MATEMATİK - konyaataturkal.meb.k12.trkonyaataturkal.meb.k12.tr/meb_iys_dosyalar/42/01/... · polinomunun terimleri nelerdir? Yanıt 2: P(x) x5 4x3 3x2 5 polinomunun terimleri x5,

ATAT ÜRK AN ADO L U L İ SESİ

MATEMATİK

Çok Terimliler

Üzerine Kısa Çalışmalar

KONYA \ SELÇUKLU ©2017

Çok Terimliler

© Matematik ve Bilgisayar Eğitim Danışmanlık Hizmetleri 2

14 POLİNOMLAR

Polinomların matematikteki yeri çok özeldir. Polinomlar davranış bakımından tahmin edilebilir durumdadır. Doğrusallık özeliklerine sahip olması sebebiyle birçok olayın açıklanmasında

kullanılabilmektedir. Doğrusal olmayan fonksiyonlara göre polinomların üzerinde işlem yapmak çok

kolaydır. Polinomların davranışlarının ne olacağı tahmin edilebilir. Polinomlar, mühendislik alanında da önemli bir yere sahiptir.

Polinom sözcüğünün anlamı Türk Dil Kurumu sözlüğünde

- Çok terimli

olarak tanımlanmaktadır.

14.1 Polinomlar ile İlgili Temel Kavramlar

Belirsiz (değişken), üs ve katsayı terimleri polinomların temel kavramlarıdır. Bu kavramlar

Üslü Sayılar ve Fonksiyonlar konularında kullanılmıştır.

14.2 Reel (Gerçel) Kat Sayılı ve Bir Belirsizli (Değişkenli) Polinom

Tanım (REEL (GERÇEL) KAT SAYILI VE BİR BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ)

POLİNOM)

0 1 2 3 n 2 n 1 na ,a ,a ,a , ,a ,a ,a , n ve x belirsiz (değişken) bir eleman olmak üzere,

n

n1n

1n2n

2n3

32

21

10

0 xaxaxaxaxaxaxa)x(P

biçimindeki yazılımlara, reel (gerçel) kat katsayılı ve bir belirsizli (değişkenli) polinom denir.

nn1n

1n2n

2n3

32

210 xa ,xa ,xa , ,xa ,xa ,xa ,a

yazılımlarına, polinomun terimleri

denir.

0 1 2 3 n 2 n 1 na , a , a , a , , a , a , a sayılarına, polinomunun kat sayıları denir.

n1nk210 olmak üzere derecesi en büyük olan nn xa teriminin

derecesine, )x(P polinomun derecesi denir ve n)x(Pder biçiminde gösterilir.

Derecesi en büyük olan nn xa teriminin kat sayısı olan na sayısına, polinomun baş kat sayısı

denir.

Derecesi en küçük olan 00 xa teriminin kat sayısı olan 0a sayısına, polinomun sabit terimi

denir.

Örnek 1: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun belirsizi (değişkeni) nedir?

Çok Terimliler


Yanıt 1:

)x(P ifadesinde belirsiz (değişken) olarak x kullanılmıştır.

Örnek 2: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun terimleri nelerdir?

Yanıt 2:

5x3x4x)x(P 235 polinomunun terimleri ,x5 ,x4 3 ,x3 2 5 dir. Terim sayısı

da 4 dür.

Örnek 3: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun kat sayıları nelerdir?

Yanıt 3:

5x3x4x)x(P 235 polinomunun terimleri ,x5 ,x4 3 ,x3 2 5 olduğundan,

katsayıları da bu terimlerdeki bilinmeyenlerin başındaki sayıdır. Bu durumda kat sayılar 1, ,4 ,3

ve 5 dir. Burada 5 in yanında bir belirsiz (değişken) yok fakat bu terim 0x5 biçiminde

düşünülmelidir. Çünkü 1x0 dir.

Örnek 4: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun derecesini bulunuz.

Yanıt 4: Polinomun derecesini bulmak için polinomun belirsizinin (değişkeninin) üzerindeki sayılara

bakılır. Üs olarak kullanılan bu sayılardan en büyük olan polinomun derecesini belirlediğinden,

5)x(Pder olur.

Örnek 5: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun baş katsayısını nedir?

Yanıt 5:

5x3x4x)x(P 235 polinomunun baş katsayısı, polinomun derecesini belirleyen

terimin, yani en büyük üslü belirsizin (değişkenin) katsayısı, baş katsayısıdır. Bu da 1 dir.

Örnek 6: 5x3x4x)x(P 235 polinomunun sabit terimi nedir?

Yanıt 6:

5x3x4x)x(P 235 polinomunun sabit terimi, 0x teriminin kat sayısıdır. Bu da

polinomun 0235 x5x3x4x)x(P biçiminde yazılabileceği düşünülmelidir. Bu durumda, sabit

terim 5 olur.

Örnek 7: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun belirsizini (değişkenini),

terimlerini, terim sayısını, derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini bulunuz.

Yanıt 7:

5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun:

Belirsizi (değişkeni) : x Terim sayısı : 6 Derecesi : 8

Baş katsayısı : 9 Sabit terimi : 5

Terimler : ,x9 8 ,x5 7 ,x2 5 ,x4 3 ,x3 2 5

Çok Terimliler


Örnek 8: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunu belirsizin (değişkenin) artan

ve azalan derecesine göre yazınız.

Yanıt 8:

5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunu:

Azalan : 5x3x4x2x5x9)x(P 23578

Artan : 87532 x9x5x2x4x35)x(P

Örnek 9: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinom mudur?

Yanıt 9:

5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomdur. Çünkü belirsizlerin kuvvetleri ve

katsayıları gerekli şartları sağlamaktadır. Bu şartlar: kuvvetlerin doğal sayı ve katsayıların reel (gerçel)

sayı olması gerektiğidir. Buradan, belirsizin kuvvetleri 0, 2, 3, 5, 7, 8 ve katsayılar

5, 3, 4, 2, 5, 9 dir.

Örnek 10: 52 xx2)x(P polinom mudur?

Yanıt 10: 52 xx2)x(P polinomdur. Çünkü üsler 2, 5 ve katsayılar 2, 1 dir.

Örnek 11: 5x3x3

5)x(P 34 polinom mudur?

Yanıt 11:

5x3x3

5)x(P 34 polinomdur. Çünkü üsler 4, 3, 0 ve katsayılar

5

3 ,

3 , 5 dir.

Örnek 12: 5)x(P polinom mudur?

Yanıt 12:

5)x(P polinomdur. Çünkü 5)x(P polinomu 0x5)x(P biçiminde yazılabileceğinden

polinomun derecesi 0)x(Pder , baş katsayısı ve sabit terimi 5 olan polinomdur.

Örnek 13: 0)x(P polinom mudur?

Yanıt 13:

0)x(P polinomdur. Çünkü 0)x(P polinomu nx0x0x0)x(P biçiminde

yazılabilir. Polinomun derecesi belirsizdir.

Örnek 14: 5x5x6x)x(P 33n bir polinom ise n nin alabileceği değerler neler

olabilir?

Çok Terimliler


Yanıt 14:

5x5x6x)x(P 33n bir polinom ise katsayılarının reel (gerçel) sayılar ve belirsizinin

(değişkeninin) üslerinin doğal sayı olması gerekmektedir. Bu durumda, kat sayılar 1, 6, 5, 5 ve

üsler n 3, 3, 1, 0 olacaktır.

3n ün doğal sayı olabilmesi için

03n 3n olur. Buradan n nin alabileceği değerler ,7 ,6 ,5 ,4 olacaktır.

Örnek 15: 5x5x6x)x(P n53n bir polinom ise n nin alabileceği değerler neler

olabilir?

Yanıt 15:

5x5x6x)x(P n53n bir polinom ise katsayılarının reel (gerçel) sayılar ve

belirsizinin (değişkeninin) üslerinin doğal sayı olması gerekmektedir. Bu durumda, kat sayılar

1, 6, 5, 5 ve üsler n 3, 5 n, 1, 0 olacaktır.

3n ün doğal sayı olabilmesi için

03n 3n

n5 in doğal sayı olabilmesi için

0n5 n5 5n

Bu iki eşitsizlik birleştirilirse 3n ve 5n ise 5n3 olacağından 4n bulunur.

Örnek 16: 1xx5x3)x(P 2n7

bir polinom ise n nin alabileceği değerler neler olabilir?

Yanıt 16:

1xx5x3)x(P 2n7

bir polinom ise katsayılarının reel (gerçel) sayılar ve belirsizinin

(değişkeninin) üslerinin doğal sayı olması gerekmektedir. Bu durumda, kat sayılar 3, 5, 1, 1

ve üsler 7n

1, , 2, 0 olacaktır.

n

7 ün doğal sayı olabilmesi için 0

n

7 olmalıdır. Bu durumda 7 nin bölenlerine bakmak

gerekecektir. 7 bir asal sayı olduğundan bölenleri 7 ve 1 dir. Buradan n in alabileceği değerler 7 ,1 dir.

Çok Terimliler


ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomların terimlerini,

katsayılarını, baş katsayılarını ve sabit terimlerini bulunuz.

a) 22x 6x 3 b) 26x 7x 2

c) 6 87 2x 5x 7x d) 4 22x 2x 3

2. Aşağıda verilenlerin polinom olup olmadığını belirleyiniz.

a) 32x 2x b)

327x 5x 3

c) 2x x d) 2 3 42x 3x 3x

3. n 3P(x) 2x 5x 3 ün bir polinom

olabilmesi için n nin alabileceği en küçük

doğal sayı kaçtır?

4. 2n 5

2P(x) 2x 3x 3

ün 5. dereceden bir

polinom olabilmesi için n ne olmalıdır?

5. n 5 7 nP(x) x 2x 3x 4 polinom

olabilmesi için n nin alabileceği değerler

kümesini bulunuz.

6. n 2 n 2

3 4P(x) 3x 3x 3

polinom olabilmesi

için n nin en küçük değeri ne olmalıdır?

14.3 Benzer Terimler

Tanım (BENZER TERİMLER)

Polinomlarda, aynı belirsizlerin (değişkenlerin) aynı kuvvetlerinden oluşan terimlere benzer

terimler denir.

Örnek 1: 5x8x5x3)x(P 36 ve 6532 x3x7x7x3x36)x(Q polinomlarında

benzer terimler nelerdir? Bulunuz.

Yanıt 1:

5x8x5x3)x(P 36 ve 6532 x3x7x7x3x36)x(Q polinomlarında benzer

terimler:

6x3 ile 6x3 , 3x5 ile 3x7 , x8 ile x3 terimleri benzer terimlerdir.

ALIŞTIRMALAR

1. P(x) 2x 2 , Q(x) 3x 5 polinomlarının

benzer terimlerini bulunuz.

2. 3P(x) 3x 2x 5 , 3 2Q(x) 5x 2x 3x 7

ve 3 2H(x) 7x 2x 4x 8 polinomlarının

benzer terimlerini bulunuz.

3. 2Y(x) x 5x 8 ve 3 2T(x) 2x x 5x

polinomlarının benzer terimlerini bulunuz.

4. 3U(x) 3x 2x 5 ve 3 2V(x) 3x x x

ve 3Z(x) x x 5 polinomlarının benzer

terimlerini bulunuz.

14.4 Bir Belirsizli (Değişkenli) Polinomlar Halkası

Tanım (BİR BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ) POLİNOMLAR HALKASI)

Reel sayılar kümesi ile hiçbir koşulu olmayan x elemanına sahip x kümesinin birleşimi ile

elde edilen x kümesine bir belirsizli (değişkenli) polinomlar halkası denir ve bu küme

x biçiminde gösterilir.

Bu kümenin elemanları da ),x(P ),x(Q R(x), biçiminde gösterilir.

Çok Terimliler


Örnek 1: 6xx4x8x9x)x(P 2578 bir belirsizli (değişkenli) polinom olduğundan

polinomlar halkasının bir belirsizli (değişkenli) polinomudur.

