1

Matlab

• Przykłady metod obliczeniowych

• Obliczenia symboliczne

Wykład 4

MOiPP

Porównywanie kolejnych par elementów sąsiadujących i zamiana miejscami w przypadku niewłaściwej kolejności

Sortowanie bąbelkowe

1 2 3 4 ..... N

N-1 porównań Wykonujemy N przebiegów

Sortowanie bąbelkowe skróconePrzebiegów wykonujemy N-1

W każdym kolejnym przebiegu liczba analizowanych par jest zmniejszana o 1, a

3

96 12 22 76 64 23 74 11

9622 76 64 23 74 1112

2 PRZEBIEG

1 PRZEBIEG

4

clcclearN=5;G=rand(1,N)%stadardowa funkcja sortującaG1=sort(G)%sortowanie bąbelkowefor k=1:N-1 for m=1:N-k if G(m)>G(m+1) pom=G(m); G(m)=G(m+1); G(m+1)=pom; end end disp(G) %pokazuje kolejne wypływające "bąbelki"end%ostatecznie po posortowaniudisp(G)

zamiana miejscami gdy elementy w niewłaściwej kolejności

M-plik - sortowanie "bąbelkowe"

5

Obliczenia symboliczne w Matlabie

Niezbędny jest tu dodatkowy (komercyjny) tzw. toolbox o nazwie Symbolic Tool

Obliczenia symboliczne wymagają zadeklarowania zmiennych symbolicznych – abstrakcyjnych zmiennych, które nie posiadają wartości liczbowej

syms zmienna1 zmienna2 itd

Służy do tego polecenie syms:

Symboliczne rozwiązywanie równań – funkcja solve()

syms x af=a - x^2;z =solve (f, x)

Przykład:

z = a^(1/2) -a^(1/2)

syms a b c d e f g h

A=[a b; c d]

B=[e f ; g h]

il_m=A*B

il_e=A.*B

Symboliczne operacje macierzowe

A =

[ a, b]

[ c, d]

B =

[ e, f]

[ g, h]

il_m =

[ a*e+b*g, a*f+b*h]

[ c*e+d*g, c*f+d*h]

il_e =

[ a*e, b*f]

[ c*g, d*h]

ilustracja iloczynów macierzy kwadratowych

iloczyn macierzowy Cauchy'ego

iloczyn elementowy Hadamarda (po współrzędnych)

Przykład:

Wstawienie danych do wyrażeń symbolicznych -

funkcja subs( )

Rezultat:

y =

-1/2*(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/a

-1/2*(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/a

w =

-0.3333

-1.0000

syms a b c x % definicja 4 zmiennych symbolicznych

y = solve(a*x^2+b*x+c) % rozwiązanie równania względem x

a=3; b=4; c=1; % Przypisanie wartości liczbowych a b c

w = subs(y) % Obliczenie wartości liczbowej dla y

Do obliczania granic na podstawie wyrażenia symbolicznego służy funkcja limit.

Jej składnia może być następująca:

limit (F,[zmienna],[b])

wyznaczenie granicy dla wyrażenia symbolicznego F, względem wskazanej zmiennej,

granica dla zmiennejb,

Obliczenia granic ciągów i funkcji - funkcja limit( )

Uwagi:

• zmienna jest opcjonalna, jeśli wyrażenie zawiera jedną zmienną.

• b opcjonalne, jego pominięcie oznacza granicę dla zmienna0.

wyznaczenie granicy lewostronnej dla wyrażenia symbolicznego F, w punkcie b,

limit(F, zmienna, b, 'left')

wyznaczenie granicy prawostronnej dla wyrażenia symbolicznego F, w punkcie b.

limit(F, zmienna, b, 'right')

Obliczenie granicy ciągu:

syms n

w= limit((1-3*n)/(1+n), inf)

Przykład

Rezultat:

w =

-3

Uwaga: inf jest symbolem ∞ (nieskończoność)

Przykład

syms x

a=limit(tan(x),x, pi/2,'left')

b=limit(tan(x),x, pi/2,'right')

a=

Inf

b=

-Inf

Obliczenie granicy lewo i prawostronnej funkcji tg(x)

w punkcie pi/2

Argumentami funkcji są:

• funkcja, względem której pochodna będzie liczona,

• zmienna, względem której pochodna jest liczona (opcjonalnie)

• rząd pochodnej (opcjonalnie)

Obliczanie pochodnych funkcji - funkcja diff( )

diff (F,[zmienna],[N])

syms x a=diff(x^2)

Przykład:

Obliczenie pochodnej funkcjif(x)=x2

a = 2*x

Rezultat

Obliczenie pochodnej funkcji f(x, y, z)

według każdej zmiennej (pochodne cząstkowe):

Przykład:

17

syms x y z

f=(x*y*z)^x+(1/(x*y))^2

diff(f)

diff(f,x)

diff(f,y)

diff(f,z)

ans =

(x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)-2/x^3/y^2

ans =

(x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)-2/x^3/y^2

ans =

(x*y*z)^x*x/y-2/x^2/y^3

ans =

(x*y*z)^x*x/z

syms x

diff(f,x,2)

