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Lista – Conjuntos – Paulo Vinícius Exercícios resolvidos
Questão 01. (Fuvest 2018) Dentre os
candidatos que fizeram provas de
matemática, português e inglês num
concurso, 20 obtiveram nota mínima
para aprovação nas três disciplinas.
Além disso, sabe-se que:
I. 14 não obtiveram nota mínima em
matemática;
II. 16 não obtiveram nota mínima em
português;
III. 12 não obtiveram nota mínima em
inglês;
IV. 5 não obtiveram nota mínima em
matemática e em português;
V. 3 não obtiveram nota mínima em
matemática e em inglês;
VI. 7 não obtiveram nota mínima em
português e em inglês e
VII. 2 não obtiveram nota mínima em
português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que
participaram do concurso foi
a) 44.
b) 46.
c) 47.
d) 48.
e) 49.
Resposta:
[E]
Sejam M,P e I, respectivamente, o
conjunto dos alunos que não obtiveram
nota mínima em matemática, o conjunto
dos alunos que não obtiveram nota
mínima em português e o conjunto dos
alunos que não obtiveram nota mínima
em inglês.
Logo, pelo Princípio da Inclusão-
Exclusão, temos n(M P I) 14 16 12 5 3 7 2 29.
Por conseguinte, sabendo que 20
alunos foram aprovados nas três
disciplinas, segue que a resposta é
29 20 49.
Questão 02. (Pucrj 2017) Em uma
pesquisa, constatou-se que, das 345
pessoas de um determinado local, 195
jogavam tênis, 105 jogavam tênis e
vôlei, e 80 não jogavam nem vôlei nem
tênis.
Qual é o número de pessoas que
jogavam vôlei e não jogavam tênis?
a) 70
b) 75
c) 105
d) 180
e) 195
Resposta:
[A]
Do enunciado, podemos montar o
seguinte diagrama:
Assim, 90 105 x 80 345
x 70
Logo, o número de pessoas que
jogavam vôlei e não jogavam tênis era
igual a 70.
Questão 03. (Uem 2017) Considere os
conjuntos
A {x | 3 x 5},
B {x | x 0},
C {x | 1 x 8} e
D {x |1 x 9},
e assinale o que for correto.
01) (A D) (A D) [ 3, 0].
02) (B C) D ]0,1].
04) (C D) B ]0, 9[.
08) (B D) C.
16) B ] , 0[.
Resposta:
02 + 04 = 06.
[01] Falsa. Na verdade, temos
(A D) (A D) [ 3, 9[ ]1, 5[ [ 3,1] [5, 9[.
[02] Verdadeira. De fato, pois (B C) D ]0, 8] ]1, 9[ ]0,1].
[04] Verdadeira. Com efeito, pois (C D) B ] 1, 9[ ]0, [ ]0, 9[.
[08] Falsa. Na verdade, temos
B D ]1, 9[ e, portanto,
]1, 9[ C ] 1, 8].
[16] Falsa. Na verdade, tem-se que
B ] , 0].
Questão 04. (G1 - ifal 2017) Em um
certo grupo de pessoas, 40 falam
inglês, 32 falam espanhol, 20 falam
francês, 12 falam inglês e espanhol, 8
falam inglês e francês, 6 falam
espanhol e francês, 2 falam as 3
línguas e 12 não falam nenhuma das
línguas. Escolhendo aleatoriamente uma
pessoa desse grupo, qual a
probabilidade de essa pessoa falar
espanhol ou francês?
a) 7,5%.
b) 40%.
c) 50%.
d) 57,5%.
e) 67,5%.
Resposta:
[D]
Seja o diagrama de Venn com todas as
pessoas e as línguas que falam:
Para obter a probabilidade de quem
fala espanhol ou francês deve-se obter a
probabilidade de quem fala espanhol
mais a probabilidade de quem fala
francês menos a probabilidade de quem
fala espanhol e francês, ou seja:
Sabendo que o total de pessoas é 80,
temos a seguinte probabilidade:
(espanhol) (francês) (espanhol francês)P P P P
32 20 6P
80 80 80
P 0,4 0,25 0,075
P 0,575
P 57,5%
Questão 05. (Fatec 2017) Uma
pesquisa foi realizada com alguns
alunos da Fatec São Paulo sobre a
participação em um Projeto de Iniciação
Científica (PIC) e a participação na
reunião anual da Sociedade Brasileira
para o Progresso da Ciência (SBPC).
