Lucrarea de Grad1 -Interpolare

7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare

1/98

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIOARA

DEPARTAMENTUL PENTRU PREGTIREAPERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO TIINIFIC

PENTRU OBINEREA GRADULUI

DIDACTIC I N NVMNT

COORDONATOR TIINIFICPROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU

CANDIDAT

PROF. ALMJAN CTLINCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA

JUDEUL CARA SEVERIN

TIMIOARA2009


2/98

2

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIOARADEPARTAMENTUL PENTRU PREGTIREA

PERSONALULUI DIDACTIC

APROXIMAREA FUNCIILOR PRININTERPOLARE

COORDONATOR TIINIFICPROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU

CANDIDATPROF. ALMJAN CTLINCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA

JUDEUL CARA SEVERIN

TIMIOARA2009


3/98

3

CUPRINS

INTRODUCERE....pag.4

Capitolul I : Interpolare Polinomial...pag.6

1.1. Noiuni Introductive.. .....pag.61.2. Polinomul de interpolare Lagrange ....pag.7

1.3. Interpolarea cu ajutorul programelor Maple i Matlab..pag.15

1.4. Interpolarea iterativ. Metoda Aitkenpag.17

1.5. Interpolarea iterativ. Metoda Neville...pag.19

1.6. Diferene Divizate.Polinomul Newton de interpolarepag.20

1.7. Diferene finite. Polinomul Newton ascendent i descendentpag.30

1.8. Polinoame Cebevpag.37

Capitolul II : Interpolarea cu ajutorul funciilor spline....pag.41

2.1. Funcii Spline Introducere ......pag.41

2.2. Funcii Spline de gradul I ..pag.42

2.3. Funcii Spline de gradul II .pag.44

2.4. Funcii Spline de gradul III ...pag.46

2.5. Evaluarea erorii de interpolare prin funcii spline .pag.51

2.6. Utilizarea Maple i Matlab pentru interpolare prin funcii spline..pag.54

Capitolul III : Aplicaii ale interpolrii funciilor.......pag.56

3.1 Utilizarea interpolrii la derivarea numeric.pag.56

3.2 Utilizarea interpolrii la integrala numeric...pag.60

Capitolul VI : Aspecte metodice i metodologice... .....pag.65

4.1. Aspecte generalepag.65

4.2. Metode de predare nvare...pag.684.3. Metode de rezolvare a problemelor.. pag.83

4.4. Utilizarea interpolrii n rezolvarea unor probleme..pag.85

Bibliografie.pag.97


4/98

INTRODUCERE

n rezolvarea unor probleme practice (de fizic, economice , sociale)

suntem pui n situaia de a modela funcii necunoscute ca expresie i definite

doar prin valorile lor n anumite puncte. De aceea este necesargsirea unei

funcii de aproximare cu o form analiticmai simpl . Aproximarea mai

poate fi util i atunci cnd funcia este cunoscut dar are o form

complicat, dificil de manipulat n calcule .

Pentru determinarea unei funcii de aproximare g(x) pentru o funcie

f(x) trebuie impus un criteriu de aproximare. De regul , criteriile de

aproximare se mpart n doucategorii:

a) Funcia de aproximare trebuie streacprin punctele cunoscute:

g(xi) = f(xi)

b) Funcia de aproximare nu trebuie streacprin punctele cunoscute,

dar saproximeze ct mai bine valorile cunoscute. (de ex. Metoda

celor mai mici ptrate).

n lucrarea de fa, ne vom ocupa de primul caz, funcia g(x) numindu-se funcie de interpolare , iar operaia de determinare a ei se numete

interpolare.

Prin interpolare se nelege o metodde calcul a unui nou punct ntre

doupuncte cunoscute. Cuvntul interpolare provine de la : ,,inter = ntre i

,,pole = punct sau nod , deci interpolare nseamn o metodde calcul a unui

nou punct ntre doupuncte cunoscute.

Exemple :

- interpolare polinomial : =

n

i

iixaxf

0

)(

- interpolare trigonometric: =

+n

kkk kxbkxaxf

0

sincos)(

(serii Fourier)


5/98

5

- interpolare exponenial : =

n

i

xki

ieaxf0

)( .

Dintre posibilitile prezentate mai sus , cea mai utilizat este cea

polinomial, datorituurinei cu cu care se integreazi se deriveaz.Baza teoretic a aproximrii polinomiale o constituie teorema lui

Weierstrass, n care se aratca oricefuncie continuf(x) poate fi aproximat

cu o precizie orict de bunpe un interval dat nchis, de un polinom )(xPn .

Teorem: Fie funcia f : [a,b] R , o funcie continu. Atunci f(x) poate fi

aproximat uniform de un ir de polinoame {Pk(x)} cu o acuratee

prestabilit.

Adic pentru o funcie continu , exist un ir depolinoame {Pk(x)} cu proprietatea c

)()(lim xfxPkk

=

Demonstraie Se consider funcia ajuttoare F : [0, 1] R ,

F(t) = f ( a + t (b a )) , t [0, 1]

Funcia F ndeplinete condiiile din teorema lui Bernstain , care spune c

pentru orice funcie continu f : [0, 1] R i (Bn)n1 un ir de funciipolinomiale definit astfel :

Bn(x) = ( )knkk

n

n

k

xxCn

kf

=

1

0, pentru orice x[0,1]

Atunci (Bn)n1 converge uniform la f.

Deci fie (Bn)n1 polinoamele asociate funciei F(t) i

( )

=

abaxBxP kk , [ ]bax ,

Atunci :[ ] [ ]

0)()(sup)()(sup1,0,

=

xBxfxPxf nx

nbax

NOT : Din pcate , teorema lui Weierstrass nu oferun criteriu practic de

aflare a polinomului potrivit.


6/98

6

Capitolul IINTERPOLAREA POLINOMIAL

1.1 NOIUNI INTRODUCTIVE

Fie o funcie f : [a,b] R , se pune problema aproximrii ei printr-un

polinom cnd se cunosc valorile funciei n anumite puncte xi [a, b] , i= n,0 .

1.1.1. DefiniieMulimea de puncte xi[a, b] , i= n,0 cu proprietatea :

a x0 < x1 < x2


7/98

7

Dacrestul 0)( xrn , atunci din (1.1) i (1.2) rezultun sistem de n+1

ecuaii liniare:

=++++

=++++=++++

=++++

)(...

...............................................................

)(...)(...

)(...

2210

22222210

11

2

12110

00202010

nnnnnn

nn

n

n

nn

xfxaxaxaa

xfxaxaxaaxfxaxaxaa

xfxaxaxaa

(1.3)

Soluia acestui sistem o constituie chiar coeficienii polinomului de

aproximare cutat. Determinantul acestui sistem:

nnnn

n

n

n

xxx

xxx

xxx

xxx

D

...1

...............

...1

...1

...1

2

2222

1211

0200

=

este cunoscut ca determinantul lui Vandermonde. Acesta este nenul ( 0D )

pentru orice )( jixx ji . Rezult deci, ca sistemul de ecuaii dat (1.3)

admite o soluie unic pentru coeficienii naaa ,...,, 10 , cu alte cuvinte

polinomul de interpolare este unic.

Pentru un numr mic de noduri sistemul se poate rezolva relativ uor,

dar pentru un numr mai mare de noduri este necesar utilizarea unui

computer. De-a lungul timpului s-au propus foarte multe variante de generare

a polinomului de interpolare .

1.2 POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE

1.2.2. Teorem Fie f : [a,b] R i x0, x

1, ..., x

n; (n+1) noduri din

intervalul [a,b]. Atunci exist un polinom unic Pn, de grad cel mult n, care


8/98

8

interpoleazfuncia f n nodurile xi

, 0 i n ( f(xi)=P

n(x

i) , 0 i n). Acest

polinom se numete polinomul de interpolare al lui Lagrange.

Demonstraie :

n spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n , vom construi obaz li ( x)care se anuleazn toate punctele cu excepia lui xi , i= n,0

li ( xj )= ij =

=

ijdaca

ijdaca

0

1

Deoarece li(x

j) = 0 pentru ij , rezultc l

iadmite rdcinile x

0,x

1,

...,xi1

,xi+1

,...,xn.

Deci li ( x) = ai(x x0)(x x1). . . . . . . . (x xi-1)(x xi+1)

. . . . . . . (x xn)Deoarece li(xi)=1 , rezult c

( )( ) ( )( ) ( )niiiiiiii xxxxxxxxxxa = + 1110

1

Atunci li ( x) =( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )niiiiiii

nii

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

+

+

1110

1110 =

= ( )=

n

ijj ji

j

xx

xx

0

Polinomul de interpolare Lagrange se scrie sub forma :

Pn (x) = l0(x)f(x0) + l1(x)f(x1)+ .......................+ ln(x)f(xn) = l0(x)y0+ l1(x)y1+

........ + ln(x)yn .

Scris sub formcondensat, polinomul de interpolare Lagrange este :

Pn(x) = =

n

iii xlxf

0

)()( (1.4)

Evident polinomul (1.4) ndeplinete condiia f(xi)=P

n(x

i) , i= n,0 .

Polinoamlele li ( x), i= n,0 poartdenumirea depolinoame Lagrange

fundamentale.

Pentru a demonstra unicitatea polinomului Pn spresupunem cexist

doupolinoame distincte Pn, Qn R[X] de grad cel mult n astfel nct


9/98

9

Pn(xi) = Qn(xi) = f (xi) , i= n,0 .Atunci polinomul Tn(x) = Pn(x ) - Qn(x )

este un polinom de grad cel mult n i Tn(xi) = Pn(xi) - Qn(xi) = 0 i= n,0 .

Deci polinomul Tn(x) are n+1 rdcini . Cum gradul lui Tn(x) este cel mult n ,

atunci polinomul Tn(x) este identic nul Tn(x) = Pn(x ) - Qn (x ) = 0

Pn(x ) = Qn(x ) .

Aceast metod este mai util de determinare a polinomului de

interpolare dect metoda (1.3) care necesitun volum mare de calcule.

Cazuri particulare

Fie funcia f : [a,b] R

1. Dac n=2,adic diviziunea intervalului conine doar dou noduri, a x0


10/98

10

1.2.3. Exemplu Determinai polinomul de interpolare Lagrange atasat funciei

f(x) :

xi 0 1 3

f(xi) 1 3 5

Rezolvare : Polinoamele Lagrange fundamentale sunt :

l0(x) =( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

3

31

3010

31

2010

21 =

=

xxxx

xxxx

xxxx

l1(x) =( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

2

3

3101

30

2101

20

=

=

xxxx

xxxx

xxxx

l2(x) =

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

6

1

1303

10

1202

10 =

=

xxxx

xxxx

xxxx

Polinomul de interpolare este : P(x) =f(0)l0(x)+ f(1) l1(x)+ f(2) l2(x) ;

P(x) = ( )( ) ( ) ( )6

6142

6

15

2

33

3

311

2++

=

+

+

xxxxxxxx;

P(x) = 13

7

3

1 2++ xx .

1.2.4. Teorem Operatorul de interpolare Lagrange Pn definit pe mulimea

F= { f : [a,b]R } i cu valori n mulimea polinoamelor de grad cel mult n,care face ca unei funcii din F s-i corespund polinomul de interpolare

Lagrange , este un operator liniar.

