Mecanica Avansata in Robotica

!

"#"$"% &'& ( ))) *#( +'

+

+ ,#(% + (( & ($ &) ($ + , & (% )

'

& '& --$$ '

& .$ '& .$(/ '& .$

& 0- && ,"#-$(/ +&) ,"#-$ &+ &

&+ 1- &&+ ,1##" &+ ,1#% +

& .(/% && .(/%( && .(/%-

&&

& # & # & (/# )

& 2

# &'2

- # &&3% )

&,"( )&3%%# &3%%# '

'

) ') ("(

) ,"( ) ," ) 1 !"#"$%#%'# () '

) (" ) ,"(/# ) ,"# )) ,"3%

*

)& 1-3% )) 1 !"#"$%#%'#(+)

)& "( )) " )'

&

+ &+ 4 &+ *$#( +& (# '

'

' 0%

*

$

5(-

& *$

(% '

)

) 678$, + ,(

69:( ,(# '

& 4( &) ,(

! &)

&) 5($ &)

5( &) 11- )'

0

- ) 0

-0% )

,

01;%,( ++&+ ,5(($- +

) ,?,@A ) ( ) 4@?((A ) ,?,@A )& ,%#

+ 6 0-@

MECANICA AVANSAT N ROBOTIC 7 Ce faci pentru tine, dispare odat cu tine,

ce faci pentru alii, rmne pentru eternitate. (Albert Einstein)

PREFA Robotica, ca tiin i domeniu de cercetare multidisciplinar, se ocup cu studiul teoretic i experimental al proceselor fizice i informaionale, care stau la baza funcionrii roboilor. Pe baza acestora se stabilesc principiile fundamentale necesare modelrii, proiectrii, implementrii i utilizrii roboilor industriali n cadrul proceselor tehnologice, consacrate realizrii de produse performante, ntr-un timp ct mai scurt si cu costuri ct mai reduse. Ca urmare, se impune dezvoltarea unor modele si algoritmi matematici, n ceea ce privete comanda cinematic i dinamic a roboilor. Aceast lucrare se constituie ca o monografie cu privire la mecanica avansat n robotic. n cuprinsul celor zece capitole ale lucrrii, se dezvolt noiuni fundamentale privind funciile de comand geometric i cinematic, aspecte legate de traiectoriile optime de micare, optimizarea parametrilor de distribuie a maselor, precum i studiul dinamic al forelor generalizate motoare i ecuaiilor difereniale ce exprim micarea mecanic a robotului. Pentru atingerea acestor deziderate, n lucrare sunt apelate elemente de noutate tiinific, cum sunt matricele difereniale, funciile exponeniale de matrice, funciile polinomiale de interpolare i energia acceleraiilor. Prin toate acestea, lucrarea se constituie i ca un element de plecare pentru dezvoltarea de noi metode i algoritmi de calcul. Primul capitol, intitulat sugestiv Structura mecanic a robotului prezint ntr-o form lapidar noiuni legate de structura mecanic a unui robot industrial. Aceste noiuni sunt eseniale pentru nelegerea corect a modelelor matematice i algoritmilor dezvoltai n capitolele urmtoare. n cadrul capitolului doi intitulat Transformri matriceale n mecanica avansat, se dezvolt conceptul de situare, iar pe baza acestuia se stabilesc expresiile de definiie pentru matricele de rotaie (orientare). Un aspect esenial l constituie abordarea conceptului de orientare, prin modelare direct i de comand, utiliznd rotaiile n jurul axelor fixe i mobile, precum i rotaia generalizat. n cadrul aceluiai capitol sunt dezvoltate formulri i reformulri asupra transformrilor omogene, care sunt eseniale n studiul matematic al structurilor mecanice de roboi. Capitolul trei intitulat Modelarea geometric include principalii algoritmi clasici, bazai pe matricele de situare, operatorii compui tip PG i tip DH. Algoritmii sunt consacrai ecuaiilor geometriei directe i de comand a structurilor mecanice de roboi, fiind nsoii de cteva aplicaii. Urmtorul capitol al lucrrii este intitulat Modelarea cinematic. Pentru nceput se prezint expresiile de definiie ale parametrilor cinematici, dup care este dezvoltat o proprietate esenial privind derivata matricei de rotaie. Aceast proprietate se utilizeaz pentru dezvoltarea matricelor de transfer liniare i unghiulare. Un aspect fundamental al capitolului l constituie matricele difereniale ale transformrilor omogene, precum i matricea Jacobian. Acestea sunt consacrate att studiului cinematic, ct i stabilirii matricelor incluse n ecuaiile dinamicii.

MECANICA AVANSAT N ROBOTIC 8 Capitolul cinci intitulat Funcii exponeniale de matrice abordeaz elemente de noutate privind aplicarea funciilor exponeniale n cinematica structurilor mecanice complexe. n cadrul acestui capitol sunt dezvoltate formulri i algoritmi, avnd anumite avantaje n studiul geometriei, cinematicii i dinamicii roboilor industriali. Capitolul se finalizeaz prin dezvoltarea de aplicaii, care vin n consonan cu utilitatea acestor modele i algoritmi n mecanica avansat. Capitolul ase Modelarea traiectoriilor de micare trateaz, prin prisma funciilor polinomiale de interpolare, problema optimizrii traiectoriilor de micare n spaiul configuraiilor. De asemenea, n lucrare este dezvoltat un algoritm al funciilor de comand cinematic, cu implicaii profunde n studiul comportamentului cinematic, dar i dinamic al structurilor mecanice. Dac primele ase capitole ale lucrrii sunt consacrate geometriei i cinematicii, urmtoarele patru dezvolt aspecte matematice cu privire la distribuia maselor, forele statice, principiile difereniale ale mecanicii analitice i forele generalizate n robotic. Astfel, capitolul apte intitulat Distribuia maselor trateaz modelele matematice, dar i algoritmul generalizat, consacrat proprietilor masice ale structurii mecanice de robot. Dintre proprietile masice relevant este tensorul inerial i tensorul pseudoinerial, precum i variaia generalizat a acestora. innd seama de aspectele mai sus reliefate, capitolul opt intitulat Noiuni i teoreme fundamentale este consacrat generalizrii teoremelor fundamentale aplicate n studiul dinamic. Trebuie remarcat formularea cu privire la energia acceleraiilor sub form explicit i matriceal. n cadrul capitolului nou Principii ale mecanicii analitice se prezint mai nti cteva aspecte n conexiune cu rolul matematic al legturilor i deplasrilor n dinamica sistemelor mecanice. n continuare, se dezvolt, sub form explicit i matriceal, principiul lucrului mecanic virtual, principiul lui DAlembert i ecuaiile lui Lagrange-Euler pentru sisteme olonome, neolonome i pentru micri impulsive. Tabloul este completat de ecuaiile lui Hamilton, de asemenea, ntr-o form explicit i matriceal. Un aspect important al capitolului se refer la generalizarea ecuaiilor lui Appell, bazate pe energia acceleraiilor, precum i la dezvoltarea principiului variaional Hamilton - Ostrogradski. Capitolul se finalizeaz prin cteva aplicaii. Ultimul capitol se intituleaz Forele generalizate n Robotic. Pentru nceput se prezint un model matematic privind calculul forelor generalizate, avnd ca punct plecare principiul lucrului mecanic virtual. n continuare se dezvolt formulri noi privind calculul forelor generalizate statice i dinamice, avnd o form matematic unitar, fapt ce constituie un avantaj esenial n studiul comportamentului dinamic. Capitolul se finalizeaz prin dezvoltarea algoritmului generalizat al funciilor de comand dinamic, care se aplic oricrei structuri mecanice de robot. n concluzie, lucrarea se constituie ntr-o cercetare fundamental n domeniul mecanicii avansate n robotic. Modelele matematice i algoritmii dezvoltai n lucrare pot constitui o baz de studiu teoretic i aplicativ, esenial pe de o parte pentru specialitii n robotic, doctoranzi i masteranzi, iar pe de alt parte pentru studenii facultilor cu profil mecanic, mecatronic i electric. Autorii

MECANIC AVANSAT N ROBOTIC

LISTA DE SIMBOLURI

9

LISTA DE SIMBOLURI

Simbolul utilizat Semnificaia Capitolul (SMR) Abreviere (abr.)structura mecanic a robotului. Cap. 1-10 (MGD) Modelul geometric direct (abr.) Cap. 2,3 (MGI) Modelul geometric invers (abr.) Cap. 2,3 (MCD) Modelul cinematic direct (abr) Cap. 4,8,9 (MCI) Modelul cinematic invers (abr.) Cap.4, 8,9 (MEG) Algoritmul Exponenialelor de Matrice in geometria directa (abr.) Cap.5 (MEK) Algoritmul exponenialelor de matrice in cinematica directa (abr.) Cap.5 (DM) Distribuia maselor (abr.) Cap.8,9 (PG) Parametrii generalizai (abr.) Cap.3 (DH) Parametrii compui Denavit-Hartenberg { }n1iq i =; coordonata linear [ ]mm sau coordonata unghiular [ ]rad din cupla motoare Cap. 1-10

[ ]{ }Ti n1iq == , vectorul coloan al coordonatelor generalizate, de dimensiune ( )1n , din fiecare cupl motoare a robotului; Cap. 1-10 [ ]{ }Tipoz n1iq == , vectorul coloan al coordonatelor generalizate pentru poziie; Cap.1-10 [ ]{ }Tior n1iq == , vectorul coloan al coordonatelor generalizate pentru orientare; Cap. 1-10

( ) [ ]{ }Ti0 n1i0q === , vectorul coloan al coordonatelor generalizate n configuraia iniial a robotului, unde { }Nnn1i = , Cap.1-10 { }0zyxO 0000 sistemul de referin fix, ataat centrului geometric al bazei fixe a structurii mecanice; Cap. 1-10

{}izyxO iiii sistemul de referin mobil, ataat n centrul cuplei fiecrui element cinetic Cap.1-10 { } {}i0 poziia i orientarea sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 ; unde ( )1n1i += Cap. 1-10 { }T sistemul de referin ataat sculei Cap.1 { }G sistemul de referin ataat piesei Cap.1


LISTA DE SIMBOLURI

10

{ }S sistemul de referin ataat piesei de prelucrat, ntr-un col al acesteia; Cap.1 { } {}ij poziia i orientarea sistemului mobil {}i n raport cu un alt sistem mobil, { }j ; Cap. 1-10

{ }1n + sistemul mobil ataat n punctul caracteristic P, ce coincide cu centrul geometric al efectorului final; cele trei axe ale sistemului sunt simbolizate dup cum urmeaz: { }azsynx 1n1n1n +++ ;;

Cap. 1-10

{ }u matricea antisimetric asociat oricrui vector [ ] { }== uvectuuuu Tzyx Cap. 2-10 [ ] ( ){ }1n1iR0i +=, matricea de rotaie (orientare), care exprim orientarea sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 ataat bazei robotului; Cap. 2-10 [ ] { }{ }n1jiRji =;, matricea de rotaie (orientare) ( )33 , ce exprim orientarea unui sistem mobil {}i n raport cu un alt sistem mobil { }j ; Cap. 2-10

[ ]{ }RTrace 0i urma matricei de orientare [ ]R0i (sau a unei matrice oarecare) se calculeaz ca fiind suma elementelor de pe diagonala principal Cap. 2-10 [ ]

==

n1izyxp Tiiii vectorul de poziie al originii sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 ; Cap. 2-10

{ }{ }n1jip ijj =;, vectorul de poziie dintre originile sistemelor {}i i { }j proiectat pe sistemul { }j ; Cap. 2-10 ( )

= n1ippp Tziyixi

componentele carteziene, n [ ]mm ale vectorului ip , ( )Tzijjyijjxijj ppp Cap. 2-10

{ }1ii1ii1i pr = vectorul coloan care exprim poziia sistemului {}i n raport cu sistemul { }1i Cap. 2-4 ( ) [ ]{ }T1i1i1i01ii1i cbap =

setul de parametri generalizai sau operatorii compui de tip PG ce caracterizeaz poziia sau vectorul de poziie al sistemului mobil {}i n raport cu sistemul anterior { }1i .