Örnek 2: 8xx7x4)5x(P 25 bir belirsizli (değişkenli) polinom olduğundan

polinomlar halkasının bir belirsizli (değişkenli) polinomudur.

Örnek 3: Aşağıdakilerden hangileri [x] polinomlar halkasının birer polinomudur?

8 2P(x) x 4x x 6 5 22 1 13

E(x) x 2x x3 2 2

5 5 25L(x) 3x 5x 2x

Yanıt 3:

xP(x), E(x) dir. Fakat xL(x) dir. Çünkü x in üslerinden biri olan 5

2 dir.

L(x) polinom değildir.

ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıda verilen polinomlardan bir belirsizli

(değişkenli) olanları bulunuz.

a) P(x) 2x 3 b) 2Q(x) 2x 5

c) 5 2H(x) 3x 2x 5 d) 2G(x) 3x 4x

e) 2 2K(x,y) x y xy

f) 2L(x,y,z) x yz g) x y

M(x,y)x y

2. Aşağıda verilen bir belirsizli polinomların belirsizlerini bulunuz.

a) W(x) 2x 5 b) T(z) 5

c) 9 3 3D(n) 2n 3n 6b 2a

d) H(y) 2z 5r 5 e) T(b) b

f) 5 32

F(d) x 9x 5x 193

14.5 Çok Belirsizli (Değişkenli) Polinomlar

Birden fazla değişkene sahip polinomlardır. Bu polinomlar belirsiz (değişken) sayısına göre isimlendirilirler. Bir, iki, üç, vb. belirsizli (değişkenli) polinomlar olarak tanımlanır. İki belisrsizli

(değişkenli) polinomlar P(x,y) , üç belirsizli (değişkenli) polinomlar P(x,y,z) , vb. biçiminde

gösterilir.

Bu polinomlar 3 2P(x,y) xy x 3 , 2 2 2P(x,y,z) xy z x y z y 3 biçimlerinde

belirtilebilir.

14.6 İki Belirsizli (Değişkenli) Polinomlar Halkası

Tanım (İKİ BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ) POLİNOMLAR HALKASI)

Reel sayılar kümesi ile hiçbir koşulu olmayan x, y elemanına sahip y,x kümesinin

birleşimi ile elde edilen x,y kümesine iki belirsizli (değişkenli) polinomlar halkası denir

ve bu küme x,y biçiminde gösterilir.

Bu kümenin elemanları da P(x,y) , Q(x, y) R(x, y) , biçiminde gösterilir.

Örnek 1: 3yxyx6yx5)y,x(P 3254 iki belirsizli (değişkenli) polinomlar

Çok Terimliler


halkasının bir polinomudur.

Örnek 2: 3yxy6x5)y,x(P 34 iki belirsizli (değişkenli) polinomlar halkasının bir

polinomudur.

Örnek 3: 11xyxyy6y5)y,x(P 3234 iki belirsizli (değişkenli) polinomlar

halkasının bir polinomudur.

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağıda verilen polinomlardan iki belirsizli (değişkenli) olanları belirleyiniz.

a) R(x) 3x a b) P(x,y) 3x y 2

c) 2Q(x,y) 3x y b d) U(x) 2x y

e) 2S(x,y,z) 4x 5y z 3

f) T(x,y,z) 4x xz y

2. 2 3 2 4 3P(x,y) 5x 2x y x y 3xy 5x 3

ve 2 2 4 2 3 2Q(x,y) 5x x y 3x y 4x 3y


3. 2 2 3 4R(x,y) 3xy x y 5x y 9x 7y 3 ve 2 2 3 4S(x,y) xy x y 5x y 7y 3x 3


14.7 İki Belirsizli (Değişkenli) Polinomlarda Benzer Terimler

Polinomdaki değişkenlerin hem kendileri hemde dereceleri aynı ise bu terimler benzerdir.

Örnek 1: 2 2 3P(x,y) 2xy 5xy 8x y ve 2 2 3 2 3Q(x,y) 5 3xy 3x y 6xy 4xy 8x y


Yanıt 1: 2 2 3P(x,y) 2xy 5xy 8x y polinomdaki terim sayısı az olduğundan bu polinoma göre

terimleri karşılaştıralım.

P(x,y) polinomunun terimleri Q(x, y) polinomunun terimleri

2xy 3xy

25xy 26xy

2 38x y 2 38x y

Tabloda aynı sırada verilen terimler benzer terimlerdir. Yazılmayan terimlerin benzerleri

diğer polinomda olmadığından benzer terimler olarak yazılamamıştır.

14.8 İki Belirsizli (Değişkenli) Polinomların Derecesi

Tanım (İKİ BELİRSİZLİ (DEĞİŞKENLİ) POLİNOMLARIN DERECESİ)

P(x,y) polinomundaki terimlerin değişkenlerinin dereceleri toplamının en büyüğüne bu iki

belirsizli (değişkenli) polinomların derecesi denir ve der P(x, y) ile gösterilir.

Örnek 1: 2 2 3P(x,y) 3 2xy 5xy 8x y polinomunun derecesi kaçtır?

Yanıt 1:

P(x,y) polinomunun terimlerinin dereceleri tek tek bulunursa:

Çok Terimliler


3 teriminin derecesi 0

2xy teriminin derecesi 1 1 2

25xy teriminin derecesi 1 2 3

2 38x y teriminin derecesi 2 3 5

Bu durumda P(x,y) polinomunun dercesini 2 38x y teriminin derecesi belirler. Böylece

P(x,y) polinomunun derecesi der P(x,y) 5 olarak bulunur.

ALIŞTIRMALAR

1. 2 3 4 2B(x,y) 3 3x 5y 9x y 7x y

polinomunun derecsini bulunuz.

2. 3 7 2K(x,z) z x zx 3xy 7x y

polinomunun derecsini bulunuz.

14.9 Bir Polinomun Bir Reel (Gerçel) Sayı İçin Değeri

Tanım (BİR POLİNOMUN BİR REEL (GERÇEL) SAYI İÇİN DEĞERİ) Bir )x(P polinomu ve a olmak üzere

ax için )x(P in aldığı )a(P değerine

bir polinomun bir reel (gerçel) sayı için değeri denir.

Örnek 1: 5x3x4x)x(P 235 ise )0(P nedir?

Yanıt 1:

5x3x4x)x(P 235 polinomu için )0(P ın değeri:

503040)0(P 235 503040)0(P

5)0(P


Yanıt 2:

5x3x4x)x(P 235 polinomu için )1(P in değeri:

513141)1(P 235 513141)1(P

5341)1(P

11)1(P


Yanıt 3:

5x3x4x)x(P 235 polinomu için )1(P ın değeri:

Çok Terimliler


5)1(3)1(4)1()1(P 235 513)1(41)1(P

5341)1(P

5)1(P

Örnek 4: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 ise )1(P nedir?

Yanıt 4:

5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomu için )1(P ın değeri:

5)1(9)1(3)1(4)1(5)1(2)1(P 82375

5)1(9)1(3)1(4)1(5)1(2

593452

2

Örnek 5: 5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun 2x için değeri nedir?

Yanıt 5:

5x9x3x4x5x2)x(P 82375 polinomunun 2x için değeri, )2(P için alacağı

değerdir.

52923242522)2(P 82375

5256943841285322

52304123264064

2944113

2831

ALIŞTIRMALAR

1. 5P(x) 9x 3x 3 polinomu için aşağıda

verilenleri bulunuz.

a) P(0) b) P(1) c) P( 1)

d) P( 2) e) P( 2) f) P(2)

P(1)

g) P(1 5) h) P(1 3) ı) P( 3)

2. 4 2P(x) 2x 2x 3x 1 polinomu için

aşağıda verilenleri bulunuz.

a) P( 2) b) P( 1) c) P(2)

3. 2 2P(x,y) x y 2xy polinomu için aşağıda

verilenleri bulunuz.

a) P(2,1) b) P( 2, 2)

c) P( 2, 2) d) 1 1

P ,2 2

4. 2 2 21

Q(x,y) (x y 2xy) 3x y2

polinomu

için aşağıdakileri bulunuz.

a) Q(1,0) b) Q(0,1) c) Q(1,1)

d) Q( 1, 1) e) Q( 2,2) f) Q(2, 3)

Çok Terimliler


14.10 Sabit Terim

Tanım (SABİT TERİM) n n 1

n n 1 1 0P(x) a x a x a x a

polinomundaki 0a sabit sayısına sabit terim denir ve

P(0) değerine eşittir.

Örnek 1: 3P(x) 2x x 5 polinomunun sabit terimi nedir?

Yanıt 1: 3P(x) 2x x 5 polinomunun sabit terimi 5 dir.

0a P(0) olacağından

0a P(0)

32 0 0 5

5

Sabit terim 0a 5 olarak bulunur.

Örnek 2: 6 4 2P(x) 5x x 2x 3x polinomunun sabit terimi nedir?

Yanıt 2: 6 4 2P(x) 5x x 2x 3x polinomunun sabit terimi 0 (sıfır) dır.

0a P(0)

6 4 25 0 0 2 0 3 0

Sabit terim 0a 0 olarak bulunur.

ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomların sabit terimlerini

bulunuz.

a) 2R(x) 2x 3x b) nW(x) 5x 4x 5

c) K(x) 0 d) 2Y(x) 9x 4x m

e) D(x) 15 f) 2 5L(x) 1 3x 4x

g) 9 2Q(x) 4x nx m 1

2. Sabit terimi 5 olan 4. dereceden polinomlara örnekler veriniz.

3. Sabit terimi, kendisine eşit olan polinoma örnek veriniz.

4. P(x) polinomunun x 0 için alacağı değer

için ne söylenebilir?

5. n n 1 2n 1P(x) ax bx cx d polinomunun

sabit terimi nedir?

14.11 Katsayılar Toplamı

Katsayıların toplamı üç şekilde yapılmaktadır. Bunlar:

1. Tüm Katsayılar Toplamı 2. Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı 3. Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı

Çok Terimliler


14.11.1 Tüm Katsayılar Toplamı

Tanım (TÜM KATSAYILAR TOPLAMI)

P(x) polinomunda P(1) için elde edilen değere tüm katsayılar toplamı denir.

Örnek 1: 9 2P(x) 2x 5x 4 polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.

Yanıt 1: 9 2P(x) 2x 5x 4 polinomunun katsayılar toplamı için P(1) değerinin bulunması

gerekmektedir.

9 2P(x) 2x 5x 4 9 2P(1) 2(1) 5(1) 4

P(1) 2 (1) 5 (1) 4

P(1) 2 5 4

P(1) 1

Örnek 2: n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.

Yanıt 2: n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun katsayılar toplamı için P(1) değerinin bulunması

gerekmektedir.

n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 n n 8P(1) 5(1) 4(1) 5(1) 9

P(1) 5 (1) 4 (1) 5 (1) 9

P(1) 13

14.11.2 Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı

Tanım (ÇİFT DERECELİ TERİMLERİN KATSAYILARI TOPLAMI)

P(x) polinomu için P(1) P( 1)

2

değerine polinomun çift dereceli terimlerin katsayıları

toplamı denir.

Örnek 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayıları

toplamını bulunuz.

Yanıt 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayılar toplamı için

P(1) P( 1)

2

değerinin bulunması gerekmektedir.

P(1) değeri bulunursa : P( 1) değeri bulunursa :

5 2P(1) 5(1) 7(1) 4(1) 9 5 2P( 1) 5( 1) 7( 1) 4( 1) 9

Çok Terimliler


P(1) 5 (1) 7 (1) 4 (1) 9 P( 1) 5 ( 1) 7 (1) 4 ( 1) 9

P(1) 5 7 4 9 P( 1) 5 7 4 9

P(1) 7 P( 1) 25

P(1) P( 1) 7 ( 25) 3216

2 2 2

Örnek 2: 2n 2n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayıları


Yanıt 2: n n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun çift dereceli terimilerinin katsayılar toplamı için

P(1) P( 1)

2



2n 2n 8P(1) 5(1) 4(1) 5(1) 9 2n 2n 8P( 1) 5( 1) 4( 1) 5( 1) 9

P(1) 5 (1) 4 (1) 5 (1) 9 P( 1) 5 (1) 4 (1) 5 ( 1) 9

P(1) 5 4 5 9 P( 1) 5 4 5 9

P(1) 13 P( 1) 23

P(1) P( 1) 13 23 3618

2 2 2

ALIŞTIRMALAR

1. 9 6 3Ş(x) 9x 5x 2x 5x 1 polinomunun

çift dereceli terimilerinin katsayıları toplamını

bulunuz.

