Lajk KrolyKalkulus I.mobiDIK knyvtrLajk KrolyKalkulus I.mobiDIK knyvtrSOROZATSZERKESZTFazekas IstvnLajk KrolyKalkulus I.egyetemi jegyzetharmadik kiadsmobiDIK knyvtrDebreceni EgyetemMatematikai IntzetLektorFazekas IstvnLosonczi LszlCopyright c _ Lajk Kroly, 2003Copyright c _ elektronikus kzls mobiDIK knyvtr, 2003mobiDIK knyvtrDebreceni EgyetemInformatikai Intzet4010 Debrecen, Pf. 12http://mobidiak.unideb.huA m egyni tanulmnyozs cljra szabadon letlthet. Minden egyb fel-hasznls csak a szerz elzetes rsbeli engedlyvel trtnhet.A m a A mobiDIK nszervez mobil portl (IKTA, OMFB-00373/2003)s a GNU Itertor, a legjabb genercis portl szoftver(ITEM, 50/2003)projektek keretben kszlt.TartalomjegyzkI. Halmazok, relcik, fggvnyek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Jellsek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. Halmazelmleti alapfogalmak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Relcik (lekpezsek). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. Fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II. Szmok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Bevezets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211. A vals szmok aximarendszere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. Kiegsztsek a vals szmfogalomhoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223. (Szm)halmazok szmossga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324. R topolgija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III. Sorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371. Alapfogalmak s kapcsolatuk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372. Sorozatok s mveletek, illetve rendezs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403. Rszsorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434. Cauchy-sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445. Nevezetes sorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46IV. Sorok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491. Alapfogalmak s alapttelek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492. Konvergenciakritriumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523. Mveletek sorokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564. Tizedes trtek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59V. Fggvnyek folytonossga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612. A folytonossg fogalma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643. Folytonossg s mveletek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684. Folytonossg s topologikus fogalmak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6978 TARTALOMJEGYZKVI. Fggvnyek hatrrtke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711. Alapfogalmak s ttelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712. Hatrrtk s mveletek illetve egyenltlensgek. . . . . . . . . . . . . . . . 753. A hatrrtk s a folytonossg kapcsolata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774. Monoton fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78VII. Fggvnysorozatok s fggvnysorok, elemi fggvnyek 811. Fggvnysorozatok s fggvnysorok konvergencija . . . . . . . . . . . . 812. Hatvnysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853. Elemi fggvnyek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86VIII. Dierencilszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931. Vals fggvnyek dierencilhnyadosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932. Dierencilhatsg s folytonossg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963. Dierencilhatsg s lineris approximlhatsg . . . . . . . . . . . . . . . 964. Dierencilhatsg s mveletek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975. Hatvnysorok dierencilhatsga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996. Elemi fggvnyek dierencilhatsga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017. A sin s cos fggvny tovbbi tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028. Tovbbi elemi fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039. Magasabbrend derivltak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510. Dierencilhat fggvnyek vizsglata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Irodalomjegyzk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Nvjegyzk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Trgymutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125I. fejezetHalmazok, relcik, fggvnyekJellsekItt (s a ksbbiekben is) a dencik, lltsok s bizonytsok tmr le-rsra hasznljuk a matematikai logika (kzpiskolbl is ismert) jellseit.gy, annak lersra, hogyazA kijelentsbl kvetkezik aB kijelentsazA = B;azAkijelentsegyenrtkaBkijelentssel (Aakkorscsakakkor teljesl, haB) azA B;avan olyan(ltezik) kijelentsre a ;aminden(brmely) kijelentsre a ;adenci szerint egyenlkijelentsre a.=szimblumokat hasznljuk.1. Halmazelmleti alapfogalmakEbben a rszben az gynevezett naiv halmazelmlet legfontosabb fogal-mait trgyaljuk.Ahalmaz s a halmaz eleme fogalmt adottnak (matematikai absztrak-cinak) tekintjk. Ahalmazokat ltalban nagybetkkel (A, B, C, . . . ;X, Y, Z, . . . ; A1, A2, . . . ), elemeiket kisbetkkel (a, b, c, . . . ; x, y, z, . . . ;a1, a2, . . . ) jelljk.Azt pldul,hogya eleme azA halmaznakaza A, mg azt, hogyanem eleme azA halmaznak aza/ A szimblummal jelljk.Egy halmaz adott, ha minden dologrl egyrtelmen el tudjuk dnteni,hogy eleme, vagy sem.A halmazokatmegadhatjuk az elemeikfelsorolsval: a, b, c, x, y, z,, ,vagy valamilyen ismert halmaz elemeire valTtulajdonsg (llts)segtsgvel: az x [xTtulajdonsg, x [T(x), x A [T(x) jell-sekkel.910 I. HALMAZOK, RELCIK, FGGVNYEK1. denci. Azt ahalmazt, amelynekegyetleneleme sincs, res hal-maznak nevezzk, s a szimblummal jelljk.2. denci. AzA sB halmazokegyenlk, ha elemeik ugyanazok, azazx A x B. EztA = B, tagadstA ,= B mdon jelljk.Plda.1. HaA = a, b, c, d sB = d, b, c, a, akkorA = B.2. HaA = a, b, c, d sB = b, c, e, akkorA ,= B.1. megjegyzs. A 2. denci adja, hogy csak egy res halmaz ltezik.3. denci. AzAhalmazrszhalmaza(rsze)aBhalmaznak, hamindenx A esetnx Bis teljesl (azazx A =x B). Ennekjellse: A B, vagyB A.Plda. HaA = , , sB = , , , , akkorA B.4. denci. AzAhalmazvaldi rszeaBhalmaznak, haA B, deA ,= B.Plda. HaA = , , sB = , , , akkorA B, deA nem valdirszhalmazaB-nek, mertA = B.2. megjegyzs. A = BA B sB A.3. megjegyzs. Szoksos az is, hogyA B, illetveB A azt jelli, hogyA valdi rszeB-nek; ilyenkor azt, hogyA rszhalmazaB-nekA B vagyB A jelli.5. denci. Halmazrendszer(vagyhalmazcsald)alattolyannemreshalmazt rtnk, amelynek elemei halmazok.6. denci. EgyA halmaz sszes rszhalmazaibl ll halmazt azA hat-vnyhalmaznak nevezzk, s 2A-val jelljk.7. denci. HaI ,= egy(gynevezett)indexhalmaz, sbrmelyi IesetnadottegyAihalmaz, akkoraz Ai [ i ImdonjellthalmaztI-velindexelthalmazrendszernek nevezzk.8. denci. AzA sB halmazokegyestsn (unijn) azt azA B-vel jellt halmazt rtjk, amely mindazokbl az elemekbl ll, melyek azAsB halmazok kzl legalbb az egyikhez hozztartoznak.Az A s B halmazok kzs rszn (metszetn) azt az AB-vel jellthalmaztrtjk, amelymindazokblazelemekblll, amelyekmindazA,mindB halmaznak elemei.1. HALMAZELMLETIALAPFOGALMAK 11Az A s B halmazok klnbsgn azt az AB-vel jellt halmazt rtjk,amely az A halmaz azon elemeibl ll, amelyek nem elemei a B halmaznak.Tmrebb rsmdban:A B.= x [x A vagyx B,A B.= x [x A sx B,A B.= x [x A sx/ BA halmazok kztti mveletek s relcik jl szemlltethetek gyneve-zett Venn-diagramokkal.PSfrag replacementsAAAABBBBA B A BA\ B A B1.1. bra. Venn-diagramokEgy halmazrendszeregyestsn, illetve kzsrszn az_.= a [ A , a A,

.= a [ A -raa Ahalmazokat rtjk.Ha = Ai [ i Iegyindexelthalmazrendszer, akkoregyestst,illetve kzs rszt az iIAi, illetve iIAi szimblumokkal jelljk.Plda. HaA = a, , , b, c sB = a, , b, d, e, akkorA B = a, , , b, c, d, e,A B = a, , b,A B = ,B A = d, e.1. ttel. HaA, B, Ctetszleges halmazokA B = B A, A B = B A12 I. HALMAZOK, RELCIK, FGGVNYEK(kommutativits);(A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C)(asszociativits);A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C)(disztributivits);AB = A(A B), (AB) C = (A C)B,A(B C) = (AB) (AC), A(B C) = (AB) (AC),A B = BA B, A B = BA B,AB = A B.Bizonyts. Adencikbl kzvetlenl addik. SzemlltesskVenn-diag-rammal! 9. denci.Az A s B halmazok diszjunktak (idegenek), ha AB = .Ha egy halmazrendszer brmely kt klnbz halmaza diszjunkt, akkorpronkntdiszjunktnak nevezzk.Plda.1. HaA= , , a, b, B= , , e, akkorA B= , gyA sBdisz-junktak.2. HaA= , , b, B= a, , d, akkorA B= ,= , gyA sBnem diszjunktak.10. denci. HaXadott halmaz sA X, akkor aCXA(= Ac= A = CA).= X AhalmaztazAhalmazXhalmazravonatkozkomplementernek ne-vezzk.Plda. HaX = a, b, c, , , , A = a, , , akkorCXA = b, c, .2. ttel. HaA, B X, akkorA A = X, A A = , = X, X = A = A,A B = A B, A B = A B.Az elz kt sszefggst deMorgan-fleazonossgnak nevezzk. A deMorgan-fle azonossgok rvnyesek tetszlegesen sok halmaz esetn is:_A =

