FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA

S K R I P S I

Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1

untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh

Nama : Susanto

Nim : 4150403010

Program Studi : Matematika S1

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2007

PENGESAHAN

SKRIPSI

Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:

Hari :

Tanggal :

Panitia Ujian

Ketua, Sekretaris,

Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130781011 NIP. 130815345 Pembimbing Utama, Ketua Penguji,

Drs. Moch. Chotim, M.S Drs. Kartono, M.Si NIP. 130781008 NIP. 130815346 Pembimbing Pendamping, Anggota Penguji,

Drs. Wuryanto, M.Si Drs. Moch. Chotim, M.S NIP. 131281225 NIP. 130781008 Anggota Penguji,

Drs. Wuryanto, M.Si NIP. 131281225

ii

ABSTRAK

Susanto. 4150403010. 2007. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya. Skripsi. Program Studi Matematika. Jurusan Matematika.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri Semarang.

Dalam persoalan matematika terapan digunakan banyak sekali

kombinasi tertentu fungsi-fungsi eksponen dan . Sehingga fungsi-fungsi yang memuat kombinasi tersebut diberi nama khusus salah satunya adalah fungsi hiperbolik. Telah banyak buku-buku kalkulus yang menulis tentang fungsi hiperbolik, namun tidak banyak yang menulis tentang penurunan rumus atau formula dari fungsi hiperbolik. Permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini adalah bagaimana membangun fungsi hiperbolik dan menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. Pertimbangan lebih jauh dari masalah ini adalah bahwa tidak semua fungsi hiperbolik mempunyai invers pada daerah asalnya. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.

xe xe−

Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku atau literatur. Teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini adalah teori tentang fungsi, limit fungsi, turunan dan integral, fungsi invers, fungsi logaritma serta fungsi eksponen. Dari pengertian tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam.

Hasil dari penelitian ini adalah fungsi hiperbolik dibangun oleh dua

fungsi p dan q dengan +→ RRp : ,2

)(xexp = dan +→ RRq : ,

2)(

xexq−

= .

Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q, dengan demikian )()()( xqxpxf += dan

)()()( xqxpxg −= . Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi f dan g memiliki kemiripan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri, salah satunya adalah kesamaan dasar fungsi yang memiliki kemiripan dengan sifat

pada fungsi trigonometri. Dengan mengacu pada sifat-sifat tersebut, kemudian dikembangkan suatu ide untuk menyatakan fungsi f dan g sebagai fungsi hiperbolik.

1)()( 22 =− xgxf1sincos 22 =+ xx

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai bahan bacaan atau referensi bagi mahasiswa matemetika khususnya dan masyarakat pada umumnya. Kata Kunci : fungsi eksponen, fungsi hiperbolik, turunan, dan invers.

iii

MOTTO DAN PERUNTUKAN

MOTTO

With passion, with terminations, and with hard work we can to reach our dream

come true.

Remember, the problems ahead of you are never as great as the power behind

you.

PERUNTUKAN

Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.

Kuperuntukan karya ini kepada:

1. Bapak Suyanto dan Ibu Kikis atas doanya

2. Semua Saudara dan Kerabat

3. Guru dan sahabatku

4. All My lovely friends..

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan

petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan

skripsi yang berjudul ”Fungsi Hiperbolik dan Inversnya”.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.

2. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri

Semarang.

3. Drs. Moch Chotim, M.S, Pembimbing utama yang telah memberikan

bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

4. Drs. Wuryanto, M.Si, Pembimbing pendamping yang telah memberikan

bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

5. Bapak dan ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik

secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.

6. Semua keluarga yang telah memberikan dukungan dan semangat serta doa

hingga terselesaikanya skripsi ini.

7. Teman-temanku Gandhi, Iwan, Bambang, dan semua angkatan 2003, terima

kasih atas semuanya.

8. Kelurga Besar ” Pandawa Kost ” Bapak Sodri sekeluarga, Rudi, Eko Budi,

dan Mas Arief yang tiada henti memotivasi penulis agar segera

menyelesaikan skripsi ini.

v

9. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan

semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.

Semarang, Agustus 2007

Penulis,

vi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ ii

ABSTRAK ...................................................................................................... iii

MOTTO DAN PERUNTUKAN ................................................................... iv

KATA PENGANTAR.................................................................................... v

DAFTAR ISI................................................................................................... vii

DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ix

BAB I PENDAHULUAN............................................................................ 1

A. Latar belakang .............................................................................. 1

B. Permasalahan................................................................................ 2

C. Tujuan penelitian.......................................................................... 2

D. Manfaat penelitian........................................................................ 2

E. Sistematika penulisn skripsi ......................................................... 3

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5

A. Fungsi ........................................................................................... 5

B. Limit Fungsi ................................................................................. 6

C. Kekontinuan Fungsi ..................................................................... 7

D. Turunan ........................................................................................ 9

E. Integral.......................................................................................... 14

F. Fungsi Invers, Logaritma, dan Eksponen..................................... 20

BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 32

A. Menentukan masalah.................................................................... 32

B. Merumuskan masalah................................................................... 32

C. Studi pustaka ................................................................................ 32

D. Analisis dan pemecahan masalah ................................................. 33

E. Penarikan simpulan ...................................................................... 33

vii

BAB IV PEMBAHASAN............................................................................... 34

A. Fungsi Hiperbolik......................................................................... 34

B. Turunan Fungsi Hiperbolik .......................................................... 42

C. Invers Fungsi Hiperbolik.............................................................. 46

D. Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ............................................... 59

E. Anti Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ....................................... 63

BAB V PENUTUP........................................................................................ 64

A. Simpulan....................................................................................... 64

B. Saran............................................................................................. 66

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 67

viii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 Diagram fungsi ................................................. 1 RDf →:

Gambar 2 Grafik fungsi f kontinu di titik a.......................................... 8

Gambar 3 Grafik fungsi +→ RRp : ,2

)(xexp = ................................ 34

Gambar 4 Grafik fungsi +→ RRq : ,2

)(xexq

−

= ............................... 35

Gambar 5 Grafik fungsi ),0[: ∞→Rf , )()()( xqxpxf += ............. 35

Gambar 6 Grafik fungsi , RRg →: )()()( xqxpxg −= .................... 36

Gambar 7 Grafik fungsi )1,1(: −→Rf , xxf tanh)( = ..................... 41

Gambar 8 Grafik fungsi ),1()1,(: ∞∪−−∞→Rf , ..... 41 xxf coth)( =

Gambar 9 Grafik fungsi , ]1,0(: →Rf hxxf sec)( = ........................ 42

Gambar 10 Grafik fungsi , ......................... 48 RRf →: xxf 1sinh)( −=

Gambar 11 Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = ................ 49

Gambar 12 Grafik fungsi ),0[),1[: ∞→∞f , ............. 50 xxf 1cosh)( −=

Gambar 13 Grafik fungsi ),()1,1(: ∞−∞→−f , ......... 53 xxf 1tanh)( −=

Gambar 14 Grafik fungsi ),(),1()1,(: ∞−∞→∞∪−−∞f ,

xxf 1coth)( −= .................................................................... 55

Gambar 15 Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = .................. 56

Gambar 16 Grafik fungsi ),0[]1,0(: ∞→f , ............... 58 xhxf 1sec)( −=

ix

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Kalkulus sebagai salah satu cabang ilmu matematika merupakan ilmu

yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi yang telah

dikembangkan secara terpisah oleh matematikawan asal Inggris Issac Newton

pada abad ke 17 dan matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz.

Diferensiasi dan integrasi merupakan dua operasi matematis yang saling

berkebalikan. Pada intinya, diferensial (teori diferensiasi ) berkenaan dengan

penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori integrasi)

berkenaan dengan pembentukan suatu fungsi apabila tingkat perubahan fungsi

yang bersangkutan diketahui.

Keampuhan Kalkulus, baik berupa turunan maupun integral tak perlu

diragukan lagi sebagai sarana ampuh untuk memecahkan berbagai

permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan nyata. Fungsi logaritma dan

fungsi eksponen sebagai bagian dari kalkulus telah memberi pengaruh yang

besar dalam perkembangan Kalkulus. Dalam persoalan matematika terapan

banyak sekali digunakan kombinasi-kombinasi tertentu fungsi eksponen xe

dan xe− sehingga kombinasi fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus, salah

satunya adalah fungsi hiperbolik. Namun bagaimana membangun fungsi

hiperbolik merupakan suatu permasalahan yang menarik untuk kita kaji

secara mendalam untuk kemudian ditemukan solusinya.

