Maximum 9 Lærerens bok 1. kapittel

LÆRERENS BOK

9

Grete Normann Tofteberg • Janneke Tangen Ingvill Merete Stedøy-Johansen • Bjørnar Alseth

MATEMATIKK FOR UNGDOMSTRINNET

Maximum 9 Lærerens bokII

Innhold

Dette er Maximum . . . . . . . . III

Grunnleggende ferdigheter . . . . . . . . . . . III

Grunnbok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV

Oppgavebok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Lærerens bok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Digitale komponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Lærerrommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

Underveis- og sluttvurdering . . . . . . . . . VI

Kompetansemål og læringsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

Emneoversikt . . . . . . . . . . . . . . .XII

Forslag til årsplan . . . . . . . . XIII

1 Tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Potenser og kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tierpotenser og tall på standardform . . 42

Tallmengder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Kort sagt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Bli bedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Lineære funksjoner – rette linjer . . . . . . 68

Empiriske og ikke-lineære funksjoner . . . 94

Kort sagt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Bli bedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3 Mål og enheter . . . . . . . . . . 118

Regning med tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Målenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Nøyaktighet og avrunding . . . . . . . . . . . 144

Forholdsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Sammensatte enheter . . . . . . . . . . . . . . 166

Kort sagt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Bli bedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4 Geometri og beregninger . . . . . . . . . . . . . . . . .186

Areal og omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Sirkelens geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Tredimensjonale geometriske figurer 216

Kort sagt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Bli bedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5 Sannsynlighet og kombinatorikk . . . . . . . . . . 248

Enkle sannsynligheter . . . . . . . . . . . . . . 250

Kombinatorikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Kort sagt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Bli bedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Tren tanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

III

I læreverket Maximum har vi ønsket å gi elever variert og grundig matema-tikklæring. Læreverket legger opp til både samarbeidslæring og individuell læring. Vi har tro på at varierte tilnærminger vil motivere flere elever til å være aktive og deltagende i egen matematikklæring.

Matematikk er et kreativt fag, teoretisk og strengt oppbygd, men logisk og meningsfylt. For å bli god i matematikk, må man kunne disku-tere, resonnere, dele ideer, se det generelle i det spesielle samt gå via det kjente til det ukjente. Matematikk er et anvendt fag som kan gi rom for ulike tolkninger og et fag under stadig utvikling: Nye teorier legges til og kommer til anvendelse, men de gamle teoriene er fortsatt like gyldige. De nye teoriene blir en utvidelse og erstatter ikke det vi allerede har/allerede vet. Matematikk handler om mønstre, sammenhenger og systemer og har dessuten et strengt oppbygd språk.

Maximum legger særlig vekt på tre aspekter:• Å arbeide praktisk, utforskende

og kreativt gjennom varierte aktiviteter.

• Å gi tilpasset opplæring innenfor et læringsfellesskap.

• Tydelig på grunnleggende ferdigheter og faglig progresjon i tråd med revidert læreplan.

I Maximums oppbygning skapes en overgang fra det praktiske, utfor-skende og kreative arbeidet, til en gradvis økt fokusering på et mer spesifikt fagstoff. Lærestoffet introduseres som regel nokså konkret, så blir fokuset mer på det abstrakte og formelle etter hvert. Læreverkets oppbygning, med veksling mellom aktiviteter og øving på faktakunnskaper og ferdigheter, er med på å tydeliggjøre sammen-

hengen mellom forståelse, ferdighe-ter og anvendelse. Aktivitetene tjener både som grunnlag for økt forståelse i de emnene kapitlene fokuserer på, samtidig som elevene får oppleve at de får brukt sine matematiske kunnskaper og ferdig-heter i praktiske situasjoner.

Grunnleggende ferdigheterMaximum legger opp til mangfoldig opplæring i de grunnleggende ferdighetene.

RegneferdigheterFokuset på grunnleggende regnefer-digheter er stort gjennom hele verket. Elevenes regneferdigheter utvikles ved å bruke matematiske begrep, fremgangsmåter og varierte strategier for å løse et vidt spekter av både matematiske og praktiske utfordringer. Å lære elever å stoppe opp ved egne løsninger, og å reflektere over og sjekke om løsningene er realistiske, er viktig. Å ta i bruk hensiktsmessige hjelpemid-ler i beregninger, modellering og kommunikasjon av prosess og resultat øves opp.

Muntlige ferdigheterElevene deltar i muntlige diskusjoner, gjennomganger og utveksler erfaringer med hverandre. Å arbeide med matematikk muntlig må gjøres jevnlig og ofte. Det er nødvendig å la elevene snakke matematikk og å sette ord på egne tanker, strategier og forståelse ut fra det de allerede kan. Da blir elevene bevisst på hva de kan fra før, og bygger på dette for å nå nye mål. For å tilpasse opplærin-gen trenger læreren også denne informasjonen. Det er derfor viktig at det vises interesse for ulike måter å tenke, argumentere og løse oppgaver på. Å stille spørsmål, kommunisere ideer og drøfte løsningsstrategier med andre. Samtalen foregår både mellom elev og lærer og mellom

elevene selv. Når det blir vanlig å snakke matematikk vil elevene bli tryggere i egen begrepsbruk og får en mer presis fagterminologi. Hør etter hvordan elevene snakker om ulike tema, hvilke ord og begreper de er fortrolige med og hva som er utfordrende. La elevene snakke om matematikkordene og diskutere forklaringer på hva ordene betyr.

Skriftlige ferdigheterElevene lærer å beskrive og forklare tankene sine ved bruk av matema-tiske symboler og det matematiske språket gjennom fagtekster og eksempler med forslag til føring. Vi regner uten benevning, men oppgir alltid et benevnt og tekstet svar til slutt, der oppgaven krever det. La elevene bruke skisser og tegninger for å utvikle egne tanker videre og som redskap for å løse problemer. Elevenes skriveferdighet med bruk av matematisk notasjon og presis fagterminologi øves gjennom alle deler av boka.

LeseferdigheterFokus på forståelse ved å lære seg å lese og tolke eksempler, fagtekst og tekstoppgaver er stor. Elevene møter sammensatte tekster med matema-tiske uttrykk, grafer, diagram, tabeller, symboler, formler og logiske resonnement. Vær sammen med elevene i fagtekst og eksempler, les sammen, forklar ord og begreper som er ukjente. Varier ved å lese høyt, stille, to og to eller i små grupper etter tekstens kompleksitet. Elevene må arbeide systematisk med leseforståelse ved å lese og forklare og diskutere tema. Dette kan gjøres ved at elevene trekker frem ord og begreper i tekstene, og samarbeider om å finne forklaringer på disse. Snakk om hvordan elevene kan gripe an, finne og sortere informasjon i ulike matematikktekster.

Dette er Maximum

Maximum 9 Lærerens bokIV

Digitale ferdigheterElevenes digitale ferdigheter blir jevnlig og gjennomgående utviklet gjennom bruk av digitale verktøy til utforsking og problemløsning, til analyse, modellering, beregning, behandling og presentasjon av data. Gjennom Maximum læres elevene opp til bruk av digitale verktøy som kalkulator, regneark, dynamiske graftegnings- og geometriprogram-mer og bruk av databaser for å finne informasjon. Elevene må ha erfaring med bruk av digitale medier og verktøy for selv å kunne vurdere og gjøre hensiktsmessige valg av redskap for læring, modellering, problemløsning og presentasjon.

LæringssynMaximum legger et sosiokonstrukti-vistisk læringssyn til grunn. Elevene konstruerer sin egen kunnskap i samhandling med andre. Læringen foregår i elevens eget hode, i et sosialt samspill med andre. Alle elever er ressurser i læringsfellesska-pet der det produseres kunnskap. Læreverket legger opp til både samarbeidslæring og individuell læring. Elevene må utfordres på et nivå de kan mestre med en rimelig grad av anstrengelse. Alle elever har krav på tilpasset opplæring og å få utfordringer tilpasset sin nærmeste utviklingssone.

Elevenes egne mål for læringen og læringsfremmende vurdering med tilbakemeldinger og fremovermeldin-ger, er nødvendige for at alle elever skal forstå hva de skal lære og hvorfor. Å hjelpe elever til å sette realistiske mål for læringen, er et av lærerens viktigste oppgaver.

ElevsynMaximum har tro på at elever vil lære. De må delta aktivt i sin egen læring og hele tiden vite hva målet for opplæringen er. Elevene må være delaktig i å sette seg mål for læringsarbeidet og være deltagende i å velge læringsaktiviteter som fører dem mot målet. Å hjelpe elevene å sette seg realistiske mål og å være bevisst egen læring, sikrer en mer meningsfull matematikkopplæring for hver elev.

GrunnbokMaximum Grunnbok er elevenes bok. Vi ønsker at elevene skal lære å lese fagtekster og eksempler, og gjennom disse få grunnlag for å samtale om matematikk og løse oppgaver. Boka inneholder mange elementer som går igjen, og som tilfører innhold på ulikt vis:

Startoppslaget inneholder et samtalebilde knyttet til en problem-løsningsoppgave. Oppgaven er ment som en samtaleoppgave og «tea-ser», en smakebit på hva kapitlet inneholder. Det er viktig å formidle til elevene at hvis de ikke får til oppgaven med en gang, er det et mål at de skal klare den etter at de har jobbet seg gjennom kapitlet. Derfor er det naturlig å komme tilbake til denne oppgaven mot slutten av arbeidsperioden. Det er også en liste med matematikkord på startoppsla-get. Denne kan brukes i en matema-tisk samtale for å bevisstgjøre elevene på hva de kan fra før, og hva det er et mål å lære seg.

Smart Vurdering førtest hjelper eleven og læreren til å sette både kollektive og individuelle mål, før klassen går i gang med kapitlet.

Læringsmålene i begynnelsen av hvert delkapittel, tar utgangspunkt i kompetansemålene i læreplanen. Elevene skal selv kunne vurdere i hvilken grad målene er nådd, og kjenne igjen hvordan de arbeider med å nærme seg høy grad av måloppnåelse.

Fagtekstene forklarer og begrunner det faglige innholdet, og gir elevene trening i å lese matematisk tekst.

Eksemplene viser veien fra pro-blemstilling til løsning. Det er den delen av eksempelet som føres på rutenett som er eksemplarisk i forhold til kravene til elevenes føring. Unntak fra dette kan forekomme innenfor konstruksjon og diagram-mer. Eksemplene må sees på som løsningsforslag. Det er viktig at

Mål

Maximum 98

Prosent

HER SKAL DU LÆRE Å

• regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler• tolke og regne med prosentpoeng

Når du regner med prosent, regner du egentlig med brøk. Siden prosent betyr «av

hundre», vet du at 1

____ 100 = 1 %. Når vi regner prosent, regner vi alltid prosent av noe.

Derfor er prosenten avhengig av hva den regnes av.

1.1 Beskriv den fargede delen av figuren som brøk, som desimaltall og som prosent.

a

b

c

d

e

1.2 Tegn figurer tilsvarende figurene i 1.1. Hvor mye er

a halvdelen av en halv

b en femdel av en firedel

c en firedel av en femdel

d 50 % av 50 %

e 20 % av 25 %

f 25 % av 20 %

elevene får bruke fremgangsmåter de forstår og er fortrolige med.

Ordforklaringene skal hjelpe elevene til å forstå nye faglige uttrykk og andre ord som er sjeldne eller krevende på andre måter.

Regler og definisjoner løftes tydelig frem i egne rammer.

Snakkeboblene kommuniserer tips, hint og påminnelser til elevene, og skal bidra til å vise sammenhenger i faget.

Figurer og hjelpetegninger som støtte for forståelsen av begreper. Halvkonkrete tegninger og figurer kan sikre bedre forståelse i ulike problemstillinger. Videre kan halvabstrakte ikoner som tellestre-ker, prikker osv. være viktig støtte for begrepsforståelsen frem mot det abstrakte symbolspråket. Ulike elever trenger i ulik grad støtte på veien fra det konkrete til det abstrakte symbolspråket.

Aktiviteter har flere formål. De skal inspirere og motivere og samtidig gi elevene en alternativ innfallsvinkel til fagstoffet. Noen aktiviteter er egnet til å utforske matematikken, mens andre gir elevene mengdetre-ning på en alternativ måte. Lærerens bok inneholder flere aktiviteter til hvert oppslag.

Eksempel 1

Kapittel 1 • Tallregning 9

Hoderegning og overslag

Når du skal regne med prosent i hodet, kan det være lurt å tenke på prosent som brøk.

Finn 75 % av 300.

Løsningsforslag

Vi vet at 25 % er 1

___ 4 , da må 75 % være 3

___ 4 .3

___ 4 av 300 er halvparten av 300 pluss firedelen av 300.

Det blir: 150 + 75 = 225

1.3 Skriv prosent som brøk og omvendt.

a 40 %

b 3

___ 8

c 60 %

d 4

___ 5

e 2

___ 3

f 87,5 %

1.4 Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a 40 % av 500

b 66,7 % av 120

c 90 % av 60

d 75 % av 280

e 3 % av 900

f 8 % av 250

g 30 % av 15

h 80 % av 350

i 5 % av 190

1.5 En bok koster 250 kr. Du får 40 % rabatt.

Regn i hodet. Hvor mye må du betale for boka?

rabatt det samme som prisavslag

?0 300

75 %50 %25 % 100 %

Mål

Maximum 968

Lineære funksjoner – rette linjer


• kjenne igjen og finne formler for rette linjer•

kjenne igjen situasjoner fra dagliglivet som kan beskrives ved hjelp av lineære funksjoner

• lage verditabell og tegne graf ut fra formelen for rette linjer• bestemme om et punkt ligger på en gitt rett linje

En funksjon er en regel som viser sammenhengen mellom størrelser som kan ha ulike verdier, og som er avhengig av hverandre.

For at det skal være en funksjon, kan det ikke være flere funksjonsverdier til samme tall. Vi sier at funksjonen må være entydig. Symbolet for funksjonen kan variere, det samme kan navnet på variabelen. For eksempel brukes v(t) for hastighet som funksjon av tiden.

En funksjon kan beskrives på mange måter:

funksjonsverdi tallsvaret du får når du setter inn en verdi for x

1 Med ord: Funksjonen tredobler et tall og trekker tallet 1 fra svaret.

2 Som graf:

3 Som formel eller funksjonsuttrykk:

f(x) = 3 · x – 1

Her er f symbolet for funksjonen, og x symbolet for variabelen.

4 Som verditabell:

x 3 · x – 1 f(x)

–1 3 · (–1) – 1 = –3 – 1 –4

0 3 · 0 – 1 –1

1 3 · 1 – 1 = 3 – 1 2

2 3 · 2 – 1 = 6 – 1 5

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–5

–4

–6

–2 –1 00

1 2 3 4

y−akse

x−akse

6

5 6

Mål

Maximum 968

Lineære funksjoner – rette linjer


• kjenne igjen og finne formler for rette linjer•

kjenne igjen situasjoner fra dagliglivet som kan beskrives ved hjelp av lineære funksjoner

• lage verditabell og tegne graf ut fra formelen for rette linjer• bestemme om et punkt ligger på en gitt rett linje

En funksjon er en regel som viser sammenhengen mellom størrelser som kan ha ulike verdier, og som er avhengig av hverandre.

For at det skal være en funksjon, kan det ikke være flere funksjonsverdier til samme tall. Vi sier at funksjonen må være entydig. Symbolet for funksjonen kan variere, det samme kan navnet på variabelen. For eksempel brukes v(t) for hastighet som funksjon av tiden.

En funksjon kan beskrives på mange måter:

funksjonsverdi tallsvaret du får når du setter inn en verdi for x

1 Med ord: Funksjonen tredobler et tall og trekker tallet 1 fra svaret.

2 Som graf:

3 Som formel eller funksjonsuttrykk:

f(x) = 3 · x – 1

Her er f symbolet for funksjonen, og x symbolet for variabelen.

4 Som verditabell:

x 3 · x – 1 f(x)

–1 3 · (–1) – 1 = –3 – 1 –4

0 3 · 0 – 1 –1

1 3 · 1 – 1 = 3 – 1 2

2 3 · 2 – 1 = 6 – 1 5

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–5

–4

–6

–2 –1 00

1 2 3 4

y−akse

x−akse

6

5 6

Eksempel 17

Et rom skal være 4,0 m langt og 2,0 m bredt. Hvor mye mindre blir arealet hvis vi måler 5 % for kort på lengdene?

Løsningsforslag:

2

Målt lengde: 4,0 m · 0,95 = 3,8 m

Målt bredde: 2,0 m · 0,95 = 1,9 m

2

Forskjell i areal: 8,0 – 7,2 = 0,8

Ved 5 % for korte lengder blir arealet ca. 0,8 m2 mindre

3.69 Hvor mye mindre blir arealet om vi måler 10 % for kort på hver av lengdene?

a Et soverom på 2 m · 3 m.

b Et klasserom på 9 m · 7 m.

c En idrettshall på 25 m · 70 m.

d En åker på 250 m · 350 m.

e En stat i USA på 600 km · 450 km.

f En provins i Canada på 700 km · 1100 km.

3.70 Hvor mye større blir volumet om vi måler 5 % for langt på hver av sidene?

a Et rom med bredde 3,0 m, lengde 4,0 m, og høyde 2,4 m.

b En eske med bredde 35 cm, lengde 70 cm og høyde 40 cm.

c En boks med bredde 3,50 cm, lengde 6,75 cm og høyde 2,45 cm.

5 % mindre gir vekstfaktor 0,95.

Eksempel 21

Maximum 9164

Blandinger

Skal vi blande saft, vil forholdet mellom saft og vann være et mål på hvor sterk blandingen er.

Tegningen viser forholdet mellom saft og vann som 1 del saft og 6 deler vann, 1 : 6. Det blir til sammen 7 deler utblandet saft.

En scooter med totaktsmotor bruker en blanding av olje og bensin. Til 5 L bensin skal det fylles 1 dL olje.

a Finn forholdet mellom olje og bensin.

b Hvor mye olje trengs det hvis det fylles 3 L bensin på tanken?

Løsningsforslag

a 5 L = 50 dL

olje

bensin = 1

___ 50

Forholdet mellom olje og bensin er 1 : 50

b Vi kan illustrere dette ved å tegne opp en dobbel tallinje.

Forholdet mellom olje og bensin kan vi lese ut av den doble tallinja. Da vil hver liter bensin kreve

1

__ 5 dL eller 0,2 dL olje.

Til 3 L bensin trengs det da 3 ∙ 0,2 dL = 0,6 dL olje

Olje

0 dL ? L

Bensin

0 L 3 L

1 dL

5 L

V

Varierte oppgavetyper skal stimulere elevenes kreativitet, ulike grunnleggende ferdigheter og kompetanser i faget. Muntlige ferdigheter og kommunikasjonskom-petanse trenes gjennom gruppesam-taler og klassesamtaler med utgangspunkt i oppgavene. Tekst-oppgaver og oppgaver med diagram-mer og tabeller trener elevene i grunnleggende leseferdigheter. I tillegg er det mange oppgaver som gir tilstrekkelig mengdetrening innen grunnleggende regnetrening.

Kapittel 2 • Funksjoner 93

2.51 To størrelser x og y er proporsjonale. Sant eller usant?

1 Når x blir halvert, så blir y halvert.

2 Når x øker med 2, så øker y med 2.

3 Hvis du deler en x-verdi med den tilhørende y-verdien, får du samme svar.

4 Hvis du ganger en x-verdi med den tilhørende y-verdien, får du samme svar.

5 Grafen som viser sammenhengen mellom x og y, er en rett linje gjennom origo.

2.52 I trekantene nedenfor er lengdene av sidene med rød farge proporsjonale med lengdene av sidene med blå farge.

La x være lengdene av sidene i den lille trekanten, mens y er lengdene av sidene i den store trekanten.

Skriv opp y som funksjon av x for hvert av tilfellene 1 og 2.

1

2

2.53 Hvilke av disse størrelsene er proporsjonale?

a Omkretsen av et kvadrat og lengden til siden i kvadratet.

b Prisen på en vare målt i norske kroner og prisen på den samme varen målt i euro.

c Prisen på en pose peanøtter og vekten av nøttene i posen.

8

43

8

43

4

2

3,16

4

2

3,16

Eksempel 19

Finn forholdet mellom lengden av en lekebil som er 28 cm lang, og en virkelig bil som er 448 cm lang.

Løsningsforslag

Forholdet mellom lengdene er 28 : 448. Vi skriver forholdet på enkleste måte:

28 : 28 = 1

448 : 28 = 16

Forholdet mellom lengden av lekebilen og lengden av den virkelige bilen er 1 : 16

3.78 Skriv forholdene mellom røde og grønne kuler på enklest mulig måte. Forkort med største felles faktor.

a b c d e

3.79 Skriv forholdene så enkelt som mulig og forkort med største felles faktor.

a 6 : 3

b 5 : 5

c 10 : 15

d 7 : 14

e 150 : 50

f 9 : 6

g 21 : 3

h 20 : 75

i 2 : 1000

3.80 Hvem har rett? Diskuter påstandene under med en annen i klassen.

Forholdet mellom røde og gule drops

er 4 : 16.

Forholdet mellom røde og gule drops

er 4 : 12.

Forholdet mellom gule og røde drops er 3.Forholdet

mellom røde og gule drops er

1 : 4.

Når vi sammenlikner to størrelser, må vi bruke samme

målenhet.

A

B C

D

Differensieringsmodellen gjennom fargekoding, skal gjøre det mulig for at elever med ulikt prestasjonsnivå kan arbeide i det samme læringsfel-lesskapet. Oppgaver merket blått kan anses som relativt enkle, gule på middels nivå og grønne mest krevende. Umerkede oppgaver er tenkt å nå mange av elevene. Her må læreren gjøre sin egen vurdering. Vi ønsker ikke at elever skal oppleve seg selv som blå, gul eller grønn, men at læreren kan gjøre individuelle avtaler med elevene om hvilke oppgaver de bør konsentrere seg om for å få et best mulig tilpasset utvalg. Mange av de grønne oppgavene er laget med tanke på å gi de sterkest presterende elevene mulighet og inspirasjon til å strekke seg lengst mulig. Oppgaver på grønt krever også ofte et høyere refleksjonsnivå hos elevene.

Eksempel 23

1 km/h =

1

___

3,6 m/s

s er vei (av engelsk stretch)

v er fart (av engelsk velocity)

t er tid (av engelsk time)

Kapittel 3 • Mål og enheter 167

Gjennomsnittsfarten på en etappe i en stafett var 2,5 m/s. Hvor fort er dette målt i km/h?

Løsningsforslag 1

I 1 time er det 60 minutter, og i 1 minutt er det 60 sekunder. Da er det 60 · 60 s = 3600 s i 1 time.

Gjennomsnittsfarten er 2,5 ∙ 3600 = 9000 m/h (meter per time).

Det er 1000 m i 1 km.

Gjennomsnittsfarten målt i km/h er 9000

_____ 1000 = 9

Gjennomsnittsfarten er 9 km/h

Løsningsforslag 2

For å regne om gjennomsnittsfarten målt i m/s til km/h, multipliserer vi med 3600 og dividerer med 1000,

3600

_____ 1000 = 3,6.

Omregningen mellom m/s og km/h gjør vi derfor enklest ved å multiplisere med 3,6:

2,5 · 3,6 = 9


Gjennomsnittsfart = vei tid

v = st

3.110 Gjennomsnittsfarten til Adrian på sekstimeteren var 6 m/s.

Hvor lang tid brukte han på sekstimeteren?

3.111 Ida løp 400 m på 1 min 5 s. Finn gjennomsnittsfarten hennes.

3.112 Gjennomsnittsfarten til vinneren av en maraton var 17 km/h. Et maratonløp er 42 195 m langt. Finn vinnertiden.

1 m/s = 3600 m

1000 s

= 3,6 km/h

Vei (m)

6 26

Tid (s)

1 4

12

2

18

3

32

5

Eksempel 23

1 km/h =

1

___

3,6 m/s






Løsningsforslag 1





_____ 1000 = 9


Løsningsforslag 2


3600

_____ 1000 = 3,6.


2,5 · 3,6 = 9



v = st





1 m/s = 3600 m

1000 s

= 3,6 km/h

Vei (m)

6 26

Tid (s)

1 4

12

2

18

3

32

5

Eksempel 23

1 km/h =

1

___

3,6 m/s






Løsningsforslag 1





_____ 1000 = 9


Løsningsforslag 2


3600

_____ 1000 = 3,6.


2,5 · 3,6 = 9



v = st





1 m/s = 3600 m

1000 s

= 3,6 km/h

Vei (m)

6 26

Tid (s)

1 4

12

2

18

3

32

5

Kapittel 5 • Sannsynlighet og kombinatorikk 261

Aktivitet

Elev 1 Elev 2 Elev 3

Fordeling av drops

Arbeid sammen i grupper på tre.Hvordan kan sju drops fordeles mellom tre elever hvis alle skal få minst ett hver?

Dere trenger• plastbrikker som «drops»• papir og blyant

Fremgangsmåte1 Fordel dropsene/plastbrikkene mellom dere.

Fordel de sju dropsene slik at alle får minst ett drops hver.

2 Lag en systematisert tabell som viser alle de ulike måtene å fordele sju drops på.

3 Hvor mange ulike fordelinger finner dere?

4 Bruk oversikten i tabellen deres. Finn sannsynligheten for at elev 1 får fem drops. Finn sannsynligheten for at elev 2 bare får ett drops. Finn sannsynligheten for at elev 3 får mer enn fire drops. Finn sannsynligheten for at elev 1 og elev 2 til sammen får færre drops enn elev 3. Finn sannsynligheten for at elev 2 får flere enn to drops.

5 Lag to egne sannsynlighetsoppgaver til tabellen deres. Bytt oppgaver med en annen gruppe.

Varianter

• Fordel de sju dropsene på flere elever.• Fordel flere drops.• Finn en sammenheng mellom hvor mange ulike kombinasjoner det er

av antall drops og antall elever som deler.

Kort sagt oppsummerer det faglige innholdet i kapitlet ved å vise eksempler tilknyttet hvert av læringsmålene. Når elevene har kommet hit, er det naturlig å gjen-nomføre midttesten, foreta en egenvurdering og sette seg mål for det videre arbeidet.

Smart Vurdering midtveistest hjelper eleven og læreren til å sette mål for den siste delen av arbeidet med et kapittel. Elevene og læreren kan sammen vurdere hvilke områder som er forstått og hvilke deler av kapittelet og hvilke oppgaver fra Bli bedre eleven trenger å arbeide mer med.

Bli bedre er oppgaver som skal brukes til repetisjon og overlæring. Når elevene har gjennomført Smart Vurdering midttest har de et bilde av hva de fremdeles trenger å jobbe med, det er derfor ikke naturlig at alle elevene skal gjøre alle oppgavene i denne delen. Noen vil måtte konsentrere seg om ett eller to delområder, mens andre bør jobbe på et bestemt nivå innen flere områder. Det er naturlig å kombinere arbeid i denne fasen med bruk av oppgaver fra oppgavebokas del Blandede oppgaver.

Tren tanken inneholder varierte problemløsningsoppgaver der elevene i større grad må vise sammensatt kompetanse og kreativitet.

Maximum 9238

Kort sagt

Du skal kunne Eksempel Løsningsforslag

måle og beregne omkretsen av kjente geometriske figurer

a Finn omkretsen av rektanglet.

b Finn omkretsen av trekanten.

a O = 2 · l + 2 · b = 2 · 3 cm + 2 · 2 cm = 10 cm

b Omkrets = summen av sidene O = 3 cm + 5 cm + 6 cm = 14 cm

måle og beregne arealet av kjente geometriske figurer:

kvadratrektangelparallellogramtrekanttrapes

a Finn arealet av parallellogrammet.

b Finn arealet av trekanten.

c Finn arealet av trapeset.

a A = 3 cm · 2 cm = 6 cm2

b A = 4 cm · 2 cm

________ 2 = 4 cm2

c A = (a + b) ∙ h

_______ 2

= (4 cm + 3 cm) ∙ 2 cm

_____________ 2

= 7 cm2

3 cm

2 cm

6 cm

5 cm3 cm

4 cm

2 cm

4 cm

3 cm

2 cm

3 cm

2 cm

Maximum 960

Bli bedreProsent

1.122 Regn i hodet.

a 12,5 % av 160

b 75 % av 48

c 3 av 15 som prosent

d 23 av 92 som prosent

e 100 % når 40 % er 60

f 12,5 % når 75 % er 81

1.123 Hvilken utregning nedenfor til venstre gir resultatet til høyre?

1 Dele tallet på 5

2 Gange tallet med 1

___ 43 Doble tallet

4 Dele tallet på 10

5 Gange tallet med 1,1


___ 2

A 25 % av tallet

B 50 % økning

C 90 % reduksjon

D 10 % økning

E 20 % av tallet

F 100 % økning

1.124 Ved et lønnsoppgjør stiger lønningene i et firma slik tabellen viser:

Stilling Gammel årslønn (kr) Ny årslønn (kr)

Direktør 790 000 813 700

Sekretær 295 000 305 000

Avdelingsleder 480 000 498 000

Fagarbeider 325 000 338 000

a Hvilken stilling fikk det største kronetillegget?

b Hvilken stilling fikk det største prosentvise tillegget?

1.125 Verdien av et maleri steg med 250 % da maleren ble kjent. Maleriet kostet 4000 kr før.

Hva er verdien til maleriet nå?


Tren tanken

3.159 Du har to timeglass. Det ene timeglasset måler nøyaktig 7 minutter, det andre er større og måler nøyaktig 11 minutter.

Forklar hvordan du kan måle nøyaktig 15 minutter ved å bruke disse to timeglassene.

3.160 Du har to målebegre som ikke har målestreker per desiliter. Når målebegrene er fulle, rommer de 5 dL og 3 dL.

Forklar hvordan du ved hjelp av disse to målebegrene kan fylle opp nøyaktig 7 dL i en liten bøtte.

