0 GEOMETRI HIPERBOLIK Disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Geometri dengan dosen pengampu Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si Disusun Oleh: Fitriana Tandililing (107785004 ) Easty Kartika (107785041) Ofierenty E. Nubatonis ( 107785046) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2011 1 GEOMETRI HIPERBOLIK A.Sejarah Geometrihiperbolikmerupakansalahsatubentukdarigeometrinon-Euclidyangmunculakibatkontroversiterhadap postulatkesejajaraneuclid.Di dalamgeometrieuclidterdapatlimapostulat(aksioma/teorema)yangsangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas dan mudah dibuktikan oleh para matematikawanpadasaatitu,tetapipostulatyangkelimamenimbulkan perdebatandiantaraparamatematikawan.Postulatkelimatersebutdikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid. Hal inilah yang menjadi titik tolak munculnyageometrinon-euclid.Geometrihiperbolikadalahgeometriyang menggunakanempatpostulatgeometrieucliddanmenggantipostulat kesejajaraneucliddengannegasinyayaitupostulatkesejajaranhiperbolik. Akibat pergantian postulat ini terjadi sifat antara geometri euclid dan geometri hiperboliksalahsatunyaadalahjumlahukuransudutsegitiga.Padageometri euclidjumlahukuransudutsegitigaadalah180,sedangkanpadageometri hiperbolik jumlah ukuran sudut segitiga kurang dari 180.Para matematikawan telahberusahauntukmembuktikanpostulatkelimaeucliddenganasumsi negasidanmemcobauntukmenurunkansuatukontradiksi,namunmereka gagal. Akhirnya merekaberpendapat bahwa terdapat lebih dari dua garis yang sejajardengansuatugarisyangmelaluisebuahtitiktertentudiluargaris tersebut dan ukuran sudut kesejajaran untuk titik yang tidak terletak pada garis tersebutkurangdari90 Akibatnyajumlahukuransudutsegitgakurangdari 180 danjumlahukuransudutdalamsegiempatkurangdari360,sehingga tidakadapersegipanjangdalamgeometrihiperbolik.SegiempatAl-Haytham-Lambert dan segiempat Khayyam-Saccheri adalah teori pertama pada geometri hiperbolik.DalamsegiempatLambertsudutkeempatdalamsegiempatini adalah lancip, sehingga ukuran sisi yang memuat sudut lancip lebih panjang dari padasisiyangtidakmemuatsudutlancip,sertajikasudut-sudutyang bersesuaiandariduasegitigakongruenmakadalamgeometrihiperbolikdua segitiga tersebut adalah kongruen. Sekitartahun1700anCarlFredrichGauusmenemukanbanyakhasil tentanggeometrihiperbolik,tetapiiamenyimpandantidak mempublikasikannya,hanyadijadikankoleksipribadi.Padaabadke-18Johan 2 HeinrichLambertmemperkenalkanfungsihiperbolikdanmenghitungluas segitigahiperbolik.Padaabadke-19,geometrihiperboliksecaraluas dieksplorasi olehJonas Bolyaidan NicolaiInanovichLobachevsky.Lobachevsky pertamakalimempublikasikanidenyapadatanggal23februari1826ke departemen Fisika dan Matematika dan penelitian ini telah dicetak dalam UMA padatahun1829-1830.SedangkanBolyaimenerbitkanidenyapadatahun 1832. LobachevskymenulispaperyangberjudulAConcideOutlineofthe FoundationsofGeometrydipubliksikanolehKazanMessengertetapiditolak pada saat disampaikan di Akademi St Petersburg. Pada tahun 1937 Lobachevsky mempublikasikanartikelnyayangberjudulGeometrieImaginairedan diterbitkan di Berlin pada tahun 1840. Beberapa ahli matematika dan sejarawan mengklaim bahwa Lobachevsky telahmencuritentangkonsepgeometrinon-eucliddariGauus,tetapihalitu tidakbenar.Gauussendirimenghargaihasilkaryayangditemukanoleh Lobachevsky,karenaalasanitumakaLobachevskydanBolgyaidianggap sebagai pencipta geometri hiperbolik. SetelahkaryaGauus,Lobachevskydanbolyai,munculpertanyaanyang lain seperti apakah model dari geometri hiperbolik?. Pertanyaan ini terjawab EugenioBeltramitahun1868,Diayangpertamakalimenunjukkanbahwa bidangyangberbentukpseudospheremempunyaikelengkunganyangsesuai untuk model sebagian ruang hiperbolik. AwalnyaLobachevskymenamakangeometritemuannyadengansebutan GeometrieImaginairekarenadiabelumbisamemahamimodeluntukjenis geometrinya.GeometrihiperbolikdiperkenalkanolehFelikKleintahun1871. GeometrihiperbolikseringjagadisebutgeometriLobachevsky,untuk memudahkandanmenandaikaryalobachevskysehinggapostulatnyadikenal dengan postulat kesejajaran lobachevsky. Tokoh-tokoh yang Berkaitan dengan Geometri Hiperbolik Biografi singkat dari tokoh-tokoh geometri hiperbolik diantaranya Gauus, Lobachevsky,danBolyaiyangmerupakanpenemudarigeometrihiperbolik; SaccheridanLambertyangmeyumbangteorisegiempatdalamgeometri hiperbolik;Beltrami,PoincaredanKleinyangmenemukanmodelgeometri hiperbolik. 3 1.Johann Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 23 February 1855) LahirdiBrunswick,bagiandariLowerSaxony,Jerman. Ia berasal dari keluarga miskin. Tahun 1788 Gauss memulai pendidikannya di Gymnasium High German and Latin. Pada tahun 1795 Gauss meninggalkan Brunswick untuk belajar di UniversitasGttingen.GaussmeninggalkanGttingen tahun 1798 tanpa diploma, tetapi diamembuat penemuan penting,yaituTheConstructionofaRegular17-gonby RulerandCompasses.Namun,padatahun1799,GausskembalikeBrunswick dimana dia menerima gelar. Tahun 1801, Akademi Sains St. Peterburg menunjuk Gauss menjadi direktur observatorium.Sangatdisayangkan,minatmatematikaGausssempatterhenti padausia24tahun.Minatterhadapmatematikaberubahmenjadiastronomi. Halinitidakdapatdihindarikarenatidakadauniversitasyangmenghargai bakat-bakat matematikanya dan ia pun dirongrong kesulitan finansial. Gaussselalumengalamikesulitanmenjadiseorangpengajar.Cara pandangnyayangkelewatjauhmembuatsiswa-siswanyafrustrasi.Sebaliknya, Gaussmenganggapsiswa-siswanyatidakpernahsiapmenghadapikuliahnya. BukukaryaGaussjugasulitdipahamidimanahanyaseorangyangmampu memecahkannya,iaadalahtemansekaligusmuridGaussyangbernamaPeter Gustav Lejeune Dirichlet (1803 