1

2

Dalam penelitian ini juga akan dikaji mengenai invers fungsi

hiperbolik. Fungsi invers pada dasarnya ditentukan untuk memperluas dan

memperkaya fungsi-fungsi. Invers merupakan salah satu cara yang dapat

ditempuh untuk memproduksi fungsi baru yakni dengan mengambil fungsi-

fungsi lama kemudian membalikan atau menginverskan fungsi-fungsi

tersebut. Dengan mengacu pada konsep invers pada fungsi biasa tersebut,

kemudian akan dikembangkan untuk menentukan invers pada fungsi

hiperbolik. Selanjutnya konsep diferensi dan integrasi yang merupakan inti

dari Kalkulus akan diterapkan untuk menentukan turunan dan anti turunan

fungsi hiperbolik dan inversnya.

Dari uraian di atas maka penulis ingin mengangkat judul “Fungsi

Hiperbolik dan Inversnya”, sebagai judul skripsi.

B. PERMASALAHAN

Permasalahan yang akan dikaji dalam penulisan ini adalah:

1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?

2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti

turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?

C. TUJUAN PENELITIAN

Mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta

turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.

3

D. MANFAAT PENELITIAN

Mendapatkan suatu wawasan dan pengetahuan tentang fungsi

hiperbolik dan inversnya.

E. SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI

Penulisan skripsi nantinya akan dibagi menjadi tiga bagian, yakni

bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir.

Bagian awal, memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan,

halaman motto, halaman peruntukan, kata pengantar, dan daftar isi.

Bagian isi terbagi atas 5 bab, yakni:

BAB I PENDAHULUAN

Membahas tentang alasan pemilihan judul, permasalahan yang

diangkat, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika

penulisan skripsi.

BAB II LANDASAN TEORI

Mencakup pembahasan materi-materi pendukung yang digunakan

dalam pemecahan masalah.

BAB III METODE PENELITIAN

Memaparkan tentang prosedur dan langkah-langkah yang

dilakukan dalam penelitian ini meliputi menemukan masalah,

perumusan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan

masalah, dan penarikan simpulan.

4

BAB IV PEMBAHASAN

Dalam bab ini berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian.

BAB V PENUTUP

Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang

ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri

khususnya.

Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiran-

lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.

BAB II

LANDASAN TEORI

A. FUNGSI

Definisi 1.

Dipunyai D dan R dua himpunan dengan elemen real. Sebuah fungsi f adalah

padanan yang mengawankan setiap elemen x di D dengan tepat satu elemen

f(x) di R ditulis dengan simbol f: D →R. Dengan kata lain jika a∈D, b, b’∈R

dan (a, b), (a, b’)∈ f maka b = b’.

Himpunan D dinamakan daerah asal (domain) f, dan himpunan R dinamakan

daerah hasil atau jelajah (range) f, dan himpunan semua peta unsur di D oleh f

disebut daerah hasil f. Contoh fungsi deberikan pada Gambar 1.

Gambar 1: Diagram fungsi f : D →R

Contoh 1

Dipunyai f: D →R, D⊂R, f(x) = x2 + 5.

Tujukan f suatu fungsi.

5

6

Penyelesaian:

Ambil sembarang a, b∈D dengan a = b.

Jelas f(a) – f(b) = a2 + 5 – b2 - 5

= a2-b2

= 0.

Jadi )()(,,, bfafbaDba ==∈∀ .

Jadi f suatu fungsi.

Contoh 2

Dipunyai f: D →R, D⊂R2, f(x, y) = x2 + 2y.

Tunjukan f suatu fungsi.

Penyelesaian:

Ambil sembarang ),(),,( 2211 yxyx ∈D, ),(),( 2211 yxyx = .

Jelas 21 xx = dan 21 yy =

Jelas )2()2(),(),( 2221

212211 yxyxyxfyxf +−+=−

)2()2( 1211

21 yxyx +−+=

= 0.

Jadi ),(),(),,(),(,),(),,( 221122112211 yxfyxfyxyxDyxyx ==∈∀ .

Jadi f suatu fungsi.

B. LIMIT FUNGSI

Definisi 2.

Milsalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I, yang

memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit f(x) untuk x

mendekati a adalah L, ditulis:

7

Lxfax

=→

)(lim δεδε ε .

Pilih 4εδ = .

Dipunyai δ

8

Definisi tersebut menysaratkan tiga hal berikut yang harus dipenuhi agar suatu

fungsi f kontinu di a, yakni:

a. f(a) ada

b. )(lim xfax→

ada

c. )()(lim afxfax

=→

Ilustrasi fungsi kontinu diberikan pada Gambar 2.

Gambar 2: Fungsi f kontinu di titik a

Contoh 4

Buktikan fungsi f dengan f(x) = x2 + 2 kontinu di x = 1.

Bukti:

Dipunyai f(x) = x2 + 2.

Jelas f(1) = 1+2 = 3 dan 3212lim)(lim 211

=+=+=→→

xxfxx

.

Jadi 3)1()(lim1

==→

fxfx

.

Jadi f kontinu di x = 1.

9

D. TURUNAN (DIFERENSIAL)

Definisi 4.

Turunan fungsi f pada bilangan x dinyatakan dengan f’(x) adalah

f’(x) = 0

lim→h h

xfhxf )()( −+ , jika limitnya ada.

Jika f’ ada maka dikatakan f terdiferensial di x.

Contoh 5

Carilah turunan fungsi 98)( 2 +−= xxxf pada bilangan a.

Penyelesaian:

Dipunyai 98)( 2 +−= xxxf .

Jelas h

afhafafh

)()(lim)('0

−+=

→

haahaha

h

]98[]9)(8)[(lim22

0

+−−++−+=

→

haahahaha

h

989882lim222

0

−+−+−−++=

→

hhhah

h

82lim2

0

−+=

→

)82(lim0

−+=→

hah

82 −= a .

Konsep Turunan (Derivative Formulas)

a. Aturan Perpangkatan (Power of x Rule)

Jika f(x) = xn, dengan n bilangan real, maka f’(x) = nxn-1.

b. Aturan Fungsi Konstan (Constant Function Rule)

10

Jika f(x) = c, dimana c adalah konstanta, maka f’(x) = 0.

c. Aturan Koefisien (Coefficient Rule)

Jika f terdiferensial pada x, c konstanta, maka cf terdiferensial pada x dan

)(')()'( xcfxcf = .

d. Aturan Jumlah (Sum Rule)

Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x

dan )(')(')()'( xgxfxgf +=+ .

e. Aturan Selisih (Difference Rule)

Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x

dan )(')(')()'( xgxfxgf −=− .

f. Aturan Perkalian (Product Rule)

Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f. g) terdiferensialkan pada x

dan )(')()(')()()'.( xfxgxgxfxgf += .

g. Aturan Hasil Bagi (Quotient Rule)

Jika f dan g terdiferensialkan pada x, 0)( ≠xg maka gf terdiferensialkan

pada x dan ( ) 2)]([)(')()(')(

xgxgxfxfxgx

gf −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

h. Aturan Rantai (Chain Rule)

Jika f dan g fungsi yang terdiferensial dengan y = f(u) dan u = g(x), maka

y fungsi yang terddiferensial pada x, dan

)().( xgdxduf

dud

dxdy

= , atau dapat dituliskan dxdu

dudy

dxdy .= .

11

Bukti:

(a) Dipunyai f(x) = xn.

Jelas h

xfhxfxfh

)()(lim)('0

−+=

→

hxhx nn

h

−+=

→

)(lim0

h

xhnxhhxnnhnxx nnnnnn

h

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

−++

=

−−−

→

1221

0

...!2

)1(

lim

h

hnxhhxnnhnx nnnn

h

+++−

+=

−−−

→

1221

0

...!2

)1(

lim

1221

0...

!2)1(lim −−−−

→+++

−+= nnnn

hhnxhhxnnnx

1−= nnx .

