Cuprins

1 Elemente de analiz pe dreapta real 31.1 Noµiuni de topologie pe R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Vecin tatea unui punct. Dreapta real . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Mulµimi deschise, închise, compacte. . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Limita unei funcµii într-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Funcµii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Funcµii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.1 Serii numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.2 Serii de funcµii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Spaµii generalizate 572.1 Noµiuni de baz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Deniµia spaµiilor abstracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Analiz real multidimensional 693.1 Noµiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.1 Spaµiul real n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.2 Noµiuni topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.1.3 Funcµii de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Limita funcµiei de mai multe variabile într-un punct . . . . . . . . . . 723.3 Diferenµiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Derivate parµiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.5 Diferenµiale ³i derivate parµiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . 813.6 Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.7 Extreme pentru funcµii de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . 87

3.7.1 Extreme obi³nuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.7.2 Extreme cu leg turi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Integrale generalizate 954.1 Noµiuni de teoria m surii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Integrale improprii, integrale cu parametri . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Integrala Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1

4.4 Integrala Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5 Integrala Euler - Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.1 Integrala Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.6 Integrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Bibliograe 121

2

Capitolul 1

Elemente de analiz pe dreapta real

În dezvoltarea acestei ramuri fundamentale ale ³tiinµei un loc important îl ocup descoperirea calculului diferenµial ³i integral cu 300 ani în urm . Printre matem-aticienii care au avut o contribuµie de seam putem aminti de exemplu pe Newton,Leibniz, Euler, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Cantor, Hilbert, Lebesque, Banach .

În secolul trecut se cristalizeaz noµiunea de limit , continuitate, integral denit ³i se formuleaz obiectul analizei matematice - ind studiul propriet µilorfuncµiilor.

În acest secol se na³te din necesitate analiza funcµional (pentru matematicapur ³i aplicat ) care întreprinde un studiu sistematic al spaµiilor dotate cu structurialgebrico-topologice ³i a operaµiilor dintre aceste spaµii. Lucreaz cu spaµii innitdimensionale.

Topologia este o ³tiinµ matematic care d deniµia precis pentru conceptul destructur al spaµiului, compar diferitele deniµii, ale structurii spaµiului care au fost³i sunt date, ³i studiaz leg turile între propriet µile introduse în sistemul topologic.

Caracteristicile esenµiale - geometric - sunt formulate folosind distanµa sau maigeneral conceptul de vecin tate; - în analiz matematic - este folosit ca punct depornire noµiunea de limit , puncte de limit a unei mulµimi sau totalitatea tuturor³irurilor convergente ³i limitele lor.

În continuare vom prezenta doar acele noµiuni ³i rezultate de baz din analizamatematic , topologie ³i analiza funcµional care sunt strict necesare pentru abor-darea capitolelor urm toare.

3

1.1 Noµiuni de topologie pe RPentru nevoile calculului diferenµial ³i integral real nu sunt necesare cuno³tinµe

de topologie general pe spaµii abstracte.Principalele concepte de topologie general prezent m în cadrul dreptei reale ³i

relativ la topologia natural a lui R.

1.1.1 Vecin tatea unui punct. Dreapta real .Deniµia 1.1.1.

Fie x0 un punct pe dreapt . Numim vecin tate a lui x0 orice mulµime V careconµine un interval deschis (a, b) care conµine pe x0. Adic x0 ∈ (a, b) ⊂ V.

Vecin tatea simetric a lui x0 ∈ R,este o mulµime V ⊆ R care include un intervalde forma (x0 − ε, x0 + ε) cu ε > 0 xat.

Mulµimea format din toate numerele reale,împreun cu +∞ ³i −∞, se nume³tedreapta încheiat ³i vom nota cu R.

Vecin tatea lui +∞ (sau −∞) este o mulµime V ⊆ R(R ∪ −∞ ∪ +∞) careconµine intervale deschise nem rginite de forma (c,∞)sau(−∞, c) cu c ∈ R+ , cxat.

Not m în continuare cu V(x0) mulµimea tuturor vecin t µilor, unui punct x0 ∈ R;iar cu Vε(x0) vecin tatea simetric , unde ε > 0.

Deniµia 1.1.2. Familia B(x0) ⊆ V(x0) se nume³te baz de vecin t µi (baz local sau sistem fundamental de vecin t µi) a lui x0, dac pentru orice V ∈ V(x0), exist U ∈ B(x0) astfel încât U ⊆ V.

Exemplul 1.1.3. Pentru un punct x0 din R de exemplu, urm toarele mulµimi suntbaze de vecin t µi.

V 1

n(x0) : n ∈ N

, Vε(x0) : ε > 0

V 1

n[x0] : n ∈ N

, Vε[x0] : ε > 0

Pentru ∞ multimea (n,∞] : n ∈ N ³i pentru −∞ mulµimea [−∞, n) : n ∈ Neste o baz de vecin t µi.

Deniµia 1.1.4. Fie mulµimea R ³i punctul x0 ∈ R. Consider m pe V(x0). Au locurm toarele propriet µi:

1. ∀ V ∈ V(x0) ⇒ x0 ∈ V

2. ∀ V1, V2 ∈ V(x0) ⇒ V1 ∩ V2 ∈ V(x0)

3. ∀ V ∈ V(x0), ∃ U ⊆ R, U ⊇ V ⇒ U ∈ V(x0)

4. ∀ V ∈ V(x0) ∃ W = (a, b) ∈ V(x0) astfel încât V este vecin tatea ec ruipunct y ∈ W

4

³i spunem c pe dreapt am denit o topologie sau o structur topologic . Cuaceast topologie dreapta R este un spaµiu topologic numit dreapt real .

Teorema 1.1.5. (Hausdor F.(1868-1942)) Oricare ar punctele x 6= y din R,exist o vecin tate U a lui x ³i o vecin tate V a lui y astfel încât U ∩ V = ∅.

Demonstraµie. Putem presupune c x < y; atunci exist c astfel încât x < c <y ³i luând a < c ³i b > y obµinem vecin t µile U = (a, c) ∈ V(x) ³i V = (c, b) ∈ V(y)³i are loc: U ∩ V = ∅.

Orice spaµiu în care are loc teorema lui Hausdor se nume³te spaµiu separabilDeci dreapta real este un spaµiu separat.

Despre spaµii generalizate, unde nu are loc aceast teorem , putem citi de ex-emplu în [11],[16]. În cadrul acestui curs nu ne vom extinde studiile în aceast direcµie.

1.1.2 Mulµimi deschise, închise, compacte.Deniµia 1.1.6. Fie A ⊂ R. Un punct x0 ∈ A se nume³te punct interior al mulµimiiA dac exist V ∈ V(x0) astfel încât V ⊆ A.

Mulµimea punctelor interioare ale mulµimii A se nume³te interiorul lui A ³i senoteaz cu intA sau A

.

Deniµia 1.1.7. Mulµimea A se nume³te deschis dac este egal cu interiorul s u.Adic A = A

ceea ce înseamn c toate punctele sale sunt interioare, sau A este

vecin tate pentru ecare punct al ei.

Teorema 1.1.8. Fie I ⊆ R un interval.I este mulµime deschis dac ³i numai dac I este interval deschis.

Demonstraµie. "Necesitatea" I deschis ⇒ I = (a, b).Demonstr m prin reducere la absurd.Presupunem I deschis ³i I = [a, b). Îns în acest caz a ∈ I

ceea ce este în

contradicµie cu ipoteza."Sucienµa" Fie a < b ∈ R ³i I = (a, b) ⇒ I deschis .Pentru orice x0 ∈ (a, b) putem construi Vε ⊂ V(x0) : Vε ⊆ I dac alegem

ε = minx0 − a, b− x0.Deniµia 1.1.9. Un punct y0 ∈ R este punct exterior lui A dac y0 este punctinterior al complementarei lui A.

Mulµimea punctelor exterioare se nume³te exteriorul lui A ³i se noteaz cu ExtA.

Teorema 1.1.10. (propriet µile mulµimilor deschise)Fie R ³i τ ⊂ P(R) o familie de mulµimi deschise. Urm toarele propriet µi sunt

adev rate:

1. Reuniunea unei familii oarecare de mulµimi deschise este o mulµime deschis .

5

2. Intersecµia unei familii nite de mulµimi deschise este o mulµime deschis .

3. R ³i ∅ sunt mulµimi deschise.

Demonstraµie.1) Fie I o mulµime de indici.Fie (Ai)i∈I o familie de mulµimi deschise.Dac not m cu A = ∪i∈IAi atunci avem de ar tat c pentru orice x0 ∈ A exist

V ⊂ V(x0) astfel încât s avem V ⊆ A.Deoarece x0 ∈ A ⇒ ∃ i ∈ I : x0 ∈ Ai, dar ³tiind c Ai este o mulµime deschis

⇒ ∃V ⊂ V(x0) : V ⊆ Ai. Pe de alt parte avem Ai ⊆ A, adic V ⊂ A = ∪Ai ceeace înseamn c mulµimea A este deschis .

2) Fie J o familie nit de indici. Fie (Bj)i∈J o familie de mulµimi deschise.Notând cu B = ∩j∈JBj avem de ar tat c pentru oricare x0 ∈ B exist V ⊂ V(x0)astfel încât V ⊆ B. Deoarece x0 ∈ B ⇒ x0 ∈ Bj pentru orice j ∈ J. tiind c mulµimile Bj, j ∈ J sunt deschise rezult c exist Vj ⊂ V(x0) : Vj ⊆ Bj. Evidentmulµimile considerate sunt submulµimi a lui R, ceea ce înseamn c putem scrieVj = (aj, bj) j ∈ J.

Fie a = maxj∈Jaj ³i b = minj∈Jbj ³i astfel mulµimea V = (a, b) evidentveric propriet µile: V ⊂ V(x0) ³i V ⊆ B.

Observaµia 1.1.11.

1. Orice mulµime deschis pe dreapt se poate pune în mod unic sub forma re-uniunii unei familii cel mult num rabile de intervale deschise, disjuncte dou câte dou .

2. Proprietatea a doua este valabil ³i pentru un num r innit de mulµimi.

Deniµia 1.1.12. Fie A ⊆ R o mulµime. Un punct x0 ∈ R (nu neap rat din A) senume³te punct aderent a lui A, dac în ∀ V ∈ V(x0) exist cel puµin un punct dinA (eventual numai x0, dac x0 ∈ A), adic V ∩ A 6= ∅.

Mulµimea punctelor aderente ale mulµimii A se nume³te aderenµa lui A sauînchiderea lui A ³i se noteaz cu A.

Observaµia 1.1.13.

1. ∀ x0 ∈ A este punct aderent a lui A. Deci avem:

A ⊂ A.

2. O mulµime poate s aib ³i alte puncte aderente care s nu-i aparµin .

3. Orice punct care nu este aderent lui A este exterior lui A ³i reciproc.

Deniµia 1.1.14. O mulµime A este închis dac este egal cu închiderea sa, adic :

A = A.

6

Deniµia 1.1.15. Un punct x0 se nume³te punct de frontier al lui A dac esteaderent ³i lui A ³i lui CA. Mulµimea punctelor de frontier ale lui A se nume³tefrontiera lui A ³i se noteaz cu FrA.

Teorema 1.1.16. O mulµime A este închis dac ³i numai dac CA este deschis .

Demonstraµie. A închis ⇔ A = A ⇔ CA = CA dar CA = CA, adic avem

CA = CA ⇒ CA deschis .

Teorema 1.1.17. O mulµime B este deschis dac ³i numai dac CB este închis .

Demonstraµie. B deschis ⇔ B = B ⇔ CB = C

B dar C

B = CB, adic avem

CB = CB ⇔ CB închis .

Teorema 1.1.18. ( propriet µile mulµimilor închise)Urm toarele armaµii sunt adev rate:

1. Intersecµia unei familii oarecare de mulµimi închise este o mulµime închis .

2. Reuniunea unui num r nit de mulµimi închise este o mulµime închis .

3. R ³i ∅ sunt închise.

Demonstraµie. Folosind teoremele 1.1.16 ³i 1.1.17 demonstraµia se reduce lademonstraµia teoremei 1.1.10.

Deniµia 1.1.19. O mulµime A este dens într-o mulµime B dac orice punct a luiB este aderent lui A (adic B ⊂ A).

Exemplu: (a, b), [a, b), (a, b] sunt dense în [a, b]. Dac o mulµime A este dens înR, adic A = R atunci spunem c A este peste tot dens ( de exemplu mulµimeanumerelor iraµionale este peste tot dens ).

Deniµia 1.1.20. Fie A ⊆ R. Un punct x0 ∈ R (nu neap rat din A) se nume³tepunct de acumulare a lui A, dac ∀ V ∈ V(x0) conµine cel puµin un punct x din Adiferit de x0,adic :

V ∩ A− x0 6= ∅Mulµimea punctelor de acumulare se nume³te mulµime derivat sau derivata lui

A ³i se noteaz cu A′.

Observaµia 1.1.21.

1. Orice punct de acumulare al lui A este punct aderent lui A , dar pot existapuncte aderente lui A care s nu e puncte de acumulare.De exemplu dac consider m mulµimea A = x0, atunci x0 este punctaderent lui A dar nu e punct de acumulare.

7

2. Se poate ar ta, dac x0 este un punct aderent care nu aparµine lui A atuncix0 este punct de acumulare.

3. Dac x0 nu este punct de acumulare atunci exist o vecin tate V ∈ V(x0) carenu mai conµine nici un alt punct din A (eventual x0).

Teorema 1.1.22. Un punct x0 este punct de acumulare al lui A dac ³i numai dac în orice V ∈ V(x0) exist o innitate de puncte din A.

Demonstraµie. ” ⇒ ” Presupunem c x0 este punct de acumulare a lui Arezult c pentru oricare V ⊂ V(x0) B = V ∩ A\x0 6= ∅.

Prin reducere la absurd presupunem c mulµimea B este nit , adic B = a1, a2, . . . , an (x0 6∈ B

Fie C ∈ V(x0) astfel încât C∩B 6= ∅ ³i C ⊂ V. Dar C∩A\x0 = ∅ ⇒ ∃ C ∈ V(x0)astfel încât C ∩A\x0 = ∅ adic x0 nu este punct de acumulare, avem contradicµiecu ipoteza.

” ⇐ ” Presupunem c pentru oricare V ⊂ V(x0) : B = V ∩ A 6= ∅ ³i B esteinnit .

Dac x0 ∈ B atunci deasemenea avem B\x0 6= ∅, adic x0 este punct deacumulare pentru A.

Consecinµa 1.1.23. Dac o mulµime A are un punct de acumulare atunci esteinnit .Consecinµa 1.1.24. O mulµime nit nu are nici un punct de acumulare.Teorema 1.1.25. A este închis dac ³i numai dac î³i conµine toate punctele deacumulare.

Demonstraµie. ” ⇒ ” A închis ⇔ A = A adic A ⊂ A (deoarece oricepunct de acumulare este ³i punct aderent lui A) ⇒ A î³i conµine toate punctele deacumulare.

” ⇐ ” Presupunem c A î³i conµine toate punctele de acumulare. Fie x0 ∈ Aun punct oarecare ³i presupunem c x0 6∈ A ⇒ x0 este punct de acumulare luiA (x0 ∈ A′) ³i din ipotez avem x0 ∈ A, ceea ce contrazice condiµia ca x0 6∈ A. Decipentru orice x0 ∈ A avem x0 ∈ A adic A = A ⇒ A este mulµime închis .Teorema 1.1.26. (Bolzano B. (1781-1848) - Weierstrass K. (1815-1897)) Oricemulµime m rginit ³i innit are cel puµin un punct de acumulare.

Demonstraµie. Dac mulµimea A este innit atunci se poate construi un ³ir(xn)n ∈ A.

Acest ³ir este m rginit, deoarece A este mulµimea m rginit , deci el posed unsub³ir convergent (Teorema lui Cesaro). Avem lim

k→∞xnk

= x0 ceea ce înseamn c dac V ⊂ V(x0), atunci exist N ≥ 1 natural astfel încât pentru oricare n ≥ N s avem

V ∩ A\x0 6= ∅ ⇒ x0 ∈ A′.

8

Deniµia 1.1.27. O mulµime A ⊆ R se nume³te conex (neconex ) dac nu exist (exist ) A1, A2 ⊆ A, nevide astfel încât A = A1 ∪ A2 ³i A1 ∩ A2 = A1 ∩ A2 = ∅.

De exemplu mulµimea A = x este conex , iar mulµimea A = R\x0 esteneconex .

Teorema 1.1.28. Fie A ⊆ R o mulµime. A este conex dac ³i numai dac A esteinterval.

Demonstraµie. Se demonstreaz prin reducere la absurd. Se poate consulta[14] pg. 143.

Deniµia 1.1.29. Fie A ⊆ R. x0 se nume³te punct izolat a lui A dac exist V ∈V(x0) astfel încât V ∩ A = x0.

Deniµia 1.1.30. Mulµimea A care nu are puncte izolate se nume³te mulµime per-fect .

Deniµia 1.1.31. O familie (Bα)α∈J de mulµimi constituie o acoperire a uneimulµimi A , dac orice punct x ∈ A aparµine cel puµin uneia din mulµimile fam-iliei.

Deniµia 1.1.32. O mulµime A ⊆ R se nume³te compact dac din orice acoperiredeschis a lui A se poate extrage o acoperire nit a sa.

Teorema 1.1.33. Borel E.(1871-1956)-Lebesgue H.(1875-1941)O mulµime C ⊆ R se nume³te mulµime compact dac ³i numai dac este închis

³i m rginit .

Demonstraµie. Se demonstreaz folosind deniµia 1.1.32. (vezi [14],pg.145-146sau [9])

Exemplu: Mulµimile x1, . . . , xn, x, [a, b] sunt compacte. (a, b), [a, b) nusunt compacte deoarece nu sunt închise.

Observaµia 1.1.34. O reuniune nit de mulµimi compacte este compact .

Deniµia 1.1.35. O mulµime A ⊂ R se nume³te secvenµial compact dac orice ³ir(xn)n≥1 cu elemente din A, posed un sub³ir convergent (xnk

)k≥1 c tre un punctx ∈ A.

Exemplu: A = 0, 1, 12 , . . . , 1

n, . . . este secvenµial compact ; A = (0, 1) nu estesecvenµial compact . Mulµimea Q nu este secvenµial compact .

Deniµia 1.1.36. O mulµime A ⊆ R se nume³te relativ secvenµial compact dac Aeste secvenµial compact .

9

1.2 Limita unei funcµii într-un punctDeoarece noµiunea de funcµie real de o variabil real a fost întrodus ³i studiat

in liceu, în cele ce urmeaz vom prezenta doar principalele noµiuni ³i rezultate carevor utile în continuare.

Conceptul de limit este un concept fundamental în analiz . Limita unei funcµiiîntr-un punct este generalizarea natural a limitei unui ³ir de numere ³i se reduce laaceasta.

În esenµ f are limita l în punctul x0 dac orice punct x sucient de aproape dex0, are imaginea prin f sucient de aproape de l.Deniµia 1.2.1. Fie f : E → R ³i x0 un punct de acumulare al mulµimii E (x0 nitsau innit). Un num r l (nit sau innit) este limita funcµiei f în punctul x0 dac pentru orice vecin tate U ∈ V(l) a lui l exist o vecin tate V ∈ V(x0) a lui x0 astfelîncât pentru orice x 6= x0 din mulµimea V ∩ E\x0 s avem f(x) ∈ U.

Not m: limx→x0x 6=x0

f(x), limx→x0

f(x).

Pentru x0 ³i l nite se poate formula urm toarea deniµie.Deniµia 1.2.2. ( lim

x→x0

f(x) = l) ⇔ ( ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 astfel încât ∀ x ∈ E, x 6=x0, cu |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− l| < ε.)

În mod analog se poate formula noµiunea de limit a funcµiei într-un punct dac x0 ³i(sau) l nu sunt nite.Deniµia 1.2.3. lim

x→x0

f(x) = +∞ dac ³i numai dac pentru ∀ ε > 0, ∃ δ > 0

astfel încât ∀ x ∈ E, x 6= x0, cu |x− x0| < δ ⇒ f(x) > ε.

Limita unui ³ir este un caz particular de limit de funcµie îns limitele de ³iruripot folosite pentru a deni limite de funcµii.Deniµia limitei unei funcµii într-unpunct , cu ajutorul ³irurilor, a fost formulat de Heine.Teorema 1.2.4. ( deniµia lui Heine E. (1821-1881))

Funcµia f are limita l în punctul x0 dac ³i numai dac pentru orice ³ir xn → x0

(cu xn ∈ E, xn 6= x0) avem f(xn) → l.

Demonstraµie. ” ⇒ ” folosind deniµia 1.2.1 este evident .” ⇐ ” Demonstr m prin reducere la absurd. Consider m dou ³iruri (xn)n ³i

(x′n)n din E\x0 cu propriet µile:xn → x0

x′n → x0 if(xn) → l1 iar f(x′n) → l2.

Cu aceste ³iruri construim un nou ³ir (yn)n dup urm toarea regul : y2n = xn ³iy2n+1 = x′n, ∀ n ≥ 1 natural. Evident yn → x0 ³i conform ipotezei avem f(yn) → L.Avem de ar tat c l1 = L = l2, ceea ce este evident deoarece (f(xn))n ³i f(x′n))n

sunt sub³iruri ale ³irului (f(yn))n iar limita unui ³ir este unic .

10

Observaµia 1.2.5. Folosind teorema putem calcula limitele unor funcµii folosindlimitele unor ³iruri cunoscute.Deniµia 1.2.6. Un num r ls (nit sau innit) se nume³te limita la stânga a funcµieif în punctul x0 dac pentru orice vecin tate U ⊂ V(ls) exist o vecin tate V ∈ V(x0)astfel încât pentru ∀ x < x0 din V ∩ E s avem f(x) ∈ U.

Notaµie:ls = lim

xx0

f(x) = limx→x0x<x0

f(x) = f(x0 − 0)

Deniµia 1.2.7. Un num r ld (nit sau innit) este limita la dreapta a funcµiei fîn punctul x0, dac pentru orice vecin tate U ⊂ V(ld) exist o vecin tate V a lui x0

astfel încât pentru ∀ x > x0 din V ∩ E s avem: f(x) ∈ U.

Folosind deniµia lui Heine (teorema 1.2.4) obµinem imediat urm toarele dou rezultate.Teorema 1.2.8. Un num r ls este limita la stânga a funcµiei f în x0, dac ³i numaidac pentru orice ³ir xn → x0 (xn ∈ E, xn < x0) ⇒ f(xn) → ls.

Teorema 1.2.9.(

ld = limxx0

f(x)

)⇔ (pentru orice xn → x0 (xn ∈ E, xn > x0)

avem f(xn) → ld).

Teorema 1.2.10. Funcµia f are limit în x0 dac ³i numai dac are în x0 limitelaterale egale. În acest caz:

limx→x0

f(x) = l = f(x0 − 0) = f(x0 + 0).

Demonstraµie. ” ⇒ ” Presupunem c limx→x0

f(x) = l. Atunci pentru oricarexn ∈ E ∩ (−∞, x0), xn → x0 avem

f(xn) → l ⇒ f(x0 − 0) = l

³i pentru orice x′n ∈ E ∩ (x0,∞), x′n → x0 avemf(x′n) → l ⇒ f(x0 + 0) = l.

” ⇐ ” Presupunem c exist limitele laterale în x0 ³if(x0 − 0) = f(x0 + 0) = l.

Fie U ⊂ V(l).Deoarece f(x0−0) = l ⇒ ∃ V1 ⊂ V(x0) astfel încât pentru oricare x ∈ V1∩E, x <

x0 s avem f(x) ∈ U.Deoarece f(x0+0) = l ⇒ ∃ V2 ∈ V(x0) astfel încât pentru oricare x ∈ V2∩E, x >

x0 s avem f(x) ∈ U.Not m în continuare V = V1 ∩ V2, evident V ⊂ V(x0) iar V ∩ E ⊂ V1 ∩ E

³i V ∩ E ⊂ V2 ∩ E. Astfel pentru oricare x ∈ V ∩ E\x0 avem f(x) ⊂ U, decilim

x→x0

f(x) = l.

11

Corolarul 1.2.11. limx→x0

f(x) = l ⇔ ( pentru orice ³ir strict monoton xn → x0 (xn ∈E) avem f(xn) → l).

Propriet µile limitelor de functii au fost studiate în liceu de aceea vom prezentadoar câteva criterii de existenµ a limitelor de funcµii, care vor utilizate în contin-uare.

Este cunoscut din liceu criteriul lui Cauchy care asigur convergenµa unui ³ir. Încapitolul 2 revenim asupra acestui criteriu.

Prezent m în continuare un criteriu de existenµ a limitei nite.

Teorema 1.2.12. (criteriul lui Cauchy A.(1789-1857) - Bolzano)Funcµia f : E → R are limit nit în x0 (x0 punct de acumulare al lui E)

dac ³i numai dac pentru orice ε > 0 exist V ∈ V(x0) astfel încât pentru oricex′, x′′ ∈ V ∩ E\x0 s avem |f(x′)− f(x′′)| < ε.

Demonstraµie. ” ⇒ ” Presupunem c limx→x0

f(x) = l, l nit ⇒ ∀ ε > 0

(adic ∀ U ⊂ V(l)) ∃ V ⊂ V(x0) astfel încât pentru ∀ x 6= x0, x ∈ V ∩ E s avem(f(x) ∈ U) adic |f(x)− l| < ε

2 .Atunci pentru orice x′ 6= x0 ³i x′′ 6= x0 din mulµimea V ∩ E avem:

|f(x′)− l| < ε

2

|f(x′′)− l| < ε

2.

Deci, putem scrie:

|f(x′)− f(x′′)| = |f(x′)− l − (f(x′′)− l)| ≤≤ |f(x′)− l|+ |f(x′′)− l| < ε

2+

ε

2= ε.

” ⇐ ” Presupunem c pentru ∀ ε > 0 ∃ V ⊂ V(x0) astfel încât pentru oricarex′, x′′ ∈ V ∩E\x0 s avem |f(x′)− f(x′′)| < ε ³i s demonstr m c lim

x→x0

f(x) = l,

l nit .Fie un ³ir oarecare xn → x0 (xn ∈ E, xn 6= x0) ³i un num r ε > 0 oarecare.Pe baza ipotezei rezult c exist V ⊂ V(x0) astfel încât pentru oricare x′, x′′ ∈

V ∩ E\x0 s avem |f(x′) − f(x′′)| < ε2 . Evident vecin tatea V depinde de ε.

Dar având din ipotez ³irul convergent xn → x0 putem scrie c pentru ε > 0 dat∃ nε ∈ N : ∀ N ≥ nε s avem xN ∈ V ∩ E. Deci pentru ∀ n,m ≥ nε avemxn, xm ∈ V ∩ E ³i obµinem

|f(xn)− f(xm)| < ε.

Adic ³irul (f(xn))n este un ³ir fundamental, ceea ce înseamn pe baza criteriuluilui Cauchy c este convergent.

Dac limx→x0

f(x) exist ³i este nit .

12

Observaµia 1.2.13. Noµiunea de ³ir fundamental ³i criteriul lui Cauchy sunt cunos-cute din liceu, dar în 1.3.1 vom reveni asupra acestor noµiuni.

Criteriile prezentate în continuare dau condiµii suciente de existenµ a limitei.

Teorema 1.2.14. Dac f, g : E → R, limx→x0

g(x) = 0 ³i dac exist l nit ³io vecin tate V ∈ V(x0) astfel încât s avem |f(x) − l| ≤ g(x) pentru orice x ∈U ∩ E, x 6= x0 atunci

limx→x0

f(x) = l.

Demonstraµie. Consider m un ³ir (xn)n ∈ E oarecare astfel încât xn → x0 ³ixn 6= x0. Putem presupune c xn ∈ V ⊂ V(x0) pentru ∀ n ∈ N, ³i atunci putemscrie: |f(xn)− l| < g(xn). Dar din ipotez avem g(xn) → 0 ³i pe baza criteriului dela ³iruri rezult c f(xn) → l, adic lim

xn→0f(xn) = l, de unde lim

x→x0

f(x) = l.

Teorema 1.2.15. Dac f ³i g sunt denite pe E, limx→x0

g(x) = +∞ ³i exist ovecin tate V ∈ V(x0) astfel încât s avem f(x) ≥ g(x) pentru orice x ∈ V ∩E, x 6=x0 atunci lim

x→x0

f(x) = +∞.

Demonstraµie. Fie xn → x0 (xn ∈ E ∩ V, xn 6= x0). Are loc relaµia: f(xn) ≥g(xn).

Dar din ipotez avem g(xn) → ∞ ³i astfel evident are loc f(xn) → ∞, de undelim

x→x0

f(x) = ∞.

bf Operaµii cu funcµiile care au limit au fost studiate în liceu. În continuaredoar reamintim aceste propriet µi.

1. Dac f : E → R ³i g : E → R au limit (nit sau innit ) în punctul x0 (x0

este un punct de acumulare al mulµimii E) atunci:

limx→x0

(f(x) + g(x)) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x)

(excepµie cazul când limx→x0

f(x) = +∞ ³i limx→x0

g(x) = +∞)

2. Dac produsul limitelor are sens atunci funcµia fg are limit în x0 ³i:

limx→x0

(f(x) · g(x)) = limx→x0

f(x) · limx→x0

g(x)

(excepµie cazul când limx→x0

f(x) = 0 ³i limx→x0

|g(x)| = +∞)

3. Funcµia af are limit în x0, oricare ar a real nenul, adic :

limx→x0

af(x) = a limx→x0

f(x)

13

4. Dac raportul limitelor are sens, funcµia fg are limit în x0 ³i:

limx→x0

f(x)

g(x)=

limx→x0

f(x)

limx→x0

g(x)

(excepµie cazul când limx→x0

g(x) = 0 ³i limx→x0

|f(x)| = limx→x0

|g(x)| = +∞)

5. Dac funcµia f este pozitiv ³i limx→x0

f(x))lim

x→x0

g(x)are sens atunci funcµia f g

are limit în x0 ³i:

limx→x0

f(x)g(x) = ( limx→x0

f(x))lim

x→x0

g(x)

6. Funcµia −f are limit în x0 ³i:

limx→x0

(−f(x)) = − limx→x0

f(x)

7. Dac diferenµa limitelor are sens atunci funcµia f − g are limit în x0 ³i

limx→x0

(f(x)− g(x)) = limx→x0

f(x)− limx→x0

g(x)

(excepµie cazul când limx→x0

g(x) = limx→x0

f(x) = ∞).

Teorema 1.2.16. Dac limx→x0

f(x) = 0 ³i funcµia g : E → R este m rginit peV ∈ V(x0) atunci lim

x→x0

f(x)g(x) = 0.

