Upload
hyung-nara
View
25
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematika Teknik
Citation preview
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
1
Matriks dan Operasinya
• Notasi dan Definisi
• Jenis Matriks
• Sifat dan Operasi Matriks
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
2
Notasi dan Definisi
Matriks biasanya dinotasikan dalam huruf besar : A,B,C,…
Suatu matriks terdiri atas baris dan kolom. Sebuah matriks yang memiliki
m baris dan n kolom secara lengkap dinotasikan dengan dan dinyatakan
dalam bentuk :
: Elemen baris ke- i kolom ke - j
m x n : ukuran matriks
mn2m1m
n22221
n11211
nxm
a...aa
a...aa
a...aa
A
ija
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
3
Notasi dan Definisi
Contoh
Memiliki ukuran 2 x 3 dengan nilai elemen
654
321A
1a11 2a12 3a13
4a21 5a22 6a23
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
4
Jenis Matriks
Bila dilihat dari ukuran matriks atau nilai dari elemen
baris dan kolomnya, terdapat beberapa jenis
pengelompokan matriks yaitu :
• Berdasarkan ukuran matriks
• Berdasarkan nilai elemen baris
• Berdasarkan ukuran matriks dan nilai elemen
baris dan kolom
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
5
Jenis Matriks
• Berdasarkan ukuran matriks
– Matriks Bujur Sangkar
Yaitu matriks yang memiliki jumlah baris yang sama dengan
jumlah kolomnya. Elemen aii (i =1,2,…,n ) disebut elemen
diagonal
– Matriks Bukan Bujursangkar
Yaitu matriks yang memiliki jumlah baris yang berbeda dengan
jumlah kolomnya.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
6
Jenis Matriks
• Berdasarkan ukuran matriks
– Vektor Baris
Matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Biasanya
dinotasikan dengan huruf kecil :
– Vektor Kolom
Matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Biasanya
dinotasikan dengan huruf kecil :
,...c,b,a
,...c,b,a
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
7
Jenis Matriks
• Berdasarkan Nilai elemen matriks– Matriks Nol
Matriks yang semua nilai elemennya bernilai 0
– Matriks Eselon Baris Tereduksi
Matriks yang memiliki syarat nilai tertentu terhadap elemen baris
dan kolomnya.
Syarat untuk elemen baris dan kolom akan dibahas secara lebih
terperinci pada bagian Sistem Persamaan Linier.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
8
Jenis Matriks
• Berdasarkan ukuran matriks dan nilai elemen baris dan kolom matriks
– Matriks Diagonal
Yaitu matriks Bujur Sangkar yang semua nilai elemen diluar
elemen diagonal bernilai nol.
– Matriks Identitas
Yaitu matriks Diagonal yang semua elemen diagonalnya bernilai
satu.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
9
Jenis Matriks
• Berdasarkan ukuran matriks dan nilai elemen baris dan kolom matriks
– Matriks Segitiga
Yaitu matriks Bujur Sangkar yang elemen – elemen diatas atau
dibawah elemen diagonal bernilai nol.
Bila yang bernilai nol dibawah elemen diagonal maka disebut
matriks segitiga atas dan bila yang bernilai nol diatas elemen
diagonal maka disebut matriks segitiga bawah.
– Matriks Simetri
Yaitu matriks Bujur Sangkar yang nilai elemen untuk jiij aa n,...,2,1j,i
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
10
Jenis Matriks
Contoh jenis matriks– Matriks Segitiga Atas
– Matriks Segitiga Bawah
000
120
211
A
20
11B
211
032
001
A
22
01B
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
11
Jenis Matriks
Contoh jenis matriks– Matriks Diagonal
– Matriks Identitas
200
030
001
A
2000
0300
0000
0002
B
100
010
001
A
1000
0100
0000
0001
B
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
12
Jenis Matriks
Contoh jenis matriks– Matriks Simetri
134
325
451
A
2870
8360
7610
5432
B
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
13
Sifat dan Operasi
Sifat Kesamaan MatriksDua buah matriks A dan B dikatakan sama bila A dan B memiliki
ukuran yang sama dan semua elemen pada A yang bersesuaian
dengan B memiliki nilai yang sama.
Maka a = 1 dan b = 4
Bila
b3
2a
43
21
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
14
Sifat Kesamaan Matriks
•Contoh matriks yang tidak sama
A B karena A dan B memiliki ukuran yang berbeda
A C karena elemen dari A berbeda dengan elemen B
22
22A
222
222
222
B
11
11C
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
15
Operasi Matriks
Penjumlahan atau PenguranganOperasi penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan pada matriks A
dan B bila ukuran matriks A dan B adalah sama. Operasi dapat
dilakukan dengan menambahkan atau mengurangkan pada elemen
yang bersesuaian.
Contoh operasi penjumlahan
5443
3221
54
32
43
21
17
51
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
16
Operasi Matriks
Contoh operasi pengurangan
Perkalian– Perkalian skalar dengan Matriks
Bila suatu skalar k dikalikan dengan sembarang matriks A maka semua elemennya akan bernilai k kali elemen semula.
1443
3224
14
34
43
21
3123
696
363
141
232
121
3
31
12
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
17
Operasi Matriks
• Perkalian Matriks dengan MatriksDua buah matriks A dan B dapat dikalikan bila jumlah kolom matriks A
sama dengan jumlah baris matriks B . Hasil perkaliannya adalah
matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah baris A dan
memiliki jumlah kolom sama dengan jumlah kolom B.
Bila C = AB, maka setiap elemen C diperoleh dari hasil perkalian baris
matriks A terhadap kolom matriks B.
Secara matematis dapat dinyatakan sebagai:
n : Jumlah kolom A atau jumlah baris B
jk
n
1kikij bac
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
18
Operasi Matriks
Contoh perkalian matriks
Transpose Operasi transpose dapat dilakukan pada sembarang matriks. Bila operasi
transpose dilakukan pada A ( dinotasikan dengan At) maka hasilnya
adalah matriks yang baris ke – i nya merupakan kolom ke – i dari matriks
A.
