MATEMATICA PROVE INVALSI SIMULAZIONE...· 39 ragazzi leggono giornali a fumetti; · 95 ragazzi leggono libri di fantascienza; · 27 ragazzi non hanno alcun interesse per la lettura

SIMULAZIONEPROVE INVALSIMATEMATICA

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113

Prova 14

Prova 14

Numeri

1) Risolvi l’equazione 2x+1 – 2x + 2x–2 = 5.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) Riduci l’espressione log

2(2x - 1) = log

4(1 + x )+ log

4(4 x - 5) a un solo logaritmo in base 2 e

risolvila.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) La differenza tra il quadrato di un numero dispari e il quadrato del numero pari immedia-tamente precedente è:

A. Uguale al doppio del numero pari -1B. Uguale al doppio del numero dispariC. Uguale al doppio del numero pari +1D. Uguale al doppio del numero dispari +1E. Uguale al doppio del numero pari

4) Sapendo che x + y = 5 e x3 + y3 = 65, calcola log2 (xy) dando opportuna spiegazione dei passaggi.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) Considera la seguente disequazione letterale: (a – b)x < ab.

A. Se a > b, la soluzione è ……………………………………………………………………………………………B. Se a < b, la soluzione è ……………………………………………………………………………………………C. Se a = b, la soluzione è ……………………………………………………………………………………………

6) Dopo aver enunciato la definizione di integrale particolare risolvi la seguente equazione differenziale a variabili separabili 2y' + 6y = 3, determinando l’integrale particolare che soddisfa la condizione iniziale y(0) = 0.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

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114

Parte Seconda: Prove simulate per aree

7) La scala Richter misura l’intensità I di un terremoto confrontandola con l’intensità I0 di un terremoto di riferimento. Secondo la scala Richter un terremoto di intensità I ha una magnitudo R data da:

R = log10

I

I0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Se un terremoto fa registrare una magnitudo R uguale a 5,3, qual è il valore del rapporto I/I0?

A. 10-5,3

B. 5,310

C. 53D. 105,3

E. Nessuna delle risposte precedenti è corretta

8) Esegui la seguente divisione

4 + 3i

3 - 2i fra numeri complessi, in modo da avere come risulta-

to un numero complesso nella forma a + ib.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) Dividi il numero 750 in parti inversamente proporzionali ai numeri 1/5, 2/3, 1/6. Le tre parti sono:

A. 200, 220, 330B. 180, 240, 330C. 280, 150, 320D. 300, 130, 320E. Nessuna delle risposte precedenti è corretta

Spazio e figure10) Se una sfera e un cubo hanno uguale volume, la superficie della sfera è:

A. Minore di quella del cuboB. Maggiore di quella del cuboC. Uguale a quella del cuboD. Doppia di quella del cuboE. I dati forniti non sono sufficienti per rispondere

11) Un cilindro e un cono sono equivalenti ed hanno la stessa altezza. Calcola il rapporto fra il raggio di base del cilindro e quello del cono.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

115

Prova 14

12) Osserva la foto scattata a Napoli alle ore 11:50 del 12 settembre. L’altezza del palo è di 1,24 m e la sua ombra misura 1,38 m.

A) Nello stesso istante un albero, verticale rispetto al terreno, proietta vicino al palo un’om-bra che misura 5,8 m. Qual è l’altezza dell’albero? (Si scriva il risultato con una cifra dopo la virgola) ……………….…………………………………………………………………………………………………….

B) Il palo e la sua ombra individuano i cateti del triangolo rettangolo ABC. Quale relazione lega la tangente dell’angolo AB̂C alle misure dei lati del triangolo?

…………………………………………………………………..…………………………………………………………………

13) Aggiungendo una stessa quantità alla base e all’altezza di un rettangolo, che misurano ri-spettivamente 9a e 6a, si ottiene un nuovo rettangolo di area 108a2. Quanto si è aggiunto a ciascun lato? Imposta l’equazione del problema e risolvila.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

14) In un quadrato ABCD di lato 12 cm è inscritto un triangolo AEF.

116


DF = CE = x. Immagina che i punti F e E si muovano lungo i lati del quadrato ABCD.

A. L’area del triangolo AEF, al variare di x tra 0 e 12, da quale espressione è descritta? ………………………………………………………………………………………………………………………………………B. Se x è uguale a 0, qual è l’area del triangolo AEF? …………………………………………………………C. Se x è uguale a 4, qual è l’area del triangolo AEF? …………………………………………………………D. Per quale valore di x l’area del triangolo AEF è minima? ………………………………………….……

15) Sia P un punto interno al quadrato in figura, tale che le perpendico-lari ai lati del quadrato condotte da P determinano due quadrati Q1 e Q2 e due rettangoli R1 e R2. Quali sono i punti P tali che la somma delle aree di Q1 e Q2 è maggiore della somma delle aree di R1 e R2?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Relazioni e Funzioni

16) È stata eseguita un’indagine su un campione di 152 alunni che frequentano la terza me-dia. È emerso che:

· 39 ragazzi leggono giornali a fumetti; · 95 ragazzi leggono libri di fantascienza; · 27 ragazzi non hanno alcun interesse per la lettura. Illustra la situazione con dei diagrammi di Eulero - Venn e calcola quanti ragazzi leggono

sia giornali a fumetti che libri di fantascienza.