Dos 75 alunos entrevistados:
17 não participaram de nenhuma dessas
duas atividades;
36 participaram da reunião da SBPC e
42 participaram do PIC.
Nessas condições, o número de alunos
entrevistados que participaram do PIC e
da reunião da SBPC é
a) 10.
b) 12.
c) 16.
d) 20.
e) 22.
Resposta:
[D]
Sendo x o número de alunos que
participaram do PIC e da reunião da
SBPC , temos os seguintes diagramas.
42 x x 36 x 17 75
x 95 75
x 20
x 20
Resposta 20.
Questão 06. (Fac. Albert Einstein -
Medicin 2017) Sejam A, B e C
subconjuntos do conjunto dos números
naturais {0,1, 2, 3, 4, }, de modo
que:
- A é o conjunto dos números de 3
algarismos, todos distintos.
- B é o conjunto dos números que
possuem exatamente 1 algarismo 5.
- C é o conjunto dos números pares.
E sejam os conjuntos:
C C
C
P A C
Q A B
R B C
onde a notação CX indica o conjunto
complementar do conjunto X.
São elementos respectivos dos
conjuntos P, Q e R os números
a) 204, 555, 550
b) 972,1234, 500
c) 1234, 505, 5555
d) 204,115, 550
Resposta:
[B]
Como 550 B e c550 C , temos
550 R. Ademais, 1234 A implica em
1234 P. Portanto, sendo 972 um
número par de três algarismos, 1234
um número de quatro algarismos que
não possui nenhum dígito 5 e 500 um
número que apresenta um único
algarismo 5, segue o resultado.
Questão 07. (G1 - ifsul 2017) Três
irmãos trabalham na mesma indústria,
porém em turnos diferentes: um
trabalha no intervalo das 8 h às 16 h;
outro das 4 h às 12 h e o terceiro das
10 h às 18 h. Em qual intervalo de
tempo esses irmãos trabalham juntos
nessa indústria?
a) Das 4 h às 18 h.
b) Das 8 h às 16 h.
c) Das 10 h às 16 h.
d) Das 10 h às 12 h.
Resposta:
[D]
Para obter em qual intervalo de tempo
os três irmãos trabalham juntos, deve-
se fazer a intersecção entre os três
intervalos 3(I ) de tempo:
3
3
3
I [8,16] [4,12] [10,18]
I [8,12] [10,18]
I [10,12]
Intervalo: Das 10 h às 12 h.
Observe a intersecção através da reta
real:
Questão 08. (Uerj 2017) Crianças de
uma escola participaram de uma
campanha de vacinação contra a
paralisia infantil e o sarampo. Após a
campanha, verificou-se que 80% das
crianças receberam a vacina contra a
paralisia, 90% receberam a vacina
contra o sarampo, e 5% não receberam
nem uma, nem outra.
Determine o percentual de crianças
dessa escola que receberam as duas
vacinas.
Resposta:
Seja p o percentual pedido. Tem-se que
(80% p) p (90% p) 5% 100% p 75%.
Questão 09. (Espm 2017) Três
emissoras de TV apresentam progra-
mação infantil durante o dia. Na
emissora A, o horário dessa
programação vai de 11h 40 min até
18 h 30 min. Na emissora B, vai de
9 h 30 min até 16 h 40 min e na emissora
C vai de 10 h 50 min até 13 h 20 min e
de 14 h 50 min até 17 h10 min. O tempo
em que as três emissoras apresentam
essa programação simultaneamente é
de:
a) 3 h 20 min
b) 3 h 30 min
c) 3 h 40 min
d) 3 h 50 min
e) 4 h
Resposta:
[B]
O tempo em que as três emissoras
apresentam a programação
simultaneamente é dado por (13 h 20min 11h 40min) (16 h 40min 14 h 50min) 1h 40min 1h 50min
3 h 30min.