Demonstraµie. Fie V ⊂ V(x0) o vecin tate pe care funcµia g este m rginit .Atunci putem scrie: ∃ M > 0 astfel încât pentru ∀ x ∈ V | g(x)| ≤ M. Avem încontinuare:

|f(x) · g(x)| = |f(x)| · |g(x)| ≤ M · |f(x)|dar pe baza ipotezei lim

x→x0

M |f(x)| = M limx→x0

f(x) = 0 ³i evident obµinem:

limx→x0

f(x) · g(x) = 0

1.2.1 Funcµii continueDeniµia continuit µii ³i câteva propriet µi ale funcµiilor reale de o variabil real continue este cunoscut din liceu. Se poate spune c funcµiile continue sunt un cazparticular de funcµii care au limit .De fapt, deniµia continuit µii este asem n toarecu deniµia limitei. Deosebirile se datoreaz faptului c în deniµia limitei se impunecondiµia x 6= x0.

Fie funcµia f : E → R, E ⊆ R ³i x0 ∈ E.

14

Deniµia 1.2.17. Funcµia f este continu în x0 dac pentru orice vecin tate U ⊂Vf(x0) exist o vecin tate V ⊂ V(x0) astfel încât pentru orice x ∈ V ∩ E s avemf(x) ∈ U.

Continuitatea nu are sens în punctele unde funcµia f nu este denit .

Teorema 1.2.18. Funcµia f : E → R este continu în x0 ∈ E dac ³i numai dac pentru orice ³ir xn → x0 avem f(xn) → f(x0).

Demonstraµie. Dac pentru orice ³ir xn → x0, xn ∈ E ³irul (f(xn))n arelimit , atunci toate ³irurile (f(xn))n au aceea³i limit ³i anume pe f(x0).

Faptul c toate ³irurile (f(xn))n au aceea³i limit se demonstreaz în mod analogcu limitele de funcµii (vezi Teorema 1.2.4), dar f r a pune condiµia ca xn 6= x0.

Luând ³irul constant xn = x0 obµinem c aceast limit comun este f(x0).

Teorema 1.2.19. Funcµia f : E → R este continu în punctul x0 ∈ E dac ³inumai dac pentru orice ε > 0 exist δε > 0, astfel încât pentru orice x ∈ E cu|x− x0| < δε, s avem |f(x)− f(x0)| < ε.

Demonstraµie. Folosim deniµia continuit µii. Folosind faptul c x0 ³i f(x0)sunt nite putem lua U ⊂ V(f(x0)) astfel U = (f(x0)−ε, f(x0)+ε) cu ε > 0 oarecarexat, iar pe V ⊂ V(x0) ca (x0−δ, x0+δ) cu δ > 0. Deoarece V depinde de U , evident³i δ depinde de ε, ³i teorema este demonstrat . (observaµie: x ∈ V ⇔ |x − x0| < δiar f(x) ∈ U ⇔ |f(x)− f(x0)| < ε).

Teorema 1.2.20. Funcµia f : E → R este continu în orice punct izolat al dome-niului ei de deniµie.

Demonstraµie. Folosind deniµia punctului izolat ³i deniµia continuit µii seobµine imediat.(vezi [9] pg. 205-206)

Deniµia 1.2.21. f este continu la stânga în punctul x0 dac pentru orice ³irxn → x0 format din puncte xn ≤ x0 din E avem f(xn) → f(x0).

Deniµia 1.2.22. f este continu la dreapta în punctul x0 dac pentru orice ³irxn → x0, xn ≥ x0 din E avem f(xn) → f(x0).

Teorema 1.2.23. Funcµia f : E → R este continu în x0 ∈ E dac ³i numai dac este continu la stânga ³i la dreapta în x0.

Demonstraµie. [9] pg.217-218.

Observaµia 1.2.24. Funcµia f este continu în x0 ∈ E dac ³i numai dac

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0).

15

1.2.2 Funcµii derivabileDeniµia derivatei

În continuare I este un interval închis, I = [α, β]. Fie x0 ∈ (α, β) , adic x0 ∈ I.

Fie o funcµie real f : I → R,.

Deniµia 1.2.25. Prin deniµie limita

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(x0),

evident dac aceast limit exist ,se nume³te derivata funcµiei în x0. Dac f ′(x0)este nit , atunci funcµia este derivabil în x0.

Dac f ′ este denit în punctul x0 atunci spunem c funcµia f este diferenµiabil în punctul x0.Asupra diferenµiabilit µii vom reveni în capitolul 3.

Dac consider m funcµia f : (a, b) → R, denit pe un interval deschis, atunciderivata f ′(x), pentru orice x ∈ (a, b), este denit în mod analog, dar în acest cazf ′(a) ³i f ′(b) nu sunt denite.

Generalizarea noµiunii de derivat , în aceast form este imposibil pentrufuncµii de mai multe variabile, sau pentru funcµii denite pe spaµii liniare gener-alizate.Transcriem limita în urm toarea form

lim|x−x0|→0

|f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)||x− x0| = 0, not m x− x0 = h,

³i obµinemlimh→0

|f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0) · h||h| = 0.

Dac f ′(x0) este nit , atunci exist o aplicaµie liniar ϕ : R→ R denit prin ϕ(h) = f ′(x0) · h pentru orice h ∈ R.

Deniµia 1.2.26. Funcµia f este derivabil în x0 dac ³i numai dac exist o apli-caµie liniar ϕ : R→ R astfel încât:

limh→0

|f(x0 + h)− f(x0)− ϕ(h)||h| = 0 (1.1)

Deoarece ϕ este liniar , are forma ϕ(h) = a · h. Putem scrie:

limh→0

|f(x0 + h)− f(x0)− a · h||h| =⇔ lim

h→0

∣∣∣∣f(x0 + h)− f(x0)

h− a

∣∣∣∣ = 0

Deci, exist f ′(x0) ³i este egal cu a. Adic , în cazul când exist ϕ : R → Rliniar care satisface (1.1) avem ϕ(h) = f ′(x0) · h pentru orice h ∈ R, ceea ceînseamn c funcµia liniar ϕ este unic .

16

Teorema 1.2.27. Fie o funcµie real f : I → R, x0 ∈ I. Dac f este derivabil în

x0 atunci f este continu în x0.

Demonstraµie.Folosind operaµiile obi³nuite asupra funcµiilor continue ³ideniµia derivatei demonstraµia este imediat .

Avem de ar tat c limx→x0

f(x) = f(x0). Putem scrie:

f(x)− f(x0) =f(x)− f(x0)

x− x0

(x− x0)

Astfel avem:

limx→x0

(f(x)− f(x0)) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

(x− x0) = f ′(x0) · 0 = 0.

Observaµia 1.2.28. Reciproca teoremei, în general, nu este adev rat . Exist funcµii care sunt continue pe domeniul lor de deniµie dar nu sunt diferenµiabileîn nici un punct. Acest rezultat este demonstrat de exemplu în [13]. WeierstrassK.(1815-1897) a construit astfel de funcµii pentru prima dat .

Exemplu: Fie funcµia f : R→ R denit prin

f(x) =

x sin 1

x, x 6= 0

0 , x = 0

Se poate ar ta u³or c funcµia este continu în punctul x = 0.Pentru derivabilitate avem de calculat urm toarea limit :

limx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0

sin 1x

x= sin

1

x

Dac x → 0 atunci expresia sin 1x nu tinde spre nimic, adic f ′(0) nu exist .

Deniµia 1.2.29. Fie o funcµie real f : I → R.. Dac f este derivabil în oricepunct x ∈ I atunci spunem c funcµia f este derivabil pe I.Funcµia derivat not mcu f ′ : I → R.

Reguli ³i formule imediate de derivare ( derivabilitatea sumei, produsului,câtului,funcµiilor compuse, funcµiei inverse) sunt cunoscute din liceu de aceea nu ne vomopri asupra lor.

Câteva aplicaµii ale derivatei în economieConsider m o funcµie real f : I → R, cu o anumit semnicaµie economic (ex.

costul total de fabricaµie). Presupunem c funcµia este derivabil pe domeniul ei dedeniµie.

Putem deni urm toarele indicatori:

1. valoarea medie local a funcµiei în punctul x este ∆f(x)∆x , unde ∆x este

cre³terea variabilei independente,adic ∆x = h

17

2. valoarea marginal a funcµiei în punctul x este

lim∆x→0

∆f(x)

∆x

3. variaµia relativ a funcµiei în punctul x este ∆f(x)f(x)

4. ritmul mediu de variaµie este dat de raportul: Rmnot=

∆f(x)f(x)∆x

5. ritmul local de variaµie este

Rf,mnot= lim

∆x→0Rm =

f ′(x)

f(x)= (ln f)′

6. elasticitatea medie este:

Em =

∆f(x)f(x)

∆xx

7. elasticitatea local este:

Ef,x = lim∆z→0

Em = lim∆x→0

∆f(x)

∆x· x

f(x)= f ′(x) · x

f(x)=

(ln f)′

(ln x)′

Derivate de ordin superiorDeniµia 1.2.30. Fie o funcµie real f : I → R, derivabil pe I. Consider mfuncµia derivat f ′ : I → R ³i punctul x0 ∈ I

. Dac funcµia f ′ este derivabil în x0,

atunci spunem c funcµia f este de dou ori derivabil în x0, ³i scriem:

f (2)(x0) = (f ′(x0))′ = lim

∆x→0

f ′(x0 + ∆x)− f ′(x0)

∆x

În mod analog, prin recurenµ putem introduce derivata de un ordin n, n ∈ N∗

f (n)(x) = (f (n−1)(x))′

Teorema 1.2.31. (formula lui Leibniz)Fie f, g : I → R, dou funcµii reale, derivabile de n ori pe I. Atunci fg sunt

derivabile de n ori pe I ³i

(fg)(n) =n∑

k=0

Cknf (n−k)g(k).

18

Demonstraµie. Demonstr m prin inducµie matematic .I. Vericare. Pentru n = 1 avem formula cunoscut

(f · g)′ = f ′ · g(0) + f (0) · g′

Prin convenµie f (0) = f .II.S-o presupunem adev rat relaµia pentru (n− 1).

(f · g)(n−1) =n−1∑

k=0

Ckn−1f

(n−1−k)g(k)

III. Demonstr m c este adev rat pentru orice n

(f · g)(n) =((f · g)(n−1)

)′=

(n−1∑

k=0

Ckn−1f

(n−1−k)g(k)

)′

=

=n−1∑

k=0

Ckn−1

(f (n−k)g(k) + f (n−1−k)g(k+1)

)=

= C0n−1(f

(n)g + f (n−1)g′) + C1n−1(f

(n−1)g′ + f (n−2)g(2)) +

+ C2n−1(f

(n−2)g(2) + f (n−3)g(3)) + · · ·+ Cn−2n−1(f (2)g(n−2) + f ′g(n−1)) +

+ Cn−1n−1(f ′g(n−1) + f · g(n)) =

= C0n−1f

(n)g + (C0n−1 + C1

n−1)f(n−1)g′ + (C1

n−1 + C2n−1)f

(n−2)g(2) + · · ·++ (Cn−2

n−1 + Cn−1n−1)f ′g(n−1) + Cn−1

n−1f · g(n) =

= C0nf (n)g + C1

nf(n−1)g′ + · · ·+ Cn

nf · g(n) =

=n∑

k=0

Cknf (n−k) · g(k)

Identitatea Ckn−1 + Ck+1

n−1 = Ck+1n se demonstreaz u³or iar,

C0n−1 = C0

n = 1 ³i Cn−1n−1 = Cn

n = 1 este evident .În continuare demonstr m una din cele mai importante formule din întreaga

matematic . Formula are o importanµ semnicativ în aproximarea controlabil afuncµiilor reale prin polinoame.

Vom nota cu Cn(I) mulµimea funcµiilor reale de n-ori derivabile ³i cu f (n) con-tinue.Teorema 1.2.32. (formula lui Taylor B.(1685-1731))

Fie o funcµie real f : I → R, de clas Cn(I) (cu n ≥ 1 xat). Atunci pentruorice a ∈ I

xat ³i orice x ∈ I are loc formula:

f(x) = f(a)+f ′(a)

1!(x−a)+

f (2)(a)

2!(x−a)2+· · ·+f (n−1)(a)

(n− 1)!(x−a)n−1+Rn−1(x) (1.2)

undeRn−1(x) =

∫ x

a

f (n)(t)(x− t)n−1

(n− 1)!dt. (1.3)

19

Demonstraµie. Se demonstreaz prin inducµie dup n.I. Vericare.pentru n = 1 avem

f(x) = f(a) + R0(x), cu R0(x) =

∫ x

a

f ′(x)dt

ceea ce este chiar formula lui Newton-Leibniz.II. Presupunem c este adev rat pentru n, adic

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) + · · ·+ f (n−1)(a)

(n− 1)!(x− 0)n−1 + Rn−1(x)

III. Demonstr m c este adev rat pentru orice (n + 1), adic

f(x) = f(a) + · · ·+ f (n−1)(a)

(n− 1)!(x− a)n−1 +

f (n)(a)

n!(x− a)n + Rn(x)

Avem de ar tat c Rn−1(x) =

f (n)(a)

n!(x− a)n + Rn(x)

⇔∫ x

a

f (n)(t)(x− t)n−1

(n− 1)!dt−

∫ x

a

f (n+1)(t)(x− t)n

n!dt =

f (n)(a)

n!(x− a)n

⇔∫ x

a

(x− t)n−1

n![nf (n)(t)− (x− t)f (n+1)(t)]dt =

f (n)(a)

n!(x− a)n

⇔ − 1

n!

∫ x

a

d

dt[(x− t)nf (n)(t)] =

f (n)(a)

n!(x− a)n

⇔ − 1

n![(x− t)nf (n)(t)]

∣∣∣∣x

a

=f (n)(a)

n!(x− a)n,

ceea ce este adev rat ³i astfel teorema este demonstrat .Brook Taylor a dat aceast formul în 1712 (a fost publicat în 1715).

Observaµia 1.2.33. Pentru n, a, f xate, putem deni polinomul lui Taylor:

T (x) =n−1∑

k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k,

astfel (1.2) revine la: f(x) = T (x) + Rn−1(x). Deoarece valoarea derivatei pân la ordinul (n − 1) ale lui f ³i T în a coincid rezult f(x) ≈ T (x); cu eroareasupx∈I |f(x) − T (x)|. Evaluarea erorii este foarte important din punct de vederepractic. Dup cum am putut observa ordinul de precizie este determinat de termenulrest Rn(x). În acest scop avem de determinat o margine superioar pentru acesttermen. Abordarea acestei probleme cu termenul rest dat de relaµia (1.3) este destulde dicil .

20

În 1806 Joseph Lagrange a scris formula lui Taylor în urm toarea form util din punct de vedere practic.

Corolarul 1.2.34. (formula lui Taylor, în sens Lagrange J.(1736-1813))Fie f : I → R o funcµie real de clas Cn+1(I), (n ≥ 0 xat). Atunci pentru

orice x ∈ I exist cel puµin un punct ξ ∈ (a, x) (depinzând de x) astfel încât s avem:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n +

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x− a)n+1 (1.4)

Observaµia 1.2.35. Luând x = b în formula (1.4) ³i n = 0, obµinem teoremacre³terilor nite lui Lagrange. Deci formula lui Taylor este generalizarea acesteiteoreme.

Corolarul 1.2.36. (formula lui Colin Maclaurin (1689-1746))Fie o funcµie real f : [−α, α] → R, α > 0, de clas Cn+1([−α, α]). Atunci pentru

orice x ∈ [−α, α) exist cel puµin un punct ξ ∈ (0, x) astfel încât

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f (2)(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!xn+1 (1.5)

Exemple:

1. f(x) = ex, f : R → R. Calcul m derivatele de ordinul n. Avem f (n)(x) = ex

rezult f (n)(0) = 1 ³i folosind (1.5) obµinem:

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ Rn(x)

2. f(x) = sin x, f : R→ R. Cu acela³i raµionament obµinem:

sin x =x

1!− x3

3!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ R2n+1(x)

3. S se calculeze sin 33 cu aproximaµie ≤ 10−6 Folosim formula lui Taylor :

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f (2)(x0)

2!(x− x0)

2 + · · ·+

+f (n−1)(x0)

(n− 1)!(x− x0)

n−1 + Rn−1(x)

Formula este util în calcule aproximative. Dac nu putem determina exactvaloarea lui f(x) pentru un x xat atunci alegem în mod convenabil punctulx0 din vecin tatea lui x pentru care f(x0) poate calculat exact.

21

În problema propus lu m x0 = 30 ³i avem astfel h = x − x0 = 3. Evidentπ

60 = 3. Adic :

sin 33 = sin(30 + 3) = sin(π

6+

π

60

)

sin x = sin x0 +(sin x)′|x=x0

1!+

(sin x)′′|x=x0

2!h2 + · · ·+ Rn(x)

sin x =1

2+

√3

2

1!· π

60−

12

2!·( π

60

)2

−√

32

3!

( π

60

)3

≈ 0, 54464(

h4

4!=

π4

604 · 4!< 10−6

)

Determinarea extremelor unei funcµii derivabileFormula lui Taylor, ne permite unele preciz ri în studiul funcµiilor reale iniµiat înliceu.

1. Fie f : [a, b] → R, de clas C1([a, b]).

Funcµia f este convex dac

f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

M

TPN

f(x)

xx0 bxa

Coordonatele punctelor T, M, N pot determinate u³or ³i sunt:

T (x0, f(x0))

M(x, f(x))

N(x, f(x0) + f ′(x0)(x− x0))(tgα =

NP

x− x0

= f ′(x0)

)

22

2. Fie acum funcµia f : [a, b] → R, de clas C2([a, b]).

Folosind (1.4) putem scrie

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(ξ)2!

(x− x0)2, ξ ∈ (x0, x)

de unde obµinem:

f(x)− f(x0)− f ′(x0)

1!(x− x0) =

f ′′(ξ)2!

(x− x0)2, ξ ∈ (x0, x)

Folosind deniµia convexit µii, dat mai sus, putem deduce:- dac f ′′ ≥ 0 pe [a, b] atunci f este convex - dac f ′′ ≥ 0 pe [a, b] atunci f este concav .

Deniµia 1.2.37. Fie f : I → R o funcµie real , derivabil pe I. R d cinile ecuaµieif ′(x) = 0 se numesc puncte staµionare.

Deniµia 1.2.38. Fie f : I → R o funcµie real . Un punct a ∈ Ise nume³te extrem

local pentru f dac exist o vecin tate V ⊆ Va astfel încât pentru orice x ∈ Vf(x)− f(a) s aib semn constant.

Dac f(x)− f(a) > 0 atunci a este punct minim local.f(x)− f(a) < 0 atunci a este punct maxim local.

Teorema 1.2.39. Fie f : [a, b] → R o funcµie de clas Cn([a, b]), n ≥ 2 ³i x0 ∈ (a, b).Dac : f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, iar f (n)(x0) 6= 0 atunci

pentru n = 2k, x0 este punct extrem local.Dac f (n)(x0) > 0 atunci x0 este punct minim local.Dac f (n)(x0) < 0 atunci x0 este punt maxim local.Dac n este impar adic , n = 2k + 1 atunci x0 nu este punct extrem local.Demonstraµie. Deoarece funcµia f este de clas Cn([a, b]) putem folosim (1.4)

în punctul x0. Astfel avem:

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) + · · ·+ f (n−1)(x0)

n!(x− x0)

n−1 +fn(ξ)

n!(x− x0)

n

Folosind ipoteza relaµia devine:

f(x) = f(x0) +f (n)(ξ)

n!(x− x0)

n, ξ ∈ (x, x0)

Pentru n = 2k + 1 semnul lui f(x) − f(x0) este variabil în orice V ⊆ V(x0) , decipunctul x0 nu poate extrem local.

Pentru n = 2k dac f (n)(x0) < 0, ³tiind c f (n) este continu , rezult c are locîntr-o vecin tate V ⊆ V(x0) inegalitatea f(x)−f(x0) ≤ 0; adic x0 este punct maximlocal.

Dac f (n)(x0) > 0 se aplic un raµionament analog ³i x0 este un punct minimlocal.

23

Observaµia 1.2.40. Din teorema lui Fermat avem condiµii necesare pentru existenµaextremei locale. (condiµia f ′(x0) = 0 este necesar dar nu ³i sucient ).

Exemplu:f(x) = x6 − 2x5 − x4 + 4x3 − x2 − 2x + 1

Prima dat determin m punctele staµionare. Rezolv m ecuaµia f ′(x) = 0. Folosindschema lui Horner obµinem: x1 = x2 = x3 = x4 = −1, x5 = −1

3 , x6 = 1 Secalculeaz în continuare derivatele funcµiei ³i valoarea acestora în punctele indicate.

f ′′(x) = 30x4 − 40x3 − 12x2 + 24x− 2

f ′′(−1) = 32 > 0 deci x = −1 este punct minim local

f ′′(−1

3

)= −256

27< 0 deci x = −1

3este punct maxim local

f ′′(1) = 0, f 3(1) = 0, f 4(1) = 96 > 0 → x = 1 este punct minim local

Probleme rezolvate1) Ponind de la deniµia 1.2.25, s se calculeze derivata f ′(x0) pentru:a) f(x) = 3

√5x + 3, x0 = 1.

Derivata funcµiei în punctul x0 = 1 este

f ′(1) = limx→1

3√

5x + 3− 2

x− 1= lim

x→1

5x + 3− 8

(x− 1)(

3√

(5x + 3)2 + 2 3√

5x + 3 + 4) =

= limx→1

5(x− 1)

12(x− 1)=

5

12

b) f(x) = ln(x2 + 5x), x0 = 1

f ′(1) = limx→1

ln(x2 + 5x)− ln 6

x− 1= lim

x→1

ln x(x + 5)− ln 6

x− 1=

= limx→1

ln x + ln(x− 1 + 6)− ln 6

x− 1

În continuare folosim substituµia:

x− 1 = y

³i putem scrie

f ′(1) = limy→0

ln(y + 1) + ln(y + 6)− ln 6

y=

= limy→0

ln(y + 1) + ln(1 + y

6

)

y=

= limy→0

[ln(y + 1)

1y + ln

(1 +

y

6

) 1y

]= 1 +

1

6=

7

6

24

c) S se calculeze derivatele laterale ale funcµiei f(x) în punctul x0 pentru:

f(x) =

x2 cos 1

x, x > 0

−x, x ≤ 0, x0 = 0

f ′s(0) = limx0

−x− 0

x− 0= −1

f ′d(0) = limx0

x2 cos 1x− 0

x− 0= lim

x0x cos

1

x= 0

Deoarece f ′s(0) 6= f ′d(0) funcµia dat nu este derivabil în punctul x0 = 0.

2) S se cerceteze derivabilitatea funcµiilor:

a) f(x) =

ln(x2 + 3x), 0 < x < 154(x− 1) + 2 ln 2, x ≥ 1

, f : R∗+ → R

Pe intervalele (0, 1), (1, +∞) funcµia f este evident continu , chiar derivabil .Studiem continuitatea în punctul x = 1. Avem

ls = f(1− 0) = limx1

ln(x2 + 3x) = ln 4

ld = f(1 + 0) = limx1

[5

4(x− 1) + 2 ln 2

]= 2 ln 2 = ln 4

f(1) = ln 4

Funcµia f este continu în x = 1 deoarece f(1− 0) = f(1 + 0) = f(1).Pentru orice x 6= 1 avem

f ′(x) =

2x + 3x2 + 3x

, 0 < x < 1

54 , x > 1

Veric m dac exist limita limx→1

f ′(x). Calcul m limitele:

limx→1x<1

f ′(x) = limx→1x<1

2x + 3

x2 + 3x=

5

4

³ilimx→1x>1

f ′(x) = limx→1x>1

5

4=

5

4

Este cunoscut din liceu urm torul corolar al teoremei lui Lagrange (cl. a XI-a).Corolar.

Fie f o funcµie denit într-o vecin tate V a punctului x0, derivabil pe V \x0³i continu în x0. Dac exist limita λ = limx→x0 f ′(x), atunci f ′(x0) exist ³if ′(x0) = λ. Dac limita λ este nit , atunci f este derivabil în x0.

25

Aplicând acest corolar rezult c f este derivabil în x = 1 ³i f ′(1) = 54 .

3) S se calculeze derivatele de ordinul n ale urm toarelor funcµii.Derivatele de ordinul n putem determina calculând derivatele f ′, f ′′, f ′′′ etc. pân

când putem deduce formula lui f (n) dup care o demonstr m prin inducµie matem-atic corectitudinea formulei astfel deduse.

În continuare prezent m câteva procedee cu care putem obµine derivatele deordinul n.

(a) f(x) =1

2x2 − 3x− 5

Dac pornim pe calea obi³nuit ³i calcul m derivatele:

f ′(x) =−4x + 3

(2x2 − 3x− 5)2

f ′′(x) =−4(2x2 − 3x− 5)2 − (−4x + 3) · 2 · (2x2 − 3x− 5) · (4x− 3)

(2x2 − 3x− 5)4

observ m c derivatele devin tot mai complicate.În acest caz derivatele de ordinul n putem obµine u³or, dac funcµia dat de-

scompunem în fracµii simple. Dac rezolv m ecuaµia 2x2 − 3x − 5 = 0, obµinemx1 = −1 ³i x2 = 5

2; ³i putem scrie:

f(x) =1

2(x− 5

2

)(x + 1)

=1

2

[2

7· 1

x− 52

− 2

7· 1

x + 1

]

Trebuie s determin m constantele A ³i B astfel încât s avem:

1

2(x− 5

2

)(x + 1)

=1

2

[A

x− 52

+B

x + 1

]

De aici obµinem un sistem liniar de 2 ecuaµii 2 necunoscute având soluµia: A =27 , B = −2

7 .

Acum derivatele lui f pot calculate u³or.Avem:

f ′(x) =1

7

[− 1(

x− 52

)2 +1

(x + 1)2

]

f ′′(x) =1

7

[2 · 1(

x− 52

)3 −2 · 1

(x + 1)3

]

f ′′′(x) =1

7

[− 3 · 2 · 1(

x− 52

)4 +3 · 2 · 1(x + 1)4

]

26

Putem deduce u³or:

f (n)(x) =1

7

[(−1)n · n!(x− 5

2

)n+1 +(−1)n+1 · n!

(x + 1)n+1

]=

= (−1)n · n!

7

[1(

x− 52

)n+1 −1

(x + 1)n+1

]

Se demonstreaz prin inducµie matematic c relaµia obµinut este adev rat .

b) Fie funcµia f : R→ R, f(x) = x5 · e−2x.Pentru a obµine derivatele de ordinul n putem folosi ³i regula lui Leibniz de

derivare a produsului (teorema 1.2.31):

(f · g)(n) =n∑

k=0

Cknf (n−k) · g(k)

Putem scrie:f(x) = x5 · e−2x = h(x) · g(x), unde s-a notat cuh(x) = x5 ³i g(x) = e−2x.Avem astfel:

f (n)(x) =n∑

k=0

Ckn(e−2x)(n−k) · (x5)(k) =

= C0n(e−2x)(n) · x5 + C1

n(e−2x)(n−1) · 5x4 + C2n(e−2x)(n−2) · 20x3 +

+ C3n(e−2x)(n−3) · 60x2 + C4

n(e−2x)(n−4) · 120x + C5n(e−2x)(n−5) · 120

Este u³or de v zut c g(n)(x) = (−2)n · e−2x ³i inlocuind obµinem f (n)(x).

c)Fie funcµia f : R→ R, f(x) = 2xx2 + 1

.

S se determine f (n)(0)!Aplic m regula lui Leibniz pentru:

f(x) · (x2 + 1) = 2x (1.6)

Evident[f(x) · (x2 + 1)](n) = 0

pentru orice n ≥ 2. Folosind formula lui Leibniz putem scrie:

[f(x) · (x2 + 1)](n) =n∑

k=0

Cknf (n−k)(x) · (x2 + 1)(k) =

= C0nf (n)(x) · (x2 + 1) + C1

nf (n−1)(x) · 2x + (1.7)+ C2

nf(n−2)(x) · 2

27

Din (1.6) ³i (1.7) pentru x = 0 obµinem:

C0nf

(n)(0) + C2nf

(n−2)(0) · 2 = 0

Decif (n)(0) = −n(n− 1) · f (n−2)(0).

Prin calcul direct avem f ′(0) ³i f ′′(0) ³i pentru n > 3 din recurenµ se obµine f (n)(0).

4) S se scrie funcµia f(x) = x3 − 2x2 + 3x + 5 dup puterile lui (x− 2).Aplic m formula lui Taylor (teorema 1.2.32).Pentru funcµia dat putem aplica formula:

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)

2!(x− x0)

2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)

n + Rn(x).

Lu m x0 = 2 ³i avem

f(2) = 11f ′(x) = 3x2 − 4x + 3, f ′(2) = 7f ′′(x) = 6x− 4, f ′′(2) = 8f ′′′(x) = 6, f ′′′(2) = 6

Dezvoltarea dup puterile lui (x− 2) este:

f(x) = 11 + 7(x− 2) +8

2!(x− 2)2 +

6

3!(x− 2)3

5) S se calculeze cu aproximaµie ³i s se evalueze apoi eroarea comis , pentru3√

30.Putem considera funcµia f(x) = 3

√x ³i aplic m formula lui Taylor în sens La-

grange în punctul x0 ales convenabil.(Punctul x0 alegem astfel încât s e în vecin tatea punctului x = 30 ³i pe f(x0)

s putem calcula exact.) Precizia aproxim rii evalu m cu ajutorul termenului derest

Rn(x) =fn+1(ξ)

(n + 1)!· hn+1

unde ξ ∈ (a, x). Folosim substituµia ξ = a + θ(x− a), θ ∈ (0, 1) ³i obµinem

Rn(x) =f (n+1)(a + θ(x− a))

(n + 1)!· hn+1

Putem scriex = 30 = 33 + 3.

³i cu notaµia cunoscut avem: x− x0 = h, x0 = 33 iar h = 3.

28

Scriem formula lui Taylor în punctul x0 = 33 :

3√

x = f(27) +f ′(27)

1!· h +

f ′′(27)

2!h2 +

f ′′′(27)

3!h3 + · · ·+ Rn(x)

Deci

3√

30 = 3 +1

1!· 1

3· 1

32· 3 +

1

2!

(−1

3

)· 2

3· 1

35· 32 +

1

3!

(−1

3

)· 2

3

(−5

3

)·

· 138· 33 +

1

3· 2

3· 5

3·(−8

3

)· 1

4!· 34 · (33 + θ · 3)−11/3, θ ∈ (0, 1)

Prin urmare3√

30 ≈ 3 +1

9− 1

35+

5

39

³i eroarea comis evalu m din

Rn(x) = −10

3(33 + 3θ)−11/3 = − 10

3(33 + 3θ)11/3

Deoarece θ ∈ (0, 1) putem scrie:∣∣∣∣−

10

3(33 + 3θ)−11/3

∣∣∣∣ <10

3· 3−11 <

1

39.