1859). MasapenantianditerimanyadiUniversitasGottingenmembawaGauss berkenalandenganseoranggadiscantikbernamaJohannaOsthoff,anak perempuan seorang penyamak kulit yang kaya raya. Cinta pertama Gauss terjadi pada pandangan pertama. Gauss mengumpulkan uang dan keberanian sebelum menyatakanhaliniduatahunkemudian.Merekamenikahpadatanggal9 Oktober 1805 dan dikarunia 3 orang anak, yaitu: Joseph, Wilhelmina dan Louis. Tahun1809,istrinyameninggalyangkemudiandiikutiolehanakketiganya, Louis.KematianistridananakketiganyamembuatGauss depresisehinggapadaakhirnyaGaussmenikahkembali dengan Friederica Wilhelmine Waldeck (Minna Waldeck), yangmerupakananakdarirekansesamaprofesordi Gottingen.Selama6tahun,Minnamemberinyatiga oranganak,yaitu:Eugene,WilhelmdanTherese,Putri Gauss: Therese 4 sebelum ia divonis terkena TBC. Masa-masa tua Gauss dihabiskan dengan setiap pagi berada di perpustakaan universitas,mengumpulankoran-korandariseluruhdaratanEropa,mulaidari TimesterbitanLondonsampaikoranlokalyangditumpukdandibacasatuper satu.Padausia77tahun,Gaussmengalami pembengkakanjantung.Setiapjam3dinihari,ia harusbangundanminumairsodadansusuhangat untukmeringankansakitnya.Padatanggal23 Februari1855,setelahseranganjantung,Gauss meninggal.GaussdikebumikandipemakamanSt. Albans di Gottingen, Hannover, Jerman. TidakterhitungsumbangsihGaussdalamperkembanganmatematikapada umumnyadanbidang-bidangilmulainpadakhususnya.Pemilahandengan menggunakansistembilangan,statistikdanteoriprobabilitaslewatpenemuan kurvaloncengadalahduaprestasisangatpentingyangmampudicapaioleh Gauss.Dasar-dasaryangditetapkanGaussdalammatematikabanyakmemberi dampakbagiperkembanganmatematikasetelahdiameninggal.Salahsatunya adalahgeometrinon-EuclidyangkelakmendasariteorirelativitasEinstein setelah lewat sentuhan Riemann, Lobachevski dan Bolyai. RupanyaGausstidakpuashanyaberkiprahdalambidangmatematika. Banyakdisiplinilmu-ilmulaindijelajahi.Tujuanutamanya,sebagaijalanpintas untukmendapatkanuangdenganmenjadipengajaratauprofesiyang mendapatkangajirutin.Akhirnyakesinambunganaliranuanginimembuat Gaussmakinintensiflagimelakukanpenelitianmatematika.Kolaborasidengan WilhelmWeber(1804-1891)menemukantelegrafelektrikdanfenomena elektromagnetikyanggagalsebelumdilanjutkanbekerjasamadenganClark Maxwell(18311879)yangmenemukanpersamaanmedanelektromagnetik dandenganFriedrichWilhelmBessel[17848146]membahasastronomi, matematikafisikauntukaplikasidalambidangelektrostatik,hidrodinamis, aerodinamis, orbit planet, sistem lensa, dan ditemukannya geometri diferensial. Sifatperfeksionisnyaterkadangmendapatkritikkeras.Tanpamau mengungkapkanpenelitiannyajikabelumsempurna,dianggapolehkalangan ilmuwansebagaisuatuegoisme.Merekamemandangakanlebihbaik diungkapkansemuaagarperkembanganmatematikamakinpesat.Halini Pemakaman St. Albans 5 membuattimbulnyapernyataan,ApabilaGausslebihterbuka,maka matematikaakanlebihmajubeberapadasawarsakedepan.Meskipunjika lebihjelimelihatpermasalahan,bukanhanyahalitupenyebabnya.Kondisi perangdantragediyangsilihbergantimenderaGaussadalahpenyebabutama semua itu. 2.Janos Bolyai (15 Desember 1802-27 Januari 1860) JanoslahirdiKotaTransylvanian,Kolozsvar,Kerajaan Hungaria(sekarangCluj-NapocadiRumania).Ayahnya merupakan matematikawan terkenal, yaitu Farkas Bolyai dan ibunyabernamaZsuzsannaBenk.JanosBolyaimerupakan matematikawanHungariaterbesar.Iaadalahpenemu GeometriAbsolut,GeometriHiperbolikdanpengembang Geometri Affine. 3.Nicolai Ivannovich Lobachevsky (1 Desember 179212 Februari 1856) LahirdiNizhnyNovgorod,Russia.AyahnyabernamaIvan MaksimovichLobachevsky,iabekerjasebagaipegawaidi kantorlandsurveyingdanibunyabernamaPraskovia AlexandrovnaLobachevsky.Nicolaimempunyai2orang saudara dan mereka berasal dari keluarga miskin. Ketikaumur8tahun(th.1800)ayahNicolaimeninggaldan mereka pun pindah ke Kazan, Rusia barat di pinggir Siberia.DiKazan,NicolaimendapatbeasiswadanmasukUniversitasKazan kemudianluluspadatahun1807.DiUniversitasKazan,profesorJohann ChristianMartinBartels(1769-1833),seorangmantangurudanteman matematikawanJerman,CarlFriedrichGausssangattertarikpadakemampuan Nicolaidanpadatahun1811,NicolaimenerimagelarmasterdibidangFisika dan Matematika. Pada tahun 1814, Nicolai menjadi dosen di Universitas Kazan, 1816diangkat menjadiprofesorluarbiasadanpadatahun1822(usia30tahun)Nicolai ditunjuksebagaiprofesorpenuhyangmengajardibidangMatematika,Fisika dan Astronomi.Selama diUniversitasKazan,Nicolaimenjabat berbagai macam posisi administrasi.6 Antaratahun1820dan1825,iadiangkatmenjadi dekandariDepartemenMatematikadanFisika. Kemudiandaritahun1825ke1835,Nicolaimenjadi kepalaperpustakaandanmenjabatsebagaiketua observatoriumyangmempengaruhikebijakandalam universitas.Tahun1827,Nicolaimenjadirektor universitas Kazan. Selama ia menjabat pada tahun 1830, terjadiepidemakoleradankebakaranbesartahun 1842.Tetapiberkatketeguhannyamakaiamendapat ucapan terima kasih dari kaisar. Semasa jabatannya, ia mengajar berbagai topik yang berbeda seperti mekanik, hidrodinamika, integrasi, persamaan differensial, kalkulus variasi, fisika dan matematika. Di usia 40 tahun (1832), Nicolai menikah dengan Lady Varvara Alexeyenevna Moiseyevayangberasaldarikeluargakaya.Merekamemiliki18putra,namun hanya7putrayangdapatbertahanhinggadewasa.Namun,Nicolaitidak beruntungdalamperkawinan.Halinitercantumpadabukubiografinyayang menyebutkan bahwa: Nicolai tidak pandai dalam memanage keuangan, pada saat pensiun ia baru membeli real estate dan tidak pandai berinvestasi sehingga ia jatuh miskin dan diabaikan oleh pejabat lokal. Tahun1846,iadipecatdariuniversitaskarenakesehatannyayangmemburuk dan di awal tahun 1850-an ia hampir buta dan tidak mampu berjalan dan pada tahun 1856, Nicolai meninggal dalam kemiskinan. 