2. 7 10Ö(x) 5 6x 9x 11x polinomunun

çift dereceli terimilerinin katsayıları toplamını

bulunuz.

14.11.3 Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı

Tanım (TEK DERECELİ TERİMLERİN KATSAYILARI TOPLAMI)

P(x) polinomu için P(1) P( 1)

2

değerine polinomun tek dereceli terimlerin katsayıları

toplamı denir.

Örnek 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun tek dereceli terimilerinin katsayıları


Yanıt 1: 5 2P(x) 5x 7x 4x 9 polinomunun tek dereceli terimilerinin katsayılar toplamı için

P(1) P( 1)

2


Çok Terimliler



5 2P(1) 5(1) 7(1) 4(1) 9 5 2P( 1) 5( 1) 7( 1) 4( 1) 9

P(1) 5 (1) 7 (1) 4 (1) 9 P( 1) 5 ( 1) 7 (1) 4 ( 1) 9

P(1) 5 7 4 9 P( 1) 5 7 4 9

P(1) 7 P( 1) 25

P(1) P( 1) 7 ( 25)

2 2

7 25

2

18

2 9

Örnek 1: 2n 2n 8P(x) 5x 4x 5x 9 polinomunun tek dereceli terimilerinin katsayıları


Yanıt 1:


2n 2n 8P(1) 5(1) 4(1) 5(1) 9 2n 2n 8P( 1) 5( 1) 4( 1) 5( 1) 9

P(1) 5 (1) 4 (1) 5 (1) 9 P( 1) 5 (1) 4 (1) 5 ( 1) 9

P(1) 5 4 5 9 P( 1) 5 4 5 9

P(1) 13 P( 1) 23

P(1) P( 1) 13 23

2 2

10

2 5

ALIŞTIRMALAR

1. 9 6 3Ş(x) 9x 5x 2x 5x 1 polinomunun

tek dereceli terimilerinin katsayıları toplamını

bulunuz.

2. 7 10Ö(x) 5 6x 9x 11x polinomunun

tek dereceli terimilerinin katsayıları toplamını

bulunuz.

14.12 Sabit Polinom

Tanım (SABİT POLİNOM) a , 0a olmak üzere

n1n3210 x0x0x0x0x0xa)x(P

biçimindeki polinomlara, sabit polinom denir ve kısaca a)x(P biçiminde yazılır.

Çok Terimliler


Örnek 1: 5x)nm(x)3n()x(P 3 polinomu sabit polinom ise m ve n nedir?

Yanıt 1:

5x)nm(x)3n()x(P 3 polinomu sabit polinom ise belirsizlerin (değişkenlerin)

katsayıları 0 (sıfır) olmalıdır. Bu durumda

03n ve 0)nm(

3n ve nm

Örnek 2: 5x)nm(x)3n(x)mp()x(P 34 polinomu sabit polinom ise nmp

nedir?

Yanıt 2:

5x)nm(x)3n(x)mp()x(P 34 polinomu sabit polinom ise belirsizlerin

(değişkenlerin) katsayıları 0 (sıfır) olmalıdır. Bu durumda

,0mp 03n ve 0)nm(

,mp 3n ve 3nm ,3p 3m ve 3n olur.

Buradan 333nmp 3nmp

Örnek 3: 2mx)x(P polinomu sabit polinom ise m nedir?

Yanıt 3: 2mx)x(P polinomunun sabit polinom olabilmesi için

2mx)x(P

022 x0x0x0mx)x(P

22 x0mx

0m

Örnek 4: 4x)3k(x)3n(mx)x(P 23 polinomu sabit polinom ise m, n ve k nedir?

Yanıt 4:

4x)3k(x)3n(mx)x(P 23 polinomu sabit polinom olabilmesi için

4x)3k(x)3n(mx)x(P 23

4x0x0x04x)3k(x)3n(mx)x(P 2323

0m 03n 03k

0m 3n 3k

ALIŞTIRMALAR

1. P(x) 2nx 5 polinomu sabit polinom ise n

nedir?

2. 2P(x) mx (n 2)x 3 polinomu sabit

polinomu ise m ve n nedir?

3. 2P(x) (m 1)x (n 6)x 5 polinomu sabit

polinom ise m n kaçtır?

4. 2 4 2 2P(x) (m 1)x (n 2)x 3kx 3m

polinomu sabit bir polinom ise m, n, k nın

pozitif değerleri toplamı kaçtır?

5. 2 3P(x,y) (m 7)x y (3 n)x 7 polinomu

sabit polinom ise m n nin değeri kaçtır?

Çok Terimliler


14.13 Sıfır Polinomu

Tanım (SIFIR POLİNOMU) n1n2n3210 x0x0x0x0x0x0x0)x(P

biçimindeki polinomlara, sıfır polinomu denir ve kısaca 0)x(P biçiminde yazılır.

Örnek 1: 4mx)x(P polinomunun sıfır polinom olabilmesi için m ne olmalıdır?

Yanıt 1: 4mx)x(P polinomunun sıfır polinom olabilmesi için kat sayısının 0 (sıfır) olması

gerektiğinden, 0m olması gerekir.

Örnek 2: nxx)2m(x)mp()x(P 25 polinomunun sıfır polinom olabilmesi için m,

p ve n ne olmalıdır?

Yanıt 2:

nxx)2m(x)mp()x(P 25 polinomunun sıfır polinom olabilmesi için katsayılarının

0 (sıfır) olması gerektiğinden,

,0mp 0)2m( ve 0n olacaktır. Buradan

n 0 , 2m ve 2mp

Örnek 3: n için n 2P(x) px (m 2)x (n 3)x polinomunun sıfır polinom

olabilmesi için p, m ve n nedir?

Yanıt 3: n 2P(x) px (m 2)x (n 3)x polinomunun sıfır polinom olabilmesi için katsayılarının 0

(sıfır) olması gerektiğinden,

0p 02m 03n

0p 2m 3n

ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomlardan hangileri sıfır

polinomdur?

a) P(x) 0 b) P(x) 2 3 4

c) P(x) 4 2 3 5 d) P(x) 2

e) P(x) 2x 2 2x 2

2. P(x) 2mx polinomunun sıfır polinomu

olabilmesi için m ne olmalıdır?

3. P(x) (n 1)x 4m polinomunun sıfır

polinomu olabilmesi için m ve n ne olmalıdır?

4. 5P(x) (n 1)x (2m 3)x 4k

polinomunun sıfır polinomu olabilmesi için

m n k toplamı nedir?

5. a 5 a 5

2 33 4S(x) (n 4)x (k 8)x m

sıfır

polinomu ise 2

n k

m 3

in değeri kaçtır?

6. Sıfır polinomunun derecesi nedir?

Çok Terimliler


14.14 Polinom Fonksiyonlar

Tanım (POLİNOM FONKSİYONLAR) x olmak üzere

n

n1n

1n2

21

10

0 xaxaxaxaxa)x(P

polinomu için P : ise bu fonksiyonlara polinom fonksiyonlar denir.

Örnek 1: Aşağıdaki polinomların her biri polinom fonksiyondur.

P(x) x 5 , 2Q(x) 2x 9 , 3R(x) x 2x 5 , 7 4 3S(x) 2x 5x x x

Örnek 2: P : , 2x3x)x(P 2 için )2(P yi bulunuz.

Yanıt 2:

2x3x)x(P 2 polinomu için )2(P :

2x3x)x(P 2 2232)2(P2

264)2(P

0)2(P

Örnek 3: P : , 2x3x)x(P 2 için )1x(P değerini bulunuz.

Yanıt 3:

2x3x)x(P 2 polinomu için )1x(P :

2x3x)x(P 2 2)1x(3)1x()1x(P2

23x3)1x2x( 2

23x31x2x2

6x5x 2

Örnek 4: P : , 2x3x)1x(P 2 için )x(P değerini bulunuz.

Yanıt 4:

2x3x)1x(P 2 için )x(P :

)x(P in bulunması için 2x3x)1x(P 2 polinomunda yer alan )1x(P in )x(P e

dönüştürülmesi gerekir.

)1x(P den yeni bir polinom olan 1x)x(Q in tersi bulunmalıdır. Bu da

1x)x(Q polinomunun tersi bulunursa 1x)x(Q 1 elde edilir. )1x(P de yerine

yazılırsa

Çok Terimliler


2)1x(3)1x()1)1x((P 2 2)1x(3)1x()x(P2

23x3)1x2x( 2

23x31x2x 2

xx2

Örnek 5: 1xx2)x(P 3 ise )x(P 2 nedir?

Yanıt 5:

1xx2)x(P 3 ise )x(P 2 :

)x(P 2 nin bulunması için 3P(x) 2x x 1 polinomun da yer alan )x(P in )x(P 2 ye

dönüştürülmesi gerekir.

Burada, )x(P polinomunda her x in yerine 2x yerleştirilmelidir.

1xx2)x(P 3 3

2 2 2P(x ) 2 x (x ) 1

2 3 22x x 1

6 22x x 1

ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki polinomlardan hangileri polinom

fonksiyonlardır?

a) P(x) x 11 b) P(x) 2x 5

c) P(x) x 8 d) P(x) 2x 8

2. Aşağıdaki polinomların polinom fonksiyon olabilmeleri için m ne olmalıdır?

a) m 5 2S(x) 2x 5 mx 2

b)

5

m 1R(x) x 3

14.15 İki Polinomun Eşitliği

Tanım (İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ) Dereceleri n,m ve mn olan iki polinom )x(P ve )x(Q olmak üzere

n

n1n

1n2n

2n3

32

21

10


ve

mm

1m1m

2m2m

33

22

11

00 xbxbxbxbxbxbxb)x(Q

polinomları için

)x(Q)x(P ,ba 00 ,ba 11 ,ba 22 3 3a b , , ,ba 2m2n ,ba 1m1n mn ba

dir.

Yapılan bu işleme iki polinomun eşitliği denir.

Çok Terimliler


Örnek 1: 1ax)x(P ve bx2)x(Q polinomlarının eşit olabilmesi için a ve b ne olur?

Yanıt 1:

1ax)x(P ve bx2)x(Q eşit olabilmesi için

)x(Q)x(P bx21ax 2a b1

2a 1b

Örnek 2: 3xx)1b(ax)x(P 23 ve dx)1c(x2)x(Q 2 polinomları eşit

polinomlar ise a, b, c ve d nedir?

Yanıt 2:

3xx)1b(ax)x(P 23 ve dx)1c(x2)x(Q 2 polinomları eşit olduğundan

)x(Q)x(P dx)1c(x2x03xx)1b(ax2323

0a 21b 11c 3d

0a 3b 2c 3d

Örnek 3: 5x2x)x(P 2 polinomu ile nQ(x) ax 2x b polinomunun eşit olabilmesi

için a, b ve n ne olmalıdır?

Yanıt 3: Polinomların eşit olabilmesi için polinomların hem derecelerinin hem de eşit dereceli

terimlerinin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. Bu durumda

)x(Q)x(P için bx2ax5x2x n2 dir.

2)x(Pder ve n)x(Qder dir. Dereceler eşit olacağından 2n dir.

2 nx 2x 5 ax 2x b 1a ve 5b

ALIŞTIRMALAR

1. P(x) 2x 3 ve Q(x) nx 3 polinomları

eşit ise n nedir?

2. 2R(x) 3x 4 ve 2Q(x) nx mx 3

polinomları eşit ise n m nedir?

3. 5 3T(x) px rx 4x 5 , 5 3U(x) 4x 3x mx n

polinomları eşit ise m n

p r

nedir?

4. 3K(x) mx 4x k ve 3R(x) nx nx 3

polinomları eşit ise 2m

n nedir?

5. 2 5 3 3S(x) (m 1)x (n 7)x 5 , 2 5 4 3 3T(x) (2m 5)x kx (2n 15)x 5

polinomları eşit ise m, k, n değerleri kaçtır?

Çok Terimliler


14.16 Bir )x(P ve )x(Q Polinomları İçin )x(QP Polinomunun Bulunması

Tanım (BİR )x(P ve )x(Q POLİNOMLARI İÇİN )x(QP POLİNOMUNUN BULUNMASI)

)x(P ve )x(Q polinomları için )x(P polinomunda )x(Qx yerleştirilirse )x(QP elde edilir.

Yapılan bu işleme bir )x(P ve )x(Q polinomları için )x(QP polinomunun bulunması denir.

Örnek 1: 2x3)x(P ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomunu bulunuz.

Yanıt 1:

2x3)x(P ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomu

2x3)x(P 2x)x(Q 2)2x(3)x(QP

26x3

3x 4

Örnek 2: 5x2x)x(P 2 ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomunu bulunuz.

Yanıt 2:

5x2x)x(P 2 ve 2x)x(Q ise )x(QP polinomu:

5x2x)x(P 2 2x)x(Q 5)2x(2)2x()x(QP 2

54x24x4x 2

5x2x 2

ALIŞTIRMALAR

1. 2P(x) x 1 ve Q(x) x 1 ise P Q(x) polinomunu bulunuz.

2. 2P(x) 2x 2x 1 ve Q(x) x 1 ise

P Q(x) polinomunu bulunuz.

3. P(x) 3x 6 ve 2Q(x) x x ise P Q(x) polinomunu bulunuz.

4. 2P(x) x 5x 6 ve Q(x) x 3 ise

Q P(x) polinomunu bulunuz.

5. 3P(x) x 1 ve Q(x) x 2 ise Q P(x) polinomunu bulunuz.

6. K(x) x ve 4 3 2T(x) 2x x 3x 4x 3

ise K T(x) ve T K(x) polinomlarını bulunuz.

7. P(x) ve Q(x) polinomları için

P Q(x) Q P(x) ise P(x) ve Q(x) polinomlarını bulunuz.

Çok Terimliler


14.17 Bir )x(QP Polinomu İçin )x(P Polinomunun Bulunması

Tanım (BİR )x(QP POLİNOMU İÇİN )x(P POLİNOMUNUN BULUNMASI)

1

xQ(x),Q (x) olmak üzere x)x(I)QQ( 1 olduğundan

)x(QQP)x(P 1

dir.

Bu işleme bir )x(QP polinomu için )x(P polinomunun bulunması denir.

Örnek 1: 8x)1x(P ise )x(P nedir?

Yanıt 1: 8x)1x(P ise )x(P için

8x)1x(P 8x)1x(P)x(Q

1x)x(Q

1x)x(Q 1

8x)1x(P 8x)1x(P)x(Q)x(Q 11

8x)1x(P1x1x

8)1x()1)1x((P

81x)11x(P

9x)x(P

Örnek 2: 1x5)1x2(P ise )x(P nedir?

Yanıt 2: 1x5)1x2(P ise )x(P için

1x2)x(Q 2

1x)x(Q 1

1x5)1x2(P 1)x(Q5)1)x(Q2(P 11

x 1 x 1

P 2 1 5 12 2

x 1

P((x 1) 1) 5 12

5x 5 2

P(x 1 1)2 2

5x 7

P(x)2

Çok Terimliler


Örnek 3: 5x2)2x5(P ise )3(P nedir?

Yanıt 3:

5x2)2x5(P ise )3(P için

5x2)2x5(P 5x2)2x5(P3

32x5

5x5

1x

5x2)2x5(P polinomun da x yerine 1 yazılırsa )3(P bulunur.

1x 5x2)2x5(P11

5)1(2)2)1(5(P

52)25(P

3)3(P

Örnek 4: 2x 5

P x 2x 33

ise )x(P nedir?

Yanıt 4:

2x 5P x 2x 33

ise )x(P için

3

5x)x(Q

5x3)x(Q 1

2x 5P x 2x 33

1

1 2 1Q (x) 5P (Q (x)) 2(Q (x)) 33

23x 5 5

P (3x 5) 2(3x 5) 33

23xP (3x 5) 2(3x 5) 3

3

3)5x3(2)5x3()x(P 2

310x625x30x9)x(P 2

18x24x9)x(P 2

Örnek 5: 42x 3

P 4x x 44

ise )x(P nedir?

Çok Terimliler


Yanıt 5:

42x 3P 4x x 44

ise )x(P için

4

3x2)x(Q

2

3x4)x(Q 1

42x 3P 4x x 44

14

1 12Q (x) 3P 4 Q (x) Q (x) 44

44x 3

2 34x 3 4x 32P 4 4

4 2 2

4

4x 3 3 4x 3 4x 3 8P 4

4 2 2 2

4

4x 4x 3 4x 3 8P 4

4 2 2

4

4

(4x 3) 4x 5P(x) 4

2 2

2

5x4

22

)3x4(4)x(P

22

4

4

)5x4(2

4

)3x4()x(P

4

4

10x8

4

)3x4()x(P

4

4

10x8)3x4()x(P

4

4

10x833)x4(43)x4(63)x4(4)x4()x(P

432234

4

10x88127)x4(49)x16(63)x(4x4)x(P

23444

4

91x8x432x864x768x256)x(P

234

ALIŞTIRMALAR

1. P(2x) x 1 ise P(x) i bulunuz.

2. 1

P x 3x 12

ise P(x) i bulunuz.

3. 22x 1

P x 3x 13

ise P(3) i bulunuz.

4. P( x) x 1 ise P(x) i bulunuz.

5. 3 2T( x) 2x 3x 3 ise T(x) i bulunuz.

6. 4 2U(x 3) 2x 3x 3x 2 ise U(x) i

bulunuz.

7. 2V(2x 1) x x ise V(x) i bulunuz.

8. 5 3K(5x 2) 3x 3x 2x 3 ise K(x) ve

K(2x) i bulunuz.

Çok Terimliler


14.18 Polinomlar Kümesinde İşlemler

Polinomlar kümesindeki işlemler:

1. Toplama İşlemi 2. Çıkarma İşlemi 3. Çarpma İşlemi 4. Bölme İşlemi

14.19 Polinomlar Kümesinde Toplama İşlemi

Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİ) n

n1n

1n2n

2n3

32

21

10


ve

mm

1m1m

2m2m

33

22

11


polinomlarında, )x(Qder)x(Pder ise bu polinomların toplamı

nn

1m1m1m

222

111

000 xax)ba(x)ba(x)ba(x)ba()x(Q)x(P

işlemine polinomlar kümesinde toplama işlemi denir.

Örnek 1: 7x5x2)x(P 2 ve 9x3x3)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(P


Yanıt 1:

7x5x2)x(P 2 ve 9x3x3)x(Q 2 polinomları için

)9x3x3()7x5x2()x(Q)x(P 22

)9)7((x))3(5(x)32( 2

)97(x)35(x5 2

25x 2x (2)

25x 2x 2

Örnek 2: x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için

)x(Q)x(P toplamını bulunuz.

Yanıt 2:

x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için

Polinomlarda yer almayan terimler bulunmaktadır. Bu terimler katsayılar 0 olacak şekilde

belirtilebilir. Bu terimler

)x(P için ,x04

,x03

0x0 (sabit terim) )1x( 0

)x(Q için 3x0

Çok Terimliler


Bunlara göre

)9x5x8x0x3x3()x0x9x7x0x0x3()x(Q)x(P 234502345

02345 x))9(0(x)5)9((x)87(x)00(x)30(x))3(3(

02345 x)90(x)59(x15x0x3x)33(

02345 x)9(x)4(x15x0x3x0

02345 x9x4x15x0x3x0

9x4x15x3 24

Örnek 3: 3)x(P ve 5)x(Q polinomları için )x(Q)x(P toplamını bulunuz.

Yanıt 3:

)x(P ve )x(Q , sabit polinomlardır.

)5(3)x(Q)x(P

53

2

ALIŞTIRMALAR

1. 5P(x) 3x 4x 1 ve 5 4Q(x) x 2x 3x

polinomları için P(x) Q(x) polinomunu

bulunuz.

2. 2P(x) x 1 ve 2Q(x) 4x 3x 9


bulunuz.

3. 2P(x) 3x x 5 ve 2Q(x) 3x x 2


bulunuz.

4. 4P(x) 2x 5x 7 ve 4 2Q(x) 3x x x


bulunuz.

5. 7 4P(x) x 3x 6x 5 ve 7Q(x) 4x 1


bulunuz.

6. 2T(2x 3) 2x 3 ve 2U(2x) 3x 2x 1

polinomları için T(x) U(x) polinomunu

bulunuz.

14.19.1 Polinomlar Toplamının Derecesi

Teorem (POLİNOMLAR TOPLAMININ DERECESİ) )x(P ve )x(Q polinom olmak üzere T(x) P(x) Q(x) yine bir polinomdur ve

der T(x) maks der P(x) , der Q(x)

dir.

Örnek 1: 3x2xx5)x(P23 ve 5x7x3)x(Q

23 polinomları için

)x(Q)x(Pder nedir?

Çok Terimliler


Yanıt 1:

3x2xx5)x(P 23 ve 5x7x3)x(Q 23 olduğundan

)5x7x3()3x2xx5()x(Q)x(P 2323

5x7x33x2xx5 2323

53x2x7xx3x5 2233

3 2(5 3)x ( 1 7)x 2x 3 5

3 28x ( 8)x 2x 2

2x2x8x8 23

3 2der P(x) Q(x) der 8x 8x 2x 2

3

Örnek 2: 3xx5x)x(P 38 ve 5x7x3)x(Q 25 polinomları için

)x(Q)x(Pder nedir?

Yanıt 2: Polinomların dereceleri bulunursa

3xx5x)x(P 38 polinomunun derecesi 8)x(Pder

5x7x3)x(Q 25 polinomunun derecesi 5)x(Qder

58 olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda

)x(Qder)x(Pder 8)x(Q)x(Pder

Örnek 3: m ve m 9 olmak üzere 5x7x5x4x3)x(P 29m ve 5mx)x(Q 3

ise )x(Q)x(Pder nedir?


5x7x5x4x3)x(P 29m polinomunun derecesi m)x(Pder

5mx)x(Q 3 polinomunun derecesi 3)x(Qder

9m olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda

)x(Qder)x(Pder m)x(Q)x(Pder

ALIŞTIRMALAR

1. 2P(x) x 3x 2 ve 3T(x) 2x 3x 2 ise

der P(x) T(x) i bulunuz.

2. 3T(x 1) 2x 3x , 4K(x 1) 2x 3x 1

ise der T(x) K(x) i bulunuz.

Çok Terimliler


14.19.2 Toplama İşleminin Özelikleri

Toplama işleminin özelikleri:

1. Kapalılık Özeliği 2. Değişme Özeliği 3. Birleşme Özeliği 4. Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği 5. Ters Eleman Özeliği

14.19.2.1 Kapalılık Özeliği

Tanım (KAPALILIK ÖZELİĞİ)

xP(x), Q(x) polinomları için xP(x) Q(x) dir.

Bu özeliğe kapalılık özeliği denir.

Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu gösteriniz.

Yanıt 1:

xP(x),Q(x) için xP(x) Q(x) olduğundan polinomlar kümesinde toplama

işleminin kapalılık özeliği vardır. Örneğin

xP(x) 2x 1 ve 2

xQ(x) x 2x 1 polinomları için

)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2

)1x2x()1x2x0( 22

))1(1(x)22(x)10( 2

)11(x)4(x)1( 2

2x 4x 0

x4x2

2

xP(x) Q(x) x 4x olduğundan kapalılık özeliği vardır.

