T.C.

GAZİ ÜNİVERSİTESİ

FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ

MATEMATİK BÖLÜMÜ

MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJESİ

PROJE KONULARI

Düzlük Kürelerde Düzlük

Açı Silindir Ve Konilerde Düzlük

Hiperbolik Düzlemlerde Düzlük

HAZIRLAYAN

Çiğdem KARACA 030420037

ÖĞRETİM ÜYESİ

Prof. Dr Baki KARLIĞA

ANKARA 2006

BÖLÜM 1

DÜZLÜK NEDİR?

TARİHÇE: BİR DÜZ DOĞRUYU NASIL ÇİZEBİLİRİZ?

Pergelle bir çember çizerken, bir çember modeli ile başlamayız; bunun yerine çemberin

üzerindeki noktalar çemberin merkezine sabit uzaklıktadır prensibini kullanırız. Veya Öklit’in çember

tanımını kullanıyoruz diyebiliriz(Bakınız Ek A, Tanım 15). Peki ya,düz doğru çizimi;düz doğruyu

çizecek bir alet ( pergel görevi görecek) var mıdır? Birisi düz doğru çizmek için cetvel

kullanabileceğimizi söyleyebilir. Peki, cetvelin bir düz doğru olduğunu nasıl biliyoruz? Bir şeyin

düzlüğünü nasıl kontrol edebiliriz? Düzlük ne demektir? Bunun hakkında biraz düşününüz.─Bu

Problem 1.1’in bir kısmını oluşturuyor.

Öklit’in üsteki tanımını kullanmayı deneyebilirsiniz. Bir kâğıt parçasını katladığımız takdirde,

kat çizgisi düz doğru olacaktır ─bu esnada kenarların düz doğru olması gerekmemektedir. Burada düz

doğru oluşturmak için ayna simetrisinden yararlanılır. Marangozlar da düzlüğe karar verirken

simetriden yararlanırlar.─İki tahtayı yüz yüze gelecek şekilde yerleştirirler, kenarları düzgün olarak

görünene kadar rendelerler ve sonra tahtalardan birini rendelenmiş kenarlar birbiri üstüne gelecek

şekilde diğerinin üstüne yerleştirirler. Bakınız Şekil 1.1. Daha sonra tahtaları ışığa doğru tutarlar. Eğer

kenarlar düzgün değilse, tahtalar arasında bulunan boşluklar ışık sayesinde fark edilecektir. Düz

doğrunun simetrilerini Problem 1.1’de detaylı olarak inceleyeceğiz.

Şekil 1.1. Düzlüğü kontrol etmek için marangozların kullandığı yöntem

Bazen, aşırı pürüzsüz düz aynaları bilerken, aşağıdaki teknik kullanılır: neredeyse düz olan üç

cam parçasını alın ve 1. ile 2. parçaları arasına süngertaşı(ponza) koyun sonra birlikte bileyin. Daha

sonra aynı hareketi 2. ile 3, 3. ile1. parçalar için tekrarlayın. Bu hareketi üç parçada tam düz oluncaya

kadar tekrar edin.Bakınız Şekil 1.2. bunun neden işe yaradığını anlıyor musunuz?

Şekil 1.2. Düz aynaların bilenişi

Ayrıca, genel lise tanımını kullanabiliriz, “ iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir düz

doğrudur.”. bu tanım bizi bir ipi gererek düz doğru oluşturmaya götürür.

Simetri kullanımı, germe ve katlama diğer yüzeylere de uygulanabilirler, bu uygulamaları Bölüm

2,4 ve 5’te göstereceğiz. Literatürde bulunan “düz doğru tanımsız bir terimdir” ya da “ bir kürenin

üzerinde bulunan düz doğrular muazzam çemberlerin yaylarıdır” tanımlamaları kafamızı

karıştırabilir.”simetri” Art/Pattern Strand’dan gelir,”tanımsız terim” Building/Structures Strand’dan

gelir,”en kısa mesafe” tanımı Navigation/Stargazing Strand’dan gelir.

Ama hala tam anlamıyla düz doğru çizecek pergele benzer bir mekanizma var mıdır sorusu

cevapsız kalmıştır. Bu sorunun cevabını mekanik tarihinin içinde bulacağız. Bu bizi Motion/Machines

Strand’a ve düzlüğün diğer bir anlamına götürecek.

Şekil 1.3. 13.yy yukarı ve aşağı bıçkıhanesi

13. yy’ dan bu yana dairesel hareketi düzgün doğrusal harekete dönüştürmek uygulamalı

mühendislik problemi olmuştur. 13. yy daki bıçkıhane eskizlerinde gördüğümüz gibi linkler(link

çubukları yüzeye bağlanmış ve son kısımları perçinlenmiş) (bakınız şekil 1.3) 13. yy da kullanıldılar

ve muhtemelen daha önceleri icat edildiler. Georgius Agricola(1494–1555) ‘nın jeolojik yazıları [ME:

Agricola] sadece ilk elden kaya ve mineral gözlemlerini yansıtmıyor, bunun yanında maden

mühendisliğinin her açıdan gözlemlerini ve zaman içindeki pratiklerini(uygulamalarını) de yansıtıyor.

Onun çalışmalarında ki resimlerde su dolabının sürekli rotasyonunun, pistonun pompalamasına denk

gelen ileri geri harekete dönüşmesi için kullanılan linkler rahatlıkla görülebilir.1588’de, Agostino

Ramelli [ME: Ramelli] linkleri yaygın olarak kullanılmış olan, makineler hakkında bir kitap

yayınlamıştır. Bu kitapların ikisi de okunabilir durumda; kaynakçaya bakınız.

18. yy sonlarında insanlar güç için buhar motorlarını kullanmaya başladılar. Oldukça yetenekli

bir makine tasarımcısı olan JamesWatt (1736–1819), buhar motorlarının verimliliklerini ve güçlerini

geliştirmek için çalıştı. Buhar motorlarında, buhar basıncı pistonu düz silindir içinde aşağı iter. Watt’ın

problemi bu doğrusal hareketin nasıl tekerleğin dairesel hareketine dönüştürülebilineceği idi( buhar

lokomotifinde olduğu gibi). Doğrusal hareketi dairesel harekete dönüştürecek bir düzgün doğru linkini

tasarlamak Watt’ın yıllarını aldı. Daha sonra oğluna şunları söylemiştir.

“Her ne kadar şöhrete rağmen endişeli olmasam da paralel hareketten,bugüne dek yaptığım

diğer mekanik icatlardan daha çok gurur duymaktayım.”

“Paralel Hareket” Watt’ın kendi linki için kullandığı isimdir. Bu isim 1784’teki patente dâhildir.

Watt’ın bu linki uygulamalı mühendislik problemine iyi bir çözümdü. Bakınız Şekil 1.4’ de Watt’ın

linki sol üst köşede bir paralelkenar ve birleşmiş linklerdir.

Şekil 1.4. Watt’ın paralel hareket linkini içeren buhar motoru

Lakin Watt’ın linkinin sadece yaklaşık bir düz doğru oluşturacağını bilen matematikçiler

Watt’ınn tatmin olmadılar. Matematikçiler düzlemsel düz doğru linklerini aramaya devam etmişlerdir.

Fransız subay Charles Nikolas Peaucellier (1832–1913), ve Rus üniversite öğrencisi Lipmann I.

Lipkin(1851–1875) birbirlerinden bağımsız olarak kesin düz doğru çizen link (makine bağlantısı)

bulana kadar yani 1864–1871 yıllarına kadar kesin düz doğru çizen bir link bulunamadı. Bakınız Şekil

1.5( Lipkin hakkında fazla bilgi yok. Bazı kaynaklara göre Litvanya’da doğdu ve St. Petersburg ‘taki

Chebyshev’de lisans üstü öğrencisiydi. Ama doktora tezini tamamlayamadan öldü. )( Bu keşif

hakkında daha fazla bilgi için Philip Davis ‘in The Thread adlı kitabına bakınız [EM : Davis ], Bölüm

4).

Şekil 1.5 Peaucellier ve Lipkin’in düz doğru çizmek, için hazırladığı link.

Şekil 1.5 deki link çalıştı çünkü ilerde Problem 16.3’te göstereceğimiz gibi, Q noktası sadece

yarıçapı (s2 −d2 )f /(g2 −f 2 )olan çemberin yayı boyunca hareket edecektir. Bu sayede geniş bir

çemberin yayını, çemberin merkezini kullanmaksızın çizebiliriz. Eğer g ve f uzunlukları eşitse, P

sonsuz yarıçapı olan bir çemberin yayını çizecektir. (Bu link hakkındaki diğer bir görüş için bakınız

[EG: Hilbert], sayfa 272-273). Böylece Motion/Machines Starnd’dan bakınca düz doğrunun diğer bir

tanımını bulduk.”Düz doğru yarıçapı sonsuz olan bir çemberdir.”(Yarıçapı sonsuz olan çember

hakkında bilgi edinmek için Şekil 11.4’ün yanındaki metne bakınız.)

PROBLEM 1.1 NEZAMAN BİR DOĞRUYU DÜZ OLARAK TANIMLARIZ?

Önsözde yer alan geometri yaklaşımına uygun olarak, sizi düzlük kavramını derinlemesine

inceleme konusunda teşvik edecek bir soru ile başlayalım. Sizden düzlük hakkında sayısız

varsayımları kabullenmenizdense deneyimlerinize dayalı bir düzlük fikri oluşturmanızı istiyoruz. Bunu

formülize etmek zor olsa da düzlük doğal bir kavramdır.

a. Uygulamalı olarak bir şeyin düz olduğunu nasıl kontrol edersiniz? Düz bir şeyi nasıl

oluşturursunuz?─Çit kazıklarını bir düz doğru oluşturacak şekilde nasıl yerleştirirsiniz,

ya da nasıl düz doğru çizersiniz? Farz edelim bunu cetvelle çizerek yaptınız, o zaman

biz şunu soracağız” Cetvelin düz olduğunu nasıl kontrol edebilirsiniz?”

İlk olarak, deneyimlerinizdeki düzlük örneklerine bir bakınız. Dışarı çıkın ve düz bir doğru

boyunca yürümeyi deneyin ve sonra da eğimli bir yol boyunca; düz çizgi doğru çizmeyi deneyin ve

sonra bu doğrunun düz olduğunu kontrol edin.Düz doğruyu,düz olmayan doğrulardan ayıran özelliğe

baktığınız için, muhtemelen şu durumu hatırlayacaksınız( çoğunlukla lise geometrisinde tanım olarak

bulunur): iki nokta arasındaki en kısa mesafeye düz doğru denir. Fakat iki nokta arasındaki bütün

yolların uzunluklarını ölçebilir misiniz? En kısa yolu nasıl bulursunuz? İki nokta arasındaki en kısa

mesafe gerçekten bir düz doğru ise, bunun tersi de doğru mudur? İki nokta arasına çizilen bir düz

doğru her zaman en kısa mesafe midir? Daha sonraki bölümlerde bu sorulara döneceğiz.

Bu probleme güçlü bir yaklaşım doğruları simetri açısından düşünmek olur. Diğer

yüzeyleri(küreler, koniler, silindirler ve diğerleri) ele aldıkça bu yaklaşım daha da önem

kazanacaktır.Doğruların simetrilerinden iki tanesi aşağıdaki gibidir:

• Doğruda Yansıma Simetrisi, iki taraflı simetri olarak tanımlanır ─doğru üzerinde bir

nesneyi yansıtmaktır.

Şekil 1.6 Düz Doğrunun Yansıma Simetrisi

• Yarı Dönüş Simetrisi, doğru üzerindeki herhangi bir nokta etrafında 180° dönmektir.

Şekil 1.7 Düz Doğrunun Yarı Dönüş Simetrisi

Bu örneklerin her birinde doğrunun simetrisi üzerinde durmamıza rağmen, farkında olmalısınız

ki simetri kendi başına doğruya ait bir özellik değildir, aksine simetri hem doğruyu hem de doğru

etrafındaki uzayı içerir. Simetriler mahalli çevreyi muhafaza eder. Fark ederseniz, doğruda yansıma

simetrisi, yarı dönüş simetrisi ve doğrunun etrafı simetri hareketinin birer parçasıdırlar ve aralarındaki

ilişkinin tamamı harekete uygundur. Gerçekten,doğrudaki yansıma kesinlikle doğruyu hareket

ettirmez, ama bulunduğu uzaylarda doğrunun her iki tarafının da aynı olduğu bir yol sergiler.

Tanımlar

İzometri: Açı ölçülerini ve mesafeleri muhafaza ederek yer değiştirmedir.

Bir Şeklin Simetrisi: Uzaydaki bir bölgenin öyle bir izometrisidir ki şekli(veya şeklin bulunduğu

bölgenin bir parçasını) kendi üzerine götürür.

Bir uzayın bütün izometrilerinin öteleme, dönüşüm, yansıma ya da bunların birleşimi olduğu Problem

11.3’te gösterilecektir.

b. Düz Doğrunun Simetrileri Nelerdir?

