M.C. EscherMoebius Strip II. 1963Wood engraving in three colors, 455 x 207

> El quinto postulado

de Euclides

12 | Hipótesis | Apuntes científicos uniandinos | no. 8 | diciembre 2006

Hacia el año 300 antes de Cristo, apareció en el Museo de Alejan-

dría un tratado titulado Los elementos, que pretendía ser un com-

pendio de todas las matemáticas conocidas hasta el momento. Tan

bien lograda estaba la obra y tan desconocido era su autor, Eucli-

des, como persona, que los matemáticos alejandrinos posteriores

se refirieron a él como el “autor de los Elementos”. El libro primero,

que inicia el resumen de la geometría plana de la época, parte de

veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco nociones (véase

el Recuadro 1); y, de manera deductiva, demuestra uno a uno los

teoremas principales en un orden riguroso. En este sistema lógico,

los axiomas –es decir, los postulados y las nociones comunes–

no se demuestran pues, como dice Aristóteles, se necesitaría una

cadena infinita de demostraciones para no caer en un círculo vi-

cioso [1]. Los axiomas, por lo tanto, sirven de supuestos iniciales

sobre los cuales se basa el resto de las afirmaciones.

> Postulados [En el plano:]

1. [Es posible] trazar una [única] línea recta

de un punto cualquiera a otro punto cualquiera.

2. [Es posible] prolongar una línea

recta continuamente en otra línea recta.

3. [Es posible] describir un [único] círculo

con cualquier centro y cualquier distancia [o radio].

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una línea recta que corta a otras dos líneas rec-

tas forma ángulos internos de un mismo lado que midan

juntos menos de dos rectos, las dos líneas rectas, si se

prolongan indefinidamente, se encontrarán en el mismo

lado en que se forman los ángulos menores a los dos

ángulos rectos.

> Nociones comunes

1. Magnitudes iguales a una tercera son iguales entre sí.

2. Si se suman magnitudes iguales

a magnitudes iguales los totales serán iguales.

3. Si se restan magnitudes iguales

de magnitudes iguales las diferencias serán iguales.

4. Cosas que coincidan una con otra son iguales entre sí.

5. El todo es mayor que cualquiera de sus partes [2].

> El quinto postulado

de EuclidesHernando Echeverri Dávila

Recuadro 1. Los anteriores postulados y nociones comunes son los axiomas del Libro I de Los elementos sobre los cuales está basada la geometría plana.Ad

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Diciembre 2006 | Hipótesis | 13

Figura 1.Ilustración del 5° Postulado. Si una recta secante p corta a dos rectas m y n formando, a un lado de p, los ángulos α y β cuya suma es menor que 180°, entonces las dos rectas prolongadas se cortarán en ese lado.

Este estilo axiomático-deductivo se le atribuye principalmente a

Eudoxo de Cnido, quien parece haber sido el primero en mostrar

cómo debe llevarse a cabo1. Eudoxo tuvo al menos dos contactos

con la Academia de Platón en sus viajes a Atenas en 385 y en

368 a.C., donde fue discípulo de Platón y posteriormente maestro

de un séquito de alumnos propios. A juzgar por los comentarios

que hace Platón en el Libro IV de La república [4] y la discusión

que hace Aristóteles en el Libro I de Analíticos posteriores [1], es

claro que el estilo axiomático-deductivo fue discutido allí. Adicio-

nalmente, por el importante número de matemáticos que partici-

paron en la Academia, que era más una escuela de matemáticas

que de filosofía, y por la discusión que hace Aristóteles de la re-

lación entre puntos y líneas en su Metafísica [5] es posible dedu-

cir que fragmentos importantes de Los elementos de Euclides se

gestaron allí y en Cnidos, donde Eudoxo terminó sus días.

La debilidad de los sistemas axiomáticos-deductivos para al-

canzar “la verdad”, recaía, según Platón, en los postulados, que

debían aceptarse sin demostración [4]. Esta debilidad se nota

claramente en Los elementos, pues aunque para los antiguos

tal vez fuera fácil aceptar como cierto que “por dos puntos pasa

una y sólo una recta” o que “hay una sola circunferencia con un

centro y un radio dados”, como se citan hoy popularmente los

postulados primero y tercero, era mucho más difícil aceptar el

quinto postulado. Éste dice, también en versión popular: “Da-

dos una recta y un punto exterior a ella, por el punto pasa una y

sólo una paralela a la recta dada”. Es posible que un estudiante

de colegio acepte esto por la fuerza de la costumbre, pero pro-

bablemente reviraría si se le presenta la versión de Euclides del

Recuadro 1, que se ilustra en la Figura 1.