3.161 Du har to timeglass. Det ene timeglasset måler nøyaktig 4 minutter, det andre er større og måler nøyaktig 7 minutter.

Forklar hvordan du kan måle nøyaktig 9 minutter ved å bruke disse to timeglassene.

3.162 Fiskeren kom hjem og fortalte kona hvor stor fisk han hadde fått. Hodet var 15 cm, og halen var like lang som halve kroppen pluss hodet. Hele kroppen var like lang som halen og hodet til sammen.

Finn ut hvor stor fisken var.

3.163 En gruppe lærere og en gruppe foreldre var samlet. Gjennomsnittsalderen for foreldrene var 50 år og for lærerne 35 år. Gjennomsnittsalderen for alle til sammen var 40 år.

Hva er forholdet mellom antall foreldre og antall lærere?

3.164 Arthur har ni like store gullmynter, men får vite at en av dem er falsk.

Hvordan kan han med bare to veiinger på en skålvekt finne ut hvilken mynt som er falsk?

OppgavebokMaximum Oppgavebok tilfører flere og enda mer varierte oppgaver. Hele oppgaveboka er merket med de samme fargekodene som brukes i grunnboka. Hvert kapittel er delt i to hoveddeler. Først finner du en del med fargemerkede oppgaver direkte tilknyttet delkapitlene og rekkeføl-gen i grunnboka. Disse kan brukes parallelt med grunnboka til for eksempel lekser. I Lærerens bok finner du henvisning til disse oppgavene på hvert oppslag. Den siste delen av hvert kapittel innehol-der Blandede oppgaver, og er tenkt brukt i kombinasjon med Bli bedre i grunnboka, eller til repetisjon.

Lærerens bokMaximum Lærerens bok er den boka du holder i hånda nå. Gjennom Lærerens bok får du forklaringer og begrunnelser til hvordan grunnboka er tenkt brukt. Lærerens bok følger grunnboka side for side, og gir deg også gode tips til hvordan lærestof-fet kan forenkles, og hvordan du kan gi de sterkest presterende elevene nye utfordringer. Du får også mange tips til flere læringsaktiviteter. Det er fra forfatternes side ikke ment at alle skal gjøre alt, men at du som lærer skal ha et rikt materiale å ta utgangs-punkt i når du skal tilrettelegge for god læring.

Digitale komponenterSmartbok er en digital versjon av læreboka som kan brukes på flere ulike plattformer. Det digitale formatet gjør en rekke tilleggsfunk-sjoner mulig. Elevene kan notere og markere i teksten, få opplest tekst og forstørret skrift.

Smart tavle er et digitalt verktøy til bruk i undervisningssituasjonen. Verktøyet er ideelt til bruk på en digital tavle, men kan også brukes på lerret og styres med ordinær mus.

SMARTBOK

Maximum 9 Lærerens bokVI

Tavlerommet har bakgrunner som kan dras frem. Ulike typer ruteark, koordinatsystem og for eksempel prikkark.

I tillegg finnes alle spillbrett og utstyr for å kunne spille spillene i grunnboka på tavla.

Med knappen La stå kan du forbe-rede undervisningen ved å ta frem alt du trenger i bokrommet og tavlerommet og lagre det så det er klart til matematikktimen du skal ha neste dag.

Smart Vurdering, digitale før- og midttester gir både eleven og læreren raske tilbakemeldinger om ståsted og utvikling. Testene er en del av den underveisvurderingen elevene skal ha, og er ikke ment å være karaktergivende.

1. Tall og tallregning

Bakgrunner

1. Tall og tallreTT egning

y-akse

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 1-1

-2

-3

y-akse

9

y-akse

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

7

8

9

10

x-aksee

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

7

8

9

x-aksea

Ba

0

0

y-akse

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-4

1

2

3

4

5

6

7

8

4 -3 -2 -1 1-1

-2

-3

akgrunner

0

0

y-akse

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0

0

y-akse

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x-akse

x-akse

158


Spill

T1. all og tallregningTT

Spill

KOM NÆRMESTNULL

La stå

SMARTVURDERING

LærerrommetDette er et nettsted som gir deg tilgang til en rekke ressurser som det vises til i denne boka. På lærerrom-met finner du:• Kopioriginaler• Fasit til Grunnbok og Oppgavebok• Tilgangsstyring til digitale tester• Papirversjoner av før- og midttes-

ter• Kapittelprøver og halvårsprøver i

redigerbart format.• Fagartikler• Alternative undervisningsopp-

legg• Digitale kurs innen temaene

regneark og dynamisk geometri

Via lærerrommet er du også velkom-men som aktiv bruker av Maximum, og til å stille spørsmål og diskutere problemstillinger tilknyttet bruken av Maximum eller matematikkundervis-ning generelt.

www.gyldendal.no/maximum

Underveis- og sluttvurdering

All vurdering av elever på ungdoms-trinnet helt frem til avslutning på 10. trinn, er underveisvurdering. Utdanningsdirektoratet skriver:

I forskrift til opplæringsloven brukes begrepet underveisvurdering og sluttvurdering. Formålet med underveisvurdering er å fremme læring, utvikle kompetanse og gi grunnlag for tilpasset opplæring. All vurdering i fag som foregår i løpet av opplæringen fram til slutten av 10. årstrinn og i løpet av opplæringen på årstrinn i videregående opplæring defineres som underveisvurdering. Underveisvurdering er en rettighet for alle elever og lærlinger.

Underveisvurdering skal gis løpende i opplæringen som veiledning. Gjennom underveisvurderingen får lærer og elev informasjon om elevens faglige progresjon. Informa-

Lærerrom

Smart tavle har to delverktøy; bokrommet og tavlerommet. I bokrommet kan du hente opp bokoppslagene på skjerm. Verktøyet gir deg mulighet til å isolere og fremheve en enkeltoppgave, et eksempel eller en annen del av oppslaget. Deretter kan du notere og markere direkte i teksten.

I tavlerommet finner du mange illustrasjoner, bilder og figurer som kan benyttes til konkretisering, diskusjon.

I tavlerommet finner du begreper med ordforklaringer som kan brukes f.eks. til å lage tankekart.

Det finnes en mengde interaktive elementer som terninger som kan snurre, spinnere, kalkulatorer og tallinjer.

SMARTTAVLE


Bilder


Ord

regneart overslag faktor rektangel primtall

negativ potens grunntall eksponent

RektangelEt parallellogram der allevinklene er 90º.

158


Interaktive elementer

T1. aTTall og tallregning

0-1-2 21

g

3

4

5 1

2

5 140

°C °F

3580

Interaktive elemente

-2 2

r

- 0-1 1

0000000000000000000000000000000000000000000003

4 24444444444444444444444440

333333333333333333335000000008080808080808080808080

VII

sjon om hva elever og lærlinger kan og hva de må jobbe mer med, kan brukes til å tilrettelegge opplæringen etter deres ulike behov. Når under-veisvurdering brukes til å fremme elevers læring og tilpasse opplærin-gen er det vurdering for læring.

I Maximum legger vi opp til følgende vurderingsforløp:

Hvert kapittel starter med Smart Vurdering digital førtest. Eleven og læreren får en rask tilbakemelding på om forutsetningene for å gå i gang med kapitlet er til stede. I førtesten møter elevene bare oppgaver og begreper som forutsettes kjent. Det er for eksempel en forutsetning å mestre brøk og desimaltall når en skal lære å finne sannsynlighet. Derfor testes eleven i brøk i førtes-ten til kapittel 5.

Læreren kan ta ut resultatene fra Vokal og vurdere hvilke tilbakemel-ding elevene skal få. Hver elev får en grei oversikt ved fargekoding fra grønn til rød på hvert deltema. Grønn betyr da at forkunnskapene er gode for tema, gult at her er det en del forkunnskaper, rødt betyr at forkunn-skapene er mangelfulle.

Fagområder

Fornavn

Elisabeth

Eirik

Per Evald

Stine

Ingeborg

Markus

Shayla

Chris Emil

Åsa

RagnhildJonathan

Sindre

Magnus

Marit

Linnea

Vinkler Symmetri Koordinatsystemet Hele prøven

7 5 5 17

3 3 4 10

4 2 1 7

4 2 5 11

5 3 4 12

0 3 2 5

3 2 4 9

2 3 4 9

6 2 1 9

5 3 2 10

6 2 2 10

5 3 4 12

5 3 4 12

3 3 4 10

7 4 5 16

Når læringsarbeidet går mot slutten, får elevene Smart Vurdering digital midttest. En del av oppgavene er like eller ligner på oppgavene fra førtesten, men nå blir også eleven testet i læringsmålene i kapitlet. Gjennom Smart Vurdering digital midttest får eleven og læreren et bilde på fremgang og om målene er nådd. På dette tidspunktet har det vært liten tid til fordypning og overlæring. På bakgrunnen av resultatet på midttesten, legger eleven (under veiledning av læreren) en plan for det videre arbeidet. Hvis måloppnåelsen så langt er høy, er det naturlig å kun jobbe med oppgaver merket med grønt nivå fra Bli bedre og Blandede oppgaver i oppgave-boka. Hvis eleven mestrer noen delområder godt og andre mindre godt, kan han velge å jobbe med bestemte temaer i Bli bedre. Elever som scorer svakt på midttesten, bør jobbe videre med det mest grunnleg-gende, og derfor konsentrere seg primært om umerkede og blå oppgaver i Bli bedre, og blått nivå i Blandede oppgaver i oppgaveboka.

Det understrekes og dokumenteres gjennom forskning at elevene må vite hva som er målene for opplærin-gen for å kunne ta beslutninger som støtter egen utvikling og læring. De skal ikke bare få vite hva de skal gjøre, men også hva de skal lære. Derfor er det viktig å kommunisere målene på en måte som elevene forstår. Noen ganger er det vanske-lig, fordi målene inneholder begreper som elevene skal lære. Da kan det være lurt å jevnlig snakke om målene underveis i kapitlet i tillegg til å ta frem målene etter at et kapittel er gjennomgått. La elevene øve på å lage seg egne mål for arbeidet. Hvis målene gjøres til elevenes egne mål, vil motivasjonen for å nå målene øke. Smart Vurdering digital førtest og midttest i hvert kapittel skal hjelpe både lærerne og elevene å gjøre gode valg for hvordan arbeidet i kapitlet skal planlegges.

Egenvurdering er viktig for å bli bevisst på egen kompetanse. Tren elevene i å vurdere seg selv, både ut fra resultater på prøver, og i forhold til målene. Ut fra både egenvurdering og lærerens vurdering skal elevene

få råd om hvordan de kan forbedre seg.

Når elevene bestemmer seg for en plan for videre arbeid etter Smart Vurdering digital midttest, gjør de en egenvurdering med utgangspunkt i noen konkrete spørsmål:A. I hvilken grad er jeg fornøyd med

resultatet på midttesten sam-menlignet med målene mine i faget?

B. Viser midttesten at det er noen bestemte emner jeg bør jobbe mer med, i så fall hvilke?

C. Hvilket faglig nivå er det realistisk å nå for dette emnet nå?

La elevene skrive ned en konkret arbeidsplan. Sjekk at den er både optimistisk og realistisk. Ta en ekstra samtale med elever som eventuelt ser ut til å underyte. Denne proses-sen vil ta litt tid de første gangene, men gå stadig raskere når elevene venner seg til arbeidsmåten.

Elevene skal få svar på spørsmålene: Hvor skal jeg? Hvor er jeg i min læringsprosess? Hva er neste skritt? Svar på det siste spørsmålet kalles for fremovermelding. Tilbakemeldin-ger som peker fremover har størst effekt for elevenes læring hvis de gis hyppig i den daglige undervisningen. Det kan gjøres ganske enkelt ved at elevene daglig skriver på et elektro-nisk skjema eller et papirskjema:

To ting jeg har lært i dag:

En ting jeg lurer på:

Når du leser hva du skriver, kan du føye til en ny linje:

Forslag til hva du kan gjøre for å forstå det du lurer på:

Utdanningdirektoratet har sider som gir gode eksempler på vurderings-skjemaer og andre tips i vurderings-arbeidet:

http://www.udir.no/Vurdering-for-laring/Vurderingsverktoy/

I underveisvurderingen vil det også være prøver og oppsummerende vurderinger (vurdering av læring) som gir informasjon om kompetanse

Maximum 9 Lærerens bokVIII

Det er viktig å formidle til elevene at alle karakterer de får underveis i opplæringsløpet er underveisvurde-ringer, at de stadig har mulighet til å utvikle seg og at det derfor til enhver tid vil bli lagt mest vekt på siste måling som tester alt de har lært så langt. Den avgjørende prøven for sluttvurdering, vil være årsprøven på 10. trinn. Denne vil være så lik en skriftlig eksamen som mulig.

Bokmål

HelårsprøveVår

Prøvetid: Inntil 5 klokketimer.Prøven består av to delprøver:

Delprøve 1 gjennomføres uten andre hjelpemidler enn vanlige skrivesaker, passer, linjal med centi-metermål og vinkelmåler.

Du skal skrive svarene rett inn i oppgaveheftet.Der det er oppgitt føringsruter, skal du vise fullstendig utregning. Du kan bruke inntil 2 klokketimer på delprøve 1.

Delprøve 2 føres oversiktlig på egne ark. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Bruk blå eller svart penn på begge delprøvene.Konstruksjoner som utføres uten digitale hjelpemidler, føres med blyant.

9

på et gitt tidspunkt. Det vil si at det er hvordan informasjonen fra en prøve brukes som avgjør hvilken hensikt prøven får.

Smart Vurdering digital midttest i Maximum skal ikke være karakter-givende.

Underveis i opplæringsløpet må elevene ha noen tester som er karaktergivende. Læreren må selv vurdere hvor mange vurderingspunk-ter som er ønskelig. Det er ikke sikkert det er nødvendig med mer enn to målepunkter per semester. Maximum tilbyr papirbaserte kapittelprøver og teminprøver som kan brukes til dette formålet. Kapittelprøvene er beregnet å ta ca. 40 minutter, og er laget i et redigerbart format, slik at de eventuelt kan settes sammen til sjeldnere prøver à 80 minutter. Hvorvidt elevene får bruke hjelpe-midler på hele eller deler av en kapittelprøve, vil variere ut fra tema. Terminprøvene bygges opp i tråd med gjeldende eksamensmodell, slik at elevene kan være godt trent på eksamensformen den dagen dette blir aktuelt.

Kapittelpr ø ve 1

Grunnbok

Bruk blå eller svart penn. Tidsramme ca. 40 minutter.

Delprøve 1: Totalt 30 poeng. Ingen hjelpemidler tillatt. Alle svar føres på oppgavearket.

Delprøve 2: Totalt 8 poeng. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator.

Vis utregning på alle oppgaver og før dem ryddig på eget innføringsark.

Bokmål

9

IX

Maximum 9 Lærerens bokX

Kompetansemål Læringsmål

Mål for opplæringa er at eleven skal kunne Her skal du lære å

Kap.9.1

Tal og algebra• samanlikne og rekne om mellom heile tal,

desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, uttrykkje slike tal på varierte måtar og vurdere i kva for situasjonar ulike representasjonar er formålstenlege

• rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk

• bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar

Prosent• regne med prosent og promille, med og uten digitale

hjelpemidler• tolke og regne med prosentpoeng

Potenser og kvadratrot• regne med potenser• forklare hva kvadratroten til et tall er• finne verdien av kvadratroten til et tall• kjenne igjen og bruke kubikktall• forklare hvordan totallssystemet er bygd opp

Tierpotenser og tall på standardform• forklare hvordan titallssystemet er bygd opp• skrive og regne med store og små tall på standardform• regne med tierpotenser i noen praktiske situasjoner

Tallmengder• sortere tallene på tallinja i forskjellige tallmengder• kjenne igjen rasjonale, irrasjonale og reelle tall

Kap.9.2

Funksjonar• lage funksjonar som beskriv numeriske

samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar

• identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og kvadratiske funksjonar og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane

Lineære funksjoner – rette linjer• kjenne igjen og finne formler for rette linjer• kjenne igjen situasjoner fra dagliglivet som kan

beskrives ved hjelp av lineære funksjoner• lage verditabell og tegne graf ut fra formelen for rette

linjer• bestemme om et punkt ligger på en gitt rett linje

Empiriske og ikke-lineære funksjoner• beskrive og kjenne igjen funksjoner• lage og bruke tabeller med empiriske data til å tegne

funksjoner i et koordinatsystem• beskrive situasjoner fra dagliglivet med funksjoner

Kap.9.3

Måling• gjere overslag over og berekne lengd, omkrins,

vinkel, areal, overflate, volum, tid, fart og massetettleik og bruke og endre målestokk

• velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling og drøfte presisjon og måleusikkerheit

Regning med tid• gjøre om timer, minutter og sekunder til desimalform• beregne tidsforskjell• regne om mellom tidssoner

Målenheter• bruke riktige målenheter• gjøre om mellom ulike målenheter for lengde, areal og

volum• regne med og gjøre om mellom enheter for masse• velge og bruke riktige måleinstrumenter

Nøyaktighet og avrunding• vurdere hvor nøyaktig et svar er, og bruke regler for

avrunding• anslå feil ved målinger• bruke måleinstrumenter og vurdere feilkilder ved

måling i praksis

Forholdsregning• gjenkjenne og regne med forholdstall i praktiske

situasjoner• regne med forholdstall i blandinger• regne med vei, fart og tid• regne med tetthet• regne med valuta

Kapittel 1 • XI

Kompetansemål Læringsmål

Mål for opplæringa er at eleven skal kunne Her skal du lære å

Kap.9.4

Geometri• undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og

tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar

• utføre, beskrive og grunngje geometriske konstruksjonar med passar og linjal og dynamisk geometriprogram

Måling• gjere overslag over og berekne lengd, omkrins,

vinkel, areal, overflate, volum, tid, fart og massetettleik og bruke og endre målestokk

• velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling og drøfte presisjon og måleusikkerheit

• gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum

Areal og omkrets• måle og beregne omkretsen av kjente geometriske

figurer• måle og beregne arealet av kjente geometriske figurer

Sirkelens geometri• finne tilnærmede verdier for konstanten π (pi)• regne ut areal og omkrets av sirkler• konstruere rettvinklete trekanter ved å bruke sirkelens

egenskaper• konstruere tangenter til sirkler• bruke konstruksjon til å finne sentrum i en sirkel

Tredimensjonale geometriske figurer• kjenne igjen og beskrive rette prismer, pyramider,

kjegler, sylindrer og kuler• måle og beregne overflate og volum av

tredimensjonale figurer• regne med ulike mål for volum

Kap.9.5

Statistikk, sannsyn og kombinatorikk• finne og diskutere sannsyn gjennom

eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spel

• beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal

• drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem

Enkle sannsynligheter• beregne sannsynlighet i enkle, dagligdagse situasjoner• uttrykke sannsynlighet som brøk, desimaltall og

prosent• se forskjellen på en uniform og en ikke-uniform

sannsynlighetsmodell

Kombinatorikk• bestemme utfallsrommet for en hendelse• skille mellom uavhengige og avhengige hendelser• beregne antallet kombinasjoner av hendelser• ordne data i krysstabeller og i valgtrær• sortere data i et venndiagram• finne union, snitt og komplement i en datamengde

Maximum 9 Lærerens bokXII

Emneoversikt fordelt på kapitler på trinn8. trinn 9. trinn 10. trinn

Kapittel 1 Tall og tallregning– potenser– egenskaper ved tall– faktorisering, delbarhet– regnerekkefølge– hoderegning og overslag– negative tall

Tall og tallregning– potenser med negative

eksponenter– tall på standardform– irrasjonale tall,

kvadratrøtter– prosentpoeng– mer enn 100 prosent

Personlig økonomi– budsjett og regnskap– lån og sparing– verdiendring

Kapittel 2 Geometri– punkt, linje, vinkel– klassisk konstruksjon– geometriske steder– måling og beregning av

vinkler– koordinat-systemet– symmetrier, i og utenfor

koordinatsystemet

Funksjoner– funksjons- og variabel-

begrepene– ulike representasjoner

for funksjoner (tabeller, grafer, formler, tekst) f(x)

– lineære funksjoner, stigningstall og konstantledd

– ekstremal-punkter– funksjoner og grafer som

matematiske modeller

Geometri og design– trekantberegning– kart og målestokk– perspektivtegning– teknologi, kunst og

arkitektur

Kapittel 3 Brøk, desimaltall, prosent– regning i hodet og på

papiret– de fire regneartene med

brøk og desimaltall– Største felles faktor og

minste felles multiplum– oversette mellom brøk,

desimaltall og prosent– avgjøre størrelsesforhold

Måling– avrunding og gjeldende

siffer– forholdsregning– regning med tid– regning med

sammensatte enheter

Algebra og likninger– bokstavregning– ulikheter– likningssystemer

Kapittel 4 Statistikk– innsamling og

presentasjon av data– sentralmål og

spredningsmål

Sannsynlighet– venndiagram, union, snitt

og komplement– sannsynlighets-

beregning ved opptelling– krysstabeller og valgtrær– store talls lov– permutasjoner, utvalg

med og uten tilbakelegging

Funksjoner– kvadratiske funksjoner– omvendt proporsjonale

størrelser

Kapittel 5 Algebra og likninger– tallmønster,

generalisering– bokstavregning med og

uten parenteser– lineære likninger,

oppstilte og uoppstilte

Geometri– areal og omkrets– sirkelgeometri– flere geometriske steder– tredimensjonal geometri,

egenskaper og beregninger

Sannsynlighet– sammensatte hendelser– eksperimentering og

simulering– sannsynlighet i spill

Kapittel 1 • XIII

Forslag til årsplan – Maximum 9Uke nr. Kapittel Tema Vurdering

34 1 Tallregning Prosent Førtest kap. 1

35

36 Potenser og kvadratrot

37 Tierpotenser og tall på standardform

38

39 Tallmengder Midttest kap. 1

40 HØSTFERIE

41 Bli bedre

42 Bli bedre/Tren tanken Ev. kapittelprøve 1

43 2 Funksjoner Lineære funksjoner – rette linjer Førtest kap. 2

44

45 Empiriske og ikke-lineære funksjoner

46

47 Midttest kap. 2

48 Bli bedre

49 Bli bedre/Tren tanken Halvårsprøve

50 3 Mål og enheter Regning med tid Førtest kap. 3

51

52 JULEFERIE

1 JULEFERIE

2 Nøyaktighet og avrunding

3

4 Sammensatte enheter og forholdstall

5 Midttest kap. 3

6 Bli bedre


8 VINTERFERIE

9 4 Geometri Areal og omkrets Førtest kap. 4

10 Sirkelens geometri

11

12 Tredimensjonale geometriske funksjoner

13 Midttest kap. 4

14 PÅSKE

15

16 Bli bedre


18 5 Sannsynlighet og kombinatorikk Enkle sannsynligheter Førtest kap. 5

19

20 Kombinatorikk

21 Midttest kap. 5

22 Bli bedre

23 Bli bedre/Tren tanken Årsprøve 9

24

25

Maximum 9 Lærerens bok6

TallregningTallene er grunnlaget for matematikken . Å kunne uttrykke mengder og størrelser, og å kunne gjøre beregninger på grunnlag av dette, er en forutsetning for vår kultur . I dette kapitlet skal vi regne med mange slags tall på mange slags måter, både med og uten datamaskinen som hjelpemiddel .

1

TallregningKapitlet bygger videre på innhold fra Maximum 8, Kapittel 1 og Kapittel 3. Kunnskap om tall utvides til alle reelle tall. Nye tallformater, som promille, standardform og kvadratrot, innføres. Elevene skal utvikle forståelse for at tallstørrelser uttrykkes på ulike måter avhen-gig av situasjon, og at det kan være ulike tradisjoner i ulike fag.

Forkunnskaper• Sammenhengen mellom brøk,

prosent og desimaltall• Plassverdisystem – titallssystemet• Potenser som skrivemåte for

gjentatt multiplikasjon

Gjennomfør den digitale førtesten i Smart Vurdering. Testen kartlegger hvilke ferdigheter elevene har i forkant av arbeidet med kapitlet. Resultatene kan brukes for å planlegge læringsar-beidet med din klasse. Prøvene kartlegger hvilke forkunn skaper elevene har som kan være viktige for innlæringen av stoffet i dette kapitlet.

Faglige sammenhengerProsentregning bygger direkte videre på elevenes forkunnskaper fra Maximum 8, Kapittel 3. Det er vesentlig at de forstår at promillereg-ning foregår nøyaktig som prosent-regning, ved at det handler om tusendeler i stedet for hundredeler. Bruken av kvadratrot vil være viktig i behandlingen av enkle andregradslik-ninger på 10. trinn, særlig knyttet til bruk av Pytagoras læresetning. I delkapitlet Tallmengder illustreres fagteksten med bruk av venndia-gram. Begrepet venndiagram vil bli nærmere belyst i Kapittel 5, Sann-synlighet og kombinatorikk.

Praktisk anvendelseProsent- og promilleregning knyttes i stor grad til situasjoner fra dagligliv, økonomi og media. Prosentpoeng er et begrep som ofte brukes i forbin-delse med meningsmålinger, valg og økonomi. Behandlingen av totallssys-temet er knyttet til forståelse av begrepet digital og av hvordan digital lagring og dataoverføring er kodet.

Bruk av store og små tall skrevet på standardform er særlig aktuelt innen ulike naturvitenskapelige fagområ-der, som blant annet astronomi, biologi og kjemi.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterI tillegg til å få lesetrening i fagtek-ster, eksempler og oppgavetekster, skal elevene lære å lese nye former for diagrammer, symboler og figurer. Et partibarometer uttrykker en endring i form av prosentpoeng. Venndiagram brukes til å sortere tall i ulike tallmengder. Tallmengder symboliseres av bokstaver i en særskilt utførelse, og kvadratrotteg-net vil være et nytt symbol for elevene. Det er viktig at de forstår at enkelte symboler, slik som kvadratrot-tegnet, bare har verdi sammen med tall eller variabler, og at de dermed ikke gir mening alene. Elevene må også kunne lese korrekt tallverdi, uansett hvilken skriveform tallet har.

Ser de tallet 104, skal de vite like godt at dette er «ti tusen» som om de ser tallet 10 000. Når tallene blir veldig store, er det ikke like lett å si hva det heter, og det er heller ikke nødvendig.

Muntlige ferdigheterDiskuter oppgaver og løsninger med elevene, og la elevene diskutere med hverandre. En del enkeltoppgaver er laget spesielt med tanke på samtale, og ellers er det viktig at elever får diskutere løsningsstrategier med hverandre.

Digitale ferdigheterI dette kapitlet skal elevene jobbe med å utvikle digitale ferdigheter knyttet til bruk av regneark som verktøy. Å utnytte dynamikken i et regneark ved bruk av gode formler med cellereferanser blir særlig vektlagt. I tillegg er det flere situasjoner der det er aktuelt for elevene å finne data fra ulike kilder på Internett og selv bearbeide og


ProsentpoengPromilleKvadratrotKubikktallTallsystemBinærStandardformRasjonalIrrasjonal

Matematikkord

Pia skal ut og gå på ski. Hun kan velge mellom to løyper. Månestien er 9 km + 40 % av sin egen lengde, og Nattfrostlia er 4 km + 75 % av sin egen lengde. Pia vil velge den lengste løypa.

Hvilken av løypene er det?

?

presentere disse. I den forbindelse er det vesentlig å vektlegge kildekritikk.

Skriftlige ferdigheterSkriveferdigheter er knyttet til korrekt symbolbruk på samme måte som leseferdigheter. Matematikk er et eget, og svært presist, språk. For å kunne uttrykke seg gjennom det matematiske symbolspråket kreves det innsikt både i symbolenes betydning og de matematiske sammenhengene symbolene brukes i. I mange av tekstoppgavene vil elevene ha nytte av å tegne modeller i form av figurer eller grafer som visualiserer situasjonen.

RegneferdigheterGjennom hele kapitlet vektlegges å utvikle elevenes regneferdigheter. Det å ha regneferdigheter handler også om å kunne vurdere hvilke hjelpemidler som er hensiktsmessige i ulike situasjoner, og om å kunne vurdere rimeligheten av svar.

Faglig innhold• Introduksjon til temaet

tallregning, og dele med prosent

KommentarerMatematikkordBruk matematikkordene til å kart-legge elevenes forkunnskaper og eventuelle misoppfatninger.

Skriv opp matematikkordene slik at alle elevene ser dem. Del ut tre papirlapper til hver elev: en grønn, en gul og en rød. La elevene vise med tegn for hvert ord om de er:– Grønn – sikker på hva ordet betyr– Gul – har en idé, men er litt

usikker på hva ordet betyr– Rød – husker ikke eller har aldri

hørt om ordet

Skriv opp statistikken for hvert ord, og la en «grønn» elev prøve seg på å forklare for klassen. La elevene vurdere om de som gruppe har mange eller få nye begreper å lære.

Utforskende oppgaveDette er en klassisk problemløsnings-oppgave som enklest lar seg forklare gjennom å tegne en modell. Oppfor-dre derfor elevene til å tegne situasjonen for en av løypene først.

Månestien:

9 km 40 %

Når figuren er på plass, er det ikke vanskelig å se at 9 km må tilsvare 60 %, noe som gjør 20 % til 3 km og 40 % til 6 km. Dermed er hele løypa 15 km.

Ved å lage en liknende figur for Nattfrostlia kan elevene sammen-likne lengden av de to løypene.Løsning: Nattfrostlia er 16 km lang, og er dermed den lengste av løypene.

ForenklingHer er en alternativ formulering av oppgaven:Når Pia har gått 9 km, har hun gått 60 % av løypa Månestien. Hvor lang er Månestien?Når Pia har gått 4 km, har hun gått 25 % av løypa Nattfrostlia. Hvor lang er Nattfrostlia?

