1

LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK Neka su dati skupovi A i B. Ako svaki elemenat Ax∈ odgovara tačno jedan elemenat

By∈ , kažemo da se skup A preslikava u skup B. Takvo preslikavanje nazivamo funkcijom. Zapisujemo:

BAf →: ili )(xfy =

Domen Kodomen Najpoznatiji oblik linearne funkcije je: nkxy += (eksplicitni) Grafik ove funkcije je prava. K- je koeficijenat pravca, odnosno αtgk = gde je α - ugao koji prava gradi sa pozitivnim smerom x-ose, n - je odsečak na y-osi

Pošto je prava odredjena sa dve svoje tačke, grafik ucrtamo tako što u malu tablicu uzmemo 2 proizvoljne vrednosti za x, pa izračunamo y ili još bolje, 0=x i 0=y , pa nadjemo nepoznate: 22 += xy Za

Zaz za x=0

2202 =+⋅=y 1022

−==+

xx

0=y

2

PAZI: Ako je funkcija samo kxy = (bez n) onda grafik prolazi kroz kordinatni početak i moramo uzimati dve različite vrednosti za x. Primer: xy 2−= x = 0 pa je y = 0 x = 1 pa je y = -2

Kako nacrtati grafike 2=x ili ?3−=y Važno je zapamtiti: → 0=y je x-osa → 0=x je y-osa → ax = , grafik je paralelan sa y-osom i prolazi kroz a → by = , grafik je paralelan sa x-osom i prolazi kroz b

3

Dakle: 2=x 3−=y Nula Funkcije: je mesto gde grafik seče x-osu a dobija se kad stavimo 0=y pa

izračunamo koliko je x. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

knx Funkcija može biti rastuća ili opadajuća. Ako je k>0

funkcija je rastuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi oštar ugao, a ako je k<0 funkcija je opadajuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi tup ugao. Znak funkcije: Funkcija je pozitivna za y>0 tj. 0>+ nkx i grafik je iznad x-ose. Funkcija je negativna za y<0 tj. 0<+ nkx i grafik je ispod x-ose

4

Rastuća Opadajuća

0=y za nkx −= 0=y za

nkx −=

0>y za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∈ ,

nkx 0>y za ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈

nkx ,

0<y za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈

nkx , 0<y za ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∈ ,

nkx

Ako se u zadatku kaže da grafik prolazi kroz neku tačku ),( 00 yx onda koordinate te tačke smemo da zamenimo umesto x i y u datoj jednačini nkxy += Dakle: nkxy += 00 Dva grafika 11 nkxy += i 22 nkxy += će biti paralelna ako je 21 kk = , a normalna ako je 121 −=⋅kk . Dakle: - uslov paralelnosti je 21 kk = - uslov normalnosti je 121 −=⋅kk Da nas ne zbuni: Prava može biti zadata i u drugim oblicima:

0=++ cbyax ili 1=+yb

xa

Mi ovde izrazimo y (ipsilon) i ‘’pročitamo’’ k i n :

5

bcx

bay

caxbycbyax

−−=

−−==++ 0

pa je: ,bak −=

bcn −=

______________________

bxaby

aabbxayabaybx

abby

ax

+−=

+−==+

⋅=+

:/

/1

pa je: ,bak −= bn =

1) Proučiti promene i grafički prikaži funkcije:

a) 121

−= xy b) 42 +−= xy

_________________________________________________

a) 121

−= xy za 0=x ⇒ 110 −=−=y

za 0=y ⇒ 0121

=−x ⇒ 2=x

1. Oblast definisanosti: Rx∈ 2. Nula finkcija: 2=x 3. Znak: 0>y za ),2( ∞∈x 0<y za )2,(−∞∈x

4. Monotonost: Funkcija je rastuća jer je 021>=k

6

b) 42 +−= xy za 0=x ⇒ 440 =+=y za 0=y ⇒ 042 =+− x ⇒ 2=x

1. Oblast definisanosti: Rx∈ 2. Nula funkcije: 2=x 3. Znak: 0>y za )2,(−∞∈x 0<y za ),2( ∞∈x 4.Monotonost: funkcija je opadajuća jer 02 <−=k

5) U skupu finkcija y=(a-4)x-(3a-10). (a realan parametar), odrediti parametar a tako da tačka M(1,2) pripada grafiku funkcije. Za nadjenu vrednost parametra a ispitati funkciju i skicirati njen grafik. M(1,2) tačka pripada grafiku pa njene koordinate Stavljamo umesto x i y. 1=x i 2=y

242

262622

10342)103(1)4(2)103()4(

==

−=+−=

+−−=−−⋅−=−−−=

aaa

aaa

aaaxay

42)4(2

)1023()42(

+−=−−−=

−⋅−−=

xyxy

xy 42 +−= xy

7

6) U skupu funkcija 32)2()( +−−= axaxf , odrediti parameter a tako da grafik funkcije odseca na y-osi odsečak dužine 5. 32)2()( +−−= axaxf nkxy += Pošto je n -odsečak na y-osi, a ovde je 32 +−= an , to mora biti:

122

352532

−==−

−=−=+−

aaaa

7) Date su familije funkcija 7)52( +−= xmy i 3)10( −−= xmy Za koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni? 7)52( +−= xmy ⇒ 52 −= mk 3)10( −−= xmy ⇒ mk −= 10 uslov paralelnosti je da imaju iste k. Dakle:

53

15153

51021052

=

=

=+=+−=−

m

m

mmm

mm

8) Nacrtati grafik funkcije

1−= xy Najpre definišemo apsolutnu vrednost:

⎩⎨⎧

<−≥

=0,

0,xx

xxx

Dakle,treba nacrtati dva grafika

8

1−= xy 1−= xy 1−−= xy za 0≥x za 0<x

Kako grafik važi samo za 0≥x njegov deo (isprekidano) za 0<x nam ne treba. Kako grafik 1−−= xy važi za 0<x i njegov isprekidani deo nam ne treba. 9) Dat je skup funkcija y=(4m)x-(3m-2), (m realan broj) a) Odrediti m tako da funkcija ima nula x=2 b) Za nadjenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije. y=(4m-6)x-(3m-2) a) 2=x za 0=y ⇒

20105

0231280)23(2)64(

==−

=+−−=−−⋅−

mm

mmmm

1−−= xy 1−= xy

1−= xy

9

42)223()624(

−=−⋅−−⋅=

xyxy

10) Dat je skup funkcija ),1()2( −−−= kxky gde je k realan parameter. Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije

62 −= xy . Za dobijenu vrednost k, ispisati funkciju i konstruisati njen grafik.

62)1()2(

−=−−−=

xykxky

422

==−

kk

32)14()24(

−=−−−=

xyxy