FORMULE - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2019/11/M21R.pdf · FORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija Razdalja dveh točk v ravnini: dAB(,)

© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.

FORMULE

1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija

● Razdalja dveh točk v ravnini: ( , )d A B =2 2

2 1 2 1( ) ( )x x y y− + −

● Linearna funkcija: ( )f x kx n= + ● Smerni koeficient premice: 2 1

2 1

y yk

x x

−=

−

● Naklonski kot premice: tank = ● Kot med premicama: 2 1

1 2

tan1

k k

k k

−=

+

2. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S)

● Trikotnik: 1 sin

2 2ccvS ab = = = ( )( )( )s s a s b s c− − − ,

2a b c

s+ +

=

● Polmera trikotniku očrtanega R( ) in včrtanega r( ) kroga: 4abc

RS

= , S

rs

= , ( )2a b c

s+ +

=

● Enakostranični trikotnik: 2 3 3 3 3

, , , 4 2 6 3

a a a aS v r R= = = =

● Deltoid, romb: 2

efS = ● Romb:

2 sinS a =

● Paralelogram: sinS ab = ● Trapez: 2

a cvS +=

● Dolžina krožnega loka: 180

rl

=

● Ploščina krožnega izseka:

2

360r

S

=

● Sinusni izrek: 2sin sin sin

a b cR

= = = ● Kosinusni izrek: 2 2 2 2 cosa b c bc = + −

3. Površine in prostornine geometrijskih teles (S je ploščina osnovne ploskve)

● Prizma: 2 plP S S= + , V Sv=

● Piramida: plP S S= + , 13

V Sv=

● Krogla: 24P r= , 34

3r

V

=

● Valj: 22 2P r rv= + , 2V r v=

● Stožec:

2P r rs= + , 21

3V r v=

4. Kotne funkcije

● 2 2sin cos 1 + =

● sintancos

=

● cos( ) cos cos sin sin =

● sin( ) sin cos cos sin =

● 2

2

11 tancos

+ =

● sin2 2sin cos =

● 2 2cos2 cos sin = −

5. Kvadratna enačba in kvadratna funkcija

● 2 0ax bx c+ + =

● 2( )f x ax bx c= + +

● 2( ) ( )f x a x p q= − +

● 1 2( ) ( )( )f x a x x x x= − −

● Rešitvi: 1,2 2b D

xa

− = , 2 4D b ac= −

● Teme: ( , )T p q , 2

bp

a−

= , 4D

qa

−=


6. Logaritmi

● log xa y x a y= = ● log logn

a ax n x=

● log ( ) log loga a axy x y= + ● log

loglog

ab

a

xx

b=

● log log loga a ax

x yy= −

7. Zaporedja

● Aritmetično zaporedje: 1 ( 1)na a n d= + − , 1(2 ( 1) )2nn

s a n d= + −

● Geometrijsko zaporedje: 11n

na a q−= , 1

1

1

n

n

qs a

q

−=

−

● Navadno obrestovanje: 0nG G o= + , 0

100

G npo =

● Obrestno obrestovanje: 0n

nG G r= , 1 100

pr = +

8. Obdelava podatkov (statistika)

● Aritmetična sredina: 1 2... nx x xx

n

+ + +=

1 1 2 2

1 2

...

...k k

k

f x f x f xx

f f f

+ + +=

+ + +

9. Odvod

● Odvodi nekaterih elementarnih funkcij:

1

2

( ) , ( )

( ) sin , ( ) cos

( ) cos , ( ) sin

1( ) tan , ( )cos

1( ) ln , ( )

( ) , ( )

n n

x x

f x x f x nx

f x x f x x

f x x f x x

f x x f xx

f x x f xx

f x e f x e

−= =

= =

= = −

= =

= =

= =

● Pravila za odvajanje:

( )

( )

( )

( )( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

kf x kf x

f x f x g x f x g x

g x g x

f g x f g x g x

+ = +

= +

=

−

=

=

10. Kombinatorika in verjetnostni račun

● Permutacije brez ponavljanja: !nP n=

● Variacije brez ponavljanja: !

( )!r

nn

Vn r

=−

● Variacije s ponavljanjem: ( )p r rnV n=

● Kombinacije brez ponavljanja: ( )!! !( )!r

r nn

V n nCrr r n r

= = =−

● Verjetnost slučajnega dogodka A : ( )število ugodnih izidov

število vseh izidovm

P An

= =


1. Iz podatkov na skici izračunajte kot x in stranico y .

(4 točke)

Rešitev 1. Skupaj 4 točke

• Izračun kota, npr.: o312tan , 30

6 3x x= = = ............................................... (1* + 1) 2 točki

• Izračun dolžine stranice,

npr.: ( )2

212 6 48 4 3 6,93y = + = = cm ............................................. (1* + 1) 2 točki

Opomba: Toleriramo rezultat brez enot.

2. Dani sta premici: 2 0 in 2 5 0x y x y+ = − − = .

2.1. Premici narišite v isti koordinatni sistem, označite njuno presečišče in izračunajte njegovi koordinati.

(6 točk) 2.2. Izračunajte kot med premicama.

(4 točke) 2.3. Premici in ordinatna os določajo trikotnik. Izračunajte dolžino najkrajše stranice

in ploščino tega trikotnika.

(5 točk)

Rešitev 2. Skupaj 15 točk

2.1. (6 točk)


• Narisani premici in označeno presečišče ................................................ (1 + 1 + 1*) 3 točke

• Nastavljena enačba, npr.: 2 52x

x+ = ......................................................................... 1 točka

• Rešitev enačbe: 2x = ................................................................................................ 1 točka

• Izračunana ordinata: 1y = − ....................................................................................... 1 točka

2.2. (4 točke)

• Določena smerna koeficienta: 1 21, 22

k k= − = .............................................. (1 + 1) 2 točki

• Izračunan kot (s formulo ali s sklepanjem): o90 = ...................................... (1* + 1) 2 točki

2.3. (5 točk)

• Izračunana dolžina stranice, npr.: | | 5 2,2OP = ....................................... (1* + 1) 2 točki

• Izračunana ploščina: 5S = ........................................................................... (1* + 2) 3 točke

3. Izračunajte, kje in pod kolikšnim kotom seka premica 2 3 6 0x y+ − = abscisno os.

(5 točk)


• Presečišče z abscisno osjo: ( )3,0M (ali le 3x = ) ......................................... (1* + 1)2 točki 1. način:

• Formula in smerni koeficient 23

k = − ali narisana premica

in pravilno označen kot ................................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Velikost kota: o146,31 ........................................................................................... 1 točka

2. način:

• Formula in smerna koeficienta: 1 22, 03

k k= − = ............................................. (1* + 1) 2 točki

• Velikost kota: 33,69 ............................................................................................ 1 točka

4. Izračunajte topi kot a v trikotniku s podatki o3 6 cm, 6 cm in 45 .a b = = =

Narišite skico.

(5 točk)



• Skica (tudi ostrokotni trikotnik) ..................................................................................... 1 točka

• Uporaba sinusnega izreka,

npr.: sin 3

sin2

a

b

= = ............................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Rešitev: o120 = (dovoljeno odstopanje 1 )................................................ (1* + 1) 2 točki

(Opomba: Končna rešitev o60 = le 1 točka.)

5. Pravilna 4-strana piramida ima prostornino 3400 cm in višino 12 cm.

5.1. Narišite skico in izračunajte osnovni rob piramide.

(5 točk) 5.2. Izračunajte površino piramide.

(5 točk) 5.3. Na skici označite naklonski kot stranske ploskve piramide proti osnovni ploskvi

in ga izračunajte na minuto natančno.

(5 točk)


5.1. (5 točk)

• Skica (le da je 4-strana piramida) ................................................................................ 1 točka

• Uporabljena ustrezna pot, npr.: 2 2

, 4003 3

a v a vV = = ................................... (1* + 1) 2 točki

• Osnovni rob piramide: 10 cma = .................................................................. (1* + 1) 2 točki

5.2. (5 točk)

• Stranska višina piramide: 13 cmsv = ........................................................... (1* + 2) 3 točke

• Površina: 2360 cmP = .................................................................................. (1* + 1) 2 točki

5.3. (5 točk)

• Na skici označen kot ................................................................................................... 1 točka


• Postopek, npr.: 12sin 0,923113s

vv

= = ....................................................... (1* + 1) 2 točki

• Velikost kota o67,38 ............................................................................................ 1 točka

• Rešitev: o67 23́ .................................................................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot (ali so napačne), v celoti izgubi 1 točko.

