Lpm Matematicas Vol1 3 Ayudaparaelmaestro

8/11/2019 Lpm Matematicas Vol1 3 Ayudaparaelmaestro

1/217

3erGrado

VolumenI

USTITU

IR

MATEMTICAS

3er GradoVolumen I

II

III

MATEMTICAS

Libroparaelmaestro

Libroparaelmaestro

L i b l t


2/217

Libro para el maestro

3er GradoVolumen I

III

MATEMTICAS


3/217


4/217

Introduccin al modelo pedaggico renovado

La enseanza y aprendizaje de las Matemticas en TelesecundariaLa tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria

C I N C O SU G ER EN C I A S PA R A EN SE A R EN LA TELESEC U N D A R I A

1 Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas

Pistas didcticas

Mapa-ndice

Clave de logos

BLOQUE 1

SECUENCIA1 Productos notables y factorizacin

SECUENCIA2 Tringulos congruentes y cuadrilteros

SECUENCIA3 Entre rectas y circunferencias

SECUENCIA4 ngulos en una circunferencia

SECUENCIA5 Problemas con curvas

SECUENCIA6 La razn de cambio

SECUENCIA7 Diseo de experimentos y estudios estadsticos

BLOQUE 2

SECUENCIA8 Ecuaciones no lineales

SECUENCIA9 Resolucin de ecuaciones por factorizacin

SECUENCIA10 Figuras semejantes

SECUENCIA11 Semejanza de tringulosSECUENCIA12 ndices

SECUENCIA13 Simulacin

Examen bloque 1

Examen bloque 2

Bibliografa

4

12

20

22

24

26

28

30

32

34

38

43

44

46

66

74

82

92

96

108

122

124

134

146

152

162

178

190

204

216

ndice


5/2174 L ib ro para e l maest ro

PresentacinLa trayectoria de la Telesecundaria no ha sido ajena al avance de las

tecnologas de la informacin y la comunicacin y a las enormes

posibilidades que dichas tecnologas han abierto para la educacin. La

renovacin del modelo pedaggico ofrece, en esta tradicin innovadora, la

posibilidad de trabajar de manera flexible con los programas de

televisin, adems de enriquecer la interaccin en el aula al incluir los

recursos informticos, materiales en audio, as como materiales impresos

diversos y renovados, de acuerdo con las necesidades de un sistema

educativo que prepara a sus alumnos para producir y utilizar diferentes

tipos de conocimientos y herramientas conceptuales, analticas y

culturales, para operar de modo competente en un medio complejo y

dinmico.

La renovacin del modelo pedaggico de la Telesecundaria insiste en que

el alumno encuentre mltiples oportunidades y maneras para expresar lo

que sabe y acercarse a lo que no sabe; situaciones en las que pueda

desplegar sus ideas y conocer las de los dems. Para lograr esto, las

actividades propuestas requieren la colaboracin entre los participantes,

la consulta a diferentes fuentes y la participacin en situaciones deaprendizaje variadas, as como usos diversos de la lectura y la escritura, el

desarrollo de un pensamiento lgico-matemtico, la comprensin del

mundo natural y social, la formacin en valores ticos y ciudadanos y la

creatividad.

Con base en lo anterior, se introducen nuevos materiales y actividades de

aprendizaje que fomenten la consulta de varias fuentes, la discusin, la

comparacin de textos, la integracin de diferentes formas de

representacin (imagen, sonido, grficos, texto, mapas, entre otros), y el

uso de herramientas digitales para la exploracin y la verificacin deconjeturas.

La relevancia de los contenidos escolares para la vida de los alumnos de

Telesecundaria y la necesidad de crear situaciones de aprendizaje en las

que la experiencia y el conocimiento de los alumnos son relevantes y

tiles para participar en la clase, constituyen desde luego el principal

punto de partida de la renovacin.

Introduccin al modelopedaggico renovado


6/2175L ib ro para e l maest ro

La organizacin pedaggica en el aulaEn la nueva propuesta pedaggica para Telesecundaria, la actividad en el

aula se organiza en secuencias de aprendizaje que duran entre una y dos

semanas; las secuencias abarcan un cierto nmero de sesiones,

dependiendo de la asignatura. Cada secuencia se articula en torno a la

realizacin de un proyecto, la resolucin de una o varias situaciones

problemticas o el anlisis de un estudio de caso, que ponen en juego el

tratamiento de varios contenidos de los Programas de estudio 2006 para

la educacin secundaria, y al menos uno de sus mbitos o ejes

transversales. El trabajo por proyectos, estudios de caso o la resolucin de

situaciones problemticas permiten combinar el desarrollo de

competencias con la atencin a algunas necesidades de los adolescentes,

tanto en el contexto personal como en el social/comunitario.

El cambio de sesiones diarias a secuencias de una o dos semanas permite

disponer del tiempo necesario para el trabajo alrededor de las situaciones

problemticas, proyectos temticos, o estudios de caso, cuya realizacin

exige la elaboracin de productos y la discusin de los mismos ante el

grupo. Otra de las razones de esta modificacin tiene que ver con la

necesidad de ampliar el tiempo para profundizar en la comprensin, lareflexin y la elaboracin de conceptos y nociones, lo cual permite ofrecer

mayores oportunidades para el aprendizaje.

Se pretende que las secuencias de aprendizaje cumplan con los siguientes

propsitos educativos:

1. Centrarse en el aprendizaje ms que en la enseanza, y en el alumnoms que en la disciplina.

Proporcionar acceso a fuentes de informacin y recursos variados,

impresos y tecnolgicos, as como a diferentes formas de

representacin de ideas, situaciones y conceptos.

Presentar los contenidos de manera lgica y darle prioridad al

tratamiento a profundidad sobre el extensivo.

Centrar el tratamiento temtico en el desarrollo de nociones,

habilidades y actitudes para la comprensin de conceptos centrales.

Utilizar, como referencia, los conocimientos e intereses de los

alumnos.



2. Promover la interaccin en el aula y propiciar la participacin reflexivay colaborativa entre los alumnos.

Ampliar las prcticas lectoras y de escritura.

Contener actividades que permitan a los alumnos dar explicaciones

ordenadas, formular argumentos lgicos, hacer interpretaciones

fundamentadas y realizar anlisis abstractos.

3. Presentar un proceso de evaluacin que constituya una herramientaque oriente las decisiones del docente y de los alumnos.

Responder a una demanda social e interinstitucional de certificar los

conocimientos curriculares previstos por asignacin de calificaciones.

Reconocer los diferentes modos de representacin en que se

pueden expresar los procesos de produccin de conocimiento y el

lugar propicio para su evaluacin.

4. Establecer estrategias claras de vinculacin con la comunidad.

Incorporar el enfoque intercultural en los contenidos, discurso y diseo.

El papel del docente en el modelorenovadoEl mdulo pedaggico renovado de Telesecundaria busca ampliar las

prcticas de los docentes para que puedan:

Fomentar discusiones en el aula que impliquen razonamientos complejos.

Llevar a cabo actividades de aprendizaje que promuevan la discusin,

el planteamiento de preguntas autnticas y la bsqueda de respuestas,

el anlisis y solucin de problemas, la elaboracin de productos

culturales.

Integrar las participaciones de los alumnos para concluir, cuestionar y

construir andamiajes, a fin de que stos transiten hacia entendimientos

ms profundos.

Trabajar con una multiplicidad de materiales didcticos (impresos,

digitales, de audio y video), utilizndolos de tal modo que tengan

relevancia y sean significativos para el aprendizaje.

Reconocer los avances y aprendizajes de sus alumnos, as como los

aspectos que requieren mayor reflexin.

Es necesario concebir la transformacin de la prctica docente en la

Telesecundaria como un proceso paulatino, que permita a los docentes

reconocer y recuperar logros alcanzados y aprender de los errores

cometidos. Para apoyar al maestro, los nuevos materiales didcticos



aportan elementos que favorecen un proceso gradual de mejora continua,

en el cual se articulen materiales educativos, actividades y formas de

participacin novedosas de los maestros y los alumnos.

La evaluacin en el modelo renovadoDesde el modelo pedaggico renovado se propone considerar que laevaluacin es parte del proceso didctico y que significa para los

estudiantes una toma de conciencia de lo que han aprendido y, para los

docentes, una interpretacin de las implicaciones de la enseanza de esos

aprendizajes.

A la hora de reflexionar sobre la evaluacin, se aplican los mismos

interrogantes que a la hora de pensar las actividades de aprendizaje y su

valor en la construccin del conocimiento. Planteamos que la evaluacin

tiene que ver ms con la produccin de conocimientos que con lareproduccin de ellos, y por lo tanto requiere actividades que promuevan

la revisin crtica de lo aprendido y de las actividades realizadas.

