of 21/21
1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007.

Matematikai Analízis elemei

  • View
    40

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematikai Analízis elemei. dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007. > http://szt.vein.hu/~szalkai/ = http://193.6.42.1/~szalkai/ … Analízis … VEGLKGB143M > [email protected] > vizsgák : írásbeli, példák+elm. 2008. jan. 4, 11, 18, 25 (péntek) - PowerPoint PPT Presentation

Text of Matematikai Analízis elemei

  • Matematikai Analzis elemei

    dr. Szalkai Istvn Pannon Egyetem, Veszprm2007.

  • > http://szt.vein.hu/~szalkai/= http://193.6.42.1/~szalkai/ Analzis VEGLKGB143M

    > [email protected]

    > vizsgk: rsbeli, pldk+elm. 2008. jan. 4, 11, 18, 25 (pntek) 10:00'-12:00'

  • Mszaki Kiad, "Bolyai knyvek" sorozat (pldatrak)

  • Terv:

    1. Fggvnytani alapfogalmak: T, K, grafikonok rajzolsa, elemi (nevezetes) fggvnyek. Inverz- s sszetett fggvnyek.

    2. Sorozatok hatrrtke: Elemi talaktsok, nevezetes sorozatok. (1+s/n)n s"vgtelen/ vgtelen" alak feladatok.

    3. Sorok hatrrtke, mrtani sorok.

    4. Fggvnyek hatrrtke: egyszerbb feladatok.

    5. Differencilszmts alapjai.

    6. Fggvnyvizsglat, szveges szlsrtk feladatok.

    7. Differencilszmts alkalmazsai: rint egyenlete, Taylor polinomok, L'Hospital szably

    9. Primitv fggvnyek: elemi integrlok, parcilis- s helyettestses integrls.

    10. Hatrozott integrl: Newton-Leibniz szably, terletszmts.Improprius integrls.

  • 1. Fggvnytani alapfogalmak :

    y = f(x) = vagy f : x |---> y

    Jellsek:Dom(f) := Df = T (=Dominium="kikts")az f fggvny rtelmezsi tartomnya , Im(f) := Range(f) = Ran(f) = Rf = K (=Image=Range)az f fggvny rtkkszlete. HF: ism.

    Elemi (alap-) fggvnyek: mx+b, x2 , x3 , x1/2 , 1/x , a/(x-b) , sin(x) , cos(x) , tan(x)=tg(x) , cotan(x)=ctg(x) , exp(x)=ex, expa(x)=ax, log(x)=lg(x), ln(x)=loge(x) /e~2.71828/, HF: ism., brk

  • Pl.

    x

    -20

    ...

    ...

    +20

    y

    ...

    ...

    ...

    ...

  • 1.b) Fggvnyek inverzef : x |---> ys Dom(f) x . . . => x1 = x2 . f -1 meghatrozsa: y = f(x) => . . . => x = f-1(y) .

  • Pl.teht invertlhat.

  • pldul: ngyzetre emelskor az eljel eltnik ...=>

  • grafikusan: tkrzs az y=x egyenesre:

  • y=ax

  • loga(x)

  • s

    !!!!! g(x)="bels fggvny", f(x)="kls fggvny" !!!!!1.c) sszetett fggvnyek (fv.-ek kompozcija)Definci: Legyenek g : A ->B s f : Y Z tetszleges fggvnyek, Im(g) Dom(f) 0 . Ekkor h:=f o g az f s g fggvnyek kompozcija a kvetkez: h(x) := (f o g)(x) := f(g(x)) s Dom(h) = { x Dom(g) : g(x) Dom(f) } .

    Pl.

  • Pl.: an =

    a10 = 115/78 ~ 1,474358a20 = 435/348 = 1,25-a100 = 10195/9708 ~ 1,050165a1000 = 1001995/997008 ~ 1,005002 a10000 =100019995/99970008 ~ 1,000500 . . .2. SorozatokDefinci: szmsorozat = numerikus sorozat : Tetszleges a : N -> R fggvnyt sorozatnak neveznk.Az a(n) rtket ltalban an -el jelljk. sejts: ebben a pldban

  • Definci: Az { an } sorozat konvergens, ha ltezik olyan A R szm, amelyre: tetszleges > 0 pozitv szmhoz (="hibahatr") ltezik olyan n0 N termszetes szm (="kszbszm"), amelyre tetszleges n>n0 szmra:| an - A | < (=an eltrse A -tl).A fenti A szmot hvjuk a sorozat (vges) hatrrtknek (=limesz), s gy jelljk: limn->oxo an = A vagy an -> A .

    Definci: Az { an } sorozatot konvergensnek nevezzk, ha ltezik fenti (vges) hatrrtke. Az { an } sorozatot divergensnek nevezzk, ha nem konvergens.

  • Szmols: esetn a nevez legnagyobb tagjval egyszerstnk:Nevezetes hatrrtkek, ttelek, mdszerek: Ld. "Konvergencia kritriumok" 1.old. a honlapon !Feladatok: Ld. Feladatgyjtemny 2.fejezet, 2.1, 2.4, 2.8 feladatok a honlapon !

  • Definci: Az {an } sorozat hatrrtke +oxo ha tetszleges p R szm esetn van olyan np N szm (= "kszbszm") amelyre minden n>np esetn an > p . A fentieket gy jelljk: limn->oxo an =+oxo vagy an ->+oxo .

    Definci: Az {an } sorozat hatrrtke -oxo ha tetszleges p R szm esetn van olyan np N szm (="kszbszm"), amelyre minden n>np esetn an < p . A fentieket gy jelljk: limn->oxo an= -oxo vagy an -> -oxo .

    ((mindssze kt helyen van vltozs!!))

  • Fontos plda: Felhasznlt ttel: (ld."kritriumok")

  • 3. Sorok!!! Sor =/= sorozat !!!