4.Giovanni Girolamo Saccheri (5 September 1667 27 Januari 1733) SaccherilahirdiSanRemo,Genoa(sekarangItalia). Saccheriadalahanakdariseorangpengacara.Diamulaiikut pelatihan akademik dengan Yesuit di Genoa pada tahun 1685 dan 5 tahun kemudian terdaftar di Kampus Jesuit Brera untuk belajarfilsafatdanteologi.Salahseorangguru,seorang penyairdanahlimatematikayangbernamaTommasoCeva,yakinuntuk mengarahkanenergiSaccherikearahmatematikadanmenjadipembimbing akademik.DenganbimbinganCeva,Saccherimenerbitkanbukupertamanya, Quaesita Geometrica pada tahun 1693. Monument Lobachevsky diUniversitas Kazan ? 7 Iaditahbiskansebagaiimampadatahun1694diComo,Italia.Padatahun yangsama,SaccherimulaimengajarfilsafatdiUniversitasTurinsampai1697. Selamatinggaldisana,iamenerbitkanLogicaDemonstrativa,salahsatu karyanya yang paling penting.Padatahun1697Saccheribergantipekerjaanlagi,kaliiniiapindahke UniversitasJesuitPavia(jugadikenalsebagaiUniversitasTicinese),ditempat itulah mana ia mengajar selama sisa hidupnya. Dua tahun kemudian, ia menjadi pimpinandibidangmatematikayangdiangkatolehSenatMilan.Pada1708, SaccherimenerbitkanNeoStaticayangberhubungandenganmekanika. KemudiankaryalainnyaEuclidesabOmniNaevoVindicatusmencobauntuk membuktikan postulat paralel Euclid.SaccherimeninggaldiMilan,Italiapadatanggal25Oktober1733.Dalam karyanyasintesis,Saccherimemberikananalisalengkaptentangmasalah kesejajaran dalam hal segiempat Omar Khayyam. 5.Johann Heinrich Lambert (26 Agustus 1728 - 25 September 1777) Lambert adalah seorang matematikawan, fisikawan, dan astronomdariSwiss.LambertlahirdikotaMulhouse,Swiss (sekarangdiAlsace,Perancis).Sepulangsekolahiaterus belajar,sementaradiwaktuluangnyaiamelakukan serangkaianpekerjaansepertimenjadiasistenayahnya sebagaipenjahit,sebagaipramuniagaditokobesi,tutor pribadi,sekretariseditorBaslerZeitung.Padaumur20, Lambert menjadi tutor pribadi seorang anak dari pangeran di Chur. PerjalanannyakeEropa(1756-1758)membawanyabertemudengan matematikawanJerman,Belanda,Perancisdannegara-negaraItalia.Setelah kembalikeChuriamenerbitkanbukupertamanya(padaoptikdankosmologi) dan mulai mencari sebuah kantor publikasi akademis.Setelahkaryanyadipublikasi,iadihadiahidengansebuahundangandari Euler.LambertmendapatkansebuahposisidiAkademiIlmuPengetahuan Prussia,Berlin.CarakerjaLambertsangatmengagumkansampaikematiannya pada tahun 1777. Lambertadalahorangpertamayangmemperkenalkanfungsihiperbolikke trigonometri.Selainitu, iayangmembuatdugaantentangruangnon-Euclid.Di 8 geometri, terkenal dengan segiempat Lambert yang merupakan eksplorasi awal ke geometri non-Euclid. 6.Eugenio Beltrami (16 November 183518 Februari 1900) LahirdiCremona,Lombardy,bagiankerajaanAustria dansekarangbagiandariItalia.Beltramimemulaistudi matematikanyadiUniversitasPaviapadatahun1853 sampai1856.Padatahun1856iamenghentikanstudinya karenakesulitanekonomidanterpaksabekerjamenjadi sekretarisjalurkeretaapidanberpindahkeVeronadan Milan. Padatahun1861,Beltramibekerjadibidang matematika.Kemudianiamemulaipenelitianpadatahun1862.Padatahun yangsamaBeltramijugaditunjuksebagaigurubesardiUniversitasBologna. SetelahduatahundiBologna,BeltramimenerimajabatandariGeodesidi Unversitas Pisa pada tahun 1864 sampai 1866.Padatahun1866BeltramikembalikeRomadandilantikmenjadiProfesor dari mekanik rasional. Setelah tiga tahun di Roma, Beltrami pindah lagi ke Pavia. Padatahun1891BeltramikembalilagikeRomadanmenghabiskantahun terakhirnya. Selama tahun 1898 Beltrami menjadi presiden Accademia dei Lincei dan menjadi senator di kerajaan Italia pada tahun 1899. Kontribusinyadalammatematikaadalahselamatahun1868,Beltrami menerbitkanduamemoaryangberkaitandengankonsistensidaninterpretasi geometri non-Euclid dari Bolyai dan Lobachevsky. Dalam karyanya Essay on an InterpretationofNon-EuclideanGeometry,Beltramimengusulkanbahwa geometriinidapatdirealisasikanpadapermukaankelengkungannegatifyang konstan,yaitusebuahpseudosphere.UntukkonsepBeltrami,garispada geometridiwakiliolehgeodesicspadapseudospheredanteoremageometri non-Euclid dapat dibuktikan dalam ruang Euclid tiga dimensi biasa. MemoarkeduaBeltramiditerbitkanpadatahunyangsama(1868)yang berjudulFundamentalTheoryofSpacesofConstantCurvature,Beltrami melanjutkanlogikanyadanmemberikanbuktiabstrakgeometrihiperbolikdan Eucliduntukdimensiapapun.Diajugaberhasilmemperkenalkanbeberapa model geometri non-Euclid yang sekarang dikenal sebagai model Beltrami-Klein, model Poincare disk, dan model setengah bidang Poincar.9 Untukmodelsetengahbidang,BeltramimengutipsebuahcatatanLiouville dalamrisalahMongepadageometridiferensial.Beltramimenunjukkanbahwa geometriEuclidn-dimensidirealisasikanpadasuatuhorosphereruang hiperbolik (n+1) dimensi, sehingga hubungan logis antara kekonsistensian Euclid dan geometri non-Euclid adalah simetris. 