Mer utfordring / Flere aktiviteterFinn 100 %Utstyr: Fyrstikker, tellebrikker eller liknende og konvolutterGjør ferdig konvolutter med et antall fyrstikker i. Skriv på hver konvolutt hvor mange fyrstikker det opprinnelig er i, og hvor mange prosent disse fyrstikkene utgjør. Elevene jobber i par og skal fylle opp konvoluttene til 100 %. La så hvert elevpar bytte konvolutt med et annet par og kontrollere for hverandre.Forslag:12 fyrstikker – utgjør 60 % – skal fylles til 207 fyrstikker – utgjør 25 % – skal fylles til 2827 fyrstikker – utgjør 75 % – skal fylles til 3636 fyrstikker – utgjør 80 % – skal fylles til 456 fyrstikker – utgjør 20 % – skal fylles til 30


Mål

Maximum 98

Prosent


• regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler• tolke og regne med prosentpoeng

Når du regner med prosent, regner du egentlig med brøk. Siden prosent betyr «av

hundre», vet du at 1

____ 100 = 1 %. Når vi regner prosent, regner vi alltid prosent av noe.

Derfor er prosenten avhengig av hva den regnes av.

1.1 Beskriv den fargede delen av figuren som brøk, som desimaltall og som prosent.

a

b

c

d

e

1.2 Tegn figurer tilsvarende figurene i 1.1. Hvor mye er

a halvdelen av en halv

b en femdel av en firedel

c en firedel av en femdel

d 50 % av 50 %

e 20 % av 25 %

f 25 % av 20 %

som 10 % eller kjenne igjen tallet som et multiplum av en kjent stambrøk. Hva velger elevene å gjøre? Kanskje de har helt andre løsningsstrategier?

1.4Skriftlig hoderegning er ment å vise hvordan hoderegningen foregår. Det er fort gjort for elevene å misbruke likhetstegnet i en slik sammenheng, fordi de tenker sekvensielt.

Hoderegningsstrategiene kan en skrive ned på mange ulike måter, men elevene bør unngå slikt som dette: 500 : 10 = 50 ∙ 4 = 200

Forslag til rett skrivemåte:10 % av 500 er 5050 ∙ 4 = 200

(Eller enklere: 10 % prosent av 20 eller 20 % av 10?) (Det blir ingen forskjell.)

Eksempel 1Eksemplet viser en bestemt hodereg-ningsstrategi. Utfordre elevene på alternative strategier, og diskuter hva som er mest effektivt.

1.3Få elevene med på å diskutere ulike løsningsstrategier. For å gjøre om fra brøk til prosent kan det være til hjelp for dem å tenke med utgangspunkt i stambrøkene. Når en vet at

1

__ 5 er 20 %, må

4

__ 5 være 4 ganger så mye, altså 80 %. For å gå fra prosent til brøk kan det noen ganger være lurt å skrive prosent som hundredeler og forkorte, eller kjenne igjen tidelene

KommentarerInnledningsvis repeterer vi sammen-hengen mellom brøk og prosent. Når en skal regne i hodet eller gjøre overslag, er det ofte enklere å se for seg for eksempel femdeler eller firedeler fremfor hundredeler.

1.2Oppgavene er laget parvis, slik at to og to oppgaver egentlig er samme oppgave, bare formulert henholdsvis med tekst og med tall.

Snakk med elevene om dette.Ser dere noen likheter mellom noen av oppgavene?Hvilke brøker i oppgavene tilsvarer hvilke prosenttall?Blir det forskjell på å regne x % av y % eller y % av x %?

Faglig innhold• Sammenhengen mellom

brøk og prosent• Hoderegningsstrategier

Utstyr• Terning


Oppgavebok

1.33

1.1

Eksempel 1


Hoderegning og overslag

Når du skal regne med prosent i hodet, kan det være lurt å tenke på prosent som brøk.

Finn 75 % av 300.

Løsningsforslag

Vi vet at 25 % er 1

___ 4 , da må 75 % være 3

___ 4 .3

___ 4 av 300 er halvparten av 300 pluss firedelen av 300.

Det blir: 150 + 75 = 225

1.3 Skriv prosent som brøk og omvendt.

a 40 %

b 3

___ 8

c 60 %

d 4

___ 5

e 2

___ 3

f 87,5 %

1.4 Regn i hodet. Forklar hvordan du tenker ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a 40 % av 500

b 66,7 % av 120

c 90 % av 60

d 75 % av 280

e 3 % av 900

f 8 % av 250

g 30 % av 15

h 80 % av 350

i 5 % av 190

1.5 En bok koster 250 kr. Du får 40 % rabatt.

Regn i hodet. Hvor mye må du betale for boka?

Vi forklarer hvordan vi tenker ved hjelp av skriftlig hoderegning.

rabatt det samme som prisavslag

0 ? 300

75 %50 %25 % 100 %

Femmer: Spilleren legger til 25 % av poengsummen han har.

Sekser: Spilleren legger til 50 % av poengsummen han har, og kan i tillegg få kaste en gang til om han vil.

All utregning skal foregå som hoderegning, men elevene noterer den nye poengsummen for hver runde. Alle svar rundes av til nærmeste hele tall etter vanlige avrundingsregler.

En spiller et avtalt antall runder eller et avtalt antall minutter før poen-gene telles opp. Den med høyest poengsum vinner.

Variant: Lag tilsvarende spill med mer utfordrende prosenttall.

ForenklingBruk tegninger eller konkreter, for eksempel brøkbrikker.

Mer utfordring / Flere aktiviteterProsentsjansespilletEt spill for tre-fire elever.Utstyr: En terningAlle spillerne starter med 100 poeng hver. Spillerne kaster terning, og regner etter følgende regler:Ener: Spilleren mister 50 % av

poengsummen han har.Toer: Spilleren mister 25 % av

poengsummen han har.Treer: Spilleren mister 10 % av

poengsummen han har.Firer: Spilleren legger til 10 % av

poengsummen han har.

eller500 : 10 = 5050 ∙ 4 = 200

Forklar for elevene at skriftlig hoderegning ikke tilfredsstiller alle krav til skriftlig regning i en vurde-ringssituasjon, men gir nyttige strategier til bruk i hverdagen.

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheterGod tallforståelse og gode hodereg-ningsstrategier er nær knyttet til grunnleggende regneferdigheter.

Muntlige ferdigheterElevene skal lære å sette ord på sin egen tankegang, gjennom å forklare hoderegningsstrategier for hveran-dre.


Aktivitet

Matto

Du trenger • papir og blyant

FremgangsmåteTegn et rutenett med 16 ruter, slik:

Del 1Læreren skriver 16 tall på tavla. Plasser tallene tilfeldig i rutenettet slik at det står ett tall i hver rute. Når hele klassen har gjort det, har dere hvert deres mattobrett som ikke er like.

Læreren leser opp 16 oppgaver i tilfeldig rekkefølge. Svaret på hver oppgave tilsvarer ett tall på mattobrettet ditt. Kryss av ruta med svaret på oppgavene etter hvert som læreren leser. Den som først har fire kryss på rad, vannrett, loddrett eller diagonalt, roper høyt: «MATTO!»

Den som først får Matto, har vunnet omgangen.

Del 2 Lag tre–fire forslag til nye mattooppgaver med svar. Læreren samler inn oppgavene til alle elevene i klassen og velger ut 16 oppgaver som dere spiller med.

Variant 1: Utvid mattobrettet til 25 ruter, bruk 25 oppgaver og spill til fem på rad.

Variant 2: Spill videre til fullt «bilde» og/eller «ramme».

Snakk med elevene om overslags-regning:Hvorfor er det viktig å kunne gjøre overslag? (For å finne et anslag i dagligdagse situasjoner uten hjelpemidler eller for å kontrollere rimeligheten av svar vi regner ut.)Hvordan runder vi av når vi gjør overslag? (Alltid før vi regner. I positive regnearter (pluss og gange) rundes tallene hver sin vei, i negative regnearter (minus og dele) rundes tallene samme vei.)

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheterOverslagsregning er knyttet til grunnleggende regneferdigheter.

Tre firedeler av 8016 % av 1620 % av 205 % av 572 % av 1504 % av 50Fire sjudeler av 5420 % mer enn 8075 % av 6415 % av 2040 % av 25

Side 11Overslag ble behandlet første gang på side 14 i Maximum 8, Lærerens bok. Avrundingsregler ved overslag skiller seg fra regler for å avrunde svar. Poenget med avrundingen er å gjøre det lett å regne samtidig som svaret ikke skal bli for unøyaktig.

KommentarerMattoSpillet har blitt presentert tidligere, i Maximum 8, Lærerens bok, side 12–13. Denne gangen er hodereg-ningsoppgavene basert på regning med brøk eller prosent.Bruk for eksempel oppgavene nedenfor.

16 tall i stigende rekkefølge: 1

__ 8 , 1

__ 4 , 2, 2,56, 3, 4, 9, 10, 18, 21, 36, 42, 48, 60, 96, 108

16 oppgaver som hører til disse tallene:Tre åttedeler av 4835 % av 12050 % av en firedel15 % av 605 % mer enn 20

Faglig innhold• Hoderegning og overslag

i prosentregning


Oppgavebok

1.34

1.23, 1.24

1.3

Eksempel 2


Når vi gjør overslag, avrunder vi tallene slik at de blir lette å regne med i hodet. Vi runder av tallene hver sin vei når vi ganger, og samme vei når vi deler.

Omtrent hvor mye er 42 % av 1213?

Løsningsforslag

Vi runder ett tall ned og ett tall opp siden vi skal gange:

42 % ≈ 40 % og 40 % = 2

___ 5

1213 ≈ 1250

1 ___ 5 av 1250 = 250. Da er

2 ___ 5 av 1250 = 500.

42 % av 1213 ≈ 500

47 av 118 spillere i en håndballturnering sliter med kneskade. Omtrent hvor mange prosent av spillerne har kneskade?

Løsningsforslag

Vi runder begge tallene opp, slik at brøken blir lett å forkorte.

47 _____

118 ≈ 50

_____ 125

= 50 : 25 _________

125 : 25 = 2 ___ 5 = 40 %

Omtrent 40 % av håndballspillerne har kneskade

1.6 Gjør overslag. Forklar hvordan du tenker ved hjelp av skriftlig hoderegning.

a 51 % av 988

b 26 % av 376

c 89 % av 1035

d 42 % av 2520

e 79 % av 516

f 67 % av 3290

g 124 % av 2970

h 48 % av 1420

i 253 % av 29 234

Eksempel 3

Forenkling1.6Bruk enklere tall, slik at bare ett av tallene må rundes av:a 50 % av 988b 26 % av 400c 90 % av 1035d 42 % av 2500e 80 % av 516f 70 % av 3290

Mer utfordring / Flere aktiviteterMatto – utvidetSpill Matto med 25 ruter i stedet for 16. Bruk følgende ni nye tall:

1

__ 2 , 0,64, 12, 38, 45, 49, 55, 63, 64

Ni nye oppgaver som hører til disse tallene:

SkriveferdigheterI eksempel 3 vises bruk av tegn for «tilnærmet lik» og «er lik». Det er viktig å lære å bruke slike symboler på en riktig måte, fordi dette er en viktig del av det matematiske skriftspråket. Eksemplet viser også hvordan en tekstoppgave skal besvares med et svar skrevet i tekstform.

1.6I oppgavene på grønt nivå møter elevene prosentdeler som er større enn 100 %. For elever med et høyt faglig nivå bør ikke dette være noe problem, men elever som stusser på dette, kan henvises til fagteksten på side 13.

Åtte nideler av 7225 % av 215 % av 80Sju tjuedeler av 14025 % mer enn 4430 % mindre enn 90Tre femdeler av 758 % av 895 % av 40

Alternativ: La elevene lage sine egne Matto-oppgaver. Del så klassen i grupper, og la dem spille sine egne Matto-spill.


Eksempel 4

Vi regner i hele tusener.

Maximum 912

1.7 Prisen på en sofa blir satt ned med 2299 kr fra 12 299 kr.

Omtrent hvor mange prosent avslag er dette?

1.8 En bukse kostet før 899 kr, nå koster den 599 kr.

Omtrent hvor mange prosent avslag er det på buksa?

1.9 Hvilken rabatt kan interiørbutikken reklamere med hvis en vare som før kostet 1499 kr, nå koster 1349 kr?

På en fotballkamp utgjør supporterne for bortelaget 16 000 personer. Det tilsvarer omtrent 22 % av tilskuerne. Omtrent hvor mange tilskuere var det på kampen?

Løsningsforslag

Vi runder av begge tallene nedover: 22 % avrundes til 20 % 16 000 avrundes til 15 000 15 000 ~ 20 % 7500 ~ 10 % 75 000 ~ 100 %

Det var omtrent 75 000 tilskuere på kampen

1.10 I april 2010 hadde nettstedet Facebook 540 millioner unike brukere. Dette tilsvarer 35 % av nettets brukere totalt.

Omtrent hvor mange unike brukere var det på Internett denne måneden?

1.11 En uke hadde ulike TV-kanaler markedsandelene som du ser i tabellen til venstre. Undersøkelsen gjelder 82 % av befolkningen på 4,7 millioner mennesker.

Omtrent hvor mange mennesker så på de ulike kanalene på et tilfeldig tidspunkt denne uka?

NRK1 28,8 %

NRK2 4 %

TV2 19,3 %

TVN 8,3 %

TV3 7,1 %

Andre 32,5 %

Tall hentet fra Medienorge, 2009

0 7500 15 000 ?

2010 100 %

KommentarerSide 12Problemstillingene i tekstoppgavene varierer. Repeter med elevene at vi må finne forskjellen/differansen (dersom denne ikke er oppgitt) før vi kan regne ut prosentdelen.

Side 13En del elever tror at 100 % er det største mulige prosenttallet. Årsaken til dette kan være at de alltid har regnet prosent som ekte brøker av en hel mengde. Kontekstene har vært rabatt, skatt og liknende.

Elevene vil oppleve at det er uvant å snakke om prosenttall som større enn 100. Dere kan gjerne snakke om alternative måter å si dette på. Hvis en størrelse er 150 % mer enn en

annen størrelse, er det like naturlig å si at den er 2,5 ganger så stor (se nedenfor).

1.14Samtal med elevene om resultatet:Kan vi uttrykke det å øke med 100 % på en annen måte? (Ja, det er det samme som å fordoble.)Hvor mange prosent øker vi med når vi tredobler? (200 %)

Poengter at ved en økning har vi allerede 100 % i utgangspunktet. Dette er på samme måte som det at utgangspunktet før en reduksjon også alltid er definert som 100 %.Går det an å trekke fra 200 %?

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheter / Muntlige ferdigheterLa elevene jobbe med tekstoppga-vene – først individuelt og deretter med bruk av parsjekk.Parsjekk innebærer at elevene jobber to og to, forklarer hverandre frem-gangsmåten sin og kontrollerer hverandres svar.

ForenklingOppgaveboka til Maximum 9 inneholder oppgaver for elever som trenger å repetere prosentregning fra 8. trinn. Oppgavene finnes i blå del av delkapitlet Prosent.Bruk modelltegninger eller doble tallinjer for å illustrere.

Faglig innhold• Overslag i

prosentregning• Prosentvis forandring

Utstyr• Terning• Kortstokk

13Kapittel 1 • Tall og tallregning

Oppgavebok

1.4–1.11

1.35, 1.36

Eksempel 5

13Kapittel 1 • Tallregning

1.12 371 574 elever svarte på en elevundersøkelse i 2013. 151 392 av elevene svarer at de trives svært godt på skolen. 172 834 av elevene svarer at de trives godt på skolen.

a Omtrent hvor mange prosent av alle elevene tilsvarer disse to kategoriene til sammen?

b Omtrent hvor mange prosent flere svarer at de trives godt på skolen, enn at de trives svært godt?

Mer og mindre enn 100 %

Når noe øker eller minker, og vi skal regne ut hvor mange prosent forandringen er, må vi tenke ut hva som tilsvarer 100 %. I slike tilfeller er alltid utgangspunktet før forandring, eller den verdien vi sammenlikner med, det vi tenker på som 100 %.

Heges lønn går opp fra 120 kr per time til 126 kr per time. Hvor stor er lønnsøkningen i prosent?

Løsningsforslag

Lønnsøkningen i kroner:

126 kr – 120 kr = 6 kr

Lønnsøkningen i prosent av opprinnelig lønn:

6 kr

______ 120 kr = 0,05 = 5 %

Lønnsøkningen er på 5 %

1.13 I 2013 kostet sesongkort for en bestemt type tribuneplass på en fotballarena 2600 kr. I 2014 stiger prisen på sesongkortet til 2750 kr.

Hvor mange prosent stiger prisen?

1.14 Fredrik er 14 år og har en ukelønn på 150 kr. Når Fredrik fyller 15 år, blir ukelønna doblet til 300 kr.

a Hvor mange prosent øker ukelønna?

b Når Fredrik blir 16 år, øker ukelønna til 450 kr. Hvor mange prosent øker ukelønna fra Fredrik er 14 år til han er 16 år?

1.10

540 mill

35 % 100 %

?

1.14

150 kr

100 %

300 kr

? ?

450 kr

Mer utfordring / Flere aktiviteterMed terning og kortstokkEn oppgavegenerator til mengde-trening for en enkeltelev eller som et spill for to eller tre spillereUtstyr: En terning og en kortstokk

Forklar eleven(e) denne fremgangs-måten:• Trekk et kort. Skriv tallverdien i

kolonnen «Kortverdi». La ess ha verdi 14.

• Trill terningen, og gang ternings-verdien med 100. Noter tallet i kolonnen «Prosentøkning».

• Regn ut poengverdien i høyre kolonne ved å legge til poengøk-ningen.

Gjenta mange ganger.

Som spill gjør to/tre elever dette fem ganger hver, og summerer svarene. Den med høyest poengsum vinner. Eventuelt kan det være slik at første elev til 500 poeng vinner.

Eksempel:

KortverdiProsentøkning Poengverdi

11 300 44

5 500 30

8 200 24


Eksempel 6

0,6 m2 m

2 m

Maximum 914

Legg merke til forskjellen i det mor

og far sier!

En favn ved

I 1960 kostet bensin 1,07 kr per liter. I 2013 koster bensin 14,23 kr per liter. Hvor mange prosent har bensinprisen steget?

Løsningsforslag

Prisstigning i kroner:

14,23 kr – 1,07 kr = 13,16 kr

Prisstigning i prosent:

13,16 kr

_______ 1,07 kr = 12,29 ≈ 1230 %

Bensinprisen har steget med 1230 %

1.15 Se på tabellen nedenfor.

a Hvilken vare tror du har hatt størst prosentvis økning?

b Regn ut hvor mange prosent prisen på varene har steget.

Vare Pris i 1970 Pris i 2010

1 kg smør 8,35 kr 77,79 kr

1 kg oksestek 15,89 kr 249,50 kr

1 kg poteter 1,14 kr 24,60 kr

1 favn bjørkeved 354,00 kr 2400,00 kr

1.16 Ola tjener 80 kr timen i sommerjobben sin.

a Mor sier til Ola: «Min timelønn er 300 % av din.» Hva er mors timelønn?

b Far sier til Ola: «Jeg tjener 300 % mer i timen enn deg.» Hva er fars timelønn?

Bensinprisen er over 13 ganger så høy som

i 1960!

KommentarerInnholdet på disse sidene er nært knyttet til enkelte kompetansemål i samfunnsfag. Det er derfor nærlig-gende her å se for seg et tverrfaglig arbeid knyttet til utvikling av norsk økonomi, forbruksmønster og fremveksten av velferdsstaten samt bruk av statistiske kilder knyttet til dette.

Når vi sammenlikner priser som har stor avstand i tid, oppdager vi ofte en prisendring på flere hundre prosent. Det er viktig at elevene samtidig har en forståelse av at inntekten også har økt – mer enn tilsvarende. I 1970 var gjennomsnitt-lig årslønn i Norge 30 760 kroner. I 2010 var beløpet steget til 435 200 kroner (kilde: www.ssb.no). Samtidig

har normalarbeidstiden per uke gått ned og antall feriedager økt. Totalt sett har altså kjøpekraften hatt en betydelig vekst.

1.16Se snakkeboblen. Det er liten forskjell i ordlyden i de to deloppga-vene, men likevel stor forskjell i hva det spørres etter. Det er viktig at elevene kobler nyansene i språket til løsningen av oppgaven.

300 % av et tall er tallet ganget med 3.300 % mer enn et tall er tallet ganget med 3 + tallet selv, altså 4 ganget med tallet.

Eksempel 7I dette eksemplet forklares og innføres begrepet vekstfaktor. Dette begrepet er ikke eksplisitt nevnt i læreplanen, og elevene står derfor fritt til å velge løsningsmetode selv. Vi ser likevel på bruk av vekstfaktor som en effektiv løsningsstrategi, og elevene vil møte dette begrepet første år på videregående skole i tilknytting til hovedområdet økonomi, uansett hvilket utdanningsprogram de velger.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterElevene må tolke oppgaveteksten nøye, jf. kommentar under 1.16.

Faglig innhold• Prosentvis forandring• Vekstfaktor


Oppgavebok

Eksempel 7


År 1 År 2

Maya 9500 kr 12 000 kr

Milly 7200 kr 11 000 kr

Molly 12 800 kr 17 900 kr

Tallet 1,04 i dette regnestykket kalles

for vekstfaktor.

1.17 Et tre er 12 m høyt. Da det ble plantet, var det 0,8 m høyt. Hvor mange prosent har høyden økt med?

1.18 Jon veier 82 kg, og Gunnar veier 115 kg.

a Hvor mange prosent mer enn Jon veier Gunnar?

b Hvor mange prosent mindre enn Gunnar veier Jon?

1.19 Søstrene Maya, Milly og Molly sammenlikner telefonutgiftene sine to år på rad.

a Hvor mange prosent har søstrenes samlede telefonutgifter økt fra år 1 til år 2?

b Hvem av søstrene har hatt størst prosentvis vekst i telefonutgiftene?

c Hvor mange prosent mer enn Maya bruker Molly på telefon i år 2?

d Hva er den prosentvise forskjellen på høyeste og laveste telefonutgifter hvert av årene?

En årslønn på 370 000 kr øker med 4 %.

Hva er den nye årslønna?

Løsningsforslag 1

Gammel lønn = 370 000 kr

+ 4 % lønnsøkning: 370 000 kr · 4

______________ 100

= 14 800 kr

Ny lønn = 384 800 kr

Løsningsforslag 2

Den opprinnelige lønna tilsvarer 100 %. Med en økning på 4 % blir den nye lønna 104 % av den opprinnelige lønna.

104 % = 1,04

370 000 kr · 1,04 = 384 800 kr

Den nye lønna er 384 800 kr

ForenklingDet er vesentlig at elevene forstår at den opprinnelige verdien – verdien før forandring – alltid er 100 %, og at hva som er 100 %, derfor forandrer seg når endringer gjentas flere ganger.

Lag en tegning for å vise elevene gjentatt vekst med 50 %:

100 %

100 % Totalt 150 %50 %

Nye 50 %Nye 100 %

Førsteøkning

Andreøkning

Bruk ruteark til tegningen, slik at dere sammen kan telle ruter og se at 50 % er blitt to ruter mer ved andre økning enn det var ved første økning.

Spør elevene:Hvor mange ruter må vi legge til hvis vi skal øke med 50 % tredje gang? (9 ruter)

Hvis du lar utgangspunktet være en høyere toerpotens, for eksempel 64 eller 128 ruter, kan dere legge til nye 50 % flere ganger før antall tilleggs-ruter slutter å gå opp i et helt tall.

Mer utfordring / Flere aktiviteterFør og nåTverrfaglig oppgave med samfunns-fag, kan brukes som mappeoppgave.

La elevene søke etter data for historiske priser og lønninger på Internett. www.ssb.no kan være en god kilde til dette. Gjennomfør også

intervjuer med ulike personer. Bruk resultatene til å lage en fremstilling som viser en typisk familieøkonomi, for eksempel fra da besteforeldre og foreldre var på elevenes alder, sammenliknet med nå.

Sammenlikn inntekter og utgifter. Del utgiftene inn i ulike kategorier, som for eksempel:• Mat og husholdning• Boutgifter• Bil og transport• Klær og helse• Ferie og fritid

1.12, 1.13

1.25

1.37


Dobbelt så dyrt! Det er 200 % økning.

Det er 100 % økning når prisen

er doblet.

Gammel pris er jo halvparten av ny, så da

er økningen på 50 %.

Siden varen kostet 150 kr før og 300 kr nå, er

prisøkningen på 150 %.

Hva er prisøkningen i prosent?

Pris 1974: 150 kr Pris 2014: 300 kr

A

BC

D

1.20 Morten har en årslønn på 420 000 kr. Når han bytter jobb, får han en lønn som er 108 % av den gamle lønna.

a Hvor mange prosent steg lønna til Morten?

b Hva er den nye lønna til Morten?

1.21 Prisen på en bil stiger med 15 %.

a Hvor mange prosent er gammel pris av ny pris?

b Før prisstigningen kostet bilen 280 000 kr. Hva koster bilen nå?

1.22 Emma har økt kroppsvekten sin med 440 % fra hun ble født til hun er 5 år.

a Hvor mange prosent av fødselsvekten er vekten når Emma er 5 år?

b Emma veide 3,5 kg da hun ble født. Hvor mye veier Emma når hun er 5 år?

1.23 Hvem har rett?

Faglig innhold• Prosentvis forandring

Kommentarer1.23Dette er en samtaleoppgave. I tillegg til å finne ut hvem av ungdommene på bildet som har det rette svaret, kan elevene diskutere hvilke misoppfatninger de andre på bildet har.

Side 17Alle oppgavene på denne siden hand-ler om endring i flere trinn. Elevene må forstå at utgangspunktet forandrer seg for hver endring.

1.24Det er en utstrakt misoppfatning at en ved først å øke og deretter redusere (eller omvendt) med samme prosenttall kommer tilbake til utgangspunktet. Det er viktig at

elevene ser at dette ikke er tilfellet, fordi utgangspunktet for endring, og dermed tallet som tilsvarer 100 %, endrer seg.

Diskuter med elevene om det gir ulikt resultat om økningen kommer før reduksjonen eller omvendt.Vi kan bruke vekstfaktor og sammen-likne de to regnestykkene:• Minking først: 10 000 kr ∙ 0,6 ∙ 1,4• Økning først: 10 000 kr ∙ 1,4 ∙ 0,6

Vi ser her at den eneste forskjellen er rekkefølgen til faktorene. Da må resultatet bli likt.

1.26–1.28I disse oppgavene er den prosentvise endringen, og dermed også vekstfak-toren, lik i hvert trinn. Det er her ikke

valgt flere trinn enn at elevene kan utføre én utregning per endring. Dette er en løsningsstrategi som fremmer forståelse, men er langt fra den mest effektive. Et generelt uttrykk for utregning av prosentvis vekst over flere terminer innføres fel-les i Maximum 10, Kapittel 1.

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheterGode regneferdigheter er avhengige av en grunnleggende tallforståelse. Elevene må forstå tall i relasjon til andre tall for å klare oppgavene på disse sidene.

ForenklingLa elever arbeide med konkreter for å illustrere vekstfaktor og prosentvis endring. Bruk prosentvis økning eller


Oppgavebok


1.24 Er du enig med mannen i tegneserien nedenfor? Begrunn svaret ditt.

ÅR 1 ÅR 2 ÅR 3

Noen ganger gjentar en prosentvis endring seg. Verdier, priser eller lønninger kan øke eller minke flere ganger. For hver gang endrer vi utgangspunkt. Da endrer vi også hvilken verdi som utgjør 100 %.

1.25 I en eske skal det være 2000 spiker. En kontrollør oppdager at det er for mange spiker i pakka, derfor tar han ut 5 %.

Hvor mange spiker er det i pakka nå?

1.26 En kake veier 500 g.

a Jørgen tar et kakestykke som utgjør 8 % av kaka. Hvor mye veier Jørgens kakestykke?

b Amalie tar et kakestykke som utgjør 8 % av det som står igjen etter at Jørgen har forsynt seg. Hvor mye veier Amalies kakestykke?

1.27 Ved en folketelling bor det 30 567 personer i en by. En prognose viser at folketallet vil stige med 3 % hvert år. Gjør et overslag over hvor mange personer som bor i byen etter ett år og etter to år.

1.28 Ada kjøper en scooter for 17 500 kr. Hvert år minker verdien med 15 %.

a Finn verdien til scooteren etter ett år, to år og tre år.

b Tegn de fire punktene som viser verdien for år 0, 1, 2 og 3 i et koordinatsystem.

c Ligger de fire punktene på en rett linje? Forklar det du ser med egne ord.

Nå har jeg kjøpt aksjer for 10 000 kr. Verdien på aksjene

mine har falt med 40 % fra i fjor!

Nå har aksjene økt i verdi med 40 % igjen, så da er jeg like langt!

minking per år. Hus, leiligheter, antikviteter, lønninger, priser o.a. øker ofte i verdi, mens biler, mopeder, brukt sportsutstyr og liknende ofte heller faller i verdi. Lag en enklere oppgave som kan illustrere dette, ved bruk av for eksempel centikuber eller annet tellemateriell.

En vare koster 100 kr og øker i pris med 6 % hvert år i 3 år.Ta 100 kr (100 centikuber), og finn 6 % av dette. 2. året er det 6 % økning fra 106 kr (106 centikuber), dette blir 112,36 kr. 3. året blir det 6 % økning av 112,36, det vil si 119,10kr (119 centikuber).

Et par slalåmski koster 2000 kr. De faller 25 % i verdi hvert år i 3 år. (La 1 centikube her være 10 kr.) Ny pris

er 2000 kr (200 centikuber), og etter 1 år har skiene falt i pris til 1500 kr (150 centikuber, det vil si minsket med 50 kuber). 2. året faller prisen igjen 25 %, fra 1500 kr (150 centikuber) til 1125 kr (112,5 centikuber). 3. året faller prisen fra 1125 kr (112,5 centikuber) til omtrent 844 kr (84 centikuber).

Mer utfordringUtfordre de sterkeste elevene til å lage et uttrykk for gjentatt prosent-vis vekst. Elevene kan gjerne bruke ord heller enn symboler:

Startverdi ∙ Vekstfaktorantall år = Sluttverdi

De fleste skolekalkulatorer har en egen funksjon for gjentatt multiplikasjon. Denne kan det være nyttig for elevene å beherske i slike sammenhenger.

Når en skal regne ut 17 500 ∙ 0,853, kan en da taste følgende:

17 500 ∙ 0,85 = = =

For å finne svaret her gjentar en likhetstegnet så mange ganger som eksponenten viser. Om den faktoren som skal gjentas, skal tastes inn først eller sist, varierer fra merke til merke. Test derfor ut dette. På kalkulatoren som følger Maximum Smart Tavle, gjøres det som vist over. Alternativt kan elevene bruke kalkulator på PC med xy–funksjon, eller så kan de benytte et regneark.

Flere aktiviteterKappe landSe beskrivelse side 60.

1.14

1.26

1.38


Eksempel 8

Maximum 918

Ukedag Beløp

Mandag 312 kr

Tirsdag 119 kr

Onsdag 216 kr

Torsdag 82 kr

Fredag 484 kr

Lørdag 174 kr

Søndag 61 kr

celleadresse og cellereferanse betyr det samme. Cellen som er i kolonne B og rad 2 har adressen/referansen B2

B2

1

A B

2

A B1 Mandag Kr 312,002 Tirsdag Kr 119,003 Onsdag Kr 216,004 Torsdag Kr 82,005 Fredag Kr 484,006 Lørdag Kr 174,007 Søndag Kr 61,008 Sum Kr 1448,00

Regnearket gir automatisk alle kronebeløp to

desimaler.

Sjekk at formelen i B8 er: =SUMMER(B1:B7).

Tall og prosentregning med regneark

Når du skal behandle store mengder data eller gjøre samme utregning mange ganger etter hverandre, kan du bruke et regneark.

I cellene i regnearket kan du skrive tekst, tall eller formler. Formlene inneholder celleadresser som er bestemt av cellenes rad- og kolonnenummer.

Du bruker noen penger hver dag, slik tabellen viser.

Bruk et regneark til å summere utgiftene.

Løsningsforslag

1 Vi skriver «Mandag» i A1 og bruker autofyllfunksjonen til å fylle ut resten av ukedagene. Vi markerer A1 og kopierer nedover ved å trekke i den lille firkanten.

2 Vi skriver inn tallene i kolonne B og gjør om celleformatet i kolonnen til enten «regnskap» eller «valuta». Vi markerer cellene, høyreklikker og velger «Formater celler».

3 Vi skriver «Sum» i A8 og bruker funksjonsknappen «Autosummer» i B8, og kontrollerer at rett område er valgt.

1.29 Lag et regneark som vist i eksemplet ovenfor.

a Legg til utgifter for hver dag i fire uker til.

b Vis utviklingen i utgifter uke for uke i et linjediagram og i et søylediagram.

Faglig innhold• Bruk av regneark• Formler med

cellereferanser

KommentarerRegneark ble behandlet i flere sammenhenger i Maximum 8, men dette er første gang bruk av egendefi-nerte formler vektlegges. I oppgavene på dette første oppslaget legges det mest vekt på at elevene skal bli godt kjent med ulike funksjoner i det regnearket skolen benytter. Mindre variasjoner mellom ulik programvare og versjon vil forekomme.

Eksempel 8Autosummerfunksjonen har litt ulikt utseende i ulik programvare. I MS Excel brukes summetegnet stor sigma, Σ. Regnearket vil da selv foreslå hvilket celleområde som skal summeres. Det er viktig at elevene venner seg til å kontrollere dette. Dersom regnearket for eksempel

mangler en verdi for tirsdag en av ukene, vil «autosummer» bare summere fra onsdag til søndag, og dermed miste mandag dersom en ikke overstyrer dette. Overstyring skjer enten ved at en markerer området med klikk og dra, eller ved at en justerer cellereferansene i formelen i etterkant.

1.29For å få et pent linjediagram bør det settes inn en rad med kolonneover-skrifter: Uke 1, Uke 2 osv. Elevene skal lage linjediagrammet slik at disse overskriftene brukes som merkelapper.

Se fullstendig løsningsforslag på Lærerrommet.

For enkeltelever kan denne oppga-ven utvides til at de også skal finne gjennomsnittlig forbruk per ukedag og variasjonsbredde i forbruk. De kan også få i oppgave å lage et diagram som viser hvilke ukedager det brukes mest penger.

1.31eSkriv fødselsdatoen i celle A1.Skriv =IDAG()i celle A2.Skriv =A2-A1 i celle A3.

Grunnleggende ferdigheterDigitale ferdigheterDet er en sentral del av de digitale ferdighetene på dette nivået å beherske grunnleggende funksjoner i et regneark. Samtidig må elevene bruke egne regneferdigheter når de skal lage formeluttrykk i regnearket.


Oppgavebok

1.39

1.27

1.15

Navn

Enere

Toere

Treere

Firere

Femmere

Seksere

Sum

Yatzy


format beskrivelse av størrelse, form og/eller type innhold

Alle formler i regneark begynner

med =.

Formelen =IDAG() gir deg datoen i dag.

Å summereNår vi skal summere mange tall i et område, kan vi bruke summerformelen.

Når vi skal legge sammen noen få tall, kan vi også skrive en formel som legger sammen innholdet i cellene.

=SUMMER(A1:A3) og =A1+A2+A3

er to formler som gir samme resultat.

RegnetegnVi bruker regnetegnene: + for pluss – for minus * for gange / for dele

FormaterCellene i regnearket kan ha forskjellige formater. Regnearket er programmert til å tolke det formatet du skriver inn som tekst eller tall. Tekst plasseres til venstre i cellen, og tall plasseres til høyre i cellen. Du kan selv velge mellom flere forskjellige tallformater.

1.30 Lag et regneark som kan regne ut poengene på øverste del av et yatzyspill for tre personer, ved at du fyller ut antall enere, toere osv.

1.31 Bruk regneark.

a Skriv inn noen data om deg selv: navn, fødselsdato, telefonnummer, skostørrelse og høyde (målt i meter). Legg merke til om tekst tolkes som tekst og tall som tall.

b Finn ut hvordan du skifter mellom høyre- og venstrejustering og midstilling, og hvordan du endrer skrifttype og størrelse.

c Finn ut hvordan du kan markere områder med enkle eller doble linjer over eller under.

d Finn ut hvordan du justerer tallformat i celler eller områder. Velg datoformat for fødselsdato og tallformat med to desimaler for høyde.

e Lag en formel som regner ut hvor mange dager gammel du er.

Skriftlige ferdigheterNår elevene bruker digitale hjelpemid-ler, må de vise utregninger på en oversiktlig måte, akkurat som når de regner for hånd. Elevene må velge oppsett og tekst slik at leseren enkelt kan finne igjen både forutsetninger og resultater, og følge med på hva som er gjort av beregninger underveis.

ForenklingDet er ofte mer engasjerende for elever å regne på penger knyttet til eget pengeforbruk. La dem derfor lage en oversikt på regneark over sitt eget forbruk den siste måneden.

Elevene kan også få lage et budsjett som viser hvordan de kan fordele de uke-/månedspengene som de har til disposisjon i løpet av en måned. De

kan eventuelt lage en oversikt over hvordan de ville brukt en ukelønn på 250 kr i 4 uker.

Lag en mal som elevene skal fylle inn i.

Mer utfordring / Flere aktiviteterMer YatzyUtfordre elevene til å lage et regneark som summerer et helt Yatzyspill – også under streken. Hvilke inndata er nødvendige?

For «Hus» behøves det to inndata. For «Straight» kan det brukes logisk verdi i formel.

PoengInndata1

Liten straight: 1512

Stor straight: 2013

A B C

PoengInndata1

Liten straight: =HVIS(B2=1;15;0)12

Stor straight: =HVIS(B3=1;20;0)13

A B C

Formelen i kolonne C returnerer summen av tallene 1–5 eller 2–6 dersom verdien i cellen til venstre har verdien 1. Dersom det ikke er slik, returneres 0.

Se ellers Lærerrommet for et fullstendig løsningsforslag.


Maximum 920

I noen regneark kan du få frem

formelutskrift ved å trykke Ctrl+J.

1.32 Bruk et regneark til å regne med prosent. Bruk formler med cellereferanser.

a Finn 56 % av 1250 kr.

b Hvor mange prosent er 45 av 900?

c Finn 100 % når 64 % er 768.

1.33 Bruk regneark. Hvor mange prosent av elevene i klassen fikk de ulike karakterene i matematikk?

Karakter 6 5 4 3 2 1

Frekvens 2 7 10 6 4 1

1.34 Bruk regneark. Hvor mange prosent er salgsvarene i møbelbutikken satt ned med?

Vare Førpris (kr) Nåpris (kr)

Sofa 12 995 11 695

Bord 6995 4995

Teppe 1499 1199

Spisestol 1295 1030

1.35 Bruk regneark. En full stilling (100 %) tilsvarer 1950 timer i året.

a Hvor mange timer må du jobbe hvis du har 60 % stilling eller 70 % stilling?

b Hvor stor stillingsprosent har en person som jobber 1657,5 timer i året?

c Hva er timelønna hvis årslønna er 316 000 kr?

d Hva er årslønna for en som jobber 60 % stilling, hvis årslønna i full stilling er 428 000 kr?

e Didrik har full stilling og en årslønn på 316 000 kr. Han jobber 70 timer overtid i løpet av året og får 50 % overtidstillegg for disse timene.

Hvor mye tjener Didrik dette året?

Faglig innhold• Ulike celleformater i

regneark• Dynamisk og fast

cellereferanse• Dynamisk og tvungen

avrunding

Utstyr• Reklameavis e.l.

KommentarerFør elevene går i gang med oppgave-løsingen på denne siden, bør de vite hvordan en endrer tallformater i en celle. Dette gjøres noe ulikt i forskjellige regneark. Det er derfor viktig at opplæringen tilpasses det verktøyet elevene har tilgang til.

Når et tall er en kroneverdi, er det naturlig å endre celleformatet til «Valuta» eller «Regnskap». Da blir verdien automatisk benevnt. Antall desimaler er satt til to som standard, men dette kan endres i innstillin-gene.

Et regneark forstår en tallverdi skrevet som prosent. I en formelut-skrift vil denne verdien vises som en desimalbrøk. Dette betyr at en ikke

skal multiplisere med 100 for å få frem prosentverdien. En regner heller først ut desimalbrøken og setter så celleformatet til «prosent».

1.33I denne oppgaven kan det være naturlig å bruke en fast cellerefe-ranse til en celle som inneholder summen av antall elever. Fast cellereferanse er tema i eksempel 9. Oppgaven kan fint løses uten bruk av dette, fordi elevene heller kan lage en ny formel for hver karaktergrad enn å formelkopiere med fast cellereferanse.

Grunnleggende ferdigheterDigitale ferdigheterRegneark er et verktøy som brukes mye både relatert til yrkesliv og

privatliv. Regneark er nyttig for å holde styr på sin egen økonomi, arbeid i lag og foreninger, og på mange arbeidsplasser.

RegneferdigheterFor å få et regneark til å se oversikt-lig ut og for å regne riktig må elevene mestre regnerekkefølge, ulike tallformater og formelbruk.

Skriftlige ferdigheterDet er viktig å presentere utregnin-ger med bruk av regneark på en like ryddig måte, med forklarende tekst, som når presentasjonen skjer for hånd.

ForenklingLag maler til elevene, slik at de kan bytte ut tall og utforske oppgavene


Oppgavebok

Eksempel 9

A B1 Prisstigning:23 Vare Førpris (kr)4 Bukse 290,005 Skjorte 150,006 Genser 250,00

C20,00 %

Prisstigning (kr)58,0030,0050,00

D

Ny pris (kr)348,00180,00300,00


Regnearket leser 20 % som 20

____ 100

.

formelutskrift oversikt som viser hva som er skrevet inn i regnearket

A B1 Prisstigning:23 Vare Førpris (kr)4 Bukse 2905 Skjorte 1506 Genser 250

C0,2

Prisstigning (kr)=B4*$C$1=B5*$C$1=B6*$C$1

D

Ny pris (kr)=B4+C4=B5+C5=B6+C6

I noen regneark kan du få frem

formelutskrift ved å trykke Ctrl+J.

«Tall» kan være et tall, en formel eller

en celleadresse.

Prisen på noen varer øker med 20 %. Bruk et regneark til å finne de nye prisene. Vis også formelutskrift.

Løsningsforslag

Formelutskrift:

Når du kopierer formler, kan du låse fast en verdi fra en bestemt celle. Hvis du bruker dollartegn foran både kolonnereferansen og radreferansen, holder du referansen til den bestemte cellen fast. Dette kalles absolutt cellereferanse.

AvrundingNår du lar regnearket gjøre beregninger, kan du ofte få flere desimaler enn du ønsker. Det er flere måter å runde av tall på i et regneark:

• Dynamisk avrundingMarker en celle eller et område, høyreklikk og velg «Formater celler». Velg et tallformat og antall desimaler. Regnearket bruker de vedtatte reglene om avrunding som du også har lært tidligere.

• Tvungen avrundingDu kan tvinge avrunding opp eller ned ved å bruke en av disse formlene:

= AVRUND.NED(tall;antall_desimaler)

= AVRUND.OPP(tall;antall_desimaler)

uten å måtte sette opp regnearket selv. Det er tillatt å bruke ferdige maler på eksamen.

Mer utfordring / Flere aktiviteterReklameFinn en reklameavis fra en møbelbu-tikk, elektronikkbutikk, klesbutikk eller annet. Bruk et regneark, og lag en oversikt der elevene skal beregne førpris, nypris og prosentvis avslag for ti ulike varer. Be dem om å finne ut hvor mye de kan spare ved å kjøpe varene på salg i forhold til fullpris, og hvor mange prosent de da totalt sparer.

1.16

1.28

1.40


Maximum 922

PRISLISTE

Kano 13 989 kr

Kanoåre 598 kr

Flytevest 699 kr

Fjelltelt 5499 kr

Ryggsekk, 75 L 2249 kr

Ryggsekk, 40 L 1299 kr

Primus 198 kr

Sykkel 4589 kr

1.36 Sett opp et regneark som i eksempel 9 på forrige side. Endre prisstigningen til 15 %, 10 % og 50 %. Legg merke til hvordan prisene endrer seg.

1.37 Kari, Fredrik og Johanne jobber i samme bedrift, men har forskjellig årslønn:

Kari: 332 000 kr Fredrik: 270 000 kr Johanne: 420 000 kr

a Et år får alle tre 5 % lønnsøkning. Sett opp et regneark som viser ny årslønn for Kari, Fredrik og Johanne.

b Er det rettferdig å gi lønnsøkning som prosenttillegg? Begrunn svaret ditt.

1.38 Bruk regneark og øk prisen på varene i prislisten med 20 %. Rund den nye prisen opp til nærmeste hele krone.

1.39 Bruk regneark.

Mathis kjøper en båt til 75 000 kr. Hvert år minker verdien med 12 %.

Eline kjøper en antikvitet til 20 000 kr. Hvert år stiger prisen med 8 %.

a Finn verdien av de to gjenstandene hvert år i ti år.

b Hvor mange år tar det før antikviteten har større verdi enn båten?

Faglig innhold• Prosentregning med

regneark• Prosentpoeng

Kommentarer1.36Her ønsker vi at elevene skal se fordelen med dynamisk cellerefe-ranse ved at kun få tastetrykk kan justere hele utregningen.

1.37bDette er en oppgave uten fasitsvar. Prosenttillegg blir ofte brukt. Prosenttillegg på en høy lønn øker lønnen med større kroneverdi enn det samme prosenttillegget på en lav lønn. Gjentatt bruk av prosenttillegg vil øke lønnsforskjellene i samfunnet.

1.38Med bruk av en rekursiv formel (følgeformel) og formelkopiering kommer de nye verdiene for hvert år frem på en enkel måte.

Side 23Begrepet prosentpoeng benyttes ofte for å beskrive en endring i et statistisk materiale. Prosentpoeng er rett og slett differansen mellom prosenttallene. Prosentvis endring beskriver endring målt i prosent fra en verdi til den neste. I dagligtale hender det at disse begrepene forveksles. Prosentpoeng er ofte knyttet til meningsmålinger og markedsundersøkelser.Spør elevene:Har dere hørt noen bruke ordet prosentpoeng? I så fall når og i hvilken sammenheng?

Noter svarene til elevene som en stikkordsliste eller et tankekart.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterÅ lese av og forstå diagrammer er denne gangen knyttet til begrepet prosentpoeng.

ForenklingSe tabellen ved oppgave 1.38. Rund av alle prisene til nærmeste hundre-lapp. Bruk regneark, og skriv inn den nye prislista. Bruk eksempel 10, og lag tilsvarende dynamiske formler for å kunne beregne 5 % økte priser. Hva blir totalprisen for alle varene?

Mer utfordring1.39Utfordre elevene på å finne en direkte formel for verdien av gjenstandene etter et gitt antall år.


Oppgavebok

1.17

1.41

Eksempel 10

23

3530

2520

15105

0

40

SV Ap Sp V KrF H Frp AndreRødt

1,7+0,4 4,3

-2,1

33,2+1,8

5,7+0,8

6,3-1,9

5,8-1,1

27,7+3,4

3,5+0,6

11,8-1,1

Prosentpoeng

Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall i likeverdige målinger.

Ordet prosentpoeng blir blant annet brukt i forbindelse med politiske meningsmålinger.

Fylkestingsvalget 2011 mot fylkestingsvalget 2007

Tallene under pilene i partibarometeret ovenfor viser hvor mange prosentpoeng partiet har tapt eller vunnet siden forrige valg. Tallene rett over søylene viser hvor mange prosent oppslutning partiet har i dette valget.

a Hvor mange prosent oppslutning hadde partiet Venstre ved fylkestingsvalget i 2011?

b Hvor mange prosent høyere oppslutning har partiet Venstre i 2011 enn i 2007?

Løsningsforslag

a Venstre har gått fram med 0,8 prosentpoeng.

5,7 – 0,8 = 4,9

Venstre hadde en oppslutning på 4,9 % i 2007

b Utgangspunktet før forandring var på 4,9 %.

Forandring

______________ Utgangspunkt

= 0,8

____ 4,9

≈ 0,163 = 16,3 %

Partiet Venstre har 16,3 % høyere oppslutning i 2011 enn i 2007

Løsning:Hvis antall år settes i A1, opprinnelig verdi i B1 og vekstfaktoren i C1, kan formelen for ny verdi skrives som:= B1*C1^A1

Flere aktiviteterObserver mediaSe TV-nyheter, og les aviser – både på nett og papir. Let etter situasjoner der begrepet prosentpoeng blir brukt. Lag en collage.

Mer regnearkDet er viktig å kunne bruke et regneark dynamisk. La elevene lage regneark der de bare kan endre prosenten ett sted for å få nye priser.Utfordring:Klassen skal spare til klassetur. Alle elevene må spare til deler av turen

ved å bruke egne ukepenger. Elevene skal her prøve seg frem ved bruk av regneark:Hvor mange prosent må hver av elevene betale om klassen for eksempel totalt vil spare 500 kr hver måned?(Dette tallet må tilpasses klasse-størrelsen.)Hvor mange prosent av ukelønnen må hver elev betale?(Samle informasjon om alles uke-lønner, og finn ut hvor mye hver må betale om målet på 500 kr skal nås.)

Diskuter med elevene om dette er en rettferdig måte for alle elever å bidra til klasseturen på? Hva om alle heller betalte det samme per måned? Hvordan varierer da prosenten av ukelønn som elevene sparer, mellom elevene?


Maximum 924

styringsrenten bestemmes av Norges Bank og er minimumsrenten bankene må betale for å låne penger

Diagrammet viser en økning

på omtrent 3,5 %.

Jeg mener økningen må

være på omtrent

14 %.

1.40 Bruk partibarometeret på forrige side.

a Hvor mange prosent oppslutning hadde partiene Ap og H ved fylkestingsvalget i 2011?

På dette tidspunktet var det Ap, Sp og SV som hadde regjeringsmakt (Stoltenberg II-regjeringen).

b Hvor mange prosent av stemmene fikk disse partiene til sammen i denne målingen?

c Hvor mange prosent av Frps 2007-velgere har forlatt partiet til fordel for andre partier i dette valget?

d Omtrent hvor mange prosent har Høyres oppslutning økt fra 2007 til 2011? Hvem av elevene ved siden av har rett? Begrunn svaret.

1.41 Oppslutningen om et parti økte med 4 prosentpoeng fra 16 %.

a Hvor mange prosent flere velgere har partiet nå?

Oppslutningen om et annet parti minket tilsvarende med 4 prosentpoeng fra 20 prosent.

b Hvor mange prosent færre velgere har dette partiet nå?

1.42 Norges Bank setter ned styringsrenten fra 2 % til 1,5 %. Hvilken av overskriftene er det riktig av avisene å bruke?

1 Styringsrenten settes ned med 0,5 prosent.

2 Styringsrenten settes ned med 0,5 prosentpoeng.

1.43 Det finnes ulike læreverk i matematikk for ungdomstrinnet. Skolene bestemmer selv hvilket de vil bruke, eller om de skal bruke lærebok i det hele tatt, og forlagene konkurrerer om markedsandelene.

a Forklar med egne ord hva som menes med at markedsandelen for en lærebok har økt med 4 prosentpoeng fra et år til et annet.

En lærebok hadde et år en markedsandel på 20 % av markedet. Neste år økte andelen med 2 prosentpoeng.

b Hvor mange prosent flere bøker av den typen ble solgt det andre året? Vi forutsetter at markedet var like stort.

Faglig innhold• Prosentpoeng

Utstyr• Kopioriginal K.9.1.1

KommentarerTeksten på disse sidene inneholder enkelte begreper som kan trenge en forklaring. La elevene jobbe med teksten før de skal løse oppgavene. Be dem om å lese teksten og notere vanskelige ord. Deretter skal dere finne en forklaring på disse ordene før dere jobber med selve oppgave-løsningen. Dette kan gjøres gjennom parsamtale, klassesamtale eller informasjonssøk.

Ord som kan trenge en ekstra forklaring, kan være ordene oppslut-ning, markedsandel og markedsun-dersøkelse.

1.40Finn gjerne oppdaterte partibarome-tre, og benytt disse i oppgaven. Be

elevene om å sammenlikne partibaro-metre fra ulike kilder. I valgkamppe-rioder er det særlig interessant å se om det er systematiske forskjeller mellom undersøkelser gjort av ulike markedsanalysebyråer.

d Det er eleven til høyre som har rett. I overslag kan vi si at 3

___ 24 = 1

__ 8 = 12,5 % … litt mer er 13–14 %. Det nøyaktige tallet er 13,99 %, men her skal det jo være et overslag.

1.41Dette er igjen en oppgave som fokuserer på at prosentvis endring er relativ – avhengig av utgangspunktet.

1.44bMerk at oppgaven ikke ber elevene regne ut hvor mange radiolyttere det

finnes, men bare spør om dette er mulig. Da vi må anta at en radiolytter kan ha svart at han lytter til mer enn én radiokanal, så det er umulig å beregne antall radiolyttere ut fra opplysningene i teksten.

1.45Sjekk at elevene regner ut det totale antall spurte hvert av årene.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterOppgavene på denne siden trener elevene i å lese og forstå tekster med matematisk innhold, slik tekstene kan være presentert gjennom media.


Oppgavebok

1.18

1.29

1.42

Eksempel 11


Da SBS overtok Kanal 24, ble navnet på radiokanalen endret til Radio Norge. Den gang hadde kanalen en markedsandel på omtrent fire prosent for hele radiomarkedet i segmentet 12 år +. Ett år senere har Radio Norge en markedsandel på rundt 10 prosent. Radio Norge har daglig mellom 650 000 og 700 000 lyttere, og er i dag Norges tredje største radiokanal.

Kilde: www.kampanje.com

1.44 Les tekstklippet til høyre.

a Hvor mange prosentpoeng endret oppslutningen til Radio Norge seg?

b Kan du bruke opplysningene i teksten til å regne ut hvor mange radiolyttere det finnes i Norge?

Hvert år gjennomføres det en markedsundersøkelse om tannkrem. Et år fikk et bestemt merke 345 registrerte brukere blant 1500 spurte. Året etter fikk det samme merket 260 brukere blant 1000 spurte.

Med hvor mange prosentpoeng har markedsandelen endret seg?

Løsningsforslag

Markedsandel år 1: 3451500

= 0,23 = 23 %

Markedsandel år 2: 2601000

= 0,26 = 26 %

Endring: 26 % – 23 % = 3 prosentpoeng

Markedsandelen har økt med 3 prosentpoeng

1.45 En markedsundersøkelse undersøker hvilken matvarekjede folk helst handler i. Tabellen nedenfor viser resultatet.

Kjedenavn

ÅrRoma 100 Nektarin Kløver Merk! Miri

2013 512 717 289 409 369

2014 492 763 308 321 304

Bruk et regneark og finn ut hvor mange prosentpoeng markedsandelene har endret seg med for hver av kjedene.

ForenklingLes avisartikkelen under (se også kopioriginal K.9.1.1). Lag en oversikt over partienes prosentvise oppslut-ning i de to målingene som det henvises til i artikkelen.

Fremskrittspartiet faller 2,7 prosentpoeng til 12,8 prosent på en måling som Sentio har utført for Dagens Næringsliv. Det er Frps laveste oppslutning siden 1997.

Man må tilbake til oktober 1997 for å finne en oppslutning der Frp gjorde det dårligere på Sentios målinger for Dagens Næringsliv.

Regjeringspartneren Høyre går motsatt vei og kan vise til en oppgang på 1,5 prosentpoeng til 29,9 prosent. Dermed nærmer Høyre

seg Arbeiderpartiet som landets største parti. Arbeiderpartiet faller 1,6 prosentpoeng til 33,7 prosent.

For de øvrige partiene på målingen er det mindre bevegelser. Frps og Høyres samarbeidspartnere går begge fram – Kristelig Folkeparti opp 0,4 prosentpoeng til 5,1 prosent mens Venstre går fram 0,5 prosentpoeng til 4,3 prosent.

Senterpartiets oppslutning øker 0,4 prosentpoeng til 5,1 prosent, og Sosialistisk Venstreparti opp 0,9 prosentpoeng til 4 prosent. Miljøpartiet De Grønne faller 0,9 prosentpoeng til 2,2 prosent, mens Rødt går fram 0,1 prosentpoeng til 1 prosent. Kategorien andre partier får samlet 1,8 prosent, en oppgang på 0,8 prosentpoeng.

Kilde: NTB, fredag 28.02.2014, kl. 06:34

Mer utfordring / Flere aktiviteterBruk resultatet fra Stortingsvalget 2013 (se kopioriginal K.9.1.1).

Studer tabellen, og lag en tilsvarende oversikt over antall og prosentvis oppslutning ved valget i 2009 ut fra endringen i prosentpoeng i 2013. I 2009 var det totalt 2 610 483 som stemte. Sjekk tabellen din opp mot de reelle stemmetallene som du kan finne en oversikt over på Internett.

Diskuter med elevene hvor nøyaktig antall stemmer de kan beregne seg frem til når de bruker et prosenttall med to eller tre gjeldende siffer.


Eksempel 12

Eksempel 13

Maximum 926

Den store kuben rommer 1000 små kuber. Én tusendel

er 1 ‰.

Promille

Promille betyr «av tusen». Vi bruker symbolet ‰ for promille.

1 ‰ = 1 ______

1000 = 0,001 = 0,1 %

Når vi skal regne med promille, kan vi bruke de samme fremgangsmåtene som når vi regner med prosent, men vi må huske at vi jobber med tusendeler i stedet for hundredeler.

Finn 15 ‰ av 260.

Løsningsforslag

15 ‰ = 0,015

260 · 0,015 = 3,9

15 ‰ av 260 er 3,9

Hvor mange promille er 4 av 500?

Løsningsforslag

4 _____

500 = 0,008 = 8 ‰

4 av 500 er 8 ‰

1.46 I en kjemikalieprøve på 10 g ble det oppdaget 5 ‰ kvikksølv.

Hvor mange gram kvikksølv var det i prøven?

1.47 I ferskvann skal saltinnholdet være mindre enn 0,5 ‰. I en vannprøve på 0,5 L (1 L vann veier 1 kg) finner en kjemiker 0,3 g salter.

Kan denne vannprøven klassifiseres som ferskvann?

Faglig innhold• Promille

Utstyr• Basemateriell• Kopioriginal K.9.1.2

KommentarerBegrepet promille assosieres ofte med alkoholinnhold i blodet. Der-under begrep som promillekjøring, promillekontroll og promillegrense. Noen elever tror at promille er en målenhet for alkohol. Det er derfor viktig å få frem for dem at promille bare er navnet på brøken

1

_____ 1000 og at det er flere sammenhenger der det er naturlig å måle andeler i promille.

Det er vanlig å bruke promille når det er snakk om små deler, men om dette brukes, er også avhengig av tradi-sjon. Vi stempler 830S for 830 ‰ sølvinnhold. Diskuter hvorfor vi ikke like gjerne bruker 83S for 83 % sølv. 830 ‰ er mer nøyaktig enn 83 %. Kanskje dette handler like mye om en tradisjon?

Eksempel 12 og 13Presiser at fremgangsmåtene for promilleregning er akkurat som for prosentregning, bare at faktoren (eventuelt kvotienten) er 1000 i stedet for 100.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterÅ kunne lese og forstå produktbe-skrivelser kan være viktig i dagligli-vet.

