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AÑO

Av. W

ilson

Líneas notables en

un triángulo

A B

semáforo

C

Se desea colocar un semáforo en la

intersección de las tres avenidas indicadas

de tal manera que equidiste de AB , BC y

AC para lo cual debemos trazar las

............... del triángulo "ABC" con lo que el semáforo se encontrará en el punto notable llamado .............................

Dios es el gran geómetra. Dios geometriza sin

cesar. PLATÓN.

1. Ceviana

B E: Cualquier punto de AC

BE: Ceviana

B AP: Ceviana (Trácela)

A E C A C

2. Mediana

B B BM: Mediana AN: Mediana (Trácela)

BQ: Mediana (Trácela)

A M C A C

3. Mediatriz

B Mediatriz de AC

B

Trace la mediatriz del

lado AB

A M C A C

4. Altura

B B B

A H C H A C A C

BH: Altura

(Acutángulo) BH: Altura

(Obtusángulo) BA: Altura

(Rectángulo)

5. Bisectriz

B BD: Bisectriz interior

B BE: Bisectriz exterior

A D C A C E

Problemas resueltos

1. En un triángulo "ABC", se traza la ceviana BE tal que:

AB = BE = CE y m BCE = 38°. Hallar "m A"

2. De la figura, calcular "x". Si AE es bisectriz interior.

Solución:

B

38°

x x 38°

A E C

Solución:

- De los datos dados:

BEC es isósceles

ABE es isósceles

- Por exterior del BEC:

x = 38° + 38° = 76°

Rpta.: 76°

Como AE es bisectriz

m BAE = m EAC =

ABC : 80° + 40° + 2 = 180°

2 = 60° = 30°

AEC: externo

x = 30° + 40° = 70°

Rpta.: 70°

3. En un triángulo ABC, m A = m C + 30° y se traza la

bisectriz interior BE, calcular m AEB; si: B= 50°.

Solución:

B

25° 25°

5. Dado el triángulo PQR, se traza la bisectriz interior PM ,

tal que: PQ = PM = MR. Calcular la "m R"

Solución:

Q

2x

2x M

+30° x

A E C

x

P x x R

* ABC: 50° + ( + 30°) + = 180°

2 = 100° = 50°

Como: PQ = PM = MR

* PMR es isósceles

* BEC: externo: x = 50° + 25°

x = 75°

Rpta.: 75°

* QPM es isósceles

2x + 2x + x = 180°

x = 36°

Rpta.: 36°

4. Calcular "x"

°

Problemas para la clase

1. En los siguientes triángulos dibuje:

- La altura relativa a la hipotenusa.

B

Solución:

° A C

- La mediatriz del lado BC.

B

* ADC : x = +

* ABC: 2 + 2 + 80° = 180°

2( ) 100 °

x

2x = 100°

x = 50°

Rpta.: 50°

A C

- La mediana relativa al lado AB.

B

A C

a) 111° b) 127° c) 112° d) 138° e) 117°

a) 38° b) 36° c) 28° d) 42° e) 52°

a) 46° b) 44° c) 48° d) 42° e) 38°

a) 32° b) 24° c) 26° d) 36° e) 28°

A H C

a) 120º

d) 150º

b) 130º

e) 100º

c) 140º

a) 40º b) 80º c) 60º d) 20º e) 30º

- La bisectriz interior AP.

B

5. Graficar el triángulo rectángulo ABC (Recto en B) y trazar

la altura BH . Si: m A = 52°; hallar m HBC.

A C

- La bisectriz exterior BT.

B

A C

6. Dado el triángulo PQR tal que: m P = 76° y

m Q = 62° . Luego trazar la mediatriz de PR , el cual

corta a PR en "M" y a QR en "N".

Hallar m MNR .

2. Calcular "x", si: AD es bisectriz y AB = BC.

B

7. Se tiene el triángulo isósceles MNL (MN=NL)

Si: m N = 48°, calcular m LMH , siendo MH altura del triángulo.

120º D

x

A C

a) 125º b) 135º c) 145º

d) 130º e) 150º

3. Siendo BH altura y AE bisectriz, calcular "x".

8. En el triángulo ABC isósceles (AB = BC) m C = 26°.

Se traza la altura AH.

Calcular m BAH .

a) 28° b) 38° c) 42°

d) 52° e) 48°

B 120º

E

x

140º

9. Graficar el triángulo PQR, tal que: m P = 32° y

m Q = 100° . Trazar la bisectriz exterior RN.

Hallar: m RNP

a) 24° b) 32° c) 43°

d) 34° e) 44° 10.En un triángulo ABC se traza la ceviana BP ("P" en AC )

tal que: AB = BP = PC. Calcular la medida del ángulo

interior "C", si: m A = 80º.

4. En la figura mostrada: m BAC = 64°, m ABC = 42°.

AD es altura y CE bisectriz. Calcular "x".

B

11.En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD tal

que BD = DC. Si: m A = 75°, calcular "m C".

a) 45º b) 60º c) 30º d) 35º e) 25º

E x D

A C

12.Calcular "x".

80º

17. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH y

la bisectriz interior AE que se cortan en "P". Calcular "PH"; si: BH = 7 y BE = 4.

x

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

18.Calcular "x", si: BD es bisectriz interior.

a) 110º b) 120º c) 130º

d) 140º e) 150º x B

13.Calcular "x".

70º

A D C

a) 45° b) 30° c) 15°

d) 22° 30' e) 35°

x 19.Calcular "x"

a) 45º b) 55º c) 65º

d) 50º e) 60º

14.Calcular "x".

x

B 100°

A C

50º x a) 110° b) 135° c) 140° d) 145° e) 125°

20.En la figura, hallar "m ACB". Si: m ADE = 28º, AD es

bisectriz del ángulo "A" y DE // AB .

a) 50º b) 100º c) 25º

d) 30º e) 45º B

15.En un triángulo acutángulo ABC se sabe que: m B = 50°. D

Se trazan las alturas AH y CP las cuales se cortan en "Q".

Calcular "m PQH".

a) 120º b) 100º c) 110º

d) 130º e) 90º

16.En un triángulo ABC se sabe que: m B = 62° y

m C = 18°. Calcular la medida del menor ángulo que forman las alturas trazadas desde los vértices "B" y "C".

A E C

a) 28º b) 34º c) 56º

d) 45º e) 38°

a) 100º b) 80º c) 60º d) 90º e) 72º

Autoevaluación

1. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP, tal que:

AP = PB y PB = BC. Calcular "m ABP", siendo: m C = 40°.

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 15°

2. Calcular "x"

x

3. En un triángulo ABC se sabe que: m B = 30° y

m C = 40°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las alturas trazadas desde los vértices "B" y "C".

a) 50° b) 60° c) 70°

d) 80° e) 90°

4. Calcular "PH", si: BH = 13 y BE = 6.

B

40°

E

P

a) 80° b) 90° c) 100° A H C d) 110° e) 120°

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

5. En un triángulo ABC, calcular el mayor valor entero que

puede tomar la altura BH , si: AB + BC = 18.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 7

Claves

1. b

2. a

3. c

4. d

5. a