Questão 10. (Ita 2017) Sejam
A {1, 2, 3, 4, 5} e B { 1, 2, 3, 4, 5}.
Se C {xy : x A e y B}, então o
número de elementos de C é
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
Resposta:
[E]
Fazendo as multiplicações pertinentes
entre x e y e desconsiderando os
elementos repetidos, conclui-se que o
número de elementos em C é 14.
Questão 11. (Esc. Naval 2017) A é um
conjunto com n elementos e B é seu
subconjunto com p elementos, com
n p e n, p . Determine o número de
conjuntos X tais que B X A e
assinale a opção correta.
a) n p2
b) n p 12
c) n p2
d) n p 12
e) n p 12
Resposta:
[A]
Do enunciado, temos:
1 2 3 p 1 p n
1 2 3 p
1 2 3 p
n p elementos
A x , x , x , ..., x , x , ..., x
B x , x , x , ..., x
X x , x , x , ..., x , , , , ...,
Cada um dos n p elementos podem
pertencer ou não ao conjunto X, assim,
pelo princípio da multiplicação, há n p2 possibilidades para montar o
conjunto X.
Questão 12. (Uepg 2017) Dados os
conjuntos abaixo, assinale o que for
correto.
x 1A x 0
3x 1
B x | 3 2x 1 5
01) B A .
02) A B tem 4 elementos.
04) A B é um conjunto unitário.
08) A B.
16) O produto cartesiano A B tem 4
elementos.
Resposta:
02 + 08 = 10
Tem-se que x 1 x 1 1
0 0 1 x13x 1 3
x3
e 3 2x 1 5 4 2x 4 2 x 2.
Portanto, vem A { 1, 0} e
B { 2, 1, 0,1}.
[01] Falsa. Na verdade, temos B A { 2,1}.
[02] Verdadeira. De fato, pois
A B B. [04] Falsa. Tem-se que A B A.
[08] Verdadeira. Com efeito, pois { 1, 0} { 2, 1, 0,1}.
[16] Falsa. O produto cartesiano A B
tem 2 4 8 elementos.
Questão 13. (G1 - cftmg 2017) Sejam
os conjuntos A {x | 0 x 5},
B {x | x 5} e C {x | x 0}.
Pode-se afirmar que
a) (A B) C C
b) (A C) B
c) (B C) A
d) (B C) A A
Resposta:
[A]
Representamos os conjuntos A, B e C
na reta numérica.
Análise das alternativas:
[A] Verdadeira: A B C C C
[B] Falsa: A C B A B A
[C] Falsa: B C A A A
[D] Falsa: (B C) A 5,0 A
Questão 14. (G1 - ifsul 2017) Em uma
enquete no centro olímpico, foram
entrevistados alguns atletas e verificou-
se que 300 praticam natação, 250
praticam atletismo e 200 praticam
esgrima. Além disso, 70 atletas
praticam natação e atletismo, 65
praticam natação e esgrima e 105
praticam atletismo e esgrima, 40
praticam os três esportes e 150 não
praticam nenhum dos três esportes
citados. Nessas condições, o número de
atletas entrevistados foi
a) 1180
b) 1030
c) 700
d) 800
Resposta:
[C]
Utilizando o Diagrama de Venn temos:
Observe que o valor 40 representa a
intersecção entre as três modalidades.
Como 70 é a intersecção entre natação
e atletismo, temos 70 40 30. Dessa
forma, como 65 é a intersecção entre
natação e esgrima, e, 105 representa a
intersecção entre atletismo e esgrima,
temos: 65 40 25 e 105 40 65,
valores a serem completados no
diagrama. Logo,
Fazendo as diferenças das partes
comuns pelo total de cada modalidade
temos: 300 30 40 25 205
250 30 40 65 115
200 25 40 65 70
Completando o diagrama, temos:
Desta maneira, para obter o total de
pessoas entrevistadas, basta somar
todos os valores:
205 115 70 30 40 25 65 150 700
pessoas entrevistadas.