6. V trikotniku merijo stranice 5 cm, 7 cm in 11 cm. Izračunajte največji kot tega trikotnika. Rešitev zaokrožite na minuto natančno.

(4 točke)


• Postopek, npr.: uporaba kosinusnega izreka, izračun 47cos70

= − .......................... 2* točki

• Izračunan kot, npr.: o132,1774... = ......................................................................... 1 točka

• Rešitev, npr.: o132 11 ........................................................................................... 1 točka

7. Dan je trikotnik ABC s podatki o o12,5 cm, 37 , =110 .a = = Izračunajte njegovo ploščino.

(5 točk)


• Kot o33 ali 7,5 cmcv = ........................................................................................ 1 točka

• Izračunana stranica, npr.: sin

21,6 cm ali 13,8 cmsin

ac b

= .................... (1* + 1) 2 točki

• Izračunana ploščina, npr.: 2sin

81 cm2

acS

= ........................................... (1* + 1) 2 točki

8. Dan je enakokraki trapez ABCD z osnovnicama 10 cm, = = 6 cmAB a CD c= = in kotom

o 60DAB = .

8.1. Narišite skico trapeza in izračunajte njegovo ploščino.

(5 točk) 8.2. Izračunajte dolžino diagonale .BD

(3 točke)

8.3. Izračunajte površino in prostornino pokončne 5 cm visoke prizme, ki ima

za osnovno ploskev dani trapez.

(7 točk)


8.1. (5 točk)


vb

a

a

c

b

A BE

D C

• Skica trapeza .............................................................................................................. 1 točka

• Določena višina trapeza, npr.: tan 2 3 3,46 cm2Tr

a cv −= = ............... (1* + 1) 2 točki

• Izračunana ploščina: 216 3 27,71 cm2 Tr

a cS v

+= = ............................... (1* + 1) 2 točki

8.2. (3 točke)

• Izračunana diagonala, npr.: 2 2 2| | | | | | 76

| | 8,72 cm

BD ED EB

BD

= + = ......................................................................... (1* + 2) 3 točke

8.3. (7 točk)

• Izračunan krak, npr.: | | | | 4 cm2cos

a cAD BC b

−= = = = ............................... (1* + 1) 2 točki

• Prostornina prizme: 380 3 138,56 cmV O v= = ...................................... (1* + 1) 2 točki

• Površina prizme: 22 2 2 16 3 24 5 175,43 cmPP O pl O o v= + = + = + ....................... (2* + 1) 3 točke

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu ne napiše ustreznih enot, izgubi v celoti 1 točko.

9. V pravokotnem trikotniku ABC meri kateta 17,3 mb = in o48 30' = . Izračunajte ploščino tega

trikotnika.

(4 točke)


• Stranica, npr.: tan 19,6a b = m ................................................................ (1* + 1) 2 točki

• Izračun ploščine, npr.: 2169,1 m2ab

S = ................................................................. 2 točki

10. Točke ( ) ( )2, 4 , 3,3A B− − in ( )1,2C − določajo trikotnik .ABC

10.1. V koordinatni sistem natančno narišite trikotnik ABC in izračunajte dolžino njegove

najdaljše stranice na dve decimalni mesti natančno.

(5 točk) 10.2. Zapišite enačbo nosilke stranice .AB


(5 točk) 10.3. Na minuto natančno izračunajte kot .ACB

(5 točk)


10.1. (5 točk)

• Narisan trikotnik ABC .................................................................................................. 2 točki

Opomba: Za dve pravilni oglišči dobi kandidat 1 točko.

• Dolžina najdaljše stranice: 2 2( , ) 5 7 74 8,60d A B = + = ........................ (1 + 2*) 3 točke


(pojasnilo: 1 točka za določitev prave stranice, 1* točka za postopek in 1* točka za predpisano natančnost)

10.2. (5 točk)

• Določen smerni koeficient: 175

k = ............................................................... (1* + 1) 2 točki

• Določena začetna vrednost: 65

n = − .............................................................. (1* + 1) 2 točki

• Rešitev, npr.: 7 65 5

y x= − .......................................................................................... 1 točka

10.3. (5 točk)

• Postopek, npr.: kosinusni izrek ................................................................................. 1* točka

• Računanje dolžin stranic ............................................................................................. 1 točka

• Upoštevani vsi podatki, npr.: 37 17 74cos2 37 17

+ −=

................................................... 1* točka

• Izračunan kot: o113,4985 ................................................................................... 1 točka

• Rešitev: o113 30' ................................................................................................ 1* točka

Opomba: Če kandidat izračuna ostri kot med ustreznima stranicama ( )o66 30' , dobi skupno 4 točke.

11. Z "DA" označite trditve, ki so pravilne, in z "NE" tiste, ki niso pravilne.

Težiščnica trikotnika vedno razpolavlja kot trikotnika. DA NE

Vsota notranjih kotov trikotnika je o180 . DA NE

Sokot ostrega kota je ostri kot. DA NE

V enakokrakem trikotniku sta kota ob osnovnici enaka. DA NE

(4 točke)


• Rešitev: NE, DA, NE, DA Vsak pravilen odgovor 1 točka ................................................................................... 4 točke

12. Dan je paralelogram ABCD s podatki o6 cm, 4 cm, =72 30a b = = . Narišite skico ter

izračunajte obseg in ploščino paralelograma.

(5 točk)



aA B

CD

b

avb

• Skica ........................................................................................................................... 1 točka

• Obseg: 20 cmo = .......................................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Ploščina, npr.: 2sin 22,89 cmS ab = ........................................................ (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če ni nikjer pravih enot, dobi kandidat največ 4 točke.

13. Dan je trikotnik ABC s podatki o8 cm, 7 cm, 60 .a b = = =

13.1. Narišite skico in načrtajte trikotnik .ABC

(5 točk) 13.2. Na desetinko cm natančno izračunajte tretjo stranico. Na desetinko stopinje natančno

izračunajte kot .

(7 točk) 13.3. Izračunajte ploščino trikotnika .ABC

(3 točk)


13.1. (5 točk)

a

A B

C

A B

C


• Skica ........................................................................................................................... 1 točka

• Narisan trikotnik .............................................................................................. (1* + 2) 3 točke

• Označen trikotnik ......................................................................................................... 1 točka

Toleranca: za dolžine 2 mm , za velikost kotov o2

13.2. (7 točk)

• Izračunan kot : sinsin 0,7577...ba = .................................................. (1* + 1) 2 točki

• o o49,268 49,3 .................................................................................................. 1 točka

• o70,7 = .................................................................................................................... 1 točka

• Izračunana stranica c, npr.: sin

8,718... cmsin

ac

= ................................... (1* + 1) 2 točki

• 8,7 cmc .................................................................................................................. 1 točka

13.3. (3 točke)

• Ploščina trikotnika, npr.: 2sin

26,43 cm2

abS

= ....................................... (1* + 2) 3 točke

14. V enakokrakem trikotniku ( )ABC AC BC= meri kot ob vrhu o30 . Narišite skico trikotnika in izračunajte velikost topega kota, ki ga določata višina na osnovnico in višina na krak.

(4 točke)


2

g

je

A

C

B

• Skica (narisan trikotnik, obe višini in označen iskani kot)............................................ 1 točka

• Ugotovitev o75 = = ali o152

= ............................................................................ 1 točka

• Rešitev: o105 = ............................................................................................ (1* + 1) 2 točki

15. Stranica pravokotnika meri 3 3 cm in oklepa z diagonalo kot o30 . Natančno izračunajte dolžino

diagonale in ploščino pravokotnika. Narišite skico.


(5 točk)


e

A B

CD

• Skica (narisan pravokotnik, diagonala in označen kot) ............................................... 1 točka

• Dolžina diagonale, npr.: 6 cmcos

ad

= = ..................................................... (1* + 1) 2 točki

• Dolžina stranice, npr.: tan 3cmb a = = .................................................................... 1 točka

• Ploščina pravokotnika je 29 3 cm .............................................................................. 1 točka

Opomba: Če sta diagonala in ploščina brez enot ali z napačnima enotama, lahko kandidat dobi največ 4 točke.