La evaluacin, planteada desde esta perspectiva, favorece en los alumnos

el mejoramiento de sus producciones y proporciona a los docentes la

oportunidad de mejorar su prctica y crecimiento profesional. En el

modelo renovado de Telesecundaria, en trminos generales se propone:

1. La evaluacin del aprendizaje a partir de los diferentes modos derepresentacin y expresin del conocimiento (ensayos, elaboracin de

proyectos, anlisis de fuentes, resolucin de casos, entre otras).2. La incorporacin de opciones de evaluacin inspirados en pruebas

estandarizadas a las que los alumnos tienen necesariamente que

enfrentarse a lo largo de su vida escolar.

3. La evaluacin del desempeo de los alumnos en su participacin en lasolucin de problemas, la elaboracin de proyectos, la utilizacin del

pensamiento de nivel superior, el despliegue de estrategias de

razonamiento en situaciones reales, las prcticas sociales del lenguaje

y los productos alcanzados.

4. La evaluacin entre pares: esto permite a los estudiantes, ver, juzgar yaprender del trabajo de los dems, basndose en los criterios

definidos. La definicin de criterios puede centrar la discusin durante

la clase y el anlisis del trabajo realizado por el grupo. Cuando se

logra que los estudiantes participen en el establecimiento de los

criterios a partir de los aprendizajes esperados, les es ms fcil

comprender los aspectos importantes de un producto.

Para el caso de la evaluacin de desempeo se requiere cubrir ciertos

criterios que la conviertan en una herramienta eficaz: tener un propsito



claro, identificar los aspectos observables, crear un ambiente propicio

para realizar la evaluacin, emitir un juicio o calificacin que describa el

desempeo. Se trata de formular criterios significativos, importantes y que

los alumnos comprendan.

Dadas las caractersticas anteriores, este tipo de evaluacin consume

mucho tiempo. Por ello, en una primera etapa los mater iales renovadosproponen los lugares especficos para evaluar, as como los criterios

apegados a los aprendizajes esperados establecidos en los Programas de

estudio 2006. Se espera que, con el tiempo, los maestros puedan conocer

gradualmente las exigencias de este tipo de evaluaciones de tal manera

que establezcan el momento para realizarla, los criterios para efectuarla y

que stos puedan establecerse conjuntamente con sus alumnos.

Se pretende que el profesor se familiarice con la idea de conceder mayor

valor a los tipos ms importantes de desempeo (proyectos, portafolio,

etctera) que a los cuestionarios cortos, las pruebas objetivas o a las

tareas escolares, pues los primeros ofrecen una visin ms completa e

integrada del aprendizaje. Las orientaciones especficas van dirigidas a

que los mtodos con que se valoren los diversos tipos de informacin

evaluativa sean los ms sencillos posible y su descripcin concreta est

expuesta en los documentos particulares de cada rea acadmica.

Caractersticas de los nuevosmaterialesUn aspecto clave de la renovacin pedaggica para la Telesecundaria es la

disponibilidad de diversos materiales en el aula.

Los nuevos materiales impresos incluyen llamados a diversos tipos de

recursos: libros de consulta, libros temticos de difusin cientfica y

cultural, literatura, incluidos en las colecciones de las Bibliotecas

Escolares y de Aula; material audiovisual en programas transmitidos por

la Red satelital EDUSAT y actividades para realizar en la computadora con

capacidad de despliegue o de ejecucin. Algunos de estos materiales se

integrarn de manera gradual para llevar a cabo las actividades

propuestas por el modelo renovado.

En el material de base o Libro para el alumno se hacen invitaciones

especficas para el uso de varios recursos, y se crean tiempos curriculares

para la lectura, la consulta y el trabajo con estos materiales.



Materiales impresosLibro para el alumnoFunciona como texto articulador de recursos mltiples, impresos,

audiovisuales e informticos. Integra, en dos volmenes por asignatura, la

informacin bsica y las actividades de aprendizaje.El Libro para el alumno cuenta con un mapa de contenidos, el cual se

concibe como una herramienta que permite ver el panorama global del

curso y de sus partes, las secuencias con los temas y el uso de otros

recursos involucrados, audiovisuales e informticos, as como los aspectos

que cada asignatura considera relevantes.

Adems de las secuencias de aprendizaje vinculadas con los contenidos

programticos, se proponen sesiones al final de cada bimestre, destinadas

a la integracin de los conocimientos y a la evaluacin de los

aprendizajes. De la misma manera, se incluye una sesin introductoria queayudar al docente y alumnos a conocer sus materiales y las formas de

trabajo sugeridas para el curso.

Con base en lo planteado en los Programas de estudio 2006, las

asignaturas constan de cinco bloques o bimestres integrados por un

nmero variado de temas y subtemas. La distribucin de los contenidos en

cinco bloques por curso tiene la intencin de apoyar a los docentes en el

reporte de los avances de los logros de aprendizaje de los alumnos. El

modelo pedaggico renovado retoma esta organizacin como eje

articulador de toda la programacin.

La estructura general de las secuencias es la misma para todas las

asignaturas, si bien se introducen subttulos de acuerdo con las

necesidades especficas de cada una de ellas. Las etapas generales y las

especficas, as como su descripcin se incluyen en las introducciones de

cada volumen.

El trabajo en cada secuencia considera diferentes formas de organizacin

entre los alumnos, as como actividades que pueden realizarse en

versiones para lpiz y papel o mediante la tecnologa, con el nfasis en su

uso como herramienta para la enseanza (despliegue en aula) o bien

como herramienta para el aprendizaje (aula de medios).

Las indicaciones sobre el tipo de actividades que pueden ser realizadas con

el apoyo de recursos audiovisuales, informticos u otros impresos, as como

las formas de organizacin para el trabajo, estn claramente indicadas a lo

largo de las secuencias de aprendizaje mediante logotipos alusivos, cuya

equivalencia puede ser consultada en la clave de logos de la pgina 43.



Libro para el maestroEl Libro para el maestro reproduce, en formato reducido, las secuencias

del Libro para el alumno, con orientaciones didcticas concretas ligadas a

la secuencia, adems de ofrecer recursos y formas alternativas de abordar

los contenidos.

Este material incorpora la familiarizacin del docente con el modelo

pedaggico renovado, la propuesta de uso de la tecnologa, la

presentacin general del curso y sus propsitos, junto con la descripcin

general de las secuencias. Tambin proporciona criterios de uso para los

materiales impresos y tecnolgicos y propuestas de evaluacin.

El apartado titulado Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria,

proporciona recomendaciones didcticas generales y pistas didcticas

concretas que el docente puede desplegar para el trabajo en el aula.

Cada secuencia da inicio con un texto breve, el cual incluye informacin

general como un resumen, los propsitos de la secuencia, qu se espera

lograr y el enfoque. Un recuadro proporciona informacin referente a las

sesiones en que se divide la secuencia, los temas que se abordarn, las

destrezas y las actitudes por desarrollar, los productos esperados, los

recursos por utilizar, la relacin con otras asignaturas o secuencias, en

resumen, la informacin que cada asignatura considere relevante para

que el profesor pueda planear su trabajo y tener un panorama general de

la secuencia.

Las sugerencias y orientaciones especficas por sesiones y actividades o

grupos de actividades principian con un breve texto sobre la intencin

didctica de las mismas y el tiempo estimado para realizarlas.

Asimismo, se incorporan las respuestas a las actividades planteadas

diferenciando, cuando sea aplicable, las respuestas esperadas y el

tratamiento didctico de los errores, de las respuestas modelo y de las

libres; se incluyen ideas para el maestro sobre qu aspectos o criterios

debe considerar, en qu debe hacer nfasis, cmo orientar a los alumnos,

etctera.

Otros recursos impresosEn los materiales de base para cada una de las asignaturas se consider

el uso de otros libros. Los impresos aprovechan las colecciones de las

Bibliotecas Escolares y de Aula.



Materiales audiovisualesLa utilizacin de las Tecnologas de la Informacin y de la Comunicacin

(TIC), en el modelo renovado para Telesecundaria, considera la

actualizacin y el replanteamiento del uso de la televisin. Los nuevos

materiales audiovisuales consideran diversos elementos como

audiotextos, as como material para ser transmitido va satlite. Lainsercin de estos recursos depende del diseo didctico de cada

asignatura y secuencia.

En el apartado La tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria se

describen las caractersticas generales y los usos del material audiovisual.

Materiales informticosSon materiales para el despliegue en el aula de representaciones

dinmicas, interactivas y ejecutables de situaciones, fenmenos y

conceptos, que permitan retroalimentar el tratamiento de temas

concretos, la realizacin de actividades y generar dinmicas diversas para

las intervenciones de los alumnos.

De igual manera se aprovechan las experiencias que dan cuenta de la

insercin de las TICen el aula, entre las que destacan el proyecto de

Enseanza de las Matemticas y de la Fsica con Tecnologa (EMAT-EFIT), el

proyecto de Enseanza de la Ciencia por medio de Modelos Matemticos

(ECAMM), el proyecto de Enseanza de las Ciencias con Tecnologa (ECIT), y

Enciclomedia, como herramienta para la vinculacin y el despliegue derecursos.

La forma como se articula cada uno de estos recursos en las secuencias de

aprendizaje se aborda en la propuesta concreta de cada asignatura y en el

texto La tecnologa en el modelo renovado de Telesecundaria.