6) S se scrie formula lui Maclaurin pentru funcµiaa) f(x) = cos x, x ∈ RFolosim corolarul 1.2.34.Calcul m derivatele de ordin superior al funcµiei date.

f ′(x) = − sin x f ′(0) = 0f ′′(x) = − cos x f ′′(0) = −1f ′′′(x) = sin x f ′′′(0) = 0f iv(x) = cos x f iv(0) = 1

Putem scrie:

f(x) = 1− 1

2!x2 +

1

4!x4 + · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ · · ·+ Rn(x)

b) f(x) = arctgx, x ∈ RPrima dat avem de calculat derivatele de ordinul n al funcµiei. În acest scop

folosim regula lui Leibniz, pentru funcµia derivat

f ′(x) =1

1 + x2

Putem scrie:f ′(x) · (1 + x2) = 1 (1.8)

29

Evident[f ′(x) · (1 + x2)](n) = 0 (1.9)

pentru n > 1.Aplic m regula lui Leibniz.

[f ′(x) · (1 + x2)](n) =n∑

k=0

Ckn(f ′(x))(n−k) · (1 + x2)(k) = (1.10)

= C0nf

(n+1)(x) · (1 + x2) + C1nf

(n)(x) · 2x + C2nf

(n−1)(x) · 2Din (1.9) ³i (1.10) pentru x = 0 obµinem:

f (n+1)(0) + n(n− 1)f (n−1)(0) = 0

adic f (n+1)(0) = −n(n− 1)f (n−1)(0).

Recurenµa putem aplica pentru n ≥ 1; iar pe f(0) ³i f ′(0) calcul m direct.

f(0) = 0, f ′(0) = 1

f ′′(0) = −1 · (1− 1) · f (0)(0) = 0

f ′′′(0) = −2(2− 1) · f ′(0) = −2 · 1 · 1 = −2!

f (4)(0) = −3 · (3− 1) · f ′′(0) = 0

f (5)(0) = −4(4− 1)f ′′′(0) = −4 · 3 · (−2) = 4!

Prin inducµie putem ar ta c sunt adev rate urm toarele formule:

f (2k)(0) = 0 i f (2k+1)(0) = (−1)k · (2k)!, k ∈ NAstfel putem scrie formula lui Maclaurin:

arctgx =x

1!− 2!

3!x3 +

4!

5!x5 + · · ·+ (−1)k · (2k)!

(2k + 1)!x2k+1 + Rn(x) =

=x

1− x3

3+

x5

5+ · · ·+ (−1)k x2k+1

2k + 1+ Rn(x).

7) S se determine punctele de extrem pentru funcµia:

f(x) = 15x5 − x3 + 3, f : R→ R.

Determin m punctele staµionare. (Folosim teorema lui Fermat). Rezolv m ecuaµiaf ′(x) = 0, adic :

75x4 − 3x2 = 0

⇔ 25x4 − x2 = 0

⇔ x2(25x2 − 1) = 0

x1 = x2 = 0, x3 =1

5, x4 = −1

5

30

Folosim teorema 1.2.39 pentru determinarea extremelor.f ′′(x) = 75 · 4x3 − 6x

f ′′′(x) = 75 · 4 · 3 · x2 − 6

f (4)(x) = 75 · 4 · 3 · 2 · xf (5)(x) = 75 · 4 · 3 · 2

Pentru x1 = 0 avem f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = −6 deci x = 0 nu este extrem local.Pentru x3 = 1

5 avem f ′′(

15

)= 6

5 , iar pentru x4 = −15 avem f ′′

(−1

5

)= −6

5 ,

adic 15 este minim local iar −1

5 este maxim local.Probleme propuse1) S se determine coecienµii a, b ∈ R, astfel încât funcµia

f(x) =

ln3 x, 0 < x ≤ eax + b, x > e

s e derivabil pentru orice x > 0.2) Folosind regulile de derivare, s se calculeze derivatele urm toarelor funcµii:

f(x) =

√x2 − 2

x2 + 1; f(x) = (1 + x2)

√x; f(x) =

3

√1 +

3√

x2.

3) S se calculeze derivatele de ordinul n ale urm toarelor funcµii:

f(x) = 12x2 + 7x− 15

; f(x) = 2x1 + x ; f(x) = 1

1− x2 ;

f(x) = (x2 − 3x + 2)−1; f(x) = eax · ebx

4) S se dezvolte polinomul f(x) = x4 − 2x3 + 4x2 − 3x + 5 dup puterile lui(x− 1) ³i dup puterile lui (x + 2).

5) S se calculeze cu aproximaµie 5√

251; 4√

2616) S se scrie formula lui Maclaurin de ordinul n pentru funcµia f(x) =√

a + x, x > −a, a > 0.7) S se determine punctele de extrem pentru funcµia

f(x) = 2x6 − x3 + 3, x ∈[−1

2,1

2

].

1.3 Serii1.3.1 Serii numericeiruri de numere

Pentru a deni ³i a studia propriet µile generale ale seriilor numerice sunt nece-sare câteva noµiuni ³i propriet µi de baz ale ³irurilor de numere. Noµiunea de ³irnumeric este cunoscut din liceu.

31

Deniµia 1.3.1. O aplicaµie f : N→ R se nume³te ³ir de numere reale.

f(n) = an, n ∈ NDeniµia 1.3.2. Un ³ir (an)n≥0 este m rginit, dac exist M > 0 astfel încât|an| ≤ M pentru orice n ∈ N.

Deniµia 1.3.3. irul (an)n este convergent, dac exist a ∈ R astfel încât pentruorice ε > 0 exist nε ∈ N : ∀ n ≥ nε s avem |an − a| < ε.

Not m: an −−−→n→∞

a, limn→∞

an = a.

Dac ³irul (an)n nu este convergent atunci spunem c este divergent.

Teorema 1.3.4. (criteriul general de convergenµ a lui Cauchy)(an −−−→

n→∞a)⇔ ( ∀ ε 0, ∃ nε ∈ N : ∀ p ∈ N s avem |an+p − an| < ε).

Demonstraµie. [9] pg.81-82

Deniµia 1.3.5. Un ³ir (an)n este de tip Cauchy (sau ³ir fundamental) dac pentruorice ε > 0 exist nε ∈ N : ∀ n,m > nε s avem |an − am| < ε.

Noµiunea de serie numeric Teoria seriilor este o "combinaµie" între studiul sumelor nite ³i cel al limitelor de³iruri.

Noµiunea de serie apare mai târziu la generalizarea noµiunii de integral (în modulîn care denim aria A).

Deniµia 1.3.6. Fie (an)n≥0 un ³ir de numere reale. Putem deni un nou ³ir dinR, (sn)n≥0 astfel:

s0 = a0

s1 = a0 + a1

. . . . . . . . .

sn = a0 + a1 + · · ·+ an

. . . . . . . . . (1.11)

numit ³irul sumelor parµiale asociat ³irului iniµial. Perechea format din ³irurile((an)n, (sn)n) se nume³te serie cu termenul general an ³i se noteaz

∑n≥0

an

(sau a0+a1+· · ·+an+. . . punând simbolic semnul "+" între termenii ³irului (an)n).

Deniµia 1.3.7.

32

1. Seria numeric ∑n≥0

an este convergent dac ³irul sumelor parµiale (sn)n este

convergent . Dac not mlim

n→∞sn

not= s

atunci s se nume³te suma seriei∑

n≥0 an.

2. Dac seria numeric ∑n≥0

an nu este convergent , atunci este divergent .

Problema principal în studiul seriilor este determinarea naturii .Exemple:

seria geometric ∞∑

n=0

an = 1 + a + a2 + . . .

seria armonic ∑n≥1

1

n

Deniµia 1.3.8. Dac seria∑n≥0

an este convergent ³i s este suma seriei, atunci

diferenµa s− sn se nume³te rest de ordin n ³i se noteaz cu rn =∞∑

k=n+1

ak.

Operaµii cu serii numericeTeorema 1.3.9. Fie dou serii numerice

∑n≥0 an ³i

∑n≥0 bn ³i k un num r

real oarecare. Dac seriile considerate sunt convergente atunci seria∑

n≥0 kan ³i∑n≥0(an ± bn) este convergent ³i are loc:

∑n≥0

kan = k∑n≥0

an

∑n≥0

(an ± bn) =∑n≥0

an ±∑n≥0

bn

Demonstraµie. [9] pg. 686.

Observaµia 1.3.10. Din convergenµa seriei∑

n≥0(an ± bn) nu rezult convergenµaseriilor

∑n≥0 an ³i

∑n≥0 bn.

Exemplu: Fie seria∑n≥1

(1

n− 1

n + 1

)=

∑ 1

n(n + 1)

care este convergent , de³i∑

n≥11n ³i

∑n≥1

1n + 1 sunt divergente ind serii armon-

ice.

33

Teorema 1.3.11. (Criteriul general de convergenµ a lui Cauchy)Seria numeric

∑n≥0 an este convergent dac ³i numai dac penru orice ε > 0

exist nε ∈ N astfel încât pentru orice n > nε s avem:|an+1 + an+2 + · · ·+ an+p| < ε, pentru orice p ∈ N∗.

Demonstraµie. Se folose³te criteriul general de convergenµ a lui Cauchy 1.3.4pentru ³irul sumelor parµiale.Adic , seria

∑n≥0 an este convergent dac ³i numai

dac ³irul (sn)n este convergent, adic ceea ce înseamn c pentru orice ε > 0 exist nε ∈ N astfel încât pentru orice n,m > nε s avem: |sn − sm| < ε. Putem scriem = n + p, ³i avem astfel: |sn − sn+p| < ε.

Dar:|sn − sn+p| = |a1 + a2 + · · ·+ an + an+1 + · · ·+ an+p − a1 − a2 − · · · − an| =

= |an+1 + an+2 + · · ·+ an+p|³i astfel teorema este demonstrat .Observaµia 1.3.12. 1. Criteriul de convergenµ în unele cazuri este foarte util, laaltele apar anumite dicult µi de calcul. Are un neajuns foarte mare deoarece în cazde convergenµ nu precizeaz nimic despre suma seriei.

Exemplu: S se studieze natura seriei armonice:∑∞

n=11n. Aplic m criteriul pen-

tru p = n ³i avem:

|an+p − an| =∣∣∣∣

1

n + 1+ · · ·+ 1

n + p

∣∣∣∣ ≥∣∣∣∣

1

2n+ · · ·+ 1

2n

∣∣∣∣ =1

2

deci exist ε = 12 > 0 astfel încât pentru orice n > nε |an+p − an| > 1

2 .2. Pentru p = 1 din teorem se obµine o condiµie necesar de convergenµ . Se

poate arma c seria este convergent numai dac limn→∞

an = 0.

Aplicaµie: dac limn→∞

an 6= 0 atunci seria este divergent .

Exemplu: Fie seria∑

n≥1n

n + 1

limn→∞

an = limn→∞

n

n + 1= 1 6= 0 ⇒

seria este divergent .

Serii cu termeni pozitiviÎn acest caz,la propriet µile generale formulate anterior, se adaug unele noi ³i sepot formula teste de convergenµ , criterii suciente pentru a decide natura seriilorla exemple concrete.

Prima dat prezent m câteva propriet µi ale seriilor cu termeni pozitivi:- ³irul sumelor parµiale (sn)n este strict cresc tor;- seria are întotdeauna sum (nit sau innit );- seria este convergent dac ³i numai dac (sn)n este m rginit.

34

Teorema 1.3.13. (criteriul de comparaµie)Fie

∑n≥0 an ³i

∑n≥0 bn dou serii cu termeni pozitivi. Presupunem c exist

n0 ∈ N astfel încât an ≤ bn pentru orice n ≥ n0 ∈ N.α) Dac seria

∑n≥0 bn este convergent , atunci seria

∑n≥0 an este convergent .

β) Dac seria∑

n≥0 an este divergent , atunci seria∑

n≥0 bn este divergent .γ) Dac lim

n→∞an

bn

= l > 0, nit, atunci seriile∑

n≥0 an ³i∑

n≥0 bn au aceea³inatur ; dac l = 0 ³i

∑n≥0 bn convergent atunci

∑n≥0 an este convergent ; dac

l = ∞, iar∑

n≥0 bn este divergent atunci∑

n≥0 an este de asemenea divergent .Demonstraµie.α) Seria

∑n≥0 bn ind convergent din ipotez rezult c ³irul sumelor parµiale,

notat cu (s′′n)n, este convergent . Construim ³irul sumelor parµiale, (s′n), al seriei∑n≥0 an ³i demonstr m c este convergent . irul (s′n) este strict cresc tor (deoarece

(an)n are termeni pozitivi); pe de alt parte avem s′n ≤ s′′n (din ipotez ), adic este un³ir m rginit. Deci (s′n)n este convergent ,rezult c seria

∑n≥0 an este convergent .

β) Seria∑

n≥0 an este divergent . Putem spune atunci c ³irul (s′n) este diver-gent. Dar (s′n) ind strict cresc tor rezult (s′n) −−−→

n→∞∞ de unde avem divergenµa

³irului (s′′n).γ)

limn→∞

an

bn

= l > 0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N :

∣∣∣∣an

bn

− l

∣∣∣∣ < ε pentru orice n > nε ⇔

⇔ −ε <an

bn

− 1 < ε ⇔ l − ε <an

bn

< l + ε ⇔ bn(l − ε) < an < bn(l + ε)

Pentru seriile∑

n≥0 an,∑

n≥0 bn(ε + l),∑

n≥0 bn(ε− l) aplic m (α).ε + l ³i ε− l nu inuenµeaz natura seriei

∑n≥0 bn (l > 0 ∃ ε > 0 astfel încât

l − ε > 0).Criteriul comparaµiei ne permite stabilirea naturii unei serii comparând-o cu o

alt serie a c rei natur se cunoa³te.În acest scop poate folosit seria armonic generalizat

∑n≥1

1nα care pentru

α ∈ (0, 1] este divergent iar pentru α > 1 este convergent .Teorema 1.3.14. (criteriul lui D'Alembert(1717-1783))

Fie seria∑

n≥0 an cu termeni pozitivi . (α) Dac exist un num r natural n0 ³iun num r l strict pozitiv, subunitar astfel încât pentru orice n ≥ n0 ∈ N s aveman + 1

an≤ l, atunci seria

∑n≥0 an este convergent . β) Dac exist un num r natural

n0, astfel încât pentru orice n ≥ n0 s avem an+1an

≥ 1, atunci seria∑

n≥0 an estedivergent .

Demonstraµie. [9] pg.700 sau [1].Corolarul 1.3.15. Fie

∑n≥0 an o serie cu termeni pozitivi.S presupunem c

limn→∞an+1an

= l. Atunci, dac l < 1, seria este convergent . Dac l > 1 atunci seriaeste divergent . Dac l = 1, atunci nu putem spune nimic despre natura seriei.

35

Teorema 1.3.16. (criteriul r d cinii al lui Cauchy)Fie

∑n≥0 an o serie cu termeni pozitivi. Dac exist un num r natural n0 ³i

un num r strict pozitiv, subunitar L,astfel încât, pentru orice n ≥ n0, s avemn√

an ≤ L, atunci seria este convergent .Dac n

√an ≥ 1, pentru o innitate de termeni, atunci seria este divergent .

Demonstraµie. [9] pg.698-699 sau [1].

Corolarul 1.3.17. Fie seria cu termeni pozitivi∑

n≥0 an, astfel încât L = limn→∞

n√

an.

(α) Dac L < 1 ⇒ ∑n≥0 an este convergent .

(β) Dac L > 1 ⇒ ∑n≥0 an este divergent .

Dac L = 1, atunci nu putem spune nimic despre natura seriei.

Observaµia 1.3.18. Criteriul raportului este mai u³or de utilizat, îns spectrul deutilitate al criteriului r d cinii este mai mare.

Serii alternateDeniµia 1.3.19. Fie seria

∑n≥0 an cu termeni pozitivi (an > 0).

Construim seria∑∞

n=1(−1)n−1an = a1−a2 +a3−· · ·+(−1)n−1an + . . . ³i numimserie alternat .

Se poate formula un criteriu de convergenµ specic acestor serii.

Teorema 1.3.20. (Criteriul lui Leibniz)

Fie∞∑

n=1

(−1)n−1an, an > 0 pentru orice n ∈ N, o serie alternat . Dac ³irul

(an)n care genereaz seria este monoton descresc tor ³i limn→∞

an = 0 atunci seriaeste convergent .

Demonstraµie. Consider m ³irul sumelor parµiale (sn)n.sn = a1 − a2 + · · ·+ (−1)n−1an Din ³irul (sn)n separ m dou sub³iruri:

n = 2k s2k = a1 − a2 + · · · − a2k

n = 2k + 1 s2k+1 = a1 − a2 + · · · − a2k + a2k+1

Dar limk→∞

(s2k+1 − s2k) = limk→∞

a2k+1 = 0, deci dac ³irurile (s2k)k ³i (s2k+1)k suntconvergente atunci au aceea³i limit .

Trebuie ar tat c aceste sub³iruri sunt convergente.Putem scrie:

s2k = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · ·+ (a2k−1 − a2k),

Pe baza ipotezei ³irul (an)n este descresc tor ³i are loc:

a1 − a2 ≥ 0a3 − a4 ≥ 0. . . . . . . . .

36

Deci (s2k)k este un ³ir cu termeni pozitivi, rezult c este monoton cresc tor.Pe de alt parte s2k ≤ a1, deci ³irul (s2k)k este m rginit, de unde rezult c esteconvergent. În continuare scriem:

s2k+1 = a1 − (a2 − a3)− · · · − (a2k − a2k+1)

Parantezele au valori pozitive rezult din monotonia lui (an) → (s2k+1)k este de-scresc tor; dar s2k+1 ≥ 0, deci este m rginit ³i deasemenea convergent. Sub³irurile(s2k)k, (s2k+1)k ind convergente rezult c ³irul (sn)n este convergent adic seria∞∑

n=1

(−1)nan este convergent .

Serii numerice cu termeni oarecareFie seria

∑n≥0 an cu termeni an oarecare, f r o regul stabilit de formare. Noµi-

unile ³i teoremele enunµate în partea de generalit µi sunt valabile. Pe lâng celestabilite se vor preciza dou tipuri de convergenµ :

(a) convergenµ absolut (b) semi-convergenµ .

Deniµia 1.3.21. Seria ∑n≥0 an se nume³te absolut convergent dac seria cu ter-

meni pozitivi∑

n≥0 |an| este convergent .Deniµia 1.3.22. Seria

∑n≥0 an este semi-convergent dac ea este convergent

dar nu este absolut convergent (adic seria∑

n≥0 |an| este divergent ).Teorema 1.3.23. Orice serie absolut convergent este convergent .

Demonstraµie. Dac seria∑

n≥0 an este absolut convergent atunci seria∑n≥0 |an| este convergent . Folosind criteriul general de convergenµ a lui Cauchy

putem scrie:

| |an+1|+ · · ·+ |an+p| | < ε pentru orice ε > 0 i ∀ u > uε, p ∈ N.

Dar folosind proprietatea modulului putem scrie:

|an+1 + · · ·+ an+p| ≤ |an+1|+ · · ·+ |an+p| = | |an+1|+ · · ·+ |an+p| | < ε

ceea ce înseamn c seria∑

n≥0 an este convergent .În continuare enunµ m câteva criterii de convergenµ ale seriilor cu termeni oare-

care.Teorema 1.3.24. (criteriul lui D'Alembert)

Fie seria∑

n≥0 an care conµine termeni pozitivi ³i negativi. (an 6= 0, n =1, 2, . . . ).

Dac limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = q ³i q < 1 atunci seria este convergent Dac q > 1 atunciseria este divergent .

37

Demonstraµie. [5] pg.52-53Exemplu: Fie seria

∑n≥1(−1)n−1 · 1

n. S se studieze natura seriei ! Folosimcriteriul lui Leibniz. irul

(1n

)neste monoton descresc tor ; pe de alt parte 1

n −−−→n→∞

0 ⇒ ∑n≥1(−1)n−1 · 1

n este convergent .În continuare putem scrie:

∑n≥1

∣∣∣∣(−1)n−1 · 1

n

∣∣∣∣ =∑n≥1

∣∣∣∣1

n

∣∣∣∣ =∑n≥1

1

n,

ceea ce este seria armonic , care este divergent . Deci seria considerat este semi-convergent .

Teorema 1.3.25. (criteriul r d cinii)Fie seria

∑n≥0 an care conµine termeni pozitivi ³i negativi. (an 6= 0, n =

1, 2, . . . ).

Dac limn→∞

n√|an| = q ³i q < 1 atunci seria este convergent Dac q > 1 atunci

seria este divergent .

Probleme rezolvate1) S se stabileasc natura seriilor urm toare folosind deniµia 1.3.7

a)∑n≥1

1

4n2 − 1

irul sumelor parµiale este: sn =∑n

k=11

4k2 − 1Calcul m

∑nk=1

14k2 − 1

.

Putem scrie:1

4k2 − 1=

1

2(2k − 1)− 1

2(2k + 1)

Astfel :n∑

k=1

1

4k2 − 1=

1

2− 1

2(2n + 1)=

n

2n + 1

Acum, având ³irul sumelor parµiale cu termenul general sn = n2n + 1 , n ≥ 1 putem

studia natura acestuia.Se poate ar ta u³or c ³irul este m rginit sn ∈[0, 1

2

]³i

monoton cresc tor(

sn+1 − sn = 1(2n + 1)(2n + 3)

> 0

), deci convergent ³i

limn→∞

sn = limn→∞

n

2n + 1=

1

2

Deci seria este convergent ³i∑

n≥11

4n2 − 1= 1

2 .

38

b) Fie seria geometric ∑

n≥0 qn = 1 + q + q2 + . . .

irul sumelor parµiale este: sn =∑n

k=0 qk.Suma

∑nk=0 qk = 1 + q + q2 + · · ·+ qn reprezint suma primilor n termeni a unei

progresii geometrice (cl. a X-a). Adic

sn =n∑

k=0

qk =1− qn

1− q

limn→∞

sn = limn→∞

1− qn

1− q=

1

1− qdac |q| < 1.

Deci, dac |q| < 1 atunci seria geometric este convergent ³i∑

k≥0 qk = 11− q .

2) Folosind criterii de convergenµ s se stabileasc natura urm toarelor serii cutermeni pozitivi.

a)∑n≥1

n

3n−1

Folosind criteriul raportului 1.3.15, avem:

limn→∞

an+1

an

= limn→∞

n + 1

3n· 3n−1

n=

1

3< 1 ⇒

seria dat este convergent

b)∑n≥1

(2n + 10

3n + 11

)n

Folosind criteriul r d cinii 1.3.17, avem;

limn→∞

n

√(2n + 10

3n + 11

)n

= limn→∞

2n + 10

3n + 11=

2

3< 1 ⇒

seria dat este convergent .În aplicarea criteriului r d cinii de multe ori apare urm toarea limit ³i este

foarte util s cunoa³tem:lim

n→∞n√

n = 1

c)∑n≥1

n

2n

Folosind criteriul r d cinii putem scrie:

limn→∞

n

√n

2n= lim

n→∞

n√

n

2=

1

2< 1 ⇒

39

seria este convergent .Criteriul comparaµiei ne d posibilitatea de a stabili natura unei serii comparând-

o cu o alt serie a c rei natur se cunoa³te.

d)∑ √

5n

n2 + 3n + 5

Avem √5n

n2 + 3n + 5≤

√5n

n2 + 3n≤√

5 · √n

n2=

√5

n3/2

Dar seria∑ 1

n3/2 cu α = 32 > 1 este convergent . Pe baza criterilului de comparaµie

1.3.13 rezult c seria dat este convergent .

e)∑n≥1

1

30n + 7

1

30n + 7<

1

n

Seria armonic ∑ 1

n este divergent . Aplic m criteriul comparaµiei 1.3.13, calculând:

limn→∞

130n+7

1n

= limn→∞

n

30n + 7=

1

30< +∞

deci seriile au aceea³i natur , adic seria dat este divergent .

f)∑n≥1

(an2 + n + 1

n2

)n

, a > 0

Aplic m criteriul r d cinii 1.3.17, ³i obµinem:

limn→∞

n

√(an2 + n + 1

n2

)n

= a

Discuµie:- dac a < 1, atunci seria este convergent - dac a > 1, atunci seria este divergent - dac a = 1, atunci se obµine seria

∑n≥1

(n2 + n + 1

n2

)n

40

Pentru studiul naturii acestei serii, aplic m criteriul de necesitate (observaµia 1.3.12).Calcul m astfel:

limn→∞

(n2 + n + 1

n2

)n

= limn→∞

(1 +

n + 1

n2

)n

= e 6= 0,

înseamn c seria este divergent .

g)∑

(−1)n+1 1

n(n + 1)(n + 2)

Pentru aceast serie alternant aplic m criteriul lui Leibniz. Se poate ar tau³or c ³irul cu termenul general an = 1

n(n + 1)(n + 2)este monoton descresc -

tor ³i limn→∞ an = 0. Deci seria este convergent . Pe de alt parte seria∑n≥1

1n(n + 1)(n + 2)

este convergent , ceea ce avem din criteriul comparaµiei,deoarece:

1

n(n + 1)(n + 2)≤ 1

n3

³i seria∑ 1

n3 este convergent . Astfel putem spune c seria∑n≥1

(−1)n+1 1

n(n + 1)(n + 2)

este absolut convergent .Probleme propuse1) S se stabileasc natura seriilor urm toare:

∑n≥0

n!

2n;

∑n≥1

n2

n!;

∑n≥1

1

n(n + 1);

∑n≥1

1√n3 + n

;

∑n≥1

(6n2 + 7n + 5

2n2 + 5n + 9

)n

;∑n≥1

(n + 1

n

)n2

· an,

unde a > 0, a 6= 1e ;

∑n≥1

(−1)n+1 1√n(n + 1)

;∑n≥1

(3n)n

√(16n2 + 5n + 1)n+1

2) S se arate c sunt convergente ³i s se calculeze suma lor:∑n≥1

2n + 3n+1 − 6n−1

12n

∑n≥1

[2

n(n + 1)2+

1

n2(n + 1)2

]

41

1.3.2 Serii de funcµiiÎn aplicaµiile practice ale analizei matematice este foarte util,³i de multe ori chiarnecesar, aproximarea unor funcµii complicate cu suma funcµiilor elementare sau cuintegrale improprii ce depind de parametru. În acest scop este foarte importantteoria seriilor de funcµii ³i teoria integralelor improprii care depind de parametru.

În mod analog, cum am introdus seriile numerice cu ³iruri de numere reale, putemdeni seriile de funcµii folosind ³iruri de funcµii reale.

iruri de funcµiiÎn continuare vom nota cu F(X,Y ) mulµimea funcµiilor denite pe X cu valori

în Y. Dac Y = C sau Y = R atunci avem funcµii cu valori numerice.

Deniµia 1.3.26. Se nume³te ³ir de funcµii, orice ³ir din F(X, Y ). În continuareconsider m ³iruri de funcµii cu X = I (I = [a, b]) ³i Y = R.

Exemplu:

fn : [0, 1] → R, fn(x) =nx

1 + x2

fn : R→ R, fn(x) =x2

(1 + x2)n

fn : R→ R, fn(x) =sin nx√

n, n ∈ N

Deniµia 1.3.27. Fie fnn un ³ir din F(I,R). irul este convergent în punctulx0 ∈ I dac ³irul de numere reale (fn(x0))n este convergent.

Deniµia 1.3.28. Dac ³irul de numere (fn(x))n este convergent pentru orice x ∈ I,atunci putem deni o funcµie real f astfel:

f(x) = limn→∞

fn(x), x ∈ I.

Spunem c ³irul fnn converge punctual (sau ³irul fnn este simplu convergent)pe I. f se nume³te funcµie limit al ³irului. Not m convergenµa simpl cu: fn −−−→

n→∞f.

Deniµia 1.3.29. (fn −−−→n→∞

f) ⇔ (pentru orice ε > 0 ³i orice x ∈ I exist N(ε, x) ∈N astfel încât pentru orice n ≥ N(ε, x) s avem: |fn(x)− f(x)| < ε).

Deniµia 1.3.30. irul de funcµii fnn converge uniform pe I spre funcµia f dac pentru orice ε > 0 exist Nε ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ Nε s avem:

|fn(x)− f(x)| < ε, pentru orice x ∈ I.

Notaµie: fn−→−−−→

n→∞f

42

Observaµia 1.3.31. Dac fn−→−−−→

a→∞f atunci fn → f (invers nu este adev rat ).

Exemplu: S se arate c pentru x ∈ [0, 1] ³irul de funcµii este simplu convergent,iar pentru x ∈ (1,∞) este uniform convergent, c tre funcµia limit f(x) = 0.

fn(x) =2nx

1 + n2x2.

(lim

n→∞fn(x) = lim

n→∞2nx

n2(

1n2 + x2

) = 0 ⇒ f(x) = 0

)

Pentru orice ε > 0 xat exist N ∈ N (c ut m) astfel încât pentru orice n ≥ N s avem |fn(x)− f(x)| < ε, pentru orice x ∈ I.

⇔∣∣∣∣

2nx

1 + n2x2

∣∣∣∣ < ε ⇔ 2nx

1 + n2x2< ε ⇔ −εn2x2 + 2nx− ε < 0

dar 1 +√

1− ε2

εx < 1 + 1εx = 2

εx astfel putem lua N(ε, x) = 2εx.

Dac x ∈ [0, 1] ³i x → 0 ⇒ N(ε, x) → ∞ ⇒ avem convergenµ simpl .Dac x ∈ (1,∞) avem 2

2x < 2ε deci putem considera N(ε) = 2

ε ³i avem convergenµ uniform .

Teorema 1.3.32. (criteriul de convergenµ uniform a lui Cauchy) (fn−→−−−→

n→∞f pe

I) ⇔ (pentru orice ε > 0 exist N ∈ N, astfel încât pentru orice n,m ≥ N ³i x ∈ Is avem: |fn(x)− fm(x)| < ε).

Demonstraµie. [9] pg. 709-710 sau [1], [5].O problem important care se formuleaz aici este, dac se p streaz propri-

et µile importante ale funcµiilor fn din ³ir, prin treceri la limit .Exemplu:- dac funcµiile din ³irul fnn sunt continue sau derivabile sau integrabile, atunci

aceste propriet µi se transmit ³i funcµiilor limit f?- ce leg tur este între f ′nn ³i f ′ sau

∫fndx ³i

∫fdx.