2.52.44.31.53.42.3
2.32.24.11.33.22.1
21
23
42
543
321
3023
1011
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
19
Operasi Matriks
Contoh transpose matriksDiketahui
54
21
32
A
Transpose dari A =
523
412At
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
20
Sifat Operasi Matriks
– Komutatif penjumlahan
– Asosiatif
– Distributif
– Identitas
– Perkalian transpose
(AB)t = Bt At
ABBA
CBACBA CABCBA
ACABCBA
AAtt
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
21
Soal Latihan
Diketahui
1. Tentukan AB
2. Tentukan (AB+C)t
3. Tentukan
4. Tentukan
5. Tentukan
131
322A
12
21
32
B
743
632
521
C
tABBAt
tCBA
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
22
Sistem Persamaan Linier
• Pendahuluan • Eliminasi Gauss–Jordan• Sistem Persamaan Linier
Homogen
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
23
Sistem Persamaan Linier
PendahuluanSuatu sistem persamaan linier terdiri atas beberapa persamaan
linier yang saling berhubungan. Sebuah persamaan linier dengan n
peubah dapat dituliskan dalam bentuk :
Sistem Persamaan linier dengan n peubah dan m persamaan linier
dapat dituliskan dalam bentuk :
bxa...xaxa nn2211
1nn1212111 bxa...xaxa
2nn2222121 bxa...xaxa
mnmn22m11m bxa...xaxa
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
24
Pendahuluan
Sebuah Sistem Persamaan Linier sebenarnya merupakan
penyederhanaan suatu persoalan riil.
Dengan menuliskan dalam bentuk sistem persamaan linier maka
penyelesaian dari suatu permasalahan dapat diselesaikan dengan lebih
mudah.
Solusi dari sebuah sistem persamaan linier tidak selalu ada.
Bila sistem persamaan linier memiliki solusi maka solusinya bisa berupa
solusi tunggal atau solusi takhingga banyak.
Suatu sistem persamaan linier yang tidak memiliki solusi disebut sistem
persamaan linier yang tidak konsisten.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
25
Pendahuluan
Diagram penyelesaian sistem persamaan linier
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
26
Pendahuluan
Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dapat
digunakan metode eliminasi atau metode substitusi.
Metode eliminasi memiliki prinsip menghilangkan atau
mengeliminasi salah satu peubah dengan cara menambahkan
kelipatan suatu persamaan ke persamaan yang lain.
Metode substitusi memiliki prinsip melakukan substitusi atau
mengganti suatu peubah berdasarkan nilai peubah tersebut pada
persamaan yang lain.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
27
Metode Eliminasidan Substitusi
Contoh 1Diketahui sebuah sistem persamaan linier:
Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut dengan
menggunakan metode
• Eliminasi
• Substitusi
1y2x
7yx2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
28
Metode Eliminasidan Substitusi
Metode EliminasiDengan metode ini maka pertama – tama salah satu peubah
akan dihilangkan misalkan x
Persamaan pertama dikalikan dengan 2 agar koefisien x menjadi
sama untuk kedua persamaan
1y2x 7yx2
2y4x2
7yx2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
29
Metode Eliminasidan Substitusi
Persamaan pertama dikurangi persamaan kedua diperoleh persamaan
Untuk menentukan nilai x, maka peubah y dari sistem persamaan linier
diawal dihilangkan dengan cara mengalikan persamaan kedua dengan –
2 agar koefisien y menjadi sama.
Persamaan pertama dikurangi persamaan kedua diperoleh persamaan
Jadi solusi sistem persamaan linier adalah x = 3 dan y = –1
1y5y5
1y2x 14y2x4
3x15x5
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
30
Metode Eliminasidan Substitusi
Metode Substitusi Berdasarkan persamaan pertama maka x bisa dituliskan dalam bentuk :
Nilai x ini kemudian disubstitusikan kedalam persamaan kedua menjadi
Nilai y bisa diperoleh yaitu y = –1. Nilai y ini kemudian dapat
disubstitusikan kesalah satu persamaan.
y21x
yy212yx2 7y52
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
31
Metode Eliminasidan Substitusi
Misalkan disubstitusikan ke persamaan pertama maka akan diperoleh
persamaan
Diperoleh hasil x = 3. Jadi solusi sistem persamaan linier adalah x = 3
dan y = –1
Bisa saja dalam menentukan solusi sistem persamaan linier diatas
menggunakan metode campuran eliminasi dan substitusi yaitu pertama –
tama dilakukan eliminasi terhadap salah satu peubah kemudian dilakukan
substitusi untuk mendapatkan nilai peubah yang lain
12x1.2xy2x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
32
Metode Eliminasidan Substitusi
Contoh 2
Diketahui sebuah sistem persamaan linier dengan 3
peubah :
Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut
6zyx 1zyx2 5z2yx
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
33
Metode Eliminasidan Substitusi
Jawaban
Metode yang akan digunakan adalah metode campuran antara
eliminasi dan substitusi .
Karena mengandung 3 persamaan maka eliminasi x dilakukan dari
dua pasangan persamaan misalkan dan .
Setelah persamaan 1 pada persamaan dikalikan dengan 2 dan
dilakukan eliminasi terhadap x diperoleh persamaan :
2,1 3,1
2,1
11z3y
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
34
Metode Eliminasidan Substitusi
Dari persamaan ,setelah dilakukan eliminasi terhadap x diperoleh persamaan :
Dari dua persamaan linier ini bila dilakukan eliminasi terhadap y akan didapatkan persamaan atau .
Dengan mensubstitusi nilai ke salah satu persamaan
atau
maka akan diperoleh nilai .