Obliczenie pochodnej funkcji f (x, y, z )

Przykład:

ans =

(x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)^2+(x*y*z)^x/x+6/x^4/y^2

Całkowanie funkcji - funkcja

int( )

Jej argumentem jest funkcja symboliczna

opcjonalnie także zmienna całkowania oraz granice całkowania (dla całek oznaczonych).

int(F,[zmienna], [a , b])

Uwaga: domyślnie zmienną symboliczną jest x

syms a x int(a+x) int(a+x, a) %Sprawdzeniediff(f)

Przykład:

ans = a*x+1/2*x^2

ans = 1/2*a^2+a*x

ans = a+x

Obliczenie całki nieoznaczonej funkcji f(a,b)=a+b

Rezultat:

Obliczenie całki oznaczonej:

syms x

int(x^2,1,3)

int(sin(x),0,pi)

Obliczenie całki oznaczonej funkcji sin x w przedziale (0, π)

ans = 26/3

ans = 2

Funkcja oblicza symbolicznie rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania są określane przez symboliczne wyrażenia zawierające literę D do oznaczenia stopnia.

Symbole D2, D3... DN, odnoszą się do drugiej, trzeciej,..., n-tej pochodnej.

D2y jest zatem odpowiednikiem symbolicznym

.

Rozwiązywanie równań różniczkowych funkcja dsolve()

Zmienna niezależna domyślna t.

Nazwy zmiennych symbolicznych nie powinny zatem zawierać D. Zmienną niezależną można zmienić i podać jako ostatni argument.

Warunki początkowe mogą być określone przez dodatkowe równania.

Jeśli nie określono warunków początkowych, rozwiązania zawierają stałe całkowania: C1, C2, itp. Rozwiązanie dsolve jest podobne do solve. Oznacza to, że można wywołać dsolve z liczbą zmiennych wyjściowych równą liczbie zmiennych zależnych od lub umieścić w strukturze, której pola zawierają rozwiązania równań różniczkowych.

dsolve('Dy=1+y^2')

Przykład

dsolve('Dx = -a*x')

zmienna t domyślna

zmienna x ustalona

ans =tan(t+C1)

dsolve('Dy=1+y^2','x')ans =

tan(x+C1)

ans =

C1*exp(-a*t)

Rozwiązać równanie:

y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1')

Uwaga: y jest w obszarze roboczym MATLAB, ale t nie jest, a zatem polecenie diff(y,t) zwraca błąd.

Aby umieścić t w obszarze roboczym należy:

syms t

pochodna=diff(y,t)

y =tan(t+1/4*pi)

Po wstawieniu warunków początkowych:

pochodna=

1+tan(t+1/4*pi)^2

Przykład 2

Równania nieliniowe mogą mieć wiele rozwiązań, nawet wtedy, gdy podane są warunki początkowe:

x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0')

x =

[ sin(t)]

[ -sin(t)]

Równanie różniczkowe drugiego stopnia z dwoma warunkami początkowymi:

Przykład 3

y = dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0', 'x')

simplify(y) %uproszczenie

y =

4/3*cos(x)-1/3*cos(2*x)

ans =

4/3*cos(x)-2/3*cos(x)^2+1/3

u = dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)=-1','D2u(0) = pi','x')

warunki początkowe

u =

1/3*pi*exp(x)-1/3*(pi+1)*3^(1/2)*exp(-1/2*x)*sin(1/2*3^(1/2)*x)+

(1-1/3*pi)*exp(-1/2*x)*cos(1/2*3^(1/2)*x)

Przykład 4

D3u reprezentuje d3u/dx3

D2u(0) odpowiada u"(0)

Funkcja dsolve rozwiązuje także układ równań różniczkowych zwyczajnych kilku zmiennych, z warunkami początkowymi lub bez

Układ równań różniczkowych

S = dsolve('Df = 3*f+4*g', 'Dg = -4*f+3*g')

Przykład

f = S.fg = S.g

S = f: [1x1 sym] g: [1x1 sym]

Dwa równania liniowe, pierwszego rzędu:

Rozwiązania obliczane są zwracane w strukturze S. Można określić wartości f i g, wpisując:

f = exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t))

g = exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t))

Jeśli chcemy uzyskać f i g bezpośrednio, oraz uwzględnić także warunki początkowe, wpisujemy:

[f,g] = dsolve('Df=3*f+4*g, Dg =-4*f+3*g', 'f(0) = 0, g(0) = 1')

f =exp(3*t)*sin(4*t)

g =exp(3*t)*cos(4*t)

Jeszcze jeden przykład składni w Symbolic Math Toolbox.

y = dsolve('Dy+4*y = exp(-t)', 'y(0) =1')spr=diff(y,t)+4*y %sprawdzenie rozwiązaniaspr = simplify(spr)t=0 %sprawdzenie warunku początkowegowp=subs(y)

y(0) = 1

y =(1/3*exp(3*t)+2/3)*exp(-4*t)

spr =exp(-4*t)*exp(3*t)

spr =exp(-t)

t =0

wp =1