Forenkling

Hvor mange promille er en stav? (10 ‰)Hvor mange promille er en plate? (100 ‰)

Bruk plater, staver og små klosser til å beskrive også 8 ‰, 32 ‰, 251 ‰ – eller velg andre tall.

Mer utfordring / Flere aktiviteterSvartebrøkEt spill for fire eller seks spillereUtstyr: Spillkort på kopioriginal K.9.1.2

Dette er et kortspill som er inspirert av det mer kjente spillet Svarteper. Et stikk består av fire kort med samme tallverdi – oppgitt som brøk, desimaltall, prosent og promille. Et par er to av disse kortene. Svartebrø-ken er kortet

7

___ 17 , en brøk med primtall i både teller og nevner.


Oppgavebok

1.19–1.22

1.30–1.32

1.43


Pr. 100 g Pr. porsjonEnergi 1443 kj 649 kj345 kcal 155 kcalProtein 11 g 5 g Karbohydrat 61 g 27 ghvorav sukkerarter 1,5 g 0,7 gFett 3,5 g 1,6 ghvorav mettet fett 0,5 g 0,23 ghvorav enumettet fett 1,0 g 0,45 ghvorav flerumettet fett 1,5 g 0,68 gKostfiber 10 g 4,5 gNatrium 0,002 g -

Tiamin 0,4 mg (27 %*) 0,18 mg (12 %*)Jern3 mg (24 %*) 1,35 mg (11 %*)*% av GDA (anbefalt daglig inntak)

1.48 Et år ble det satt ut 236 millioner laks i norske oppdrettsanlegg. En regner med at 0,4 ‰ av dem rømte.

Hvor mange laks rømte?

1.49 På produktbeskrivelser av ulike matvarer kan du lese hvilke vitaminer og mineraler de inneholder, og hvor mye det er av dem.

a Hvor mange promille av innholdet i 4korn-pakken er henholdsvis natrium, jern og vitamin B1 (tiamin)?

b Finn flere matvarer som du kan sammenlikne næringsinnholdet i. Sammenlikn for eksempel innholdet i forskjellige typer frokostblandinger eller forskjellige typer brød og knekkebrød.

Legering er en blanding av metaller. En gjenstand merkes med et nummer som viser hvor mange promille av legeringen som er rent sølv eller gull.

De vanligste legeringene er: Sølv: 830S eller 925S (sølv sterling), der 830 tilsvarer 830 ‰.

925 tilsvarer 925 ‰.Gull: 585 (14 karat) eller 750 (18 karat), der 585 tilsvarer 582 ‰.

750 tilsvarer 750 ‰.

1.50 Et sølvsmykke merket 925S veier 60 gram.

Hvor mye rent sølv inneholder smykket?

1.51 I et gullsmykke som veier 32 gram, er det 24 gram rent gull.

Hvordan bør dette smykket være merket?

1.52 I en suppeøse merket 830S er det 120 g rent sølv.

Hva veier øsa?

Spilleregler:Del ut alle kortene. Den som starter, er spilleren til venstre for han som fikk utdelt flest kort. Spiller 1 trekker et kort fra hånden til motspilleren til høyre, som deretter trekker et kort fra spilleren til høyre for seg, osv. Sånn fortsetter spillerne rundt bordet resten av spillet. Hver gang en spiller har trukket et kort, må han huske å sjekke om han har fått et par. Eventuelle par legges til side. Når en spiller er tom for kort, går han ut av spillet. De andre fortsetter å spille. Til slutt er det bare én spiller igjen: Spilleren med svartebrøken!

Poengtelling:Spilleren med svartebrøken får 0 poeng uansett hvilke kort han har ellers. De andre spillerne teller først

opp antall stikk, og får 3 poeng for hvert fulle stikk. Deretter teller de opp antall par (som ikke inngår i et stikk), og får 1 poeng per par.

Spillet kan spilles forenklet, uten poengtelling, bare med en taper.Alternativt: Det er ikke lov å legge til side par, bare hele stikk.

Promille-MattoLa elevene lage et Matto-brett med en sammenheng mellom brøk, desimaltall, prosent og promille. Brettet skal enten ha 3 · 3 ruter eller 4 · 4 ruter. La elevene skrive inn 9 eller 16 av verdiene i sitt eget rutenett. I stigende rekkefølge kan de velge mellom følgende tall:

0,005 0,01 0,05 0,09 15 % 20 % 1 __ 4 3

___ 10 2

__ 5 45 %

0,5 0,55 3 __ 5 7

___ 10 72 % 3

__ 4 4 __ 5 85 % 0,9 99

____ 100

Les deretter opp tall mens elevene krysser av de tallene de har. Les følgende tall: 700 ‰, 990 ‰, 5 ‰, 200 ‰, 450 ‰, 720 ‰, 900 ‰, 800 ‰, 90 ‰, 250 ‰, 550 ‰, 10 ‰, 50 ‰, 750 ‰, 600 ‰, 300 ‰, 150 ‰, 400 ‰, 500 ‰, 850 ‰.

Den første som får henholdsvis 3 på rad (brett med 9 ruter) eller 4 på rad (brett med 16 ruter), roper «Matto» og vinner.


Mål

Kjedebrev som formidler penger eller verdigjenstander, er

forbudt! Det gjelder også brev med krenkende eller

truende innhold.

Maximum 928

1

2

3

Potenser og kvadratrot


• regne med potenser• forklare hva kvadratroten til et tall er• finne verdien av kvadratroten til et tall• kjenne igjen og bruke kubikktall• forklare hvordan totallssystemet er bygd opp

Johanne får en e-post med en liste med fire navn og e-postadresser. Hun blir bedt om å sende en kakeoppskrift til personen øverst på lista, for så å legge til seg selv nederst på lista og videresende e-posten til fire nye personer.

Vi ser på hvor mange e-poster som sendes ut for hvert ledd i et slikt kjedebrev:

Ledd nr. Antall personer Antall e-poster

1 Fire personer starter lista. 4

2Hver av de fire personene i ledd nr. 1 sender e-post til fire andre personer.

4 · 4 = 16

3Hver av de 16 personene i ledd nr. 2 sender e-post til fire nye personer.

16 · 4 = 64

4Hver av de 64 personene i ledd nr. 3 sender e-post til fire nye personer.

64 · 4 = 256

1.53 Hver rad på figuren symboliserer et ledd i kjeden av e-poster.

a Skriv antall personer som får e-post i hvert ledd som en potens med grunntall 4.

b Hvor mange personer får e-post i åttende ledd?

c Hvor mange personer i alt har fått e-post dersom kjeden følges uten brudd i åtte ledd?

Faglig innhold• Potenser og

potensregning

Utstyr• Brikker, fyrstikker eller

annet konkret materiell• Kopioriginal K.9.1.3• Terninger

KommentarerVi starter med repetisjon fra Maxi-mum 8 Grunnbok. Be elevene forklare hva en potens er, og hva ordet er en forkortet skrivemåte for. Repeter begrepene grunntall og eksponent.

Eksempel 14Hvert løsningsforslag har to linjer. Den øverste linja viser en begrun-nelse for potensreglene. Den andre linja viser hvordan potensreglene brukes direkte. Presiser for elevene at de ikke skal ha med den øverste linja når de regner, bare den andre linja.

1.55I denne oppgaven spør vi etter verdien til 30. At verdien til en potens

med eksponent lik 0 er 1, ble begrunnet i oppgave 1.114 på side 55 i Maximum 8 Grunnbok. For elever som ikke husker dette, kan det være verdt å stoppe opp og repetere.Vi vet at en brøk der teller = nevner har verdien 1.Vi vet at et delestykke kan skrives som en brøk.Av dette følger:a0 = an – n = an : an =

an

___ an = 1

Grunnleggende ferdigheterSkriveferdigheterDet finnes mange eksempler på skrivemåter i matematikk som forkorter og forenkler. Potenser er en av dem. Elevene må beherske skriftlige uttrykksformer i matema-tikk for å forstå faget.

ForenklingLa elever arbeide med brikker, fyrstikker eller annet konkret materiell som kan illustrere brev. Lag nå en litt enklere situasjon der det sendes 2 eller for eksempel 3 brev per rad. La konkretene være brev, og la elever samarbeide om å legge frem antall brev per rad. Elevene vil da se at antallet vokser seg veldig høyt veldig fort.Med 2 brev i første rad:Rad 1: 2 brevRad 2: 2 ∙ 2 brev = 4 brevRad 3: 2 ∙ 4 brev = 8 brevRad 4: 2 ∙ 8 brev = 16 brevRad 5: 2 ∙ 16 brev = 32 brevOsv.Eventuelt med 3 brev i 1. rad:Rad 1: 3 brevRad 2: 3 ∙ 3 brev = 9 brev


Oppgavebok

1.44, 1.45

1.56, 1.57

1.70, 1.71

Eksempel 14


Potensregning

Når vi skal gange eller dele potenser med samme grunntall, trenger vi ikke å regne ut verdien av potensene.

Regn ut 43 · 45.

Løsningsforslag

43 · 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 48

43 · 45 = 43 + 5 = 48

Regn ut 57 : 53.

Løsningsforslag

57 : 53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5

__________________ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 54

57 : 53 = 57 – 3 = 54

Du finner produktet av to potenser med samme grunntall ved å beholde grunntallet og legge sammen eksponentene.

Du deler en potens med en annen potens med samme grunntall ved å beholde grunntallet og opphøye det i differansen mellom eksponentene.

Å gange to potenser med samme grunntall: am · an = am + n

Å dele to potenser med samme grunntall: am : an = am – n

1.54 Regn ut.

a 72 · 711

b 412 : 49

c 164 · 164

d 318 : 317

e 69 : 67

f 108 · 1015

g 134 · 135 · 132

h (28 · 29) : 212

i 37 · (39 : 35)

1.55 Hvilken verdi har de tre potensene 32, 31 og 30?

Rad 3: 3 ∙ 9 brev = 27 brevRad 4: 3 ∙ 27 brev = 81 brevOsv.

Mer utfordring / Flere aktiviteterPotensbingoEt spill for to–seks spillereUtstyr: To terninger og et spillebrett (kopioriginal K.9.1.3). Eventuelt kan en også bruke kalkulator eller regneark til å finne verdier.

Klipp fra hverandre spillebrettene. Stokk dem, og del dem ut slik at ingen spillere får like brett.Etter tur kaster spillerne to terninger. De bestemmer selv hvilken av terningene som skal være grunntall, og hvilken som skal være eksponent. Hvis de har verdien til potensen på

spillebrettet sitt, krysser de av den. Hvis de har begge de mulige verdiene, kan de krysse av begge.

Første spiller til fire på rad, vannrett, loddrett eller diagonalt, vinner.

Fyll rekkenEt spill for to spillereUtstyr: To terninger, papir og blyant

Hver spiller tegner opp seks felt i rekke:

Spiller 1 kaster de to terningene og lager en potens ut av resultatet. (Han bestemmer selv hvilket tall som skal være grunntall, og hvilket som skal være eksponent.) Deretter plasserer

han verdien i et av feltene. Spiller 2 gjør så det samme: kaster terningene og setter sin potens i et av sine felt.

Når det er spiller 1 sin tur igjen, må neste tall plasseres slik at verdien i rekken med potenser til slutt blir stigende fra venstre mot høyre. Det er ikke lov å flytte en potens som allerede er skrevet inn senere i spillet.

Hvis en spiller ikke kan plassere sin potens på noen måte, får han ikke fylt inn noe felt, og turen går videre til den andre spilleren. Første spiller som har fylt hele rekken sin, vinner spillet.


Eksempel 15

Maximum 930

Du trenger ikke skrive alle

tallene for å finne svaret.

Regnereglene er de samme enten grunntallet er tall

eller bokstav!

A B

Skriv 57 ∙ 45

_______ 46 ∙ 54 så enkelt som mulig.

Løsningsforslag 1

57 ∙ 45

_______ 46 ∙ 54 =

5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 _______________________________ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 · 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 =

5 ∙ 5 ∙ 5 ________ 4 =

=

53

___ 4

Løsningsforslag 2

57 ∙ 45

_______ 46 ∙ 54 =

57 − 4

_____ 46 − 5 =

=

53

___ 4

1.56 Skriv så enkelt som mulig.

a 29 ∙ 38

_______ 25 ∙ 33

b 53 ∙ 210

_______ 57 ∙ 24

c 42 ∙ 73

_______ 75 ∙ 45

d 29 ∙ 42 ∙ 38

__________

4 ∙ 25 ∙ 310

e 39 ∙ 78

__________

75 ∙ 23 ∙ 35

f x7 ∙ y11

_______

x6 ∙ y5

g 68

_______

23 ∙ 35

h a7 ∙ b4

________ b6 ∙ a5 ∙ c3

i 6x6 ∙ y12

________ 3x3 ∙ y13

1.57 Hvor mange hundrelapper trenger du for å ha én million kroner?

1.58 I et vann blir det satt ut noen fisk. Hver måned dobles antall fisk i vannet. Etter ett år er det omtrent 4000 fisk i vannet.

Hvor mange måneder har gått når det er 2000 fisk i vannet?

1.59 En bakterie formerer seg på en slik måte at det blir dobbelt så mange bakterier etter én time. I et laboratorium starter de en bakteriekultur A kl. 08.00 og en tilsvarende bakteriekultur B kl. 12.00.

Hvor mange ganger flere bakterier er det i bakteriekultur A enn i bakteriekultur B kl. 16.00?

Faglig innhold• Forenkle potensuttrykk• Potenser i praktiske

sammenhenger• Addisjon og subtraksjon

med potenser

Utstyr• Terninger

Kommentarer1.56I gule og grønne oppgaver møter elevene noen utfordringer. Merk at 4 kan skrives som 22. Potenser med grunntallene 4 eller 2 kan derfor forkortes mot hverandre.

Oppgave g er egnet for utforsking for de sterkeste elevene. Be dem finne en sammenheng som gjør forkorting mulig, og forklare hvorfor det er lov.

68 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 = 28 ∙ 38

eller mer direkte:68 = (2 ∙ 3)8 = 28 ∙ 38

Generelt uttrykt:(a ∙ b)n = an ∙ bn

Grunnleggende ferdigheterElevene skal kunne finne verdien til potenser og gjøre enkle beregninger med disse. For å kunne lese og tolke problemstillinger må elevene forstå begrepet potens. For å beskrive løsninger og gjøre beregninger må de være fortrolige med bruk av symbo-lene for potenser.

ForenklingArbeid med multiplikasjon, divisjon, addisjon og subtraksjon av enkle potenser. Lag gjerne kort med regnestykker på den ene siden og svaret på den andre siden, eller kort som går til et lottobrett med svarene på. La elevene øve seg på potensreg-ning i hodet, eller kombinere hoderegning med skriving på kladdeark.

La to og to være på lag som samar-beider om å løse oppgavene.25 ∙ 23= 25

___ 23 =25 - 23=34 - 42=25 + 23=34 + 42=

Mer utfordring / Flere aktiviteterMidt i blinken – 1000Et spill for to deltakereUtstyr: Fem terninger og kalkulator

Hver deltaker kaster terningene en gang, og noterer tallverdiene.Deltakerne skal så bruke hver tallverdi nøyaktig én gang til å lage et regneuttrykk der svaret blir


Oppgavebok

1.46–1.48

1.58–1.61

1.72–1.74

Eksempel 16


I regneark bruker vi tegnet ^, «hatt»,

til å skrive en potens. For eksempel skriver

vi 32 som 3^2.

Når vi skal legge sammen eller trekke fra potenser, kan vi først regne ut verdien av potensene.

a Regn ut 103 − 102.

Løsningsforslag

103 − 102 = 10 · 10 · 10 − 10 · 10 = 1000 − 100 = 900

b Regn ut 34 + 53.

Løsningsforslag

34 + 53 = 3 · 3 · 3 · 3 + 5 · 5 · 5 = 81 + 125 = 206

1.60 Regn ut.

a 33 + 42

b 25 + 62

c 104 – 103

d 53 – 72

e 43 + 26 – 33

f 82 – 23 + 60

1.61 I en sukkerløsning er det beregnet å være 105 sukkermolekyler. I en annen sukkerløsning er det 100 ganger så mange sukkermolekyler. De to løsningene slås sammen til en.

Hvor mange sukkermolekyler er det i den nye løsningen?

1.62 Bruk et regneark. Finn verdien av x3 + x2 + x hvis x er

a 5 b 13 c 257

1.63 Skriv tallene som en sum av to potenser.

a 1 001 000 b 1064 c 97

nærmest mulig blinken, som her er 1000. Alle regnearter, potenser og parenteser er tillatt. Spilleren skal skrive opp regneuttrykket sitt.

Hvis en av spillerne treffer blinken, får hun 3 poeng. Hvis ingen treffer blinken, får den spilleren som kommer nærmest blinken, 2 poeng. Hvis to spillere er like langt fra blinken, får ingen av dem poeng.Eksempel:Spiller 1 har terningkastet 2 – 3 – 3 – 5 – 6Spilleren lager følgende uttrykk: 62 ∙ 33 + 5 = 977Spiller 2 har terningkastet 2 – 2 – 4 – 5 – 6Spilleren lager følgende uttrykk: 45 : (2 ∙ 2) – 6 = 1018

Spiller 2 er nærmest blinken og får derfor 2 poeng.Den som først får minst 10 poeng, vinner.Forenkling: Bruk bare tre terninger og en lavere blink, for eksempel 80.

Hvem får størst tall?Et spill for to–tre deltakereUtstyr: Tre terninger

Hver deltaker triller terningene én gang og noterer tallene. En skal her lage regnestykker med bruk av potenser og de fire regneartene. Spilleren som får det største tallet, får 1 poeng. Første spiller til 5 poeng vinner.

Hensikten med spillet er at elevene skal se at eksponenten har større

betydning enn grunntallet for at verdien skal bli stor.

Med terningkastet 3, 4 og 5 kan vi se for oss flere løsninger:5 ∙ 43 = 320(5 ∙ 4)3 = 8000(3 ∙ 4)5 = 2 985 984(34)5 = 815 = 3 486 784 401

La elevene spille en runde, og diskuter så med dem strategier for å få høyest mulig tall.


Maximum 932

4an er et kvadrattall hvis n er et positivt partall.

2

3

4

5

1

1 2 3 4 5

25

1Kvadratroten av 49 er et helt tall.

2Kvadratroten av 50 kan skrives som en brøk.

6Hvis du ganger kvadratroten av et tall med seg selv, kommer du tilbake til utgangspunktet.

3Kvadratet av et negativt tall er alltid positivt.

5Det finnes ti kvadrattall som er mindre enn 100.

Kvadrattall og kvadratrot

Kvadratet av et tall er tallet du får når du ganger et helt tall med seg selv. Det er det samme som å opphøye tallet i andre potens.

Hvis n er et helt tall, kan kvadrattallet skrives som n2.

1.64 Hva er kvadratet av

a 4

b 8

c 10

d 12

e 9

f 30

Vi kan også regne den andre veien. Hvis du vet arealet til et kvadrat, hvor lang er da sidekanten til kvadratet? Arealet av kvadratet til venstre er 25. For at arealet skal bli 25, må hver sidekant være 5. Vi sier at 5 er kvadratroten av 25, og skriver:

25 = 5 fordi 5 · 5 = 25

Kvadratroten av et tall er det tallet du må gange med seg selv (eller opphøye i andre) for å få tallet. Kvadratrot har heltallsløsninger bare hvis det er et kvadrattall under kvadratrottegnet.

1.65 Finn kvadratroten av

a 36

b 16

c 81

d 100

e 9

f 64

1.66 Er påstanden sann eller usann?

Faglig innhold• Kvadrattall• Kvadratrot

Utstyr• Kvadratiske tellebrikker

KommentarerKvadratrot er et nytt begrep for mange elever. Det er vanlig at elever forveksler kvadratet av et tall med kvadratroten av et tall. Pass på at elevene lærer at kvadratroten til et tall er et positivt tall. Dette er en definisjon. Mange elever blir forvirret av dette senere når de skal løse likninger av typen x2 = 4. Den har to løsninger, men kvadratroten til 4 er det positive tallet 2.

1.65Elevene bør nå klare å kjenne igjen kvadrattallene. Gå eventuelt veien om å skrive tallet som en potens med eksponent 2 før dere finner kvadrat-roten sammen.

1.66La to og to elever lese høyt for hverandre og diskutere påstandene før de blir enige om de er sanne eller usanne.

Det kan bli diskusjon om påstand nr. 5. Merk at 0 ikke er definert som noe kvadrattall, og at 100 ikke er mindre enn seg selv. Det finnes derfor kun 9 kvadrattall som er mindre enn 100.

Eksempel 17Eksemplet viser hvordan en kan anslå verdien til en kvadratrot om en ikke har hjelpemidler. Det må vurderes om alle elever skal måtte lære dette. Dette er ikke et eksplisitt læreplanmål, men er med på å gi elevene bedre tallforståelse.

Legg merke til figuren i margen. Figuren viser kvadrattallet under og kvadrattallet over det tallet vi skal finne kvadratroten av. Disse tallene avgrenses av den grønne linja. Antall fylte prikker tilsvarer tallet under rottegnet. Denne metoden ble ofte brukt før kalkulatoren ble allemanns-eie. Oppgave 1.67 er direkte knyttet til dette eksemplet.

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheter og muntlige ferdigheterNår elevene arbeider med forståelse for sammenhengen mellom kvadrat-tall og kvadratroten til tallene, utvider de sin grunnleggende tallforståelse. La elevene lese regelrutene og diskutere ordlyden. Be dem også om å forklare ordene


Oppgavebok

1.49–1.53

1.62–1.64

1.75–1.78

Eksempel 17


I et regneark gir formelen «=rot(tall)»

kvadratroten av tallet.

Når vi kan kvadrattallene, kan vi anslå kvadratroten av et tall som ikke er et kvadrattall.

Omtrent hvor lang er sidekanten til et kvadrat der arealet er 29?

Løsningsforslag

Tallet 29 ligger mellom kvadrattallene 25 og 36. Løsningen må derfor være et desimaltall mellom 5 og 6. Vi kan bruke figurtall og brøk til å finne en tilnærmet verdi:

29 ≈ 5 411

≈ 5,3636 ≈ 5,4

Sidekanten til kvadratet er omtrent 5,4.

Sjekk med lommeregner: 29 = 5,3851648071 ≈ 5,4

1.67 Finn en tilnærmet verdi av kvadratrøttene. Svaret skal oppgis med én desimal.

Etterpå bruker du lommeregner til å sjekke svarene.

a 40

b 12

c 92

d 65

e 17

f 120

1.68 Nils skal lage en hundegård som er 100 m2 stor.

a Foreslå to mulige mål på lengde og bredde på hundegården.

b Regn ut omkretsen til de to forskjellige hundegårdene.

1.69 Mona har planlagt en kvadratisk uteplass i hagen med sidekant 3 m. Oskar vil at uteplassen skal ha dobbelt så stort areal.

Hvor lang må sidekanten til Oskars uteplass være, når den fortsatt skal være kvadratisk?

1.70 Ola skal lage et kaninbur der lengden er dobbelt så stor som bredden. Han vil at arealet av bunnen skal være 1 m2.

Hva blir bredden og lengden til buret?

kvadrattall og kvadratrot for hveran-dre med egne ord og gjerne med konkrete eksempler. Forstår de etterpå ordlyden i regelrutene bedre? Studer og les fagteksten og be elevene spesielt lese og bruke de to illustrerende tegningene for å konkretisere begrepene.

Forenkling1.65Bruk kvadratiske tellebrikker. Tell opp og legg ut kvadratene. Hva blir lengden til sidekanten?

Med 9 brikker i kvadratet er sidekan-ten 3.

1.67Bruk eventuelt bare kalkulator.

Mer utfordring / Flere aktiviteterForenkling av kvadratrøtterElever med god forståelse kan utfordres til å skrive kvadratrøtter på forenklet form. Dette betyr å faktori-sere tallet under kvadratrottegnet slik at en av faktorene er et kvadrattall. Da kan kvadratroten av dette tallet settes utenfor kvadratrottegnet.

Generell regel: √ _____

a ∙ b = √ __

a ∙ √ __

b Eksempel: √ 

___ 75 = √ 

___ 25 ∙ √ 

__ 3 =5 √ 

__ 3

Elevene kan for eksempel få prøve seg på disse kvadratrøttene: √ 

___ 12 (= 2 √ 

__ 3 )

√ ___

20 (= 2 √ __

5 ) √ 

___ 48 (= 4 √ 

__ 3 )

√ ___

50 (= 5 √ __

2 ) √ 

___ 63 (= 3 √ 

__ 7 )

√ _____

128 (= 8 √ __

2 ) √ 

_____ 147 (= 7 √ 

__ 3 )

√ _____

180 (= 6 √ __

5 )

Utforsk oddetallene Se beskrivelse side 62.


Maximum 934

Aktivitet

Brett en terning Dere trenger• farget kopipapir eller glanspapir

FremgangsmåteSamarbeid i grupper på to eller tre. Dere skal brette terninger som består av seks like moduler. Hver modul skal brettes etter denne oppskriften:

1 Start med et A4-ark. Lag en skarp brett langs midtnormalen til langsiden og brett ut igjen.

Lag en skarp brett langs midtnormalen til kortsiden og brett ut igjen.

2 Legg arket med kortsiden mot deg. Ha brettenes utside ned mot bordflaten.

Brett den nederste og den øverste sidekanten inn mot midtlinja på arket.

Snu det sammenbrettede arket slik at «åpningen» ligger ned mot bordplata.

Brett øverste høyre hjørne og nederste venstre hjørne inn mot midtlinja. Brett inn de små trekantene også.

3 Brett inn både høyre og venstre hjørne mot midten.

Slipp opp flikene slik at de danner 90° med kvadratet.

4 Når du har seks moduler, kan de settes sammen til en terning ved å flette spissene inn i lommer.

5 Mål sidekantene til terningen og regn ut volumet.

Faglig innhold• Overganger mellom

lengde, areal og volum

Utstyr• Farget kopipapir eller

glanspapir

KommentarerSom en innledning til kubikktall er det satt opp en bretteaktivitet. Oppfordre elevene til å jobbe presist og bruke skarpe bretter. Hvis du ønsker å vise elevene hvordan de skal brette, er det lurt å brette mot en tavle, whiteboard eller liknende. Pass på at alle de seks modulene brettes likt. Hvis en eller flere moduler blir speilvendt i forhold til andre, vil det ikke være mulig å sette sammen terningen.

Små terninger, laget av glanspapir eller julepapir, kan gjøre seg som juletrepynt. Bruk en halv fyrstikk som du fester en trådhempe på, og stikk denne inn i et hjørne på terningen. Da blir kuben lett å henge opp.

La elevene få forklare med bruk av matematiske begreper hvilke former de får når de bretter de ulike stegene på terningen. Be dem bruke ord som rektangel, kvadrat, kongruent, rettvinklet og likebeint trekant. Du kan gjerne forklare elevene hva det betyr at to figurer er formlike.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterElevene må følge en algoritme eller oppskrift, som er en sammensatt tekst og består av både tekst og illustrasjon.

ForenklingLa elevene jobbe i par eller grupper i bretteaktiviteten. Det er spesielt godt å ha flere hender når terningen skal settes sammen. Hvis de er tre på

hver gruppe, kan de lag to enheter hver og samarbeide om å sette dem sammen.

Mer utfordring / Flere aktiviteterFortsett å brette mindre og mindre terninger. For hver gang brukes ark med halve størrelsen av det forrige. A4, A5, A6 og så videre. Hvor små klarer dere å få dem?

Analyser egenskapene til terningene gjennom å se på sammenhenger mellom lengde og volum for flere ulike størrelser. Det blir enklest å sammenlikne hvis dere lar sidekan-ten i A4-terningen ha lengde 1. Bruk gjerne en tabell som denne:


Ta godt vare på terningene. Dere får bruk for dem i

oppgave 1.71.


Arbeidsplan1 Brett terningene2 Ta nødvendige mål3 Regn ut volumet4 Sammenlikn med hypotesen 5 Diskuter resultatene i klassen

2

3

4

Lag to terninger til, som er mindre enn den første. Til terning 2 skal du bruke halve A4-ark. Det kalles A5-ark. Til terning 3 skal du bruke kvarte A4-ark. Det kalles A6-ark.

Før du bretter de små terningene, skriver du en hypotese der du svarer på følgende spørsmål:• Hvor lange er sidekantene til arkene du bruker i de forskjellige terningene?• Hvor stort tror du volumet til de to mindre terningene blir?

1

Ark Kortside Sideflate Overflate Volum

A4

A5

A6

A7

Tips: For å sammenlikne sideflatene til to etterfølgende kuber, kan elevene legge den minste slik at hjørnene er midt på sidekantene til den største.

Beregn forholdet mellom sidelengde, sideflater og volum for terninger som er etterfølgende i størrelse, annen-hver i størrelse, tredjehver i størrelse og så videre. Let etter generelle sammenhenger.

Elevene vil oppdage at overflaten blir halvert for hver størrelse de går ned, men volumet blir en firedel når de går to størrelser ned. La klassen samle alle kubene og bygge sammen flere små til større kuber.

Tankeeksperiment:• Tenk om det hadde vært mulig å

brette en terning ut fra A12-for-mat. Hva ville volumet blitt?

• Tenk at det hadde vært mulig å brette en terning ut fra A0-for-mat. Hva ville volumet blitt?

Bruk av en terning til tallundersøkelser, se side 63


Maximum 936

Isometrisk prikkark

Kubikktall

De to figurene på bildet representerer de to første kubikktallene. Kubikktall er svaret du får når du ganger et tall med seg selv tre ganger. Det er det samme som å opphøye tallet i tredje potens.

Sidekanten til en terning er 1. Da er volumet av terningen 1 · 1 · 1 = 13 = 1, og volumet til en terning som er bygd med to terninger i hver retning, er 2 · 2 · 2 = 23 = 8.

