.40a)
i
0
i0 VX
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Φ= &r
r&r i
1i
z
y
x0
iz
y
x
z
y
x0
i0 d
000
AAA
PPP
X &
&
&
&
&
&
&
&r ⋅
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
ΦΦΦ
=
−
(5.40b)
456. MODELUL CINETOSTATIC AL DISPOZITIVULUI DE GHIDARE AL
ROBOŢILOR
Se consideră dispozitivul de ghidare al unui robot industrial având la bază lanţul cinematic
deschis prezentat în Fig. 6.1. Pentru determinarea reacţiunilor dinamice în cuplele cinematice şi
a forţelor / momentelor de echilibrare în cuplele cinematice conducătoare se impune să
cunoaştem mişcarea mecanismului şi rezultanta forţelor / momentelor exterioare (gravitaţionale,
de frecare şi tehnologice) nFr
şi nMr
ce acţionează asupra elementului „n”.
Fig. 6.1 Schema de calcul cinetostatic al dispozitivului de ghidare al roboţilor
Se va determina torsorul reacţiunilor dinamice ARr
şi AMr
din cupla cinematică de
rotaţie A pentru a atinge starea de mişcare dorită. Ecuaţiile de echilibru sunt:
0
nF
i-1
1
2
i
n-1 n
nM
AM
A
AR
DM
DR
D
M
N
iF
iM
46
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
0MM
0FR
nA
nArr
rr
(6.1)
Admiţând că, cupla cinematică D este o cuplă de translaţie, al cărui torsor al forţelor exterioare
include forţele/momentele iFr
şi iMr
de echilibrare ale cuplei cinematice analizate anterior,
atunci ecuaţia de echilibru este:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
0MM
0FR
iD
iDrr
rr
(6.2)
Torsorul forţelor generalizate din cupla cinematică de rotaţie A este:
{ }{ }⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=ℜT
1x3AzAyAxA
T1x3AzAyAxA
1x6A
AA
MMMM
RRRRunde
M
Rr
rr
(6.3)
iar torsorul forţelor generalizate exterioare:
{ }{ }⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=ℑT
1x3nznynxn
T1x3nznynxn
1x6n
n
MMMM
FFFFunde
M
Fr
rr
(6.4)
Utilizând matricea Jacobiană:
ℑ⋅=ℜrr
JA (6.5)
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
nz
ny
nx
nz
ny
nx
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
Az
Ay
Ax
Az
Ay
Ax
MMMFFF
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
MMMRRR
Explicitând prima linie:
nz16ny15nx14nz13ny12nx11Ax MJMJMJFJFJFJR ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (6.6)
47Se determină elementele matricei Jacobiene:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
nz
Az66
ny
Az65
nx
Az64
nz
Az63
ny
Az62
nx
Az61
nz
Ay56
ny
Ay55
nx
Ay54
nz
Ay53
ny
Ay52
nx
Ay51
nz
Ax46
ny
Ax45
nx
Ax44
nz
Ax43
ny
Ax42
nx
Ax41
nz
Az36
ny
Az35
nx
Az34
nz
Az33
ny
Az32
nx
Az31
nz
Ay26
ny
Ay25
nx
Ay24
nz
Ay23
ny
Ay22
nx
Ay21
nz
Ax16
ny
Ax15
nx
Ax14
nz
Ax13
ny
Ax12
nx
Ax11
MMJ
MMJ
MMJ
FMJ
FMJ
FMJ
MM
JMM
JMM
JF
MJ
FM
JF
MJ
MMJ
MMJ
MMJ
FMJ
FMJ
FMJ
MRJ
MRJ
MRJ
FRJ
FRJ
FRJ
MR
JMR
JMR
JFR
JFR
JFR
J
MRJ
MRJ
MRJ
FRJ
FRJ
FRJ
(6.7)
6.1 Cinetostatica unei cuple conducătoare de rotaţie
Fig. 6.2 Model de calcul al unei cuple conducătoare de rotaţie
n-1
nM
nF
θ AM
AR
Ah
ndi
j
k
xn
yn
zn
n
eAM
On
48Ecuaţia de echilibru în cupla cinematică A este:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=Σ+×+×++
=+
0MFdRhMM
0FR
fAnnAAnA
nArrrrrrr
rr
(6.8)
Neglijând efectul momentelor forţelor de frecare: 0MfA =Σr
şi:
{ } { }{ } { }{ } { }⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
T1x3AzAyAxA
T1x3nznynxn
T1x3AzAyAxA
T1x3nznynxn
T1x3AzAyAxA
T1x3nznynxn
hhhhddddMMMMMMMM
RRRRFFFF
rr
rr
rr
(6.9)
Pentru 0MfA ≠Σr
vezi Roboţi Industriali – Kovacs F. şi Rădulescu C.: Litografia Institutul Politehnic ”Traian Vuia” Timişoara, 1992 – pag. 116.
unde: nFr
- rezultanta forţelor exterioare;
nMr
- momentul rezultant al forţelor exterioare;
ndr
- perpendiculara din On pe direcţia vectorului nFr
;
ARr
- reacţiunea din cupla cinematică A; AM
r- momentul reactiv din cupla cinematică A;
Ahr
- perpendiculara din On pe direcţia vectorului ARr
.
Din prima ecuaţie a relaţiei 6.8 rezultă:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
nz
ny
nx
Az
Ay
Ax
FFF
RRR
nzAz
nyAy
nxAx
FRFRFR
−=−=−=
(6.10)
Ceea ce permite, ca din relaţia 6.7, să se determine elementele matricei Jacobiene din
primele trei linii:
0JJJJJ1FRJ
0JJJJJ1FR
J
0JJJJJ1FRJ
3635343231nz
Az33
2625242321ny
Ay22
1615141312nx
Ax11
=====−=∂∂
=
=====−=∂∂
=
=====−=∂∂
=
(6.11)
Neglijând suma momentelor forţelor de frecare 0MfA =Σr
şi efectuând produsele:
49
( ) ( )( )kRhRh
jRhRhiRhRh
RRRhhhkji
RhAxAyAyAx
AxAzAzAxAyAzAzAy
AzAyAx
AzAyAxAA r
rrrr
−++−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=× (6.12)
( ) ( )( )kFdFd
jFdFdiFdFd
FFFdddkji
Fdnxnynynx
nxnznznxnynznzny
nznynx
nznynxnn r
rrrr
−++−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=× (6.13)
Din a doua ecuaţie a relaţiei 6.8 rezultă:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
nxnynynx
nznxnxnz
nynznzny
AxAyAyAx
AzAxAxAz
AyAzAzAy
nz
ny
nx
Az
Ay
Ax
FdFdFdFdFdFd
RhRhRhRhRhRh
MMM
MMM
(6.14)
Ceea ce permite să se determine elementele matricei Jacobiene din ultimele trei linii:
( ) ( ) nznyAynynzAznx
nynznyAznznynzAynx
nynznznyAyAzAzAynxAx
FdhFdhM
FdFhFdFhM
FdFdRhRhMM
−+−−−=
+−−+−=
+−+−−=
(6.15)
( ) ( )
0MMJ0
MMJ1
MMJ
dhF
MJdhF
MJ0F
MJ
nz
Ax46
ny
Ax45
nx
Ax44
nyAynz
Ax43nzAz
ny
Ax42
nx
Ax41
=∂∂
==∂∂
=−=∂∂
=
−+=∂∂
=−−=∂∂
==∂∂
=
(6.16)
( ) ( ) nznxAxnxnzAzny
nznxnzAxnxnznxAzny
nznxnxnzAzAxAxAznyAy
FdhFdhM
FdFhFdFhM
FdFdRhRhMM
−−−+−=
+−−+−=
+−+−−=
(6.17)
( ) ( )
0MM
J1MM
J0MM
J
dhF
MJ0
FM
JdhF
MJ
nz
Ay56
ny
Ay55
nx
Ay54
nxAxnz
Ay53
ny
Ay52nzAz
nx
Ay51
=∂
∂=−=
∂
∂==
∂
∂=
−−=∂
∂==
∂
∂=−+=
∂
∂=
(6.18)
50
( ) ( ) nynxAxnxnyAynz
nynxnyAxnxnynxAynz
nxnynynxAxAyAyAxnzAz
FdhFdhM
FdFhFdFhM
FdFdRhRhMM
−+−−−=
−++−−=
+−+−−=
(6.19)
( ) ( )
1MMJ0
MMJ0
MMJ
0F
MJdhF
MJdhF
MJ
nz
Az66
ny
Az65
nx
Az64
nz
Az63nxAx
ny
Az62nyAy
nx
Az61
−=∂∂
==∂∂
==∂∂
=
=∂∂
=−+=∂∂
=−−=∂∂
=
(6.20)
Elementele matricei Jacobiene sunt:
( )( )( ) 62nxAx53
61nyAy43
51nzAz42
665544332211
JdhJ
JdhJJdhJ
1JJJJJJ
−=−−=
−=−+=−=−−=
−======
(6.21)
Matrcea Jacobiană pentru o cuplă conducătoare de rotaţie are expresia:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
665343
555342
444342
33
22
11
rotatie
J000JJ0J0J0J00JJJ0000J000000J000000J
J (6.22)
Momentului de echilibrare MeA din cupla cinematică de rotaţie A, ce acţionează pe
direcţia axei z şi pune în mişcare elementul „n” în raport cu „n-1”, se obţine din
relaţia:
MeA = MAz (6.23)
516.2 Cinetostatica unei cuple conducătoare de translaţie
Fig. 6.3 Model de calcul al unei cuple conducătoare de translaţie
Ecuaţia de echilibru în cupla cinematică D este:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=×+×++
=Σ++
0FdRhMM
0FFR
nnDDnD
fDnDrrrrrr
rrr
(6.24)
Pentru : 0FfD =Σr
şi:
{ } { }{ } { }{ } { }⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
T1x3DzD
T1x3nznynxn
T1x3DzDyDxD
T1x3nznynxn
T1x3DzDyDxD
T1x3nznynxn
h00hddddMMMMMMMM
RRRRFFFF
rr
rr
rr
(6.25)
Pentru 0FfD ≠Σr
vezi Roboţi Industriali – Kovacs F. şi Rădulescu C.: Litografia Institutul Politehnic ”Traian Vuia” Timişoara, 1992 – pag. 126.
unde: nFr
- rezultanta forţelor exterioare;
nMr
- momentul rezultant al forţelor exterioare;
ndr
- perpendiculara din On pe direcţia vectorului nFr
;
DRr
- reacţiunea din cupla cinematică D;
n-1
nM
nF
d DM
DR
Dh
nd
i
j
k
xn
yn
zn
n
eDF
On
52
DMr
- momentul reactiv din cupla cinematică D;
Dhr
- paralela cu direcţia de mişcare.