Doğrunun diğer simetrileri hakkında da düşünmeye çalışınız( birkaç tane var) Bazı simetriler düz

doğrular için uygun olsa da bazıları diğer eğriler için de uygun olabilirler. Hangi simetrilerin sadece

düz doğrulara özgü olduğunu bulunuz ve nedenini düşününüz. Bunun yanında düz doğru oluşturmak

ya da doğrunun düzlüğüne karar vermek için bu simetrilerin uygulamalarını da düşününüz.

c. Genelde Farklı Doğruluk Sanıları Nelerdir?

“Düz Doğru “ Tanımını Yapabilir misiniz?

“Düz” diye adlandırdığımız şeyleri araştırınız. Düz doğruları nerelerde görürüsünüz? Neden

bunlara düz dersiniz? Düz dediğimiz hem fiziksel hem de fiziksel olmayan doğruları araştırınız. Düz

doğrunun simetrileri nelerdir? Bulduğunuz örneklerle ya da yukarıdaki örneklerle uyuşuyorlar mı?

Düzlüğü tanımlarken doğrunun simetrilerinden herhangi birini kullanabilir miyiz? İki düzlemin

kesişimi bir düz doğru mudur? Öyleyse bu neden düz doğrudur? Bize düzlük kavramını anlama da

yardımcı olur mu?

Elinizde ucuna taş bağlı uzun bir iple yürüdüğünüzü düşününüz. Bu taş ne zaman sizin yolunuzu

takip edecektir? Neden? Bu özellik düşen bir su kayakçısını kaldırmak için kullanılır. Bot düz doğru

boyunca kayakçının yanında gider ve böylece halat botun yolunu takip eder. Sonra bot belli bir açı ile

kayakçının önünden döner. Çünkü bot artık düz bir yol izlemiyordur, halat düşen kayakçıya doğru

hareket eder. Burada neler olur?

Akılda tutulması gereken diğer bir düşünce ise düzlük lokal bir özellik olarak düşünülmelidir. Bir

doğrunun tamamı düz olmadığı halde bir kısmı düz olabilir. Örneğin, bu doğru düz ise

Ve sonra bu doğrunun sonuna eğri eklersek, burada olduğu gibi

şimdi bu doğrunun orijinali değişmediği halde, sadece bir kısım eklendiği için bu doğrunun orijinal

kısmı düz değil midir diyeceğiz? Ayrıca burada dikkat ederseniz doğru ve doğru parçası arasında bir

ayrım yapmıyoruz. Genellikle diğerlerine göre daha genel bir terim olan doğru;her doğru parçası, düz

ve düz olmayan doğrulara gönderme yapmaktadır.

Muhtemelen düzlük hakkında birçok fikir oluşturdunuz. Şimdi yapmanız gereken, tüm bu düz

olgular için ortak noktanın ne olduğunu düşünmektir.

Daha fazla okumadan bu konu hakkında düşününüz, bu soruya verdiğiniz cevapların bazılarını

açık olarak belirtiniz. Neden düz olduğunu anlayana kadar hiçbir cevabı kabullenmeyiniz. Hiçbir

cevap önceden tayin edilemez. Bizim asla hayal edemeyeceğimiz bir şeyler bulabilirsiniz. Sonuç

olarak önemli olan kendi düşüncelerinizde ısrar etmenizdir. Sayfa 25 ten başlayan bu kitap nasıl

kullanılır kısmını tekrar okuyunuz.

! Bu konu hakkındaki düşüncelerinizi yazarak ya da konuşarak anlatana kadar bundan sonraki

bölümleri okumamalısınız.

DOĞRUNUN SİMETRİLERİ

Doğrusal Simetride Yansıma: Yansımayı 3 boyutlu uzayda olan “tersine çevirme” olarak

düşünmektense, ekseni doğru olan bir ayna olarak düşünmek bizim için daha kullanışlı olacaktır.

Böylelikle yansıma simetrisi fikrini kürelere kadar sürdürebiliriz. (tersine çevirme olayı kürelerde

mümkün değildir.) . Simetri düzlük tanımı olarak kullanılamaz çünkü yansıma simetrisini tanımlamak

için düzlüğü kullanıyoruz. Aynı yaklaşım diğer simetri çeşitlerinin birçoğuna da uygulanır.

Şekil 1.8 Doğrusal Simetride Yansıma

Şekil 1.8-1.14 açık gri üçgen, koyu gri üçgenin simetri eylemi altında oluşan görüntüsüdür.

• Pratik uygulama: Bir parça kâğıdı katlayarak düz doğru elde edebiliriz.

Çünkü oluşan kat etrafında bir simetri oluşacaktır. Yukarıda marangozun örneğini gösterdik.

Doğrusal Simetride Dik Yansıma:Doğruya dik olan herhangi bir eksen etrafındaki yansıma

yine doğruyu kendi üstüne taşıyacaktır. Dikkat ederseniz, daireler de çap etrafında bu simetriye

sahiptirler.

Şekil 1.9 Doğusal Simetride Dik Yansıma

• Pratik uygulama: Ayna ile dik açı yapacak şekilde bulunan doğru parçası baktığımızda yansıma

ile birlikte doğru olarak görebiliriz.Ayrıca, bir düz doğruyu kendi üstüne katlayabiliriz.

Yarı – dönüş simetrisi: Bir doğru üzerindeki herhangi bir P noktası etrafındaki yarım devirlik

rotasyon, doğrunun P noktasından önceki parçasını P noktasından sonraki parçasının üzerine taşır,

terside geçerlidir. Dikkat edersek; Z gibi düz olmayan doğrularda yarı dönüş simetrisine sahiptirler

fakat bu simetri her noktada değildir.

Şekil 1. 10: Yarı Dönüş Simetrisi

• Pratik uygulama: Yarı dönüş simetrisi, vidanın yivi ile tornavidanın ucu arasında oluşur.( Ama

vidanın ve tornavidanın Philips- başlı olmaması gerekir, çünkü bu çeşit vida ayrıca çeyrek

dönüş simetrisine sahiptir.) ve böylece torna vidanın ucunu yive daha kolay yerleştirebiliriz.

Ayrıca, bu simetriyi kapı (düz duvara bağlı) açmada da görebiliriz.

Kendi Simetrisi Boyunca Rigid (Katı) Hareket: Düz doğrular için bu simetriye ötelemeli

simetri derz. Düz doğrunun herhangi bir parçası, doğrudan ayrılmayacak şekilde doğru boyunca

hareket edebilir.Bu katı hareket özelliği sadece düz doğrulara özgü değildir; daireler (dönme simetrisi)

ve dairesel helisler ( vida simetrisi) de bu özelliğe sahiptirler.( bakınız şekil 1.1)

• Pratik uygulama: trombonların, çekmecelerin, somunların ve sürgülerin içindeki eklemleri

kaydırmak, bu simetriye örnektir.

Şekil 1.11 Kendi Simetrisi Boyunca Katı Hareket

3-Boyutlu Dönme Simetrisi: 3- boyutlu uzayda doğrunun kendisini eksen olarak kullanarak

kendi etrafında herhangi bir açı ile döndürülmesidir.

Şekil 1.12 3-Boyutlu Dönme Simetrisi

• Pratik uygulama: Bu simetri herhangi uzun ince bir cismin düzlüğünü kontrol etmek için

kullanılabilir. Mesela, kendi ekseni etrafında hızla dönen bir çöp. Bu simetri ıstakalar, miller,

toplu iğneler ve bunun gibi cisimler için kullanılır.

Merkezi simetri veya nokta simetrisi: P noktasında merkezi simetri herhangi bir A noktasını,

doğru üzerinde A ve P noktaları tarafından belirlenen bir noktaya gönderir. Bu noktanın P noktasına

uzaklığı, A noktasının P noktasına uzaklığına eşittir. Ama bu nokta P noktasının diğer tarafında yer

almaktadır. Bakınız Şekil 1.13 te 2 boyutlu ortamda merkezi simetri sonuç itibari ile yarı-dönüş

simetrisinden farklı değildir, ama görüntüleri ve oluşturulmaları farklıdır.

• 3-boyutlu uzayda, merkezi simetri herhangi tek rotasyon veya yansımadan farklı sonuç

oluşturur.(merkezi simetri birbirine dik düzlemlerde bulunan 3 yansımanın bileşkesi ile aynı

sonucu verdiğini kontrol edebiliriz). 3-boyutlu uzayda merkezi simetriyi denemek için, avuç

içleri birbirine dönük olacak bir şekilde ellerinizi önünüzde birleştiriniz ve sol başparmağınız

sağ başparmağınızın üstünde olsun. Elleriniz şuan da avuç içleri arasında oluşmuş orta yoldaki

bir noktanın civarında yaklaşık olarak merkezi bir simetri oluşturdu; bu simetri herhangi bir

yansıma ya da rotasyon tarafından oluşturulamaz.

Şekil 1.13 Merkezi Simetri

Benzerlik ya da Kendine Benzerlik (Yarı Simetri):Düz doğrunun herhangi bir parçası(ve

onun civarları) diğer bir parçasına benzemektedir.(yani aynı olabilmeleri için büyütülüp

küçültülebilir). Bakınız Şekil 1.14.bu simetri değildir çünkü aradaki uzaklığı koruyamamaktadır ama

yarı simetri olabilir çünkü açıların ölçüsü korunmaktadır.

Şekil 1.14 Benzerlik “Yarı Simetri”

Birçok fraktalın yaptığı gibi deniz helikonlarının kabukları gibi logaritmik sarmallar yarı

benzerliğe sahiptirler.(Şekil 1.15 teki örneğe bakınız)

Şekil 1.15 Logaritmik Spiral

Açıkçası, doğruların yanı sıra diğer nesnelerde burada söz ettiğimiz simetrilerden bazılarına

sahiptirler. Sizin için önemli olan kendinize böyle örnekler oluşturmanız ve bütün simetrilere sahip

olan ama doğru olamayan bir nesne bulamayı denemenizdir. Bu size düzlük ve bahsedilen 7 simetri

arasındaki ilişkiyi anlama konusunda yardımcı olacaktır. Şu sonuca varmalısınız; diğer eğriler ve

şekiller bu simetrilerin bazılarına sahip iken sadece düz doğrular bu simetrilerin tümüne sahiptir.

LOKAL (VE SONSUZ KÜÇÜK) DÜZLÜK

Öncelikle, bir düz doğrunun nasıl yansıma ve yarı-dönüş simetrisine sahip olduğunu gördünüz:

Doğrunun bir yanı diğeri ile aynıdır. Ama üstte de belirtildiği gibi, düzlük, bir doğru parçasının düz

olup olmadığına dair yerel bir özelliktir. Bu özellik doğru parçasının yakınında ne olduğuna bağlıdır,

doğrunun uzak kısımlarının ne olduğuna bağlı değildir. Böylece, simetrilerin her birinin yerel olarak

uygulandığı düşünülmelidir. Bu daha sonra koni ve silindir de düzlüğü anlatırken önemli

olacaktır.(Bölüm 4 teki açıklamaya bakınız).şimdilik aşağıdaki gibi denenebilir.

Kâğıt parçasını ortadan olmayacak şekilde katladığımızda, katların iki tarafı aynı olmamasına

rağmen kat çizgisi hala düzdür.(Bakınız şekil 1.16)

O halde, yansıma simetrisini kullanarak düzlüğü kontrol ederken, kâğıdın yanlarını rolleri

nelerdir? Yansıma simetrisi oluştururken bükümün önemini düşününüz.

Şekil 1.16 Yansıma Simetrisi Lokaldir

Yerel özellik olarak düzlük hakkında konuştuğumuzda, bazı derece (ölçü) düşüncelerini aklınıza

getirebilirsiniz. Örneğin, çok geniş bir çemberin sadece küçük bir kısmını görürseniz, bu kısım düz

doğrudan farksız görünecektir. Bu durum birçok grafik programları sayesinde kolayca denenebilir.

Zum merceğine sahip bir mikroskopta zum yapma deneyimini oluşturacaktır. Eğer bir eğri pürüzsüz,

düzgün(türevlenebilir) ise ve bu eğrinin herhangi bir parçasına zum yaparsak er geç eğri düz doğru

parçasından farksız olacaktır. Bakınız Şekil 1.17

Şekil 1.17 Sonsuz Küçük Olarak Düzlük

Bazen daha standart bir terim olan türevlenebilir terimi yerine infinitezimal(sonsuz küçüklükte)

terimini kullanırız.eğer bir eğrinin P noktasına yeterince zum yaptığımızda , bir I düz doğrusu varsa ve

bu doğru ile eğri farksız oluyorsa, eğri P noktasında infinitezimal(sonsuz küçüklükte) olarak düzdür

deriz. eğri yay uzunluğu ile parametreleştirildiği zaman, her bir noktada iyi tanımlı hız vektörüne sahip

eğriye eşit olacaktır.

Şekil 1.18 Düzlük Ve Düzgünlük Görüntülenmeye Bağlıdır

Buna karşı olarak, eğer noktanın civarında düzlük varsa, eğri o noktada yerel düzdür diyebiliriz.

Fiziksel ortamda, düzgün ve yerel düz terimlerinin genel kullanımı görüntülenme derecelerine bağlıdır.

Örneğin, tahta bir kemere eğri olarak görüldüğü uzaklıktan bakabiliriz; sonra kemeri

yaklaştırdığımızda eğrinin birçok küçük kısa düz parçalardan oluştuğunu görürüz, fakat onu

dokunacak kadar yaklaştırdığımızda, kemerin yüzeyinin düzgün dalga veya dalgacıklardan

oluştuğunuzu görürüz ve mikroskopta baktığımızda çok sayıda düzgün olmayan bükülmüş lifler

görürüz. Bakınız Şekil 1.18.