Cap. 3

( ) ( ){ }0i0iei1i1i da grupul operatorilor compui de tip DH corespunztoare variantei doi a algoritmului operatorilor compui de tip DH. Cap. 3


LISTA DE SIMBOLURI

11

( ) ( ){ }01i01ieiii da grupul operatorilor compui de tip DH ce corespunde primei variante a algoritmului operatorilor compui de tip DH. Cap. 3 ( )1iia

lungimea normalei comune msurata ntre dou axe motoare nvecinate ( )1iik - ( )i1ik + ; Cap. 3

( )1ii unghiul de ncruciare msurat n planul normal pe perpendiculara dintre dou axe motoare nvecinate ( )1iik i ( )i1ik + ;

Cap. 3

( )( )0 1iid distana dintre dou elemente nvecinate, msurat n lungul axei motoare notat ik ; Cap. 3

( )( )0 i1i unghiul dintre dou elemente cinetice nvecinate, msurat n jurul axei motoare, ntre cele dou normale comune i orientate corespunztoare acestei axe;

Cap. 3

ei

reprezint unghiul msurat n jurul axei iy ; parametrul exist numai n cazul erorilor geometrice din domeniul mrimilor difereniale.

Cap. 3 ( ) ( ) ( )( ){ }0A0A0i ii ppk /= versorul corespunztor fiecrei axe motoare n1i = , in raport cu sistemul fix { }0 . Cap. 2-10 ( ) ( ){ }0i0i vk , parametri de urub (coordonatele omogene ale fiecrei axe motoare), utilizai n cadrul algoritmului exponenialelor de matrice. Cap. 5

( ){ }1n1iAi +=, matricea parametrilor de urub, cu aceeai expresie n ambele configuraii i ( )0 . Cap. 5 ( ){ } [ ]{ }Re 1i iqk ii0i forma exponenial a matricei de rotaie Cap. 5 { }n1ibi =, vectorul coloan al funciilor exponeniale Cap. 5 { }ii qAe exponeniala matricei de rotaie Cap. 5

( ) ( ){ }1n1iM 0vn +=, matricea geometriei nominale Cap.1- 8 [ ] ( ){ }1n1iT0i +=,

matricea de situare (transformare omogen), de dimensiune ( )44 , exprim poziia i orientarea sistemului {}i n raport cu sistemul fix , { }0 , ataat bazei robotului considerat;

Cap. 1-10

[ ] { }

=

SGTjn1iTji ;;,

matricea de situare (transformare omogen), de dimensiuni ( )44 , exprim poziia i orientarea sistemului {}i n raport cu { }j ;

Cap. 1-10


LISTA DE SIMBOLURI

12

{ }n1iT G1ii = , matricea de situare rezultant dintre sistemele {}i i { }1i , n configuraia iniial a robotului (parametrii de tip PG).

Cap. 3

{ }n1iT D1ii = , matricea de situare rezultant dintre sistemele mobile{}i i { }1i , n configuraia iniial (modelare cu parametrii compui DH).

Cap. 3

{ }1n1iTG +=, matricea sistemelor de tip PG conine poziia relativ i orientarea sistemelor de tip PG Cap. 3 { }1n1iTD +=, matricele generalizate ale sistemelor i ale operatorilor compui de tip DH Cap. 3

[ ] [ ]{ }1n1iTT 0iGG1i iG += ,, matricele de situare de tip PG a sistemelor { }iG fa de sistemele { }G1i respectiv { }0 Cap.3 [ ] [ ]{ }1n1iTT 0iDD1i iD += ,, matricele de situare de tip DH a sistemelor { }iD fa de sistemele { }D1i respectiv { }0 Cap.3 [ ]{ }1niT01n +=+ ,

matricea de situare dintre sistemele { } { }01n + exprima situarea sistemului ataat n punctul caracteristic al efectorului final n raport cu sistemul de referin fix { }0 .

Cap.3-10

{ }1niTT 1xo0x += ,, expresiile exponeniale ce caracterizeaz matricele de situare respectiv inversele acestora i care exprim situarea sistemelor { }n i { }1n+ fa de sistemul{ }0

Cap.5

{ };sqqsin ii { }ii cqqcos funciile trigonometrice sinus si cosinus scrise ntr-o form simplificat; Cap.2-10

( ){ }

= SGTiT

zixiyi;;

unghiurile de orientare exprimate n [ ]rad , componente ale vectorului i ; Cap.2-10

( ){ } { }

= SGTjiT

zij

xij

yij

;;;

unghiurile de orientare exprimate n [ ]rad , componente ale vectorului ij ; Cap.2-10

{ }{ }SGTii ;;, = vectorul ce exprim orientarea sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 ataat bazei robotului; Cap.2-10 { } { }{ }SGTjiij ;;;, = vectorul ce exprim orientarea sistemului mobil {}i n raport cu un alt sistem, { }j ; Cap.2-10

( ) [ ]{ }T1i1i1i0i1i = setul de parametri generalizai sau operatorii compui de tip PG ce caracterizeaz orientarea fiecrui sistem ataat n centrul cuplei motoare. Cap. 3


LISTA DE SIMBOLURI

13

( ) ( ) { }{ }SGTifX i0n ;;, ==

vectorul coloan ( )16 al coordonatelor operaionale, care exprim poziia i orientarea sistemului{}i n raport cu sistemul fix{ }0 respectiv sistemul mobil { }n ;

Cap.2-10

{ } { }{ }SGTjiX ijj ;;;, = vectorul coloan ( )16 al coordonatelor operaionale, care exprim poziia i orientarea sistemului {}i n raport cu { }j ; Cap.2-10 ( ){ }iii cq;sq2tanAq =

funcia invers ( ) [ ]pipi + ;cq;sq2tanA ii , care tine cont de semnul ambelor argumente, adic isq i icq ;

Cap.2, 3, 5 [ ]{ }m1kXM TVk0Xv =;,

matricea generalizat a parametrilor cinematici operaionali Cap. 4

( ) { }{ }SGTiv i0i ;;, = vectorul vitezei lineare a originii sistemului {}i fa de sistemul de referin fix { }0 respectiv proiecia lui pe sistemul mobil {}i ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10 ( ) ( ) { }{ SGTiva i0ii0i ;;, = &

vectorul acceleraiei lineare a originii sistemului {}i fa de sistemul fix { }0 respectiv proiecia lui pe sistemul mobil {}i ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

( )Tziyixii pppp &&&& = componentele carteziene [ ]sm ale vectorului vitezei lineare a originii sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

( ) { }{ }SGTii0i ;;, = vectorul vitezei unghiulare a sistemului asociat cuplei {}i fa de sistemul de referin { }0 i proiecia pe sistemul mobil {}i ; Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

( ){ }Tiz0iy0ix0

componentele carteziene [ ]srad ale vectorului vitezei unghiulare a sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 ataat bazei;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

{ } { }{ }SGTjip ijj ;;;, =& vectorul vitezei lineare a originii sistemului {}i , n micarea acestuia n raport cu sistemul{ }j , vector proiectat pe sistemul{ }j ; Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10 ( )

{ } { }

= SGTjippp Tzijjyijjxijj;;;

&&&

componentele carteziene [ ]sm ale vectorului vitezei lineare a originii sistemului {}i , n micarea acestuia n raport cu sistemul mobil { }j , proiectat pe sistemul { }j ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10


LISTA DE SIMBOLURI

14

{ } { }{ }SGTjiijj ;;;, = vectorul vitezei unghiulare a sistemului {}i , n micarea acestuia n raport cu sistemul { }j , vector proiectat pe sistemul mobil{ }j ; Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10 ( )

{ } { }

= SGTjiT

ijzj

ijyj

ijxj

;;;

componentele carteziene [ ]srad ale vectorului vitezei unghiulare a sistemului {}i ,n raport cu sistemul de referin { }j , proiectat pe sistemul { }j ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

{ }n1iundeq i =& viteza generalizat corespunztoare fiecrei cuple motoare, n1i = ; Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10 { }n1iundeq i =& viteza liniar [ ]sm sau viteza unghiular [ ]srad corespunztoare cuplei motoare ( )i Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

{ }{ }n1iq i == ,&& vectorul coloan ( )1n al vitezelor generalizate din fiecare cupl a robotului. Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10 { } { }{ }SGTjiijj ;;;, =&

vectorul coloan ( )1n al vitezelor generalizate din fiecare cupl motoare a robotului n micarea sistemului {}i n raport cu sistemul de referin { }j ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

{ }{ }SGTiXi0 ;;, =& vectorul coloan ( )16 al vitezelor operaionale, care exprim micarea sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10 { }{ }SGTiX i0 ;;, =&& vectorul coloan ( )16 al acceleraiilor operaionale, care exprim micarea sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 . Cap. 4, 8

ijj X&

vectorul coloan ( )16 al vitezelor operaionale, care exprim micarea sistemului {}i n raport cu sistemul { }j , vector proiectat pe sistemul{ }j ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

{ }ijj X&& vectorul coloan ( )16 al acceleraiilor operaionale, care exprim micarea sistemului mobil {}i n raport cu sistemul { }j , vector proiectat pe sistemul{ }j ;

Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

( ) ( ) ( )( ){ }1TJJJ ;; & matricea Jacobian, derivata n raport cu timpul, inversa transpusei respectiv inversa matricei Jacobiene; Cap. 4, 5, 8, 9, 10 ( )[ ] [ ]{ }n1iVtV i == , matricea transfer a vitezelor liniare Cap. 4,5,8


LISTA DE SIMBOLURI

15 ( )[ ] [ ]{ }n1it i == , matricea transfer a vitezelor unghiulare Cap. 4,5,8 ( ) ( )[ ]{ }n1ittA =,; & matricea de transfer a acceleraiilor liniare Cap. 4,5,8 ( )[ ]{ }n1itAij =, matricea diferenial de ordinul nti a transformrilor de situare Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10 ( )[ ]{ }n1itAijk =, matricea diferenial de ordinul doi a transformrilor de situare Cap. 4, 5, 6, 8, 9, 10

{ }NnRn , operatorul matriceal de transfer ntre sistemul fix { }0 i sistemul mobil { }n Cap. 4,5,8 ( ){ }n1iT 1ii0 = , operatorul matriceal de difereniere pentru fiecare ax motoare n1i = Cap. 4,5,8

( ){ }n1iVME i =; componentele matricei de transfer a vitezelor liniare scris n form exponenial Cap. 4,5,8 ( ){ }n1iJME i =; componentele coloanei ( )i coninute de matricea Jacobian, n form exponenial Cap. 4,5,8

{ }XVQM matricea generalizat a parametrilor cinematici ce caracterizeaz micarea absolut a efectorului final n spaiul cartezian. Cap. 4, 5,8 { }CM matricea funciilor de comand cinematic Cap. 6 { }MM matricea valorilor maxime admise pentru funciile de comand cinematic Cap. 6 { }M matricea real ce conine funciile de comand cinematic corespunztoare structurii analizate Cap. 6 { }n1ii =, timpul real n [ ]s corespunztor poziiei ih Cap. 6

( ){ }n1ith i =, funcia normalizat de interpolare a traiectoriei de micare a robotului analizat Cap. 6 ( ){ }n1ih i =, funcia polinomial real de interpolare a traiectoriei de micare a robotului analizat Cap. 6 { }n1ihh 1iii == , spaiul parcurs de robot n timpul it Cap. 6

{ }iiii n;f fora i momentul forelor de legtur din fiecare cupl motoare ( )i a robotului; Cap. 9, 10 *i

i I reprezint tensorul inerial axial-centrifugal al elementului cinetic ( )i n raport cu { }*i ; Cap. 8, 9

*pi

i I reprezint tensorul inerial planar-centrifugal al elementului cinetic ( )i n raport cu { }*i ; Cap. 8, 9

psii I reprezint tensorul pseudoinerial al elementului cinetic ( )i n raport cu {}i ; Cap. 8, 9


LISTA DE SIMBOLURI

16

{ }n1irriC

0i

0 =,,

vectorul de poziie al elementului de mas dm , respectiv vectorul de poziie al centrului maselor iC n raport cu sistemul fix { }0 .

