Matematyka 2

dr inż. Rajmund Stasiewicz

Skala ocen

Punkty Ocena

0 – 50 2,0

51 – 60 3,0

61 – 70 3,5

71 – 80 4,0

81 – 90 4,5

91 - 5,0 Zwolnienie z egzaminu

Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5

Warunki zaliczenia

6 x kolokwium ok. 15 pkt.

6 x kartkówka 2-3 pkt.

Razem – 100-110 pkt.

Dodatkowe punkty:

- odpowiedzi i przygotowanie do zajęć

(min 50 pkt. za kolokwia i kartkówki)

Kontakt i wyniki

Wyniki i materiały:

katmat.pb.bialystok.pl/~raj/energetyka

Login: imie.nazwisko

Hasło: dowolne (podawane przy rejestracji)

E-mail:

r.stasiewicz@pb.edu.pl

Matematyka 2

Szeregi Fouriera

Literatura

W.Żakowski, M.Kołodziej; Matematyka cz II; WNT, Warszawa, 1984

W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981

M.Gewert, Z.Skoczylas; Analiza matematyczna 2; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

W.Stankiewicz; Zadanie z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz I; PWN, Warszawa, 1980

Funkcje okresowe

Definicja:

Funkcję f: R R nazywamy okresową,

jeżeli istnieje liczba T>0 taka, że dla

wszystkich xT

f(x+T) = f(x)

Szeregi trygonometryczne - definicja

Szeregiem trygonometrycznym na przedziale <-l; l> nazywamy szereg postaci

gdzie a0R, an , bnR dla nN, l jest pewną liczbą dodatnią.

1

0 sincos2 n

nnl

xnb

l

xna

a

Szereg trygonometryczny Fouriera - definicja

Niech funkcja f(x) będzie całkowalna na przedziale <-l, l>.

Szeregiem trygonometrycznym Fouriera nazywamy szereg trygonometryczny

gdzie

1

0 sincos2 n

nnl

xnb

l

xna

a

l

l

n ndxl

xnxf

la ...,2,1,0,cos)(

1

l

l

n ndxl

xnxf

lb ...,2,1,sin)(

1

Szereg trygonometryczny Fouriera - definicja

Piszemy symbolicznie

1

0 sincos2

)( ~n

nnl

xnb

l

xna

axf

Nieciągłość pierwszego rodzaju

Punkt x0 jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji f(x), jeżeli istnieją granice lewo- i prawostronne funkcji f(x) w tym punkcie oraz są one skończone.

Funkcja przedziałami monotoniczna

Funkcję f, ograniczoną w przedziale (a, b), nazywamy przedziałami monotoniczną w tym przedziale, jeżeli przedział (a, b) można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów wewnątrz których funkcja f jest monotoniczna.

Warunki Dirichleta

Mówimy, że funkcja f(x) spełnia na przedziale <a, b>

warunki Dirichleta, jeżeli:

1) f(x) jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a, b),

2) f(x) jest ciągła w przedziale (a, b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju x0, takich że

3) w końcach przedziału (a, b) spełnione są równości

)()(2

1limlim

00

0 xfxfxfxxxx

)()(2

1limlim xfxfbfaf

axbx

Twierdzenie Dirichleta

Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale <-l, l> warunki Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera

dla każdego x<-l, l >. Jeżeli ponadto funkcja f(x) jest okresowa i ma okres 2l, to powyższa równość jest prawdziwa dla każdego x z dziedziny tej funkcji.

1

0 sincos2

)(n

nnl

xnb

l

xna

axf

Przykład

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

f(x)=sgn(x) dla x<-; >

Twierdzenie Dirichleta – uwagi praktyczne

Jeżeli funkcja f(x) jest parzysta, to

oraz

a rozwinięcie w szereg Fouriera przyjmuje postać

l

n

l

ndxl

xnxf

ladxxf

la

00

0 ...,2,1,cos)(2

,)(2

...,2,1,0 nbn

1

0 cos2

)(n

nl

xna

axf

Twierdzenie Dirichleta – uwagi praktyczne

Jeżeli funkcja f(x) jest nieparzysta, to

oraz

a rozwinięcie w szereg Fouriera przyjmuje postać

...,2,1,0,0 nan

l

n ndxl

xnxf

lb

0

...,2,1,sin)(2

1

sin)(n

nl

xnbxf

Przykład

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

f(x)=|x| dla x<-; >

Szereg Fouriera – sinusów i kosinusów

Rozważmy funkcję f, która jest określona i spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w przedziale otwartym (0,l).

Funkcję tę można przedstawić w przedziale (0,l) w postaci szeregu trygonometrycznego Fouriera składającego się z samych sinusów, albo samych kosinusów.

Szereg Fouriera – sinusów i kosinusów

Rozpatrzmy funkcję pomocniczą f*, określoną na przedziale <-l,l> nazywaną przedłużeniem funkcji f.

Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f(x) w szereg sinusów należy przedłużyć funkcję f(x) w sposób nieparzysty.

lx

lxxf

x

xlxf

lx

f

dla0

0dla)(

0dla0

0dla)(

dla0

*

Szereg Fouriera – sinusów i kosinusów

Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f(x) w szereg cosinusów należy przedłużyć funkcję f(x) w sposób parzysty.

lxxf

lxxf

xxf

xlxf

lxxf

f

lx

x

lx

dla)(lim

0dla)(

0dla)(lim

0dla)(

dla)(lim

*0

Przykład

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

xx

x

x-π

xf

0dla

dla2

0dla

)(

Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona

Niech funkcja f(x) będzie całkowalna na przedziale <-l, l>.

Szeregiem trygonometrycznym Fouriera nazywamy szereg trygonometryczny

Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera

1

0 sincos2 n

nnl

xnb

l

xna

a

10

n

l

xnj

nl

xnj

n ececc

nnnnnn jbacjbaca

c 2

1,

2

1,

2

00

Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona

Krócej

10

n

l

xnj

nl

xnj

n ececc

l

xnj

nec

Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona

Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale <-l, l> warunki

Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg zespolony Fouriera

dla każdego x<-l, l >. Przy czym

dla

l

xnj

necxf

l

l

l

xnj

n

l

l

dxexfl

cdxxfl

c

2

1,

2

10

,,2,1,0 n

Szereg tryg. Fouriera – postać zespolona

Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale <-l, l> warunki

Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg zespolony Fouriera

dla każdego x<-l, l >. Przy czym

l

xnj

necxf

l

l

l

xnj

n

l

l

dxexfl

cdxxfl

c

2

1,

2

10

l

l

xnj

n dxexfl

c2

02

1

Sz. zespolony Fouriera – widmo amplitudowe

Ciąg liczb gdzie

nazywamy widmem amplitudowym funkcji okresowej

Litera oznacza pulsację funkcji okresowej, czyli

gdzie T jest okresem tej funkcji.

,,2,1,0, nAn

nn cA

tjnnecxf

T

2

Sz. zespolony Fouriera – widmo fazowe

Ciąg liczb gdzie

nazywamy widmem fazowym funkcji okresowej.

,,2,1,0, nn

0gdysgn

0gdy0

0Imgdyarg

n

n

nn

n

cn

c

cc

Szeregi trygonometryczne

KONIEC