Deniµia 1.3.33. f este continu în x, dac limt→x

f(t) = f(x).

Deci, trebuie s veric m dac au loc egalit µile:

limt→x

f(t) = limt→x

limn→∞

fn(t) = limn→∞

fn(x) = f(x).

Trebuie studiat, dac ordinea trecerii la limit este indeferent sau nu (adic n →∞apoi t → x sau prima dat t → x ³i apoi n →∞). Trebuie remarcat faptul c ,dac se schimb ordinea atunci se schimb ³i rezultatul, dar dac punem anumite condiµiiatunci ordinea efectu rii trecerii la limit este indiferent .

43

De exemplu e funcµia:

f(x, y) =x

x + y, x ≥ 1, y ≥ 1, x, y ∈ N

Pentru y xat avem:lim

x→∞x

x + y= 1,

decilimy→∞

limx→∞

f(x, y) = 1

Pentru x xatlimy→∞

f(x, y) = 0,

decilim

x→∞limy→∞

f(x, y) = 0.

Teorema 1.3.34. (convergenµa uniform ³i continuitatea)Dac funcµiile din ³irul de funcµii fnn sunt continue pe I, iar fn

−→−−−→n→∞

f pe I

atunci funcµia limit , f, este continu pe I.

Demonstraµie. [9] pg.711 sau [1].Inversa teoremei nu este adev rat ,dar se poate demonstra urm torul rezultat.

Teorema 1.3.35. Fie fnn din F(I,R) un ³ir monoton cresc tor (sau descresc -tor). Presupunem c toate funcµiile sunt continue.Dac ³irul converge simplu sprefuncµia limit f : I → R, care este continu , atunci fn −→→ f pe I.

Teorema 1.3.36. (convergenµa uniform ³i integrabilitatea)Dac fnn este un ³ir uniform convergent de funcµii integrabile pe I atunci

funcµia f este integrabil pe I ³i are loc:∫ b

a

f(t)dt = limn→∞

∫ b

a

fn(t)dt

Demonstraµie. [9] pg.712-713 sau [1].

Teorema 1.3.37. (convergenµa uniform ³i derivabilitatea)Fie ³irul fnn de funcµii derivabile pe I. Dac ³irul este convergent într-un punct

x0 ∈ I, iar ³irul derivatelor f ′nn este uniform convergent pe I c tre o funcµie g,atunci ³irul fnn este uniform convergent pe I c tre o funcµie f ,f este derivabil peI ³i f ′(x) = lim

n→∞f ′n(x); f ′ = g.

Demonstraµie. [9] pg.716-717 sau [1].

44

Serii de funcµiiDeniµia 1.3.38. Fie fnn un ³ir de funcµii din F(A,R), A ⊂ R. Construim ³irulsnn astfel:

s1 = f1

s2 = f1 + f2

. . . . . .sn = f1 + · · ·+ fn + . . .. . . . . .

³i vom numi ³irul sumelor parµiale.

Se nume³te serie de funcµii perechea (fnn, snn) ³i se noteaz cu∑∞

n=1 fn (sauf1 + f2 + . . . ).

Deniµia 1.3.39.

1. Seria de funcµii∑

fn este simplu convergent pe A dac ³irul sumelor parµialesn este simplu convergent pentru orice x ∈ A. Dac not m

limn→∞

sn(x)not= f(x),

atunci f se nume³te suma seriei.Mulµimea punctelor x ∈ A pentru care seria este convergent se nume³temulµimea (sau domeniu) de convergenµ . Not m cu DC .

Se poate da o form echivalent a deniµiei de mai sus.

2. Seria∑∞

n=1 fn este simplu convergent pe A dac pentru orice x ∈ A ³i oriceε > 0 exist N(ε, x) ∈ N : ∀ n ≥ N(ε, x) s avem |sn(x)− f(x)| < ε sau

|f1(x) + f2(x) + · · ·+ fn(x)− f(x)| < ε.

3. Seria∑

fn este simplu convergent pe A c tre funcµia f dac pentru oricex0 ∈ A seria numeric

∑∞n=1 fn(x0) este convergent c tre f(x0).

Folosind (3) convergenµa simpl a seriilor de funcµii va putea stabilit cu aju-torul criteriilor de convergenµ de la seriile numerice.

Deniµia 1.3.40.

1. Seria de funcµii∑

fn este uniform convergent dac ³irul sumelor parµialesnn este uniform convergent pe A.

2. Seria∑

fn este uniform convergent pe A c tre funcµia f dac pentru oriceε > 0 exist N(ε) ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ N(ε) ³i orice x ∈ A s avem |sn(x)− f(x)| < ε sau |f1(x) + · · ·+ fn(x)− f(x)| < ε.

45

Pentru a studia convergenµa uniform a seriilor de funcµii pot folosite urm -toarele criterii.Teorema 1.3.41. (criteriul de convergenµ uniform al lui Cauchy)

Seria de funcµii denit pe A,∑

fn, este uniform convergent pe A dac ³i numaidac pentru orice ε > 0 exist N(ε) ∈ N : ∀ n ≥ N(ε) ³i p ≥ 1, pentru orice x ∈ As avem

|fn+1(x) + · · ·+ fn+p(x)| < ε.

Demonstraµie. Seria∑

fn este uniform convergent dac ³i numai dac ³irulsn este uniform convergent, ³i aplic m criteriul de convergenµ Cauchy pentru³iruri de funcµii. (vezi pg.729 în [9])

Din acest criteriu pot deduse alte criterii, mult mai utile.Deniµia 1.3.42. Seria de funcµii

∑∞n=1 fn denit pe A, este absolut convergent

pe A, dac seria∑∞

n=1 |fn| este simplu convergent pe A.Teorema 1.3.43. (Criteriul lui Weierstrass)

Fie∑∞

n=1 fn o serie de funcµii denit pe A. Dac ∑∞

n=1 an este o serie de termenipozitivi, convergent astfel încât pentru orice x ∈ A ³i orice n ∈ N avem: |fn(x)| ≤an, atunci seria

∑∞n=1 fn este uniform ³i absolut convergent pe A.

Demonstraµie.∑∞

n=1 an este o serie numeric convergent rezult c pentruorice ε > 0 exist n(ε) ∈ N : pentru orice n > n(ε) ³i p ∈ N s avem:

an+1 + · · ·+ an+p < ε

În continuare putem scie:

|fn+1(x) + · · ·+ fn+p(x)| ≤ |fn+1(x) + · · ·+ |fn+p(x)| ≤≤ an+1 + an+2 + · · ·+ αn+p < ε pentru orice x ∈ A i p ∈ N, p ≥ 1

Adic seria de funcµii∑

fn este uniform convergent . Convergenµa absolut esteevident .

Prezent m câteva propriet µi ale seriilor uniform convergente.Teorema 1.3.44. (continuitatea seriilor uniform convergente) Fie

∑fn o serie de

funcµii uniform convergent pe A c tre f. Dac toate funcµiile fnn sunt continuepe A, atunci funcµia sum f este continu pe A.

Demonstraµie. [9] pg.731-732, [13], [1].Teorema 1.3.45. (integrabilitatea seriilor uniform convergente)

Dac ∑

fn este o serie uniform convergent pe [a, b] c tre funcµia sum f, ³i toatefuncµiile din ³irul fn sunt integrabile pe [a, b], atunci funcµia f este integrabil pe[a, b], seria integralelor

∑ ∫ b

afndx este convergent ³i are loc:

∫ b

a

∞∑n=1

fn(x)dx =∞∑

n=1

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

46

Demonstraµie. [9] pg.732.

Teorema 1.3.46. (derivabilitatea seriilor uniform convergente)Fie

∑fn o serie de funcµii derivabile din f([a, b],R). Dac seria

∑fn este sim-

plu convergent într-un punct x0 ∈ I, iar seria derivatelelor∑

f ′n este uniformconvergent pe [a, b] c tre o funcµie g, atunci seria

∑fn este uniform convergent

pe [a, b], c tre o funcµie f, funcµia f este derivabil ³i g = f ′ =∑

f ′n (adic (∑

fn(x))′ =∑

f ′n(x).

Demonstraµie. [9] pg.732.

Serii de puteriDeniµia 1.3.47. Fie un ³ir de funcµii fn din F(R,R). Dac funcµiile sunt deforma: fn(x) = anxn, an ∈ R date, atunci seria

∑∞n=0 anx

n se nume³te serie deputeri. Num rul real an se nume³te coecientul termenului de rang n.

Toate rezultatele privind seriile de funcµii sunt valabile ³i pentru serii de put-eri. Problema central în teoria seriilor de puteri este determinarea domeniului deconvergenµ , notat în continuare cu DC .

Teorema 1.3.48. (Abel)Dac seria de puteri

∑∞n=0 anxn este convergent în punctul x0 6= 0 atunci este

absolut ³i uniform convergent pentru orice x ∈ R cu proprietatea: |x| < |x0|.

Demonstraµie. Deoarece seria∑∞

n=0 anxn este convergent în x0 6= 0 rezult c seria numeric

∑anx

n0 este convergent . Deci, exist o constant M > 0 astfel

încât |anx0n| < M, pentru orice n ∈ N. Putem scrie pentru x ales astfel încât s verice relaµia |x| < |x0| :

|anxn| =∣∣∣∣anx

n0 ·

xn

xn0

∣∣∣∣ = |anxn0 | ·

∣∣∣∣x

x0

∣∣∣∣n

< M

∣∣∣∣x

x0

∣∣∣∣n

.

Avem∣∣∣ xx0

∣∣∣ < 1 ceea ce înseamn c seria geometric ∑

M∣∣∣ xx0

∣∣∣n

este convergent .Pe baza criteriului de comparaµie (vezi serii numerice) putem spune c seria de puteri∑

anxn este absolut ³i uniform convergent .

Observaµia 1.3.49. Not m cu r = sup|x0| | x0 ∈ DC .În intervalul (−r, r) seria

∑anxn este absolut convergent . Pe orice interval

[−r1, r1] cu 0 < r1 < r seria∑

anxn este uniform convergent .Pentru orice punctx 6∈ (−r, r) seria este divergent .

Num rul r se nume³te raz de convergenµ .

Teorema urm toare este foarte util pentru determinarea razei de convergenµ .

47

Teorema 1.3.50. (Teorema lui Cauchy ³i Hadamard J.(1865-1963))Fie seria

∑anx

n. Raza de convergenµ r este dat de una din relaµiile:

(α) r = limn→∞

∣∣∣∣an

an+1

∣∣∣∣

sau(β) =

1

limn→∞

n√|an|

.

Demonstraµie. (α) folosim criteriul lui D'Alembert pentru serii numerice cutermeni oarecare. Pentru seria de puteri

∑anxn cu x xat avem:

limn→∞

∣∣∣∣an+1x

n+1

anxn

∣∣∣∣ = |x| limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = |x| · q

Trebuie s avem |x| ·q < 1 pentru ca seria s e convergent ;de unde obµinem relaµia|x| < 1

q , adic r = 1q = limn→∞

∣∣∣ anan+1

∣∣∣ .

(β) Folosim criteriul r d cinii ³i aplic m un raµionament analog cu cel din (α).

Observaµia 1.3.51. La probleme concrete determinarea razei de convergenµ nueste de ajuns pentru obµinerea lui DC . Dup determinarea lui r, trebuie studiat convergenµa seriei la capetele intervalului (−r, r).

Observaµia 1.3.52. Dac funcµiile ³irului de funcµii fnn sunt de forma fn(x) =an(x − x0)

n atunci seria de puteri se nume³te serie centrat în x0. x0 se nume³tecentrul seriei. Se poate deduce u³or c în acest caz intervalul de convergenµ este(x0 − r, x0 + r) cu r obµinut cu teorema lui Cauchy-Hadamard.

Teorema 1.3.53. Dac seria de puteri∑∞

n=0 anxn = f(x) are raza de convergenµ r, atunci ea este derivabil termen cu termen, iar seria derivat va :

g(x) =∞∑

n=1

nanxn−1,

având aceea³i raz de convergenµ r ³i f ′(x) = g(x), |x| < r.

Teorema 1.3.54. Orice serie de puteri∑

anxn poate integrat termen cu termen

pe orice interval conµinut în domeniul de convergenµ , deci:∫ x

x0

∞∑n=0

anxndx =

∞∑n=0

anxn+1 − xn+1

0

n + 1, x, x0 ∈ (−r, r).

În continuare not m cu C∞ mulµimea funcµiilor indenit derivabile.

48

Deniµia 1.3.55. Fie f : I → R o funcµie de clas C∞ pe I, x0 ∈ I

xat.Acestei perechi (f, x0) i se poate asocia o serie de puteri centrat în punctulx0,

∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n, numit seria Taylor a lui f în jurul punctului x0.(

an =f (n)(x0)

n!

)

Sumele parµiale ale seriei Taylor sunt polinoamele Taylor asociate funcµiei f înpunctul x0.

Teorema 1.3.56. (teorema de reprezentare a funcµiilor de clas C∞ prin serii Tay-lor)

Fie f : I → R, o funcµie de clas C∞ astfel încât s existe M > 0 cu proprietateac |f (n)(x)| ≤ M pentru orice n ≥ 0 ³i pentru orice x ∈ I. Fie x0 ∈ I

xat. Atunci

seria Taylor a lui f în jurul punctului x0 este uniform convergent pe I, având casum f(x), adic :

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n pentru orice x ∈ [a, b] ∩Dc

.Observaµia 1.3.57. Pentru x0 = 0 obµinem seria lui Maclaurin:

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn + . . .

Exemple: S se scrie seria Maclaurin pentru urm toarele funcµii.1. Fie funcµia f(x) = ex, f : R→ R.

Se observ c : f (n)(x) = ex pentru orice n ∈ N ⇒ f (n)(0) = 1. Astfel putemscrie:

f(x) = 1 +x

1!+ · · ·+ xn

n!+ . . .

Domeniul de convergenµ putem obµine cu ajutorul razei de convergenµ .

r = limn→∞

∣∣∣∣an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

1n!1

(n+1)!

= limn→∞

(n + 1) = ∞⇒ Dc = (−∞,∞)

Folosind teorema de reprezentare a funcµiilor de clas C∞ (1.3.56) prin seriiTaylor putem obµine suma unor serii numerice. De exemplu pentru x = 1avem:

e = 1 +1

1!+ · · ·+ 1

n!+ . . .

Dac x = 12atunci √e =

∑n≥0

12nn!

.

Dac x = 2 atunci e2 =∑

n≥02n

n!.

Fie funcµia

49

2.

f(x) = ln(x + 1) f : (−1,∞) → R

f ′(x) =1

1 + x= (1 + x)−1

f ′′(x) = − 1

(1 + x)2

...f (n) = (−1)n−1 (n− 1)!

(1 + x)n⇒ f (n)(0) = (−1)n−1 · (n− 1)!

Formula obµinut trebuie demonstrat prin inducµie matematic .Putem scrie:

ln(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− · · ·+ (−1)n−1 · xn

n+ . . .

r = limn→∞

∣∣∣∣an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣∣(−1)n−1 · 1

n

(−1)n · 1n+1

∣∣∣∣∣ = limn→∞

n + 1

n= 1

⇒ Dc = (−1, 1)

Deci dezvoltarea în serie Taylor are loc pentru x ∈ (−1,∞)∩(−1, 1] = (−1, 1].

Observaµia 1.3.58. Pentru x = 1 avem seria∑∞

n=1(−1)n−1 · 1n, care este conver-

gent (vezi criteriul lui Leibniz 1.3.20).

Suma acestei serii se obµine cu ajutorul dezvolt rii de mai sus, pentru x = 1.

Adic : ln 2 = 1− 12 + 1

3 − . . .

În mod analog putem obµine urm toarele dezvolt ri :

I. ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ . . . x ∈ (−∞,∞)

II. sin x = x− x3

3!+ . . . (−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)!+ . . . x ∈ (−∞,∞)

III. cos x = 1− x2

2!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ . . . x ∈ (−∞,∞)

IV. (1 + x)m = 1 + mx +m(m− 1)

2!x2 + · · ·+

+m(m− 1) . . . (m− n + 1)

n!xn + . . . x ∈ (−1, 1)

V. ln(1 + x) = x− x2

2+

x3

3+ (−1)n−1xn

n+ . . . x ∈ (−1, 1]

50

Operaµii cu serii de puteriFie seriile de puteri

∑an(x−x0)

n,∑

bn(x−x0)n având domeniul de convergenµ

comun |x− x0| ≤ r. Sunt adev rate urm toarele armaµii:∑

an(x− x0)n +

∑bn(x− x0)

n =∑

(an + bn)(x− x0)n

(∑an(x− x0)

n)(∑

bn(x− x0)n)

=∑

cn(x− x0)n, unde

cn =n∑

k=0

an−kbk

(∑an(x− x0)

n)′

=∞∑

n=1

nan(x− x0)n−1

∫ [ ∞∑n=0

an(x− x0)n

]dx =

∞∑n=0

an(x− x0)n+1

n + 1+ C

Probleme rezolvate1) S se determine mulµimea de convergenµ pentru urm toarele serii de funcµii:

a)∑n≥1

(n + 1

n

)n (1− x

1− 2x

)n

irul de funcµii care genereaz seria are termenul general:

fn(x) =

(n + 1

n

)n (1− x

1− 2x

)n

Termenii acestei serii sunt funcµii denite pe R\

12

. Pentru un x xat seria

de funcµii este serie numeric . Convergenµa simpl a seriilor de funcµii poate studiat cu criteriile de convergenµ a seriilor numerice. Aplicând corolarul criteriuluir d cinii obµinem:

limn→∞

n

√∣∣∣∣(

n + 1

n

)n

·(

1− x

1− 2x

)n∣∣∣∣ = limn→∞

n + 1

n

∣∣∣∣1− x

1− 2x

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1− x

1− 2x

∣∣∣∣

Seria este convergent dac :

∣∣∣∣1− x

1− 2x

∣∣∣∣ < 1 ⇔

1−x1−2x

< 1

1−x1−2x

> −1

51

În urma rezolv rii sistemului de inecuaµii se obµine mulµimea de convergenµ format din mulµimea

x ∈ R |x < 0 ∪

x ∈ R |x >2

3

.

b)∑n≥1

1

ln n

(1− x2

1 + x2

)n

Termenii acestei serii sunt funcµii denite pe R. Aplicând corolarul criteriuluiraportului 1.3.25 avem:

limn→∞

∣∣∣∣fn+1(x)

fn(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1− x2

1 + x2

∣∣∣∣

În continuare pentru determinarea domeniului de convergenµ avem de rezolvat sis-temul de inecuaµii ∣∣∣∣

1− x2

1 + x2

∣∣∣∣ < 1 ⇔ −1 <1− x2

1 + x2< 1.

2) S se studieze caracterul convergenµei urm toarelor serii de funcµii pe mulµim-ile indicate:

a)∑n≥1

cos nx

n3, x ∈ R

Folosim criteriul lui Weierstrass 1.3.43∣∣∣cos nx

n3

∣∣∣ =| cos nx|

n3 ≤ 1n3

Seria∑

n≥11n3 este convergent

⇒

seria∑

n≥1cos nx

n3 este absolut ³i uniform convergent .

b)∑n≥1

1

n2 + x2, x ∈ R

∣∣ 1n2+x2

∣∣ ≤ 1|n2+x2| ≤ 1

n2

∑1n2 este convergent

⇒

∑ 1

n2 + x2

este uniform ³i absolut convergent .3) S se determine mulµimea de convergenµ pentru urm toarele serii de puteri:

a)∑n≥1

xn

3n · n

52

Avem an = 13n · n ³i folosind teorema lui Cauchy - Hadamard 1.3.50 putem scrie:

r = limn→∞

∣∣∣∣an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

1

3n · n · 3n+1 · (n + 1) = 3

Pentru x = 3 avem seria numeric :∑n≥1

1

n

care este serie divergent .Pentru x = −3 avem seria alternat

∑n≥1

(−1)n 1

n,

ceea ce este convergent . (Se poate ar ta cu criteriul lui Leibniz 1.3.20.) Astfeldomeniul de convergenµ este Dc = [−3, 3).

b)∑n≥1

(x− 2)n

n

Pentru seria de puteri centrat în x0

∑n≥1 an(x− x0)

n, raza de convergenµ rse determin cu teorema lui Cauchy-Hadamard 1.3.50, iar domeniul de convergenµ este:

Dc = (x0 − r, x0 + r).

(Se pot deduce cele armate folosind substituµia x− x0 = y).Revenind la problem avem x0 = 2, iar raza de convergenµ :

r = limn→∞

1

n· (n + 1) = 1, iar Dc = (1, 3).

Pentru x = 1 avem∑ (−1)n

n serie convergent , iar pentru x = 3∑ 1

n seriedivergent . Deci Dc = [1, 3).

Probleme propuse1) S se determine mulµimea de convergenµ :

∑n≥1

2n2 + 5

7n2 + 3n + 5·(

x

2x + 1

)n

2) S se studieze caracterul convergenµei:∑n≥1

(−1)n · x2

1 + n3x4, x ∈ R

∑n≥1

sin nx√n4 + x2

, x ∈ R

53

3) S se determine domeniul de convergenµ ∑n≥0

(n + 2)xn

(n + 1)5n;

∑x≥1

xn

n;

∑n≥1

3n

n(x + 1)n;

∑n≥1

xn

n2

∑n≥1

(x + 1)n

√n

;∑n≥0

n

2n · xn;

∑ xn

2n + 3n

Probleme rezolvate1. S se arate c funcµia este dezvoltabil în serie de puteri pe R ³i s se determine

seria Maclaurin corespunz toare.a) f(x) = ex + cos xAceast funcµie este indenit derivabil pe R. Folosind dezvolt rile funcµiilor:

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ . . .

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n · x2n

(2n)!+ . . .

Folosind operaµiile cu serii putem scrie:

f(x) = ex + cos x =

(1 +

x

1!+

x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ . . .

)+

+

(1− x2

2!+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n · x2n

(2n)!+ . . .

)=

= 2 +x

1!+

(1

2!− 1

2!

)x2 +

x3

3!+

(1

4!+

1

4!

)x4 +

x5

5!+

(1

6!− 1

6!

)x6 + . . .

b) f(x) = ex

1− xPutem scrie: f(x) = ex · 1

1− x. Sunt cunoscute dezvolt rile funcµiilor:

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ . . .

1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + . . . , pentru |x| < 1.

Pentru a obµine dezvoltarea funcµiei date, înmulµim dezvolt rile de mai sus, folosindregula înv µat . Adic :

f(x) = ex · 1

1− x=

(1 +

x

1!+

x2

2!+ . . .

)(1 + x + x2 + x3 + . . . ) =

= 1 · 1 +

(1 · 1 +

1

1!· 1

)x +

(1 · 1 +

1

1!· 1 +

1

2!· 1

)x2 +

+

(1 · 1 +

1

1!· 1 +

1

2!· 1 +

1

3!· 1

)x3 + . . .

54

c) f(x) = e−x

În dezvoltarea lui ex folosim substituµia x 7→ −x, ³i avem:

e−x = 1− x

1!+

x2

2!− x3

3!+ · · ·+ (−1)n · xn

n!+ . . .

d) f(x) = shxdef=

ex − e−x

2

f(x) = chxdef=

ex + e−x

2

Folosim dezvolt rea lui ex ³i e−x imediat obµinem dezvolt rile funcµiilor date.e) f(x) = 1

1 + 2x2

Putem folosi dezvoltarea lui:1

1 + x= 1− x + x2 − x3 + · · ·+ (−1)n · xn + . . . , |x| < 1

Folosim substituµia x 7→ 2x2 ³i avem:

f(x) =1

1 + 2x2= 1− 2x2 + 4x4 − 8x6 + . . . ,

iar domeniul de convergenµ obµinem în urma rezolv rii inecuaµiei

|2x2| < 1, ³i Dc =

(−√

2

2,

√2

2

)

f) f(x) = 1 + x1− x

Putem scrie:

f(x) = (1 + x) · 1

1− x= (1 + x)(1 + x + x2 + · · ·+) = 1 + 2x + 2x2 + . . . ,

cu Dc = (−1, 1)g) f(x) = arcsin xPentru a obµine dezvoltarea unei funcµii, putem dezvolta în serie funcµia derivat

(sau integrat ) dup care aplic m teoremele 1.3.51, 1.3.52. Astfel calcul m

f ′(x) =1√

1− x2= (1− x2)−

12

Folosim dezvoltarea

(1 + x)m = 1 + mx +m(m− 1)

2!x2 + · · ·+ m(m− 1) . . . (m− n + 1)

n!xn + . . .

55

cu m = −12 ³i cu substituµia x 7→ −x2. Putem scrie:

f ′(x) = (1− x2)−1/2 = 1− 1

2(−x2) +

(−12

) (−32

)

2!x4 + . . .

Acum o integr m termen cu termen dezvoltarea obµinut ³i avem:

f(x) = arcsin x = x +x3

3 · 2 + . . .

Probleme propuseS se arate c funcµia este dezvoltabil în serie de puteri pe R ³i s se determine

seria Maclaurin corespunz toare.

f(x) =sin x

xpentru f(0) = 1 i x 6= 0

f(x) = sin x2

f(x) = sin2 x

f(x) = x · ex

f(x) = cos3 x

f(x) = ln√

x2 − x− 6

f(x) = arctg x

f(x) = ln1

x2 + 2x + 2

56

Capitolul 2

Spaµii generalizate

2.1 Noµiuni de baz Analiza matematic este construit pe baza teoriei axiomatice a mulµimilor ³i

include analiza matematic clasic ³i analiza funcµional .Obiectul analizei matematice este studiul propriet µilor funcµiilor. Tradiµia cla-

sic în matematic este lucrul cu obiecte individuale.În 1874 matematicianul G. Cantor (1845-1918) demonstreaz existenµa nu-

merelor transcendente ar tând astfel c R este nenum rabil , pân când mulµimeanumerelor algebrice este num rabil . Pornind de la acest rezultat se formuleaz ideea de a lucra cu clase de obiecte ³i nu cu obiecte individuale. Astfel din necesi-tate se na³te analiza funcµional (în acest secol) pentru matematica pur ³i aplicat .

Analiza funcµional lucreaz cu clase de obiecte numite spaµii.Spaµiul abstract este o mulµime în care este denit limita.Analiza funcµional întreprinde un studiu sistematic al spaµiilor dotate cu struc-

turi algebrico- topologice ³i a operaµiilor dintre aceste spaµii. Lucreaz cu spaµiiinnit dimensionale.

Operatorul caracterizeaz o anumit operaµie matematic care se efectueaz cu el-ementele spaµiului (L : X → Y,X, Y spaµii). Funcµiile numerice - numite funcµionale- ocup un loc important (de aici rezult denumirea de analiz funcµional ).

Ele sunt aplicaµii în R sau C. Au un rol important în teoria ecuaµiilor operatorialeliniare a ecuaµiilor integrale etc.

Noµiunea suport în analiza funcµional este spaµiul vectorial topologic.În continuare denim câteva spaµii abstracte de baz , cum ar : spaµiul topologic,

spaµiul metric, spaµiul liniar normat, spaµiul Banach, spaµiul prehilbertian, spaµiulHilbert ³i prezent m relaµiile dintre aceste spaµii.

57

2.2 Deniµia spaµiilor abstracteDeniµia 2.2.1. X este un spaµiu liniar (sau vectorial) peste corpul K dac

a)întroducem o operaµie ,notat cu +, ³i (X, +) este un grup comutativ;b) pe mulµimea X denim o operaµie extern φ : K × X → X, denit prin

φ(a, x) = ax ³i are loc pentru orice a, b, c ∈ K ³i orice x, y ∈ X:

1 · x = x

a(bx) = (ab)x

(a + b)x = ax + bx

a(x + y) = ax + ay

c) pentru orice x, y ∈ X ³i oricare a ∈ K avem:

x + y ∈ X

a · x ∈ X.

Exemplu: R, En(Rn,Cn), Pn(R),F = f : x → R, continue, (Mn(R), +, ·).Deniµia 2.2.2. Fie X un spaµiu liniar peste K (K este R sau C).

(· | ·) : X ×X → K este form neunitar (funcµie hermetian ) în X dac :a) pentru orice α, β ∈ K ³i orice x, y, z ∈ X : (αx + βy|z) = α(x|z) + β(y|z)b) pentru orice x, y ∈ X : (x|y) = (y|x) (conjugata complex )

(· | ·) : X ×X → K este semiprodus scalar în X dac este form neunitar ³ic) pentru orice x ∈ X : (x|x) ≥ 0

(· | ·) : X ×X → K este produs scalar în X dac este semiprodus scalar ³i:d) pentru orice x ∈ X, x 6= 0 (x|x) > 0

Teorema 2.2.3. Dac (· | ·) : X ×X → K este form neunitar pe spaµiul liniar Xpeste K, atunci au loc urm toarele propriet µi:

1) pentru orice x ∈ X (0|x) = (x|0) = (0|0) = 02) pentru orice α, β ∈ K ³i pentru orice x, y, z ∈ X avem:

(x |αy + βz) = α(x|y) + β(x|z)

Demonstraµie.Folosim deniµia formei neunitare.1) (0|x) = (0 · 0|x)

(a)= 0(0|x) = 0

2) (x|αy + βz)(b)= (αy + βz|x)

(a)= α(y|x) + β(z|x) =

= α(y|x) + β(z|x) = α(x|y) + β(x|z)

Teorema 2.2.4. (inegalitatea lui Cauchy - Buniakowski V.(1804-1889) -Schwarz(1843-1921))

Dac (· | ·) : X ×X → K este semiprodus scalar într-un spaµiu liniar X peste Katunci pentru orice x, y ∈ X avem:

|(x|y)| ≤√

(x|x) ·√

(y|y).

58

Demonstraµie. Dac x = 0 sau y = 0 atunci inegalitatea este evident .Presupunem y 6= 0 ³i are loc una din urm toarele posibilit µi:

a) (y|y) > 0b) (x|x) > 0c) (x|x) = (y|y) = 0În continuare demonstr m în ipoteza c are loc relaµia (a).În celelalte cazuri se

aplic un raµionament analog.Pentru orice λ ∈ K de care vom dispune convenabil putem scrie:

0 ≤ (x + λy|x + λy) = (x|x + λy) + λ(y|x + λy) =

= (x|x) + λ(x|y) + λ(y|x) + λλ(y|y) / · (y|y) > 0

0 ≤ (x|x) · (y|y) + λ(x|y)(y|y) + λ(y|x)(y|y) + λλ(y|y)2

0 ≤ (x|x)(y|y) + λ(y|y)[(x|y) + λ(y|y)] + λ(x|y) · (y|y)− |(x|y)|2 + |(x|y)|2

Folosind deniµia semiprodusului scalar putem scrie: |(x|y)|2 = (x|y) · (y|x) ³iobµinem relaµia:

0 ≤ (x|x)(y|y) + λ(y|y)[(x|y) + λ(y|y)] + λ(x|y) · (y|y) + (x|y) · (y|x)− |(x|y)|20 ≤ (x|x)(y|y) + λ(y|y)[(x|y) + λ(y|y)] + (x|y)[λ(y|y) + (x|y)]− |(x|y)|2

|(x|y)|2 ≤ (x|x)(y|y) + [(x|y) + λ(y|y)][λ(y|y) + (x|y)]

Deci, exist λ ales astfel încât λ = −(x|y)(y|y)

.