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17) Si osservi il grafico della retta r rappresentata in figura.

117

Prova 14

Qual è la sua equazione?

A. y = –6x + 3B. y = 3x + 6C. y = x + 2D. y = 3x – 2 E. y = –x + 6

18) Siano f e g funzioni da Z a Z definite da f (x) = 2x – 1, g (x) = 4x.

A. Calcola le funzioni composte f [g(x)], g[f(x)] ……………………………………………………………………B. Calcola f [g(–2)], g[f(–2)] sia applicando le funzioni prima trovate, sia applicando separa-

tamente le singole funzioni ……………………………………………………………………………………………

19) Qual è l’equazione della retta r’ ottenuta dalla retta r di equazione x + y – 1 = 0, con la tra-slazione individuata dal segmento orientato OA, con O origine del sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy e A (2, 1)?

A. x + y – 4 = 0B. x – y – 1 = 0C. x + y – 2 = 0D. x – y = 0E. x + y – 1 = 0

20) La retta r di equazione y = mx interseca la retta s di equazione x + 2y – 8 = 0 nel punto P di ascissa 3.

Qual è il valore del coefficiente angolare (o pendenza) m della retta?

A. 2/5B. 5/6C. –1/2D. 15/2E. 3

118


21) Ai giardini pubblici una persona affitta macchinette ai bambini. Dispone di 40 macchinet-te che riesce ad affittare tutte se la tariffa è di € 1 l’ora. Per ogni 0,05 € di aumento della tariffa oraria una bicicletta resterebbe sfitta. Calcola:

A. La funzione profitto in funzione del numero di biciclette che affitta ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………B. Quante biciclette affitta per avere il massimo profitto …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………C. Il massimo profitto …………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………D. Quale prezzo dovrebbe chiedere per raggiungere il massimo profitto …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

22) Durante un allenamento di basket Franco effettua dei tiri a canestro. L’allenatore decide di dare a Franco 4 euro per ogni canestro realizzato e di ricevere da Franco 5 euro per ogni tiro sbaglia-to. Dopo 12 tiri l’allenatore deve pagare a Franco 12 euro. Quanti canestri ha realizzato Franco?

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23) Una cassa contiene delle tavolette di vari colori numerate da 1 a 2000; su di esse si sa che: (a) le tavolette verdi hanno tutte numero > 1000; (b) se il numero di tavoletta è pari, essa è o bianca o rossa; (c) esistono tavolette gialle con numero > 1000. Quali tra le seguenti affermazioni sono necessariamente vere o necessariamente false?

A1) la tavoletta col numero 528 non è gialla;A2) le tavolette verdi sono meno di 500;A3) la tavoletta col numero 1753 è rossa;A4) se non esistono tavolette rosse col numero > 1900, allora le tavolette bianche non

possono essere 40 in tutto;A5) se A3) è vera, le tavolette verdi sono 499.

24) Cerchiamo il colpevole sapendo che dalle indagini è scaturito che:

1) Se il colpevole è un uomo è di piccola statura.2) Se è di piccola statura egli entrò attraverso la finestra.3) Il colpevole è un uomo o quantomeno indossò abiti maschili.4) Se indossò abiti maschili, ammesso che il racconto del testimone oculare sia degno di

fede, egli entrò dalla finestra. 5) Un’ulteriore indagine sul luogo del misfatto mostrò che il colpevole non era entrato

dalla finestra.(Tratto dal libro di Tamas Varga: Fondamenti di Logica per Insegnanti)

Ricava le conclusioni ragionando in modo coerente, ossia applicando le regole di dedu-zione della Logica. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

119

Prova 14

25) Quali sono i punti comuni alle circonferenze passanti per il punto (1, 3), i cui centri sono, rispettivamente, l’origine degli assi e il punto (–2, 1)?

A. (5, 0); (–3, 0)B. (2, –3); (–2, 3)C. (1, 3); (–9/5, –13/5)D. (–4, 0); (–2, 5)E. (0, 6); (1, 3)

Dati e Previsioni

26) Un gelataio dispone di 12 gusti (cioccolato, limone, cocco ecc..). Quante coppe diverse di 3 gusti distinti può offrire se ogni volta deve usare anche il cioccolato?