7.Felix Klein (25 April 1849 22 June 1925) KleinlahirdiDusseldorf,ayahnyaseorangsekertaris kepalapemerintah.KleinhadirdiGymnasium,Dsseldorf. Setelahlulus,diamasukUniversitasBonn.Diabelajar matematikadanfisikaselamasatutahun.Diamemulai karirnyadengantujuanuntukmenjadiahlifisika. Walaupunmasihmenjadimahasiswa,iatelahditunjuk sebagai asisten Plucker pada tahun 1866.Pada tahun 1868, Klein menerima gelar doktor dengan bimbingan Plcker denganpromotorberdiederTransformasiallgemeinenGleichungdes zweitenKelaszwischenLinien-KoordinatenAufeinekanonischeFormulirdi bidang geometri dan aplikasi untuk mekanik.NamunpadatahunKleinmenerimadoktor,Plckermeninggaldunia.Klein adalah orang yang dapat menyelesaikan bagian kedua dari karya Plcker, Neue GometriedesRaumesdaninimenyebabkandiabekerjadanberkenalan dengan Clebsch. Clebsch telah dipindahkan ke Gttingen pada 1868 dan selama tahun1869KleinmelakukankunjungankeBerlin,ParisdanGttingen.Pada bulanJuli1870KleinberadadiParissaatBismarckseorangrektorPrussian mempublikasikansebuahpesanprovokatifuntukpemerintahanPerancis. Perancis menyatakan perang melawan Prusia pada 19 Juli dan Klein merasa dia tidak dapat lagi menetap di Paris. Kemudianuntukjangkawaktuyangpendek,diamenjadimilitersebagai layananmedissebelumditunjuksebagaidosendiGttingenpadaawal1871. Klein dilantik sebagai profesor di Erlangen, Bayern di selatan Jerman pada 1872. Dia sangat didukung oleh Clebsch, yang dianggap bisa menjadi ahli matematika terkemuka. Pada tahun 1875, Klein menikah dengan Anne Hegel yang juga cucu dari filsuf Georg Wilhelm Friedrich Hegel.10 SetelahlimatahundiTechnischeHochschule,Munich,Kleinmendapatkan jabatandiLeipzig.Tahun1880ke1886KleinmenghabiskandiLeipzigdimana ada banyak cara yang fundamental untuk mengubah hidupnya. Padatahun1886,KleinmendapatkanjabatandiUniversitasGttingen.Dia mengajardiGttingen sampaiiapensiunpadatahun1913tetapidiaberusahauntuk kembalimendirikanGttingensebagaipusatpenelitianmatematikaterkemukadi dunia. Pada tahun 1913, Klein pensiun. Namun ia melanjutkan mengajar matematika di rumahnya selama Perang Dunia I.KontribusiKleindalamgeometri,yaitumenerbitkanduakertasyangdisebutNon-EuclideanGeometrydimanaiamenunjukkanbahwauntukmempertimbangkan geometriEucliddannon-Euclidsebagaisebuahkasuskhususprojectivedengan permukaan tertentu berbentuk kerucut. 8.Henri Poincare (29 April 1854 17 Juli 1912) Henri Poincare lahir di Cite Ducale, Nancy, Meurthe-et-Moselle.AyahnyabernamaLeonPoincardan ibunyabernamaEugnieLaunois.Ayahnyaseorang profesordibidangobat-obatandiNancy.Padatahun 1862HenrimasukUniversitasLyce,Nancy(sekarang berganti nama yang Lyce Henri Poincar sebagai tanda kehormatanpadaPoincare).Iamenghabiskansebelas tahundiLycedanselamaitu,iamenjadisalahsatu siswa terbaik di setiap mata pelajaran. Padatahun1873,PoincarmasukkecolePolytechniquedanluluspada tahun1875.SementaraiatidakberhasildicolePolytechnique,iamencoba untuk belajar piano. Poincar gemar membaca dan ia mempunyai memori yang luar biasa.SetelahlulusdaricolePolytechnique,Poincarmelanjutkanstudidicole desLombong.SetelahmenyelesaikanstudidicoledesLombong,Poincar menghabiskanwaktusebagaiinsinyurpertambangandiVesoul.Sambilbekerja ia menyelesaikan doktornya. Setelah menerima doktor, Poincar diangkat untuk mengajarmatematikadiUniversitasCaen.Diamengajardisanaselamadua tahun sebelum ia menduduki jabatan di Fakultas Sains di Paris pada tahun 1881.Pada1886Poincardinominasikanuntukjurusanfisikadanmatematikadi Sorbonne.Diamengajartentangoptik,listrik,matematikalistrik,astronomi, termodinamika, dan cahaya.11 Kontribusinyadiberbagaidisiplincabang,seperti:matematika,mekanik, mekanikcairan,teorirelativitasdanfalsafahsains.Sebelumusia30dia mengembangkan konsep fungsi automorphic.Poincarmeninggalpadausia58tahun.Pemakamannyadihadirioleh banyakorangpenting daribidangsains danpolitik,seperti:PresidenSenat dan sebagianbesaranggotadepartemen,delegasidariAkademiPerancis,dan banyak lembaga publik lainnya. Sang Pangeran Monako pun hadir, Bei dari Tunis diwakiliolehduaoranganak-anak,danPangeranRolandBonapartesebagai Presiden Paris Geografis Masyarakat. B.Geometri Lobachevsky Sekarang,diperkenalkangeometrinon-EucliddariBolyai,danLobachevsky, sebagaiteoriformalyangmendasarkanpadabeberapapostulat.Teoriini dinakamanGeometriLobachevskyuntukmemudahkandanmenandaikarya Lobachevsky.GeometriLobachevskydapatdigolongkanpadageometrinetral denganmemandangbahwasetiapsegitigajumlahbesarsudutnyakurangdari 180o.meskipundemikian,kitalebihsukamengikutisejarahperkembangannya danmempelajarinyasecaralangsungdalamhubungannyadenganpostulat kesejajaranEuclid.Jadi,untukmenggolongkanpadageometriLobachevsky hanyalah dengan menerima semua postulat geometri Euclid dengan membuang postulat kesejajarannya dan mengganti dengan postulat berikut ini: 1.Postulat Kesejajaran Lobachevsky Palingtidakadaduagarisyangsejajardengansuatugarisyang melalui suatu titik di luar garis tersebut. Jelaslah,geometriLobachevskymerupakanjenisdarigeometrinetral.Sebagai akibatnya,kitalanjutkanpelajarangeometrinetraldenganmemberikansuatu batasantambahan.Jadi,teorema-teoremapadageometrinetraljugaberlaku padageometriLobachevskydanjugadapatdipakaipadapembuktian-pembuktian disini. 2.Teorema non-metrical TeoremapertamageometriLobachevskymerupakanteoremadasaryang tidakmelibatkanide-idemetrical(sistimperhitungandengandasarangka10) 12 sepertijarak,ketegak-lurusan,atauluas.Teorematersebutmengenai kedudukan atau sifat garis. Teorema 1 Sebarang garis seluruhnya berada di dalam sudut tertentu. Bukti: Misalkan diketahui garis l dan titik P di luar l. MenurutpostulatkesejajaranLobachevskymakaadagarismdannyang melalui titik P dan sejajar l. Garismdannmembagibidangtersebutmenjadi4daerahdimanamasing-masing daerah merupakan bagian dalam suatu sudut, yaitu:ZAPB, ZAPB, ZAPB,danZAPBdenganPterletakdiantaraAdanApadagarismdan diantara B dan B pada garis n. MisalkantitikQpadaldankarenaltidakmemotongmdannmakatitikQ tidak terletak pada m atau n. KarenatitikQtidakterletakpadamdannmakaQberadapadasalahsatu dari 4 bagian dalam sudut di atas, misalnya ZAPB. Dimana letak l? Titik Q terletak pada garis l dan berada pada bagian dalam ZAPB, dan l tidak memotong sisi-sisi sudutnya yaitu PA dan PB. Jadi, l berada di dalam ZAPB yangberartigarislseluruhnyatermuatdidalamZAPB.