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CONJUNTOS - matdigitalegp.files.wordpress.com · conjuntos notÁveis ... aula 02 conjuntos notÁveis

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    Ano 2016

    CONJUNTOS Aulas 01 a 06

    Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

  • Sumrio CONJUNTOS ............................................................................................................................................................ 2

    CONCEITOS PRIMITIVOS ......................................................................................................................................... 2

    REPRESENTAO DE UM CONJUNTO ..................................................................................................................... 2

    RELAO DE PERTINNCIA ..................................................................................................................................... 2

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

    CONJUNTOS NOTVEIS ........................................................................................................................................... 2

    TIPOS DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................. 2

    NMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO ........................................................................................................ 3

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

    SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 3

    RELAO DE INCLUSO .......................................................................................................................................... 3

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

    SUBCONJUNTO PRPRIO ........................................................................................................................................ 3

    IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................. 4

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

    CONJUNTO DAS PARTES.......................................................................................................................................... 4

    PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 4

    NMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO ......................................................................................... 4

    OPERAES ............................................................................................................................................................. 5

    CONJUNTO COMPLEMENTAR ................................................................................................................................. 5

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5

    NMERO DE ELEMENTOS DA UNIO ..................................................................................................................... 6

    PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 6

    ALGUMAS REPRESENTAES .................................................................................................................................. 6

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 2

    AULA 01

    CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Os conceitos primitivos da teoria de conjuntos so

    conjunto, elemento e pertinncia.

    Um elemento pertence a um conjunto .

    Ex.: Uma carteira parte de uma sala de aula.

    REPRESENTAO DE UM CONJUNTO 1. Tabular elementos listados entre chaves e

    separados por vrgula (ou ponto e vrgula).

    = {, , , } = {, , , }

    2. Diagrama de Venn elementos dispostos no

    interior de uma figura plana fechada.

    3. Propriedade elementos descritos por meio

    de uma propriedade em comum.

    = { | divisor de }

    RELAO DE PERTINNCIA Determina se um elemento pertence () ou no

    pertence () a um conjunto.

    Exemplo 1.1: Seja = {0; 1; {3,4}}. As seguintes

    relaes so verdadeiras:

    0 {3,4}

    1 3

    4 {4}

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

    1.1. Dado = {, 1, 3, {4}}, julgue os itens a seguir.

    a) 1 b) c) 4

    d) 3 e) {4}

    AULA 02

    CONJUNTOS NOTVEIS Conjunto Vazio( { }) - no possui

    nenhum elemento.

    Conjunto Unitrio - possui um nico

    elemento.

    Obs.1: e {} no tem o mesmo significado, de modo

    geral {}, para todo .

    Conjunto Universo () contm todos os

    elementos do objeto de estudo.

    TIPOS DE CONJUNTOS Finito podemos contar seus elementos,

    chegando ao fim da contagem.

    Infinito no finito.

    Tablet: Ler as Obs. 1 e 2; e os exemplos seguintes.

    Um conjunto fazendo papel de elemento

    Um conjunto listado dentro de outro conjunto

    deve ser visto apenas como um de seus elementos:

    = {0, 1, {3,4}} {3,4} um elemento de . Isso

    no significa que 3 ou 4 sejam elementos de .

    DICA: Considerando o conjunto que contm as

    estaes do ano, tem-se que , mas o sol,

    que um elemento do vero, no pertence a .

    1 2 5 10

    Tablet: Ler a obs. 4 e os exemplos seguintes.

    Como transformar de propriedade para tabular

    Quando um conjunto estiver descrito na

    forma = { | }, interprete a primeira parte

    como os candidatos a elementos de , enquanto a

    segunda parte (aps a barra) a sua restrio. Se um

    candidato satisfaz a restrio ele est eleito e,

    portanto, elemento de .

    Exemplo: Seja = { | + 2 = 0}

    : diz que todos os reais so candidatos

    + 2 = 0 : restrio

    -2 o nico candidato que satisfaz a

    restrio, portanto eleito. Logo = {2}

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 3

    NMERO DE ELEMENTOS DE UM

    CONJUNTO O nmero de elementos de um conjunto finito,

    cardinalidade, denotado por (), # ou ||.