16. Dan je trikotnik ABC s stranicami: 9 cm, 12 cm, 15 cm.a b c= = =

16.1. Izračunajte obseg in ploščino trikotnika.

(4 točke) 16.2. Izračunajte največji notranji kot trikotnika.

(4 točke) 16.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, ki ima za osnovno ploskev dani trikotnik,

višina pa je enaka polmeru trikotniku očrtanega kroga.

(7 točk)


16.1. (4 točke)

• Obseg trikotnika: 36 cmo = ........................................................................................ 1 točka

• Ploščina trikotnika,

• npr.: uporaba Heronove formule: 254 cmS = ................................................ (2* + 1) 3 točke

16.2. (4 točke)

• Izračunan kot o90 = .................................................................................... (3* + 1) 4 točke

16.3. (7 točk)

• Izračunan polmer: 7,5 cmR = ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

• Izračunana prostornina: 3405 cmV = ............................................................ (1* + 1) 2 točki

• Površina prizme: 2378 cmP = ...................................................................... (1* + 2) 3 točke

Opomba: Če v končnih rešitvah ni enot ali so napačne, kandidat (v celoti) zgubi največ 2 točki.


17. Stranica pravokotnika meri 3 3 cm in z diagonalo oklepa kot o30 . Izračunajte dolžino druge

stranice in dolžino diagonale. Narišite skico.

(5 točk)


• Skica (narisana diagonala in označen kot) ............................................................. 1 točka

D C

A Ba

d

30°

• Izračunana dolžina druge stranice,

npr.: otan30 3 cmb a= = ............................................................................ (1*+1) 2 točki

• Izračunana dolžina diagonale, npr.: o

6 cmcos30

ad = = ............................. (1*+1) 2 točki

Opomba: Če pri nobeni rešitvi ni enot ali so napačne, kandidat v celoti izgubi 1 točko.

18. V trikotniku ABC s stranico 6 cmc = je razmerje kotov : : 2 : 3 : 4 = .

18.1. Izračunajte velikosti notranjih kotov trikotnika.

(5 točk)

18.2. Izračunajte dolžini stranic a in b ter ploščino trikotnika.

(7 točk) 18.3. Izračunajte prostornino prizme, če je njena osnovna ploskev trikotnik ABC ,

višina pa meri 6 cm .

(3 točke)


18.1. (5 točk)

• Zapis razmerja, npr.: 2 , 3 , 4t t t = = = ............................................................. 1 točka

• Nastavitev enačbe, npr.: 2 3 4 180t t t+ + = ......................................................... 1* točka

• Rešitev enačbe, npr.: o20t = .. ............................................................................... 1 točka

• Koti: o o o40 , 60 , 80 = = = ..................................................................... (1*+1) 2 točki


18.2. (7 točk)

• Uporaba sinusnega izreka, npr.: sin sina c = ................................................. 1 točka

• Izračunana dolžina stranice, npr.: 3,9 cma .............................................. (1*+1) 2 točki

• Izračunana dolžina stranice, npr.: 5,3 cmb .............................................. (1*+1) 2 točki

• Izračunana ploščina trikotnika, npr.: 210,2 cmS ....................................... (1*+1) 2 točki

18.3. (3 točke)

• Izračunana prostornina prizme, 361cmV S v= ......................................................................................... (1*+2) 3 točke

Opomba: Če je prostornina brez enot ali z napačno enoto, kandidat izgubi 1 točko.

19. Narišite trikotnik s stranicami 6 cm, 8 cm 10 cmin ter mu očrtajte krog.

(4 točke)


• Načrtan trikotnik ........................................................................................................... 2 točki

• Določeno središče očrtane krožnice.......................................................................... 1* točka

• Narisana očrtana krožnica ......................................................................................... 1* točka

Toleranca: o2 mm, 2


20. V enakokrakem trikotniku meri osnovnica 4,2 cm krak pa 6,5 cm. Narišite skico trikotnika, označite kot med osnovnico in krakom ter izračunajte njegovo velikost na stopinjo natančno.

(5 točk)


• Skica trikotnika ............................................................................................................ 1 točka

• Označen kot (lok ali oznaka kota ali oboje) ................................................................. 1 točka

• Izračunan kot, npr.: o2,1

cos 0,3231, 71,156,5

= ................................... (1* + 1) 2 točki

• Rešitev: o71 ......................................................................................................... 1 točka

21. Osnovna ploskev pokončne piramide ABCDV je pravokotnik s stranicama 60 cmAB a= = in

80 cm.BC b= = Stranski rob piramide meri 1,3 m.

21.1. Narišite skico piramide in skicirajte njeno mrežo.

(4 točke) 21.2. Izračunajte prostornino piramide.

(6 točk) 21.3. Izračunajte ploščino stranske ploskve .BCV

(5 točk)


21.1. (4 točke)

• Skica piramide, npr.: ..................................................................................................... 2 točki


A

V

D

C

B

vs

• Skicirana mreža, npr.: ...................................................................................... (1* + 1) 2 točki

21.2. (6 točk)

• Postopek, npr.: napisan obrazec 3

abvV = (tudi

3Sv

V = ) ............................................ 1 točka

• Izračunana diagonala pravokotnika, npr.: 2 2 1,0 (m)d a b= + = .............................. 1 točka

• Izračunana višina piramide, npr.: ( )2

2 1,2 (m)2d

v s= − = ............................ (1* + 1) 2 točki

• Izračunana prostornina: 3 30,192 m (192 dm )V = .......................................... (1* + 1) 2 točki

21.3. (5 točk) 1. način:

• Npr. izračunana stranska višina: ( )2

2 1,24 (m)2bb

v s= − ......................... (1* + 1) 2 točki


• Npr. izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )2

bb vS

= .............................. (1* + 2) 3 točke

2. način:

• Zapis ali uporaba Heronovega obrazca ...................................................................... 1 točka

• Izračun polovičnega obsega trikotnika ( )1,7 m ............................................... (1* + 1) 2 točki

• Izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )S ................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.

22. Izračunajte dolžini neznanih daljic x in y na skici.

A

C

D

OB

xy

2

3

6

5

A D | | BC

(5 točk)


• Pravilno sorazmerje, npr.: 3: : ali kar 5 2

yOC OB CD BA= = ...................................... 1 točka

• Izračunan x : 307

x = (ali 4,3 ) ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

• Izračunan y : 152

y = (ali 7,5 ) ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

23. Iz podatkov na skici izračunajte AC in CBA .

B

A

C

13

12

(4 točke)



13

C

A

B 12

• Izračunana 5AC = , npr. z uporabo Pitagorovega izreka ........................... (1*+1) 2 točki

• Izračunan kot o22,62CBA o(22 37') ........................................................ (1*+1) 2 točki

Opomba: Če kandidat ne loči med vrednostjo kotne funkcije in kotom, dobi 1 točko od zadnjih dveh.

24. Po podatkih na skici izračunajte obseg in ploščino osenčenega lika.

(4 točke)

3 cm

4 cm5 cm

5 cm

4 cm


• Izračunan obseg: 20 cmo = (le postopek reševanja 1 točka) ..................................... 2 točki

• Izračunana ploščina: 217 cmS = (le postopek reševanja 1 točka) .............................. 2 točki

25. Na skici je trikotnik .ABC


A

C

B

105°

12 cm

16 cm

25.1. Izračunajte dolžino stranice b AC= in kot a . Velikost kota zapišite v

stopinjah in minutah.

(6 točk)

25.2. Izračunajte ploščino trikotnika. Rezultat zaokrožite na 2cm natančno.

(4 točke) 25.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, katere osnovna ploskev je dani trikotnik,

njena višina pa 1 m.

(5 točk)


25.1. (6 točk)

• Izračunana stranica, npr. z uporabo kosinusovega izreka: 2 2 2 2 499,3865b c a a c cos= + − , 22,35 cm b ( 22 cm ) ...................... (1 + 1) 2 točki

• Računan kot, npr.: 2 2 2 499,3865 256 144

cos 0,854962 2 22,35 16

b c ab c

+ −+ −

= =

............................... (2* + 1) 3 točke

• Na minuto zaokrožena velikost kota: o31 15́ ( o31 14́ ) ....................................... 1* točka 25.2. (4 točke)

• Katerakoli pravilna formula za ploščino trikotnika ...................................................... 1 točka

• Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka

• Ploščina trikotnika, npr.: 292,728 cmS .................................................................. 1 točka

• Zaokrožena vrednost: 293 cmS ........................................................................... 1* točka

25.3. (5 točk)

• Upoštevanje: 1 m 100 cmv = = ................................................................................. 1 točka

• Izračunana prostornina prizme: ( ) 39300 9273 cmV .................................. (1* + 1) 2 točki

• Izračunana površina prizme: ali 25219 (5220 5221) cmP .......................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.

