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aurits Cornelis Escher (1898--1972) occupa un ruolo spe-ciale nella storia dell'arte

contemporanea per la sua produzioneposteriore al 1935, anno in cui lasciòl'Italia fascista dopo una permanenzadi 12 anni a Roma per tornare - dopodue anni trascorsi in Svizzera e cinquein Belgio - definitivamente in Olanda.

Fino ad allora egli si era dedicato alitografie e silografie, principalmente dipaesaggi e architetture; dopo di allora,pur mantenendo lo stesso mezzo e-spressivo, il contenuto delle sue operedivenne sempre meno figurativo e sem-pre più intellettuale, ed egli si ritrovò ausare in maniera crescente, dapprimainconsciamente e poi volutamente, mo-tivi matematici. Così egli spiega questasua scelta artistica:

«Affrontando gli enigmi che ci cir-condano, e considerando e analizzandole mie osservazioni, sono finito nel do-minio della matematica. Benché mimanchino completamente educazione econoscenza scientifiche, spesso mi sem-bra di avere più in comune con i mate-matici che con i miei colleghi artisti».

La sua originale e inusuale esteticagli procurò sì notorietà nel campo scien-tifico, a partire dalla mostra dei suoi la-vori organizzata in occasione del Con-gresso internazionale di matematica del1954 ad Amsterdam, ma gli alienò an-che le simpatie del mondo artistico, conaccuse di eccessive freddezza, astrazio-ne e convenzionalità stilistica. «Sto in-cominciando a parlare un linguaggio -egli scriveva - che è capito da pochi. Mifa sentire sempre più solo. Dopo tutto,non sto più da nessuna parte. I matema-tici possono essere amichevoli e interes-sati e darmi una paterna pacca sullaspalla, ma alla fine per loro sono solo undilettante. Gli "artisti" in genere si irrita-no, e io sono a volte assalito da un im-menso senso di inferiorità.»

Oggi le cose sono cambiate, e la si-tuazione si è ribaltata: caratteristiche

più appariscenti dell'opera di Escherhanno preso il sopravvento sugli aspettimatematici, trasformando l'artista (suomalgrado, benché non soltanto postmortem) in un illustratore di copertine,magliette e poster.

Poiché però proprio nell'aspetto in-tellettuale risiede il duraturo valore del-la produzione di Escher, non è forseinappropriato riflettere su di esso, cer-cando di sottolineare sia le fonti sia lenovità dei motivi più strettamente ma-tematici. Senza esagerare, però, vistoche Escher si lamentò spesso di non ca-pire appieno né il linguaggio dei mate-matici né la sostanza delle loro osserva-zioni, pur convenendo che senza spie-gazioni le sue immagini possono risul-tare troppo ermetiche.

Geometria euclidea solida

La matematica si è intromessa nellearti figurative ogni volta che (da Leo-nardo ai cubisti) si sono rappresentatefigure geometriche, in particolare solididi varia forma.

Escher è stato particolarmente attrat-to dai poliedri regolari (o solidi platoni-ci) perché questi «simboleggiano inmaniera impareggiabile l'umana ricer-ca di armonia e ordine, ma allo stessotempo la loro perfezione ci incute unsenso di impotenza». Essi hanno perfacce uno stesso poligono regolare, conlo stesso numero di facce a ogni verti-ce, e il matematico greco Teeteto sco-pri che sono solo cinque: tetraedro, ot-taedro, icosaedro, cubo e dodecaedro.

Cubo e ottaedro sono detti reciproci,perché uno ha tre facce quadrate inogni vertice, l'altro quattro triangolari.Secondo Escher «la magnifica fusionedi un cubo e un ottaedro non esiste, manondimeno possiamo continuare a spe-rarla». Nel frattempo egli l'ha rappre-sentata in alcune opere, in particolarenell'angolo nord-ovest della silografiaStelle riprodotta nella pagina a fronte.

