MATEMÁTICAS I tema 1 El conjunto de los Números Reales · LOS DIVERSOS CONJUNTOS CONJUNTOS DE NÚMEROS Números naturales, !={0,1,2,3,4,"} Números enteros, ... Los intervalos son

MATEMÁTICAS Itema 1

El conjunto delos Números Reales

IES Mata Jove curso 2019/2020

Matemáticas I IES Mata Jove

ud1: El conjunto de los números reales curso 2019/2020

UD1. El conjunto de los números reales 2 material alumnadoLA CASA DE EVARISTO NOETHER http://rubenpzamanillo.blogspot.com/

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LOS DIVERSOS CONJUNTOS CONJUNTOS DE NÚMEROS

Números naturales, ! = 0,1, 2,3, 4,"{ }

Números enteros, ! = ",− 4,− 3,− 2,−1,0,1, 2,3, 4"{ } . Se cumple ! ⊂ " , es decir,

todo número natural es también número entero.

Números racionales, ! , formado por todos los números que se pueden escribir de la

forma

ab

siendo a y b números enteros y b ≠ 0 . Se cumple ! ⊂ "⊂ # , es decir, los

número naturales y los números enteros son también números racionales. Son también números racionales los siguientes tipos de números decimales:decimales exactos: los números decimales con una cantidad finita de cifras decimales.decimales periódicos: los números decimales con una cantidad infinita pero periódica de cifras decimales.

Números irracionales, I, formado por todos los números decimales con una cantidad infinita y no periódica de cifras decimales. Se cumple I ∩! =∅ , es decir, son conjuntos

disjuntos, no tienen elementos en común.

Números reales, ! = "∪ I, es decir, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

1. Indica el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen los números.

π2 81 3 − 49 3 '711711711…

−

41

153 164 − 2 0 '0912937919…

− 273

3 +

56 1+ 3 0 '10110111011110…

2. Escribe un número irracional entre cada pareja de números.

1 y 2

0 '2 y 0 '25

0 '47! y 0 '475

2'3 y 2'35!






3. Ordena de menor a mayor los siguientes números.

a. π +

12

; 364100

; 3 '64⌢

; 364 ; − 3 '64 b. −3 '64 <

364100

< π +12< 3 '64

⌢< 364

4. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta.

Hay números enteros que no son racionales

Existen números irracionales que no son números reales

Un números real es racional o irracional

Cualquier número decimal es un número real

Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción

Todos los números reales son racionales

Todo número irracional es también un número real

Existen números enteros que son irracionales

Hay números reales que son racionales

Cualquier número decimal es racional

Un número racional es entero Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales

Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten

Todos los números racionales se pueden escribir mediante fracciones.






FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO RACIONALTodo número racional se puede expresar en forma de fracción. La fracción irreducible que representa a un número racional se llama fracción generatriz.

enteros 3 =

31

, − 7 =−71

, 0 =01

decimales exactos

4 '7 =4710

, 1'42 =142100

=7150

, − 0 '245 =−2451000

= −49200

decimales periódicos

7 '23!

Sea N = 7 '23! = 7 '232323... entonces 100N = 723 '232323...

así 100N − N = 716 ⇒ 99N = 716 ⇒ N =71699

0 '21⌢4

Sea N = 0 '21⌢4 = 0 '214444... entonces 100N = 21'4444... y 1000N = 214 '4444...

así 1000N −100N = 193 ⇒ 900N = 193 ⇒ N =193900

5. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números racionales.

a. 3 '75 b. 3 '75! c. 3 '675! d. 3 '9⌢

e. 1'9⌢

f. 0 '9⌢

6. Expresa los números racionales como fracciones y efectúa las operaciones. Expresa el resultado final como una fracción irreducible

1. 1'⌢3 + 3 '4 2. 10 '2

⌢5 − 5 '

⌢7 3. 1'36! + 8 '25! 4. 1'25 ⋅2'

⌢5 5. 0 '0

⌢3 ÷ 2'9

⌢2

7. Señala el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen los siguientes números.

1+ 2 8 + 10 3 ⋅ 16

5

2 5 − 9

165






INTERVALOS DE LA RECTA REALEl conjunto de los números reales se pueden representar en una recta llamada recta real, de modo que cada números real se identifica con un punto de la recta y cada punto de la recta se corresponde con un número real.