    Exemplo 2.1: Sejam = = {2}, segue que

    () = 0; () = 1;

    Obs.2: Elementos repetidos em um conjunto so

    considerados como apenas um elemento.

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

    2.1. Dado = {; 1; 3; {0; 4}}, julgue os itens a

    seguir.

    a) () = 4

    b) infinito

    c) {4}

    d) 0

    e) 4

    2.2. Classifique os conjuntos a seguir em unitrio,

    vazio, finito ou infinito.

    a) = { | 2 + 24 + 3 = 0}

    b) = { |2 = 1}

    c) = { |2 > 2}

    d) = { | ( + 2) ( 1

    2) (2 1) = 0}

    AULA 03

    SUBCONJUNTOS RELAO DE INCLUSO A relao de incluso uma relao entre dois

    conjuntos.

    A subconjunto de B (ou A est contido em B), se

    todo elemento de A tambm elemento de B.

    (l-se est contido em )

    (l-se contm )

    Exemplo 3.1: Sejam = {0, 2, 3} e = {1, 0, 2, 3},

    observe que

    Assim, temos que .

    Obs.3: Basta que um elemento de no pertena a

    para que no esteja contido em B ( ).

    Exemplo 3.2: Sejam = {1, 2, 4} e = { |

    um nmero par}, como 1 e 1 temos que

    .

    Obs.4: Lembre-se que e , para qualquer

    conjunto .

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS

    3.1. Dado = {, 1, 2, {4}} e = {2, 4, {1}},

    julgue os itens a seguir.

    a) {1} f) {2, 1}

    b) 1 g) e

    c) {4} h) {}

    d) {1, 2} i)

    e) {2, {1}} j)

    SUBCONJUNTO PRPRIO Um conjunto A, tal que , chamado de

    subconjunto prprio de B, se e .

    TAREFA 2 Ler, no tablet, at a pgina 9 e fazer os

    PRATICANDO EM SALA 10 a 14, 15(1 a 4) e 16.

    Tablet: Ler as obs. 7 e 8 e os exemplos seguintes.

    TAREFA 1 Leituras indicadas na aula e fazer os

    PRATICANDO EM SALA 1, 2, 4, 6(a,b), 7(a,b,c), 8 e 9.

    Pertinncia e incluso

    Pertinncia: relao entre elemento e conjunto

    (Lembre-se que um conjunto pode ter outro conjunto

    como um de seus elementos).

    Incluso: relao entre dois conjuntos

    (sendo um deles subconjunto do outro).

    ATENO! Para que um elemento seja promovido a

    subconjunto, necessrio coloc-lo entre chaves. Se

    esse elemento j for um conjunto, ento ele receber

    um segundo par de chaves.

    Tablet: Ler os exemplos que seguem a observao

    11 e o exerccio 1.

    Imagine um conjunto A com todos os seus elementos.

    Para formar um SUBCONJUNTO de A, basta escrever

    um novo conjunto cujos elementos sero uma seleo

    dos elementos de A, com qualquer quantidade.

    Como criar um subconjunto?

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 4

    AULA 04 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS Sendo e conjuntos, temos que

    =

    Exemplo 4.1: Sejam os conjuntos = {1, 2, 3},

    = {2, 1, 3} e = {1, 2, 3, 3, 3}, tem-se ento

    = = .

    Obs.5: Dois conjuntos que diferem apenas na ordem

    de seus elementos so iguais.

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Determine se os conjuntos = {1, 2, 4, 5} e

    = {1, (1

    2)

    1, 22,

    125

    5} so iguais.

    CONJUNTO DAS PARTES PRELIMINAR 1 Dado o conjunto = {1, 2, 3, 4}, temos que:

    possui um subconjunto com zero

    elementos: .

    possui quatro subconjuntos com um

    elemento: {1}, {2}, {3} e {4}.

    possui seis subconjuntos com dois

    elementos:

    {1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

    possui quatro subconjuntos com trs

    elementos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}.

    possui um subconjunto com quatro

    elementos: {1, 2, 3, 4} =

    Estes so todos os subconjuntos de .