Jadi terbukti bahwa 1)(' −= nnxxf .

(b) Dipunyai f fungsi konstan, f(x) = c.

Jelas h

xfhxfxfh

)()(lim)('0

−+=

→

hcc

h

−=

→0lim

hh0lim

0→=

00lim0

==→h

.

Jadi terbukti bahwa 0)(' =xf .

12

(c) Dipunyai c konstanta dan f dan cf terdiferensial.

Jelas h

xcfhxcfxcfh

))(())((lim)()'(0

−+=

→

hxcfhxcf

h

)()(lim0

−+=

→

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

→ hxfhxfc

h

)()(lim0

hxfhxfc

h

)()(lim0

−+=

→

)(' xcf= .

Jadi terbukti bahwa )(')()'( xcfxcf = .

(d) Dipunyai f, g, dan f + g terdiferensial.

Jelas (f + g)’(x) = h

xgxfxxgxxfh

))()(())()((lim0

+−+++→

= h

xghxgxfhxfh

)()()()(lim0

−++−+→

= h

xghxgh

xfhxfhh

)()(lim)()(lim00

−++

−+→→

= f’(x) + g’(x).

Jadi terbukti bahwa (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x).

(f) Dipunyai f, g, dan f g terdiferensial.

Jelas (fg)’(x) = h

xgxfhxghxfh

)().()().(lim0

−++→

=h

xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh

)()()()()()()()(lim0

−+++−++→

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++

−+→

))()()(()())()((lim0 h

xghxgxfhxgh

xfhxfh

13

=h

xghxgxfhxgh

xfhxfhhhxh

)()(lim)(lim)(lim)()(lim000

−+++

−+→→→→

= f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

Jadi terbukti bahwa (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x).

(g) Dipunyai f, g, dan gf terdiferensial.

Jelas )()'( xgf =

hxgxf

hxghxf

h

)()(

)()(

lim0

−++

→

= h

xghxghxgxfxghxf

h

)()()()()()(

lim0

++−+

→

= hxghxg

hxgxfxghxfh )]()([

)()()()(lim0 +

+−+→

= h

hxgxfxghxfxghxg hh

)()()()(lim)]()([

1lim00

+−++ →→

= })()()()()()()()(lim{)]([

102 h

hxgxfxgxfxgxfxghxfxg h

+−+−+→

= }))()()(()())()((lim{)]([

102 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−

−+→ h

xghxgxfxgh

xfhxfxg h

=

)})()((lim)(lim)(lim))()((lim{)]([

100002 h

xghxgxfxgh

xfhxfxg hhhh

−+−

−+→→→→

= )}(')()()('{)]([

12 xgxfxgxfxg

−

= 2)]([)(')()()('

xgxgxfxgxf − .

14

Jadi terbukti bahwa 2)]([)(')()()(')()'(

xgxgxfxgxfx

gf −

= .

Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan dari konsep diatas.

Contoh 6

Diberikan fungsi-fungsi 5)( =xf , 24)( xxg = dan 1)( += xxh .

Tentukan )(' xf , )(' xg dan )()'( xhg + .

Penyelesaian:

Jelas 0)(' =xf .

Jelas xxg 8)(' = .

Jelas )(')(')()'( xhxgxhg +=+

18 += x .

E. INTEGRAL

Definisi 5.

Fungsi F dinamakkan anti turunan dari fungsi f jika turunan dari F adalah f.

Contoh 7

Dipunyai 2)( xxf = , 31 31)( xxF = , 5

31)( 32 += xxF dan π−= xxF 3

1)(3 .

Tunjukan bahwa )(),( 21 xFxF dan )(3 xF merupakan anti turunan dari )(xf .

Penyelesaian:

Jelas 223

3

1 3.31)(

313

1)]([ xx

dxxd

dx

xd

dxxFd

===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= .

Jelas 223

33

2 3.310)(

31

)5(315

31

)]([ xxdxxd

dx

dxd

dx

xd

dxxFd

==+=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

= .

15

Jelas 223

33

2 3.310)(

31

)(31

31

)]([ xxdxxd

dx

dxd

dx

xd

dxxFd

==−=−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=ππ

Jadi )(),( 21 xFxF dan )(3 xF semuanya merupakan anti turunan dari )(xf .

Definisi 6.

Jika )(xF pada selang buka I merupakan anti turunan dari )(xf dan C

sembarang konstanta, maka CxF +)( juga merupakan anti turunan dari )(xf .

)(0)()()]([])([ xfxfdxCd

dxxFd

dxCxFd

=+=+=+ .

Definisi 7.

Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F suatu anti turunan f

pada selang I. Proses menentukan anti turunan dari fungsi f dinamakan

imtegral tak tentu f pada I, dinyatakan dengan

∫ += CxFdxxf )()(

dengan C sembarang konstanta dan di baca integral tak tentu dai f terhadap

variabel x.

Contoh 8

Tentukan ∫ xdxcos .

Penyelesaian:

Tulis xxf cos)( = dan xxF sin)( =

Jelas )(cos)(sin)]([)(' xfxdx

xddx

xFdxF ==== .

Jadi )(xF suatu anti turunan dari )(xf .

16

Teorema 2.1

Jika n adalah sebarang bilangan rasional, 1−≠n , maka

Cnxdxx

nn +

+=

+

∫ 11

.

Bukti:

Tulis F suatu anti turunan dari f.

Jelas ∫ += CxFdxxf )()( .

Jadi )()]([)()(' xfdx

xFdxfxF =⇔= .

dx

Cnxd

n

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⇔

+

1

1

dxxd

n

n )(1

1 1+

+⇔

)()1(1

1 xfxxnn

nn ==++

⇔ .

Teorema 2.2

(1) ∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( , c suatu konstanta.

(2) ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

(3) ∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ .

Bukti:

(1) Tulis F suatu anti turunan dari f .

Jadi )()]([)()(' xfdx

xFdxfxF =⇔=

17

)(.)]([. xfcdx

xFdc =⇔

)(.)](.[ xfcdx

xFcd=⇔ .

Jadi )(xcF suatu anti turunan dari )(xcf .

Jadi ∫ ∫== dxxfcxFcdxxfc )()(.)(. .

(2) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .

Jadi )()(' xfxF = dan )()(' xgxG = .

Jadi ∫ += CxFdxxf )()( dan CxGdxxg +=∫ )()( .

Jadi ))(()()'( xgfxGF +=+ .

Jadi )( GF + suatu anti turunan dari )( gf + .

Jadi ∫ ++=+ CxGFdxxgf ))(())((

])([])([ 21 CxGCxF +++=

∫ ∫+= dxxgdxxf )()( .

(3) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .

Jadi )()(' xfxF = dan )()(' xgxG = .

Jadi ∫ += CxFdxxf )()( dan CxGdxxg +=∫ )()( .

Jadi ))(()()'( xgfxGF −=− .

Jadi )( GF − suatu anti turunan dari )( gf − .

Jadi ∫ +−=− CxGFdxxgf ))(())((

])([])([ 21 CxGCxF +−+=

18

∫ ∫−= dxxgdxxf )()( .

Contoh 9

Tentukan: (a) ∫ xdxcos4 dan (b) ∫ + dxxx )( 2 .

Penyelesaian:

(a) Jelas ∫∫ = xdxxdx cos4cos4

)(sin4 Cx +=

Cx 4sin4 +=

Kx += sin4 , CK 4= .

(b) Jelas ∫ ∫∫ +=+ dxxxdxdxxx 22 )(

23

12

31

21 CxCx +++=

2132

31

21 CCxx +++=

Cxx ++= 3231

21 , 21 CCC += .

Teorema 2.3

Dipunyai g suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang buka I dan F anti

turunan dari f. Jika )(xgu = ,

∫ ∫ +=+== CxgFCuFduufdxxgxgf )]([)()()(')]([ .

Bukti:

Dipunyai IRg ⊂ .

Jadi ( ) )]([)]([)]([)]([' xgfdx

xgFdxgfxgF =⇔= .

19

Jadi ∫ += CxgFxgdxgf )]([)]([)]([

∫ +=⇔ CxgFdxxgxgf )]([)(')]([ .

Contoh 10

Tentukan: (a) ∫ + xdxx 2.)1( 102 dan (b) ∫ xdxx cossin 2 .

