Matriks dan Vektor

  • View
    297

  • Download
    13

Embed Size (px)

Text of Matriks dan Vektor

  • BAB I

    VEKTOR DAN MATRIKS

    @copyright by Naniek - 2007

  • Kompetensi Vektor dan MatriksMahasiswa mampu:Memberikan contoh macam-macam vektor dan MatriksMengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian vektor ataupun matriks

    @copyright by Naniek - 2007

  • PengantarUntuk mengawali belajar Aljabar Linear dan Matriks perlu diingat kembali pengertian dari vektor serta matriks, macam-macam vektor serta matriks kemudian melakukan operasi aljabar atas vektor dan matriks. Vektor dan matriks melandasi dalam belajar Aljabar, karena permasalahan-permasalah yang ada dibawa dulu dalam bentuk vektor atau matriks, kemudian diselesaikan secara aljabar, misalnya dipakai untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear, Transformasi Linear.

    @copyright by Naniek - 2007

  • PENDAHULUAN

    VEKTOR MATRIKS

    @copyright by Naniek - 2007

  • Tidak secara lengkap terdefinisi sampai besar dan arahnya ditentukan

    Contoh : pergerakan angin menunjukkan laju dan arahLaju angin dan arah angin membentuk besaran vektor yang disebut : KECEPATANVektor dapat disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah

    @copyright by Naniek - 2007

  • Ekor panah disebut ttk pangkalArah panah menentukan

    arah vektorPanjang panah menentukan

    arah vektorUjung panah disebut

    ttk ujungMaka vektor v =

    V = AB

    @copyright by Naniek - 2007

  • VEKTOR EKUIVALENVektor-vektor yang panjang dan arahnya sama

    v = w = z

    @copyright by Naniek - 2007

  • OPERASI VEKTORVEKTOR NOL

    Vektor yang panjangnya nolDinyatakan dengan OPENJUMLAHAN VEKTOR

    +

    @copyright by Naniek - 2007

  • VEKTOR NEGATIFAdalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan

    @copyright by Naniek - 2007

  • PENGURANGAN VEKTORJika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :

    v w = v + (-w) -

    @copyright by Naniek - 2007

  • PERKALIAN VEKTORJika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0

    @copyright by Naniek - 2007

  • MACAM-MACAM VEKTORVektor adalah larik berdimensi satuVektor a dengan cacah n elemen ditulis :

    biasa disebut vektor kolom atau vektor sajadengan notasi ditulis:a = (ai)

    @copyright by Naniek - 2007

  • MACAM-MACAM VEKTORVEKTOR NOL

    adalah vektor dengan semua elemennya bernilai nol

    VEKTOR BASIS

    adalah vektor dengan anggota ke I bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol

    @copyright by Naniek - 2007

  • SIFAT OPERASI VEKTORJika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku :

    u + v = v + u(u + v) + w = u + (v + w)u + 0 = 0 + u = uU + (-u) = 0k (lu) = (kl) uK (u+v) = ku + kv(k + l)u = ku + lu1.u = u

    @copyright by Naniek - 2007

  • NORMA SUATU VEKTORPanjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan dinyatakan dengan ||u||

    Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di dlm ruang berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah norma vektor karena

    @copyright by Naniek - 2007

  • HASIL KALI TITIK Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai :

    @copyright by Naniek - 2007

  • MENCARI SUDUT ANTAR VEKTOR

    Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka lancip jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 =/2 jika dan hanya jika u.v = 0

    @copyright by Naniek - 2007

  • MATRIKSKompetensi Macam-macam Matriks Operasi Matriks

    @copyright by Naniek - 2007

  • KompetensiMahasiswa mampu:Mendefinisikan matriksMemberikan contoh macam-macam matriksMengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian matriks.

    @copyright by Naniek - 2007

  • PengantarMengawali belajar aljabar linear dan matriks perlu diingatkan kembali pengertian matriks, macam-macam matriks, serta operasi aljabar atas matriks. Hal ini karena persoalan nantinya dibawa kedalam bentuk matriks, kemudian bagaimana menyelesaikannya.

    @copyright by Naniek - 2007

  • MATRIKSAdalah larik berdimensi dua (karena mempunyai baris dan kolom)Susunan elemen-elemen yg disusun menurut baris & kolom serta merupakan satu kesatuan.