Il tetraedro è reciproco di se stesso,perché ha tre facce triangolari in ognivertice. L'intersezione di due tetraedriuguali si chiama stella ottangula e hainteressanti proprietà: guardando al suointerno, essa è costituita da un ottaedrosulle cui facce sono state poste piramiditriangolari (così come la «stella di Da-vid», ottenuta intersecando due triango-li equilateri uguali, può essere vista co-

L'attrazione di Escher per i poliedri re-golari è esemplificata dalla silografiaStelle, eseguita nel 1948 nello stile diLeonardo. Gli astri sono in realtà unafantasmagoria di poliedri e il principaleè l'intersezione di tre ottaedri abitati dacamaleonti. La famosa stella di David(qui sopra a sinistra) e l'altrettanto fa-mosa stella delle Brigate rosse (a fian-co) sono stellazioni di poligoni regolari.

me un esagono sui cui lati sono stati po-sti triangoli equilateri); guardando alsuo esterno, i vertici della stella sono ivertici di un cubo, le cui facce hannoper diagonali i lati della stella. Anchequesto straordinario poliedro è stato raf-figurato da Escher in varie opere, dopoche esso l'aveva «disturbato per anni»,e appare in particolare nell'angolo nord--est di Stelle, disegnato nello stile diLeonardo (per le illustrazioni del De di-vina proportione di Luca Pacioli).

Il processo di stellazione (aggiuntadi piramidi sulle facce) si può applicareanche al dodecaedro, ottenendo un po-liedro di «perfettamente ordinata bel-lezza» (detto piccolo dodecaedro stella-to), che si può pure vedere come l'in-tersezione di dodici facce a stella rego-

lare (la figura resa popolare dalle Bri-gate rosse, e che è a sua volta una stel-lazione piana del pentagono regolare).Questo poliedro era molto amato daEscher perché è allo stesso tempo sem-plice e complicato, ed egli lo rappre-sentò più volte: in particolare nell'ope-ra che abbiamo riprodotto in copertina,Forza di gravità, dove ogni faccia è oc-cupata da un mostro.

In Stelle il poliedro principale è l'in-tersezione di tre ottaedri, ancora unavolta disegnata nello stile di Leonardo,e le «stelle» sono in realtà una fanta-smagoria di poliedri più o meno regola-ri: fra esse compaiono non solo i cinquesolidi platonici, ma anche - nell'angolonord-ovest - l'intersezione di cubo e ot-taedro, la stella ottangula (angolo nord-

-est), l'intersezione di due cubi con unvertice in comune (angolo sud-ovest) euna versione solida e più comprensibiledella figura principale (angolo sud-est).

Un ultimo uso dei poliedri regolari ri-guarda la possibilità di riempirne l'inte-ro spazio (la cosiddetta tassellazionedello spazio) e introduce all'argomentodei due prossimi paragrafi. L'unico deicinque solidi platonici che riempia dasolo lo spazio è il cubo, ma tetraedri eottaedri alternati raggiungono lo stessoscopo: Escher ha sperimentato entrambequeste tassellazioni dello spazio.

Geometria euclidea piana

Per sua stessa ammissione, il sogget-to che più interessò Escher fu la divi-

sione regolare del piano:«Non so immaginare che

cosa la mia vita sarebbe sta-ta senza questo problema.Mi ci imbattei molto tempofa, durante le mie peregrina-zioni; vidi un alto muro e,come per la premonizione diun enigma, di qualcosa cheesso potesse nascondere, loscalai con qualche diffi-coltà. Dall'altro lato, però,mi ritrovai in una giungla;dopo essermi aperta la viacon grande sforzo, giunsi al-la porta aperta della mate-matica, da cui si dipartiva-no cammini in ogni direzio-ne. A volte penso di averlipercorsi tutti, ammirandonele vedute; e poi improvvi-samente scopro un nuovocammino e sperimento unanuova delizia».

Il problema in questioneviene chiamato tassellazionedel piano: esso consiste nelricoprire l'intero piano me-diante tasselli, come in ungigantesco puzzle, e fu stu-diato dal punto di vista ma-tematico per la prima voltada Keplero nell' Harmonicemundi (1619).