Figura 2. Demostración pitagórica de la fórmula de la suma de los ángulos internos de un triángulo. Dado un triángulo ABC, por el vértice B se traza una recta paralela a AC. Entonces α = δ, por ser ángulos alternos entre paralelas y γ = ε por la misma razón. Luego, α + β + γ = δ + β + ε = 180°. (α = δ es cierto porque φ + δ debe ser igual a 180°; si no, por el quinto postulado, la recta AC y su paralela por el punto B se cortarían de un lado o del otro.)

¿No podr ía se r pos ib le que los dos ángu los sumaran

179.9999…999°, por ejemplo, y que las dos rectas resultaran

siendo asíntotas que no se cortan? ¿No debería haber una de-

mostración del quinto postulado para eliminar cualquier duda?

Esta última pregunta estuvo en el centro de la controversia más

importante de la geometría, casi desde los tiempos de Euclides.

Los tres primeros postulados de Los elementos plasmaban el mé-

todo de regla y compás que constituía la ortodoxia pitagórica de la

geometría a la cual pertenecía Euclides. A los pitagóricos también

se remonta otra versión del quinto postulado, pues se dice que

ellos sabían que los ángulos internos de un triángulo suman dos

rectos [6]. Para Euclides, esta afirmación, la proposición 32 de

Los elementos, se deduce de la proposición 29 que dice que “si

una recta corta a dos paralelas, los ángulos alternos formados por

ellas son iguales”; y la proposición 29 se demuestra directamente

del quinto postulado. Según Eudemo2, los pitagóricos demostra-

ron la fórmula de los ángulos internos de un triángulo en forma

muy parecida a Euclides, como se muestra en la Figura 2 [6].

1 La teoría de magnitudes de Eudoxo, que Euclides transcribe con pocas modi-ficaciones en el Libro V de Los elementos, es el primer texto conocido con una estructura axiomática [3].

2 Eudemo de Rodas (350-290 a.C.) fue discípulo de Aristóteles. Escribió una historia de la aritmética, una de la geometría y otra de la astronomía, ninguna de las cuales subsiste. Sin embargo, muchos historiadores posteriores –Proclo en particular, comentarista de Euclides–, se basan en sus libros.

14 | Hipótesis | Apuntes científicos uniandinos | no. 8 | diciembre 2006

Como Eudemo vivió más de un siglo después de que los pitagó-

ricos se fragmentaran, se puede especular que inicialmente éstos

procedieron de esta otra manera:

Figura 3. Demostración de la fórmula de la suma de los ángulos internos de un triángulo con la construcción de un rectángulo.

(a) Los ángulos internos del triángulo ABC miden la mitad de los del rectángulo ABCD

(b) La suma de los ángulos internos del triángulo ABC se obtiene su-mando los ángulos del triángulo ABD con los de BCD y restando los 180° que resultan de sumar los dos ángulos rectos en D.

Esta demostración parece obviar el quinto postulado, pero tiene un

supuesto escondido: el hecho que se pueda construir un rectángulo.

El sistema axiomático-deductivo de Los elementos de Euclides se

convirtió rápidamente en el paradigma a seguir en un tratado cien-

tífico. El modelo lo siguieron Apolonio de Perga (262-190 a.C.)

en Cónicas; Arquímedes (287-212 a.C.) en Sobre los cuerpos flo-

tantes y Sobre equilibrios del plano; Newton (1643-1727) en su

Principios matemáticos de la filosofía natural, obra en la cual sus

célebres leyes hacen las veces de postulados; y hasta el filósofo

Spinoza (1632-1677) en su Ética. En el mundo helenístico y en el

árabe, y luego en las universidades europeas del medioevo y pos-

teriormente hasta el siglo XIX, se enseñaba Los elementos como

el tratado lógico intachable y ejemplo de una verdad patente. Sin

embargo, el quinto postulado siguió siendo controversial.

Entre los que trataron de arreglarlo, algunos propusieron versiones

equivalentes que parecieran más aceptables. Por ejemplo, Proclo

(410-485 d.C.) sugirió la versión antes citada que hoy se enseña en

los colegios. Otros trataron de deducirlo de los primeros cuatro

axiomas utilizando el método de reducción al absurdo. En otras

palabras, tomaban la negación del postulado e intentaban llegar

a una contradicción. Por ejemplo, se puede negar la versión de

Proclo de dos maneras:

La primera negación no se puede dar si se aceptan los otros pos-

tulados de Euclides. Él mismo demostró que se puede trazar una

perpendicular del punto a la recta dada y luego otra perpendicular

a la anterior por el mismo punto, que resulta siendo paralela a la

primera recta. Si no fueran paralelas, se cortarían formando un

triángulo con dos ángulos rectos, lo que contradice el teorema

del ángulo exterior que dice: “el ángulo exterior a un triángulo es

estrictamente mayor que cada uno de los dos ángulos internos re-

motos” (véase la Figura 4). Debemos resaltar que para demostrar

este teorema Euclides no utilizó el quinto postulado.