Din prima ecuaţie a relaţiei 6.24 rezultă:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
nz
ny
nx
Dz
Dy
Dx
FFF
RRR
nzDz
nyDy
nxDx
FRFRFR
−=−=−=
(6.26)
Ceea ce permite, ca din relaţia 6.7, să se determine elementele matricei Jacobiene din
primele trei linii:
0JJJJJ1FRJ
0JJJJJ1FR
J
0JJJJJ1FRJ
3635343231nz
Dz33
2625242321ny
Dy22
1615141312nx
Dx11
=====−=∂∂
=
=====−=∂
∂=
=====−=∂∂
=
(6.27)
Neglijând suma forţelor de frecare 0FfD =Σr
şi efectuând produsele:
jRhiRhRRRh00kji
Rh DxDzDyDz
DzDyDx
DzDD
rrrr+−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=× (6.28)
( ) ( )( )kFdFd
jFdFdiFdFd
FFFdddkji
Fdnxnynynx
nxnznznxnynznzny
nznynx
nznynxnn r
rrrr
−++−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=× (6.13)
Din a doua ecuaţie a relaţiei 6.24 rezultă:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
nxnynynx
nznxnxnz
nynznzny
DxDz
DyDz
nz
ny
nx
Dz
Dy
Dx
FdFdFdFdFdFd
0RhRh
MMM
MMM
(6.29)
Ceea ce permite să se determine elementele matricei Jacobiene din ultimele trei linii:
53
( ) nznynynzDznx
nynznznynyDznx
nynznznyDyDznxDx
FdFdhM
FdFdFhM
FdFdRhMM
−−−−=
+−−−=
+−+−=
(6.30)
( )
0MMJ0
MMJ1
MMJ
dF
MJdhF
MJ0F
MJ
nz
Dx46
ny
Dx45
nx
Dx44
nynz
Dx43nzDz
ny
Dx42
nx
Dx41
=∂∂
==∂∂
=−=∂∂
=
−=∂∂
=−−=∂∂
==∂∂
=
(6.31)
( ) nznxnxnzDzny
nznxnxnznxDzny
nznxnxnzDxDznyDy
FdFdhM
FdFdFhM
FdFdRhMM
+−+−=
+−+−=
+−−−=
(6.32)
( )
0MM
J1MM
J0MM
J
dF
MJ0
FM
JdhF
MJ
nz
Dy56
ny
Dy55
nx
Dy54
nxnz
Dy53
ny
Dy52nzDz
nx
Dy51
=∂
∂=−=
∂
∂==
∂
∂=
=∂
∂==
∂
∂=−+=
∂
∂=
(6.33)
nynxnxnynznxnynynxnzDz FdFdMFdFdMM −+−−=+−−= (6.34)
1MMJ0
MMJ0
MMJ
0F
MJdF
MJdF
MJ
nz
Dz66
ny
Dz65
nx
Dz64
nz
Dz63nx
ny
Dz62ny
nx
Dz61
−=∂∂
==∂∂
==∂∂
=
=∂∂
=−=∂∂
==∂∂
=
(6.35)
Elementele matricei Jacobiene sunt:
( )
62nx53
61ny43
51nzDz42
665544332211
JdJ
JdJJdhJ
1JJJJJJ
−=+=
−=−=−=−−=
−======
(6.36)
Matrcea Jacobiană pentru o cuplă conducătoare de translaţie are expresia:
54
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
665343
555342
444342
33
22
11
translatie
J000JJ0J0J0J00JJJ0000J000000J000000J
J (6.37)
Forţa de echilibrare FeA din cupla cinematică de translaţie D, ce acţionează pe direcţia
axei z şi pune în mişcare elementul „n” în raport cu „n-1”, se obţine din relaţia:
FeD = RDz (6.38)
Analiza cinetostatică se efectuează pentru fiecare cuplă conducătoare în parte ,
pornind de la efectorul final. Torsorul forţelor exterioare (forţa gravitaţională, forţele
tehnologice şi momentul rezultant al forţelor exterioare) ce încarcă elementul „n” şi
cupla cinematică n-1Cn, permit determinarea reacţiunilor dinamice şi a forţei,
respectiv momentului de echilibrare cu ajutorul căreia se poate alege motorul de
antrenare liniar, respectiv rotativ.
Forţa, respectiv momentul de echilibrare astfel determinat se va îngloba în torsorul
forţelor exterioare (reacţiunea şi momentul reactiv ce încarcă elementul „n-1”), ceea
ce permite determinarea reacţiunii şi forţei, respectiv momentului de echilibrare din
cupla conducătoare n-2Cn-1 ş.a.m.d.
557. MODELUL DINAMIC AL DISPOZITIVULUI DE GHIDARE AL
ROBOŢILOR
În capitolele precedente am studiat modelul matematic al manipulării într-o celulă de
fabricaţie flexibilă, modelele geometrice ale situării obiectului manipulat, modelul
cinematic şi modelul cinetostatic al dispozitivului de ghidare al roboţilor, dar nu am
considerat niciodată forţa ca o cauză a mişcării. În acest capitol vom considera
ecuaţiile de mişcare ale roboţilor pe baza forţei, respectiv momentului de acţionare al
motorului. Dinamica roboţilor va fi studiată pe structuri de roboţi având la bază
lanţuri cinematice deschise. Dinamica roboţilor comportă două probleme:
⇒ prima problemă o reprezintă cazul când se impune un punct pe traiectorie,
q,q,q &&& şi dorim să aflăm momentul motor Mm, cazul conducerea robotului;
⇒ a doua problemă este cum să calculăm mişcarea mecanismului la aplicarea
unor forţe, respectiv momente motoare în cuple conducătoare. Deci se
cunoaşte momentul de acţionare Mm şi se calculează q,q,q &&& , cazul simularea
mişcării robotului.
7.1 Modelul Lagrange – Euler
Modelul dinamic al unui robot utilizând metoda Lagrange – Euler este simplă şi
sistematică. Ecuaţiile mişcării ce se obţin sunt de ordinul doi, ecuaţii diferenţiale
neliniare specifice mişcărilor cuplate. De precizat că pentru a simplifica aceste ecuaţii
s-au neglijat dinamica conducerii şi forţele de frecare din angrenaje.
Formalismul lagrangean se bazează pe funcţia lui Lagrange definită prin:
L = Ec – Ep (7.1)
56Ecuaţiile dinamice clasice exprimate în termenii funcţiei lagrangene sunt:
n,1iQqL
qL
dtd
iii
==∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂&
(7.2)
unde n este numărul de grade de mobillitate al robotului, qi – coordonata generalizată,
q& – viteza generalizată, iar Qi – forţa generalizată.
Ecuaţiile dinamice pentru un robot se obţin in 5 paşi:
a. se calculează viteza liniară a tuturor punctelor materiale ale elementelor;
b. se calculează energia cinetică Eci = 0,5 m . v2;
c. se calculează energia potenţială Ep = m g h;
d. se formează funcţia lui Lagrange L = Ec – Ep;
e. se determină ecuaţia dinamică n,1iqL
qL
dtdQ
iii =
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=&
a. Calculul vitezei unui punct al robotului
Un punct material aparţinând elementului „i” este definit în raport cu sistemul de
referinţă propriu prin vectorul de poziţie:
{ }Tiii
i 1zyxr =r (7.3)
iar în raport cu sistemul de referinţă fix prin vectorul de poziţie:
{ }T000
0 1zyxr =r (7.4)
Relaţia de legătură dintre cei doi vectori de poziţie:
rTr ii
00 rr⋅= ( ) i,1j)t(qqqTT jjji
0i
0 === (7.5)
iar viteza: ( ) ttanconsr0rt
rqqTr iii
i
1jj
j
i0
0 ==∂∂
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
= ∑=
r&rr&&r (7.6)
57Pătratul vitezei se exprimă prin produsul scalar:
( ) rrr 0020 &r&r&r ⋅= (7.7)
sau prin urma matricei produs (la o matrice pătratică suma pătratelor elementelor de
pe diagonala principală):
( ) ( )T0020 rrTRr &r&r&r ⋅= (7.8)
care conduce la:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅⋅∂∂
=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
∂∂
⋅⋅∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∑∑
∑ ∑
= =
= =
kj
T
k
i0
Tiii
1j
i
1k j
i0
i
1j
Ti
1k
ik
k
i0
ij
j
i02
qqqTrr
qTTR
rqqTrq
qTTR
dtrd
&&rr
r&
r&
r
(7.9)
b. Calculul energiei cinetice
Energia cinetică a unei particule de masă „dm” localizătă în elementul „i” prin
vectorul de poziţie ri r este:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅⋅∂∂
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑
= =kj
T
k
i0
Tiii
1j
i
1k j
i02
ci qqqTdmrr
qTTRdm
dtrd
21dE &&
rrr
(7.10)
Energia cinetică a elementului „i” este suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor
materiale ale elementului „i”:
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅⋅∂∂
== ∫∑∑∫= =
kj
T
k
i0
Mi
Tiii
1j
i
1k j
i0
Micic qq
qTdmrr
qTTR
21dEE &&
rr (7.11)
Matricea de inerţie:
( )∫ ⋅⋅=Mi
Tiii dmrrJ rr (7.12)
58sau:
{ }
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⋅
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫
MiMii
Mii
Mii
Mii
Mi
2i
Miii
Miii
Mii
Miii
Mi
2i
Miii
Mii
Miii
Miii
Mi
2i
Miiii
i
i
i
dmdmzdmydmx
dmzdmzdmyzdmxz
dmydmzydmydmxy
dmxdmzxdmyxdmx
dm1zyx
1zyx
(7.13)
Ţinând cont de momentele de inerţie axiale şi a centrifugale, în raport cu sistemul de
referinţă propriu elementului „i”:
( )( )( ) ∫∫
∫∫
∫∫
=+=
=+=
=+=
Miiiyz
Mi
2i
2izz
Miiixz
Mi
2i
2iyy
Miiixy
Mi
2i
2ixx
dmzyIidmyxIi
dmzxIidmxzIi
dmyxIidmzyIi
(7.14)
şi a momentelor statice mecanice:
iiMi
iiiMi
iiiMi
i zMdmzyMdmyxMdmx === ∫∫∫ (7.15)
unde iii z,y,x sunt coordonatele centrului de greutate al elementului „i”, în care este
concentrată masa Mi.
Întrucât:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )zzyyxx
Mi
2i
2i
Mi
2i
2i
Mi
2i
2i
Mi
2i
zzyyxx
Mi
2i
2i
Mi
2i
2i
Mi
2i
2i
Mi
2i
IiIiIi21
dmzy21dmyx
21dmxz
21dmy
IiIiIi21
dmyx21dmxz
21dmzy
21dmx
+−=
=+++++−=
++−=
=+++++−=
∫∫∫∫
∫∫∫∫
(7.16 a)
59
( ) ( ) ( )
( )zzyyxx
Mi
2i
2i
Mi
2i
2i
Mi
2i
2i
Mi
2i
IiIiIi21
dmxz21dmzy
21dmyx
21dmz
−+=
=+++++−= ∫∫∫∫ (7.16 b)
rezultă:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
+−
++−
=
iiiiiii
iizzyyxx
zyzx
iiyzzzyyxx
yx
iixzxyzzyyxx
i
MzMyMxM
zM2
IiIiIiIiIi
yMIi2
IiIiIiIi
xMIiIi2
IiIiIi
J (7.17)
ceea ce permite reformularea relaţiei:
∑∑= = ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
=i
1j
i
1kkj
T
k
i0
ij
i0
ic qqqTJ
qTTR
21E && (7.18)
Energia cinetică totală ale elementelor componente ale dispozitivului de ghidare:
∑∑∑∑= = ==
⋅⋅⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
==6
1ikj
i
1j
i
1k
T
k
i0
ij
i06
1iicc qq
qTJ
qTTR
21EE && (7.19)
c. Calculul energiei potenţiale
Energia potenţială a elementului „i” de masă Mi, admiţând că nivelul de potenţial
zero este planul xiOiyi al sistemului de referinţă propriu elementului „i”, este
exprimată de relaţia:
( )cii
i0T
iip rTgME rr⋅⋅−= (7.20)
unde vectorul acceleraţie gravitaţională este: { }Ti
i 1g00g =r (7.21)
60iar vectorul de poziţie al centrului de greutate Ci al elementului „i”, în care este
concentrată masa Mi a acestui element este: { }Tiiicii 1zyxr =r (7.22)
Energia potenţială totală a elementelor dispozitivului de ghidare este:
( )∑∑==
⋅⋅−==6
1ici
ii
0Ti
6
1iipp rTgMEE rr (7.23)
d. Funcţia Lagrange
L = Ec – Ep (7.1)
( )∑∑∑∑== = =
⋅⋅+⋅⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
=6
1ici
ii
0Ti
6
1ikj
i
1j
i
1k
T
k
i0
ij
i0
rTgMqqqTJ
qTTR
21L rr
&& (7.24)
f. Ecuaţiile dinamice
k,j,imaxpQqL
qL
dtd
ipp
==∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂&
(7.25)
k
6
pi
i
1k
T
k
i0
ip
i0
pq
qTJ
qTTR
qL
&&
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
=∂∂ ∑∑
= = (7.26)
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
= = =
= = =
= =
⋅⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
⋅⋅∂∂
+
+⋅⋅⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
∂+
+⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
6
pimk
i
1k
i
1m
T
mk
i02
ip
i0
6
pimk
i
1k
i
1m
T
k
i0
imp
i02
k
6
pi
i
1k
T
k
i0
ip
i0
p
qqqqTJ
qTTR
qqqTJ
qqTTR
qqTJ
qTTR
qL
dtd
&&
&&
&&&
(7.27)
∑ ∑∑∑= == =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅+⋅⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
∂=
∂∂ 6
pi
6
pici
i
p
i0
Tipj
i
1j
i
1k
T
k
i0
ipj
i02
pr
qTgMqq
qTJ
qqTTR
qL rr
&& (7.28)
61Având în vedere că ecuaţiile dinamice sunt independente de ordinea de sumare se
evidenţiază următoarea formă:
6,1iQDqqDqD iikj
i
1j
i
1kijki
i
1jij ==+⋅⋅+⋅ ∑∑∑
= ==&&&& (7.29)
unde iq&&r - acceleraţia generalizată { }Tn21i q...qqq &&&&&&&&r =
jq&r - viteza generalizată { }Tn1n3121kj qq...qqqqqq &&&&&&&r&r
−=
{ }T2n
22
21
2k q...qqq &&&&r = (7.30)
D ij - este termenul inerţial:
∑= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
=6
j,imaxp
T
i
p0
pj
p0
ij qT
JqT
TRD (7.31)
pentru: i = j D ii este termenul inerţial al cuplei conducătoare „i”;
pentru: ji ≠ D ij este cuplarea efectului inerţial între cuplele conducătoare „i” şi „j”;
Termenul cinetic: ∑= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅∂∂
∂=
6
k,j,imaxp
T
i
p0
pkj
p02
ijk qT
JqqT
TRD (7.32)
pentru: j = k D ijj este termenul forţei centrifugale al cuplei conducătoare „i”,
dependent de acceleraţia cuplei „j”;
pentru kj≠ D ijk este termenul forţei Corriolis al cuplei conducătoare „i”, dependent
de acceleraţia cuplelor „j” şi „k”;
Termenul gravitaţional D i ce încarcă cupla conducătoare „i”:
6,1irqT
gMD6
1pci
p
i
p0
Tii =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⋅⋅−= ∑=
rr (7.33)
62Matricele D depind de dimensiunea elementelor, de masele lor şi de masa
manipulată, de poziţie centrelor de greutate, momentul de inerţie masic şi de poziţia
momentană. Interdependenţa dintre parametri cinematici generalizaţi duce la o
cuplare a mişcărilor. Termenii inerţiali şi gravitaţionali sunt importanţi în conducerea
robotului, deoarece afectează stabilitatea şi precizia de situare. Termenii centrifugal şi
Corriolis sunt importanţi dacă mişcarea are loc cu o viteză mare.