3,1
1zy2
21z7 3z 3z
2y
11z3y
1zy2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
35
Metode Eliminasidan Substitusi
Nilai y dan z ini kemudian disubstitusikan pada salah satu
persamaan dari 3 persamaan linier diawal .
Hasilnya diperoleh nilai
Jadi solusi sistem persamaan linier adalah
1x
1x 2y 3z
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
36
Metode Eliminasidan Substitusi
Contoh 3Diketahui sebuah sistem persamaan linier dengan 3 peubah:
Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut
1zyx 2zyx2 1z2x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
37
Metode Eliminasidan Substitusi
JawabanMetode yang akan digunakan adalah metode campuran antara
eliminasi dan substitusi .
Karena mengandung 3 persamaan maka eliminasi x dilakukan dari
dua pasangan persamaan misalkan dan .
Setelah persamaan 1 pada persamaan dikalikan dengan 2 dan
dilakukan eliminasi terhadap x maka diperoleh persamaan :
Dari persamaan ,setelah dilakukan eliminasi terhadap x
diperoleh persamaan :
2,1 3,1 2,1
0z3y
3,10z3y
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
38
Metode Eliminasidan Substitusi
Karena dua persamaan yang diperoleh sama, maka didapatkan
hubungan antara y dan z adalah . Nilai ini kemudian
disubstitusikan ke persamaan pertama dan kedua sehingga
diperoleh sistem persamaan linier baru :
Bila diperhatikan adalah kelipatan dari
sehingga semua persamaan tersebut sebenarnya sama yaitu
z3y
1z2x 2z4x2 1z2x
2z4x2 1z2x
1z2x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
39
Metode Eliminasidan Substitusi
Dari persamaan maka diperoleh nilai x adalah
Bagaimana dengan nilai z ?
Karena sudah tidak terdapat persamaan lagi yang digunakan untuk
mencari nilai z, maka berarti z boleh bernilai sembarang. Jadi
solusi sistem persamaan linier adalah
Dengan
1z2x z21x
s21x s3y
sz
Rs
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
40
Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss–Jordan adalah suatu metode untuk menentukan solusi suatu sistem persamaan linier dengan cara mengubah suatu sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matriks kemudian mereduksi matriks yang bersesuaian dengan sistem persamaan linier tersebut menjadi matriks eselon baris tereduksi.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
41
Eliminasi Gauss-Jordan
Mengubah sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matriks
Suatu Sistem Persamaan linier dengan n peubah dan m
persamaan linier yang berbentuk :
1nn1212111 bxa...xaxa
2nn2222121 bxa...xaxa
: mnmn22m11m bxa...xaxa
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
42
Eliminasi Gauss-Jordan
Dapat diubah dalam bentuk persamaan matriks . dengan
Matriks A sering disebut sebagai matriks koefisien. Sedangkan solusi sistem persamaan linier adalah yang telah disederhanakan.
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
a...aa
a...aa
A
n
2
1
x
x
x
x
n
2
1
b
b
b
b
bxA
x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
43
Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks diperbesar (Augmented Matrix)Matriks diperbesar adalah matriks yang elemen – elemennya
merupakan gabungan dari elemen A dan elemen .
Matriks diperbesar dapat dituliskan sebagai :
Matriks inilah yang nantinya akan diubah menjadi bentuk eselon baris tereduksi
b|Ab
b|A
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
|
|
|
|
a...aa
a...aa
a...aa
b|A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
44
Eliminasi Gauss-Jordan
• Matriks eselon baris tereduksiSuatu matriks disebut matriks eselon baris tereduksi bila
memenuhi empat syarat berikut yaitu :
• Bilangan tak–nol pertama dari setiap baris adalah satu
( disebut satu utama).
• Kolom yang yang memuat satu utama hanya memuat nol
ditempat lainnya.
• Satu utama pada baris yang lebih bawah terletak pada kolom
yang lebih kanan daripada satu utama pada baris atasnya.
• Bila terdapat baris 0 maka letaknya pada baris bagian bawah
matriks / dibawah baris tak–nol (syarat optional).
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
45
Eliminasi Gauss-Jordan
Untuk mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi maka
diperlukan operasi – operasi yang dapat diterapkan pada
matriks diperbesar . Operasi – operasi ini disebut operasi baris
elementer.
Operasi baris elementer terdiri atas 3 operasi yaitu :
• Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta k tak nol.
• Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
• Mempertukarkan 2 buah baris
Bila suatu matriks diperbesar sudah berbentuk matriks eselon
baris tereduksi maka solusi sistem persamaan linier bisa
didapatkan.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
46
Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah – langkah eliminasi Gauss –Jordan
• Mulailah pada baris ke–1. Bila elemen pada kolom satu 1 maka
pilih salah satu operasi baris agar elemennya menjadi 1. Angka satu
ini disebut satu utama. Bila tidak bisa diubah menjadi 1 lanjutkan
penentuan satu utama pada kolom berikutnya (sampai kolom ke–k
dengan k adalah banyaknya baris dalam A ) pada baris yang sama.
Ingat operasi baris akan mempengaruhi semua elemen dalan suatu
baris.
• Perhatikan elemen lain dalam kolom ini (elemen dibawah atau diatas
satu utama). Bila nilai elemennya 0 maka dengan menggunakan
operasi baris yang ke–2, jadikan semua elemennya menjadi 0.
• Ulangi langkah 1 dan 2 untuk baris berikutnya sampai kolom ke–k.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
47
Eliminasi Gauss-Jordan
Contoh 1
Diketahui sebuah sistem persamaan linier :
Tentukan solusi sistem persamaan linier dengan
menggunakan Eliminasi Gauss–Jordan tersebut
6zyx 1zyx2 5z2yx
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
48
Eliminasi Gauss-Jordan
JawabanSistem persamaan linier dapat diubah dalam persamaan matriks
dengan matriks diperbesar
Solusi sistem persamaan linier adalah yang memenuhi
persamaan
5|211
1|112
6|111
b|A
xbxA
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
49
Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah –langkah Eliminasi Gauss–Jordan– Elemen sehingga tidak perlu dilakukan operasi baris lagi.