Hvis n er et helt tall, kan det tilhørende kubikktallet skrives som n3.

1.71 Bygg med terninger eller klosser, eller tegn på isometrisk prikkark. Tegn av tabellen, og fyll ut for terninger med heltallig sidekant opp til 8.

Sidekant Uttrykk for volum Volum som potens Kubikktall1 1 · 1 · 1 13 12 2 · 2 · 2 23 83

1.72 Bruk erfaringene dine fra forrige oppgave.

a Skriv en setning som forklarer hva som skjer med volumet til en terning når sidekanten blir dobbelt så stor.

b Kontroller om setningen din stemmer hvis du dobler sidekanten fra 1 cm til 2 cm og fra 2 cm til 4 cm.

1.73 Onkel Skrue skal bygge ny pengebinge. Han vil at den skal romme 1000 m3 penger, og at den skal ha form som en kube.

a Hvor lang er sidekanten til Onkel Skrues nye pengebinge?

b Hvor stor er grunnflaten i Onkel Skrues nye pengebinge?

1.74 En kompostbinge settes sammen av fire

kvadratiske flater. Hver flate har arealet 1,44 m2.

Hvor stort volum har kompostbingen?

Faglig innhold• Kubikktall• Tallsystemer

Utstyr• Klosser• Prikkark• Kvadratiske tellebrikker• Kopiorginal K.9.1.5

Kommentarer1.71 og 1.72Nå kan terningene fra aktiviteten på forrige side komme godt med. Dere kan også bruke vanlige terninger, centicuber, multilink-klosser eller treterninger som dere skjærer til på sløyden. (Bruk gjerne 2 cm som mål for sidekant på egenproduserte terninger. Vær nøyaktig.)

Alternativt kan elevene tegne figurene på isometrisk prikkark (kopioriginal K.9.1.4). Isometrisk prikkark finnes også som bakgrunn i Maximum Smart Tavle.

Figuren viser hvordan en terning kan tegnes i et isometrisk prikkark.

Det kan være lurt om du får elevene til å gjøre begge deler, både å bygge tredimensjonalt og å tegne figuren.

Aktivitet – Tell med staverAktiviteten er ment som en introduk-sjon til totallssystemer, som behand-les fra side 38.

Hensikten med aktiviteten er at elevene selv skal oppdage at de trenger et nytt siffer for hver dobling. Start eventuelt med å dele ut bare stavene 1 og 2. Spør elevene:Hvilke tall kan dere vise ved hjelp av disse stavene? (1, 2 og 3)Hvilken lengde trenger dere på en ny stav for å kunne vise flest mulig flere tall? (Fire)Hvilke tall kan dere vise nå? (1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7)

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheterNår elevene ser den logiske oppbyg-gingen av totallssystemet, vil de kunne få en bedre forståelse av posisjonssystemer generelt. Dette kan gi dem bedre tallforståelse også for det vanlige titallssystemet.


Oppgavebok

1.54

1.65, 1.66

1.79

Aktivitet

Tell med staver

Dere trenger• cuisenairestaver eller papirstrimler med lengdene 1, 2, 4 og 8

FremgangsmåteSamarbeid og diskuter to og to.

1 La pinnene representere tallene 1, 2, 4 og 8. Ved å sette sammen pinner kan du finne andre tall. For eksempel er 3 = 1 + 2.

2 Bruk pinnene, og finn ut hvilke tall fra 1 og oppover dere klarer å lage ved hjelp av pinnene. Hvor langt kommer dere?

3 Tenk dere at dere kan få enda en pinne for å komme videre. Hvor lang vil dere at denne pinnen skal være? Begrunn.

4 Dere får den pinnen dere ønsker. Fortsett å lage tall. Hvor langt kommer dere nå?

5 Tegn av tabellen, og fortsett å fylle ut hvilke pinner dere trenger til hvert av tallene. Fyll ut med nuller mot høyre, men ikke mot venstre. Dere kan aldri bruke mer enn én pinne av hver lengde.

Pinnelengde

Tall ? ? 8 4 2 1

1 1

2 1 0

3 1 1

4

5

6 Sammenlikn med et annet par om dere har fylt ut på samme måte.

7 Hvordan kan pinnelengdene skrives på en annen måte?

8 Diskuter om dere ser noe system i måten tabellen fyller seg på. Forklar for hverandre.

Mer utfordring / Flere aktiviteter3D – 2D – 3DLag byggverk av klosser. Tegn disse inn på et prikkark – sett fra ulike vinkler. Noen elever mangler evnen til å se dybde i tegningene, og romforståelse er ulikt utviklet. Varier mellom å tegne det som er bygget, og å bygge det som er tegnet. Ved å skravere alle toppflatene trer byggverkene tydeligere frem.

Figuren viser samme byggverk, tegnet fra to ulike vinkler:

SamarbeidsoppgaveUtstyr: Kvadratiske tellebrikker i fargene rød, grønn, blå og gul og kopioriginal K.9.1.5

Elevene samarbeider i grupper på fire. Klipp de fire opplysningene på kopioriginalen fra hverandre, og heng dem i hvert sitt hjørne i klasserom-met. En elev i hver gruppe går så til hvert sitt hjørne i klasserommet, leser sin opplysning uten å notere den og går tilbake til gruppa. I gruppa utveksler de opplysningene, og disse brukes til å finne en løsning på hvor mange kvadratiske tellebrikker av hver farge som må til.Det finnes to løsninger:

• Røde: 8• Blå: 9• Gule: 4• Grønne: 5

eller• Røde: 8• Blå: 16• Gule: 4• Grønne: 7


Maximum 938

Tita

lls-

syst

emet

Tota

lls-

syst

emet

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

plassiffersystem tallsystem der sifferets verdi blir bestemt ut fra hvilken plass det har i tallet

Titallssystemet og totallssystemet

Til daglig buker vi titallssystemet, som har ti sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Et tallsystem som bare har to sifre, kalles et totallssystem, eller det binære tallsystemet. I aktiviteten på forrige side så du at alle tall kan skrives med bare to sifre. All digital informasjon er skrevet i totallssystemet.

Når data skal leses digitalt, brukes en kode i form av «AV» eller «PÅ». Det kan for eksempel være strøm – av eller på, lys – av eller på, eller magnetisme – av eller på. Når vi skal skrive symboler for «AV» eller «PÅ», bruker vi bare to tegn:

0 – betyr AV 1 – betyr PÅ

1.75 Bruk tabellen i margen.

a Hva er likheten mellom tallene som er markert med farge i den høyre kolonnen?

b Hvilken sammenheng er det mellom tallene som er markert med farge i den venstre kolonnen?

c Hvilket tall i titallssystemet tilsvarer 10000 i totallssystemet?

Både titallssystemet og totallssystemet er plassiffersystemer, men siden antall siffer er forskjellig, får sifferplassene ulik verdi. Se på tallet 1000. 1-tallet står på fjerde plass fra høyre. I titallssystemet blir verdien lik 1 · 103 = 1000, mens verdien i totallssystemet blir 1 · 23 = 8.

1.76 Hvilket grunntall er

a titallssystemet bygd opp over

b totallssystemet bygd opp over

1.77 Bruk tabellen ovenfor og ta utgangspunkt i de fargede radene. Fullfør tabellen nedenfor til 210.

Titallssystem Toerpotens Totallssystem

1 20 1

2 21 10

4 22

8 23

Faglig innhold• Totallssystemet

Utstyr• Kortstokk• Sett med staver

(kopiorginal K.9.1.6)

KommentarerSammenhengen mellom ulike tallsystemer er ikke eksplisitt nevnt i læreplanen. Du må bestemme for din klasse hvilke elever som skal lære dette stoffet, og hvor langt dere skal gå. Alle elever vil kunne være med på aktivitetene, og mestre oppgavene på s. 38. Regning i totallssystemet kan være mer krevende, og du kan velge å droppe dette for noen elever. Mange elever vil synes dette er veldig spennende, og du kan bli overrasket over hvem som skjønner logikken i det nye tallsystemet.

Når vi har bestemt at dette lærestof-fet skal være med, er det basert på formuleringer i kompetansemål om å regne med potenser og å bruke tall i utforsking. Samtidig vil forståelse for

andre tallbaser øke forståelsen for titallssystemet.

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheterÅ regne i en annen tallbase utfordrer elevenes tankegangskompetanse og utvikler forståelsen for posisjonssys-temer.

Digitale ferdigheterTotallssystemet er grunnlaget for all digital lagring og datatransport. I et digitalisert samfunn er det derfor meningsbærende å ha en grunnleg-gende forståelse for hva begrepet digital betyr.

Forenkling1.78Lag papirlapper med tallene 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 og 1, slik at de passer inn i et slikt rutenett:

Legg alle lappene (i den rekkefølgen som er angitt over) i den øverste raden med ruter. Studer tallet som er oppgitt, og start bakerst. Hvis tallet er 1, trekk lappen ned i ruta under, hvis tallet er 0, la lappen ligge.

Legg til slutt sammen verdien av alle lappene i den nederste raden. Nå har du oversatt tallet som var oppgitt i


Oppgavebok

1.55

1.67

1.80

Eksempel 18

Eksempel 19

Kapittel 1 • Tallregning

Den lille indeksen «to» viser at tallet er skrevet

i totallssystemet. Vi bruker ikke indeks på

tall i titallssystemet.

binære tall tall i totallssystemet

Skriv tallet 11010to som et tall i titallssystemet.

Løsningsforslag

Vi starter fra høyre og multipliserer sifferet med verdien til plassifferet.

11010to = 0 · 20 + 1 · 21 + 0 · 22 + 1 · 23 + 1 · 24 = 2 + 8 + 16 = 26

Regn ut 10011 + 110 i totallssystemet.

Løsningsforslag

1 1

10011+ 110= 11001

I titallssystemet er 1 + 1 = 2. I totallssystemet er 1 + 1 = 10. Når vi legger sammen og får 10, skriver vi alltid 0 med 1 i minnetall over neste sifferplass.

1.78 Skriv disse binære tallene som tall i titallssystemet.

a 1001

b 11011

c 10101

d 1101101

e 100111

f 11001011

1.79 Bruk regnestykkene med binære tall:

• 101 + 1100 • 1010 + 11011

a Summer tallene i totallssystemet.

b Gjør om tallene i regnestykkene og svarene til tall i titallssystemet, og kontroller om svarene i a stemmer.

totallssystemet, til et tall i titallssys-temet.

1.79Gi elevene enkle regneregler:0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 11 + 1 = 10 (ofte 0, og en i minne)1 + 1 + 1 = 11 (ofte 1, og 1 i minne)

Mer utfordringLa elevene lage utfordringer til hverandre der de må summere rekker av mer enn to binære tall.

T-skjorte-tekster

There are only 10 typesof people in the world:

Those who understand binaryand those who don t .

Bildet viser en klassisk T-skjorte-tekst. Forstår elevene vitsen?Oversett (skriv på tavla uten å si noe):«Det finnes 10 slags mennesker her i verden. De som forstår binære tall (totallssystemet) og de som ikke gjør det.»

Se på reaksjonen til elevene. Er det noen som ler? Da har de forstått den.

Flere aktiviteterRask på labbenEt spill for tre–fire spillereUtstyr: En kortstokk, et sett med staver – med verdiene 1, 2, 4, 8 og 16 – til hver spiller (kopioriginal K.9.1.6)

Stokk kortstokken godt. Snu to kort. La ess ha verdien 14. Den første som legger frem staver tilsvarende summen av de to kortenes verdi, får kortene som sitt stikk. Når kortstok-ken er brukt opp, er vinneren den som har flest stikk.


Eksempel 20

Maximum 940

Når vi skal oversette fra titallssystemet til totallssystemet, kan

vi dele opp tallet i toerpotenser.

Skriv 83 som et tall i totallssystemet.

Løsningsforslag

Vi deler opp tallet i en sum av toerpotenser:

83 = 64 + 16 + 2 + 1 = 26 + 24 + 21 + 20

Vi oversetter tallet fra titallssystemet til totallssystemet ved hjelp av en tenkt tabell, der de toerpotensene som finnes i tallet får verdien 1, mens de som ikke finnes i tallet får verdien 0.

83 = 1010011to

1.80 Skriv disse tallene fra titallssystemet som tall i totallssystemet.

a 20

b 48

c 91

d 13

e 107

f 150

1.81 Når vi skal lagre datamengder, bruker vi målenheter i det binære tallsystemet.

1 kB = 210 byte 1 MB = 220 byte 1 GB = 230 byte

Bruk et regneark og regn ut hvor mye dette blir i byte.

1.82 Bruk resultatet fra forrige oppgave.

a En sang tar opp 12 MB av kapasiteten på en mp3-spiller som har 2 GB kapasitet.

Hvor mange sanger av denne størrelsen er det plass til på spilleren?

b En annen sang er på 8 MB. Hvis mp3-spilleren er tom, hvor mange sanger av den størrelsen er det plass til på spilleren?

Tallverdi i 10-tallssystemet 128 64 32 16 8 4 2 1Toerpotens 27 26 25 24 23 22 21 20

Skrevet i totallssystemet 1 0 1 0 0 1 1

Faglig innhold• Totallssystemet

KommentarerVektleggingen av dette stoffet må vurderes på samme måte som på forrige oppslag.

1.81Elevene vil her finne at 1 MB er 1024 kB, og ikke 1000 kB, slik de kanskje har lært før. Dette skyldes ikke avrunding, men bruk av ulike standarder.

Innen datalagring brukes flere ulike standarder, noe som lett kan føre til forvirring. I henhold til «IBM Dictio-nary of computing» er 1MB = 106 bytes når det er snakk om lagrings-plass på en disk. Ifølge andre kilder er imidlertid 1 MB definert som 220 bytes, noe som blant annet benyttes av Microsoft Windows. Dette kan for

eksempel gi følgende konsekvens: Du monterer en disk som er oppgitt til å ha en lagringskapasitet på 750 GB, men programvaren på maskinen forteller deg at du har 698 GB tilgjengelig.

Dramatisering av en datamaskinKoden i del 1 kan leses som GØY MED KODE.

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheterElevene øver opp tallforståelsen sin ved å diskutere ulike posisjonssyste-mer og se på totallssystemets oppbygning i forhold til titallssystemet.

Skriftlige ferdigheterElevene beskriver skriftlig sammen-hengen mellom ulike tallsystemer og

hvordan en regner imellom disse tallsystemene.

Forenkling1.80Bruk samme system som for oppgave 1.78, men jobb nå motsatt vei. Trekk ned lapper fra venstre mot høyre helt til summen passer med tallet som er oppgitt. Les av mønsteret som 0 eller 1 i totallssystemet.

La eventuelt elevene bruke en kalkulator til å holde regnskap. Be dem om å starte med det oppgitte tallet og trekke fra høyest mulig verdi fra tallappene. De fortsetter slik tall for tall til de har 0 i displayet.


Oppgavebok

1.68, 1.69

1.81

Aktivitet

Dramatiser en datamaskinArbeid i grupper på 8. En elev tilsvarer en bit. Åtte elever tilsvarer en byte.

Dere trenger • ASCII-tabell • et hvitt A4-ark til hver elev • et A3-ark per gruppe

FremgangsmåteSiden datamaskiner bare leser binært, må alle tegn oversettes til en kode i totallssystemet. Dette krever et standardisert system, slik at avsender og mottaker tolker koden likt. Tabellen viser et utdrag av en slik kode.

Del 1 – øv på å lese Del opp tallkoden nedenfor i grupper på 8 bit. Bruk tabellen til å lese tallkoden som tekst.010001110101110001011001001000000100110101000101010001000010000001001011010011110100010001000101

Del 2 – forberedelseVelg et ord som er tre til åtte tegn langt. Finn den binære koden for hvert tegn, og skriv opp hver av rekkene med åtte sifre med tydelig og stor skrift under hverandre på et A3-ark. Dette arket er en felles «huskelapp» for gruppa.

Del 3 – stav ordet for de andre i klassenStill dere på en rekke med ryggen til resten av klassen og et hvitt A4-ark hver i hånden. Hvis du har en bit som er satt, løfter du arket over hodet. Hvis ikke, holder du det skjult foran magen. Vis tegnene i ordet deres ett for ett. Pass på at alle tar ned arkene sine mellom hvert tegn. En av dere kan si: «En – to – osv» for hver gang dere viser et nytt tegn. La de andre i klassen stave ordet ved hjelp av ASCII-tabellen.

Utdrag av ASCII-tabell (utvidet)

Binært Tall Tegn Binært Tall Tegn

0010 0000 32 Space 0101 0000 80 P

0100 0001 65 A 0101 0001 81 Q

0100 0010 66 B 0101 0010 82 R

0100 0011 67 C 0101 0011 83 S

0100 0100 68 D 0101 0100 84 T

0100 0101 69 E 0101 0101 85 U

0100 0110 70 F 0101 0110 86 V

0100 0111 71 G 0101 0111 87 W

0100 1000 72 H 0101 1000 88 X

0100 1001 73 I 0101 1001 89 Y

0100 1010 74 J 0101 1010 90 Z

0100 1011 75 K 0101 1011 91 Æ

0100 1100 76 L 0101 1100 92 Ø

0100 1101 77 M 0101 1101 93 Å

0100 1110 78 N

0100 1111 79 O

At en bit er «satt», betyr at

den har verdien 1.

en bit binært siffer som kan være enten 0 eller 1

en byte gruppe på åtte bit, kode for ett tegn

En bitEn byte

Tell med «av og på»Dette er en forenkling av aktiviteten på side 41. I stedet for å stave lange ord med bits og bytes kan elevene telle på tilsvarende måte. La fem elever stå på rad med ryggen til resten av klassen. Hver elev har et hvitt ark. Et bit er satt når arket holdes opp, og dette skrives da som verdien 1.

La klassen telle rolig fra 1 og oppover til 31, og la elevene vise tallene i totallssystemet ett for ett. Spør elevene om de oppdager et system.

Eleven til høyre må for eksempel vise sitt ark i annethvert tall. Elev nr. to fra høyre får gjentakende to av og to på. Slik vil hver elev oppleve hvert sitt repeterende mønster.

Mer utfordring / Flere aktiviteterFlere datalagringsenheterUtfordre elevene på om de kjenner til flere og større datalagringsenheter.

Etter GB følger disse, stigende med 10 eksponentenheter for potenser med 2 som grunntall (og tre ekspo-nentenheter for potenser med 10 som grunntall):TB – TerabytePB – PetabyteEB – ExabyteZB – ZettabyteYB – YottabyteBB – Bromtobyte

Presisering: Når en enhet oppgis binært, skal egentlig forkortelsen endres – det dukker da opp en liten

«i» mellom de to store bokstavene. 1kiB betyr presist 1024 byte.1kiB betyr 1 kilobinarybyte (forenklet: kibibyte)1MiB betyr 1 Megabinaybite (forenklet: Mebibyte)osv.

RomertalleneBåde titallssystemet og totalls-systemet er eksempler på plassverdi-systemer. Romertallene er derimot et eksempel på et tallsystem som ikke er et plassverdisystem, men plasseringene av tegnene har betydning. IV er 4, mens VI er 6. Romerne hadde ikke noe tegn for null, og romertallene er da også ganske håpløse å regne med. Se kopioriginal K.9.1.7 for oppgaver om romertall.


Mål

Eksempel 21

Maximum 942

Tierpotenser og tall på standardform


• forklare hvordan titallssystemet er bygd opp• skrive og regne med store og små tall på standardform• regne med tierpotenser i noen praktiske situasjoner

I vår kultur bruker vi oftest titallssystemet. Vi tror at det er blitt slik fordi menneskene har ti fingre, og at ti derfor har vært en naturlig enhet for oss. Når vi skriver et helt tall, forteller sifferets plassering hvilken verdi det har.

a Hvilken verdi har hvert siffer i tallet 347?

Løsningsforslag

3 står på hundrerplass og har verdien 300.

4 står på tierplass og har verdien 40.

7 står på enerplass og har verdien 7.

b Skriv tallet 347 på utvidet form.

Løsningsforslag

Utvidet form: 347 = 300 + 40 + 7

1.83 Skriv tallene på utvidet form.

a 215

b 39

c 482

d 2946

e 2056

f 2409

Faglig innhold• Plassverdier i

titallssystemet

Utstyr• Base-10-materiell• Kopiorginal K.9.1.8,

K.9.1.9 og K.9.1.10

Kommentarer

Plassverdisystemet er vektlagt i læreplanen allerede fra 2. trinn. Likevel kan vi observere enkeltelever med manglende forståelse eller misoppfatninger. Det er vanlig å bruke betegnelsene enerplass, tierplass og hundrerplass om posisjonene til sifrene fra høyre mot venstre. Det er imidlertid feil å si at tallet 3065 ikke har noen hundrere. Det riktige er å si at tallet 3065 har sifferet 0 på hundrerplassen. Bruk aktiviteten Hvem skal ut til å fremme en bevisstgjørende samtale.

Start med å be elevene skrive navnet på det største tallet de kan. Skriv opp forslag til store tall på tavla.

Utfordre elevene til å oversette fra tallnavn til tallsymboler. Sier de for eksempel «en trillion», må de forklare at det er 1 og 18 nuller. Avklar misforståelser rundt milliard, billion og liknende, og sorter de store tallene etter størrelse. Noen har kanskje hørt om en googol, da er det jo krevende å skrive alle de 100 nullene. Dere har da en fin innfalls-vinkel til behovet for en alternativ skrivemåte.

1.84Hjelp elevene med navnsetting.

Grunnleggende ferdigheterGod tallforståelse er grunnlaget for gode regneferdigheter.

ForenklingBase-10-materiell kan brukes til å illustrere tallene i oppgave 1.83 og tallet 2347 øverst på side 43.

Mer utfordringFor å bevise sammenhenger i tallteori og algebra, vil vi ofte ha bruk for å skrive et tall på utvidet form. Elever som har forutsetninger for å forstå det, kan øve opp matematiske leseferdigheter ved å lese beviset for at et tall er delelig med 3 hvis tverrsummen til tallet er delelig med 3. Se ekstra undervisningsopplegg på Lærerrommet.

Store tall på amerikanskI Europa benyttes prefikser som viser til potens av million. 1012 = (106)2 er altså en billion (bi- står for to). I USA


Oppgavebok

1.82, 1.83

1.95

1.107

Det ene 1-tallet er verdt 1000

ganger så mye som det andre 1-tallet. 4-tallet er verdt

dobbelt så mye som 2-tallet.

Sifferet 4 er verdt 200 ganger så mye

som sifferet 2.

41 210 Det ene 1-tallet er verdt en

hundredel av det andre 1-tallet.

A

BC

D

Vi ser nærmere på tallet 2347:

2 3 4 7 Enerplass: Verdien til sifferet er 7 · 1.

Tierplass: Verdien til sifferet er 4 · 10.

Hundrerplass: Verdien til sifferet er 3 · 100 = 3 · 102.

Tusenerplass: Verdien til sifferet er 2 · 1000 = 2 · 103.

For hver sifferplass til venstre får sifferet ti ganger større tallverdi.

1.84 Tegn av og gjør ferdig tabellen til og med sifferplass 13.

Sifferplass Navn Plassverdi Gangestykke Tierpotens

1 ener 1 100

2 tier 10 10 101

3 hundrer 100 10 · 10 102

4 tusener 1 000 10 · 10 · 10

5 titusener 10 000

6 100 000

7

1.85 Hvem har rett?

og en rekke andre land brukes derimot betegnelsen billion om tusen millioner, altså 109. Bruk sammen-hengen som er vist i kopioriginal K.9.1.8, og la elevene oversette setningene på samme side til norsk og skrive store tall med ord på både norsk og amerikansk.

Flere aktiviteterHvem skal ut?Utstyr: Kopioriginal K.9.1.9

I hvert tilfelle skal elevene begrunne hvilket av de fire tallene som skiller seg fra de andre.Det er flere løsninger i hvert tilfelle. Noen løsninger er følgende:A Nr. 3 er eneste tall der sifferet på

hundreplass er 0. (Bruk ikke formuleringen «ingen hele

hundrere», for tallet har 30 hele hundrere.) Nr. 4 er eneste tall som er større enn 3500.

B Nr. 1 er eneste tall som ikke har sifferet 0. Eneste tosifrede tall. Nr. 4 er eneste tall som ikke er 1,2 ganget med en tierpotens.

C Nr. 2 er eneste tall der sifferet på enerplass ikke er 9. Nr. 3 er eneste tall der sifferet på tierplass ikke er 0.

Lytt til elevenes argumenter og språklige presisjon. La elevene korrigere hverandre hvis det er upresist språk.

PlassifferslangenEt spill for to–fire spillereUtstyr: Spillebrikker, en terning og et spillebrett (kopioriginal K.9.1.10)

Velg først om dere skal spille med én eller to brikker hver. Det blir mer strategi i spillet med bruk av to brikker. Spill om hvem som skal begynne. Den som begynner, kaster så terningen og flytter en spille-brikke så mange plasser frem som terningen viser. Hvis spilleren lander på en grå rute, er antall poeng lik antall terningøyne. Hvis brikken lander på en farget rute, er antall poeng lik antall terningøyne ganget med den tierpotensen som vises. Har spilleren flere brikker, velger han selv hvilken brikke han går med. Noter poeng underveis, og spill til alle spillerne har fått alle sine brikker gjennom slangen. Summer poengene. Spilleren med flest poeng vinner.


Aktivitet

Hvor store er store tall?Dere trenger • ruteark og centikuber

Fremgangsmåte

Del 1Bruk rutene i rutearket. • Marker en rute ved å tegne rundt den. • Tegn et rektangel som er 10 ruter stort.• Tegn et rektangel som er 100 ruter stort.• Tegn et rektangel som er 1000 ruter

stort.

Diskuter spørsmålene.a Hvilke sidekanter vil du bruke hvis du

skal tegne et rektangel som er 100 000 ruter stort? Får du plass på arket?

b Hvor mange ark trenger du hvis du skal tegne et rektangel som er 1 000 000 ruter stort?

c En skje matjord kan inneholde omtrent 10 000 000 000 bakterier. Hvor mange ark ville du trengt om hver rute skulle inneholde en bakterie?

d Det norske oljefondet er på ca. 4 729 000 000 000 kr (desember 2013). Hvis en rute representerer en hundrelapp, hvor mange ark måtte du hatt for å tegne et rektangel som representerer oljefondets størrelse?

Del 2Bruk centikuber.• Bygg en kube som har sidekant 2 cm.• Bygg en kube som har sidekant 4 cm.

Diskuter spørsmålene.a Hvor mange centikuber brukte du på de

to første kubene, og hvor mange bruker du hvis du skal lage en kube med sidekant 1 m?

b Hvis du har like mange centikuber som Norges befolkning på 5 109 000 (april 2014), hvor stor sidekant har kuben du kan bygge av disse?

c Hvis du har like mange centikuber som verdens befolkning på 7 228 500 000 (april 2014), får du plass til alle centikubene i klasserommet ditt?

d Dvergplaneten Pluto ligger 5700 millioner km fra Jorda. Hvis du har én centikube per meter, hvor stor sidekant har kuben du kan bygge av disse? Hvor mange m3 trenger du da for å få plass til alle?

Faglig innhold• Store tall• Standardform

Utstyr• Spillebrett, kopiorginal

K.9.1.11 og spillebrikker i to farger

Kommentarer

Hvor store er store tall?Når vi opererer med store tall, blir det fort abstrakt, og elevene får da ikke noe godt bilde av hvor store tallene egentlig er. Denne aktiviteten er ment å konkretisere store tall for elevene.

I del 1 anbefaler vi å ikke bare regne ut hvor mange ark en trenger til de ulike tallene, men også å telle opp dette antallet ark og legge dem utover, for eksempel i skolegården.

På Internett finnes det ulike visuali-seringer eller animasjoner som skal forklare store tall. Søk for eksempel på «How much is a trillion dollars?».

1.86Søk på Internett etter ferske tall.

Grunnleggende ferdigheterTolking av ulike tallformater kan knyttes til både leseferdigheter, skriftlige ferdigheter og muntlige ferdigheter. Ulike tallformater brukes i artikler og fagtekster knyttet til naturfaglige og samfunnsfaglige emner.

ForenklingLa elevene starte med mindre tall eller med tall som ikke gir mange desimaler. Bruk for eksempel disse:Avstand Oslo–Roma: 2000 kmAntall maur i en maurtue: 6700Antall sekunder i et døgn: 86 400Årsinntekt: 420 000 kr

Mer utfordring / Flere aktiviteterFlere store tallLa elevene prøve å regne ut føl-gende:Hvor mange år er en billion sekunder? (1 950 000 år)Tenk deg at du lever i 80 år. Hvor mye må du spare hver dag hvis du skal kunne ende opp med én milliard på kontoen? (34 200 kr)I 2014 er statens samlede inntekter beregnet til 1 295 milliarder kroner. Hvor mye er dette per person om en regner Norges befolkning til å være 5 000 000 mennesker? (259 000 kr)


Oppgavebok

1.84, 1.85

1.96, 1.97

1.108, 1.109

Eksempel 22


Hver gang vi ganger med 10, må vi flytte

kommaet én plass til høyre.

Store tall på standardform

I statsbudsjettet for 2014 er de totale inntektene til staten anslått til 1 295 milliarder kroner. 1 milliard er 1000 millioner. Vi kan derfor skrive 1 295 milliarder som 1 295 000 000 000 kr.

Vi ser at store tall blir lange tall, og at vi må begynne å telle nuller for å lese dem. Vi har derfor en alternativ skrivemåte for store tall, der vi bruker tierpotenser. Denne skrivemåten kalles for standardform.

Å skrive tall på standardform betyr å skrive et stort eller lite tall som et desimaltall mellom 1 og 10, multiplisert med en tierpotens.

Skriv tallet 1 295 000 000 000 på standardform.