    O conjunto das partes de , (), , por

    definio, o conjunto cujos elementos so todos os

    subconjuntos de .

    Exemplo 4.2: Sendo = {1, 2, 3, 4}, tem-se que o

    conjunto das partes de dado por

    () = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},

    {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},

    {1, 2, 3, 4}}

    Obs.6: O conjunto das partes tambm um

    CONJUNTO.

    NMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM

    CONJUNTO O nmero de subconjuntos de um conjunto

    igual ao nmero de elementos do conjunto das

    partes de . possvel demonstrar que esse nmero

    obtido pela frmula a seguir:

    (()) = 2()

    Tablet: PRATICANDO EM SALA 17

    TAREFA 3: Ler, no tablet, o exemplo 27; e fazer os

    PRATICANDO EM SALA 18(a) e 19.

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 5

    AULA 05

    OPERAES Estudaremos, primeiramente, as trs operaes

    seguintes: Unio, Interseo e Diferena.

    CONJUNTO COMPLEMENTAR Sejam e dois conjuntos, tais que . O

    conjunto complementar de em relao a , por

    definio, o conjunto . Note que

    =

    Exemplo 5.4: Sejam = {1; 2; 3} e = {1; 2; 3; 4; 5},

    ento o conjunto complementar de em relao a

    = {4, 5}

    Obs.12: = , onde o conjunto universo dado

    na questo.

    Para os exemplos a seguir, considere os conjuntos

    = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} , = {1; 2; 3} , = {3; 4; 5} e

    = {7}.

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Considere os conjuntos = {1, 2, 3},

    = {{1, 2, 3}}, = {1, 2, 3, 4} e = {0, 2, 4, 6}.

    Complete a tabela (TABELA FEITA EM SALA).

    TAREFA 4: Ler as pginas 11 a 23; Fazer os

    PRATICANDO EM SALA 21, 22, 25, 26, 27, 28.

    Tablet: Ler observao 15

    UNIO = {| }

    = {1, 2, 3, 4, 5}

    = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} =

    EXEMPLOS:

    ( )

    OBSERVAES:

    Obs.7: Um elemento no pertence

    unio de dois conjuntos se no

    pertencer a nenhum deles.

    Tablet: Ler observao 18

    INTERSEO = {| }

    = {3}

    = {3, 4, 5} =

    =

    EXEMPLOS:

    ( )

    OBSERVAES:

    Obs.8: Dados os conjuntos e ,

    dizemos que e so disjuntos se

    os conjuntos e no tm

    elementos em comum, isto

    = .

    Obs.9: Para que um elemento no

    pertena interseo entre dois

    conjuntos, basta que ele no

    pertena a um deles.

    DIFERENA = {| }

    = {1; 2}

    = {4, 5}

    =

    EXEMPLOS:

    OBSERVAES:

    Obs.10: Ao calcular a diferena

    entre dois conjuntos, voc est

    respondendo seguinte pergunta:

    Quais so os elementos do

    primeiro conjunto que no so

    elementos do segundo conjunto?.

    Obs.11: Em geral, .

    Tablet: Ler observao 23

    Complementar

    A palavra complementar atribuda a tal operao

    para passar a ideia de complemento. O conjunto

    complementar de em relao a o conjunto que

    contm os elementos que faltam a um subconjunto

    de , no caso, , para que tenhamos = .

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 6

    AULA 06

    NMERO DE

    ELEMENTOS DA UNIO

    PRELIMINAR 1 Sejam e dois conjuntos finitos, representados

    pelo diagrama de Venn abaixo:

    Note que,

    ( ) = + +

    () = + ;

    () = +

    Se calcularmos () + () teremos:

    () + () = ( + ) + ( + )

    = + 2 +

    Observe que os elementos da interseo ( )

    esto sendo contados duas vezes. Portanto, precisam

    ter sua quantidade subtrada da soma obtida. Isto :

    Sendo e dois conjuntos finitos, o nmero de

    elementos da sua unio dado pela relao a seguir.