BÖLÜM 2

KÜRELERDE DÜZLÜK

Dünyanın etrafında çizilen geniş dairelerin çemberi üzerinde bulunan iki düzlem

arasında uzanan uzay sayısının ne kadar olduğu anlaşılabilir. Dünya üzerindeki geniş

dairelerin çevresindeki iki yer arasında kaç tane uzayın bulunduğu görülecektir. Yer

yüzünü ve bütün küre içindeki suyu...merkezden geçen her düzlemin yüzeyi

oluşturduğunu, yani dünyanın yüzeyinde ve gökyüzünde, bütün daireler ve yüzeydeki

açıları( merkez açılar ), birbirini oranlı olarak kesen dairelerin çevrelerinin kesitini

matematikçiler göstermişler.

-Ptolemy, Geographia (c.a 150 A.D) Kitap 1 Bölüm 2

Bu bölümde sizden istenen, Problem 1.1 de geliştirdiğimiz düzlük kavramı doğrultusunda

küredeki düzlük kavramını araştırmanızdır.

KÜRESEL GEOMETRİNİN ESKİ TARİHİ

ANTİK Mısır’da ve Babil’ de astrolojik amaçla ve takvim oluşturmak için (toplumsal oluşum

için gerekli) gök cisimler gözlemlenmiştir. Claudius Ptolemy (c. 100–178), Almagest’inde Babillerin

M.Ö. 8. yy deki yıldızların geçişini ve tutulmaları hakkındaki gözlemlerini konu etmiştir. Babiller bir

daireyi 360 dereceye bölme fikrini ortaya atanlardır. ─ 360derecenin neden yıl içindeki gün sayısına

yakın olduğuna dair bazı spekülasyonlar vardır; 360’ın Babillerin kullandığı altılık sisteme uygun

oluşudur ve 360 daire üzerindeki 7 farklı noktanın ( Antik çağda 7 gezegen vardır; güneş, ay, Merkür,

Venüs, Mars,Satürn, Jüpiter) yönlendirmeye bakmaksızın aldıkları yol sayısıdır. Ama daha da önemlisi

Babiller ( su an temel olarak küresel koordinat olarak bildiğimiz) Kuzey yıldızındaki kutbu ile göksel

küre( yıldızlar, güneş, ay ve gezegenlerin üzerinde ortaya çıkan hareket sonucu oluşan küreler)için

koordinat sistemi geliştirmiştirler. Böylece, koordinat kullanımının 17 yy.da Dekart’ la çıktığını

düşünmek bir yanılgıdır.

Şekil 2.1: Armillary küresi(1687) (içten dışa doğru) dünya, göksel küre, ekiliptik ve horizon

gösteriliyor.

M.Ö.4. yy da Antik Yunanlılar Babil astronomisi ile tanışmıştır. Eudoxus ( M.Ö.408–355)

astronomi için “iki küre model”ini geliştirmiştir. Bu modelde yıldızlar göksel küre( kuzey yıldızı,

kutup etrafında günde bir dönen) üzerindeymişler gibi düşünülüyor ve güneş ekiliptik kürenin üzerinde

olup, ekliptik kürenin ekvatoru, güneşin yörüngesidir ve bu Eudoxus zamanında göksel kürenin

ekvatorunu 240 açı ile şimdilerde ise 23,5 0 açı ile kesmektedir. Ekiliptik kürenin göksel küreye temas

ettiği düşünülür ve yılda bir, devrin doğu yönünde rotasyon oluşur. Kürelerin ikiside kutupları

etrafında dönerler. Bakınız Şekil 2.1

Autolyus,( M.Ö. 333–300) dönen küreler üzerinde de 3. küreden bahsetmektedir, bu kürenin

kutbu, gözlemcinin üzerinde bulunduğu noktadır ve ekvatorda görünebilir horizondur. Böylece,

horizon ve göksel ekvator arasındaki açı ,(dünyanın merkezindeki ölçü) gözlemci ve kuzey kutbu

arasındaki açıya eşittir. Autolyus, belirli bir gözlemci için, göksel kürenin bazı noktalarının (yıldızlar)

her zaman görülebilir, bazılarının her zaman görünemez ve bazılarının da “doğar-batar” olduğunu

göstermiştir. Bakınız Şekil 2.1

En başlarda küresel geometriden bahseden matematiksel çalışmalar [AT: Berggren] deyince

Autolycus’un kitabı ve Öklid’in Phaenomea’sı bilinirdi. Bu kitapların ikiside belirli bir tarihte belirli

bir yerdeki gün ışığının uzunluğu nedir gibi astronomik problemleri çözmek için küresel geometrideki

teoremleri kullanırlar. Öklid küresel geometrideki tanımları ve önerileri kullanır. Tanıma göre büyük

bir daire bir kürenin merkezinin bulunduğu düzlemle kesişimidir ve kürenin merkezde olmayan

düzlemle kesişimi büyük daireye paralel olan küçük daire oluşturur. Farz edilen öneriye göre örneğin;

İki daire aynı büyük C dairesine paralel ama dairenin farklı yanlarında olsunlar. Sonra, bu iki daire

ancak ve ancak başka büyük bir daire tarafından C’nin her iki tarafında eşit yaylarla kesilirse eşit

olurlar.(Benzer sonuçları Bölüm 10’da da göreceğiz) daha karmaşık olan sonuçlarda vardır, bunlardan

birisi küresel üçgenin iç açılarını karşılaştırma hakkındadır; bakınız [AT: Berggren, sayfa 25.] böylece

, Autolycus’un ve Öklid’in yazılarında okuyuculara uygun küresel geometri üzerine yapılmış

öncelikli işler vardır.

Bithynia’lı Hipparchus (M.Ö. 190-120) Babillerin küresel koordinatlarını aldı ve bunları 3

kürede ( göksel, ekliptik ve horizon ) uyguladı. Gemicilik ve Astrolojik problemlerin ( Benim

horizonumdan belli yıldız ne zaman geçer) çözümleri için bir küredeki koordinatlar ile diğer küredeki

koordinatlar arasındaki ilişki gereklidir. Koordinatların gerekliliğinin değişmesi ile küresel

trigonometri oluştu, ve bu küresel koordinatlarla ilgili astronomik problemlerin trigonometri

çalışmalarına girmesi ile oldu. Düzlem trigonometri, sistemli olarak ilk defa Hipparchus tarafından

çalışıldı, ve küresel trigonometriye yardımcı olmak amacı ile geliştirdi, bunu Bölüm 20 de göreceğiz.

İlk sistematik küresel geometri yazımı Theodosius’un Sphnerica’sıdır. (yaklaşık M.Ö. 200). Bu, çizim

problemleri ve teoremler içeren 3 kitaptan oluşmaktadır. Sphaerica’daki birçok önermeler dışa ait

teoremler ve öklidin merkezi 3-Uzaydaki küre çizimleridir; ama 3-Uzay veya merkezini referans

almayan kürelerin yüzeyi üzerine içe ait geometriyi gösteren önermelerde vardır. İçe ait ve dışa ait

arasındaki farktan bölümün ilerleyen kısımlarında bahsedeceğiz.

Küresel trigonometri hakkındaki daha ileri düzeydeki (gelişmiş) tez Menelaus’un Küre Üzerine’sidir

(M.S. 100). Sadece Arapça olarak kopyası vardır. Menelaus küresel üçgeni büyük bir dairenin her biri

yarım daireden küçük olan 3 yay tarafından sınırlanmış küresel yüzeyin parçası olarak tanımlamıştır.

Menelaus’un tezi küre yüzeyindeki geometriyi Öklid’in “Elementler”indeki düzlem geometrisi ile

analog kurarak açıklamaktadır.

Ptolemy ( M.S. 100-178) İskenderiya’da çalışmıştır, ve coğrafya üzerine , Geographia kitabını

yazmıştır, ayrıca Mathematiki Syntaxis (Matematiksel Koleksiyonlar) adlı kitapta yazmıştır.

Bu kitap Babil astrologlarının ve Yunan geometrilerinin bilgilerinin merkezi sonuçlarını içermektedir.

Sonraki 1400 yıl Batı standart olarak matematiksel astronomi üzerinde çalışmaya başlamıştır. The

Mathematiki Syntaxis genel olarak Almagest olarak bilinir. Bu isim Yunan isimlerinden birinden

türetilmiş Arapça isminin Latincesidir. Almagest önemli bir kitap çünkü Almagest bilinen en eski

küresel trigonometri çalışmasıdır, ve özel fonksiyonları, ters fonksiyonları ve devamlı olguların

hesapsal çalışmalarını içermektedir.

Küresel geometrinin tarihi hakkındaki diğer bilgiler kitabın uygun kısımlarında aktarılacaktır. Bu tarih

hakkında daha fazla okuma (ve ön düzeyde referans) için [HI:Karlz] Bölüm 4 ve [HI: Rosenfeld]

Bölüm 1’e bakınız.

PROBLEM 2.1. KÜREDE DÜZ OLMA NEDİR?

Problem1.1’de düzlük konusu anlamak adına bir şeyler geliştirmiştiniz, bu problemde ise sizden

istenen düzlük fikrini kürede uygulamanızdır. Şunu anlamanız önemlidir; eğer kendi başınıza düzlük

fikrini oluşturamıyorsanız( örneğin, fikirleri kitapta derinlemesine düşünmeksizin alıyorsanız)

düzlemdense, yüzeylerde düzlük kavramını inşa etmede zorlanacaksınızdır. Kendi başınıza

oluşturduğunuz ve geliştirdiğiniz bireysel düzlük anlamı sizin aktif sezginizin bir parçası olacaktır.

“Aktif” sezgi dedik çünkü kati bir değişme yöntemi içinde olur ve gelişme demektir, statik değildir.

a.Kendinizi bir küre etrafında sürünen bir böcek olarak hayal ediniz. ( Bu böcek ne uçsun ne de

küre içine yuva yapsın) Böceğin evreni sadece yüzeydir; oradan asla ayrılmaz. Bu böcek için düz

nedir? Böcek düz olarak neyi görecektir ve deneyimi ne olacaktır.Problem 1.1’de konuştuğumuz

düzlük özelliklerini ( simetriler)kullanınız.

b.Küre üzerindeki büyük dairelerinin küreye göre düz olduklarını gösteriniz ( Yani kendinizi

inandırınız [ispatlayarak] ve diğerlerini inandırmak için tezler ortaya koyunuz ) ve küre üzerinde

bulunup küreye göre düz olan başka daireler olmadığını gösteriniz.

ÖNERİLER!

Büyük daireler, kürenin merkezi etrafında bulunan düzlem ile kürenin kesişiminden oluşan dairelerdir.

Örnekler, boylamlar ve dünyanın ekvatorudur. Birbirine zıt olan herhangi iki nokta kutuplar olarak

düşünülebilirler, ve böylece ekvator ve boylamlar herhangi zıt iki noktaya göre büyük daireler

olacaklardır. Bakınız Şekil 2.2.

Şekil 2.2. Büyük Daireler

Bu problemi anlamanın ilk basamağı kendinize büyük dairelerin küre üzerinde düz doğrular olduğunu

ispatlamaktır. Böceğin düz olarak algılayacağı büyük çemberin ne olduğunu düşününüz. Kürenin

üzerinde neler olduğuna dair daha iyi bir gösterim için, modelleri kullanmalısınız. Bu noktada stres

yapmanıza gerek yoktur. Model kullanımı sonraki problemlerde önemli olacaktır, bu problemler

özellikle birden fazla doğru içermektedir. Düz nediri ve niyesini anlamak için kürenin üzerini

doğrularla tamamen kaplamalısınız. Portakal veya eski aşınmış deniz topu küreye benzemektedir ve

lastik bantlar iyi birer doğru oluştururlar. Ayrıca, kağıt şeritlerde kullanabilirsiniz. Bunları kürenin

üzerine farklı eğriler oluşturacak şekilde yerleştirmeyi deneyiniz ve neler olduğuna bakınız.Ayrıca

küre üzerinde düz doğru oluşturup oluşturmadıklarını görmek için problem 1.1 den simetrilere bakınız.

Burada önemli olan, 3 boyut katı topu düşünmek yerine bir kürenin yüzeyini düşünmektir. Her

zaman böcek açısından olayın nasıl göründüğünü hayal etmeye çalışınız.Böyle düşünmenin işe

yaradığına dair (suda yürüyen) böceğe bakmak iyi bir örnek olacaktır. Bu böcek havuz (gölet)

yüzeyinde yürür ve çevresini iki boyutlu olarak algılamaktadır. (Böcek için aşağısı yada yukarısı

yoktur. Bütün dünyası iki boyutlu su düzleminden oluşur) Bu böcek su yüzeyindeki harekete ve

dalgalanmaya karşı aşırı duyarlıdır, ama üsteki veya alttaki hareketler bilgisi dışındadır. Aç kuşlar ve

balıklar bu avantajı kullanırlar. Küre üzerindeki düz doğrunun özelliklerini göstermek için bu tarz

düşünmeye ihtiyacımız var. Bu böcek ve diğer hayvanlar hakkında daha fazla bilgi edinmek için

Meşeden Manzara adlı Judith ve Herbert Kahl kitabına bakınız.[NA: Kahla ve Kahl].