Comience con un triángulo rectángulo y complete con él un rectángulo de manera que el triángulo inicial aparezca dos veces, y las hipotenu-sas de los dos triángulos sean el mismo segmento que la diagonal del rectángulo. Como los ángulos del rectángulo suman cuatro rectos, los de cada triángulo suman la mitad, o sea, dos rectos (Figura 3 a). Para generalizar la afirmación a cualquier triángulo, sólo debemos trazar la al-tura de éste sobre su lado mayor y constatar que si los ángulos internos de los dos triángulos rectángulos resultantes suman dos rectos, los del triángulo inicial también (Figura 3 b).

1. Existen una recta y un punto ex-terior a ella tales que no hay parale-la a la recta que pase por el punto. 2. Existen una recta y un punto ex-terior a ella por el cual pasan más de una paralela a la recta dada.

Diciembre 2006 | Hipótesis | 15

Quedaba, sin embargo, la otra negación. Varios matemáticos im-

portantes presentaron pruebas falaces de que con ésta se llegaba

a una contradicción. Entre ellos podemos citar a Ptolomeo (siglo

II d.C.), el astrónomo; a Proclo (410-485), el comentarista de Eu-

clides más importante de la antigüedad; a Omar Khayyam (1048-

1131), poeta y matemático persa; a John Wallis (1616-1703),

precursor inglés del cálculo; a Gerolamo Saccheri (1667-1733)

y Johann Lambert (1728-1777), quienes trataron de construir un

rectángulo; a John Playfair (1748-1819), que popularizó la versión

de Proclo del quinto postulado; y, finalmente, a Charles Dodgson

(1732-1797), más conocido por el pseudónimo de Lewis Carroll,

autor de Alicia en el país de las maravillas. Sus errores consistían

generalmente en rechazar, por absurdos, algunos resultados que

se deducían de la segunda negación del quinto postulado [7 y 8].

Es importante recalcar que en ningún momento se ponía en duda

la geometría euclidiana. Todo lo contrario, ésta se consideraba

una verdad contundente, pero se creía que su edificio de demos-

traciones se podía perfeccionar limpiándole esa única mancha, el

quinto postulado, que parecía requerir una demostración. Es más,

la posición de la geometría euclidiana se consolidó en el siglo XVII.

Figura 4. Teorema del ángulo exterior (Los elementos, Libro I, Proposición 16)En cualquier triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos internos opuestos [3].

> Demostración: sin utilizar el quinto postulado.

Se traza el segmento AD de manera que AM = MD y BM = MC. En-tonces los triángulos ABM y DCM son congruentes por tener iguales dos lados y el ángulo entre ellos. Luego los ángulos ABC (β) y MCD son iguales y menores que el ángulo γ. Se procede de la misma manera para mostrar que γ > α.

Mosaicos de Escher en el disco de Poincaré: Circle Limit IV, III, I. © Cordon Art BV http://britton.disted.camosun.bc.ca/escher/jbescher.htm

16 | Hipótesis | Apuntes científicos uniandinos | no. 8 | diciembre 2006

Por una parte se desarrolló la geometría analítica, primero de ma-

nera muy rudimentaria con Descartes y Fermat hacia 1635, y

luego, con los trabajos de Wallis y del propio Newton, se fue per-

feccionando. Con esta herramienta, los puntos de la geometría

se representan con parejas de números en el caso del plano, y con

ternas en el del espacio tridimensional. La distancia entre dos pun-

tos del plano ( x 1 , y 1

) y ( x 2 , y 2

) se puede medir con la fórmula,

que se deduce directamente del teorema de Pitágoras, y hay

una fórmula análoga para la distancia en el espacio. Además, hay

ecuaciones para representar las rectas; y las funciones, concepto

que se comenzaba a desarrollar, también tienen representaciones

gráficas en estos espacios.

Por otra parte, el espacio euclidiano se identificó con el espacio

físico. En el escolio que precede a sus leyes, Newton aclara que

el “tiempo absoluto, verdadero y matemático” al que se refiere

en su tratado “fluye uniformemente” y el espacio absoluto, donde

se mueven todas las cosas, “siempre permanece igual e inmó-

vil”. Dentro de este espacio, en ausencia de fuerzas, “todo cuerpo

persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rec-

tilíneo”. Se pasó así del espacio ptolemaico, confinado y esférico

donde el movimiento circular era lo normal, a un espacio esencial-

mente infinito donde el movimiento rectilíneo es el natural [9].