Løsningsforslag

Etter sifferet 1 er det 12 sifre. Det betyr at sifferet 1 har verdien 1012.

1 295 000 000 000 kr = 1,295 · 1012 kr

1.86 Inntektene i statsbudsjettet er delt i tre hovedtyper:

Inntekter fra petroleumsvirksomhet: 344 000 000 000 kr Skatter og avgifter fra Fastlands-Norge: 793 000 000 000 kr Andre inntekter: 158 000 000 000 kr

a Skriv beløpene på standardform.

b Søk på «statsbudsjettet» på Internett. Se om du kan finne tilsvarende tall for inneværende år.

Store tall – lottoEt spill for to spillereUtstyr: Et spillebrett (kopioriginal K.9.1.11), spillebrikker i to farger

Spillet består av et spillebrett med tall skrevet i varierte formater og spillkort med de samme tallene skrevet på standardform.

Klipp spillkortene fra hverandre, bland dem godt, og legg dem i en bunke med skriften ned. Trekk kort annenhver gang. Spilleren som trekker kort, vinner ruta med samme tallverdi på brettet og markerer dette ved å legge på en brikke i sin farge. Første spiller til tre på rad, vannrett, loddrett eller diagonalt, vinner.

Alternativ 1:Spill åpent. Da legges spillkortene utover bordet, og spillerne trekker annenhver gang. Når en elev har valgt et kort, er det ikke lov å ombestemme seg. Spill til fire på rad. Denne varianten inneholder mer strategi for å sperre motspilleren.

Alternativ 2:Spill som en stafett. Del klassen i lag med tre–fire elever på hvert lag. Velg også en upartisk kontrollør for hvert lag. Bruk et spillebrett og en bunke kort for hvert lag, og legg disse i den ene enden av klasserommet. Elevene stiller opp lagvis i den andre enden, løper etter tur frem, snur et kort og plasserer dette på spillebrettet. Første lag til å ha fylt en avtalt del av brettet (for eksempel et felt på 3 ∙ 3 ruter) vinner stafetten.


Maximum 946

1.87 Skriv disse avstandene på standardform.

a Oslo–Bergen (luftlinje): 300 km b Mandal–Vardø (luftlinje): 1770 km

1.88 Tabellen nedenfor viser noen avstander i verdensrommet. Skriv avstandene i kilometer på standardform.

Objekt Målt fra Avstand (km)

Månen Jorda 384 000

Merkur Sola 57 900 000

Venus Sola 108 000 000

Jorda Sola 150 000 000

Mars Sola 228 000 000

Jupiter Sola 778 000 000

Saturn Sola 1 430 000 000

1.89 I verdensrommet er det så store avstander at vi måler dem med enheten lysår. Et lysår er så langt lyset beveger seg på et år, det vil si 9,46 · 1012 km.

a Skriv avstandene i lysår i tabellen nedenfor på standardform.

b Gjør avstandene i tabellen om til km, og skriv svaret på standardform.

Galakse Målt fra Avstand (lysår)

Melkeveien Sola 27 500

Andromedagalaksen Sola 2 300 000

Fjerneste galakse Sola 12 700 000 000

1.90 Skriv av og sett inn >, < eller =.

a 300 000 3,0 · 106

b 2,1 · 103 21 000

c 2,8 · 1011 9,6 · 1011

d 4,5 · 107 45 000 000

Lyset beveger seg med en hastighet

på ca. 300 000 km/s.

Faglig innhold• Skrive tall på

standardform

KommentarerOppgavene på disse sidene handler om å kunne lese, tolke, skrive og forstå tall skrevet på standardform.

1.92Bruk litt tid sammen i tilknytting til denne oppgaven. Hva betyr det å doble og halvere, hva skjer når vi ganger eller deler med 10, 100 osv.?

Start med et tall som ikke er veldig stort. Sammenlikn vanlig skrivemåte med standardform:2400 = 2,4 ∙ 103

Dobling:4800 = 4,8 ∙ 103

Halvering:1200 = 1,2 ∙ 103

Ti ganger større:2400 ∙ 10 = 24 000 = 2,4 ∙ 104

En tidel:2400 : 10 = 240 = 2,4 ∙ 102

Samtal om de endringene som skjer i desimalbrøken, og om de endringene som skjer i tierpotensen.

Grunnleggende ferdigheterElevene skal lese, tolke, sammen-likne, skrive og gjøre beregninger med store tall både på vanlig form og på standardform. Elevene arbeider med forståelsen sin av hvor lange ulike avstander er, og hvor store ulike størrelser er.

ForenklingElevene samarbeider to og to.

Skriv ned ti store tall (for eksempel avstanden mellom hjemstedet deres

og ti kjente byer i verden som dere kunne tenke dere å besøke en gang) på forsiden av ti pappkort. Snu kortene, og skriv på hvert av dem hvordan tallet skrives på standard-form.

Bytt så kort med to andre i klassen, og oversett mellom tall skrevet på ulike former. Sjekk med det som står på baksiden av kortet.

Mer utfordring / Flere aktiviteterFinn en oversikt over hvor mange km det er mellom ditt hjemsted og ti større byer i Norge. Gjør om fra km til antall meter, og skriv distansen på standardform.


Oppgavebok

1.86

1.98

1.110, 1.111


Nasjonalpark Areal (km2)

Etosha (Namibia) 22 270

Hardangervidda (Norge) 3422

Rondane (Norge) 963

Serengeti (Tanzania) 14 763

Yellowstone (USA) 8983

1.91 Bruk Internett. Finn avstandene mellom disse byene målt i km, og skriv tallene på standardform.

a Roma–Aten c Stockholm–New York

b Oslo–Beijing d London–Johannesburg

1.92 Hvilket tall er

a hundre ganger større enn 1,2 · 107

b dobbelt så stort som 3,5 · 104

c en tidel av 6,3 · 105

1.93 Finn tallene i venstre og høyre kolonne som har samme verdi.

A 2300 1 2,3 · 106

B 23 2 2,3 · 102

C 2 300 000 3 2,3 · 103

D 2 300 000 000 4 2,3 · 104

E 23 000 5 2,3 · 101

F 230 6 2,3 · 109

1.94 Tabellen viser størrelsen på noen kjente nasjonalparker.

a Skriv av tabellen, og skriv tallene på standardform slik at desimaltallet er avrundet til en desimal.

b Omtrent hvor mange ganger større er Yellowstone enn Rondane?

1.95 Mjøsa rommer 55 360 000 000 m3 vann.

a Skriv volumet som et tall på standardform.

Det renner 10 100 000 000 m3 vann ut av Mjøsa i løpet av et år.

b Skriv avrenningen som et tall på standardform.

c Hvor stor brøkdel av Mjøsas vannvolum skiftes ut hvert år?

d Hvor lang tid oppholder vannet seg gjennomsnittlig i Mjøsa fra det renner inn til det renner ut?

Aktivt valgForberedelser: Overfør de åtte påstandene nedenfor til PowerPoint, en digital tavle eller et annet medium for storskjerm.

Start med å be alle elevene om å reise seg. Vis frem påstandene én etter én. Dersom eleven er enig, blir han stående, dersom han er uenig, setter han seg. Diskuter begrunnel-sene for sann/usann for hver påstand med elevene.Påstander om tallet 2,14 ∙ 102:1) Tallet er et helt tall. (Sant)2) Tallet er halvparten av 2,14 ∙ 104.

(Usant)3) Tallet er større enn 1000.

(Usant)4) Tallet har 21,4 tiere. (Sant)

5) Tallet er det dobbelte av 107. (Sant)

6) Tallet har sifferet 2 på enerplass. (Usant)

7) Tallet er 20 % av 4,28 ∙ 103. (Sant)

8) Tallet kan være en riktig avrun-ding av 213,7. (Sant)

La elevene velge tall selv og lage 4–5 tilsvarende påstander om tallet sitt. Etterpå går elevene sammen i grupper på 3 eller 4 og tester hverandre i sant/usant.


Eksempel 23

Maximum 948

Vi ganger tierpotensene ved å legge sammen eksponentene!Vi kan alltid bytte

rekkefølgen på faktorene i et

gangestykke uten at svaret blir endret.

Når desimaltallet ikke blir et tall mellom

1 og 10 ved utregning, må vi gange eller dele med

10 og justere tierpotensen tilsvarende.

Navn Volum (m3)

1 Mjøsa 5,5 · 1010

2 Røssvatnet 1,4 · 1010

3 Femunden 6,0 · 109

Å regne med tall på standardform

Når vi skal regne med tall på standardform, ville det vært veldig upraktisk om vi først måtte skrive dem ut med alle sifrene.

a Regn ut 3,4 · 107 · 2,0 · 105.

Løsningsforslag

3,4 · 107 · 2,0 · 105 = 3,4 · 2,0 · 107 · 105 = 6,8 · 1012

b Regn ut (9,3 · 107) : (3,0 · 103).

Løsningsforslag

(9,3 · 107) : (3,0 · 103) = (9,3 : 3,0) · (107 : 103) = 3,1 · 104

c Regn ut 3,5 · 106 · 4,2 · 103

Løsningsforslag

3,5 · 106 · 4,2 · 103 = 3,5 · 4,2 · 106 · 103 = 14,7 · 109 = 1,47 · 1010

1.96 Regn ut.

a 3,1 · 106 · 2,4 · 107

b 5,6 · 108 · 1,5 · 103

c (7,29 · 106) : (3,0 · 104)

d (7,2 · 109) : (1,2 · 105)

1.97 Tabellen viser volumet av Norges tre største innsjøer.

a Omtrent hvor mange ganger større er Mjøsa enn Røssvatnet?

b Omtrent hvor mange ganger større er Mjøsa enn Femunden?

Faglig innhold• Regne med tall på

standardform

KommentarerEksempel 23a Her vises multiplikasjon. Vi

fokuserer på at det er lov å bytte om på rekkefølgen av faktorene. En kan derfor først multiplisere de to desimaltallene og deretter bruke potensregelen på tierpo-tensene.

b I divisjonsstykket bruker vi parenteser for å skille tallene – og regneoperasjonene – fra hveran-dre. For noen elever kan et oppsett med brøk være mer forklarende. Da ser vi at det her er en brøk ganget med en annen brøk:

9,3 ∙ 107

_______ 3,0 ∙ 103 =

9,3

___ 3,0 ∙ 107

____ 103 = 3,1 ∙ 104

c I dette eksemplet vises det hvordan det første svaret må

justeres med en tierpotens for at det endelige svaret skal kunne oppfylle kravet til et tall på standardform.

1.97Formuleringen omtrent betyr at det er meningen å gjøre overslag.

1.98Oppgaven bruker poenget fra eksempel 23c. Tallene kan ved første øyekast se ut som tall på standard-form, men desimaltallet tilfredsstiller ikke kravet om å ligge mellom 1 og 10.

1.100I de gule og grønne oppgavene er det flere mulige løsningsstrategier. La elevene presentere for hverandre

hvordan de har valgt å regne. De bør ha minst ett ledd med mellomregning som viser hvilken strategi de har valgt.Noen mulige strategier:A. Regne ut teller og nevner hver

for seg først og så utføre divisjonen til slutt.

B. Samle alle desimaltallene i én brøk og alle tierpotensene i en annen brøk og beregne brøkene hver for seg.

Grunnleggende ferdigheterRegneferdigheterFor å kunne gjøre beregninger med store tall på enkle måter regner vi med tallene på standardform.


Oppgavebok

1.87–1.90

1.99–1.102

1.112, 1.113


1.98 Skriv tallene på standardform.

a 34 · 107 b 213,6 · 105 c 0,012 · 109

1.99 Regn ut.

a 5,8 · 104 · 6,0 · 106

b 3,8 · 107 · 5,5 · 109

c (12,6 · 1017) : (4,2 · 108)

d (1,512 · 109) : (2,4 · 104)

e (3,45 · 1012) : (9,5 · 1010)

f (6,8 · 103)2

1.100 Regn ut og oppgi svaret på standardform. Rund av til én desimal i svaret.

1.101 I 2012 produserte Norge omtrent 5,6 · 108 fat råolje.

a Hvor stor er gjennomsnittsproduksjonen per måned?

b Hvor stor er gjennomsnittsproduksjonen per dag?

I internasjonal oljeomsetning er ett fat lik 158,987 L.

c Hvor mange liter tilsvarer en dags produksjon?

Gjennomsnittlig oljepris i 2012 var på 660 kr per fat.

d Omtrent hvor mange millioner kroner produserte Norge olje for i 2012?

a 1,9 · 107 · 3,2 · 103

b (8,2 · 109) : (3,7 · 105)

c 7,5 · 1010 · 4,8 · 104

d 5,3 ∙ 105 ∙ 2,7 ∙ 107

_______________ 6,2 ∙ 108

e 2,1 ∙ 108 ∙ 3,9 ∙ 103

_______________ 9,7 ∙ 105

f 8,9 ∙ 1013

_______________ 4,2 ∙ 103 ∙ 5,3 ∙ 105

g 1,3 ∙ 105 ∙ 9,7 ∙ 1012

________________ 8,3 ∙ 104 ∙ 3,6 ∙ 108

h 9,4 ∙ 108 ∙ 3,2 ∙ 1015

________________ 2,3 ∙ 109 ∙ 1,8 ∙ 107

i 8,7 ∙ 1012 ∙ 7,9 ∙ 106

________________ 7,9 ∙ 107 ∙ 9,5 ∙ 1010

ForenklingNår en regner med potenser på standardform, brukes de samme reglene som når en regner med vanlige potenser. Enkelte elever trenger heller å arbeide mer med vanlig potensregning enn å regne med tall på standardform.

La elevene jobbe med å multiplisere og dividere potenser med samme grunntall. Dette vil gi dem en forståelse for hva en potens egentlig er.

Mer utfordring / Flere aktiviteterLag en plakat, og skriv tallene på standardform:Finn ut hvor mange kg laks Norge eksporterer per dag/uke/år.

Finn ut hvor mange tonn CO2-ekviva-lenter som ble produsert i Norge i fjor. (CO2-ekvivalenter betyr at alle klimagasser omregnes til den effekten CO2 har på den globale oppvarmingen.)Finn ut hvor mye olje Norge produ-serte per dag/uke/år i fjor. Finn også andre fakta om Norge eller noe annet som omhandler store tall.

Tall på standardform:• Norge produserer … kg laks

per år.• Norge produserte … tonn

CO2-ekvivalenter i fjor.• Norge produserte … fat olje

i fjor / per år.


Eksempel 24

Maximum 950

Melkesyrebakterier

Glukosemolekyl

Hver gang vi deler

på 10, må vi flytte komma én plass til venstre.

Små tall på standardform

Alle bakterier er små. Likevel er det stor forskjell på de største og de minste bakteriene. En ganske stor bakterie er 0,002 mm lang. En ganske liten bakterie er 0,000 25 mm lang. Slike små tall kan også skrives på standardform.

Skriv tallet 0,002 på standardform.

Løsningsforslag

0,002 = 2,0 : 1000 = 2,0 : 103

Å dele er motsatt av å gange, og negativt er motsatt av positivt:

2,0 : 103 = 2,0 · 10−3

1.102 Skriv verdien 0,000 25 mm på standardform.

1.103 Et bestemt virus har en diameter på ca. 0,000 02 mm.

a Skriv diameteren til viruset på standardform.

b Hvor mange ganger større er en 0,002 mm lang bakterie enn et lite virus?

1.104 Et hydrogenatom har en masse på 0,000 000 000 000 000 000 000 001 67 g.

Skriv tallet på standardform.

1.105 Et glukosemolekyl er 0,000 000 001 m i diameter.

a Skriv diameteren til et glukosemolekyl på standardform.

Et cellulosemolekyl er en lang kjede sammensatt av glukosemolekyler. Én slik kjede kan bestå av inntil 15 000 glukosemolekyler.

b Omtrent hvor langt er et cellulosemolekyl?

Faglig innhold• Små tall på standardform• Regneark og tall på

eksponentiell form

Utstyr• Post-it-lapper• Linjal

Kommentarer

Eksempel 24Når vi arbeider med små tall på standardform, trenger vi negative eksponenter. Det går an å forklare hva som skjer med eksponenten logisk sett, ut fra plassverdien til sifferet 1:

1000 = 103 Det er tre plassverdier mellom sifferet 1 og kommaets plassering – til venstre for kommaet.

100 = 102 Sifferet 1 rykker en plass mot høyre, og eksponenten reduseres med 1.

10 = 101 Som over.

1 = 100 Som over.

0,1 = 10–1 Fremdeles som over …

1.105Beskrivelsen av cellulose gjøres noe ulikt i ulike kilder. Tallet 15 000 enheter er derfor noe usikkert.

Eksempel 25Eksponentiell visning er et typisk format for alle digitale hjelpemidler, blant annet for regneark og kalkula-torer. Både regneark og enkelte kalkulatorer vil automatisk omforma-tere et tall til eksponentiell form dersom det ikke er plass til tallet i cellen eller på displayet. Det er derfor viktig at elevene først og fremst lærer å kjenne igjen tall som fremstår på denne måten.

Grunnleggende ferdigheterFor å kunne gjøre enklere beregnin-ger med veldig små tall må elevene

kunne regne med tall på standard-form.

Digitale ferdigheterÅ lese og tolke måter å skrive store og små tall på ved bruk av regneark er en viktig digital ferdighet. Elevene skriver selv store og små tall i regneark og bruker regnearkets funksjoner for å gjøre beregninger.

ForenklingNoen elever blir forvirret over det de ikke kan se. La dem da få se flere nuller for å få oversikt. Forklar overgangen til negative eksponenter, som kommentert under eksempel 24, ved hjelp av gule lapper. Skriv 1 på en gul lapp og et komma på en annen gul lapp. Ha i tillegg et antall gule lapper med 0 på.


Oppgavebok

1.91–1.94

1.103–1.106

1.114–1.118

Eksempel 25


Store og små tall i regneark

Når vi skriver store tall i et regneark, bruker vi et tallformat som kalles «Eksponentielt». Noen ganger velger regnearket selv å skrive tall på denne måten. Det skjer hvis tallene blir for store eller for små til å få plass i den kolonnebredden vi har valgt.

Velg Format → Celler… → Eksponentielt

I noen regneark brukes ordet «vitenskapelig» i betydningen eksponentielt.

Skriv tallene 45 000 000 000 og 0,000 57 både på standardform og eksponentielt.

Tall Standardform Eksponentielt

45 000 000 000 4,5 · 1010 4,50E+10

0,000 57 5,7 · 10−4 5,70E−04

1.106 Hvilke likheter ser du mellom et tall skrevet på standardform og det samme tallet skrevet eksponentielt?

1.107 Bruk regneark og skriv tallene eksponentielt.

a 25 000 000 c Fire hundre og tretti milliarder

b 0,000 12 d Tjuefem milliondeler

1.108 Det er [2,23E+22] atomer i ett gram aluminium.

Skriv tallet på standardform og som vanlig tall.

1.109 Lysets hastighet er 300 000 km per sekund.

a Bruk regneark til å finne ut hvor langt lyset beveger seg på ett år.

b Avstanden til stjernen Sirius er 8,6 lysår. Hvor mange km er det?

1.110 Massen til ett vannmolekyl er m = 3,0 · 10−26 kg.

Hvor mange vannmolekyler er det i 0,5 kg?

Klistre alle de gule lappene etter hverandre, slik at de danner et stort tall. Oversett så tallet til tierpotens. Flytt lappen med sifferet 1 på trinn for trinn mot høyre ved hele tiden å la den bytte plass med 0-en til høyre for seg. Pass på at kommaet aldri bytter plass eller flytter på seg.

1

Første tall:

0 0 0 0 , 0 0

0

Andre tall:

1 0 0 0 , 0 0

...

0

Sjette tall:

0 0 0 0 , 1 0

0

0

0

I denne prosessen kan dere samtale om hvilke nuller vi pleier å vise, og om hvorfor de andre ikke vises, men er der likevel.

Mer utfordring / Flere aktiviteterFra millimeter til kilometerUtstyr: LinjalMål størrelsen på ulike gjenstander med en linjal. Det kan være tykkelsen på viskelæret, lengden til pennalet, bredden på klasseromsdøren osv. Skriv alle måltallene i km, som tall på standardform.

BølgelengdeLag en oversikt over de ulike bølgelengdene til ulike deler av elektromagnetisk stråling målt i meter. Lag oversikten fra radiostrå-

ling, mikrobølger, infrarød stråling, synlig lys (ulike farger), UV-stråling, røntgenstråling og gammastråling.

Fortell elevene at nm betyr nano-meter, som er 10–9 m.

Farge Bølgelengde

Fiolett 380−420 nm

Blått 420−490 nm

Grønt 490−575 nm

Gult 575−585 nm

Oransje 585−650 nm

Rødt 650−750 nm


Mål

Maximum 952

Symbolene {…} kalles mengde

parenteser og leses «mengden av».

Tallmengder


• sortere tallene på tallinja i forskjellige tallmengder• kjenne igjen rasjonale, irrasjonale og reelle tall

For å lage et system i mengden av alle tall deler vi tallene inn i ulike tallmengder. Mange av tallmengdene er du godt kjent med fra før:

De naturlige tallene: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

Hvis vi legger sammen to naturlige tall, får vi et nytt naturlig tall til svar, men differansen er ikke nødvendigvis et naturlig tall.

7 + 11 = 18 7 – 11 = –4

De hele tallene: = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

De hele tallene får vi når vi utvider mengden av naturlige tall med de hele, negative tallene.Dette kan vi vise ved å tegne mengderinger:

Vi sier at de naturlige tallene er en delmengde av de hele tallene.

1.111 Får du alltid, av og til eller aldri:

a et naturlig tall til svar når du

• ganger to naturlige tall• ganger to hele tall• deler et naturlig tall på et annet naturlig tall

b et helt tall til svar når du

• legger sammen to hele tall• finner differansen mellom to hele tall• ganger to hele tall• deler et helt tall på et annet helt tall

Faglig innhold• Naturlige tall• Hele tall• Rasjonale tall

Utstyr• Kortstokk

Kommentarer

Tallmengdene er ikke eksplisitt nevnt i læreplanen. Likevel skal elevene kunne regne om mellom tall på ulike formater, og de skal også kjenne til irrasjonale tall som π og kvadratrøtter. I dette delkapitlet vil vi oppsummere og sortere tallbegrepene for elevene.

Noen elever opererer med «hull» i tallinja. Dette kan for eksempel innebære at de ikke klarer å finne tall mellom to oppgitte tall. Det er et hovedmål i dette delkapitlet at alle elevene skal forstå at det alltid kan beskrives et nytt tall mellom to oppgitte tall, og at tallinja er kontinuerlig og uendelig. Uansett hvor liten differansen mellom to tall på tallinja er, så finnes det uendelig mange tall mellom dem.

Side 52Det er et poeng å legge merke til at 0 ikke er med i de naturlige tallene. Det er derfor ikke naturlig å begynne å telle fra 0.

N beskrives som en delmengde av Z. Enda mer presist kan det sies at N er en «ekte delmengde» av Z. Det er fordi Z også inneholder elementer (0 og de negative, hele tallene) som ikke er med i N. Vi har valgt å ikke vektlegge grenseoppgangen mellom begrepene delmengde og ekte delmengde, men den kan forklares med følgende eksempel:• I en klasse med både gutter og

jenter er mengden av jenter en ekte delmengde av klassen.

• I en ren jenteklasse kan også jentene beskrives som en

delmengde av klassen (det er en snevrere beskrivelse), men fordi denne delmengden er identisk med klassen, er det ikke en ekte delmengde.

Vi bruker venndiagram for å vise hvordan ulike tallmengder omslutter hverandre. Venndiagram blir behand-let grundigere i Kapittel 5.

Side 53De rasjonale tallene kan skrives som brøker. Det er likevel ikke sikkert at de er oppgitt på brøkform. I Maximum 8, Kapittel 3 ble det arbeidet med omgjøring mellom representasjonene brøk, desimaltall og prosent. Vurder ut fra resultatene fra førtesten hvorvidt det er nødvendig å repetere hvordan et desimaltall gjøres om til brøk:


Oppgavebok

1.119–1.121

1.125, 1.126

1.131–1.133

Eksempel 26


En overliggende strek betyr at

desimalsifrene gjentar seg uendelig

mange ganger.

Når desimaltallene gjentar seg i et

mønster, utvikler desimaltallet seg

periodisk.

desimal -utviklingen til et tall er rekkefølgen på desimalsifrene når vi skriver tallet som desimaltall

Rasjonale tall og desimalutvikling

Rasjonale tall er alle tall som kan skrives som brøk. Siden hele tall kan skrives som brøk med 1 i nevner, kan vi si at de hele tallene også er rasjonale, og derfor en delmengde av alle rasjonale tall.

Det er mange brøker som ikke går opp når vi prøver å gjøre dem om til desimaltall. Slike brøker får uendelig mange desimaler.

Gjør 7 __ 9 og

7 ___ 33 om til desimaltall.

Løsningsforslag

7 __ 9 = 7 : 9 = 0,77777 … = 0,

__ 7

7 ___ 33 = 7 : 33 = 0,212121 … = 0,

___ 21

Når vi skal uttrykke en brøk som desimaltall, kan vi bli nødt til å avrunde, eller vi kan regne ut så mange desimaler at de begynner å gjenta seg i et mønster. Da kan vi se hvordan desimaltallet utvikler seg periodisk.

1.112 Bruk brøkene 5 __ 8 , 7 ___ 11 , 13

___ 15 , 3 ___ 16 , 1

___ 12 og 9 ___ 22 .

a Gjør brøkene om til desimaltall.

b Fordel brøkene i to grupper: en gruppe brøker som har endelig desimalutvikling, og en gruppe brøker med periodisk desimalutvikling.

0,08 = 8

____ 100 = 2

___ 25

Ekte brøker, uekte brøker, hele tall og endelige desimaltall hører med til de rasjonale tallene. Spør elevene hvordan hele tall kan skrives som brøk. Merk også at samme brøkverdi kan skrives på uendelig mange forskjellige måter.

Eksempel 26Her vises det en ny skrivemåte for desimaltall. Legg vekt på behovet for å skrive nøyaktige tall fremfor avrundede tall.

Grunnleggende ferdigheterEkte brøker, uekte brøker, hele tall og endelige desimaltall hører med til de rasjonale tallene. Spør elevene hvordan hele tall kan skrives som

brøk. Merk også at samme brøkverdi kan skrives på uendelig mange forskjellige måter.

ForenklingLa elevene bruke kalkulator eller regneark på oppgave 1.112. Regne-arket har den fordelen at det viser flere desimaler, og at det derfor er lettere å kjenne igjen periodene.

Mer utfordring / Flere aktiviteterTrekk talletEt spill for to–tre spillere.Utstyr: En kortstokk uten jokere (ess har verdien 1)

Hver elev tegner et venndiagram med tallmengdene N, Z og Q. Bruk et

A4-ark. Røde kort skal være negative tall, og svarte kort skal være positive.

Etter tur trekker elevene to kort og plasserer dem som en brøk med den største tallverdien i teller. Deretter forkorter de brøken og finner ut hvilken tallmengde den hører hjemme i.

Elevene trekker etter tur ti tall hver hvis to spillere, eller åtte tall hver hvis tre spillere, og plasserer tallene i venndiagrammet. Spilleren får 3 poeng for tall i N og 1 poeng for tall i Z, men ikke i N. Tall i Q, men ikke Z gir ikke poeng. Spilleren med flest poeng vinner.

Eksempel: Svart dame og rød sekser blir 12

___ (–6) = –2. Dette plasseres i Z, men

utenfor N og gir dermed 1 poeng.


Eksempel 27

Maximum 954

Eksemplet viser en metode for å

gjøre et periodisk desimaltall om til

brøk.

1.113 Gjør om 1 __ 7 til desimaltall.

Hvor mange desimaler er det i en periode?

1.114 Gjør om brøkene til desimaltall. Studer desimalutviklingen og beskriv det du ser.

1 __ 7 ,

2 __ 7 ,

3 __ 7 ,

4 __ 7 ,

5 __ 7 og

6 __ 7

Gjør 0, ___

36 om til brøk.

Løsningsforslag

1 Vi kaller tallet vi skal gjøre om, for t.

2 Vi ganger t med et tall (10, 100, 1000, …) som gir et helt tall foran komma og bare perioder bak komma.

3 Vi trekker fra t (eller 10 · t, eller 100 · t, …), slik at vi får et helt tall.

4 Vi deler med tallet foran t, og forkorter slik at t blir lik en brøk.

5 Vi forkorter brøken mest mulig.

t = 0, ___

36 t = 0,363 636 …

100 · t = 36,363 636 …

– t = 0,363 636 …

99 · t = 36

t = 36

____ 99

= 36 : 9

______ 99 : 9

= 4 ____ 11

0, ___

36 = 4 ____ 11

1.115 Gjør de periodiske desimaltallene om til brøk.

a 0, __

5

b 0, ___

12

c 0, ____

156

d 0, ____

416

e 0, ___

18

f 0, ___

83

Faglig innhold• Periodiske desimaltall• Irrasjonale tall• Reelle tall

Utstyr• Stort ark eller gråpapir• Post-it-lapper

Kommentarer

Eksempel 27 og oppgave 1.115Tenk gjennom hvilke elever som skal lære å gjøre om fra periodiske desimaltall til brøker. Det vil være en styrke for forståelsen av talls egenskaper og av algebra for de elevene som har forutsetninger for å forstå dette.

I Maximum 9 Oppgavebok er oppgaver tilknyttet dette stoffet kun tatt med på gult og grønt nivå. Utfordringen ligger i å se hvor stor tierpotens en bør multiplisere med, og at en noen ganger må multiplisere med to ulike tierpotenser før en finner differansen.

To ekstra eksempler er gitt i kopiori-ginal K.9.1.12.