As

A =_A.2. RELCIK(LEKPEZSEK) 13Bizonyts. Adencikbl kzvetlenl addik. SzemlltesskVenn-diag-rammal is! PSfrag replacementsA A B BA B A B1.2. bra. de Morgan-azonossg Venn-diagramokkal2. Relcik (lekpezsek)1. denci.Az a s b elemekbl ksztett rendezett elempron egy (a, b)szimblumot rtnk, amelyre igaz, hogy (a, b) = (c, d) a = c sb = d.1. megjegyzs. Az (a, b).= a, a, bdenci is lehetsges. Ekkor bi-zonythat, hogy teljesl (a, b) = (c, d) a = c sb = d.2. denci. AzA sB halmazok Descartes-szorzatn azAB.= (a, b) [a A, b Bhalmazt rtjk.Plda. HaA = 1, 2, 3, 4, B = x, y, z, akkor az1 2 3 4x (1, x) (2, x) (3, x) (4, x)y (1, y) (2, y) (3, y) (4, y)z (1, z) (2, z) (3, z) (4, z)x y z1 (x, 1) (y, 1) (z, 1)2 (x, 2) (y, 2) (z, 2)3 (x, 3) (y, 3) (z, 3)4 (x, 4) (y, 4) (z, 4)tblzatok mutatjk, hogyAB = (1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z),(3, x), (3, y), (3, z), (4, x), (4, y), (4, z) ;B A = (x, 1), (x, 2), (x, 3), (x, 4), (y, 1), (y, 2), (y, 3), (y, 4),(z, 1), (z, 2), (z, 3), (z, 4) .1. ttel. HaA, B sCtetszleges halmazok, akkora) A B = A = vagyB = ,14 I. HALMAZOK, RELCIK, FGGVNYEKb)(A B) C = (A C) (B C),c) A (B C) = (A B) (A C),d)(A B) C = (A C) (B C),e) A (B C) = (A B) (A C),f)(AB) C = (A C)(B C),g) A (BC) = (A B)(A C),h) B C =AB AC.2. megjegyzs. AB ltalban nem egyenl BA, ahogy azt a 2. denciutni plda is mutatja.3. denci. Az AB halmaz egy Frszhalmazt A sB kztti (binr)relcinak,vagymsszavakkal A-bl B-be vallekpezsneknevezzk.HaA = B, akkor azt mondjuk, hogyFrelciA-n.Plda. HaA = 1, 2, 3, 4, B = x, y, z, akkorF= (1, x), (1, y), (2, z), (3, y), (3, z) ABbinr relciA sB kztt,G = (x, 3), (y, 1), (z, 1), (z, 3) B Abinr relciB sA kztt.3. megjegyzs. Az (a, b) Ftartalmazst szoksaFb-vel is jellni s gyolvassuk: a azFrelciban vanb-vel (vagyFa-hozb-t rendeli).4. denci. ADF.= x A [ y B, (x, y) F , RF.= y B [ x A, (x, y) Fhalmazokat azFrelci (lekpezs) rtelmezsi (s-) tartomnynak, il-letve rtkkszletnek (kptartomnynak) nevezzk.Plda. Az elbbiFsG relcikraDF= 1, 2, 3 ,= A, RF= x, y, z = B,DG = x, y, z = A, RG = 1, 3 ,= A.4. megjegyzs. DF=A, gyA-nakB-be;haRF=B, gyA-bl B-re;haDF= A sRF= B, gyA-nakB-re val lekpezsrl beszlnk.Plda. Az elbbiFlekpezsA-bl B-re val lekpezs, mg aG lekpezsB-nekA-ba val lekpezse.2. RELCIK(LEKPEZSEK) 155. denci. HaF A B adott relci sC A, akkor azF(C).= y B [ x C, (x, y) Fhalmazt aChalmazF-revonatkozkpnek nevezzk.Az egyelem x A (x A) halmaz kpt jellje F(x), azaz ha (x, y) F, akkor az y = F(x) jells is lehetsges. Ekkor F(x)-et Fx-beli rtknekis nevezzk. (F(x) nem felttlenl egyrtelmen meghatrozott!)Plda. HaA sBsFaz elbbi, tovbbC= 1, 3 A, akkorF(C) =x, y, z =B =RFaCF-re vonatkoz kpe. (1, x) F, gyx =F(1) azF1-beli kpe, de(1, y) F, gyy=F(1)isazF1-belikpe,azazF(1)nem egyrtelmen meghatrozott.6. denci. HaF A B adott relci (lekpezs),C DF, akkorF[C.= (x, y) F [x CazFrelci (lekpezs)C-revalleszktse.Plda. HaA, B, CsFaz elbbi, gyC DFsF[C = (1, x), (1, y), (3, y), (3, z)azFC-re val leszktse.7. denci. AzF A B relci (lekpezs) inverzn azF1.= (y, x) B A [ (x, y) Fhalmazt rtjk.Plda. HaA, B, Faz elbbi, gyF1= (x, 1), (y, 1), (y, 3), (z, 2), (z, 3) B A.5. megjegyzs. E dencibl knnyen kvetkezik, hogyDF1 = RF, RF1 = DF, (F1)1= F, F1(B) = DF.Plda. Az elbbi pldk alapjnDF1 = x, y, z = RF, RF1 = 1, 2, 3 = DF,(F1)1= (1, x), (1, y), (2, z), (3, y), (3, z) = F,F1(B) = 1, 2, 3 = DF.8. denci.Legyenek A, B, C adott halmazok, F AB s G BCadott relcik. FsGkompozcijn (sszetteln) aG F.= (x, z) [ y B, (x, y) F, (y, z) Grelcit rtjk. (NyilvnG FA sCkztti relci.)16 I. HALMAZOK, RELCIK, FGGVNYEKPlda. HaA = 1, 2, 3, B = y, z, C = , tovbbF= (1, y), (1, z), (3, y) ABsG = (y, ), (z, ), (z, ) BCrelcik, akkor aG F= (1, ), (1, ), (3, ) ACrelci azFsGkompozcija.2. ttel. A 8. denci jellsei mellett(G F)1=F1 G1. HaH C D egy harmadik relci (D tetszleges halmaz), akkorH (G F) = (H G) F.Plda. Az elbbi plda halmazait s relciit tekintve(G F)1= (, 1), (, 3), (, 1), tovbbF1= (y, 1), (y, 3), (z, 1)sG1= (, y), (, z), (, z)miattF1 G1= (, 1), (, 3), (, 1).gy (G F)1= F1 G1.A rendezsi relci a szmok kzttikisebb vagy egyenl viszony elvontmegfogalmazsa.9. denci.Legyen adott az A halmaz. Az R AA relcit rendezsirelcinak, vagyrendezsneknevezzkazAhalmazon, ha x, y, z Aesetna) xRx (vagyis (x, x) R) (reexv),b)haxRy syRx, akkorx = y (antiszimmetrikus),c)haxRy syRz, akkorxRz (tranzitv),d) xRy vagyyRx teljesl (lineris vagy teljes).Ekkor az (A, R) prt, vagy azA halmazt rendezetthalmaznak nevezzk.Hacsaka), b)sc)teljesl, akkorR-tparcilisrendezsneknevezzk.R-t ltalban -vel jelljk s pl. azx y-t gy olvassuk, hogyx kisebbvagy egyenl, minty.Hax y, dex ,= y, akkor ezt gy jelljk, hogyx < y (x kisebb, minty). A< relci nem rendezs. Szoksos mgx y, illetvex < y helyett azy x, y > x jellst is hasznlni.Plda. HaA = 1, 2, 3, akkorAA = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3).R1 = (1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3) AA parcilis rendezsA-n.R2 = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) AA esetn (A, R2), illetveA rendezett halmaz.10. denci. LegyenAegyrendezetthalmaz. EgyB Arszhalmaztfellrl korltosnak neveznk, ha a A, hogy b B esetnb a. Az3. FGGVNYEK 17a-t a B halmaz fels korltjnak nevezzk. Hasonlan denilhat az alul-rl korltos halmaz, illetve az alskorlt is. Egy halmaztkorltosnakneveznk, ha alulrl s fellrl is korltos.Egy A elemet aB halmaz pontosfelskorltjnak neveznk, ha fels korltjaB-nekaB halmaz brmely fels korltjra teljesl.Ha ltezik pontos fels korltja B-nek, gy azt supB-vel jelljk (supremumB). Hasonlan rtelmezhet a pontosalskorlt is.Plda. Az elbbi plda szerintAR2-vel rendezett halmaz.AB= 1, 2 Ahalmaznak2s3fels, mg1alskorltja. Bpontosfels korltja 2, pontos als korltja 1.11. denci.Egy olyan rendezett halmazt, amelyben minden nem res fe-llrl korltos rszhalmaznak van pontos fels korltja, teljesnek nevezzk.Plda. Azelbbi Ahalmazra, az R2rendezssel, nyilvnteljesl, hogyminden nem resB rszhalmaznak van pontos fels korltja, gyA teljes.Afggvnyfogalmnakkialaktst az motivlja, hogytbbrtkfggvnyek ne jhessenek szba.3. Fggvnyek1. denci. LegyenekAs Badotthalmazok. AzfABrelcitfggvnyneknevezzk, ha(x, y) f s(x, z) f esetny=zteljesl(azaz x A esetn legfeljebb egy olyany B ltezik, amelyre (x, y) f).Plda. HaA = 1, 2, 3, 4, B = x, y, z, akkor1. azf= (1, x), (1, y), (2, z), (3, y), (3, z) ABrelci nem fggvny,mert (1, x) fs (1, y) fsx ,= y,2. azf= (1, x), (2, z), (3, y) A B relci fggvny.1. megjegyzs.Minden fggvny relci, gy az rtelmezsi tartomny, r-tkkszlet, kp, leszkts dencija megegyezik a 4., 5. s 6. dencikkal,s a jellsek is vltozatlanok.2. megjegyzs.A fggvny dencija gy is megfogalmazhat: f ABrelcifggvny, ha x Dfesetnpontosanegyy Bltezik, hogy(x, y) f.18 I. HALMAZOK, RELCIK, FGGVNYEK3. megjegyzs. Hafjelli a fggvnyt, akkor (x, y) fesetny =f(x)jelli az x elem kpt, vagy az ffggvnyx helyen felvett rtkt (he-lyettestsi rtkt), f : A B azt, hogy fA-t B-be kpezi, mg (x, f(x))azfgrfjt jelenti.4. megjegyzs. A fggvny megadsnl szoksosak az albbi jellsek is:y = f(x), x A (x Df) ; x f(x)x A (x Df) ;f= (x, f(x)) [x Df.2. denci. Azf ABfggvnyinvertlhat,ha azf1relciisfggvny. Ekkorf1-et azfinverzfggvnynek (inverznek) nevezzk(az invertlhat fggvnyt klcsnsen egyrtelm, vagy egy-egyrtelm le-kpezsnek is nevezzk).Plda. LegyenA = 1, 2, 3, 4, B = x, y, z, akkor1. azf= (1, x), (2, z), (3, y) A B fggvny esetnf1= (x, 1), (z, 2), (y, 3) B A is fggvny, gyfinvertlhat.2. ag = (1, x), (2, z), (3, x) AB fggvny esetng1= (x, 1), (z, 2), (x, 3) BA nem fggvny, mert (x, 1) g1s(x, 3) g1, de 1 ,= 3, gyg nem invertlhat.1. ttel. Az f : A Bfggvnyakkorscsakakkorinvertlhat, hamindenx, yA, x ,=yesetnf(x) ,=f(y)(vagyis x, yAesetnf(x) = f(y) =x = y).Bizonyts. Gyakorlaton (feladat). Az sszetett fggvny rtelmezshez lnyeges a kvetkez:2. ttel. Legyenekf ABsg BCfggvnyek. Ekkorg fisfggvny, s x Dgf-re (g f)(x) = g(f(x)).Plda. LegyenekadottakazA= 1, 2, 3, B= x, y, C= u, vhal-mazoks az f = (1, x), (2, x), (3, y)A B, g = (x, u), (y, u)B Cfggvnyek. Ekkorg f = (1, u), (2, u), (3, u)fggvny, s pldul(g f)(1) = u, g(f(1)) = g(x) = u =(g f)(1) = g(f(1)).3. denci.Legyen adott az fs g fggvny. A g ffggvnyt sszetettfggvnynek, azf-et bels, ag-t kls fggvnynek nevezzk.5. megjegyzs. A denci adja, hogyDgf Df; Dgf= Df haRf Dg;g f= haRf Dg = .3. FGGVNYEK 19Plda. A 2. ttelt kvet pldban:Dgf= 1, 2, 3 = Df= Dgf Dfigaz.Rf= x, y Dg = x, y) = Dgf= Df.4. denci. AzA halmaz identikusfggvnyn azidA : A A, idA(x) = xfggvnyt rtjk.Kt halmazrl el tudjuk dnteni azt, hogy elemeik szma egyenl-e, haa kt halmaz elemeitprba lltjuk. Ez a gondolat motivlta a halmazokekvivalencijnak fogalmt.5. denci.Az M s N halmazok ekvivalensek, ha f : M N (M-etN-re kpez) invertlhat fggvny.6. denci. LegyenA tetszleges halmaz. Egyf: AA A fggvnyt(binr) mveletnek neveznkA-ban.II. fejezetSzmokBevezetsAz iskolban megtanultuk a szmols szablyait, megismertk a szmoktulajdonsgait. Az albbi aximarendszernem ms, mint ezen tulajdon-sgokkzl alegfontosabbakrgztse. Atestaximkazsszeadssaszorzs szablyait, a rendezsi aximk a relci tulajdonsgait rgztik,a teljessg pedig valami olyasmit fejez ki, hogy a szmegyenesnem lyukas.Azaximkjelentsgeazonbanmesszetlnaszablyokegysszes-sgnek rgztsn. Az albbi aximkkal ugyanis levezethet minden msszably s tulajdonsg. St valjban az aximkat teljest objektum az,amit vals szmoknak neveznk.A fejezet tovbbi rszben az aximkkal levezetjk a vals szmok n-hnytulajdonsgt. Az elmlet teljes felptsrenem vllalkozunk, de azolvas megnyugtatsra leszgezzk, hogy az iskolban a tizedestrtekrl sa szmegyenesrl kialaktott kp megfelel az aximkon nyugv elmletnek.1. A vals szmok aximarendszereAz Rhalmaztavalsszmokhalmaznaknevezzk, ha teljestiazalbbi aximkat.Testaximkrtelmezve van R-ben kt mvelet, azf1 : R R R, x +y.= f1(x, y) sszeads s azf2 : R R R, xy.= f2(x, y) szorzs,amelyek kielgtik a kvetkez, gynevezett testaximkat:1) x +y = y +x, xy = yxx, y R (kommutativits),2) (x +y) +z = x + (y +z), (xy)z = x(yz)x, y, z R (asszociativits),3) x(y +z) = xy +xz x, y, z R (disztributivits),2122 II. SZMOK4) 0 R, hogyx + 0 = xx R ( zrus, vagy nullelem),5) x R esetn x R, hogyx + (x) = 0 ( additv inverz),6) 1 R, hogy 1 ,= 0 s 1x = xx R ( egysgelem),7) x R , x ,= 0 esetn x1 R, hogyxx1= 1 ( multiplikatvinverz).RendezsiaximkrtelmezvevanazRtestbenegy RRrendezsi relci(azI.2.9.denci szerinti ngy tulajdonsggal), melyekre teljesl mg, hogy(i) hax, y R sx y, akkorx +z y +z z R,(ii) hax, y R, 0 x s 0 y, akkor 0 xy(azsszeads s aszorzs monotonitsa). EkkorR-et rendezett testneknevezzk.TeljessgiaximaAz R rendezett test (mint rendezett halmaz) teljes, azaz R brmely nemres,fellrl korltos rszhalmaznak ltezik pontos fels korltja.sszefoglalvaAz R halmazt a vals szmok halmaznak nevezzk,ha R teljes rendezetttest.Megjegyzs. Megmutathat, hogyltezikilyen halmaz, s bizonyosrte-lemben egyrtelm. A lehetsges modellekrl ksbb mg rviden beszlnk.2. Kiegsztsek a vals szmfogalomhoza) A testaximk fontosabb kvetkezmnyeiA tovbbiakban a szorzst jelent pontot nem rjuk ki (ez ltalban nemzavar), tovbbazsszeadssaszorzsasszociativitsalehetvteszi,hogy (x+y) +z s x+(y +z) helyett x+y +z-t, mg (xy)z s x(yz) helyettxyz-t rjunk.1. ttel. R-ben (de ltalbanminden testben) a zrus s az egysgelemegyrtelmen meghatrozott.Bizonyts. Ha pl. R-ben 0 s 0