La combinación de estas dos construcciones, reforzada por las

nuevas herramientas del cálculo y de las ecuaciones diferencia-

les, alcanzó su clímax hacia el final del siglo XVIII con dos obras

cumbres que explicaban todos los movimientos del universo: la

Mecánica analítica de Lagrange –la cual no contaba con dibujos

pues, según él, éstos le restarían rigor–, y la Mecánica celeste de

Laplace, que ya no requería la hipótesis de un Dios gobernante3.

A este universo euclidiano, Kant, contemporáneo de Lagrange y

Laplace, le dio la bendición de la filosofía. Kant argumentaba que

las afirmaciones de la matemática y de la geometría, como “dos

más tres es cinco” o “los ángulos internos de un triángulo suman

dos rectos”, son juicios sintéticos a priori; sintéticos o informativos

por cuanto el predicado no está contenido en el sujeto, y a priori

porque no requieren de la experiencia sensorial. En últimas, para

él eran verdades necesarias que la mente percibe por intuición,

como el espacio y el tiempo que están a la vez fuera de nosotros,

como sostenía Newton, y dentro de nuestra mente para estructu-

rar el pensamiento, como afirmaba Leibniz [10].

Gauss (1777-1855) fue el primero en darse cuenta no sólo de que

el quinto postulado probablemente no se podía demostrar a partir

de los otros axiomas, sino también de las implicaciones que esto

tenía tanto en las matemáticas como en la física. Si en efecto di-

cho postulado resultaba ser independiente de los demás axiomas

–por lo que no se podía demostrar a partir de ellos–, había dos

geometrías diferentes igualmente válidas: una en la que se cum-

ple el quinto postulado, la ya conocidísima geometría euclidiana,

y otra en la que existen una recta y un punto exterior a ella por el

cual pasan más de una paralela a la recta. Se podía demostrar,

además, que en esta segunda geometría, que él llamó hiperbó-

lica, todas las rectas gozan de esta propiedad: por cualquier punto

exterior a cualquier recta pasan no sólo dos, sino una infinidad de

rectas que no la intersecan4.

Gauss había comenzado a trabajar en este problema desde una

edad temprana. Para el año 1817 ya estaba convencido de que

el quinto postulado era independiente de los demás axiomas de

Euclides y había comenzado a deducir las consecuencias de la

nueva geometría hiperbólica [7]. Por ejemplo, dedujo que en ella

la suma de los ángulos internos de un triángulo no es un número

fijo, y siempre es menor que dos rectos. Por lo que alguna vez

comentó que en las triangulaciones que realizó para la medición

del estado de Hannover en 1818 no notó ninguna desviación sig-

nificativa de la suma euclidiana de sus ángulos [11]. Para resaltar

este comentario, se puede citar lo que le escribió a un colega. Le

señalaba que a pesar de lo que dijeran los metafísicos, refiriéndo-

se a Kant y a sus seguidores, se conocía muy poco “acerca de la

verdadera naturaleza del espacio para considerar absolutamente

imposible lo que nos parece innatural”. Sin embargo, nunca publicó

sus trabajos al respecto, pues, como le comunicó a sus amigos,

no quería involucrarse en ningún tipo de polémica y le temía al

“clamor de los beocios”, haciendo alusión a la reconocida incultura

de esta comunidad de la antigua Grecia [12].

3 Newton, en el escolio general, sigue insistiendo en un Dios “dueño de todo” y “παντοκρατωρ” o gobernante universal [9].

4 Éste es el teorema de “todas o ninguna” (véase el Teorema 7. 3. 10 en [8]).

Diciembre 2006 | Hipótesis | 17

Gaus

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1855

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18 | Hipótesis | Apuntes científicos uniandinos | no. 8 | diciembre 2006

Entretanto, dos jóvenes matemáticos, el ruso Nikolai Lobachevsky

(1792-1856) y el húngaro Janos Bolyai (1802-1860), desarrolla-

ron gran parte de la teoría de la geometría hiperbólica. Lobache-

vsky, en 1829, fue el primero en publicar “Sobre los principios de

la geometría” en el Mensajero de Kazan, el periódico de la univer-

sidad de provincia donde enseñaba. El tratamiento que le dieron

en la Academia de Ciencias de San Petersburgo no fue muy justo.

El gran matemático ruso Mihail Ostrogradski, director de la revista

de la Academia, rechazó su ensayo porque, según él, estaba tan

mal escrito que no se entendía, y, para añadirle una injuria, uno de

sus discípulos publicó una burla a los hallazgos de Lobachevsky

en una revista literaria. Tal vez era esto lo que temía Gauss. Bolyai

publicó sus resultados entre 1831 y 1832, como apéndice de un

trabajo de su padre que intentaba darle unas bases más sólidas a

la geometría euclidiana. Curiosamente, Farkas, el padre de Janos

Bolyai, había intentado demostrar el quinto postulado durante toda

su vida y, como había sido condiscípulo de Gauss en la universidad

de Gotinga y pensaba que éste era un matemático influyente, le en-

vió el trabajo de su hijo. Una carta a un amigo muestra que Gauss

sintió admiración por el joven Janos, pero le dijo a Farkas que él,

Gauss, ya había pensado en todo lo que se exponía en el escrito y,

en últimas, no hizo nada por hacerlo conocer.