Questão 15. (Unicamp 2017) Sabe-se
que, em um grupo de 10 pessoas, o
livro A foi lido por 5 pessoas e o livro
B foi lido por 4 pessoas. Podemos
afirmar corretamente que, nesse grupo,
a) pelo menos uma pessoa leu os dois
livros.
b) nenhuma pessoa leu os dois livros.
c) pelo menos uma pessoa não leu
nenhum dos dois livros.
d) todas as pessoas leram pelo menos
um dos dois livros.
Resposta:
[C]
A única alternativa correta é a [C]. Se
cinco pessoas leram o livro A e quatro
pessoas distintas leram o livro B, há um
total de 9 pessoas, sendo possível que
ao menos uma pessoa não tenha lido
nenhum dos livros.
Questão 16. (G1 - ifsul 2017)
Analisando os conteúdos nos quais os
alunos possuem maiores dificuldades de
aprendizagem em uma escola com 500
alunos, percebeu-se que: 208 têm
dificuldades de aprendizagem em
matemática; 198, em português; 154,
em física; 62, em matemática e física;
38, em português e física; 52, em
matemática e português e 20 têm
dificuldades nas três disciplinas.
Por esse viés, o número de alunos que
não tem dificuldades em nenhuma
dessas disciplinas é de
a) 92 alunos.
b) 72 alunos.
c) 60 alunos.
d) 20 alunos.
Resposta:
[B]
Utilizando o diagrama de Venn temos:
Subtraindo o total de cada matéria
pelas intersecções temos:
Logo, somando todos os valores e
subtraindo 500 temos:
500 428 72
Questão 17. (G1 - ifsul 2017) Em uma
consulta à comunidade acadêmica sobre
a necessidade de melhorias na área
física de um determinado campus do
IFSul, foi obtido o seguinte resultado:
- 538 sugerem reformas nas salas de
aula.
- 582 sugerem reformas na biblioteca.
- 350 sugerem reformas nas salas de
aula e na biblioteca.
- 110 sugerem reformas em outras
instalações.
Quantas pessoas foram entrevistadas
nessa consulta?
a) 770
b) 880
c) 1.120
d) 1.580
Resposta:
[B]
Tome reforma nas salas de aula como
x e reformas na biblioteca como y.
Sabendo que 350 pessoas sugerem
reformas nas salas de aula e na
biblioteca, ou seja, a intersecção entre
x e y.
Logo, pode-se aplicar o Diagrama de
Venn para tal situação da seguinte
maneira:
Como 350 representa a intersecção
entre reformas nas salas de aula e na
biblioteca, basta achar a diferença da
parte das duas partes com a parte em
comum. Desta forma:
538 350 188 e 582 350 232
Transcrevendo para o Diagrama de
Venn, temos:
Para obter a quantidade de pessoas
entrevistadas basta somar todos os
valores. Note que a amostra possui 110
pessoas que opinaram reformas em
outras instalações. Somando todos os
valores:
188 350 232 110 880 pessoas.
Questão 18. (G1 - ifpe 2017) No IFPE
Campus Olinda foi feita uma pesquisa
com alguns alunos do curso de
computação gráfica a respeito do
domínio sobre três aplicativos. As
repostas foram as seguintes:
78 dominam o Word;
84 dominam o Excel;
65 dominam o Powerpoint;
61 dominam o Word e Excel;
53 dominam o Excel e Powerpoint;
45 dominam o Word e Powerpoint;
40 dominam os três aplicativos;
03 não dominam aplicativo algum.
Com base nas informações acima, o
número de estudantes do curso de
computação gráfica que responderam a
essa pesquisa é
a) 112.
b) 227.
c) 230.
d) 111.
e) 129.
Resposta:
[D]
Considere a seguinte situação, segundo
os dados apresentados:
Somando todos os valores: 12 21 10 5 40 13 7 3 111
Questão 19. (G1 - ifsul 2016) Em um
grupo de 60 jovens praticantes de vôlei,
basquete e futsal, sabe-se que:
- 03 praticam os três esportes citados,
- 01 não pratica nenhum esporte,
- 07 jogam vôlei e basquete,
- 25 jogam vôlei,
- 27 praticam basquete,
- 10 praticam basquete e futsal,
- 30 jogam futsal,
- 08 praticam vôlei e futsal.