is zruselem, akkor az 1. s 4. testaximamiatt0 = 0 + 0

= 0

+ 0 = 0

teht 0 = 0

. Hasonlan lthat be 1 egyrtelmsge. 2. KIEGSZTSEKAVALSSZMFOGALOMHOZ 232. ttel. Hax, y, z R esetnx + y =x + z, akkory =z, ha mgx ,= 0,akkorxy = xz =y = z (egyszerstsiszably).Bizonyts. A testaximk s azx +y = x +z felttel adja, hogyy = 0 +y = (x +x) +y = x + (x +y) = x + (x +z) == (x +x) +z = 0 +z = z,illetvey = 1 y = (x1 x)y = x1 (x y) = x1 (x z) = (x1 x)z = 1 z = z,tehty = z mindkt esetben. 3. ttel. Brmely R-beli elemnek pontosanegyadditvinverze, s br-mely R-beli, 0-tl klnbz elemnek pontosan egy multiplikatv inverzevan.Bizonyts. Ha x-nek y s z additv, vagy x ,= 0-ra multiplikatv inverze, gyx + y = 0 = x + z, illetvexy = 1 = xz, s az elbbi ttel (az egyszerstsiszably) adja, hogyy = z mindkt esetben, teht a ttel lltsa igaz. 4. ttel. Legyenx, y R, akkor pontosan egyz1 R ltezik, hogyy +z1 = x; ha mgy ,= 0, akkor pontosan egyz2 R ltezik, hogyyz2 = x(kivonsi, illetve osztsifeladat).Bizonyts. z1 = x y, illetvez2 = xy1esetn nyilvnval, hogyy +z1 =x, yz2 = x. Az egyrtelmsg azy +z1 = x = y +z

1, illetveyz2 = x = yz

2egyenlsgekbl a2. ttel segtsgvel addik, hiszenz1=z

1s z2=z

2igaz. 1. denci. A 4. ttel szerint egyrtelmenltezz1illetvez2vals sz-mokat(melyekreteht y + z1=x, illetvey ,=0esetnyz2=xteljesl)azx sy vals szmok klnbsgnek, illetve hnyadosnak nevezzk sx y-nal, illetvexy-nal jelljk.x0-t nem rtelmezzk.Megjegyzs.Nyilvnval, hogy xy = x+(y), illetvexy= x y1, hiszeny + (x + (y)) = y + ((y) +x) = (y + (y)) +x = 0 +x = x,illetvey(xy1) = y(y1 x) = (yy1)x = 1x = xteljesl. Specilisan1y= y1.24 II. SZMOK5. ttel. Brmelyx R esetn (x) = x, 0 ,= x R esetn_x1_1= x, azaz11x= x.Bizonyts. Az 5. testaximbanx helyre x-et illetve a 7. testaximbanx helyrex1-et rva kapjuk a megfelel lltsokat. 6. ttel. Legyenx, y R. xy = 0x = 0 vagyy = 0.b) Termszetes, egsz, racionlis s irracionlis szmok (mint Rrszhalmazai)1. denci. Az R azon N rszhalmazt, melyre(i)1 N,(ii)han N, akkorn + 1 N,(iii)haMNolyan, hogy1 Ms n M-bl kvetkezik, hogyn + 1 M, akkorM= Nteljesl, a termszetesszmokhalmaznak nevezzk.Az (i)-(ii)-(iii) tulajdonsgokat a termszetes szmok Peano-fleaxi-minak nevezzk. A (iii), gynevezett indukcis axima biztostja a teljesindukcis bizonytsok ltjogosultsgt.2. denci. Egyx Rszmotegsz szmnakneveznk, halteznekn, m N, hogyx =m n. A Z = m n [ n, m N halmazt pedig azegsz szmok halmaznak nevezzk.1. megjegyzs. Knnyenbelthat,hogy Z = N 0 n [ n N,ahol az n [ n N = Nhalmazt a negatv egsz szmok halmaznaknevezzk.2. megjegyzs. x, y Z= x+y, xy, xy Z. Azaz az egsz szmokhalmazbl nem vezet ki az sszeads, a kivons s a szorzs.3. denci. Legyenx R, gyx1.= x, xn.= xn1x (n N, n ,= 1)szerint deniljukx termszeteskitevjhatvnyait. Tovbbx0.= 1, xn.=1xn(x ,= 0, n N)szerint a 0,illetvenegatvegszkitevjhatvnyt.Tbb elem sszeadsnak, illetve szorzsnak pontos dencija, s ezekelegns jellse a kvetkez.2. KIEGSZTSEKAVALSSZMFOGALOMHOZ 254. denci. Legyenn N sa1, . . . , an R. Ekkorn