Lobachevsky siguió insistiendo, pero nunca tuvo suerte en divulgar de

manera apropiada su visión de la nueva geometría. Publicó un artículo

en francés titulado “Geometría imaginaria” en 1837, y luego un resu-

men en alemán del artículo de Kazan, en 1840, pero a pesar de haber

impresionado a Gauss, sus descubrimientos no lograron interesar a

otros matemáticos [13]. Varias circunstancias tuvieron que ver con

esta apatía inicial hacia la geometría hiperbólica. Primero, ésta enfren-

taba una tradición muy arraigada en la geometría euclidiana; segundo,

había sido descubierta lejos del centro de gravedad de la comunidad

matemática por jóvenes sin ningún reconocimiento y con poco acce-

so a las revistas importantes; y finalmente, Gauss, quien posiblemente

era el único que hubiera logrado posicionarla, no quiso hacer frente

a la controversia que habría podido ocasionar. El tema volvió a surgir

en 1854 en la conferencia ofrecida por Riemann para su habilitación

como profesor de la Universidad de Gotinga: “Sobre las hipótesis sub-

yacentes a los fundamentos de la geometría”5. En esta conferencia

definió espacios n-dimensionales –hoy llamados variedades rieman-

nianas– en analogía a las superficies que, para este estudio, tienen

dos dimensiones. También definió la curvatura de estas variedades y

las geodésicas –caminos más cortos entre dos puntos–, generali-

zando estos conceptos del trabajo de Gauss en geometría diferencial

respecto a superficies6. Al final se preguntó acerca de la geometría

que podría regir el mundo exterior. Era una visión extremadamente

general en la cual cabía la geometría hiperbólica, pero el nivel de difi-

cultad de la conferencia fue tal que sólo la comprendió Gauss, quien

se encontraba entre los asistentes.

El interés por la geometría hiperbólica finalmente se despertó ca-

torce años más tarde con la reedición en francés del trabajo de

Lobachevsky de 1840 y de las cartas de Gauss que hacían alu-

sión a esta geometría no euclidiana. Esta vez, un italiano, Eugenio

Beltrami, leyó este material y logró ver su conexión con las super-

ficies o variedades 2-dimensionales de Riemann. Beltrami estudió

el caso más sencillo, el de las superficies de curvatura constante,

la esfera y la pseudo-esfera (Figura 5), y en su ensayo “Sobre

una interpretación de la geometría no euclidiana” mostró que la

pseudo-esfera servía de modelo para la geometría hiperbólica si

se consideraba que las geodésicas eran las “rectas” de la geome-

tría. Este trabajo prácticamente ponía fin al problema del quinto

postulado porque demostraba que si la geometría euclidiana era

lógicamente válida, como la pseudo-esfera era una superficie que

se podía trazar en el espacio euclidiano, la geometría hiperbó-

lica también tendría que ser lógicamente válida. Adicionalmente,

como se tenía un modelo que negaba el quinto postulado mien-

tras cumplía los otros axiomas euclidianos, no podía haber una

demostración de aquél a partir de éstos.

Se había abierto el arcón de un tesoro matemático. Rápidamen-

te se dieron otros modelos para la geometría hiperbólica, como

el disco de Klein y, más tarde, los modelos de Poincaré, como

semiplano y como disco. (Ilustramos el comportamiento de este

último en la Figura 6, que muestra algunos de los resultados de la

geometría hiperbólica). Además, se reconocieron otras geometrías

no euclidianas. La superficie esférica, tan reconocida y estudiada

por matemáticos y astrónomos desde la antigüedad, resultaba ser

otro tipo de geometría no euclidiana si se tomaban como “rectas”

sus geodésicas: los círculos máximos7. En la esfera, que hace par-

5 Riemann había preparado tres conferencias y Gauss, actuando de parte del profesorado de la universidad, escogió ésta para la exposición [14].

6 Gauss había sido asesor de la tesis de Riemann que daba un tratamiento geométrico a las funciones de variable compleja.7Los círculos máximos sobre la esfera son los que la dividen en dos hemisferios, por ejemplo, el ecuador y los meridianos en la esfera terráquea.

Figura 5.(a) Pseudo-esfera con un triángulocuyos ángulos suman menos de 180º.

Figura 5.(b) Esfera con un triángulo cuyos ángulos suman más de 180º. (Figuras trazadas con Maple).