26. Izračunajte velikost kotov x in y , prikazanih na skici.

(4 točke)


y

q

p

x

p q

70 25


• Določen kot: o70 25'x = (ali o70,42 ) ........................................................................... 2 točki

• Računanje kota, npr.: o180y x= − ............................................................................. 1 točka

• Izračunan kot o109 35'y = (ali o109,58 ) .................................................................... 1 točka

27. Dan je trikotnik ABC s podatki: o5,27 cm, 3,12 cm in 46 25'.a c = = =

27.1. Narišite skico trikotnika in izračunajte ploščino danega trikotnika.

(8 točk) 27.2. Izračunajte dolžino težiščnice na stranico c .

(4 točke) 27.3. Ali je dani trikotnik enakokrak? Odgovor utemeljite.

(3 točke)


27.1. (8 točk)


C

BA c

a

• Skica .......................................................................................................... 1 točka

• Uporaba sinusnega izreka (zapis, vstavljeni podatki) ....................... (1* + 1) 2 točki

• Izračunan kot o o25,394 25 24' .............................................................. 1 točka

• Izračunan kot o108 11' .......................................................................... 1* točka

• Izračunana ploščina (obrazec, podatki, izračun): 27,8 cmS .... (1* + 1 + 1) 3 točke

27.2. (4 točke)

• Uporaba kosinusovega izreka za ct ............................................................. 2 točki

(Splošni zapis izreka le 1 točka)

• Vstavljeni podatki ....................................................................................... 1* točka

• Izračunana težiščnica 5,9 cmct ............................................................... 1 točka

27.3. (3 točke)

• Odgovor: Trikotnik ni enakokrak. ............................................................... 1* točka

• Utemeljitev, npr.: Vsi koti trikotnika so različni. ............................................ 2 točki

28. Izračunajte obseg lika na skici. Rezultat zaokrožite na milimeter natančno.

7 cm

5 cm

13 cm (4 točke)


• Izračunan ali upoštevan polmer: 3r = (ali 3 cmr = ) .................................................. 1 točka

• Zapis, npr.: 5 13 5 7 3o = + + + + ............................................................................ 1 točka

• Izračun (poenostavitev), npr.: (3 30) cmo = + .......................................................... 1 točka

• Rešitev: 394 mm o ( 39,4 cmo ) ......................................................................... 1 točka

Opomba: Če pri rešitvi ni ustreznih enot, kandidat ne dobi zadnje točke.


29. Na skici je osni presek pokončnega (krožnega) stožca. Izračunajte višino stožca in kot v vrhu osnega preseka stožca.

10 cm

13 cm

(5 točk)


• Zapisani ali upoštevani podatki: 5 cm, 13 cmr s= = ................................................ 1 točka

• Višina: 2 2 2v s r= - , 12 cmv = (ali 12v = ) .................................................. (1 + 1*) 2 točki

• Kot, npr.: sin2

rs

= ,

o45,24 ..................................................................... (1 + 1*) 2 točki

30. Točke ( ) ( ) ( )4,0 , 4,3 , 0,5A B C in koordinatno izhodišče so oglišča štirikotnika.

30.1. V dani koordinatni sistem natančno narišite štirikotnik in izračunajte njegovo ploščino.

(6 točk) 30.2. Izračunajte vse notranje kote štirikotnika.

(6 točk) 30.3. Kolikšna je dolžina daljše diagonale?

(3 točke)


y

x

1

10


30.1. (6 točk)

x

y

1

1

0

g

b

ad

A

B

C


• Narisan štirikotnik ....................................................................................................... 3 točke (Opomba: Za pravilni dve oglišči 1 točka, za tri pa 2 točki.)

• Ploščina štirikotnika: 16S = (postopek, račun, rešitev) .......................... (1* + 1 + 1) 3 točke

30.2. (6 točk)

• Kot pri A: o90 = ....................................................................................................... 1 točka

• Kot v izhodišču koordinatnega sistema: o90 = ....................................................... 1 točka

• Kot pri C, npr.: otan 2, 63,4 = ................................................................. (1 + 1) 2 točki

• Kot pri B, npr.: o360 = − − − , o116,6 ........................................... (1 + 1*) 2 točki

30.3. (3 točke)

• Ugotovitev ali uporaba, da je AC daljša diagonala ..................................................... 1 točka

• Izračunana diagonala: ( , ) 41 6,4d A C = ................................................................ 1 točka

• Odgovor: Daljša diagonala meri 41 (ali 6,4 ). ......................................................... 1 točka

31. Na dve decimalni mesti izračunajte ploščino osenčenega lika na skici.

10 cm10 cm

10 cm

(5 točk)


• Ploščina kvadrata: 21 100 cmS = ................................................................................ 1 točka

• Zapisan ali uporabljen polmer: 5 cmr = ................................................................... 1 točka

• Izračunana ploščina polkroga: 2225 39,27 cm

2S =

p ............................................... 1 točka

• Razlika ploščin: 1 2S S− ............................................................................................. 1* točka

• Rešitev: 260,73 cmS .............................................................................................. 1 točka

Opomba: Če je kandidat za vzel približek 3,14 , upoštevamo rešitev 260,75 cmS .

32. Dani sta premici 3 in 2 5.y x y x= = − +


32.1. Premici narišite v isti koordinatni sistem in izračunajte njuno presečišče.

(6 točk) 32.2. Izračunajte ploščino trikotnika, ki ga določata premici in abscisna os.

(4 točke) 32.3. Izračunajte največji notranji kot trikotnika na minuto natančno.

(5 točk)

y

x0

1

1


32.1. (6 točk)


y

x0

1

1

• Narisana premica 3y x= ........................................................................................... 1 točka

• Narisana premica 2 5y x= − + ..................................................................................... 2 točki

• Nastavljena enačba, npr.: 3 2 5x x= − + ..................................................................... 1 točka

• Presečišče: ( )1,3P (ali 1, 3x y= = ) ................................................................ (1 + 1) 2 točki

32.2. (4 točke)

1. način:

• Določena dolžina osnovnice: 2,5 ............................................................................... 1 točka

• Določena višina na osnovnico: 3 ............................................................................... 1 točka

• Formula za ploščino trikotnika .................................................................................... 1 točka

• Izračunana ploščina: 154

S = ...................................................................................... 1 točka

2. način:

• Zapisana oglišča trikotnika ......................................................................................... 1 točka

• Formula za ploščino trikotnika .................................................................................... 1 točka

• Vstavljeni podatki ......................................................................................................... 1 točka

• Izračunana ploščina: 154

S = ...................................................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat iz napačne slike odčita dolžino stranice in višine, dobi za oba podatka le 1 točko.

32.3. (5 točk)

• Ugotovitev ali upoštevanje, da je največji kot v 0 (izhodišče) ..................................... 1 točka

• Postopek računanja kota, npr.: 3tan1

= ................................................................... 2 točki

• Izračunan kot: o71,56 .......................................................................................... 1 točka

• Pravilna zaokrožitev o71 34' ................................................................................. 1 točka

Opomba: Za pravilno izračunan kot v enem od drugih dveh oglišč dobi kandidat 2 točki.

33. Dan je krog s polmerom 12 cm.


33.1. Izračunajte središčni kot, ki pripada 4 cm dolgi tetivi. Narišite skico.

(4 točke)

33.2. 73 % kroga je pobarvano z rdečo barvo. Koliko 2cm meri pobarvani del kroga?

(6 točk) 33.3. Izračunajte obseg in ploščino kvadrata, ki je krogu očrtan.