Penyelesaian:

(a) Tulis 12 += xu .

Jelas xdxduxdxdu 22 =⇒=

Jelas ∫∫ =+ duuxdxx .2.)1( 10102

Cu += 11111

Cx ++= )1(111 2 .

(b) Tulis xu sin= .

Jelas xdxduxdxdu coscos =⇒= .

Jelas ∫∫ = duuxdxx 22 cossin

Cu += 331

Cx += 3sin31 .

20

Teorema 2.4

Jika )(xUU = dan )(xVV = fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada

selang buka I, maka

∫ ∫−= dUVVUUdV .. .

Bukti:

Dipunyai dUVdVUVUd ..).( += .

Jadi ∫ ∫ += )..().( dUVdVUVUd

∫∫ +=⇔ dUVdVUVU ...

∫∫ −=⇔ dUVVUdVU ... .

Contoh 11

Tentukan ∫ xdxx cos. .

Penyelesaian:

Jelas ∫∫ = )(sincos. xxdxdxx

∫−= dxxxx .sinsin.

Cxxx ++= sinsin. .

F. FUNGSI INVERS, LOGARITMA, DAN EKSPONEN

1. Fungsi Invers

Definisi 8.

Dipunyai f fungsi dengan daerah definisi D. invers fungsi f , ditulis

1−= fg , adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

xxfg =))(( Dx∈∀ .

21

Contoh 12

Dipunyai xxf 2)( = , ),( ∞−∞∈x . Tunjukan bahwa inversnya adalah

xxg21)( = .

Penyelesaian:

Tulis )(xfy =

Jelas xy 2= .

Jelas xxyyg === 2.21

21)( .

Jelas xxxfxfg === 2.21)(

21))(( , ),( ∞−∞∈x .

Contoh 13

Dipunyai xxf =)( , 0≥x . Tujukan bahwa inversnya adalah 2)( xxg = .

Penyelesaian:

Tulis )(xfy =

Jelas xy =

Jelas ( ) xxyg == 2)( .

Jelas ( ) xxxfxfg === 22)]([))(( , 0≥x . Deinisi 9.

Dipunyai f fungsi, f disebut fungsi satu-satu jika untuk setiap 21 , xx di

domain f, 21 xx ≠ maka )()( 21 xfxf ≠ .

Contoh 14

Dipunyai f: D →R, D⊂R2, yxxf += 22)( .

22

Tunjukan f fungsi satu-satu.

Penyelesaian:

Ambil sembarang ),(),,( 2211 yxyx ∈D, ),(),( 2211 yxyx ≠ .

Jelas 21 xx ≠ dan 21 yy ≠ .

Jelas )2()2(),(),( 2221

212211 yxyxyxfyxf +−+=−

)()22( 2122

21 yyxx −+−=

0≠ .

Jadi ),(),(),,(),(,),(),,( 221122112211 yxfyxfyxyxDyxyx ≠≠∈∀ .

Jadi f fungsi satu-satu.

Teorema 2.5

Dipunyai f suatu fungsi yang didefinisikan RDf →: . Jika f fungsi satu-

satu maka

(i) 1−f ada, dan

(ii) daerah definisi 1−f adalah range f.

Bukti:

Definisikan pemadanan

ff DRg →:

dengan fRxxyg ∈∀= ,)( dan )(xfy = .

Ditunjukan g suatu fungsi.

Ambil fRyy ∈21 , dengan 21 yy = .

Jelas )( 11 xfy = dan )( 22 xfy = untuk suatu fDxx ∈21 , .

23

Karena 21 yy = , maka )()( 21 xfxf = .

Dipunyai f satu-satu.

Jadi 21 xx = .

Jadi g suatu fungsi.

Jelas xygxfg == )())(( , fDx∈∀ .

Jadi terdapat fungsi invers g untuk f. Tulis 1−= fg .

Jelas fgf RDD ==−1 .

Contoh 15

Tentukan invers dari fungsi 42)( −= xxf , ),( ∞−∞∈x .

Penyelesaian:

Dipunyai 42)( −= xxf .

Tulis )(xfy = .

Jelas 42 −= xy

42 +=⇔ yx

222

4+=

+=⇔

yyx .

Jadi 22

)(1 +=− yyf .

Jelas xxyf =+−=− 2)42(21)(1 , ),( ∞−∞∈x .

Jadi 22

)(1 +=− xxf .

24

2. Fungsi Logaritma Asli

Definisi 10.

Fungsi logaritma asli adalah fungsi yang didefinisikan oleh

dtt

xx

∫= 11ln x > 0.

Definisi 11.

Dipunyai f suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang ( )∞,0 , dengan

xxf ln)( = , turunan dari f didefinisikan sebagai

,1)(lnxdx

xd= x > 0.

Definisi 12.

Dipunyai u fungsi yang terdiferensialkan pada x pada selang buka I,

dengan uu ln= , maka turunanya didefinisikan sebagai

,.1)(lndxdu

udxud

= u >0.

Contoh 16

Tentukan turunan dari: (a) )ln()( 2xxxf += dan (b) )1ln()( 2xxxf += .

Penyelesaian:

(a) Jelas dx

xxdxf )][ln()('2+

=

dxxxd

xxdxxd )(.

)()][ln( 2

2

2 +++

=

)21.()(

12 xxx

++

=

25

)()21(

2xxx

++

= .

(b) Jelas dx

xfdxf )]([)(' =

dxxxd )]1ln([ 2+

=

dxxdx

dxxdx )]1[ln(.)().1ln(

22 +++=

dxxd

xdxdxx )1(.

)1()]1[ln(.)1ln(

2

2

22 +

++

++=

xx

xx 2.)1(

1.)1ln( 22

+++=

)1(2)1ln( 2

22

xxx+

++= .

Teorema 2.6

Jika Rba ∈, , 0>a , 0>b , dan r rasional maka:

(1) baab lnln)ln( +=

(2) baba lnlnln −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

(3) ara r ln)ln( = .

Bukti:

(1) Ambil sembarang 0>x .

Pilih axxf ln)( = dan xxg ln)( = .

Jelas x

aaxdx

axdaxdaxd

dxxfd 1.1)(

)()(ln)]([

=== dan

26

xdxxd

dxxgd 1)(ln)]([

== .

Jadi Cxgxf += )()( untuk suatu konstanta C.

Jelas CaCgf =⇔+= ln)1()1( .

Jadi axgxf ln)()( +=

axax lnlnln +=⇔ .

Pilih bx = .

Jelas baab lnlnln += .

(2) Dipunyai baab lnlnln += .

Pilih b

a 1= .

Jelas 01ln.1lnln1ln ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+ b

bb

b.

Jadi bbbb

lnln0ln1ln1ln −=−=−= .

Jadi bab

ab

aba lnln1lnln1.lnln −=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

(3) Dipunyai Rxea axx ∈∀= ,ln. .

Pilih r bilangan rasional.

Jelas Rr ∈ .

Jadi arr ea ln.= .

Jadi arr ea ln.lnln =

eara r ln.ln.ln =⇔

1.ln.ln arar =⇔

27

arar ln.ln =⇔ .

Jadi 0,,ln.ln >∈∀= aRaarar dan r bilangan rasional.

Definisi 13.

Bilangan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan 1ln =e .

Telah ditunjukan e merupakan bilangan irasional dengan ketelitian sampai

12 desimal yakni 597182818284,2≈e .

Berdasarkan teorema 2.6 point (3) diperoleh nnenen === 1.lnln .

Teorema 2.7

Logaritma asli sebagai anti turunan dinyatakan

∫ += Cxdxx ln1 , 0≠x .

Bukti:

Ambil sembarang Rx∈ , 0≠x .

Kasus 0>x .

Jelas xx =

Jadi xxdx

xdxdxd

dxxd

dxxd 1)1.(1)(.

)())(ln()(ln()(ln

==== .

Kasus 0

28

Penyelesaian:

Tulis xxu sin+=

Jelas dxxdu )cos1( += .

Jelas ∫∫ =++

ududx

xxx

sincos1

Cu += ln

Cxx ++= sinln .

3. Fungsi Eksponen

Definisi 14.

Fungsi eksponen asli merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai

)exp(xy = jika dan hanya jika yx ln= .

Definisi 15.

)exp(x adalah fungsi yang didefinisikan sebagai xex =)exp( , dengan x

bilangan rasional dan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan

1ln =e .

Teorema 2.8

Dipunyai 21 , xx , dan r di R, r rasional maka:

(i) 2121 . xxxx eee += ,

(ii) 212

1xx

x

x

eee −= , dan

(iii) 11 ][ rxrx ee = .

Bukti:

(i) Tulis 11xey = dan 22

xey = .

29

Jelas 111 ln1 yxeyx =⇔= dan 222 ln2 yxey

x =⇔= .

Jadi 2121 lnln yyxx +=+

).ln( 2121 yyxx =+⇔

21.21 yyexx =⇔ +

2121.

xxeyy +=⇔

2121 xxxx eee +=⇔ .

(ii) Tulis 11xey = dan 22

xey = .

Jelas 111 ln1 yxeyx =⇔= dan 222 ln2 yxey

x =⇔= .

Jadi 2121 lnln yyxx −=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⇔

2

121 ln y

yxx

21

2

1 xxeyy −=⇔

21

2

1xx

x

x

eee −=⇔ .

(iii) Dipunyai arar ln.ln = .

Tulis rxey )( 1= .

Jadi 111 1..ln.ln.)ln(ln 11 rxxrexrereyxrx ===== .

Jadi 1rxey = .

Jadi 11 )( rxrx ee = .

30

Teorema 2.9

xx

edxed

=)( , Rx∈∀ .

Bukti:

Ambil sembarang Rx∈ .

Dipunyai xe x =ln .

Jelas dx

xddx

ed x )()(ln=

1)(.)()(ln

=⇔dxed

eded xx

x

1)(.1 =⇔dxed

e

x

x

xx

edxed

=⇔)( .

Jadi xx

edxed

=)( untuk setiap Rx∈ .

Contoh 18

Tentukan turunan dari fungsi xxexf sin)( = .

Penyelesaian:

Jelas dx

xfdxf )]([)(' =

dxed xx )( sin

=

dxxxd

xxded xx )sin(.

)sin()( sin

=

]cos[sinsin xxxe xx += .

31

Teorema 2.10

Teorema 2.9 diatas memberikan formula integrasi sebagai berikut

∫ += Cedxe xx .

Bukti:

Dipunyai ∫ += Cedxe xx .

Jelas ( )

dxCxFd

dx

dxed x ])([ +=∫

dxCed x )( +

=

dxCd

dxed x )()(

+=

)(xfe x == .

Jadi CxF +)( suatu anti turunan dari f.

Contoh 19

Tentukan ∫ − dxe x3 .

Penyelesaian:

Tulis xu 3−= .

Jelas dxdu 3−= .

Jelas ∫∫ −=− duedxe ux )31(3

∫−= dueu31

Ceu +−=31 Ce x +−= −3

31 .

BAB III

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini metode yang digunakan penulis adalah studi pustaka.

Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

A. Menentukan Masalah

Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian

dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan.

B. Merumuskan Masalah

Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah

ditemukan yakni

1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?

2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti

turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?

C. Studi Pustaka

Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara

mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan,

mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta

membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan

permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai bahan dasar

pengembangan upaya pemecahan masalah.

32

33

D. Analisis dan Pemecahan Masalah

Analisis dan pemecahan masalah dilakuan dengan langkah-langkah sebagai

berikut:

1. Mempelajari dan mengkaji menggunakan referensi yang ada tentang

bagaimana menurunkan model matematikanya.

2. Mengetahui secara jelas tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik.

3. Mencari penurunan rumus fungsi hiperbolik dan invers serta turunan dan

anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.

E. Penarikan Simpulan

Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara

mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan denagn permasalahan,

mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta

membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan

permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai bahan dasar

pengembangan upaya pemecahan masalah.

BAB IV

PEMBAHASAN

A. FUNGSI HIPERBOLIK

Dalam masalah matematika terapan sering kita jumpai kombinasi-

kombinasi tertentu dari fungsi eksponen xe dan xe− sehingga kombinasi

fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus. Untuk itu pada bagian ini akan

dibahas secara khusus suatu fungsi yang memuat kombinasi dari kedua fungsi

tersebut yakni fungsi hiperbolik. Untuk keperluan tersebut, dibangun fungsi-

fungsi p dan q sebagai berikut.

+→ RRp : , 2

)(xexp = dan +→ RRq : ,

2)(

xexq−

= .

Grafik fungsi p dan q diberikan pada Gambar 3 dan Gambar 4.

Gambar 3. Grafik fungsi p naik

34

35

Gambar 4. Grafik fungsi q turun

Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai jumlah

dan selisih fungsi-fungsi p dan q. Dengan demikian

)()()( xqxpxf += dan )()()( xqxpxg −= .

Grafik fungsi f dan g disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6.

Gambar 5. Grafik fungsi ),1[: ∞→Rf

)()()( xqxpxf +=

36

Dipunyai ),1[: ∞→Rf , 2

)(xx eexf

−+= .

Jelas 002

)(' >∀>−=−

xeexfxx

dan 002

)('

37

Jelas Rxeexgxx

∈∀>+

=−

02

)(' .

Jadi grafik fungsi g naik pada daerah asalnya.

Jelas Rxxgeeeexgxxxx

∈∀−=−

−=−

=−−−

)(22

)( .

Jadi f suatu fungsi ganjil.

Jelas ⎩⎨⎧

+

=−

=−

0,0,

)(2

)(''xx

xgeexgxx

.

Jadi grafik g cekung ke bawah pada ]0,(−∞ dan cekung ke atas pada ),0[ ∞ .

Berikut disajikan beberapa sifat fungsi f dan g.

Sifat 4.1

(1) 1)0( =f dan 0)0( =g ,

(2) Rxxgxf ∈∀= )()(' ,

(3) Rxxfxg ∈∀= )()(' ,

(4) 1)()( 22 =− xgxf ,

(5) )().()().()( ygxgyfxfyxf +=+ ,

(6) )().()().()( yfxgygxfyxg +=+ ,

(7) )(

1)()(1 2

2

xgxgxf

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− , dan

(8) )(

1)()(1 2

2

xfxfxg

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− .

Bukti:

Dipunyai 2

)(xx eexf

−+= dan

2)(

xx eexg−−

= .

38

(1) Jelas 122

2)0(

00

==+

=eef dan 0

20

2)0(

00

==−

=eeg .

(2) Jelas )(2

)(' xgeexfxx

=−

=−

.

(3) Jelas )(2

)(' xfeexgxx

=+

=−

.

(4) Jelas 22

22

22)()( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=−

−− xxxx eeeexgxf

42

42 2222 xxxx eeee −− −−

−++

=

144== .

(5) Jelas 2

)()( yxyx eeyxf

+−+ +=+

2

yxyx eeee −−+=

[ ]yxyx eeee −−+=21

[ ]))()())(()(())()())(()((21 ygyfxgxfygyfxgxf −−+++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

++++=

)()()()()()()()()()()()()()()()(

21

ygxgyfxgygxfyfxfxgygyfxgygxfyfxf

[ ])()(2)()(221 ygxgyfxf +=

)().()().( ygxgyfxf += .

39

(6) Jelas 2

)()( yxyx eeyxg

+−+ −=+

2

yxyx eeee −−−=

[ ]yxyx eeee −−−=21

[ ]))()())(()(())()())(()((21 ygyfxgxfygyfxgxf −−−++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++

−+++=

)()()()()()()()()()()()()()()()(

21

ygxgyfxgygxfyfxfxgygyfxgygxfyfxf

[ ])()(2)()(221 yfxgygxf +=

)().()().( yfxgygxf += .

(7) Jelas )()(1

)()(1 2

22

xgxf

xgxf

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

)()()(

2

22

xgxfxg −

=

)()()(

2

22

xgxgxf −

−=

)(1

2 xg−= .

(8) Jelas )()(1

)()(1 2

22

xfxg

xfxg

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

)()()(

2

22

xfxgxf −

=

40

)(1

2 xf= .

Sifat-sifat dari fungsi f dan g yang diberikan pada sifat 4.1

memperlihatkan adanya kemiripan dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi

trigonometri. Hal ini memberikan suatu ide untuk mendefinisikan fungsi f dan

g sebagai fungsi hiperbolik sebagai berikut.

Sifat 4.2

(1) Dipunyai RRf →: , fungsi sinus hiperbolik didefinisikan sebagai

2sinh

xx eex−−

= ,

(2) Dipunyai ),1[: ∞→Rf , fungsi cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai

2cosh

xx eex−+

= ,

(3) Dipunyai )1,1(: −→Rf , fungsi tangen hiperbolik didefinisikan sebagai

xx

xx

eeee

xxx −

−

+−

==coshsinhtanh ,

(4) Dipunyai )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , fungsi cotangen hiperbolik

didefinisikan sebagai

xx

xx

eeee

xxx −

−

−+

==sinhcoshcoth , dan

(5) Dipunyai ]1,0(: →Rf , fungsi secan hiperbolik didefinisikan sebagai

xx eexhx −+

==2

cosh1sec .

41

Gambar grafik fungsi tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan

hiperbolik masing-masing diberikan pada Gambar 7, Gambar 8, dan

Gambar 9.

Gambar 7. Grafik fungsi xxf tanh)( =

Gambar 8. Grafik fungsi xxf coth)( =

42

Gambar 9. Grafik fungsi hxxf sec)( =

B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK

Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh:

Teorema 4.1

(1) xdx

xd cosh)(sinh =

(2) xdx

xd sinh)(cosh =

(3) xhdx

xd 2sec)(tanh =

(4) xhdx

xd 2csc)(coth −=

(5) hxxdx

hxd sec.tanh)(sec −= .

Bukti:

(1) Dipunyai 2

sinhxx eex

−−= .

43

Jelas dx

eed

dxxd

xx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

−

2)(sinh

dxeed xx )(

21 −−

=

)(21 xx ee −+=

xcosh= .

Jadi xdx

xd cosh)(sinh = .

(2) Dipunyai 2

coshxx ee −+

= .

Jelas dx

eed

dxxd

xx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=

−

2)(cosh

dxeed xx )(

21 −+

=

)(21 xx ee −−=

xsinh= .

Jadi xdx

xd sinh)(cosh = .

(3) Dipunyai 2

sinhxx eex

−−= dan

2cosh

xx ee −+= .

Jelas dx

xxd

dxxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= coshsinh

)(tanh

44

dxeeeed xx

xx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=−

−

2)(

)()()()(xx

xxxx

xxxx

eedx

eedeedx

eedee−

−−

−−

+

+−−

−+

=

2)())(())((

xx

xxxxxxxx

eeeeeeeeee

−

−−−−

+−−−++

=

2

22

)()()(

xx

xxxx

eeeeee

−

−−

+−−+

=

2

2

)()(1 xx

xx

eeee−

−

+−

−=

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−= −−

xx

xx

eeee

x2tanh1−=

xh2sec= .

Jadi xhdx

xd 2sec)(tanh = .

(4) Dipunyai 2

sinhxx eex

−−= dan

2cosh

xx ee −+= .

Jelas dx

xxd

dxxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= sinhcosh

)(coth

dxeeeed xx

xx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=−

−

45

2)(

)()()()(xx

xxxx

xxxx

eedx

eedeedx

eedee−

−−

−−

−

−+−

+−

=

2)())(())((

xx

xxxxxxxx

eeeeeeeeee

−

−−−−

−++−−−

=

2

22

)()()(

xx

xxxx

eeeeee

−

−−

−+−−

=

2

2

)()(1 xx

xx

eeee−

−

−+

−=

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−= −−

xx

xx

eeee

x2coth1−=

xh 2csc−= .

Jadi xhdx

xd 2csc)(coth −= .

(5) Dipunyai 2

coshxx ee −+

= .

Jelas dx

xd

dxhxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= cosh1

)(sec

dxee

d xx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=−

2

2)(

)(2)2()(xx

xxxx

eedx

eeddx

dee−

−−

+

+−+

=

2)()(2

xx

xx

eeee

−

−

+−−

=

46

)(2

)()(

xxxx

xx

eeeeee

−−

−

++−

−=

hxx sec.tanh−= .

Jadi hxxdx

hxd sec.tanh)(sec −= .

C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik,

cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan

1sinh − , 1cosh − , 1tanh − , 1coth − , dan 1sec −h , didefinisikan sebagai

(1) yxxy sinhsinh 1 =⇔= − ,

(2) yxxy coshcosh 1 =⇔= − ,

(3) yxxy tanhtanh 1 =⇔= − ,

(4) yxxy cothcoth 1 =⇔= − , dan

(5) hyxxhy secsec 1 =⇔= − .

Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian

berikut.

(1) Invers Fungsi Sinus Hiperbolik

Dipunyai RRf →: , xxf sinh)( = .

Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .

Jelas 2121 sinhsinh)()( xxxfxf −=−

22

2211 xxxx eeee −− −−

−=

47

02

)()( 1221≠

−+−=

−− xxxx eeee .

Jadi fungsi f satu-satu.

Berikutnya ditunjukan f fungsi pada.

Ambil sembarang Rx∈ .

Tulis yx sinh= , untuk suatu Ry∈ .

Jelas 2

yy eex−−

=

yy eex −−=⇔ 2

)(2 yyyy eeexe −−=⇔

12 2 −=⇔ yy exe

0122 =−−⇔ xee yy

[ ] 0)1(2)( 222 =+−+−⇔ xxxee yy

( ) 01)( 222 =+−−⇔ xxe y 22 11 xxexxe yy ++=∨+−=⇔ .

Jelas )1ln(1 22 xxyxxe y ++=⇔++= .

Jadi )()1ln( 2 yfxRxxyRx =∋∈++=∃∈∀ .

Jadi f suatu fungsi pada.

Jadi RRf →: , xxf sinh)( = memiliki invers.

Jelas yxxy sinhsinh 1 =⇔= −

Jadi )1ln(sinh 21 xxx ++=− .

48

Gambar grafik fungsi RRf →: , xxf 1sinh)( −= diberikan pada

Gambar 10.

Gambar 10. Grafik fungsi xxf 1sinh)( −=

(2) Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik

Dipunyai ),1[: ∞→Rf , xxf cosh)( = .

Ambil Rxx ∈=−= 1,1 21 .

Jelas 21 xx ≠ .

akan tetapi )()1(2

)1()( 21

1 xffeefxf ==+=−=−

.

Jadi f bukan fungsi satu-satu.

Jadi fungsi ),1[: ∞→Rf , xxf cosh)( = tidak memiliki invers.

Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai

),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = .

49

Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = diberikan pada

Gambar 11.

Gambar 11. Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f

xxf cosh)( =

Jelas 0)(' >xf ),0[ ∞∈∀ x .

Jadi f monoton naik pada daerah asalnya.

Jadi fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = memiliki invers.

Ambil sembarang ),0[ ∞∈x .

Tulis yx cosh= , untuk suatu ),1[ ∞∈y .

Jelas 2

yy eex−+

=

yy eex −+=⇔ 2

)(2 yyyy eeexe −+=⇔

50

12 2 +=⇔ yy exe

0122 =+−⇔ xee yy

[ ] 0)1(2)( 222 =−−+−⇔ xxxee yy

( ) 01)( 222 =−−−⇔ xxe y 11 22 −+=∨−−=⇔ xxexxe yy .

Jelas )1ln(1 22 −+=⇔−+= xxyxxe y .

Jadi )(),1[)1ln(),0[ 2 yfxxxyx =∋∞∈−+=∃∞∈∀ .

Jelas yxxy coshcosh 1 =⇔= − .

Jadi )1ln(cosh 21 −+=− xxx .

Gambar grafik fungsi ),0[),1[: ∞→∞f , xxf 1cosh)( −= diberikan

pada Gambar 12.

Gambar 12. Grafik fungsi xxf 1cosh)( −=

51

(3) Invers Fungsi Tangen Hiperbolik

Dipunyai fungsi )1,1(: −→Rf , xxf tanh)( = .

Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .

Jelas 2121 tanhtanh)()( xxxfxf −=−

22

22

11

11

xx

xx

xx

xx

eeee

eeee

−

−

−

−

+−

−+−

=

))(())(())((

2211

11222211

xxxx

xxxxxxxx

eeeeeeeeeeee

−−

−−−−

+++−−+−

=

0≠ .

Jadi fungsi f satu-satu.

Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.

Ambil sembarang Rx∈ .

Tulis yx tanh= , untuk suatu )1,1(−∈y .

Jelas yyyy

eeeex −−

+−

=

yyyy eeeex −− −=+⇔ )(

)()( yyyyyy eeeeexe −− −=+⇔

1)1( 22 −=+⇔ yy eex

0)1(1 22 =+−−⇔ yy exe

0122 =−−−⇔ xxee yy

0)1()()( 22 =+−−⇔ xexe yy

1))(1( 2 +=−⇔ xex y

52

xxe y−+

=⇔1

1)( 2

xxe y

−+

=⇔11ln)ln( 2

xxey

−+

=⇔11lnln..2

xxy

−+

=⇔11ln.2

xxy

−+

=⇔11ln

21 .

Jadi )()1,1(11ln

21 yfx

xxyRx =∋−∈

−+

=∃∈∀ .

Jadi f suatu fungsi pada.

Jadi fungsi )11(: −→Rf , xxf tanh)( = memiliki invers.

Jelas yxxy tanhtanh 1 =⇔= − .

Jadi xxx

−+

=−11ln

21tanh 1 .

Gambar grafik fungsi ),()1,1(: ∞−∞→−f , xxf 1tanh)( −=

diberikan pada Gambar 13.

53

Gambar 13. Grafik fungsi xxf 1tanh)( −=

(4) Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik

Dipunyai )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , xxf coth)( = .

Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .

Jelas 2121 cothcoth)()( xxxfxf −=−

22

22

11

11

xx

xx

xx

xx

eeee

eeee

−

−

−

−

−+

−−+

=

))(())(())((

2211

11222211

xxxx

xxxxxxxx

eeeeeeeeeeee

−−

−−−−

−−−+−−+

=

0≠ .

Jadi fungsi f satu-satu.

Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.

Ambil sembarang Rx∈ .

Tulis yx coth= , untuk suatu )1,( −−∞∈y ),1( ∞∪ .

54

Jelas yyyy

eeeex −−

−+

=

yyyy eeeex −− +=−⇔ )(

)()( yyyyyy eeeeexe −− +=−⇔

1)1( 22 +=−⇔ yy eex

0)1(1 22 =−−+⇔ yy exe

0122 =++−⇔ xxee yy

0)1()()( 22 =++−⇔ xexe yy

)1())(1( 2 +−=−⇔ xex y

xxe y−−−

=⇔1

1)( 2

11)( 2

+−−−

=⇔xxe y

11)( 2

−+

=⇔xxe y

11ln)ln( 2

−+

=⇔xxe y

11lnln..2

−+

=⇔xxey

11ln.2

−+

=⇔xxy

11ln

21

−+

=⇔xxy .

Jadi )1,(11ln

21

−−∞∈−+

=∃∈∀xxyRx )(),1( yfx =∋∞∪ .

Jadi f suatu fungsi pada.

55

Jadi fungsi )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , xxf coth)( = memiliki invers.

Jelas yxxy cothcoth 1 =⇔= − .

Jadi xxx

−+

=−11ln

21coth 1 .

Gambar grafik fungsi ),(),1()1,(: ∞−∞→∞∪−−∞f ,

xxf 1coth)( −= diberikan pada Gambar 14.

Gambar 14. Grafik fungsi xxf 1coth)( −=

(5) Invers Fungsi Secan Hiperbolik

Dipunyai ]1,0(: →Rf , hxxf sec)( = .

Ambil Rxx ∈=−= 1,1 21 .

Jelas 21 xx ≠ .

akan tetapi )()1(2)1()( 211 xffeefxf ==

+=−= − .

56

Jadi f bukan fungsi satu-satu.

Jadi fungsi ]1,0(: →Rf , hxxf sec)( = tidak memiliki invers.

Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai

]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = .

Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = diberikan pada

Gambar 15.

Gambar 15. Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f

hxxf sec)( =

Jelas 0)('

57

Jelas yy eex −+=

2

2)( =+⇔ − yy eex

yyyy eeexe 2)( =+⇔ −

yy eex 22 2)1( =+⇔

02 22 =−+⇔ yy exxe

02)( 2 =+−⇔ xeex yy

xxxe y

2.442

12−±

=⇔

xxe y

2442 2

12−±

=⇔

xx

e y2

)1(42 212

−±=⇔

xx

e y2

)1(22 212

−±=⇔

xx

e y)1(1 2

12

−±=⇔

xxe y

2

111 −+

=⇔ atau x

xe y2

211 −−

= .

Jelas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⇔

−+=

xxy

xxe y

22 11ln11 .

Jadi ]1,0(11ln),0[2

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=∃∞∈∀

xxyx )(yfx =∋ .

Jelas hyxxhy secsec 1 =⇔= − .

58

Jadi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−

xxxh

21 11lnsec .

Gambar grafik fungsi ),0[]1,0(: ∞→f , xhxf 1sec)( −= diberikan

pada Gambar 16.

Gambar 16. Grafik fungsi xhxf 1sec)( −=

Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut.

Teorema 4.2

(1) ( )21 1lnsinh xxx ++=− , ∞

59

(4) 11ln

21coth 1

−+

=−xxx , 1>x , dan

(5) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−

xxxh

21 11lnsec , 10 ≤< x .

D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

Teorema 4.3

(1) 2

1

1

1)(sinh

xdxxd

+=

−

,

(2) 1

1)(cosh2

1

−=

−

xdxxd ,

(3) 21

11)(tanhxdx

xd−

=−

1x , dan

(5) 2

1

11)(sec

xxdxxhd

−−=

−

.

Bukti:

(1) Dipunyai ( )21 1lnsinh xxx ++=− .

Jelas dx

xxd

dxxd

21 1ln()(sinh ++

=−

( )dx

xxdxxd

xxd 2

2

21.

)1(

1ln( ++++

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++=

22 11.

11

xx

xx

60

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

++

++=

2

2

2 11

11

xxx

xx

( ) 222

111

xxxxx+++

++=

211

x+= .

(2) Dipunyai ( )1lncosh 21 −+=− xxx .

Jelas ( )

dx

xxd

dxxd 1ln)(cosh

21 −+

=−

( )( )

( )dx

xxdxxd

xxd 1.1

1ln 2

2

2−+

−+

−+=

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛

−+

−+=

11.

11

22 xx

xx

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

+−

−+=

11

11

2

2

2 xxx

xx

( )( ) 11

122

2

−−+

−+=

xxxxx

112 −

=x

.

(3) Dipunyai xxx

−+

=−11ln

21tanh 1 .

Jelas dx

xxd

dxxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=− 1

1ln21

)(tanh 1

61

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+=

dxxxd ))1ln()1ln((

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+=

dxxd

dxxd )1ln()1ln(

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−−

++

+=

dxxd

xdxd

dxxd

xdxd )1(.

)1()1ln()1(.

)1()1ln(

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

+=

xx 11

11

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−++−

= 2111

21

xxx

22 11

12.

21

xx −=

−= .

(4) Dipunyai 11ln

21coth 1

−+

=−xxx .

Jelas 11ln

21coth 1

−+

=−xxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+=

dxxxd ))1ln()1ln((

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+=

dxxd

dxxd )1ln()1ln(

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−−

++

+=

dxxd

xdxd

dxxd

xdxd )1(.

)1()1ln()1(.

)1()1ln(

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

+=

11

11

21

xx

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+−−

=1

)1()1(21

2xxx

62

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

=1

2.21

2x

22 11

11

xx −=

−−= .

(5) Dipunyai ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−

xxxh

21 11lnsec .

Jelas dx

xxd

dxxhd ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=−

2

1

11ln)(sec

dx

xdxd ln11ln( 2 −−+=

dxxd

dxxd

xd

xd )(ln)11(.)11(

)11ln( 2

2

2

−−+

−+

−+=

xxx

x1

1111

22−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+=

( )( ) xxxx 1

111 22−

−−+−=

)1(1()1(1

22

222

xxxxxx

−+−

−+−−−=

)11(111

22

2

xxxx−−−

−−−=

211

xx −−= .