Örnek 2: Polinomlar kümesinde toplama işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu bir örnek ile gösteriniz.

Yanıt 2:

2

xP(x) x 1 ve

2

xQ(x) x 2x polinomları için

)x2x()1x()x(Q)x(P 22

)0x2x()1x0x( 22

2(1 1)x (0 2)x (1 0)

Çok Terimliler


2(2)x (2)x (1)

22x 2x 1

2

xP(x) Q(x) 2x 2x 1 olduğundan kapalılık özeliği vardır.

ALIŞTIRMALAR

1. P(x) 3x 4 ve Q(x) 2x 1 polinomları

için toplama işleminin kapalılık özeliği olduğunu gösteriniz.

2. 2P(x) 3x 2x 1 ve 2Q(x) x 7

polinomları için toplama işleminin kapalılık

özeliğinin olduğunu gösteriniz.

3. 3P(x) x 4x 5 ve Q(x) 2x 1

polinomları için toplama işleminin kapalılık

özeliğinin olduğunu gösteriniz.

4. 2P(x) 5x 3 ve 2Q(x) 4x 1 polinomları

için toplama işleminin kapalılık özeliğinin

olduğunu gösteriniz.

14.19.2.2 Değişme Özeliği

Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)

xP(x), Q(x) polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x) dir.

Bu özeliğe değişme özeliği denir.

Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özeliğinin olduğunu gösteriniz.

Yanıt 1:

xP(x), Q(x) için P(x) Q(x) Q(x) P(x) olduğundan polinomlar kümesinde

toplama işleminin değişme özeliği vardır. Örneğin

xP(x) 2x 1 ve 2


)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2

)1x2x()1x2x0( 22

))1(1(x)22(x)10( 2

)11(x)4(x)1( 2

2x 4x 0

x4x2

2

XP(x) Q(x) x 4x (1)

)1x2()1x2x()x(P)x(Q 2

)1x2x0()1x2x( 22

)1)1((x)22(x)01( 2

)11(x)4(x)1( 2

Çok Terimliler


2x 4x 0

x4x2

2

XQ(x) P(x) x 4x (2)

(1) ve (2) den )x(P)x(Q)x(Q)x(P

Örnek 2: 3x5x2x3x)x(P 235 ve 5x3x2x3)x(Q 24 polinomları için

)x(P)x(Q)x(Q)x(P olduğunu gösteriniz.

Yanıt 2:

)x(Q)x(P ve Q(x) P(x) toplamları ayrı ayrı bulunursa:

5 3 2 4 2P(x) Q(x) (x 3x 2x 5x 3) ( 3x 2x 3x 5)

5x3x2x33x5x2x3x 24235

53x3x5x2x2x3x3x 22345

53x)35(x)22(x3x3x 2345

8x2x4x3x3x 2345

4 2 5 3 2Q(x) P(x) ( 3x 2x 3x 5) (x 3x 2x 5x 3)

3x5x2x3x5x3x2x3 23524

35x5x3x2x2x3x3x 22345

5 4 3 2x 3x 3x (2 2)x ( 3 5)x 5 3

8x2x4x3x3x 2345

Sonuç olarak )x(P)x(Q)x(Q)x(P olduğu görülür.

ALIŞTIRMALAR

1. 3P(x) 4x 2x 1 , 3 2Q(x) 5x x x 3

polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x)


2. 2P(x) x 1 ve 3 2Q(x) x 4x 1

polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x)


14.19.2.3 Birleşme Özeliği

Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)

xP(x), Q(x), R(x) polinomları için )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P dir.

Bu özeliğe birleşme özeliği denir.

Çok Terimliler


Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özeliğinin olduğunu gösteriniz.

Yanıt 1:

xP(x), Q(x), R(x) için )x(R)x(P)x(Q)x(R)x(Q)x(P olduğundan

polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır. Örneğin

xP(x) 2x 1 , x2 R1x2x)x(Q ve 2)x(R polinomları için

)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2

)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222

)2x0x0())1(1(x)22(x)10( 22

)2x0x0()11(x)4(x)1( 22

)2x0x0(0x4x 22

)20(x)04(x)01( 2

2x4x2

2x4x)x(R)x(Q)x(P 2 (1)

)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2

)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222

)2)1((x)02(x)01()1x2x0( 22

)21(x)2(x)1()1x2x0( 22

1x2x)1x2x0( 22

)11(x)22(x)10( 2

)2(x)4(x)1( 2

2x4x2

2x4x)x(R)x(Q)x(P 2 (2)

(1) ve (2) den )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P

Örnek 2: P(x) x 3 , 2Q(x) 2x 6 ve 3R(x) 3x 1 polinomları için

)x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P olduğunu gösteriniz.

Yanıt 2:

)x(R)x(Q)x(P ve )x(R)x(Q)x(P ayrı ayrı bulunursa

2 3P(x) Q(x) R(x) x 3 (2x 6) (3x 1)

3 2x 3 3x 2x 6 1

Çok Terimliler


3 2x 3 3x 2x 7

7x2x33x 23

73xx2x3 23

10xx2x3 23

2 3P(x) Q(x) R(x) (x 3) (2x 6) 3x 1

2 3(x 3) (2x 6) 3x 1

2 3x 3 2x 6 3x 1

1x36x23x 32

163xx2x3 23

10xx2x3 23

Sonuçlara göre; )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P olduğu görülür.

ALIŞTIRMALAR 1. Keyfi seçilecek üç polinom için birleşme

özeliğinin gerçekleştiğini gösteriniz. 2. P(x) x , Q(x) 2x 3 ve 2T(x) 2x 1

polinomları için birleşme özeliğini gösteriniz.

14.19.2.4 Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği

Tanım (ETKİSİZ (BİRİM) ÖZELİĞİ)

xP(x) polinomu için

)x(P0)x(P)x(P0

dir. Birim eleman, Q(x) 0 sıfır polinomudur. Burada

n n 1 n 2 2 1 0Q(x) 0 0x 0x 0x 0x 0x 0x

dır.

Bu özeliğe etkisiz (birim) eleman özeliği denir.

Örnek 1: Polinomlar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim) eleman özeliğinin olduğunu gösteriniz.

Yanıt 1:

xP(x), Q(x) için )x(P)x(Q)x(P olduğundan polinomlar kümesinde toplama

işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği vardır ve 0)x(Q dır. Örneğin

xP(x) 2x 1 için

)x(P)x(Q)x(P

Çok Terimliler


)1x2()x(Q)1x2( )1x2()1x2()1x2()x(Q)1x2(

)1x2()1x2()x(Q)1x2()1x2(

)1x2)1x2()x(Q)1x2)1x2(

(2 2)x (1 ( 1)) Q(x) (2 2)x (1 ( 1))

(0)x (1 1) Q(x) (0)x (1 1)

0x0)x(Q00

0x0)x(Q

0)x(Q

Polinomlar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfır polinomu 0)x(P

dır.

Örnek 2: 0)x(P ve 3x)x(Q için )x(Q)x(Q)x(P olduğunu gösteriniz.

Yanıt 2: )x(Q)x(P bulunursa:

)3x()0()x(Q)x(P

3x0

03x

3x

Sonuç olarak )x(Q)x(Q)x(P olduğu görülür.

ALIŞTIRMALAR

1. R(x) 0 ve 2Q(x) x 2x 1 polinomları

için R(x) Q(x) Q(x) olduğunu gösteriniz.

2. 5 4T(x) x 2x 3x 1 ve V(x) 0 için

T(x) V(x) T(x) olduğunu gösteriniz.

14.19.2.5 Ters Eleman Özeliği

Tanım (TERS ELEMAN ÖZELİĞİ)

xP(x), Q(x) polinomu için

0)x(Q)x(P)x(P)x(Q

dır. Ters eleman, )x(P)x(Q dır. )x(P polinomunun toplama işlemine göre ters elemanı

)x(P

dir.

Bu özeliğe ters eleman özeliği denir.

Örnek 1: 2P(x) x x 1 polinomunun tersi olan polinomu bulunuz.

Çok Terimliler


Yanıt 1:

P(x) polinomunun tersi olan polinom T(x) P(x) olacağından

T(x) P(x) 2(x x 1)

2x x 1

Örnek 2: 1x)x(P 2 polinomunun tersinin 1x)x(Q 2 olduğunu gösteriniz.

Yanıt 2:

)x(Q polinomu )x(P polinomunun tersi ise 0)x(Q)x(P)x(P)x(Q olacaktır. Bu

duruma göre:

)x(P)x(Q ve )x(Q)x(P toplamları bulunursa:

)1x()1x()x(P)x(Q 22

1x1x 22

0

)1x()1x()x(Q)x(P 22

1x1x 22

0

Sonuç olarak 0)x(Q)x(P)x(P)x(Q olduğu görülür. Dolayısıyla,

1x)x(P 2 polinomunun tersinin 1x)x(Q 2 olduğu görülür.

ALIŞTIRMALAR

1. 3R(x) x 2x 1 polinomunun tersi olan

polinomu bulunuz.

2. 5 4T(x) x 2x 2x 1 polinomunun tersi

olan polinomu bulunuz.

14.20 Polinomlar Kümesinde Çıkarma İşlemi

Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE ÇIKARMA İŞLEMİ) n

n1n

1n2n

2n3

32

21

10


,

m

m1m

1m2m

2m3

32

21

10


ve

m

m1m

1m2m

2m3

32

21

10


polinomlarında, )x(Qder)x(Pder ise bu polinomların farkı )x(Q)x(P)x(Q)x(P için

nn

1m1m1m

222

111

000 xax)ba(x)ba(x)ba(x)ba()x(Q)x(P

işlemine polinomlar kümesinde çıkarma işlemi denir.

Çok Terimliler


Örnek 1: 7x5x2)x(P 2 ve 9x3x3)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(P


Yanıt 1:

Polinomlar kümesinde çıkarma işlemi )x(Q)x(P)x(Q)x(P dir.

9x3x3)x(Q 2 9x3x3)x(Q 2

9x3x3)x(Q 2

)x(Q)x(P)x(Q)x(P

)9x3x3()7x5x2()x(Q

22

)9x3x3()7x5x2( 22

))9()7((x)35(x))3(2( 2

)97(x8x)32( 2

)16(x8x2

16x8x 2

Örnek 2: x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için

)x(Q)x(P toplamını bulunuz.

Yanıt 2:

x9x7x3)x(P 25 ve 9x5x8x3x3)x(Q 245 polinomları için

Polinomlarda yer almayan terimler bulunmaktadır. Bu terimler katsayılar 0 olacak şekilde

belirtilebilir. Bu terimler

)x(P için ,x0 4 ,x0 3 0x0 (sabit terim) )1x( 0

)x(Q için 3x0

Bu durumda )x(P ve )x(Q 02345 x0x9x7x0x0x3)x(P

9x5x8x0x3x3)x(Q 2345

Polinomlar kümesinde çıkarma işlemi )x(Q)x(P)x(Q)x(P dir. 9x5x8x3x3)x(Q 245 )9x5x8x3x3()x(Q 245

9x5x8x3x3)x(Q 245

Bunlara göre

)9x5x8x0x3x3()x0x9x7x0x0x3()x(Q)x(P)x(Q

234502345

Çok Terimliler


)9x5x8x0x3x3()x0x9x7x0x0x3( 234502345

02345 x))9(0(x)59(x)87(x)00(x)30(x)33(

02345 x)90(x)4(x15x0x3x6

02345 x9x4x15x0x3x6

9x4x15x3x6 245

Örnek 3: 5x5x3)x(P 2 ve 45 x2x3)x(Q polinomları için )x(Q)x(P


Yanıt 3: 45 x2x3)x(Q )x2x3()x(Q

45

45 x2x3)x(Q

)x(Q)x(P)x(Q)x(P

)x2x3()5x5x3( 452

452 x2x35x5x3

5x5x3x2x3 245

ALIŞTIRMALAR

1. 5 2P(x) 2x x x 1 ve 3 2Q(x) x x 1

ise P(x) Q(x) ve Q(x) P(x)

polinomlarını bulunuz.