El enfoque con el cual se disearonlos nuevosmateriales para Telesecundaria considera que la resolucin de problemas

es la estrategia que permite a los alumnos apropiarse de los

conocimientos matemticos.

Aunque la resolucin de problemas ha estado presente en diversas posturas

y prcticas de enseanza, se le ha otorgado diferentes significados. Desde el

enfoque, en los nuevos materiales para Telesecundaria se asume que resolver

problemas sirve para aprender cuando los conocimientos se ponen en juegoy solucionan alguna situacin. Con ese propsito, en el libro para el alumno

se plantean situaciones problemticas.

Una situacin problemtica es aquella que representa un reto para el

alumno, es decir, que implica una solucin que no es tan sencilla como

para que resulte obvia, ni tan difcil que a sus ojos parezca imposible de

resolver. Una situacin problemtica puede tomar muchas formas: un

enunciado, una construccin geomtrica, una actividad puramente

numrica, etctera.

El alumno echa mano de sus conocimientos previos para enfrentar el retoque le plantea la situacin problemtica y producir una solucin. En este

primer acercamiento quiz no resuelva correctamente el problema o siga

procedimientos no convencionales. El maestro debe ser consciente de que

lo importante es que el alumno obtenga al menos una solucin. Despus,

el trabajo matemtico que se desarrolla en las sesiones procura acercar al

alumno a una (o varias) soluciones correctas, econmicas y en muchos

casos, convencionales. En buena medida, el desafo para el estudiante

est en reestructurar algo que ya sabe, modificndolo o amplindolo para

enfrentar el problema nuevo que le presenta la situacin problemtica.

Por ello, en este enfoque es fundamental permitir a los alumnos entrar en

accin con la situacin problemtica antes de darles la clase y

explicarles paso a paso lo que tienen que hacer; aun cuando pueda

parecer que cometen muchos errores, que les toma mucho tiempo o que

llegan a conclusiones equivocadas.

Lo anterior no quiere decir que el maestro ya no deba ensear frmulas,

definiciones o algoritmos; tampoco significa que no deba dar explicaciones

o aclarar dudas. La diferencia est en el momento en el que introduce esos

aspectos: en lugar de tomarlos como punto de partida, se pretende que se

La enseanza y el aprendizaje de lasMatemticasen Telesecundaria



aborden una vez que los alumnos hayan enfrentado la situacin

problemtica; es decir, primero ellos utilizan sus conocimientos previos

para resolver el problema y luego el docente va orientando el trabajo

matemtico hasta formalizar los nuevos conocimientos (por ejemplo,

definiendo algn concepto o dndole nombre a un procedimiento). La

ejercitacin de una tcnica de resolucin y la aplicacin de lo aprendido

siguen siendo necesarias, por lo que es conveniente dar espacios para ello.

En la perspectiva que ahora se propone, hay que considerar tambin quelos conocimientos matemticos que se ensean no estn acabados, pues

se trata de nociones que se van enriqueciendo. Por ejemplo, en la primaria

los alumnos saben que 3 478 es mayor que 976 porque su experiencia les

dice que los nmeros con ms cifras son mayores; pero si los nmeros son

0.6 y 0.325, la comparacin a partir de la cantidad de cifras ya no es un

conocimiento que pueda funcionar de la misma manera.

Por otra parte, se reconoce la importancia de la interaccin entre los

alumnos para el logro de los propsitos de aprendizaje, no slo porque

pueden apoyarse entre s para comprender el planteamiento de un

problema o intercambiar estrategias de solucin, sino tambin porque se

reconoce que el aprendizaje se produce en un medio social determinado;

por eso es condicin indispensable que existan mecanismos de

comunicacin oral, grfica o escrita, que permitan transmitir informacin

al otro y construir significados matemticos compartidos.

El papel del docente en el modelorenovadoDesde la perspectiva que orienta el diseo de estos materiales, tanto los

alumnos como los docentes se enfrentan a nuevos retos que reclaman

actitudes distintas frente al conocimiento matemtico y una revisin sobre

lo que significa ensear y aprender matemticas. Los estudiantes

aprenden matemticas resolviendo problemas que implican la

modificacin de sus conocimientos previos, y el maestro se encarga de

organizar las condiciones para que este aprendizaje tenga lugar. No se

trata slo de buscar las explicaciones ms sencillas y amenas para dar la

clase o de limitarse a plantear las instrucciones iniciales, sino de analizar



y proponer problemas adecuados para que los alumnos aprovechen lo que

ya saben y avancen en el uso de tcnicas y razonamientos cada vez ms

eficaces.

El maestro debe ocuparse de los siguientes aspectos:

seleccionar y proponer problemas interesantes, debidamente

articulados, para que los alumnos apliquen lo que saben y avancen en

el uso de tcnicas y razonamientos ms eficaces;

organizar al grupo para que los alumnos trabajen en equipos, en

parejas o individualmente; fomentar la comunicacin de

procedimientos y resultados obtenidos en el grupo;

identificar cmo interpretan los alumnos esos problemas, considerando

que los resultados diferentes no son necesariamente incorrectos, sino

que corresponden a una interpretacin distinta del problema;

asegurarse que los alumnos aprendan las nociones o procedimientosque se establecen en los propsitos de aprendizaje.

Organizacin didcticaEn el curso de Matemticas para tercer grado, los contenidos se trabajan

a lo largo de 30 secuencias de aprendizaje organizadas en 5 bloques, uno

por bimestre. En cada secuencia se aborda un contenido del programa de

matemticas en varias sesiones (de 2 a 5, dependiendo de la amplitud del

contenido que se trate).

La propuesta curricular actual considera una clase diaria de 50 minutos.

En total, son 200 clases durante todo el ciclo escolar as que se puede

dedicar ms de una clase a algunas de las sesiones para repasar temas,

continuar alguna actividad que se haya prolongado, realizar actividades

de evaluacin, etctera.

Los nuevos materiales educativos

El modelo pedaggico renovado de Telesecundaria considera el diseo denuevos materiales educativos: libro para el alumno, libro para el maestro,

materiales informticos e impresos complementarios. El propsito de

todos ellos es promover la adquisicin de los conocimientos descritos

tanto en la propuesta curricular actual como en el modelo pedaggico de

Telesecundaria, y articular la utilizacin de los mltiples recursos impresos

e informticos.


16/217



Es necesario aclarar que la estructura de las sesiones no es rgida; hay

unas en las cuales se parte de una situacin problemtica y otras que son

un repaso de sesiones anteriores.

En cada una de las sesiones se sugieren diferentes formas de organizar el

trabajo de los alumnos (individual, en parejas o en equipos, y trabajo

grupal). La importancia de alternar estas formas de trabajo se basa en elreconocimiento de que es posible aprender conocimientos matemticos

participando en actividades que son compartidas con otros.

Las sesiones tambin consideran la utilizacin de recursos multimedia en

distintos momentos, dependiendo del propsito especfico de cada

secuencia. Se proponen los siguientes recursos tecnolgicos, cuyo uso

depender de la infraestructura con la que cuente la escuela:

Recursos tecnolgicos para Matemticas

Programasde televisin

Se transmiten a travs de la red satelital Edusat; su propsito es ampliar la informacin y

diversificar los contextos desarrollados en cada una de las secuencias. Su uso y el momento

en que se presentan son optativos. La programacin y los contenidos de estos videos pueden

consultarse en la Revista Edusat. Se sealan tanto en el libro para el alumno como en el libro

del maestro.

Interactivos

Se indican en el impreso con el icono de un ratn; se utilizan en el saln de clases. Su

propsito es desarrollar ideas intuitivas sobre los contenidos, verificar respuestas y validar

hiptesis y conjeturas de los alumnos.

Trabajo en el aulade medios

Trabajo en hojas de clculo, geometra dinmica, calculadora y Logo. Permiten llevar a cabo el

trabajo colaborativo en entornos tecnolgicos. Promueven en los alumnos el desarrollo del

pensamiento lgico y el anlisis de datos mediante la resolucin de problemas. Se trabajan

en el aula de medios.

Libro para el maestroEl libro para el maestro tambin consta de dos volmenes, y en l se

reproducen, en formato reducido, las sesiones que conforman el conjunto

de las secuencias del libro para el alumno. Su propsito es ofrecerle

orientaciones didcticas para abordar los contenidos de enseanza,

desarrollar en los alumnos los conocimientos y habilidades esperados y

evaluar el aprendizaje.



Para cada una de las secuencias, usted encontrar:

Una descripcin general y los propsitos de la secuencia y de cada

sesin.

Recomendaciones para la organizacin del grupo.

Informacin respecto a los posibles procedimientos, dificultades y

errores de los alumnos ante un problema matemtico concreto y

sugerencias de cmo usted puede intervenir.

Soluciones correctas a los problemas y preguntas que se le plantean

al alumno.

Explicaciones de conceptos matemticos que pueden ayudarle en el

desarrollo de la clase.