Quantos jovens praticam apenas dois
esportes?
a) 16
b) 17
c) 19
d) 25
Resposta:
[A]
Dentre os jovens que praticam dois ou
três esportes, tem-se:
- 03 praticam os três esportes citados,
- 07 jogam vôlei e basquete (incluindo-
se aqui os 3 jovens que praticam os três
esportes),
- 10 praticam basquete e futsal
(incluindo-se aqui os 3 jovens que
praticam os três esportes),
- 08 praticam vôlei e futsal (incluindo-
se aqui os 3 jovens que praticam os três
esportes).
Logo, 4 jovens jogam apenas vôlei e
basquete, 7 jovens jogam apenas
basquete e futsal e 5 jovens jogam
apenas vôlei e futsal, portanto, 16
jovens praticam apenas dois esportes.
Ou ainda:
Questão 20. (Ufjf-pism 1 2016) Uma
agência de viagens oferece aos seus
primeiros clientes, na primeira semana
do ano, três pacotes promocionais:
Básico, Padrão e Luxo. No regulamento
da promoção há uma cláusula que não
permite que o cliente que opte por
apenas 2 pacotes, simultaneamente,
adquira os pacotes Padrão e Luxo. No
final da semana, constatou-se que:
- 37 clientes ficaram com pelo menos
um dos pacotes promocionais;
- 13 clientes adquiriram,
simultaneamente, os pacotes Básico e
Padrão;
- 19 clientes ficaram com apenas um
pacote.
A quantidade de clientes que
adquiriram, simultaneamente, apenas os
pacotes Básico e Luxo foi de:
a) 5
b) 6
c) 18
d) 24
e) 32
Resposta:
[A]
Considere o diagrama, em que x é o
resultado pedido.
Sendo y z w 19 e
x 13 y z w 37, temos
x 13 19 37 x 5.
Questão 21. (G1 - ifce 2016) A
quantidade de subconjuntos X que
satisfazem a inclusão
{1, 2} X {1, 2, 3, 4} é
a) 4.
b) 5.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
Resposta:
[A]
Para os elementos 1 e 2 temos apenas
1 possibilidade, ou seja, participam do
subconjuntos e para cada um dos
elementos 3 e 4 temos duas
possibilidades, ou seja, participar ou
não participar do subconjunto.
Portanto, a quantidade de subconjuntos
pedida será dada por:
1 1 2 2 4
Questão 22. (Udesc 2016) Seja X um
conjunto com 6 elementos distintos e
seja P(X) o conjunto das partes de X. O
número de elementos de P(X) é:
a) 62
b) 64
c) 6
d) 7
e) 63
Resposta:
[B]
Sabendo que n(X) 6, é imediato que 6n(P(X)) 2 64.
Questão 23. (G1 - cp2 2016) Numa
creche com 32 crianças:
- 5 crianças moram na Tijuca, vão de
ônibus e jantam na creche.
- 3 crianças moram na Tijuca, vão de
ônibus, mas não jantam na creche.
- 9 crianças não moram na Tijuca, não
vão de ônibus e não jantam na creche.
- 11 crianças moram na Tijuca e jantam
na creche.
- 16 crianças moram na Tijuca.
- 9 crianças vão de ônibus e jantam na
creche.
- 13 crianças vão de ônibus.
Quantas crianças jantam na creche?
a) 11.
b) 15.
c) 17.
d) 18.
Resposta:
[C]
Utilizando as informações contidas no
problema, podemos construir o seguinte
diagrama.
Logo, o número de crianças que jantam
na creche será dado por:
5 6 4 2 17.
Questão 24. (Espm 2016) Em uma aula
de Matemática, o professor propôs 2
problemas para serem resolvidos pela
turma. 76% dos alunos resolveram o
primeiro problema, 48% resolveram o
segundo e 20% dos alunos não
conseguiram resolver nenhum dos dois.