Diciembre 2006 | Hipótesis | 21

te del tipo de geometrías llamadas elípticas, los ángulos internos de un

triángulo suman más de dos rectos, y no existen paralelas: todas sus

rectas se cortan… en dos puntos. Esto mostró que se podían hacer

cambios en otros axiomas euclidianos. Ni siquiera el primer postulado

era sagrado: por dos puntos de la esfera –como el polo norte y el

polo sur– pueden pasar una infi nidad de “rectas”. De esta manera, la

geometría –y la matemática en general– dejaban de ser una verdad

de la realidad exterior. Aun cuando en general matemáticos y físicos

seguían coincidiendo en que la geometría de la realidad era la eucli-

diana, el hecho de que hubiera varias alternativas válidas, desde el

punto de vista matemático, hacía patente que esta disciplina no podía

decidir por sí sola –de una manera a priori– cuál era la “verdadera”.

Estos descubrimientos tuvieron una primera repercusión en la ló-

gica. Los axiomas volvían a ser meros supuestos iniciales, es decir

postulados, que en últimas no tenían por qué refl ejar la realidad. Este

desprendimiento de la realidad provocó una revisión del concepto de

defi nición. Euclides, para defi nir “línea”, hacía alusión a un dibujo en la

arena, especifi cando que la línea de la geometría tenía longitud pero

no anchura. Para defi nir “punto” usaba una palabra conocida por todo

su público, que signifi ca marca o mojón [16], aclarando que “no tiene

partes”. Al no poderse aludir a la realidad externa, estos dos términos

quedaban sin defi nición. Estrictamente hablando, tiene que haber tér-

minos que no se pueden defi nir porque de lo contrario se incurriría en

un círculo vicioso como el que se observa en los diccionarios.

Remozado de este modo, el método axiomático de Euclides tuvo un

gran auge en las postrimerías del siglo XIX. Como había demostrado

su efi ciencia a través de los siglos, con todo y quinto postulado, podía

servir para darle rigor a muchas teorías matemáticas recién consolida-

das, como la de los números reales y la teoría de conjuntos, que se de-

fi nieron en la década de 1870. También servía para revisar conceptos

antiguos, como los mismos números naturales –los de contar–, que

fueron axiomatizados por Peano en 1889. La geometría de Euclides

no escapó a esta revisión. En 1899, David Hilbert publicó su Funda-

mentos de la geometría, tratado de geometría euclidiana en el cual tuvo

que aumentar el número de axiomas a veintiuno, cada uno justifi cado

con todo rigor8 [17]. El método axiomático llevaría a otra controversia

en el siglo XX, pero ésta nos apartaría del tema geométrico.

a) Una recta (en morado) tiene una familia de paralelas (en gris) por un punto exterior dado. Entre las paralelas hay dos que se acercan asintó-ticamente a la recta. Además, los ángulos internos de un triángulo (en rojo) suman menos de 180°.

b) En esta geometría, dos triángulos son congruentes si sus ángulos son congruentes. Como los triángulos de esta fi gura tienen dos ángulos de 45° y uno de 60°, todos son congruentes y por lo tanto sus lados correspondientes y sus áreas son iguales. Esto ilustra la variación en la escala o métrica del disco.

8 Por ejemplo, uno de los “nuevos” axiomas de Hilbert es el que postula el caso Lado-Ángulo-Lado en la congruencia de triángulos. Euclides lo había “demos-trado”, pero con un método que hace alusión a la realidad externa y, por lo tanto, inaceptable para el nuevo rigor (véase la Proposición 4 del Libro I de Los ele-mentos [3])

Figura 6. Construcciones de la geometría hiperbólica en el disco de Poincaré*.Las “rectas” son o bien diámetros del disco o arcos de círculo perpendi-culares al borde, que corresponde a los puntos en el infi nito y por tanto no está incluído en la geometría. Las fi guras se trazaron utilizando el programa NonEuclid [15] excepto la (b) que se obtuvo de http://winnie.kuis.kyoto-u.ac.jp/~okuno/Lecture/05/IntroAlgDs/Escher-Limit.html.

22 | Hipótesis | Apuntes científicos uniandinos | no. 8 | diciembre 2006

c) El área de un triángulo no puede ser la mitad de la base por la altu-ra porque dependería de la base y la altura escogidas. Por ejemplo: ½(AB)(CF)≠ ½(AC)(BD)≠ ½(BC)(AE). Por lo tanto se define el área del triángulo como 180 menos la suma de sus ángulos internos, en este caso 180-96 = 84. El área de cualquier otra figura se define como el área de los triángulos que la componen. Por ejemplo: el área del pentá-gono GHIJK sería la suma de las áreas de los tres triángulos o, equiva-lentemente, 3 por 180 menos la suma de sus ángulos internos.