Demonstraie :

Fie funciile f i g din F , atunci funcia af+bg este de asemenea din F, unde

a i b sunt dou numere reale. Fie Pn polinomul de interpolare a funciei

af+bg

Pn(x) = ( )( ) = ==

+=+n

i

n

iii

n

iiiiii xgxlbxfxlaxbgxafxl

0 00

)()()()()()( = a.Pnf+ b.Pn

g


11/98

11

Unde Pnf i Pn

g sunt polinoamele Lagrange ataate funciilor f i g , deci Pn

este un operator liniar.

1.2.5. Definiie Diferena f(x) Pn(x) = Rn(x), unde Pneste polinomul de

interpolare Lagrange, se numete restul de aproximare a funciei f .

Formula f(x) = Pn(x) + Rn(x) se numete formula de aproximare a lui

Lagrange.

1.2.6. Teorem Restul Rn(x) din formula de aproximare Lagrange este un

operator liniar.

Demonstraie : Fie funciile f i g din F i Pn polinomul de interpolare a

funciei af+bg , unde ai b sunt dounumere reale .

Atunci Rn(x) = [af(x) + bg(x)] - ( )=

+n

iiii xbgxafxl

0

)()()( = [af(x) + bg(x)]

[ = =

+n

i

n

iiiii xgxlbxfxla

0 0

)()()()( ] =[ af(x) a Pnf(x) ] + [ bg(x) bPn

g(x) ] =

= a Rnf(x) + bRn

g(x) . Deci operatorul Rneste un operator liniar.

1.2.7. Observaie Evident Rn(xi) = 0 , i= n,0 .

1.2.7. Teorem (evaluarea restului de interpolare)

Dac f C(n+1)[a,b], atunci pentru orice x [a,b] , existx(a, b) astfel

nct

Rn(x)= )()!1(

)(1

)1(

xUn

fn

xn

+

+

+

, unde Un+1(x) = (x x0)(x x1)

. . . . . . (x xn).

Demonstraie :

Fie funcia auxiliar g(t)= )()(

)()()( 1

1

tUxU

xRtPtf n

n

nn +

+

Observm cfuncia g se anuleazn n+2 puncte : x0, x1, x2, ........ , xn, x .Din teorema lui Rolle rezultcexistx(a, b) astfel nct g

(n+1)(x) = 0.

g(n+1)(t) = )!1()(

)()(

1

)1(+

+

+ nxU

xRtf

n

nn . Deci Rn(x)= )()!1(

)(1

)1(

xUn

fn

xn

+

+

+

.


12/98

12

1.2.8. Corolar Dac exist M > 0 astfel nct Mxf n + )()1( pentru orice

x[a,b], atunci : )()!1(

)( 1 xUn

MxR nn +

+ ,x[a,b] .

Demonstraie |Rn(x)| = | )()!1(

)(1

)1(

xUn

fn

xn

+

+

+

| )(

)!1( 1xU

n

Mn+

+.

1.2.9. Observaie : n cazul n care diviziunea este format din noduri

echidistante, adic xi= x0+ i.h , i= n,0 , undeh se numetepasul diviziunii,

atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunztor acestei diviziuni este:

=

=+=

n

i

in

in

inn it

ntttt

n

CxfhtaPtp

0

)).......(2)(1(

!

)1()()()(

Demonstraie : Considerm schimbarea de variabil : x = x0 + t. h , h =

n

xxn 0

, atunci expresia polinomului Lagrange este Pn(x) = = n

iii xlxf0 )()( ,

unde li ( x) = ( )=

n

ijj ji

j

xx

xx

0 . Atunci :

=n

ji

n

ij

nj jthxx )()( i

( ) ( )

= +=

===n

ji

i

j

n

ij

ninninn

ij

nji inihijjihjihxx

1

0 1

!!)1()()(1)()(

Rezultc Li(t)=li(x0+ t.h) =

=

=

n

ijj

n

it

ntttt

iniji

jt

0

)).....(2)(1(

)!(!

)1(

)(

)(

Expresia polinomului Lagrange este :

=

=

n

i

in

in

in it

ntttt

n

Cxftp

0

)).......(2)(1(

!

)1()()(

Eroarea devine )()!1(

))......(2)(1()( )1(1 t

nnn fhn

nttttxr ++

+

=

1.2.10. Exemplu Sse calculeze valoarea aproximativa lui 15 utiliznd un

polinom de interpolare Lagrange pentru funcia x ( x 0) i trei puncte de

interpolare convenabil alese.

Fie funcia f : [0 ; +) , f(x) = x i nodurile x0= 9 , x1= 16 i x2=

25. Sub formde tabel funcia aratastfel :


13/98

13

xi 9 16 25

f(xi) 3 4 5

Polinomul de interpolare Lagrange atasat funciei f este :

P(x) =7

10

504

97

504

2

++ xx .

Atunci 869047619,3)15(15 = P .Sevalum acum eroarea n punctul x = 15

U3(15) = (15 9 )(15 16) (15 25 ) = 6.( - 1) .( - 10) = 60

xxxf

2

1

2

1)(' 2

1

==

;3

2

3

4

1

4

1)("

xxxf ==

;5

2

5)3(

8

3

8

3)(

xxxf ==

;

7

2

7)4(

16

15

16

15)(

xxxf

==

.

Deoarece f(4) (x) < 0 rezult c funcia f(3) este descresctoare

001543,038

3

8

3)(

55

)3(=

=

xxf

R(15) 01543,06000012,0!3

1= .

Pe de altparte , cu ajutorul calculatorului obinem 87298334,315

= )15(15 P 0,0039 , ceea ce confirmafirmaa de mai sus.

1.2.11. Observaie Dac f(x) = Q(x) R[x] un polinom de grad cel mult n ,atunci Rn(x) = 0 .

Demonstraie Deoarece f este un polinom de grad cel mult n , atunci

f(n+1)(x) = 0 din teorema 1.2.7 cRn(x) = 0.

1.2.12. Observaie Fie o funcie f : [a,b] R, considerm irul de

diviziuni dn a intervalului [a, b] cu proprietatea :

bxxxa nnnn


14/98

14

mare de puncte , deci ne ateptm ca eroarea Rn(x) = f(x) Pn(x) sfie mic,

eventual ca 0)(lim =

xRnn

.

n anul 1912, S. N. Bernstein a artat c pentru funcia f(x)=|x|,

x[1,1], dacalegem nodurile echidistante nini

xn

i ,0,2

1)(

=+= , atunci)()(lim xfxPn

n

dacx{1,0,1}.

Sar putea crede cacest lucru se datoreazfaptului cfuncia modul

nu este derivabiln origine.

Exemplu dat de C. Runge n 1901 arat c exist funcii indefinit

derivabile pentru care {Pn} nu converge laf .

Fie f(x) = 21

1

x+ , x [-5 , 5 ] . Evident f C[-5 ,5 ] , fie nodurile

echidistante in

xi10

5 += , i= n,0 .

Se poate arta c )()(lim xfxPnn

=

, dac| x | c i )()(lim xfxPnn

dac| x | > c , unde c 3,6334.

n 1914 , S.N. Bernstein a artat cpentru orice sistem de noduri )(nix ,

i= n,0 din intervalul [a, b] , dat dinainte, existo funcie continu f : [a,b]

R astfel nct irul polinoamelor Lagrange {Pn} care interpoleazfuncia f

n aceste noduri nu converge uniform laf pe [a,b].

Se pune ntrebarea dacinterpolarea cu polinoame Lagrange este util

n practic, din moment ce aa cum am vzut, n general irul polinoamelor de

interpolare { Pn} nu converge laf.

Rspunsul este c interpolarea Lagrange este util. Se constat n

practic faptul cpentru un punct [a,b], eroarea | f () Pn( ) | scade

pn la un punct, pe msur ce n crete, i deci, pentru n relativ mic, Pn()

aproximeazacceptabil valoareaf(). Pentru valori mari ale lui n, interpolarea

Lagrange nu este recomandat.


15/98

15

1.3. INTERPOLAREA CU AJUTORUL LIMBAJELOR DEPROGRAMARE MAPLE I MATLAB

MAPLE i Matlab sunt doulimbaje de programare deosebit de utile n

domenii diverse, cum ar fi : statistica , matematica, ingineria . Aceste

programe sunt folosite i n interpolarea polinoamelor.

MAPLE dispune de funcia predefinitinterp care determinpolinomul

de interpolare Lagrange corespunztor unei funcii tabelate.

Sintaxa : interp ( x, y, var)

unde x list/ vector cu nodurile de interpolare;

y list/ vector cu valorile funciei n nodurile de interpolare;

var nume variabil

Exemplu >

Pentru determinarea valorii polinomului de interpolare ntr-un punct se

procedeazastfel :>

Pentru trasarea graficului funciei f i a polinomului de interpolare

atasat funciei procedm astfel:

- definim funcia i determinm polinomul de interpolare ca mai sus;

- trasm graficul celor doufuncii utiliznd comanda plot

Exemplu >


16/98

16

Programul Matlab dispune de mai multe funcii pentru trasarea

polinomului de interpolare Lagrange astfel :

1) v = INTERP(x,y, u), unde x reprezintvectorul nodurilor , y reprezint

vectorul valorilor funciei pe noduri, de aceeai dimensiune cu x.

2) yi= INTERP1(x, y, xi, METOD)

Unde x reprezintvectorul nodurilor

y reprezintvectorul valorilor funciei pe noduri

metoda reprezintmetoda de interpolat (nearest , linear, etc)

Exemplu x = 0:10; y = sin(x);

xi = 0:.25:10;

yi = interp1(x,y,xi);

plot(x, y, 'o', xi, yi)(interpoleazfuncia sin n nodurile :

0, 1, 2, 3, .... 10 i traseaz

graficul funciei interpolate)


17/98

17

Pentru a calcula valoarea polinomului Lagrange ntr-un punct , trebuie

mai nti s scriem mai nti un program Matlab ce calculeaz polinomul

Lagrange ataat unei funcii i unei diviziuni :

% POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE Ln(x), de gradul n = 2

% fie func?ia f(x) = x pe intervalul [9;25]%*********************************************************x = [9. 16. 25.];y = sqrt(x);n1 = length(x);n = n1-1;xs = 15.; % valoarea x* n care se evalueaz? func?ia cu L2(x)% se calculeaz? valoarea polinomului Lagrange de ordinul n n x*; aici

n=2 => L2(x*):L = 0.;fork = 1:n+1p = 1;forj=1:n+1ifk ~= j

p = p*(xs-x(j))/(x(k)-x(j));endendL = L + y(k).*p;end% afi?area valorii L2(x*)=L2(5) calculate:L2xs = L% valoarea exact? a func?iei n x*=5 este:

Programul o sne afieze L2xs =

3.8690

1.4. INTERPOLAREA ITERATIV. METODA AITKEN

Vom nota polinomul lui Lagrange care interpoleaz funcia f nnodurilex

i , cu P

n(x ;x

0,x

1, ...,x

n). Evident,

P0(x;x

0) =f(x

0).

1.4.1 Teorem: Are loc urmtoarea relaie de recuren:

Pn

(x ;x0

,x1

, ...,xn

) =xxxxxxxP

xxxxxxxP

xx nnnn

nnnn

nn

),,........,;(

),,........,;(1

2101

112101

1

.