i=1ai.= a1, han = 1, sn

i=1ai =_n1

i=1ai_+an, han > 1,n

i=1ai.= a1, han = 1, sn

i=1ai =_n1

i=1ai_ an, han > 1.3. megjegyzs. Az elsn termszetes szm szorzatan!.= 12. . .n (azn! jellstn faktorilis-nak olvassuk). 0! alatt 1-et rtnk._nk_.=n!k!(n k)!a binomilis egytthat (n, k N). Az_nk_ jellstnalatt ak-nak olvassuk.Belthat, hogy x, y R sn N esetn(x +y)n=_n0_yn+_n1_xyn1+_n2_x2yn2+ ++_nn 1_xn1y_nn_xn==n

k=0_nk_xkynk(binomilis ttel).5. denci. Egy x Rszmot racionlisnak neveznk, ha ltezikp, q Z, q ,=0, hogyx=pq. Ellenkezesetbenx-etirracionlisnakne-vezzk. AQ =_x [x R s p, q Z, q ,= 0, hogyx =pq_halmazt a racionlisszmok, mg az RQ halmazt az irracionlis sz-mok halmaznak nevezzk.4. megjegyzs.Adottx esetnp sq nem egyrtelmen meghatrozott.Hax, y Q, akkorx + y, x y, xy Q, s ha mgy ,= 0, akkorxy Qis teljesl. Azaz a racionlis szmok halmazbl nem vezet ki a a ngyalapmvelet.Q rendezett test.Belthat, hogy RQ ,= . Azaz van irracionlis szm.26 II. SZMOKc) A rendezsi aximk fontosabb kvetkezmnyei6. denci. Legyenx R tetszleges. Ha 00, x [ x 0, x [ x 0) sugar nylt gmbkrnyezetnaK(a, r).= x R [d(x, a) < r halmazt rtjk.ValjbanK(a, r)azakzppont, 2rhosszsgnyltintervallum, azazK(a, r) =] a r, a +r [.28 II. SZMOKd) A teljessgi axima fontosabb kvetkezmnyei10. ttel. Az N R (a termszetes szmok halmaza) fellrl nem korltos.Bizonyts. Tegyk fel, hogy N fellrl korltos az R rendezett halmazban.Ekkorateljessgiaximamiatt =supN. gy 1( 0 esetn (az archimedesi tulajdonsg miatt)n N,b ar< n =n N,b an< r ==bn an =b a2n1, azaz1n()0-ran() N esetn n n()-rad(c, c) = 0 < .Megjegyzsek.1. A krnyezet fogalmt felhasznlva a konvergencia n.krnyezetesde-ncijt kapjuk: az xn) sorozat konvergens, ha x R, hogy K(x, )-hoz n() N, hogy n n()-raxn K(x, ) teljesl.2. Egyszerenbelthat, hogyxn x K(x, )-rexn K(x, )legfeljebb vges sokn N kivtelvel.3. Ha xn) olyan sorozat, hogyxn 0, akkor nullsorozatnak nevezzk.5. denci(divergencia). Az xn) R-beli sorozatot divergensnek ne-vezzk, ha nemkonvergens, azaz ha brmely x esetn ltezik > 0(vagyK(x, )), hogy brmelyn() N-re ltezikn n(), hogyd(x, xn) (vagyxn/ K(x, )).Plda. (1)n) divergens.x = +1 sx = 1 nem lehet hatrrtk, mert = 1 vlasztssal (1)n,=K(1, 1), han pratlan s (1)n,= K(1, 1), han pratlan.Hax ,=+1sx ,= 1isteljesl, akkor =infd(x, 1), d(x, 1)esetnxn ,= K(x, ) n N.gy a denci adja az lltst.6. denci. Az xn) R-beli sorozat +-hez (illetve -hez) konvergl,ha M R-hez n(M) N, hogy n n(M)-re xn> M (illetve xn< M)teljesl.1. ALAPFOGALMAKSKAPCSOLATUK 39Plda.1. Az n)sorozat+-hezkonvergl, mert M R-re(mivelNfellrlnem korltos) n(M) N, hogy n(M) > M, gy n n(M)-re n > M,ami adja a denci teljeslst.2. A n) sorozat -hez konvergl, mert M R-re (mivel n alulrlnemkorltos) n(M) N, hogy n(M) 0-ra n() N , hogy xn()>x, azaz xn() K(x, ). A monoton nvekeds miatt n n() (n N)40 III. SOROZATOKesetnxn() xn< x. Tehtxn K(x, ), gyxn x.A msik eset (xn) monoton cskken s alulrl korltos) bizonytsa analgmdon trtnik. Plda. Az 11n) sorozat monoton nvekv az albbi miatt. 11n< 11n+11n< 1n+1 1n>1n+1 n < n+1. Az utols egyenlsg teljesln N-re.A sorozat fellrl korltos: 11n< 1 1n< 0 1n> 0, ami igaz.gy 1 1n) konvergens.sup1 1n = 1, ugyanis= 1 < 1 (> 0) nem lehet fels korlt,mert akkor n N-re 1 1n 1 teljeslne, ami ekvivalens a 1n ,illetve1n s vgl azn 1egyenltlensggel, n N-re, ami N fellrlkorltosgt jelenten, s ez ellentmonds.gy az 11n halmaz fels korltjra 1 teljesl, ezrt az 1 felskorlt a pontos fels korlt.Teht 1 1n 1.2. Sorozatok s mveletek, illetve rendezsDenci. Ha xn) s yn) R-beli sorozatok, R tetszleges, akkor azxn) +yn).= xn +yn) ; xn).= xn)szerint denilt sorozatokat az adott sorozatok sszegnek illetve -szoro-snak nevezzk.Ha xn) s yn) R-beli sorozatok, akkor azxn)yn).= xnyn) ;xn)yn).=_xnyn_(yn ,= 0)szerintdeniltsorozatokatazadottsorozatokszorzatnak, illetveh-nyadosnak nevezzk.Az albbi ttelek szerint a ngy alapmvelet s a hatrrtk kpzs sor-rendje felcserlhet1. ttel. Legyen xn)s yn) R-belisorozat, Rtetszlegesgy, hogyxn x syn y. Ekkor xn) + yn) sxn) konvergensek sxn + yn x +y,xn x.2. SOROZATOKSMVELETEK, ILLETVERENDEZS 41Bizonyts.a) Ha xn x s yn y, gy > 0-ra2-hz n_2_, hogy n n_2_(n N) esetnd(x, xn) 0-hoz n_[[_, hogy n n_[[_(n N) esetnd(x, xn) 1 > M n N, mg ha m 1, akkor n + miatt M 1-hez n1(M 1),hogy n n(M)-ren >M 1 n2> M 1 n2+ 1 > M.gy a ttel a) rsze miatt1n2+ 1 0.2.n2n + 2=11n +1n2s1n +2n2 0, gy a ttel b) rsze miattn2n + 2 +.5. ttel. Ha xn) s yn) olyan R-beli sorozatok, hogy xn x s yn y sa) xn yn (vagyxn< yn) n > N0 N-re, akkorx y ;b) x < y, akkor N0, hogy n > N0-raxn< yn.Bizonyts.a) Tegykfel, hogyx>yslegyen=[x y[2>0. Ekkor n1()sn2(), hogyxn K(x, ) n n1() syn K(y, ) n n2(). AK(x, ) K(y, ) = miatt ebbl addik, hogyyn< xn n > n() == supn1(), n2(). Ez pedig ellentmonds, gy csakx y lehetsges.b) = [x y[2> 0-ra n1() sn2(),hogyxn K(x, ),han n1(),valamintyn K(y, ), han n2(). gyK(x, ) K(y, )= miattxn< yn, han > N0 = supn1(), n2(). 3. RSZSOROZATOK 436. ttel(rendr-ttel). Ha xn), yn), zn) olyan R-beli sorozatok, hogyxn x syn x sxn zn yn, akkorzn x.Bizonyts. Afelttelekmiatt >0-hoz n1() s n2(), hogyxnK(x, ), han n1() syn K(x, ), han n2(). gyxn, yn K(x, ),han n() = supn1, n2, ezrt azxn zn ynfelttelbl zn K(x, ),han n(). Tehtzn x. Plda. 0 (n)s a(n+1)K_a,1n + 1_. : N Nszigoranmonotonnvekvsbn =a(n) K_a, 1n_ n N, azazd(a, a(n)) =d(a, bn) 0 tetszleges, akkor (1n 0 miatt) n() , n n() (n N)-re1n< , gyd(a, bn) < . Tehtbn a. 2. denci.LegyenA az an) korltos (R-beli) sorozat konvergens rszso-rozatai hatrrtkeinek halmaza. A supA s infA (ltez) szmokat azan) fels illetve als hatrrtkeinek vagy limesz szuperiorjnak illetvelimesz inferiorjnak nevezzk. Jells: liman, liman (limsupan, liminfan).Ha an)fellrl (vagyalulrl)nemkorltos, akkorliman=+(illetveliman = ).Plda. Az an)= (1)n)sorozatkonvergensrszsorozatai a bn)= 1)s bn)= 1) konstanssorozatok,illetveazon bn) sorozatok,melyekbenbn = 1 vges sokn kivtelvel, vagybn = 1 vges sokn kivtelvel.Ezek hatrrtke 1 vagy 1, gy liman = 1, liman = 1.Megjegyzsek.1. supA, infA A .2. Ha liman = liman = a, akkoran a.4. Cauchy-sorozatok1. denci. Az an) R-belisorozatotCauchy-sorozatnaknevezzk, ha > 0 esetn n() N, hogy p, q n() (p, q N) esetn d(ap, aq) < .A hatrrtk dencija azt jelenti, hogy a sorozat tagjaikzel kerlneka hatrrtkhez. ACauchy-tulajdonsgviszontazt, hogya sorozattagjaikzel kerlnekegymshoz.1. ttel (Cauchy-fle konvergencia kritrium).Az xn) R-beli sorozatakkor s csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.4. CAUCHY-SOROZATOK 45Bizonyts.a) Ha xn) konvergens, akkor x R, hogy > 0 esetn2-re n_2_gy,hogy p, q n_2_-re d(x, xp) 0 tetszleges, akkor2-hz n1_2_N, hogy(n) n1_2_(n N) esetnd(x(n), x) 1, akkoran =ann! 0 .6. ttel.nn! + .7. ttel. Haa > 1, akkornkan 0 k N rgztett szmra.8. ttel. Az__1 +1n_n_sorozatkonvergens. (Hatrrtkt e-vel jell-jk.)IV. fejezetSorok1. Alapfogalmak s alapttelekEgy ak) sorozat tagjai sszeadsval formlisanfelrhatjuka