d) No puede haber triángulos de áreas arbitrarias. Por la definición de su área en (c), 180 es el límite para el área de cualquier triángulo. Acá, el área del mayor es 178 porque sus ángulos suman 2°; la del menor es 0,7 porque sus ángulos suman 179,3°. Esto último muestra que en regiones pequeñas la geometría hiperbólica se parece a la euclidiana.

e) No hay rectángulos. En el cuadrilátero superior, estudiado por Sa-ccheri, los ángulos A y B son rectos y los lados BC y AD son iguales, pero los ángulos C y D son agudos. El otro cuadrilátero, estudiado por Lambert tiene tres ángulos rectos y un agudo.

f) Los círculos se representan como círculos que parecen descentrados en esta familia concéntrica. Pero no es así, los dos radios trazados para el círculo mayor tienen la misma longitud. Las fórmulas para el área y la circunferencia del círculo son A=4πsenh2 (r/2) y C=2πsenh(r), luego las razones entre la circunferencia y el diámetro, y entre el área y el cuadrado del radio no son constantes y siempre son mayores que π.

Diciembre 2006 | Hipótesis | 23

La pregunta respecto a cuál geometría representaba el mundo

exterior, como era de esperarse después de la discusión anterior,

vendría de un físico: Alberto Einstein. Claro está, no sin la ayuda

de varios matemáticos. En 1905, Einstein enunció su teoría espe-

cial de la relatividad en un artículo titulado “Sobre la electrodiná-

mica de los cuerpos en movimiento”. Movido por la idea de que las

leyes de la física son independientes del marco de referencia, para

resolver las asimetrías que surgían cuando se aplicaba la electrodi-

námica a cuerpos en movimiento, debió concluir que la velocidad

de la luz era la misma en cualquier sistema inercial9. Además, tuvo

que formular nuevas transformaciones de tiempo y espacio para

los cambios de sistema inercial, las cuales no coincidían con las

deducidas de los principios de Galileo y de Newton. En particular,

un observador en un sistema inercial vería más corto el metro pa-

trón de otro sistema inercial, y más larga la medida reglamentaria

de tiempo, el segundo. Más curioso aún, en perfecta simetría, el

observador del otro sistema vería lo mismo respecto al primero.

Hermann Minkowski había sido profesor de Einstein en el Instituto

Politécnico de Zurich, donde luego serían colegas, y compartía

algunos de sus intereses. Minkowski se impresionó con la teoría

de la relatividad, al punto de reformularla en el lenguaje de la geo-

metría al definir el espacio-tiempo. Para los matemáticos era ya

corriente darse muchas libertades en la formulación de una geo-

metría, y Minkowski se apropió de esto al definir la distancia espa-

cio-temporal entre dos sucesos que ocurren en lugares y tiempos

distintos (x1, y1, z1, t1) y (x2, y2, z2, t2) como:

,

donde c es la velocidad de la luz; las cantidades, x, y, z, repre-

sentan la posición espacial del suceso, y t su posición en el tiem-

po10. No sólo combinaba espacio y tiempo en un continuo 4-di-

mensional, sino que definía una distancia, parecida a la euclidiana,

que podía ser imaginaria cuando el radicando fuera negativo. La

ventaja para el matemático estaba en que las transformaciones

para pasar de un sistema inercial a otro se podían representar

como simples cambios de base o de sistema de coordenadas, en

los cuales la distancia permanece invariante [18].

A Einstein inicialmente no le pareció muy importante la contribu-

ción de Minkowski, pero reconoció el poder del lenguaje geomé-

trico cuando formuló su teoría de la relatividad general, publicada

finalmente en 1915. Hacia 1911, se había dado cuenta de que su

teoría implicaba una desviación de los rayos de luz en el campo

gravitacional, pero si se consideraba que éstos describían “cur-

vas”, debían darse las rectas de referencia en la geometría que

atravesaban. La gravitación también deformaba el espacio y el tiempo

del espacio-tiempo de Minkowski. Luego, no había más remedio

que considerar un espacio-tiempo generalizado, donde los rayos

de luz terminarían recorriendo geodésicas.

Para la definición de este espacio no se basó en la formulación

axiomática al estilo de Lobachevsky, sino en la geometría general de

las variedades que Riemann había expuesto en su conferencia de

habilitación de 1854. Esta teoría había sido completada por Chris-

toffel, un alemán originario del estado de Renania, y dos italianos,

Ricci-Curbastro y su discípulo Levi-Civita. Entre ellos terminaron de

dotar a las variedades de Riemann de las herramientas técnicas

del cálculo tensorial. La ventaja era que en una variedad puede

haber regiones euclidianas, donde se cumple el quinto postulado, al

lado de otras hiperbólicas, donde no se cumple por haber varias

paralelas a una recta por un punto, y de otras elípticas, donde no

existen tales paralelas11 (véase la Figura 7).