Demonstraie

Fie Q(x) =xxxxxxxP

xxxxxxxP

xx nnnn

nnnn

nn

),,........,;(

),,........,;(1

2101

112101

1

.

Observm cpentru orice i= 2,0 n avem:


18/98

18

Q(xi ) = )()(

)(1 1

1i

ini

ini

nn

xfxxxf

xxxf

xx =

;

Iar

Q(xn-1) =121011

1

1 ),,........,;(

0)(1

nnnnnn

n

nn xxxxxxxP

xf

xx = )( 1nxf

Q(xn) =0)(

),,........,;(1 112101

1 n

nnnnnn

nn xf

xxxxxxxP

xx

= )( nxf

Aadar, Q este un polinom de gradul n care interpoleaz funcia f n

nodurile xi , i= n,0 Din unicitatea polinomului de interpolare al lui

Lagrange, rezultcQ=Pn

.

Metoda Aitken este bine ilustratde urmtorul tabel:x

0 x

0 f(x

0)

x1 x

1 f(x

1) P

1(;x

0,x

1)

x2 x

2 f(x

2) P

1(;x

0,x

2) P

2(;x

0,x

1,x

2)

x3 x

3 f(x

3) P

1(;x

0,x

3) P

2(;x

0,x

1,x

3) P

3(;x

0,x

1,x

2,x

3)

M M M M M M

xn x

n f(x

n) P

1(;x

0,x

n) P

2(;x

0,x

1,x

n) P

3(;x

0,x

1,x

2,x

n) K Pn(;x0,x1,...,xn)

1.4.2.Exemplu : Determinai polinomul de interpolare Lagrange ataat

funciei f(x) :

i 0 1 2

xi 0 1 3

f(xi) 1 3 5

utiliznd algoritmul lui Aitken.

P1(x;x0) = f(x0) = 1

P1(x;x1) = f(x1) = 3P1(x;x2) = f(x2) = 5

P2(x;x0,x1)=x

x

xxxxP

xxxxP

xx

=

13

01

01

1

);(

);(1

111

00

01

= 1+2x

P2(x;x0,x2)=x

x

xxxxP

xxxxP

xx

=

35

01

03

1

);(

);(1

221

00

02

=3

34 +x


19/98

19

P3(x;x0,x1,x2)= xxxx

xxxxxP

xxxxxP

xx +

+

=

33

34021

13

1

),;(

),;(1

2202

1102

12

= 13

7

3

1 2++ xx

Polinomul de interpolare este : P3(x;x0,x1,x2)= 13

7

3

1 2++ xx

1.4. INTERPOLAREA ITERATIV. METODA NEVILLEAlgoritmul lui Neville, este foarte asemntor cu algoritmul lui Aitken .

Vom nota polinomul lui Lagrange care interpoleazfunciaf n nodurilexi,

cu Pn(x ;x

0,x

1, ...,x

n).

1.5.1. TeoremDacf este definit n x0, x1, ........., xn, xi xj, 0 i, j k,atunci:

Pn(x;x

0,x

1, ...,x

n)=

= ( )

( )jiniiinjjj

xx

xxxxxxPxxxxxxxxPxx

++ ),...,,......,;(),...,,......,;( 11101110 =

=),...,,......,;(

),...,,......,;(1

1110

1110

njji

niij

jixxxxxxPxx

xxxxxxPxx

xx +

+

Demonstraie: Notm Q1 = ),...,,......,;( 1110 nii xxxxxxP + cu

Q2= ),...,,......,;( 1110 njj xxxxxxP + i P(x) = ( )ji

ij

xxxQxxxQxx

)()( 12

Se observcQ1(xk) = Q2(xk) = f(xk) pentru orice k i i k j

P(xk) =( )

)()()()( 12

kji

kji

ji

kikkjkxf

xx

xfxx

xx

xQxxxQxx=

=

P(xi) =( )

)()()()()(

2212

iiji

iji

ji

iiiijixfxQ

xx

xQxx

xx

xQxxxQxx==

=

Analog se arat c P(xj) = f(xj), deci din unicitatea polinomului de

interpolare rezultcP(x) = Pn(x ;x

0,x

1, ...,x

n).

Metoda Neville este bine ilustratde urmtorul tabel:


20/98

20

x0 f(x

0)

x1 f(x

1) P

1(x;x

0,x

1)

x2 f(x

2) P

1(x;x

1,x

2) P

2(x;x

0,x

1,x

2)

x3 f(x

3) P

1(x;x

2,x

3) P

2(x;x

1,x

2,x

3) P

3(x;x

0,x

1,x

2,x

3)

M M M M M

xn f(xn) P1(x;xn-1,xn) P2(x;xn-2,xn-1,xn) P3(x;xn-3,xn-2,xn-1,xn) K Pn(;x0,x1,...,xn)

1.5.2. Exemplu : Determinai polinomul de interpolare Lagrange ataat atasat

funciei f(x) :

i 0 1 2

xi 0 1 3

f(xi) 1 3 5

utiliznd algoritmul lui Neville.P1(x;x0) = f(x0) = 1 ; P1(x;x1) = f(x1) = 3 ; P1(x;x2) = f(x2) = 5

Atunci P(x ; x0,x1) =( )

1210

3)0(1)1();()();(

10

1001 +=

=

x

xx

xx

xxPxxxxPxx

P(x ; x1,x2) =( )

231

5)1(3)3();()();(

21

2112 +=

=

x

xx

xx

xxPxxxxPxx

Polinomul de interpolare Lagrange este :

P(x;x0,x1,x2)=

( )=

++=

30

2()0()12()3(),;()(),;(

20

210102 xxxx

xx

xxxPxxxxxPxx

= 13

7

3

2

++xx .

1.6 DIFERENE DIVIZATE . POLINOMUL NEWTON DE

INTERPOLARE

Dezavantajele interpolrii Lagrange apar atunci cnd dorim sadugm

sau smodificm noduri de interpolare , pentru care trebuiesc refcute toate

calculele ce privesc polinomul. Astfel este mai greu s controlm aspectul

unei curbe folosind interpolarea Lagrange, dect dacam folosi alte metode

de interpolare , cum ar fi Newton.


21/98

21

a) DIFERENE DIVIZATE

Pentru construirea polinomului Newton de interpolare avem nevoie de

noiunea de diferendivizat.

Fie funcia f : [a,b] Ri diviziunea ax0< x

1< ...


22/98

22

Funcia care se obine n acest fel este definitpe mulimea { x0; x

1; ...

; xn-1} i va fi notatcu D1f . Prin urmare funcia D1f este o funcie real

definitpe mulimea nodurilor { x0< x

1< ...


23/98

23

Demonstraie :

rr

rrrrrrr xx

xxfxxfxxxf

=

+

+++

++

2

12121

],[],[],,[

=( )

+

+

++

++

+ rr

rr

rr

rr

rrxx

xfxf

xx

xfxf

xx1

1

12

12

2

)()()()(1 =

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

+

+

+++

++

+++

++++

+++

++

+ rrrr

rrr

rrrr

rrrrr

rrrr

rrr

rr xxxx

xxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxf

xx 112

12

112

1211

112

12

2

)()()(1

=( )( ) ( )( )rrrr

r

rrrr

r

rrrr

r

xxxx

xf

xxxx

xf

xxxx

xf

+

+++++

+

+++

+

12112

1

122

2 )(

))((

)()( =

=( )( ) ( )( ) ( )( )122

2

211

1

21

)()()(

+++

+

+++

+

++ +

+

xrrr

r

rxrr

r

rrrr

r

xxxx

xf

xxxx

xf

xxxx

xf

1.6.7. Propoziie : Pentru orice k n putem defini diferena divizat de

ordinul k a funciei f ntr-un punct xr ( r n k ) :

Dkf(xr) =( ) ( )rkr

krrrkrrr

rkr

rk

rk

xx

xxxfxxxf

xx

xfDxfD

=

+

+++++

+

+

],....,,[],.....,,[)()( 11211

11

1.6.8. Observaie : Se poate arta c:

Dkf(xr) =( )( ) ( )( ) ( )= ++++++++++

+

k

i kriririririrrirrir

ir

xxxxxxxxxx

xf

0 111 ..................

)(

(1.8)

1.6.9. Observaie : Dacse considerfamilia de funcii

Fn-k = { f : {x0,x1,....,xn-k} R } , atunci folosind diferena divizat de

ordinul k se poate asocia fiecrei funcii f Fno functie din Fn-kastfel :

f Dkf , unde Dkf(xr) = f [xr,xr+1,......,xr+k] , pentru r n k

Corespondena f Dkf se numeste operator de diferendivizatde

ordinul k .

1.6.10. Propoziie: Operatorul de diferendivizatde ordinul k, Dk:Fn

Fn-keste un operator liniar.

1.6.11. Propoziie: Pentru k = n , operatorul de diferendivizatde ordinul n

este definit doar n x0i este datde :


24/98

24

Dnf(x0) = ( )( ) ( )( ) ( )= + k

i niiiiiii

i

xxxxxxxxxx

xf

0 1110 ..................

)( (1.9)

1.6.12. Propoziie: Dn f(x0) =),.....,(

),.....,)((

10

10

n

n

xxxV

xxxWf (1.10) , unde

),.....,)(( 10 nxxxWf =

)(

...

)()(

...

...1

...........

...1

...11

0

1

11

10

2

211

200

nn

n

n

n

nnxf

xfxf

x

xx

xx

xxxx

i ),.....,( 10 nxxxV =

nn

n

n

nn

n

n

nn x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

......

...1

...........

...1

...1

1

0

1

11

10

2

211

200

Demonstraie : Determinantul ),.....,( 10 nxxxV este un determinant de tipul

Vandermonde, deci :

),.....,( 10 nxxxV =

nn

n

n

nn

n

n

nn x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

......

...1

...........

...1

...1

1

0

1

11

10

2

211

200

= ( )>

ji

ji xx

Pentru calculul determinantului ),.....,)(( 10 nxxxWf ,dezvoltm dupultima

coloani obinem:

),.....,)(( 10 nxxxWf = ( ) ( ) ),.....,,()(1),.....,,()(1 2013

2102

nm

nm xxxVxfxxxVxf + ++ + .

. . .+ ( ) ),.....,,()(1 110)1(2

+ nn

m xxxVxf .

Atunci),.....,(

),.....,)((

10

10

n

n

xxxV

xxxWf= ( )

( ) ( ) =

>

++

>

n

kkji

jijik

kn

jiji

xxxfxx 0

,

2 )(11

=

=( )

( )

( )

=

>

>

++

n

kji

ji

kjiji

ji

k

kn

xx

xx

xf0

,2 )(1=

= ( )( )( ) ( )( ) ( )= +

++

n

k knkkkkkk

kkn

xxxxxxxxxx

xf

0 1110

2

..................

)(1 =

= ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

= +

++

n

k nkkkkn

kkkk

kkn

xxxxxxxxxx

xf

0 1110

2

..........1........

)(1 =


25/98

25

=( )( ) ( )( ) ( )= +

n

k nkkkkkkk

k

xxxxxxxxxx

xf

0 1110 ..................

)(= Dnf(x0) .

1.6.13. Observaie: Pentru orice permutare (i0,i1,.....,in) a numerelor (0, 1,

....,n) avem : [ ]niii xxxfxxxf n ,.....,,,.....,, 1010 = .