k=1akvgtelen sok tagsszeget. Ezen formlis sszeg mikor jelent egy szmot?Erre a krdsre an

k=1akrszletsszegek konvergencijasegtsgvel fogunkvlaszolni. Ki fog az is derlni, hogy a tnyleges (numerikus, szmtgpes)szmtsokgyakran ilyen sorok alapjn adnak(kzelt)rtketa konkrtfeladatok megoldsra.1. denci.Ha adott egy an) R-beli sorozat, akkor azt az Sn) sorozatot,melynl Sn.=n

k=1akvgtelensornaknevezzks an(vagy

n=1an-neljelljk. Sn-t a sorn-edikrszletsszegnek, an-t a sorn-ediktagjnaknevezzk. Haadottmgaz a0 Rszmis, gyaztaz Sn)sorozatot,melynl Sn=n

k=0akis vgtelensornaknevezzks ra

n=0anjellsthasznljuk.2. denci. A ansortkonvergensnekmondjuk, ha Sn)konvergens,s a limnSn = S szmot a sor sszegnek nevezzk.Ezen sszeget jellheti a an, illetve a

n=1an (ha az sszegzs a0-tl indul,akkor a

n=0an) szimblum is.A an sor divergens, ha nem konvergens.4950 IV. SOROKPldk.1. A1n(n + 1)sornl n N-reSn =112 +123 + +1n(n + 1)==_11 12_+_12 13_+ +_1n 1n + 1_== 1 1n + 1 1,gy a sor konvergens s sszege 1.2. Legyen q R, [q[ < 1, akkor a

n=0qngynevezett mrtani (vagy geomet-riai) sor konvergens, mertSn = 1 +q + +qn=qn+11q 111 q,gy sszege11 q.3. A1ngynevezett harmonikus sor divergens, mertSn) =_1 + 12 + +1n_,s korbban belttuk, hogy az 1 +12 + +1n_ sorozat divergens.Megjegyzs. ansorkonvergencijappenaztjelenti, hogy S R,hogy > 0-hoz n(), hogy n n() esetn [Sn S[ < .1. ttel(Cauchy-flekonvergencia kritrium sorokra).A ansor akkor scsakakkor konvergens, ha >0-hoz n() N,hogy n, m N, n > m n() esetn[am+1 +am+2 + +an[ < .Bizonyts. A ansor akkor s csak akkor konvergens(denciszerint),ha Sn) konvergens, ami (a sorozatokra vonatkoz Cauchy-fle konvergenciakritrium miatt) akkor s csak akkor igaz, ha > 0-hoz n() N, hogyn, m n() (n > m) esetn > [Sn Sm[ = [am+1 +am+2 +. . . +an[.amit bizonytani kellet. 1. ALAPFOGALMAKSALAPTTELEK 511. kvetkezmny.A

an sor akkor s csak akkor konvergens, ha > 0-hoz n(), hogy m n() sp N esetn[am+1 +am+2 +. . . +am+p[ < .Bizonyts. Mint az elbb, csakn = m+p > m n() vlasztssal. 2. kvetkezmny(a sor konvergencijnak szksges felttele).Ha an konvergens, akkoran 0 .Bizonyts. Ha az 1. ttelbenm = n 1, gy azt kapjuk, hogy > 0-hozn(), hogy n n()(n N)esetn [an[ 0-hoz n() N, hogym, n N, n > m n()-ren

k=m+1[ak[< s gyn

k=m+1akn

k=m+1[ak[ =n

k=m+1[ak[< ,ami az 1. ttel miatt adja an konvergencijt. 3. ttel. Ha ans bnkonvergens sorok, s , Rtetszlegesek,akkor a (an +bn) sor is konvergens, s sszege

n=1an +

n=1bn .Bizonyts.n

k=1(ak + bk) = n

k=1ak + n

k=1bkmiatt a (an + bn) sorn-edik rszletsszege a ans bnsorokn-edik rszletsszegneka, szmokkal kpzett lineris kombincija, gy a sorozatok mveleti tulajdon-sgai miatt jn az llts. 52 IV. SOROK2. Konvergenciakritriumok1. ttel (nemnegatv tag sorokra).Legyen an nemnegatv tagokblllsor. anakkor scsakakkorkonvergens, ha rszletsszegeinek Sn)sorozata korltos.Bizonyts.a) Sn+1Sn = an+1 0 n N alapjn Sn) monoton nvekv. Ha mgkorltos is, akkor konvergens, gy an konvergens.b) an konvergens =Sn) konvergens =Sn) korltos. Plda. A 1n2nem negatv tag sor esetn n N-reSn = 1 +122+ +1n2< 1 +112 +123 + +1(n 1)n== 1 + 11 12 + 12 13 + +1n 1 1n= 2 1n< 2,azaz Sn) korltos, gy a sor konvergens.2. ttel (sszehasonltkritrium). Legyen anegysor s bnegynemnegatv tag sor.a)Ha [an[ bnn n0 N esetn, s

bn konvergens, akkor a

anabszolt konvergens (majorns kritrium).b)Ha [an[ bn n n0 N esetn s bndivergens, akkor a annem abszolt konvergens (minorns kritrium).Bizonyts.a) bn konvergencija miatt > 0-hoz n() n0, hogyn, m n() (n > m) esetn[bm+1 +bm+2 +. . . +bn[ < ,gy[[am+1[ +[am+2[ +. . . +[an[[ = [am+1[ +[am+2[ +. . . +[an[ bm+1 +bm+2 +. . . +bn = [bm+1 +bm+2 +. . . +bn[ < is igaz. Teht (a Cauchy-kritrium miatt) an abszolt konvergens.b) Ha an abszolt konvergens lenne, akkor az a) rsz miatt bn is kon-vergens lenne, ami ellentmonds, gy

an nem abszolt konvergens. Plda.1. A1n2+ 10sor konvergens, mert1n2+ 100(n N)saz an)sorozat monotoncskkenen tartson a 0-hoz. Ekkor a (1)n+1an(gy-nevezett jelvlt, vagy alternl) sor konvergens.Plda. A (1)n+1 1ngynevezett Leibniz-fle sor konvergens, mertan =1n> 0 (n N), s 1n) monoton cskkenen tart 0-hoz.4. ttel(Cauchy-flegykkritrium). Legyen an egy sor.a)Ha 0 < q < 1 s n0 N, hogy n n0-ran_[an[ q, akkor

anabszolt konvergens.b)Havalamelyn0 Nesetn n n0-ran_[an[ 1, akkor andivergens.Bizonyts.a) Ha n n0-ran_[an[ q< 1, akkor [an[ qn(n n0). gy a

bn = [a1[ +. . . +[an01[ +

n=n0qnsorra, mely [q[ < 1 miatt konvergens,teljesl, hogy [an[ bn. Teht (az sszehasonlt kritrium miatt) anabszolt konvergens.b) n n0-ra:n_[an[ 1 =[an[ 1 =an)nemtart0-hoz= an nem konvergens. Plda. A n3nsor konvergens, mertnn 1miatt q _13, 1_esetnn0, hogy n n0-ran_n3n=nn3< q < 1.Kvetkezmny(a Cauchy-fle gykkritrium tfogalmazsa).Legyen an egy sor.a)Ha limn_[an[ = A < 1, akkor an abszolt konvergens.b)Ha limn_[an[ = A > 1, akkor an divergens.Plda. Az elbbi sorralimn_[an[ = limn_n3n= limnn3=13< 1,gy konvergens.54 IV. SOROK5. ttel(DAlembert-flehnyadoskritrium). Legyen anegy sor,melyrean ,= 0.a)Ha 0 < q < 1 s n0 N, hogy n n0-raan+1an q, akkor

anabszolt konvergens.b)Ha n0 N, hogy n n0-raan+1an 1, akkora ansordivergens.Bizonyts.a) n n0-raan+1an q =m N-re [an0+m[ [an0[qm== bn =n0

k=1[ak[ +

k=n0+1[an0[qkn0konvergens sorra [an[ bn=(az sszehasonlt kritrium miatt) an abszolt konvergens.b) n n0-raan+1an 1 =[an+1[ [an[ (n n0) =[an[ [an0[ > 0(n n0) =[an[ nem tart 0-hoz =an nem tart 0-hoz = andivergens. Plda. A