(5 točk)


33.1. (6 točk)

S

r r

t

• Skica s tetivo in označenim središčnim kotom ................................................ (1 + 1) 2 točki

• Postopek računanja kota, npr.: 2sin2

t

r= ................................................................. 1 točka

• Vstavljeni podatki, npr.: 1sin

2 6= .............................................................................. 1 točka

• Izračun, npr.: o9 36'2

............................................................................................. 1 točka

• Rešitev: o19 11' (ali o19,18 ) ................................................................................. 1 točka

33.2. (4 točke)

• Ploščina kroga: ( ) 2144 452,39 cmS = .................................................................. 1 točka

• Ploščina pobarvanega dela, npr. 1 0,73S S= ........................................................... 1 točka

• Vstavljen podatek za S ............................................................................................. 1* točka

• Rešitev: 21 330 cmS ................................................................................................ 1 točka

33.3. (5 točk)


2a r

• Ugotovitev, da je stranica kvadrata 24 cm ................................................................ 1 točka

• Izračunan obseg: 4 96 cmo a= = .................................................................... (1 +1) 2 točki

• Izračunana ploščina: 2 2576 cmS a= = ........................................................... (1 +1) 2 točki

34. Na skici je enakokraki trikotnik ABC ( | | | |AC BC= ). Izračunajte notranje kote trikotnika.

A B

C

o111 15

(4 točke)


• Izračunan kot: o68 45' = (ali o68,75 ) ..................................................................... 1 točka

• Upoštevanje: = ali o68 45' = (ali o68,75 ) ....................................................... 1 točka

• Zapis ali upoštevanje: o180 + + = ..................................................................... 1 točka

• Izračunan kot: o42 30' = (ali o42,5 ) ........................................................................ 1* točka

35. V ravnini je trikotnik ABC s podatki: o36 cm, 44 cm, 84a b = = = .


35.1. Izračunajte dolžino stranice c na centimeter natančno.

(4 točke) 35.2. Izračunajte velikost kota na stopinjo natančno.

(4 točke) 35.3. Izračunajte ploščino trikotnika in ploščino trikotniku včrtanega kroga.

(7 točk)


35.1. (4 točke)

• Pravilna formula, npr.: 2 2 2 2 cosc a b ab = + − .......................................................... 1 točka

• Vstavljene vrednosti, npr.: 2 2 2 o36 44 2 36 44 cos84c = + − .................................. 1 točka

• Računanje ( ali2 2900,85 c 53,86c ) .................................................................. 1* točka

• Rezultat: 54 cmc .................................................................................................... 1 točka

35.2. (4 točke)

• Pravilna formula, npr.: sin

sina

c

= ......................................................................... 1 točka

• Vstavljene vrednosti ................................................................................................... 1 točka

• Računanje ( ali osin 0,6647 41,66 ) ................................................................ 1 točka

• Rezultat: o42 ....................................................................................................... 1 točka

35.3. (7 točk)

1. način:

• Ploščina trikotnika: o

2sin 36 44 sin84 787,66 cm2 2

abS

= = ............................................. (1 + 1 + 1) 3 točke

• Polmer včrtanega kroga: 11,77 cmSrs

= ................................................... (1 + 1*) 2 točki

• Ploščina trikotniku včrtanega kroga: 2 2435,10 cmS r= .......................... (1 + 1*) 2 točki

2. način:

• Ploščina trikotnika: ( )( )( )S s s a s b s c= − − − ............................................................ 1 točka

• Vstavljeni podatki ...................................................................................................... 1* točka

• 2788,05 cmS ........................................................................................................ 1* točka

• Polmer včrtanega kroga: 11,76 cmSrs

= ................................................... (1 + 1*) 2 točki

• Ploščina trikotniku včrtanega kroga: 2 2434,47 cmS r= .......................... (1 + 1*) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi vse točke za izračun polmera in ploščine, če je računal z zaokroženimi

podatki in dobil npr.: 211,76 cm; 434,25 cm .r S

Opomba: Če kandidat nikjer ne zapiše enot ali zapiše napačne enote, v celoti izgubi 1 točko.

36. Na skici je pravokotni trikotnik.


A B

C

10,2

4

Izračunajte velikosti kotov in . Rezultat zapišite na minuto natančno.

(5 točk)


• Pravilna uporaba kotne funkcije ................................................................................. 1 točka

• Izračunana vrednost k. funkcije, npr.: sin 0,3922 ................................................ 1 točka

• Izračunan kot: o23,089 ........................................................................................ 1 točka

• Upoštevana natančnost: o23 5' .......................................................................... 1* točka

• Izračunan drugi kot: o66 55' ............................................................................... 1* točka

37. Polmer pokončnega stožca meri ,3 cm stranica stožca pa .5 cm Skicirajte stožec in označite

osni presek. Izračunajte ploščino osnega preseka.

(5 točk)


• Skica stožca (tudi brez označenega osnega preseka) ............................................... 1 točka

1. način:

• Izračunana višina: 2 2 ,v s r= − 4 cmv = ...................................................... (1 + 1) 2 točki

• Izračunana ploščina: 212 cmS = (formula + izračun) ...................................... (1 + 1) 2 točki

2. način:

• Uporaba oziroma zapis Heronovega obrazca ............................................................ 1 točka

• Izračun oziroma upoštevanje 8s = (polovica obsega) ............................................... 1 točka

• Upoštevani podatki ..................................................................................................... 1 točka

• Rešitev: 212 cmS = ................................................................................................... 1 točka


38. V trikotniku merita stranici 10 cmc = in 16 cmb = . Kot med njima meri o62 . Izračunajte dolžino

stranice a na centimeter natančno.

(4 točke)


• Zapisan ali uporabljen kosinusov izrek ....................................................................... 1 točka

• Vstavljeni podatki, npr.: 2 2 2 o10 16 2 10 16 cos62a = + − ....................................... 1 točka

• Izračun, npr.: 2 205,768a ali 14,34a ................................................................. 1 točka

• Rešitev: 14 cma = ..................................................................................................... 1 točka

Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko tudi, če ne zapiše enote.

39. Pravilna 4-strana piramida je visoka 8 cm , dolžina stranskega roba je 15 cm . Narišite skico

piramide in označite kot med osnovno ploskvijo in stranskim robom. Nato izračunajte velikost

kota .

(5 točk)


• Skica piramide z označenim kotom ............................................................................. 2 točki (Brez kota le 1 točka.)

• Postopek računanja kota, npr.: ( )8sin 0,5333...15

vs

= = .......................... (1* + 1) 2 točki

• Rešitev, npr.: o32,23 (ali o32 14 ) ........................................................................ 1 točka

40. V enakokrakem trapezu ABCD meri kot o78 = . Narišite skico trapeza, označite vse notranje kote in izračunajte njihove velikosti.


(4 točke)


• Narisana skica trapeza z označenimi koti, npr.: , , , ....................................... 1 točka

• Rešitev: ( ) ( )ali alio o o78 , 102 , 102 = = = = = Za vsak kot ena točka. .............................................................................. (1 + 1 + 1) 3 točke

41. Vrt ima obliko pravokotnika z dolžino 10 m in širino 6 m. Gospodar bo vrt po dolžini povečal za

20 % in po širini zmanjšal za 15 %. Izračunajte, za koliko kvadratnih metrov 2(m ) se bo

spremenila ploščina vrta.

(5 točk)


• Prvotna površina vrta: 21 60 mS = ............................................................................. 1 točka

• Izračunana nova dolžina: 12 m (ali upoštevano povečanje dolžine) ......................... 1 točka

• Izračunana nova širina: 5,1 m (ali upoštevano zmanjšanje širine) ............................ 1 točka

• Površina spremenjenega vrta: 22 61,2 mS = .............................................................. 1 točka

• Izračunana razlika, npr.: ( ) 22 1 1,2 mS S− = .............................................................. 1* točka

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, v celoti izgubi 1 točko.

42. Na skici je pravokotni trikotnik. Izračunajte stranice trikotnika.

x

x + 3x – 3

(5 točk)


• Nastavljena enačba, npr.: ( ) ( )2 223 3x x x+ = + − ....................................................... 2 točki

Opomba: Samo Pitagorov izrek 1 točka.