Los intervalos son conjuntos de números reales que se corresponde con un segmento o con una semirrecta de la recta real. Existen distintos tipos de intervalos:

intervalos acotados

abierto a,b( )

x ∈! / a < x < b{ }

intervalos acotados

cerrado a,b⎡⎣ ⎤⎦

x ∈! / a ≤ x ≤ b{ }intervalos acotados

semiabiertos

a,b⎡⎣ ) x ∈! / a ≤ x < b{ }

intervalos acotados

semiabiertos

a,b( ⎤⎦

x ∈! / a < x ≤ b{ }

intervalos no acotados

abiertos a,+∞( )

x ∈! / a < x{ }


abiertos

−∞,b( )

x ∈! / x < b{ }intervalos no acotados

cerrados

a,+∞⎡⎣ ) x ∈! / a ≤ x{ }


cerrados

−∞,b( ⎤⎦

x ∈! / x ≤ b{ }






8. Completa el siguiente cuadro:

descripción intervalo desigualdad representación

números mayores que 2 y menores o iguales que 5

−7,15( )

x > 3

números menores que –3

4,+∞⎡⎣ )

números mayores o iguales que 0

9. Efectúa y haz una representación gráfica de las siguientes operaciones con intervalos.

a. 3,5( )∪ 4,8( ⎤⎦ b.

3,+∞⎡⎣ )∩ 0,5( ) c.

4,9⎡⎣ ⎤⎦ ∩ 5,15⎡⎣ ⎤⎦ d.

−∞,1( )∩ 4,5( )

e. −1,1⎡⎣ ⎤⎦ ∩ −1,3( ⎤⎦ f.

−5,3⎡⎣ ⎤⎦ ∩ 3,6⎡⎣ ⎤⎦ g.

−4,4( )∪ −2,2( ⎤⎦ h.

−∞,1( )∪ 0,+∞( )

i. −7,4( ⎤⎦ ∪ −2,10⎡⎣ ) j.

−∞,9( ⎤⎦ ∪ 9,+∞⎡⎣ ) k. l.

10. Calcula la fracción generatriz en los siguientes casos

a. 0 '96 b. 0 '96! c. 0 '196!






NOTACIÓN CIENTÍFICAYa has visto en cursos pasados cómo utilizar las potencias de base 10 para representar números muy grandes o muy pequeños. Pero no todo número escrito haciendo uso de las potencias de base 10 es un número escrito en notación científica normalizada.

El ejemplo siguiente muestra este hecho.

700000 0 '7 ⋅106 incorrecto 7 ⋅105 correcto

0 '0112 11'2 ⋅10−3 incorrecto 1'12 ⋅10−2 correcto

11. Efectúa las siguientes operaciones. Expresa el resultado final en notación científica.

a.

2 '3 ⋅104 + 5 ⋅103

b.

5 ⋅10−2( ) ⋅ 3 '1⋅10−4( )

c.

3 ⋅10−7 − 7 ⋅10−4

d.

4 ⋅10−6( ) ÷ 2 ⋅10−8( )

12. Efectúa las siguientes operaciones.

1. 9 '35 ⋅104 + 7 '6 ⋅102

2. 7 '8 ⋅10−3 + 8 ⋅10−5

3.

9 ⋅104( ) ⋅ 8 '5 ⋅102( )

4.

7 ⋅104( ) ÷ 1'4 ⋅105( )

13. La longitud de un cierto microorganismo es 3,5 micras. Una micra es una unidad de longitud equivalente a la millonésima parte de un metro. Calcula la longitud de una fila hecha con 4 millones de estos microorganismos. Expresa esa longitud en metros y utilizando notación científica

14. Usa tu calculadora para determinar el valor de 9 '23 ⋅1099 +1'78 ⋅1099 . Después de eso, haz la misma suma sin calculadora. ¿Qué diferencias puedes observar?

15. Escribe utilizando notación científica.

distancia Tierra-Luna

384000kmdistancia Tierra-Neptuno

4308000000kmdiámetro de un electrón

0 '0000000003m

area de la Tierra

150000000km2

longitud del virus de la gripe

0 '0000000022mradio de un protón

0 '00000000005m






16. Usa la notación científica para expresar la capacidad de los siguientes dispositivos electrónicos en bits: un disco duro de 120Gb y una tarjeta de memoria de 512MbUnidades de almacenamiento de información

17. La masa de Plutón es 6,6·10-9 veces la masa del Sol. Por su parte, la masa del Sol es 3,3·106 veces la masa de la Tierra. Si la masa de nuestro planeta es 6·1024 kg, calcula la masa de Plutón y del Sol

18. Hay un cierto tipo de bacterias que duplican su población cada media hora. Si comenzamos con una colonia de 8·1012 bacterias,

a. Calcula el número de bacterias al cabo de tres horas. b. Calcula el número de bacterias al cabo de tres horas. c.¿Cuánto tiempo se necesita para que la población llegue a 1,04·1015 individuos?