Cu alte cuvinte diferena divizat de ordinul n nu depinde de ordinea

nodurilor.

1.6.14. Observaie:Dacnotm Un+1(x) = (x x0)(x x1). . . . . . (x xn) i

Un+1(xi) = (xi x0) (xi x1). . . . . . (xi xi-1)(xi xi+1) .......(xi xn) , atunci

[ ] = +=n

k kn

k

n xU

xf

xxxf 0 110 )('

)(

,.....,, (1.11)

1.6.15. Propoziie: Dac f este un polinom de grad cel mult n 1 , atunci

Dnf(x0) = 0 .

Demonstraie : Dac f este un polinom de grad cel mult n 1 , atunci

=

=1

0

)(n

k

kkxaxf i innd cont de faptul c Dn f este un operator liniar ,

obinem Dnf(x0) = ( )

=

1

00)(

n

k

knk xxDa .

Din (1.10) avem Dn (xk)(x0) = ),.....,(

),.....,)((

10

10

n

nk

xxxV

xxxxW , cu

kn

k

k

nn

n

n

nn

nk

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xxxxW......

...1

...........

...1

...1

),.....,)(( 1

0

1

11

10

2

211

200

10

= = 0 , deci Dnf(x0) = 0 .

1.6.16. Propoziie: Dac f i g sunt dou funcii reale definite pe [a,b] ,

atunci:

[ ] [ ] [ ]nkkn

kkn xxxgxxxfxxxgf ,....,,...,,.....,, 1

01010 +

=

=

Demonstraie: Se aplicmetoda induciei n raport cu n


26/98

26

- pentru n =1 avem :

[ ]01

0011

01

0110

)()()()()()(,

xx

xgxfxgxf

xx

xgfxgfxxgf

=

= =

=01

00101011 )()()()()()()()(

xx

xgxfxgxfxgxfxgxf

+=

=01

010011 )]()()[()]()()[(

xx

xgxgxfxfxfxg

+=f(x0) g[x0,x1] + g(x1) f[x0,x1] .

- presupunem adevratrelaia :

[ ] [ ] [ ]111

010110 ,....,,...,,.....,, +

=

= nkk

n

kkn xxxgxxxfxxxgf i scalculm :

[ ] ( )],.....,,[],.....,[1

,.....,, 110210

10

= nn

n

n xxxfgxxxfg

xx

xxxgf =

=

=

++

1

01011121

0

],....[],...,[],....,[],....,,[1 n

knkknkk

n

xxgxxfxxgxxxfxx =

=

=

++

1

01011121

0

],....[],...,[],....,[],....,,[1 n

knkknkk

n

xxgxxfxxgxxxfxx +

],.....,[],.....,[],.....,[],.....,[ 1010 nkknkk xxgxxfxxgxxf ++ + =

= }],....[],....,[{],....,,[1 1

0

1110

0

=

+

n

k

nknkk

n

xxgxxgxxxfxx +

+ }],....[],...,[{],....,[1 1

00111

0

=

++

n

kkknk

n

xxfxxfxxgxx =

=

=

1

010

0

],....[)(],....,,[1 n

knkkmk

n

xxgxxxxxfxx +

+ }],....[)(],....,[1 1

0001

0

=

+

n

kkknk

n

xxfxxxxgxx =

( ) ( )

=

+

1

11001000

0],...,[],...,[],....,,[][{

1 n

knkknnn

nxxgxxfxxxxxgxfxxxx

+ (xn x0).f[x0,x1,....,xn]

. g[xn] = [ ] [ ]nkkn

kk xxxgxxxf ,....,,..., 1

010 +

=

.


27/98

27

b) POLINOMUL LUI NEWTON CU DIFERENE DIVIZATE

Fie funcia f : [a,b] Ri diviziunea ax0< x

1< ...


28/98

28

1.6.19. Teorem(teorema de medie): Fie o funcie f : [a, b] R, de n- ori

derivabilpe intervalul (a , b) i diviziunea : ax0< x

1< ...


29/98

29

1.6.20. Exemplu : Determinai polinomul de interpolare Newton ataat

funciei f(x) :

xi f(xi) f[xi,xi+1] f[x0,x1,x2]

0 1

f[x0,x1]= 201

13

=

f[x0,x1,x2]= 3

1

03

21

=

1 3f[x1,x2]= 1

13

35=

3 5

Atunci polinomul de interpolare Newton se scrie sub forma:

P(x)= ],,[)()(],[)()( 210101000 xxxfxxxxxxfxxxf ++= =

=1 + (x 0)

.

2 + (x 0)(x 1)

.

3

1

=1

3

7

3

1 2++ xx

.Observm c polinomul de interpolare se obine mult mai uor dect

polinomul Lagrange de la execiiul 1.2.3 .

C) DIFERENE DIVIZATE I POLINOMUL NEWTON N MATLAB

n Matlab putem crea un cod de program pentru calculul diferenelor

divizate ct i valoarea polinomului de interpolare ntr-un punct.

functionfp = newton_interpolation(x,y,p)% Script for Newton's Interpolation.

% x and y are two Row Matrices and p is point of interpolationx=[0,1,3]y=[1,3,5]p=10n = length(x);a(1) = y(1);fork = 1 : n - 1

d(k, 1) = (y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k));endforj = 2 : n - 1

fork = 1 : n - jd(k, j) = (d(k+1, j - 1) - d(k, j - 1))/(x(k+j) - x(k));

endenddforj = 2 : n

a(j) = d(1, j-1);endDf(1) = 1;c(1) = a(1);forj = 2 : n

Df(j)=(p - x(j-1)) .* Df(j-1);c(j) = a(j) .* Df(j);

endfp=sum(c);


30/98

30

Programul o sne afieze : d = 2.0000 -0.3333

1.0000

ans = -9 .

care reprezintdiferenele divizate f[0, 1] = 2.0000; f[1, 3] = 1.0000; f[0, 1, 3]

= - 0.3333 i P(10) = - 9 .

1.7 DIFERENE FINITE . POLINOMUL LUI NEWTON

ASCENDENT I DESCENDENT

Fie o funcie f : [a, b] R i o diviziune a intervalului : ax0< x

1

2.5. EVALUAREA ERORII DE INTERPOLARE PRIN

FUNCII SPLINE

2.5.1. Propoziie : Dacf ],[2 baC i funcia spline cubicde interpolare

S(x) pentru funcia f(x) i diviziunea : a = x1< x2< < xn-1< xn= b .

Presupunem c funcia spline ndeplinete condiia S(x0) = f(x0) i S(xn) =

f(xn),sau condiia natural(S(a) = S(b) = 0 ) atunci :

[ ] [ ] [ ] +=b

a

b

a

b

a

dxxSxfdxxSdxxf 222 )(")(")(")("

Demonstraie :

[ ] [ ] [ ] [ ] ++=+= 2222 )(")(")(")(")(")(")(" xSxSxfxSxSxfxf


52/98

52

[ ] )(")(")("2 xSxSxf + ,de unde deducem :

[ ] [ ] [ ] +=b

a

b

a

b

a

dxxSdxxSxfdxxf 222 )(")(")(")(" + [ ] b

a

dxxSxSxf )(")(")("2

ntruct f ],[2 baC , S ],[2 baC i S(x) este o constantpe intervalul[xi-1, xi], i= n,1 .Prin integrare prin pri , ultimul termen al egalitii devine:

[ ] [ ] [ ] = =

==

b

a

n

i

x

x

n

i i

ii

ix

xxSxfxSdxxSxfxSdxxSxSxf

1 1 11

)(')(')(")(")(")(")(")(")("

[ ] [ ] [ ]=

=n

i

x

x

nnn

i

i

xSxfMxSxfMdxxSxfxS1

000

1

)(')(')(')(')(')(')('"

dacfuncia spline ndeplinete una din condiiile (I) sau (II), atunci ultimul

termen este nul , deci propoziia este demonstrat.

2.5.2. Consecin : Dac funcia spline cubic S(x) ce interpoleaz funcia

f(x) i satisface una din condiiile (I) sau (II) , atunci ea este unic.

Demonstraie : Presupunem c ar exista dou funcii spline cubice S1(x) i

S2(x) cu aceste proprieti.

Atunci : S(x) = S1(x) - S2(x) este o funcie spline de interpolare fentru funciaidentic nul. Aplicm propoziia anterioarpentru funcia f 0 i funcia S(x),

obinem:

0= [ ] [ ] =b

a

b

a

dxxSdxxf 22 )("2)(" . Cum S(x) ),(0 baC rezult S(x) =0,

deci S(x) =x+. Pe de altparte funcia S(x) interpoleazfuncia identic nul

pe intervalul [a,b], deci trebuie ca S(a)=S(b)=0, ceea ce implicS(x) = 0 i

deci S1(x) = S2(x) pe [a,b] .

2.5.3. Teorem : Dac f ),(0 baC i S(x) este funcia spline cubic de

interpolare pentru funcia f(x) i diviziunea : a = x1< x2< < xn-1< xn= b.

Dacfuncia spline ndeplinete una din condiiile (I) sau (II) , atunci:

a) hfxSxf 2")(')(' ;


53/98

53

b)3

2")()( hfxSxf , unde

h = )(max 1,1

iini

xx , iar 2 este norma natural din L(a,b)2 , adic2/1

2

2 )(

=

b

adxxgg .

Demonstraie: f(xi)=S(xi) , deci f(xi) - S(xi) = 0 i= n,0 . Din teorema lui Rolle

rezultcfuncia f(xi) - S(xi) admite cte o rdcinipe fiecare din intervale

(xi-1, xi) , i= n,1 .Fie x [xi-1, xi], dacx > i atunci :

f(x) S(x) = [ ] x

i

dttStf

)(")("

Din inegalitatea lui Schwarz deducem:

[ ]

2/1

2

2/1

2 1)(")(")(')('xx

ii

dtdtxSxfxSxf

[ ] hSfxdxxSxf ib

a2

2/1

2/1

2 "")(")("

Din propoziia anterioarce poate fi scrisi sub forma :

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2""""""" fSfSfSf += , deci

hfxSxf 2

")(')(' .Pentru a demonstra relaia b) plecm de la inegalitatea :

f(x) S(x) = [ ]

x

xi

dttStf1

)(')(' , deoarece hftStf 2")(')('

rezultc2/3

22"")()(

1

hfdthfxSxfx

xi


54/98

54

2.6. UTILIZAREA PROGRAMELOR MATLAB I MAPLE

PENTRU INTERPOLARE PRIN FUNCII SPLINE

2.6.1. Funcii spline n MAPLEPentru determinarea funciei spline ataat unei funcii programul

MAPLE dispune de o funcie predefinitspline .

Funcia determinfuncia spline de gradul unu, doi, trei sau patru.

Sintaxa: spline (x,y,var,d)

Argumente : x list/vector cu punctele diviziunii;

y list/vector cu valorile funciei n punctele diviziunii;

var numele variabilei din funcia spline

d (op) numr ntreg sau nume predefinit.

n lista/vectorul x elementele sunt distincte, n ordine cresctoare. Argumentul

d specific gradul polinoamelor ce definesc funcia spline. El poate fi un

numr ntreg pozitiv (valoarea impliciteste 3) sau un cuvnt cheie : linear,

quadratic, cubic, quartic.