Una variedad es semejante a una superficie pero en una dimen-

sión general n, de manera que una superficie es una variedad de

dimensión dos. Así como las superficies se parecen mucho a

su plano tangente en cada punto, las n-variedades se parecen en

cada punto a su espacio tangente euclidiano de dimensión n, nota-

do Rn. Si decimos que el globo terráqueo en cada punto parece

plano, asimismo, una variedad tridimensional en cada punto se pa-

rece al espacio euclidiano de tres dimensiones, R3. Otra similitud

se deduce de la propiedad que tiene una superficie de proyectarse

en diferentes mapas planos; de la misma manera, una variedad tri-

dimensional se puede proyectar en mapas tridimensionales eucli-

dianos o “planos” de R3. Además, así como al proyectar la tierra

en un mapamundi plano la escala se deforma, sobre todo hacia los

polos, por efecto de la curvatura de la esfera (Figura 8), al pro-

yectar una variedad tridimensional sobre R3 se puede represen-

9 Marco de referencia en el que se cumple la primera ley de Newton.10 Realmente, Minkowski usaba los signos al revés, pero nos parece que de esta manera es más fácil ver la relación con la distancia pitagórica.

11 Esto no entra en contradicción con el teorema de “todas o ninguna” de la nota 4, porque no se satisface el axioma “Lado-Ángulo-Lado” de la nota 8, que se requiere para que el teorema se cumpla.

Figura 7. Superficie con regiones hiperbólicas donde los ángulos de un triángulo suman menos de 180º, regiones elípticas donde suman más de 180º y regiones euclidianas donde suman 180º. (Figura trazada con Maple).

Diciembre 2006 | Hipótesis | 25

tar su curvatura con una escala de medición variable. Esta escala

variable que permite medir las distancias entre pares de puntos muy

cercanos es lo que se llama la métrica de la variedad. Finalmente,

para calcular la distancia entre puntos más lejanos se debe primero

encontrar la geodésica –el camino más corto entre los puntos–,

para luego calcular su longitud mediante una integral.

En la relatividad general, Einstein combinó la geometría del es-

pacio-tiempo de Minkowski con las variedades de Riemann y los

tensores de Christoffel, Ricci y Levi-Civita. La variedad espacio-

tiempo de cuatro dimensiones que propuso tiene una distancia

espacio-temporal minkowskiana que varía como una métrica, de

un punto a otro, según la intensidad del campo gravitacional. En

esta variedad, tanto los rayos de luz como los diferentes cuerpos

celestes describen trayectorias geodésicas.

Sin duda hubo cierto “clamor beocio” en contra de las ideas de

Einstein, clamor tiznado de cierto antisemitismo. Sin embargo, su

teoría fue aceptada con admirable celeridad. Fue nombrado con-

ferencista en la Universidad de Berna en 1908, profesor de física

de la Universidad de Zurich en 1909, profesor titular de la Univer-

sidad de Praga en 1911, catedrático del Instituto Politécnico de

Zurich en 1912 y catedrático-investigador de la Universidad de

Berlín en 1914. En 1919, después de que las observaciones de

ciertas estrellas durante el eclipse solar de ese año confirmaran

el efecto que tenía la gravitación sobre los rayos de luz, el Times

de Londres sacó el titular: “Revolución en la ciencia - Nueva teo-

ría del universo - Ideas newtonianas derrocadas”. Finalmente, en

1921 Einstein recibió el premio Nobel; sin embargo, éste no se le

concedió por la teoría de la relatividad sino por su trabajo –menos

controversial en ese momento– sobre el efecto fotoeléctrico [19].

Al final de cuentas, el juego lógico-matemático de axiomas y teo-

remas de la geometría volvió a tener repercusiones contundentes.

Sin duda, sus resultados habían sido resumidos y aplicados por in-

genieros y artesanos desde la antigua Grecia, pero sólo los puristas

se habían preocupado de su estructura lógica llevada a sus últimas

consecuencias. En el siglo XIX, algunos de ellos se arriesgaron a

ser tildados de locos y, con una visión asombrosamente futurista,

desarrollaron una geometría que sería el armazón de la teoría de la

relatividad. Y el propio Einstein tuvo que aplicarse a aprender una

teoría matemática que aparentemente no servía para nada.

1.000 millas

1.000 millas

1.000 millas

1.000 millas

Figura 8. Proyección de Mercator de la Tierra. La escala oriente-occiden-te es igual a la escala norte-sur, para que preserve la medida de los ángulos. Sin embargo, la escala cambia de un punto a otro –como se puede ver–, dis-torsionando el tamaño de los objetos geográficos.

La región de los polos se afecta tanto que no se puede mostrar, pues la escala tiende a ser infinita. Se señalan la escala en varios puntos y tres geodésicas o círculos máximos en colores diferentes.

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