Matriks Lanjutan

MATRIKS

MATRIKSMATEMATIKA 2YUNITA A. MESSAH, ST.,MTTeknik Sipil-FST Universitas Nusa CendanaDeskripsiMata kuliah ini merupakan mata kuliah dasar umum yang mempelajari berbagai jenis matriks, matriks khusus, transpos matriks, dan invers matriks. Pada kuliah ini mahasiswa diberikan pembelajaran tentang matriks dasar dan dikembangkan lagi dengan mendapatkan invers matriks menggunakan eliminasi Gauss Jordan, penghitungan matriks dengan aturan Cramer, cara penghitungan rank matriks serta mencari nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa sifat determinan matriks untuk aturan Cramer dibahas pula dengan contoh pengerjaan soal.

Kompetensi KhususPemahaman tentang macam-macam jenis matriks;Trampil dalam menghitung dan menyelesaikan transpose matriks, sistem persamaan linier dan persamaan Gauss, rank matriks, invers matriks, determinan dan aturan Cramer serta penghitungan nilai eigen dan vektor eigen.

Kontrak PerkuliahanKehadiran dikelas minimal 80%, jika kurang tidak diperkenankan untuk mengikuti Ujian Akhir Semester (UAS). Empat pertemuan awal menentukan Anda layak/tidak untuk melanjutkan mata kuliah ini.Evaluasi yg dilakukan adalah evaluasi perkelompok. Setiap kelompok terdiri dari 5-6 orang mhsw/i. Evaluasi diberikan setelah selesai sub pokok bahasan/ pokok bahasan. Tugas Besar dikumpul sebelum UASKehadiran di perkuliahan paling telat 15 menit setelah jam perkuliahan dimulai (ex: jam kuliah, 08.15 paling telat 08.30)Pakaian bebas rapi (kemeja/kaos berkerah dan bersepatu). Tidak diijinkan memakai jaket dalam ruang kuliah.

Jadwal Kegiatan PerkuliahanPertemuanHari/TanggalMateri1Selasa, 14 Februari 2012Kontrak Perkuliahan: Matriks (Definisi & Jenis-jenis Matriks)2Selasa, 21 Februari 2012Transpose Matriks;,Sistem Penyelesaian dan Eliminassi Gauss3Selasa, 28 Februari 2012Rank Matriks, Invers Matriks, Determinan Matriks & Aturan Carmer, Eigen dan Vektor Eigen4Selasa, 06 Maret 2012Vektor (1)5Selasa, 13 Maret 2012Vektor (2)6Selasa, 20 Maret 2012Persamaan Differensial (1)7Selasa, 27 Maret 2012Persamaan Differensial (2)8Selasa, 03 April 2012Persamaan Differensial (3)9Selasa, 10 April 2012Ujian Tengah Semester10 Selasa, 17 April 2012Pers. Diferensial Homogen dengan Koef. Konstan 11Selasa, 24 April 2012Pers. Diferensial Orde ke N dengan Koef. Konstan 12Selasa, 01 Mei 2012Integral Ganda /Rangkap (1)13Selasa, 08 Mei 2012Integral Ganda /Rangkap (2)14Selasa, 15 Mei 2012Deret Fourier (1)15Selasa, 22 Mei 2012Deret Fourier (2)16Selasa, 29 Mei 2012Ujian Akhir SemesterDEFINISI MATRIKSMatriks adalah susunan bilangan z (nyata / kompleks) yang dinyatakan dalam bentuk :A =

Garis horisontal disebut baris atau vektor baris.Garis vertikal disebut kolom atau vektor kolom.

JENIS-JENIS MATRIKSMatriks baris atau vektor baris adalah matriks yang hanya mempunyai 1 baris.B = Matriks kolom atau vektor kolom adalah matriks yang hanya mempunyai 1 kolom.

Matriks bujursangkar adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom.

a11, a22, ..., ann disebut diagonal utama atau diagonal prinsipal.Sebarang matriks yang didapat dengan menghilangkan beberapa baris dan beberapa kolom disebut SUB MATRIK.

CONTOH1.Tentukanlah semua submatrik dari :

Penyelesaian :Submatriks 2 x 2

Submatriks 1 x 3 Submatriks 2 x 1

Submatriks 1 x 2 Submatriks 1 x 1

2.Tentukanlah semua submatriks dari :

MFA4080D5070C5565

Definisi Kesamaan 2 Matriks Kesamaan 2 Matriks, Matriks A dan B disebut sama jika dan hanya jika A dan B mempunyai banyak baris dan banyak kolom yang sama dan elemen yang seletak sama.