2. T(x) 2x , 2Q(x) x 2 ve 3 2S(x) x x 2

ise T(x) Q(x) S(x) ve S(x) T(x) Q(x)

polinomlarını bulunuz.

3. 2T(x) 2x 3x 2 ve 5 3K(x) x x ise

2 T(x) 5 K(x) polinomunu bulunuz.

4. 2T(x) x 2x 2 ve 4 2V(x) 2x 3x 2

ise V(x) 2 T(x) polinomunu bulunuz.

5. 2T( x) 2x 5 ve 2D(2x) 3x 2x 1 ise

T(x) D(x) polinomunu bulunuz.

6. 3R(x) 2x 5x 5 ve H(x) için

5 4 2R(x) H(x) 2x 5x x 4 ise H(x) i

bulunuz.

14.20.1 Polinomlar Farkının Derecesi

Teorem (POLİNOMLAR FARKININ DERECESİ)

)x(P ve )x(Q polinom olmak üzere T(x) P(x) Q(x) P(x) Q(x) yine bir polinomdur ve

der T(x) maks der P(x) , der Q(x)

dir.

Örnek 1: 3xx5x)x(P 38 ve 5x7x3)x(Q 25 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?

Çok Terimliler



3xx5x)x(P 38 polinomunun derecesi 8)x(Pder




Örnek 2: m ve 9m olmak üzere ve 5mx)x(Q 3 ise )x(Q)x(Pder nedir?


5x7x5x4x3)x(P 29m polinomunun derecesi m)x(Pder

5mx)x(Q 3 polinomunun derecesi 3)x(Qder

9m olduğundan )x(Qder)x(Pder dir. Bu durumda

)x(Qder)x(Pder m)x(Q)x(Pder

Örnek 3: 3xx5)x(P 3 ve 5x7x5)x(Q 23 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?


3xx5)x(P 3 polinomunun derecesi 3)x(Pder




)x(Q)x(P bulunursa

)5x7x5()3xx5()x(Q)x(P 233

5x7x53xx5 233

53xx7x5x5 233

53xx7x)55( 23

2xx7x0 23

2xx7 2

22xx7der)x(Q)x(Pder 2

Çok Terimliler


ALIŞTIRMALAR

1. 2P(x) x 2x 2 ve 3T(x) 3x 2x 2 ise

der T(x) P(x) ve der P(x) T(x) i bulunuz.

2. 7 4K(x) 3x 5x 3x 1 , 7 3U(x) 3x 4x

ve 2T(x) 3x 3x ise der K(x) T(x) U(x) i bulunuz.

14.20.2 Çıkarma İşleminin Özelikleri

Çıkarma işleminin sadece kapalılık özeliği vardır.

1. Kapalılık Özeliği 2. Değişme Özeliği (yoktur) 3. Birleşme Özeliği (yoktur) 4. Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği (yoktur) 5. Ters Eleman Özeliği (yoktur)



P(x) , xQ(x) polinomları için xP(x) Q(x) dir.


Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu gösteriniz.

Yanıt 1:

xP(x), Q(x) için xP(x) Q(x) olduğundan polinomlar kümesinde çıkarma

işleminin kapalılık özeliği vardır. Örneğin

xP(x) 2x 1 ve 2


)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2

)1x2x()1x2x0( 22

))1(1(x)22(x)10( 2

)11(x)0(x)1( 2

2x0x 2

2x 2

2

xP(x) Q(x) x 2 olduğundan kapalılık özeliği vardır.

Örnek 2: Polinomlar kümesinde toplama işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu bir örnek

ile gösteriniz

Çok Terimliler


Yanıt 2:

2

xP(x) x 1 ve

2

xQ(x) x 2x polinomları için

)x2x()1x()x(Q)x(P 22

)0x2x()1x0x( 22

)01(x)20(x)11( 2

)1(x)2(x)0( 2

1x2x0 2

1x2

xP(x) Q(x) 2x 1 olduğundan kapalılık özeliği vardır.

ALIŞTIRMALAR

1. 3P(x) 2x 2x 1 ve 3T(x) 2x 3x

polinomları için kapalılık özeliğinin varlığını

gösteriniz.

2. T(x) x ve K(x) 2x polinomları için

kapalılık özeliğinin varlığını gösteriniz.



P(x) , xQ(x) polinomları için )x(P)x(Q)x(Q)x(P dir.

Çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur.

Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin değişme özeliğinin olmağını gösteriniz.

Yanıt 1:

xP(x), Q(x) için )x(P)x(Q)x(Q)x(P olduğundan polinomlar kümesinde

çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur. Örneğin

xP(x) 2x 1 ve 2


)1x2x()1x2()x(Q)x(P 2

)1x2x()1x2x0( 22

))1(1(x)22(x)10( 2

)11(x)0(x)1( 2

2x0x 2

2x 2

2

xP(x) Q(x) x 2 ............................................................................................. (1)

Çok Terimliler


)1x2()1x2x()x(P)x(Q 2

)1x2x0()1x2x( 22

)1)1((x)22(x)01( 2

)11(x)0(x)1( 2

2x0x 2

2x2

2

xQ(x) P(x) x 2 ............................................................................................... (2)

(1) ve (2) den )x(P)x(Q)x(Q)x(P elde edilir. Çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur.

ALIŞTIRMALAR

1. 7P(x) x x ve 2K(x) 2x polinomlarını

kullanarak çıkarma işleminin değişme

özeliğinin olmadığını gösteriniz.

2. Keyfi seçilecek iki polinom ile çıkarma

işleminin değişme özeliğinin olmadığını

gösteriniz.



P(x) , Q(x) , xR(x) polinomları için )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P dir.

Çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur.

Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin birleşme özeliğinin olmadığını

gösteriniz.

Yanıt 1:

xP(x), Q(x), R(x) için )x(R)x(P)x(Q)x(R)x(Q)x(P olduğundan

polinomlar kümesinde çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur. Örneğin

xP(x) 2x 1 , 2

xQ(x) x 2x 1 ve 2)x(R polinomları için

)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2

)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222

)2x0x0())1(1(x)22(x)10( 22

)2x0x0()11(x)0(x)1( 22

)2x0x0(2x0x 22

)22(x)00(x)01( 2

0x)0(x)1( 2

Çok Terimliler


0x0x2

2x

2x)x(R)x(Q)x(P ............................................................................................... (1)

)2()1x2x()1x2()x(R)x(Q)x(P 2

)2x0x0()1x2x()1x2x0( 222

)2)1((x)02(x)01()1x2x0( 22

)21(x)2(x)1()1x2x0( 22

3x2x)1x2x0( 22

))3(1(x)22(x)10( 2

)31(x)0(x)1( 2

4x0x 2

4x2

4x)x(R)x(Q)x(P 2 ........................................................................................... (2)

(1) ve (2) den )x(R)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P elde edilir. Çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur.

ALIŞTIRMALAR

1. 5P(x) x 3x 1 , 2R(x) x 2x 7 ve 2Q(x) 2x 3x için çıkarma işleminin

birleşme özeliğinin olmadığını gösteriniz.

2. Keyfi seçilecek üç polinom ile çıkarma işleminin birleşme özeliğinin olmadığını

gösteriniz.

14.20.2.4 Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği

Tanım (ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN ÖZELİĞİ)


)x(P)x(P00)x(P

dir. 0, sıfır polinomudur. Burada

0122n1nn x0x0x0x0x0x00)x(P

dır.

Çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği yoktur.

Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliğinin olmadığını gösteriniz.

Çok Terimliler


Yanıt 1:

xP(x) için )x(P)x(P00)x(P olduğundan polinomlar kümesinde çıkarma

işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği yoktur. Örneğin

xP(x) 2x 1 için

)x(P)x(P00)x(P işlemi yapılırsa

)0()1x2(0)x(P

)0x0()1x2(

)01(x)02(

)1(x)2(

1x2

1x20)x(P elde edilir. ............................................................................................................ (1)

)1x2(0)x(P0

)1x2()0x0(

)10(x)20(

)1(x)2(

1x2

1x2)x(P0 elde edilir. .......................................................................................................... (2)

(1) ve (2) nin sonucu olarak )x(P)x(P00)x(P olduğundan çıkarma işleminin

etkisiz (birim) eleman özeliği yoktur.

ALIŞTIRMALAR

1. T(x) 2x ve 2U(x) 2x 1 polinomları ile

birim eleman özeliğinin olmadığını gösteriniz.

2. Keyfi seçilecek polinomlar yardımı ile çıkarma işleminin birim elemanının

olmadığını gösteriniz.

14.20.2.5 Ters Eleman Özeliği

Tanım (TERS ELEMAN ÖZELİĞİ)

Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği olmadığından,

polinomlar kümesinde çıkarma işleminin ters eleman özeliği yoktur.

Örnek 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin ters eleman özeliğinin olmadığını

gösteriniz.

Yanıt 1: Polinomlar kümesinde çıkarma işleminin etkisiz (birim) eleman özeliği olmadığından,

polinomlar kümesinde çıkarma işleminin ters eleman özeliği yoktur.

Çok Terimliler


ALIŞTIRMALAR

1. 2L(x) 2x 3x 1 ve 2M(x) 7x 7x 1

polinomları ile ters eleman özeliğinin


2. Seçilecek keyfi polinomlar ile çıkarma işleminin ters eleman özeliğinin olmadığını

gösteriniz.

14.21 Polinomlar Kümesinde Çarpma İşlemi

Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE ÇARPMA İŞLEMİ) n

n1n

1n2n

2n3

32

21

10


ve m

m1m

1m2m

2m3

32

21

10


polinomlarının çarpımı

2021120011000 x)bababa(x)baba(ba)x(Q)x(P

işlemine polinomlar kümesinde çarpma işlemi denir.

Örnek 1: x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için )x(Q)x(P çarpımını bulunuz.

Yanıt 1: x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için

)1x()x()x(Q)x(P

1xxx

xx2

Örnek 2: 1x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için )x(Q)x(P çarpımını bulunuz.

Yanıt 2:

1x)x(P ve 1x)x(Q polinomları için

)1x()1x()x(Q)x(P

)1x(1)1x(x

)11x1()1xxx(

)1x()xx( 2

1x2x2

Örnek 3: 1x)x(P 2 ve 1x)x(Q polinomları için )x(Q)x(P çarpımını bulunuz.

Yanıt 3:

1x)x(P 2 ve 1x)x(Q polinomları için

)1x()1x()x(Q)x(P 2

Çok Terimliler


))1x(1())1x(x( 2

)11x1()1xxx( 22

)1x()xx( 23

1xxx 23

Örnek 4: 1xx)x(P 23 ve 1xx)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(P çarpımını

bulunuz.

Yanıt 4:

1xx)x(P 23 ve 1xx)x(Q 2 polinomları için

)1xx()1xx()x(Q)x(P 223

))1xx(1())1xx(x())1xx(x( 22223

))1xx(1())1xx(x())1xx(x( 22223

)11x1x1()1xxxxx()1xxxxx( 222223323

)1xx()xxx()xxx( 2234345

1xxxxxxxx 2234345

1xxxxxxxx 2234345

1xxxx 335

1xx2x 35

ALIŞTIRMALAR

1. P(x) 2 ve 2T(x) x 2 polinomlarının

çarpımını bulunuz.

2. T(x) x 3 ve Q(x) 2x 4 polinomları

için T(2x) Q( x) i bulunuz.

3. 2S(x) 2x 3x 6 ve K( x) 2x 1 için 2S(x) K (x) i bulunuz.

4. 2V(x) x 1 , 2U(x) x 1 ve L(x) x

polinomlar için V(x)U(x)L(x) i bulunuz.

14.21.1 Polinomlar Çarpımının Derecesi

Teorem (POLİNOMLAR ÇARPIMININ DERECESİ) )x(P ve )x(Q polinom olmak üzere T(x) P(x) Q(x) yine bir polinomdur ve P(x) 0 ,

Q(x) 0 ise

der T(x) der P(x) der Q(x)

dir.