La grande varietà dellepossibili tassellazioni, a cuiEscher allude, può esserecircoscritta imponendo op-portune limitazioni, di cui lepiù ovvie sono le seguenti:

1) Una tassellazione vie-ne detta monoedrica se usaun solo tipo di tassello, ebiedrica se ne usa due.

2) Una tassellazione vie-ne detta isoedrica se tutti itasselli hanno la stessa rela-zione con il resto della tas-sellazione: in particolare,non solo sono tutti ugua-

li, ma svolgono anche tutti lo stessoruolo. In termini più matematici: unatassellazione è isoedrica se, dati duetasselli qualunque, esiste una isometriache sposta localmente uno dei due tas-selli nell'altro, ma lascia globalmenteinvariata la tassellazione.

3) Una tassellazione viene detta mo-nomorfa se è l'unico modo possibile dicombinare i tasselli per ricoprire il pia-no. Ad esempio, gli unici poligoni re-golari che riempiano da soli il piano so-no il triangolo, il quadrato e l'esagono:la tassellazione mediante esagoni è mo-nomorfa, ma non così quelle mediantetriangoli o quadrati.

Il solo esempio nell'opera di Escherdi tassellazione monoedrica ma non iso-edrica è Fantasmi (si veda l'illustrazio-

M.C. Escher: arte del puzzleo puzzle dell'arte?

L'opera grafica di Escher è interessante non solo dal punto di vistaartistico, ma anche da quello matematico, in quanto spazia

con felici intuizioni dalla geometria alla logica

di Piergiorgio Odifreddi

42 LE SCIENZE n. 340, dicembre 1996 LE SCIENZE n. 340, dicembre 1996 43

Questo guazzo eseguito nel 1971 è noto con il titolo Fantasmi ed è il solo esempio inEscher di una tassellazione monoedrica (anche se il tassello è usato variamente). Co-me si legge alla base del foglio, l'autore si ispirò a un puzzle ideato dal fisico Penrose.

Questo Studio di divisione regolare del piano con angeli e diavoli eseguito nel 1941può sembrare a prima vista biedrico in quanto è costituito da due tasselli diversi(un angelo e un diavolo), ma in realtà è monoedrico in quanto ogni tassello è com-posto da un angelo e un diavolo, o anche da un mezzo angelo e un mezzo diavolo.

ne in questa pagina): il tassello è unico,ma è usato in maniere diverse (alcunifantasmi sono raggruppati, altri sonoisolati). L'esempio è interessante per-ché non isoedrico in modo essenziale:ogni tassellazione del piano che usiquel tipo di tassello deve essere nonisoedrica (questo deriva dal fatto, nonovvio, che la tassellazione della figuraè monomorfa). La prima di tali tassella-zioni fu trovata da Heesch nel 1935,che risolse il cosiddetto 18° problemadi Hilbert, ma Escher si ispirò a un suc-cessivo esempio di Penrose.

Anche la tassellazione di Studio didivisione regolare del piano con angelie diavoli (in basso nella pagina a fron-

te) sembra non isoedrica perché è a pri-ma vista biedrica, cioè costituita da duetipi di tasselli (un angelo e un diavolo).In realtà essa è monoedrica se la si con-sidera come costituita da un solo tassel-lo, ad esempio un angelo e un diavolo,ma anche mezzo angelo e mezzo diavo-lo; in entrambi i casi essa è isoedrica,anche se in modi diversi (nel secondocaso, ma non nel primo, sono necessarieriflessioni per ottenere una metà di unangelo e un diavolo dall'altra metà). Sinoti che le ali degli angeli (o dei diavoli)si incontrano a 4 a 4, i piedi a 2 a 2.

Escher non è certo stato il primo arti-sta a usare tassellazioni del piano: l'e-sempio delle decorazioni moresche del-

l'Alhambra di Granada è ben noto, e fuda lui stesso studiato in maniera ap-profondita, in due viaggi compiuti nel1922 e nel 1936. A causa della proibi-zione islamica di rappresentare esseriviventi i Mori non poterono però usarealtro che motivi geometrici astratti,mentre Escher trovò più attraenti rap-presentazioni di figure animate, spe-cialmente pesci e uccelli.