Cap. 8, 9

{ }n1iHH iii0 =,, vectorul impuls al elementului cinetic ( )i , proiectat pe sistemul fix { }0 respectiv pe {}i . Cap. 8, 9 { }n1irrd

iCi =,, vectorul diferenial al deplasrilor reale respectiv vectorul diferenial al deplasrilor virtuale ce caracterizeaz fiecare cupl ( )i Cap. 8, 9

{ }L;L lucrul mecanic elementar virtual; Cap. 9, 10 { }iiii N;F fora i respectiv momentul forelor aplicate asupra unui element cinetic ( )i ; Cap. 9, 10 { }ifdiSUigii Q;Q;Q;Q fore generalizate de inerie, fore generalizate gravitaionale i de manipulare, respectiv fore generalizate de frecare; Cap. 9, 10 { }isQ fora generalizat de echilibrare static din fiecare cupl motoare ( )i ; Cap. 9, 10 { }imQ fora generalizat motoare din cupla ( )i Cap. 9, 10 ( ){ }M matricea (maselor) de inerie a energiei cinetice; Cap. 9, 10

( ){ }XM matricea de inerie a energiei cinetice Cap. 9, 10

&;V vector ce conine matricea termenilor Coriolis i matricea forelor de inerie centrifugale Cap. 9, 10

&;C matricea termenilor centrifugali ( )C ; Cap. 9, 10

&;D matricea pseudoinerial a energiei acceleraiilor; Cap. 9, 10 ( ) &;EC energia cinetic a unui sistem mecanic Cap. 9, 10

&&&;;AE energia acceleraiilor pentru un sistem mecanic caracterizat prin .l.d.gn ; Cap. 9, 10 ( ) &; funcia Lagrange asociat unui sistem mecanic; Cap. 9, 10 ( ) &;H funcia lui Hamilton pentru un sistem mecanic Cap. 9, 10

pjQ fora percutant generalizat; Cap. 9, 10 { }Pj Percuia generalizat. Cap. 9, 10


Capitolul 1 STRUCTURA MECANIC A ROBOTULUI

17 Capitolul 1 STRUCTURA MECANIC A ROBOTULUI 1.1 Introducere Cu toate c nu exist o definiie consacrat pentru un robot, n general acesta este considerat a fi un sistem sau echipament cu funcionare automat, adaptabil prin programare computerizat unui mediu complex i variabil n care acioneaz i care poate nlocui total sau parial una sau mai multe funcii umane. n cazul roboilor industriali, definiia se restrnge, acesta fiind privit ca un echipament flexibil, reprogramabil, cu funcionare automat, capabil s efectueze diverse operaii orientate n special spre manipularea i transportul pieselor, sculelor sau altor mijloace de producie pentru ndeplinirea unor sarcini specifice de fabricaie. Roboii cu structur serial au toate gradele de libertate active (g.d.l), fiind capabili s efectueze operaii de manipulare complexe. n acest scop, el se deplaseaz pe traiectorii bine definite i cu un control permanent asupra parametrilor de poziie-orientare i de viteze-acceleraii, respectiv asupra forelor generalizate din cuplele motoare ale robotului. Scopul acestui capitol este de a prezenta structura mecanic a robotului, modelarea fizic a structurii, modaliti de trasare a schemei cinematice ataate unui robot. 1.2. Modelarea structurii mecanice Arhitectura general [C03], [F01] i [N07] a unui robot industrial cuprinde: structura mecanic, sistemul de acionare i sistemul de comand, cum se observ din schema bloc de mai jos, Fig.1.1.

Fig. 1.1 Din punct de vedere matematic, legturile dintre componentele de baz ale robotului se realizeaz prin intermediul diferiilor algoritmi sau a funciilor de control. Interaciunea cu mediul se realizeaz prin intermediul structurii mecanice a robotului (SMR). Aceasta se caracterizeaz prin dou funcii fundamentale: poziia i orientarea obiectului manipulat n spaiul cartezian.



18 Geometria structurii mecanice a robotului este privit ca un sistem mecanic alctuit din ( )1n+ elemente cinetice. Dintre acestea, primul element, simbolizat cu ( )0 , reprezint baza fix a robotului, n timp ce ( )n1i = reprezint numrul de elemente cinetice (elementele mobile ale robotului). Studiul geometriei, cinematicii i dinamicii unui robot se realizeaz prin intermediul sistemului mobil {}izyxO iiii , ataat originii fiecrui element. Legtura fizic dintre dou elemente nvecinate n cazul lanurilor cinematice nchise sau deschise este asigurat prin intermediul cuplelor motoare de clasa a cincea, simbolizate, dup cum urmeaz: ( ) ( ){ }prismaticatranslatieTrevolutierotatieR ; . Cu ajutorul acestora pot fi definite diferite structuri de roboi paraleli sau seriali. n studiul geometric, cinematic i dinamic aceste cuple sunt privite ca legturi scleronome i olonome adic perfecte sub aspect mecanic.

n vederea generrii funciilor de comand cinematic, structura mecanic a robotului va fi modelat geometric, iar n acest sens se vor utiliza o serie de ipoteze simplificatoare. Pentru trasarea schemei cinematice n form simplificat, cuplele motoare vor fi simbolizate conform Fig.1.2. Astfel, pentru reprezentarea cuplei de rotaie (R) se va utiliza Fig. 1.2.a, iar pentru cupla prismatic (T), Fig.1.2.b. Cele dou tipuri de cuple sunt caracterizate de o singur variabil, notat cu iq . Aceast variabil este denumit coordonata generalizat a robotului (coordonata robotului). Acest parametru al robotului poate lua valori liniare sau unghiulare, n funcie de tipul cuplei motoare. Din punct de vedere geometric, gradele de libertate (g.d.l.) ale robotului pot fi exprimate prin intermediul vectorului coloan, astfel:

( ) [ ] [ ]TiTnnin niqqqqqq === 1;1211 KK (1.1) Expresia (1.1) reprezint vectorul coloan al coordonatelor generalizate, avnd rolul de a descrie o anumit configuraie a robotului n spaiul configuraiilor, n conformitate cu principiile din mecanica analitic. Expresia matriceal anterioar poate fi exprimat ntr-o form particular:

( )( ) [ ] [ ]TiTn1ni211n 0 n1i;0q0q0q0q0q0q ========= KK . (1.2)

iq

iq

iz iy

ix

1i iO O 1ix 1iy

1iz

( )1i +

( )1i

( )iiz

1iz

iy

ix

( )1i +

( )i

iq1iy

1ix

( )1i 1iO

iO

.a .bFig. 1.2



19 n acest caz, vectorul coloan ( )0 va caracteriza robotul n configuraia iniial. Aceasta nseamn c toate motoarele sunt blocate, iar coordonatele generalizate au valoarea zero. Spre deosebire de primul vector coloan, urmtorul este implementat n form matriceal:

( ) [ ] [ ]TjTmjm nmmjXXXXXX === ;1;000201010 KK . (1.3) Vectorul ( )10 mX poart denumirea de vectorul coloan al coordonatelor operaionale. Acesta caracterizeaz poziia i orientarea obiectului manipulat n spaiul cartezian al coordonatelor. Astfel, condiia nm devine obligatorie pentru comanda oricrui robot, cunoscnd c parametrulm este variabil, n timp ce numrul gradelor de libertate ( ... ldgn ) este o constant.

Fig. 1.3 Conform Fig.1.3, structura mecanic a robotului este alctuit din trei componente de baz: mecanismul de poziionare (braul robotului sau mecanismul de generare a traiectoriei), mecanismul de orientare (articulaia robotului), efectorul final (gripper al robotului sau mna).

Mecanismul de poziionare este numit i braul robotului sau mecanismul de generare a traiectoriei. Acesta conine maximum trei grade de libertate. Acestea pot fi rotaii R sau translaii T, sau o combinaie ntre acestea dou, n numr de ( )34C2 , cum ar fi de exemplu:{ }T2R;TRT;R2T;TR2;RTR;RT2;T3;R3 .Funcia principal a acestui mecanism const n asigurarea unei poziii n spaiul cartezian (sistemul fix { }0 ataat bazei fixe a robotului), pentru un punct al obiectului manipulat denumit punct caracteristic, notat cu P.

Braul robotului

Baza fix Mecanismul de orientare

Efectorul final

! " #! #! $! !% &'' !(!) (*

%

* !" + #

$

*,-+ *** $ + ."/% ,'0-'* ***

0!$ * !0! *1 $% *#(! !*#! $ !0)!0!0! * 1*2 *% #! !)! !)3! "!! !% )*!) 4 #*) )! 5) )! ,!,61 ()!!4% *#(! !*#!#!!)) 5*#!! * !

."/

&

'

'7

*

*

0

'*7

7

!*# !((!)



21 Orientarea efectorului final Variante posibile (Tabelul 1.1)

( ) ( )001k T01n =+ ( ) ( )010k T01n =+ ( ) ( )100k T01n =+

Schema cinematic. Conform lucrrilor [N01] i [N07], primul pas, pentru aplicarea algoritmilor matematici de modelare geometric a unei structuri mecanice, const n reprezentarea acesteia sub forma unei scheme cinematice. Aceasta pune n eviden comportamentul geometric i cinematic al robotului. n acest sens vor fi utilizate matricele (1.4) i (1.5) care conin datele de intrare i corespund configuraiei iniiale a robotului.

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] TTiTiT

TAiAi

Ti

nvn

nikp

nipppM

+==

+==

+ 11;

11; 00000

61

0 (1.4)

( ) { }{ } { }{ }[ ]T000i0C n1iz;y;xuAxisintJoT;RCTypeintJoM ==== ; (1.5) unde ( )0vnM i M (0)C reprezint matricea geometriei nominale respectiv matricea cuplelor. n Fig.1.4, ( )0ip reprezint vectorul de poziie al centrului geometric al fiecrei cuple motoare, iar

( ) ( ) ( )( )000 AiAii ppk = este versorul corespunztor fiecrei axe motoare n1i = . Cei doi vectori din (1.4) pot fi exprimai n raport cu sistemul fix { }0 . Pentru 1ni += , n expresia (1.4), versorul ( )01nk + poate lua o serie de valori, dup cum reiese i din Tabelul 1.1, unde sunt prezentate toate variantele posibile de orientare ale efectorului final, ce corespund configuraiei iniiale a robotului. Aceste variante depind ntr-o msur important de vectorul de poziie ( )01np + al punctului caracteristic P , care este considerat originea sistemului mobil.

s

a

n

0// z

s

a

n

0// z

s

a

n

0/ / y

sa

n0// y

sa

n

0// x

0// x

a

s

n



22 1.3 Aplicaii

Se supun analizei trei tipuri de roboi i anume: RTT3R, 6R i 5R. Structura mecanic a robotului RTT3R este reprezentata n Fig. 1.3, iar schema sa cinematic n Fig. 1.5. Pentru robotul de tip 6R, structura mecanic i schema cinematic sunt reprezentate n Fig. 1.6 respectiv Fig. 1.7. Pentru robotul de tip 5R, structura mecanic i schema cinematic sunt reprezentate cu figurile Fig. 1.8 i Fig. 1.9. Sunt definite matricele geometriei nominale i matricele cuplelor, pentru toate cele trei structuri (a se vedea tabelele 1.2 - 1.9 de mai jos).