Utilizarea funciei trebuie precedatde comanda readlib(spline).

Exemple:

>


55/98

55

2.6.2. Funcii spline n MATLAB

Matlab utilizarea funciei spline pentru a gsi curba spline asociat

unei funcii f. De exemplu pentru cazul funcia f(x) = sin(x)

>> x = 0:10;

y = sin(x);

xx = 0:.25:10;

yy = spline(x,y,xx);

plot(x,y,'o',xx,yy)


56/98

56

Capitolul III

APLICAII ALE INTERPOLRII FUNCIILOR

3.1. UTILIZAREA INTERPOLRII LA DERIVAREA

NUMERIC

3.1.1. Derivarea numericcu ajutorul polinoamelor Newton cu diferene

finite

n cazuri practice, cnd se cere determinarea derivatei, iar funcia este

datn forma unui tabel, utilizarea metodelor analitice de calculul diferenial

devine imposibil i atunci se face apel la aproximare numeric a derivateicutate derivarea numeric.

Metoda I:

n clasa a XI a se studiazderivata unei funcii ntr-un punct. Una dindefiniiile derivatei unei funcii ntr-un punct este :

f(x0) = h

xfhxfh

)()(lim 00

0

+

i astfel obinem aproximarea

derivatei :

hxfhxfxf )()()( 000 + = h

xf )( 0 aproximarea este cu att mai bun

cu ct h este ales mai mic.Metoda II:

Fie c funcia f(x) este determinat n intervalul [a, b] i este

reprezentattabular prin n+1 puncte. Se cere stabilirea relaiei analitice pentru

derivata acestei funcii. Ca funcia de aproximare se alege un polinom de

interpolare.

Dac nodurile diviziunii, care descriu numeric funcia dat f(x), sunt

echidistante, adicxi+1 xi= h (unde i = 0, 1, 2, ... n), atunci pentru stabilirea

relaiei analitice pentru derivata acestei funcii s aproximm funcia de

originef(x) cu polinomulNewton cu diferene finite(1.15) .Atunci funcia


57/98

57

( ) ( )( )

( )( ) ( ))(

!

1....21.........

...........)(!3

21)(

!2

1)()()()(

0

03

02

00

xfn

n

xfxfxfxfxPxf

n

++

+

+

++=

unde: h

xx0

= ; h= xi+1- xi

Desfacem parantezele i obinem:

..................)(!4

6116

)(!3

23)(

!2)()()(

04

234

03

23

02

2

00

++

+

++

+

++

xf

xfxfxfxfxf

ntruct f(x) )()( 0 hxPxP += , atunci :

d

xdP

hd

xdP

dx

d

dx

xdf )(1)()(=

Atunci derivnd relaia (1.20) obinem :

.....])(!4

622184

)(!3

263)(

!2

12)([

1)('

04

23

03

2

02

0

++

+

++

+

+

xf

xfxfxfh

xf

Pentru x = x0, ce corespunde lui = 0 se obine:

Pentru derivata a II-a procedm astfel: (1.21)

2

2

22

22

2

2 )(1)()(

d

xPd

hd

xPd

dx

d

xd

xfd=

;

Deci f(x) ( )

+

+++ ......)(

12

11186)(1)(

10

42

03

02

2xfxfxf

h

Pentru x = x0, ce corespunde lui = 0 se obine: .(1.22)

(1.23)

Analog se pot obine aproximri pentru derivatele de ordin mai mare.

(1.20)

)....](5

1)(

4

1)(

3

1)(

2

1)([

1)(' 0

50

40

30

200 xfxfxfxfxfh

xf ++

+ ..).........(

6

5)(

12

11)()(

1)(" 0

50

40

30

220

xfxfxfxfh

xf

++ ...........)(

4

7)(

2

3)(

1)( 0

50

40

330

)3( xfxfxfh

xf


58/98

58

3.1.2: Exemplu: Folosind formulele de derivare (1.21-1.23) cu diferente

finite, s se determine derivatele de ordinul I , II pentru funcia

1

1)(

2+

=x

xf i nodurile x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1

Pentru a putea compara rezultatele, construim doutabele, unul cu derivata i

derivata a doua a funciei f(x) i cel de-al doilea tabel cu aproximrile

derivatei conform formulelor (1.21) - (1.23).

1

1)(

2+

=x

xf ; 22 )1(

2)('

+

=

x

xxf ; 32

2

)1(

26)("

+

=

x

xxf ;

42

2)3(

)1(

)1(24)(

+

=

x

xxxf

xi f(xi) f(xi) f(xi) f(3)(xi)

0 1 0 -2 0

0,2 0.9615384615 -0.369822485 -1.56463359 3.938937712

0,4 0.8620689655 -0.594530320 -0.666283980 4.453675413

0,6 0.7352941176 -0.648788927 0.06360675758 2.693933262

0,8 0.6097560976 -0.5948839976 0.4171442666 0.9554948207

1 0.5000000000 -0.5000000000 0.5000000000 0

xi f(xi) f(xi) 2f(xi)

3f(xi) 4f(xi)

5f(xi)

0 1 -0.0384615385 -0.0610079575 0.0337026056 -0.0051604258 -0.0088366595

0,2 0.9615384615 -0.099469496 -0.0273053519 0.0285421798 -0.0139970853

0,4 0.8620689655 -0.1267748479 0.0012368279 0.0145450945

0,6 0.7352941176 -0.12553802 0.0157819224

0,8 0.6097560976 -0.1097560976

1 0.5000000000


59/98

59

Atunci :f(0)

++ )0088.0(

5

1)00516.0(

4

1)0337026,0(

3

1)0610079.0(

2

1)038461.0(

2,0

1

=0.013997

f (0)

+ )0088.0(65)00516.0(

1211)0337026,0(0610079.0

)2,0(1

2 = -2.06541

Derivarea cu ajutorul polinoamelor Lagrange :

Metoda constn nlocuirea funciei cu polinomul Lagrange corespunztor i

derivarea acestuia.

3.1.3 Exemplu : Folosind polinomul de interpolare Lagrange, s se

determine derivatele de ordinul I , II pentru funcia1

1)(

2+

=x

xf i nodurile

x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1

Polinomul de interpolare Lagrange ataat funciei f este :

P(x)=

Atunci P(x) = -1.1718x4+ 1.3437x3+ 1.5999x2 2.2968 x +0.0135

P(0) = 0.0135 ; P(1) = -0.5115, analog pentru celelalte valori.

Pentru derivata a II-a se deriveazpolinomul P . Deci

P(x) = -4.6872x3+4.0311x2+3.1998x 3.2968 .

P(0)=-3.2968 ; P(1) = 2.24.

Observm c dac cretem ordinul derivatei , eroarea derivatei

numerice este mare.

Este recomandat evitarea derivrii numerice , deoarece chiar dac

aproximanta este bun, nu rezult c derivata aproximantei este o derivat

bun.

3.1.4 Exemplu :Fie functia )(sin1

)()( 2 axnn

xgxf += , unde g(x)C1[a,b]

Se observd(f ;g) 0 dacn, dar d(f ;g)=n .


60/98

60

3.2. UTILIZAREA INTERPOLRII LA INTEGRAREA

NUMERIC

n cazul cnd integrantul (funcia de sub semnul integralei) nu este o

simplfuncie, integrarea prin metode analitice este deseori dificilsau chiarimposibil. Alteori nici nu se cunoate expresia analitica funciei, ci numai o

serie de valori ale ei f(xi), pentru o diviziune xi,unde i=0,2,,n, a unui

interval [a,b]

n astfel de cazuri se caut o funcie g(x) care constituie o bun

aproximare pentruf(x)i care poate fi uor integrat:

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

Se utilizeaz n general urmtorul algoritm n cadrul metodelor numerice de

integrare:

1. Se mparte intervalul [a, b] n n subintervale cu ajutorul celor n+1

puncte ale diviziunii;

2. Se aproximeaz funcia f(x) cu un polinom g(x) , unde g(x) =

=

n

kkk xga

1)( , unde gk(x) sunt polinoame;

3. Se integreazfuncia f(x) , obinndu-se:

+=b

a

b

a

b

a

dxxrdxxgdxxf )()()(

4. Se aproximeaz integrala b

a

dxxf )( cu b

a

dxxg )( prin minimalizarea

restului r = b

a

dxxr )( .

Formulele de integrare numericse numesc cuadraturi.


61/98

61

3.2.1. Cuadratura Newton - Cotes

Formula de integrare Newton Cotes utilizeaz pentru aproximarea

funciei f(x), polinoamele de interpolare Lagrange. Cele n+1 puncte ale

diviziuni xi sunt echidistante(situate la distana h) nihiaxi ,0, =+=

,

n

abh

= .

Polinomul de interpolare Lagrange corespunztor funciei f i diviziunii

nihiaxi ,0, =+= este : =

=n

iiin xlxfxP

0

)()()( , unde li(x) =

( )=

n

jj ji

j

xx

xx

00

, (polinoamele Lagrange fundamentale).

Prin urmare avem : =

=

b

a

n

iii xfAdxxf

0

)()( (formula Newton Cotes nchis),

unde Ai= b

a

i dxxl )( , i= n,0 .

Cazuri Particulare:

Cazul I Fie funcia f:[a,b]R i diviziunea ce are doar dou puncte

echidistante : x0i x1 (x1= x0+h)

Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funciei f idiviziunii este:

P2(x) = )()( 101

00

10

1 xfxx

xxxf

xx

xx

+

= )()( 1

00

0 xfh

xxxf

h

hxx

+

=

= [ ]

++ )()()()()( 1

00

0001 xfh

xxf

h

xxfxfxf

h

x

Din 1.2.7 Eroarea de interpolare este :R2(x)= ))((!2

)(10

)2(

xxxx

f x


62/98

62

Atunci : +=1

0

1

0

1

0

)()()( 22

x

x

x

x

x

x

dxxRdxxPdxxf =

= [ ]+

++

hx

x

dxxfh

xxf

h

xxfxfxf

h

x0

0

)()()()()( 10

00

001 +

++

hx

x

x xxxxf0

0

))((!2

)(10

)2(

Atunci

[ ]+

++

hx

x

dxxfh

xxf

h

xxfxfxf

h

x0

0

)()()()()( 10

00

001 = [ ]0

02

01 2)()(

1

x

hxxxfxf

h

+ +

=0

01

0

0

00

0

0

00 )()()( x

hxxxf

h

x

x

hxxxf

h

x

x

hxxxf

+

++

+ =

= [ ]( ) )()()(2)()(21 100002

001 xfxxfxxfhhhxxfxfh +++ =

= [ ])()(2 01

xfxfh

+

Deoarece putem spune cx0= a i x1=b , atunci :

(formula trapezului)

Evaluarea restului formulei trapezului

+==b

a

xb

a

b

a

xx dxabbxaxxf

bxaxf

bxaxf

)(2

)("))((

2

)("))((

!2

)( 2)2(

=

12

)("

12

)()("

6

33

2

)(" 332233 hfabfbaabbaf xxx =

=+

Dacnotm cu M2= sup{f(x); x[a,b]}, atunci putem scrie:

(eroarea pentru formula trapezului)