19. Efectúa las siguientes operaciones. Expresa el resultado final en notación científica.

1.

2 '3 ⋅104 + 5 ⋅103

2.

5 ⋅10−2( ) ⋅ 3 '1⋅10−4( )

3.

3 ⋅10−7 − 7 ⋅10−4

4.

4 ⋅10−6( ) ÷ 2 ⋅10−8( )

5. 1'32 ⋅104 + 2'57 ⋅104

6. 8 '75 ⋅102 + 9 '46 ⋅103

7. 8 '6 ⋅103 − 5 '45 ⋅102

8. 7 '9 ⋅10−4 −1'3 ⋅10−6

20. Usa la notación científica para expresar la capacidad de los siguientes dispositivos electrónicos en bytes: un diskette de 1,44Mb y un CD-ROM de 650MbUnidades de almacenamiento de información

Kilobyte = 210bytes , Megabyte = 210Kilobytes , Gigabytes = 210Megabytes

21. Escribe utilizando notación científica.

peso de un estafilococo

0 '00000001gaño-luz

9460000000000km

diámetro del Universo observable

25000 million años-luz






22. Completa el siguiente cuadro:

descripción intervalo desigualdad representación

4 < x ≤15

−2 > x

−3,6⎡⎣ ⎤⎦

23. Efectúa la operación entre intervalos indicada en cada caso y haz una representación gráfica del resultado.

a. −∞,4( )∪ 4,5( ) b.

−∞,1( )∪ 1,+∞⎡⎣ ) c.

−10,−2( ⎤⎦ ∩ −5,7( ⎤⎦ d.

3,4( )∪ 5,8( )






ERRORES Y APROXIMACIONESSea a ∈! and a

! una aproximación de a

aproximación por defecto aproximación por exceso

a! < a a

! > aerror absoluto error relativo

Ea = a − a!

Er =

Ea

a

cota de error cualquier número b tal que Ea < b

24. Si que tomamos 250,49 como aproximación de la suma 45,96 + 203,7 + 0,8323 , ¿cuál es el error que se comete. Calcula tanto el error absoluto como el relativo.

25. Supongamos que queremos aproximar el número irracional π . ¿Crees que el número

racional 355113

es una buena elección? Encuentra una cota superior del error absoluto para

justificar tu respuesta. Esta aproximación, ¿es por exceso o por defecto?

26. Escribe dos aproximaciones, una por exceso y otra por defecto, del número e. Halla, en ambos casos, una cota del error absoluto.

27. Calcula la longitud del lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 5cm. ¿Qué tipo de número has encontrado?. Da la solución con una precisión de milímetros






28. Consideremos el número conocido como la razón aúrea

phi( ) φ =

1+ 52

= 1'61803…

Redondea este número irracional a las centésimas y calcula los errores absoluto y relativo cometidos en la aproximación.

29. Calcula un número tal que 5432,723 es su aproximación por defecto a las milésimas.

30. Calcula la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 8cm. Supón que construyes un cuadrado cuyos lados miden lo mismo que la diagonal que acabas de calcular. ¿Cuál es el área de este nuevo cuadrado?

31. Calcula el volumen de la caja representada en el dibujo de dos formas distintas.Primero: calcula el volumen y redondea el valor obtenido a las milésimas. Calcula los errores absoluto y relativo.Segundo: aproxima las medidas de la caja a las décimas, con esos valores calcula el volumen de la caja. Calcula los errores absoluto y relativo cometidos en este caso.

32. Se consideran 4 lugares A, B, C and D. La distancia entre A y B es de 48km con un error de medida de 200m. La distancia entre C y D es 300m. En este caso, el error es 2,5m. ¿Cuál es la más precisa de las aproximaciones y porqué?

33. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de números.

a.

7 '512! , 7 '512 , 7 '51! , 7 '512" , 7 '51⌢2

b.

3 '⌢6 , 3 '61! , 13 '6

⌢1 , 13 '615!

c.