RTT3R M(0)vn (Tabelul 1.2) ( )T0ip ( )0ik Element

71i = Tipul cuplei { }T;R

1 R 0 0 85 0 0 1 2 T 0 0 270 0 0 1 3 T 55 0 270 0 1 0 4 R 55 250 270 0 1 0 5 R 55 370 230 0 0 1 6 R 55 370 270 1 0 0 7 55 440 310 0 1 0

RTT3R M (0)C (Tabelul 1.3) 61i = 1 2 3 4 5 6

{ }T ; RC i = R T T R R R { }000 z;y;xu = 0z 0z 0y 0y 0z 0x

0O

0x

0y

0z n

s

aP

Fig. 1.5



23 ( ) 6R M 0vn (Tabelul 1.4)

( )T0ip ( )0ik Element


1 R 0 0 520 0 0 1 2 R 0 0 900 1 0 0 3 R 0 0 1870 1 0 0 4 R 0 605 1870 0 1 0 5 R 0 880 1870 1 0 0 6 R 0 880 1870 0 1 0 7 0 1100 1870 1 0 0

Fig. 1.6

( ) 6R M 0C (Tabelul 1.5) 61i = 1 2 3 4 5 6

{ }T ; RC i = R R R R R R { }000 z;y;xu = 0z 0x 0x 0y 0x 0y

0x

0y

0z

0O

n

a

s

P



24

Fig. 1.7

Matricea configuraiilor limit 6R M L este impus de construcia structurii mecanice a robotului i joac un rol esenial n procesul tehnologic, precum i n generarea funciilor de comand cinematic i dinamic ale structurii mecanice ale robotului luat n studiu. 6R M L ( Tabelul 1.6)

Limite { }max;min q1 q2 q3 q4 q5 q6

min. -17 -50 -50 -180 -120 0 max. 93 30 40 180 120 360

Matricele ce conin datele de intrare, pentru structura de tip 5R supus analizei sunt prezentate n tabelele care urmeaz. Ele vor fi utilizate n determinarea ecuaiilor geometriei, cinematicii i dinamicii, ce caracterizeaz structura de tip 5R prezentat n cadrul Fig. 1.8.



25 R5 M (0)vn (Tabelul 1.7)

Element 61i =

Tipul cuplei { }T;R ( )T0ip [mm] ( )0ik

1 R 0 0 85 0 0 1 2 R 0 0 270 1 0 0 3 R 55 0 270 1 0 0 4 R 55 250 270 1 0 0 5 R 55 370 230 0 1 0 6 55 440 310 1 0 0 Structura mecanic a robotului de tip 5R, spaiul de lucru corespunztor, precum i volumul acoperit de robot sunt evideniate n cadrul setului de trei figuri prezentate mai jos:

Fig. 1.8.



26 R5 M (0)C (Tabelul 1.8)

51i = 1 2 3 4 5 { }T ; RC i = R R R R R

{ }000 z;y;xu = 0z 0x 0x 0x 0y

Fig. 1.9. R5 M L (Tabelul 1.9) q1 q2 q3 q4 q5 Limite { }max;min

min. -180 -30 -150 -90 -180 max. 180 135 0 90 180

n figura 1.8, n partea superioar este prezentat structura mecanic a robotului de tip 5R, n stnga jos, spaiul de lucru, iar alturat forma volumului acoperit de robot n timpul funcionrii. n figura 1.9. este reprezentat schema cinematic (ntr-o form simplificat) a robotului de tip 5R supus analizei. Aceast schem cinematic, precum i valorile introduse prin tabelele 1.8 i 1.9 vor fi utilizate ca date de intrare n vederea stabilirii ecuaiilor geometriei i cinematicii directe.

0z

0y

0x

1k2k

3k

4k 5k1q

2q3q

4q5q

{ }O

0l

1l

2l

3l4l

5l

a

n

s

P



27 R5 M (0)vn (Tabelul 1.10)

( )T0ip ( )0ik Element


1 R 0 0 350 0 0 1 2 R 0 150 350 1 0 0 3 R 0 150 600 1 0 0 4 R 0 370 600 1 0 0 5 R 0 450 600 0 1 0 6 - 0 150 600 1 0 0

Structura mecanic a robotului de tip 5R, model FANUC LR Mate 100iB, spaiul de lucru corespunztor i volumul acoperit de robot este reprezentat n cadrul figurilor de mai jos:

Fig. 1.10 R5 M L (Tabelul 1.11)

51i = 1 2 3 4 5 { }T ; RC i = R R R R R

{ }000 z;y;xu = 0z 0x 0x 0x 0y R5 M L (Tabelul 1.12)

q1 q2 q3 q4 q5 Limite { }max;min min. -160 -92,5 -182,5 -120 -200 max. 160 92,5 182,5 120 200

0y

1y2y

3y

54 yy

0x

1x

2x

3x

54 xx

0z

1z

3z

2z

54 zz

n

s

a

0l

1l2l

3l4l



28

Fig. 1.11 n Fig. 1.10, este prezentat structura mecanic (n form simplificat) a robotului FANUC cu 5 grade de libertate, model LR Mate 100Ib, iar n tabelele 1.11 i 1.12 sunt descrise axele dup care are loc micarea, respectiv rotaiile maxime din cuplele robotului. n Fig. 1.11, este reprezentat spaiul de lucru al robotului, precum i volumul acoperit de acesta n timpul funcionrii. Schema cinematic, precum i valorile din tabelele 1.10 i 1.11 vor fi utilizate ca date de intrare pentru stabilirea ecuaiilor geometriei i cinematicii directe, precum i a ecuaiilor dinamicii robotului.

Centrul de rotaie al cuplei J4

Spaiul descris de centrul de rotaie

al cuplei J4


Capitolul 2 TRANSFORMRI MATRICEALE N MECANICA AVANSAT

29


2.1 Conceptul de situare n mecanica aplicat n cadrul modelrii matematice a sistemelor mecanice, care includ i structurile de roboi (SMR), vor fi analizai parametrii geometrici, reprezentnd poziia i orientarea cuplelor luate n studiu. n acest sens, a fost introdus termenul de situare conform cu [N07] - [N39]. Acesta are rolul de a nlocui cei doi termeni referitori la poziie i orientare. n cadrul acestei seciuni, va fi analizat conceptul de situare din punctul de vedere al mecanicii roboilor. Se ia n studiu un sistem de (n+1) elemente cinetice, iar n Fig.

2.1 este reprezentat, ntr-o form simbolic, un element cinetic Modelarea geometric se realizeaz n raport cu un sistem de referin iiii zyxO ataat cuplei, notat cu {}i ,

unde {} { } { }n1i = . n acelai scop sunt utilizate i celelalte dou sisteme: { }0 , care se presupune fix i { } {}ij mobil, unde{ } { } { }n1j = . Se consider un punct P luat arbitrar, invariabil legat de un sistem mobil {}i i reprezentat n Fig. 2.1. Pentru evidenierea poziiei punctelor P iO se introduc urmtoarele notaii si expresii:

( ) ( )( )

=

Pii

P0i

i0i

prPO ; ( ) ( )( ) [ ]

=

PpPO 0i

i

00i ; ( )

( ) ( )( ) [ ]

==

ORGi0J

i0j

ij

i00j

OrpOO ; (2.1)

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]TPiPiPiPi

iP

0izyx

pr =

; [ ] [ ]

Tz

iy

ix

ii

ippp

Pp =

; [ ] [ ]Tzyx0 pppP

p =

; (2.2)

[ ][ ][ ]

=

=

Tzi

jyi

jxi

j

Ti

ji

ji

j

ORGij

ij

ij

pppzyx

Orp ; [ ]

[ ][ ]

=

=

Tziyixi

Ti

0i

0i

0

ORGi0

i0

ipppzyx

Orp (2.3)

iz

0y

( ) ( ) [ ]ORGi0Jij Op = ( ) ( ) [ ]Pp 0ii =

( ) ( )P

0iPi

i rp =

{ }0

{}i

P

ix

0x

0z

0O

iy

iO

Fig. 2.1



30 Dup cum s-a precizat, sistemul mobil { }j penduleaz n intervalul { } { } { }n1j = iar indicele dreapta sus ( ) ( ){ }0jor0i arat sistemul n care este exprimat vectorul de poziie. Conceptul de situare. Se consider sistemele {}i i { }0 , ultimul fiind ataat bazei robotului. n starea iniial, cele dou sisteme au aceeai origine i orientare. Pentru aducerea sistemului {}i ntr-o stare final fa de sistemul fix { }0 , se aplic dou transformri compuse: o translaie rezultant pentru poziie, urmat de o rotaie rezultant pentru orientare, vezi [N12]. Pentru nceput, se aplic o translaie rezultant a sistemului {}i din starea iniial ntr-o stare final, meninnd orientarea fa de sistemul{ }0 . Din punct de vedere mecanic, aceast transformare se realizeaz prin intermediul vectorului de poziie [ ]ORGi0i Op = , definit cu expresiile (2.1) i (2.3) care conine cei trei parametri independeni. Aceti parametri sunt trei deplasri liniare, simple, n lungul axelor sistemului { }0 , dar n acelai timp acetia exprim i poziia sistemului {}i n raport cu sistemul{ }0 , adic gradele de libertate ale poziiei sistemului. Pentru a determina orientarea final a sistemului {}i se aplic cea de a doua transformare compus i anume, rotaia rezultant. Aceast rotaie poate fi efectuat att n jurul axelor fixe ct i n jurul axelor mobile sau n jurul unei axe arbitrare (rotaie generalizat, conform teoremei deplasrilor finite a lui Euler). Se tie c versorii axelor mpreun cu componentele lor, numite cosinusuri directoare, dau orientarea fiecrei axe a sistemului {}i n raport cu sistemul{ }0 . Astfel, se vor utiliza urmtoarele notaii pentru versorii axelor i componentele lor:

=

=

0Ti

0Ti

0Ti

ix

izxyxxx

x

;

=

=

0Ti

0Ti

0Ti

iyi

zyyyxy

y

;

=

=

0Ti

0Ti

0Ti

iz

izzyzxz

z

. (2.4)

ntruct sistemul {}i este triortogonal i drept orientat, (2.4) poate fi exprimat sub forma:

=

==

=

=

iyiziziyiziyiyiziziyiziy

iziyiyiyiy

iyiyii

0Ti

0Ti

0Ti

ixi

00

0zy

zxyxxx

x

=

==

=

=

izixixizixizizixixizixiz

ixiziziziziziz

ii0

Ti

0Ti

0Ti

iyi

00

0xz

zyyyxy

y

(2.5)

=

==

=

=

ixiyiyixiyixixiyiyixiyix

iyixixixix

ixixii

0Ti

0Ti

0Ti

izi

00

0yx

zzyzxz

z

;

unde { }iiii z;y;xu = sunt versorii axelor, iar ( )Tiuiuiu cosinusurile directoare.