Sia i Mori sia Escher furono interes-sati a una esplorazione sistematica del-la tassellazione isoedrica, e usaronoquasi tutte le 17 possibili isometrie de-scritte dal cristallografo russo Fedorovnel 1891 (più precisamente: 11 i Mori,e 16 Escher). Mentre i Mori dovette-ro ovviamente scoprire da soli le va-rie possibilità, Escher conobbe fin dal1937 (grazie al fratello, che era profes-sore di geologia) un famoso articolo diPólya del 1924, in cui le 17 possibilitàerano state riscoperte e illustrate, e loricopiò accuratamente.

L'originalità matematica di Escherfu invece più evidente nell'uso delletassellazioni cromatiche, in cui ogniisometria che lascia invariata la tassel-lazione permuta i colori in modo nonambiguo. Egli le studiò autonomamen-te, riportando i risultati nel 1941-42 inun quaderno che non pubblicò, ma cheusò per catalogare le proprie incisioni.In particolare, Escher ritrovò indipen-dentemente 14 delle 46 possibili isome-trie bicromatiche classificate da Woodsnel 1936, in un lavoro che però rimaseignoto (anche ai cristallografi, non so-lo a Escher) fino agli anni cinquanta,quando i suoi risultati furono riscopertida Shubnikov, che in seguito fu entu-siasmato dai disegni di Escher.

I cristallografi riconobbero ripetuta-mente l'aspetto pionieristico del lavorodi Escher nel loro campo, e l'Unioneinternazionale di cristallografia lo in-vitò a tenere una conferenza al Con-gresso del 1960, e gli commissionò l'il-lustrazione di un testo con 42 dei suoidisegni, pubblicato nel 1965 a cura diCarolina MacG i Ilavry.

Geometria non euclidea piana

Il problema della tassellazione sipuò estendere dal piano euclideo a su-perfici più complicate. Gli esempi piùsemplici di tali superfici sono la sfera eil cilindro.

La sfera è limitata nello spazio, epuò dunque essere interamente tassella-ta con un numero finito di tasselli. Que-sto fatto è, secondo Escher, «un mera-viglioso simbolo dell'infinito in formachiusa», ed egli l'ha illustrato intaglian-do varie sfere di legno.

Il cilindro si ottiene incollando fraloro gli estremi di una striscia (infini-ta in una direzione). Ogni tassellazione

del cilindro ne genera una del piano,perché basta ripetere all'infinito la stri-scia che genera il cilindro. Ma non tuttele 17 tassellazioni isoedriche del pianogenerano tassellazioni isoedriche delcilindro, perché alcune isometrie sipossono perdere. Escher ha illustrato latassellazione di cilindri piastrellandovarie colonne.

La striscia di Motibius si ottiene incol-lando fra loro gli estremi di una striscia(infinita in una direzione), dopo averlefatto compiere un mezzo giro (o, più ingenerale, un numero dispari di mezzigiri). Essa gode di due interessanti pro-prietà: ha una sola faccia, invece di duecome le solite superfici; e se la si taglialungo la linea centrale della striscia nonla si separa in due, come per il cilindro,bensì se ne raddoppia la lunghezza (ot-tenendo una striscia che non è più diMóbius, e che ha due facce). Questeproprietà sono così strane che hanno di-stratto Escher dal problema della tas-sellazione, facendogli produrre invecel'efficace Striscia di Móbius riprodottaa pagina 46.

Nonostante il loro carattere noneuclideo in quanto superfici, gliesempi precedenti (sfera, cilin-dro, striscia di Móbius) sonocomunque immergibili nel-lo spazio euclideo. Il pianoiperbolico (caratterizzatodal fatto che per un suopunto passano più paral-lele a una retta data) èinvece una superficienon euclidea, che non sipuò immergere nel pia-no euclideo direttamente(misurando cioè le di-stanze sulla superficie,nel solito modo). È peròpossibile immergerlo indi-rettamente, e due famosi mo-delli della geometria iperbolicasono stati trovati da Henri Poin-

caré: l'uno consiste di un cerchio eucli-deo senza il bordo (la circonferenza),l'altro di un semipiano euclideo senzail bordo (la retta che determina il semi-piano), e in entrambi i casi le rette iper-boliche sono rappresentate da archi dicerchi euclidei ortogonali al bordo.