A. 123

B. 312

C. 12!D. C(11,2) = (11·10)/2 = 55E. 3! · 2!

27) La probabilità che un gatto viva 12 anni è 1/4, la probabilità che viva 12 anni un cane è 1/3, la probabilità che viva 12 anni un cavallo è 1/2. Se possiedi un cagnetto e un gattino e un cavallo appena nati, calcola le seguenti probabilità che fra 12 anni:

A. Siano tutti vivi .........………………………………………………………………………………………………………B. Nessuno dei tre sia vivo ........…………………………………………………………………………………………C. Il gatto e il cavallo siano vivi, il cane no................……………………………………………………………D. Il cane sia vivo, il gatto e il cavallo no...............………………………………………………………………E. Almeno uno sia vivo............……………………………………………………………………………………..……

28) Un enologo dispone di 4 tipi di vini in purezza (A, B, C, D), cioè prodotti ciascuno con un solo vitigno. Decide di realizzare dei miscugli, in tutti i modi possibili, utilizzando sempre percentuali uguali: ad esempio 50% di A + 50% di B. Quanti tipi di vino differenti può ot-tenere? Di che tipo di operazione insiemistica si tratta?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

120


29) Nel seguente istogramma vengono messe a confronto le ore di trasmissione nell’anno 2018 per alcuni programmi sulle tre reti televisive nazionali.

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni, riferite ai dati del diagramma a barre, è vera (V) oppure falsa (F).

A. Rai 3 è la rete televisiva che ha trasmesso il maggior numero di ore di sport V FB. Rai 1 è la rete nazionale che ha trasmesso meno ore di inchieste e documentari V FC. Rai 2 è la rete che ha dedicato il maggior numero di ore ai telegiornali V FD. Rai 3 ha trasmesso il numero minore di ore di cartoni animati, comiche e pubblicità V FE. Rai 2 ha trasmesso circa 700 ore, complessivamente, tra inchieste, documentari e telegiornali V F

30) In un concorso bisogna superare due prove: la prova di matematica e la prova di fisica. I voti vanno da zero a dieci. Si è ammessi se la media geometrica delle due votazioni è di almeno sei. Perché si è scelta la media geometrica e non quella aritmetica?

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……………………………………………………………………………………………………………………………………………

136

Parte Seconda - Prove simulate per aree

Prova 14

Griglia di correzione e punteggio

Quesito Risposta esatta Punteggio

1 — Max. 5 p.

2 — Max. 5 p.

3 C5 E.0 S.1 N.D.

4 — Max. 5 p.

5 —a) 1 p.b) 2 p.c) 2 p.

6 — Max. 5 p.

7 D5 E.0 S.1 N.D.

8 — Max. 5 p.

9 E5 E.0 S.1 N.D.

10 A5 E.0 S.1 N.D.

11 — Max. 5 p.

12 —a) 2 p.b) 3 p.

13 — Max. 5 p.

14 —

a) 1 p.b) 1 p.c) 1 p. d) 2 p.

15 — Max. 5 p.

16 — Max. 5 p.

17 B5 E.0 S.1 N.D.

18 —a) 2 p.b) 3 p.

19 A5 E.0 S.1 N.D.

20 B5 E.0 S.1 N.D.

137

Soluzioni - Prova 14

21 —

a) 2 p.b) 1 p.c) 1 p. d) 1 p.

22 — Max. 5 p.

23 — 1 p. per ogni risposta esatta

24 — Max. 5 p.

25 C5 E.0 S.1 N.D.

26 D5 E.0 S.1 N.D.


28 — Max. 5 p.


30 — Max. 5 p.

Commento alle risposte

1)

2 x 1 2 x 2 x 2 5 2 x 2 114

5 2 x 54

5 2 x 4 2 x 22 x 2

2)

-

log4 (1 + x) + log4 (4x – 5) = log4 [(1 + x) · (4x – 5)]

N ba a b

logb

Nlog

aN

loga

b

log4

1 x 4 x 5log

21 x 4 x 5

log2

4

log2

1 x 4 x 5

2

log2

1 x 4 x 5

2log

21 x 4 x 5

1

2 log2

1 x 4 x 5

138


log2

2 x 1 log2

1 x 4 x 5

log2

2 x 1 log2

1 x 4 x 5 0 log2

2 x 1

1 x 4 x 50

2 x 1

1 x 4 x 51

2 x 1 1 x 4 x 5 2 x 12

1 x 4 x 5 x 2

x + 1; 2x

(2x + 1)2 x)2 = 4x2 + 1 + 4x x2 = 4x + 1

4x + 1 = 2 · (2x) + 1

4)

x y3

x 3 y 3 3x 2 y 3xy 2 x 3 y 3 3xy · x y

xyx y

3x 3 y 3

3 x y

53 653 5

6015

4 log2

xy log2

4 2

5)

a > b a – b

xab

a b

a < b a – b

xab

a b

a = b a – b a = b a = b = 0.