31 Pentru a evidenia rotaia sistemului {}i fa de{ }0 , se presupune c sistemele luate n studiu au origine comun: i0 OO = i [ ] 0Op ORGi0i == . Astfel, poziia punctului P n raport cu sistemul mobil {}i , din relaia (2.2), este exprimat prin: [ ]TPiPiPiPii zyxp = . Poziia punctului P n raport cu sistemul { }0 este: [ ]TPPPPi zyxp = . Vectorul Pii p , proiectat pe axele sistemului fix { }0 , este exprimat cu relaia (2.6) dup cum urmeaz: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

++++++

=

=

=

0Tip

i0

Tip

i0

Tip

i0

Tip

i0

Tip

i0

Tip

i0

Tip

i0

Tip

i0

Tip

i

0TPi

i0

TPi

i0

TPi

i

ppp

pizzzzyyzxxyzzyyyyxxxzzxyyxxx

zpypxp

zyx

p ; (2.6) n (2.6), sunt incluse i cosinusurile directoare definite cu relaiile (2.4) i (2.5). Prin introducerea lor ntr-o matrice ptrat, (2.6) se obine urmtoarea identitate matriceal:

[ ]

=

=

=

pi

pi

pi

iiip

ip

ip

i

iziyixppp

pizyx

zyxzyx

zyx

p

; (2.7) Matricea ( )33 din (2.7), ale crei componente sunt nou cosinusuri directoare, ce

caracterizeaz orientarea fiecrei axe a lui {}i fa de { }0 , se numete matrice de orientare: [ ] [ ]

[ ]

=

=

iziyixiiiiii

iii0i

0i

yxxzzyzyx

RR

. (2.8)

Produsul scalar dintre versorii { }z;y;xu = este: 0TiiT0 uuuu = . Matricea de orientare este:

[ ] [ ]

=

=

0Ti

0Ti

0Ti

0Ti

0Ti

0Ti

0Ti

0Ti

0Ti

iiiT0

T0

T0

0i

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

R . (2.9)

Matricea de rotaie sau matricea cosinusurilor directoare, descrie orientarea fiecrei axe a sistemului mobil {}i n raport cu sistemul{ }0 . Conform [N17], ntre cele nou cosinusuri directoare exist ase relaii matematice, de legtur, dup cum se poate observa mai jos:

{ } { }{ } { }{ }

=====++ z;y;xk

z;y;xj;kj;0kj;1; jkjkikijikijikij . (2.10) Cele ase relaii dintre cosinusurile directoare pot fi exprimate i n form matriceal, astfel:



32

[ ]

=

=

100010001

zzyzxzzyyyxyzxyxxx

zyxzyx

iTii

Tii

Ti

iTii

Tii

Ti

iTii

Tii

Ti

iiiTi

Ti

Ti

. (2.11)

Din relaiile (2.10) sau (2.11), rezult c orientarea sistemului {}i n raport cu { }0 este caracterizat prin maximum trei parametri independeni, reprezentnd setul de unghiuri de orientare. Aceste unghiuri sunt componentele vectorului de orientare, definit prin expresia:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] { } { } { }y;x;zC;x;z;yB;z;y;xATCjBjAjj ==== . (2.12) Aadar, orientarea oricrui sistem n raport cu un altul presupus fix sau relativ fix se poate determina pe baza setului de unghiuri de orientare, ale cror valori i axe de rotaie nu se aleg n mod aleatoriu, dup cum va rezulta i din urmtoarele paragrafe referitoare la acest subiect. n concluzie, conform conceptului de situare, cunoscut i sub numele de conceptul de poziie-orientare, numrul maxim de parametri geometrici ce caracterizeaz poziia i orientarea unui sistem {}i n raport cu { }0 sau { } {}ij , este egal cu ase. Conform cu (2.1), (2.3) sau (2.12), aceti parametri pot fi inclui ntr-o matrice coloan ( )16 , rezultnd:

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

{ } { } { }

===

=

=

=

y;x;zC;x;z;yB;z;y;xA

.....................................................ppp

...........p

X;XX TiC

jiB

jiA

j

Tizjiyjixj

ij

ij

16i0j

160j

16i0j

; (2.13)

unde ( ) ( )ij X este vectorul coloan al coordonatelor operaionale. Dintre acestea, primele trei reprezint poziia, iar ultimele trei exprim orientarea sistemului {}i n raport cu un alt sistem: fix { }0 sau mobil{ } {}ij , ataate structurii mecanice a robotului (SMR) analizat. Observaii: Se cunosc: poziia vectorului Pii p ale crui componente sunt descrise de (2.2), matricea de orientare [ ]R0i , definit de (2.8) i vectorul coloan al coordonatelor operaionale i0 X conform cu (2.13). Se presupune c i0 OO iar [ ] 0Op ORGi0i = se exprim cu relaiile (2.1) sau (2.3). Se cere, s se determine poziia punctului P n raport cu sistemul { }0 . Din Fig. 2.1, pe baza relaiei (2.7), se pot determina expresiile ce caracterizeaz vectorul de poziie [ ]Pp 0= , precum i matricele de transfer, sub forma:

Pii ppp += ; [ ] Pii0iPi pRp = ; [ ] [ ] [ ] Pii0iORGi00 pROP += . (2.14) Matricea de transfer (2.14) include cele dou transformri rezultante ce caracterizeaz poziia i orientarea: translaia rezultant a vectorului de poziie [ ]ORGi0i Op = i rotaia rezultant exprimat cu ajutorul matricei [ ]R0i cunoscut sub numele de matrice de orientare.



33 2.2 Matricele de rotaie n mecanica aplicat Pe baza conceptului de situare, prezentat in paragraful anterior, au fost demonstrate i determinate expresiile pentru matricele de rotaie dup cum se poate observa n (2.8) i (2.9). innd cont de orientarea sistemului {}i n raport cu sistemul fix { }0 sau cu sistemul mobil { } {}ij , expresia (2.8) mai poate fi scris i sub forma prezentat mai jos:

( ) [ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

=

=iz

j

iy

j

ix

j

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

0ji yxxzzy

zyxR

. (2.15)

n Fig. 2.1 se observ c sistemele: { }0 i {}i sau{ } {}ij i {}i , luate n studiu, au originea comun: i0 OO = , [ ] 3ORGi0i 0Op == ; sau ij OO = , [ ] 3ORGijij 0Op == . Ca urmare, expresia matriceal de transfer (2.14) se modific dup cum se arat n continuare:

( ) [ ]( )

( ) [ ] [ ]( ) [ ]

=

pRPR

pP

i0ji

i0ji

j

0j;

( )( )( )

( ) ( ) ( )

=

zi

yi

xi

iz

j

iy

j

ix

j

zj

yj

xj

ppp

ppp

. (2.16)

Observaie: Aceast expresie are o semnificaie remarcabil n cadrul geometriei i cinematicii roboilor. Ea reprezint, pe de o parte, transferul vectorului de poziie pi din sistemul {}i n alt sistem { }0 or{ } {}ij . Pe de alt parte, (2.16) exprim rotaia rezultant a sistemului {}i fa de { }0 sau { } {}ij . Ori de cte ori rotaia rezultant este n jurul unei axe a sistemului fix sau mobil, expresia (2.15) se transform ntr-o matrice de rotaie simpl. 2.2.1 Matricele de rotaie simpl n continuare, vor fi demonstrate expresiile de definiie ale matricelor de rotaie simpl n jurul axelor { }z;y;xu = . Se consider elementul ( )i cu o cupl de rotaie (R), ce caracterizeaz structura mecanic a unui robot cu n g.d.l, reprezentat n Fig. 2.2. n studiul geometric se consider dou sisteme{ }0 i{}i , avnd aceeai origine: i0 OO = . La momentul iniial, cele dou sisteme sunt perfect suprapuse, avnd aadar aceeai orientare. Pentru a explica transformrile de rotaie, exemplificate n Fig.2.2, se fac urmtoarele notaii:

{ } ( ) ( ) ( )[ ] T0i0i0iiiii z;uy;ux;uzyxu == ; (2.17) { }

iu

iiii z;y;xu

==

; { } { }{ }

====

iiii

iiiiiiii z;y;xu

zyxuzyxu ; (2.18)



34

0

0 0

0

xy uz

=

0 iO O

iq

iq

iqi

i i

i

xu y

z

=

0

0 0

0

yv z

x

=

i

i i

i

yv z

x

=

0

0 0

0

zw x

y

= i

i i

i

zx wy

=

Fig. 2.3

unde iu reprezint unghiul dintre axele iu i axele aparinnd sistemului fix { }0 .

n (2.18), cu iu a fost notat versorul axelor n raport cu sistemul {0}, expresia lui iu incluznd att unghiurile ct i cosinusurile directoare. Se introduc urmtoarele notaii pentru funciile trigonometrice sinus i cosinus: ccos = , i ssin = . Pentru nceput, se determin rotaia n jurul axei x . n acest scop, conform Fig. 2.2.a, asupra elementului cinetic ( )i se aplic o rotaie simpl n jurul axei

0i xx = , sub unghiul iq= , unde iq este coordonata unghiular a cuplei de rotaie. n urma acestei transformri, axa

ix i menine orientarea fa de axa 0x , n timp ce axele iy i iz se rotesc cu unghiul iq n planul fix 0x0 = . Ca urmare, noua stare a sistemului mobil {}i , n raport cu { }0 , va fi descris prin intermediul urmtoarelor unghiuri, cosinusuri directoare i versori ai axelor:

=

22

0x i

pi

pi ;

=

=

001

x

ix

i

; [ ][ ]

=

T

T

i001

2/2/0x

pipi ; (2.19)

c. b. a.

iq

iq

iq iq

iq

iq iq

iz

0y

ix 0x

0z

i0 OO =

iy

iz

0y

ix 0x

0z

i0 OO =

iy

iz

0y ix

0x

0z

i0 OO =

iy iq

iq

Fig. 2.2



35

=

i

iiq2

q2

ypi

pi

;

=

=

ii

iyi

sqcq0

y

; [ ][ ]

=

Tii

Tii

i sqcq0q2/q2/y pipi ; (2.20)

+=i

iiq

q22

z pipi

; .

=

=

i

i

iz

icqsq0

z

; [ ][ ]

+=

Tii

Tii

i cqsq0qq2/2/z pipi . (2.21)

Versorii { }iiii z;y;xu = cu componentele lor, reprezentate de cosinusurile directoare i exprimate prin (2.19), (2.20) i (2.21), se nlocuiesc n expresia (2.15) rezultnd urmtoarele: [ ] ( )

[ ]

=

=

=

iiii

iziyixiii

i0i

0i

cqsq0sqcq0001

zyxq;xR

RR

. (2.22)

Noua expresie obinut mai sus definete matricea de rotaie simpl n jurul axei x cu unghiul iq= . Dac axa motoare este definit prin x , orientarea dintre cele dou sisteme cu origine comun:{ }0 i{}i va fi dat de matricea de rotaie prezentata mai sus prin (2.22). n continuare, lund n considerare aspectele prezentate n Fig.2.2.b. va fi definit matricea de rotaie n jurul axei y . n acest caz axa motoare a cuplei de rotaie este

0i yy = . Aplicnd o rotaie simpl asupra elementului ( )i , cu unghiul iq= , se observ c axa iy menine orientarea axei fixe 0y , celelalte dou axe: ix i iz fiind rotite n planul fix 0y 0 = cu iq= . Noua stare a axelor sistemului {}i , n raport cu sistemul fix{ }0 este:

+=

i

ii

q22

qx

pi

pi ;

=

=

i

i

ix

isq0cq

x

; [ ][ ]

+=

Tii

Tii

i sq0cqq2/2/qx pipi ; (2.23)

=

202

y ipi

pi

;

=

=

010

yiy

i

; [ ][ ]

=

Tii

T

i cq0sq2/02/y pipi ; (2.24)

=

i

i

iq2q2

z pipi

;..