Escher venne a conoscere la geome-tria iperbolica nel 1958, tramite il geo-metra H. S. M. Coxeter (incontrato alCongresso di Amsterdam nel 1954), efu affascinato dal fatto che il primomodello di Poincaré richiede solo unaporzione limitata del piano euclideo perrappresentare l'intero piano iperbolico:le rappresentazioni di tassellazioni delpiano iperbolico possono dunque esserecomplete, a differenza di quelle del pia-no euclideo (di cui si può rappresentaresolo una parte). Escher produsse quat-tro famosi esempi, tutti denominati Li-mite del cerchio (I-1V): essi furono ana-lizzati in dettaglio dal punto di vistamatematico da Coxeter, e uno (Limitedel cerchio IV, riprodotto qui sopra) èun ulteriore adattamento della tassella-zione del piano euclideo con angeli ediavoli. In quest'opera però le ali si in-contrano a 4 a 4, e i piedi a 3 a 3. Si no-ti anche che tutti gli angeli (così cometutti i diavoli) hanno le stesse dimen-sioni iperboliche, nonostante l'apparen-te diminuzione euclidea (dovuta al fat-to che le distanze si misurano diversa-mente nei due casi).

Leassellazioni iperboliche sono sol-tanto l'ultimo stadio di una serie di spe-rimentazioni che Escher effettuò contassellazioni le cui figure rimpiccioli-

Limite del cerchio IV del 1960 è il risultato di una serie di sperimentazioni effettuatecon tassellazioni le cui figure si rimpiccioliscono avvicinandosi a un limite. Escher ese-guì alcune di queste sperimentazioni molto prima di conoscere la geometria iperbolica.

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Come la tassellazione, anche le proprietà della stri-scia di Miibius affascinarono Escher. Questa Strisciadi Mdbius II del 1963 evidenzia, con il procedere del-le formiche, l'esistenza di un'unica faccia continua.

La litografia Belvedere del 1958 sottolinea nell'edificio i paradossi percettivi otteni-bili con cubi ambigui come il cubo di Necker, in cui non è possibile capire quale fac-cia stia davanti e quale dietro, e il cubo impossibile, localmente corretto, ma glo-balmente impossibile. A esemplificazione delle due figure, l'individuo seduto sullapanca ha in mano un cubo impossibile e ai piedi un disegno di cubo di Necker.

scono quando si avvicinano a un limite,e che si possono classificare in tre tipi:

1) Usando come limite un punto, latassellazione richiede ancora l'interopiano: infatti le figure si ingrandisconosenza limite a mano a mano che si al-lontanano dal punto.

2) Usando come limiteuna retta, la tassellazionerichiede ancora (o solopiù) metà del piano. E-scher ritenne che il gua-dagno non fosse molto, enon seppe mai che in talmodo avrebbe invece po-tuto tassellare il secondomodello di Poincaré.

3) Usando come limiteuna circonferenza, comenel Limite del cerchio IV,la tassellazione richiedesolo più una zona limi-tata, pur rimanendo in-finita. Questa era pro-prio la soluzione che E-scher aveva invano cer-cato, senza riuscire a tro-varla da solo.

Metamorfosi

L'interesse di Escherper le tassellazioni nonera fine a se stesso, maaveva lo scopo di una lo-ro trasfigurazione artisti-ca. Frammenti di tassella-zioni appaiono così inuna sessantina di suoi la-vori, in cui egli sfruttò afondo il fatto che in unatassellazione biedrica cia-scuno dei due tipi di tas-selli svolge due ruolicomplementari, di figurae sfondo, secondo unprincipio basato sul co-siddetto «vaso di Rubin»(in cui due profili di fac-ce possono essere visticome il contorno di unvaso). Poiché non è peròpossibile percepire unafigura in assenza di sfon-do, il risultato è un'alter-nanza instabile di due fi-gure, ciascuna delle qualiviene percepita per unbreve periodo sullo sfon-do dell'altra.