    ( ) = () + () ( )

    Exemplo 6.1: Dados os conjuntos = {{1, 2}; 3; 4; 5}

    e = {3, 4, 1, {1}}, tem-se que

    () = 4, () = 4; ( ) = 2

    Ento

    ( ) = () + () ( )

    ( ) = 4 + 4 2

    ( ) = 6

    Lembrando que = {{1, 2}; 3; 4; 5; 1; {1}}

    Obs.13: Se e so disjuntos (( ) = 0), ento

    ( ) = () + ()

    ALGUMAS REPRESENTAES A seguir, voc ver alguns diagramas de Venn.

    Eles representam algumas das possveis relaes

    entre dois conjuntos A e B.

    Note que eles tm uma ou mais de suas partes

    escurecidas, que ilustram a expresso que os

    antecede.

    Somente em ou ( )

    {3, 4}

    Problemas e diagramas

    Para resolver grande parte dos problemas que

    envolvem contagem de elementos ou nmero de

    elementos, deve-se recorrer ao diagrama de Venn.

    Porm, no interior dos diagramas, muitas vezes no

    sero listados os elementos de cada conjunto, mas

    sim a quantidade de elementos que cada pedao do

    conjunto possui.

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 7

    Somente em ou ( )

    (Trs conjuntos) Somente em B ou

    B A C

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Sejam e conjuntos, tais que ( ) = 68,

    () = 30 e ( ) = 12. Determine o nmero de

    elementos do conjunto .

    6.2. Em uma pesquisa sobre preferncia musical,

    foram entrevistadas 40 pessoas. Elas optaram entre

    rock, pop ou sertanejo, podendo escolher nenhuma,

    uma, duas ou trs entre as opes. Sabendo que,

    5 pessoas escolheram os trs estilos musicais

    10 pessoas escolheram rock e pop

    Nenhuma escolheu apenas rock e sertanejo

    7 escolheram pop e sertanejo

    20 escolheram rock

    20 escolheram pop

    12 escolheram sertanejo

    Determine o nmero de pessoas que no escolheu

    nenhum dos trs estilos musicais.

    6.3. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre

    as disciplinas Matemtica, Fsica e Qumica. Sabendo

    que:

    o nmero de alunos que cursam apenas

    Matemtica e Fsica excede em 5 o nmero de

    alunos que cursam as trs disciplinas;

    existem 7 alunos que cursam Matemtica e

    Qumica, mas no cursam Fsica;

    existem 6 alunos que cursam Fsica e Qumica,

    mas no cursam Matemtica;

    o nmero de alunos que cursam exatamente

    uma das disciplinas 150;

    o nmero de alunos que cursam pelo menos

    uma das trs disciplinas 190.

    Com base nessas informaes, determine o

    nmero de alunos que cursam as trs disciplinas.

    EXTRA

    CAIU NO VEST 1. As preferncias musicais so referncia para o

    conhecimento das pessoas, j que essas preferncias

    revelam quem as pessoas so e o que querem ou no

    ser. Assim, as escolhas nem sempre se ligam a

    critrios musicais, mas ao que a msica representa

    para cada pessoa ou para o grupo sociocultural em

    que ela se insere. Em uma pesquisa sobre gosto

    musical, foram obtidos os dados apresentados na

    tabela a seguir:

    1. Os dados na tabela mostram que, entre os

    jovens participantes da pesquisa, o nmero

    de alunos que revelaram preferncia por mais

    de um tipo musical 59.

    2. Mais de 135 jovens revelaram preferncia por

    apenas um dos tipos de msica pesquisados.

    3. O nmero total de jovens participantes da

    mencionada pesquisa 205.

    2. Para preencher vagas disponveis, o departamento

    de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44

    TAREFA 5: Ler as pginas 33 a 44; Fazer os

    PRATICANDO EM SALA 29, 30, 32, 33, 34, 35 e 37

    EXTRA: CONHECENDO AVALIAES 1, 2, 6, 8, 12,

    14, 16, 19 e 20

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 8

    candidatos, solicitando, entre outras informaes, que

    o candidato respondesse se j havia trabalhado:

    I em setor de montagem eletromecnica de

    equipamentos;

    II em setor de conserto de tubulaes urbanas;

    III em setor de ampliaes e reformas de

    subestaes de baixa e de alta tenso.