7.2 Modelul Newton – Euler
Se va considera fiecare element al dispozitivlui de ghidare ca un solid rigid. Dacă
cunoaştem centrul de masă şi tensorul de inerţie al elementului, atunci distribuţia
masei este complet caracterizată. Pentru a mişca elementul se impune accelerarea lui.
Forţa de inerţie necesară este în funcţie de masa şi acceleraţia dorită a elementului.
Ecuaţia lui Newton pentru mişcarea de translaţie şi ecuaţia lui Euler pentru mişcarea
de rotaţie fac legătura dintre forţa de inerţie, masă şi acceleraţie.
Fig. 7.1 Acţiunea unei forţe în centrul de masă
În Fig. 7.1 un element avînd centrul de masă Ci va cauza accelerarea conform
ecuaţiei lui Newton: Ciii VMF &rr⋅= (7.34)
unde Mi este masa elementului „i”.
Ci
i
CiV&rCiV
r
iFr
63
Fig. 7.2 Acţiunea unui moment în centrul de masă
În Fig. 7.2 se arată un element rotindu-se cu viteza unghiulară iωr şi acceleraţia
iω&r . În această situaţie, momentul Ni cu care va fii acţionat elementul, va cauza
această mişcare conform ecuaţiei lui Euler:
iiCi
iiiCi
i IIN ω⋅×ω+ω⋅=rr&r
r (7.35)
unde CiIi – tensorul inerţial, relativ la un sistem de axe cu centrul în Ci; Fi – rezultanta forţelor exterioare ce acţionează în centrul de masă; Ni – momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu centrul de masă Ci;
7.2.1 Metoda iterativă Newton – Euler
Stabilirea ecuaţiilor dinamice prin metoda iterativă, care pune în evidenţă
variabilele generalizate, forţele generalizate motoare şi forţele de legătură dintre
elementele componente ale robotului.
a) Metoda iteraţiei de la baza robotului spre efectorul final. Pentru fiecare element
se determină viteza şi acceleraţia liniare şi unghiulare, respectiv forţele şi
momentele forţelor exterioare conform ecuaţiilor dinamice Newton – Euler.
b) Metoda iteraţiei de la efectorul final spre baza robotului. Pentru fiecare
element se determină forţele şi momentele forţelor de legătură dintre
Ci
i
Ciω&r
iNr
Ciωr
64elementele „i-1 – i” şi „i – i+1”, respectiv forţele generalizate motoare din
cuplele cinematice conducătoare ale robotului.
a) Metoda iteraţiei de la baza robotului spre efectorul final (i = 1…n)
În ordine pentru calculul forţei de inerţie ce acţionează asupra elementelor, se
calculează viteza de rotaţie, acceleraţia liniară şi unghiulară a centrului de masă al
fiecărui element. Iteraţia porneşte cu elementul 1 şi continuă element cu element spre
efectorul final „n”.
Propagarea vitezei unghiulare de la element la element:
n,1itranslatieidaca0rotatieidaca1
undekqR iii
ii1i1i
1ii
ii =
⎩⎨⎧
==
=ΔΔ+ω⋅=ω −−
− &rr (7.36)
Viteza liniară a originii fiecărui sistem al elementului „i”:
[ ]⎩⎨⎧
==
=ΔΔ+×ω+= −−
−−
−− translatieidaca0
rotatieidaca1undekqrVRV ii
iiii
1i1i
1i1i
1i1i
ii
i &rrrr
(7.37)
Acceleraţia unghiulare de la un element la altul:
[ ]iiii
ii1i
1i1i
ii1i
1i1i
ii
i kqkqRR &&&&r&r&r +×ω⋅Δ+ω⋅=ω −−
−−−
− (7.38)
Acceleraţia liniară a originii fiecărui sistem al elementului „i”:
( )[ ] [ ]iiii
iii
iii
1i1i
1i1i
1ii
1i1i
1i1i
1i1i
ii
i kqkq2rrVRV &&&&rrrrr&r&r&r +×ωΔ+×ω×ω+×ω+= −−
−−
−−−
−−
−− (7.39)
Acceleraţia centrului de masă:
( )Cii
ii
ii
Cii
ii
ii
Cii rrVV rrrr&r&r&r ×ω×ω+×ω+= (7.40)
De notat că pentru elementul 0 se obţine 000
00 =ω=ω &rr . Având calculate acceleraţiile
liniare şi unghiulare ale centrului de masă al fiecărui element se aplică ecuaţiile lui
65Newton – Euler pentru a calcula forţa de inerţie şi momentul necesar acţionării
centrului de masă al fiecărui element.
Cii
iii VMF &rr
⋅= (7.41)
ii
iCi
ii
Cii
iCi
ii IIN ω⋅×ω+ω⋅= &rr&rr
(7.42)
b) Metoda iteraţiei de la efectorul final spre baza robotului (i = n…1)
Având calculate forţa şi momentul ce acţionează asupra fiecărui element, ne rămâne
să calculăm forţa / momentul ce rezultă în fiecare articulaţie. Acestea se obţin prin
scrierea unei ecuaţii de echilibru a fiecărui element. Asupra fiecărui element
acţionează forţe şi momente exterioare, care sunt echilibrate de forţele şi momentele
de legătură ifrşi inr dintre elementele „i – 1, i” respectiv forţele şi momentele de
legătură 1if +
rşi 1in +r dintre elementele „i, i + 1”
Fig. 7.3 Starea de echilibru al elementului „i”
ifr
– forţa exercitată de elementul ”i” asupra elementului „i-1”;
inr – momentul exercitat de elementul ”i” asupra elementului „i-1”.
Ci (Mi, iIi)
i
ii Nr
zi
zi+1
yi
xi
i+1
i-1
ii Fr
Cii rr
1ii r +r
ii fr
1i1i f ++r
ii nr
1i1i n ++ r
yi+1
xi+1
Oi
Oi+1
66Sumând forţele ce acţionează asupra elementului ”i” scriem de fapt ecuaţia de
echilibru a elementului ”i”:
1i1i
1ii
ii
1ii
ii
ii fRfffF +
+++ ⋅−=−=
rrrrr (7.43)
Sumând momentele ce acţionează în raport cu centrul de masă se obţine ecuaţia de
echilibru a momentelor:
( )
( )1i
1i1i
i1i
ii
iCi
i1i
1i1i
ii
i
1ii
1ii
1ii
ii
Cii
1ii
ii
1ii
Cii
1ii
1ii
ii
Cii
1ii
ii
1ii
Cii
1ii
ii
Cii
1ii
ii
ii
fRrFrnRn
frffrnn
frfrfrnn
frrfrnnN
++
++++
+
++++
++++
+++
⋅×−×+⋅−=
=×−−×−−=
=×+×−×−−=
=×−−×−−=
rrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
(7.44)
În final se pot rearanja relaţiile de echilibru ale forţei şi momentelor astfel ca ele să
devină relaţii iterative, de la elementul „n la 1”.
1i1i
1ii
1ii
ii
Cii
1i1i
1ii
ii
ii
1i1i
1ii
ii
ii
fRrFrnRNn
fRFf
++
++++
+
++
+
⋅×+×+⋅+=
⋅+=rrrrrrr
rrr
(7.45)
Forţa generalizată motoare iQm din cupla cinematică conducătoare este:
( ) fi
iiT
ii
iiiT
ii
imi Qkf1knQ
rrrrrr+⋅⋅Δ−+⋅⋅Δ= (7.46)
unde pentru: f
ii
iTi
im
ii
fi
iiT
ii
mi
i
QkfQtranslatieidaca0
QknQrotatieidaca1rrrr
rrrr
+⋅===Δ
+⋅===Δ (7.47)
fi Qr
- este forţa generalizată datorită frecărilor vâscoase, având expresia:
fci
iifi QqbQ
r&
r⋅⋅= (7.48)
bi - coeficient de frecare vâscoasă;
fci Qr
- este forţa generalizată datorită frecărilor uscate (coulombiene), având
expresia:
67
( ) )q(signfkc1)q(signfk2dcQ ii
ii
iiiii
ii
iiiifc
i &rr
&rrr
⋅×⋅⋅Δ−+⋅×⋅⋅⋅Δ= (7.49)
unde pentru: )q(signfkcQtranslatieidaca0
)q(signfk2dcQrotatieidaca1
ii
ii
ifci
i
iii
iii
ifci
i
&rrr
&rrr
⋅×⋅===Δ
⋅×⋅⋅===Δ (7.50)
ci - coeficient de frecare uscată; di – diametrul fusului din cupla de rotaţie.
7.3 Modelul Apple
Ecuaţiile lui Apple permit exprimarea dinamicii sistemelor mecanice. Ecuaţiile lui
Apple au fost introduse pentru a descrie dinamica sistemelor non - holonomice. In
continuare se tratează utilizarea ecuaţiilor lui Apple pentru sisteme de rigide cuplate.
Se consideră un sistem de N particule notate cu l = 1, 2, …, N. Fie ca particula l să
aibă masa ml şi vectorul de poziţie lrr . Atunci poziţia sistemul este definită prin
vectorii: N21 r,,r,r rL
rr . Fiecare vector de poziţie se poate proiecta într-un sistem de
referinţă cartezian având proiecţiile: x1, x2, x3,…..x3N-2, x3N-1, x3N.
Deci poziţie sistemului de particule (solidul rigid) este definită printr-un vector de
dimensiunea 3N T3N321 ) x.,, x, x,(x x ………=
r .
Să luăm în considerare constrângerile impuse sistemului:
f(x, t) = 0 sau f(x) = 0 (7.51)
numite constrângeri geometrice sau constrângeri holonomice. Dacă un sistem este în
mişcare şi este supus numai la astfel de constrângeri atunci vorbim de sisteme holonomice.