– Elemen jadi harus dinolkan dengan cara menambahkan
kelipatan baris pertama ke baris kedua ( baris pertama dikalikan –2
kemudian ditambahkan ke baris kedua atau bisa disingkat dengan
. ).
– Elemen jadi harus dinolkan dengan cara menambahkan
kelipatan baris pertama ke baris ketiga ( baris pertama dikalikan –1
kemudian ditambahkan ke baris ketiga atau disingkat
dengan . ).
1a112a
21
21 bb2
1a31
31 bb
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
50
Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanHasilnya matriks diperbesarnya menjadi
Kolom satu sudah selesai dilakukan operasi baris. Selanjutnya
operasi baris difokuskan pada baris kedua. Nilai dari kolom
pertama tidak boleh berubah akibat operasi baris yang dilakukan
pada kolom berikutnya.
1|120
11|310
6|111
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
51
Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanSelanjutnya operasi baris difokuskan pada kolom kedua. Elemen
pada kolom pertama tidak boleh berubah akibat operasi baris yang
dilakukan pada kolom berikutnya.
Elemen , maka harus dibuat menjadi 1 dengan cara
mengalikan baris kedua dengan –1 ( disingkat dengan ).
Elemen dinolkan dengan cara menambahkan baris kedua ke
baris pertama (bisa disingkat dengan ).
Elemen dinolkan dengan cara mengalikan baris kedua
dengan –2 dan menambahkannya pada baris ketiga (disingkat
dengan ).
1a22
22
a
2b
1a12
12 bb
2a32
32bb2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
52
Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanHasilnya matriks diperbesarnya menjadi
Kolom satu dan dua sudah selesai dilakukan operasi baris.
Selanjutnya operasi baris difokuskan pada baris ketiga. Elemen
dari kolom pertama dan kedua tidak boleh berubah akibat operasi
baris yang dilakukan pada kolom berikutnya.
21|700
11|310
5|201
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
53
Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanSelanjutnya operasi baris difokuskan pada kolom ketiga.
Elemen , maka harus dibuat menjadi 1 dengan cara
mengalikan baris ketiga dengan ( disingkat dengan ).
Elemen dinolkan dengan cara menngalikan baris ketiga
dengan 2 dan menambahkannya pada baris pertama (bisa
disingkat dengan ).
Elemen dinolkan dengan cara mengalikan baris ketiga
dengan –3 dan menambahkannya pada baris kedua (disingkat
dengan ).
7a33
33a
3b
7
1
2a13
13bb2
3a23
23bb3
7
1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
54
Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanHasilnya matriks diperbesarnya menjadi
Eliminasi Gauss–Jordan sudah selesai dilakukan karena matriks
ini sudah berbentuk eselon baris tereduksi.
3|100
2|010
1|001
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
55
Eliminasi Gauss-Jordan
Keseluruhan langkah operasi baris diatas biasanya dapat
dituliskan sebagai berikut :
5|211
1|112
6|111
b|A
31
21
bb
~
bb2
1|120
11|310
6|111
32
12
2
bb2
bb
b
~
21|700
11|310
5|201
13
23
3
bb2
~
bb3
b7
1
3|100
2|010
1|001
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
56
Eliminasi Gauss-Jordan
Dari matriks eselon baris tereduksi yang diperoleh, solusi sistem
persamaan linier bisa dituliskan berdasarkan nilai elemen pada
setiap baris matriks.
Dari baris pertama dapat ditulis persamaan :
atau
Dari baris kedua dapat ditulis persamaan :
atau
Dari baris ketiga dapat ditulis persamaan :
atau
1z0y.0x.1 1x
2z0y.1x.0 2y
1z.1y.0x.0 3z
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
57
Eliminasi Gauss-Jordan
Jadi solusi sistem persamaan linier adalah
Ini merupakan jenis solusi tunggal yang berarti hanya nilai x,y dan
z seperti itulah yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.
3
2
1
z
y
x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
58
Eliminasi Gauss-Jordan
Contoh 2
Diketahui sebuah sistem persamaan linier :
Tentukan solusi sistem persamaan linier dengan
menggunakan Eliminasi Gauss–Jordan tersebut
2zyx2 3zyx 8zyx4
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
59
Eliminasi Gauss-Jordan
JawabanSistem persamaan linier tersebut dapat dituliskan sebagai .
Eliminasi Gauss–Jordan pada matriks diperbesar adalah
bxA
8|114
3|111
2|112
b|A
4|330
4|330
3|111
b4b
~
b2b
bb
13
12
21
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
60
Eliminasi Gauss-Jordan
Operasi baris pada kolom kedua
Baris ketiga adalah baris 0, jadi operasi operasi baris elementer sudah tidak
perlu dilakukan lagi. Bentuk eselon baris tereduksi sudah didapatkan.
0|0003
4|1103
5|001
b3b
~
bb
b3
1
23
21
2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
61
Eliminasi Gauss-Jordan
Dari baris pertama dapat ditulis persamaan :
Dari baris kedua dapat ditulis persamaan :
atau
Dari baris ketiga dapat ditulis persamaan :
35x
34zy 3
4zy
Rz,y,x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
62
Eliminasi Gauss-Jordan
Kolom 3 tidak memuat satu utama, maka nilai z bisa diambil
sembarang misalkan dengan
Solusi sistem persamaan linier adalah
dengan
Ini merupakan jenis solusi tak hingga banyak
Sz RS
S3
4S3
5
z
y
x
RS
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
63
Eliminasi Gauss-Jordan
Contoh 3
Diketahui sebuah sistem persamaan linier :
Tentukan solusi sistem persamaan linier dengan
menggunakan Eliminasi Gauss–Jordan tersebut
2zyx
3z2yx
5z4yx
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
64
Eliminasi Gauss-Jordan
Jawaban Sistem persamaan linier tersebut dapat dituliskan sebagai .