    Analisados os testes, o departamento concluiu que

    todos os candidatos tinham experincia em pelo

    menos um dos setores citados anteriormente e que

    tinham respondido afirmativamente:

    28 pessoas alternativa I;

    4 pessoas somente alternativa I;

    1 pessoa somente alternativa III;

    21 pessoas s alternativas I e II;

    11 pessoas s alternativas II e III;

    13 pessoas s alternativas I e III.

    1. Apenas 10 candidatos tm experincia nos 3

    setores.

    2. Somente 36 candidatos tm experincia no

    setor de conserto de tubulaes urbanas.

    3. Apenas 15 candidatos tm experincia no

    setor de ampliaes e reformas de

    subestaes.

    3. Um posto de abastecimento de combustveis vende

    gasolina comum(GC), lcool anidro (AA) e leo diesel

    (OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes,

    cada entrevistado declarou que seus veculos

    consomem pelo menos um dos produtos citados, de

    acordo com a tabela abaixo. Considere que no

    existem carros bicombustveis.

    Produto Proprietrios de veculos que consomem o

    produto

    GC 120

    AA 75

    GC e OD 60

    AA e OD 50

    GC e AA 30

    GC, AA e OD 20

    1. 35 clientes possuem apenas veculos que

    consomem OD.

    2. Pelo menos dois produtos so consumidos

    pelos veculos de mais de 120 clientes.

    3. 10 clientes possuem mais de um veculo,

    sendo que pelo menos um desses veculos

    consome GC e o outro consome AA, mas no

    possuem nenhum veculo que consome OD.

    QUESTES EXTRAS

    1. Acerca do conjunto = {0; ; 1; {3; 1; 1}}.

    correto afirmar que

    a) {} .

    b) {1} .

    c) {3; 1; 1} .

    d) o nmero de subconjuntos unitrios de 5.

    e) o nmero de elementos do conjunto das partes de

    8.

    2. Cada um dos 51 professores de uma escola leciona

    em, pelo menos, um dos trs prdios, , e , que a

    escola possui. A distribuio de aulas aos professores

    foi feita de seguinte modo:

    32 professores lecionam no prdio ;

    30 professores lecionam no prdio ;

    29 professores lecionam no prdio ;

    17 professores lecionam nos prdios e ;

    18 professores lecionam nos prdios e

    13 professores lecionam nos prdios e .

    Quantos professores lecionam nos trs prdios da

    escola?

    a) 8

    b) 14

    c) 27

    d) 31

    e) 43

    3. O nmero de elementos de um conjunto pode

    ser denotado por (). Sendo , e conjuntos tais

    que ( ) = 23, ( ) = 12, ( ) = 10,

    ( ) = 6 e ( ) = 4, tem-se que

    ( ) ( ) igual a

    a) 2.

    b) 4.

    c) 6.

    d) 8.

    e) 10.

    4. Uma pesquisa que foi realizada com 200 jovens

    com o objetivo de identificar como anda a prtica

    esportiva identificou que:

  • Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Pgina 9

    Dos 120 jovens que no praticam esportes,

    75% so do sexo feminino;

    Dos 200 jovens que responderam pesquisa,

    o nmero de homens igual ao nmero de

    jovens que praticam esportes.

    Com base nessas informaes, determine o nmero

    de jovens do sexo masculino que praticam esportes.

    GABARITO

    EXERCCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. CCCEC

    2.1. CEEEC

    2.2. a) VAZIO b) FINITO c) INFINITO d) FINITO

    3.1. CCECCECCEC

    4.1. So iguais

    5.1. EM SALA

    6.1. () = 50

    6.2. 5

    6.3. 11

    CAIU NO VEST 1. ECC

    2. CCC

    3. CEC

    QUESTES EXTRAS 1. C

    2. A

    3. C

    4. 50