Exemplu:

X = C[a, b]

(f |g) =

∫ b

a

f(x) · g(x)dx

Este produs scalar indc :

a) (αf + βg|h) =

∫ b

a

(αf + βg) · hdx =

∫ b

a

αf · hdx +

∫ b

a

βghdx =

= α(f |h) + β(g|h)

b) (f |g) =

∫ b

a

f(x) · g(x)dx =

∫ b

a

g(x) · f(x)dx = (g|f)

c) (f |f) =

∫ b

a

f 2(x)dx > 0

Inegalitatea lui Cauchy - Buniakowski - Schwarz în acest caz va :∣∣∣∣∫ b

a

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤√∫ b

a

f 2(x)dx ·√∫ b

a

g2(x)dx

59

Observaµia 2.2.5. Produsul scalar în literatura de specialitate este notat ³i cu (· | ·)sau < · , · > .

Deniµia 2.2.6. Fie X un spaµiu liniar peste K. Consider m funcµionala p : X → R.p este pozitiv dac pentru orice x ∈ X p(x) ≥ 0p este pozitiv denit dac pentru orice x ∈ X, x 6= 0 p(x) > 0p este pozitiv omogen dac pentru orice λ > 0 ³i orice x ∈ X : p(λx) = λp(x)p este absolut omogen dac pentru orice λ ∈ K, ³i orice x ∈ X : p(λx) =

|λ|p(x)p este subaditiv dac pentru orice x, y ∈ X p(x + y) ≤ p(x) + p(y)p este subliniar dac p este subaditiv ³i pozitiv omogen p este subnorm dac p este subliniar ³i pozitiv p este seminorm dac p este subaditiv ³i absolut omogen p este norm dac p este seminorm ³i pozitiv denit

Teorema 2.2.7. Fie X un spaµiu liniar peste K. Fie funcµionala p : X → R. Suntadev rate urm toarele armaµii:

a)Dac p este pozitiv omogen atunci p(0) = 0.b)dac p este seminorm atunci p este pozitiv .Demonstraµie. a) pentru orice λ > 0 ³i orice x ∈ X : p(λx) = λp(x)Deci putem scrie p(0) = p(2 · 0) = 2p(0) de unde rezult imediat c p(0) = 0.b)Deoarece p este seminorm rezult c este absolut omogen , adic pentru orice

λ ∈ K ³i orice x ∈ X avemp(λx) = |λ|p(x)

Putem scrie0

(a)= p(0) = p(x+(−x)) ≤ p(x)+p((−1)·x) = p(x)+|−1|·p(x) = 2p(x) ⇒ p(x) ≥ 0.

Teorema 2.2.8. Dac ( ·| ·) : X × X → K este semiprodus scalar sau un produsscalar într-un spaµiu liniar X peste K atunci: p : X → R, denit prin p(x) =

√(x|x)

pentru orice x ∈ X este o seminorm respectiv norm pe spaµiul X.Demonstraµie. a) Avem de ar tat c dac ( ·| ·) : X×X → K este semiprodus

scalar atunci p(x) =√

(x|x) este seminorm .Ar t m c este subaditiv . Pentru orice x, y ∈ X trebuie s avem: p(x + y) ≤

p(x) + p(y)√

(x + y|x + y) ≤√

(x|x) +√

(y|y)

(2.1)Pornim din:

(x + y|x + y) = (x|x + y) + (y|x + y) =

= (x + y|x) + (x + y|y) = (x|x) + (y|x) + (x|y) + (y|y) =

= (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y|y) = (x|x) + 2|(x|y)|+ (y|y) ≤≤ (x|x) + 2

√(x|x)(y|y) + (y|y) =

(√(x|x) +

√(y|y)

)2

60

Deci

(x + y|x + y) ≤(√

(x|x) +√

(y|y))2

⇔√

(x + y|x + y) ≤√

(x|x) +√

(y|y)

⇔ p(x + y) ≤ p(x) + p(y)

adic p este subaditiv .Ar t m în continuare c p este absolut omogen ; adic pentru orice λ ∈ K ³i

orice x ∈ X are loc p(λx) = |λ|p(x). Putem scrie:

p(λx) =√

(λx|λx) =√

λλ(x|x) =√|λ|2(x|x) = |λ|

√(x|x) = |λ|p(x).

Deci p este seminorm .Dac ( ·| ·) este produs scalar atunci putem ar ta c p este pozitiv denit ,adic

este norm . Pentru orice x ∈ X, x 6= 0 avem p(x) > 0, deoarece

(x|x) > 0 ⇔√

(x|x) > 0.

În tratate de analiz matematic norma în general este notat cu: ‖ · ‖Exemplu:În spaµiul euclidean En

1. ‖x‖ = |x| =√

x21 + · · ·+ x2

n (reprezint lungimea vectorului x ∈ En)2. În spaµiul C[a, b] putem deni norma:

‖f‖ = maxx∈[a,b]

|f(x)|.

Deniµia 2.2.9. Fie X un spaµiu liniar peste K ³i ( ·| ·) : X ×X → K un produsscalar. (X, ( ·| ·)) se nume³te spaµiu prehilbertian.

Exemplu: În spaµiul euclidian En produsul scalar euclidean este denit cu(x|y) =

∑ni=1 xiyi. Se veric u³or c este produs scalar ³i l s m pe seama citi-

torului. (En, ( ·| ·)) este un spaµiu prehilbertian.Spaµiul ³irurilor de numere reale sumabile notat cu:

l2 = (xi)i|xi ∈ R,

∞∑i=1

x2i < ∞

cu produsul scalar denit prin (xi, yi) =∑∞

i=1 xiyi este un spaµiu prehilbertian.Spaµiul F([a, b],R) f, g ∈ F , (f |g) =

∫ b

af(x)g(x)dx este deasemenea un spaµiu

prehilbertian.

Deniµia 2.2.10. Fie X un spaµiu liniar peste K ³i ‖ · ‖ o norm oarecare. (X, ‖ · ‖)se nume³te spaµiu normat.

61

Observaµia 2.2.11. Cu ajutorul produsului scalar putem deni o norm special .Astfel spaµiul prehilbertian poate transformat în spaµiu liniar normat. (Are locurm toarea incluziune: spaµiul liniar normat ⊃ spaµiul prehilbertian.)

Exemplu: Fie spaµiul C[a, b]. Consider m ‖ · ‖ : C[a, b] → R denit prin:

‖f(x)‖ =√

(f, f) =

√∫ b

a

f 2(x)dx

S se arate c este norm .Vericare:1. subaditivitate: pentru orice f, g ∈ C[a, b] are loc:

‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖

‖f + g‖ =

√∫ b

a

(f + g)2dx =

√∫ b

a

f 2dx + 2

∫ b

a

f · gdx +

∫ b

a

g2dx =

=

√‖f‖2 + ‖g‖2 + 2

∫ b

a

f · gdx ≤

≤√‖f‖2 + ‖g‖2 + 2‖f‖ · ‖g‖ =

√(‖f‖+ ‖g‖)2 = ‖f‖+ ‖g‖

În demonstraµie am folosit inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwarz.2. absolut omogenitate: pentru orice f ∈ C[a, b] ³i orice λ ∈ R are loc

‖λf‖ = |λ| · ‖f‖,

‖λf‖ =

√∫ b

a

|λf |2dx =

√λ2

∫ b

a

f 2(x)dx = |λ|√∫ b

a

f 2(x)dx = |λ| · ‖f‖.

3. este pozitiv denit ,adic pentru orice x ∈ X, x 6= 0, ‖f‖ > 0

‖f‖ =

√∫ b

a

f 2(x)dx > 0 evident.

Observaµia 2.2.12. Nu orice norm provine din produs scalar.

Deniµia 2.2.13. Fie X un spaµiu liniar prehilbertian. x, y ∈ X sunt ortogonaledac ³i numai dac (x|y) = 0.

Teorema 2.2.14. Fie (X, ( ·| ·)) un spaµiu prehilbertian. Au loc urm toarele ar-maµii:

a) dac x, y ∈ X sunt ortogonale atunci

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

(Teorema lui Pithagora)

62

b) dac x, y ∈ X nu sunt neap rat ortogonale, atunci

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2

(Teorema lui Apolonius - egalitatea paralelogramului).

Demonstraµie.

(a) ‖x + y‖2 = (x + y|x + y) = (x|x) + (y|x) + (x|y) + (y|y) =

= (x|x) + (y|y) = ‖x‖2 + ‖y‖2

(b) ‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = (x + y|x + y) + (x− y|x− y) = (x|x) + (x|y) +

+(y|x) + (y|y) + (x|x)− (x|y)− (y|x) + (y|y) =

= 2(x|x) + 2(y|y) = ‖x‖2 + 2‖y‖2

Teorema 2.2.15. (Jordan von Neumann)Norma care satisface egalitatea paralelogramului provine din produs scalar.

În cazul spaµiilor liniar normate reale deducem cum arat norma care provinedin produs scalar.Putem scrie:

‖x + y‖+ ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2

‖x + y‖2 = (x + y|x + y) = ‖x‖2 + 2(x|y) + ‖y‖2

‖x− y‖2 = (x− y|x− y) = ‖x‖2 − 2(x|y) + ‖y‖2

⇒

‖x + y‖2 − ‖x− y‖2 = 4(x|y)

Deci norma dac se obµine din produs scalar atunci produsul scalar trebuie s e:

(x|y) =1

4[‖x + y‖2 − ‖x− y‖2]

Trebuie demonstrat c este produs scalar real, adic :i) (x|y) = (y|x) evidentii) (x|x) = ‖x2‖ > 0 pentru orice x 6= 0 evidentiii) (x+y|z) = (x|z)+(y|z) (pentru demonstraµie folosim regula paralelogramului)Demonstraµia în cazul spaµiului normat complex este complicat, nu trat m acest

caz în cadrul cursului de faµ .În continuare trebuie s introducem câteva concepte de baz , concentrându-

se asupra noµiunii de limit ale ³irurilor innite de puncte ³i asupra noµiunii decontinuitate.

Cel mai general cadru pentru aceste concepte este spaµiul topologic. În aplicaµiila diferite calcule apar de fapt diferite spaµii topologice speciale.

Deniµia 2.2.16. Spaµiul topologic este o mulµime înzestrat cu o topologie.

63

c X este o mulµime ³i not m cu P(X) mulµimea p rµilor lui X ³i consider mT ⊂ P(X), atunci T se nume³te topologie pe X dac : (presupunem de exemplu c T este o familie de mulµimi deschise)

1. ∅ ∈ T , X ∈ T (mulµimea vid ³i total sunt deschise)

2. Dac Gi ∈ T , i ∈ I atunci ∪Gi ∈ T (reuniunea mulµimilor deschise estedeschis )

3. dac Gi ∈ T (i ∈ I nit ) atunci ∩Gi ∈ T (intersecµia unui num r nit demulµimi deschise este deschis ).

Deniµia 2.2.17. Complementarele mulµimilor deschise se numesc mulµimi închise.

Exemple:

1. Fie X o mulµime. Familia T = ∅, X este o topologie pe X numit topologietrivial .

2. Familia P(X) este o topologie pentru X numit topologia discret pe X.

3. T = U ⊂ R | ∀ x ∈ U ∃ ε > 0 astfel încât (x − ε, x + ε) ⊂ U. T este otopologie pentru R - numit topologia uzual (topologia axei reale) pentru R.

Deniµia 2.2.18. Fie X un spaµiu topologic ³i x ∈ X. Prin vecin tatea punctuluix, înµelegem orice mulµime deschis U care conµine punctul, adic x ∈ U .

Not m mulµimea vecin t µilor unui punct x ∈ X cu V(x).

Spaµiul prehilbertian, spaµiul liniar normat sunt spaµii topologice speciale.(Are loc: spaµiul topologic ⊃ spaµiul liniar normat ⊃ spaµiul prehilbertian.)În spaµiile topologice putem deni noµiunea de limit .

Deniµia 2.2.19. Fie X un spaµiu topologic, (xn)n∈N un ³ir de puncte din X ³ix ∈ X. irul (xn)n converge la x (are limita x) dac ³i numai dac pentru oriceV ⊂ V(x) exist NV ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ NV s avem xn ∈ V(xn → x, lim xn = x).

Noµiunea de compacticitate joac un rol important în elaborarea diferitelormetode de aproximare.

Deniµia 2.2.20. Fie (X, T ) un spaµiu topologic. Spaµiul se nume³te compact dac ³i numai dac orice acoperire deschis a lui X conµine o subacoperire nit a lui X.

Deniµia 2.2.21. O mulµime M ⊆ Rn se nume³te compact dac este m rginit ³iînchis .

Teorema 2.2.22. M ⊆ Rn este compact dac ³i numai dac orice ³ir din Mconµine un sub³ir convergent în M.

64

Deniµia 2.2.23. Fie (X, T ) un spaµiu topologic ³i Y ⊂ X o submulµime. Prinînchiderea lui Y , notat cu Y , înµelegem mulµimea Y împreun cu toate punctelede limit . x ∈ Y se nume³te punct de limit al submulµimii Y dac orice V ⊂ V(x)conµine puncte din Y diferite de x.

Deniµia 2.2.24. Fie (X, T ) un spaµiu topologic ³i Y ⊂ X. Y este relativ compact dac ³i numai dac Y este compact .

Deniµia 2.2.25. Fie (X, T ) un spaµiu topologic ³i Y ⊂ X. Y este secvenµialcompact dac ³i numai dac orice ³ir din Y conµine un sub³ir convergent în Y.

În continuare introducem o clas special de spaµiu topologic în care topologiaeste generat de o metric .

Deniµia 2.2.26. Fie X o mulµime ³i d : X ×X → R.d este semimetric pe X dac satisface condiµiile:(i) pentru orice x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)(ii) pentru orice x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x)(iii) pentru orice x ∈ X : d(x, y) = 0

d este metric pe X dac este semimetric ³i:(iv) pentru orice x, y : d(x, y) = 0 ⇒ x = y

Deniµia 2.2.27. Fie X o mulµime ³i d : X × X → R o semimetric . (X, d) estespaµiu semimetric. (X, d) este spaµiu metric dac d este metric .

Exemple

1. Fie X o mulµime ³i d : X ×X → R denit astfel:

d(x, y) =

0 dacÇ x = y1 dacÇ x 6= y

Se poate ar ta c este o metric pe X, numit metrica discret pe X.

2. Fie x, y ∈ Rn (x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)) d(x, y) =

(∑n

i=1(xi − yi)2)

1/2 este metric ³i se nume³te metric euclidean pe Rn.

Deci (Rn, d) este spaµiu metric.Se poate observa u³or c în cazul particular când n = 1 avem d(x, y) = |x− y|cunoscut din liceu ca distanµa dintre dou puncte.

65

Noµiunea de convergenµ într-un spaµiu metric

Deniµia 2.2.28. Fie (X, d) un spaµiu metric, ³irul (xn) ∈ (X, d). irul (xn)n esteconvergent la x dac ³i numai dac ³irul numeric d(xn, x) este convergent la zero.

Adic pentru orice ε > 0 exist nε ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ nε s avemd(xn, x) < ε.

Deniµia 2.2.29. irul (xn)n din spaµiul metric (X, d) este ³ir Cauchy sau ³ir fun-damental dac pentru orice ε > 0 exist nε ∈ N : pentru orice m,n ≥ nε s avemd(xn, xm) < ε.

Deniµia 2.2.30. Fie (X, d) un spaµiu metric. Dac orice ³ir fundamental esteconvergent atunci spaµiul se nume³te complet.

Teorema 2.2.31. Fie (Rn, d) un spaµiu metric cu d = (∑n

i=1(xi − yi)2)

1/2. Spaµiul

este un spaµiu metric complet.

Dac n = 1 atunci se obµine c mulµimea R cu metrica d(x, y) = |x− y| este unspaµiu complet. Acest rezultat explic faptul c în R ³irurile de tip Cauchy (³irurilefundamentale) sunt convergente.(În manualul de analiz (cl.XI) este formulat cacriteriul de convergenµ a lui Cauchy.)

Orice spaµiu normat poate considerat ³i spaµiu metric, c ci o metric d, indus prin norm este denit prin:

d(x, y) = ‖x− y‖

Convergenµa într-un spaµiu liniar normat

Deniµia 2.2.32. Fie (X, ‖ · ‖) un spaµiu liniar normat. irul (xn)n este convergentla x ∈ X dac ³i numai dac ³irul numeric ‖xn − x‖ este convergent la 0.

Adic pentru orice ε > 0 exist nε ∈ N : ∀ n > nε s avem: ‖xn − x‖ < ε.

Câteva propriet µi ale noµiunii de convergenµ :

1. Dac (xn)n este convergent ³i are limita x, atunci limita este unic .

2. Dac (xn)n ³i (yn)n din X sunt ³iruri convergente atunci ³irul (xn ± yn)n esteconvergent la x± y.

3. ³irul (xn)n este fundamental dac pentru orice ε > 0 exist nε ∈ N : ∀ n,m >nε s avem: ‖xn − xm‖ < ε.

Deniµia 2.2.33. Fie (X, ‖ · ‖) un spaµiu liniar normat. Dac spaµiul este complet,atunci se nume³te spaµiu Banach.

66

Exemple:

1. (Rn, ‖ · ‖) cu ‖x‖ =√

(x|x) este spaµiu Banach

2. (C[a, b], ‖ · ‖) ‖f‖ = maxx∈[a,b] |f(x)| este spaµiu Banach

3. (Q, | · |) spaµiu liniar normat, dar nu este spaµiu Banach.Fie (xn) ∈ Q 1; 1, 3; 1, 4 . . . 1, 413 . . . → √

2 6∈ Q. irul este fundamental darnu este convergent pe Q.

Un alt exemplu este ³irul (xi)i ∈ Q denit prin: x1 = 2, xi+1 =(xi + 2

xi

).

irul este de tip Cauchy dar limi→∞

xi 6∈ Q.

Deniµia 2.2.34. Fie, (X, ( · | · )) un spaµiu prehilbertian. Spaµiul prehilbertiancomplet se nume³te spaµiu Hilbert.

Exemple

1. (Rn, ( · | · )) este spaµiu Hilbert.

2. (l2, ( · | · )) este spaµiu Hilbert. ((xi | yi) =∑∞

i=1 xiyi)

3. (C[a, b], ( · | · )) cu (f, g) =∫ b

af(x)g(x)dx nu este complet deci este numai

prehilbertian.De exemplu ³irul (fi)i denit prin

fi(t) =

(2t)i/2, t ∈ [0, 1

2

]

1− (2(1− t))i/2, t ∈ [12, 1

]

este de tip Cauchy, converge simplu dar funcµia limit nu este continu .

67

68

Capitolul 3

Analiz real multidimensional

3.1 Noµiuni introductive3.1.1 Spaµiul real n-dimensionalDeniµia 3.1.1. Fie n ∈ N∗ un num r natural xat. Mulµimea Rn este denit prin:Rn = R× · · · × R.Elementele mulµimii x ∈ Rn sunt formate din grupuri ordonate de n numere reale

x = (x1, . . . , xn). Un punct xat din Rn vom nota cu x0 = (x01, . . . , x

0n).

Deniµia 3.1.2. Pe mulµimea Rn denim o operaµie de adunare notat cu `+`.Pentru x, y ∈ Rn oarecare, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), suma x + y a acestorpuncte este:

x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Pe mulµimea Rn denim o operaµie de înmulµire cu scalari reali astfel: pentruλ ∈ R ³i x ∈ Rn oarecare λx = (λx1, . . . , λxn).

Teorema 3.1.3. Mulµimea Rn cu operaµiile denite mai sus este un spaµiu liniarreal (spaµiu vectorial).

Demonstraµie. Se poate verica u³or c operaµia intern notat cu "+", ³ioperaµia extern veric condiµiile date în deniµia spaµiului vectorial(vezi 2.2.1).

Elementele spaµiului sunt numite vectori. Elementul nul, originea spaµiului,not m cu θ = (0, 0, . . . , 0).

69

3.1.2 Noµiuni topologiceCu scopul denirii noµiunii de vecin tate consider m o metric d : Rn × Rn → R.

Deniµia 3.1.4. Fie x0 ∈ Rn un punct xat ³i r > 0 un num r real. Mulµimea

S(x0, r)def= x |x ∈ Rn, d(x0, x) < r

se nume³te sfer deschis , cu centrul în x0 ³i de raz r.

S(x0, r) = x |x ∈ Rn, d(x0, x) ≤ r

se nume³te sfer (glob, bil ) închis .

Dac consider m metrica euclidean (vezi 2.2.31) atunci-pentru n = 1, S(x0, r) este un interval deschis de lungime 2r cu centrul în x0;-pentru n = 2, S(x0, r) este un disc cu centrul în x0 ³i de raz r;-pentru n = 3, S(x0, r) este o sfer deschis de raz r cu centrul în x0.

Deniµia 3.1.5. Fie x0 ∈ Rn un punct dat. V ⊂ Rn se nume³te vecin tatea lui x0

dac exist o sfer deschis S(x0, r) astfel încât S(x0, r) ⊂ V.Mulµimea tuturor vecin t µilor unui punct x0 se noteaz cu V(x0).

S observ m c în cazul în care consider m metrica euclidean atunci pentrun = 1 acest deniµie este chiar deniµia vecin t µii 1.2.25, deoarece în acest cazS(x0, r) = (x0 − r, x0 + r).

Observaµia 3.1.6. Mulµimea V(x0) depinde de metrica folosit .

În Rn, ca ³i în orice spaµiu generalizat, putem deni diferite norme ³i metrici,adic Rn pate metrizat în mai multe feluri.

În continuare prezent m câteva metrici dintre cele mai uzuale.‖x‖ =

√(x|x) =

√∑ni=1 x2

i este norm euclidean iar

d(x, y) = ‖x− y‖ este metric euclidean .

‖x‖1 =∑n

i=1 |xi| este norma Minkowski,

d(x, y) = ‖x− y‖1 este metrica Minkowski

‖x‖∞ = max1≤i≤n |xi| este norma Cebî³ev

d(x, y) = ‖x− y‖∞ este metrica Cebî³ev.

70

Deniµia 3.1.7. Fie (X, d1) ³i (X, d2) dou spaµii metrice. Metrica d1 este echiva-lent cu metrica d2 dac exist α > 0, β > 0 astfel încât pentru orice x, y ∈ X s evericat inegalitatea:

αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y).

Teorema 3.1.8. Pentru orice x ∈ Rn are loc:

‖x‖∞ ≤ ‖x‖1 ≤√

n‖x‖ ≤ n‖x‖∞.

Deoarece în spaµiul Rn metrica Cebî³ev, metrica euclidean ³i metrica Minkowskisunt dou câte dou echivalente rezult c V(x0) este acela³i. În continuare vomfolosi metrica euclidean .

Deniµia 3.1.9. Fie x0 ∈ A ⊆ Rn un punct dat. x0 este punct interior dac exist V ⊂ V(x0) astfel încât V ⊆ A. Mulµimea punctelor interioare formeaz interiorulmulµimii ³i not m cu A

.

Un punct y0 ∈ Rn se nume³te punct exterior lui A, dac este punct interior luiCA.

Un punct z0 ∈ Rn este punct de frontier , dac nu este nici punct interior niciexterior lui A. Mulµimea punctelor de frontier se nume³te frontiera lui A, ³i senoteaz cu Fr (A).

Observaµia 3.1.10. Dac n = 2 atunci Fr (S(x0, r)) este un cerc.Dac n = 3 atunci Fr (S(x0, r)) este suprafaµa sferei.

Deniµia 3.1.11. Consider m intervalele [a1, b1], . . . , [an, bn]. MulµimeaH = [a1, b1] × · · · × [an, bn] ⊂ Rn se nume³te interval închis n-dimensional sau

(hiper)paralelipiped.

Teorema 3.1.12. Hiperparalelipipedul (intervalul închis n dimensional) este com-pact.

Demonstraµie. [13] pag.49.Cu intervalul deschis n-dimensional putem deni vecin tatea unui punct ex-

tinzînd în mod direct deniµia dat în cazul unidimensional.

Teorema 3.1.13. Orice bil cu centrul în x0 conµine un (hiper)paralelipiped decentru x0 ³i invers.

Teorema arat c cele dou deniµii sunt echivalente. În continuare ne vom referidoar la sfere.

71

3.1.3 Funcµii de mai multe variabileDeniµia 3.1.14. Fie A ⊆ Rn, A 6= ∅. Dac oric rei element x din A printr-unprocedeu corespunde un singur element y = f(x) din Rm, atunci spunem c amdenit pe A o funcµie vector de n variabile reale. Not m f : A → Rm.

Observaµia 3.1.15.

1. Dac n = m = 1 atunci avem funcµie real de o variabil real .

2. Dac m = 1 atunci se nume³te funcµie real de n variabile reale.

Dac A ⊆ R2 atunci gracul funcµiei f : A → R este mulµimea punctelor(x1, x2, f(x1, x2)) din spaµiul tridimensional, ³i se nume³te suprafaµ .

Exemplu Fie funcµia f : A → R, A ⊆ R3 denit prin f(x, y, z) = xyz.Dac funcµia f reprezint producµia unei întreprinderi, atunci x este productivi-tatea muncii, y num rul de muncitori, ³i z timpul de munc .

Pentru a studia producµia (funcµia f) sunt necesare noµiunile de limit , continu-itate, diferenµiabilitate etc.

Deniµia 3.1.16. Fie A ⊆ Rn. f, g : A → R. Funcµiile f ± g, f · g ³i fg sunt denite

pentru orice x ∈ A astfel:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f − g)(x) = f(x)− g(x)

(f · g)(x) = f(x) · g(x)(f

g

)(x) =

f(x)

g(x), g(x) 6= 0

(λf)(x) = λf(x) pentru λ ∈ R oarecare.

Putem demonstra c mulµimea F = f, g : A → Rm, A ⊆ Rn, cu operaµiile deadunare ³i de înmulµire cu un scalar denite mai sus, este un spaµiu liniar.

3.2 Limita funcµiei de mai multe variabile într-unpunct

Deniµia 3.2.1. Fie f : A → Rm, A ⊆ Rn, ³i x0 ∈ A un punct de acumulare.l ∈ Rm este limita funcµiei f în punctul x0 dac pentru orice V ∈ V(l) exist U ∈ V(x0) astfel încât pentru orice x ∈ U ∩A, x 6= x0 s avem f(x) ∈ V. Se noteaz cu l = limx→x0f(x), ³i se nume³te limit global .

72

Deniµia 3.2.2. Fie f : A → R, A ⊆ R2 ³i (x0, y0) ∈ A un punct dat. Not mg(y) = limx→x0f(x, y). Dac exist limy→y0g(y) atunci se nume³te limit iterat ³ise noteaz cu:

limy→y0(limx→x0f(x, y)).

Deniµia 3.2.3. Fie f : A → R, A ⊆ R2 ³i (x0, y0) ∈ A un punct dat. Not mf(x) = limy→y0f(x, y). Dac exist limx→x0f(x) atunci se nume³te limit iterat ³ise noteaz cu:

limx→x0(limy→y0f(x, y)).

Dac exist limit global ³i exist f(x), g(y) atunci exist limitele iterate ³isunt egale cu limita global .

Dac exist limitele iterate dar nu sunt egale atunci nu exist limit global .Dac limitele iterate exist ³i sunt egale nu rezult c exist ³i limit global .Pentru studiul existenµei ³i pentru deteminarea limitei globale cu succes poate

utilizat limita direcµional .Deniµia 3.2.4. Fie f : A → Rm, A ⊆ Rn ³i x0 ∈ A. Fie u = (u1, . . . , un) ∈ Rn unvector unitar ³i t ∈ R+. Mulµimea punctelor x0 + tu sunt situate pe o semidreapt ce pleac din x0 în direcµia vectorului u. Not m cu

tu = supt | x = x0 + tu ∈ A³i denim aplicaµia φ : [0, tu] → R, prin φ(t) = f(x0 + tu). Se nume³te limita funcµieif în punctul x0 în direcµia vectorului u limita :

lu = limt→0

φ(t) = limt→0

f(x0 + tu).

Teorema 3.2.5. Fie f : A → Rm, A ⊆ Rn ³i x0 ∈ A. Dac funcµia f are limit direcµional în orice direcµie u, iar lu nu depinde de direcµie atunci funcµia f arelimit global în x0 notat cu l ³i l = lu.

Deniµia 3.2.6. Funcµia f : A → R, A ⊆ Rm este continu în punctul x0 ∈ A dac lim

x→x0f(x) = f(x0).

Pentru studiul continuit µii într-un punct trebuie s calcul m limita global ,dac exist aceast limit .

Probleme rezolvate1. Se dau vectorii v1 = (2,−3, 6, 4) ∈ R4, v2 = (−1, 5,−4, 7), v3 = (0, 4, 1,−10)

din R4.S se determine: 4v1 − 3v2; v1 + 2v2 − v3.Folosim operaµiile de adunare ³i de înmulµire cu un scalar denite pe Rn. Putem

scrie:

4v1 − 3v2 = 4(2,−3, 6, 4)− 3(−1, 5,−4, 7) =

= (8,−12, 24, 16)− (−3, 15,−12, 21) = (11,−27, 36,−5)

73

Analog putem calcula vectorul v1 + 2v2 − v3.Funcµia vector de n variabile reale f : A → Rm, A ⊆ Rn se poate descompune în

m funcµii reale, de n variabile reale fi : A → R, i = 1,m (adic f = (f1, f2, . . . , fm)).Exemplu. S se construiasc o funcµie f : R2 → R3. Construim trei funcµii reale

cu dou variabile reale.

f1(x, y) = x + y, f2(x, y) = xy + 2x i f3(x, y) = x · ey

Funcµia f : R2 → R3 este f(x, y) = (x + y; xy + 2x; x · ey).