Tanım: Küre üzerindeki ( veya diğer yüzeyler üzerinde)özünde düz olan patikalara geodezik denir.

Bu bizi dışa ait eğriye karşı geodezik eğri veya içe ait kavramına götürür. 3 boyutlu ortamda dışarıdan

bakan gözlemci için, küre üzerindeki bütün patikalar hatta büyük daireler eğridir- yani dışa ait eğrilik

vardır. Fakat kürenin yüzeyine bağılı olarak, doğrular belki düz olabilirler ve böylece içe ait eğrilik

0’dır. Bu bölümün son kısmına bakınız, İçe Ait Eğrilik. Bu farkı anladığınızdan ve neden bütün

simetrilerin özünden veya böcek açısından çıkarıldığı anladığınızdan emin olunuz.

İki boyutlu düzlemdense, diğer yüzeylerde düzgünlük deneyimlerinde zorluklarla karşılaşmanız

doğaldır; 3 boyutlu nesnelere yani küreler üzerindeki eğrilere ve kürelere bakmaya başlayacaksınız.

Kendinizi küre üzerinde yürüyen 2 boyutlu böcek olarak hayal etmek 3 boyutlu eğrilerin görünümü

konusunda yardımcı olacaktır ve özgün olarak düzlük deneyimleri kazanmanıza yardımcı olacaktır.

Aşağıdaki soruları kendinize sorunuz:

• Düzlemsel olmayan bir yüzeyde yürürken düz doğru üzerinde yürümek için böcek ne yapmalı?

• Böcek düz gittiğini nasıl kontrol edebilir?

Modellerle deney yapmak burada önemli bir role sahiptir. Oluşturduğunuz modellerle çalışmak, size

büyük dairelerin sadece kürenin yüzeyindeki düz doğrular olduğunu deneyerek görmeniz konusunda

yardımcı olur. Bu fikri ispatlamak (kendinize), düzlemde düzlük ve kürede düzlüğün ortak elementlere

sahip olduklarını anlamayı içerecektir. “Büyük-daire-düzlük” fikrine alıştığınız zaman, bir düzlemdeki

düz doğrularda simetriyi, küredeki büyük dairelere transfer etmek için hazır olacaksınız, sonrada, diğer

yüzeylerdeki geodeziklere transfer edeceksiniz. Buradaki yapmayı denediğiniz aktiviteler, büyük

daireleri ve onların küre üzerindeki içe ait düzlüklerini gözlemlemenize yardımcı olurlar. Ama, kendi

deneyimlerinizle gelmeniz daha iyi olur.

• Küre üzerine elastik bir şey geriniz. Bu büyük daire üzerine yerleşecektir, ama küre kaygan ise

, küçük daire üzerine yerleşmeyecektir. Burada, elastik neredeyse en kısa yolu oluşturur, çünkü

gergin elastik her zaman daha kısa olacak şekilde hareket eder: bu düzlük için çok kullanışlı bir

yöntemdir.

• Bir topu tebeşirle çizilmiş düz yolda yuvarla (veya yeni boyanmış düz bir koridor). Tebeşir

(veya boya) kürenin temas doğrularını işaretleyecektir, ve büyük daire oluşturacaktır.

• Gerilmeyen dar katı bir şerit veya kağıt alınız ve küreyi sarınız, kırılmaksızın ya da

kaymaksızın büyük daire boyunca uzanacaktır. Bu özelliğin yerel simetri ile bağlantısının nasıl

olduğunu gördünüz mü? Bu bazen Şerit Test olarak bilinir (Şerit Test için [DG: Henderson]’da

Problem 3.4 ve 7.6’ya bakınız)

• Dönme veya dönmeme hissi artar. Neden büyük dairelerde dönüş yoktur ama enlemlerde

vardır? Fiziksel olarak, dönüşü engellemek için, böcek sol ayağını sağ ayağı ile aynı uzaklıkta

olacak şekilde hareket etmek zorundadır. Büyük olamayan dairelerde (örnek: ekvator olmayan

enlemler), böcek ekvatora daha yakın yerlerde daha hızlı hareket etmek zorundadır. Aynı fikir

paralel eksenlere sabitlediğimiz küçük oyuncak arabayı hareket ettirmek için de geçerli. Bu

araba düz doğru üzerinde hareket edecektir. Kürede, araba büyük çember üzerinde yuvarlanır;

ama diğer eğriler üzerinde yuvarlanmaz.

• Ayrıca, küre üzerindeki düz doğrular içe ait daireler (yüzey üzerinde verilen bir noktadan sabit

uzaklıktaki yüzeydeki noktalar)- çember çevreleri doğru olan özel dairelerdir!

Ekvator, 2 içe ait merkezli bir dairedir: kuzey kutbu ve güney kutbu. Gerçekte, küre üzerindeki

herhangi bir daire (enlemler) 2 içe ait merkeze sahiptir.

Bu aktiviteler size küre ve kürenin geodezikleri arasındaki ilişkileri görmeniz konusunda fırsat

sağlayacaktır. Bu deneyimler küredeki daireler üzerindeki düz doğruların bir çok simetrisinin

düzlemdeki düz doğruların simetrisi ile aynı olduğunu keşfetmeniz konusunda size yardımcı olacaktır.

! Burada durmalı ve bu problem hakkındaki düşüncelerinizi ifade etmeden okumaya devam etmeliyiz.

BÜYÜK DAİRELERDE SİMETRİ

• Kendi Simetrisine Göre Yansıma: Bu küreselliği yarım küreyi düz ayna önüne koyarak

görebiliriz. Yarım küre sanal görüntüsü ile bir bütün küre oluşturur. Şekil 2.3 büyük küre g’nin

yansımasını göstermektedir.

• Kendi Simetrisine Göre Dik Yansıma: Herhangi bir büyük dairenin yansıması örten olan

orijinal büyük daireye dik herhangi büyük daire almaya denir. (örnek: şekil 2.3 g’)

Şekil 2.3 Kendi Simetrisine Göre Dik Yansıma

• Yarı-dönüş Simetrisi: Bir p noktasının etrafında tam bir devirin yarısı kadar dönüş yapmak p

noktasının bir tarafındaki büyük daire parçası ile diğer tarafındaki büyük daire parçasının

yerlerini değiştirir. Bakınız Şekil 2.4

Şekil 2.4 Yarı Dönüş Simetrisi

• Kendi Simetrisi Boyunca Rigid (Katı) Hareket: Büyük daireler için kürede bunun büyük

daire boyunca çevirme ya da büyük dairenin kutupları etrafında rotasyon olarak

tanımlayabiliriz. Kendi etrafında katı hareket etme özelliği büyük daireler için tek değildir,

çünkü küre üzerindeki herhangi bir daire bu simetriye sahiptir. Bakınız, Şekil 2.5.

Şekil 2.5 Kendi Simetrisi Boyunca Katı Hareket

• Merkezi Simetri veya Nokta Simetrisi: (2 boyutlu açıdan bakınca ) Küredeki bir P noktası

etrafındaki merkezi simetri herhangi A noktasını aynı büyük daire üzerinde P noktasından aynı

uzaktaki ama P’nin zıt tarafına gönderir. Bakınız, Şekil 2.6.

İçe Ait Olarak Dışa Ait Olarak

Şekil 2.6 P Etrafındaki Merkezi Simetri

(Küreye 3 boyutlu ortamda bakınca ) P noktası etrafındaki merkezi simetri şekil 2.6 da gösterildiği gibi

A noktasını küre yüzeyinin dışındaki bir yere gönderecektir.

Kürenin dışa ait merkezi simetrisi sadece (ve küredeki büyük daireler için yalnız bir tane) kürenin

merkezi etrafındadır (kürenin üstünde değildir).

Çevirme içe ait olarak merkezi simetri ama dıaşa ait olarak yarı-dönüş simetrisidir.(P civarındaki çap

etrafında ). İçe ait olma, düzlem üzerinde olduğu için merkezi simetri yarı-dönüş simetrisinden farklı

değildir. İçe ait ve dışa ait arasındaki bu fark bu noktada önemlidir.

• 3 Boyutlu Dönme Simetrisi: Bu simetri 3 boyutlu ortamdaki büyük daireleri

kapsamamaktadır, ancak 3-Küre içindeki büyük daireler için geçerlidir. Problem 22.5 ‘e bakınız.

Muhtemelen, küre üzerindeki büyük daireler dışındaki diğer nesnelerinde burada bahsedilen

simetrilerden bazılarına sahip olduğunu anlamışsınızdır. Birkaç örnek üretmeniz sizin için önemlidir.

Burada bahsedilen simetri ve düzlük kavramlarının birbiriyle bağlantılı olduğunu anlamanız

konusunda size yardımcı olacaktır.

*HER GEODEZİK BİR BÜYÜK DAİREDİR

Burada sizden küre üzerindeki her geodezik (içe ait düz doğru) ‘in bir büyük daire olduğunu

ispatlamanız istenmemektedir. Bu doğru ama ispatlamak çok zor. Bir çok kitap büyük daireleri küre

üzerindeki düz doğrular (geodezik) olarak tanımlamaktadır. Biz bu yaklaşımı almadık. Biz büyük

dairelerin içe ait olarak düz (geodezik) olduğunu ve küre üzerindeki iki noktanın her zaman bir büyük

daire yayı ile birleştiğini gösterdik., ki bu umduğumuz geometriyi yapmamız için uygun büyük daire

geodizikler olduğunu gösterir.

Sadece geodezik olan büyük daireler differensiyel geometriden bazı fikirler içerir. [DG: Henderson]’ın

Problem 3.2b’sinde düzlem eğrilerin özel özellikleri kullanılarak bu durum ispatlanmıştır. Daha genel

olarak, geodezik ilk konumu geodezik üzerinde olan nokta ile türevsel(differensiyel) denklemi ve bu

noktadaki geodezik yönünü sağlar. ( Bakınız [DG:Henderson]’ın Problem 8.4b). Böylece, aşağıdaki

differensiyel denklemlerin çözümünün varlığı ve tekliği üzerine olan analiz teoremi ortaya çıkar.

Teorem 2.1: düzgün bir yüzey üzerindeki her noktada ve her önde bu noktadan geçen ve bu

yönde tek bir geodezik vardır.

Buradan bütün geodezikler bir büyük dairedir diyebiliriz. Nedenini anlayabildiniz mi?

*İÇE AİT EĞRİLİK

Küreyi bir şerit ile sarmayı denediniz, burada şerit büyük daire üzerinde sadece bir yol oluşturur.(Eğer

hala bunu yapmadıysanız, devam etmeden yapınız). Büyük dairenin yayları kürenin yüzeyinde

bulunan ve küreyi saran kağıt parçası üzerindeki düz çizgilere tanjant olan patikalardır. Eğer küreyi

küreye enlem dairesi civarında tanjant olan bir kağıt parçası ile sararsanız( Şekil 3.7.),dışa ait olarak

kağıt bir koni parçası oluşturacaktır, ve kağıt açıldığında kağıt üzerindeki eğri dairenin yayı olacaktır.

Küre yüzeyindeki bir patikanın içe ait eğriliği(1/ yarıçap) bükülmemiş bir kağıdı düzleme

koyduğumuzda elde ettiğimiz (1 / yarıçap)’lık eğrilik olarak tanımlanabilir. Daha fazla bilgi için [DG:

Henderson]’da Bölüm 3’e bakınız.

Şekil 2.7 İçe Ait Eğriliğin Bulunması

Differensiyel geometriciler sabit hızlı hareketin hız vektörü yerine geodezik demeyi tercih ediyorlar.

(Hız vektörü, böceğin yürüdüğü patikaya (eğriye) tanjanttır.) Örneğin, büyük daire boyunca yürürseniz

hız vektörü yön değiştirecektir, dışa ait olarak 3 boyutlu uzay yön değişimi kürenin merkezine doğru

olduğu yerdir. Tüm evreni kürenin yüzeyi olan iki boyutlu böcek için “merkeze doğru” bir yön

değişimi olmayacaktır. Böylece böcek hız vektörünü büyük daire üzerinde yön değişimi olarak

algılamayacaktır; ama büyük olmayan dairelerde hız vektörünü dairenin merkezine doğru bir yön

değişimi olarak algılayacaktır. Differensiyel geometride, böceğe göre değişim oranı kovaryant(veya

içe ait) türevdir. Böcek geodezik’i bir yandan öbür yana geçtiği için hız vektörünün kovaryant türevi

sıfırdır. Buna paralel taşınmada denir.(Bölüm 7,8 ve 10’da bahsedilecek). differensiyel Geometrideki

bu fikirler için [DG: Henderson]’a bakınız.

BÖLÜM 3

AÇI NEDİR? (Düzlem) Açı, bir noktada keşişen ama düz doğru olmayan iki doğrunun oluşturduğu eğimdir.- Öklid,

Elementler, Tanım 8 [Appendix A].