=

=

i

i

iz

i

cq0sq

z

; [ ][ ]

=

Tii

Tii

i cq0sqq2/q2/z pipi . (2.25)

Versorii i cosinusurile directoare din (2.23), (2.24) i (2.25), sunt nlocuite n (2.15), astfel: [ ] ( )[ ]

=

=

=

ii

ii

iziyixiii

i0i

0i

cq0sq010sq0cq

zyxq;yR

RR

. (2.26)



36 Aadar, dac axa motoare a unei cuple de rotaie este y , orientarea dintre sistemele:{ }0 i{}i avnd origine comun va fi exprimat cu relaia (2..26). Aceast relaie caracterizeaz matricea de rotaie simpl n jurul axei y cu unghiul iq= , singurul parametru independent. Pentru a demonstra expresia matricei de orientare n jurul axei z se va porni din nou de la cele dou sisteme: {}i ataat elementului ( )i i{ }0 fix, reprezentate n Fig. 2.2.c. Spre deosebire de primele dou cazuri, axa motoare a cuplei de rotaie este 0i zz = . Prin aplicarea unei rotaii n jurul axei motoare cu unghiul iq= elementul ( )i va fi adus ntr-o nou stare. Axa iz are aceeai orientare ca i axa fix 0z , dar axele ix i iy vor fi rotite in planul fix: 0z0 = . Noua orientare a axelor sistemului {}i , n raport cu sistemul { }0 este:

=2q2

qx i

ii

pipi ;

=

=

0sqcq

x ii

ix

i

; [ ][ ]

=

Tii

Tii

i 0sqcq2/q2/qx pipi ; (2.27)

+=

2q

q2y i

i

ipi

pi

;

=

=

0cqsq

y ii

iyi

; [ ][ ]

+=

Tii

Tii

i 0cqsq2/qq2/y pipi ; (2.28)

=

022

z i pipi

;

=

=

100

z

iz

i

; [ ][ ]

=

T

T

i100

02/2/z

pipi . (2.29) n expresia general (2.15) vor fi nlocuite expresiile (2.27), (2.28) i (2.29), rezultnd astfel:

[ ] ( )[ ]

=

=

=

1000cqsq0sqcq

zyxq;zR

RR

iiii

iziyixiii

i0i

0i

. (2.30)

Expresia de definiie mai sus scris este expresia matricei de rotaie simpl n jurul axei z . Ca i n primele dou cazuri, iq= este singurul parametru independent ce caracterizeaz rotaia. Observaii: Proprietile matricelor de rotaie i ale vectorilor coloan sunt prezentate mai jos. Determinantul asociat oricrei matrice de rotaie (2.15) este ntotdeauna identic cu:

( ) [ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1RDet 2izj2iyj2ixj2izj2iyj2ixj2izj2iyj2ixj0j i =++=++=++= . (2.31) Astfel, toate matricele de orientare, definite n acest paragraf, sunt ortogonale i unitare. Din (2.31) rezult c inversa matricei de rotaie este ntotdeauna egala cu transpusa ei:

[ ][ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

=

iziyix

j

iziyix

j

iziyix

j

iziziziyiyiyixixix

T

iz

j

iy

j

ix

j

T0)j(i

10)j(iR

R

. (2.32)



37 Pentru a ilustra proprietatea (2.32), vor fi prezentate n cele ce urmeaz, expresiile pentru inversele matricelor de rotaie n jurul axelor { }z;y;xu = , definite cu (2.22), (2.26) i (2.30):

[ ] ( ){ }[ ]

=

=

=

=

iiii

iziyix

iziyix

iziyix

Tiii

1i

T0i

10i

10i

cqsq0sqcq0001

zyxq;xR

RRR

; (2.33)

[ ] ( ){ }

[ ]

=

=

=

=

ii

ii

iziyix

iziyix

iziyix

Tiii

1i

T0i

10i

10i

cq0sq010sq0cq

zyxq;yR

RRR

; (2.34)

[ ] ( ){ }

[ ]

=

=

=

=

1000cqsq0sqcq

zyxq;zR

RRR

iiii

iziyix

iziyix

iziyix

Tiii

1i

T0i10i

10i

. (2.35)

Inversele matricelor de rotaie descriu orientarea fiecrui sistem { }0 sau { } {}ij , fa de {}i . Pe baza relaiilor (2.10) i (2.11) rezult c produsul matriceal dintre matricea de rotaie i transpusa ei este ntotdeauna matricea unitate, prezentat mai jos sub form dezvoltat:

[ ] [ ] [ ] [ ]{ }

=

100010001

IRRRR 30)j( iT0)j(

iT0)j(

i0)j(i . (2.36)

Urma oricrei matrice ptratice este definit ca suma elementelor de pe diagonala principal. Pentru a evidenia aceast proprietate important, se va lua drept exemplu matricea de mai jos: [ ]{ }[ ]{ }

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

izj

iyj

ixj

iz

j

iy

j

ix

j

0)j(i

0)j(i TraceRTr

RTrace

++=

=

. (2.37)

Matricea antisimetric asociat oricrui vector [ ]Tzyx uuuu = poate fi scris astfel: { }

=

0uuu0uuu0

uxy

xz

yz, transpusa ei fiind: { }

=

0uuu0uuu0

uxy

xzyz

T . (2.38)

Observaii: Expresiile matricelor de rotaie prezentate n acest paragraf vor fi utilizate cu precdere n cadrul modelelor matematice i a algoritmilor de calcul consacrai modelrii geometrice, cinematice, i dinamice sub form generalizat a structurilor mecanice roboilor.



38 2.2.2 Matricea de rotaie rezultant Studiul poate fi extins asupra unei structuri mecanice de robot cu ( ).l.d.gn Cuplele de rotaie ( )R realizeaz conexiunea fizic ntre cele ( )n elemente ale robotului. Se cere matricea de rotaie rezultant a elementului cinetic ( )n faa de sistemul { }0 , ataat bazei fixe.

Pentru nceput, se vor considera dou elemente cinetice ( )1i i ( )i , aparinnd structurii mecanice a robotului. Conform Fig. 2.4, poziia unui punct oarecare P invariabil legat de sistemul mobil {}i fa de sistemul { }1i este dat de relaia (2.16), modificat astfel:

[ ] pRp i1i i1i = . Expresia poate fi scris i sub forma: [ ] [ ] [ ]PRP i1i i1i = . (2.39) n continuare, expresia de mai sus poate fi extins pentru ntreaga structur a robotului. Astfel, expresia (2.39) va fi aplicat pentru n1i = , dup cum este prezentat mai jos:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

========

PRP;PRP;PRP;PRPpRp;pRp;pRp;pRpn1n

n1ni1i

i1i21

2110

10

n1nn

1ni1ii

1i212

1101 . (2.40)

n expresiile (2.40), vectorul [ ]Pp nn = exprim poziia unui punct oarecare P (punctul caracteristic sau centrul geometric al efectorului final) fa de sistemul mobil { }n ataat cuplei corespunztoare ultimului element cinetic al robotului supus analizei. n expresia (2.40), vectorul de poziie [ ]Pp 11 = va fi nlocuit n mod succesiv de expresia general (2.39) pentru orice n2i = . Se vor obine urmtoarele expresii matriceale:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

=

PRRRRpRRRR

Pp

n1nn

1ii

12

01

n1nn

1ii

12

01

0 ; [ ][ ][ ] [ ]

=

PR

pRPp

n0n

n0n

0 ; (2.41) Cele dou expresii prezentate mai sus sunt identice. Se observ c produsul matriceal dintre cele n matrice de rotaie simpl este nlocuit de o matrice rezultant, definit astfel:

{ }0

{ }1i1iO

1iq

{ }i { }+1i

iq

+1iOiO

{ }n

+1iq

Pnq

np

link i 1 link i

Fig. 2.4



39

[ ][ ] ( )

( )[ ]

==

=

=

=

nznynxnnn

iin

1i

in

1i1i

i0n zyx

q;uR

qRR

. (2.42)

Expresia (2.41) exprim pe de o parte transferul vectorului de poziie [ ]Pp nn = din { }n n sistemul fix { }0 . Pe de alt parte, ea exprim rotaia rezultant ntre cele dou sisteme. Aadar, expresia (2.42) reprezint matricea de rotaie rezultant ntre sistemele { } { }n0 . n modelarea matematic a roboilor, este apelat inversa matricei de rotaie rezultant. Ea poate fi obinut prin aplicarea direct a proprietii (2.32) asupra matricei (2.42). Expresia de definiie se poate stabili, utiliznd (2.39) ca relaie de plecare. nmulind expresia (2.39) n partea dreapt cu [ ]Ri1i i lund n considerare relaia (2.36), se obine:

[ ] pRp 1ii1ii = . Expresia poate fi scris i sub forma: [ ] [ ] [ ]PRP 1ii1ii = . (2.43) Pentru fiecare n1i = , ambele variante din ecuaia de transfer (2.43) pot fi scrise astfel: [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

========

PRP;PRP;PRP;PRPpRp;pRp;pRp;pRp1nn

1nn1ii

1ii12

1201

01

1nn1n

n1ii1i

i121

210

1 (2.44)

Vectorul de poziie [ ]Pp 1n1n = este substituit, prin expresia general (2.43), n ultima variant (2.44), pentru orice 2ni = . Expresiile matriceale pentru vectorul de poziie sunt:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

=

PRRRRpRRRR

Pp

010

21

i1i

n1n

10

21

i1i

n1n

n

n

LL

LL ; [ ][ ][ ] [ ]

=

PRpR

Pp

0n0

n0

n

n; (2.45)

Expresia (2.44) arat transferul vectorului de poziie [ ]Pp 0= din { }0 n sistemul mobil { }n . Produsul dintre cele n matrice de rotaie poate fi nlocuit de matricea rezultant, astfel:

[ ][ ] [ ]

[ ]( )

( ){ }

=

=

=

=

=

=

nz

nynx

nz

nynx

nz

nynx

Tn

Tn

Tn

1

ni1

ii

i1

nii1i

T0n

10n

n0

zyx

q;uR

qR

RRR

. (2.46)

Expresia (2.46) reprezint inversa matricei de rotaie rezultant dintre sistemele { } { }0n .

Observaii: Orientarea final a oricrui sistem de referin n raport cu un sistem fix este caracterizat de maximum trei parametri independeni. Aplicnd algoritmii geometrici inclui n modelul geometric direct, poate fi determinat matricea de rotaie rezultant, a crei expresie general este (2.15). Pe baza modelului invers pentru orientare se poate determina fiecare set de parametri independeni ai orientrii. n acest scop, n cadrul urmtoarelor paragrafe se vor prezenta cteva metode geometrice consacrate orientrii, cum sunt: rotaii n jurul axelor fixe, rotaii n jurul axelor mobile sau rotaia generalizat.



40 2.3 Rotaii n jurul axelor fixe i axelor mobile Conform conceptului de orientare analizat n primele dou paragrafe, orientarea final a oricrui sistem mobil {}i fa de un altul { }0 sau{ } {}ij este dat de matricea de rotaie rezultant exprimat de (2.8) sau (2.15). Lund n considerare observaiile fcute n primul paragraf, aceeai stare ntre cele dou sisteme poate fi obinut prin intermediul a trei rotaii independente. Aceste rotaii pot fi aplicate n jurul axelor fixe sau n jurul axelor mobile. Prin combinarea celor trei transformri simple, se obin 12C3 34 = tipuri de matrice ale orientrii. Tipul rotaiei, precum i tipul matricei de orientare pentru ambele variante, att n jurul axelor fixe ct i n jurul axelor mobile sunt prezentate n tabelul de mai jos: (Tabelul 2.1)

Ordinul de rotaie Tipul matricei de orientare Prima ax (A) A doua ax (B) A treia ax (C)

Axe fixe ( )CBAR Axe mobile ( )CBAR

z ( )zyxR ( )zyxR y x ( )xyxR ( )xyxR x ( )xzxR ( )xzxR x z y ( )yzxR ( )yzxR x ( )xzyR ( )xzyR z y ( )yzyR ( )yzyR y ( )yxyR ( )yxyR y x z ( )zxyR ( )zxyR y ( )yxzR ( )yxzR x z ( )zxzR ( )zxzR z ( )zyzR ( )zyzR z y x ( )xyzR ( )xyzR

n tabelul de mai sus s-au fcut cteva notaii. Astfel, simbolurile ( )CBAR i ( )CBAR sunt corespunztoare rotaiei n jurul axelor fixe i respectiv mobile. Cele dousprezece matrice de rotaie exprim aceeai orientare a sistemului {}i fa de { }0 . Ele sunt identice cu matricea rezultant (2.15). Fiecare matrice este o funcie de trei parametri independeni, aparinnd vectorului de orientare (2.12). Cele dousprezece seturi de unghiuri trebuie, de asemenea, determinate. Valorile lor difer de la un set la altul n funcie de tipul axelor i a ordinii rotaiilor. Este evident totodat c fiecare set de unghiuri exprim aceeai orientare a sistemului {}i fa de un sistem oarecare, de exemplu fa de sistemul fix{ }0 .



