III 4 Matriks dan Sistem Persamaan Linier Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier Darpublic Nopember 2013 Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh

  • View
    234

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of III 4 Matriks dan Sistem Persamaan Linier Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier...

  • 1/21

    Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

    Matriks dan Sistem Persamaan Linier

    Konsep Dasar Matriks

    Matriks. Matrik dalam matematika adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam

    baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan

    sebagai suatu kesatuan. (Istilah matriks kita jumpai pula dalam bahasan tentang material).

    Dalam penulisannya matriks dibatasi oleh suatu kurung siku (ataupun dengan kurung biasa)

    seperti contoh berikut.

    123

    421

    302

    ;

    4

    2 ; [ ]423 ;

    203

    142 (1)

    Dalam contoh matriks ini, banyaknya baris matriks yang pertama sama dengan

    banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut matriks bujur sangkar. Yang kedua terdiri

    dari dua baris dan satu kolom, disebut matriks kolom atau vektor kolom. Yang ketiga terdiri

    dari satu baris tiga kolom, disebut matriks baris atau vektor baris. Yang keempat adalah

    matriks persegi panjang dengan dua baris dan tiga kolom.

    Secara umum suatu matrik terdiri dari m baris dan n kolom, sehingga suatu matrik akan

    terdiri dari mn elemen-elemen. Elemen-elemen matriks ini dapat berupa bilangan riil maupun kompleks, akan tetapi dalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melihat

    matriks dengan elemen yang berupa bilangan nyata, dan disebut matriks nyata. Secara

    umum setiap elemen matriks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalam matriks. Jika b (b

    = 1m) adalah nomer baris dan k (k = 1n) adalah nomer kolom, maka b dan k digunakan sebagai subscript-ganda elemen matriks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama

    matriks adalah huruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakan sebagai

    notasi untuk vektor baris ataupun kolom, seperti contoh berikut.

    A =

    123

    421

    302

    ; B =

    203

    142 ; a =

    4

    2 ; b = [ ]423 (2)

    Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan

    [ ]bkmnmm

    n

    n

    a

    aaa

    aaa

    aaa

    =

    =

    L

    LLLL

    L

    L

    21

    22221

    11211

    A (3)

    Posisi elemen-elemen a11 amn disebut diagonal utama matriks. Banyaknya baris dan

    kolom merupakan ukuran matrik. Dalam contoh (1), berturut-turut kita mempunyai matriks

    dengan ukuran 33, 21, 13, dan 23. Matriks dengan m = n disebut matriks bujur sangkar, dan kita katakan matriks ini berordo n. Matriks A pada contoh (2) adalah matriks bujur

    sangkar berordo 3.

  • 2/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

    Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

    Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan

    sebagian baris dan/atau sebagian kolom dari suatu matriks. Sebagai contoh, matriks

    B =

    203

    142

    mempunyai dua anak matriks 1 3 , yaitu [ ]142 , [ ]203 ;

    tiga anak matriks 2 1, yaitu

    3

    2 ,

    0

    4 ,

    2

    1;

    enam anak matriks 1 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

    enam anak matriks 12 yaitu [ ]42 , [ ]12 , [ ]14 , [ ]03 , [ ]23 , [ ]20 ;

    tiga anak matriks 22 yaitu

    03

    42 ,

    23

    12 ,

    20

    14.

    Dengan menggunakan pengertian anak matriks ini, kita dapat memandang matriks sebagai

    tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor. Sebagai contoh, matriks

    A=

    123

    421

    302

    dapat kita pandang sebagai matriks

    =

    3

    2

    1

    a

    a

    a

    A

    dengan anak-anak matriks berupa vektor baris [ ]3021 =a , [ ]4212 =a , [ ]1233 =a . Dengan cara pandang ini matriks A mirip bentuknya dengan vektor kolom.

    Matriks A juga dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA = dengan anak-anak

    matriks

    =3

    1

    2

    1a ,

    =2

    2

    0

    2a ,

    =1

    4

    3

    3a yang berupa vektor-vektor kolom. Dengan cara ini

    matriks A terlihat seperti vektor baris.

    Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi Matriks

    Kesamaan Matriks. Dua matriks A dan B disebut sama jika dan hanya jika berukuran

    sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskan kesamaan ini A

    = B.