(terbukti) Catatan: SangatmenarikbahwaLegendremembuktikanpostulatkesejajaranEuclid denganmengasumsikanbahwasuatugarisyangmemuatsuatutitikdalam suatu sudut pasti memotong sudut tersebut. Teorema Akibat Adatakberhinggagarisyangsejajardengansuatugarisyang melalui suatu titik di luar garis itu. l n m P A A B B Gambar 1 Q 13 Bukti: Misalkan diketahui garis ldan titik P di luar l. Gunakan Teorema 1 dan misalkan sebarang titik R di dalam daerah ZAPB. Buat garis yang melalui titik P dan R. PR kecuali titik P seluruhnya termuat dalam daerah ZAPB dan ZAPB. PR tidak memotong garis lyang termuat dalam ZAPB sehingga PR // l. KarenaterdapattakberhinggagarissepertiPRmakateoremaakibat terbukti. Jadi, ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis itu. Perbedaan antara Geometri Euclid dan Geometri Lobachevsky dipandang dari sifat-sifat Non-Metrical BerdasarkanTeorema 1,Sebarang garis seluruhnyaberada di dalamsudut tertentu. BandingkandenganGeometriEuclid,Hanyasebagiangarisdapattermuat dalamdaerahsuatusudut.KarenadalamEuclidsebuahgarisyangmelalui titikdalamdaerahsudutakanmemotongsudutdiduatitikatausatutitik. Jadi, hanya sebuah segmen atau sebuah sinar garis saja yang termuat dalam daerah suatu sudut. l n m P A A B B Gambar 2 Q R A B C P Gambar 3 14 Hal iniseharusnyatidaklahterlalumengherankan,karenapostulatkesejajaran Euclid(dalambentukpostulatPlayfair)danpostulatkesejajaranLobachevsky memang berbeda sifat khusus grafiknya. 3.Sanggahan Teorema1validsecaraabstrak,tetapitidaksesuaidengankenyataan fisiknya.Konklusitersebutmemangsecaralogisdiperolehdaripostulat kesejajaranLobachevsky,tetapiasumsiitusecarafisikkeliru.Yangdiperlukan bagi seseorang untuk berfikir secara matematis adalah asumsi-asumsi (postulat-postulat)yangsecaralogisdapatmenghasilkankonklusi(teorema).Viliditas argument matematis tidakbergantung pada benaratau salahnya asumsidasar yang digunakannya. Meskipundemikian,wajarkahkitamemilihasumsiyangakan menimbulkankekeliruanjikaditerapkanpadadunianyata?Jawabannyatidak mungkin dengan YA atau TIDAK saja, tetapi harus ada beberapa penjelasan, yaitu: 1.Ahlimatematikaseharusnyabebasmemilihpostulatdanmempelajari konsekuensinya,bebasdaripertimbangankegunaanpraktisnyamaupun validitas empirisnya. 2.Proposisimatematikaituabstrak,untukmengujinyasecaraempirisharus menafsirkan istilah-istilah dasarnya. Meskipun tampaknya salah dalam suatu interpretasi(penafsiran),mungkinmenjadibenardalaminterpretasiyang lain.Sebagaicontoh,suatupostulatmenjadisalahjikagaris diinterpretasikansebagaitaliyangtegang,mungkinjadibenarjika diinterpretasikan sebagai sinar lampu.Akhirnya,janganlahkitalupabahwapenentuankebenaranempirisdari pernyataangeometrisbukanlahurusanahlimatematika,karenahalitutidak termasuk dalam percobaan mental tetapi termasuk dalam bidang pengetahuan tentang percobaan yang dilakukan oleh ahli fisika, astronom dan para peneliti. Untukmenentukankebenaranpernyataansecaraempiris,seringkali merupakanmasalahyangsulitdanseringkalihanyamemperoleh pendekatannyasaja.Misalnya,postulatkesejajaranEuclidbanyakdigunakan olehparailmuwandaninsinyurdankitamerasayakinbahwaitumerupakan fakta empiris. 15 Dengan prosesberpikiryang sama,kitayakin bahwapostulatkesejajaran Lobachevskysecaraempirisadalahsalah.BisakahkitamenyatakanJika diketahui garis (secara fisik) l dan titik P (secara fisik) di luar l, maka ada garis m (secara fisik) yang tidak memotongl tetapi melaluiP yang tidak terletak padal ?Bagaimanakitamengujihalitu?Apakahdenganmenggunakantali?Garis-garis di papan tulis? atau sinar lampu? Merupakanhalyangsulitjikamembuktikansecaraempirisbahwahanya adasatugarisyangsepertiitu.Andaikansajaadagarisyangmemenuhisifat kesejajaran Lobachevsky, misalkan garis m. Apakahkitabenar-benartahusifat-sifatfisikgarismsehinggadapat menunjukkan hanya ada satu garis seperti itu? Misalkanmadalahgaris(secarafisik)yangmelaluiPdanmembentuksudut yang sangat kecil dengan m; dapatkah kita nyatakan bahwa secara fisik m pasti memotongl?Pernyataantentangkebenaranempirispostulatmemangsulit untuk dijawab. 4.Jumlah Sudut Segitiga dalam Geometri Hiperbolik Teorema1menunjukkanbagaimanakedudukanatausifat-sifatnon-metricaldalamgeometrihiperbolikyangtentuberbedadengangeometri Euclid.Kemudianpadateoremaselanjutnyaakanmenunjukkanjumlahbesar sudut dalam segitiga di geometri hiperbolik.Kita awali dengan dua lemma yang valid dalam geometri Absolut. Lemma 1 merupakan pengulangan kembali Teorema Saccheri-Legendre. Lemma 1 Jumlahbesarduasudutdalamsegitigaadalahkurangatausama denganbesarsudutluaryangtidakbersisiandengansudut tersebut. m P m l Gambar 4 16 Bukti: Perhatikan A ABC. Menurut Teorema Saccheri-Legendre:ZA + ZB + ZCs 180 Kedua ruas dikurangi dengan ZC, diperoleh: ZA + ZBs 180 - ZC Lemma tsb berlaku karena sudut luar C sama dengan 180 - ZC (terbukti) Lemma 2 Misalkan diketahui garis l, titik Pdi luar l, dan titik Q pada l.MisalkandiberikansisiPQ,makaadatitikRpadalyangterletak satupihakdenganPQsedemikianhinggaZPRQadalahsudut terkecil seperti yang diinginkan. Bukti: Misalkan a adalah suatu sudut yang terkecil. AkanditunjukkanadatitikRpadalyangterletakdisebelahkananPQ sedemikian hingga ZPRQ < a. Pertama,bentukbarisansudut-sudut:ZPR1Q,ZPR2Q,...denganbesar setiap sudut tidak lebih besar dari sudut sebelumnya. MisalkanR1padatitikldanberadadisebelahkanansisiPQsedemikian hingga QR1 = PQ. Tarik PR1 sehingga terbentuk APQR1 sama kaki dan ZQPR1=ZQR1P = b1. A B C Gambar 5 P QR l Gambar 6 l P QR1R2 b1 b1 b2 b2 b Gambar 7 17 MisalkansudutluarAPQR1diQadalahb,makamenurutLemma1, diperoleh: b1+b1= 2b1 s b

.. (1) Denganlangkahyangsama,buatsegitigabaru.PerpanjangQR1melaluiR1 dan R2 sedemikian hingga R1R2=PR1. Tarik PR2 maka APR1R2 adalah sama kaki danZR1PR2=ZPR2R1 = ZPR2Q = b2

sehingga berdasarkan Lemma 1, diperoleh:b2+b2= 2b2 s b1

berarti

sesuai dengan persamaan (1) diperoleh:

Ulangi langkah sebelumnya sebanyak n kali sehingga diperoleh titik Rn pada l dan di sebelah kanan sisi PQ sedemikian hingga

.Denganmemilihncukupbesarmakadiperoleh

. Dengan demikian

. JadiuntukR=Rn,ZPRQadalahsudutterkecilsepertiyangdiinginkan. (terbukti) Teorema 2 Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari 180. Bukti: Misalkan lsuatu garis dan titik Pdi luar l. Buat garis m // lmelalui titik P dengan cara buat PQ ldi Q, dan m PQ di P. MenurutPostulatkesejajaranLobachevskyadagarislainyaitugarisnyang melaluiPdansejajarl,dansalahsatusudutyangdibentukndenganPQ adalah lancip. l m n P Q Gambar 8 18 PerhatikanGambar9.MisalkanXtitikpadansedemikianhinggaZQPX lancip dan Ytitik pada m dan di sebelah kanan sisi PQ seperti X. Misalkan ZXPY = amaka ZQPX = 90 - a. MisalRpadaldanberadadisebelahkanansisiPQ,sedemikianhingga ZPRQ< a (menggunakan Lemma 2) Pandang A PQR ZPQR = 90 ZQRP < a ZRPQ < ZXPQ = 90 - a(keseluruhan lebih besar dari sebagian) Jika sudut P, Q, dan R dijumlahkan maka diperoleh: ZPQR + ZQRP + ZRPQ < 90 + a+ 90 - a = 180Jadi, A PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari 180. (terbukti) Perhatikan situasi yang sama dalam Geometri Euclid! Misal: l PQdi Q, dan m PQ di P R sebarang titik pada l, di sebelah kanan sisi PQ Jika R menjauhi PQ sampai tak terhingga, maka ZQRP mendekati 0 dan ZQPRmendekati 90. Berbeda dengan situasi di geometri hiperbolik. Kita masih punya l PQdi Q, dan m PQ di P m // l (Gambar 11). Seperti pembuktian pada teorema 2, l m n P Q Gambar 9 X Y a R 90- a l m P Q Gambar 10 R 19 ada garis lainPX // l ZQPX < 90. MisalkanR sebarang titik padal di sebelah kanan PQ seperti X. JikaRmenjauhiPQsampaitakterhingga,makaZQRPmendekati0 seperti padageometriEuclid.TetapiZQPR tidakmendekati90,karenaZQPR selalu kurang dari ZQPX. Jadi, jika R cukup jauh maka jumlah besar sudut APQR kurang dari 180. Teorema 3 Jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 180. Bukti: Menurut Akibat 2 Teorema F.8 (Geometri Netral): Jikasegitigamempunyaijumlahbesarsudutnyakurangdari 180makasetiapsegitigajumlahbesarsudutnyajugakurang dari 180. Menurut Teorema 2 (Geometri Lobachevsky): Adasebuahsegitigadenganjumlahbesarsudutkurangdari 180.Berdasarkan Akibat 2 Teorema 6 (Geometri Absolut) dan Teorema 2 (Geometri Lobachevsky)makajumlahbesarsudutsetiapsegitigakurangdari180.(terbukti) Akibat 1 Teorema 3 Jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 360. Akibat 2 Teorema 3 Tidak ada persegipanjang. l m P Q Gambar 11 R X 20 5.Segiempat Saccheri dalam Geometri HiperbolikSaccherimenarikgarisyangtegakluruspadaujung-ujung dua buah segmen garis yang saling sejajar. Bangun yangterbentukinidisebutsebagaisegiempatsaccheri (SaccheriQuadrilateral).Padabagianinikitaakan mempelajari beberapa sifat dari segiempat Saccheri. Definisi 1Segiempat saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya, AD dan BCadalahkaki-kakinyasedemikiansehinggaAD=BC.ZAdanZBmerupakan sudutsiku-siku.ZAdanZBdinamakansudutalasdanZCdanZDdinamakan sudut puncak Teorema 4Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya sama besar. Bukti: Misal diketahui segiempat ABCD. TarikdiagonalACdanBDsehinggaterbentukdua segitiga, yaitu AABD dan ABAC. PandangAABD dan ABAC AD = BC .... Definisi 1 ZA = ZB .... Definisi 1 AB = AB .... RefeksifBerdasarkan sisi-sudut-sisi maka AABD ~ ABACakibatnya AC = BD PandangAACD dan ABDC AD = BC.... Definisi 1 AC = BD.... Akibat AABD ~ ABACDC = DC .... Refeksif Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka AACD ~ ABDCakibatnya ZD = ZC. Jadi, terbukti bahwa sudut-sudut atas segiempat Saccheri sama besar. AB C D Gambar 12 AB C D Gambar 13 21 Teorema 5 Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya lancip. Bukti: BerdasarkanAkibat1Teorema3,yaitujumlahbesarsudut-sudutdalam segiempat kurang dari 360 maka ZA + ZB + ZC + ZD < 360 90 + 90 + ZC + ZD < 360.... Definisi 1 ZC + ZD < 180 2ZC < 180 .... Teorema 4 ZC < 90Jadi, terbukti bahwa ZC dan ZD adalah lancip.(terbukti) 6.Segiempat Lambert dalam Geometri HiperbolikDefinisi 2 Segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut siku-siku Teorema 6 Misalkan diketahui segiempat Saccheri ABCD dengan sisi atasCD.MisalkandiketahuiEtitiktengahABdanFtitik tengahCD,ZAEF=ZEFD=90makasegiempatAEFD dan segiempat EBCF adalah segiempat Lambert. Teorema 7 Pada segiempat Lambert keempat sudutnya lancip. AB C D Gambar 14 AB C D Gambar 15 E F 22 7.Adakah segitiga-segitiga yang sebangun dalam Geometri Lobachevsky? Berikutakanditunjukkanbahwatidakadasegitiga-segitigayangsebangun dalam geometri hiperbolik, yang ada hanyalah segitiga-segitiga yang kongruen. Teorema 8 Duasegitigadikatakankongruenjikasudut-sudutyang bersesuaian sama. Bukti: Anggap teorema 8 ini salah. Maka pasti ada dua segitiga AABC dan AABC sedemikian hingga : ZA = ZA , ZB = ZB , ZC = ZC tetapi segitiga tersebut tidak kongruen. Jadi AB = AB (jika AB = AB tentu kedua segitiga itu kongruen melalui sd-ss-sd). Demikian pula dengan AC =ACdan BC = BC. Perhatikan tripel segmen AB, AC, BC dan AB , AC, BC. Salah satu dari tiga segmentersebutpastimemuatduasegmenyanglebihbesardaridua segmen yang bersesuaian dari ketiga segmen lainnya. Konsekuensinya AB > AB dan AC > AC. Selanjutnya tentukan titik B pada AB dan C pada AC sedemikian hingga AB = AB dan AC =AC JadiAABC kongruen AABC Akibatnya ZABC = ZB = ZB BerartiZBBCadalahsuplemenZBdanZBCCadalahsuplemenZC, dengandemikiansegiempatBBCCmempunyaijumlahbesarsudutsama dengan 360, yang mana kontradiksi dengan akibat 1teorema 3 DariTeorema8terlihatperbedaanantarageometriEucliddengan geometrihiperbolik.Dalamgeometrihiperboliktidakadateorimengenai segitiga-segitiga sebangun yang didasarkan pada definisi biasa, namun yang ada hanyalahsegitiga-segitigayangkongruen.Karenajikaduasegitigasebangun A BC A B C BC Gambar 16 23 makasudut-sudutyangbersesuaiansamabesardanolehkarenaitukedua segitigatersebutpastikongruen.Sehinggasecaraumum,duasegitigayang sebangun pasti kongruendan juga mempuyai ukuran yang sama. 8.Teori Luas Lobachevsky UkuranluasdalamgeometrihiperbolikberbedadengangeometriEuclid yang menggunakan satuan luas persegi, karena dalam geometri hiperbolik tidak adapersegi.Untukperhitunganluasdapatmenggunakanmetodeperhitungan integraldanmetodependekatantertentu.Untukpenyederhanaanhanya dibatasi pada luas segitiga saja.Tanpamemperhatikandefinisiluas,berikutakandijelaskanmengenai sifat-sifat luas, yaitu: 1.Kepositifan Setiapsegitigaditentukansecaratunggalolehbilanganpositifyang dinamakan luasnya. 2.Invariansi terhadap kongruensi Segitiga-segitiga yang kongruen memiliki luas yang sama. 3.Sifat aditif (penambahan) Jika segitiga T dibelah menjadi segitiga T1 dan T2 maka luas T adalah jumlah T1 dan T2. Akibatnya,setiappengukuranluasmenentukanfungsibernilairealyang didefinisikan padasemuasegitigayangmemenuhisifat (1),(2),dan(3).Halini menunjukkanbahwakitadefinisikankonseppengukuranluasataufungsiluas padasegitigayangmempunyaiketigasifattersebutterlepasdariproses pengukurannya. Definisi 3 Suatufungsiyangmemasangkansetiapsegitigadenganbilangan realtertentusedemikianhinggasifat(1),(2),dan(3)terpenuhi disebut fungsi luas atau ukuran luas (untuk segitiga). Jika adalah fungsisemacamitudanABCadalahsegitiga,maka(ABC) menyatakansuatunilaiyangdipasangkanolehdengansegitiga ABC,dandisebutluasatauukuransegitigaABCyangditetapkan oleh . 24 Definisiinijugaberlakuuntuksebaranggeometrinetral.Dalamgeometri Euclidtelahkitakenalrumusluassegitiga,yaitu

yang menghasilkan sebuahfungsiluasdengan memasangkansetiapsegitigadengan bilangan

Selanjutnya,kitaamatisifataditifdarifungsiluasyangdapat dikembangkan sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Teorema 9 (Penjumlahan Berhingga) Misalkansebuahsegitigadipecahmenjadisuatuhimpunan segitiga-segitigayangtidaksalingmenutupiA1,A2,,Anmaka fungsi luas nya adalah(A) = (A1) + (A2) + + (An) Bukti: Buat AABC seperti pada Gambar 17 (a). Buat segitiga di dalam AABC sebanyak n buah. Beri nama segitiga-segitiga tsb dengan A1, A2, , An seperti pada Gambar 20 (b). Menurut Definisi 3, AABC mempunyai fungsi luas (A). MenurutDefinisi3,A1,A2,,Anmempunyaifungsiluas(A1),(A2),... ,(An). KarenaAABC= A1 + A2 + + An Maka(A) = (A1+ A2 + + An) (A) = (A1) + (A2) + + (An)... Sifat distributif Jadi,fungsiluassegitiga(A)yangdipecahmenjadihimpunanberhingga segitiga-segitigayangtidaksalingmenutupiadalah(A)=(A1)+(A2)++ (An). (terbukti) Gambar 17 n 1 2 C C A AB B (a)(b) 25 Definisi 4 Defect AABC = 180 (ZA + ZB + ZC) ZA,ZB,danZCdiambildaribesarderajatdarisudut-sudutyang dimaksud.Jadi,defectsuatusegitigaadalahbilanganrealbukan bilangan derajat.Defect suatu segitiga berlaku seperti pengukuran luas. Teorema 10 Defect adalah fungsi luas pada segitiga. Bukti: MisalkandiketahuiAABC,berdasarkan Teorema 8 dan Definisi 3 AABC memiliki sifat 1 dan 2 sehingga L.AABC = (ABC) (i) Untukmenyelidikisifat3,makakitatentukan titik D pada AB sedemikian hingga CD memecah AABC menjadi AACD dan ABCD. Berdasarkan Teorema 8,defect (AABC)= defect (AADC) + defect (ABDC)= 180 - (ZA+ZADC +ZACD) + 180 - (ZB+ZBCD +ZBDC)= 180 + 180 - (ZADC+ZBDC) - (ZA +ZB+ZACD+ZBCD) = 180 - (ZA +ZB+ZACD+ZBCD) = 180 - (ZA +ZB+ZC). (ii) Dari(i)dan(ii)danberdasarkanDefinisi3makadefectadalahfungsiluas segitiga.(terbukti) Teorema 11 Perkalianfungsiluasdenganbilanganpositifjugamenghasilkan fungsi luas. Bukti: Diketahui fungsi luas (A). Misalkanadansedemikianhingganadalahbilangansebarangbilangan positif. n (A) merupakan perkalian fungsi luas dengan bilangan sebarang n. Berdasarkan definisi perkalian: n (A) = (A1) + (A2) + + (An) A Gambar 18 C B D 26 BerdasarkanTeorema9,yaitu:(A*)=(A1)+(A2)++(An)sehingga diperoleh:n (A) = (A1) + (A2) + + (An) n (A) = (A*)Jadi, perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas. Teorema 12 Sebarang dua fungsi luas adalah proporsional. Catatan: Buktiuntukteorema12tidakdibahaskarenaagaksulitdanmerupakanbagiandari mata kuliah Analisis Real. 9.Garis-garis yang Sejajar dan Sama Jaraknya Dalam geometri Euclid, ciri penting daridua garis yang sejajar adalahjika jarak kedua garis tersebut sama dimana-mana. Namun, hal itu tidak ada dalam geometri hiperbolik, sesuai dengan teorema berikut: Teorema 13 Tidak ada garis sejajar yang jaraknya sama dimana-mana. Bukti: Diketahui garis l // l dan titik A, B dan C pada l sedemikian hingga B diantara A dan C. Akandibuktikanada2garissejajarldanlmakatidakadatitikdil. Misalkan A, B, dan C adalah tiga titik berbeda pada l, A, B dan C. Dari titikA, B dan C tarik tegak lurus ke l yang masing-masing memotongl di A, B dan C. Andaikan AA = BB = CC. Pandang AAB dan BBA. AA=BB pengandaian ZAAB = ZBBA=90 definisi garis tegak lurusAB= AB refleksif Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka AAAB~ ABBA akibatnya AB= ABGambar 19 A ABC l l BC 27 Pandang AAAB dan ABBA AA=BB pengandaian AB = AB refleksifAB= AB akibat AAAB~ ABBA Berdasarkansisi-sisi-sisimakaAAAB~ABBAakibatnyaZAAB=ZBBA sehingga sudut-sudut atas (summit) segiempat AABB besar sudutnya sama. Dengancaradanalasanyangsamamakadapatpuladiterapkanpada segiempat CCBB yang mengakibatkan ZCCB = ZBBC. Karena ZAAB = ZBBA dan ZCCB = ZBBC maka: ZAAB+ZCCB = ZBBA+ZBBC ZAAB+ZCCB = 180Jadi,jumlahbesarsudutdalamsegiempatAACCadalah360yangbertentangandenganAkibat1Teorema3.Dengandemikianpengandaian salah, yang benar adalah tidak ada dua garis sejajar yang jaraknya sama dimana-mana. (terbukti) Kitasimpulkanbagianinidengandiskusitentangjenis-jenispasangan garis-garis sejajar. Sesuai dengan bukti teorema di atas jika ada dua garis sejajar maka hanya ada dua kemungkinan yaitu:1.Ada dua titik pada garis pertama yang jaraknya sama dari garis lain. 2.Tidak ada dua titik pada garis pertama yang jaraknya sama dari garis lain. Dari pernyataan tersebut maka terdapat dua masalah, antara lain: 1.Hal tersebut terjadi jika dan hanya jika kedua garis tersebut divergen sampai takberhinggabaikdisebelahkirimaupundisebelahkanangarislurus persekutuannya. 2.Terjadi jika salah satu garis tersebut merupakan asimtot dari garis yang lain. Teorema 14 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhisifatkesejajaranEuclid,makaadasebuah persegipanjang. MisalkandiketahuigarisldantitikP.PQtegaklurus denganIdiQ.pilihtitikR (yangberbedadenganQ)yangterletakdil.buatlahgarismyangyangtegak lurusdenganIdiR.buatlahgarismelaluiPyangtegaklurusmdiS.makakita dapatkan segiempat PQRS dengan sudut Q,R,S yang masing-masing siku-siku.28 Akan dibuktikan PQRS persegipanjang Bukti: KarenaPSdanlkeduanyategaklurusterhadapm,makaPSsejajar.(akibat1 teorema 2 geometri netral).Karena PS dan l memenuhi sifat kesejajaran Euclids, maka PS satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar l (akibat 3 teorema 2 geometri netral) PQtegaklurusldiQdanPSsejajarl,makaPQtegaklurusPSdiP.Jadi segiempat PQRS adalah persegipanjang. Akibat teorema 14 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhisifatkesejajaranEuclidesmakasetiapsegitagajumlah sudutnya 180 Bukti: Menurutteorema10:jikaadasebuahgarisdansebuahtitikyang memenujhisifatkesejajaranEuclidesmakaadasebuahpersegipanjang. Sedangkanmenurutteorema5:jikaadasebuahpersegipanjangmaka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah 180 Dengan menggunakan sifat silogisma dapat disimpulkan bahwa: Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat yang memenuhi sifat kesejajajaran Euclides maka setiap segitaga jumlah sudutnya 180 Sekarang perhatikan implikasi dari sifat kesejajajaran Lobachevshy berikut. Teorema 15 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhisifatkesejajaranLobachevskymakaadasegitigayang jumlah sudutnya kurang dari 180 P Ql m S R 29 Bukti: Teoremainisesuaidenganteorema2yangtelahdibuktikan.Jadibukti teorema ini juga dapat menggunakan bukti teorema tersebut. Akibat Teorema 15 Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhisifatkesejajaranLobachevskymakaadasegitigayang jumlah sudutnya kurang dari 180 Bukti: Menurutteorema11:Dalamgeometrinetral,jikaadasebuahgarisdan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 180Menurutakibat2Teorema6:Jikaadasebuahsegitigayangjumlahnya kurang dari 180 maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180Berdasarkan prinsip silogisme dapat disimpulkan bahwa: Jikaadasebuahgarisdansebuahtitikyangmemenuhisifatkesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180 Teorema 16 Dalamgeometrinetral,Jikaadasebuahtitikyangmemenuhisifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap garis dan titikluarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang berarti geometrinya adalah geometri Euclides. Bukti: Andaikanteorema12salah.Berartiadasatugarisdansatutitikyang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky. Menurutakibatteorema11,jikaadasebuahgarisdansebuahtitikyang memenuhisifatkesejajaranLobachevskymakaadasegitigayangjumlah sudutnya kurang dari 180 TetapimenurutakibatTeorema10,jikaadasebuahgarisdansebuahtitik yangmemenuhisifatkesejajaranEuclidesmakasetiapsegitagajumlah sudutnya 180 Terjadi kontradiksi, maka pengandaian salah, berarti teorema 12 benar. 30 Akibat 1 teorema 16 Dalamdeometrinetral,jikaadasebuahgarisdansebuahtitik yangmemenuhisifatkesejajaranLobacheskymakasetiapgaris dansetiaptitikluarnyatentumemenuhisifatkesejajajran Lobachevsky,yangberartiyangberartigeometrinyaadalah geometri hiperbolik. Bukti: MisaldiketahuigarisldantitikpmemenuhisifatkesejajaranLobachevsky. Misalkanlsebaranggarindan psebarang titik yangdapatmemenuhisifat kesejajaran Lobachevsky.Berarti hal ini kontradiksi dengan teorema 12 Akibat 2 teorema 16 SetiapgeometrinetraltentumerupakangeometriEuclidesatau geometri Lobachevsky. Akibat 3 teorema 16 Suatu geometri netral merupakan geometri Euclides atau geometri Lobachevsky,yangberartijumlahsudutsegitiganyaadalahsama dengan atau kurang dari 180 Bukti: Dalamgeometrinetral,misalkanadasebuahsegitigayangmemilikijumlah sudut180.Makageometritersebuttidakmungkinmerupakangeometri Lobachevsky,danolehkarnaitutentumerupakangeometriEuclides (menurut akibat 2 teorema 12). Begitu juga dalam kasus yang lain. Akibat 4 teorema 16 Suatugeometrinetralyangmemuatpersegipanjangtentu merupakan geometri Euclides. 31 Tabel Perbandingan antara Geometri Euclid dengan Geometri Hiperbolik Dilihat dariGeometri EuclidGeometri Hiperbolik Dua garis yang berbeda akan berpotongan pada Paling banyak satu titik.Paling banyak satu titik Diberikan garis l dan titik P di luar l maka ada Satudanhanyasatugaris melaluiPyangsejajar dengan l. Sekurang-kurangnyadua garis melalui P yang sejajar dengan l. Sebuah garis Dibagimenjadiduabagian oleh sebuah titik. Dibagimenjadiduabagian oleh sebuah titik. Garis sejajarJaraknyasamadimana-mana. Jaraknyatidakpernah sama dimana-mana. Jika sebuah garis memotong satu dari dua garis sejajar, maka Harus memotong yang lain Boleh ya, boleh tidak memotong yang lain. Hipotesis Saccheri yang valid adalah Sudut siku-sikuSudut lancip Dua garis yang berbeda dan tegak lurus pada garis yang sama SejajarSejajarJumlah sudut suatu segitiga adalah = 180