n=02nn!sorraan+1an=2n+1(n + 1)!2nn!=2n + 1n N-re,ami2n + 1 0 miatt adja, hogy 0 < q < 1 esetn n0, hogy n n0-raan+1an< q < 1, gy a hnyados kritrium miatt a sor konvergens.Hasonlan belthat, hogy a

n=0xnn!sor x R esetn abszolt konvergens,mert ekkoran+1an=xn + 1 0.Kvetkezmny(aDAlembert-flehnyadoskritriumtfogalma-zsa). Ha an egy sor, melyrean ,= 0 (n N), akkora)liman+1an< 1 = an abszolt konvergens;2. KONVERGENCIAKRITRIUMOK 55b)liman+1an> 1 = an divergens.Megjegyzsek.1. A1ns 1n2soroknl nem alkalmazhat a 4. s 5. ttel.A1nsor divergens. Den_1n< 1, han > 2, gy a gykkritrium (b)rsze) nem hasznlhat. Msrszt1n+1 /1n< 1, azaz a hnyadoskritrium(b)rsze) sem alkalmazhat.A 1n2sor konvergens. Den_1n2 1, gy a gykkritrium (a)rsze)nemalkalmazhat. Msrszt1(n+1)2/1n21, gya hnyadoskritrium(a)rsze) sem alkalmazhat.2. A Cauchy-fle gykkritrium ersebb, mint a DAlembert-fle hnyados-kritrium, azaz ha a konvergencia vagy divergencia az utbbival eldnt-het, akkor az elbbivel is, de megadhat olyan sor, melynek konvergen-cija aCauchy-flegykkritriummal eldnthet, deaDAlembert-flehnyadoskritriummal nem. Pldul:

an, ha an =_5nhan pratlan,2nhan pros.6. ttel (Cauchy-flekondenzcisttel). Legyen anegy monotoncskken s nemnegatv tag sor. an akkor s csak akkor konvergens, ha

2na2nkonvergens.Plda. A 1npsor(ahol p>0x)akkorscsakakkorkonvergens, hap> 1. (Ezrt pldul a 1nharmonikus sor divergens.) Hap> 0, akkora 1npsornemnegatvtag,_ 1np_monotoncskken, gya3.6. ttelmiattakkorscsakakkorkonvergens, ha 2n1(2n)p, azaza _12p1_ngeometriaisor konvergens, amiakkor scsak akkor teljesl, ha12p1 1.56 IV. SOROK3. Mveletek sorokkal1. denci. Legyen anadottsor, : N NinvertlhatlekpzseN-nekN-re, bn=a(n)(n N), akkora bn= a(n)sorta antrendezettsornak nevezzk.1. ttel. Egy abszolt konvergenssor brmelytrendezettsora is konver-gens, s sszege az eredeti sor sszege.Bizonyts. an abszolt konvergens, gy > 0 esetn2> 0-hozn0 = n_2_, hogy n > m > n0 termszetes szmokra[am+1[ +. . . +[an[ n()-ra [Snsn[ 1), akkora bn sort a an sor zrjelezett (csoportostott) sornak nevezzk.3. ttel. Egy konvergens sor tetszlegesen zrjelezhet a konvergencia saz sszeg megvltozsa nlkl.Bizonyts. Jellje Sna an, na bnzrjelezettsor n-edikrszlet-sszegt. Nyilvnn=S(n)(n N), azaz n)rszsorozata Sn)-nek,gy Sn) konvergencija adja n) konvergencijt, mg a limnn =limnSnegyenlsg az sszegek azonossgt. Megjegyzs. A (1)nsordivergens, devanolyanzrjelezse, melykonvergens. Pldul a (1+1) +(1+1) + = 0+0+ zrjelezett sorsszege 0, mg a 1 +(1 1) +(1 1) + = 1 +0 +0 + zrjelezettsor sszege 1.3. denci. ans bnsorok szorzatnakneveznkmindenolyansort, melynek tagjaiaibjalakak s minden ilyen szorzat pontosan egyszerfordul el tagknt.3. MVELETEKSOROKKAL 57Megjegyzs. Aklnbzszorzatokegymsbl csoportostsokkal st-rendezsekkel kaphatk. rtelmeznk kt specilis szorzatot.4. denci. A

n=0ans

n=0bnsoroktglnyszorzataaza

n=0cnsor,melybencn = (a0 +. . . +an1)bn +an(b0 +. . . +bn1) +anbn.PSfrag replacementsa0a1a2anb0b1b2bna0b0a1b0a2b0anb0a0b1a1b1a2b1anb1a0b2a1b2a2b2anb2a0bna1bna2bnanbn. . .. . .. . .. . .. . . . . ...................3.1. bra. Sorok tglnyszorzata4. ttel. Ha a

n=0cn a

n=0an s

n=0bn sorok tglnyszorzata, akkor

n=0cn =_

n=0an_

_

n=0bn_.Bizonyts. HaScn, Sans Sbna cn, ans bnsorokn-edikrszlet-sszegei, gyScn = SanSbn, ami adja az lltst. 5. denci. A

n=0ans

n=0bnsorokCauchy-szorzata az a

n=0cnsor,melybencn = a0bn +a1bn1 +. . . +anb0.58 IV. SOROKPlda. A

n=0xnn!s

n=0ynn! egybknt, mint az lttuk x, y R esetnkonvergens sorok Cauchy-szorzata a

n=0_n

k=01k!1(n k)!xkynk_=

n=0_1n!n

k=0n!k!(n k)!xkynk_==

n=0(x +y)nn!sor (itt felhasznltuk a binomilis ttelt).PSfrag replacementsa0a1a2a3b0b1b2b3bn1bnan1ana0bn1a1bn1a0bnan1b0anb0an1b1a0b0a1b0a2b0a3b0a0b1a1b1a2b1a3b1a0b2a1b2a2b2a3b2a0b3a1b3a2b3a3b3. . . . . .......3.2. bra. Sorok Cauchy-szorzata4. TIZEDESTRTEK 595. ttel(Mertens). Ha a an s bn konvergens sorok egyike abszoltkonvergens, akkor Cauchy-szorzatuk konvergens, s sszege: (

an)(

bn).Plda. Az elbbi plda alapjn a ttel adja, hogy_

n=0xnn!_

_

n=0ynn!_=

n=0(x +y)nn!4. Tizedes trtek1. ttel. LegyenA= 0, 1, . . . , 9. Ekkor x (0, 1)valsszmhozegys csakegy olyan an): N A sorozat ltezik, hogyx = an10n,s nemltezik olyanm N, hogyam< 9 sak = 9 k N, k > m esetn.Denci. A ttelben szerepl