Orientaciones para propiciar el intercambio de idas entre los alumnos y

la confrontacin de distintos procedimientos y soluciones.

Actividades para recuperar lo aprendido y formalizar los conocimientos

matemticos esperados.

Formas alternativas de abordar los contenidos, desarrollar conocimien-

tos y habilidades y evaluar el aprendizaje.

Estas orientaciones y sugerencias didcticas aparecen junto a las

actividades especficas de cada secuencia de aprendizaje.

El libro para el maestro no pretende ser un documento normativo de su

trabajo, sino un recurso que puede enriquecer sus experiencias, saberes y

estilos de enseanza para que los alumnos y sus aprendizajes constituyan,

realmente, el centro de la organizacin del trabajo en el aula.

Los recursos tecnolgicos en laenseanza y el aprendizaje de lasMatemticas

En el modelo de Telesecundaria que ha estado operando, los programasde televisin han desempeado un papel central en las actividades de

enseanza y de aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, pues adems

de ser una fuente de informacin para alumnos y docentes, otro de sus

propsitos ha sido tambin provocar intercambios de experiencias y

puntos de vista entre el docente y los alumnos.

Si bien el modelo se ha visto enriquecido con las experiencias y las

innovaciones que los docentes introducen en sus prcticas, la forma en

que est diseado limita las posibilidades de dialogar y profundizar en el

tratamiento de los contenidos matemticos.



El modelo renovado para la Telesecundaria, adems de ampliar y

diversificar el tipo de recursos tecnolgicos (materiales audiovisuales,

material informtico para el trabajo con una computadora por saln de

clases y hojas de trabajo para el aula de medios), sugiere un uso de los

recursos tecnolgicos acorde con las concepciones de aprendizaje y de

enseanza que se promueven en el enfoque: su propsito es apoyar la

realizacin de actividades centradas en la exploracin de los problemas,

la argumentacin y comunicacin de los posibles procedimientos de

resolucin, as como estimular las diversas formas de colaboracin en el

saln de clases: entre el alumno y el recurso tecnolgico, entre los

alumnos al trabajar en equipos, y entre el grupo y el docente.

La evaluacinTradicionalmente, la evaluacin se usa para medir lo que los alumnos

saben respecto de algn conocimiento y, a partir de esa medicin, se

asigna una calificacin. En el modelo que ahora se propone, la evaluacin

tiene, adems, el objetivo de identificar los logros y las dificultades en los

procesos de enseanza y aprendizaje, hacindolos evidentes a los

docentes y alumnos, con la finalidad de que se tomen decisiones

oportunas para mejorar la eficiencia de esos procesos.

Para ello, se proponen dos recursos de evaluacin: la integracin de

un portafolios del alumno y un examen escrito bimestral. Estos

instrumentos pretenden apoyar el trabajo de evaluacin, por lo que son

susceptibles de ser adaptados a las condiciones especficas del grupo dealumnos y complementados con otras prcticas validadas por la

experiencia docente.



El portafolios del alumnoConsiste en armar una carpeta para cada alumno en la que el maestro

rena algunos ejercicios. Tiene dos funciones pr incipales: por una parte,

proporcionarle informacin sobre el grado de avance del alumno de

manera constante y sin tener que esperar a que acabe el bimestre y

aplique el examen. Esto permite al docente estar en posicin de tomardecisiones efectivas y a tiempo cuando considere que hay aspectos que

los estudiantes no han comprendido o han comprendido dbilmente. Por

otra parte, los ejercicios del portafolios pueden convertirse en un insumo

ms para asignar a los alumnos la calificacin bimestral.

En cada secuencia, el maestro encontrar sugerencias de ejercicios para

integrar al portafolios, qu aspectos son importantes en ellos y

recomendaciones en caso de que los alumnos tengan dificultades.

El examen bimestralEn el libro para el maestro se presenta, al final, una coleccin de

problemas con sus soluciones para seleccionar algunos de ellos y elaborar

un examen escrito. Se recomienda darle un valor que no sea superior al

50% de la calificacin final.



La tecnologa en el modelorenovado de TelesecundariaEl papel innovador de la Telesecundariase reafirma en lapropuesta del modelo renovado que ofrece al maestro, la posibilidad de trabajar

con una gama de medios ms amplia que incluye, adems de los materiales

impresos y de televisin, recursos informticos. La inclusin del uso de la computa-

dora, materiales en audio, programas de televisin transmitidos por la red satelital

Edusat, junto con la Biblioteca de la escuela, tienen la finalidad de actualizar y

diversificar los materiales educativos disponibles para crear en el aula situaciones

de aprendizaje dinmicas, mltiples y variadas. Estos recursos se articulan a travs

del libro para el alumno: es decir, en ste, aparecen llamadas para hacer uso de los

diferentes recursos y, en puntos especficos de las secuencias de aprendizaje,indicaciones sobre cmo y cundo utilizar, entre otros, los materiales informticos,

la televisin y los audio-textos

Los recursos tecnolgicos utilizados en el modelo renovado son de dos tipos:

1. Despliegue de material interactivo y multimediatanto en pantalla grande como en Aula de medios,ambas modalidades permiten distintos tipos deactividades:

SESIONES EXPOSITORIAS Y DE DISCUSIN

presentacin de temas, contenidos, mapas conceptuales o procedimientos por

parte del profesor, con apoyo visual y acceso a fuentes de informacin comple-

mentarias,

presentacin de producciones de los alumnos (realizadas en aula de medios),y

bsqueda de informacin en fuentes digitales previamente seleccionadas.

ACTIVIDADES Y DISCUSIONES COLECTIVAS

realizacin de actividades en grupo, con participaciones individuales o porequipos pasando al pizarrn, como por ejemplo: resolucin de problemas,

realizacin de experimentos virtuales, verificacin de respuestas, validacin

de hiptesis y conjeturas, anlisis de textos, videos, datos e informacin en

general,

realizacin de actividades de produccin de los alumnos, individual o por

equipos, como por ejemplo: bsqueda y presentacin de informacin, registro

de datos, elaboracin de reportes, produccin de textos y otros materiales, y

bsqueda de informacin en fuentes digitales previamente seleccionadas.

AULADEMEDIOS

INTERACTIVO



En la asignatura de Matemticas III, volumen I se pueden men-cionar los siguientes ejemplos de uso de un material informtico:

En el Bloque 1, Secuencia 1 Productos notables y factorizacin,

Sesin 2, se le solicita al alumno que, a partir del material interac-

tivo, identifique cmo se obtiene un trinomio, como se muestra en

la pgina 17.

2. Programas de televisin por Edusat conlas siguientes caractersticas:

PROGRAMA

INTEGRADOREDUSAT

Estos programas son transmitidos por la Red Satelital Edusat, con

horarios que permiten un uso flexible para apoyar los contenidos

revisados durante una semana, se encuentran marcados en el

libro del alumno. Se debe consultar la cartelera Edusat para

conocer los horarios de transmisin y repeticiones a lo largo de

cada semana.Estos programas permiten la:

presentacin de temas desde una perspectiva integradora de

los contenidos estudiados en la semana,

ejemplificacin de conceptos a partir de contextos sociocultu-

rales cercanos a las experiencias de los alumnos,

presentacin de contextos socioculturales lejanos a las expe-

riencias de los jvenes para que puedan conocer diversas

formas de vida, e integracin de informacin proveniente de diversas fuentes.

En la asignatura de Matemticas III se puede mencionar el

siguiente ejemplo de un programa integrador:

En el libro de Matemticas III, volumen I, Bloque 2, en la Secuen-cia 11, Sesin 4 Clculo de distancias, el alumno puede, a partir

del programa 20 Medir lo que no se puede medir directamente!,

conocer la utilidad de la semejanza de tringulos para medir

distancias inaccesibles, como se muestra en la pgina 125.

Manos a la obraI. Ana y Ricardo decidieron usar algunos bloques

cuadrado azul de la figura 3.

Ricardo se dio cuenta de que con un bloque dcompletar el cuadrado de lado x.

x

x

1

1

.

CLCULO DE DISTANCIA

Lo que aprendimosUna de las aplicaciones ms tiles de la semejanza

inaccesibles a la medicin directa.

Resuelvan los siguientes problemas.

1. Los tringulos son semejantes, cunto vale x?

3cm

x

2. En la siguiente figura, si el segmento

BC es paralelo al segmento BC, en-

tonces los tringulos ABCy ABCson

semejantes. Cul criterio de semejan-

B

B'


23/217


24/217

Cinco sugerencias para ensearen laTelesecundaria

1 3 4

52




Aprender significa tomar riesgos:Lo nuevo siemprecausa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar

dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de

confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer

preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para

lograr esto son:

Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas

ocasiones las preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es

importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a

llegar a una solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar

a sus compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las

propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qu punto se

acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo,

muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que

corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea

colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden

aparecer en la clase sobre un mismo problema.

Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo

es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de

conocimientos y exper iencias. Algunos sern lectores fluidos, otros

sabrn argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarn con mucha

facilidad, otros harn clculos y estimaciones con soltura. Formar

equipos heterogneos propicia que unos puedan compartir lo que

saben con otros. Esto es particularmente til para la realizacin de los

proyectos de Ciencias, debido a

que stos integran contenidos

conceptuales, habilidades y

actitudes desarrolladas a lo

largo de un bloque o al final

del ao escolar.

Crear un ambiente de confianza1



Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando

su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situacin que

desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en

silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro

puede hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto

tiempo toma, qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que

tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo,

tambin puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar

informacin y tomar sugerencias.

Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento

a qu ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer

intervenciones ms directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlosde manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede

pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o

palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales;

tambin puede participar en algunos grupos para conocer la dinmica

del trabajo en equipo. Adems, en algunos momentos, puede orientar

el dilogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algn

contenido conceptual.

Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en

ocasiones los alumnos concluyen una actividad y despus de discutirlacon otros se dan cuenta de que les gustara modificarla. Puede resultar

de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algn

aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, dles tiempo

para reelaborar y sentirse ms satisfechos con su trabajo.

Cmo haceruna lluvia de ideas

Cmo coordinarla discusin de

un dilema moral



Es importante usar diferentes prcticasacadmicasde manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos

tipos de textos, grficas, esquemas, mapas, frmulas e imgenes;

demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar

trminos tcnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y

realizar operaciones matemticas. Las siguientes estrategias pueden servir

como lineamientos generales para la enseanza en el aula:

Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las

diferentes frmulas, grficas, mapas, tablas e imgenes que se les

presentan en los libros para el alumno, libros de las BibliotecasEscolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos

sobre por qu se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de

informacin aportan y en qu aspectos deben poner atencin para

comprenderlos mejor.

Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes, grficas,

problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de

favorecer la construccin colectiva de significados: en lugar de

utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la interpretacin

de la informacin representada, se busca construir con el grupo, con laparticipacin de todos, qu dice el texto o las otras representaciones,

qu conocemos acerca de lo que dice, qu podemos aprender de ellos

y qu nos dicen para comprender mejor nuestro mundo.

Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta consti-

tuye una situacin privilegiada para escuchar un texto y comentarlo

sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar

su significado; la lectura en pequeos grupos crea oportunidades para

que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexin personal y la

relectura de fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin

puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos.

Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar

de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensin de

los estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los

significados de los textos incluidos en las secuencias.

Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos

textos, puede modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a

dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar

a todos a empezar a escribir.

Incorporar estrategias deenseanza de manera permanente


2



Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van

escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los

escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos

y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los

ayudar a escuchar cmo se oye (y cmo se entienden) sus escritos.

Propicie la valoracin y aceptacin de las opiniones de los otros con el

fin de mejorar la composicin de textos. Modele y propicie el uso de

oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas.

Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el

conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunaspreguntas pueden promover el pensamiento crtico en los estudiantes

porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales, tambin se

involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexin de

aspectos ticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros.

Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temtica o

contenido acadmico: para ejemplificar algn tipo de expresin,

identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula

y lalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales mltiples y

la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.

Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los

alumnos, de acuerdo a la temtica o contenido acadmico.

Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo

que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces,

cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de

nuestras preguntas y dudas. Tambin se puede usar la escritura para

ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o

registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior.

En matemticas, por ejemplo, el carcter de formal o acabado delprocedimiento de solucin de un problema depende del problema que

trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicati-

vo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma

operacin es un procedimiento experto para un

problema de tipo aditivo. El conoci-

miento matemtico est en cons-

truccin permanente.

Cmo apoyar laelaboracin de resmenes

Cmo introducirotros recursos

Para hacer usodel diccionario

Cmo leerun mapa

Cmo concluirun dilogo o actividad


29/217

28 L ib ro para e l maest ro

El dilogo e interaccin entre los pares es unaparte central en el proceso de aprendizaje: la participacin con otros nosayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos

hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, or las ideas de los

dems y compararlas con las propias. Por ello, es deseable:

Fomentar la interaccin en el aula con mltiples oportunidades para

opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer

preguntas y contestar : las preguntas que se responden con s o

no, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir

las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las

preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de

respuestas que permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin

en las problemticas a tratar; tambin permiten explorar

razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems,

dan pie a un uso ms extenso de la expresin oral.

Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el

tema nuevo o lo que estn aprendiendo: en diferentes momentos de

las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abr irse dilogos,

con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros

alumnos, y con ello enriquecer y promover la construccin compartidade conocimientos.

Fomentar la interaccin en el aula


3


30/217

29L ib ro para e l maest ro

Incorporar en las actividades cotidianas los dilogos en pequeosgrupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es

ms probable que lo hagan en un grupo ms pequeo o en parejas.

Utilizar ciertos formatos de interaccin de manera reiterada, con

materiales de apoyo escritos y/o grficos para organizar actividades:

algunos ejemplos de estos formatos son la presentacin oral de

reseas de libros, la revisin de textos escritos por los alumnos,

realizacin de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno

tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de

informacin, analista, etctera).

Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden

ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del

grupo; un registro de diferentes formas de expresin o propuestas de

cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una

tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.

Cmo llevara cabo un debate

Cmo conducir unarevisin grupal de textos

Cmo conducirun dilogo grupal

Cmo coordinarla discusin de

un dilema moral


31/217


Una parte fundamental de la educacinsecundariaes aprender a utilizar recursos impresos y tecnolgicos para conocer

diversas expresiones culturales, buscar informacin y resolver problemas.

Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como

parte de la preparacin de las clases y

Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los

alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes

recursos.

Promover el uso constante de otros recursos tecnolgicos y bibliogrficos

disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede

Utilizar recursos mltiples


4


32/217


fomentarse su uso para la realizacin de los trabajos escolares y, de

contar con conectividad, para buscar informacin en Internet.

Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la

biblioteca de la escuela y la biblioteca pblica son fuentes de

informacin potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos

tecnolgicos, como los videos, los simuladores para computadora y

otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de

fenmenos o procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que

muchas veces son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de

alguna actividad experimental.

Cmo anotar referenciasde las fuentes utilizadas

Cmo introducirotros recursos


33/217


Las paredes del aula constituyen un espacioimportante para exponer diferentes recursos de consulta rpida y

constante. Por ejemplo, se puede:

Crear un banco de palabras en orden alfabtico de los trminos

importantes que se estn aprendiendo en las distintas materias. Sirven

de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus

guas, escribir pequeos textos, participar en los dilogos, etc.

Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver

algn tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para

orientar qu hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en

un texto:

Desplegar ideas en el aulapara consultas rpidas


Tratar de inferir el significado

del texto.Buscarla en el diccionario.

Preguntar al maestro

o a un compaero.

Saltarla y seguir leyendo.

QU HACER CUANDO NO SABESQU SIGNIFICA UNA PALABRA?

5


34/217


Colgar mapas, tablas, grficas, frmulas, diagramas y listas para la

consulta continua.

Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y

la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una

bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes

clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el

registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a

disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para

calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la

memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podrseleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo a

su estilo y sus intereses.

Cmo organizar labitcora del grupo


35/217


36/217


Cmo hacer una lluvia de ideas Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu

pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?).

Permita y promueva que los alumnos den su opinin, anote ideas y sugerencias y

planteen dudas.

Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada,

sus comentarios y aportaciones. Tambin puede anotar sus ideas en un procesador

de palabras y proyectarlas en la pantalla.

Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquendiferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas

cronolgicamente, agruparlas por contenido, etctera).

Resuma con el grupo las principales aportaciones.

Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.

Cmo concluir un dilogo o una actividad Hacia el final del dilogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los

participantes.

Seale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recurdele al

grupo cmo se plantearon y cmo se resolvieron.

Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales

de la actividad y de sus reflexiones.

Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestar las

entre ellos.

Anote en el pizarrn las ideas y conclusiones ms

importantes.

Cmo organizar la bitcora del grupo La bitcora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca

escribir da a da la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en elsentido de que cada alumno puede elegir qu aspecto del da comentar y cmo

comentarlo. No se trata de corregirlosino de compartir las diferentes perspecti-

vas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula.

Cada da un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar

fotografas, etctera.

Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras.

Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitcora electrnica) del grupo que

se despliegue en Internet. En la pgina www.blogspot.comse explica cmo hacerlo.


37/217


38/217


39/217


40/217

39L ib ro del maest ro

B

loque

2

SECUENCIA

SESI

N

RECURSOSTECNOLGICOS

Programas

Interactivos

Aulademedios

8.

Ecuacionesnolineales.

[124-133]

Utilizarecuacionesnolinealesparamodelarsituacionesyresolverlas

utilizandoprocedimientospersonalesuoperacionesinversas.

8.1

Elnmerosecreto

Programa13

EcuacionesconmsdeunasolucinI

(Calculadora)

8.2

Cubos,cuadradosyaristas

8.3

Mendeproblemas

Programa14

Interactivo

9.

Resolucindeecuacionesporfactorizacin.

[134-145]

Utilizarecuacionescuadrticasparamodelarsituacionesyresolverlas

usandolafactorizacin.