• Urejena enačba, npr.: 2 12 0x x− = ........................................................................... 1* točka

• Rešitev enačbe: 1 20, 12x x= = ................................................................................. 1 točka

• Stranice: 9,12,15 ....................................................................................................... 1 točka


43. Narišite premico z enačbo 2 5y x= + in izračunajte njen naklonski kot na minuto natančno.

(5 točk)


• Narisana premica ......................................................................................................... 2 točki

• Zapis tan 2 = ........................................................................................................... 1 točka

• Izračunan kot: o63,43 .......................................................................................... 1 točka

• Rešitev: o63 26' ................................................................................................. 1* točka

44. Na eno decimalno mesto natančno izračunajte ploščino osenčenega lika na skici.

10 cm

10 c

m10 cm

10 cm

10 cm

(5 točk)


• Izračunana ploščina kvadrata: 21 100 (cm )S = .......................................................... 1 točka

• Izračunana ploščina trikotnika, npr.: 2

22

343,30 (cm )

4a

S = ..................... (1* + 1) 2 točki

• Razlika ploščin: 1 2S S− ............................................................................................ 1* točka

• Rešitev: 256,7 (cm )S ............................................................................................. 1 točka

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot ali če so enote napačno zapisane, v celoti izgubi 1 točko.

45. Pravokotnik s stranicama 10 cm in 4 cm zavrtimo okrog daljše stranice za o360 .

45.1. Narišite skico in izračunajte površino nastalega valja na 2mm natančno.

(6 točk) 45.2. Izračunajte dolžino najdaljše toge palice, ki bi jo še skrili v ta valj.

(4 točke) 45.3. Kolikšen kot oklepa ta palica z osnovno ploskvijo valja? Kot označite na skici.


(5 točk)


45.1. (6 točk)

• Skica valja ................................................................................................................... 1 točka

b r

a v

• Ugotovitev: 4 cm, 10 cmr v= = ..................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Postopek, npr.: ( )2P r r v= + ................................................................................. 1* točka

• Izračun: ( ) 22 4 4 10 351,86 cmP = + ( 235186 mm ).............................. (1* + 1) 2 točki

45.2. (4 točke)

• Uporaba Pitagorovega izreka ..................................................................................... 1* točki

• Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka

• Računanje z rešitvijo: 164 12,8 cmd = .................................................... (1* + 1) 2 točki

45.3. (5 točk)

• Na skici označen kot ................................................................................................... 1 točka Opomba: Zadošča ena skica z narisanimi podatki.

r

v

d

• Uporaba kotne funkcije, npr.: tan2vr

= .................................................................... 1 točka

• Izračun, npr.: 10tan = 1,258

= ........................................................................ (1* + 1) 2 točki


• Rešitev: o51,34 .................................................................................................... 1 točka

46. V pravokotnem trikotniku ABC meri notranji kot o32 18'. = Izračunajte vse notranje in zunanje kote tega trikotnika. Rezultate zapišite v spodnjo razpredelnico.

Notranji koti trikotnika Ustrezni zunanji koti trikotnika

= 1 =

= 1 =

= 1 =

(4 točke)


• Rešitev:

Notranji koti trikotnika Ustrezni zunanji koti trikotnika o32 18' = o1 147 42' =

o57 42' = o1 122 18' =

o90 = o1 90 =

• Notranja kota ................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Vsi trije zunanji koti ......................................................................................... (1* + 1) 2 točki (Le dva zunanja kota 1 točka, le en zunanji kot 0 točk.)

Opomba: Pravilna rešitev je tudi o90 = .

Kandidat dobi vse točke, če zapiše vse kote v decimalnem zapisu. Kandidat dobi postopkovno točko, če iz napačnih notranjih kotov pravilno izračuna zunanje kote.

47. V rombu merita diagonali 16 cme = in 12 cm.f = Narišite skico romba in izračunajte njegov

obseg.

(5 točk)


A

a

fe

D C

B

a

a

a


• Narisana skica romba z diagonalama ........................................................................ 1 točka

• Uporabljen Pitagorov izrek, npr.: ( )22

2

2 2

fea

= +

................................................... 1 točka

• Vstavljeni podatki ......................................................................................................... 1 točka

• Izračunana stranica romba: 10 cma = ...................................................................... 1 točka

• Izračunan obseg: 40 cmo = .................................................................................... 1* točka

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če iz napačne stranice a izračuna obseg.

48. Na skici je trapez ABCD s podatki:

A B

CD

4 cm

4 cm

7 cm

48.1. Izračunajte obseg in ploščino trapeza.

(7 točk) 48.2. Izračunajte notranja kota trapeza v ogliščih A in .D

(5 točk) 48.3. Izračunajte natančno dolžino diagonale .BD

(3 točke)


48.1. (7 točk)

• Izračunana stranica ,AD npr.: 2 2 2(7 4) 4 25, 5 cmAD AD= − + = =

(postopek, uporabljeni podatki, izračun) .................................................. (1* + 1 + 1) 3 točke

• Izračunan obseg: 7 4 4 5 20 cmo = + + + = (postopek, izračun) ................... (1* + 1) 2 točki

• Izračunana ploščina: ( ) 27 4 4 22 cm

2S

+= = (postopek, izračun) ................ (1* + 1) 2 točki

48.2. (5 točk)

• Izračun kota pri oglišču A, npr.: 4tan 3

= (postopek, izračun) .................... (1* + 1) 2 točki

• Izračunan kot , npr.: o53,13 ............................................................................ 1 točka

• Kot pri oglišču ,D npr.: o180 = − ....................................................................... 1* točka

• Izračunan kot , npr.: o126,87 .......................................................................... 1* točka

48.3. (3 točke)

• Izračun dolžine diagonale, npr.: 2 2 24 4 32BD = + = (postopek, izračun) ...... (1 + 1) 2 točki


• Rešitev: 4 2 cmBD = ............................................................................................. 1 točka

Opomba: Kandidat dobi postopkovne točke, če iz napačnih podatkov izračuna iskano količino.

49. Natančno narišite pravokotni trikotnik ABC s pravim kotom pri oglišču C ter s stranicama

5AC = cm in 6BC = cm. Izračunajte kot pri oglišču B .

(4 točke)


• Narisan trikotnik z označenimi oglišči ................................................................ (1 +1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi obe točki tudi, če pri risanju ne uporabi šestila.

• Nastavek enačbe, npr.: 5tan6

= ............................................................................ 1* točka

• Rešitev, npr.: o39,81 ............................................................................................ 1 točka

50. Enaki pravokotni deščici s širino 12 cm oklepata kot o35 (glejte sliko). Izračunajte ploščino

osenčenega romba.

35

12 cm

(5 točk)


• Ugotovitev, da je višina romba 12 cmv = ali da je kot o35 = ................................. 1 točka

• Uporaba kotne funkcije, npr.: o12sin35a

= ................................................................ 1 točka

• Stranica romba: o

12 cmsin35

a = ali 20,92 cma .................................................... 1 točka


• Uporaba formule za ploščino romba ......................................................................... 1* točka

• Izračunana ploščina romba, npr.: 2251,06 cmS .................................................... 1 točka

51. Kvadratu s stranico 7 cm odrežemo enakokraki pravokotni trikotnik s krakoma 4 cm (glejte sliko). Izračunajte obseg tako nastalega petkotnika.

(4 točke)


• Uporaba Pitagorovega izreka za izračun hipotenuze pravokotnega trikotnika,

npr.: 2 2 24 4x = + ........................................................................................................ 1 točka

• Izračun, npr.: 4 2 cmx = .......................................................................................... 1 točka

• Ugotovitev, da so preostale stranice dolge 3 cm , 3 cm , 7 cm , 7 cm ..................... 1 točka

• Izračun obsega, npr.: 7 7 3 3 4 2 20 4 2 cmo = + + + + = + ................................... 1* točka

Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko za vsak pravilno zaokrožen rezultat.

52. V ostrokotnem trikotniku ABC kot med višino cv in stranico b meri o40 , kot pa o65 . Narišite

skico. Izračunajte preostala notranja kota trikotnika .ABC

(5 točk)



40

cv

A B

C

b

• Skica ........................................................................................................................... 1 točka

• Izračun kota , npr.: o o o o180 40 90 50 = − − = ........................................... (1 + 1) 2 točki

• Izračun kota , npr.: o o o o180 65 50 65 = − − = ............................................ (1 + 1) 2 točki

53. Osnovna ploskev pokončne štiristrane piramide je kvadrat z dolžino stranice 2 dm. Višina

piramide je 6 dm.

53.1. Narišite skico in izračunajte prostornino piramide.

(5 točk) 53.2. Izračunajte površino piramide.

(7 točk) 53.3. Izračunajte dolžino stranskega roba piramide.

(3 točke)


53.1. (5 točk)

V

s

C

BA

D

v

• Narisana in označena skica ............................................................................. (1 + 1) 2 točki

• Zapis ali uporaba formule: 2

3a v

V

= ......................................................................... 1 točka

• Rezultat: 38 dmV = ....................................................................................... (1* + 1) 2 točki

53.2. (7 točk)

• Zapis ali uporaba formule za višino stranske ploskve: ( )2

2

2aa

v v= + ...................... 2 točki

• Izračun višine, npr.: 37 6,08 dmav = ................................................................... 1 točka


• Zapis ali uporaba formule: 2 42

aa vP a

= + ........................................... (1* + 1 + 1) 3 točke

• Rezultat, npr.: 228,33 dmP .................................................................................... 1 točka


53.3. (3 točke)

• Zapis ali uporaba formule: ( )2

2

2 aa

s v= + ali

2

222

as v

= +

................. (1* + 1) 2 točki

• Izračun stranskega roba, npr.: 38 dm 6,16 dms = .............................................. 1 točka


54. Navpični zid je visok 4,8 m. Matej ima 5,2 m dolgo lestev. Pod kakšnim kotom glede na ravna

tla jo mora položiti, da bo z njo dosegel natanko vrh zidu? Narišite skico.

(4 točke)


• Skica ........................................................................................................................... 1 točka

• Uporaba kotne funkcije, npr.: 4,8

sin5,2

= .................................................................. 1 točka

• Izračun, npr.: ( )o o67,4 tudi 112,6 .............................................................. 1* točka

• Odgovor: Matej mora položiti lestev pod kotom o67,4 . ............................................ 1* točka

Opomba: Upoštevajo se vsi rezultati, dobljeni s pravilnim zaokroževanjem.

55. Na skici je pokončna tristrana prizma ABCDEF . Kot ABC meri 150 , 33 cmAB = in

40 cm.BC = Višina prizme je 56 cm.

A

B

C

D

E

F

55.1. Izračunajte dolžino daljice .BD


(3 točke)

55.2. Izračunajte prostornino prizme. Rezultat zapišite v 3dm .

(6 točk)

55.3. Izračunajte ploščino plašča prizme. Rezultat zapišite v 2dm .

(6 točk)


55.1. (3 točke)

• Uporaba Pitagorovega izreka ..................................................................................... 1 točka

• Uporabljeni podatki ..................................................................................................... 1 točka

• Rezultat: 65 cmBD = ............................................................................................... 1 točka

55.2. (6 točk)

• Uporaba formule za ploščino osnovne ploskve. ......................................................... 1 točka

• Izračun: 2330 cmOS = ................................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Rezultat: 3 318480 cm 18,480 dmV = = .................................................. (1* + 1 + 1) 3 točke


55.3. (6 točk)

• Zapis in uporaba kosinusnega izreka .............................................................. (1*+ 1) 2 točki

• Izračun: 70,54 cmAC ........................................................................................... 1 točka

• Uporaba formule za ploščino plašča .......................................................................... 1 točka

• Rezultat: 2 28038,24 cm 80,38 dmplS ..................................................... (1 + 1) 2 točki


56. V enakokrakem pravokotnem trikotniku ABC meri hipotenuza 10 2c = cm. Narišite skico in

natančno izračunajte ploščino trikotnika .ABC

(5 točk)


• Narisana skica ............................................................................................................ 1 točka

A

C

B

a a

c

• Ustrezna strategija reševanja, npr. upoštevanje Pitagorovega izreka ....................... 1 točka

• Izračun katet trikotnika: 10 cma = ............................................................................. 1 točka

• Uporaba formule za ploščino trikotnika, npr.: 2

2a

S = ................................................ 1 točka


• Rezultat: 250 cmS = ................................................................................................ 1* točka

57. Kolesi na sliki sta se enkrat zavrteli in v snegu pustili sled. Izpišite podatek, ki ga potrebujete za izračun polmera kolesa. Izračunajte polmer kolesa na centimeter natančno.

65 cm

2 cm

1,04 m

(5 točk)


• Izpisan podatek: 1,04 m ............................................................................................. 1 točka

• Pretvorba: 1,04 m = 104 cm ...................................................................................... 1 točka

• Zapis enačbe, npr.: 104 2 r= ................................................................................. 1* točka

• Preoblikovanje enačbe, npr.: 104 16,6 cm2

r

= ....................................................... 1 točka

• Rezultat: 17 cmr .................................................................................................. 1* točka

58. Na sliki je pravilna šeststrana prizma. Obseg osnovne ploskve meri 18 cm , višina prizme pa

8 cm .

DE

CF

BA

A

F

E D

C

B

a a

aa

a

a

v


58.1. Narišite skico osnovne ploskve in izračunajte dolžino osnovnega roba.

(3 točke) 58.2. Izračunajte ploščino plašča in jo izrazite v kvadratnih metrih.

(4 točke)

58.3. Natančno izračunajte prostornino prizme in dolžino telesne diagonale .AD

(8 točk)


58.1. (3 točke)

• Narisana skica ............................................................................................................ 1 točka

A

C

B

F

E D

a

a

a a

a

a

• Upoštevanje enačbe: 6o a= .................................................................................... 1 točka

• Izračun osnovnega roba: 3 cma = ............................................................................ 1 točka

58.2. (4 točke)

• Upoštevanje enačbe: 6plS a v= .................................................................. (1 + 1) 2 točki

• Rezultat: 2144 cmplS = ............................................................................................ 1* točka

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko le, če je pravilno upošteval vrednost višine.

• Pretvorba: 20,0144 mplS = ..................................................................................... 1* točka

58.3. (8 točk)

• Upoštevanje enačbe: 2 3

64o

aS

= ......................................................................... 1 točka

• Izračun ploščine osnovne ploskve, npr.: 227 3 cm

2oS

= ....................................... 1* točki

• Upoštevanje enačbe: oV S v= .................................................................................. 1 točka

• Rezultat: 3108 3 cmV = ....................................................................................... 1* točka

Opomba: Kandidat ne dobi zadnje točke, če rezultat ni natančno izračunan.

• Upoštevanje dolžine: 6 cmAD = ............................................................................. 1 točka

• Upoštevanje Pitagorovega izreka: 2 2 2AD AD v = + ............................................... 1 točka

• Rezultat: 10 cmAD = .................................................................................. (1* + 1) 2 točki


59. Izračunajte dolžino hipotenuze pravokotnega trikotnika na skici:

30

2 2x +

5 1x +

(5 točk)

Rešitev 59. Skupaj (5 točk)

• Uporaba kotnih funkcij: o 2 2sin305 1

xx+

=+

.................................................................... 1 točka

• Upoštevanje o 1sin302

= ............................................................................................ 1 točka

• Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka

• Izračun: 3x = ............................................................................................................. 1 točka

• Zapis dolžine hipotenuze, npr.: 16AB = ................................................................ 1* točka

60. Metrsko ravno palico smo po dolžini razžagali na pet različnih kosov z dolžinami

3 1350 mm, dm, m2 4

in 0,12 dm. Natančno izračunajte, koliko meri peti kos.

(4 točke)


• Zapis dolžin v isti enoti, npr.: 35 cm, 15 cm, 25 cm, 1,2 cm ...................................... 2 točki

Opomba: Kandidat dobi 1 točko za dve pravilno zapisani dolžini.

• Zapis, npr.: 100 35 15 25 1,2x = − − − − ................................................................... 1* točka

• Rezultat, npr.: 23,8 cmx = ........................................................................................ 1 točka

61. V trikotniku ABC velja: 12 cm, 8 cmb c= = in o135 = . Izračunajte dolžino stranice a in

ploščino trikotnika .ABC

(5 točk)


• Uporaba kosinusnega izreka: 2 2 212 8 2 12 8 cos135a = + − ................................ 1 točka

• Izračun, npr.: 2 208 96 2a = + .................................................................................. 1 točka

• Rezultat, npr.: 18,54 cma ...................................................................................... 1 točka



• Uporaba formule za ploščino trikotnika, npr.: o12 8 sin135

2S

= .............................. 1 točka

• Rezultat, npr.: 233,94 cmS .................................................................................... 1 točka


62. Novakovi so v kopalnici, ki je dolga ,3,6 m široka 3 m in visoka ,2,4 m položili nove keramične

ploščice, vsaka ploščica meri .20 cm 30 cm S ploščicami so popolnoma prekrili tla in dve

sosednji steni.

