MATEMATIKA 2 - K0 2021 Materi UTS MPM 6202

Oleh : Dra.Mustamina Maulani, M.T

01-September-2021

MODUL

MATERI KULIAH

• KONSEP DASAR• INTEGRAL GARIS CARA

LANGSUNG & TEOREMA GREEN• APLIKASI FLUKS DAN SIRKULASI• KONSEP INTEGRAL PERMUKAAN• APLIKASI FLUKS DAN SIRKULASI

• KONSEP DASAR• INTEGRAL LIPAT TIGA

KOORDINAT KARTESIAN• INTEGRAL LIPAT TIGA

KOORDINAT SILINDER• APLIKASI

• KONSEP DASAR• INTEGRAL LIPAT DUA

KOORDINAT KARTESIAN

• INTEGRAL LIPAT DUA KOORDINAT POLAR

• APLIKASI

• LUAS DAERAH• VOLUME

BENDA PUTAR• LUAS

PERMUKAAN BENDA PUTAR

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

INTEGRAL LIPAT DUA

INTEGRAL GARIS DAN PERMUKAA

N

INTEGRAL LIPAT TIGA

Buku Ajar

Kreyzig,“AdvancedEngineering

Mathematics”.Edisi5.

Purcel,VarbergdanRigdon“Kalkulusjilid2”.Edisi 8.

JuliaDamayanti&Mustamina Maulani,”Fungsi Dua Peubah &

Apikasinya”

Penilaian

Tugas Mandiri + Kuiz50%

Ujian tengahSemester (UTS) 25%

Ujian Akhir Semester (UAS) 25%

4

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

1 LUAS DAERAH

2 Volume Benda Putar

1. METODA CAKRAM

2. METODA CINCIN

Latihan

3 Luas Permukaan Benda Putar

Latihan

16

INTEGRAL LIPAT DUA

Integral Lipat Dua

17

Sifat Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Integral Lipat dua bisa diselesaiakan dengan 2 koordinat :1. Koordinat Cartesian2. Koordinat Kutub

Integral Lipat DuaKoordinatCartesian

Integral Lipat DuaKoordinatCartesian

Latihan 1

Latihan 2

Latihan 3

Integral Lipat DuaKoordinat

Polar

Dalam koordinat Kartesian, persamaan suatu kurva diberikan sebagai hubungan umum antara x dan y , yaitu y = f(x)

Serupa dengan itu, dalam sistem koordinat polar, persamaan suatu kurva diberikan dalam bentuk

1

Kaitan Sumbu Cartesian Dengan Sumbu Polar

2

Integral Lipat DuaKoordinat

Polar

Grafik yang berhubungan dengan koordinat polar3

Integral Lipat DuaKoordinat

Polar

Latihan 1

Latihan 2

Diskusi

Integral Lipat DuaKoordinat

Polar

Aplikasi Integral Lipat Dua 4

Diskusi

27

INTEGRAL LIPAT TIGA

Integral Lipat Tiga

Konsep Integral Lipat Tiga

Fungsi F tiga variabel yang didefinisikan atas daerah berbentuk balok R dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinat. Balok R yang dibatasi oleh x=a, x=b, y= c, y=d , z= e dan z= fIntegral lipat tiga pada R sebagai sebuah integral berulang yang berbentuk :

Integral Lipat Tiga

GRAFIK DI RUANG DIMENSI 3

1

2

5

4

3

Integral Lipat TigaKoordinatCartesian

Secara umum jika R dipandang sebagai himpunan sederhana ( Gambar 2 ). R dibatasi oleh permukaan –permukaan z= U(x,y) dan z= V(x,y), proyeksi R pada bidang adalah Rxy yang merupakan bidang datar yang dibatasi oleh x= adan x=b serta y=f(x) dan y= g(x)

Gambar Benda B & daerah proyeksi terhadap bidang xoy

Didalam kasus seperti ini maka kita dapat menyatakan integral lipat tiga pada Rsebagai sebuah integral berulang yang berbentuk :

Persamaan diatas mempunyai pengertian sbb

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , )g x V x yb

R x a y f x z U x y

F x y z dV F x y z dz dy dx= = =

é ùì üï ï= ê úí ýê úï ïî þë û

ò ò ò ò ò ò

Integral Lipat TigaKoordinatCartesian

1. Pengintegralanpertama terhadap

z denganmenganggap

variable x dan y konstanta

2. Pengintegralankedua dari hasil 1

diintegralkanterhadap y dengan

menganggap x konstanta

3. Ketigadari hasil 2 diintegralkan terhadap x

Integral Lipat TigaKoordinatCartesian

Tafisran Integral Lipat Tiga 1:

Tafisran Integral Lipat Tiga 2:

Integral Lipat TigaKoordinatCartesian

Latihan 1Tentukan batas-batas integral Lipat tiga dan hitunglah

Jika R adalah bangun ruang dibatasi olehz = x2 + y2 dipotong oleh z = 8 – x2 – y2 di oktanPertama.

Penyelesaian :

òòòR

dxdydzx 2

1.Buatlah kurva z = x2 + y2

lalu kurva z = 8 – x2 – y2

2.Tentukan titikpotong keduakurva tersebut

3.Gambarkan proyeksiR terhadapbidang xoy

Langkah 1dan 2

Langkah 3

Integral Lipat TigaKoordinatCartesian

Mengubah Urutan batas Integral

Pandang integral lipat tiga

Daerah batas integral lipat tiga di atas ditulis sebagai

Untuk mengubah urutan batas integral lipat tiga dapat

dilakBatas terluar harus merupakan batas konstanta

ukan dengan cara mengikuti ketentuan berikut:

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , ) g x V x yb

R x a y f x z U x y

F x y z dV F x y z dz dy dx= = =

=òòò ò ò ò

{( , , ) | , ( ) ( ), ( , ) ( , )}R x y z a x b f x y g x U x y z V x y= £ £ £ £ £ £

Batas terluar harusmerupakan batas

konstanta

Janganmeletakkan dzdiantara dy dan

dx

Batas z dilihat darigambar ruang dimensi 3 &

batas x,y dilihat ariproyeksi pada bidang

datar dimensi 2

Integral Lipat TigaKoordinatCartesian

Latihan 2

Diketahui integral Lipat tiga

(a) Gambar daerah batas integral R(b) Ubah urutan batas integral lipat tiga ,jika R

diproyeksikan ke bidang xoz(c) Hitung integral tersebut setelah di ubah

urutan batas pengintegralan.

Integral Lipat TigaKoordinatCartesian

Diskusi1 (3 ) 3 23 2

0 0 0

4xy x x y

x y z

dz dy dx- - -

= = =ò ò ò

Diskusi kelompok dan presentasi

Ujian Tengah Semester

Jika ada pertanyaan :Mustamina Maulani

08569005383mustamina@trisakti.ac.id