Dacă constrângerile au o formă neintegrabilă:
0dx)x(Asau0dtAdx)t,x(AN3
1
N3
1=⋅=⋅+⋅ ν
=ννν
=νν ∑∑ (7.52)
68atunci acestea se numesc constrângeri non – holonomice. Dacă ele sunt impuse unui
sistem atunci vorbim de sisteme non – holonomice.
Constrângerile la care timpul nu este exprimat în mod explicit se cheamă scleronome
sau constrângeri statice. Dacă este explicitată dependenţa de timp, aceste constrângeri
sunt reonome sau constrângeri dinamice. Considerăm un sistem de particule în
mişcare supus la k constrângeri holonomice (geometrice):
k,,2,10)t,x(f L=μ=μ (7.53)
Conform principiului lui d’Alembert, dinamica unui sistem holonomic se poate
descrie prin ecuaţiile diferenţiale:
0RrmF llll =+−r
&&rr
(7.54)
unde: lFr
- rezultanta forţelor active ce acţionează asupra particulelor ml;
lRr
- rezultanta forţelor reactive pe care le impun constrângerile.
Numărul de ecuaţii necesare pentru a rezolva dinamica unui asemenea sistem este
mai mare decât numărul de grade de liberatate ale sistemului. Sistemul are n = 3N + k
grade de libertate, iar aici avem nevoie de 3N+k ecuaţii scalare (3N ecuaţii
diferenţiale de tipul (7.54), pentru că sunt Nrr vectori de poziţie cu câte 3 proiecţii şi k
ecuaţii de legătură de tipul (7.53) aferente fiecărei constrângeri în parte).
Se pune întrebarea care este setul de ecuaţii minimal pentru a descrie dinamica
sistemului. În acest scop pentru a deriva ecuaţiile lui Apple se utilizează metoda
deplasărilor virtuale:
( ) N,1l0rRrmF lllll ==δ⋅+−rr
&&rr
(7.55)
unde lrrδ - este deplasarea virtuală a particulei „l”.
69Dacă sumăm pentru toate particulele N,1l = :
( )∑=
=δ⋅+−N
1llllll 0rRrmF rr
&&rr
(7.56)
Vom lua în considerare numai constrângerile geometrice ideale pentru care
0rR ll =δ⋅rr
, adică lRr
este perpendicular pe lrrδ , atunci:
( )∑=
=δ⋅−N
1lllll 0rrmF r&&r
r (7.57)
Această ecuaţie uneşte principiul lui d’Alembert şi principiul deplasărilor virtuale al
lui Lagrange. De aceea de multe ori se cheamă ecuaţiile lui d’Alembert - Lagrange.
Introducem proiecţiile carteziene cu următoarele notaţii:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )N31N32N3N65423211
N31N32N3N65423211
P,P,PF,,P,P,PF,P,P,PF
x,x,xr,,x,x,xr,x,x,xr
−−
−−
===
===r
Lrr
rL
rr
(7.58)
şi o renumerotare a maselor:
N31N32N3N65423211 m,m,mmm,m,mmm,m,mm −−→→→ L (7.59)
Cu aceste notaţii ecuaţia (7.57) ia forma:
( )∑=ν
νννν =δ⋅−N3
10xxmP && (7.60)
Sistemul de N particule supus la k constrângeri are n = 3N – k grade de libertate, iar
coordonatele x1, x2, …, x3N nu sunt independente datorită constrângerilor. Se definesc
n parametri independenţi q1, q2, …, qn, care determină poziţia sistemului şi care se
cheamă coordonate generalizate. Deci fiecare coordonată carteziană νx se poate
exprima în funcţie de aceste coordonate generalizate şi timp:
( ) ( ) n,1itqqtqqqxx iin21 === νν L (7.61)
70Pentru un sistem staţionar timpul t nu este explicit exprimat. Deplasarea virtuală νδx
se exprimă prin relaţia:
ii
n
1iii
n
1ii
i qxaqaq
qxx
∂∂
=δ⋅=δ⋅∂∂
=δ νν
=ν
=
νν ∑∑ (7.62)
Înlocuind relaţia (7.62) în relaţia (7.60)
( )
∑∑∑∑
∑ ∑∑∑
∑ ∑
= =ννν
= =νννν
=ν =ν
=ννν
=νν
=ν =νννν
δ⋅⋅=δ⋅⋅⋅
=δ⋅⋅−δ⋅⋅
=δ⋅⋅−
n
1i
N3
1ii
n
1i
N3
1ii
N3
1
n
1iii
N3
1
n
1iii
N3
1
n
1iii
qaPqaxm
0qaxmqaP
0qaxmP
&&
&&
&&
(7.63)
Termenul din membrul drept reprezintă lucrul mecanic virtual al tuturor forţelor
active ce acţionează asupra sistemului. Introducând notaţia:
n,1iaPQN3
1ii =⋅= ∑
=ννν (7.64)
Lucrul mecanic virtual primeşte forma:
i
n
1ii qQdA δ⋅= ∑
= (7.65)
unde Qi este forţa generalizată corespunzătoare coordonatelor generalizate. Pentru a
transforma membrul stâng al ecuaţiei (7.63 – ultima linie), se derivă expresia (7.61):
taq
taq
qaqq
qaqax
txaaqa
txq
qxx
n
1ii
in
1i
n
1i
n
1jj
j
in
1jji
i
iii
i
n
1iii
n
1ii
i
∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅⋅∂∂
+⋅=
∂∂
=+⋅=∂∂
+⋅∂∂
=
ν
=
ν
= = =
ν
=
ννν
ννν
=ν
=
ννν
∑∑ ∑ ∑∑
∑∑
&&&&&&&&
&&&
(7.66)
De unde se observă că iaν se poate exprima şi sub forma:
71
ii q
xa&&
&&
δδ
= νν (7.67)
Revenind la membrul stâng al relaţiei (7.63 – ultima linie) se obţine:
∑∑∑∑= =ν
ννν
= =νννν δ⋅
δδ⋅⋅=δ⋅⋅⋅
n
1i
N3
1i
i
n
1i
N3
1ii q
qxxmqaxm&&
&&&&&& (7.68)
Introducând funcţia S:
∑=ν
νν ⋅⋅=N3
1
2xm21S && (7.69)
numită energia de accelerare. Este evidentă relaţia:
n,1iqS
qxxm
ii
N3
1
2 =∂∂
=∂∂⋅⋅ ν
=ννν∑
&&&&
&&&& (7.70)
Deci membrul stâng se poate scrie şi sub forma:
0qQqSsauqQq
qS
i
n
1ii
ii
n
1ii
n
1ii
i=δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
δ⋅=δ∂∂ ∑∑∑
=== &&&& (7.71)
Deoarece deplasare virtuală iqδ este o variabilă independentă, rezultă drept
consecinţă că forma finală a ecuaţiilor lui Apple:
n,1iQqS
ii
==∂∂&&
(7.72)
Deci problema modelului dinamic se reduce la exprimarea energiei de acceleraţie S
în funcţie de coordonatele generalizate. Aplicând ecuaţiile lui Apple la un robot,
rezultă că este suficient să calculăm energia de acceleraţie a unui element (corp rigid)
şi să sumăm toate elementele lanţului cinematic pentru a determina funcţia S.
72De exemplu funcţia S este exprimată în funcţie de coordonatele generalizate qi,
utilizând o expresie de recurenţă a acceleraţiei. Pornind de la expresia care consideră
corpul rigid ca un sistem de particule: ∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
N
1l
2
2l
2
l dtrdm
21S
r
(7.73)
Dacă introducem centrul de masă cu vectorul său de poziţie crr , atunci:
'lcl rrr rrr+= (7.74)
unde 'lrr este vectorul de poziţie al particulei ml, raportat la centrul de masă Cl.
∑ ∑
∑∑
= =
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅=
N
1l
N
1l
2
2'l
2
l2'l
2
l2c
22
2c
2
2
2'l
2
2'l
2
2c
22
2c
2N
1ll
N
1l
2
2'l
2
2c
2
l
dtrdm
21
dtrdm
dtrd
dtrdM
21
dtrd
dtrd
dtrd2
dtrdm
21
dtrd
dtrdm
21S
rrrr
rrrrrr
(7.75)
unde ∑=
=N
1llmM este masa totală a corpului rigid.
Expresia ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=⋅ ∑∑
==
N
1l'll2
2N
1l2
'l2
l rmdtd
dtrdm rr
(7.76)
conduce la: ∑=
=⋅N
1l'll 0rm r în raport cu centrul de masă Cl. (7.77)
Utilizând relaţiile (7.76) şi (7.77) în relaţia (7.75) obţinem:
∑=
⋅⋅+⋅⋅=N
1l
2'll
2c am
21aM
21S rr (7.78)
unde: car este acceleraţia centrului de masă;
'lar este acceleraţia centrului de masă ml în mişcarea s-a relativă raportată la
centrul de masă.
737.4 Modelul dinamic simplificat
Acest model decuplează axele robotului, luând în considerare numai o singură axă şi
neglijând influenţele reciproce ale axelor dispozitivului de ghidare al robotului. Fiecare
axă, fiecare modul, fiecare cuplă cinematică conducătoare se tratează separat ca şi un
sistem mecanic izolat compus dintr-un motor, o transmisie mecanică şi un consumator.
Fig. 7.4 Componenţa unei axe a robotului
Calculele se efectuează pentru cupla cinematică conducătoare „i, i+1”. Se iau în
considerare ca elemente mobile, elementele „i+1 .. n”. Lanţul cinematic „i+1 .. n”,
conţinând şi efectorul final cu obiectul manipulat, se vor considera în poziţia cea mai
dezavantajoasă, când momentul rezistent redus Mred este maxim. Toate reducerile se
fac la arborele motorului electric de acţionare rotativ, sau la tija pistonului motorului
pneumatic / hidraulic liniar.
a) Cupla cinematică conducătoare de rotaţie „i, i+1”.
Se impune ca la arborele motorului electric rotativ să se dezvolte o putere motoare capabilă să
învingă puterea momentelor rezistente (gravitaţionale, de frecare, de inerţie şi tehnologice).
tehnredinredfrredgredred
redmmredmmmredm
MMMMMMM0MMPP
+++=⟩⇒≠ω∀⋅ω⟩⋅ω⟩
(7.79)
unde: gredM - momentul rezistent redus al forţelor gravitaţionale;
frredM - momentul rezistent redus al forţelor de frecare;
inredM - momentul rezistent redus al forţelor de inerţie;
tehnredM - momentul rezistent redus al forţelor tehnologice, care se calculează numai dacă robotul este purtător al unei scule sau al unui cap de forţă.
M TM C
Mm
Mred
74Momentul rezistent redus al forţelor gravitaţionale al elementelor lanţului cinematic
„i+1 .. n” se determină din condiţia echilibrării puterilor consumate în sistem de
forţele de greutate:
j
n
1ijjCj
mgred
j
n
1ijjCjmgredgred
cosVG1M
cosVGMP
α⋅⋅ω
=
α⋅⋅=ω⋅=
∑
∑
+=
+= (7.80)
unde: Gj – forţa de greutate a elementului j;
VCj – viteza centrului de greutate al elementului j;
αj – unghiul de presiune.
Fig. 7.5 Schema de calcul al gredM
Momentul rezistent redus al forţelor de frecare se determină din condiţia compensării
puterilor disipate în sistem de forţele de frecare, care acţionează în fiecare cuplă
cinematică a lanţului cinematic „i+1 .. n” (inclusiv în cuplele cinematice ale
transmisiei mecanice şi ale motorului rotativ).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω⋅+⋅
ω=
ω⋅+⋅=ω⋅=
∑∑
∑∑
+=+=
+=+=
n
1mkkkfr
m
1ijjjfr
1mfrred
n
1mkkkfr
m
1ijjjfrmfrredfrred
MVF1M
MVFMP
(7.81)
mj αj
Cj CjVr
CjGr
j
75Momentul rezistent redus al forţelor de inerţie al lanţului cinematic „i+1 .. n” se
determină din relaţia:
2m
n
1ijCj
redmredinred
E2JJM
ω=ε⋅=
∑+= (7.82)
unde: Jred - momentul de inerţie masic redus se determină din condiţia ca energia
cinetică înmagazinată de întregul sistem să fie înmagazinată şi de arborele motor
(arborele de reducere).