8 '24! , 8 '2⌢4 , 8 '24

⌢3 , 8 '243!

d.

7 '1⌢4 , 7 '141" , 7 '1412#

34. Intercala tres números reales entre cada una de las siguientes parejas.

3,4 y 3,400232323... 5,6 y 5,686868... 2,52222... y 2,52525252...






35. Expresa el número decimal exacto 6,8 como suma de dos números periódicos.

6 '8 = 6 '7⌢9 = 6 '7

⌢5 + 0 '0

⌢4 = 2'5

⌢3 + 4 '2

⌢6 ="

36. Calcula la cifra que ocupa la 26ª posición decimal del número el número 1289999

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERORecuerda el significado de exponentes negativos

a−n =

1an

y las reglas de las operaciones con potencias

mismo exponente potencia de una potencia

a ⋅b( )n = an ⋅bn a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

=an

bn an( )m = an⋅m

misma base fracciones y exponentes negativos

an ⋅am = an+m an

am = an−m

ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−n

=ba

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

Fíjate en los siguientes ejemplos. En ellos se muestra cómo utilizar las reglas de los exponentes para simplificar expresiones con potencias de exponente entero.






(a) −

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

÷ −48

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

= −25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

÷12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

= −22

52 ÷123 = −

22 ⋅23

52 = −25

52 = −3225

(b)

24 ⋅ −5( )⎡⎣ ⎤⎦−2= 2−8 ⋅ −5( )−2

= 2−8 ⋅5−2 =1

28 ⋅52 =1

6400

(c)

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−4

⋅23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

⋅23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−1

=32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

⋅23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−3

⋅23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−6

=32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

⋅32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

⋅32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6

=32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

= 2−13 ⋅313

(d)

35+

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

+ 2 ⋅ 52−

16

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

=9 + 515

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

+ 2 ⋅ 15 −16

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

=

=1514

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+21⋅

614

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=225196

+21⋅

949

=225196

+1849

=225 + 72

196=

297196

37. Realiza las siguientes operaciones con potencias simplificando el resultado

a. −

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

⋅54

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

b.

−72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

÷5−2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

c. −3( ) ⋅8⎡⎣ ⎤⎦

−3 d.

92 ÷ −3( )5⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−1

e.

56

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

⋅56

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−3

⋅65

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

3

f.

92 ⋅12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

÷ 2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−2

g.

15−

310

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

÷ 1− 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

−32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

g.

15−

310

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

÷ 1− 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

−32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2






POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL (radicales) Recuerda el significado de los exponentes racionales

apq = apq

propiedades de las potencias (siendo n un número racional)propiedades de las potencias (siendo n un número racional)

a ⋅b( )n = an ⋅bn a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

=an

bn an ⋅am = an−m an

am = an−m

an( )m = an⋅m

cómo sacar factores de un radicalcómo sacar factores de un radical

Sea m ≥ n entonces m = n ⋅q + r ⇒ xmn = xq ⋅ xrn Sea m ≥ n entonces m = n ⋅q + r ⇒ xmn = xq ⋅ xrn

Fíjate en los siguientes ejemplos. En ellos se muestra cómo utilizar las reglas de los exponentes para simplificar expresiones con potencias de exponente racional.

(a) a6 ⋅b105 = a1 ⋅b2 ⋅ a1 ⋅b05 = ab2 ⋅ a5 a6 ⋅b105 = a1 ⋅b2 ⋅ a1 ⋅b05 = ab2 ⋅ a5

base a: 6 = 5·1 + 1base b: 10 = 5·2 + 0

(b) −

1681

3 = −24

343 = −

23⋅

23

3

−

1681

3 = −24

343 = −

23⋅

23

3para ambas bases 2 and 3:

4 = 3·1 + 1

(c) 12 ⋅ 163 −

35⋅ 1283 + 7 ⋅ 543 = 12 ⋅ 243 −

35⋅ 273 + 7 ⋅ 2 ⋅333 =

12 ⋅ 163 −

35⋅ 1283 + 7 ⋅ 543 = 12 ⋅ 243 −

35⋅ 273 + 7 ⋅ 2 ⋅333 =

12 ⋅ 163 −

35⋅ 1283 + 7 ⋅ 543 = 12 ⋅ 243 −

35⋅ 273 + 7 ⋅ 2 ⋅333 =

base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0base 2, exponente 4: 4 = 3·1 + 1 base 2, exponente 7: 7 = 3·2 + 1 base 3, exponente 3: 3 = 3·1 + 0