41 Modelul direct. Lund n considerare aspectele geometrice prezentate n [N07] i [N13], n modelul direct se presupun cunoscute cele trei rotaii independente n jurul axelor fixe sau mobile i uneori att n jurul axelor fixe ct i mobile. Ele sunt incluse n vectorul de orientare exprimat cu ajutorul expresiei (2.12) care poate fi scris n cele dou variante, astfel:

[ ] { } { } { }yxzCxzyBzyxATCBA ;;;;;;;; ==== . (2.47) Se cere expresia de definiie a matricei de rotaie rezultant. Ea exprim orientarea final a fiecrei axe {}i fa de un alt sistem, de exemplu { }0 . Pe baza ordinii efecturii rotaiilor i a matricelor din Tabelul 2.1, n continuare se analizeaz rotaiile n jurul axelor fixe i mobile.

Rotaii n jurul axelor fixe. Pentru stabilirea matricelor de rotaie rezultant din (2.47), va fi analizat, matricea de tipul ( )xyzR . Astfel, se consider dou sisteme { }0 i {}i avnd aceeai origine i aceeai orientare: { } { }0i0 . Poziia punctului P , invariabil legat de un sistem mobil {}i este definit conform expresiei de mai jos: [ ] [ ]T0z0y0x00 pppP = ; [ ] [ ]Tziyixii pppP = ; [ ] [ ]PP i00 = . (2.49)

{ }

[ ]

( )

[ ]

{ }

[ ]

10

1

1

01i

z

00

0

0

PPi

R

;zR

PPi

LLL

. (2.50)

Fig. 2.4.b arat c noua stare a componentelor vectorului [ ]00 P poate fi descris de (2.51):

[ ]

=

Tzz

Tzz

0x

0x

0sc22p

p

pipi ;[ ]

+=

Tzz

Tzz

0y0y

0cs22p

p

pipi ; [ ]

=

T

T

0z

0z

100022p

p pipi . (2.51)

n conformitate cu Fig. 2.4.a, prima rotaie a sistemului { }0i se realizeaz n jurul axei 0z cu unghiul z . n urma acestei rotaii, sistemul{ }0ii poziia punctului 0P se modific astfel:

Fig. 2.4 0x 0x

0y 0y

0z 0z

0 iO O

izp i

zp

ixp

iyp

0p

z

z

z

iypi

xp0 iO O

.a.b

{ }0

{ }0i



42 Expresiile prezentate anterior in cont de notaiile din (2.17). Se evideniaz, astfel, att unghiurile ct i cosinusurile directoare ale versorilor corespunztori componentelor vectorului [ ]00 P rotit cu unghiul z . innd seama de expresia (2.16), prin proiectarea vectorului de mai sus i a componentelor sale pe axele sistemului fix { }0 , conform Fig.2.4.b, noua poziie a punctului 1P se va determina cu expresia (2.52), astfel::

[ ]

=

=

zi

yi

xi

zzzz

1z1y1x

10

ppp

1000cs0sc

ppp

P

; [ ] ( ) [ ][ ] [ ]

= PR

P;zRP i01i

iz

10 . (2.52)

Mai sus, expresia matricei de rotaie (2.30) a fost, de asemenea, luat n considerare.

Observaie: Rezult c aplicarea unei rotaii simple ntre sistemele: { } { }0i0 i { }1i este matematic, reprezentat de matricea de rotaie simbolizat prin: ( ) [ ]R;zR 01iz = . n acelai timp, relaia (2.52) exprim transferul vectorului de poziie [ ] [ ]PP 1ii din sistemul{ }1i n { }0 .

{ }[ ]

( )[ ]

{ }[ ]

20

22

02i

y

10

11

PPi

R

;yR

PPi

LLL

.(2.53)

Fig. 2.5

innd cont de (2.17) i Fig. 2.5.b, noua stare a componentelor vectorului de poziie [ ]10 P este:

[ ]

+=

Tyy

Tyy

1x1x

s0c22p

ppipi ;

[ ]

=

T

T

1y1y

010202p

p pipi ;[ ]

=

Tyy

Tyy

1z1z

c0s22p

p

pipi . (2.54)

Cea de-a doua rotaie are loc n jurul axei 0y cu unghiul y . n conformitate cu Fig.

2.5.a att starea sistemului { }1i ct i poziia punctului 1P se modific astfel:

0x0x

0y 0y

0z0z

0 iO O

1zp 1zp

1xp1yp

1P1p

y

1yp

1xp0 iO O

.a .b

1iz 1iy

1ix

y

y{ }0

{ }1i



43

0x0x

0y 0y

0z 0z

0 iO O

2zp 2zp

2xp

2yp

2P2p

2yp

2xp0 iO O

.a .b

2iz

2iy

2ix x

x

x

{ }0

{ }2i

Conform Fig. 2.5 b, vectorul de poziie, precum i componentele sale vor fi proiectate pe axele sistemului fix. Drept urmare, noua poziie a punctului 2P va fi descris de expresiile:

[ ]

=

=

1z1y1x

yy

yy

2z2y2x

20

ppp

c0s010

s0c

ppp

P

; [ ] ( ) [ ][ ] [ ]

=

100

2i1

0y

20

PRP;yRP . (2.55)

innd seama de (2.26) i de expresiile anterioare, se va determina expresia matricei de rotaie n jurul axei y .nlocuind vectorul de poziie [ ]10 P din expresia (2.52) n (2.56), rezult: [ ] [ ]10zz

zz

yy

yy2

0 P1000cs0sc

c0s010s0c

P

=

; [ ] ( ) ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

= PRRP;zR;yRP i0

1i02i

izy

20 . (2.56)

Observaie: Aplicnd sistemului { }1i o rotaie simpl n jurul unei axe fixe, acesta va trece ntr-o nou stare { }2i . Din punct de vedere matematic, aceasta este reprezentat de matricea de rotaie, simbolizat prin ( ) [ ]R;yR 02iy = . Transformarea dintre cele dou sisteme: { } { }0i0 i { }2i este reprezentat matematic de matricea de rotaie rezultant sub forma: ( ) ( ) [ ] [ ]RR;zR;yR 0

1i02izy = . n acelai timp, expresia matriceal (2.56)

exprim transferul vectorului de poziie [ ] [ ] [ ]PPP 2i1ii din sistemul { }2i n sistemul { }0 . .

{ }

[ ]

( )

[ ]

{ }

[ ]

30

3

3

03i

x

20

2

2

PPi

R

;xR

PPi

LLL

.(2.57)

Fig. 2.6

Cea de-a treia rotaie (i ultima conform conceptului de situare) se realizeaz n jurul axei 0x sub unghiul x , conform Fig. 2.6.a i Fig.

2.6.b. Sistemul {}i i punctul P sunt aduse n starea final, n consonan cu expresia (2.57):



44

0x

0y

0z

0 iO O

3zp

3xp

3yp

3P3iz3iy

3ix

{ }0

{ }3i

.Fig 2.7

Noua stare a componentelor vectorului de poziie [ ]20 P , conform Fig. 2.6.b, este definit prin:

[ ]

=

T

T

2x

2x

001220p

p pipi ;[ ]

=

Txx

Txx

2y2y

sc022p

p

pi

pi

;[ ]

+=

Txx

T

xx

2z

2z

cs022p

p

pipi

. (2.58) Conform Fig. 2.6.b vectorul de poziie i componentele sale vor fi proiectate pe axele sistemului fix. Poziia final a punctului 3P , exprimat n Fig. 2.7, este determinat astfel:

[ ]

=

=

2z2y2x

xxxx

3z3y3x

30

ppp

cs0sc0001

ppp

P

; [ ] ( ) [ ][ ] [ ]

=2

003i

20

x3

0PRP;xRP . (2.59)

Expresia (2.59) evideniaz matricea de rotaie simpl n jurul axei x , n mod identic cu (2.22). nlocuind expresia lui [ ]20 P din (2.56) n (2.59), se obine poziia final a lui [ ] [ ]PP 030 = :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

=

==

PRP;zR;yR;xR

PRPPRRRP i

xyz

izyx

i0i

0i0

1i02i

03i3

0

. (2.60) Observaii: n consecin, aplicnd sistemului { }2i o rotaie simpl n jurul axei fixe 0x , va rezulta { }3i , vezi Fig. 2.7. Noua stare a sistemului, va fi caracterizat de matricea de rotaie:

( ) [ ]R;xR 03ix = . De asemenea, { }3i reprezint orientarea final a sistemului mobil{}i i totodat i a elementului cinetic ( )i . Expresia (2.60) exprim transferul final al vectorului de poziie [ ] [ ] [ ] [ ]PPPP 3i2i1ii corespunztor

punctului P , din sistemul mobil { }3i n sistemul fix{ }0 definit de [ ] [ ]PP 030 = .

Transformarea fizic dintre cele dou sisteme: { } { }0i0 i { } {}ii3 este reprezentat matematic prin matricea de rotaie rezultant exprimat cu ajutorul relaiei de mai jos: ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )zyx01i02i03ixyz ;zR;yR;xRRRRR == . (2.61) Pe baza expresiei (2.61), se poate evidenia urmtoarea proprietate fundamental: ntotdeauna cnd transformrile (rotaiile) simple se realizeaz n jurul axelor sistemului fix, matricele de rotaie simpl se vor nmuli n sens invers ordinii n care se efectueaz transformrile fizice din starea iniial n starea final a fiecrui sistem de referin mobil.



45

0x

0y

0z

0 iO O

izp

ixp

iyp

0P 1iz1iy

1ix{ }0 { }i

0p

0 iO O

0x

0y

0z

0x

0y

0z

0x

0y

0z

1P

x

x

x

1iz

1iy

1ix

x

x

2iy 2P

2iz

2ix

yy

y

1iz

1iy

1ix

x

x

2iy

3P

2iz

2ix

z

y

y

z

z3ix

3iy

3iz

0 iO O 0 iO O

.a .b

.c.d

Fig. 2.8

nlocuind expresiile de definiie (2.22), (2.26) i (2.30), ale matricelor de rotaie simpl, n (2.61), i apoi efectund produsul matriceal, se va obine expresia final pentru matricea de rotaie rezultant - considerat n acest exemplu ( )xyzR - i anume:

( )

=

1000cs0sc

c0s010

s0c

cs0sc0001

R zzzz

yy

yy

xx

xxxyz

; (2.62)

( )

++++

=

yxzxzyxzxzyx

yxzxzyxzxzyx

yzyzy

xyzcccssscsscsccsccssssccss

sscccR

. (2.63)

Rotaii in jurul axelor mobile. Aceeai orientare a sistemului{}i n raport cu sistemul { }0 poate fi determinat cu ajutorul a trei rotaii. Aceste rotaii au loc n jurul axelor mobile.

Unghiurile de rotaie i axele sunt identice cu cele prezentate anterior, numai c rotaia se efectueaz n jurul axelor mobile. n continuare, va fi analizat matricea de rotaie de tipul:



46

( )zyxR , presupunnd cunoscut orientarea vectorului ( )Tzyx = . Astfel, din Fig. 2.8.a, se poate observa c sistemele { }0 i{}i au originea comun i n stare iniial au aceeai orientare: { } { }0i0 . Poziia punctului arbitrar ales P , invariabil legat de sistemul mobil {}i , va fi definit prin intermediul vectorului de poziie, exprimat prin (2.49).