139


6)

n -

2 y ’ 6 y 3 y3 6 y

2dy

dx

3 6 y

2dy

3 6 y

2

dx

y c e 3 x 12

y

0 c12

c12

-

y12

1 e 3 x

5 ,3 log10

I

I0

I

I0

105 ,3

8)

4 3i

3 2i

4 3i 3 2i

3 2i 3 2i

12 8i 9i 6 i 2

9 4i 2

12 17i 69 4

6 17i

136

131713

i

A e B A B

x, y, z -

x y z

140


x (x + y + z y z

x + y + z

x y

z

x = 750 · 5 · (2/25) = 300y = 750 · (3/2) · (2/25) = 90

z = 750 · 6 · (2/25) = 360

V Rl

Cu o l V3 Scubo

6l 2 6 V 23

S era V43

R 3 R3V

43 S

sfera4 R 2 4

3V

4

2

34 323

42

3

V 23 4,8359 V 23 6 V 23

11)

h

3

Vcono

Rcono

2 h

3; V

cilindroR

cilindro

2 hR

cono

2 h

3R

cilindro

2 h

Rcono

2 3 Rcilindro

2 Rcilindro

Rcono

1

3

33

12)

x x = (1,24 · 5,8)/1,38 = 5,2 m

141


AC ABtg AB̂C tg AB̂CAC

AB

13)

Sia x

(9a + x) · (6a + x) = 108a2 x2 + 15ax - 54a2 = 0 x1 = 3a, x2 = -18a

14)

Area (AEF) = Area (ABCD) – Area (ADF) – Area (CEF) – Area (ABE) = = 122 – (12 · x)/2 – x · (12 – x)/2 – 12 · (12 – x)/2 =

= 144 – 6x – 6x + x2/2 – 72 + 6x = x2/2 – 6x + 72

B) Per x

Area (AEF 2 ABCD)

C) Per x

Area (AEF 2

AEF, x2

26x 72

l’alto -V AEF

valore x = 6.

15)

P ACC A, le aree R1, R2, Q1 Q2

A C.

Q1

Q2

D

R2

R1

C

BA

142


16)

EA

BA B

27 ragazzi

non hanno interesse per la le�ura

B

86 ragazzi leggono sololibri di fantascienza

A

30 ragazzi leggonosolo fume�

9 ragazzi

E152 alunni

A ∩ B

x

p

y

q1

p e q

x

2y

61 y = 3x + 6

18)

-

f [g (x)] e g [f (x

f [g (x)] = 2 · (4x) – 1 = 8x – 1; g [f (x)] = 4 · (2x – 1) = 8x – 4

143


f [g (–2)] e g [f

f [g (–2)] = 8 · (–2) – 1 = –17; g [f (–2)] = 8 · (–2) – 4 = – 20

g (–2) = 4 · (–2) = –8 f [g (–2)] = f (–8) = 2 · (–8) – 1 = –17f (–2) = 2 · (–2) – 1 = –5 g [f (–2)] = g (–5) = 4 · (–5) = –20

OA

x x 2y y 1

x x 2y y 1

r r

x’ – 2 + y x’ + y’ – 4 = 0

x + y – 4 = 0

r r.

P s.

3 + 2y – 8 = 0 y = 5/2

P r -

5/2 = m · 3 m = 5/6

21)

x x[1 + 0,05 · (40 – x

y

y x · 1 0,05 40 – x x · 1 2 –0,05x1

20x 2 3x

-x = 30.

y = 45.

[1 + 0,05 · (40 - 30)] = 1 + 0,05 · 10 = 1,5 €

144


22)

x x

4x – 5 · (12 – x) = 12 9x = 72 x = 8

23)

-

24)

r1

10 , r2

13

x2 + y2 x + 2)2 + (y – 1)2 = 13

145


x2 y2 10

x 22

y 12

13

x2 y2 10

x2 y2 4x 2y 8

x2 y2 104x 2y 2

2x 1 y

x2 2x 12

10

y 2x 1x 1

y 2x 1

x95

(1, 3) e (–9/5, –13/5)

-

C (11, 2) = (11 · 10)/2 = 55

27)

A, B e C P A B C P A P B P C .

A) p14

13

12

124

B) p 114

113

112

34

23

12

14

C) p14

12

113

14

12

23

112

D) p13

114

112

13

34

12

18

p 114

34

146


28)

A, B, C, D

N = 24 – 1 = 15

29)

-

-

30)

Mg

4, 9 4 9 6; Ma

4,94 9

26,5

-

Mg

0, 10 0 10 0; Ma

0,100 10

25

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