9.1

Cuntomidenloslados?

Programa15

9.2

Losfactoresdecero

Interactivo

9.3

Eladorno

Programa16

9.4

Apliquemosloaprend

ido

10.Figurassemejantes.

[146-151]

Construirfigurassemejantesycompararlasm

edidasdelosngulosy

deloslados.

10.1

Uncoraznmuyesp

ecial

Programa17

Interactivo

10.2

Aplicacionesdelase

mejanza

Programa18

Interactivo

11.Semejanzadetringulos.

[152-161]

Determinarloscriteriosdesemejanzadetrin

gulos.

Aplicarloscriteriosdesemejanzadetringulo

senelanlisisde

diferentespropiedadesdelospolgonos.

Aplicarlasemejanzadetringulosenelclculodedistanciaso

alturasinaccesibles.

11.1

Explorandolasemejanzadetringulos

Programa19

11.2

CriteriosdesemejanzadetringulosI

Ideadet

ringulossemejantes

(Geo

metradinmica)

11.3

CriteriosdesemejanzadetringulosII

11.4

Clculodedistancias

Programa20

Interactivo

12.ndices.

[162-177]

Interpretaryutilizarndicesparaexplicarelcomportamientode

diversassituaciones.

12.1

ElndiceNacionaldePreciosal

Consumidor

Programa21

12.2

ndicesenlaescuela

12.3

Quineselpeloteromsvalioso?

Programa22

12.4

Mssobrendices

Interactivo

13.Simulacin.

[178-189]

Utilizarlasimulacinpararesolversituacionesprobabilsticas.

13.1

Simulacin

Programa23

13.2

Aplicandolasimulacin

13.3

Simulacinytiroslibres

Programa24

Interactivo

Simulacinc

onelmodelodeurna(1)

(H

ojadeclculo)

EVALUACIN


41/217


42/217

41L ib ro del maest ro

B

loque

4

SECUENCIA

SESI

N

RECURSOSTECNOLGICOS

Programas

Interactivos

Aulademedios

21.Diferenciasensucesiones.

Determinarunaexpresingeneralcuadrtica

paradefinirelensimo

trminoensucesionesnumricasyfigurativas

utilizandoelmtodo

dediferencias.

21.1

Nmerosfigurados

Programa38

Interactivo

21.2

Lasdiferenciasenex

presionesalgebraicas

21.3

Elmtododediferencias

Programa39

21.4

Apliquemosloapren

dido

22.TeoremadePitgoras.

AplicarelteoremadePitgorasenlaresoluci

ndeproblemas.

22.1

QueselteoremadePitgoras?

Programa40

Interactivo

TeoremadePitgoras

(Geo

metradinmica)

22.2

Aplicacionesdelteo

remadePitgorasI

Programa41

22.3

Aplicacionesdelteo

remadePitgorasII

23.Razonestrigonomtricas.

Reconocerydeterminarlasrazonestrigonomtricasenfamiliasde

tringulosrectngulossemejantes,comococientesentrelasmedidas

deloslados.

Calcularmedidasdeladosydengulosdetri

ngulosrectngulosa

partirdelosvaloresderazonestrigonomtricas.

Resolverproblemassencillos,endiversosmbitos,utilizandolasrazo-

nestrigonomtricas.

23.1

Lacompetencia

Programa42

Interactivo

ngulode

elevacinydepresin

(H

ojadeclculo)

23.2

Cosenosysenos

23.3

30,45y60

Programa43

23.4

Aresolverproblemas

Interactivo

24.Laexponencialylalineal.

Interpretarycompararlasrepresentacionesgrficasdecrecimiento

aritmticoolinealygeomtricooexponencia

ldediversas

situaciones.

24.1

Crecimientodepoblaciones

Programa44

Interactivo

24.2

Interscompuesto

24.3

Grficadelaexpone

ncial

Programa45

24.4

Ladepreciacindelascosas

25.Representacindelainformacin.

Analizarlarelacinentredatosdedistintanaturaleza,peroreferidos

aunmismofenmenooestudioquesepresentaenrepresentaciones

diferentes,paraproducirnuevainformacin.

25.1

Muchosdatos

Programa46

Interactivo

25.2

Deimportanciasocial

EVALUACIN


43/217

42 L ib ro del maest ro

B

loque

5

SECUENCIA

SESI

N

RECURSOSTECNOLGICOS

Programas

Interactivos

Aulademedios

26.Ecuacionesysistemasdeecuaciones.

Dadounproblema,determinarlaecuacinlin

eal,cuadrticao

sistemadeecuacionesconquesepuederesolver,yviceversa,

proponerunasituacinquesemodeleconun

adeesasrepresenta-

ciones.

26.1

LosdiscpulosdePit

goras

Programa47

26.2

Ecuacionesygeome

tra

Interactivo

27.Conosycilindros.

Anticiparlascaractersticasdeloscuerposquesegeneranalgiraro

trasladarfiguras.

Construirdesarrollosplanosdeconosycilindr

osrectos.

Anticiparyreconocerlasseccionesqueseobt

ienenalrealizarcortes

auncilindrooaunconorecto.

Anticiparyreconocerlasseccionesqueseobt

ienenalrealizarcortes

auncilindrooaunconorecto.

Determinarlavariacinquesedaenelradiodelosdiversoscrculos

queseobtienenalhacercortesparalelosenu

naesferaconorecto.

27.1

Slidosderevoluci

n

Programa48

27.2

Cilindros

Programa49

27.3

Conos

Interactivo

27.4

Seccionesdecorte

28.Volumendelconoydelcilindro.

Construirlasfrmulasparacalcularelvolume

ndecilindrosyconos.

28.1

Tinacosdeagua

Programa50

Interactivo

28.2

Conosdepapel

Programa51

29.Estimarvolmenes.

Estimarycalcularelvolumendecilindrosyco

nos.Calculardatos

desconocidosdadosotrosrelacionadosconlasfrmulasdelclculo

devolumen.

29.1

Problemasprcticos

Programa52

Interactivo

30.Grficacaja-brazo.

Interpretar,elaboraryutilizargrficasdecajabrazosdeunconjunto

dedatosparaanalizarsudistribucinapartir

delamedianaodela

mediadedosomspoblaciones.

30.1

Interpretacindeda

tos

Programa53

Interactivo

30.2

Construccindelag

rficacaja-brazos

30.3

Comparacindedat

osmediantelagrfica

decaja-brazos

Programa54

EVALUACIN

EJE

1:

Sentidonumricoypensamie

ntoalgebraico

EJE

2:

Forma,espacioymedida

EJE

3:

Manejodelainformacin


44/217


45/217


46/217


47/217


Propsito del programa.Ejemplificar cmose deduce la regla para obtener el trinomiocuadrado perfecto que resulta de elevar unbinomio al cuadrado.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultarla cartelera para saber horario y das detransmisin.

Propsito de la sesin.Descubrir la regla para

obtener el trinomio cuadrado perfecto que resultade elevar un binomio al cuadrado.

Propsito de la actividad.Los alumnos hanutilizado anteriormente los bloques algebraicospara representar operaciones. En esta sesintambin se utilizan para que representenmultiplicaciones de binomios que se conocen comosuma de cuadrados. Es importante que efectiva-mente usen los bloques, ya que pueden ser unavaliosa ayuda para darle sentido a los productosde dichas multiplicaciones.

Sugerencia didctica.Plantee a los alumnos losiguiente: averiguar cul es la medida de los ladosde cada bloque, cul es el rea y por qu se expresaas su rea. Esto servir para que repasen algunascosas bsicas como que el resultado de multiplicarxpor xes x2, xpor 1es x. Despus puede proponera los alumnos varias actividades con los bloquesalgebraicos.

Primero pdales que formen cuadrados usandoel nmero de bloques que quieran.

Luego ponga una condicin para formarlos:utilizar cierta cantidad de bloques, por ejemplo,nueve bloques en total (pueden ser de cualquiertamao).

Agregue otra condicin: utilizar una cantidadexacta de cada uno de los bloques, por ejemplo,uno azul, cuatro rojos y 16grises. Tambinplantee cantidades de bloques con las que esimposible construir un cuadrado, por ejemplo,uno azul, tres rojos y nueve grises. Dles unos

minutos para intentar formarlo y luego pdalesque agreguen la menor cantidad de bloques quesean necesarios para poder formar un cuadrado.

Es importante que para cada cuadrado que formencon los bloques escriban expresiones querepresenten la medida del lado y la del rea.

12

SECUENCIA 1

En esta secuencia descubrirs procedimientos simplificados para

efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar

los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.

A FORMAR CUADRADOS

Para empezarLos bloques algebraicos son una herramienta que permite representar operaciones con

expresiones algebraicas. En la secuencia 12 de Matemticas II, volumen I los usaste paramultiplicar polinomios; ahora, te ayudarn a encontrar, de manera simplificada, el resul-

tado de elevar al cuadrado un binomio .

Recorta los Bloques algebraicosdel anexo 1 Recortables y pgalos en cartn.