Impiegando variazionidinamiche nelle tassella-zioni biedriche secondo iprincipi e le tecniche dellapsicologia della Gestalt, dicui era interessato cono-scitore, Escher riuscì a il-lustrare convincentementeil passaggio dal bidimen-

sionale al tridimensionale e la morfo-genesi, facendo evolvere indipendente-mente e gradualmente i due tipi di tas-selli in figure indipendenti e spaziali.Simmetricamente, le metamorfosi di E-scher evidenziano la sintesi dialettica, frapositivo e negativo, che le tassellazio-

Il cosiddetto vaso di Rubin è un esempiodi figura reversibile ideata dallo psicolo-go danese Edgard Rubin nel 1915 persottolineare il rapporto tra figura esfondo. Escher conosceva molto bene iprincìpi della psicologia della Gestalt.

ni biedriche contengono al loro interno.Nel saggio Divisione regolare del

piano Escher discusse un'analogia trale sue metamorfosi (successioni sta-tiche di immagini) sia col cinema (suc-cessione dinamica di immagini) siacon la musica (successione dinamica disuoni). Più precisamente, egli sostennedi usare gli stessi procedimenti (ripeti-zione, aumento, riduzione, sovrapposi-zione e inversione) del contrappunto diBach, dando così il «la» a Douglas R.Hofstadter per il suo celebre Gódel,Escher e Bach.

Paradossi percettivi

Alla fine della Poetica, Aristotele ri-pete due volte che «una convincenteimpossibilità è preferibile a una nonconvincente possibilità». Alcune delleopere più famose di Escher sono perfet-te illustrazioni di questo motto, oltreche di alcuni ben noti paradossi percet-tivi (basati sul contrasto tra percezionee interpretazione di dati sensoriali, e sulcondizionamento fisiologico e culturaleche spinge a considerare figure bidi-mensionali come rappresentazioni dioggetti tridimensionali).

La litografia Belvedere riprodottanella pagina a fronte è ispirata al «cubodi Necker», che si ottiene disegnandoun cubo in prospettiva con tutti i lati inevidenza: così facendo si crea un'ambi-guità su quale delle facce stia davanti equale dietro, e due possibili cubi si al-ternano nella percezione. Il cubo diNecker è disegnato nel progetto che staai piedi del personaggio seduto sullapanca (con i due punti problematicievidenziati), ed egli tiene in mano unmodello di «cubo impossibile», in cuil'ambiguità viene risolta fondendo le

due possibilità, e creando così un cubolocalmente corretto (nella parte alta e inquella bassa), ma globalmente impossi-bile. L'edificio della figura realizza poiil cubo impossibile, congiungendo pa-radossalmente le parti alta e bassa, chesono separatamente consistenti.

La litografia Concavo e convesso (apagina 48 in alto) illustra due parados-si. Il primo, detto dei cubi reversibili,era già noto ai Romani, che l'hannousato in vari mosaici, ed è stato sfrutta-to in modo sistematico da Victor Vasa-rely, la cui opera Escher però disprez-zava: tre rombi adiacenti sono visti co-me le facce di un cubo, ma possono es-sere interpretati sia come facce esternesia come facce interne; inoltre, se ce nesono più di tre, quelli non estremi pos-sono appartenere a più di un cubo, fa-cendo apparire l'immagine alternativa-mente convessa e concava. Cubi rever-sibili sono disegnati sulla bandiera inalto a destra della figura, e questa rea-lizza il contrasto convesso/concavo frale parti sinistra e destra. In particolare,dei tre tempietti cubici quello centrale èambiguo, e rappresenta quindi un cu-bo reversibile, mentre quelli ai lati mo-strano le due possibilità separatamente,dall'esterno e dall'interno.

Il secondo paradosso, detto scala diSchréder, mostra come il disegno di unascala possa risultare ambiguo, ed essereconsiderato allo stesso tempo come larappresentazione di una scala posta siasu un pavimento (a sinistra) sia su unsoffino (a destra), o da percorrere stan-do sia sopra sia sotto i gradini.

Un paradosso interessante è costitui-to dal «triangolo impossibile», disegna-to in prospettiva in modo da avere ognicoppia di lati perpendicolari, ed esse-re quindi localmente corretto (a ogniangolo), ma globalmente impossibile.Escher ne fece un uso spettacolare nellalitografia La cascata (in basso a pagina48) dove esso appare per tre volte con-secutive nella rappresentazione di uncanale che sembra localmente in piano,ma globalmente in salita. Escher creacosì l'impressione doppiamente para-dossale, da un punto di vista fisico, diun moto perpetuo generato dall'acquache scorre all'insù. Si noti come l'inte-ra figura sia in realtà la sovrapposizio-ne di due figure separatamente consi-stenti: due torri (l'una a tre piani e l'al-tra a due), e un canale orizzontale (coni lati a due a due perpendicolari). Sullecolonne di La cascata sono raffiguratidue strani poliedri: quello a sinistra èl'intersezione di tre cubi, quello a de-stra l'intersezione di tre ottaedri irrego-lari (o, alternativamente, un dodecaedrocon facce romboidali stellato).

Nella litografia Salita e discesa è in-fine rappresentata la «scala di Penro-se», in cui un moto perpetuo è generato

in modo opposto a quello di Lacascata: non mediante un percorso insalita che dovrebbe essere in piano, mada un percorso in piano che dovrebbeessere in salita. Che la scala sia in pia-no lo si intuisce tenendo l'immagine

non perpendicolarmente al campo visi-vo (come normalmente la si osserva),ma (quasi) parallelamente a esso: il di-segno è dunque un'anamorfosi, cioè larappresentazione distorta di una pro-spettiva che si vede in rhodo naturale

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Affine, ma in un certo senso opposto a Cascata è ilmoto perpetuo rappresentato nella litografia qui asinistra, Salita e discesa del 1960. 11 risultato è un'a-namorfosi, cioè una rappresentazione distorta di unaprospettiva che appare naturale solo sotto una certaangolazione. Tutta l'opera di Escher può essere con-siderata una profonda autoriflessione sul lavoro deldisegnatore, esemplificata efficacemente qui sopradalla famosa litografia Mani che disegnano del 1948.

In Cascata, litografia del 1961, Escher fa uso del paradosso del triangolo impossibilerappresentando un canale che localmente appare in piano, ma globalmente è in salita.

Concavo e convesso, una litografia del1955, illustra due paradossi: quello deicubi reversibili, con facce che possonoapparire sia interne sia esterne, e quel-lo della scala di Schriider, ambigua inquanto i gradini appaiono percorribi-li in vari modi a seconda di come li siosserva. I disegni qui sopra rappre-sentano tre esempi di figure ambigueimpiegate da Escher mentre il trian-golo in basso è una figura assurda.

soltanto guardandola da un'angolazio-ne particolare. Gli scalini sono in realtàposti l'uno sull'altro come tegole su untetto piano, o libri su un tavolo, in mo-do da formare un quadrilatero: l'illusio-ne deriva dal disegnare come verticali iprolungamenti delle altezze degli scali-ni, che sono in realtà linee oblique. Poi-ché però tali prolungamenti vanno indirezioni opposte su lati opposti delquadrilatero, l'edificio si può disegnaresolo a metà, e non potrebbe stare inpiedi. Paradosso a parte, Escher videqui una metafora dell'assurdità dellavita, non solo del «come è duro calle loscendere e 'l salir per l'altrui scale»(Paradiso, XVII, 59-60), ma anche diquanto tale affanno sia inutile, e nonporti in realtà da alcuna parte.

In conclusione, possiamo dividere isei paradossi percettivi usati da Escherin due classi. Tre di essi (il cubo diNecker, i cubi reversibili e la scala diSchnUider) sono semplicemente figureambigue, che rappresentano più di unoggetto allo stesso tempo, su cui la per-cezione oscilla. I rimanenti tre (cuboimpossibile, triangolo impossibile escala di Penrose) sono invece figure as-surde, che rappresentano un solo ogget-to ben definito.

L'assurdità delle figure del secondo

gruppo è però di un tipo molto particola-re: essa risiede soltanto nella loro inter-pretazione, e non nel fatto che esse sianorappresentazioni di percezioni impossibi-li. Richard Gregory ha infatti dimostratocome tre sbarre a due a due perpendico-lari (ovviamente formanti non un trian-golo chiuso, ma una figura aperta) possa-no sembrare un triangolo impossibile, seosservate da un particolare punto di vi-sta. Analogamente, un modello di cubocon due lati discontinui può sembrare uncubo impossibile, se osservato da un par-ticolare punto di vista (perché le discon-tinuità permettono di vedere lati che sitrovano in realtà sul retro).

Paradossi logici

L'osservazione di Gregory mostracome i paradossi delle figure assurdesiano in realtà di natura logica, e nonfisica. Essi sono dunque tipici della pri-ma metà del secolo, in particolare dellastoria che inizia in negativo nel 1902con il paradosso di Russell, e culminain positivo (almeno per quanto riguardal'uso dei paradossi) nel 1931 con il teo-rema di Góclel.

L'esempio più venerando e illustredi questo genere di cose è forse il fa-moso «paradosso del mentitore», unaversione del quale è la seguente:

«Questa frase è falsa».Naturalmente, se la frase fosse vera

dovrebbe essere falsa (perché questo èciò che essa dice); e se fosse falsa do-

vrebbe essere vera (perché questo è ilcontrario di ciò che essa dice). Unaspetto fondamentale della frase prece-dente è l'autoriferimento, il fatto cioèche essa parli di se stessa. Tale aspetto èesemplificato, nei disegni di Escher,dalla presenza di un richiamo della fi-gura principale in Stelle, del cubo im-possibile in Belvedere, e dei cubi rever-sibili sulla bandiera di Concavo e con-vesso. Un aspetto secondario della fraseprecedente è invece il fatto che l'autori-ferimento sia ottenuto in un solo passo.Gli usi moderni dei paradossi hanno

anzi mostrato che è più efficace spezza-re l'autoriferimento in due passi, come

nel caso della seguente versione del pa-radosso del mentitore, proposta daJourdain nel 1913:

«La frase successiva è vera. La fraseprecedente è falsa».

Il fatto che essa sia in realtà l'acco-stamento inconsistente di due frasi se-paratamente consistenti ricorda ovvia-mente le realizzazioni di Belvedere eLa cascata.

Ma i due passi sono illustrati nel modopiù efficace in Mani che disegnano: inquanto immagine del processo di rifles-sione di Escher sull'attività del disegna-tore, essa è forse anche il simbolo più in-dovinato di tutto il suo lavoro.

PIERGIORGIO ODIFREDDI si è laureato in matematica a Torino e si è specializ-zato presso le Università dell'Illinois a Urbana-Champaign e della California a LosAngeles. Ha insegnato logica matematica a Novosibirsk e alla Comell University eattualmente è professore associato all'Università di Torino. Ha pubblicato Classica!Recursion Theoty (North Holland, 1989) e collabora con svariate riviste scientifiche.

ESCHER M.C. , The Graphic Work of M. C. Escher, Ballantine Books,1971.LOCHER J.L. (a cura), Il mondo di M C. Escher, Garzanti, 1978.LOCHER J.L. (a cura), MC. Escher.: His Life and Complete Graphic Work, 1981.VAN HOORN W.J. e WIERDA F. (a cura), Escher on Escher: Exploring the Infinite, H. N.Abrams, 1989.Sugli aspetti matematici:MACGILLAVRY C., Symmetty Aspects of M.C. Escher's Periodic Drawings, 1965.LOEB ARTHUR, Color and Symmetry, 1971.ERNST BRUNO, Lo specchio magico di Escher, Taschen, 1990.SCHATTSCHNEIDER DORIS, Visioni della simmetria, Zanichelli, 1992. (Della stessaautrice, «Le Scienze» ha pubblicato un sintetico articolo nel gennaio 1995.)

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