{ }

[ ] [ ]( )[ ]

{ }[ ]

101

1

01i

x

i0

00

0

PPi

R

;xR

PPPi

L

(2.64)

innd seama de Fig.2.8.b, noua poziie a punctului 1P este determinat cu ajutorul relaiei:

[ ] ( ) [ ][ ] [ ]

= PR

P;xRP i01i

ix

10 ; [ ]

=

=

zi

yi

xi

xxxx

1z1y1x

10

ppp

cs0sc0001

ppp

P

. (2.65)

{ }[ ]

( )[ ]

{ }[ ] [ ]

20

21i

22

1i2i

y

10

11

PPPi

R

;yR

PPi

L

(2.66)

Transformarea simpl are loc ntre sistemele { }1i i{ }2i . n final, se va determina poziia

punctului 2P fa de { }1i , i apoi fa de sistemul { }0 . n acest sens, se vor utiliza matricele:

[ ] ( ) [ ][ ] [ ]

= PRP;yRP i1i

2i

iy

21i ; [ ]

=

=

zi

yi

xi

yy

yy

2z1i

2y1i

2x1i

21i

ppp

c0s010s0c

ppp

P

; [ ] [ ] [ ]21i01i20 PRP = . (2.67)

nlocuind prima expresie din (2.67) n a treia, poziia punctului 2P n raport cu { }0 este:

[ ] ( ) ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

= PRRP;yR;xRP i1i

2i01i

iyx

20 ; [ ] [ ]P

c0s010s0c

cs0sc0001

P i

yy

yy

xxxx2

0

=

. (2.68)

Cea de a treia rotaie simpl se aplic n jurul axei mobile 3i2i zz sub unghiul z . Astfel, punctul 2P i sistemul mobil{ }2i sunt aduse n starea final PP3 i{ } {}ii3 :

{ }[ ] [ ]

( )[ ]

{ } {}[ ] [ ] [ ]

3031i32i3

3

2i3i

z

20

21i

2

2

PPPPPii

R

;zR

PPPi

LL

. (2.69)

n conformitate cu Fig. 2.8.b, prima rotaie simpl aplicat sistemului { }0i se realizeaz n jurul axei 0x cu unghiul x . n urma rotaiei, noua stare a sistemului{ }0i i poziia punctului 0P vor fi modificate, dup cum se poate observa din (2.64):

Cea de a doua rotaie are loc n jurul axei mobile 2i1i yy cu unghiul y .Conform Fig. 2.8.c starea fizic a sistemului { }1i i poziia punctului 1P se modific n felul urmtor:



47 Transformarea simpl are loc ntre cele dou sisteme { }2i i { }3i . Se va determina, poziia punctului 3P fa de sistemul{ }2i , apoi fa de{ }1i i n final fa de{ }0 . Astfel, se vor obine urmtoarele expresii pentru matricele ce realizeaz transferul poziiei de la un sistem la altul: [ ] ( ) [ ][ ] [ ]

=

=

=

zi

yi

xi

zzzz

3z2i

3y2i

3x2i

i2i3i

iz

32i

ppp

1000cs0sc

ppp

PRP;zRP

; [ ] [ ] [ ]32i1i2i31i PRP = ; [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=

31i0

1i

32i1i

2i01i

30

PR

PRRP ;

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

=

==

PRP;zR;yR;xR

PRPPRRRP i

zyx

izyx

i0i

0

i2i3i

1i2i

01i3

0

. (2.70) Expresia (2.70) a matricei de rotaie rezultant ( )zyxR este identic cu (2.61)-(2.62). Pe baza aceleiai expresii (2.70), este evideniat proprietatea fundamental: n cazul transformrilor simple n jurul axelor mobile, ordinea de nmulire a matricelor de rotaie simpl este identic cu ordinea n care au loc aceste transformri (din starea iniial n starea final). Modelul invers al orientrii. Orientarea final a fiecrei axe a sistemului{}i n raport cu un alt sistem, de exemplu{ }0 este definit nc de la nceput. n general, matricea de rotaie rezultant (2.8) i (2.15), adic matricea de orientare, este dat prin valori numerice. Necunoscutele sunt unghiurile de orientare din (2.48) rescrise dup cum urmeaz: ( ) ( ){ }mobilerotatiifixerotatii TzyxTxyz = . Pentru determinarea unghiurilor de orientare, se va aplica urmtoarea funcie trigonometric:

( ) [ ]{ } [ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }



48 n identitatea matriceal de mai sus, membrul stng este matricea necunoscut, iar membrul drept este matricea de orientare, definit prin valori numerice. n orice identitate matriceal termenii din membrul stng ( ) gtansmembrulkcoloana;jlinia sunt identici cu termenii corespunztori matricei din membrul drept ( ) dreptmembrulkcoloana;jlinia . n membrul stng, se caut cea mai simpl funcie trigonometric. Prin egalare, se ajunge la: ( ) ( )drstg 3coloana;1linia3coloana;1linia ; ( ){ }1;1;1s izy +== ; (2.73) unde iz reprezint cosinusul director, definit prin valori numerice. Necunoscuta y este unghiul de orientare. Pentru determinarea celor trei necunoscute, se consider dou cazuri posibile. n primul caz se presupune c ( )1;1iz + , adic 1iz , i 2y pi . Prin urmare, expresia de definiie a unghiului de orientare y se bazeaz pe relaia (2.73):

( ) 2esinArc izy pi = ; unde { } ( )1;1xz 0Tiiz += (2.74) Celelalte dou unghiuri de orientare, x i z , se determin cu ajutorul termenilor din ultima coloan ( )3;2 i ( )3;3 , respectiv prima linie ( )2;1 i ( )1;1 a matricei (2.72), astfel:

izy

x c1s = ; izyx c

1c = ;

= iz

yiz

yx c

1;c12tanA ; (2.75)

iyy

z c1s = ; ixyz c

1c = ;

= ix

yiy

yz c

1;c12tanA . (2.76)

Al doilea caz este caracterizat de relaia 1iz = i 2y pi = . Soluiile prezentate prin (2.75) i (2.76) sunt degenerate, matematic, prin mprirea lor cu zero i n acest fel comanda orientrii este blocat. Aceast stare, poarta numele de singularitate geometric, iar o soluie posibil este 0z = . Valoarea este nlocuit n identitatea matriceal (2.72). Utiliznd ( )2;2 i ( )2;3 , se obine n acest caz, valoarea unghiului de orientare x , adic: ( ) iy0zzxzyx ccsss =+ = ; ( ) iy0zzxzyx csssc =+ = ; (2.77) ( )iyiyx ;2tanA = . (2.78) Observaii: n anumite cazuri, varianta de mai sus nu poate fi aplicat. Cnd apare o asemenea situaie, cazul general propune alegerea altei matrice de rotaie rezultant din tabelul (2.1). Generaliznd modelul geometric direct i invers, pentru cele dousprezece matrice de orientare, se obin rezultate importante ce privesc att expresiile de definiie a matricelor de rotaie rezultant ct i expresiile pentru unghiurile de orientare, n cele dou cazuri prezentate mai sus. Aceste expresii sunt incluse n tabelul prezentat mai jos:



49 (Tabelul 2.2)

Tipul matricei Expresia de definiie ( ) ( ) ( )xyz ;xR;yR;zR ( )

( )

xyz

zyx

;;R;;R

++

xyxyy

xzxyzxzxyzyz

xzxyzxzxyzyz

ccscs

sccssccssscs

sscsccsssccc

Se cunoate Identitatea matriceal

[ ]R0i ( )( )

=

iziyixxyzzyx

;;R;;R

Expresiile unghiurilor de orientare Restricii z y x

( )1;1ix

yix

yix

c;c2tanA

( )ixesinArc

yiz

yiy

c;c2tanA

1ix = 0 2/pim

yiziz s;2tanA

(Tabelul 2.3)

Tipul matricei Expresia de definiie ( ) ( ) ( )xyx ;xR;yR;xR ( )

( )

xyx

xyx

;;R;;R

++

xxxyxxxxyxyx

xxxyxxxxyxyx

xyxyy

ssccccssccsc

scccsccscsss

csssc


[ ]R0i ( )( )

=

iziyixxyxxyx

;;R;;R

Expresiile pentru unghiurile de orientare Restricii x y x

( )1;1ix

yix

yix

s;s2tanA

( )ixinecosArc

yiz

yiy

s;s2tanA

1ix = ( )iyiy ;2tanA pi 0



50 (Tabelul 2.4) Tipul matricei Expresia de definiie

( ) ( ) ( )xzx ;xR;zR;xR ( )( )

xzx

xzx

;;R;;R

++

xxxzxxxxzxzx

xxxzxxxxzxzx

xzxzz

ccscsscccsss

cssccsscccsc

sscsc


[ ]R0i ( )( )

=

iziyixxzxxzx

;;R;;R

Expresiile pentru unghiurile de orientare Restricii x z x

( )1;1ix

z

ix

z

ixs;s2tanA

( )ixinecosArc

ziy

ziz

s;s2tanA

1ix = ( )iziz ;2tanA pi 0 (Tabelul 2.5) Tipul matricei Expresia de definiie

( ) ( ) ( )xzy ;xR;zR;yR ( )( )

xzy

yzx

;;R;;R

++

++

xyxzyxyxzyzy

xzxzz

xyxzyxyxzyzy

ccssssccsscs

scccs

cssscsscsccc


[ ]R0i ( )( )

=

iziyixxzyyzx

;;R;;R

Expresiile pentru unghiurile de orientare Restricii y z x

( )1;1ix

z

ix

z

ixc;c2tanA

( )ixesinArc

ziy

ziz

c;c2tanA

1ix = ( )iziz ;2tanA 2/pi 0




( ) ( ) ( )yzx ;yR;zR;xR ( )( )

yzx

xzy

;;R;;R

+

yzxzxyxyzx

yxyzxzxyxyzx

yzzyz

ssscssccss

cssscccsscsc

scscc


[ ]R0i ( )( )

=

iziyixyzxxzy

;;R;;R

Expresiile pentru unghiurile de orientare Restricii x z y

( )1;1iy

ziy

ziy

c;c2tanA

( )iyesinArc

z

ix

z

izc;c2tanA

1iy =

z

ix

z

ixs;s2tanA

2/pim 0

(Tabelul 2.7) Tipul matricei Expresia de definiie

( ) ( ) ( )yzy ;yR;zR;yR ( )( )

yzy

yzy

;;R;;R

+

+

zyyzyzyyyyzy

yzzyz

yyyzyzyyyyzy

ccscsssscccs

ssccs

cssccscssccc


[ ]R0i ( )( )

=

iziyixyzyyzy

;;R;;R

Expresiile pentru unghiurile de orientare Restricii y z y

( )1;1iy

ziy

ziy

s;s2tanA

( )iyinecosArc

z

ix

z

izs;s2tanA

1iy = ( )ziziz c/;2tanA pi 0




( ) ( ) ( )yxy ;yR;xR;yR ( )( )

yxy

yxy

;;R;;R

++

yyyxyxyyyyxy

yxxyx

yyyxyxyyyyxy

sscccsccsscc

cscss

scccsssccscs


[ ]R0i ( )( )

=

iziyixyxyyxy

;;R;;R

Expresiile pentru unghiurile de orientare Restricii y x y

( )1;1iy

xiy

xiy

s;s2tanA

( )iyinecosArc

x

iz

x

ixs;s2tanA

1iy = ( )ixix ;2tanA pi 0 (Tabelul 2.9) Tipul matricei Expresia de definiie

( ) ( ) ( )yxz ;yR;xR;zR ( )( )

yxz

zxy

;;R;;R

++++

yxxyx

yzyxzxzyzyxz

yzyxzxzyzyxz

ccssc

sscsccccsssc

Documents

Mecanica Avansata in Robotica