= 12 ⋅21 ⋅ 213 −

35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −

125

⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125

+ 21⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 23 =

2135

⋅ 23

= 12 ⋅21 ⋅ 213 −

35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −

125

⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125

+ 21⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 23 =

2135

⋅ 23

= 12 ⋅21 ⋅ 213 −

35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −

125

⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125

+ 21⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 23 =

2135

⋅ 23

= 12 ⋅21 ⋅ 213 −

35⋅22 ⋅ 213 + 7 ⋅3 ⋅ 2 ⋅333 = 24 ⋅ 23 −

125

⋅ 23 + 21⋅ 23 = 24 −125

+ 21⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ 23 =

2135

⋅ 23

(d)(d)

3 2 − 5( ) ⋅ 4 2 − 3( ) = 3 ⋅ 2 ⋅4 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 ⋅3 − 5 ⋅4 ⋅ 2 + 5 ⋅3 =

= 24 − 9 2 − 20 2 +15 = 39 − 29 2

3 2 − 5( ) ⋅ 4 2 − 3( ) = 3 ⋅ 2 ⋅4 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 ⋅3 − 5 ⋅4 ⋅ 2 + 5 ⋅3 =

= 24 − 9 2 − 20 2 +15 = 39 − 29 2






38. Expresa en forma de radical las siguientes potencias. Con ayuda de la calculadora expresa estas mismas potencias en forma de decimal, redondeando el resultado a las milésimas

radical decimal radical decimal

39. Extrae factores de los siguientes radicales

a. 23a53 b. a3b5c63 c. 24a74 d.

27625

3 e.

288972

4 f. −

642187

5

g. a6b105 h. 26a4b8 i. 22a2b4 j. −

1681

3 k.

5243

5 l.

24310000

4

40. Opera y simplifica las siguientes expresiones.

a. 5 12 + 7 27 − 243 −

12

75 b. 4 8 − 7 50 +

83

18 + 4 98

c. 2 7 + 3 2( ) ⋅ 5 − 2 2( ) d.

7 5 + 3( ) ⋅ 5 5 − 3 6( )

41. En las siguientes expresiones con radicales, racionaliza el denominador y simplifica.

a.

16

b.

−52 5

c.

4

325d.

12 +1

e.

−53 − 2

f.

4 23 2 − 5

g.

−56 + 7

h. h. i.

33−

52

i.

33−

52 j. j. j.






42. Opera y simplifica las siguientes expresiones.

a. b. c. 12 163 −

35

1283 + 7 543

d.

3 + 2( ) ⋅ 3 − 2( ) e. 6 7 − 5( ) ⋅ 6 7 + 5( ) f.

2 5 − 3 2( )2

+ 2 5 + 3 2( )2

LOGARITMO DE UN NÚMERODados dos números reales a ,b > 0 ,a ≠ 1 , se define el logaritmo en base a de b como

loga b = c ⇔ ac = bSi la base a= 10 , entonces se les denomina logaritmos decimales y se denotan por log.Si la base a= e ! 2,7182… , entonces se llaman logaritmos neperianos o naturales. Se representan por ln.

Los logaritmos en cualquier base, cumplen las siguientes propiedades.

loga 1= 0 loga a = 1 loga b =

logc blogc a

loga b ⋅c( ) = loga b + loga c

loga b ÷ c( ) = loga b − loga c

loga bn( ) = n ⋅ loga b

42. Calcula usando la definición de logaritmo.






43. Calcula usando la definición de logaritmo.

a. b.

c. d.

44. Calcula el valor de x en cada caso

a. b. c. d. e.

f. g. h. i. j.

k. l. m. n. ñ.

o. p. q. r. s.

45. Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar las expresiones.

a. log a2 ⋅b3

c4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟b.

ln a3

b2 ⋅c−4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

46. Utiliza las propiedades de los logaritmos para encontrar el valor de x.

a. b.

c. d.

47. Resuelve las siguientes ecuaciones

a. b. c.






48. Sabiendo que log2 = 0,301 , calcula el logaritmo decimal de los siguientes números:

20, 2000, 0’2, 0’02, 8, 128, 0’5, 0’125, 24 , 167

49. Sabiendo que loga = 9,1 , calcula el valor de: log 0,1⋅a2( ) , log 10

a4






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