Bu bölümde açılar hakkında düşüneceksiniz. 3.1’de değerli fikirleri ve açı tanımlarını ve açılar için

aynı(eşit) olmanın ne demek olduğunu göstereceğiz. 3.2’de önemli bir teorem olan dikey açı teoremini

(VAT) ispatlayacağız. Bu sırayı izlemeye gerek yok. Problem 3.2’yi 3.1’e göre daha kolay

bulabilirsiniz çünkü size açılar hakkında düşünmeniz için yardım edebilir. Açıkçası, 3.1 ve 3.2

üzerinde aynı zamanda çalışmalısınız çünkü birbirleriyle yakından ilişkililer. Bu Bölüm 1 ve 2’de

düzlük hakkında öğrendiklerinizi uygulamak ve ne öğrendiğinizi ölçmek için iyi bir fırsat olacaktır.

Ayrıca Bölüm 4 ve 5’te düzlük konusunda da yardımcı olacaktır, ama eğer isterseniz Bölüm 4 ve 5’e

çalıştıktan sonra bu bölüme çalışabilirsiniz.

PROBLEM 3.1 AÇI NEDİR?

“Açı” kavramının olası bazı tanımlarını veriniz. Bütün bu tanımlar düzleme kürelere uygulandıkları

gibi uygulanabilirler mi? Bu tanımların her birinin avantajları ve dezavantajları nelerdir?

Her bir tanım için, iki açının eşit olması ne demektir? Nasıl kontrol ederiz?

ÖNERİLER

Dil bilimine göre, ‘açı’ kelimesi Eski İngilizce , Eski Fransızca, Eski Almanca, Latince ve Yunanca

“hook” kelimesine karşılık gelir. Ders kitapları bazı değişik tanımlar verirler: Açı aynı bitiş noktasına

sahip iki ışının (parçanın) bileşimidir.

Eğer, aynı bitiş noktasına sahip iki düz doğru parçası ile başlasak, ve sonra uçlarına düz olmayan

parçalar eklesek, sonuç itibari ile aralarındaki açı değişmiştir diyebilir miyiz?Bunun gibi, kitabın

sayfasının sol alt köşesinde oluşan açıya bakınız. Birinci sınıf öğrencileri dahi bunun açı kavramına

örnek olduğunu anlayacaktır. Şimdi, köşeyi yırtınız(En azından hayalinizde). Hala orada yırttığınız

parça üzerinde bir açı var mı?

Şimdi açının birkaç yanından birer parça yırtıp alınız, köşeden yırtmamaya dikkat ediniz. Açı hala

orada değil mi? Bakınız Şekil 3.1.

Şekil 3.1 Açı Nerededir?

Acaba açının hangi parçası açının genişliğini belirler, yoksa açının bütünü mü belirler? Açı nedir?

Burada bir çok durumun birini bizim yapmamızdan çok çocuklar bilebilirler: Bu anlayışa dikkat

ediniz. Daha iyi bir “açı” tanımı yapabilir miyiz?

Tamamıyla sağlayan formal bir tanım bulmamızı beklemeyin; açı nedir deneyimlerimizi bütün eksik

yanları için formal bir tanım bulamayız gibi görünüyor.

“açı” tanımı yapabilmeniz için en az 3 farklı bakış açısı (perspektif) var:

• Açının dinamik düşünülmesi – açıyı hareket olarak alma;

• Açıyı ölçü olarak alma ve

• Açıyı geometrik şekil olarak alma

Açının dinamik düşüncesi; aksiyon (hareket) içerir; dönme, dönme noktası, veya iki doğru arasındaki

yön değişimi.Ölçü olarak açı; dairesel yayların uzunluğu yada daire kesitlerinin alanları arasındaki

oran olarak düşünülebilir. Geometrik şekil düşüncesi olarak açı; kesişen iki doğru tarafından uzayın

çizilmiş şekli olarak görülebilir. Bu bakışların her biri açı eşitliğini kontrol etmek için metotlara

sahipler. İki dinamik açının eşitliğini oluşturma ve kopyalama olaylarını içeren hareketlerin hepsinin

aynı olduğunu ispatlayarak kontrol edebilirsiniz. Eğer açıyı ölçü olarak düşünürseniz, iki açının da

aynı ölçüde olduğunu göstermek zorundasınız. Eğer açıyı geometrik şekil olarak tanımlarsanız, bir

açının diğeriyle nasıl çakıştığını izometrileri kullanarak tanımlarsınız. Yukarıdaki tanımlardan hangisi

sizin için daha anlamlı? Açıyı tanımlamanın başka kullanışlı yolları var mıdır?

Bazen “yönlü açılar” hakkında konuşuruz. Yönlü açıları düşünürken Şekil 3.2’de olduğu gibi α ve β

aynı değiller fakat eşit ölçü ve zıt yönlere sahip açılardır deriz. Doğru parçaları ve vektörler arasındaki

benzerlik ilişkisini düşününüz.

Şekil 3.2 Yönlü Açılar

PROBLEM 3.2 DİKEY AÇI TEOREMİ (VAT)

Şekil 3.3 VAT

İspat: Kesişen iki düz doğrunun oluşturduğu zıt açılar eştir. [Not: α ve β gibi açılar(dikey açılar

olarak adlandırılır). İspatınızda kullandığınız düz doğru veya düzlemin özellikleri nelerdir? İspatınız

kürelerde de geçerlimidir? Niçin? Problem 3.2 ‘deki hangi tanımları kullandınız?

α’yı β ile çakıştırmak için α’yı nasıl hareket ettirebileceğinizi gösteriniz. Amerikan Lise geometrisinde

kullanılan 2 satırlık formal ispatı kastetmiyoruz. Pratik matematikçiler genellikle “ispatı” “ neden

sorusunun inandırıcı iletişimleri” anlamında kullanırlar. Sizden kullanmanızı istediğimiz ispat fikridir.

İspatın 3 özelliği vardır:

• İletişim kurmalıdır( kelimeler ve çizimler açık bir şekilde ne söylemek istediğinizi anlatmalı ve

okuyucu veya dinleyicileriniz tarafında anlaşılır olmalıdır)

• İnandırıcı olmalıdır (İspatınızın sizin için, öğrencileriniz için, öğretmeniniz için inandırıcı

olamalı, yani şüpheli olan bir kişiyi inandırmalıdır.)

• Neden sorusunu cevaplamalıdır ( Neden doğru, anlamı ne, nereden geliyor?)

Hedef anlayıştır. Anlamadan asla tam olarak memnun olmayacağız. Anlayış ile anlamayı ve

anladığımızı diğerlerine iletmeyi genişletmek istiyoruz. Simetriler problem 1.1 ve problem 2.1 için

çözümlerinizin önemli elementleriydi. Bu problem içinde çok kullanışlı olacaktır. Bu problemde

kusursuz (hatasız) açı ölçümleri hakkında düşünmeniz isteniyor, ama ispatta kullandığımız doğru

simetrileri genellikle daha basit. Dikey açıları bütün geometrik şekiller olarak düşünmek çoğu zaman

bize yardımcı olur. Ayrıca, açılara bakmanın bir çok farklı yolu bulunduğunu aklımızda bulunduralım,

bu nedenle VAT ı ispatlamanın bir çok yolu vardır.

Problem 3.1 deki açı fikri ve açı eşliği ile problem 3.2’deki ispatınızın tutarlı olduğundan emin olunuz,

ve benzeri. 3.1’deki herhangi bir tanım ayrı ayrı yada birlikte VAT ı ispatlamanızda size yardımcı olur.

!Burada durmalısınız ve Problem 3.1 ve 3.2 hakkındaki görüşleriniz ve fikirleriniz oturmadan

okumaya devam etmemelisiniz.

3 FARKLI İSPAT İÇİN İPUÇLARI

Bu bölümde, VAT ‘ ın 3 farklı ispatı için ipucu vereceğiz. Her ispat için özel bir açı fikri kabul

ediliyor. Bu ispatlarda birini al veya açı fikri ve açı eşliği ile tutarlı sana daha anlamlı gelen farklı bir

ispat bul.

1.İspat:

Şekil 3.4. Açıyı ölçü olarak kullanarak VAT.

Her bir doğru 180° açı oluşturur. Böylece α+γ=β+γ. Bakınız Şekil 3.4.

Böylece, α≈β sonucunu çıkarabiliriz. Ama öyle mi? Verilen iki açıyı 180° den çıkardığımız zaman

kalan açılar eş mi oluyor, bu her zaman doğru mu? Bakınız Şekil 3.5

Şekil 3.5 Açıların çıkarılması ve ölçümleri

Sayısal olarak, açıları nasıl çıkarttığımız fark etmez ama geometrik olarak büyük bir fark vardır.

Bakınız Şekil 3.5!

Buradaε ,δ ile aynı olarak düşünülemez. Böylece , ölçü bu durumun geometrisinde gördüğümüzü tam

anlamıyla ifade edemez. Açıyı ölçü olarak düşünme fikrini kurtarmak istiyorsanız, VAT’ın ispatında

neden γ açısı α+γ=β+γ eşitliğinin her iki tarafından da çıkarılabildiğini açıklamalısınız.

Şekil 3.6 δ ve ε aynı değiller!

2.İspat: Üst üste olan iki doğruyu düşününüz ve onların üzerinde herhangi bir noktayı seçiniz.

Doğrular bir noktada kesişmiş olacak ve doğrudan biri sabit kalmak koşulu ile diğer doğruyu

çeviriniz. Bakınız Şekil 3.7

Şekil 3.7 Açıyı rotasyon olarak kullanarak VAT ispatı

Ne olur? Burada hangi açı fikri ve açı eşliği çalışmaktadır?

3.İspat: α’nın β üzerine hangi simetrileri vardır? Bakınız Şekil 3.3 veya Şekil 3.4. Bölüm 1 ve 2’de

öğrendiğimiz düz doğru özelliklerini kullanınız.

BÖLÜM 4

SİLİNDİR VE KONİLERDE DÜZLÜK Koninin tabanına paralel bir kesit alınırsa, kesitin oluşturduğu iki zıt yüzey hakkında nasıl

düşünmeliyiz.-eşit mi, eşit değil mi? Eğer eşit değillerse, koni birçok kırık ve çıkıntıdan

(basamak gibi) oluşur. Öyle yandan, eğer eşitlerse, iki komşu çakışık düzlem eşittir. Eşit

olmayanlardansa eşit dairelerden oluştuğunu düşünürsek, silindir ortaya çıkacaktır, gülünç

gelebilir.

Democritus of Abdera ( MÖ ~ 460 - ~ 380)

Bu alıntı silindir ve konilerin Öklid öncesi (MÖ ~365 - ~300 ) matematiksel bir araştırma

konusu olduklarını göstermektedir. Bu bölümde silindir ve konilerde düzlüğü anlatacağız. Düzlüğü

“lokal içe ait fikir” olarak iyice anlamış olmalısınız (böceğin bakış açısını).Bu düzlük düşüncesi

differensiyel geometride ki geodezik düşüncesinin temelini oluşturmaktadır. Bölüm 4 ve 5 sırasıyla

okunabilir, ama 4.1’de ki silindir ve koniler hakkında ki deneyimler 5.1’de ki hiperbolik düzlemi

anlama konusunda okuyucuya yardımcı olacağını düşünüyoruz. Eğer okuyucu düzlüğü “lokal içe ait”

düşünce olarak anlamışsa, okuyucu bölüm 18 ve 24’teki geometrik monifoldları çalışmayacaksa,

bölüm 4’ü atlayabilir. Ancak, bu bölümün sonunda ki kısmı ( En kısa her zaman düz müdür ve

differensiyel geometride bağıntılar) okumanızı tavsiye ederiz. ( Bk. Appendix A)En azından Öklid’in

4. postilat’ı koniler ve silindirler hakkında ne yapmamız gerektiğini ortaya çıkarmak için yeterlidir.

Kürenin yüzeyindeki büyük dairelere baktığımız zaman, merkezi simetri dışındaki tüm düz doğru

simetrilerini evrensel dışa ait bakış açısından görebiliyorduk. Örneğin, büyük daire dışa ait olarak

küreyi birbirinin tıpatıp aynısı olan iki yarım küreye böler. Bu nedenle küreye böceğin lokal ve içe ait

bakış açısındansa dıştan bakmak daha kullanışlı olacaktır. Ancak, koni ve silindirlerde lokal içe ait

bakış açısını kullanmamız gerekmektedir çünkü özel durumlar dışında diğer dışa ait bakış açısı

oluşmamaktadır.

PROBLEM 4.1 KONİ VE SİLİNDİRLERDE DÜZLÜK a.Silindir veya koninin yüzeyinde hangi doğrular düz olur? Neden? Neden değil?

b.Lütfen inceleyiniz.

• Silindir veya koni üzerinde geodezikler kendi kendileriyle kesişebilirler mi?

• Silindir veya koni üzerinde iki noktanın bulunduğu başka geodezik olabilir

mi?

• 3600 den daha büyük koni açısına sahip konilerin açısını değiştirirsek ne

olur?

ÖNERİLER! Problem 4.1 problem 2.1 e benzemektedir fakat bu kez yüzey silindir veya koni yüzeyidir. Kağıt

modeller yapınız fakat koni ve silindirin alt ve üsttü olmadan tanımsız olarak devam ettiğini

düşününüz( tabi ki koni noktası (tepe noktası) dışında). Tekrar, kendimizi bütün evreni koni veya

silindir olan bir böcek olarak hayal ediniz. Bu böcek bu yüzeylerden birinin etrafında seyahat ederken

düzlük olarak deneyimi ne olacaktır? Daha önce de söylediğimiz geodezik olarak adlandırılan

yüzeylerde patikalar düzdür.