Eliminasi Gauss–Jordan terhadap matriks diperbesarnya adalah
5|411
3|211
2|111
b|A
3|300
5|300
2|111
bb
~
bb
31
21
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
65
Eliminasi Gauss-Jordan
Operasi baris terhadap kolom ketiga
Elemen sudah tidak mungkin dibuat 1. Operasi baris selesai
dilakukan. Bentuk ini sebenarnya bukan bentuk eselon baris
tereduksi karena pada kolom ke – 4 bilangan taknol pertamanya
bukan 1 tetapi –2.
2|0003
5|1003
1|011
bb3
~
bb
b3
1
32
12
2
33a
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
66
Eliminasi Gauss-Jordan
Kita tidak perlu mengubah bentuk ini ke bentuk eselon baris
tereduksi karena dari baris ketiga dapat ditulis suatu persamaan :
Persamaan ini jelas merupakan persamaan yang selalu salah .
Dari hal ini maka dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan
linier tidak memiliki solusi.
Sistem persamaan linier yang tidak memiliki solusi seperti ini
disebut sebagai sistem persamaan linier yang tidak konsisten.
20
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
67
Eliminasi Gauss-Jordan
KesimpulanSolusi Tunggal
Terjadi bila pada bentuk eselon baris tereduksinya, banyaknya
satu utama = banyaknya variabel
Solusi Banyak
Terjadi bila pada bentuk eselon baris tereduksinya, banyaknya
satu utama < banyaknya variabel
Tidak Memiliki Solusi
Terjadi bila pada bentuk eselon baris tereduksinya, terdapat satu
utama pada kolom yang paling kanan.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
68
Sistem Persamaan Linier Homogen
DefinisiSistem persamaan linier homogen adalah bentuk khusus dari
sistem persamaan linier yaitu khusus untuk atau bisa
dituliskan sebagai
Akibat dari bentuk ini, bila dikaitkan dengan sifat sistem
persamaan linier yang tidak memiliki solusi seperti pada contoh 3
bagian sebelumnya maka jelas bahwa
Sistem persamaan linier homogen ini akan selalu memiliki solusi
karena matriks eselon baris ini pasti tidak akan memiliki satu
utama pada kolom yang terakhir.
bxA 0b
0xA
0|A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
69
Sistem Persamaan Linier Homogen
Solusi dalam sistem persamaan linier dibagi menjadi dua yaitu :
• Solusi trivial (tak sejati)• Solusi taktrivial (sejati)
Bila suatu sistem persamaan linier homogen hanya memiliki
. sebagai satu – satunya solusi maka solusi sistem
persamaan linier homogen tersebut dinamakan solusi solusi
trivial.
Bila sistem persamaan linier homogen memiliki solusi lain selain
. maka solusi sistem persamaan linier homogen tersebut
dinamakan solusi solusi non–trivial.
0x
0x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
70
Sistem Persamaan Linier Homogen
Contoh
Tentukan solusi sistem persamaan linier homogen
dengan matriks koefisien
114
111
112
A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
71
Sistem Persamaan Linier Homogen
Jawaban
0|114
0|111
0|112
b|A
0|330
0|330
0|111
bb4
~
bb2
bb
31
21
21
0|000
0|110
0|001
bb3
~
bb
b3
1
32
12
2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
72
Sistem Persamaan Linier Homogen
Dari matriks terakhir yang diperolehDari baris pertama diperoleh persamaan :
Dari baris kedua diperoleh persamaan :
Kolom 3 tidak memiliki satu utama maka dengan .
Solusi sistem persamaan linier homogen adalah
Solusi ini merupakan solusi tak–trivial.
0x
0zy Sz RS
S
S
0
z
y
x
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
73
Soal Latihan
Untuk soal 1–3, dengan menggunakan Eliminasi Gauss–Jordan,
tentukan solusi sistem persamaan linier berikut :
1.
2.
2
0
2
z
y
x
123
121
132
5
3
2
z
y
x
w
1301
2422
1123
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
74
Soal Latihan
3.
Untuk soal 4 dan 5, tentukan solusi sistem persamaan linier homogen yang memiliki matriks koefisien berikut
4.
5.
4
1
2
z
y
x
231
321
413
421
322
223
A
1011
3211
4312
A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
75
Determinan
Definisi Determinan sebenarnya merupakan suatu fungsi yang
didefinisikan pada matriks bujur sangkar saja. Determinan A
didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari A.
Hasil kali elementer dari A yang memiliki ukuran n x n berbentuk :
Dengan merupakan permutasi dari himpunan .
Hasil kali elementer ini akan bertanda positif atau negatif.
n21 njj2j1a...a.a
n21j,...,j,j n,...,2,1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
76
Determinan
Hasil kali elementer akan bertanda positif bila
banyaknya invers yaitu banyaknya bilangan bulat besar yang
mendahului bilangan bulat yang lebih kecil dalam
permutasi . adalah genap, bila banyaknya invers
adalah ganjil maka tanda hasil kali elemeternya adalah negatif.
Determinan A dapat dituliskan dengan det(A) atau |A|. Bila A
berukuran n x n, maka notasi determinan A dalam bentuk matriks
A adalah
n21 njj2j1a...a.a
n21j,...,j,j
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
a...aa
a...aa
A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
77
Determinan
ContohSuatu permutasi akan memiliki jumlah invers = .
Angka 2 adalah menyatakan banyaknya bilangan yang < 3 yang
posisinya didahului oleh 3 (yaitu 1 dan 2), sedangkan 1
menyatakan banyaknya bilangan< 2 yang posisinya didahului oleh
2 (yaitu 1).
Dari definisi determinan tersebut maka determinan
dapat dihitung sebagai berikut :
1,2,3 312
2221
1211
aa
aa
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
78
Determinan
Menghitung invers dan menentukan tanda
Determinan A
2,12211aa
1,22112aa
Permutasi Hasil kali elementer Banyak invers Tanda
0 +
1 –
21122112aaaaA
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
79
Determinan
Determinan dihitung dengan cara
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3,2,1 0aaa 332211
2,3,1 1aaa 322311
3,1,2 1aaa 332112
1,3,2 2aaa 312312
2,1,3 2aaa 322113
1,2,3 3aaa 312213
Permutasi Hasil kali elementer Banyak invers Tanda
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
80
Determinan
Jadi determinan A3x3 adalah
Contoh
Dengan menggunakan definisi determinan , hitung
Jawaban
A = 332211 aaa + 312312 aaa + 322113 aaa – 322311 aaa – 332112 aaa – 312213 aaa
221
323
432
221
323
432 33841
1.2.42.3.32.3.22.3.41.3.32.2.2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
81
Determinan
Metode Perhitungan DeterminanUntuk kasus perhitungan determinan matriks yang berukuran
besar tentunya perhitungan determinan dengan menggunakan
definisi determinan menjadi tidak terlalu efektif.
Pada pembahasan selanjutnya perhitungan determinan akan
difokuskan pada metode ekspansi kofaktor dan metode reduksi
baris yang prinsipnya untuk lebih menyederhanakan perhitungan
determinan daripada perhitungan yang dilakukan melalui definisi
determinan.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
82
Metode Perhitungan Determinan
Ekspansi kofaktor• Metode ini sebenarnya merupakan peringkasan dari perhitungan
determinan yang menggunakan definisi determinan. Dengan
menggunakan metode ini maka suatu determinan dapat dihitung
dengan menggunakan acuan baris atau kolom.
• Dengan acuan baris, metode ini dinamakan dengan ekspansi
kofaktor sepanjang baris i yang memiliki rumus :
denganinin2i2i1i1iMa...MaMaA n,...2,1i
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
83
Metode Perhitungan Determinan
Dengan acuan kolom, metode ini dinamakan dengan ekspansi
kofaktor sepanjang kolom j yang memiliki rumus :
dengan
Mij : Minor elemen i,j yaitu determinan dari matriks A yang
telah dihilangkan baris i dan kolom j – nya.
Tanda + atau – didepan tergantung dari jumlah i+j . Bila i+j
genap maka tandanya +, sedangkan bila ganjil maka tandanya
adalah – .
njnjj2j2j2j1Ma...MaMaA n,...2,1j
ijijMa
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
84
Metode Perhitungan Determinan
Dengan mendefinsikan kofaktor elemen i,j sebagai
` ` maka
Ekspansi kofaktor sepanjang baris i dapat dituliskan dalam bentuk :
dengan
Ekspansi kofaktor sepanjang kolom j dapat dituliskan dalam bentuk
dengan
Pemilihan baris i atau kolom j adalah bebas dan hasil yang akan
diperoleh akan selalu sama. Jadi pada matriks yang berukuran n x n,
akan terdapat 2n cara yang dapat dipilih untuk menghitung determinan.
ijc
ij
ji M1
inin2i2i1i1iCa...CaCaA n,...2,1i
njnjj2j2j2j1Ca...CaCaA n,...2,1j
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
85
Metode Perhitungan Determinan
Contoh 1
Hitung
dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor
221
323
432
A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
86
Metode Perhitungan Determinan
JawabanAkan dicoba dengan beberapa cara
1. Ekspansi sepanjang baris 1
2. Ekspansi sepanjang kolom 1
131312121111MaMaMaA
21
234
21
333
22
322 31694
313121211111MaMaMaA
32
431
22
433
22
322 3164
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
87
Metode Perhitungan Determinan
Ada 4 cara lain yang masih bisa dicoba untuk menghitung
determinan. Hasil keempat cara tersebut tentunya harus sama
yaitu sama dengan 3.
Contoh 2
Hitung
dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor
3312
2203
1321
2202
A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
88
Metode Perhitungan Determinan
JawabanDengan melakukan ekspansi sepanjang kolom 2
Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris 1
223
131
222
332
223
222
2 42422222 MaMaA
332
223
2220
32
232
32
232
33
222
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
89
Metode Perhitungan Determinan
Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris 1
Jadi
Pada langkah pertama sengaja dipilih ekspansi sepanjang kolom 2
karena kolom 2 yang memuat elemen 0 yang paling banyak dibandingkan
baris atau kolom yang lain. Dengan memilih kolom 2 ini maka
perhitungan determinan dapat dilakukan secara lebih pendek.
223
131
222
440.2A
423
312
23
112
22
132
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
90
Metode Perhitungan Determinan
Metode Reduksi BarisBila A adalah matriks segitiga atas berukuran n x n
Bila determinan A dihitung dengan menggunakan ekspansi sepanjang kolom 1 secara terus – menerus maka akan didapatkan hasilnya adalah
mn
n222
n11211
a...00
a...a0
a...aa
A
nn2211a...a.aA
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
91
Metode Perhitungan Determinan
Metode reduksi baris memiliki prinsip mengubah bentuk matriks menjadi
segitiga atas dengan menggunakan operasi baris elementer.
Pada saat penentuan solusi sistem persamaan linier dengan operasi
baris elementer, ketiga operai baris elementer dapat digunakan tanpa
mempengaruhi sistem persamaan linier secara keseluruhan.
Pada metode reduksi baris ada 2 operasi baris elementer yang bila
dikenakan pada matriks dapat mempengaruhi nilai determinannya.