Se apenas 22 alunos resolveram os dois
problemas, pode-se concluir que o
número de alunos dessa classe é:
a) maior que 60
b) menor que 50
c) múltiplo de 10
d) múltiplo de 7
e) ímpar
Resposta:
[C]
Seja n o número de alunos da classe.
Tem-se que 0,76n 0,48n 22 0,2n n 0,44n 22 n 50.
Desse modo, como 50 é múltiplo de 10,
segue o resultado.
Questão 25. (Uepg 2016) Interessado
em lançar os modelos A, B e C de
sandálias, em uma determinada região
do estado, foi realizada uma pesquisa
sobre a preferência de compra dos
moradores, a qual apresentou os
seguintes resultados:
- 600 moradores comprariam apenas o
modelo A;
- 1.000 moradores comprariam apenas o
modelo B;
- 1.400 moradores comprariam apenas o
modelo C;
- 100 moradores comprariam apenas os
modelos A e B;
- 200 moradores comprariam apenas os
modelos A e C;
- 300 moradores comprariam apenas os
modelos B e C;
- 100 moradores comprariam qualquer
um dos três modelos;
- 1.300 moradores não comprariam
nenhum dos três modelos.
A partir do que foi exposto, assinale o
que for correto.
01) O modelo A tem a preferência de
menos que 17% dos moradores.
02) 70% dos moradores não
comprariam o modelo B.
04) 14% dos moradores comprariam
pelo menos dois dos modelos
oferecidos.
08) Mais do que 50% dos moradores
não comprariam os modelos A ou
C.
16) O modelo C é o de maior
preferência.
Resposta:
02 + 04 +16 = 22.
Considere o diagrama.
Seja U o conjunto universo da pesquisa.
Temos
n(U) 600 200 100 100 300 1.000 1.400 1.300
5.000.
[01] Falsa. Sendo
n(A) 600 200 100 100 1.000 o
número de pessoas que preferem o
modelo A, segue que o percentual
correspondente é 1.000
100% 20% 17%.5.000
[02] Verdadeira. De fato, o número de
pessoas que comprariam o modelo
B é igual a
n(B) 1000 100 100 300 1.500.
Portanto, o percentual mencionado
é dado por
5.000 1.500
100% 70%.5.000
[04] Verdadeira. Com efeito, o número
de pessoas que comprariam ao
menos dois dos modelos é
200 100 100 300 700, o que
corresponde a 700
100% 14%5.000
do total de entrevistados.
[08] Falsa. O número de moradores
que não comprariam os modelos A
ou C é igual a 1.000 1.300 2.300,
correspondendo, portanto, a um
percentual de
2.300
100% 46% 50%.5.000
[16] Verdadeira. De fato, pois sendo n(C) 1.400 200 100 300 2.000
o número de moradores que
preferem C, temos
n(C) n(B) n(A).
Questão 26. (G1 - ifsp 2016) A
empresa The Sound of Perseverance,
originalmente instalada na região
centro-oeste do País, está abrindo mais
duas filiais: uma no estado do Paraná e
outra no estado de Minas Gerais. No
entanto, as duas novas filiais
necessitarão de mão de obra qualificada,
e a alguns funcionários foi oferecida a
oportunidade de escolher onde
desejariam trabalhar, de forma que 36
funcionários escolheram a filial do
Paraná, 30 escolheram a filial de Minas
Gerais, enquanto 22 funcionários
mostraram-se indiferentes quanto ao
destino de transferência. De acordo com
as informações oferecidas, assinale a
alternativa que apresenta a quantidade
total de funcionários que a empresa
transferiu.
a) 88 funcionários.
b) 66 funcionários.
c) 58 funcionários.
d) 52 funcionários.
e) 44 funcionários.
Resposta:
[E]
Considerando que os 22 funcionários
indiferentes estejam contidos nos 36
que escolheram a filial do Paraná e nos
30 que escolheram a filial de Minas
Gerais, podemos escrever a seguinte
equação, sendo x o número de
funcionários que a empresa transferiu.
x 36 30 22 x 44.