Cazul II Fie funcia f:[a,b]R i diviziunea ce are trei puncte

echidistante : x0, x1i x2 (x1= x0+h, x2= x0+2h) sau (a ,2

ba+ , b)

[ ] +

b

a

afbfab

dxxf )()(2

)(

12)(

12)(

33

2 abMhMxR =


63/98

63

Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funciei f i

diviziunii este:

P3(x) = )())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((2

1202

101

2101

200

2010

21 xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxx

+

+

= )()(2)()(

)()()(

)2()(

22110

2

12020

2

02121

2xf

hhxxxxxxxf

hhxxxxxxxf

hhxxxxxx +++

+++

++

Integrnd polinomul P3(x) obinem :

[ ] ++=b

a

xfxfxfh

dxxP )()(4)(3

)( 2103 , deci

(formula lui Simpson)

Evaluarea restului formulei lui SimpsonAnalog ca la formula trapezului, obinem

Unde M=sup{f(4)(x), unde x[a,b]}

3.2.2. Exerciiu : Folosind formula trapezului, apoi formula lui Simpson, s

se calculeze valoarea aproximativ a integralei 3

1 xdx , de unde s se deduc

valoarea aproximativa lui ln3.RezolvareCu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem

3ln1ln3ln1

3ln

3

1

=== xxdx

Din formula trapezului deducem c

[ ] 33333,134

1

1

3

1)1()3(2

133

1=

+=+

ffx

dx

Din formula lui Simpson obinem :

[ ] 11111,19

10

3

1

2

4

1

1

6

2)3()2(4)1(

3

133

1

=

++=++

fffx

dx

+

++

b

a

bfba

fafab

dxxf )(2

4)(6

)(

2880

)(

90)(

55

3

abMhMxR

=


64/98

64

Se tie c ln3= 1.0986122........ , deci metoda lui Simpson aproximeazmai bine rezultatul.

3.2.3. Exerciiu : S se calculeze valoarea aproximativ a integralei +

1

021 x

dx

folosind metoda trapezului, respectiv metoda lui Simpson.Rezolvare:Din formula trapezului deducem c

[ ] 75,04

3

2

1

1

1

2

1)1()0(

2

1

1

1

02

==

+=+

+ff

x

dx

Din formula lui Simpson deducem c

[ ] 7833333,05.02.31

1

6

1)1()5,0(4)0(

6

1

1

1

02

=

++=++

+fff

x

dx

Cu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem 78540,011

1

02 ==+ arctgx

dx


65/98

65

Capitolul IV

CONSIDERAII METODICE I METODOLOGICE

4.1. ASPECTE GENERALE

Procesul de nvmnt este principalul subsistem al sistemului de

nvmnt, n cadrul cruia se realizeaz instruirea i nvarea elevilor i

studenilor prin intermediul activitilor proiectate, organizate i dirijate de

ctre profesori n conformitate cu anumite norme i principii didactice, ntr-un

context metodic adecvat, apelnd la resurse materiale i didactice adecvate, n

vederea atingerii dezideratelor educaiei.

Schematic relaia funcional dintre sistemul de educaie, sistemul de

nvmnt, procesul de nvmnt se reprezintastfel:

Sistemul de educaie cuprinde i educaia permanent, instituii/organizaiieconomice, politice, culturale; educaie de tip formal, nonformal, informal;

Sistemul de invamntcuprinde i instituii de educaie nonformal(cluburi,

tabere, centre de pregtire profesional);

Societate

Sistemul de educaie

Sistemul de nvmnt

Sistemul colar

Procesuldenv mnt


66/98

66

Sistemul colar cuprinde nvmntul primar, secundar, postliceal, superior

i special; educaie formal;

Procesul de nvmntcuprinde activitile didactice/educative;

Procesul de nvmnt funcioneaz ca o unitate, prin mbinarea

fireasc i necesar a trei funcii i componente fundamentale: predarea,

nvarea i evaluarea.

A preda nu nseamnca profesorul stransmit informaii, iar elevii s

le reproduc. A preda nseamn a organiza i dirija experienele de nvare

colar (Chi 2001). Mai putem spune c predarea este activitatea

profesorului de organizare i conducere a ofertelor de nvare, care au drept

scop facilitarea i stimularea nvrii eficiente la elevi.n procesul de predare-nvare, profesorul combindiferite mijloace de

comunicare (verbale, nonverbale i paraverbale, grafice, scheme realizate pe

tablsau slide-uri puse la retroproiector etc).

Doi cercettori americani (A. Mehrabian i M. Weiner, Decoding of

inconsistent communication) au constatat, pe la mijlocul anilor '70, c,n

comunicarea oral impactul cel mai mare l dein nu cuvintele, ci elementele

asociate vizual sau sonor cu anumite mesaje orale. Astfel: mijloacele vizuale (cuprind att elemente nonverbale ale comunicrii

mimic, gesturi, privire, poziie -, ct i modalitile de

reprezentare vizuala celor prezentate scheme, grafice, folii, slide-

uri etc.) au un impact de 55% asupra asculttorilor;

mijloacele vocale (ritmul vorbirii, volum, intonaia i inflexiunile

vocii) au un impact de 38%;

mijloacele verbale (cuvintele rostite) au un impact de doar 7%.

Chiar dac aceste procente reflect doar o medie a felului n care

oamenii percep mesajele orale, este important pentru un profesor s

foloseascmijloace vizuale i vocale care ssusini sntresc, n folosul

elevilor, cele comunicate.


67/98

67

Mijloacele de comunicare vizualce stau la ndemna profesorului sunt:

tabla neagr tradiional i, mai modern, cea alb, planele din hrtie sau

carton, videoproiectorul etc. Avantajele folosirii acestor mijloace este c

permit o mai bunpunere n evidena mesajului:

mesajul este vizualizat mai simplu;

informaia este expuspermanent;

contureaz mesajul verbal, acceantund punctele importante ale

temei discutate.

Subsumate vizualului, mijloacele nonverbale ale comunicrii au un

impact deosebit n relaiile ce se creeaz ntre colocutori. ntre acestea

contactul vizual cu auditoriul (n cazul unei prelegeri) sau cu partenerul decomunicare (n cazul dialogului) are un rol deosebit. E important spriveti

spre cel/cei cruia/crora te adresezi, nu s evii contactul vizual cu acetia,

plecnd ochii n pmnt sau inndu-i privirea spre un punct oarecare. De

asemenea, gestica i mimica trebuie controlate, pentru a nu induce

auditoriului anumite stri emoionale pe care le ncearc vorbitorul (un

profesor care frmntun creion, o carte toatora distrage frsvrea atenia

elevilor asupra strii sale proprii de iritare, emoie, nelinite, nesiguranetc;

de asemenea, un profesor care nu-i poate controla reaciile mimice fa de

rspunsurile greite ale elevilor poate crea inhibiii; de asemenea, ticurile de

expresie pot genera distragerea ateniei de la tem i chiar enervarea i

amuzamentul elevilor).

ntre elementele vocale/paraverbale, sunt importante ritmul /viteza

vorbirii (un ritm prea rapid poate crea dificulti n receptarea mesajului, de

asemenea un ritm prea lent poate fenera plictiseali neatenie; aproximativ

125 de cuvinte pe minut este ritmul eficient); acceantuarea trebuie svizeze

punctarea cuvintelor importante ale comunicrii (accentuarea poate schimba

uneori sensul comunicrii); tonalitatea nu trebuie s fie ridicat, ci medie


68/98

68

(uneori pentru a nelege zumzetul clasei, se folosete chiar tonalitatea optit,

care impune atenia clasei).

ntrebrile deschiderea dialogului cu elevii

Gnditorul chinez Confucius (551-479 .C.), preocupat de educaie,

formula cteva precepte care ar putea constitui o concluzie la cele prezentate

mai sus i o introducere pentru rolul pe care-l are dialogul n nvtare:

Spune-le i vor uita!

Arat-le i i vor aminti!

Pune-i sfaci vor nelege!

,,Pune-i s fac se refer desigur la implicarea elevilor n propria

nvare. Pentru a-i determina pe elevi sgndeasc, srezolve probleme, sgsescsoluii, profesorul trebuie sgsescstrategii de a-i implica pe elevi

n nvare i de a gestiona n mod adecvat astfel de situaii didactice.

4.2. METODE DE PREDARE - NVARE

Metodele de nvare sunt scheme de aciune identificate de teoriile nvrii;

ele sunt aplicate coninuturilor disciplinei studiate i reprezintaciuni interiorizate

de elev.

Exist mai multe modaliti de clasificare a metodelor, dintre acestea

prezentm metodele traditionale, clasice i cele moderne.

La metodele tradiionale centrul aciunii este pus pe profesor: centrate pe

activitate(exerciiul, instruirea programat, algoritmizarea) sau centrate pe

coninutul nvrii(prelegerea, explicaia , povestirea).

La metodele moderne, centrul aciunii este pus pe elev: centrate peactivitate(lucrri practice, nvare prin descoperire, nvare prin experiment,

jocuri didactice, simulare) sau centrate pe coninutul nvrii(dezbatere,

conversaie, dialog).


69/98

69

Noile programe analitice ncurajeazutilizarea metodelor moderne, dar nu

trebuie lsate deoparte nici metodele tradiionale. Este recomandat mbinarea

celor doumetode.

n cele ce urmeaz vom detalia cteva metode didactice pe care le

consider de o importan deosebit n procesul educaional, datorit faptului

celevii le ndrgesc i neleg mai bine noiunile predate astfel.

4.2.1. Instruirea asistat de calculator (IAC) reprezinta o metoddidactic ce folosete, ca principal material didactic, calculatorul i soft-ul

educaional.

n ultima perioadtoate colile au fost dotate cu laboratoare informatice,

dotate cu platforma AeL (Advance eLearning).AeLeste un pachet de programe educaionale creat de firma SIVECO i

ofer suport pentru predare i nvare, testare i evaluare, administrarea

coninutului i monitorizarea ntregului proces educaional. AeL este o soluie

modernde eLearning oferind faciliti de gestionare i prezentare de diferite

tipuri de coninut educaional precum i materiale interactive tip multimedia.

Aproape fiecare disciplinare pachete de lecii n biblioteca virtual. Periodic

acestea sunt actualizate, mbuntite de ctre SIVECO, iar n absena lor, elepot fi create de ctre profesorii care au un minim de cunotine n domeniul

htmlsau Office.

,,Vrem s i oferim profesorului o unealt n plus pentru a o utiliza

alturi de tabli o bucata de cret. - tefan Morcov, AeL product Manager.

Leciile n AeL se desfoarastfel:

- Elevii i profesorul deschid calculatoarele i intrn programul AeL cu

user-ul i parola pe care au primit-o anterior;

- Din meniul: Clasa Virtual, profesorul alege lecia creat anterior pe

care dorete so predea, dupcare transmite momentele leciei;

- Elevii acceseazmeniul ClasVirtuali vor primi momentele leciei.


70/98

70

Momentele leciei pot fi materiale interactive, documente word, slide-uri

powerpoint, filmulee educative, teste etc.

Avantajul acestei metode, constn faptul celevii nu pot trece la un nou

moment pnce nu au rezolvat corect cerinele momentului respectiv, iar la

rezolvarea unui test primesc rezultatul pe loc.

Dezavantajul constcelevii nu rmn cu multe notie i de aceea este

recomandat a se utiliza aceastmetodpentru fixarea cunotiinelor .

