Funciones

Logarítmicas

Logaritmos de base a

Definición

Sea a un número real positivo distinto de 1.

el logaritmo base a de x ,

y = loga x

existe, si y solo si,

x = ay

para cada x > 0 y cada número real y.

Interpretacion de 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

significa

¿cuál es el exponente al cual se eleva la base a

para que el resultado sea y?

Ejemplos:

= 1

= 3

= 3

= 0

Forma Logarítmica vs. Forma Exponential

y = loga x

significa

¿cuál es el exponente al cual se eleva a para que el

resultado sea y?

• El diagrama muestra que “el logaritmo es un

exponente”.

Ejemplos

• A continuación se muestran varios ejemplos de formas

equivalentes:

Ejemplos Determine el número si es posible:

Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.

Ejemplos Determine el número si es posible:

Propiedades de loga x

• Visualizar al loga x como un exponente nos lleva a

las propiedades generales siguientes:

Gráfica de loga x

• Podemos trazar una gráfica logarítmica punto a punto,

igual que otras funciones.

• Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

x f(x)

16 4

8 3

4 2

2 1

1 0

½ -1

¼ -2

Gráfica de loga x

• Como log2 x es la

función que deshace lo

que hace 2x , la gráfica

de log2 x es una

reflexión de la gráfica de

2x sobre la línea y = x .

• Esto implica si el par

ordenado (a,b) está en

la gráfica de 2x ,

entonces (b,a) está en la

gráfica de log2 x

Gráfica de 2x y log2 x

f(x) = 2x :para valores muy negativas

en x, los valores de y son muy

cercanos a 0.

f(x) = log2x : NO ESTA DEFINIDA

para valores negativas en x, ni para x

= 0.

Gráfica de loga x • Ambas gráficas son

crecientes. •Dominio ax : R

Rango: (0,∞)

•Dominio loga x: (0,∞)

Rango: R

• Ambas gráficas tiene

asíntotas.

• ax : asíntota horizontal y = 0

• loga x: asíntota vertical x = 0

• Ambas funciones son uno-a-

uno por que pasan la prueba de

la línea horizontal

Casos Especiales

• Cuando la base a es…

• 10 , llamamos log10 x el logaritmo común de x ;

• normalmente se escribe log x en vez de log10 x .

• e, llamamos loge x el logaritmo natural de x ;

• normalmente escribimos ln x en vez de loge x .

Ejemplo: Determinar x si:

Fórmula para cambiar de base

• Las propiedades de logaritmos se pueden usar para derivar

una fórmula para cambiar de base .

• La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo incluyen

formas para determinar el logaritmo común y el logaritmo

natural.

• Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de 1,

entonces

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Formula para cambiar de base

•Determine el valor, redondeado a 2 lugares

decimales, de

log3100

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Ejemplo

•Resolver : 5x = 105

Formula para cambiar de base

• Trazar la gráfica de f(x)= log4(x) con calculadora gráfica

• Usando la fórmula para cambiar de base:

f(x)= log4(x) 𝑓 𝑥 =log(𝑥)

log(4)