Kedua operasi tersebut adalah:
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta k
2. Mempertukarkan dua buah baris
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
92
Metode Perhitungan Determinan
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta k
Bila salah satu baris matriks A dikalikan dengan konstanta k,
maka determinan matriksnya menjadi k kali determinan
semula. Agar nilai determinannya tidak berubah maka
determinan matriks harus dikalikan dengan
2. Mempertukarkan dua buah baris
Bila dua buah baris suatu matriks dipertukarkan maka
determinan matriks akan menjadi minus determinan matriks
awalnya. Untuk mengembalikan nilai determinan ke nilai
semula maka determinan harus dikalikan dengan –1
k1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
93
Metode Perhitungan Determinan
Contoh
Hitung dengan menggunakan metode reduksi baris
Jawaban
342
321
543
212
543
321
212
321
543
Baris 1 dipertukarkan dengan baris 3
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
94
Metode Perhitungan Determinan
430
420
321
212
543
321
212
321
543
–3b1+b2
–2b1+b3
430
210
321
2
430
420
321
212
543
321
212
321
543
–1/2 x b2
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
95
Metode Perhitungan Determinan
4
200
210
321
2
430
210
321
2
430
420
321
212
543
321
212
321
543
3b2 +b3
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
96
Penggunaan Determinan
Metode Crammer Salah satu penggunaan determinan adalah untuk menentukan
solusi sistem persamaan linier.
Metode yang digunakan menyelesaikan sistem persamaan linier
dengan menggunakan determinan ini dinamakan metode
Crammer.
Tentunya tidak semua sistem persamaan linier bisa diselesaikan
dengan metode ini, hanya sistem persamaan linier yang memiliki
matriks koefisien bujur sangkar dengan determinan 0 yang bisa
diselesaikan dengan metode ini.
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
97
Penggunaan Determinan
Metode Crammer Sebuah sistem persamaan linier yang disajikan dalam
bentuk . dengan akan memiliki solusi
dengan , ,….,
Dimana dengan i = 1,2,…n didefinisikan sebagai determinan
matriks A yang kolom ke–i nya diganti dengan vektor .
bxA 0A
n
2
1
x
x
x
x A
Ax 1
1
A
Ax 2
2
A
Ax n
n
iA
b
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
98
Metode Crammer
Contoh 1Diketahui sistem persamaan linier
• Periksa apakah metode Crammer bisa digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linier ini
• Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut.
3
2
1
z
y
x
221
230
112
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
99
Metode Crammer
Jawaban
• Metode Crammer bisa digunakan bila
Jadi metode Crammer bisa digunakan
• Solusinya diperoleh setelah |A1|, |A2|, |A3| dihitung
23
11
22
232
0A
221
230
112
223
232
111
A1
314
110
010
111
11
01
1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
100
Metode Crammer
• Solusi sistem persamaan linier adalah
22
11
23
222
231
220
112
A2
321
230
112
A3
3
1
A
Ax 1
1
3
4
A
Ax 2
2 3
3
9
A
Ax 3
3
404
23
11
32
232 9110
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
101
Metode Crammer
Contoh 2Tentukan rumus x dan y dari sistem persamaan linier :
Dengan a,b,c,d,e,f Riil selain 0 bila diketahui x dan y adalah
tunggal
ebyax
fdycx
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
102
Metode Crammer
JawabanKarena nilai untuk a,b,c,d,e dan f bisa sembarang, maka akan terdapat
dua solusi dari sistem persamaan linier tersebut
Dengan a,b,c,d,e,f Riil selain 0.
Yang dilihat hanya pada saat solusi tunggal saja
Sistem persamaan linier akan memiliki solusi tunggal bila determinan
matriks koefisiennya 0.
Atau
bcaddc
ba
bcad
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
103
Metode Crammer
Untuk atau sistem persamaan linier akan memiliki solusi
tunggal dengan solusi
bcad
bfed
bcad
df
be
x
bcad
fc
ea
y
bcad 0A
bcad
ecaf
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
104
Soal Latihan
1. Diketahui a,b adalah bilangan cacah yang kurang dari 6
a. Bila
Tentukan nilai – nilai a dan b yang memenuhi
b. Bila
Tentukan nilai – nilai a dan b yang memenuhi
2. Hitung
4b
3a
42
31
4b
3a
42
31
421
547
625
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
105
Soal Latihan
3. Bila
Memiliki nilai determinan = –6 hitunglah
a.
b.
9966
7865
8754
9753
A
A3
9966
1814106
8754
7865
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
106
Soal Latihan
4. Diketahui sistem persamaan linier
a. Tentukan nilai a agar sistem persamaan linier memiliki solusi tunggal
b. Untuk nilai a tersebut, tentukan solusi sistem persamaan linier
5. Diketahui sistem persamaan linier
Tentukan solusi sistem persamaan linier diatas untuk semua kemungkinan
nilai a dan b !
bxA
3
2
1
z
y
x
233
240
1a2
2
4
y
x
b1
2a
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
107
Invers Matriks
Definisi Bila A adalah matriks bujur sangkar berukuran n x n yang
memiliki determinan tidak sama dengan nol maka invers matriks
A (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai matriks yang
memenuhi persamaan
Dengan
I : Matriks identitas berukuran n x n.
1A
IAAAA 11
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
108
Invers Matriks
Untuk menentukan A–1 dapat digunakan pendekatan yang sama
ketika menentukan solusi suatu sistem persamaan linier.
Dengan memandang persamaan ,eliminasi Gauss–
Jordan bisa diterapkan pada matriks diperbesar . Bentuk
eselon baris tereduksi dari hasil operasi baris pada akan
berbentuk asalkan .
Bila maka invers matriks tidak akan ada dan bentuk
eselon baris tereduksi tidak akan pernah didapatkan.
Invers suatu matriks adalah tunggal.
IAA 1
I|A I|A
1A|I 0A
0A 1A|I
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
109
Invers Matriks
Contoh 1Tentukan invers dari
Jawaban
352
120
103
A
100|352
010|120
001|103
I|A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
110
Invers Matriks
100|352
010|120
001|103
I|A
1032|3
750
010|120
0031|3
101
~
100|352
010|120
0031|3
101
~
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
111
Invers Matriks
1032|3
750
0210|2
110
0031|3
101
~
125
32|6
100
0210|2
110
0031|3
101
~
6154|100
0210|2
110
0031|3
101
~
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
112
Invers Matriks
Jadi
Untuk pemeriksaan dapat dilakukan dengan cara menghitung
. , bila hasilnya I, maka berarti perhitungan yang
dilakukan sudah benar .