n=1an10nsor sszegt0, a1a2. . . an. . .mdon is jelljk sx (0, 1) tizedestrt-alakjnak nevezzk.Ha k N, hogyak ,=0san=0 n>ktermszetesszmra, akkorvgestizedestrtrl beszlnk s0, a1a2. . . akmdon jelljk.Halteznekolyank, l Nszmok, hogyak+n=ak+l+n(n=0, 1, . . . ),akkor szakaszostizedestrtrl beszlnk s azt0, a1. . . ak1ak . . . ak+l1mdon is jelljk.Megjegyzsek.1. Belthat, hogyx (0, 1)akkor s csakakkor racionlis, haszakaszostizedestrt.2. Ha y R, akkor x (0, 1) s l Z, hogy y = l +x. Ekkor y ellltsay = l, a1a2. . . an. . . mdon jellhet.3. Hay R, akkor x ]0, 1[ sl Z, hogyy = l +x. Ekkory ellltsay =l, a1a2. . . an. . . mdon jellhet, hax = 0, a1a2. . . an. . . . Nyilvny Rakkorscsakakkorracionlis, haatizedestrtrszeszakaszos.Egybknty irracionlis.60 IV. SOROK4. Atizedestrtekre(mintvgtelensorokra)rtelmezhetkamveletek,megadhat rendezs, bizonythatk ezek tulajdonsgai, rvnyes a teljes-sgi aximais, ezrtezisegymodellje(reprezentcija)lehetavalsszmoknak. Ez a tizedestrt modell. Ennek elemeivel bizonyos egysze-rstsekkel kzpiskolban is tallkozhattunk.V. fejezetFggvnyek folytonossga1. Alapfogalmak1. denci. Az f: E R R tpus fggvnyeket vals fggvnyekneknevezzk.Avalsfggvnyekolyanspecilisrelcik, melyekRRrszhalma-zai. Ezek szemlltetst, illetve grfjuk (grakonjuk) brzolst biztostjaa Descartes-flekoordintarendszerbevezetse, RRmodelljnek(repre-zentcijnak) albbi megadsa.Tekintsnkkt,egymsra merlegesegyenest a skban,mint kt olyanszmegyenest, melynek 0-pontja a metszspont s az 1 pont mindkt egyene-sen azonos tvolsgra van 0-tl, akkor a sk pontjaihoz az (x, y) RR ren-dezett prokat bijektven lehet hozzrendelni oly mdon, hogy aPponthozrendeltx s y koordinta aP-bl az els s a msodik egyenesre bocsjtottmerleges talppontjnak megfelel szm legyen a krdses egyenesen.PSfrag replacements011 xyP(x, y)1.1. bra. Descartes-fle koordintarendszerAkoordintarendszerfelvteleutnaskpontjai valsszmprokkal,R R elemeivel jellemezhetk, ekkorsk-on az R R halmazt rtjk.Az (x, x2) RR[ x R = f relci fggvny lesz, mert (x, y), (x, z) fesetny =x2=zteljesl. Eztf(x) =x2(x R) mdon is jellhetjk.Ezenffggvny(mintrelci)inverzeazf1= (x2, x) [ x R relci,6162 V. FGGVNYEKFOLYTONOSSGAami nemfggvny, gyfneminvertlhat. Haazf f[[0,+[leszktsttekintjk, gy (f[[0,+[)1mr fggvny, gyf[[0,+[ invertlhat.PSfrag replacements0xyf= { (x, x2) | x R}f1= { (x2, x) | x R}1.2. bra. Nem invertlhat fggvny2. denci. Azf: E R R fggvnykorltos, haf(E) korltos.Azf:E R R fggvnyalulrl (fellrl) korltos, haf(E) alulrl(fellrl) korltos.A sup(f(E)), inf(f(E)) szmokat azfpontos fels, illetve pontos als kor-ltjnak (supremumnak, illetve inmumnak) nevezzkE-n.3. denci. Haazf : E R Rfggvnyesetnltezikx1, x2 E,hogysupf(E) = f(x1), inf f(E) = f(x2),akkor azt mondjuk, hogyf-nek ltezik abszoltmaximuma, illetve mi-nimumaE-n.Azf : E R Rfggvnynekaz x0 E-benhelyi(loklis)maxi-muma, illetve minimuma van, ha ltezik K(x0, ), hogy x K(x0, )E-ref(x) f(x0), illetvef(x) f(x0) teljesl.Plda. Azf(x) =11 +x2(x R) fggvny teljesti az albbiakat.1. ALAPFOGALMAK 63Alulrl korltos, mert 0 0 miatt ekvivalensa 0 < 1 igaz egyenltlensggel x R esetn.PSfrag replacementsyx1f(x) =11 + x21.3. bra. Korltos fggvnyFellrl korltos, mert11 +x2 1, hiszen ez az 1 1+x2, illetve 0 x2igaz egyenltlensggel ekvivalens x R esetn.gyfkorltos fggvny.inf f(E)=0. Egyrszt0als korltjaf-nek. Msrsztfmindenalskorltja 0. Tegyk fel ellenkezleg, hogy > 0 ( < 1) als korltjaf(E)-nek. Beltjuk, hogyeznemlehetsges. Ekkorugyanis x R,hogy11 +x2< 1< 1 +x2_1 1 < [x[,utbbi igaz [x[ >_1 1-re(kihasznltuk, hogyaz 0).supf(E) = 1 hasonlan belthat.x R, hogy11 +x2=0, merthaltezne, gy1=0addna, amilehetetlen. gyf-nek nem ltezik abszolt minimuma.11 +x2= 1x = 0, gyf-nek 0-ban abszolt maximuma van, s ez1. x=0-banf-nekloklismaximumavan, ami1. De x0 R, x ,=0,hogy ott loklis minimuma lenne.4. denci. Azf : E R Rfggvnymonotonnvekv(csk-ken), ha x1, x2 E, x1 f(x2)).Azf : E R R fggvny azx0 E-n nvekven (cskkenen) halad t,64 V. FGGVNYEKFOLYTONOSSGAha ltezikK(x0, ), hogy x < x0, x K(x0, ) E esetnf(x) f(x0) (f(x) f(x0))sx > x0, x K(x0, ) E-ref(x) f(x0) (f(x) f(x0))teljesl.Plda. Azf(x) = ax +b (x R, a, b R, a ,= 0) fggvny a>0 esetnszigoranmonotonnvekv, mert x1, x2 R, x1 ax2 +b = f(x2).2. A folytonossg fogalmaAz f fggvnyx0pontbeli folytonossgaazt aszemlletes tartalmatragadja meg, hogyf(x) tetszlegesen kicsit tr elf(x0)-tl, hax elg kzelvanx0-hoz.1. denci. Azf: E R R fggvny azx0 Epontbanfolytonos,ha > 0-hoz ()> 0,hogy x E, [x x0[ 0 esetnlegyen()=12, ekkor az [n n0[ 0 esetn pldul () = 1-et vlasztva, hax R s [x x0[< 1,akkor [f(x) f(x0)[ = [c c[ = 0 < .3. Az f(x) = x (x R) fggvny folytonos R-en. Hiszen x0 R pontban > 0-hoz() = -t vlasztva, hax R s [x x0[ < () = , akkor[f(x) f(x0)[ = [x x0[ < .PSfrag replacementsyx0f(0) + ()2.2. bra.66 V. FGGVNYEKFOLYTONOSSGA4. Az f(x) =nx (x 0) fggvny folytonosx0 = 0-ban. Ugyanis > 0-ra, ha() = n, akkor x 0, [x 0[ = x < nesetn [f(x) f(0)[ =[nx n0[ =nx 0-t vlasztva(felhasznlva, hogy K(x0, ())-banvanracionlissirracionlisszmis) x, hogy [x x0[ 0-hoz () >0, hogyx E K(x0, ())esetnf(x) K(f(x0), ). Legyen xn)olyan,hogy xn E, xn x0. Ekkor ()-hoz n(()), hogy n n(())-raxn K(x0, ()) E, s gyf(xn) K(f(x0), ), azazf(xn) f(x0).b) Tegyk fel, hogy xn x0 (xn E) esetnf(xn) f(x0). Feltesszk,hogyfnem folytonosx0 E-ben, azaz > 0, hogy () > 0-ra, gy() =1n(n N)-re is xn E, hogyd(x0, xn) 0, x E, x0 ()12[f(x0)[. Tehtsign f(x0) = sign f(x), hax K(x0, ) E. 3. denci. Azf : E R RfggvnyegyenletesenfolytonosazE1 E halmazon, ha > 0 () > 0, x, y E1, [xy[ < () esetn[f(x) f(y)[ < .Megjegyzsek.1. HafazE1-en egyenletesen folytonos, akkor ott folytonos is. A megfor-dts nem igaz.68 V. FGGVNYEKFOLYTONOSSGA2. Azf : E R RfggvnynemegyenletesenfolytonosazE1 Ehalmazon, ha >0, () >0 x, y E1, [x y[ 0-ra()=vlasztssal x, y E1s [x y[ 0-ra n N, hogy1n

12.PSfrag replacementsyx0112.4. bra.3. Folytonossg s mveletek1. ttel. Ha azf, g:E R R fggvnyek folytonosak azx0 E-ben,akkor azf +g sf( R) is folytonosakx0-ban.Bizonyts. Az tviteli elv szerintf, gakkor s csak akkor folytonosakx0-ban, ha xn x0(xn E) esetnf(xn) f(x0), g(xn) g(x0). Teht4. FOLYTONOSSGSTOPOLOGIKUSFOGALMAK 69(a sorozatokrl tanultak szerint)f(xn) +g(xn) f(x0) +g(x0) = (f +g)(x0).Azaz (ismt hasznlva az tviteli elvet)f +g folytonosx0-ban.A msik llts hasonlan bizonythat. 2. ttel. Ha azf, g:E R R fggvnyek folytonosak azx0 E-ben,akkor azfg, sg(x) ,= 0 (x E) esetn,fgis folytonosx0-ban.Bizonyts. Mint az elbb. Plda.1. Az f(x) =x2(x R) fggvny x0Rpontbanfolytonos, mertf(x) = x2= xx miatt kt,x0-ban folytonos fggvny szorzata.2. Azf(x)=1x(x R 0)fggvny x0 R 0pontbanfolyto-nos,mert azf1(x)= 1 sf2(x) =x ,= 0, x0-ban folytonosfggvnyekhnyadosa.3. ttel (az sszetett fggvny folytonossga).Legyenek f : E R R, g : f(E) R R adott fggvnyek. Ha ffolytonos az x0 E pontban,gfolytonosazy0=f(x0)-ban, akkorah=g f fggvnyfolytonosazx0-ban.Bizonyts. g folytonossga miatt: K(g(y0), )-hoz K(y0, 1()), hogyy K(y0, 1()) f(E) esetng(y) K(g(y0), );ffolytonossga miatt: K(y0 = f(x0), 1())-hoz K(x0, ()), hogyx K(x0, ()) E esetnf(x) = y K(y0, 1()),gyg(f(x)) K(g(f(x0)), ), azazg ffggvny folytonos azx0-ban. Plda. Ah(x) =x2+x(x0) fggvnyfolytonos az x0=0-ban.Hiszenf(x) = x2+x (x 0) sg(x) = x vlasztssalh = g f, tovbbffolytonosx0 = 0-ban (hiszen kt folytonos fggvny sszege),g folytonosf(0) = 0-ban (aznx 0-beli folytonossga miatt), gy alkalmazhat ttelnk.4. Folytonossg s topologikus fogalmak1. ttel(afolytonossg topologikus megfelelje). Azf: E R Rfggvnyakkor s csak akkor folytonosE-n, ha brmelyB R nylt hal-mazraf1(B) = x E [f(x) B nylt.70 V. FGGVNYEKFOLYTONOSSGA2. ttel (kompaktsg s folytonossg).Legyen E R kompakt halmaz,f : E R folytonos fggvnyE-n, akkorf(E) kompakt.(Rviden: kompakt halmaz folytonos kpe kompakt.)Bizonyts. Legyen ov tetszleges nylt lefedse f(E)-nek. Ekkor az f1(ov)halmazok nyltak, s f1(ov) nylt lefedseE-nek. De E kompakt, gy l-teznek azf1(o1), . . . , f1(on) nylt halmazok,hogyE n