2. S se determine domeniul maxim de deniµie pentru urm toarele funcµii.

a) f(x, y) =√

1− x2 − y2, f : D → RD = (x, y) ∈ R2 | 1− x2 − y2 ≥ 0

b) f(x, y) =√

1− x2 +√

1− y2

D = (x, y) ∈ R2 | 1− x2 ≥ 0 i 1− y2 ≥ 0

3) S se calculeze limitele iterate ale funcµiilor în origine.

a) f(x, y) =x + y

x− y

l1 = limx→0

(limy→0

x + y

x− y

)= 1

l2 = limy→0

(limx→0

x + y

x− y

)= −1

l1 6= l2 ⇒ nu exist limit global .b) f(x, y) =

xy

x2 + y2

l1 = limx→0

(limy→0

xy

x2 + y2

)= 0

l2 = limy→0

(limx→0

xy

x2 + y2

)= 0

l1 = l2, totu³i nu exist limit global ³i o demonstr m folosind teorema luiHeine. Lu m dou ³iruri care tind spre origine

(1k, 1k

)k³i

(1k, 2k

)kpentru care

f((

1k, 1k

)k

)→ 1

2 iar f((

1k, 2k

)k

)→ 2

5 , ceea ce înseamn c nu exist limit global .

4) S se studieze dac funcµiile considerate au limit global ³i în caz armativs se calculeze.

a) f(x, y) =xy

x2 + y2 în O(0, 0).

74

Calcul m limita direcµional dup o direcµie oarecare u ∈ R2.

lu = limt→0

f((0, 0) + (t(u1, u2)) = limt→0

f(tu1, tu2) =

= limt→0

t2u1u2

t2u21 + t2u2

2

=u1u2

u21 + u2

2

.

Deoarece limita direcµional lu depinde de direcµie rezult c nu exist limit global în origine.

b) f(x, y) =x3 + y3

x2 + y2, f : R2\(0, 0 → R

lu = limt→0

f((0, 0) + t(u1, u2)) = limt→0

f(tu1, tu2) =

= limt→0

t3u31 + t3u3

2

t2u21 + t2u2

2

= limt→0

t

(u3

1 + u32

u21 + u2

2

)= 0

Funcµia dat admite limit global în origine ³i l = 0.

5) S se studieze continuitatea funcµiilor

f(x, y) =

x+yx2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

Avem de calculat limita global lim(x,y)→(0,0)

f(x, y). Calcul m limita direcµional

lu = limt→0

f((0, 0) + t(u1, u2)) =u1 + u2

u21 + u2

2

,

deci funcµia nu este continu în origine.Probleme propuse1) S se calculeze limitele iterate ³i limita global dac exist , pentru funcµiile

date în origine.

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2(3.1)

f(x, y) =sin(x3 + y3)

x2 + y2(3.2)

f(x, y) =x2y

x2 + y2(3.3)

f(x, y) =x3 + y3

x4 + y4(3.4)

75

2) S se studieze continuitatea funcµiilor

f(x, y) =

x2y3

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =

2xyx2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

α , (x, y) = (0, 0), α ∈ R, discuµie

f(x, y) =

xy2

x2+y4 , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

3.3 DiferenµialeDerivabilitatea unei funcµii reale de o variabil real f : A → R, A ⊂ R într-unpunct x0 ∈ A

se studiaz cu:

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

Dac limita exist ³i este nit atunci funcµia este derivabil ,iar f ′(x0) se nu-me³te derivata funcµiei f în x0.

Continuitatea în x0 este o condiµie necesar pentru ca funcµia s e derivabil înx0.

Cea mai important aplicaµie al derivatei este legat de interpretarea sa geomet-ric , f ′(x0) ind panta tangentei duse la gracul funcµiei f în punctul x0.

Semnul derivatei arat tendiµa de cre³tere sau de descre³tere a funcµiei f(x) învecin tatea punctului x0.

Valoarea absolut a derivatei arat cât de puternic este acest tendiµ decre³tere, respectiv de descre³tere.

Funcµia este derivabil , dup cum s-a ar tat în paragraful 1.2.2, dac exist ofuncµie liniar ϕ : R→ R astfel încât:

limh→0

|f(x0 + h)− f(x0)− ϕ(h)||h| = 0

unde h = x− x0 ³i ϕ(h) = f ′(x0) · h.

f(x)

y

B

E

T

Cg(x)

D

Ax

76

Coordonatele punctelor pot determinate u³or.

A(x0, 0)

B(x, 0)

T (x0, f(x0))

C(x, f(x))

CE = f(x)− f(x0) = f(x0 + h)− f(x0)

Putem scrie:f(x0 + h)− f(x0) ≈ f ′(x0) · h

Funcµia ϕ(h) = f ′(x0) · h se nume³te diferenµiala funcµiei în punctul x0 .Se poate observa c ϕ(h) → 0 dac h → 0.Diferenµiala funcµiei în punctul x0, arat variaµia funcµiei (cre³terea respectiv

descre³terea) dac argumentul cre³te cu h.Diferenµiala funcµiei în punctul x0 se noteaz cu df(x0).Funcµia g(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) este cea mai bun aproximare a funcµiei

f în x0 ³i se nume³te dreapt de sprijin.Dac consider m funcµia f(x) = x, f : R→ R, atunci putem scrie

df(x) = f ′(x) · h = h ⇔ dx = h,

³i se poate arma c h este diferenµiala argumentului.Putem scrie: df(x0) = f ′(x0) · dx. Astfel derivata este: f ′(x0) =

df(x0)dx

.

Diferenµiabilitatea funcµiilor de mai multe variabile

Deniµia 3.3.1. Fie f : A → Rm, A ⊂ Rn o mulµime deschis ³i x0 ∈ A. Funcµia feste diferenµiabil în x0 dac exist o form liniar ϕ : Rn → Rm astfel încât:

limh→θ

‖f(x0 + h)− f(x0)− ϕ(h)‖‖h‖ = 0.

Observaµia 3.3.2. Se poate demonstra c existenµa lui ϕ este unic .Norma folosit în deniµie este norma euclidean întrodus cu produsul scalar

euclidean :

‖x‖ =√

< x, x > =

√√√√n∑

i=1

x2i

pentru orice x ∈ Rn.

Deniµia 3.3.3. Mulµimea M ⊆ Rn,M 6= ∅ se nume³te subspaµiu liniar dac penruorice x, y ∈ Rn ³i pentru orice a, b ∈ R : ax + by ∈ M.

77

Deniµia 3.3.4. Fie M ⊆ Rn,M 6= ∅ un subspaµiu liniar. f : M → R se nume³teliniar dac pentru orice x, y ∈ M ³i orice a, b ∈ R :

f(ax + by) = af(x) + bf(y).

Teorema 3.3.5. (Teorema de caracterizare a funcµiilor liniare în spaµiul Rn)Fie M ⊆ Rn,M 6= ∅, un subspaµiu liniar, f : M → R. Funcµia f este liniar

dac ³i numai dac exist un punct u ∈ Rn astfel încât f(x) = (x|u).

Deniµia 3.3.6. Dac f : A → Rn, A ⊂ Rn este diferenµiabil în x0 ∈ A, atuncifuncµia liniar ϕ se nume³te diferenµiala Fréchet al funcµiei f în x0 ³i not m cuDf(x0).

Deniµia 3.3.7. Dac funcµia f : A → Rm (A ⊆ Rn) este diferenµiabil în ecarepunct al mulµimii B ⊆ A

atunci spunem c f este diferenµiabil pe B.

Teorema 3.3.8. Dac f : A → Rm (A ⊆ Rn) este diferenµiabil în x0 ∈ Aatunci

f este continu în x0.

Demonstraµie. Deoarece f este diferenµiabil în x0 rezult

limh→θ

‖f(x0 + h)− f(x0)−Df(x0)(h)‖‖h‖ = 0.

Folosind notaµia f(x0 + h)− f(x0)−Df(x0) · (h) = ω(x0, h) putem scrie:

f(x0 + h)− f(x0) = Df(x0)(h) + ω(x0, h)

Se poate observa u³or c : ω(x0, θ) = 0 ³i

lim‖h‖→θ

‖ω(x0, h)‖‖h‖ = 0.

Faptul c aceast limit este zero înseamn , c pentru orice ε1 > 0 exist δ1 > 0

astfel încât dac ‖h‖ < δ1 atunci ‖ω(x0, h)‖‖h‖ < ε1.

Deoarece Df(x0) este Lipschitzian putem scrie ‖Df(x0) · (h)‖ ≤ M ·‖h‖, undeM ≥ 0. Astfel avem:

‖f(x0 + h)− f(x0) ≤ ‖Df(x0)(h)‖+ ‖ω(x0, h)‖ ≤≤ M · ‖h‖+ ε1‖h‖ = (ε1 + M)‖h‖

Fie acum ε > 0 oarecare ³i alegem δ = min(δ1

εε1 + M

)

Atunci dac ‖h‖ < δ avem ‖f(x0 + h)− f(x0)‖ < ε, ceea ce trebuia de ar tat.Reciproca teoremei nu este adev rat , Weierstrass este primul matematician care

a construit funcµii continue dar nediferenµiabile într-un punct.

78

Observaµia 3.3.9. Funcµa f : A → Rm, A ⊆ Rn este Lipschitzian (RudolphLipschitz (1832-1903)) dac exist L > 0 astfel încât pentru orice x′, x′′ ∈ A s avem: ‖f(x′)− f(x′′)‖ ≤ L‖x′ − x′′‖.Teorema 3.3.10. Fie mulµimea

F = f : A → Rm, A ⊆ Rn |x0 ∈ A ⊆ Rn f diferenµiabil în x0.

Dac mulµimea este înzestrat cu operaµiile

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(λf)(x) = λf(x)

atunci mulµimea F cu cele dou operaµii este un spaµiu liniar (vectorial).

Teorema 3.3.11. Fie f : A → Rm, A ⊆ Rn, x0 ∈ A. f este diferenµiabil în

x0 ⇔ fi : A → R (i = 1,m) sunt diferenµiabile în x0.Dac f este diferenµiabil , atunci:

Df(x0) · (h) =

Df1(x0) · (h)...

Dfm(x0) · (h)

pentru orice h ∈ Rn.

3.4 Derivate parµialeDeniµia 3.4.1. Fie o funcµie real f : A → R (A ⊆ Rn) ³i x0 ∈ A

un punct xat.

Dac exist limita

limxi→x0

i

f(x01, . . . , x

0i−1, xi, x

0i+1, . . . , x

0n)− f(x0

1, . . . , x0i , . . . , x

0n)

xi − x0i

atunci se nume³te derivata parµial al funcµiei f în raport cu variabila xi în punctulx0.

Derivatele parµiale se noteaz cu ∂f(x0)∂xi

sau f ′xi(x0)

Observaµia 3.4.2. S not m cu Ai, i = 1, n mulµimea punctelor (x1, . . . , xn) din Acare sunt obµinute prin xarea coordonatelor x1, . . . xi−1, xi+1, . . . , xn. Adic :

Ai = x ∈ A |xj = x0j , j = 1, . . . , i− 1, i + 1, . . . , n.

Funcµiile fAi, i = 1, n se numesc funcµii parµiale ale funcµiei f. Derivata prµial al

funcµiei f în raport cu variabila xi este de fapt derivata unei funcµii de o variabil real în punctul x0

i , adic al funcµiei

fAi: Ai → R

fAi(xi) = f(x0

1, . . . , x0i−1, xi, x

0i+1, . . . , x

0n)

79

Deci, calculul efectiv al derivatelor parµiale de ordinul întâi al unei funcµii subform analitic , se efectueaz folosind acelea³i formule ³i reguli de derivare ca ³iîn cazul funcµiilor de o singur variabil . Presupunem c toate variabilele suntconstante cu excepµia celei în raport cu care se face derivarea.

Derivatele parµiale într-un punct x0 în raport cu xi arat prin semnul lor tend-inµa de cre³tere (respectiv de descre³tere) a funcµiei în raport cu variabila xi învecin tatea punctului x0, iar valoarea lor absolut arat cât de mare este aceast tendinµ . Pentru studiul în ansamblu al tendinµei de cre³tere/ descre³tere a funcµieiîn vecin tatea punctului x0 în raport cu variabilele xi, este folosit gradientul funcµieidenit prin:

∇f(x0) =

(∂f(x0)

∂x1

, . . . ,∂f(x0)

∂xn

)

Gradientul poate denit ³i pe o mulµime A, pentru orice x ∈ A :

∇f(x) =

(∂f(x)

∂x1

, . . . ,∂f(x)

∂xn

)

Exemplu S se calculeze ∇f(x0) pentru funcµia dat în punctul indicat.f(x) = x3

1 − 2x1x2 + x2x3 − 6x2 + 4x3, f : R3 → Rx0 = (2,−3, 7) ∈ R3

∂f(x)

∂x1

= 3x21 − 2x2

∂f(x)

∂x2

= −2x1 + x3 − 6

∂f(x)

∂x3

= x2 + 4

∇f(x0) = (18,−3, 11)

Teorema 3.4.3. Dac f : A → R (A ⊆ Rn) este diferenµiabil în x0 ∈ Aatunci

exist toate derivatele parµiale ale funcµiei f în raport cu variabilele x1, . . . , xn înpunctul x0 ³i

Df(x0) · (h) = (∇f(x0)|h) =n∑

i=1

∂f(x0)

∂xi

· hi =n∑

i=1

∂f(x0)

∂xi

· dxi.

Exemplu S se calculeze diferenµiala funcµiei:

f(x) = x31 − 2x1x2 + x2x3 − 6x2 + 4x3, f : R3 → R

df(x) =∂f(x)

∂x1

dx1 +∂f(x)

∂x2

dx2 +∂f(x)

∂x3

dx3 =

= (3x21 − 2x2)dx1 + (−2x1 + x3 − 6)dx2 + (x2 + 4)dx3

df(x0) = 18dx1 − 3dx2 + 11dx3

80

3.5 Diferenµiale ³i derivate parµiale de ordin supe-rior

Deniµia 3.5.1. Fie f : A → Rm, A ⊂ Rn deschis . Dac f este diferenµiabil peA, atunci la ecare element x ∈ A îi putem asocia diferenµiala Df(x) ∈ L(Rn,Rm).Astfel am denit o nou funcµie, Df : A → L(Rn,Rm). Deoarece L(Rn,Rm) este unspaµiu liniar normat putem deni diferenµiala acestei funcµii.

Funcµia f : A → Rm, A ⊆ Rn se nume³te de dou ori diferenµiabil în x0 ∈ Adac funcµia Df este diferenµiabil în x0, adic exist o funcµie liniar

D2f(x0) : Rn → L(Rn,Rm) astfel încât

limh→θ

‖Df(x0 + h)−Df(x0)−D2f(x0) · (h)‖‖h‖ = 0

iar funcµia D2f(x0) se nume³te diferenµiala de ordinul doi al funcµiei f în punctulx0.Teorema 3.5.2. Dac exist D2f(x0), atunci pentru orice (h, k) ∈ Rn × Rn avem

D2f(x0)(h, k) = D[D(f(·)(h)](x0)(k).

Deniµia 3.5.3. Fie f : A → R, A ⊆ Rn, x0 ∈ A. f este de dou ori diferenµiabil

în punctul x0 dac exist o vecin tate V ⊂ V(x0) astfel încâtfuncµia f s e diferenµiabil pe V ³ifuncµiile ∂f

∂x1: V → R, . . . ,

∂f∂xn

: V → R s e diferenµiabile în x0.

În consecinµ , trebuie s existe toate derivatele parµiale în x0 în raport cu com-ponentele x1, . . . , xn numite derivate parµiale de ordinul doi.Se noteaz cu:

∂

∂xi

(∂f

∂xj

)=

∂2f

∂xi · ∂xj

.

Prin deniµie, dac exist limita

∂2f(x0)

∂xi · ∂xj

= limxj→x0

j

∂f∂xi

(x01, . . . , x

0j−1, xj, x

0j+1, . . . , x

0n)− ∂f

∂xi(x0

1, . . . , x0n)

xj − x0j

³i este nit , atunci se nume³te derivata parµial de ordinul doi a funcµiei f în raportcu variabilele xi, xj în punctul x0.

În mod analog putem deni diferenµiale ³i derivatele parµiale de ordin mai mare.Teorema 3.5.4. (H.A. Schwarz (1843-1921))

Fie f : A → R, A ⊆ Rn, x0 ∈ A. Dac , într-o vecin tate V ⊂ V(x0), exist

derivatele parµiale de ordinul doi mixte ∂2f(x)∂xi∂xj

³i ∂2f(x)∂xj∂xi

³i sunt continue în x0

atunci ∂2f(x0)∂xi∂xj

=∂2f(x0)∂xj∂xi

.

81

În continuare prezent m cum se pot calcula diferenµiale de ordin superior a uneifuncµii. Diferenµiala funcµiei f, dup cum ³tim, este:

df(x)(h) =∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2 + · · ·+ ∂f

∂xn

dxn

Diferenµiala de ordinul doi se obµine dac se calculeaz diferenµiala diferenµialei deordinul întâi. Adic :

d2f =∂2f

∂x21

dx21 + 2

∂2f

∂x1∂x2

dx1dx2 + · · ·+ 2∂2d

∂x1∂xn

dx1dxn +

+∂2f

∂x22

dx22 + · · ·+ 2

∂2f

∂x2∂xn

dx2dxn + · · ·+ ∂2f

∂x2n

dx2n

Folosind formula cunoscut : ((a1 + · · · + an)2 = a21 + 2a1a2 + · · · + 2a1an + a2

2 +2a2a3 + · · ·+ 2a2an + · · ·+ a2

n) diferenµiala de ordinul doi putem scrie în forma:

d2f =

(∂

∂x1

dx1 + · · ·+ ∂

∂xn

dxn

)(2)

f

unde (2) reprezint o putere în mod simbolic.Prin recurenµ se obµine diferenµiala de ordinul k:

dkf = d(dk−1f)

Adic :dkf =

(∂

∂x1

dx1 + · · ·+ ∂

∂xn

dxn

)(h)

f

prin inducµie se poate demonstra:

dkf =∑

i1,i2,...,in=0i1+···+in=k

k!

i1! . . . in!· ∂kf

∂xi11 ∂xi2

2 . . . ∂xinn

dxi11 . . . dxin

n

3.6 Formula lui TaylorFormula lui Taylor a fost generalizat pentru funcµii de mai multe variabile de

câtre Lagrange în anul 1772.Consider m o funcµie real f : A → R, A ⊆ Rn, ³i punctul x0 ∈ A

xat. Pre-

supunem c f este de k ori diferenµiabil pe V ⊂ V(x0) ³i e x ∈ V un punctoarecare.

Denim o funcµie F : [0, 1] → R denit prin

F (t)def= f(x0 + t(x− x0)) pentru t ∈ [0, 1]

82

Evident avem:F (0) = f(x0) ³i F (1) = f(x).Scriem formula lui Maclaurin pentru funcµia real F :

F (t) = F (0) +F ′(0)

1!t + · · ·+ F k−1(0)

(k − 1)!tk−1 +

F (k)(ξ)

k!tk (3.5)

unde exist ξ ∈ (0, t).Dar:

F ′(t) = (f(x0 + t(x− x0))′ =

= (f(x01 + t(x1 − x0

1); x02 + t(x2 − x0

2); . . . x0n + t(xn − x0

n)))′

F ′(t) =∂f(x0 + t(x− x0))

∂x1

(x1 − x01) +

∂f(x0 + t(x− x0))

∂x2

(x2 − x02) + · · ·+

+∂f(x0 + t(x− x0))

∂xn

(xn − x0n)

Pentru t = 0 avem:

F ′(0) =∂f(x0)

∂x1

dx1 +∂f(x0)

∂x2

dx2 + · · ·+ ∂f(x0)

∂xn

dxn

adic F ′(0) = df(x0)(h)În mod analog obµinem:

F ′′(0) = d2f(x0)(h)2

...F (k−1)(0) = dk−1f(x0)(h)k−1

F (k)(ξ) = dkf(x0 + ξ(x− x0))(h)k

Astfel din formula (3.5) cu t = 1 obµinem formula lui Taylor pentru funcµia f de nvariabile reale:

f(x) = f(x0) +1

1!df(x0)(h) + · · ·+ 1

(h− 1)!dh−1f(x0)(h)k−1 +

+1

k!dkf(x0 + ξ(x− x0))(h)k (3.6)

Pentru funcµii de dou variabile cu (a, b) ∈ R2 xat ³i (x, y) ∈ V(a,b) avem:

f(x, y) = f(a, b) +1

1!

[∂f(a, b)

∂x(x− a) +

∂f(a, b)

∂y(y − b)

]+

+1

2!

[∂2f(a, b)

∂x2(x− a)2 + 2

∂2f(a, b)

∂x∂y(x− a)(y − b) +

∂2f(a, b)

∂y2(y − b)2

]+ · · ·+

+1

p!

[∂pf(a, b)

∂xp(x− a)p + C1

p

∂pf(a, b)

∂xp−1∂y(x− a)p−1 · (y − b)+

+ C2p

∂pf(a, b)

∂xp−2∂y2(x− a)p−2 · (y − b)2 + · · ·+ ∂pf(a, b)

∂yp(y − b)p

]+ Rp(x, y).

83

Probleme rezolvate1) S se calculeze derivatele parµiale de ordinul întâi ³i al doilea pentru urm -

toarele funcµii:f(x, y) = ln(x + y2), f : D → R; D = (x, y) ∈ R2|x + y2 > 0∂f(x, y)

∂x=

1

x + y2

∂f(x, y)

∂y=

2y

x + y2

∂2f(x, y)

∂x2=

∂

∂x

(∂f(x, y)

∂x

)= − 1

(x + y2)2

∂2f(x, y)

∂x∂y=

∂

∂y

(∂f(x, y)

∂x

)= − 2y

(x + y2)2

∂2f(x, y)

∂y∂x=

∂

∂x

(∂f(x, y)

∂y

)= − 2y

(x + y2)2

∂2f(x, y)

∂y2=

∂

∂y

(∂f(x, y)

∂y

)=

2(x + y2)− 2y · 2y(x + y2)2

Derivatele parµiale mixte sunt egale.Observaµie:(α) Cu ajutorul derivatelor parµiale de ordinul întâi putem scrie gradientul

funcµiei:

∇f(x, y) =

(∂f(x, y)

∂x,∂f(x, y)

∂y

), adic

∇f(x, y) =

(1

x + y2,

2y

x + y2

)

(β) Diferenµiala funcµiei este

df(x, y) =∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)

∂ydy =

1

x + y2dx +

2y

x + y2dy.

Putem calcula acum, diferenµiala funcµiei într-un punct, de exemplu df(1, 2);

df(1, 2) =1

5dx +

4

5dy

2) S se calculeze df, d2f ³i d3f pentru funcµiaf(x, y) = 3x2 + x3y2 − xy3, f : R2 → R

Calcul m derivatele parµiale necesare:∂f(x, y)

∂x= 6x + 3x2y2 − y3;

∂f(x, y)

∂y= 2x3y − 3xy2

∂2f(x, y)

∂x2= 6 + 6xy2;

∂2f(x, y)

∂x∂y= 6x2y − 3y2;

∂2f(x, y)

∂y2= 2x3 − 6xy

∂3f(x, y)

∂x3= 6y2;

∂3f(x, y)

∂x2∂y= 12xy;

∂3f(x, y)

∂x∂y2= 6x2 − 6y;

∂3f(x, y)

∂y3= −6x

84

Diferenµiala de ordinul întâi este:

df(x, y) =∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)

∂ydy ³i avem:

df(x, y) = (6x + 3x2y2 − y3)dx + (2x3y − 3xy2)dy

Diferenµiala de ordinul doi, obµinem din:

d2f(x, y) =

(∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)

∂ydy

)(2)

=∂2f(x, y)

∂x2(dx)2 +

+∂2f(x, y)

∂y2(dy)2 + 2

∂2f(x, y)

∂x∂ydxdy

Avem astfel:d2f(x, y) = (6 + 6xy2)(dx)2 + (2x3 − 6xy)(dy)2 + 2(6x2y − 3y2)dxdy.

Diferenµiala de ordinul trei obµinem din:

d3f(x, y) =

(∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)

∂ydy

)(3)

=∂3f(x, y)

∂x3(dx)3 +

+3∂3f(x, y)

∂x2∂y(dx)2dy + 3

∂3f(x, y)

∂x∂y2dx(dy)2 +

∂3f(x, y)

∂y3(dy)3

Astfel, putem scrie:d3f(x, y) = 6y2(dx)3 + 36xy(dx)2dy + 3(6x2 − 6y)dx(dy)2 − 6x(dy)3

3) S se scrie formula lui Taylor, pentru:f(x, y) = 3x2 + x2y2 − xy3 în punctul (−2, 1).

Formula lui Taylor pentru funcµia dat este:

f(x, y) = f(−2, 1) +1

1!df(−2, 1) +

1

2!d2f(−2, 1) +

1

3!d3f(−2, 1) +

+1

4!d4f(−2, 1) +

1

5!d5f(−2, 1).

Folosim rezultatele din problema precedent ³i calcul m înc derivatele parµiale deordinul patru ³i cinci:

∂4f(x, y)

∂x4= 0,

∂4f(x, y)

∂x3∂y= 12y;

∂4f(x, y)

∂x2∂y2= 12x;

∂4f(x, y)

∂x∂y3= −6;

∂4f(x, y)

∂y4= 0

∂5f(x, y)

∂x5= 0;

∂5f(x, y)

∂x4∂y= 0;

∂5f(x, y)

∂x3∂y2= 12;

∂5f(x, y)

∂x2∂y3= 0;

∂5f(x, y)

∂x∂y4= 0;

∂5f(x, y)

∂y5= 0

85

Derivatele parµiale de ordinul k, k ≥ 6 sunt egale cu 0. Diferenµiala de ordinul patrueste:

d4f(x, y) =

(∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)

∂ydy

)(4)

=∂4f(x, y)

∂x4(dx)4 + 4

∂4f(x, y)

∂x3∂y·

·(dx)3dy + 6∂4f(x, y)

∂x2∂y2(dx)2(dy)2 + 4

∂4f(x, y)

∂x(∂y)3dx(dy)3 +

∂4f(x, y)

∂y4(dy)4

Putem scrie:

d4f(x, y) = 48y(dx)3dy + 72x(dx)2(dy)2 − 24dx(dy)3

Diferenµiala de ordinul cinci obµinem din:

d5f(x, y) =

(∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)

∂ydy

)(5)

=∂5f(x, y)

∂x5(dx)5 +

+5∂5f(x, y)

∂x4∂y(dx)4dy + 10

∂5f(x, y)

∂x3∂y2(dx)3(dy)2 + 10

∂5f(x, y)

∂x2∂y3(dx)2(dy)3 +

+5∂5f(x, y)

∂x∂y4dx · (dy)4 +

∂5f(x, y)

∂y5(dy)5.

Avem astfel pentru funcµia dat :

d5f(x, y) = 120(dx)3(dy)2

În continuare calcul m df(−2, 1); d2f(−2, 1); d3f(−2, 1); d4f(−2, 1) ³i d5f(−2, 1).Avem:

df(−2, 1) = −dx− 10dy

d2f(−2, 1) = −6(dx)2 − 4(dy)2 + 42dxdy

d3f(−2, 1) = 6(dx)3 − 72(dx)2dy + 54dx(dy)2 + 12(dy)3

d4f(−2, 1) = 48(dx)3dy − 144(dx)2(dy)2 − 24dx(dy)3

d5f(−2, 1) = 120(dx)3(dy)2

Acum putem scrie formula lui Taylor pentru funcµia dat în punctul (−2, 1). tiindc dx = x− x0 iar dy = y − y0 (adic dx = x + 2 ³i dy = y − 1.) Putem scrie:

f(x, y) = 6 +1

1![−(x + 2)− 10(y − 1)] +

1

2![−6(x + 2)2 − 4(y − 1)2 +

+42(x + 2)(y − 1)] +1

3![6(x + 2)3 − 72(x + 2)(y − 1) + 54(x + 2)(y − 1)2 +

+12(y − 1)3] +1

4![48(x + 2)3(y − 1)− 144(x + 2)2(y − 1)2 −

−24(x + 2)(y − 1)3] +1

5!120(x + 2)3(y − 1)2

86

Probleme propuse1) S se calculeze d2f pentru funcµia f(x, y, x) =

√x2 + y2 + z2

2) S se calculeze d3f pentru funcµia f(x, y) = ex−y2

3) S se scrie formula lui Taylor pentru

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2xy − yz − 4x− 3y − z + 4

în punctul (1, 1, 1).

3.7 Extreme pentru funcµii de mai multe variabile3.7.1 Extreme obi³nuite

Teorema lui Fermat ³i consecinµele acestei teoreme ne dau condiµii necesare pen-tru existenµa punctelor de extrem ale funcµiilor reale.

Teorema 3.7.1. (Fermat)Fie funcµia f : A → R, A ⊆ Rn.

Dac funcµia f este diferenµiabil în punctul x0 ∈ Aatunci condiµia necesar ca

x0 s e punct de extrem este: df(x0) = 0.

Pentru n = 1, avem f ′(x0) = 0. Dac n > 1 atunci df(x0) = 0 este echivalent cu: ∂f(x0)

∂x1= 0,

∂f(x0)∂x2

= 0 . . .∂f(x0)∂xn

= 0

Deniµia 3.7.2. Acele puncte interioare ale domeniului de deniµie pentru careavem Df(x) = 0, se numesc puncte staµionare.

În continuare formul m condiµii suciente de existenµ ale puntelor de extrem.În cazul când n = 1 am studiat acest problem în capitolul 1.În continuare prezent m câteva noµiuni de algebr .

Deniµia 3.7.3. Fie funcµia Q(x) =∑n

i,j=1 aijxixj unde Q : Rn → R, aij ∈ R.Funcµia se nume³te form cvadratic (sau p tratic ).

Exemplu: Q(x1, x2) = (x1)2 − 2x1x2 + 3x2

2

Teorema 3.7.4. Dac funcµia f : A → R, A ⊆ Rn este de dou ori diferenµiabil înpunctul x0 ∈ A

atunci funcµia Q(x) = D2f(x0)(x− x0)2 este form cvadratic

Observaµia 3.7.5. La orice funcµie biliniar putem asocia o form cvadratic ³iinvers.

Deniµia 3.7.6. Forma cvadratic Q este pozitiv (negativ) denit dac Q(x) >0 (Q(x) < 0) pentru orice x ∈ Rn, x 6= 0. Dac Q este pozitiv sau negativ denit atunci spunem c este form cvadratic denit .

87

Exemplu: Q(x) = (x1)2 + (x2)

2.În caz contrar avem form cvadratic nedenit .Exemplu: Q(x) = (x1)

2 − (x2)2.

Deniµia 3.7.7. La orice form cvadratic putem asocia o matrice ³i minoranµiiacestuia astfel:

D1 = a11 D2 =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ . . . Dn =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n...

an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣

Teorema 3.7.8. (Sylvester)Q este pozitiv denit dac ³i numai dac Di > 0 pentru orice i ∈ 1, . . . , n.Q este negativ denit dac ³i numai dac (−1)iDi > 0 pentru orice i ∈

1, . . . , n.