Bu sorular hakkında düşünmeye başladığınız zaman muhtemelen bu konuyla alakalı diğer

geometrik fikirleri de aklınıza gelecektir. Alakasız konuların varlığı sizi endişelendirmesin. Sık sık

kendinizi konu ile alakalı olmayan ortamlarda bulabilirsiniz bu anlaşılabilir bir durumdur. Ancak,

alakalı konular üzerinde düşünmek sizi problemin derinliğini ve alanını anlamak konusunda daha da

zenginleştirecektir. Problem hakkındaki karışıklıklar üzerinde çalışmaktansa diğerlerinin bulduğu

öneriler üzerinde çalışmayı deneyiniz. Önerilerin her biri koni ya da silindirin üretimini veya

kullanımını içermektedir.

• Konileri düşünmeden önce silindir üzerinde düşünmeyi yardımcı bulabilirsiniz. Bu

problemde birçok bakış açısı var ama ilk bakışta silindir üzerinde çalışmak bazı şeyleri

basitleştirecektir.

• Bir kağıt parçasını yuvarlayarak bir koni yada silindir yaparsak,”düz” kavramı biz

yuvarlamadığımız zamanda böcek için aynı olacak mıdır? Aksini düşünürsek, eğer kâğıt

üzerine düz doğru çizdikten sonra yuvarlarsak, kağıt üzerinde hareket eden böcek için bu

doğru düz olmaya devam edecek midir? Burada kâğıdın esnek olmadığını varsayıyor ve

kalınlığını ihmal ediyoruz.

• Koni veya silindir üzerine düz kağıt şeridi ya da ipi seriniz.Yüzeye bağlı olarak şeridin

düz doğruyu izleyip izlemeyeceğini kendinize ispatlayın ayrıca,silindir veya konideki bu

düz doğrulara lokal ve içe ait olarak baktığımızda düzlem üzerinde aynı simetrilere sahip

olduğunu ispatlayınız.

• Eğer bir silindiri bir düzlemle keser ve açarsanız nasıl bir eğri elde edersiniz? Eğri düz

müdür?( bu eğriyi görmenin bir yolu kağıt silindiri suya bırakmaktır.).

• Silindir veya koni üzerindeki geodezikler kendi kendilerini keserler mi? kaç defa

keserler? Bu soru problem 4.2 de detaylı incelenecektir ilgili okuyucular oraya

yönelebilirler.

• Silindir veya koni üzerinde iki noktayı birleştiren birden fazla geodezik var mıdır? Kaç

tanedir? Bu soruda problem 4.2 de detaylı incelenecektir.

Bu problem üzerinde çalışırken aklımızda tutmamız gereken birkaç önemli nokta var. Birincisi,

kesinlikle model kullanmalısınız. Eğer koni veya silindir üzerinde görsel çizgi oluşturursanız bunlar

hakkında düşünürken yaptığınız hataları kolaylıkla görebilirsiniz. Şeffaf kağıtlar kullanarak model

yapmayı birçok öğrenci yardımcı bulur. İkincisi, kürelerde olduğu gibi silindir veya koni üzerindeki

üçgenler ve doğrular hakkında içe ait olarak düşünmelisiniz.(her zaman böceğin bakış açısı ile

bakmalısınız). Burada üç boyutlu ortamda ne olduğu ile ilgilenmiyoruz, sadece silindir veya koni

yüzeyinde deneyimimizin ne olduğu ve ne gördüğümüzle ilgileniyoruz.

Ve son olarak, farklı şekillerdeki (farklı koni açılarına sahip) konilere bakmalısınız.

DEĞİŞKEN TEPE AÇILARIYLA KONİLER Geodezikler farklı şekillerdeki konilerde farklı davranırlar. Bu nedenle en önemli değişken tepe

açısıdır. Tepe açısı genellikle koni yüzeyi üzerindeki nokta etrafında ölçülmüş açı olarak tanımlanır.

Dikkat ederseniz bu açının içe ait tanımıdır. Böcek koni noktasını(tepe noktası) merkez kabul ederek

içe ait bir daire oluşturup, sonra bu dairenin çevresini yarıçapa bölerek tepe açısı(radyan)

bulabilir.Tepe açısını dışa ait olarak şu şekilde ölçeriz: koniyi ana doğrusunda(tepe noktası etrafında

koni üzerindeki doğru) kesiniz ve açınız. Böylece koninin tepe açısının ölçüsü düzlemsel daire

diliminin açı ölçüsüne eşit olacaktır.

Şekil 4.1 1800 lik Koni Yapımı

Örneğin, bir kağıdı alıp bir tarafın yarısını diğer yarısı ile buluşacak şekilde bükersek 1800 lik

koni elde ederiz.(bakınız şekil 4.1) 900 lik koni yapmakta kolay- sadece kağıdın köşelerini kullanınız

ve bir yanı komşu yanla birleştiriniz. Daha geniş konilere de bakmalıyız. Bunun bir yolu değişken koni

açısına sahip bir koni yapmak olabilir. Bir kağıt parçasını alıp bir kenardan merkeze doğru

keserek(veya yırtarak) elde edebiliriz. (bakınız şekil 4.2)

Dikdörtgen bir kağıttansa daire şeklindeki bir kağıt daha kullanışlı olacaktır. Kesit çizgisinin düz

olmasına gerek yok.

Şekil 4.2 Değişken Tepe Açılı (0–360) Bir Koni

360 0 lik bir koniye zaten baktınız ( sadece bir düzlem). Tepe açısı 360 0 den büyük olabilir.

Bilindik geniş koni 4500 lik konidir. Buna benzer konileri muhtemelen duvarlarda, koridorlarda

ya da odanızın tavanında görmüşsünüzdür. Şekil 4.3 teki gibi bir kağıt parçasını kesip daha sonra

900 lik bir parça ekleyerek (360 +90 = 450) bu koniyi elde edebiliriz.

Şekil 4.3 4500 lik koni

ŞEKİL 4. 3 4500 ‘lik Koni Yapımı

Bunun koni olduğuna inanmayabilirsiniz, dondurma külahı gibi olmaması bunun koni

olmayacağı anlamına gelmez. Eğer çıkıntılar ve kıvrımlar sizi rahatsız ediyorsa onları yok edebiliriz-

koni içine kıvrık olacaktır. Bu sadece dışa ait görünüşü değiştirecektir. İçe ait olarak bir fark

yoktur.Ancak bu kullanışlı değildir.

Koninin bazı tanımlarını düşünmek size yardımcı olabilir. Örneğin, P merkezli bir küre ve küre

üzerinde kapalı bir a eğrisi alınız P den başlayıp a üzerindeki her bir noktaya giden ışınların bileşimi

koniyi oluşturur. Koni açısı a nın uzunluğunun kürenin yarıçapına oranına eşittir( radyan cinsinden).

Neden olduğunu anladınız mı?

Ayrıca, 1800 lik açıdan daha çok değişken tepe açısına sahip koniler elde edebiliriz. İki kağıt

parçasını alınız. Merkezlerini şekil 4.4 teki gibi bir araya getirerek yarınız . Şekildeki gibi üsteki

kesitin sağ tarafını alttakinin sol tarafına şeritle bağlayınız. Şimdi diğer yanları da böyle bağlayınız.

Deneyiniz!

Şekil 4.4 360 0 den Daha Geniş Açılı Koni

Kağıtlar kullanarak şekil 4.4 teki gibi koni örnekleri elde etmeyi deneyiniz. 4500 lik koni

üzerindeki doğrular ve üçgenlere ne oldu? En kısa mesafe her zaman düz müdür? Her nokta çifti bir

düz doğru tanımlar mı?

Sonuç olarak, koni ve silindir üzerindeki doğru simetrilerini düşününüz. Düşündüğünüz

simetrilerin bu yüzeylerde çalışıp çalışmadığını kontrol ediniz. İçe ait ve lokal olarak düşünmeyi

unutmayınız. Koni ve silindir üzerindeki özel geodezik sınıfına ana doğru denir. Bunlar tepe

noktasından geçen düz doğrular ya da silindir eksenine paralel düz doğrulardır. Bu doğrular bazı dışa

ait simetriye sahiptirler( hangileri olduğunu görebildiniz mi?), ama genel olarak geodezikler sadece

lokal,içe ait simetriye sahiptirler. Ayrıca, tepe noktasına yakın alanı düşününüz. Bu alanda koninin geri

kalan alanı dışında ne olmaktadır?

! Daha fazla okumadan önce silindir ve koni üzerinde bulunan geodeziklerin nasıl göründüğünü

anlamak için kağıt modellerle deney yapınız.

SİLİNDİRDE GEODEZİKLER

Öncelikle silindir üzerindeki 3 düz doğru sınıfına bakalım. Silindir yüzeyinde yürürken böcek

dikey ana doğru boyunca yürüyebilir. Bakınız şekil4.5

Şekil 4.5 Dikey Ana Doğrular Düzdür

Böcek,yüzeyin yatay düzlemle kesişiminde yürüyebilir. Bunları büyük daireler olarak

adlandırıyoruz.. Bakınız şekil 4.6

Şekil 4.6 Büyük Daireler İçe Ait Olarak Düzdür

Veya böcek silindir etrafında sabit bir eğimle heliks ya da sarmal yaparak yürüyebilir. Bakınız

şekil 4.7

Şekil 4.7 Helisler İçe Ait Olarak Düzdür

Bunlar neden geodezik? Bunu kendinize nasıl ispatlayabilirsiniz? Neden sadece bunlar geodezik?

KONİLERDE GOEDEZİKLER

Şimdi de konilerdeki düz doğru sınıflarına bakalım.

Ana doğru boyunca yürüme: Koni üzerindeki düz patikalara baktığınız zaman tepe noktasındaki

düzlüğü düşünmek zorunda kalırsınız. Böcek tepe noktasına ulaştığı zaman ilk bakışta düz olarak yola

devam edemeyeceğini düşünebilirsiniz ve böylece düz yol tepe noktasında bitecektir. Veya böceğin

düz doğrunun en az bir simetrisi kadar yola devam edeceğini bulabilirsiniz. Sizce bu yol hangisi? Ya

da düz yolun tepe noktası ile sınırlanmış geodezikler kadar olduğunu düşünebilirsiniz. Bakınız şekil

4.8

Şekil 4.8 Tepe noktasında yürüyen böcek

Düz ve etrafında yürüme: 900 lik koni üzerinde şerit kullanırsanız, şekil 4.9 daki gibi bir

geodezik görürsünüz. Bu geodezik parçası kendisi ile kesişmektedir.Ancak bu özelliğin tepe açısına

bağlı olduğunu kontrol ediniz. Tepe açısı 1800 den büyük olsaydı geodezik kendisi ile

kesişmeyecekti.Açı 900 den küçük olsaydı geodezikler ( ana doğrular dışındaki) en az iki kez

kesişecekti. Deneyiniz. Problem 4.2 de geodeziklerin tepe açısına bağlı olarak kendisi ile kesişme

sayısının ne olduğuna kara vermenizde ile yardımcı olacak aracı tarif edeceğiz.

Şekil 4.9 900 lik konide Geodezik Kendisi İle Kesişir

*PROBLEM 4.2 GEODEZİKLERİN EVRENSEL(GENEL) ÖZELLİKLERİ

Şimdi, silindir veya koni etrafında bulunan uzun geodeziklere daha yakından bakacağız. Sorular

şunlar:

a. İki noktada birleşen farklı geodezikleri nasıl bulacağız? Kaç taneler? Tepe açısına nasıl

bağlıdır? Her zaman iki noktayı birleştiren bir geodezik var mıdır? Düşüncelerimizi nasıl

kanıtlayacağız?

b.Silindir veya koni üzerindeki bir geodezik kaç kez kendisi ile kesişir? Bu sayı tepe açısına

bağlı mıdır? Hangi açı geodeziği kendisi ile kesiştirir? Bu bağlantıyı nasıl kanıtlarız?

ÖNERİLER

Burada soruları incelerken yardımcı olabilecek uzay örtüsünün araçlarını tavsiye ederiz.Örtü

metodunun bu isimle anılmasının sebebi her birinin yüzeyi kaplayan katmanları kullanmasıdır. Önce

silindir ile başlayacağız,çünkü daha basit ve daha kolay.Sonra koniye geçeceğiz.

SİLİNDİRİN n-KATLI ÖRTÜSÜ

Örtü metodunun nasıl çalıştığını anlamak için, bir kağıt aldığınızı ve dikey ana doğru boyunca

kesip düzlem üzerine serdiğinizi düşününüz. Bu,bu problem üzerinde çalışmadan önce silindir elde

etmek için kullandığımız yöntem olabilir.Yuvarlanmış sayfa(düzlemin bir parçası) silindirin 1 katlı

örtüsüdür. Bakınız şekil 4.10. Eğer silindir üzerinde şekilde olduğu gibi iki tane A ve B noktası

işaretlerseniz, silindir kesilip düzleme serildiği zaman bu iki nokta örtü üzerindeki iki nokta

olur.(şekilde aynı harflerle gösterilirler). Örtü üzerindeki noktaların silindir üzerindeki noktaların birer

gösterimleri olacağı söylenir.

Şekil 4.10 Silindirin Bir katlı Örtüsü

Şimdi bunun gibi birkaç örtüyü uç uca bir araya getirdiğimizi düşünelim. Yuvarladığınız takdirde

her örtü bir kez kesin olarak silindiri saracaktır. (tuvalet kağıdı ruloları veya kağıt kuleler silindirin

örtülerine kabaca bir fikir verirler).ayrıca her örtü aynı yerelliğe sahip A ve B noktalarına sahiptir.

Bunu örtüleri bir cisimle iki noktadan delip sonra açarak görebiliriz. Bu şu anlama geliyor: silindir

üzerindeki bütün A ve B noktaları örtüler üzerinde aynı noktaları gösterir. Silindir üzerindeki her nokta

için birkaç tane örtü gösterimine sahibiz. Şekil 4.11 de 3 katlı örtü ve A ve B noktalarını birleştiren 6

tane geodezik gösterilmektedir.( bunlardan bir tanesi A ve B arası mesafe, diğerleri ise silindirin

etrafında iki yönden biri doğrultusunda bir kez, iki kez ve üç kez dönen sarmallardır).

Şekil 4.11 Silindirin 3 Katlı Örtüsü

Ayrıca sağdan yada soldan örtü ekleyebiliriz. Bu örtüleri yuvarlayıp, geodeziklerin nasıl

göründüğünü görebiliriz. Hatırlarsanız, her örtü silindiri bir kez kaplıyordu- örtüler arası dikey

doğruların hepsi silindirin aynı ana doğrusu üzerinde olmalıdır. Sıradan kağıtlar kullanırsanız

geodeziklerin bazı kısımlarını orada olmalarına rağmen göremeyebilirsiniz. Şeffaf kağıtlar

kullanırsanız daha rahat görürsünüz.

Düzlük lokal içe ait özellik olduğu için bu metot çalışır. Böylece örtüler düzleme serildiği zaman

düz olan doğrular örtüler silindiri sardığı zaman da düz olmaya devam edecektir. Hatırlarsanız kağıdı

kıvırma kağıdın içe ait yapısını değiştirmiyordu. Sadece dışa ait olarak gördüğümüz eğrilik

değişiyordu. Önemli olan geodeziklere her zaman böceğin gözünden bakmaktır. Silindir ve örtüleri

lokal izometriktir.

Problem 4.2 yi düşünürken silindir üzerindeki örtüleri kullanınız. Düz doğruların genel

davranışları örtüleri anlamak için daha yararlı olacaktır.

*KONİLERİN n-KATLI ÖRTÜSÜ

Şekil 4.12 2700lik Koninin 1-Katlı Örtüsü

Şekil 4.12 koninin 1 katlı örtüsünü göstermektedir.Tepe noktası dışındaki her yerde kağıt tabaka

ve koni lokal olarak izometriktir. Koni noktası (tepe noktası) örtünün Dallanma Noktasıdır. Koni

üzerindeki nokta gösterimleri silindir üzerindekiler gibi anlatacağız. Şekil 4.12’de koninin 1 katlı

örtüsü ve üzerindeki 2 nokta ve gösterimleri tasvir edilmiştir.

Şekil 4.13’te ise koni için 4 katlı örtü tasvir edilmektedir. Örtü üzerinde örtünün merkezinden

çizilen ışınların her biri koni üzerindeki bir ışının gösterimidir. Benzer olarak, örtü üzerinde

işaretlenmiş noktalar da A ve B’nin gösterimidir.Örtü üzerinde A nın gösterimini A dan farklı B nin

gösterimine birleştiren 4 parça vardır.Bu parçaların her biri A ve B yi birleştiren farklı geodezik

parçalarının bir gösterimidir.

Şekil 4.13 890 lik Koni İçin 4-Katlı Örtü

Böceğin yüzey geodeziklerini keşfini genişletmek için araç olarak örtüleri kullanılabileceği

yolları düşününüz. Ayrıca, içe ait yollardan gözlemlerinizi kanıtlamak için örtüyü kullanabileceğiniz

yolları düşünüz. Kararlı olmak önemli; böceğin kaybetmesini istemezsiniz. İki noktayı düz doğru ile

kaç çeşitli yolla birleştirebileceğinizi hesaplayınız ve bu sayının koni açısını ile ilişkisini bulunuz. Düz

yolların sayısı sadece koni açısına mı bağlıdır? 4500lik koniye bakınız ve her zaman iki noktayı

birleştiren bir düz doğru olup olmadığına bakınız. Kağıt model oluşturunuz. Koni açısı ile her bir nokta

çiftini birleştiren geodezik sayısı arasında bir eşitlik yazmak mümkün değil. Ama birçok nokta çifti

için işe yarayan bir formül bulunabilir. Farklı açılar ölçülerine sahip koniler için örtü uzayı oluşturunuz

ve kendi kendisi ile kesişmesi için yapmış olduğunuz tahminlerinizi tavsiye ediniz. Bir koni üzerindeki

kendi kendisi ile kesişen l geodeziği üzerinde çalışmak, l doğrusuna dik olan R ışınını anlama

konusunda ise yardımcı olabilir (Bk. Şekil 4.14). Şimdi l geodeziğinin bir gösterimi ve bu gösterilişin

R ışının gösterimi ile ilişkisi üzerinde çalışınız. Özel kısımlar arasında kalan bağıntılar R’nin

gösterimleridir.

Şekil 4.14 φ Açılı Koni Üzerinde Kendi Kesişimleri

LOKAL OLARAK İZOMETRİK Şimdiye kadar, bir kağıdı silindir veya koni olacak şekilde yuvarlayıp ya da büktüğümüz

zaman, böceğin yüzeydeki içe ait ve lokal deneyimlerinin tepe noktasının dışında değişmediğini

kavramış olmalısınız. Dışa ait olarak, kağıt parçası ve koni farklıdırlar ama lokal geometride yüzey

için içe ait olma sadece tepe noktasında farklıdır.

G ve H iki geometrik uzaydır.G deki nokta G’,H daki nokta H’ olmak üzere eğer G’ deki

lokal içe ait deneyim H’de ki ile aynı ise, G ve H lokal olarak izometriktir denir. Yani, G ve H nin

komşulukları içe ait geometrik özelliklerine göre eşittir. Silindir ve düzlem lokal olarak izometrik (her

noktada), düzlem ve koni ise tepe noktası dışında lokal olarak izometriktir. Eğer iki koninin tepe

açıları aynı ise bu iki koni tepe noktasında lokal olarak izometriktir. Silindir ve koniler düzlemlerle

lokal olarak izometrik oldukları için, lokal olarak aynı geometrik özelliklere sahiptirler. Kürenin

düzlemle lokal izometrik olmadığını daha sonra göstereceğiz.

“EN KISA” HERZAMAN “DÜZ MÜDÜR?”

Sıklıkla düz doğrunun iki nokta arası en kısa mesafe olduğunu söyledik.Ama bu gerçekten

doğru mu? Kürelerde gördüğümüz gibi birbirine zıt olmayan iki nokta iki tane düz yol ile birleştirilir

(biri büyük daire etrafında bir yoldan gider, diğeri diğer yoldan gider). Bu yollardan sadece birisi en

kısadır. Diğeri düzdür ama en kısa değildir. 4500 açılı koninin modelini düşününüz. Böyle koniler

çoğunlukla binaların dış köşelerinde görülür (Bk. Şekil 4.15). Düzgünleştirebilecek en iyi kağıt

modelidir.

Şekil 4.15 A dan B ye Düz Bir Yol Yoktur

Koni üzerindeki hangi noktaların düz doğrular ile birleştirilebildiğini bulmak için kâğıt modeller

kullanınız( doğru simetrisinde yansıma gibi algılanabilir).Şekil 4.15 teki gibi işaretlenmiş A ve B

noktalarına bakınız. A dan B ye düz doğru olmadığını kendinize ispatlayınız ve bu iki nokta için en

kısa mesafenin tepe noktasından geçtiğini ve bu yolun düz olmadığını gösteriniz(simetrinin varlığı).

Şekil 4.16 En Kısa Yol Düz Değildir.

Diğer bir örnek ise; düzlem üzerinde bulunan uzun bir kutu düzlemi üzerinde seyahat eden bir

böcek düşününüz( Şekil 4.16). Bu yüzey birleşmesi- kutunun tabanı ile yüzey bitişiktir- 8 tane tepe

noktasına sahiptir. Kutunun üstündeki 4 tanesi 2700 lik koni açısına, kutunun altındaki 4 tanesi 4500 lik

koni açısına sahiptir( 1800 kutu üstünde ve 2700 yüzeyde). Kutunun zıt taraflarındaki X ve Y noktaları

arasındaki en kısa mesafe nedir? Düz yol en kısa mıdır? En kısa yol düz müdür? En kısa yolun düz

olmadığını ispatlamak için kutunun alt köşesindeki iki tarafında farklı açı ölçülerine sahip olan yolu

görmeye çalışınız.( Eğer X ve Y kutuya yakınsalar, yolun kutu tarafındaki açısı 1800 den biraz fazla ve

diğer taraftaki açı ise yaklaşık 2700 olacaktır).

* DİFFERENSİYEL GEOMETRİDE BAGINTILAR

Bazen düz yolların en kısa olmadığını ve en kısa yolların ise düz olmadığını görürüz. Bundan

sonra şu soru aklınıza gelebilir birçok kitapta bahsedildiği gibi Öklid geometrisinde iki nokta arası en

kısa mesafe düz doğru mudur? Differensiyel geometride “düzgün” yüzeylerde “düz” ve “en kısa”

neredeyse aynıdır.”düzgün” yüzey nasıl göründüğüdür. Yani, yüzeye yaklaşıldığı zaman pürüzsüz

yüzeyden farksız olandır.( tanımın detayları için ,[DG: Henderson] da problem 4.1 e bakınız. Ayrıca,

Bölüm 1 deki son nota ve özellikle son bölüme bakınız). Koniler tepe noktasında düzgün değildir, ama

küreler ve silindirler her noktada düzgündür. Aşağıdaki teorem differensiyel geometriden:

TEOREM 4.1: Eğer yüzey düzgünse, içe ait olarak düz doğru(geodezik) her zaman yakın

noktalar arasındaki en kısa yoldur.Eğer yüzey tam ise ( bütün geodezikler sonsuza uzanıyorsa),

herhangi iki nokta, aralarındaki en kısa yol olan geodezik ile birleştirilebilir. Bakınız ,[DG:

Henderson], problem 7.4b ve 7.4d.

Üzerinde delik olan düzgün bir yüzey düşününüz. Deliğin yakınlarında ve zıt taraflarında

bulunan noktalar için arasındaki en kısa yol düz değildir çünkü en kısa yol deliğin etrafından geçmek

zorundadır. Öğrenciler önceki örneklerin ve problemlerin teoremle nasıl bit armoni oluşturduğunu

görebilirler.

“ Yüzey üzerindeki her geodezik sonsuza uzayabilir” durumu Öklidin 2. postulatındaki “

kısıtlanmış her düz doğru sonsuza giden tek bir düz doğruya uzatılabilir.” yorumuyla uyumludur.[

Appendix A, Önerme 2]. Dikkat ederseniz 2. postulat konilerde tepe noktasından geçen geodezikleri

düşünmediğiniz sürece konilerde tutmuyordur.

Ayrıca, Öklit dik açıyı şu şekilde tanımlamaktadır: iki düz doğru komşu açılar eşit olacak şekilde

kesişirlerse bu açılara dik açı denir[ Appendix A,Tanım 10]. Tepe noktasınca devam eden geodeziği

düşünürseniz tepe noktasındaki dik açı koninin yüzeye izometrik olduğu noktadaki dik açıya eşit

olmayacaktır.

Ve Öklid 4.postulatında der ki; bütün dik açılar eşittir .[ Appendix A, Önerme 4]. Böylece,

öklid’in 2. ve 4. postulatları koniler ve tepe noktalarınca ayrılmış yüzeylerde çalışmamaktadır.

Öklid’in 4. postulatı kimilerince net değildir(en azından yazara göre). Öklid’in 4. postulatını sağlayan

ve düzgün olan bir yüzey bulmak istediğimizde bunun olabilirliği net değildir. Ancak, Öklid’in

önermelerinin verilen kısımları “düzgün yüzey” anlamına gelmektedir çünkü kurallar tepe noktalarını

dışarıda bırakmaktadır.

Eğer lisede olsaydık Öklid’in neden 4. postulat gibi bir önermeyi oluşturduğunu

anlayamayabilirdik- nasıl eşit olamazlar? Bu bölümde konilerdeki dik açıların her zaman eşit

olmadığını öğrendik.

BÖLÜM 5

HİPERBOLİK DÜZLEMLERDE DÜZLÜK [ Janos’un oğluna] tanrı aşkına! Lütfen bırak artık onu( hiperbolik geometriyi)… Ondan

şehvetten korktuğun kadar korkmalısın çünkü senin bütün zamanını alıyor seni sağlığından aklından

ve yasama sevincinden mahrum bırakıyor.