Con bloques de reas x2, xy 1forma cuadrados de diferente tamao e identifica la ex-

presin algebraica que corresponde a la medida de sus lados como se muestra en las dos

figuras siguientes.

SESIN 1

Productos notablesy factorizacin

x+ 1

x 1

A = x2+ x+ x+ 1= x2+ 2x+ 1

x+ 2

x 2

A = x2+ 2x+ 2x+ 4= x2+ 4x+ 4

Encuentra el trinomio que representa el rea de los dos cuadrados siguientes.

: :

Eje

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las operaciones.

Subtema

Operaciones combinadas.

Antecedentes

En Matemticas II, los alumnos estudiaron

expresiones algebraicas equivalentes y las

resolvieron utilizando la propiedad distributi-

va, tambin hicieron algunas factorizaciones

en problemas de clculo de reas. En esta

secuencia se pretende que calculen,

simplifiquen o factoricen productos notables,

tanto para que sean capaces de expresar

situaciones algebraicamente, como para que

puedan resolverlas.

Propsitos de la secuencia

Efectuar o simplificar clculos con expresiones algebraicas tales como:

(x+ a)2; (x+ a) (x+ b); (x+ a) (x a).

Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2+ 2ax+ a 2 ; ax 2+ bx ; x 2+ bx+ c ;x 2 a 2.

Sesin Propsitos de la sesin Recursos

1

A formar cuadrados

Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto queresulta de elevar un binomio al cuadrado.

Programa 1

2

El cuadrado de una diferencia

Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que

resulta de elevar al cuadrado una diferencia de dos trminos.

Interactivo

3La diferencia de dos cuadrados

Descubrir la regla para factorizar una diferencia de cuadrados.

4

A formar rectngulos

Descubrir la regla para multiplicar dos binomios con trmino comn e

invertirla para factorizar un trinomio de segundo grado.Programa 2

5Un caso especial de la factorizacin

Descubrir la regla para factorizar binomios con factor comn.


48/217


Sugerencia didctica.Pida a los alumnos que

escriban en la tabla los trinomios que

corresponden a los cuadrados cuyos lados miden

x+ 4 y x+ 6 .

Luego, invtelos a que analicen los cuatro casos

que tienen ilustrados (los cuadrados que miden

x+ 1, x+ 2, x+ 4 y x+ 5 ) para que traten de

encontrar una regla que les permita escribir elrea de los cuadrados cuyos lados miden x+ 3 y

x+ 10 .

Posibles procedimientos.Los alumnos tienen

al menos dos vas para llenar la tabla: apoyarse

en el recurso grfico para justificar todo el

desarrollo algebraico que se presenta hasta

obtener el rea de cada cuadrado; o bien,

multiplicar los dos binomios (que son los lados

del cuadrado). Permita que lo resuelvan como

ellos decidan y, si fuera necesario, repasen la

informacin del Recuerden que que aparece

en el apartado Manos a la obrapara que

recuerden cmo se multiplican dos binomios.

Si llenan la tabla multiplicando los lados del

cuadrado, quiz sea til que desarrolle al menos una

de las multiplicaciones en el pizarrn. Por ejemplo,

para el cuadrado cuyo lado mide x+ 1sera:

(x+ 1) (x+ 1) = x2+ x+ x+ 1 = x2+ 2x+ 1

Posibles dificultades.Con esta pregunta se

quiere saber si los alumnos pudieron encontrar

la regla para elevar un binomio al cuadrado.

Quiz algunos alumnos piensen que para elevar

un binomio al cuadrado basta con elevar al

cuadrado cada uno de los trminos y luego

representar el rea con una suma. En este caso,

pondran como resultado x2+ 10 000.

Los alumnos que subrayen el trinomio

x2+ 100x+ 10 000, quiz piensen que para

obtener el trmino del trinomio que tiene x

basta multiplicar los dos trminos del binomio.

Si los alumnos cometen stos u otros errores,

pdales que realicen la multiplicacin trmino

por trmino y analicen los resultados.

13

IIIMATEMTICAS

Consideremos lo siguienteEn la siguiente tabla aparecen binomios que representan las medida del lado de diferen-tes cuadrados, as como los trinomios que corresponden a sus respectivas reas.

a) Examina los dos primeros ejemplos y completa la siguiente tabla.

Binomio Trinomio

x+ 1 (x+ 1)2= x2+ 2x+ 1

x+ 2 (x+ 2)2= x2+ 4x+ 4

x+ 3 (x+ 3)2=

x+ 4 (x+ 4)2=

x+ 6 (x+ 6)2=

x+ 10 (x+10)2=

b) Subraya el trinomio que representa el rea de un cuadrado cuyo lado midex+ 100.

x2+ 100x+ 10000 x2+ 10 000 x2+ 200x+ 10000

Comparen sus soluciones. Comenten cmo obtuvieron los trinomios que son resultadode elevar los binomios al cuadrado.

x+ 4

x 4

A =

=

x+ 6

x 6

A =

=

: :

(x+ 3) (x+ 3) = x2+ 3x+ 3x+ 9 = x2+ 6x+ 9

(x+ 4) (x+ 4) = x2+ 4x+ 4x+ 16 = x2+ 8x+ 16

(x+ 6) (x+ 6) = x 2+ 12x+ 36

(x+ 10) (x+ 10) = x 2+ 10x+ 10x+ 100 = x2+ 20x+ 100


49/217


Respuestas. En la figura 1 hay un bloque

de rea x 2, 10de rea xy 25de rea 1,

por lo tanto, las expresiones correctas son

x 2+ 5x+ 5x+ 25y x 2+ 10x+ 25.

Posibles procedimientos.Los alumnos podran

multiplicar lado por lado del cuadrado para

obtener el rea, es decir, (x+ 5) (x+ 5) ; pero

tambin se pueden fijar en el dibujo del

cuadrado y contar directamente cuntos bloques

de cada rea hay. A los alumnos que hayan

utilizado la multiplicacin de binomios para

resolver, pdales que verifiquen su resultado

contando los bloques en el dibujo.

Sugerencia didctica.Aunque se espera que

los alumnos ya lo sepan, conviene recordarles

que elevar un nmero o un trmino al

cuadrado significa que ese nmero o trmino

se multiplica por s mismo una vez.

Posibles dificultades.Cuando se trate de un

solo nmero, los alumnos quiz no tengandificultades para elevarlo al cuadrado, pero

puede haber dudas cuando sea un trmino

como x+ 5 . Algunos podran pensar que x+ 5

al cuadrado es igual a:

x2+ 5

x+ 25

2x+ 10

x2+ 25

Si cometen alguno de esos errores, lean juntos

el recuadro Recuerden que y proponga

algunos ejemplos para que los resuelvan:(4 + 5)2= 81

(7 + b)2= b 2+ 14b+ 49

(z+ w)2= z 2+ 2zw+ w 2

14

SECUENCIA 1

Manos a la obraI. La figura 1 muestra un cuadrado que mide de lado x+ 5.

x+ 5

x+ 5

Figura 1

a) Cuntos bloques de rea x2 se utilizaron para formar

el cuadrado?

b) Cuntos de rea x?

c) Cuntos de rea 1?

d) De las siguientes expresiones, subrayen las que repre-sentan el rea del cuadrado.

x+ 5

x2+ 5x+ 5x+25

x2+ 25

x2+ 10x+25

e) Verifiquen si las expresiones que subrayaron se obtie-nen al elevar al cuadrado el binomio x+ 5. Para eso,completen la multiplicacin (x+ 5) (x + 5)y luegosumen los trminos semejantes para obtener un trino-mio.

(x

+ 5)2

= (x

+ 5) (x

+ 5)

=

=

Recuerdenque:

Paramultiplicardosbinomiossem

ultiplica

cadatrminodeunbinomioporto

dos

lostrminosdel otroyluegosesum

anlos

trminosquesonsemejan

tes.

(x+7)(x+7) =x

2+7x+7x+49

= x2+14x+49

Comparen sus soluciones y comenten cul de los siguientes procedimientos usaran parahacer de manera simplificada la multiplicacin (x+ 8) (x+ 8), sin necesidad de haceruna multiplicacin trmino por trmino.

El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer trmino (x2)y el cuadradodel segundo trmino (64).

El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer trmino (x2)ms el produc-to de los dos trminos (8x)ms el cuadrado del segundo trmino (64).

El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer trmino (x2)ms el doble delproducto de los dos trminos (16x)ms el cuadrado del segundo trmino (64).

Verifiquen sus reglas haciendo la multiplicacin (x+ 8) (x+ 8).

: :

Sugerencia didctica.Permita que los alumnos

comenten cada una de las reglas siguientes e

invtelos a justificar la validez de cada una verifi-

cando si la regla funciona para cualquier

binomio. Para ello, pueden usar los datos de

tabla o los dibujos de los cuatro cuadrados que

formaron con los bloques algebraicos.

Propsito de la actividad.Los alumnos ya

saben multiplicar dos binomios, as que el

nfasis en esta parte est puesto en que

aprendan que, al elevar al cuadrado un binomio,

se obtiene un trinomio.