6154|100
372|010
251|001
~
6154
372
251
A 1
1AA
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
113
Invers Matriks
Invers suatu matriks juga bisa dihitung dengan menggunakan
matriks Adjoint. Matriks Adjoint didefinisikan sebagai matriks Cij
transpose dengan cij adalah kofaktor elemen i,j .
Invers matriks A memiliki rumusan :
Metode ini menawarkan kemudahan dalam perhitungan invers,
tetapi untuk matriks yang berukuran besar mungkin metode
akan cukup memakan waktu yang lama.
tij
1 CA
1)Aint(Adjo
A
1A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
114
Invers Matriks
Contoh 2Tentukan invers dari
dengan menggunakan matriks Adjoint
352
120
103
A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
115
Invers Matriks
JawabanAkan dicari determinannya terlebih dahulu
Elemen matriks kofaktornya adalah
12
102
35
123
352
120
103
6c3c2c
15c7c5c
4c2c1c
333231
232221
131211
143
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
116
Invers MatriksJadi Adjoint(A) adalah
Jadi
6154
372
251t
632
1575
421
6154
372
251
11
A 1
6154
372
251
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
117
Invers Matriks
Sifat – sifat • Invers perkalian dua matriks :
• Identitas :
• Diketahui A memiliki invers matriks
• Bila B adalah matriks A yang baris i dan j dipertukarkan maka invers
dari B adalah yang kolom i dan j dipertukarkan.
• Bila C adalah matriks A yang baris i dikalikan dengan k maka invers
dari C adalah yang kolom i–nya dibagi dengan k.
111ABAB
AA11
1A
1A
1A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
118
Invers Matriks
Contoh 3Diketahui
memiliki
Bila tentukan B–1
352
120
103
A
6154
372
251
A 1
352
206
120
B
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
119
Invers Matriks
JawabanMatriks B merupakan matriks A yang baris pertamanya dikalikan
dengan 2 kemudian dipertukarkan dengan baris 2.
Jadi adalah yang kolom pertamanya dikalikan
dengan . kemudian dipertukarkan dengan kolom 2.
Jadi
1B 1A
21
6215
317
2215
B 1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
120
Invers Matriks
Menentukan solusi sistem persamaan linier
dengan menggunakan invers matriks
Bila diketahui sistem persamaan linier dengan A bujur sangkar
dan A–1 ada maka dengan mengalikan kedua ruas dengan A–1 akan
diperoleh persamaan
Dari sifat invers matriks bahwa , persamaan diatas bisa
disederhanakan menjadi
Ini merupakan solusi dari sistem persamaan linier tersebut yang berupa
solusi tunggal.
bxA
bAxAA 11 IAA 1
bAx 1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
121
Invers Matriks
ContohTentukan solusi sistem persamaan linier berikut
Dengan memanfaatkan nilai A–1 yang sudah diperoleh
bxA
4
3
2
z
y
x
352
120
103
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
122
Invers Matriks
Jawaban Dari contoh sebelumnya sudah diperoleh
Solusi sistem persamaan linier adalah
6154
372
251
A 1
29
13
9
4
3
2
6154
372
251
bAx 1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
123
Invers Matriks
Hubungan invers matriks, determinan dan
solusi sistem persamaan linier Pada suatu sistem persamaan linier dengan matriks A
bujur sangkar, terdapat hubungan antara keberadaan A–1, |A|
dan jenis solusi sistem persamaan linier –nya.
bxA
tunggalsolusi0AadaA 1
solusiadatidakataubanyakhinggataksolusi0AadatidakA 1
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
124
Invers Matriks
Dari hubungan yang pertama dapat disimpulkan bahwa
Bila A–1 ada maka dan sistem persamaan linier akan
memiliki solusi tunggal.
Bila maka A–1 pasti ada dan sistem persamaan linier
akan memiliki solusi tunggal.
Bila sistem persamaan linier memiliki solusi tunggal maka A–1
ada dan .
0A
0A
0A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
125
Invers Matriks
Dari hubungan yang kedua dapat disimpulkan bahwa
Bila A–1 tidak ada maka |A|=0 dan sistem persamaan linier akan
memiliki solusi tak hingga banyak atau tidak memiliki solusi.
Bila |A|=0 maka A–1 pasti tidak ada dan sistem persamaan linier
akan memiliki solusi tak hingga banyak atau tidak memiliki solusi.
Bila sistem persamaan linier memiliki solusi tak hingga banyak
atau tidak memiliki solusi maka A–1 tidak ada dan |A|=0 .
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
126
Invers Matriks
ContohPeriksa apakah matriks A berikut memiliki invers matriks
Jawaban
Keberadaan invers dapat dilihat melalui nilai determinannya
Karena maka A memiliki invers matriks.
32
223
41
32
413
320
221
A
413
320
221
0A
1165
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
127
Soal Latihan
1. Tentukan invers matriks
dengan menggunakan
a. Eliminasi Gauss–Jordan
b. Matriks Adjoint
2. Dengan menggunakan jawaban pada no 1, tentukan solusi sistem persamaan linier berikut
1
2
3
z
y
x
011
132
212
232
120
241
A
Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324
128
Soal Latihan
3. Diketahui
a. Tentukan nilai a agar matriks A berikut memiliki invers
b. Untuk nilai a tersebut tentukan invers matriksnya
c. Untuk a = 1,2 dan 3, tentukan invers matriknya
4. Berdasarkan jawaban no 3, tentukan invers matriks
berikut :
a. b.
032
132
21a
A
032
211
132
211
064
132