∑∑∑+=+=+=
ω⋅+⋅=n
1mk
2kCk
m
1ij
2Cjj
n
1ijCj J
21Vm
21E (7.83)
unde: mj – masa elementului j concentrată în centru de greutate Cj aflat în mişcare de
translaţie cu viteza VCj;
JCk – momentul de inerţie masic al elementului k în raport cu axa de rotaţie
(luându-se în calcul şi elementele transmisiei mecanice, inclusiv rotorul
motorului electric) în mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ωk.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω⋅+⋅
ω= ∑∑
+=+=
n
1mk
2kCk
m
1ij
2Cjj2
mred JVm1J (7.84)
Fig. 7.6 Variaţia vitezei unghiulare
tacc tfr
T
ω
t
ωreg
76Acceleraţia unghiulară εm a arborelui motor pentru un profil trapezoidal al vitezei
unghiulare ωm a arborelui motor se exprimă prin relaţia:
kTm
mω
=ε (7.85)
unde k < 1 exprimă ponderea tacc, respectiv tfr, în timpul total, respectiv:
kTtt fracc == (7.86)
( ) regk
j
k21T
ω⋅−
Ψ= (7.87)
unde: jΨ – cursa unghiulară a mişcării relative a elementului în mişcare de rotaţie.
b) Cupla cinematică conducătoare de translaţie „i, i+1”.
Se impune la nivelul tijei motorului liniar să se dezvolte o putere motoare capabilă să
învingă puterea forţelor rezistente (gravitaţionale, de frecare, de inerţie şi tehnologice).
tehnredinredfrredgredred
redmmredmmmredm
FFFFFFF0FFPP
+++=⟩⇒≠ω∀⋅ω⟩⋅ω⟩
(7.88)
unde: gredF - forţa rezistentă redusă a forţelor gravitaţionale;
frredF - forţa rezistentă redusă a forţelor de frecare;
inredF - forţa rezistentă redusă a forţelor de inerţie;
tehnredF - forţa rezistentă redusă a forţelor tehnologice, care se calculează
numai dacă robotul este purtător al unui cap de forţă.
Forţa rezistentă redusă a forţelor gravitaţionale al elementelor lanţului cinematic „i+1 .. n” se
determină din condiţia echilibrării puterilor consumate în sistem de forţele de greutate:
j
n
1ijjCj
mgred
j
n
1ijjCjmgredgred
cosVGV1F
cosVGVFP
α⋅⋅=
α⋅⋅=⋅=
∑
∑
+=
+= (7.89)
77unde: Gj – forţa de greutate a elementului j;
VCj – viteza centrului de greutate al elementului j;
αj – unghiul de presiune.
Fig. 7.7 Schema de calcul al gredF
Forţa rezistentă redusă a forţelor de frecare se determină din condiţia învingerii
puterilor disipate în sistem de forţele de frecare, care acţionează în fiecare cuplă
cinematică a lanţului cinematic „i+1 .. n” (inclusiv în cuplele cinematice ale
transmisiei mecanice şi ale motorului liniar).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω⋅+⋅=
ω⋅+⋅=⋅=
∑∑
∑∑
+=+=
+=+=
n
1mkkkfr
m
1ijjjfr
1mfrred
n
1mkkkfr
m
1ijjjfrmfrredfrred
MVFV
1F
MVFVFP
(7.90)
Forţa rezistentă redusă a forţelor de inerţie al lanţului cinematic „i+1 .. n” se
determină din relaţia:
2m
n
1ijCj
redmredinred V
E2mamF
∑+==⋅= (7.91)
unde: mred - masa redusă se determină din condiţia ca energia cinetică înmagazinată
de întregul sistem să fie înmagazinată şi de tija motoare (arborele de reducere).
mj αj
Cj CjVr
CjGr
j
78
∑∑∑+=+=+=
ω⋅+⋅=n
1mk
2kCk
m
1ij
2Cjj
n
1ijCj J
21Vm
21E (7.92)
unde: mj – masa elementului j concentrată în centru de greutate Cj aflat în mişcare de
translaţie cu viteza VCj;
JCk – momentul de inerţie masic al elementului k în raport cu axa de rotaţie,
(luându-se în calcul şi elementele transmisiei mecanice, inclusiv rotorul
motorului electric) în mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ωk.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω⋅+⋅= ∑∑
+=+=
n
1mk
2kCk
m
1ij
2Cjj2
mred JVm
V1m (7.93)
Fig. 7.8 Variaţia vitezei liniare
Acceleraţia liniară am a tijei motoare pentru un profil trapezoidal al vitezei liniare Vm
a tijei motoare se exprimă prin relaţia:
kTVa m
m = (7.94)
unde k < 1 exprimă ponderea tacc, respectiv tfr, în timpul total, respectiv:
kTtt fracc == (7.95)
( ) regj
j
Vk21h
T⋅−
= (7.96)
unde: h – cursa liniară a mişcării relative a elementului în mişcare de translaţie.
tacc tfr
T
V
t
Vreg
79c) Determinare momentului de frânare
Fig. 7.9 Variaţia vitezei unghiulare la frânare
Pentru o cuplă cinematică conducătoare „i, i+1” acţionată de un motor rotativ, se
pune condiţia ca pe durata frânării viteza unghiulară să scadă la zero în momentul t2.
Energia cinetică în momentul începerii frânării, t12 este:
2mredC J
21E ω⋅= (7.97)
sau ∫∫ ϕ=ϕ⋅=2
12
2
12
t
tred
t
tredC dMdME (7.98)
unde: dtdMMMMM mredfrtehnredfrredgredred ω=ϕ+++= (7.99)
( ) Tk21tt
21dtd m122m
t
tm
t
t
2
12
2
12
⋅⋅ω=−ω=ω=ϕ ∫∫ (7.100)
TkE2MTkM
21E
m
CredmredC ⋅⋅ω
=⋅⋅ω⋅= (7.101)
tehnredfrredgredredredfr MMMMM −−−= (7.102)
tehnredfrredgredm
Credfr MMM
TkE2M −−−⋅⋅ω
= (7.103)
Pentru alegerea frânei se calculează momentul sau forţa de frânare care trebuie
dezvoltată. Pentru o cuplă cinematică conducătoare acţionată de un motor rotativ:
fr
mredfrfr
fr
mredfrfr V
MFMM ω=
ωω
= (7.104)
t12 t2
ω
t
ωm
80d) Determinare forţei de frânare
Fig. 7.10 Variaţia vitezei liniare la frânare
Pentru o cuplă cinematică conducătoare „i, i+1” acţionată de un motor liniar, se
impune aceeaşi condiţie ca pe durata frânării viteza motorului să scadă la zero în
momentul t2. Energia cinetică în momentul începerii frânării, t12 este:
2mredC Vm
21E ⋅= (7.105)
sau ∫∫ =⋅=2
12
2
12
t
tred
t
tredC dsFdsFE (7.106)
unde: dtVdsFFFFF mredfrtehnredfrredgredred =+++= (7.107)
( ) TkV21ttV
21dtVds m122
t
tmm
t
t
2
12
2
12
⋅⋅=−== ∫∫ (7.108)
TkVE2FTkVF
21E
m
CredmredC ⋅⋅
=⋅⋅⋅= (7.109)
tehnredfrredgredredredfr FFFFF −−−= (7.110)
tehnredfrredgredm
Credfr FFF
TkVE2F −−−⋅⋅
= (7.111)
Pentru alegerea frânei se calculează momentul sau forţa de frânare care trebuie
dezvoltată. Pentru o cuplă cinematică conducătoare acţionată de un motor liniar:
fr
mredfrfr
fr
mredfrfr V
VFFVFM =ω
= (7.112)
t12 t2
V
t
Vm
828. COMANDA ŞI CONTROLUL ROBOŢILOR
8.1. Sarcina şi funcţiile sistemului de comandă
8.1.1. Structura robotului
Robotul se consideră ca un sistem de rangul R, compus din subsisteme de rang R-1.
Structura unui robot este prezentată în figura 8.1.
Fig. 8.1 Schema structurală a robotului
Sistemul mecanic este compus din mecanisme, care asigură mişcarea efectorului
final în situările sale pe traiectoria programată. Platforma mobilă se regăseşte numai
în structura roboţilor mobili. Sistemul mecanic preia forţele generalizate ce
acţionează din mediu asupra robotului.
Sistemul de acţionare impune mişcarea relativă a elementelor mecanismelor
sistemului mecanic. Sistemul de acţionare are ca şi componente câte un element de
acţionare pentru fiecare cuplă cinematică conducătoare a mecanismelor sistemului
mecanic.
M
E
D I
U
SISTEM MECANIC
EFECTOR FINAL
PLATFORMĂ MOBILĂ
SISTEM DE ACŢIONARE
SISTEM DE COMANDĂ
SENZORI
TRADUCTOARE
APARATE DE MASURĂ
SISTEM DE CONDUCERE
SISTEM DE ENERGIZARE A FLUIDULUI
83Sistemul de energizare a fluidului se utilizează la roboţi în cazul sistemelor de
acţionare hidraulice, respectiv pneumatice cu compresor propriu, deci a celora care
folosesc ca purtător de energie un fluid.
Sistemul de comandă prelucrează informaţiile despre starea mediului (externo -
percepţie) şi despre starea interioară a robotului (proprio - percepţie) şi emite , în
conformitate cu aceste informaţii şi propriul program, comenzi către sistemul de
acţionare. Senzorii şi traductoarele sunt elemente de inteligenţă artificială ce culeg
informaţii (senzori culeg informaţii care nu sunt legate de deplasări – provenite din
mediu –, iar traductoarele culeg informaţii legate de deplasări ale subsistemelor
robotului. Sistemul de conducere al robotului, reuneşte sistemul de comandă, sistemul
de acţionare şi elementele de inteligentă artificială.
Sarcina principală a sistemului de comandă este de a transpune programele de
aplicaţie în mişcări relative al elementelor cuplelor cinematice conducătoare ale
dispozitivului de ghidare.
Comanda mişcării este prima sarcina a sistemului de comandă şi constă în:
a) coordonarea şi supravegherea (controlul) mişcării efectorului final prin
situările programate, sau a punctului caracteristic M pe traiectoriile
programate;
b) sincronizarea desfăşurării mişcărilor robotului ce evenimentele care au loc
la periferia robotului prin prelucrarea semnalelor externe preluate din
procesul de producţie (maşini unelte, dispozitive de lucru etc.)
84c) prelucrarea datelor de la senzorii externi (sisteme de prelucrarea
imaginilor) şi transpunerea rezultatelor prelucrate în reacţiile dorite.
Programele de aplicaţie arată într-o formă interpretabilă sarcinile pe care le are de
executat robotul. Aceste programe au fost concepute „on-line” de către un
programator, care de cele mai multe ori a folosit dispozitivul de ghidare şi sistemul de
comandă al robotului, în regim de instalaţie de teleoperare. De aceea se impune a
doua sarcină a sistemului de comandă şi anume programarea robotului. Prin
programarea robotului se realizează în primul rând dialogul cu operatorul uman,
căruia i se pun la dispoziţie comenzile şi funcţiile pentru conceperea, corectarea şi
testarea programului de mişcare, precum şi dispozitivele de: introducere, scoatere şi
arhivare a programului.
Sarcinile sistemului de comandă sunt realizate de cele două componente ale sale:
a) subsistemul hardware bazat pe microprocesor;
b) subsistemul software.
În cazul sistemelor de comandă moderne are loc o conlucrare a celor două
componente permiţând:
a) comanda manuală a robotului;
b) comanda automată a robotului;
c) comanda adaptivă a robotului;
d) iniţializarea robotului (aducerea lui în poziţia de referinţă);
e) programarea robotului, testarea şi corectarea programelor.
858.2. Comanda mişcării robotului
Principala sarcină a unui robot este aceea de execuţie automată a mişcărilor
programate. Comanda mişcării robotului se realizează pe nivele ierarhice.