Por ello, no es tan importante que hagan las

multiplicaciones en un orden especfico, sino que

logren analizar el producto que obtienen porque

a partir de esa informacin podrn comprender

una nueva regla:

El cuadrado del primer trmino ms el doble

del primero por el segundo trmino, ms el

cuadrado del segundo trmino, nos da como

resultado un trinomio.


50/217


15

MATEMTICAS IIIII. Eleven al cuadrado el binomio (2x+ 3) y multipliquen trmino por trmino para

obtener cuatro productos parciales como lo indican las lneas. Luego sumen los tr-minos semejantes hasta obtener un trinomio.

4x2

(2x+ 3) (2x+ 3) = 4x2+ 6x+ + =

+ Trinomio cuadrado perfecto

6x 12x

a) Qu relacin hay entre el trmino 4x2 del trinomio y el trmino 2xdel binomio?

b) Qu relacin hay entre el 9del trinomio y el 3del binomio?

c) Cuntas veces aparece el producto parcial 6xen la multiplicacin?

d) Qu trminos del binomio se multiplicaron para obtenerlo?

e) Qu relacin hay entre el trmino 12xdel trinomio y el producto de los dos tr-

minos del binomio?

Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtenerel trinomio que resulta al efectuar la operacin (3x+ 2)2, sin necesidad de hacer unamultiplicacin trmino por trmino.

A lo que llegamosLa expresin que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llamatrinomio cuadrado perfecto.

El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.

(3x+ 5)2= 9x2+ 30x+ 25

El primer trmino del binomiose eleva al cuadrado

El segundo trmino del binomiose eleva al cuadrado

Se multiplican ambos trminos(3x) (5) = 15x

Se duplica el producto(2) (15x) = 30x

: :

Respuestas.

a) 4x 2es el cuadrado de 2x.

b) 9es el cuadrado de 3.

c) Dos veces.

d) 3y 2x.

e) 12xes la suma de 6x+ 6x.

Propsito de la actividad.Se pretende que los

alumnos, a partir de las respuestas que dieron

en la actividad anterior, se den cuenta de que

pueden obtener el trinomio cuadrado perfecto

sin necesidad de efectuar la multiplicacin

trmino por trmino. Si no saben cmo hacerlo,

lean juntos la informacin del apartado A lo que

llegamos.

9

6x 9 4x 2+ 12x+ 9

6x


51/217


16

SECUENCIA 1

Lo que aprendimosEscribe el binomio al cuadrado o el trinomio cuadrado perfecto que falta en cada ren-gln de la siguiente tabla.

Binomio al cuadrado Tr inomio cuadrado perfecto

(x+ 9)2

(3x+ 1)2

x2+ 24x+ 144

(2m+ 5)2

4x2+ 36x+ 81

EL CUADRADO DE UNA DIFERENCIA

Consideremos lo siguienteDel cuadrado de la figura 2 se recortaron algunas partes hasta que qued otro cuadradoms pequeo, como se muestra en la figura 3.

x

x

x2

x

x

1

1

Figura 2 Figura 3

a) Cul es la medida del lado del cuadrado azul de la figura 3?

b) La expresin algebraica que representa el rea del cuadrado azul es:

Comparen sus soluciones.

SESIN 2

: :

Sugerencia didctica.Si an hay alumnos que

requieren hacer trmino a trmino toda la

multiplicacin, permtales hacerlo. Luego pdales

que intenten obtener el producto como se

explica en el apartado A lo que llegamos.

Posibles dificultades.Para completar los

renglones 3 y 5 de esta tabla, los alumnos deben

invertir el proceso de la multiplicacin, en vez de

obtener el producto a partir de los factores, deben

hacer el proceso inverso: hallar los factores

teniendo el producto, es decir, factorizar. Dicho

proceso puede ser difcil para los estudiantes, por lo

que necesitarn algo ms de tiempo y posiblemente

ayuda. Sera muy til repasar la informacin del

apartado A lo que llegamosplanteando enseguida

algunas preguntas, por ejemplo, se sabe que el

primer trmino del trinomio cuadrado perfecto es el

cuadrado del primer trmino del binomio, entonces

cul es el primer trmino del binomio si el primer

trmino del trinomio es x 2?.

Propsito de la sesin.Descubrir la regla para

obtener el trinomio cuadrado perfecto que

resulta de elevar al cuadrado una diferencia de

dos trminos.

Propsito de la actividad.Se pretende que el

alumno se enfrente al reto que le supone

expresar algebraicamente la medida de un lado

al que se le quita una parte, as como el rea

resultante.

Algunos alumnos podrn resolverlo haciendo uso

de sus conocimientos sobre la multiplicac in de

binomios, pero para otros quiz no sea difcil

plantear cul es la medida del lado del nuevo

cuadrado. Si ese fuera el caso, permtales seguir

avanzando y ms adelante vuelvan a estas

preguntas y corrijan si hubo errores.

Respuestas.

a) x 1

b) (x 1)2

x 2+ 18x+ 81

9x 2+ 6x+ 1

(x+ 12)2

4m 2+ 20m+ 25

(2x+ 9) 2


52/217


17

MATEMTICASIIIManos a la obraI. Ana y Ricardo decidieron usar algunos bloques algebraicos para completar el rea del

cuadrado azul de la figura 3.

Ricardo se dio cuenta de que con un bloque de rea xy otro de rea x 1podacompletar el cuadrado de lado x.

Figura 4

x

x

1

1

x

1rea=x

x

1rea= x 1

Despus de completar el cuadrado de lado x, expres que el rea del cuadrado azulde la figura 3 era: x2 x (x 1).

Ana, por su parte, us tres bloques para cubrir el cuadrado de lado x; despus expre-s el rea del cuadrado azul como x2 2(x 1) 1.

a) Usen los bloques algebraicos de la derecha (de reasx 1y 1) para completar elcuadrado de lado xcomo crean que lo hizo Ana; luego tracen cada bloque sobrela figura 5 e ilumnenlos de acuerdo a su color.

11

1

x

x

1

1 rea= x 1

rea= x 1

Figura 5

: :

Propsito del interactivo.Que el alumno

explore las representaciones grfica y algebraica

simultneamente para descubrir y comprender

la regla de los binomios al cuadrado y obtener

un trinomio cuadrado perfecto.

Propsito de la actividad.Al completar el

cuadrado de la figura 3 con bloques para volver

a tener el cuadrado completo de la figura 2, se

pretende que los alumnos comprendan que el

rea del cuadrado de la figura 3 es igual al rea

del cuadrado completo de la figura 2 menos los

dos bloques que Ricardo us, uno de rea xy

otro de rea x 1.

Sugerencia didctica.Es importante que los

alumnos apoyen sus respuestas y las verifiquen

usando los bloques algebraicos. Esto les

permitir darle sentido a las actividades de este

apartado, por lo que es necesario que los tengana la mano y los utilicen.

Posibles respuestas.Los tres bloques pueden

acomodarse en distintas posiciones para

completar el cuadrado azul de la figura 5 y tener

as el rea del cuadrado completo de la figura 2.

Es importante que los alumnos comparen entre

ellos sus distintos acomodos y que estn seguros

de que el rea no vara dependiendo de las

posiciones en las que se pongan los bloques.


53/217


Posibles dificultades.Para algunos alumnos

puede ser difcil obtener el trinomio a partir de las

expresiones iniciales. Si lo considera til, vaya

resolviendo en el pizarrn una a una como se

muestra:

Procedimiento de Ana

Ana sabe que el lado del cuadrado azul de la figura

3 mide (x 1)y para conocer su rea debe elevaral cuadrado esa medida, con lo que quedara

(x 1)2. Tambin sabe que al rea del cuadrado

completo de la figura 2 se le puede restar la de los

tres bloques que ella utiliz, y el resultado ser el

rea de la figura 3. Recuerde a los alumnos que

Ana utiliz tres bloques: dos de rea x 1

y uno de rea 1, que son los que se restan:

(x 1)2= x 2 2 (x 1) 1

Esta expresin puede leerse como el rea del

cuadrado de la figura 3 es igual al rea del

cuadrado de la figura 2 menos dos bloques de rea

x 1, menos un bloque de rea 1. Al resolver

quedara:

(x 1)2= x2 2 (x 1) 1 = x2 2x+ 2 1 =

x 2 2x+ 1

Procedimento de Ricardo

Ricardo sabe que el rea del cuadrado de la figura

3 puede obtenerse restndole al rea del cuadrado

de la figura 2 los dos bloques que utiliz. Recuerde

a los alumnos que Ricardo utiliz: un bloque de

rea xy un bloque de rea x 1, que son los que

se restan.

(x 1)2= x 2 x (x 1)

Para obtener el trinomio puede ser ms fcil

escribirlo as:

(x 1)2= x 2 1 (x ) 1 (x 1)

Esta expresin puede leerse como el rea del

cuadrado d

Documents

Lpm Matematicas Vol1 3 Ayudaparaelmaestro