Definisi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks adalah penjumlahan dan pengurangan terdefinisi untuk matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama.

Sifat Sifat :A + B = B + AKomulatif( u + v ) + w = u + (v + w)AsosiatifA + 0 = AA + - A = 0

Definisi Perkalian Matriks dengan Skalar

Sifat Sifat :C ( A + B ) = CA + CB( C + K ) A = CA + KA C ( KA ) = ( CK ) A A = ATeorema ( Ruang Vektor Matriks)Matriks nyata atau kompleks m x n membentuk ruang vektor nyata atau kompleks. Basis memuat mn matriks Ers ( r = 1, ....m ; s = 1, ....,n ) dengan Ers matriks m x n dengan Ers = 1 (yaitu elemen baris ke r dan kolom ke s adalah 1) dan elemen yang lain adalah 0.Contoh :Tentukan basis dari

Penyelesaian :

A = 2 E11 + 3 E12 E21 + 4 E22

Perkalian Matriks dengan MatriksMatriks dapat dikalikan dengan matriks jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak matriks.

Teorema ( Sifat Perkalian Matriks )Asosiatif

(KA) B = K (AB) = A (KB)

A (BC) = (AB) C

Distributif

( A + B) C = AC + BC

C (A + B) = CA + CB

Perkalian matriks tidak komutatif AB BA

Hukum Konselasi tidak berlaku, yaitu :

AB = 0 tidak menyatakan A = 0 atau B = 0

Matriks-Matriks Khusus

Transpose Matriks

Contoh

SISTEM PERSAMAAN LINIER & ELIMINASI GAUSS

ContohBanyak Penyelesaian 30 x1 + 20 x2 + 20x3 50x4 = 806 x1 + 15 x2 + 15x3 54x4 = 2712 x1 3 x2 3 x3 + 24 x4 = 21Penyelesaian

Penyelesaian Tunggal

Tidak Ada Penyelesaian

Bentuk eselon : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 c22x2 + .... + c2n xn = b2RANK MATRIKS

RANK MATRIKS

INVERS MATRIKS

INVERS MATRIKS

INVERS MATRIKS

Determinan dan Aturan Cramer

Determinan dan Aturan Cramer

CONTOH

CONTOH

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Nilai Eigen dan Vektor Eigen





Penentuan Vektor Eigen




LATIHAN/TUGAS

LATIHAN/TUGAS

LATIHAN/TUGAS

LATIHAN/TUGAS

LATIHAN/TUGAS

LATIHAN/TUGAS

11.Carilah harga K agar persamaan persamaan berikut 3x + 5y + k = 02 + y 5 = 0kx+x + 2y 10 = 0

12. Pecahkan persamaan :

= 0LATIHAN/TUGAS13. Jika A = 2i + 2j k dan B = 3i 6j + 2k, tentukanlah :( i ) A . B( ii) A x B14. Tentukan Invers Matriks Berikut :

15. Tunjukkanlah bahwa matriks bujur sangkar

A =

16. Tentukanlah perkalian skalar ( A . B ) dan perkalian Vektor ( A B ) dari

17. Selesaikan soal, cari determinan dari :

A=B=

LATIHAN/TUGAS18. Gunakan Determinan untuk selesaikan persamaan ini :

19. Tunjukkanlah bahwa matriks bujur sangkar A =

20. Selesaikan soal berikut :

NO. 1NO. 2NO. 3NO. 4NO. 5Invers dari matriks A =

2 1 1 44 6 3NO. 6TENTUKAN EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARIA

B

C6 62 5 1 -102 2 3 142 0 NO. 7HITUNG X1, X2 DAN X3 DARI-X+X2+2X3=23X1-X2+X3=6-X1+3X2+4X3=4Matriks Segi-3 BawahMatriks bujursangkar dengan elemen-elemen di atas diagonal utama adalah 0.Contoh :

Matriks Segi-3 AtasMatriks bujursangkar dengan elemen-elemen di bawah diagonal utama adalah 0.Contoh :

Matriks DiagonalMatriks bujursangkar yang elemen-elemen di atas dan di bawah diagonal utama adalah 0.

Matriks SkalarMatriks diagonal yang elemen-elemennya sama.Contoh :

Matriks IdentitasMatriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utama adalah 1.Contoh :

Transpos matriks Amxn adalah ATmxn dengan mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

Sifat Sifat : 1. (AT)T = A2. (A + B)T = AT + BT3. (AB)T = BT AT

Matriks nyata A disebut simetris jika sama dengan transposnya.AT = AMatriks nyata A disebut skew simetris jika sama dengan negatif transposnya.-AT = ASebarang matriks bujursangkar A dapat dituliskan sebagai jumlah matriks simetris R dan matriks skew simetris S dengan :R = ( A + AT) dan S = ( A AT )

=

R = = RT

S =

=

ST = ST = a11x1 + a12x2 + ....+ a1nxn = b1......am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

a11, a12 , ... , amn disebut koefisien, jika bi = 0, i = 1,2,.....,m maka sistem tersebut disebut homogen. Jika ada salah satu dari bi 0 maka sistem tersebut disebut non homogen.

30x1 + 20x2 + 20x3 50x4 = 80-55x2 55x3 + 220 x4 = -55x2 = 0 , x3 = 0 , x4 = -55/220 = -1/430x1 50(-1/4) = 8030x1 + 25/2 = 160/2 , 30 x1 = 135/2 x1 = 135/60x2 = 0, x4 = 0-55 x3 = - 55x3 = 1

30x1 + 20 = 8030x1 = 60x1 = 2-x1 + x2 + 2x3 = 23x1 x2 + x3 = 6-x1 + 3x2 + 4x3 = 4Penyelesaian :

-5x3 = -10x3 = 22x2 + 7x3 = 122x2 + 14 = 122x2 = -2x2 = -1x1 = 13x1 + 2x2 + x3 = 32x1 + x2 + x3 = 06x1 + 2x2 + 4x3 = 6Penyelesaian :

Definisi :Rank A adalah jumlah maksimum baris yang independen linear dan matriks A rank matriks 0 adalah 0.

Teorema ( Rank dalam Vektor Kolom)Rank A adalah jumlah maksimum kolom yang independen linear dari matriks A karena itu A dan AT mempunyai rank yang sama.Contoh :Tentukan rank dari :

B = Penyelesaian :

B = Invers Anxn adalah A-1nxn sedemikian hingga AA-1 = A-1.A = I dengan I adalah matriks identitas n x n. Jika A mempunyai invers maka A disebut matriks Nonsingular.Jika A tidak mempunyai invers maka A disebut matriks Singular.Jika A mempunyai invers maka inversnya tunggal.Teorema (Keberadaan Invers)Matriks Anxn mempunyai invers jika dan hanya jika rank A = n dan A matriks nonsingular jika rank A = n dan singular jika rank A < n.

Contoh :

Carilah inversnya dengan Eliminasi Gauss Jordan.

i. iv.

ii. v.

iii. vi. maka :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Selesaikanlah dengan aturan Cramer2x1 x2 + 2x3 = 1x1 + 4x2 + 3x3 = 33x1 2x2 2x3 = 6Penyelesaian :