Örnek 1: 1x)x(P ve 5x)x(Q 2 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?

Çok Terimliler


Yanıt 1: Polinomların dereceleri ayrı ayrı bulunursa:

1x)x(P 11xder)x(Pder

5x)x(Q 2 25xder)x(Qder 2

sonuçları bulunur. )x(Qder)x(Pder)x(Q)x(Pder olduğundan

321)x(Q)x(Pder

3)x(Q)x(Pder sonucu elde edilir.

Bu sonuç çarpım işlemi gerçekleştirilerek bulunmak istenirse:

)5x()1x()x(Q)x(P 2

)5x(1)5x(x 22

51x15xxx 22

5xx5x 23

5x5xx 23

5x5xx)x(Q)x(P 23 elde edilir. Buna göre

35x5xxder)x(Q)x(Pder 23

Örnek 2: 1xxx)x(P 25 ve 5xx2)x(Q 28 polinomları için )x(Q)x(Pder nedir?

Yanıt 2: Polinomların dereceleri ayrı ayrı bulunursa:

1xxx)x(P 25 1xxxder)x(Pder 25 5)x(Pder

5xx2)x(Q 28 5xx2der)x(Qder 28 8)x(Qder

sonuçları bulunur. )x(Qder)x(Pder)x(Q)x(Pder olduğundan 1385)x(Q)x(Pder

Örnek 3: 1xx)x(P 5 polinomu için )x(P2der nedir?

Yanıt 3: Dereceyi bulmak için:

1xx)x(P 5 )1xx(2)x(P25

2x2x2 5

5der 2 P(x) der 2x 2x 2 5

Not : k , )x(P bir polinom ve n)x(Pder ise n)x(Pkder dir.

Çok Terimliler


Örnek 4: der P(x) 3 , der Q(x) 6 , der S(x) m ve 2 3der P (x)Q(x)S (x) 21 ise

m nedir?

Yanıt 4: Verilen derecelere göre

2 3 2 3der P (x)Q(x)S (x) der P (x) der Q(x) der S (x)

2 der P(x) der Q(x) 3 der S(x)

2 3 6 3 m

12 3m

2 3der P (x)Q(x)S (x) 21 olduğundan 12 3m 21 m 9

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağıda verilen polinomların derecelerini bulunuz.

a) 2(x 1)(x 2) b) 3x(x 2x 9)

c) x(x 1)(x 1) d) 2 2(x 1)(x 1)

2. der P(x) 4 ve der W(x) 7 ise P(x)W(x) polinomunun derecesini bulunuz.

3. der P(x) 5 ve der P(x) F(x) 15 ise F(x) polinomunun derecesini bulunuz.

4. der P(x) 5 , der K(x) 10 olmak üzere

der P(x)K(x)Y(x) 22 ise Y(x) in derecesini bulunuz.

5. P, Q, S ve R polinom olmak üzere derP 12 ,

derQ 23 , derS 4 ve der P Q S R 63 ise derR yi bulunuz.

6. H, J ve L polinomları için der H J n ve

der H J L k ise derJ yi bulunuz.

14.21.2 Çarpma İşleminin Özelikleri

Çarpma işleminin özelikleri:

1. Kapalılık Özeliği 2. Değişme Özeliği 3. Birleşme Özeliği 4. Çarpma İşlemine Göre Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği 5. Çarpma İşlemine Göre Ters Eleman Özeliği 6. Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği



xP(x), Q(x) polinomları için xP(x) Q(x) dir.


Örnek 1: xP(x), Q(x) polinomları için çarpma işleminin kapalılık özeliğinin olduğunu

gösteriniz.

Çok Terimliler


Yanıt: n n 1

n n 1 1 0P(x) a x a x a x a

ve n n 1

n n 1 1 0Q(x) b x b x b x b

polinomları alınırsa

n n 1 n n 1

n n 1 1 0 n n 1 1 0P(x) Q(x) (a x a x a x a ) (b x b x b x b )

2n 2n 1 n 1 n

n n n n 1 n 1 n 0

2n 1

n 1 n n 1 n 1 0 1 0

P(x) Q(x) a b x a b x a b x a b x

a b x a b x abx abx a b x a b

P(x) Q(x) S(x) yeni bir polinomdur. xS(x) R olduğundan çarpma işleminin kapalılık

özeliği vardır.

ALIŞTIRMALAR

1. 3P(x) 2x 2x 1 ve 3T(x) 2x 3x

polinomları için kapalılık özeliğinin varlığını

gösteriniz.

2. T(x) x ve K(x) 2x polinomları için

kapalılık özeliğinin varlığını gösteriniz.



xP(x), Q(x) polinomları için P(x) Q(x) Q(x) P(x) dir.

Bu özeliğe değişme özeliği denir.

Örnek 1: V(x) 3x 1 ve 2C(x) 2x polinomları kullanarak çarpma işleminin değişme

özeliğinin varlığını gösteriniz.

Yanıt 1: Polinomların çarpımları hesaplanırsa:

V(x) C(x) çarpımı bulunursa : C(x) V(x) çarpımı bulunursa :

2V(x) C(x) (3x 1) (2x ) 2C(x) V(x) (2x ) (3x 1)

2 2V(x) C(x) (3x) (2x ) (1) (2x ) 2 2C(x) V(x) (2x ) (3x) (2x ) (1)

3 2V(x) C(x) 6x 2x 3 2C(x) V(x) 6x 2x

Bu çarpım sonuçlarına göre V(x) C(x) C(x) V(x) elde edilir.

ALIŞTIRMALAR

1. 7P(x) x x ve 2K(x) 2x polinomlarını

kullanarak çarpma işleminin değişme

özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.

2. Keyfi seçilecek iki polinom ile çarpma işleminin değişme özeliğinin olup/olmadığını

gösteriniz.

Çok Terimliler




xP(x), Q(x), R(x) polinomları için P(x) Q(x) R(x) P(x) Q(x) R(x) dir.

Bu özeliğe birleşme özeliği denir.

Örnek 1: P(x) 3x 1 , 2R(x) x ve 2Q(x) x 3x için çarpma işleminin birleşme

özeliğini gösteriniz.

Yanıt 1:

Birleşme özeliği için P(x) Q(x) R(x) P(x) Q(x) R(x) eşitliğinin gerçekleşmesi gerekmektedir. Bunu gösterirsek;

P(x) Q(x) işlemi bulunursa : Q(x) R(x) işlemi bulunursa :

2P(x) Q(x) (3x 1)(x 3x) 2 2Q(x) R(x) (x 3x)(x )

3 2P(x) Q(x) 3x 10x 3x 4 3Q(x) R(x) x 3x

P(x) Q(x) R(x) işlemi bulunursa : P(x) Q(x) R(x) işlemi bulunursa :

3 2 2P(x) Q(x) R(x) (3x 10x 3x)(x ) 4 3P(x) Q(x) R(x) (3x 1)(x 3x )

5 4 3P(x) Q(x) R(x) 3x 10x 3x 5 4 3P(x) Q(x) R(x) 3x 10x 3x

Yukarıdaki eşitliklere göre P(x) Q(x) R(x) P(x) Q(x) R(x) olduğu görülür.

ALIŞTIRMALAR

1. 5P(x) x 3x 1 , 2R(x) x 2x 7 ve 2Q(x) 2x 3x için çarpma işleminin

birleşme özeliğinin olup/olmadığını

gösteriniz.

2. Keyfi seçilecek üç polinom ile çarpma işleminin birleşme özeliğinin olup/olmadığını

gösteriniz.

14.21.2.4 Çarpma İşlemine Göre Etkisiz (Birim) Eleman Özeliği

Tanım (ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN ÖZELİĞİ)


1 P(x) P(x) 1 P(x)

dir. Birim eleman, Q(x) 1 sabit polinomudur. Burada

n n 1 n 2 2 1 0Q(x) 1 0x 0x 0x 0x 0x 1x

dır.

Bu özeliğe etkisiz (birim) eleman özeliği denir.

Çok Terimliler


Örnek 1: T(x) 2x polinomu ile birim eleman özeliğini gösteriniz.

Yanıt 1: Polinomlarda çarpma işleminin birim elemanı 1 dir. Bunu göstermek için,

I(x) polinomu birim polinom olduğunda I(x) T(x) T(x) I(x) T(x) olacaktır. Bu

durumda

I(x) 2x 2x I(x) 2x eşitliğinden birim elemanın I(x) 1 olduğu görülür.

ALIŞTIRMALAR

1. T(x) 2x ve 2U(x) 2x 1 polinomları ile

birim eleman özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.

2. Keyfi seçilecek polinomlar yardımı ile çarpma işleminin birim elemanının olup/olmadığını gösteriniz.

14.21.2.5 Çarpma İşlemine Göre Ters Eleman Özeliği

Tanım (ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS ELEMAN ÖZELİĞİ)

xP(x), Q(x) polinomları için Q(x) P(x) P(x) Q(x) 1 dır.

)x(P polinomunun çarpma işlemine göre ters elemanı

1Q(x)

P(x)

olur.

Buna göre, polinomlar kümesinin çarpma işlemine göre ters eleman özeliği yoktur.

Örnek 1: 2L(x) 2x 3x 1 polinomu ile çarpma işlemine göre ters eleman özeliğinin


Yanıt 1: Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre ters eleman özeliği yoktur. Bundan dolayıda

L(x) polinomunun da ters elemanı yoktur. Yani, L(x) polinomunun ters elemanı Q(x) olarak

seçilirse Q(x) L(x) L(x) Q(x) 1 sağlanması gerekir.

Q(x) L(x) 1 ve L(x) Q(x) 1 için 2

1 1Q(x)

L(x) 2x 3x 1

elde edilir. Fakat elde

edilen x21

Q(x)2x 3x 1

olduğundan ters eleman özeliği yoktur.

ALIŞTIRMALAR

1. 2L(x) 2x 3x 1 ve 2M(x) 7x 7x 1

polinomları ile çarpma işlemine göre ters eleman özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.

2. Seçilecek keyfi polinomlar ile çarpma işleminin ters eleman özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz.

Çok Terimliler


14.21.2.6 Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği

Tanım (ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA

ÖZELİĞİ)

xP(x), Q(x), S(x) polinomları için

P(x) Q(x) S(x) Q(x) S(x) P(x)

dir. Bu özeliğe çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği denir.

P(x) Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) ye soldan dağılma özeliği denir.

Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) P(x) ye sağdan dağılma özeliği denir.

Örnek 1: P(x) 3x 1 , 2Q(x) x 3x ve 2S(x) x polinomları için soldan, sağdan

dağılma özeliğini ve dağılma özeliğini gösteriniz.

Yanıt 1: Soldan dağılma işlemi yapılırsa:

P(x) Q(x) S(x) işlemi için

2 2P(x) Q(x) S(x) (3x 1) (x 3x) (x )

2(3x 1) 2x 3x

3 26x 11x 3x

P(x) Q(x) P(x) S(x) işlemi için

2 2P(x) Q(x) P(x) S(x) (3x 1)(x 3x) (3x 1)(x )

3 2 2 3 23x x 9x 3x 3x x

3 26x 11x 3x

Böylece soldan dağılma özeliği için P(x) Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) gerçekleşmiş olur.

Sağdan dağılma işlemi yapılırsa:

Q(x) S(x) P(x) işlemi için

2 2Q(x) S(x) P(x) (x 3x) (x ) (3x 1)

22x 3x (3x 1)

3 2 26x 9x 2x 3x

3 26x 11x 3x

Çok Terimliler


Q(x) P(x) S(x) P(x) işlemi için

2 2Q(x) P(x) S(x) P(x) (x 3x)(3x 1) (x )(3x 1)

3 2 2 3 23x 9x x 3x 3x x

3 26x 11x 3x

Böylece soldan dağılma özeliği için Q(x) S(x) P(x) Q(x) P(x) S(x) P(x) gerçekleşmiş olur.

