Logika Dan Matriks

  • View
    803

  • Download
    9

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Logika dan Matriks untuk SMK

Text of Logika Dan Matriks

LOGIKAMATEMATIKAKalimatTerbukaTertutupNegasi,KataPenghubungPenarikanKesimpulanSoalSoalDisusunoleh:MuhammadIrfan,S.SiLOGIKA MATEMATIKA Logikamatematikameliputi:logikapernyataanatauproposisi (propositionallogic)suatuyangmenelaahmanipulasiantar pernyataan dan logika penghubung atau predikat (predicate logic) yangmenelaahmanipulasihubunganrelasioanalantarapernyataan pertamadenganpernyataankedua.Olehkarenaitulogika matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar pernyataan matematik(mathematicalStatement).Namunsebelummelangkah lebihjauh,kitaperlumemahamiterlebihdahulupengertian pernyataandanpengertianpenghubung.Berikutinidiberikan definisi suatu pernyataan : A. Pengertian Logikamatematikaadalahpolaberpikirberdasarkanpenalarandan dapat di uji kebenarannya secara matematika. Sebuahpernyataanatauproposisiadalahsebuahkalimatdeklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: Benar (B) saja atau Salah (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya. Logika Natematika2010/20111. Kalimat terbuka Kalimatterbukaadalahkalimatyangbelumdapatditentukannilai kebenarannya.Ataudengankatalainkalimatyangmasih bervariabel. Contoh a. 2x + 5 = 7 b. x2 + 1 = 10 c. Jarak kota A dan kota B 200 km d. Usia A lebih muda dari B, dll. 2. Pernyataan Jikavariabelpadakalimatterbukadigantimakaakanmenjadi pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar. Contoh pernyataan a. 2 x 5 = 10 b. 20 : 2 = 6 c. Toni lebih muda dari Susi Pernyataan a bernilai benar Pernyataan b bernilai salah Pernyataan c bisa benar atau salah Latihan 1.Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukanmanakah yang merupakanpernyataandanmanakahyangmerupakan kalimatterbuka.Jikapernyataantentukannilai kebenarannya. a.x + 5 > 0. b.x2 + 5 0. c.Satu windu sama dengan n tahun. d.Bilanganaslimerupakanhimpunanbagianbilangan bulat. e.2k+1merupakanbilanganganjil,untukkbilangan cacah. f.2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real. g.Itu adalah benda cair. h.Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap 2.Diberikankalimatterbukaberikut:x2-1=0,xbilangan real.TentukanHimpunanxagarkalimatitumenjadisuatu pernyataan. B. Penghubung / Konektif (Connective) Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika (penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction), Logika Natematika2010/2011Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi, atau Ekuivalensi (Equivalence). 1.NEGASI Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan tidak benar di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata tidak atau bukan pada pernyataan tersebut. Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi pp BS SB Contoh Pernyataan : pNegasi (ingkaran) : p TigapuluhsembilanadalahTiga puluh sembilan bukan bilangan prima (S) bilangan prima (B) Semuabinatangadalah mahluk hidup (B) Tidaksemuabinatang adalah mahluk hidup (S) 2.KONJUNGSI Padabagiansebelumnyatelahdipelajarisuatupernyataan tunggal.Namunselanjutnyaakandipelajariduaataulebih pernyataantunggalyangdigabungdandisebut denganpernyataanmajemuk.Konjungsimerupakankata penyambungantarbeberapapernyataanyangbiasanyaberupa katadan.Katapenghubungdanpadaperkataanmajemuk dilambangkan dengan A yang disebut Konjungsi. Konjungsi didefinisikan sebagai berikut : Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari pdilambangkandenganp dandibacabukanpSuatu pernyataanyangbernilaisalah(S)jikapbenar(B),dan bernilai benar (B ) jika p salah (S) Konjungsi PernyataanmajemukpdanqdisebutKonjungsidaripdanq dinyatakan dengan: p A q adalahsebuahpernyataanbernilaibenarjikapernyataanpdan qkeduanyabernilaibenar,danbernilaisalahjikasalahsatup atau q (keduanya) salah Logika Natematika2010/2011Tabel Kebenaran Konjungsi pqp A q BBB BSS SBS SSS Contoh Pernyataan : pPernyataan : qp A q SMK 1 Sragen berada di Kabupaten Sragen (B) Sragentermasukke dalamwilayahJawa Tengah (B) B Jumlahsudutdalam suatusegitigaselalu 180o(B) Besar sudut segitiga sama sisi adalah 90o (S) S Duaadalahbilangan ganjil (S) Duaadalahbilangan prima (B) S 2 + 6 = 7(S)6 = 7 2(S)S 3.DISJUNGSI Disjungsimerupakankatapenghubungberupakataatau dalammenghubungkanduapernyataanmenjadikalimat majemuk.Katapenghubungataupadapernyataanmajemuk dilambangkandenganvyangdisebutDisjungsi.Disjungsi didefinisikan sebagai berikut : Tabel Kebenaran Disjungsi pqp v q BBB BSB SBB SSS Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan: p V q adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salahLogika Natematika2010/2011Contoh Pernyataan : pPernyataan : qp v q SMK1Sragenberadadi Kabupaten Sragen (B) Sragentermasukkedalam wilayah Jawa Tengah (B) B Jumlahsudutdalamsuatu segi tiga selalu 180o(B) Besarsudutsegitigasama sisi adalah 90o (S) B Duaadalahbilanganganjil (S) Duaadalahbilanganprima (B) B 2 + 6 = 