Fig. 8.2 Comanda mişcării robotului
Pe nivelul înalt se planifică mişcarea sistemului mecanic pe baza programului de
aplicaţie şi în acord cu informaţia senzorială şi a traductoarelor. Pentru obţinerea
informaţiilor din mediul de operare al robotului (externo – percepţie) se folosesc
senzori: tactili, de forţă /moment, vizuali (camere video – CCD), auditivi
(microfoane), de temperatură etc. Prin senzor se înţelege un dispozitiv care preia o
anumită informaţie prin intermediul unui receptor, îl transformă într-un semnal , de
PROGRAM
Planificarea mişcării
Generarea traiectoriei
Execuţia mişcării
Nivel de bază
Interfaţa pentru senzori şi traductoare
Traductoare Poziţie Viteză
Senzor de temperatură
Senzor audio
Senzor video
Senzor tactil
Senzor de forţă / momentNivel mediu
Nivel înalt
1 2 6
86obicei electric, prin intermediul unui convertor şi îl transmite mai departe sistemului
de comandă, eventual amplificat şi prelucrat.
Pentru obţinerea informaţiilor despre stare internă a robotului (proprio – percepţie) se
folosesc traductoare care măsoară poziţia şi viteza generalizată, relativă a elementelor
cuplelor cinematice conducătoare.
La nivelul mediu are loc generarea traiectoriei, adică se determină punctele de
precizie prin care trece traiectoria punctului caracteristic între punctul START şi
punctul ŢINTĂ. Se realizează de asemenea o coordonare a mişcării axelor robotului
(viteze şi acceleraţii generalizată) astfel că aceste puncte să poată fi atinse.
La nivelul de bază, execuţia mişcării, se controlează mişcarea relativă a elementelor
fiecărei cuple cinematice conducătoare. Axele energetice aferente acestuia sunt
controlate digital.
8.2.1. Transformări de coordonate
Descrierea unei mişcări complexe se poate realiza direct în coordonate generalizate
(coordonate specifice robotului – joint coordinate), adică în variabilele cuplelor
Fig. 8.3 Sisteme de coordonate a) coordonate generalizate (ROBOT); b) coordonate operaţionale(carteziene ataşate bazei robotului); c) coordonate operaţionale (carteziene ataşate efectorului final)
a)
q1
q2 q
4
q3 q
5
q6
T
B
Z
X YO
b)
C
A
T
z
x y
c
c)
b
aT
87cinematice conducătoare. Acest lucru este însă dificil de sesizat de către operatorul
uman. De aceea situarea efectorului final în sistemul de coordonate operaţionale
ataşat bazei robotului sau a efectorului final este mai uşor de sesizat de către
operatorul uman, deoarece ambele sisteme sunt carteziene. În sistemul de coordonate
ataşat efectorului final, mişcările sunt relative deoarece originea T – tool point a
sistemului de coordonate se modifică. Acest sistem este preferat în cazul operaţiilor
de montaj. Sistemele de comandă avansate dau posibilitatea utilizatorului, ca în faza
de programare să poată alege între coordonatele generalizate şi cele operaţionale
(având originea la baza robotului sau la efectorul final). Acest lucru simplifică
conducerea manuală a robotului, operatorul putând utiliza taste de direcţionare sau
joystick – ul. Pentru a exprima aceleaşi mişcări în diferite sisteme de coordonate sunt
necesare transformări de coordonate.
Transformarea directă de coordonate
Când punctele unei traiectorii sunt deja specificate în sistemul de coordonate
generalizat (de exp. la programarea prin instruire), atunci se poate determina în mod
univoc situarea efectorului final al robotului în sistemul de coordonate generalizat
ataşat bazei robotului. Aceasta se realizează prin matricea de transformare omogenă.
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡===⇒= ∏
=
−
1000paon
TTTTqqqq EFR
6
1ii
1i6
0EF
RT621
rrrr
Lr (8.1)
Transformarea inversă de coordonate
Asigură trecerea de la sistemul de coordonate operaţional cu originea la baza
robotului, la cel de coordonate generalizate.
88
( )
6565
EFR1
101
211
321
431
54
465
54
EFR1
101
211
321
43
365
54
43
EFR1
101
211
32
265
43
32
EFR1
101
21
165
32
21
EFR1
10
65
21
10
EFR
60
EFRT
621EFR
q,qTTTTTTT
qTTTTTTT
qTTTTTTT
qTTTTTT
qTTTTT
TTTT
TTqqqqT
⇒=⋅⋅⋅⋅⋅
⇒⋅=⋅⋅⋅⋅
⇒⋅⋅=⋅⋅⋅
⇒⋅⋅⋅
⇒⋅=⋅
⋅=
==⇒
−−−−−
−−−−
−−−
−−
−
L
L
L
Lr
(8.2)
8.2.2. Comanda automată a roboţilor
Comanda automată trebuie să suplinească operatorul uman în prescrierea activităţii
robotului. În acest scop se necesită: preluarea informaţiilor privind sarcinile de executat
de către robot de la operatorul uman sub formă de program, memorarea acestor sarcini,
definirea mişcărilor pe care trebuie să le execute efectorul final, definirea mişcărilor
relative ale cuplelor cinematice conducătoare ale dispozitivului de ghidare,
recepţionarea şi interpretarea informaţiilor primite privind mişcarea realizată.
Fig. 8.4 Comanda automată a mişcării robotului
M
B
A
C
X
Y
Z
M1
M11
M12
M13
M1k
M2
M1’ M1’’
ΔX ΔZ
ΔY
89Funcţia de comandă automată a robotului este realizată de sistemul de comandă
automată a robotului compusă din: unitatea centrală de comandă şi de procesare a
informaţiilor, dispozitivul de programare, dispozitivul de memorare a mişcărilor
axelor, dispozitivul de intrare / ieşire. Comanda în regim automat a mişcării
robotului, între punctele START şi ŢINTĂ poate fi:
a) Comanda secvenţială când mişcarea efectorului final se compune din atâtea
secvenţe câte cuple cinematice conducătoare contribuie la realizarea ei. Se
acţionează succesiv fiecare cuplă cinematică conducătoare. Traiectoria punctului
caracteristic M este compusă din segmentele M1M1’, M1’M1’’, M1’’ M2.
b) Comanda punct cu punct PTP – Point To Point, asincronă, sincronă şi multipunct.
b1) comanda punct cu punct asincronă – PTP asincronă, este cel mai vechi şi cel
mai simplu mod de comandă. El este folosit în aplicaţii de manipulare, paletizare
şi sudare în puncte. În acest caz se specifică doar distanţa până la punctul ţintă şi
profilul de viteză. Mişcările axelor nu sunt corelate, ele încep simultan şi se
termină pe rând. Traiectoria punctului caracteristic nu este definită.
b2) comanda punct cu punct sincronă – PTP sincronă, îi este caracteristică faptul
că toate axele îşi încep mişcarea şi o termină în acelaşi timp. În acest caz se
impune corelarea vitezelor elementelor cuplelor cinematice conducătoare. Şi în
acest caz traiectoria punctului caracteristic nu este definită.
b3) comanda multipunct – MP, este tot o comandă de tip PTP, însă numărul
punctelor impuse pe traiectorie este mult mai mare. La comanda MP, pe lângă
condiţia ca mişcarea relativă a celor 3 cuple cinematice conducătoare să înceapă
90şi să se termine în acelaşi moment, se impune şi condiţia ca în intervalul de timp
ti+1 – ti să se parcurgă cursele xi+1 – xi, yi+1 – yi şi zi+1 – zi, între punctele de precizie
Mi(xi, yi, zi) şi Mi+1 (xi+1, yi+1, zi+1). Aceste puncte de precizie sunt memorate
automat, în procesul de instruire, la intervale de timp fixe, stabilite de sistemul de
comandă. Şi în acest caz traiectoria punctului caracteristic dintre două puncte de
precizie nu este definită. Această comandă este folosită pentru roboţi utilizaţi la
sudarea în puncte sau la vopsire.
c) Comanda de traiectorie continuă CP – Continous Parth, realizează deplasarea
punctului caracteristic al efectorului final pe o traiectorie continuă impusă. Pentru
aceasta toate axele trebuie comandate simultan. Semnalele de comandă pentru
aceste axe sunt calculate de interpolatorul de mişcare, care este o componentă
sofware a generatorului de traiectorie. Pentru generarea acestora se parcurg
următoarele etape: interpolarea traiectoriei în sistemul de coordonate operaţional
ataşat bazei robotului, sau al efectorului final, transformarea inversă de coordonate,
interpolarea fină la nivelul axei de mişcare şi reglarea situării elementelor fiecărei
cuple cinematice conducătoare. Comanda pe traiectorie continuă se impune în
cazul unor aplicaţii de sudare cu arc electric, tăiere cu jet de apă sau de laser,
polizare şi montaj. La comanda CP traiectoria punctului caracteristic între punctele
START şi ŢINTĂ, este aproximată prin intermediul unor curbe de interpolare
(segmente de dreaptă, arce de cerc sau arce de parabolă), având ecuaţia:
⎩⎨⎧
=Φ=
0)z,y,x(0)z,y,x(F
(8.3)
91ceea ce impune corelarea mişcărilor relative ale cuplelor cinematice conducătoare.
Dacă la momentul tj punctul caracteristic trebuie să fie în poziţia Mj(xj, yj, zj),
deplasările relative ale cuplelor cinematice conducătoare vor fi:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=Δ
−=Δ
−=Δ
1jj1
1jj1
1jj1
zzz
yyy
xxx
(8.4)
Pentru deplasarea Δx1j a cuplei cinematice conducătoare A rezultă:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=Δ+Δ+Δ+Φ
=Δ+Δ+Δ+
0)zz,yy,xx(
0)zz,yy,xx(F
j11j11j11
j11j11j11 (8.5)
sistem din care se obţin Δy1j şi Δz1j.
8.2.3. Comanda manuală a roboţilor
Se realizează de către operatorul uman, rolul sistemului de comandă fiind preluat de
către acesta, el fiind sau nu asistat de senzori / traductoare. Dacă operatorul uman se
găseşte la distanţă de sistemul mecanic şi de cel de acţionare al robotului, comanda
manuală este de teleoperare / telecomandă, iar roboţii se numesc instalaţii de teleoperare.
Comanda manuală se poate realiza fie direct fie prin metoda master – slave.
a) Comanda manuală directă.
Este asemănătoare cu programarea „on line” prin instruire a unui robot comandat
automat. Ea se realizează prin acţionarea de către operatorul uman a unor butoane,
întrerupătoare sau manete (joy – stick), care comandă direct motoarele de acţionare
ale cuple lor cinematice conducătoare. Toate butoanele, întrerupătoarele sau manetele
se montează pe un panou, care constituie interfaţa om – maşină.
Transmiterea la distanţă a comenzilor manuale se poate realiza prin:
⇒ cabluri / conducte de alimentare cu energie a motoarelor sistemului de acţionare;
92⇒ unde radio prin emiţătoare / receptoare radio;
⇒ biocurenţi prelevaţi de la operatorul uman cu deficienţe fizice în cazul protezelor
sau ortezelor.
b) Comanda manuală copiere.
Comanda manuală directă este dificilă, deoarece supune operatorul uman la controlul
simultan aşi coordonat a unui număr mare de semnale şi informaţii. Comanda manuală
prin copiere constă în comandarea de către operatorul uman a unui lanţ cinematic identic
structural şi proporţional geometric (coeficientul de proporţionalitate fiind denumit
„coeficient de sclav”). Lanţul cinematic comandat direct poartă denumirea de „lanţ
master”, iar robotul este un „ lanţ slave”. Instalaţiile master-slave se mai numesc şi „
manipulatoare sincrone” deoarece lanţul master şi slave se mişcă sincron.
c) Comanda mixtă a roboţilor.
Se realizează prin conlucrarea operatorului uman cu sistemul de comandă automat al
robotului. De regulă operatorul uman apelează manual secvenţele de program pe care
sistemul de comandă automată al robotului o execută automat.
8.3. Programarea roboţilor
Flexibilitatea şi productivitatea unui robot industrial este legată de faptul că sistemul său
de comandă poate fi programat pentru realizarea optimă a unor sarcini diversificate.
Realizarea programului de comandă a unui robot presupune: programarea mişcărilor şi
programarea derulării comenzilor.
Programarea mişcărilor se referă la axele energetice componente. În cadrul ei se
determină punctele traiectoriei de mişcare a punctului caracteristic, orientările
aferente efectorului final şi respectiv intervalele de mişcare.