Teorema 3.7.9. Fie funcµia f : A → R, A ⊆ Rn x0 ∈ A

un punct staµionar.Presupunem c într-o vecin tate a lui x0 funcµia f admite derivate parµiale de ordinuldoi care sunt continue.

Dac d2f(x0)(x−x0)2 este form p tratic denit atunci funcµia f admite punctextrem local în punctul x0. Dac este pozitiv denit atunci x0 este punct de minim,iar dac este negativ denit atunci x0 este punct maxim.

Dac d2f(x0)(x− x0)2 este form p tratic nedenit atunci funcµia f în x0 nuare extrem local.

Lema 3.7.1. Dac funcµia f : A → Rm, (A ⊆ Rn) în punctul x0 ∈ Aeste de p ori

diferenµiabil , atuncilim

x→x0

‖f(x)− Tp(x)‖‖x− x0‖p

= 0

undeTp(x) = f(x0) +

1

1!df(x0)(x− x0) + · · ·+ 1

p!dpf(x0)(x− x0)p

este polinomul lui Taylor (demonstraµie prin inducµie)

În continuare prezent m demonstraµia teoremei 3.7.9.Demonstraµie. Folosind lema pentru p = 2 ³i luând în considerare c x0 este

punct staµionar, putem scrie: limx→x0

‖f(x)− T2(x)‖‖x− x0‖2 = 0, unde

T2(x) = f(x0) +1

1!df(x0)(x− x0) +

1

2!d2f(x0)(x− x0)2

Avemlim

x→x0

‖f(x)− f(x0)− 12!d2f(x0)(x− x0)2‖

‖x− x0‖2= 0

88

Adic f(x)− f(x0) =

1

2![d2f(x0)(x− x0)2 + α(x− x0)‖x− x0‖2]

unde limx→x0 α(x− x0) = 0.Deci pentru x 6= x0 avem:

f(x)− f(x0) =‖x− x0‖2

2!

[d2f(x0)

(x− x0)2

‖x− x0‖2+ α(x− x0)

]

Dac folosim notaµia u = x− x0

‖x− x0‖ , x 6= x0 atunci putem scrie

d2f(x0)(u)2 =n∑

i,j=1

∂f(x0)

∂xi∂xj

uiuj 6= 0

³i (u1)2 + · · ·+ (un)2 = 1 (S).

Deoarece forma cvadratic pe sfera compact (S) este funcµie continu rezult c admite pe (S) minim ³i maxim. Not m cu m minimul valorii absolute ale formeicvadratice pe sfera (S). Evident dac m > 0 atunci forma cvadratic este denit .

Deoarece α(x − x0) −−−→x→x0

0 rezult c exist U ∈ V(x0) astfel încât pentruorice x ∈ U s avem |α(x − x0)| < m. Deci în punctele x ∈ U semnul diferenµeif(x) − f(x0) depinde numai de semnul lui D2f(x0)(x − x0)2. Deci în x0 funcµia fare extrem, deoarece D2f(x0)(x− x0)2 nu-³i schimb semnul.

Consecinµa 3.7.10. Funcµia f în punctul staµionar x0 are minim dac :

D1 =∂2f(x0)

(∂x1)2D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f(x0)(∂x1)

2∂2f(x0)∂x1∂x2

∂2f(x0)∂x2∂x1

∂2f(x0)(∂x2)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣> 0 . . .

. . . Dn =

∣∣∣∣∣∣∣

∂2f(x0)(∂x1)2

∂2f(x0)∂x1∂x2

. . . ∂2f(x0)∂x1∂xn

. . . . . . . . .∂2f(x0)

(∂xn∂x1)2∂2f(x0)∂xn∂x2

. . . ∂2f(x0)(∂xn)2

∣∣∣∣∣∣∣> 0

³i are maxim dac :D1 < 0, D2 > 0, . . . , (−1)nDn > 0.

Probleme rezolvate1) S se determine punctele de extrem local pentru funcµia:

f(x, y) = −2x2 + 2xy − 5y2 + 6x + 6y, f : R2 → R.

89

Punctele staµionare sunt soluµiile ecuaµiei:

df(x, y) = 0 ⇔

∂f(x, y)∂x

= 0

∂f(x, y)∂y

= 0⇔

−4x + 2y + 6 = 02x− 10y + 6 = 0

Soluµia sistemului este punctul A(2, 1).În continuare veric m, dac este punct de extrem. Calcul m în acest scop:

D1 =∂2f(2, 1)

∂x2= −4 < 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣

∂2f(2, 1)∂x2

∂2f(2, 1)∂x∂y

∂2f(2, 1)∂y∂x

∂2f(2, 1)∂y2

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣−4 2

2 −10

∣∣∣∣ = 36 > 0

Deci D1 < 0, D2 > 0 rezult c punctul A(2, 1) este un punct maxim.2) S se determine punctele de extrem local pentru funcµia:

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + x− 2z, f : R3 → R

Determin m punctele staµionare din df(x, y, z) = 0 ⇔

∂f(x, y, z)∂x

= 0

∂f(x, y, z)∂y

= 0

∂f(x, y, z)∂z

= 0

⇔

2x− y + 1 = 02y − x = 02z − 2 = 0,

de unde obµinem punctul A(−2

3 ,−13 , 1

).

Pentru a verica dac punctul staµionar este punct de extrem calcul m:

D1 =∂2f(x, y, z)

∂x2

∣∣∣∣(x,y,z)=(− 2

3,− 1

3,1)

= 2 > 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂x2

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂x∂y

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂y∂x

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂y2

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣2 −1

−1 2

∣∣∣∣ = 3 > 0

D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂x2

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂x∂y

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂x∂z

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂y∂x

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂y2

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂y∂z

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂z∂x

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂z∂y

∂2f(−2

3,−1

3, 1

)∂z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

=

∣∣∣∣∣∣

2 −1 0−1 2 0

0 0 2

∣∣∣∣∣∣= 6 > 0.

90

Deci D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0 rezult c punctul A(−2

3 ,−13 , 1

)este un punct de

minim.Probleme propuseS se determine punctele de extrem local pentru funcµiile:

f(x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, f : R2 → Rf(x, y) = x3y2(a− x− y), x > 0, y > 0, a > 0

f(x, y) = xy +50

x+

20

y, x > 0, y > 0

f(x, y, z) = xy2z3(7− x− 2y − 3z), xyz 6= 0

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 12xy + 2z, f : R3 → R

f(x, y, z) = x +y2

4z+

z2

y+

2

z, x > 0, y > 0, z > 0.

3.7.2 Extreme cu leg turiDeniµia 3.7.11. Fie funcµia f : A → R, (A ⊆ Rn) ³i E ⊆ A. Spunem c funcµiaf în punctul x0 ∈ E are extrem local faµ de mulµimea E, dac restricµia lui f pe Enotat cu (fE) are extrem local în x0

Deniµia 3.7.12. Extremele funcµiei f faµ de mulµimea E se numesc extremelegate.

În practic mulµimea E este determinat de un num r xat de relaµii între vari-abilele independente ale funcµiei f .

Dac aceste relaµii sunt:

Fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, q (q < n)

atunci E = x |Fi(x) = 0, i = 1, q.În continuare consider m funcµia:

f : A×B → R (A ⊆ Rp, B ⊆ Rq).

Presupunem c mulµimea E este determinat de relaµia F (x, y) = 0, unde F :A×B → Rq.

Problem : S se determne o condiµie sucient astfel încât funcµia f în punctul(x0, y0) s aib un extrem cu leg turi.

Teorema 3.7.13. (teorema de existenµ a funcµiei implicite)Fie funcµia F : A × B → Rm (A × B ⊆ Rn × Rm) ³i punctele x0 ∈ A

, y0 ∈

B. Presupunem c exist toate derivatele parµiale ale funcµiei F în raport cu toate

componentele, adic :∂Fi

∂xj

,∂Fi

yk

(y = 1, n, i, k = 1,m)

91

³i sunt continue pe A × B

.

Dac F (x0, y0) = 0 ³i

det(

∂Fi(x0, y0)

∂yk

)

i,k=1,m

6= 0

atunci exist mulµimile deschise X ⊆ Rn, x0 ∈ X, Y ⊆ Rm y0 ∈ Y astfel încâtpentru orice x ∈ X s corespund un singur element y = f(x) ∈ Y pentru careF (x, f(x)) = 0 ³i funcµia f : X → Y este diferenµiabil .

Diferenµiala lui f se obµine prin calculul derivatelor parµiale ale componentelor.Fi(x, f(x)) = 0 i = 1,m ³i pentru orice x ∈ X deriv m dup j = 1, n.

∂Fi(x, y)

∂xj

+m∑

k=1

∂Fi(x, y)

∂yk

· ∂fk(x)

∂xj

= 0 i = 1,m j = 1, n.

Dac de exemplu funcµia F este o funcµie real de dou variabile, atunci derivatalui f se obµine astfel:

F (x, f(x)) = 0 pentru orice x ∈ V

F (x, y)

∂x+

∂F (x, y)

∂y· f ′(x) = 0 ⇒ f ′(x) = −

∂F∂x∂F∂y

.

Dac F este o funcµie real de (n + m) variabile reale atunci:

∂F

∂x=

∂F1∂x1

. . . ∂F1∂xn

. . . . . . . . .∂Fm∂x1

. . . ∂Fm∂xn

i ∂F

∂y=

∂F1∂y1

. . . ∂F1∂ym

. . . . . . . . .∂Fm∂y1

. . . ∂Fm∂ym

Revenim la problema propus ³i presupunem c :1. funcµia f în (x0, y0) are extrem cu leg turi, iar

2. funcµia F într-o vecin tate V ⊂ V(x0,y0) satisface condiµiile teoremei de exis-tenµ a funcµiei implicite.

În aceste condiµii relaµia F (x, y) = 0 determin funcµia g : X → Y unde

X ∈ V(x0), y ∈ V(y0), X ⊆ Rp, Y ⊆ Rq

C ut m o condiµie sucient ca funcµia h(x) = f(x, g(x)), h : X → R în x0 s aib extrem (h(x1, . . . , xp) = f(x1, . . . , xp, g1(x), . . . gq(x)) Trebuie s rezolv m ecuaµiadh(x0) = 0, adic :

∂h(x0)

∂xj

=∂f(x0, y0)

∂xj

+

q∑

k=1

∂f(x0, y0)

∂yk

· ∂gk(x0)

∂xj

= 0 j = 1, p (3.7)

92

Derivatele parµiale ∂gk(x0)

∂xjobµinem din condiµia:

F (x, f(x)) = 0 ⇔ Fi(x, f(x)) = 0

Derivând obµinem:∂Fi(x

0y0)

∂xj

+

q∑

k=1

∂Fi

∂yk

· ∂gk(x0)

∂xj

= 0 (3.8)

Folosind (3.7) ³i (3.8) elimin m derivatele parµiale ∂gk(x0)

∂xj. Astfel (3.8) va

conµine numai derivate parµiale cunoscute ³i vom nota în continuare cu Gj(x, y) = 0j = 1, p. Avem astfel un sistem cu p + q de ecuaµii ³i (p + q) necunoscute

Gj(x, y) = 0 j = 1, pFi(x, y) = 0 i = 1, q

Soluµia (x0, y0) sistemului va punctul de extrem cu leg turi c utat.

Metoda multiplicatorilor lui LagrangeÎn continuare prezent m o alt metod pentru rezolvarea problemei propuse.

Asociem problemei propuse o funcµie ajut toare, numit funcµia lui Lagrange denitprin

L(x, y, λ) = f(x, y) +

q∑i=1

λiFi(x, y), x ∈ Rp, y, λ ∈ Rq

λi se numesc multiplicatorii lui Lagrange.Funcµia L are extrem în (x0, y0) dac acest punct este punct staµionar. Punctele

staµionare obµinem din ecuaµia

dL = 0 ⇔

∂f∂xj

+∑q

i=1 λi∂Fi(x

0, y0)∂xj

= 0 j = 1, p

∂f∂yk

+∑q

i=1 λi∂Fi(x

0, y0)∂yk

= 0 k = 1, q

Fi(x, y) = 0 i = 1, q

Punctul staµionar obµinut este punct de minim dac d2L(x0, y0) > 0 ³i este maximdac d2L(x0, y0) < 0.

Probleme rezolvate1) S se determine extremele legate pentru funcµiile:a) f(x, y) = (x− 1)2 + y2, x2 − y2 = 1.Avel leg tura F (x, y) = x2 + y2 − 1. Scriem funcµia ajut toare a lui Lagrange.

L(x, y, λ) = f(x, y) + λF (x, y).

93

Putem scrie:L(x, y, λ) = (x− 1)2 + y2 + λ(x2 − y2 − 1).

În continuare determin m extremele locale ale funcµiei L. Aceste extreme sunt ex-treme legate pentru funcµia dat f .

Punctele staµionare le obµinem din dL(x, y, λ) = 0 ⇔

∂L(x, y, λ)∂x

= 0

∂L(x, y, λ)∂y

= 0

∂L(x, y, λ)∂λ

= 0

⇔

2(x− 1) + 2λx = 02y − 2λy = 0x2 − y2 − 1 = 0

⇔

2x(1 + λ) = 22y(1− λ) = 0x2 − y2 = 1

I. Dac y = 0; x1 = 1 ³i x2 = −1; λ1 = 0 ³i λ2 = −2

II. Dac 1− λ = 0; x = 12; y2 = −3

4 ⇒ y1,2 6∈ R.Pentru λ1 = 0 ³i punctul A(1, 0) calcul m:

D1 =∂2L(1, 0)

∂x2 = 2 > 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣

∂2L(1, 0)∂x2

∂2L(1, 0)∂x∂y

∂2L(1, 0)∂y∂x

∂2L(1, 0)∂y2

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣2 00 2

∣∣∣∣ = 4 > 0. (3.9)

rezult c punctul (1, 0) este punct de minim. Pentru λ2 = −2 ³i punctul B(−1, 0)avem: D1 = −2 < 0 ³i D2 = −12 < 0, de unde rezult c B(−1, 0) nu este punctde extrem.

Probleme propuseS se determine extremele legate pentru funcµiile:

f(x, y) = xy, x + y = 1

f(x, y) = x + 2y, x2 + y2 = 5

f(x, y, z) = x− 2y + 2z, x2 + y2 + z2 = 9

f(x, y, z) = x + 2y − 2z, x2 + y2 + z2 = 16

f(x, y, z) = x + y + z, x− y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 4

94

Capitolul 4

Integrale generalizate

În ceea ce urmeaz ne ocup m cu diferite extinderi ale conceptului de integral simpl .

Ideea principal a teoriei integralei este ca la anumite funcµii considerate peanumite mulµimi s e asociate numere bine determinate obµinând astfel un indicatorcantitativ extrem de util.

Prezent m câteva noµiuni de teoria m surii, necesare în studiul integrabilit µiifuncµiilor reale.

Integala Riemann a denit integrala∫ b

af(x)dx pentru anumite funcµii m rginite

f : [a, b] → R, a³a cum s-a studiat în liceu; dar acest concept s-a dovedit insucientîn rezolvarea unor probleme mai speciale (calcul operaµional, teoria probabilit µii).

Studiem în continuare integrala Stieltjes care este denit în raport cu o funcµiecresc toare sau mai general, în raport cu o funcµie cu variaµie m rginit . IntegralaStieltjes este utilizat în teoria probabilit µilor, la exprimarea mediei ³i dispersieiunei variabile aleatoare cu ajutorul funcµiei de repartiµie.

Ne vom ocupa de asemenea cu extinderea noµiunii de integral denit .

4.1 Noµiuni de teoria m suriiDeniµia 4.1.1. O familie de p rµi K ale unei mulµimi Ω formeaz o algebr demulµimi dac :

(a) ∅ ∈ K(b) dac A ∈ K atunci CA ∈ K(c) dac A,B ∈ K atunci A ∪B ∈ K.

Se poate verica u³or c P(Ω) (mulµimea p rµilor lui Ω) este o algebr de mulµimi.

Deniµia 4.1.2. Fie K un corp de p rµi (o algebr ), a unei mulµimi Ω ³i µ : K → R+

o funcµie. Fie I o mulµime de indici.Prin deniµie µ este o m sur pe Ω dac :(a) µ(∅) = 0

95

(b) µ(⋃

i∈I Ai

)=

∑i∈I µ(Ai), unde Ai ∈ K, Ai ∩Ak = ∅ pentru i 6= k i, k ∈ I ³i⋃

i∈I Ai ∈ K.

Dac I este nit atunci din deniµia 4.1.2 rezult proprietatea:(b′) µ (

⋃ni=1 Ai) =

∑ni=1 µ(Ai), unde pentru orice i = 1, n Ai ∈ K ³i Ai∩Ak = ∅

dac i 6= k.Reciproca nu este adev rat .

Deniµia 4.1.3. Dac µ : K → R+ veric condiµiile (a) ³i (b') atunci se nume³tem sur nit aditiv .

În continuare introducem o m sur pe Rn.

Deniµia 4.1.4. Fie a, b ∈ Rn astfel încât pentru orice i = 1, n s avem ai < bi.Mulµimea

H[a,b] = x ∈ Rn | ai ≤ xi < bi, i = 1, nse nume³te paralelipiped n-dimensional (sau hiperparalelipiped).Deniµia 4.1.5. Mulµimea A ⊂ Rn este paralelipipedic dac ³i numai dac este oreuniune nit de paralelipipede n-dimensionale.

Se poate demonstra c orice mulµime paralelipipedic se poate scrie ca o reuniunede paralelipipede disjuncte dou câte dou .Deniµia 4.1.6. M sura unui paralelipiped H[a,b] denim prin :

µ(H[a,b]) =

0, dacÇ H[a,b] = ∅n∏

i=1

(bi − ai), dacÇ H[a,b] 6= ∅

Dac A este o mulµime paralelipipedic m rginit , atunci m sura lui A denimca:

µ(A) =k∑

i=1

µ(H[ai,bi]).

Se poate ar ta u³or c este o m sur nit aditiv pe mulµimea tuturor mulµimilorparalelipipedice.Deniµia 4.1.7. Fie B ⊂ Rn o mulµime m rginit oarecare. Atunci exist A ⊂ Rn

paralelipipedic astfel încât A ⊂ B.Prin deniµie m sura interioar a lui B este:

µi(B) = supA⊂B

µ(A)

M sura exterioar a lui B este:

µe(B) = infP⊃B

µ(P ),

unde P este o mulµime paralelipipedic astfel încât B ⊂ P.

96

µi se nume³te m sur interioar Jordan, iar µe m sura exterioar Jordan amulµimii B.

Deniµia 4.1.8. Mulµimea A se nume³te m surabil Jordan dac

µi(A) = µe(A) = µ(A).

Despre propriet µile mulµimilor m surabile Jordan ³i teoreme de caracterizareputem consulta de exemplu.

Dac în locul reuniunii de paralelipipede nite lu m reuniuni num rabile de astfelde paralelipipede în mod analog cu m sura Jordan se dene³te m sura Lebesgue.

Deniµia 4.1.9. Mulµimea A ⊂ Rn este de m sur Lebesgue nul dac pentru oriceε > 0 exist un ³ir de paralelipipede P [ai, bi] deschise care acoper pe A astfel încât

∞∑i=1

µ(P[ai,bi]) < ε.

Orice mulµime de m sur Jordan nul este o mulµime de m sur Lebesgue nul .Reciproca armaµiei nu este adev rat .

Câteva probleme care duc la noµiunea de integral denit sunt cunoscute dinliceu (de exemplu problema ariei).

Integrabilitatea unei funcµii reale, în sensul lui Riemann pe un interval [a, b] deasemenea este cunoscut .

Criterii de integrabilitate ³i proprit µile funcµiilor integrabile sunt prezentate îndiferite c rµi de specialitate de exemplu în [1], [9], [13], [15].

Se poate deduce c urm toarele clase de funcµii sunt formate din funcµii integra-bile:

- mulµimea funcµiilor continue pe intervalul [a, b] (mulµimea punctelor de discon-tinuitate este de m sur Jordan nul ).

- mulµimea funcµiilor monotone pe intervalul [a, b] (mulµimea punctelor de dis-continuitate este cel mult num rabil , deci de m sur Lebesgue nul ).

Calculul integralelor denite cu ajutorul metodelor cunoscute se bazeaz pesumele integrale, folosind teoria limitelor sau cu ajutorul primitivelor.

Nu pentru orice funcµie de integrat se g sesc primitive cu ajutorul funcµiilor ele-mentare, motiv pentru care se folosesc metode aproximative care ne dau totdeaunarezultatul cu anumit precizie. Pentru calculul aproximativ al integralelor denitepoate folosit de exemplu metoda dreptunghiurilor, metoda lui Simson, metodatrapezelor (vezi [9], [1], [14]).

Alt metod aproximativ de calcul pentru integrala denit în care funcµia deintegrat are derivate de orice ordin, const în dezvoltarea funcµiei de sub semnul deintegral în serie de puteri ³i integrarea acesteia (vezi 1.3.2).

97

4.2 Integrale improprii, integrale cu parametriIntegrala Riemann este denit pentru funcµii m rginite pe mulµimi m rginite.

Renunµând la câte una din aceste condiµii de m rginire (sau la amândou ) se obµinintegrale improprii sau generalizate.Deniµia 4.2.1. Presupunem c funcµia real f , pentru a real xat, pe orice intervalnit de forma [a, b] este integrabil . Atunci pe intervalul [a,∞] integrala improprieprin deniµie este: ∫ ∞

a

f(x)dx = limb→∞

∫ b

a

f(x)dx (4.1)

Dac limita exist ³i este nit atunci spunem c integrala improprie este conver-gent , în caz contrar spunem c integrala improprie este divergent .

În mod analog putem deni integrala improprie∫ b

−∞f(x)dx = lim

a→−∞

∫ b

a

f(x)dx

³i ∫ ∞

−∞f(x)dx = lim

a→−∞

(limb→∞

∫ b

a

f(x)dx

).

Deniµia 4.2.2. Dac funcµia real f : [a, b] → R, nu este m rginit în vecin tateaV ⊂ Vb, dar este integrabil pentru a xat pe orice interval [a, b−ε], atunci integralaimproprie pe [a, b] prin deniµie este:

∫ b

a

f(x)dx = limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx (4.2)

Dac exist limita ³i este nit atunci integrala improprie este convergent .Teorema 4.2.3. (Criteriul lui Cauchy)

Integrala (4.1) este convergent dac ³i numai dac pentru orice ε > 0 exist bε > 0 astfel încât pentru orice b′, b′′ ∈ R cu b′ < b′′ ³i b′ > bε, b

′′ > bε s avem:∣∣∣∣∣∫ b′′

b′f(x)dx < ε

∣∣∣∣∣

Demonstraµie. Fie F (b) =∫ b

af(x)dx. Avem atunci:

F (b′′)− F (b′) =

∫ b′′

b′f(x)dx.

Dar limb→∞ F (b) exist dac ³i numai dac pentru orice ε > 0 exist δ > 0 astfelîncât pentru orice b′, b′′ ∈ R, b′ < b′′, b′, b′′ > δ, s avem:

|F (b′)− F (b′′)| < ε

³i teorema este complet demonstrat .

98

Deniµia 4.2.4. Dac funcµiile f(x) ³i |f(x)| satisfac condiµiile din deniµia inte-gralei improprii, ³i integrala improprie a lui |f(x)| este convergent , atunci integralarespectiv este convergent ³i faµ de f(x), ³i în acest caz integrala se nume³teabsolut convergent .

Teorema 4.2.5. (criteriul comparaµiei)I. Presupunem c |f(x)| ≤ F (x) pentru orice x ≥ a.Dac

∫∞a

F (x)dx este convergent , atunci integrala∫∞

af(x)dx este absolut con-

vergent .Dac

∫∞a

f(x)dx este divergent atunci∫∞

aF (x)dx este divergent .

II. Dac g(x) > 0 ³i limx→∞f(x)g(x)

= k, k 6= 0 atunci integralele∫∞

ag(x)dx ³i∫∞

af(x)dx sunt în acela³i timp sau convergente e divergente.III. Dac limx→∞ xpf(x) = k, k 6= 0, atunci pentru p > 1 integrala (4.1) este

convergent , iar pentru p ≤ 1 este divergent .Dac limx 7→b(b − x)pf(x) = k, k 6= 0, atunci pentru p < 1 integrala (4.2) este

convergent , iar pentru p ≥ 1 este divergent .

Fie funcµia f : A×B → R (A ⊆ Rn, B ⊆ Rm), unde A este o mulµime m surabil .Presupunem c integrala

∫A

f(x, y)dx exist pentru orice y ∈ B xat.Dac la orice element y ∈ B îi asociem valoarea integralei atunci pe mulµimea B

denim o funcµie real , notat cu I : B → R, denit prin I(y) =∫

Af(x, y)dx, ³i se

nume³te integral cu parametru.În continuare vom da câteva teoreme referitoare la derivarea ³i integrarea acestor

tipuri de funcµii, în cazul când A = [a, b] ³i B = [c, d].

Teorema 4.2.6. Dac f : A × B → R este continu în raport cu ansamblul vari-abilelor, atunci I(y) =

∫ b

af(x, y)dx este continu pe B = [c, d].

Demonstraµie. Avem de ar tat c limy→y0 I(y) = I(y0) pentru orice y0 ∈ B,adic pentru orice ε > 0 exist δε > 0 astfel încât pentru orice y ∈ B cu |y−y0| < δε

s avem |I(y)− I(y0)| < ε. Putem scrie:

I(y)− I(y0) =

∫ b

a

[f(x, y)− f(x, y0)]dx

Deoarece f este continu pe [a, b] × [c, d] rezult c este ³i uniform continu .Deci pentru orice ε > 0 exist δε > 0 astfel încât pentru orice (x0, y0) ∈ A × B cuproprietatea ca |x−x0| < δε ³i |y−y0| < δε s avem |f(x, y)−f(x0, y0)| < ε. Pentrux0 = x ³i |y − y0| < δ avem:

|I(y)− I(y0)| =∣∣∣∣∫ b

a

[f(x, y)− f(x, y0)]dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x, y)− f(x, y0)|dx ≤ ε(b− a),

adic limy→y0 I(y) = I(y0), deci funcµis este continu în y0.

99

Teorema 4.2.7. Dac f : [a, b] × [c, d] → R este o funcµie continu în raport cuansamblul variabilelor ³i exist ∂f(x, y)

∂ycontinu în raport cu ansamblul variabilelor

atunci se poate deriva sub semnul de integral ³i avem:

dI

dy=

∫ b

a

∂f(x, y)

∂ydx.

Demonstraµie. Fie un punct y0 ∈ [a, d] oarecare Putem scrie:

I(y)− I(y0)

y − y0

=

∫ b

a

f(x, y)− f(x, y0)

y − y0

dx

Aplicând formula lui Lagrange avem:

I(y)− I(y0)

y − y0

=

∫ b

a

∂f(x, y0 + θ(y − y0))

∂ydx

ceea ce putem scrie în urm toarea form echivalent :

I(y)− I(y0)

y − y0

−∫ b

a

∂f(x, y0)

∂ydx =

∫ b

a

[∂f(x, y0 + θ(y − y0))

∂y− ∂f(x, y0)

∂y

]dx

³i obµinem:∣∣∣∣I(y)− I(y0)

y − y0

−∫ b

a

∂f(x, y0)

∂ydx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

∣∣∣∣∂f(x, y0 + θ(y − y0))

∂y− ∂f(x, y0)

∂y

∣∣∣∣ dx

Deoarece ∂f(x, y)∂y

este continu pe [a, b]× [c, d] rezult c este uniform continu ,adic pentru orice ε > 0 exist δε > 0 astfel încât pentru orice y0 ∈ [c, d] cu|y − y0| < δε s avem:

∣∣∣∣∂f(x, y0 + θ(y − y0))

∂y− ∂f(x, y0)

∂y

∣∣∣∣ < ε.

Deci, are loc: ∣∣∣∣I(y)− I(y0)

y − y0

−∫ b

a

∂f(x, y0)

∂ydx

∣∣∣∣ ≤ ε(b− a),

dac |y − y0| < δε, ceea ce arat c

limy→y0

I(y)− I(y0)

y − y0

=

∫ b

a

∂f(x, y0)

∂ydx

³i teorema este demonstrat .În cazul când integrala ce depinde de un parametru este improprie (adic inter-

valul [a, b] devine innit [a, +∞), sau funcµia f pentru y =const. devine nem rginit într-un punct al intervalului [a, b], care poate una din limitele de integrare) se nu-me³te integral improprie cu un parametru (I(y) =

∫ b

af(x, y)dy).

100

4.3 Integrala GamaÎn continuare introducem dou funcµii, considerate special fundamentale. Aceste

funcµii sunt denite printr-o integral . Integralele beta ³i gama au fost introdusede Leonhard Euler. Sunt numite funcµii euleriene de prima respectiv a doua specie.Notaµia B(p, q) este datorit lui Philippe Binet (1786-1856), iar Γ(α), lui AdrienLegendre, care a numit aceste funcµii, beta, respectiv gama. Funcµia gama este unadintre cele mai cunoscute integrale improprii cu parametru.

Teorema 4.3.1. Integrala improprie cu un parametru real

Γ(α) =

∫ ∞

0

xα−1 · e−xdx (4.3)

exist pentru orice α > 0.

Demonstraµie.

Γ(α) =

∫ 1

0

xα−1e−xdx +

∫ ∞

1

xα−1 · e−xdx.

Not m h(x) = xα−1 · e−x.Folosim criteriul de comparaµie, teorema 4.2.5.Dac x ∈ (0, 1] atunci are loc 0 < xα−1e−x ≤ xα−1.

Consider m funcµia g(x) = xα−1. Dar∫ 1

0g(x)dx = 1

αpentru α > 0, ³i h(x) =

xα−1 · e−x ≤ g(x), de unde rezult c h este integrabil .Având lim

x→∞x2h(x) = 0 pentru orice x ∈ [1,∞), rezult c exist un num r

real M > 0, astfel încât 0 < h(x) ≤ Mx2 . Dar

∫∞1

Mx2 dx = M, deci h este o funcµie

integrabil pe [1,∞).

Deniµia 4.3.2. Funcµia Γ : (0,∞) → R denit prin relaµia (4.3) se nume³tefuncµie gama.

Teorema 4.3.3. (propriet µile funcµiei Γ)

a) Γ(1) = 1

b) pentru orice α > 0 real Γ(α + 1) = αΓ(α)

c) pentru orice n ∈ N avem Γ(n + 1) = n!

d) Γ(α) > 0 pentru orice α > 0.

e) funcµia Γ este de clas C∞ ³i este convex .

f) dac α 6∈ Z atunci Γ(α)Γ(1− α) = πsin πα.