De asemenea, calculatorul poate fi folosit concomitent cu

videoproiectorul. Astfel se poate crea lecia n powerpoint i apoi se prezint

elevilor. Ei pot primi fie cu momente din lecia respectiv, economisindu-se

timp important. Astfel noiunile i figurile sunt mult mai clare dect pe tabli elevii sunt mult mai ateni.

Pentru geometria n spatiu exit un program Cabri 3D, creat de

compania francez Cabriolog. Cu ajutorul acestui program se pot construi

toate corpurile geometrice, se pot manipula aceste corpuri, se pot seciona, se

pot duce segmente, drepte, vectori n spaiu . Se pot explica uor elevilor de

gimnaziu noiuni dificile de geometrie, cum ar fi: perpendicularitate n spaiu,

perpendicularitate pe un plan, unghi diedru. Dezavantajul acestui programeste acela ceste destul de scump, dar poate fi ncercat 30 de zile.

Despre programele Matlabi Mapleam mai amintit n aceast lucrare.

Ele sunt folosite mai mult n matematicile superioare, dar mai pot fi utilizate

i n rezolvarea unor exerciii i probleme de liceu. Se pot folosi pentru

trasarea graficelor unor funcii, pentru calcul matricial, pentru rezolvarea unor

ecuaii i sisteme de ecuaii etc.

Internetul este o surs foarte important de informaii pentru elevi i

profesori. Informatizarea colilor i conectarea acestora la internetul de vitez

este un vis realizat ntr-o procent destul de mare. Chiar i colile din mediul

rural au laboratoare cu calculatoare legate la internet.


71/98

71

De pe internet cadrele didactice pot sse informeze i sse documenteze.

Pot comunica cu colegi din alte coli, din alte ri pe teme de interes comun.

Pot descrca materiale interesante, pe care le pot utiliza ulterior la clas. Pot

de asemenea s pun la dispoziia altora diferite materiale proprii. Totui

existi cteva dezavantaje: informaiile de pe internet sunt neverificate, de

multe ori neprofesioniste, elevii au uneori tendina s descarce

materialele(referate) i s le predea profesorului ca i cum ar fi creaia lor

(uneori chiar fra le fi citit), dar un profesor bun poate rezolva toate aceste

probleme cu destuluurin.

n concluzie calculatorul este un mijloc foarte util, de noi depinde ct de

eficient l folosim.4.2.2.Interdisciplinaritate

n mod tradiional, coninutul disciplinelor colare a fost conceput cu o

accentuat independen a unor discipline fa de altele, adic fiecare

disciplinde nvmnt sfie de sine stttoare. Astfel, cunotinele pe care

elevii le acumuleaz, reprezint cel mai adesea un ansamblu de elemente

izolate, ducnd la o cunoatere statica lumii. n unele cazuri la unele materii

sunt necesare noiuni teoretice de la alte materii , iar aceste noiuni teoreticesunt predate mai trziu . n alte cazuri aceleai noiuni teoretice sunt predate la

materii diferite, pierznd astfel timp preios.

Coninutul unui nvmnt interdisciplinar poate fi promovat la nivelul

planului de nvmnt, la nivelul programelor colare (prin urmrirea

legturilor ntre obiecte i prin formularea unor obiective instructiv-educative

comune), la nivelul manualelor colare i prin coninutul leciilor.

Din pcate manualele colare nu reflect caracterul interdisciplinar al

nvmntului. Se impune o corelare mai bun a programelor disciplinelor

tehnice cu programa de matematic.

De cele mai multe ori, matematica devanseaz teoretic celelalte tiine,

deschiznd drumuri, construind modele. Matematica ofer support teoretic


72/98

72

pentru multe discipline : fizic, chimie, biologie . O ecuaie matematica poate

fi o lege in chimie sau fizica. Proporiile, funciile trigonometrice, ca si alte

abstractizri ale matematicii se ntlnesc n fizici chimie la orice pas pentru

descifrarea tainelor naturii.

Interdisciplinaritatea este o forma a cooperarii intre discipline

diferite cu privire la o problematica a carei complexitate nu poate fi

surprinsa decat printr-o convergenta si o combinare prudenta a mai

multor puncte de vedere.

(C.Cucos,1996)

Pentru a utiliza aceastmetod, profesorul trebuie scunoascbine i

alt disciplin dect cea pe care o pred, s cunoasc programele colarecorespunztoare disciplinelor respective i sgseascaplicaii interesante ce

utilizeaznoiuni de la mai multe materii.

Multe noiuni matematice pot fi mai bine nelese dacsunt integrate n

alte tine. De exemplu matematica i fizica pot fi predate foarte bine

interdisciplinar. Legtura dintre cele dou materii este foarte veche, totui

pentru elevi existunele probleme n nelegerea acestor discipline :

- muli elevi, unii destul de buni la matematic, nu le place totuifizica i, pe care, daco nvao fac dintr-o obligaie ;

- ali elevi nu neleg la ce le folosesc multe noiuni teoretice din

matematic;

Este foarte important s tim s punem cunotinele de fizic n

strnslegturcu matematica, n viata de zi cu zi, sprivim evoluia acestora

prin prisma aplicaiilor lor i a vieii oamenilor.

Exemplu de interdisciplinaritate:

Stabilirea modelului matematic (funciei empirice) al procesului de

fierberea apei , utilznd aproximarea cu polinoame Lagrange:

Considerm tabelul urmtor:


73/98

73

Datele se pot obine cu ajutorul site-ului

http://www.csgnetwork.com/h2odenscalc.html ce calculeaz densitatea apei

n funcie de temperatur

Temperatura apei

(0 C)

30 60 90 120

Densitatea apei

(q Kg/m3)

995.678 983.211 965.163 942.514

Determinm polinomul Lagrange ataat nodurilor : x0= 30 ; x1= 60; x2=90;

x3=120 i funciei f(x) definittabelar astfel:

f(x0) = 995,678 ; f(x1) = 983,211; f(x2) = 965,163; f(x3) = 942,514Cu ajutorul programului Maple aflm polinomul de interpolare Lagrange P(x)

astfel:

>

P(x) =0.000006049382716 x3 0,004189444444 x2 0,0766277778 x +

+1001.584

Pentru a aprecia valabilitatea modelului matematic se determin valoarea

calculat a densitii * pentru temperatura T=1000 C i se compar cu

valoarea original, astfel :

P(100) = 958,0761, iar eroarea este : 0209,0097,9580761,958* ===

Modelul matematic al densitii n funcie de temperaturva fi := 0.000006049382716 T3 0,004189444444 T2 0,0766277778 T ++1001.584

4.2.3.Metode interactive de grup

,,nvarea n grup exerseazcapacitatea de decizie i de iniiativ, do

notmai personalmuncii, dar i o complementaritate mai mare aptitudinilor


74/98

74

i talentelor, ceea ce asigur o participare mai vie, mai activ, susinut de

foarte multe elemente de emulaie, de stimulare reciproc, de cooperare

fructuoas. (Ioan Cerghit)

Specific metodelor interactive de grup este faptul c ele promoveaz

interaciunea dintre minile participanilor, dintre personalitele lor, ducnd la

o nvare mai activ i cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate

determin,,identificarea subiectului cu situaia de nvare n care aceste este

antrenat, ceea ce duce la trans-formarea elevului n stpnul propriei

transformri i formri.

Interactivitatea presupune att competiia definit drept ,,forma

motivaionala afirmrii de sine, incluznd activitatea de avansare proprie, ncare individul rivalizeazcu ceilali pentru dobndirea unei situaii sociale sau

a superioritii - ct i cooperarea care este o ,,activitate orientatsocial, n

cadrul creia individul colaboreaz cu ceilali pentru atingerea unui el

comun(Ausubel, 1981). Ele nu sunt antitetice; ambele implic un anumit

grad de interaciune, n opoziie cu comportamentul individual.

Avantajele interactiunii:

- n condiiile ndeplinirii unor sarcini simple, activitatea de grup estestimulativ, genernd un comportament contagios i o strdanie

competitiv; n rezolvarea sarcinilor complexe, rezolvarea unei

probleme, obinerea soluiei corecte e facilitat de emiterea de

ipoteze multiple i variate; (D. Ausubel, 1981)

- stimuleazefortul i productivitatea individului;

- este important pentru autodescoperirea propriilor capaciti i

limite, pentru autoevaluare;

- exist o dinamic intergrupal cu influene favorabile n planul

personalitii;


75/98

75

- subiecii care lucreaz n echip sunt capabili s aplice i s

sintetizeze cunotinele n moduri variate i complexe, nvnd n

acelai timp mai temeinic dect n cazul lucrului individual;

- dezvolt capacitile elevilor de a lucra mpreun - component

important pentru via i pentru activitatea lor profesional

viitoare.(Johnson i Johnson,1983);

- dezvolt inteligenele multiple, capaciti specifice inteligenei

lingvistice (ce implicsensibilitatea de a vorbi i de a scrie; include

abilitatea de a folosi efectiv limba pentru a se exprima retoric,

poetic i pentru a-i aminti informaiile), inteligenei logice-

matematice (ce constn capacitatea de a analiza logic problemele,de a realiza operaii matematice i de a investiga tiinific sarcinile,

de a face deducii), inteligena spaial (care se refer la

capacitatea, potenialul de a recunoate i a folosi patternurile

spaiului; capacitatea de a crea reprezentri nu doar vizuale),

inteligena interpersonal (capacitatea de a nelege inteniile,

motivaiile, dorinele celorlali, crend oportuniti n munca

colectiv), inteligena intrapersonal (capacitatea de auton-elegere, autoapreciere corect a propriilor sentimente, motivaii,

temeri), inteligena naturalist (care face omul capabil s

recunoasc, s clasifice i s se inspire din mediul nconjurtor),

inteligena moral(preocupatde reguli,comportament, atitudini)

Gardner H. 1993;

- stimuleaz i dezvolt capaciti cognitive complexe (gndirea

divergent, gndirea critic, gndirea lateral capacitatea de a

privi i a cerceta lucrurile n alt mod, de a relaxa controlul gndirii);

- munca n grup permite mprirea sarcinilor i responsabilitilor n

pri mult mai uor de realizat;


76/98

76

- timpul de soluionare a problemelor este de cele mai multe ori mai

scurt n cazul lucrului n grup dect atunci cnd se ncearcgsirea

rezolvrilor pe cont propriu;

- cu o dirijare adecvat, nvarea prin cooperare dezvolt i

diversific

priceperile, capacitile i deprinderile sociale ale elevilor;

- interrelaiile dintre membrii grupului, emulaia, sporete interesul

pentru o temsau o sarcindat, motivnd elevii pentru nvare;

- lucrul n echip ofer elevilor posibilitatea de a-i mprti

prerile, experiena, ideile, strategiile personale de lucru,

informaiile;- se reduce la minim fenomenul blocajului emoional al creativitii;

- grupul d un sentiment de ncredere, de siguran, antrenare

reciproca membrilor ce duce la dispariia fricii de eec i curajul

de a-i asuma riscul;

- interaciunea colectivare ca efect i educarea stpnirii de sine i

a unui comportament tolerant fade opiniile celorlali, nfrngerea

subiecti-vismului i acceptarea gndirii colective (Crengua L.Oprea, 2000, p. 47)

Clasificarea metodelor i tehnicilor interactive de grup:

Dup funcia didactic principal putem clasifica metodele i tehnicile

interactive de grup astfel:

1.Metode de predare-nvare interactivn grup:

- Metoda predrii/nvrii reciproce (Reciprocal teaching Palinscar);

- Metoda Jigsaw (Mozaicul);

- STAD (Student Teams Achievement Division) Metoda nvrii pe

grupe mici;

- tiu / vreau stiu / am nvat;


77/98

77

- Metoda schimbrii perechii (Share-Pair Circles);

- Metoda piramidei;

- nvarea dramatizat;

2.Metode de fixare i sistematizare a cunotinelor i de verificare

interactivn grup:

- Harta cognitivsau harta conceptual(Cognitive map, Conceptual map);

- Matricele;

- Lanurile cognitive;

- Fishbone maps (scheletul de pete);

- Diagrama cauzelor i a efectului;

- Pnza de pianjn ( Spider map Webs);- Tehnica florii de nufr (Lotus Blossom Technique);

- Metoda R.A.I. ;

- Cartonaele luminoase;

3.Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativitii:

- Brainstorming;

- Starbursting (Explozia stelar);

- Metoda Plriilor gnditoare (Thinking hats Edward de Bono);- Caruselul;

- Multi-voting;

- Masa rotund;

- Interviul de grup;

- Studiul de caz;

- Incidentul critic;

4.Metode de cercetare n grup:

- Tema sau proiectul de cercetare n grup;

- Experimentul pe echipe;

- Portofoliul de grup.