93Programarea derulării comenzilor se referă la stabilirea legăturii dintre intervalele de
mişcare, determinarea parametrilor de proces ca: timpi, viteze şi acceleraţii generalizate,
prelucrarea datelor de proces, precum şi comunicaţia cu periferia sistemului robot.
Programarea robotului poate fi „on – line” (programare apropiată de robot) şi „off – line”
(programare îndepărtată de robot).
Programarea „on – line” este cea mai răspândită. Programarea mişcării se face prin
instruire, programatorul realizând mişcările prin conducerea manuală a robotului, sau a
unui model în regim de instalaţie de teleoperare, în timp ce sistemul de comandă al
robotului înregistrează în memorie datele de mişcare. În continuare operatorul uman prin
comenzi alfanumerice sau taste funcţionale programează derularea programului.
Programarea „off – line” – programatorul prestabileşte valorile numerice ale parametrilor
mişcării pe un calculator aflat la distanţă faţă de robot. Modul de realizare a programării
mişcării: Playback şi Teach-in.
Programarea Playback – Efectorul final străbate întreaga succesiune de situări programate,
iar înregistrarea situărilor de pe traiectorie este independentă de programator, fiind realizată
de sistemul de comandă cu un tact prestabilit. Comanda în regim automat a unui robot la
care s-a folosit programarea Playback se face în modul multipunct MP. Dezavantajul constă
în capacitatea de memorie mare pentru a stoca informaţiile privind succesiunea de situări.
Programarea Teach – in – programatorul conduce efectorul final spre situările marcate ale
succesiunii de situări programate, care apoi este înregistrată în memoria calculatorului.
Parametrii de mişcare ca: viteza, acceleraţia, precizia de atingerea a unui punct şi tipul
interpolării între două situări memorate, sunt introduşi de programator în faza de editare a
94programului. După editare urmează faza de compilare, în care programul editat este
transformat într-un cod binar, perceput de sistemul de comandă. Tot în această fază se
corectează eventualele erori din faza de editare.
Înregistrarea situărilor succesive ale efectorului final se poate face prin:
a) conducerea directă a robotului, când după decuplarea frânelor, operatorul uman
acţionează manual robotul cu ajutorul unui mâner plasat pe efectorul final.
Aplicaţia este frecventă la operaţiile de vopsire.
b) conducerea unui model cinematic, când programatorul se foloseşte de un lanţ
cinematic asemănător din punct de vedere cinematic cu dispozitivul de ghidare al
robotului.
c) conducerea master - slave, când se manipulează sarcini foarte mari, iar
mişcarea robotului se realizează cu propriul sistem de acţionare. Pentru aceasta se
utilizează un lanţ cinematic de conducere a robotului. Mişcările robotului se
realizează sincron cu ale lanţului cinematic, manevrat de operatorul uman, având
o instalaţie master – slave.
d) conducerea prin panou de învăţare, comanda mişcării robotului şi înregistrarea
în memorie a situărilor succesive se face cu panouri mobile cu taste de direcţie şi
joystick-uri. Acţionarea unei taste de direcţie comandă robotul să se deplaseze în
concordanţă cu semnificaţia tastei şi a sistemului de coordonate ales. Sistemele de
comandă moderne permit transformări de coordonate (directe sau inverse) în timp
real, permiţând alegerea de către operator a sistemului de coordonate.
959. SINTEZA FUNCŢIILOR DE CONDUCERE A ROBOŢILOR
Mişcarea efectorului final se realizează în spaţiul cartezian 3D. Poziţiile punctului
caracteristic respectiv orientarea dreptei caracteristice şi dreptei auxiliare se definesc
în conformitate cu matricea de situare în raport cu sistemul de referinţă fix ataşat
bazei robotului. Definirea mişcării relative a elementelor cuplelor cinematice
conducătoare se realizează prin calcul, de către sistemul de comandă al robotului.
Legile de variaţie în funcţie de timp al deplasărilor şi vitezele generalizate
relative ale elementelor cuplelor cinematice conducătoare se numesc legi de mişcare.
Cele mai des utilizate legi de mişcare sunt cele cu „profil de viteză”, „polinomiale” şi
„polinomiale cu racordări”.
Sistemul de comandă calculează la intervale de timp prescrise, în funcţie de
situările efectorului final (coordonatele sale în spaţiul cartezian), şi legea de mişcare
adoptată, în funcţie de poziţia şi viteza relativă generalizată ale elementelor cuplelor
cinematice conducătoare (coordonatele sale în spaţiul cuplelor cinematice
conducătoare), operaţia numindu-se transformări de coordonate.
În cazul comenzii pe traiectorie continuă, sistemul de comandă calculează
vitezele generalizate ale mişcărilor relative ale elementelor cuplelor cinematice
conducătoare în momentele aferente timpului de eşantionare prin intermediul
modelului cinematic invers al dispozitivului de ghidare al robotului.
9.1. Funcţia de conducere
Funcţia de conducere a axelor de robot este o îmbinare a funcţiei de comandă şi
funcţia de acţionare a axelor robotului. Conţinutul funcţiei de conducere este:
96recepţionarea semnalelor emise de sistemul de comandă privind variaţia în timp a
parametrilor mişcărilor relative ale elementelor cuplelor cinematice conducătoare,
comanda funcţionării motoarelor de acţionare pentru realizarea parametrilor amintiţi,
controlul realizării lor şi corelarea funcţionării motoarelor.
9.2. Legi de mişcare ale cuplelor cinematice conducătoare
9.2.1. Legi de mişcare parabolică (cu profil de viteză trapezoidal)
Fig. 9.1 Legea de mişcare cu profil de viteză trapezoidal
Legile de mişcare cu profil de viteză trapezoidal, v = ct., au dezavantajul unor şocuri
puternice în funcţionare, ca efect al forţei de inerţie rezultante.
t
t
t
a
V
V12
x1 x11
x22 x2 x
t1 t11 t22 t2
97Pentru condiţiile iniţiale:
222211121 ktttttaaa =−=−== (9.1)
2max
12
212
12opt
212
22212212
222221112
22212
22222222122
222211121122
21211221222
22
211
2111111
tVx1
tVx1k
t)k1(V
tka21ktVt)k21(Vtka
21xxxx
tka21ktV)tt(a
21)tt(Vx
t)k21()tt()tt(t)tt(t)k21(V)tt(Vx
tka21x)tt(a
21x
−=−=
−=
=⋅−+−+⋅=++=
⋅−=−⋅−−=
−=−−−−=−−=−=
⋅==−⋅=
(9.2)
Se obţine amax din expresia:
22
2opt
2optmax12max
2optmax1222122112
22opt
11max
tkt)k21(Vx
a
2t)k21(Vx
2xxxx
tkx2a
−−=
−−=
−===
(9.3)
9.2.2. Principiile legilor de mişcare polinomiale
Un polinom de rangul n şi primele doua derivate ale sale au expresiile:
2nn
3n1n
232
1nn
2n1n
2321
nn
1n1n
2210
tC)1n(ntC)1n)(2n(tC6C2)t(F
tnCtC)1n(tC3tC2C)t(F
tCtCtCtCC)t(F
−−−
−−−
−−
−+−−++=′′
+−+++=′
+++++=
L
L
L
(9.4)
Pentru trasarea legii de mişcare de ordinul zero se impun N perechi de valori, unde N
– numărul coeficienţilor polinomiale are expresia: N=n+1. Pentru a se evita şocurile
în funcţionare se impune ca la capetele de cursă să avem V = 0 şi a = 0 adică:
0)t(F0)t(Fx)t(Ftt0C2)t(F0C)t(F0C)t(F0tt
221222
2111011
=′′=′==∀==′′==′====∀
(9.5)
98Pentru N = 6 condiţii iniţiale impuse rezulta n = 5 gradul poligonului, adică:
55
44
33 tCtCtC)t(F ++= (9.6)
Din a doua condiţie pusă în relaţiile (9.6) se obţine sistemul de 3 ecuaţii cu 3 necunoscute:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
==++=′′
−=⇒=++=′
==++=
52
125
325
224232
42
124
425
324
2232
32
12312
525
424
3232
tx6C0tC20tC12tC6)t(F
tx15C0tC5tC4tC3)t(F
tx10CxtCtCtC)t(F
(9.7)
Rezolvând sistemul (9.7) expresia generală a legii de mişcare polinomiale ce răspunde la
condiţiile iniţiale impuse este:
5
212
4
212
3
212 t
tx6ttx15
ttx10)t(F ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (9.8)
Fig. 9.2 Legea de mişcare cu profil de viteză o funcţie polinomială – a) şi aproximarea cu segmente de dreaptă – b)
t
t
V
x
tjti
Δxj
Mj’
Mj
Mi
Mi’Δxi
xj’xj
xi
xi’
Vij
b) t
t
V
x
tj ti a)
Mi Mj
99În cazul în care profilul vitezei nu este trapezoidal, ci o funcţie polinomială sau o funcţie
trigonometrică, ea se poate aproxima cu segmente de dreaptă. Cea mai bună aproximare
se obţine dacă:
jnjn
1nj1n
2j2j10j
inin
1ni1n
2i2i10i
'jji
'ij
'ji
'iji
xtCtCtCtCC)t(F
xtCtCtCtCC)t(F
xxxxxxxxxxxxxx
=+++++=
=+++++=
Δ=−=−Δ−=Δ+=Δ=Δ=Δ
−−
−−
L
L (9.9a)
ij
ni
nj
nij
3i
3j
3ij21ij
ij
ij
ijijijij
ij
ijij
tttt
Ctttt
C)tt(CCttx2V
ttx2xx
Vx2xx'x'xtt
'x'xV
−
−+⋅⋅⋅+
−
−++++
−Δ−
=
−
Δ−−=⇒Δ−−=−
−
−=
(9.9b)
9.2.3. Legi de mişcare polinomiale cu racordări
Pentru a exprima o traiectorie descrisă în coordonate carteziene sunt necesare M funcţii
de aproximare, câte una pentru fiecare grad de mobilitate al robotului, iar aceste funcţii
se calculează pentru fiecare punct de precizie impus pe traiectorie. Ţinând cont că
fiecare punct de precizie reclamă trei condiţii iniţiale (poziţie, viteză şi acceleraţie)
gradul funcţiei polinomiale ce trece prin k puncte de precizie este n = 3k-1.
Metoda Ho şi Cook utilizează aproximarea traiectoriei polinomiale prin
segmente de curbă, utilizând funcţii polinomiale de gradul 3 pentru segmentele
intermediare şi de gradul 4 pentru segmentele de început şi de sfârşit. Pentru a trasa o
traiectorie prin n puncte sunt necesare n-1 funcţii polinomiale de aproximare: 2 funcţii
de gradul 4, pentru începutul şi sfârşitul traiectoriei şi n-3 funcţii de gradul 3 pentru
segmentele intermediare.
100a) Pentru două puncte de precizie intermediare ale traiectoriei, Mk şi Mk+1
( 1nk2 −≤≤ ), funcţia polinomială de gradul trei pe segmentul 1+kkMM scrisă pentru
o singură cuplă cinematică conducătoare:
[ ]1kk3
32
210 t,0tttCtCtCC)t(F +=∈+++= (9.10)
Fig. 9.3 Aproximarea între două puncte de precizie ale traiectoriei
Pentru intervalul de timp [ ]1kk t,0tt +=∈ se impun următoarele condiţii iniţiale:
1k1kk1k1kk F)t(FF)0(FF)t(FF)0(F ++++ ′=′′=′== (9.11)
unde Fk şi Fk+1 reprezintă poziţia în planul mişcării, al punctelor Mk şi Mk+1 la
momentele tk=0 şi tk+1, iar F’k şi F’k+1 reprezintă vitezele cuplei cinematice
conducătoare în aceleaşi puncte şi aceleaşi momente.
Derivând relaţia (9.10) se obţine expresia legii de mişcare de ordinul unu.