62.1. Koliko kvadratnih metrov površine so prekrili s keramičnimi ploščicami?

(5 točk) 62.2. Koliko ploščic so uporabili?

(4 točke)

62.3. Kvadratni meter ploščic stane 15 evrov. Koliko denarja bi prihranili pri nakupu ploščic,

če bi s ploščicami prekrili le tla in manjšo steno?

(6 točk)


62.1. (5 točk)

• Izračun površine, npr.: 3,6 3 3 2,4 3,6 2,4S = + + ................................ (1 + 1 + 1) 3 točke

• Rezultat: 226,64 mS = ............................................................................................... 1 točka

• Odgovor, npr.: S keramičnimi ploščicami so prekrili 226,64 m površine. . ................. 1 točka

62.2. (4 točke)

• Izračun ploščine ploščice, npr.: 220 30 600 cmpS = = ............................................ 1 točka

• Nakazano deljenje .................................................................................................... 1* točka

• Rezultat: 444 ............................................................................................................. 1 točka

• Odgovor, npr.: Uporabili so 444 ploščic. ................................................................... 1 točka

62.3. (6 točk)

• Izračun ploščine, npr.: 1 3,6 3 3 2,4S = + (ali 1 3,6 2,4S S= − ) ............................. 1* točka

• Rezultat: 21 18 mS = ................................................................................................... 1 točka

• Vrednost nakupa ploščic za ploščino 1S : 270 evrov ................................................ 1 točka

• Vrednost nakupa ploščic za ploščino S : 399,60 evra .............................................. 1 točka

• Razlika: 129,60 evra ................................................................................................ 1* točka

• Odgovor, npr.: Če bi prekrili le tla in manjšo steno, bi prihranili 129,60 evra. ........... 1 točka

63. Dan je trikotnik .ABC Daljica EF je vzporedna stranici .AB Izračunajte velikosti neznanih kotov

in .

(4 točke)


A B

C

o60

o50

E F


• Upoštevanje, da je vsota notranjih kotov trikotnika enaka o180 ................................ 1 točka

• Rešitev: o70 = ........................................................................................................ 1 točka

• Upoštevanje, da je o180 + = ................................................................................ 1 točka

• Rešitev: o110 = ....................................................................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu ne napiše enot, se mu v celoti odšteje 1 točka.

64. Krožišče ima zunanji polmer 8 mR = in notranji polmer 4 m.r = Izračunajte ploščino cestišča.

R

r

(4 točke)


• Izračun ploščine večjega kroga, npr.: 264 201,06 mVS = .................................. 1 točka

• Izračun ploščine manjšega kroga, npr.: 216 50,27 mMS = ............................... 1 točka

• Rezultat, npr.: 248 150,79 mV MS S S = − = .......................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko za upoštevanje razlike ploščin krogov.

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu ne napiše enot, se mu v celoti odšteje 1 točka.


65. Pravokotni trikotnik s katetama 24 cm in 18 cma b= = zavrtimo okrog katete a za o360 .

a

b

65.1. Izračunajte kot ob vrhu osnega preseka nastalega stožca.

(5 točk) 65.2. Izračunajte ploščino plašča stožca.

(5 točk) 65.3. Izračunajte prostornino stožca in jo izrazite v kubičnih decimetrih.

(5 točk)


65.1. (5 točk)

• Uporaba obrazca za izračun kota nasproti katete ,b npr.: 18tan24

ba

= = ...... (1 + 1) 2 točki

• Izračun kota , npr.: o36,87 ............................................................................. 1* točka

• Ugotovitev, da je kot ob vrhu osnega preseka enak 2 ............................................ 1 točka

• Izračun kota ob vrhu osnega preseka, npr: o2 73,74 ......................................... 1* točka

65.2. (5 točk)

• Uporaba obrazca za izračun ploščine plašča stožca: plS rs= ................................ 1 točka

• Ugotovitev, da je polmer r enak kateti b in stranica s enaka hipotenuzi c ... (1 + 1) 2 točki

• Izračun stranice: 2 2 30 cmc a b+ == ...................................................................... 1 točka

• Izračun ploščine plašča stožca, npr.: 2540 1696,46 cmplS = ............................ 1* točka

65.3. (5 točk)

• Uporaba obrazca za izračun prostornine stožca: 2

3r v

V

= ....................................... 1 točka

• Ugotovitev, da je višina v enaka kateti a .................................................................. 1 točka

• Izračun prostornine stožca, npr.: 32592 8143,01 cmV = ......................... (1 + 1*) 2 točki

• Pretvorba v kubične decimetre, npr.: 38,14 dmV ................................................. 1* točka


66. Ravno zemljišče ima obliko trikotnika. Ena stranica meri 70m . Drugi dve oklepata z njo kota o24

in o78 . Izračunajte velikost (ploščino) zemljišča.

(5 točk)


• Tretji kot, npr.: o78 = .................................................................................................... 1 točka

• Izračunana druga stranica, npr.: 29,11 (m)a .................................................. (1* + 1) 2 točki

• Izračunana ploščina zemljišča: 2996,5 mS ................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Ploščino, izračunano neposredno z ugotovitvijo, da je trikotnik enakokrak, npr.: 2

2sin 996,5 m2

cS

= , vrednotimo s 5 točkami.

67. Ploščina osnovne ploskve pokončnega stožca meri 264 cm , stranica pa je dolga 10 cm .

67.1. Narišite skico stožca ter izračunajte kot med stranico stožca in osnovno ploskvijo na minuto natančno.

(5 točk) 67.2. Izračunajte prostornino stožca na dve decimalni mesti natančno.

(5 točk) 67.3. Natančno izračunajte ploščino osnega preseka in plašč stožca.

(5 točk)


67.1. (5 točk)

• Skica ................................................................................................................................ 1 točka


• Polmer osnovne ploskve: 8 cmr = ................................................................................. 1 točka

• Izračunana velikost kota, npr.: cos 0,8rs

= = , o36,86 ............................... (1* + 1) 2 točki

• Zaokrožitev na minuto natančno: o36 52́ ................................................................. 1 točka

67.2. (5 točk)

• Višina stožca: 6 (cm)v = .................................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Prostornina: 3402,1238... cmV ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

• Zaokrožitev: 3402,12 cmV .......................................................................................... 1 točka

67.3. (5 točk)

• Ploščina preseka, npr.: pS r v= ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

• Rešitev: 248 cmpS = ...................................................................................................... 1 točka

• Plašč: 280 cmplS = ........................................................................................... (1* + 1) 2 točki

68. Na sliki je romb s stranico 6 cma = in kotom o20 = . Izračunajte, koliko merita kot in višina v .

(4 točke)

a

av



• Izračun kota , npr.: o o90 70 = − = .................................................................... 1 točka

• Izračun kota b : o o180 110 = − = ........................................................................ 1 točka

• Uporaba kotne funkcije, npr.: cos va

= .................................................................. 1* točka

• Rezultat, npr.: 5,64 cmv ......................................................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, se mu v celoti odšteje 1 točka.

69. Dan je trikotnik ABC s stranicama 5 cm,b = 9 cmc = in kotom o70 = . Izračunajte dolžino

stranice a na dve decimalni mesti natančno.

(4 točke)


• Zapis kosinusnega izreka: 2 2 2 2 cosa b c bc = + − .................................................... 1 točka

• Uporaba kosinusnega izreka: 2 2 2 o5 9 2 5 9 cos70a = + − ..................................... 1 točka

• Rezultat: 2 2 o5 9 2 5 9 cos70 8,67 cma = + − ....................................... (1* + 1) 2 točki

70. Na sliki je valjasto telo s kvadratno odprtino v sredini in njegova osnovna ploskev. Višina telesa

meri 9,1 cm, stranica kvadrata 8,4 cmAB = in polmer kroga 7,4 cm.SC =

S

C

A B

70.1. Izračunajte ploščino osnovne ploskve telesa.

(3 točke) 70.2. Izračunajte površino telesa.

(6 točk) 70.3. Izračunajte prostornino telesa.

(6 točk)



70.1. (3 točke)

• Izračun ploščine kroga, npr.: 2 27,4 172,03 cmKrS = .......................................... 1 točka

• Izračun ploščine kvadrata, npr.: 2 28,4 70,56 cmKvS = ........................................... 1 točka

Documents

FORMULE - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2019/11/M21R.pdf · FORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija Razdalja dveh točk v ravnini: dAB(,)