78/98

78

n cele ce urmeaz , vom detalia cteva din aceste metode (pe care le

consider mai importante) i cum le-am aplicat la clas.

1. Metoda predrii/nvrii reciproce

Prin aceast metod, elevii sunt pui n situaia de a fi ei profesori, de a

explica colegilor rezolvarea unor probleme.

Am utilizat aceast metod astfel: la clasa a VII-a la sfritul unitii de

nvare: ,,Formule de calcul prescurtat, elevii au primit un test de evaluare.

n funcie de rezultatele acestui test, am mprit clasa n dou pri: elevii

care au obinut rezultate bune i cei care nu au obinut rezultate bune la acest

test. n urma unei trageri la sori s-au format grupe de cte doi elevi, cte un

elev din fiecare parte. Elevul-profesor are sarcina de a-l nva pe elevulcellalt toate noiunile pe care acesta nu le-a stpnit. Dup o perioad s-a

trecut la verificarea elevilor-elevi i n funcie de rezultatele acestora, au fost

notai.

Am constatat n urma verificrilor c aproape toi elevii i-au nsuit

noiunile respective. Elevii au lucrat mpreun i acas , ceea ce n mod

obinuit nu o fac. Chiar i elevii din prima grupmi-au marturisit cau neles

aceste noiuni mult mai bine.Dezavantajul const n faptul c nu toi elevii sunt interesai de aceast

metod, mai ales cei din a doua grup.

2. Metoda mozaicului (Jigsaw)

Fiecare elev are o sarcinde studiu n care trebuie sdevinexpert.

Profesorul stabilete o tem ce poate fi mprin n 4-5 sub-teme. Se

organizeaz clasa n echipe de cte 4-5 elevi, fiecare dintre acetia primind

cte o fide nvare numerotatde la 1 la 4. Fiele cuprind pri ale unui

material, ce urmeaza fi neles i discutat de ctre elevi. Se prezintsuccint

subiectul de tratat i se explic sarcinile de lucru i modul n care se va

desfura activitatea.


79/98

79

Fiecare elev studiaz sub-tema lui, acest lucru poate fi efectuat n clas sau

poate constitui o temde cas. Dupce au parcurs faza de lucru indepentent,

experii cu acelai numr se reunesc, constituind grupuri de experi. Elevii

prezintun raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc

discuii pe baza datelor i a materialelor avute la dispoziie, se adaug

elemente noi i se stabilete modalitatea n care noile cunotine vor fi

transmise i celorlali membrii din echipa iniial. Experii transmit

cunostinele asimilate, reinnd la rndul lor cunotinele pe care le transmit

colegii lor, experi n alte sub-teme.

Grupele prezintrezultatele ntregii clase. n acest moment elevii sunt gata

sdemonstreze ce au nvat. Profesorul poate pune ntrebri, poate cere unraport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecrui elev o fide evaluare.

Metoda mozaicului are avantajul c implic toi elevii n activitate i c

fiecare dintre ei devine responsabil att pentru propria nvare, ct i pentru

nvarea celorlali. De aceea, metoda este foarte utiln motivarea elevilor cu

rmneri n urm: faptul cse transform, pentru scurt timp, n ,,profesori le

conferun ascendent moral asupra colegilor.

3. Metoda LOTUS-FLOAREA DE NUFARSe d problema sau tema central care se va scrie in mijlocul

tablei/plansei. Se cere copiilor sa se gandeasca la ideile sau aplicatiile legate

de tema central;

Ideile copiilor se trec n cele 8 petale,de la A la H,in sensul acelor de

ceasornic. Cele 8 idei deduse vor deveni noi teme centrale pentru alte cate

8petale;

4. Metoda BrainstormingAceast metod nseamn formularea a ct mai multor idei-orict de

fanteziste ar putea prea acestea ca rspuns la o situaie enunat, dup

principul cantitatea genereazcalitatea. Conform acestui principiu, pentru a

ajunge la idei viabile i inedite este necesar o productivitate ct mai mare.


80/98

80

La matematicaceastmetodpoate fi aplicatastfel: se alege o sarcin

de lucru (rezolvarea unei probleme) i se solicit exprimarea tuturor ideilor

legate de rezolvarea problemei. Toi elevii trebuie s formuleze o idee

referitoare la subiectul propus i se scriu toate aceste idei pe tabl. Se face o

pauzpentru aezarea ideilor, dupcare se reiau ideile emise, pe rnd, i se

grupeaz pe categorii, simboluri etc. Se selecteaz ideile originale sau cele

mai apropiate de soluii i se pune accent pe acestea.

Avantajul acestei metode constn faptul ctoi elevii sunt implicai n

sarcina de lucru i se obin uor ideile noi i soluiile rezolvitoare.

Dezavantajele brainstormigului constau n faptul c ofer doar soluii

posibile i nu realizarea efectiv, uneori poate fi prea obositor sau preasolicitant pentru unii participani.

5. Metoda proiectului

Metoda proiectului nseamnrealizarea unui produs, ca urmare a

colectrii i prelucrrii unor date referitoare la o temanterior fixat.

Proiectul este activitatea cel mai pregnant centrat pe elev, el

ncurajeazcel mai bine abordarea integrata nvrii: elevilor li se creeaz

ocazia de a folosi, n mod unitar, cunotine i tehnici de lucru dobndite lamai multe discipline.

Elevilor de clasa a VIII-a, spre exemplu, li se cere realizarea unui

proiect despre un corp geometric studiat anterior. Acesta const n obinerea

de informaii teoretice cu privire la corpul respectiv: definiii, clasificri,

desen, formule; n aplicarea informaiilor teoretice n aplicaii practice,

precum i realizarea modelului corpului respectiv din diferite materiale (lemn,

carton, fier).

Avantajul const n faptul c elevii neleg mai bine noiunile despre

corpul respectiv, observ utilitatea noiunilor predate i modelele corpurilor

realizate de elevi sunt utilizate mai trziu la alte clase (astfel obinndu-se

material didactic unele corpuri astfel realizate sunt chiar excepionale).


81/98

81

6. Metoda tiu/vreau stiu/am nvat

Cu grupuri mici sau cu ntreaga classe trece n revistceea ce elevii

tiu deja despre o anumit tem i apoi se formuleaz ntrebtri le care se

ateptgsirea rspunsului n lecie.

Pentru nceput li se cere elevilor sfaco listcu tot ce tiu despre tema

ce urmeaz a fi discutat, iar profesorul construiete pe tabl un tabel cu

uirmtoarele coloane: tiu/vreau stiu/am nvat, cum este cel de mai jos:

TIU

(Ce credem ctim)

VREAU STIU

(Ce vrem stim)

AM NVAT

(Ce am nvat)

Profesorul cere perechilor sspunce au scris i noteazn coloana din

stnga informaiile cu care tot grupul este de acord.

Folosind aceeai metodelevii vor elabora o listde ntrebri.

Profesorul noteaz n a doua coloan a tabelului ntrebrile. Aceste

ntrebri vor evidenia nevoile de nvare ale elevilor n legtur cu tema

abordat.

Elevii citesc textul individual sau cu un coleg sau profesorul l citete

elevilor.

Dup lectura textului, se revine asupra ntrebrilor formulate n a doua

coloan, se constatla care s-au gasit rspunsurile n text i se trec n coloana

Am nvat.

Elevii vor face comparaie ntre ceea ce ei cunoteau deja despre tema

abordat, tipul i coninutul ntrebrilor pe care le-au formulat i ceea ce ei au

nvat prin lecturarea textelor.

Elevii vor discuta care din ntrebrile lor au gsit rspuns prin

informaiile furnizate de text i care dintre ele nc necesit un rspuns.

Profesorul discutcu elevii unde ar putea cuta respectivele informaii.


82/98

82

7. Prelegerea din perspectivmodern

Prelegerea este fr ndoialcea mai frecvent alegere ntr-o abordare

tradiional. Aceast abordare este de obicei puin eficientpentru nvare.

Cu puin ,sare i piper prelegerea poate fi recondiionat ns, i introdus

ntr-un demers didactic modern, centrat pe achiziiile elevului. Din aceast

perspectiv, profesorul trebuie sse ocupe de:

stimularea interesului elevilor prin :

- intrarea n prelegere prin intermediul unei poante, poveti, imagini

captivante i n deplinrelaie cu ceea ce urmeazsfie predat prin

intermediul prelegerii;

- prezentarea unei probleme/studiu de caz pe care se focalizeazprezentarea;

- lansarea unei ntrebri incitante (astfel nct elevii s fie ateni la

prelegere pentru a afla rspunsul).

aprofundarea nelegerii elevilor prin :

- folosirea de exemple i analogii pe parcursul prezentrii;

- dublarea verbalului cu alte coduri (oferirea de imagini, prezentarea

cu ajutorul videoproiectorului)

implicarea elevilor pe parcursul prelegerii prin ntreruperea

prelegerii

- pentru a incita elevii se vor oferii exemple, analogii, experiene

personale

- pentru a da rspunsuri la diferite ntrebri

evitarea unui punct final la final !

- ncheierea prelegerii prin intermediul unei probleme/aplicaii care

urmeazsfie rezolvate de elevi

- solicitarea elevilor pentru a rezuma cele prezentate sau pentru a

concluziona.


83/98

83

4.3. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

La orele de matematic, una din activitile principale const n

rezolvarea de probleme.

,,A avea (sau a-i pune) o problemnseamna cuta, n mod contient,

o aciune adecvat pentru a atinge un scop clar conceput, dar nu imediat

accesibil. A rezolva o problemnseamna gsi o astfel de aciune.(G.Polya)

O problem prezint un anumit grad de dificultate. Dac ne raportm

doar la experiena celui care este pus srez

Documents

Lucrarea de Grad1 -Interpolare