Cu ajutorul formulei de la punctul f) putem calcula valoarea funcµiei gama pentruvalori negative ale lui α.

101

4.4 Integrala BetaTeorema 4.4.1. Integrala improprie cu doi parametri reali

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx (4.4)

exist pentru orice p > 0, q > 0.

Deniµia 4.4.2. Funcµia B : (0,∞) × (0,∞) → R denit prin relaµia (4.4) senume³te funcµie beta.

Teorema 4.4.3. (propriet µi)

a) B(p, q) = B(q, p) pentru orice p > 0, q > 0,

b) B(p, q) > 0 pentru orice p > 0, q > 0.

c) Are loc formula:B(p, q) =

Γ(p) · Γ(q)

Γ(p + q)

Relaµia fundamental dintre funcµiile beta ³i gama este datorit lui P. Dirichlet.Formula a fost generalizat de J. Liouville.

d) funcµia B este de clas C∞ pe (0,∞)× (0,∞).

Corolarul 4.4.4. Au loc urm toarele relaµii:

a) Γ

(1

2

)=√

π

b)

∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π

Demonstraµie. a) În relaµia B(p, q) =Γ(p) · Γ(q)Γ(p + q)

lu m p = q = 12 .

Putem scrie Γ(

12

)2

= Γ(1) ·B(

12, 12

)

B

(1

2,1

2

)=

∫ 1

0

dx√x(1− x)

Folosim substituµia x = sin2 tdx = 2 sin t cos tdt

³i obµinem

B

(1

2,1

2

)=

∫ π2

0

2 sin t cos tdt

sin t cos t= π

102

4.5 Integrala Euler - PoissonDeniµia 4.5.1. Integala improprie de forma:

I =

∫ ∞

0

e−x2

dx

se nume³te integrala lui Euler - Poisson.Valoarea lui I putem obµine folosind funcµia gama.Am ar tat mai înainte c : Γ

(12

)=√

π. Pe de alt parte Γ(

12

)=

∫∞0

x−12 e−xdx.

Folosim subsituµia x = t2 de unde dx = 2tdt ³i obµinem

Γ

(1

2

)= 2

∫ ∞

0

e−t2dt.

Deci ∫ ∞

0

e−x2

dx =

√π

2

Din relaµia2

∫ ∞

0

e−x2

dx =

∫ ∞

−∞e−x2

dx ⇒∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π

4.5.1 Integrala StieltjesEste o generalizare al integralei Riemann.

Deniµia 4.5.2. Fie f, g : [a, b] → R, (a, b ∈ R) dou funcµii m rginite. Consider mo diviziune al intervalului [a, b], notat cu ∆, unde:

∆ : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xk = b.

Fie k puncte intermediare oarecare, notate cu ξi, i = 1, k astfel încât ξi ∈ [xi−1, xi],³i consider m suma

∑(f, g, ∆, ξ) =

k∑i=1

f(ξi)[g(xi)− g(xi−1)].

Dac exist limita sumei∑

(f, g, ∆, ξ) notat cu I, atunci când ‖∆‖ → 0 (unde‖∆‖ = maxi=0,k(xi−xi−1)) ³i I este nit , atunci I este integrala Stieltjes al funcµieif în raport cu funcµia g ³i se noteaz cu

∫ b

a

f(x)dg(x).

Spunem c funcµia f este integrabil în raport cu funcµia g.

103

Observaµia 4.5.3. Dac g(x) = x atunci integrala Stieltjes al funcµiei f în raportcu g este integrala Riemann al funcµiei f .

Deniµia 4.5.4. Dac g este o funcµie cresc toare, atunci putem deni sumeleDarboux - Stieltjes:

S(f, g, ∆) =k∑

i=1

Mi[g(xi)− g(xi−1)]

s(f, g, ∆) =k∑

i=1

mi[g(xi)− g(xi−1)]

unde

mi = inff(x) |x ∈ [xi−1, xi]Mi = supf(x) | x ∈ [xi−1, xi]

Sumele Darboux - Stieltjes veric propriet µile sumei Darboux cunoscute dinliceu.

Teorema 4.5.5. Fie f : [a, b] → R, o funcµie m rginit . Funcµia f este integrabil în raport cu funcµia cresc toare g : [a, b] → R dac ³i numai dac pentru orice ε > 0exist o diviziune ∆ al intervalului [a, b] astfel încât s avem:

S(f, g, ∆)− s(f, g, ∆) < ε.

Teorema 4.5.6. Dac funcµia f : [a, b] → R este continu ³i g : [a, b] → R estecresc toare atunci funcµia f este integrabil în raport cu g.

Deniµia 4.5.7. Fie funcµia f : [a, b] → R ³i ∆ o diviziune al intervalului [a, b]astfel încât: a = x0 < x1 < · · · < xk = b.

Suma notat cu V (f, ∆)def=

∑k−1i=0 |f(xi+1− f(xi)| se nume³te variaµia funcµiei f

în raport cu diviziunea ∆. Dac mulµimea acestor sume (independent de diviziune,³i de num rul punctelor din diviziune) este m rginit , atunci f se nume³te funcµiecu variaµie m rginit .

sup∆

∨(f, ∆) se nume³te variaµie total ³i se noteaz cu

∨ba(f).

Observaµia 4.5.8.

1. Orice funcµie monoton f : [a, b] → R este cu variaµie m rginit .Se poate demonstra c orice funcµie cu variaµie m rginit f : [a, b] → R sepoate reprezenta ca diferenµ a dou funcµii monoton cresc toare.

2. Dac f : [a, b] → R este funcµie cu variaµie m rginit atunci funcµia f estem rginit .

104

3. Dac f : [a, b] → R este funcµie cu variaµie m rginit ³i a < c < b atunci∨ba(f) =

∨ca(f) +

∨bc(f).

Teorema 4.5.9. Dac f : [a, b] → R este o funcµie continu ³i funcµiag : [a, b] → R este cu variaµie m rginit atunci f este integrabil în raport cu g.

Teorema 4.5.10. Dac funcµia f : [a, b] → R este continu ³i funcµia g : [a, b] → Reste derivabil cu derivat continu atunci f este integrabil în raport cu g pe [a, b]³i ∫ b

a

f(x)dg(x) =

∫ b

a

f(x) · g′(x)dx

Demonstraµie. g ∈ C1([a, b]) ³i folosind teorema lui Lagrange (Observaµia1.2.35) avem:

g(xi+1)− g(xi) = (xi+1 − xi)g′(ξi)

unde∆ : a = x1 < x2 < · · · < xn = b i ξi ∈ [xi, xi+1]

pentru orice i ∈ 0, 1, . . . , n− 1.În continuare are loc:

n−1∑i=0

f(ξi)[g(xi+1)− g(xi)] =n−1∑i=0

f(ξi)g′(ξi)(xi+1 − xi)

Dac consider m un ³ir de diviziuni ∆ cu ‖∆‖ → 0 atunci avem

lim‖∆‖→0

n−1∑i=0

f(ξi)[g(xi+1)− g(xi)] =

∫ b

a

f(x)dg(x)

Deoarece g ∈ C1([a, b]) rezult

lim‖∆‖→0

n−1∑i=0

f(ξi)g′(ξi)(xi+1 − xi) =

∫ b

a

f(x) · g′(x)dx.

³i teorema este demonstrat .

Teorema 4.5.11. (formula integr rii prin p rµi)Dac exist una din integralele

∫ b

af(x)dg(x) ³i

∫ b

ag(x)df(x) atunci exist ³i

cel lalt ³i este adev rat egalitatea:∫ b

a

f(x)dg(x) = [f(x) · g(x)] |ba −∫ b

a

g(x)df(x)

105

Teorema 4.5.12. Dac f : [a, b] → R este continu ³i g : [a, b] → R este monoton ³i continu pe porµiuni (adic are un num r nit de puncte de discontinuitate despeµa întâia notat cu a, r1, . . . , rk, b) ³i g este derivabil atunci

∫ b

a

f(x)dg(x) =

∫ b

a

f(x)g′(x)dx + f(a)[g(a + 0)− g(a)] +

+k∑

j=1

f(rj)[g(rj + 0)− g(rj − 0)] + f(b)[g(b)− g(b− 0)]

4.6 Integrale multiplePentru a ajunge la noµiunea de integral dubl pornim de la urm toarea prob-

lem .Fie f : D → R+, (D ⊂ R2), D un domeniu m rginit ³i f o funcµie continu pe

D. Ne punem problema de a calcula volumul m rginit de porµiunea de suprafaµ z = f(x, y) ((x, y) ∈ D) planul xOy ³i suprafaµa cilindric cu generatoarele paralelecu axa Oz ³i curba directoare, frontiera domeniului D.

y

D

Dij

O

z

x

Domeniul D îl împ rµim în subdomenii Dij astfel încât:

D =⋃i,j

Dij i D

i ∩D

j = ∅, i 6= j.

Volumul putem aproxima prin f(ξi, ηj)A(Dij), unde (ξi, ηj) ∈ Dij.Volumul c utat poate aproximat prin

V ≈n∑

i,j=1

f(ξi, ηj)A(Dij)

Evident aproximaµia va cu atât mai bun cu cât norma diviziunii domeniului D va mai mic , ³i cu cât num rul elementelor diviziunii va mai mare. Astfel suntem

106

condu³i la a considera un ³ir de diviziuni σ = D1, . . . , Dn cu ³irul normelor |σ|corespunz toare. Din: D ⊂ R2 ⇒ D = A × B, A,B ⊂ R. Consider m urm toareadiviziune al domeniului D.

σ = Dij : i = 1, r, j = 1, s unde Dij = Ai ×Bj

cu σA = A1, . . . , Ar, σB = B1, . . . , Bs o diviziune oarecare a mulµimilor A ³i B.Astfel volumul c utat va :

V = lim|σA|→0|σB |→0

r∑i=1

s∑j=1

f(ξi, ηj)A(Dij)

Dij

( i, j)

yj-1

yj+1

xixi-1

d

c

ba

Putem scrie

V = lim|σA|→0|σB |→0

r∑i=1

(xi − xi−1)s∑

j=1

f(ξi, ηj)(yj − yj−1) ⇔

∀ ε > 0 exist δ(ε) > 0 astfel încât dac |σA| < δ(ε) ³i |σB| < δ(ε) atunci are loc∣∣∣∣∣V −

r∑i=1

(xi − xi−1)s∑

j=1

f(ξi, ηj)(yj − yj−1)

∣∣∣∣∣ <ε

2.

Fix m o diviziune σA pentru care |σA| < δ(ε) ³i lu m limita inegalit µii de mai sus.Obµinem astfel

lim|σB |→0

s∑i=1

f(ξi, ηj)(yj − yj−1) =

∫

B

f(ξi, y)dy = g(ξi).

107

Deci|V −

r∑i=1

g(ξi)(xi − xi−1)| ≤ ε

2< ε

de unde rezult c g este integrabil pe A ³i integrala lui este egal cu V.În aceste condiµii spunem c f este integrabil Riemann iar V se nume³te inte-

grala dubl Riemann a funcµiei f pe domeniul D ³i vom scrie:

V =

∫

A

g(x)dx =

∫

A

[∫

B

f(x, y)dy

]dx =

∫

A×B

f(u)du, u ∈ D.

Teorema 4.6.1. Fie A ⊂ Rp ³i B ⊂ Rq (p, q ∈ N) mulµimi m rginite ³i m surabile.Consider m funcµia integrabil f : A×B → R ³i presupunem c pentru orice x ∈ Aexist integrala:

g(x) =

∫

B

f(x, y)dy

Atunci funcµia g : A → R este integrabil ³i:∫

A

g(x)dx =

∫

A

[∫

B

f(x, y)dy

]dx

Deniµia 4.6.2. Fie f : D → R, D ⊂ R2 un domeniu compact. Presupunem c exist I ∈ R astfel încât pentru orice ε > 0 exist η > 0 astfel încât pentru oricedescompunere σ cu |σ| < η s avem inegalitatea;

∣∣∣∣∣n∑

i=1

f(ξi, ηj)A(Dij)− I

∣∣∣∣∣ < ε

pentru orice (ξi, ηj) ∈ Dij (i = 1, r, j = 1, s).

În aceste condiµii spunem c f este integrabil Riemann, iar I se nume³te inte-grala dubl Riemann a funcµiei f pe domeniul D ³i vom scrie:

I =

∫∫

D

f(x, y)dxdy.

Propriet µile integralei duble:

1)

∫∫

D

[f(x, y)± g(x, y)]dxdy =

∫∫

D

f(x, y)dxdy ±∫∫

D

g(x, y)dxdy

2)

∫∫

D

af(x, y)dxdy = a

∫∫

D

f(x, y)dxdy, a ∈ R

3)

∣∣∣∣∫∫

D

f(x, y)dxdy

∣∣∣∣ =

∫∫

D

|f(x, y)|dxdy

4)

∫∫

D

f(x, y)dxdy =

∫∫

D1

f(x, y)dxdy +

∫∫

D2

f(x, y)dxdy

108

unde D = D1 ∪D2, D1 ∩D2 = ∅.

Calculul integralelor dubleI. Fie domeniul de integrare un dreptunghi cu laturile paralele cu axele

de coordonate.

Teorema 4.6.3. Dac pentru funcµia f denit pe dreptunghiul D = [a, b] × [c, d]exist

∫∫D

f(x, y)dxdy ³i pentru orice x ∈ [a, b] exist

I(x) =

∫ d

c

f(x, y)dy

atunci exist : ∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx =

∫∫

D

f(x, y)dxdy.

Demonstraµie. Diviz m domeniul D prin divizarea segmentelor [a, b], ³i [c, d].Fie

x0 = a < x1 < · · · < xn = b

y0 = c < y1 < · · · < ym = d

Dik = [xi, xi+1]× [yk, yk+1]

y0 c

ym d

O

y

x1 xi i xi+1

D

x2 b xnx0 a

Dik

. . .

yk+1

…

yk

j

y1

……

. . . x

Pentru un punct (x, y) ∈ Dik oarecare are loc: mik ≤ f(x, y) ≤ Mik. Fie unpunct ξi ∈ [xi, xi+1] oarecare. Are loc:

mik ≤ f(ξi, y) ≤ Mik.

109

∫ yk+1

yk

mikdy ≤∫ yk+1

yk

f(ξi, y) ≤∫ yk+1

yk

Mikdy

mik[yk+1 − yk] ≤∫ yk+1

yk

f(ξi, y)dy ≤ Mik[yk+1 − yk]

m−1∑

k=0

mik[yk+1 − yk] ≤m−1∑

k=0

∫ yk+1

yk

f(ξi, y)dy ≤m−1∑

k=0

Mik(yk+1 − yk)

Decim−1∑

k=0

mik(yk+1 − yk) ≤ I(ξi) ≤m−1∑

k=0

Mik(yk+1 − yk)

Înmulµim inegalit µile cu (xi+1 − xi) dup care o însum m dup i, i = 0, n− 1 ³iobµinem:

n−1∑i=0

(xi+1−xi)m−1∑

k=0

mik(yk+1−yk) ≤n−1∑i=0

I(ξi)(xi+1−xi) ≤n−1∑i=0

(xi+1−xi)n−1∑

k=0

Mik(yk+1−yk)

Folosind ipoteza, adic faptul c exist ∫∫

Df(x, y)dxdy ³i luând |σ| → 0 (|σx| →

0, |σy| → 0) obµinem:

∫∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

I(x)dx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx

³i teorema este demonstrat .

Observaµia 4.6.4. Dac exist integralele∫ d

cf(x, y)dy ³i

∫ b

af(x, y)dx atunci exist

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx

]dx =

∫∫

D

f(x, y)dxdy.

II. Calculul integralelor duble în cazul când domeniul de integrare esteoarecare

Deniµia 4.6.5. Domeniul

D = (x, y) |x ∈ [a, b], ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), ϕ1, ϕ2 ∈ C([a, b])

se nume³te domeniu simplu în raport cu Oy. Not m cu Dy.

110

Dy

dy 2(x)

c y 1(x)

a x b

Domeniul

D = (x, y) | y ∈ [c, d], β1(y) ≤ x ≤ β2(y), β1, β2 ∈ C([c, d])se nume³te domeniu simplu în raport cu Ox. Not m cu Dx.

x 1 (y)

ba

Dx

x 2 (y)d

c

Teorema 4.6.6. Fie funcµia f : Dy → R. Dac funcµia f este integrabil pe dome-niul Dy ³i exist integrala

g(x) =

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy, g : [a, b] → R

pentru orice x ∈ [a, b] atunci g este integrabil pe [a, b] ³i∫ b

a

g(x)dx =

∫ b

a

[∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy

]dx =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy =

∫∫

D

f(x, y)dxdy.

Demonstraµie. Reducem la teorema 4.6.3. Domeniul D închidem în drep-tunghiul D1 = [a, b]× [c, d] unde c = min ϕ1(x) ³i d = max ϕ2(x) cu x ∈ [a, b].

111

Dy

dy 2(x)

c y 1(x)

a x b

Denim o funcµie, F : D1 ⇒ R astfel încât F (x, y) = f(x, y) pe D ³i F (x, y) = 0pe D1\D. Putem scrie:∫ d

c

F (x, y)dy =

∫ ϕ1(x)

c

F (x, y)dy+

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

F (x, y)dy+

∫ d

ϕ2(x)

F (x, y)dy =

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

F (x, y)dy

Deci∫∫

D1

F (x, y)dxdy =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy ⇔∫∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy.

III. Schimbarea de variabil în integrala dubl

Deniµia 4.6.7. Dac funcµia f : A → Rm, (A ⊆ Rn) în punctul x0 ∈ A

estediferenµiabil atunci funcµiei liniare Df(x0) ∈ L(Rn,Rm) corespunde o matrice,notat cu J ∈Mm,n(R), denit prin:

J =

∂f1(x0)∂x1

. . . ∂f1(x0)∂xn

. . . . . . . . .∂fm(x0)

∂x1. . . ∂fm(x0)

∂xn

Matricea J se nume³te matricea lui Jacobi, se nume³te derivata funcµiei f în x0

³i se noteaz cu f ′(x0).În continuare consider m dou plane xOy ³i uOv raportate la un sistem

cartezian. În cele dou plane consider m dou domenii notate cu (D) ³i (∆) pecare le presupunem nite.

112

Consider m funcµiile: x = x(u, v)y = y(u, v)

(4.5)

pe domeniul (∆) ³i funcµiile: u = u(x, y)v = v(x, y)

(4.6)

pe domeniul (D), pe care le presupunem uniforme pe domeniile indicate.Formulele (4.5) ³i (4.6) transform domeniul (D) în (∆) ³i invers.Spunem c între aceste domenii s-a stabilit o corespondenµ biunivoc dac

ec rei punct din D îi corespunde un punct din ∆ ³i invers.Se poate stabili o corespondenµ biunivoc între domeniile considerate dac au

loc urm toarele condiµii:- funcµiile date de formulele (4.5) ³i (4.6) s e continue împreun cu derivatele

lor parµiale de ordinul întâi- determinantul funcµional det J

not= J 6= 0 pentru funcµiile (4.5) ³i (4.6), unde

J =D(x, y)

D(u, v)=

∣∣∣∣∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣∣∣∣ 6= 0

În aceste condiµii are loc egalitatea:∫∫

D

f(x, y)dxdy =

∫∫

∆

f [x(u, v), y(u, v)] |J |dudv.

O

v

P4P3

P2P1 ( )

u+ u

M4

M1

M2

u

M3

v

v+ v

(D)

y

v+ v

v

O x u uu+ u

Schimbarea de variabil în integrala dubl se realizeaz astfel:- în funcµia de integrat înlocuim x ³i y cu noile variabile- elementul de arie dω = dxdy se înlocuie³te cu |J |dudv- se transform curbele care m rginesc domeniul (D) cu ajutorul formulelor (4.5)

³i se obµine domeniul (∆).Dac folosim schimbarea de variabile în coordonate polare atunci avem:

∫∫

D

f(x, y)dxdy =

∫∫

D

f [r cos θ, r sin θ]rdrdθ

113

Schimbarea de variabile este dat de relaµia cunoscut :

x = r cos θy = r sin θ

Astfel determinantul funcµional

J =

∣∣∣∣∂x∂r

∂y∂r

∂x∂θ

∂y∂θ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣cos θ sin θ

−r sin θ r cos θ

∣∣∣∣ = r

Probleme rezolvate

1. S se calculeze:∫∞

a1x2 dx, unde a > 0.

Avem f(x) = 1x2 , f : [a, b] → R integrabil pe orice interval [a, b].

Putem scrie∫ ∞

a

1

x2dx = lim

b→∞

∫ b

a

dx

x2= lim

b→∞

(−1

x

)|ba =

= limb→∞

(1

a− 1

b

)=

1

a

2. S se calculeze∫ 1

0dx

(2−x)√

1−x

Funcµia f(x) = 1(2−x)

√1−x

este nem rginit în vecin tatea lui 1 ³i integrabil pe orice interval de forma [0, 1− ε]. Putem scrie:

∫ 1

0

dx

(2− x)√

1− x= lim

ε→0

∫ 1−ε

0

dx

(2− x)√

1− x

Folosind substituµia 1− x = t2 obµinem:

limε→0

∫ √ε

1

−2t

(t2 + 1) · tdt = −2 limε→0

∫ √ε

1

dt

t2 + 1=

= −2 limε→0

[arctan t|

√ε

1

]= −2 lim

ε→0(arctan

√ε− arctan 1) =

= −2(−π

4

)=

π

2.

3. S se calculeze∫ 3

0dx

(x−1)2

Funcµia f(x) = 1(x−1)2

este nem rginit în punctul x = 1. Putem scrie:∫ 3

0

dx

(x− 1)2=

∫ 1

0

dx

(x− 1)2+

∫ 3

1

dx

(x− 1)2

Astfel avem de calculat dou integrale improprii.

114

4. S se calculeze∫ 2

0x2d(3x2 − 2)dx

Funcµia f(x) = x2 este continu pe [0, 2] iar funcµia g(x) = 3x2 − 2 estederivabil cu derivata continu pe [0, 2]. Aplicând teorema 4.5.10 putem scrie:

∫ 2

0

x2d(3x2 − 2)dx =

∫ 2

0

x2 · 6xdx = 6x4

4|20 = 24.

5. Fie funcµiile f(x) = x2 + 2, f : R→ R ³i

g(x) =

−1 dac x ≤ 0x dac x ∈ (0, 1]

1 + ln x, x ∈ (1, 3)x2 + 3, x ∈ (3, 5)10x, x ≥ 5

S se calculeze∫ 5

0f(x)dg(x).

Este u³or de v zut c g este o funcµie continu pe porµiuni.Are trei puncte de discontinuitate, pe care le not m cu: a = 0, r1 = 3, b = 5.Folosind teorema 4.5.12 putem scrie:

∫ 5

0

f(x)dg(x) =

∫ 5

0

f(x)g′(x)dx + f(0)[g(a + 0)− g(a)] +

+ f(r1)[g(r1 + 0)− g(r1 − 0)] + f(b)[g(b)− g(b− 0)].

Deoarece

g′(x) =

1, x ∈ (0, 1)1x, x ∈ (1, 3]

2x, x ∈ (3, 5)

obµinem:∫ 5

0

f(x)dg(x) =

∫ 1

0

f(x)dx +

∫ 3

1

f(x) · 1

xdx +

∫ 5

3

f(x) · 2xdx +

+ f(0)[g(0 + 0)− g(0)] + f(3)[g(3 + 0)− f(3− 0)] +

+ f(5)[g(5)− g(5− 0)]

6. Folosind integrala lui Euler-Poisson s se calculeze:

I =

∫ ∞

−∞e−(ax2+2bx+c)dx, a > 0, ac− b2 > 0

Putem scrie

I =

∫ ∞

−∞e−ah(x+ b

a)2+ac−b2

a2

idx =

∫ ∞

−∞e−at2e

ac−b2

a dt

115

Folosind substituµia √at = u, putem scrie √adt = du ³i obµinem:∫ ∞

−∞e−(ax2+2bx+c)dx =

1√ae

ac−b2

a

∫ ∞

−∞e−u2

du =

√π

ae

ac−b2

a

Deci ∫ ∞

−∞e−ax2

dx =

√π

a

7. S se calculeze folosind intagralele euleriene:∫ 1

0

√x− x2dx =

∫ 1

0

√x√

1− xdx =

∫ 1

0

x12 (1− x)

12 dx =

=

∫ 1

0

x32−1(1− x)

32−1dx = B

(3

2,3

2

)=

Γ(

32

)Γ

(32

)

Γ(3)=

=

(Γ

(1 + 1

2

)]2

2!=

[12Γ

(12

)]2

2=

14π

2=

π

8

8. S se calculeze pe domeniul D determinat de x = 0, y = 2 ³i x = 1, y = 4integrala

I =

∫∫

D

(x2 + y)dxdy

y

D

O 1

2

4

x

I =

∫ 1

0

dx

∫ 4

2

(x2 + y)dy =

∫ 1

0

[x2y +

y2

2|42

]dx =

=

∫ 1

0

[4x2 + 8− 2x2 − 2]dx =

∫ 1

0

(2x2 + 6)dx = 11

9. S se calculeze: I =∫∫

Dxdxdy, unde D

y = xxy = 1x = 2

116

y

O 1 2 x

I =

∫ 2

1

[∫ x

1x

xdy

]dx =

∫ 2

1

[xy |x1x]dx =

∫ 2

1

(x2 − 1)dx =4

3

10. S se calculeze: I =∫∫

Dx2ydxdy, unde D

y = x3

x + y = 2y = 0

I =

∫∫

D1

x2ydxdy+

∫∫

D2

x2ydxdy =

∫ 1

0

dx

∫ x3

0

x2ydy+

∫ 2

1

dx

∫ 2−x

0

x2ydy =29

30.

Putem schimba ordinea de integrare ³i astfel:∫∫

D

x2ydxdy =

∫ 1

0

dy

∫ 2−y

3√

y

x2ydx =29

30.

117

11. S se calculeze integrala: I =∫ ∫

Dxdxdy pe domeniul

D

y = x y = x + 3y = −x y = −x + 5

Dac diviz m domeniul D în trei subdomenii atunci putem calcula integralacu metoda II.

x

A

B

D

C

y x+3

y x

y - x+5

y - x

y

Pe de alt parte folosind schimb rea de variabile:

y − x = yy + x = v

de unde obµinem x = v−u

2

y = u+v2

,

noul domeniu va :(∆)

u = 0 u = 3v = 0 v = 5

( )

3O u

v

5

118

Calcul m determinantul funcµional

J =

∣∣∣∣∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−1

212

12

12

∣∣∣∣ = −1

2.

Putem scrie:∫∫

D

xdxdy =

∫∫

∆

v − u

2· 1

2dudv =

1

4

∫ 3

0

du

∫ 5

0

(v − u)dv =15

4.

12. S se calculeze integrala

I =

∫∫

D

arctg y

xdxdy

pe domeniulD

x2 + y2 ≤ 10 ≤ y ≤ 1

Folosim schimbarea de variabilex = r cos θy = r sin θ

de unde yx

= tgθ. Domeniul ∆ este determinat de:

r ∈ [0, 1]θ ∈ [0, π]

Putem scrie:

I =

∫∫

D

arctg θrdrdθ =

∫ π

0

θdθ

∫ 1

0

rdr =π2

4.

Probleme propuse1. S se calzuleze integralele:

I1 =

∫ ∞

0

x2 + 1

x4 + 1dx; I2 =

∫ ∞

−∞

dx

x2 + 1; I3 =

∫ ∞

2

dx

x2 + x− 2; I4 =

∫ 1

−1

dx√1− x2

;

(I1 =

π√2; I2 = π; I3 =

2

3ln 2; I4 = π

)

2. S se calculeze urm toarele integrale duble:I1 =

∫∫D

xydxdy, D ind determinat de y = x2, y = 2x + 3

I2 =∫∫

Dln(x + y)dxdy, unde D este x ∈ [0, 1], y ∈ [1, 2].

I3 =∫∫

Dx2√

x2 + y2dxdy, D ind limitat de x = 0, y = 1, y = 3

√2 ³i y = x.

I4 =∫∫

Darcsin√x + ydxdy, D ind limitat de x + y = 0, x + y = 1, y = −1 ³i

y = 1.

119

120

Bibliograe

[1] Balázs Márton, Kolumbán József, Matematikai analízis, Dacia Könyvki-adó, Kolozsvár-Napoca, 1978.

[2] Chiriµ , S., Probleme de matematici superioare, Editura Didactic ³i Ped-agogic , Bucure³ti, 1989.

[3] Cristescu, R. ³i col., Dicµionar de analiz matematic Editura tiinµic ³i Enciclopedic , Bucure³ti, 1989.

[4] Flondor, P, St n ³il , O., Lecµii de analiz matematic ³i exerciµii rezol-vate, Editura All, Bucure³ti, 1998.

[5] Bucur, Gh., Câmpu, E., G in , S., Culegere de probleme de calcul difer-enµial ³i integral, Editura Tehnic , Bucure ti, 1966.

[6] Kelvin Lancester, Analiz economic matematic , Editura tiinµic , Bu-cure³ti, 1973.

[7] Mih ileanu, N., Istoria matematicii, vol. II., Editura tiinµic ³i Enciclo-pedic , Bucure³ti, 1981.

[8] Mihoc, Gh., Micu, N., Teoria probabilit µilor ³i statistic matematic , Ed-itura Didactic ³i Pedagogic , Bucure³ti, 1980.

[9] Nicolescu, M. Analiz matematic , vol. I., Editura Didactic ³i Pedagogic ,Bucure³ti, 1966.

[10] Ob dovics, Gy., Valószín¶ségszámítás és matematikai statisztika, EdituraScolar, Budapest, 1997.

[11] Ramone Moore, Computational Functional Analysis, Ellis Horwood Lim-ited Publishers, New York, 1996.

[12] Ro³culeµ, M., Analiz matematic , Editura Tehnic , Bucure³ti, 1996.

[13] Rudin Walter, A matematikai analízis alapjai, M¶szaki könyvkiadó, Bu-dapest, 1978.

121

[14] Sireµchi, Gh., Calcul diferenµial ³i integral, vol.I., Noµiuni fundamentale,Editura tiinµic ³i Enciclopedic , Bucure³ti, 1985.

[15] St n ³il , O., Analiz matematic , Editura Didactic ³i Pedagogic , Bu-cure³ti, 1981.

[16] Thron, W., Topological structures

[17] Wilansky, Functional analysis.

[18] Zalai Ern®, Bevezetés a matematikai közgazdaságtanba, Közgazdasági ésjogi könyvkiadó, Budapest, 1989.

122