    Baris=mKolom=n

    @copyright by Naniek - 2007

  • MACAM-MACAM MATRIKSMatriks NolAdalah matriks dengan semua elemennya bernilai nol.O=(0)Matriks Bujur SangkarAdalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya samaA = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n

    j = 1, 2, 3, . . . n

    @copyright by Naniek - 2007

  • MACAM-MACAM MATRIKSMatriks Persegi PanjangAdalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom tidak sama.A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n

    j = 1, 2, . . mMatriks DiagonalAdalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nolA = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i j

    aij = real untuk i = j

    @copyright by Naniek - 2007

  • MACAM-MACAM MATRIKSMatriks Satuan (identitas)Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nolA = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j

    aij = 0 untuk i jMatriks Segitiga AtasAdalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai realA = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j

    aij = untuk i j, Real

    @copyright by Naniek - 2007

  • MACAM-MACAM MATRIKSMatriks TransposeAdalah matriks dimana susunan elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolomA=(aij); AT =(aji)Matriks SimetrisAdalah matriks dimana susunan elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya samaA=AT; maka A adalah matriks simetris

    @copyright by Naniek - 2007

  • OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKSOperasi Perkalian SkalarOperasi PenjumlahanOperasi PenguranganOperasi Perkalian

    @copyright by Naniek - 2007

  • PERKALIAN DENGAN SKALAR

    K = 2

    k A =

    @copyright by Naniek - 2007

  • PENJUMLAHAN MATRIKS

    A + B 1 2 6 3 2 4 6 3 A = B =+ = 3 6+ = 6 12

    @copyright by Naniek - 2007

  • PENGURANGAN MATRIKS

    A - B 1 2 6 3 2 4 6 3 A = B =- = -1 -2- = 00

    @copyright by Naniek - 2007

  • PERKALIAN MATRIKSA=(aij) dengan i=1,2,3,,m dan j=1,2,3,,nB=(bjk) dengan j=1,2,3,,n dan k=1,2,3,,p

    Maka :A x B = (aij) x (bjk)

    @copyright by Naniek - 2007

  • PERKALIAN MATRIKS

    1 3 5 0 0 1 2 A B 2 4 1 2 1 0 = = A x B = -4 4 x+x+x=9 1 3 5 0 2 4 1 3 5 0 2 4 0 1 2 1 2 1 0 -4 4 x+x+x=16x+x+x=3 1 2 3 0 4 5 xxxxxxxxx++++++===13814 1 4 0 -4 2 1 1 2 3 0 4 5 0 1 2 0 1 2

    @copyright by Naniek - 2007

  • Program MATLAB (1)>> a=[ 2 4 3 6; -12 9 -32 50; 1 4 8 12; 10 3 9 -12] % membentuk matriks a = 2 4 3 6 -12 9 -32 50 1 4 8 12 10 3 9 -12>> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a b = 2 9 8 -12

    @copyright by Naniek - 2007

  • Program MATLAB (2)>> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1>> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari ac = 2 4 3 6 0 9 -32 50 0 0 8 12 0 0 0 -12

    @copyright by Naniek - 2007

  • Program MATLAB (3)>> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks ad = 2 0 0 0 -12 9 0 0 1 4 8 0 10 3 9 -12>> e=a' % Membentuk transpose matrikse = 2 -12 1 10 4 9 4 3 3 -32 8 9 6 50 12 -12

    @copyright by Naniek - 2007

  • Program MATLAB (4)>> f=a+e % Mencari jumlahan matriksf = 4 -8 4 16 -8 18 -28 53 4 -28 16 21 16 53 21 -24

    @copyright by Naniek - 2007

  • Program MATLAB (5)>> g=a*f % Mencari perkalian matriksg = 84 290 70 163 552 3804 238 -1587 196 476 272 108 -140 -914 -152 796>> j=inv(a) % Mencari invers matriksj = -0.8878 0.1113 0.3557 0.3756 1.2050 -0.0991 -0.4995 -0.3100 0.0783 -0.0312 0.0344 -0.0566 -0.3799 0.0446 0.1973 0.1097

    @copyright by Naniek - 2007

  • RangkumanDua buah matriks dapat di jumlahkan atau dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama.Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks BJumlahan matriks berlaku hukum komutatifPerkalian dua buah matriks belum tentu hukum komutatif berlaku.Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi

    @copyright by Naniek - 2007

  • Soal-soal (1)1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 5 x 32. Jika diketahui matriks bujur sangkar berukuran 5, berilah contoh matriks sbb:Matriks bujur sangkarMatriks diagonalMatriks segitiga atas d

View more >