i=1f1(oi) =f_n

i=1f1(oi)_=n

i=1oi lefedif(E)-t, tehtf(E) kompakt. Kvetkezmnyek.1. f(E) korltos s zrt.2. ffelvesziE-n az abszolt minimumt s maximumt (mert supf(E) sinf f(E) is elemef(E)-nek, haf(E) zrt s korltos).3. ttel(kompaktsgs egyenletesfolytonossg (Heine)).LegyenE R kompakt halmaz, f:E R folytonos fggvnyE-n, akkorfegyenletesen folytonosE-n.(Rviden: kompakt halmazon folytonos fggvny egyenletesen folytonos.)Plda. Azf(x) = ax2+bx +c, x [1, 5], (a, b, c R) fggvny egyenle-tesen folytonos a [1, 5] intervallumon,mert folytonos fggvnyek ssze-geknt folytonos, s E = [1, 5] kompakt halmaz (hiszen korltos s zrt).VI. fejezetFggvnyek hatrrtke1. Alapfogalmak s ttelekKrds: Hogyanviselkednek akvetkezfggvnyekamegadottpont,vagy pontok krnyezetben?f1 : R R, f1(x) =___x, x ,= 12, x = 1, x0 = 0, 1, +, ;f2 : ]0, 1[ R, f2(x) = x2, x0 = 0, 1 ;f3 : R+ R, f3(x) =1x, x0 = 0, 2, + ;f4 : R R, f4(x) =___1, x 01, x < 0, x0 = 0.PSfrag replacementsy yy yxxx x000 0111111222222f1f2f3f41.1. bra.7172 VI. FGGVNYEKHATRRTKEMegllaptsok.1. x0 minden esetben torldsi pontja az rtelmezsi tartomnynak (de nemmindig eleme).2. A R (vagy Rb), hogyxn x0 esetnf(xn) A. (Kivtelf4, ekkorxn 0 (xn> 0 vagyxn< 0) esetnf4(xn) 1 vagyf4(xn) 0).3. A nem felttlenl egyenlf(x0) (f4 esetn nem is ltezik).1. denci. Azf:E R R fggvnynek azx0 E

pontban ltezikhatrrtke, ha ltezikA R, hogy brmely > 0 esetn () > 0,x E, 0 < [x x0[ < () = [f(x) A[ < .A-t azffggvnyx0-beli hatrrtknek nevezzk, s limxx0f(x) =A vagyf(x) A, hax x0, jellseket hasznljuk.Megjegyzsek.1. Fontos megjegyezni, hogy egyrszt csak az rtelmezsi tartomny x0 tor-ldsipontjbanbeszlnkhatrrtkrl, msrsztadencibanazffggvny x0-ban felvett rtke nem jtszik szerepet. Az els felttel azrtkell, mertgyx0-atmegtudjukkzelteni tleklnbz(rtelmezsitartomnybeli) pontokkal. A msodik dolog miatt pedig azx0-banel-rontott(lsdf1-et azx0 = 1 pont esetn), vagyx0-ban nem is deniltfggvny hatrrtkre isrtelmesfogalmat kapunk.2. Megfogalmazhat a krnyezetes vltozat is:Azf:E R R fggvnynek azx0 E

pontban hatrrtke,haA R, hogy K(A, )-hoz K(x0, ()), x K(x0, ())x0,x E esetnf(x) K(A, ).3. A hatrrtk ltezse pontbeli tulajdonsg.4. Azf:E R R fggvnynek azx0 R-ben nemltezikhatrr-tke, hax0/ E

, vagyx0 E

s A R, > 0, () > 0 esetnx E, x K(x0, ())x0, f(x)/ K(A, ).5. A hatrrtk (ha ltezik) egyrtelmen meghatrozott (ez indirekt bizo-nytssal hasonlan, mint a sorozatoknl egyszeren belthat).Plda.1. Azf(x) = c (x R) fggvnynek x0 R-ben a hatrrtkec. Hiszenx0torldsi pontjaR-nek, s >0-ra () >0esetn, ha0 0-ra()=>0esetn, ha0 0-ra, ha() =, akkor x R, 0 < [x1[ < () = esetn [f(x) 1[ = [x1[ < kvetkezik.2. denci.Legyenf: E R R adott fggvny, s x0 torldsi pontja[x0, +) E-nek (vagy (, x0] E)-nek). Az ffggvnynek az x0-ban jobb- (vagy bal-) oldalihatrrtke, haA R, >0 () >0, x E, x0 0 esetn x ]0, +[-re [f(x) 1[ = [1 1[ = 0 < kvetkezik.f4-nekx0=0-banabaloldali hatrrtke 1, mert0torldsi pontjaa], 0]-nak s > 0-ra () > 0 esetn x ], 0[-ra [f(x)(1)[ =[ 1 (1)[ = 0 < kvetkezik.Azf4fggvnyjobb-, sbalodali hatrrtkeklnbzikx0=0-ban, gyott nem ltezik hatrrtke.3. denci. Azf: E R R fggvnyekx0 E

-benahatrrtke+ (vagy ), ha K-hoz (K)> 0, x E, 0< [x x0[ K(vagyf(x) < K).Megjegyzsek.1. A denci krnyezetekkel is megfogalmazhat.2. A + (vagy ) egyoldali hatrrtkknt is megfogalmazhat.74 VI. FGGVNYEKHATRRTKE3. Azx=x0egyenestaz f fggvnyfggleges aszimptotjnakne-vezzk, hafhatrrtke (vagy egyoldali hatrrtke)x0-ban+ vagy.Plda. Afenti f3fggvnynekazx0=0-banahatrrtke+, mert0torldsi pontja R+-nak s K-hoz(K) =___K1, haK> 0tetszleges , haK 0vlasztssal, hax R+ s [x 0[ = x K, illetvef(x) > 0 Kkvetkezik.4. denci. LegyenE R fellrl (alulrl) nem korltos halmaz,f:E R adott fggvny. Azffggvnynek + (vagy )-ben ltezikhatrrtke, ha A R, > 0 M R, x E x > M(x < M)esetn [f(x) A[ 0-ra() =1esetn, hax > () =1, akkor [f(x) 0[ =1x< kvetkezik.1. ttel(tvitelielv). Azf:E R R fggvnynek azx0 E

pont-ban akkor, s csak akkor ltezik hatrrtke, ha brmelyx0-hoz konverglxn) : N Ex0 sorozat esetn ltezik limnf(xn) = A.Bizonyts. gy, mint a folytonossgnl, csak az ottaniK(f(x0), ) helyettK(A, )-tsazx0-beli folytonossghelyett x0-beli hatrrtketkell mon-dani. Plda. Az, hogy a fejezet elejn deniltf4fggvnynekx0= 0-ban nemltezik hatrrtke, az tviteli elvvel knnyen bizonythat.Ha xn) olyan sorozat, hogy xn 0 s xn> 0, akkor f4(xn)) = 1) konstanssorozat, melynek hatrrtke 1.Ha xn)olyansorozat, hogyxn 0s xn 0;pontosabban K(x0, ), f(x)< 0 vagyf(x)> 0 x [K(x0, )x0] E.4. ttel (az sszetett fggvny hatrrtke). Legyenek adottakazf : ERR, g : f(E)Rfggvnyek, tovbb x0E

, y0(f(E))

olyan,hogyx ,=x0esetnf(x) ,=y0. Ltezzen limxx0f(x) =y0slimyy0g(y) = A. Ekkor limxx0(g f)(x) = A.3. AHATRRTKSAFOLYTONOSSGKAPCSOLATA 77Bizonyts. Mint a folytonossgra vonatkoz megfelel ttelnl, csakK(g(f(x0)), ) helyettK(A, ) sK(f(x0), 1()) helyettK(y0, 1()), mga folytonosg helyett a hatrrtk ltezse hasznland. 3. A hatrrtk s a folytonossg kapcsolataTtel. Legyenf : E R R adott fggvny sx0 E, x0 E

. fakkors csak akkor folytonosx0-ban, ha limxx0f(x) = f(x0).Bizonyts.a) Haf folytonos x0torldsi pontban, akkorafolytonossgdencijaadja, hogy A = f(x0) hatrrtkex0-ban.b) Ha A = f(x0) hatrrtk, akkor a hatrrtk dencija miattK(f(x0), )-hoz K(x0, ()), hogy x E, x K(x0, ())x0esetnf(x) K(f(x0), ). Msrszt f(x0) K(f(x0), ). gy x K(x0, ())s x Eesetnf(x) K(f(x0), ), azazf folytonos x0-ban. Plda. A korbban vizsgltf1fggvnynek ltezik hatrrtke azx0 = 1-ben s az 1-gyel egyenl, msrszt f(1) = 2 ,= 1, gy ttelnk szerint f1 nemfolytonosx0 = 1-ben.Denci. Ha azf: E R R fggvny nem folytonos azx0 Epont-ban, akkor azt mondjuk, hogy x0f-nek szakadsi helye, vagy hogy f-nekx0-ban szakadsa van.Haf : E R Radottfggvnys x0 E0(azazx0belspont E-ben), sx0szakadsi helyef-nek, tovbb limxx0+0f(x)=f(x0 + 0)slimxx00f(x) =f(x0 0), akkor azt mondjuk, f-nekx0-ban elsfajsza-kadsavan. Hamgf(x0 0)=f(x0 + 0), akkoraztmondjuk, hogyaszakadsmegszntethet.Haf-nekx0-banszakadsa van saznem elsfaj, akkor aztmsodfajszakadsnak nevezzk.Plda.1. f1 az elbbi plda alapjn nem folytonosx0 = 1-ben, gy ott szakadsavan. limx1+0f1(x)= limx10f1(x)=1, gyaszakadsamegszntethet(vltoztassuk megf1(1) rtkt 2-rl 1-re s folytonos lesz).2. A korbbif4 fggvny nem folytonos 0-ban, gy ott szakadsa van,limx0+0f4(x) = 1 ,= 1 = limx00f4(x), ezrt a szakads elsfaj.78 VI. FGGVNYEKHATRRTKE3. Belthat, hogy azf(x) =___1x, hax ,= 00 , hax = 0fggvnyre limx0+0f(x) = +, limx00f(x) = , 0-ban szakadsa van,e szakads msodfaj.4. Monoton fggvnyek1. ttel (monotonits s invertlhatsg). Haaz f : ER RfggvnyszigoranmonotonE-n, akkorinvertlhat, s f1ugyanolyanrtelemben szigoran monotonf(E)-n.Bizonyts. f1is fggvny, mert ha nem, gy x1 ,= x2, hogy(y, x1), (y, x2) f1, amibl (x1, y), (x2, y) f, azazf(x1) =f(x2), ellen-ttbenfszigor monotonitsval.Legyen pldul fszigoran monoton nvekvsy1, y2 f(E)-rey1