Los logaritmos y su propiedades

Introducción

loga c = b

Base

Argumento

Valor

buscado (exponente)

Partes de un logaritmo.

• Matemáticamente hablando, sería:

loga c = b

• Es decir:

ab = c

Introducción

• Ejemplos:

- Log3 81 = 4

es decir: 34 = 81

- Log2 256 = 8

es decir: 28 = 256

- Log4 16 = 2

es decir: 42 = 16

Introducción

• Hay ciertas propiedades que debes conocer de los logaritmos.

• Veremos las más importantes a continuación.

Propiedades de los logaritmos

• El logaritmo de la base siempre es igual a uno, es decir:

loga a = 1

• Ejemplos:

log5 5 = 1

log89 89 = 1

Log12.500 12.500 = 1

Propiedad 1

• El logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a cero:

loga 1 = 0

• Ejemplos:

log3 1 = 0

log2a 1 = 0

log43 1 = 0

Propiedad 2

• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:

loga (b·c) = loga b + loga c

• Ejemplos:

log2 (3·5) = log2 3 + log2 5

log3 (6·2·5) = log3 6 + log3 2 + log3 5

log4 (16·4) = log4 16 + log4 4 = 2+1 =3

Propiedad 3

• El logaritmo de una fracción es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

loga (b/c) = loga b – loga c

• Ejemplo:

log2 3 / 4 = log2 3 – log2 4

log4 (16/4) = log4 16 - log4 4 = 2-1 = 1

Propiedad 4

• El logaritmo de una potencia es igual a la potencia multiplicando al logaritmo de la base de la potencia:

loga bc = c loga b

• Ejemplo:

log2 53 = 3 log2 5

log3 √5 = ½ log3 5

Propiedad 5

• El logaritmo de la base elevado a una potencia es igual a la potencia.

Loga ab = b

• Ejemplo:

log3 32 = 2

log4 46 = 6

log2 23 = 3

Propiedad 6

Cambio de base de logaritmo:

• El logaritmo en base a un número es igual a la fracción entre el logaritmo del primer número con base en un tercer número y el logaritmo del segundo número con base en un tercer número.

loga b = logc b / logc a

• Ejemplo:

log2 8 = log3 8 / log3 2

Propiedad 7

• Un número elevado al logaritmo con base en el mismo número, es igual al número del logaritmo.

a loga b = b

• Ejemplo:

4 log4 3 = 3

20 log20

4 = 4

b logb 2 = 2

3 log3 5 = 5

Propiedad 8

• El logaritmo en base 10 (se omite la base):

log10 b = log b

• El logaritmo en base e, natural o neperiano:

loge b = ln b

Donde e es número de Euler, e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249

77572 47093 69995...=

Los logaritmos más usados son: