BAB IV HITUNG DIFERENSIAL PENDAHULUAN · PDF filetrigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, dan fungsi hiperbolik. Selain itu derivatif tingkat tinggi,

Matematika Teknik 1,Bab 3

s.johanes, dtm sv ugm 33

2013

BAB IV HITUNG DIFERENSIAL

(Pertemuan ke 5 s/d 8)

PENDAHULUAN

Diskripsi singkat

Pada bab ini dibahas tentang derivatif macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi

trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, dan fungsi hiperbolik. Selain

itu derivatif tingkat tinggi, derivatif yang dinyatakan dalam persamaan parameter, deriatif parsiil.

serta arti derivatif suatu fungsi.

Manfaat

Untuk menentukan derivatif fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi

eksponensial, fungsi siklometri, fungsi hiperbol, baik tingkat satu maupun tingkat tinggi. Untuk

menentukan koefisien arah garis singgung dan garis normal. Untuk menghitung lau-laju

perubahan.

Relevansi

Arti deriatif sangat luas bila diterapkan di bidang mesin. Selain bermakna sebagai koefisien

arah garis singgung dan berkaitan juga dengan garis normal, pada terapannya dalam bidang

teknik berhubungan dengan laju-laju perubahan. Penerapannya dalam mata kuliah yang lain juga

sangat besar, misalnya digunakan dalam fisika, perpindahan kalor dan lainnya.

Learning Outcomes

Mahasiswa dapat menentukan garis singgung suatu kurva dan mampu mencari derivatif

berbagai fungsi. Serta mahasiswa mampu menerapkan pengertian derivatif dalam bidang mesin

dan mata kuliah lainya.



2013

PENYAJIAN

Diketahui kontinu dan berharga tunggal dalam interval a x b. Bila x

berubah sebesar ∆x maka y berubah sebesar ∆y, sehingga berubah menjadi

, atau:

Jika ∆y dibagi dengan ∆x, maka:

∆y dan ∆x disebut diferensi dan disebut hasil bagi diferensi.

Bila untuk ∆x 0, kemudian hasil bagi diferensi dilimitkan, dan ternyata hasilnya

ada, maka limit ini disebut derivatif dari ke peubah x.

dy dan dx disebut “diferensial”. Operasi mencari derivatif disebut “menurunkan” atau

“mendiferensialkan”.

Aturan rantai

Jika dan , maka derivatif dari y tehadap peubah x, yaitu ,

dapat diperoleh dari aturan rantai berikut:

.

Secara umum aturan rantai ditulis sebagai:



2013

Peran aturan rantai menjadi sangat penting terutama untuk pemecahan soal-soal

yang begitu kompleks. Karena dengan pemisalan terhadap komponen soal, serta

menerapkan aturan rantai ini, soal-soal yang dipecahkan akan mengarah kepada rumus-

rumus yang ada.

Arti derivatif suatu fungsi

Garis singgung & garis normal

Telah dibahas pada limit dan fungsi, bahwa koefisien arah suatu garis lurus sama

dengan tangent α. Bila garis lurus itu adalah garis singgung pada suatu kurva, berarti Δx

→0. Maka:

Persamaan garis singgung pada kurva di titik (xo, yo), adalah:

Sedangkan persamaan garis normalnya adalah:

Laju perubahan

Misalkan x dan y adalah dua kuantitas fisik yang dihubungkan oleh fungsi

. Maka adalah laju perubahan rata-rata dari y terhadap x dalam interval Δx. Limit

untuk Δx mendekati nol, jika ada, disebut laju perubahan (sesaat) dari y terhadap x,

maka



2013

Cara mencari derivatif

Misalnya diketahui , maka apa derivatif pertamanya?

Jawab:

→

___________________________ _

Jadi derivatif pertama dari adalah y’ = 2x.

Rumus-Rumus Derivatif

1. Derivatif Fungsi Aljabar

Jika c dan k masing-masing adalah konstanta, sedangkan u, v dan w masing-masing

adalah merupakan fungsi dengan peubah x, maka :

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.



2013

Contoh soal dan penyelesaian

1. Carilah turunan pertama dari

Jawab:


Jawab:


Jawab:



2013

Soal-soal

Carilah turunan pertama dari:

a.

b.

c.

d.

e. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, ,

pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.

f. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, , pada

titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.

g. Apakah garis singgung pada grafik , di (1,1) melalui titik (2,5) ?

h. Sebuah pesawat pembom terbang dari arah kanan menuju ke kiri menurut kurva

. Jika bom yang diluncurkan bergerak menurut garis lurus (pada bidang x-

y), dimana pilot harus melepaskan bom jika sasaran berada pada titik (1,0) ?

i. Volume bola adalah V=4πR3/3. Jika radius bola berubah dari R menjadi R+ΔR,

tentukan a) perubahan volume, b) laju perubahan rata-rata volume terhadap

radius, dan c) laju perubahan volume terhadap radius.

j. Sebuah kubus metal dengan panjang sisi x, mengembang secara proporsional,

jika dipanaskan. Tentukkan a) laju perubahan rata-rata volume kubus terhadap

sisinya, jika bertambah dari 2 cm menjadi 2,01 cm, b) laju perubahan sesaat

volume kubus terhadap sisinya, pada x = 2 cm.

2. Derivatif Fungsi Logaritma

Jika diketahui fungsi logaritma , dan y berubah dengan Δy karena x

berubah dengan Δx, maka:



2013

Jika persamaan pertama dikurangkan dengan persamaan yang kedua, maka

hasilnya adalah:

Ingat bahwa: atau

Bilangan Napier,

,71828…

Maka:

Jadi:

Jika dan , dan jika , maka atau dapat ditulis sebagai

.

Jika , maka atau dapat ditulis sebagai . Domain dari x

adalah bilangan riil.



2013

y y y

0 1 x 1 1

0 x 0 x



Jawab:

Misalkan, , maka , maka:

Gambar 4-1

a.

b.

c.

d.



2013


Jawab:


Jawab: misalkan

, misalkan , maka

Soal-soal


1.

2.

3.

4.

5.



2013

6. Laju aliran kalor radial melewati isolator berbentuk silinder, dinyatakan oleh

persamaan: , dengan L, ri, k, h, To & T adalah konstanta. Carilah

: turunan pertama dari q ke peubah ro, yaitu ?

3. Derivatif Fungsi Eksponensial

Jika diketahui , dengan a = konstanta, berapakah turunannya?

Maka: . Jika persamaan ini diturunkan ke peubah u, maka:

Jadi dari au adalah:

Rumus-rumus untuk turunan fungsi eksponensial, adalah disajikan sebagai berikut:



Jawab:

a.

b.

c.

d.



2013


Jawab:

, misalkan , maka


Jawab:

, misalkan dan , maka

Soal-soal. Carilah turunan pertama dari:

1.

2.

3.

4.

5.

6.



2013

4. Derivatif Fungsi Trigonometri (Goniometri)

Rumus-rumus untuk turunan fungsi Trigonometri, adalah disajikan sebagai

berikut:



Jawab


Jawab

a.

b.

c.

d.

e.

f.



2013


Jawab

Soal-soal


1.

2.

3.

4.

5.

5. Derivatif Fungsi Siklometri

Funggsi siklometri disajikan dengan hubuungan arcus, dan merupakan kebalikan

dari fungsi goniometri.

Ambillah : , diubah menjadi

Jika diturunkan, hasilnya:

Dengan melihat hubungan pada segitiga

di samping, maka:

Jadi :

1 u

y

Gambar 4-2



2013

atau

Rumus-rumus untuk turunan fungsi siklometri, adalah disajikan sebagai berikut:



Jawab


Jawab

a.

b.

c.

d.

e.

f.



2013


Jawab:

Soal-soal


1.

2.

3.

4.

5.

6. Derivatif Fungsi Hiperbolik

Rumus-rumus untuk turunan fungsi Hiperbolik, adalah disajikan sebagai berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.



2013



Jawab


Jawab


Jawab

Soal-soal


1.

2.

3.

4.

5.



2013

Derivatif Tingkat Tinggi

Jika diderivatifkan akan didapatkan y’. Jika y’ masih merupakan fungsi x,

maka masih dapat diderivatifkan lagi, hasil derivatif ini disebut derivatif ke-dua atau

turunan ke-dua.

Notasi :

, (dengan ) derivatif tinkat (order) satu,

derivatif tinkat (order) dua,

derivatif tinkat (order) tiga,

derivatif tinkat (order) ke-n.

Pada ungkapan turunan (tingkat satu saja) di atas ada tiga macam notasi yang

digunakan, yaitu notasi aksen ( ), notasi d ( ) dan notasi Leibniz ( ).

Contoh: tentukan derivatif tingkat tiga, dari:

Jawab:

Soal-soal

Tentukan:

1) , dari:

2) , dari:

3) , dari:

4) , dari:



2013

Derivatif fungsi-fungsi yang dinyatakan dalam persamaan parameter

Bila untuk menyatakan hubungan antara y sebagai fungsi x digunakan peubah ke-

tiga (disebut parameter), maka derivatif y ke peubah x ditentukan dengan aturan sebagai

berikut:

contoh:

Carilah jika diketahui &

Jawab:

,

, , maka:

Soal-soal: Tentukan dari

a) &

b) &

Jika: dan , maka

a)

b)



2013

Derivatif Parsiil

Derivatif parsiil: derivatif fungsi dengan dua peubah atau lebih.

Misalkan , dengan x dan y adalah variabel bebas.

1. Z bertambah dengan ∆z oleh karena x bertambah dengan ∆x, sedangkan y tetap,

maka:

___________________________ (-)

= derivatif parsiil tingkat satu ke-x, sedangkan y = konstan.

2. Z bertambah dengan ∆z oleh karena y bertambah dengan ∆y, sedangkan x tetap,

maka:

___________________________ (-)

= derivatif parsiil tingkat satu ke-y, sedangkan x = konstan.

Derivatif parsiil tingkat tinggi

Derivatif parsiil tingkat dua diperoleh dari derivatif parsiil tingkat satu ( & ),

masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan:

a.

b.



2013

c.

d.

Derivatif parsiil tingkat tiga diperoleh dari derivatif parsiil tingkat dua ( , ,

& ) , masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

Dapat dibuktikan bahwa:

Contoh

1. Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:

2. Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:

=

Dapat dibuktikan bahwa:

&



2013

Soal-soal

Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. Suhu pada (x, y, z) dari sebuah bola yang berpusat di titik asal, diberikan oleh

persamaan berikut: , dengan pemeriksaan , putuskan di

bagian mana yang paling panas ?

12. Hitung harga: , bila

13. Hitung: , bila

14. Tentukan , bila

15. Tentukan derivatif parsiil tingkat dua dari:

16. Hitung harga , bila , dimana



2013

Diferensial Total

Jika fungsi dengan dua variabel bebas, z berubah dengan Δz karena x berubah

dengan Δx dan y berubah dengan Δy, maka:

Persamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi:

Turunan kedua:

Turunan ketiga:

Diferensial total Turunan pertama

Suku 1 Suku 2



2013

Turunan tingkat ke-n:

Bila persamaan menggunakan parameter: & , maka derivatif

total menjadi:

Derivatif fungsi implisit.

Deriatif fungsi implisit dengan satu peubah

Contoh fungsi implisit:

Jika:

Turunan pertama:

Turunan kedua:



2013

Contoh: Tentukan & dari:

dapat dicari menggunakan rumus yang telah tersedia, atau langsung diturunkan dari

yang sudah diperoleh, sebagai berikut:

Tugas pertemuan ke 5, carilah turunan pertama dari soal-soal 1 & 2 berikut.

1.

2.

3. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, ,

pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.

Latihan untuk pertemuan ke 5, selesaikan soal-soal berikut.




2013

2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi, , pada

titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut.

Petunjuk.

1. Misalkan dan , selanjutnya gunakan rumus derivatif

fungsi aljabar berikut: . jawabnya:

2. Turunkan dulu: , maka .Turunan ini, yaitu: ,

yaitu koefisien arah garis singgung. Karena garis singgung melalui titik (1,2), maka

masukkan nilai x pada m. selanjutnya ggunakan persamaan garis melalui suatu

titik (xo, yo) dan mempunyai koefisien arah m, yaitu: .

Jawabnya: .

Tugas pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.

1.

2.

Latihan untuk pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.

1.

2.

Petunjuk.

1. Misalkan , maka . Selanjutnya y turunkan ke peubah w,

menghasilkan . Selanjutnya dimisalkan dulu , dan ,

kemudian dihitung . Selanjutnya y diturunkan ke peubah x, dengan

menggunakan aturan rantai, yaitu .

2. Untuk menyelesaikan soal: , dimisalkan dulu ,

sehingga . Selanjutnya y turunkan ke peubah u, menghasilkan: .

Kemudian u turunkan ke x, menghasilkan: . Untuk



2013

mempermudah misalkan , maka dapat dicari. Sehingga:

. Selanjutnya .

Tugas pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.

1.

2.

Latihan untuk pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.

1.

2.

Petunjuk.

1. Untuk menyelesaikan , dimisalkan dan ,

sehingga . Kemudian masing-masing diturunkan ke x menghasilkan dan

, Maka .

2. Untuk menyelesaikan , dimisalkan , maka .

Sehingga & dapat dicari. Dengan aturan rantai maka: .

Tugas pertemuan ke 8.

1. Carilah dari: &

2. Tentukan derivatif parsiil dari:

Latihan untuk pertemuan ke 8.

1. Tentukan derivatif parsiil dari:

2. Hitung: , bila

Petunjuk.

1. Untuk menyelesaikan , dimisalkan , dan , sehingga

. Maka:



2013

2. Untuk menyelesaikan soal nomer 2, dicari ,

dan .

PENUTUP

Tes formatif dan kunci tes formatif

1. Tentukan dari . Kuncinya:

2. Tentukan dari . Kuncinya:

3. Tentukan dari & . Kuncinya:

4. Tentukan , bila . Kuncinya:

Petunjuk penilaian dan umpan balik

Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100.

Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya

sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan

nilai .

Tindak lanjut

Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan

selanjutnya diuji lagi.

Documents

BAB IV HITUNG DIFERENSIAL PENDAHULUAN · PDF filetrigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, dan fungsi hiperbolik. Selain itu derivatif tingkat tinggi,