63

E. ANTI TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

Teorema 4.3 menyatakan bahwa 21

1x+

merupakan suatu anti

turunan x1sinh − dan 1

12 −x

, 1≠x suatu anti turunan x1cosh − . Akibatnya

dapat dimunculkan teorema 4.4 berikut.

Teorema 4.4

(1) ∫ +=+

− Cxx

dx 12

sinh1

,

(2) ∫ +=−

− Cxxdx 12

cosh1

,

(3) ∫⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

64

F. CONTOH PENERAPAN TEORI DIFERENSI DAN INTEGRASI PADA

FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA

Berikut diberikan beberapa penerapan teori diferensi dan integrasi dan

penyelesaianya pada fungsi hiperbolik dan inversnya.

1. Tentukan dxdy dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.

(a) )cosh( 4xy = (e) )(sec 2xehy = (i) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

xy 1sinh 1

(b) )84sinh( −= xy (f) xhy sec= (j) xy 1coth −=

(c) )2ln(tanh xy = (g) )1(cosh 1 xy −= −

(d) )coth(ln xy = (h) )(sec 71 xhy −=

2. Tentukan integral dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.

(a) ∫ − dxx )32cosh( (e) ∫− 259 2x

dx

(b) ∫ xdxx coshsinh 6 (f) ∫+− 222 xx

dx

(c) ∫ xdxhx 2sectanh (g) ∫− 22x

dx

(d) ∫+ 291 xdx

Penyelesaian:

1. (a) Dipunyai )cosh( 4xy = .

Jelas dx

xddxdy )][cosh( 4

=

65

dxxd

xdxd )(.)(

)][cosh( 44

4

=

34 4).sinh( xx=

)sinh(4 43 xx= .

(b) Dipunyai )84sinh( −= xy .

Jelas dx

xddxdy )]84[sinh( −

=

dxxd

xdxd )84(.

)84()]84[sinh( −

−−

=

4).84cosh( −= x

)84cosh(4 −= x .

(c) Dipunyai )2ln(tanh xy = .

Jelas dx

xddxdy )]2[ln(tanh

=

dxxd

xdxd

xdxd )2(.

)2()2(tanh.

)2(tanh)]2[ln(tanh

=

2.2sec.2tanh

1 2 xhx

=

xxh

2tanh2sec2 2

= .

(d) Dipunyai )coth(ln xy = .

Jelas dx

xddxdy )][coth(ln

=

dxxd

xdxd )(ln.

)(ln)][coth(ln

=

66

xxh 1).(lncsc 2−=

xxh )(lncsc 2

−= .

(e) Dipunyai )(sec 2xehy = .

Jelas dx

ehddxdy x )]([sec 2

=

dxxd

xded

edehd xx

x )2(.)2()(.

)()]([sec 2

2

2

=

2.).(sec).tanh( 222 xxx eehe−=

)(sec).tanh(2 222 xxx ehee−= .

(f) Dipunyai xhy sec= .

Jelas dx

xhddxdy ][sec

=

dxxd

xdxhd )(.

)(][sec

=

xxhx

21.sec.tanh−=

xxhx

2sec.tanh

−= .

(g) Dipunyai )1(cosh 1 xy −= − .

Jelas dx

xddxdy )]1([cosh 1 −

=−

dxxd

xdxd )1(.

)1()]1([cosh 1 −

−−

=−

67

)1.(1)1(

12

−−−

=x

1)1(1

2 −−−=

x.

(h) Dipunyai )(sec 71 xhy −= .

Jelas dx

xhddxdy )]([sec 71−

=

dxxd

xdxhd )(.

)()]([sec 7

7

71−

=

6

2777.

)(11 x

xx −−=

277

6

)(17

xxx−

−= .

(i) Dipunyai ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

xy 1sinh 1 .

Jelas dx

xd

dxdy

]1[sinh 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−

dxx

d

xd

xd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

− 1

.1

]1[sinh 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= 221.

11

1x

x

68

22 11

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

xx

.

(j) Dipunyai xy 1coth −= .

Jelas dx

xddxdy ]coth[ 1−

=

dxxd

xdxd )(coth.)(coth)coth( 1

1

1 −

−

−

=

21 11.

coth21

xx −=

−

xx 12 coth)1(21

−−=

2. (a) ∫ − dxx )32cosh(

Jelas ∫∫ −−=− )32()32cosh(21)32cosh( xdxdxx

Cx +−= )32sinh(21 .

(b) ∫ xdxx coshsinh 6

Tulis xu sinh= .

Jelas xdxdu cosh=

Jelas ∫∫ = duuxdxx 66 coshsinh

Cu += 771

Cx += 7sinh71 .

69

(c) ∫ xdxhx 2sectanh

Tulis xu tanh= .

Jelas xdxhdu 2sec=

Jelas ∫ ∫= duuxdxhx .sec.tanh 2

Cu += 23

32

Cuu += .32

Cxx += tanhtanh32 .

(d) ∫+ 291 xdx

Jelas ∫∫+

=+ 22 )3(1

)3(31

91 xxd

xdx

Cx += − 3sinh31 1 .

(e) ∫− 259 2x

dx

Jelas ∫∫−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

15

3

53

35

259 22 x

xd

xdx

Cx += −5

3cosh35 1 .

(f) ∫+− 222 xx

dx

70

Jelas ∫∫+−+

+−=

+− 22 )1(1)1(

22 xxd

xxdx

Cx ++−= − )1(sinh 1 .

(g) ∫− 22x

dx

Jelas ∫∫−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=−

12

222 22 x

xd

x

dx

Cx += −2

cosh2 1 .

BAB V

PENUTUP

A. SIMPULAN

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan

sebagai berikut.

1. Fungsi hiperbolik dibangun oleh dua fungsi p dan q dengan +→ RRp : ,

2)(

xexp = dan +→ RRq : , 2

)(xexq

−

= . Selanjutnya dibangun fungsi f

dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q,

dengan demikian )()()( xqxpxf += dan )()()( xqxpxg −= , dimana

fungsi f dan g memiliki kemiripan sifat dengan sifat-sifat yang dimiliki

oleh fungsi trigonometri. Berdasarkan sifat tersebut diturunakn formula

fungsi hiperbolik.

2. Berdasarkan point (1) diperoleh formula fungsi hiperbolik sebagai berikut

(a) 2

sinhxx eex

−−= (d)

xxx

sinhcoshcoth =

(b) 2

coshxx eex

−+= (e)

xhx

cosh1sec =

(c) xxx

coshsinhtanh =

3. Formula turunan fungsi hiperbolik

(a) xdx

xd cosh)(sinh = ,

64

65

(b) xdx

xd sinh)(cosh = ,

(c) xhdx

xd 2sec)(tanh = ,

(d) xhdx

xd 2csc)(coth −= , dan

(e) hxxdx

hxd sec.tanh)(sec −= .

4. Invers fungsi hiperbolik

(a) ( )21 1lnsinh xxx ++=− ∞

66

(e) 2

1

11)(sec

xxdxxhd

−−=

−

.

6. Formula anti turunan invers fungsi hiperbolik

(a) ∫ +=+

− Cxx

dx 12

sinh1

(b) ∫ +=−

− Cxxdx 12

cosh1

(c) ∫⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

67

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1980. Calculus With Analytic Geometry. New York: John Wiley And

Sons. Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders Collage

Publishing. Chotim, M. 2004. Kalkulus 2. Semarang: Penerbit FMIPA Universitas Negeri

Semarang. Leithold, L. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 2, Edisi Kelima

(diterjemahkan oleh Hutahean, Widianti Santoso, dan Koko Martono). Jakarta: Erlangga.

Purcell, E. J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1 (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jakarta: Erlangga.

Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2003. Kalkulus Jilid 1, Edisi kedelapan (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga.

Thomas, George. B. 1962. Calculus, 2nd. Tokyo: Japan Publications Trading Company, LTD.

awal.pdf1. HALAMAN JUDUL.doc2. PENGESAHAN.doc3. ABSTRAK.doc4. MOTTO DAN PERUNTUKAN.doc5. KATA PENGANTAR.doc6. DAFTAR ISI.doc7. DAFTAR GAMBAR.doc

BAB I.pdfBAB II.pdfBAB III.pdfBAB IV.pdfBAB V.pdfDAFTAR PUSTAKA.pdf