Dağılma işlemi yapılırsa :

Dağılma işlemi için P(x) Q(x) S(x) Q(x) S(x) P(x) sağlanması gerekmektedir.

3 2P(x) Q(x) S(x) 6x 11x 3x yukarıdan elde edildi............................................... (1)

3 2Q(x) S(x) P(x) 6x 11x 3x yukarıdan elde edildi............................................... (2)

Yukarıdaki (1) ve (2) eşitliklerinden P(x) Q(x) S(x) Q(x) S(x) P(x) elde edilir.

ALIŞTIRMALAR

1. 2L(x) 2x 3x 1 , 2M(x) 7x 7x 1 ve

J(x) 5x polinomları ile çarpma işleminin

toplama işlemi üzerine dağılma özeliğinin

olup/olmadığını gösteriniz.

2. Seçilecek keyfi polinomlar ile çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma

özeliğinin olup/olmadığını gösteriniz

14.22 Bölme Algoritması

Bölme işlemi aşağıda verilecek teoremdeki bölme algoritması ile kolaylıkla yapılabilir.

Teorem (BÖLME ALGORİTMASI) P(x) ve Q(x) herhangi iki polinom, Q(x) 0 olsun. Bu durumda, aşağıdaki koşulları

sağlayan tek türlü belirli )x(B ve )x(K polinomları vardır:

P(x) B(x) Q(x) K(x) , der K(x) der Q(x) .

14.23 Polinomlar Kümesinde Bölme İşlemi

Tanım (POLİNOMLAR KÜMESİNDE BÖLME İŞLEMİ)

P(x) , Q(x) 0 , )x(B ve )x(K polinomlar der P(x) der Q(x) ve

der K(x) der Q(x) olmak üzere )x(P ve )x(Q polinomları için

P(x) B(x) Q(x) K(x) eşitliğini sağlayan

Çok Terimliler


)x(B polinomuna; )x(P in )x(Q e bölümü,

)x(K polinomuna; )x(P in )x(Q e bölünmesinden kalan denir.

0)x(K ise )x(P polinomu )x(Q polinomuna tam (kalansız) bölünüyor denir.

Kalansız bölme )x(B)x(Q)x(P biçiminde gösterilir.

Yapılan bu işlemlere polinomlar kümesinde bölme işlemi denir.

Bölme işleminin yapılışı sırasında aşağıdaki sıranın uygulanması kolaylık sağlamaktadır.

1. Bölünen ve bölen polinomların her biri azalan kuvvete göre sıralanır.

2. Bölünen polinomun ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.

3. Elde edilecek bölüm, bölen polinomun tüm terimleri ile çarpılır ve bölünen polinomun altına yazılır.

4. Elde edilen polinom, bölünen polinomdan çıkarılır.

5. Çıkan polinom için 2. maddeden itibaren işlem 4. maddede elde edilen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar tekrarlanır.

Örnek 1: 2P(x) x 2x 1 polinomunun x 1 ile bölümenden elde edilen bölüm ve kalanı

bulunuz.

Yanıt 1: Bölme işlemi yapılmadan önce bölünen ve bölen polinomlar derecelerine göre büyükten

küçüğe doğru sıralanır ve adım adım devam edilirse

Adım 1: 2x içinde x aranır.

2x 2x 1 x 1

2x x x

Adım 2: Çıkarma işlemi yapılırsa

2x 2x 1 x 1

2x x x

x 1

Adım 3: x içinde x aranır.

2x 2x 1 x 1

2x x x 1

x 1 x 1

Adım 4: Çıkarma işlemi yapılırsa

2x 2x 1 x 1

2x x x 1

x 1 x 1

0

Bölüm Kalan

x 1 0

2P(x) x 2x 1 (x 1)(x 1) olarak bulunur.

Örnek 2: 3P(x) x 3x 3 polinomunun x 1 ile bölümünden elde edilen bölüm ve

kalanı bulunuz.

Çok Terimliler



küçüğe doğru sıralanır ve devam edilirse

3x 3x 3 x 1

3 2x x 2x x 4

2x 3x 3

2x x

4x 3

4x 4 Bölüm Kalan

1 2x x 4 1

3 2P(x) x 3x 3 (x 1)(x x 4) 1

Örnek 3: 4 2P(x) x x 2x 5 polinomunun 2x 2x ile bölümünden elde edilecek

bölüm ve kalanı bulunuz.



4 2x x 2x 5 2x 2x

4 3x 2x 2x 2x 5

3 22x x 2x 5

2 22x 4x

25x 2x 5

25x 10x Bölüm Kalan

8x 5 2x 2x 5 8x 5

Bölüm ve kalan polinomları bulunur.

Örnek 4: 7 5 4P(x) x 2x 3x 7x 3 polinomunun 3x 2x 1 ile bölümünden elde

edilecek bölümü ve kalanı bulunuz.



7 5 4x 2x 3x 7x 3 3x 2x 1

7 5 4x 2x x 4x 4x

44x 7x 3

4 24x 8x 4x

28x 11x 3

Bölüm Kalan

4x 4x 28x 11x 3

Bölüm ve kalan polinomları bulunur.

Çok Terimliler


ALIŞTIRMALAR

1. 14 10 9 5 3J(x) 3x 5x x x 2x 2x 5 ile 5x 2 bölümünden elde edilecek bölümü ve

kalanı bulunuz.

2. 21 9 5H(x) 12x 4x 6x 2 ile 3x 2x 1

bölümünden elde edilecek bölümü ve kalanı

bulunuz.

14.23.1 Polinomlar Bölümünün Derecesi

Tanım (POLİNOMLAR BÖLÜMÜNÜN DERECESİ)

P(x) , Q(x) 0 , )x(B ve )x(K polinomları der P(x) der Q(x) ve

der K(x) der Q(x) olmak üzere )x(P ve )x(Q polinomları için )x(K)x(B)x(Q)x(P ise

)x(Bder)x(Qder)x(Pder veya )x(Qder)x(Pder)x(Bder

)x(Bder e polinomlar bölümünün derecesi denir.

Örnek 1: 12 7D(x) 3x 5x 6x 2 polinomu 5 2Z(x) 4x 5x 3x 5 polinomuna

bölündüğünde bölüm polinomunun derecesini bulunuz.

Yanıt 1: D(x) polinomunun Z(x) polinomuna bölümünden elde edilecek, B(x) bölüm polinomu

olmak üzere, bölüm polinomunun derecesi bulunursa:

der B(x) der D(x) der Z(x) olduğundan

12 7der D(x) der 3x 5x 6x 2 5 2der Z(x) der 4x 5x 3x 5

der D(x) 12 der Z(x) 5

der B(x) der D(x) der Z(x)

der B(x) 12 5 7

ALIŞTIRMALAR

1. 14 10 9 5 3J(x) 3x 5x x x 2x 2x 5 ile 5x 2 bölümünde bölüm polinomunun

derecesini bulunuz.

2. 21 9 5H(x) 12x 4x 6x 2 ile 3x 2x 1

bölümünde bölüm polinomunun derecesini bulunuz.

3. J(x) , 3T(x) x 2x 1 polinomuna

bölündüğünde bölüm polinomunun derecesi 5

ise J(x) polinomunun derecesini bulunuz.

4. 13 9 3F(x) 3x 5x 13x 1 polinomu Y(x)

polinomuna bölündüğünde bölüm

polinomunun dercesi 11 bulunuyor ise Y(x)

polinomunun dercesini bulunuz.

14.23.2 Bölme İşleminin Özelikleri

Bölme işleminin Kapalılık, Değişme, Birleşme, Etkisiz (Birim) Eleman, Ters Eleman

Özeliklerinden hiçbiri mevcut değildir.

Çok Terimliler


14.24 Horner Yöntemi ile Bölme (Sentetik Bölme)

Tanım (HORNER YÖNTEMİ İLE BÖLME (SENTETİK BÖLME)) Bir P(x) çok terimlisinin x a ile bölünmesinden elde edilen B(x) bölümünü ve K

kalanını kısa yoldan elde etme yöntemine Horner Yöntemi (Sentetik Bölme) denir.

Bu yöntem n n 10 1 n 1 nP(x) a x a x a x a

çok terimlisinin x a ile bölündüğü

zaman elde edilen bölüm çok terimlisi n 1 n 20 1 n 1 nB(x) b x b x b x b

ve kalan K ise bunları

belirleyen tablo aşağıdaki gibi olur.

P(x) 0a 1a 2a 3a n 2a n 1a na

x a 0 0ab 1ab 2ab n 3ab n 2ab n 1ab

B(x) 0b 1b 2b 3b n 2b n 1b K

Tablodan görüldüğü gibi burada yapılan işlemler:

1. 0 0a 0 b

2. 1 0 1a ab b

3. 2 1 2a ab b

4. 3 2 3a ab b

n 2 . n 1 n 2 n 1a ab b

n 1 . n n 1 na ab b K

böylece yöntem tamamlanmış olur.

Polinomların birbirine bölümü aşağıdaki sıra ile yapılır.

1. Bölünen ve bölen polinomların terimleri azalan kuvvetlere göre sıralanır.

2. Bölünen ve bölen polinomların ilk terimleri birbirine bölünür.

3. Bulunan bölüm bölenin tüm terimleri ile çarpılıp bölünenin altına yazılır.

4. Bölünen polinomdan elde edilen çarpım çıkarılır.

5. Elde edilen yeni polinom için 2, 3 ve 4. işlemler tekrarlanır. Bu işleme kalanın derecesinin bölenin derecesinden küçük olana kadar devam edilir.

Örnek 1: 5 3P(x) 2x 5x 3x 3 polinomunun Q(x) x 5 polinomuna bölümünden

elde eldilecek kalanı bulunuz.

Çok Terimliler


Yanıt 1: Tabloyu oluşturalım.

5 3P(x) 2x 5x 3x 3 2 0 5 0 3 3

x 5 0 10 50 225 1125 5640

B(x) 2 10 45 225 1128 K = 5637

ALIŞTIRMALAR

1. 4 2P(x) 6x 5x 6x 7 polinomunu

2Q(x) x 2 polinomuna bölünüz, kalan ve

bölüm toplamını bulunuz.

2. 13 7P(x) 6x x 7 polinomunun

2Q(x) x 2x polinomuna bölümünden

elede edilecek kalan ve bölüm polinomlarının toplamını bulunuz.

14.25 Polinomlarda Grup, Halka ve Cisim

Polinomlar kümesi toplama işlemine Grup ve aynı zamanda Değişmeli Gruptur (Abel Grup).

Polinomlar kümesi toplama ve çarpma işlemine göre bir halkadır.

14.25.1 Grup

Tanım (GRUP) Boş olmayan bir P polinomlar kümesi üzerinde : P P P ikili işlemi için

1. Birleşme özeliği,

2. Birim (Etkisiz) Eleman özeliği,

3. Ters Eleman özeliği

varsa (P, ) yapısına grup denir.

(P, ) yapısı

4. Değişme özeliği

içeriyorsa (P, ) yapısına Değişmeli Grup (Abel Grup) denir.

Örnek 1:

Yanıt 1:

Çok Terimliler


ALIŞTIRMALAR 1.

14.25.2 Halka

Tanım (HALKA) Boş olmayan bir P polinomlar kümesi üzerinde : P P P ve : P P P ikili işlemleri

için

1. (P, ) yapısı değişmeli grup,

2. (P, ) yapısının kapalılık özeliği,

3. (P, ) yapısının birleşme özeliği,

4. (P, ) yapısının dağılma özeliği

varsa (P, , ) yapısına halka denir.

(P, , ) yapısı

5. Birim Eleman özeliği

içeriyorsa (P, , ) yapısına birimli halka denir.

Örnek 1:

Yanıt 1:

ALIŞTIRMALAR 1.

Documents

MATEMATİK - konyaataturkal.meb.k12.trkonyaataturkal.meb.k12.tr/meb_iys_dosyalar/42/01/... · polinomunun terimleri nelerdir? Yanıt 2: P(x) x5 4x3 3x2 5 polinomunun terimleri x5,