7(S)6 = 7 2(S)S 4.IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat) Untukmemahamiimplikasi,perhatikanuraianberikutini. MisalkanBobyberjanjipadaTogarJikasayadapatmedali olimpiadesains-matematikanasionaltahuninimakaakuakan membelikankamusepatubola.JanjiBobyinihanyaberlaku jikaBobymendapatkanmedaliolimpiadesains-matematika. KalimatyangdiucapkanBobypadaTogardalambahasalogika matematika dapat ditulis sebagai berikut : Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional. Maka q : membelikan sepatu bola SehinggadapatdinyatakansebagaiJikapmakaqatau dilambangkandenganp - osuatupernyataanmajemuk yangdisebutdenganImplikasi.Implikasidaripernyataanpke pernyataanqdinyatakandengan,p - o,ialahsebuah pernyataanyangbernilaisalahjikadanhanyajikapbernilai benardanqbernilaisalah.Pernyataanpdisebuthipotesa (premis)danpernyataanqdisebutkesimpulan(konklusi). Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut : Tabel Kebenaran Implikasi pqp - q BBB BSS SBB SSB Implikasi: Pernyataanmajemukpdanqdisebutimplikasi(pernyataan bersyarat)adalahsebuahpernyataanmajemukyang dilambangkan : p q bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar. Logika Natematika2010/2011Contoh Pernyataan : pPernyataan : qp - q SMK 1 Sragen berada di Kabupaten Sragen (B) Sragentermasukkedalam wilayah Jawa Tengah (B) B Jumlahsudutdalam suatusegitigaselalu 180o(B) Besarsudutsegitigasama sisi adalah 90o (S) S Duaadalahbilangan ganjil (S) Dua adalah bilangan prima (B) B 2 + 6 = 7(S)6 = 7 2(S)B 5.BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI) Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan hubungan Jika dan hanya jika Sehingga menjadi suatu kalimat yang dapat dinyatakan sebagai p Jika dan hanya jika q atau dilambangkan dengan : p q suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi. Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu gabungan dari: p q dan qp Olehkarenaitunilaikebenaranbiimplikasipqdikatakan bernilaibenarjikapdanqmempunyainilaikebenaranyang sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini : Tabel Kebenaran Biimplikasi pqp = q BBB BSS SBS SSB Biimplikasi: Pernyataanmajemukpdanqdisebutbiimplikasi(pernyataan bersyaratduaarah)adalahsebuahpernyataanmajemukyang dilambangkan : p q bernilaibenarjikapdanqmempunyainilaikebenaranyang sama.Logika Natematika2010/2011Contoh Nyatakanpernyataanberikutdengansymboldantentukan kebenarannya. IrfanBachdimadalahpemainTimnasdantidakbenarbahwa JakartaadalahibukotaIndonesiaatauSMKN1Sragenterletakdi Kabupaten Sragen Penyelesaian: Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol: p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B) q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B) r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S) Secarasimbolik,pernyataantersebutdapatdinyatakansebagai berikut: (p A o) Vr Kemudian,untukmencarinilaikebenarandaripernyataandiatas yaitu: (p q ) r (B B ) S (B S ) S S S S Jadi, pernyataan di atas bernilai salah. C.TABEL KEBENARAN (Truth Table) Untukmengevaluasiapakahsebuahpernyataanmajemukbenar atausalahkitaperlutablekebenarandarikalimatpenghubung yangadadalampernyataantersebut.Untuksembarang pernyataanpdanq,rangkumantabelkebenarandarisemua penghubung adalah sebagai berikut: pqpqpA qpv qp- qp= q BBSSBSBB BSSBSSSS SBBSSSBS SSBBSBBB p = qNilai kebenaran ABCD adalah persegi = ABCD segi empat yang sisinya sama B n adalah bilangan prima = n habis dibagi 7S SMK1SragenterletakdiJawaTengah= Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta S Grafik(x)bukangarislurus=(x) adalah fungsi yang tidak linier B Logika Natematika2010/2011 Contoh Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan daerah asal : 1.n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat. 2.x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real. 3.Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol. Soal Latihan 1.Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut: a.Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima. b.Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah c.Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur. d.49 adalah bilangan kuadrat. 2.Diberikan pernyataan sebagai berikut: p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1 r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis Tentukannilaikebenarandaripernyataanpernyataan berikut: a.pA o b.(pv r) -o c.p= rd.(p= o) A o = r 3.PeriksalahnilaikebenarandariImplikasiberikut,jikasalah berikan contoh kesalahannya. a.Jika x=2 maka 2x2 -Sx +2 = u b.Jika x = 9u0 maka sinx + cos x = u DEFINISIMisalkanP(x)merupakansebuahpernyataanyangmengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan(dalamD)jikauntuksetiapxdiD,P(x)adalah pernyataan.KitasebutDdaerahasalpembicaraan(domainof discourse) dari P. Logika Natematika2010/2011D.KUANTOR 1.Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial Jadipernyataanyangmenggunakankatasemuaatau setiapdisebutpernyataankuantoruniversal(umum), s