= 2 (-8 + 6) + (-2 -9) + 2(-2 12) = -43

= -8 + 6 + (-6 18) + 2 (-6 24) = -86

= 2(-6 18) (-2 9) + 2(6 9) = -43

= 2 (24 + 6) + 6 9 + ( -2 12) = 43

Teorema I (Transposisi)Nilai determinan tidak berubah jika baris diubah menjadi kolom.Teorema II ( Perkalian dengan konstan)Jika semua elemen dalam 1 baris (1 kolom) dari determinan dikalikan faktor yang sama yaitu K, maka nilai determinan K kali nilai determinan.Teorema III Jika semua elemen dalam 1 baris (1 elemen) dari determinan adalah 0, maka nilai determinan itu 0.Teorema IVJika tiap elemen dalam 1 baris (1 kolom) dari determinan dinyatakan sebagai binomial, maka determinan dapat dituliskan sebagai jumlah 2 determinan.Teorema V (Pertukaran Baris atau Kolom)Jika 2 baris (2 kolom) ditukarkan nilai determinan dikalikan -1.Teorema VI (Baris atau Kolom Proporsional)Jika elemen-elemen dalam 2 baris (2 kolom) dari determinan proporsional, maka nilai determinan itu 0.Teorema VII (Penjumlahan Baris atau Kolom)Nilai determinan tidak berubah jika elemen dalam 1 baris (1 kolom) ditambah dengan kelipatan elemen dalam 1 baris / kolom lain.Teorema VIII (Determinan Perkalian Matriks)Jika A dan B matriks n x n maka :det (AB) = det (BA) = det A. det BEigenwerth; eigen berarti cocok; werth berarti nilaiMisalkanlah A matriks n x n dan berlaku :Ax dengan bilangan.Nilai untuk vektor x 0 disebut nilai eigen atau nilai karakteristik atau akar laten dari matriks A. Penyelesaian x 0 disebut vektor eigen atau vektor karakteristik.Himpunan nilai eigen disbut Spektrum dari A.Teorema Cramer (Penyelesaian persamaan linier dengan determinan)Jika determinan dari sistem persamaan liniera11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn = b1......an1x1 + an2x2 + ..... + annxn = bnTidak nol, sistem itu mempunyai penyelesaian tunggal.Penyelesaiannya adalah :

,, ...... , Dengan Dn adalah determinan didapat dari D dengan menempatkan kolom ke-K dengan elemen-elemen b1, ...., bn. Jika persamaan 1 itu homogen dan D 0 maka persamaan itu mempunyai penyelesaian trivial x1 = x2 = .... = xn = 0. Jika D = 0 sistem homogen itu mempunyai penyelesaian non trivial.

Penentuan Nilai Eigen :a11x1 + .... +a1nxn = x1a21x1 + .... +a2nxn = x2.....an1x1 + .... +annxn = xn(a11-)x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + (a22 )x2 + .... + a2nxn = 0.....an1x1 + an2x2 + .... + (ann ) xn = 0(A I) x = 0

Menurut teorema Cramer sistem ini mempunyai penyelesaian non trivial jika dan hanya jika determinannya .

D() disebut determinan karakteristik dan persamaan yang terjadi disebut persamaan karakteristik.Teorema I (Nilai Eigen)Nilai eigen matriks bujursangkar A adalah akar-akar persamaan karakteristik.Jika x adalah vektor eigen A maka K dengan K 0 juga vektor eigen A.Contoh :Tentukanlah nilai eigen dan vektor eigen dari :

A -

= 8 - 6 + 2 3 = 02 - 6 + 5 = 0( 1)( 5) = 0Nilai eigen 1 = 12 = 51 = 1 Ax = x

x2 = -3x14x1 + x2 = x13x1 + 2x2 = x2

Vektor Eigen = x =

x = 2 = 5 Ax = 5x

x2 = x14x1+ x2 = 5x13x1 + 2x2 = 5x2

Vektor Eigen = x = 1. Tentukan yang mendapat nilai tertinggi :MF

A4080

D5070

C5565

Bobot

M0,40

F0,60

2.Untuk keperluan membuat kue, seorang ibu melakukan survey ke tiga toko untuk membeli telur ayam dan telur bebek. Tentukanlah di toko mana ibu tersebut mengeluarkan uang yang seminimal mungkin !TATB

I400250

II375275

III350300

Kebutuhan

TA10

TB15

3. Tentukanlah x, y, z dengan Eliminasi Gaussa. 2x + 2y 3z = -33x 5y + 10z = 23-4x + 6y + 11z = 41b. 2a b + 3c = 5 -3a + 2b + 3c = 6-a + b + 6c = 11c. 3p q + 2r = -56p + 7q r = 39p + 6q + r = -44. Tentukan rank dari :

a. C =d. B = g.

b. D = e. C =

c. A = f. D = 5. Dengan eliminasi Gauss, tentukanlah invers dari :

a.

b. 6. Dengan aturan Cramer selesaikanlah :a. 2x + 2y 3z = -33x 5y + 10z = 23-4x + 6y +11z = 41b. 2 x + y + 7z = 33x 3y 8z = -235x + 6y 9z = -127. Buktikan dengan sifat-sifat determinan !

a. d.

b. e. c. 8.Hitunglah determinan dari matriks di bawah ini; A= B= 9. Nyatakanlah sistem persamaan linier berikut dalam bentuk matriks 10. Diketahui:A = ; B = Soal :a) b)

Documents

Matriks Lanjutan