    Jika A =

    03

    42 maka haruslah B =

    03

    42.

    Penjumlahan. Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang

    berukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari kedua matriks tersebut sama).

    Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran mn adalah sebuah matriks C berukuran mn yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama.

    Jika A=

    03

    42 dan B=

    22

    31, maka C= A + B =

    25

    73

    Penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

  • 3/21

    Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

    a. ABBA +=+

    b. ( ) ( )CBACBA ++=++ (4)

    Matriks Nol. Matriks nol, 0, yang berukuran mn adalah matriks yang berukuran mn dengan semua elemennya bernilai nol.

    Matriks Negatif. Negatif dari matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (1).

    Operasi penjumlahan yang melibatkan matriks nol dan matriks negatif adalah

    a). A0A =+

    b). 0AAAA ==+ )( (5)

    Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar. Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan

    matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang seluruh elemennya bernilai a kali. Kita menuliskan perkalian matriks A dengan bilangan skalar a sebagai aA = Aa.

    =

    =

    646

    462

    244

    2

    323

    231

    122

    323

    231

    122

    2

    Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

    a. ( ) BABA aaa +=+ b. ( ) AAA baba +=+ (6) c. [ ] ( )AA abba =

    Perkalian Matriks dengan Matriks. Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB

    (dalam urutan perkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom matriks A

    sama dengan banyaknya baris matriks B. Jadi jika matriks A berukuran mn dan B berukuran pq maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB akan berupa matriks yang berukuran mq yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari

    matriks B (matriks A dipandang sebagai terdiri dari anak-anak matriks yang berupa vektor

    baris dan matriks B terdiri dari anak matriks yang berupa vektor kolom). Jadi

    jika [ ]baA = dan [ ]kbB = maka [ ] [ ]kbbkc baABC === Mengalikan matriks A ke matriks B dari sebelah kiri seperti di atas kita sebut

    menggandaawalkan matriks A ke matriks B. Akan kita lihat bahwa menggandaawalkan A ke

    B tidak selalu sama dengan menggandaawalkan B ke A; AB BA.

    Perkalian internal vektor. Kita ambil contoh vektor baris [ ]32=a dan

    vektor kolom

    =

    3

    4b . Banyaknya kolom a adalah 2, sama dengan banyaknya baris

    b, maka perkalian internal bac = dapat kita lakukan, yaitu

  • 4/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

    Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

    [ ] [ ] [ ]1733423

    4 32 =+=

    == bac .

    Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama dengan banyaknya baris a,

    maka. kita dapat melakukan perkalian

    [ ]

    =

    =

    ==

    96

    128

    3323

    342432

    3

    4abD

    Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya operasi demikian ini dapat

    dilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian matriks tidak komutatif.

    Perkalian matriks dengan vektor. Misalkan

    =

    43

    12A dan

    =

    3

    2b .

    Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris b, maka perkalian Ab dapat

    dilakukan. Matriks A kita pandang sebagai

    =

    2

    1

    a

    aA , yaitu matrik dengan anak

    matriks berupa vektor baris [ ]121 =a dan [ ]432 =a . Perkalian AbC = adalah

    =

    ++

    =

    =

    ==

    18

    7

    3423

    3122

    2

    1

    2

    1

    ba

    bab

    a

    aAbc

    Jika urutan perkalian dibalik bAD = , perkalian tak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

    Perkalian dua matriks bujur sangkar. Misalkan

    =

    43

    12A dan

    =

    35

    24B .

    Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B; oleh karena itu kita dapat

    melakukan perkalian ABC = . Matriks A kita pandang sebagai

    =

    2

    1

    a

    aA , yaitu

    matrik dengan anak matriks berupa vektor baris [ ]121 =a dan [ ]432 =a . Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB = , yaitu matriks dengan dua anak matriks

    berupa vektor kolom

    =

    5

    41b dan

    =

    3

    22b . Perkalian ABC = adalah

    [ ]

    =

    ++++

    =

    =

    ==

    1832

    713

    34235443

    31225142

    2212

    211121

    2

    1

    baba

    bababb

    a

    aABC

    Perkalian dua matriks persegi panjang. Misalkan

    =

    231

    342A dan

    =32

    34

    21

    B . Banyaknya kolom A adalah 3, sama dengan banyaknya baris B.

  • 5/21

    Darpublic