2321 tC3tC2C)t(F ++=′ (9.12)
Înlocuind condiţiile iniţiale din relaţia (9.11) în relaţiile (9.10) şi (9.12) se obţine:
1k0k CF)0(FCF)0(F =′=′== (9.13)
⎪⎩
⎪⎨⎧
++′=′=′
++′+==
++++
+++++
21k31k2k1k1k
31k3
21k21kkk1k1k
tC3tC2FF)t(F
tCtCtFFF)t(F (9.14)
Mk+1
Mk+2
Mk
tk+1 tk+2 tk
F(t)
F”(tk+1) F”(tk+2)
1ktt0 +≤≤ 2ktt0 +≤≤
101Rezolvând sistemul de ecuaţii (9.14) se obţine pe intervalul de timp [ ]1kk t,tt +∈ :
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′+′+
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′−′−
−=
++
+
+
++
+
+
1kk1k
1kk2
1k3
1kk1k
k1k
1k2
FFt
FF2t1C
FF2t
FF3t1C
(9.15)
Pentru valori particulare 1nk2 −≤≤ relaţiile (9.13) şi (9.15) se pot grupa matriceal:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
+
++++
++++'
1k
'k
1k
k
21k
21k
31k
31k
1k1k2
1k2
1k
3
2
1
0
FF
FF
t1
t1
t2
t2
t1
t2
t3
t3
01000001
CCCC
(9.16)
Se vor selecta valorile lui tk+1 pentru care punctul Mk+1 asigura o eroare de traiectorie
minimă:
imminqqtM
1i
2k,i1k,i1k =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=Φ∀ ∑
=++ (9.17)
qi,k+1 este coordonata generalizată obţinută prin acţionarea cuplei cinematice
conducătoare pentru a atinge punctul Mk+1.
Vitezele kF′ şi 1kF +′ se determină din condiţiile de continuitate a legii de mişcare de
ordinul doi (a acceleraţiilor) în punctele de precizie. Prin derivarea expresiei vitezei
din relaţia (9.11) se obţine acceleraţia la sfârşitul primului segment în punctul de
precizie Mk+1: ( ) 1k321k tC6C2tF ++ +=′′ (9.18)
Pentru începutul celui de-al doilea segment expresia acceleraţiei devine:
( ) 2k322k tC6C2tF ++ +=′′ (9.19)
Particularizând la t=0 ⇒ F”(0) = 2C2 (9.20)
102Continuitatea legii de mişcare de gradul doi (în acceleraţie constantă)în punctul Mk+1:
( ) ( )2k1k tFtF ++ ′′=′′ (9.21)
Utilizând expresiile (9.16), (9.18) şi (9.20) în relaţia (9.21) se obţine:
( ) ( )[ ]k1k2
2k1k2k2
1k2k1k
2k1k1k2k1kk2k FFtFFttt3FtF)tt(2Ft −+−=′+′++′ +++++
++++++++ (9.22)
Pentru valori particulare 1nk2 −≤≤ relaţia (9.22) se poate grupa matriceal:
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+−
−+−
−+−
−+−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
+
−−−−−−−−
−
−−−−
3n2n2
1n24n1n2
2n1n2n
452656
25
65
342545
24
54
232434
23
43
'1n
'4
'3
'2
2n1n2n1n
5656
4545
3434
FFtFFttt
3
FFtFFttt3
FFtFFttt3
FFtFFttt3
F
FFF
t)tt(2t00000
000t)tt(2t000000t)tt(2t000000t)tt(2t
MM
L
MMMMMMMM
L
L
L
(9.23)
Rezolvând sistemul matriceal (9.23) se obţin valorile matricei vitezelor [ ]F′ şi
înlocuind în matricea (9.16) rezultă o soluţie unică a coeficienţilor polinomiali pentru
fiecare funcţie polinomială de ordinul trei. Pe măsură ce se obţin soluţiile funcţiilor
polinomiale - relaţia (9.10) - se impune verificarea respectării condiţiei de eroare
minimă faţă de traiectoria programată.
b) Pentru primul şi ultimul segment al traiectoriei se impune condiţia iniţială de
funcţionare fără şocuri: 0FFFF nn11 =′′=′=′′=′ (9.24)
103utilizând funcţia polinomială de gradul patru:
44
33
2210 tCtCtCtCC)t(F ++++= (9.25)
Fig. 9.4 Aproximarea primului segment al traiectoriei
⇒ pentru segmentul iniţial 21MM pe intervalul de timp [ ]21 t,0tt =∈ se
impun următoarele condiţii iniţiale:
0C)0(F0C)0(FFC)0(F 2110 ==′′==′== (9.26)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′′=+=′′
′=+=′
=++=
2224232
2324
2232
2424
32312
FtC12tC6)t(F
FtC4tC3)t(F
FtCtCF)t(F
(9.27)
Rezolvând primele 2 ecuaţii din sistemul de ecuaţii (9.27) se obţine:
( )
( ) 232
1242
4
222
1232
3
Ft1FF
t3C
Ft1FF
t4C
′+−−
=
′−−=
(9.28)
⇒ pentru segmentul final n1-n MM pe intervalul de timp [ ]n1n t,0tt =∈ − se
impun următoarele condiţii iniţiale:
1n11n0 FC)0(FFC)0(F −− ′==′== (9.29)
M2
M3
M1
t2 t3 t1
F1(t)
F”(t2) F”(t0)
2tt0 ≤≤ 1ktt0 +≤≤
F2(t)
104
Fig. 9.5 Aproximarea ultimului segment al traiectoriei
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++=′′
=+++′=′
=+++′+=
−
−−
0tC12tC6C2)t(F
0tC4tC3tC2F)t(F
FtCtCtCtFF)t(F
2n4n32n
3n4
2n3n21nn
n4n4
3n3
2n2n1n1nn
(9.30)
Rezolvând sistemul de ecuaţii (9.30) se obţine:
( )
( )
( )2n1n1nn4n
4
n1n1nn3n
3
n1n1nn2n
2
tFF3F3t1C
tF3F8F8t1C
tF3F6F6t1C
−−
−−
−−
′−−=
′++−=
′−−=
(9.31)
Pentru determinarea matricei vitezelor [ ]F′ se impune condiţia de continuitate a legii
de mişcare de ordinul doi (a acceleraţiilor) în punctele de precizie M2 pentru primul
segment al traiectoriei şi Mn-1 pentru ultimul al traiectoriei.
Acceleraţia la sfârşitul primului segment de curbă, în punctul de precizie M2 se exprimă
prin derivata a doua a funcţiei polinomiale de gradul patru - vezi relaţia (9.25):
( ) 224232 tC12tC6tF +=′′ (9.32)
care cu ajutorul relaţiilor (9.31) ia forma:
Mn-1 Mn
Mn-2
tn-1 tn tn-2
Fn-1(t)
F”(tn-1) F”(tn)
1ntt0 −≤≤ ntt0 ≤≤
Fn(t)
105
( ) ( ) 22
1222
2 Ft6FF
t12tF ′+−
−=′′ (9.33)
La începutul primului segment de curbă intermediară, derivata de ordinul doi a
funcţiei polinomiale de ordinul trei se obţine cu ajutorul relaţiei (9.12):
( ) tC6C2tF 32 +=′′ (9.34)
Particularizând la t=0, corespunzător punctului de precizie M2 de început al primului
segment de curba intermediar: ⇒ F”(0) = 2C2 (9.35)
unde coeficientul C2 este definit de relaţia (9.15) pentru k = 2:
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′−′−
−= 32
3
23
3FF2
tFF3
t2F”(0) (9.36)
Continuitatea legii de mişcare de gradul doi (în acceleraţie constantă)în punctul M2,
se exprimă prin egalarea relaţiilor (9.33) şi (9.36):
( ) ( )0tFtF k2 =′′=′′ (9.37)
( ) ( )2323
1222
33
223
FFt3FF
t6F
t1F
t3
t2
−+−=′+′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (9.38)
În mod similar acceleraţia la sfârşitul ultimului segment de curbă intermediară, în
punctul de precizie Mn-1, este obţinută din relaţiei (9.34) pentru t = tn-1:
( ) 1n321n tC6C2tF −− +=′′ (9.39)
unde coeficienţii C2 şi C3, definiţi de relaţia (9.15), pe intervalul de timp [ ]2k1k t,tt ++∈
au expresia:
106
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′+′+
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′−′−
−=
+++
++
+
+++
++
+
2k1k2k
2k1k2
2k3
2k1k2k
1k2k
2k2
FFt
FF2t
1C
FF2t
FF3t
1C (9.15a)
ce se particularizează pentru k = n – 1:
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′+′+
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′−′−
−=
−−−
−−
−
−−−
−−
−
1n2n1n
1n2n2
1n3
1n2n1n
2n1n
1n2
FFt
FF2t1C
FF2t
FF3t1C
(9.40)
Cu aceste precizări relaţia (9.38) devine:
( ) 1n1n
2n1n
1n21n
2n21n
1n Ft4F
t2F
t6F
t6tF −
−−
−−
−−
−− ′+′+−=′′ (9.41)
La începutul segmentului final, pentru tn = 0, acceleraţia este definită de derivata a
doua a funcţiei polinomiale de ordinul patru, prin a treia ecuaţie din relaţia (9.30):
( ) 2C20F =′′ (9.42)
unde coeficientul C2 este definit de relaţia (9.31):
( ) ( )n1n1nn2n
tF3F6F6t20F −− ′−−=′′ (9.43)
Egalând relaţiile (9.40) cu (9.41) rezultă:
( ) ( )0tFtF n1n =′′=′′ − (9.44)
se obţine:
( ) ( )1nn2n
2n1n21n
1nn1n
2n1n
FFt6FF
t3F
t3
t2F
t1
−−−−
−−
−−
−+−=′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++′ (9.45)
107Combinând relaţiile (9.38) cu (9.45) cu relaţia (9.23), prin completarea primei linii cu
relaţia (9.38) şi a ultimei linii cu relaţia (9.45) se obţine:
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( ) ( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+−
−+−
−+−
−+−
−+−
−+−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
++
+
+
−−−−
−−−−−−−−
−
−
−−
−−−−
1nn2n
2n1n21n
3n2n2
1n24n1n2
2n1n2n
452656
25
65
342545
24
54
232434
23
43
1222
2323
'1n
'2n
'5
'4
'3
'2
n1n1n
2n1n2n1n
5656
4545
3434
323
FFt6FF
t3
FFtFFttt
3
FFtFFttt3
FFtFFttt3
FFtFFttt3
FFt6FF
t3
FF
FFFF
t3
t2
t1000000
ttt2t00000
000ttt2t000000ttt2t000000ttt2t
000000t1
t3
t2
MM
L
L
MMMMMMMM
L
L
L
L
(9.46)
Rezolvând sistemul matriceal al relaţiei (9.46)se obţin toate valorile matricei vitezei
[ ]F′ , definind astfel toate funcţiile polinomiale de gradul trei şi patru utilizate pentru
aproximare traiectoriei prescrise în planul mişcării.
Extinzând metoda prezentată pentru toate cele M cuple cinematice conducătoare ale
unui robot industrial, ceea ce conduce la un maxim de (n-1).M funcţii polinomiale
pentru o traiectorie aproximată prin n puncte de precizie.
108Valorile extreme ale vitezelor se pot exprima printr-un factor:
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ≤≤′= +
ij
1iijijv V
tt0:tFmaxmaxS (9.47)
unde Vij – viteza de regim a unei cuple cinematice conducătoare j, pentru M,1j = ;
F’ij – viteza pe segmentul de curba i, prin acţionarea cuplei cinematice
conducătoare j.
Valorile extreme ale acceleraţiilor se pot exprima de asemenea printr-un factor:
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ≤≤′′= +
ij
1iijija a
tt0:tFmaxmaxS (9.48)
unde aij – acceleraţia de regim a cuplei cinematice conducătoare j, pentru M,1j = ;
F”ij – acceleraţia pe segmentul de curba i, prin acţionarea cuplei cinematice
conducătoare j.
Valoarea optimă a factorului S este:
S = max. (Sv , Sa) (9.48)
![l. Nume: Cetifenie: civilSimatfib.ro/dl/cv budurea claudia imatfib.pdf · Cursuri: Curs de Ecocardiografle Avansata, Asociatia fluropeana de f]cocardiografie, 20 I 0 Pacientul coronarian](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5e3213dc47c03618f659a4ff/l-nume-cetifenie-budurea-claudia-imatfibpdf-cursuri-curs-de-ecocardiografle.jpg)