Side 55Til venndiagrammet:Presiser for elevene at bokstaven R er knyttet til alt innenfor den ytre mengderingen, på samme måte som at Q er knyttet til alt innenfor den nest ytre mengderingen. Det finnes ikke noe symbol for de irrasjonale tallene. I fagteksten vises det til at de irrasjonale tallene er mengden av alle tallene i det blå området. Det er de reelle tallene som ikke er rasjo-nale, det vil si tallene som er i R men ikke i Q. Vi kan si at Q og de irrasjo-nale tallene er komplementære mengder fordi et tall i R som ikke er med i Q, må være med blant de irrasjonale tallene, og omvendt, samtidig som det ikke finnes tall som er med i begge mengdene. Både Q og

de irrasjonale tallene er ekte delmengder av R.

To hendelser som ikke kan inntreffe samtidig (tallet t kan ikke være i Q og samtidig være irrasjonalt), kalles disjunkte hendelser. To komplemen-tære hendelser er også alltid disjunkte, men disjunkte hendelser behøver ikke å være komplementære.

Eksempel 28Vær oppmerksom på at vi ut fra denne opplistingen av desimaler egentlig ikke kan fastslå at vi har å gjøre med et irrasjonalt tall. Tallet kan nemlig være en brøk med svært lange desimalperioder, der vi ikke har avslørt perioden ennå. Dette er derfor egentlig bare en sannsynlig-


Oppgavebok

1.122, 1.123

1.127, 1.128

1.134–1.136

Eksempel 28


Kvadratroten av et helt tall er enten et helt tall eller et

irrasjonalt tall.

Irrasjonale tall og reelle tall

Vi vet at alle tall som kan skrives som brøk, også kan skrives som desimaltall med endelig eller periodisk desimalutvikling. Hvor skal vi plassere tallet 3, 349 217 856 932 855 … der det ikke er noe system i rekkefølgen på desimalsifrene, og der de fortsetter i det uendelige? Slike tall har også plass på tallinja. De kan ikke skrives som brøk. Vi må utvide tallområdet til å gjelde også slike tall.

De ekstra tallene kalles irrasjonale tall, og vises som det blå området på figuren. Det finnes uendelig mange av dem. Til sammen utgjør de rasjonale tallene og de irrasjonale tallene alle tall på tallinja. Vi kaller alle tall på tallinja for reelle tall .

De rasjonale tallene og de irrasjonale tallene utgjør til sammen alle reelle tall .

Er 2 et rasjonalt eller et irrasjonalt tall?

Løsningsforslag

Vi gjør om 2 til et desimaltall:

2 ≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569

Vi finner ingen repeterende mønstre i desimalutviklingen.

2 er et irrasjonalt tall

1.116 Tegn en figur som kan romme , , og , som vist ovenfor. Plasser tallene nedenfor i riktig mengdering.

1 3 __ 5 3 –1 1,8 4

16 ___ 9

gjøring av forholdet. Påstanden i snakkeboblen er imidlertid sann.

Dersom kvadratroten til et naturlig tall ikke er et tall i N, er det et irrasjonalt tall.

Grunnleggende ferdigheterElevene øver på grunnleggende tallforståelse gjennom å systemati-sere tallmengder som naturlige tall, hele tall og de tallene som kan skrives som brøk, nemlig de rasjonale tallene, og de reelle tallene som ikke er rasjonale, nemlig de irrasjonale tallene.

ForenklingLa elevene arbeide med både positive og negative hele tall og kjente brøker.

La elevene lage et stort venndiagram på et stort ark eller på gråpapir, og be dem plassere gule lapper med brøker, hele positive tall og hele negative tall i de ulike sirklene.

-9

4

34

13

Sorter gjerne på andre måter, i kolonne notat eller i tankekart.

Rasjonale tall Hele tall Naturlige tall

Mer utfordring / Flere aktiviteterBruk et stort ruteark. Skriv inn de rasjonale tallene nedenfor øverst i venstre hjørne. Fortsett på denne oversikten over rasjonale tall. Finn og fargelegg rasjonale tall som har samme verdi, med samme farge.

11

-11

21

-21

31

-31

12

-12

22

-22

32

-32

13

-13

23

-23

33

-33

14

-14

24

-24

34

-34

15

-15

25

-25

35

-35

16

-16

26

-26

36

-36

0 ...

...

...

...

...

...

... ... ... ... ... ...


Maximum 956

1Kvadratroten av et tall er alltid mindre enn tallet selv.

2De irrasjonelle tallene er inneholdt i de reelle tallene.

3 inneholder dobbelt så

mange tall som .

6

⊂

5Kvadratroten av en brøk er alltid et irrasjonalt tall.

4Kvadrattallene er inneholdt i de naturlige tallene.

1.117 Bruk tallene fra oppgave 1.116. Sorter dem fra minst til størst, og plasser dem så presist som mulig på en tallinje.

1.118 Finn et irrasjonalt tall mellom de to rasjonale tallene

a 2 og 3

b 3,4 og 3,5

c 3

___ 5 og 4

___ 5

d 4,1 og 4,2

e 1

___ 2 og 3

___ 4

f 0,25 og 0, ___

25

Hvis A er en delmengde av B, må alle tallene som finnes i A også finnes i B, men B kan ha flere tall enn A.Vi skriver A ⊂ B, og leser «A er en delmengde av B» eller «A er inneholdt i B».

1.119 Skriv med symboler.

a De hele tallene er inneholdt i de rasjonelle tallene.

b De naturlig tallene er inneholdt i de hele tallene.

1.120 Skriv med tekst.

a ⊂ b ⊂

1.121 Er utsagnet sant eller usant?

Faglig innhold• Tallmengder

Utstyr• Gråpapir eller stor plakat• Post-it-lapper

KommentarerPå denne siden introduseres elevene for symbolet for en ekte delmengde, ⊂, og vi bruker formuleringen «inneholdt i». En annen måte å formulere uttrykket N ⊂ Z på er «Z omslutter N». På side 54 kommen-terte vi forskjellen på en ekte delmengde og en delmengde. Symbolet for en delmengde som ikke er en ekte delmengde, er ⊆. Hvis vi vet at mengdene er like, kan vi bruke =.

Grunnleggende ferdigheterElever øver på grunnleggende tallforståelse gjennom å systemati-sere tallmengder som naturlige tall, hele tall, rasjonale tall og irrasjonale tall.

Forenkling1.118I stedet for å lete etter et irrasjonalt tall kan elevene finne et hvilket som helst reelt tall mellom de to oppgitt tallene.

Mer utfordring / Flere aktiviteterTegn dette store venndiagrammet på gråpapir eller på en stor plakat, og heng det på veggen. La elevene samarbeide to og to om å skrive ulike tall på gule lapper og plassere dem på venndiagrammet på arket på veggen.

La elevene fortelle hvorfor de plasserer tallet i den mengden de gjør, og hva mengden heter, og la dem også argumentere for hvorfor

tallet tilhører denne mengden. Klarer hvert av elevparene å finne et tall til hver av de 4 mengdene N, Z, men ikke N, Q, men ikke Z og R, men ikke Q?

KommentarerOppsummering av læringsmål, eksempler og løsningsforslag i Kort sagt kan arbeides med på ulike måter. La elevene lese gjennom hvert læringsmål knyttet til et eksempel og et løsningsforslag. La dem diskutere begreper og notere seg om det er noe de synes er


Oppgavebok

1.124

1.129, 1.130

1.137–1.141

svakeste på prøven. Disse elevene bør følges opp litt ekstra. Nivå 2 (gult nivå) er de påfølgende 20–50 % av elevene, mens nivå 3 (grønt nivå) er elevene som scorer over middelver-dien, de 50 % av elevene som scorer best.

I Vokal kan du ta ut rapporter for grupper og enkeltelever for å kunne lage en oversikt over hvordan slutten av kapitlet bør legges opp.

arbeidet en stund med Maximum 9, Kapittel 1.

Resultatene viser hva hver enkelt elev behersker og hva de spesielt trenger å arbeide mer med i Kapittel 1. Testen er ikke for å sette karakter. Resultatene kan gi en pekepinn på hvordan siste del av kapitlet skal behandles. Er det spesielle områder som bør få mer oppmerksomhet i det videre arbeidet, kan det gjøres utvalg fra Bli bedre-sidene i Kapittel 1.

Umiddelbart etter gjennomført kartlegging sendes resultatene til Vokal og lagres her. Elevene plasse-res i tre ulike nivåer ut i fra hvordan de scorer på prøven. På nivå 1 (rødt nivå, bekymringsgrense) finner du elevene som scorer blant de 20 %

vanskelig eller som de tenker de kan arbeide mer med gjennom Bli bedre.

Elevene kan da bla gjennom og plukke oppgaver i Bli bedre som passer for det de trenger å fokusere på.

Elevene kan også notere ned alle matematikkord som de kan forklare i en liste og de ordene de ikke kan forklare i en annen liste. Skriv ordforklaringer på de matematikkor-dene du har forstått. De kan bruke ordforklaringene bak i boka for å finne forklaringene på ordene de ikke kunne.

Gjennomfør midttesten i Smart Vurdering. Testen kartlegger hvilke ferdigheter elevene har etter å ha


Kort sagt


regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler

a Finn 80 % av 500 ved hoderegning.

b Mia har 3 ganger så mye som Per. Hvor mange % mer har Mia enn Per?

c Verdien til et smykke øker med 3 % per år. Hva er vekstfaktoren?

d Hvor mye er 12‰ av 32 000?

e Hvor mange promille er 5 av 2500?

a 80 % = 4

__ 5

4

__ 5 av 500 = 400

b Per har 100 %. Da har Mia 300 %, det er 200 % mer enn Per.

c Vekstfaktoren er 1,03.

d 32 000 ∙ 12

__________

1000 = 384

e 5

2500 = 0,002 = 2 ‰

tolke og regne med prosentpoeng

a Et politisk parti endrer oppslutning fra 18,9 % til 21,7 %. Beskriv endringen.

b Hvor mange % har oppslutningen til partiet økt?

a Endringen er på: 21,7 % – 18,9 % = 2,8 prosentpoeng.

b 2,8

____ 18,9

≈ 0,148 = 14,8 %

regne med potenser a Regn ut.

37 · 35

513 : 57

b Skriv så enkelt som mulig.

37 ∙ 89

_____ 85 ∙ 34

c Regn ut 34 – 33

d Lag en formel som regner ut verdien av 76 i et regneark.

a 37 · 35 = 37 + 5 = 312

513 : 57 = 513 – 7 = 56

b 37 ∙ 89

_____ 85 ∙ 34 = 37 – 4 ∙ 89 – 5 = 33 ∙ 84

c 34 – 33 = 81 – 27 = 54

d = 7^6

forklare hva kvadratroten av et tall er

Forklar ordet kvadratrot. Kvadratroten av et tall er det tallet du må gange med seg selv (eller opphøye i andre) for å få tallet.

36 = 6 fordi 6 · 6 = 36


Maximum 958


finne verdien av kvadratroten av et tall

a Hva er kvadratroten av 49?

b Finn tilnærmet verdi for kvadratroten av 12.

a 7 · 7 = 49, derfor er 49 = 7

b 12 ≈ 3 3

__ 7 ≈ 3,4

kjenne igjen og bruke kubikktall

a Hvilket av tallene 25, 27 og 29 er et kubikktall?

b Hvilke er de fem første kubikktallene?

c En terning er 125 cm3 stor. Hvor lang er sidekanten?

a 27 er et kubikktall fordi 3 · 3 · 3 = 27.

b De fem første kubikktallene er: 1, 8, 27, 64, 125

c 125 er et kubikktall. 125 = 5 · 5 · 5. Sidekanten til terningen = 5 cm

forklare hvordan totallssystemet er bygget opp

a Hvor mange sifre er det i totallssystemet, og hvilke er det?

b Skriv tallet 27 i totallssystemet.

a I totallssystemet er det to sifre, 0 og 1.

b 27 = 16 + 8 + 2 + 1 = 24 + 23 + 21 + 20

= 11011

forklare hvordan titallssystemet er bygd opp

a Hvorfor er titallssystemet et plassiffersystem?

b Hvordan forklares verdien til et siffer i et flersifret tall?

c Skriv 3528 på utvidet form.

a Titallssystemet er et plassiffersystem fordi verdien til hvert siffer er bestemt av sifferets plassering i tallet.

b Hver plass har en tierpotens som grunnverdi:

tuse

ner

hund

rer

tier

ener

tide

l

hund

rede

l

103 102 101 100 10–1 10–2

Verdien til sifferet 2 i tallet 4256 er 2 · 102 = 200.

c 3528 = 3000 + 500 + 20 + 8



5

-4 4,5 5

45

√


skrive og regne med store og små tall på standardform

a Skriv tallene 78 000 og 0,000 051 på standardform og på eksponentialform.

b Regn ut. 3,5 · 1012 · 1,2 · 109

c Regn ut. 3,8 · 105 : 5,0 · 10–3

d Hva er kravet til et tall skrevet på standardform?

a 78 000 = 7,8 · 104 = 7,80E + 04 0,000 051 = 5,1 · 10–5 = 5,10E − 05

b 3,5 · 1012 · 1,2 · 109 = 3,5 · 1,2 · 1012 + 9 = 4,2 · 1021

c 3,8 · 105 : 5,0 · 10–3 = 3,8 : 0,5 · 105 – (–3) = 1,9 · 108

d Et tall på standardform består av et desimaltall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

regne med tierpotenser i praktiske situasjoner

a I en vannprøve blir det funnet 3,0 · 1012 bakterier per mL.

Hvor mange bakterier er det i en liter?

b Avstanden til Månen er 3,9 · 105 km, og avstanden til Mars er 5,6 · 107 km.

Hvor mange ganger lenger er det til Mars enn til Månen?

a 1L = 1000 mL = 103 mL. Antall bakterier i 1 liter: 3,0 · 1012 · 103 = 3,0 · 1015

b (5,6 · 107) : (3,9 · 105) = (5,6 : 3,9) · 107 – 5≈ 1,4 · 102 = 140

Det er ca. 140 ganger så langt til Mars

som til Månen

sortere tallene på tallinja i forskjellige tallmengder

a Hvilke delmengder kan de reelle tallene deles inn i?

b Plasser tallene –4, 5, 4,5, 4

__ 5 og 5 inn i et diagram som viser mengdene , , og

.

a Delmengder av de reelle tallene er:

• De naturlige tallene, = {1, 2, 3 …} • De hele tallene, = {… –2, –1, 0, 1, 2, …} • De rasjonale tallene , alle tall

som kan skrives som brøk. • De irrasjonale tallene, tallene på tallinja

som ikke kan skrives som brøk.

b

kjenne igjen rasjonale, irrasjonale og reelle tall

a Hvorfor er 0, ___

63 et rasjonalt tall?

b Gi et eksempel på et irrasjonalt tall.

a 0, ___

63 er et desimaltall med periodisk desimalutvikling. Da kan tallet skrives som brøk. 0,

___ 63 =

7

___ 11

b 2 er et eksempel på et irrasjonalt tall.


Maximum 960

Bli bedreProsent

1.122 Regn i hodet.

a 12,5 % av 160

b 75 % av 48

c 3 av 15 som prosent

d 23 av 92 som prosent

e 100 % når 40 % er 60

f 12,5 % når 75 % er 81

1.123 Hvilken utregning nedenfor til venstre gir resultatet til høyre?

1 Dele tallet på 5


___ 43 Doble tallet

4 Dele tallet på 10

5 Gange tallet med 1,1


___ 2

A 25 % av tallet

B 50 % økning

C 90 % reduksjon

D 10 % økning

E 20 % av tallet

F 100 % økning

1.124 Ved et lønnsoppgjør stiger lønningene i et firma slik tabellen viser:

Stilling Gammel årslønn (kr) Ny årslønn (kr)

Direktør 790 000 813 700

Sekretær 295 000 305 000

Avdelingsleder 480 000 498 000

Fagarbeider 325 000 338 000

a Hvilken stilling fikk det største kronetillegget?

b Hvilken stilling fikk det største prosentvise tillegget?

1.125 Verdien av et maleri steg med 250 % da maleren ble kjent. Maleriet kostet 4000 kr før.

Hva er verdien til maleriet nå?

KommentarerBruk de siste oppslagenes oppgaver og lag en plan sammen med elevene på hva de trenger å arbeide spesielt med i de siste timene før kapittelprø-ven. Resultatene fra Smart vurdering midttest og elevenes egne vurderin-ger av måloppnåelse i lærings målene som ble presentert i Kort sagt bør være avgjørende på hvor kreftene bør settes inn her mot slutten. La hver elev lage en plan for arbeidet og identifisere hvilke mål de spesielt trenger å arbeide mot.

1.124Diskuter om prosenttillegg er en rettferdig ordning ved et lønnsopp-gjør.

1.129Elever som blir forvirret av at det ikke er oppgitt noen mål, bør oppfordres til å prøve med flere forskjellige mål som utgangspunkt. Deretter bør de oppfordres til å finne en generell sammenheng mellom disse.

Flere aktiviteterKappe landEt spill for to eleverUtstyr: Tofargede tellebrikker, terning (enten 1–6 eller 0–9)

Start med 50 brikker snudd med lys side opp og 50 brikker med mørk side opp. Hver spiller «eier» en farge. Spill om hvem som starter.

Spiller 1 starter. Han kaster terningen og multipliserer med 10, hvis det er

en 1–6-terning, eller med 5, hvis det er en 0–9-terning. Dette er den prosentdelen av motspillerens «land» som han så kan erobre. Rund ned til nærmeste hele brikke og snu disse til å få sin farge. Deretter er det spiller 2 sin tur, og han gjør dette på samme måte. Den som først har tre eller færre brikker igjen i sin farge, har tapt.



PRISLISTEGlass-servise 1298 kr

Ørelappstol 898 kr

Krydderhylle 389 kr

Kåpe 129 kr

Blomstervase 79 kr

Bok 12 kr

omsetning summen av inntektene ved salg av varer eller tjenester

1.126 Noen varer i en bruktbutikk skal prises opp med 4,5 %.

a Lag et regneark som regner ut de nye prisene. La regnearket runde av til nærmeste hele krone.

b Bruk det samme regnearket som i a. Hva blir de nye prisene hvis butikken skulle hatt et salg med 20 % rabatt på de samme varene?

c Bruktbutikken sender 12 % av omsetningen sin til en veldedig organisasjon. Hvor mye penger kan sendes til organisasjonen når alle varene på lista er priset opp og solgt?

d Butikken priser opp varene på samme måte med 4,5 % hvert år i fem år på rad. Endre regnearket i a slik at det regner ut de nye prisene etter fem år.

1.127 Marit har en lønn som utgjør 120 % av Annes lønn.

Hvor mange prosent utgjør Annes lønn av lønna til Marit?

1.128 Før inneholdt en kjekspakke 24 kjeks. Nå forteller reklamen at pakken inneholder 25 % mer enn før.

Hvor mange kjeks er det i kjekspakken nå?

1.129 Ola og Ewa snekrer vedkasser. Ewas vedkasse er dobbelt så stor som Olas i alle retninger.

Hvor mange prosent større vedkasse har Ewa enn Ola?

1.130 I en familie på tre personer tjener de til sammen 812 000 kr. Mor tjener 20 % mer enn far, og sønnen tjener 10 % av det mor tjener.

Hvor mye tjener hvert av de tre familiemedlemmene?

1.131 Et hus er taksert til 3,2 millioner kr. Forsikringspremien er på 2,3 ‰ av takst.

Hvor stor er forsikringspremien?


Maximum 962

8 12 16 27 50 64

81 100 125 144 150 196

Potenser og kvadratrot

1.132 Er påstanden rett eller gal?

a Tallet 256 er både et kvadrattall og et kubikktall.

b Det finnes flere kvadrattall enn kubikktall.

c Det er sant at 23 < 32.

d Det finnes tall der kvadratet er større enn kubikken.

e Differansen mellom et kubikktall og kvadrattallet med samme grunntall er grunntallet.

f Hvis du deler et kubikktall på kvadrattallet med samme grunntall, får du grunntallet.

g Det finnes 89 kubikktall mellom 1000 og 1 000 000.

1.133 Martin bretter sammen et laken ved hele tiden å brette dobbelt. Først bretter han to ganger i bredden, deretter tre ganger i lengderetningen.

Hvor mange lag med stoff har det sammenbrettede lakenet?

1.134 Regn ut omtrentlig svar uten å bruke lommeregner. Kontroller med lommeregner etterpå.

a 21 b 57 c 94

1.135 Tegn av ringene. Plasser tallene nedenfor inni eller utenfor ringene, slik at den blå sirkelen inneholder kvadrattallene, og den røde sirkelen inneholder kubikktallene.

1.136 Regn ut.

a 59 · 53

b 1210 : 128

c 104 – 103

d

e

f

g

59 ∙ 38

_______ 52 ∙ 35

27 ∙ 34

_______ 39 ∙ 212

103 ∙ 24

________ 82 ∙ 53

a6 ∙ 12b10

_________ 4a7 ∙ b6

Kommentarer1.132Det er viktig å legge merke til at oppgaven ikke begrenser seg til hele tall. I d ser vi at påstanden er sann dersom en bare vurderer de hele tallene, men for brøker i intervallet <0,1> vil påstanden være sann.

( 1

___ 2

)2 = 1

___ 4 ( 1

___ 2

)3 = 1

___ 8

I g ser vi at 1000 = 103, og at 1 000 000 = 1003. Legg merke til at ordet «mellom» er brukt, og at ingen av grenseverdiene skal være med. Selv om vi kan finne kvadratet og tredjepo-tensen av alle tall, er kubikk tall definert som naturlige tall opphøyet i tredje. Det er fordi disse tallene har et naturlig tall som tredjeroten til tallet. (Helt tilsvarende som kvadrattall.)

1.133Hvis dette er vanskelig for elevene, la dem finne et A4-ark og brette og telle.

Flere aktiviteterUtforsk oddetallene Be elevene finne disse tallene:• Det minste oddetallet. (1)• Summen av de to første odde-

tallene.• Summen av de tre første

oddetallene.• Summen av de fire første

oddetallene.• Summen av de fem første

oddetallene.

Studer så svarene og be elevene skrive en hypotese for hva summen av de n første oddetallene er. (n2)

Utfordre elevene til å vise ved hjelp av figurer hvordan hypotesen stemmer. Be dem bygge kvadrater ved å starte med det minste, og se hvor mange ekstra brikker som trengs for å bygge det neste, og det neste, og det neste, …

1 1 + 3 1 + 3 + 5

Bruk av terninger til tallundersøkelserLag åtte binderser med «flagg» som er nummerert 1–8.


Dette betyr at en kan finne to og to par med summen 18. To par plasse-res i fire hjørner på toppen av kuben. De to neste parene kan da plasseres i de resterende fire hjørnene på bunnflaten av terningen.

Deretter kan elevene flytte rundt på tallene. Topp- og bunnflaten foran-drer ikke summen om hjørnetallene i toppen bytter plass innbyrdes, eller tilsvarende i bunnen. På samme måte kan to tall med summen 9 i toppen bytte plass med to tall med summen 9 i bunnen.

På figuren med løsningene nedenfor er differansen mellom motstående hjørnetall for de tre løsningene henholdsvis 1, 4 og 2.

Løsningsforslag:

6 3

2

8

4

1

5

7

7 2

5

8

6

1

3

4

7 2

3

8

4

1

5

6

Hvis elevene trenger et tips for å komme i gang, kan de bli bedt om å prøve å finne ut hva summen skal bli, alt før de plasserer tallene.

Et tips videre kan være at summen av det minste og største tallet er 9, summen av det nest minste og det nest største er 9, osv.:1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 9

Bindersene kan stikkes inn i hvert hjørne på kuben. Oppgaven går ut på å plassere tallene slik at summen av de fire tallene som er plassert i de fire hjørnene til en sideflate, blir den samme

på alle de seks sidene av terningen. Be elevene beskrive tallmønsteret dere ser når tallene er riktig plassert.

Det finnes tre forskjellige løsninger her. To løsninger regnes som like hvis de kan speiles eller dreies (roteres) over i hverandre. Klarer elevene å finne mer enn én løsning?

Det viser seg at for hver nye løsning er differansen mellom to tall i mot-stående hjørner på terningen konstant.


Tierpotenser og tall på standardform

1.137 Finn potensen som er

a hundre ganger større enn 104

b tusen ganger større enn 103

c en hundredel av 107

d en milliondel av 1010

1.138 Studer tallmønsteret.

3,2, 32, 320, 3200 …

a Beskriv med egne ord hvordan tallmønsteret vokser.

b Skriv de neste to tallene i tallmønsteret.

c Skriv det tolvte tallet i tallmønsteret som et tall på standardform.

d Skriv tall nummer n på så enkel måte som mulig.

1.139 Skriv tallene på standardform.

a 260 000 000

b 3 400 000 000

c 0,0000017

d 32 millioner

e 670 milliarder

f 9 tusendeler

1.140 Artisten Katie Melua synger: «There are nine million bicycles in Beijing.» Folketallet i Beijing er ca. 2,0 · 107 mennesker (2010).

Hvor mange mennesker er det per sykkel hvis artisten har rett?

1.141 Diameteren på en perle er 6,0 · 10−3 m.

Hvor mange perler trenger du for å lage et perlekjede som er 0,6 m langt?

1.142 Det lever omtrent 7,23 · 109 mennesker i verden og 5,11 · 106 mennesker i Norge (april 2014).

a Skriv de to tallene med ord.

b Omtrent hvor stor andel av verdens befolkning bor i Norge?

1.143 97,2 % av alt vann på Jorda finnes i verdenshavene. Hvor mye vann finnes andre steder når verdenshavene er fylt av 1,37 · 109 km3 vann?


Maximum 964

64

17

3

___ 8

– 1

___ 2

5,7

12

–16

0,333

310

0, ___

16

Tallmengder

1.144 Er påstanden rett eller gal?

a Alle hele tall er også rasjonale tall.

b Det finnes ikke irrasjonale, negative tall.

c Et rasjonalt tall har alltid et endelig antall desimaler.

d –9 er ikke et naturlig tall.

e Et irrasjonalt tall kan skrives som brøk.

f Kvadratroten av et tall er alltid et irrasjonalt tall.

g Alle kvadrattall er rasjonale tall.

h 0 er ikke et naturlig tall.

1.145 Finn ut om brøkene har endelig eller periodisk desimalutvikling, og skriv brøkene som desimaltall.

a 5 ____

12 b

3 ___

8 c

7 ____

18

1.146 Hvilke påstander om tallmengdene er sanne?

a er en delmengde av .

b er en delmengde av .

c er en delmengde av .

d er en delmengde av .

e er en delmengde av .

f og er til sammen .

g er en delmengde av .

h De rasjonale og de irrasjonale tallene utgjør til sammen mengden .

1.147 Bruk tallene i tallruta.

a Hvilke av tallene er i ?

b Hvilke av tallene er i ?

c Hvilke av tallene er rasjonale?

d Hvilke av tallene er irrasjonale?

e Hvilke av tallene er reelle?

1.148 Finn ett eller flere tall som passer til beskrivelsen. Finnes det et endelig antall løsninger?

a Et naturlig tall mellom –10 og 10

b Et rasjonalt tall mellom 2 og 4

c Et irrasjonalt tall mellom 3 og 5

Kommentarer1.149Oppgavene kan brukes som samar-beidsoppgaver. (Se beskrivelsen på side 37.) La også elevene lage liknende talloppgaver til hverandre. Hvis oppgaven ikke er entydig, er det en fin tilleggsoppgave for elevene å finne ut om det finnes et endelig (og i så fall hvor mange) eller et uendelig antall løsninger.

1.150Merk at det er oppholdene mellom slagene som tar tid, ikke slagene i seg selv. For tre slag trengs det to opphold, hvert av dem er da på 1,5 sekunder. Til seks slag trengs det fem opphold: 5 ∙ 1,5 s = 4,5 sekunder.

1.151Oppgaven kan løses ved å tegne en modell. Da vises det hvor mange prosent som må være kvinner.

15 % 40 % 25 %20 %

J G M K = 30

1.152I denne oppgaven er det en grei strategi å nøste opp i opplysningene bakfra. Hvis elevene står fast, kan et hint være følgende:Kan du finne ut hvor mange passasjerer som var med til D-by?

Nå kan elevene ta kapittelprøven. Kapittelprøven vurderes med karakter. Karakteren og tilbakemel-dingen her er en del av underveisvur-

deringen av elevens ståsted i dette temaet.



Tren tanken

1.149 Du får fire opplysninger om et tall. Finn tallet.

a • Tallet er et naturlig tall.

• Tallet har 7 som faktor.

• Siffersummen til tallet er 10.

• Tallet er mindre enn 50.

b • Kvadratet av tallet er et tall i 3-gangen.

• Tallet er irrasjonalt.

• Tallet er mindre enn 4 og større enn 3.

• Kvadratet av tallet kan ikke deles på 5.

c • Tallet er rasjonalt, men ikke helt.

• Fem ganger tallet er et kvadrattall.

• Ti ganger tallet kan faktoriseres i et kvadrattall og et kubikktall.

• Tallet er større enn 1 og mindre enn 10.

1.150 En kirkeklokke bruker tre sekunder på å slå tre slag klokka tre.

Hvor mange sekunder bruker den samme kirkeklokka på å slå seks slag klokka seks?

1.151 Medlemmene i et idrettslag er fordelt slik: 20 % er jenter, 15 % er gutter, 40 % er menn, og 30 er kvinner.

Hvor mange medlemmer er det i idrettslaget, og hvor mange av dem er ikke voksne?

1.152 Et tog skal fra by A til by E. Underveis stopper toget på stasjonene B, C og D. På stasjon B går 10 % av passasjerene av toget, og ingen kommer på. På stasjon C dobles passasjertallet, og på stasjon D øker passasjertallet med 25 %. Det går 270 passasjerer av toget i by E.

Hvor mange passasjerer gikk på toget i by A?

Documents

Maximum 9 Lærerens bok 1. kapittel