-Wolfgang Bolyai(1755-1856)

[EM: Davis ve Hersh] sayfa, 220

Şimdi hiperbolik geometri çalışacağız. Okuyucu bölüm 17 ve hiperbolik düzlem ile ilgili diğer

kısımları okumayacaksa bu bölümü atlayabilir. Ancak hiperbolik düzlem ile ilgili kısımları atlamak

geometri tarihinin önemli bir parçasını belki de bizim fiziksel evrenimizin temellerini oluşturan

geometriyi atlamak olacaktır.

Koni ve silindirde olduğu gibi hiperbolik düzlemlerde içe ait bakış açısını kullanmalıyız. İlerde

göreceğiz ki tam bir hiperbolik yüzeyin 3 boyutlu ortamda tam bir gömülümü yoktur.

HİPERBOLİK GEOMETRİNİN KISA TARİHİ

Hiperbolik geometri önceleri Building Structures Strand’ın Janos Bolyai ( 1802–1860, Bulgar)

ve N.I. Lobachevsky(1792–1856, Rus) çalışmalarıyla olgunlaşmıştır. Hiperbolik geometri formel

aksiyomatik bakış açısından özeldir çünkü öklid geometrisindeki paralel postulat dışındaki diğer tüm

aksiyomları sağlamaktadır. Hiperbolik geometride düz doğrular kesişmeden birbirlerine doğru yönelip

birleşebilirler.( Bakınız Appendix A, Öklid’in 5. postulat’ı).Verilen doğruyla bir noktada kesişmeyen

birden fazla düz doğru vardır.( Lisedeki genel paralel postulatı bozmaktadır, verilen L doğrusu

üzerinde bulunmayan P noktasında L ile kesişmeyen sadece ve sadece bir doğru vardır.). Bakınız Şekil

5.1

Şekil 5.1 Bir Nokta Etrafındaki İki Geodezik Verilen Geodezik İle Kesişmez

Okuyucu bölüm 10 da hiperbolik geometrinin aksiyom doğasını daha detaylı inceleyebilir. Fark

ederseniz, 4500 lik koni de yukarıda bahsedilen postulatı çiğnemektedir. Böylece , 4500 lik koni

hiperbolik düzlemin bazı özelliklerine sahiptir.

Hiperbolik geometriyi yüksek matematiğin değerli bir branşı olarak kabul etmek faydalı

olacaktır.

İki boyutlu görsel uzay geometrisi hiperbolik geometri tarafından en iyi gösterim olarak ortaya

çıkmaktadır.( Bakınız [HY: Zage]. Ek olarak, hiperbolik geometri 3 boyutlu fiziksel evrenimiz için

olan geometrilerden birisidir.- bu durumu bölüm 18 ve 24 te daha detaylı inceleyeceğiz.

Öklidyen olmayan geometri ve hiperbolik geometri birçok kitapta benzer olarak düşünülür, ama

bildiğiniz gibi küresel geometri gibi diğer öklidyen olmayan geometriler vardır. Birçok kitapta

söylendiği gibi öklidyen olmayan geometrinin 170 yıl önce keşfedildiğini söylemek de doğru değildir.

Bölüm 2 de bahsettiğimiz gibi küresel geometri( öklidyen değil) Eski Babiller, Hintler, Yunanlılar,

tarafından en az 2000 yıl önce bulundu ve çalışıldı.

Birçok çalışmalar ve popüler kitaplar hiperbolik geometriyi aksiyom olarak veya öklidyen

düzlemde hiperbolik geometrinin modelleri ile sunarlar. Bu modeller bizim dünya yüzeyinin izdüşümü

haritasına benzemektedir. Bu haritalardaki genel olarak düz hiperbolik düzlemdeki içe ait düz

doğrularla aynı değildir. Genelde biçimi bozuk uzaklıklar ve açılar vardır. Bölüm 17de izdüşümü ve

model konusuna döneceğiz. Bu modeller Art / Pattern Strand ‘ın modellerinden ortaya çıkmıştır.

Bu bölümde hiperbolik düzlemin geometrisini 3 boyutlu ortamda yüzeyin içe ait geometrisi

olarak ele alacağız, tıpkı 3 boyutlu ortamdaki kürenin geometrisine bakarak küresel geometriyi

anlattığımız gibi.Nagivation:/Stargazing Strand tan daha farklıdır. Böyle yüzeyler 3 boyutlu ortamdaki

hiperbolik düzlemin izometrik gömülümü olarak anılır. Böyle yüzeyleri gelecek kısımda üreteceğiz.

Ancak, birçok çalışmalar ve popüler kitaba göre David Hilbert (1862–1943, Alman,) 1901de böyle bir

izometrinin 3 boyutlu Öklidyen uzayının kapalı alt kümelerini örten hiperbolik düzlemlerde

olamayacağını ispatlamıştır. Bu yazarlar Hilbert ‘in tam olarak ne ispatladığını unutmuşlardır.

Gerçekte Hilbert [HY:Hilbert] reel analitik izometrinin var olamayacağını ispatlamıştı. (Yani kuvvet

serileriyle tanımlanan reel değerli fonksiyonların tanımladığı bir izometri yoktur.). 1964’te N.V.

Efimov [HY: Efimov] Hilbert’in sonucunu genişletti. Efimov 1. ve 2. türevleri sürekli olan fonksiyon

tarafından tanımlanan izometrik gömülümün olmadığını ispatladı. 1955’te açık bir gösterim vermeden

N. Kuiper [HY:Kuiper] 3 boyutlu uzayın kapalı alt kümeleri üzerinde türevlenebilen izometrik

gömülüm olduğunu ispatladı.

Burada kullanılan gösterim William Thurston tarafından 1978’te David ‘e gösterildi.(b.1946,

Amerikalı); ama eşitlikle tanımlanmamıştı, çünkü öklidyen uzayda net bir gömülme kavramı yoktu. Bu

gösterim hakkındaki öneri ve fikirler [D.G Thurston] da 49. ve 50. sayfalarda ve [D.G: Henderson] da

31. sayfada bahsedilmektedir. Problem 5.3 te bizim izometrik modelin yalancı küre olarak bilinen

dönüşün düzgün yüzeyine lokal olarak izometrik olduğunu göstereceğiz. Sonra bölüm 17de hiperbolik

yüzeylerin çeşitli(izometrik olmayan) modellerini inceleyeceğiz. (bu modeller birçok çalışmada

hiperbolik geometri gösterilişidir.) ve bu modeller ve izometrik oluşumların aynı geometriyi ürettiğini

göstereceğiz.

HALKALI HİPERBOLİK DÜZLEMİN TANIMI

3 boyutlu uzaydaki yüzeyler gibi hiperbolik düzlemlerin( yaklaşık düzlemler) beş farklı

izometrik oluşumun detaylarını Appendix B de anlattık. Bu oluşumlardan en az biriyle ilgilenmiş

olmanız çok önemli. Yüzey oluşturma size hiperbolik düzlemleri başka bir yöntemle oluşturmanızın

zor olduğu hissi verecektir. Thurston tarafından önerilen halkadan hiperbolik düzlem tanımı üzerinden

tartışmalarımızı yapacağız.

Şekil 5.2 Halkalı Hiperbolik Düzlem Yapmak İçin Halka Şeritler

Hiperbolik düzlemin kâğıt modeli şu şekilde oluşturulabilir. Şekil 5.2 deki gibi özdeş halka

şeritler ( ortak merkezli iki daire arasında kalan bölge) kesiniz. Şeritleri birinin iç dairesi diğerinin dış

dairesi ile birlikte olacak şekilde şeritleri bantlayınız. Bütün halkalı şeritlerin aynı iç yarıçap ve aynı

dış yarıçapa sahip olması önemlidir, ama halkaların uzunlukları farklı olabilir. Ayrıca şeritleri daha

kısa kesebilir ya da iki şeridi birleştirip daha da genişletebilirsiniz.

Sonuçta oluşan yüzey tabiî ki istenen yüzeye yaklaşık olacaktır. Hiperbolik yüzey yarıçapı ρ’yı

sabit tutarak δ→0 oluşturarak bulunur. Yüzey her yerde aynı olacağı için (δ→0), homojendir. ( içe ait

olarak ve geometrik olarak her noktanın civarı herhangi bir diğer noktanın civarı ile izomeriktir). Bu

oluşumun sonucuna halkalı hiperbolik düzlem diyeceğiz. Okuyucuya birkaç halka kesip,

birleştirmesini önemle öneriyoruz.

Diana halkalı hiperbolik düzlem örebilmek için bir metot keşfetti. ( Bakınız Appendix :B). Sonuç

Şekil 5.1, 5.3 ve bu bölümdeki diğer fotoğraflarda görünmektedir.

Şekil 5.3 Örgü Halkalı Hiperbolik Düzlem

Hiperbolik düzlemin çok yüzlü oluşumları da vardır. Bunlar halkalı oluşumlara doğrudan bağlı

değildir ama öğrenciler( öğretmenler) için oluşturmak daha kolaydır. Bu oluşum ( David’in oğlu Keith

henderson tarafından icat edildi) Hiperbolik futbol topu olarak anılır. Oluşumun ayrıntıları için

Appendix B ye ve resmi için Şekil 5.4e bakınız. Farklı renklerdeki altıgenleri kullanarak yedigenler

oluşturursanız hoş bir görünüm olacaktır. Herhangi birçok yüzlü oluşumdan hiperbolik düzleme yakın

yaklaşımlar oluşturamayabiliriz. Halkayı görme yolumuzda yoktur.

Şekil 5.4 Hiperbolik Futbol Topu

FARKLI YARIÇAPLARDA (EĞRİLİKLER) HİPERBOLİK DÜZLEMLER

Dikkat ederseniz hiperbolik düzlem oluşumu ρ ya ( halkanın yarıçapı) bağlıdır, biz ρ’ya

hiperbolik düzlemin yarıçapı diyeceğiz. Kürelerde olduğu gibi, ρ’ye bağlı farklı hiperbolik düzlemler

oluşturabiliriz. Şekil 5.5-5.7’de yarıçapları yaklaşık 4cm, 8cm, 16cm olan örgü hiperbolik düzlemler

vardır. Bütün resimler aynı yönden çekildi ve ölçüleri göstermek için cm’lik cetveller vardır.

Şekil 5.5 4 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem

Şekil 5.6 8 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem

Şekil 5.7 16 cm. Yarıçaplı Hiperbolik Düzlem

Fark ederseniz, ρ arttıkça, hiperbolik düzlem düzleşmeye başlamaktadır ( daha az eğriliğe sahip).

Küre ve hiperbolik düzlemde ρ sonsuza giderse, küre ve hiperbolik düzlem düzgün (öklidyen)

düzlemden farksız hale gelir. Böylece düzlem sonsuz yarıçapı olan bir küre ( hiperbolik düzlem) olarak

adlandırılır. Bölüm 7 de, Gaus’un Eğriliğini tanımlayacağız ve kürede 1/ ρ2 ve hiperbolik düzlemde -1/

ρ2 olduğunu göstereceğiz.

PROBLEM 5.1 HİPERBOLİK DÜZLEMDE DÜZ NEDİR?

a. Hiperbolik düzlemde, her halkalı şeritten ışınsal olarak geçen eğriler düşününüz.

Bunların içe ait olarak düz olduğunu farz ediniz. Ayrıca, herhangi ikisinin asimptotik

olduğunu gösteriniz başka bir deyişle birbirlerine yaklaştıklarını ama kesişmediklerini

gösteriniz.

Her halkalı şeridin lokal içe ait simetrilere bakınız sonra tüm hiperbolik düzlemdeki global

simetrilere bakınız. Simetrilerin neden limit δ→0 da olduğunu ispatladığınıza emin olunuz.

Bu Şekilde birbirine yaklaşan iki geodezik asimptotik geodeziktir diyebiliriz. Düzlem üzerinde

asimptotik olan geodezik (düz doğrular) yoktur.

b. Fiziksel hiperbolik yüzeydeki diğer geodezikleri de bulunuz. Problem 1.1,2.1, ve 4.1de

bahsettiğimiz düzlük özelliklerini(simetri gibi) kullanınız.

İşaret parmaklarınız ve başparmaklarınız arasında iki nokta belirlemeye çalışınız. Yansıma

simetrisi ile geodezik parçası iki nokta arasında görülmeli. Eğer yüzeyiniz yeterince sağlam ise

geodezik üzerinde katlayınız. Ayrıca, şeritler kullanarak geodeziği test edebilirsiniz.

c. Hiperbolik düzlemdeki geodezik için hangi özellikleri buldunuz? Küre ve düzlem

üzerindeki geodeziklerle nasıl benzerlikleri ve farklılıkları var?

Kesişme, eşsizlik, simetriyi içeren geodezik özelliklerini düşününüz. Modellerinizi kullanarak

düşüncelerinizi olabildiğince ispatlayınız.- bazı ispatların tam olması için Bölüm 17 e kadar beklemek

zorundasınız.

PROBLEM 5.2 HALKALI HİPERBOLİK DÜZLEMDE KOORDİNAT SİSTEMİ

Öncelikle, halkalı hiperbolik düzlemde koordinat sistemini tanımlayacağız bu bize bölüm 17 de

yardımcı olacaktır. ρ halkanın iç yarıçapı olsun ve Hδ da, yarıçapı ρ ile kalınlığı δ olan halkadan oluşan

halkalı hiperbolik düzlemin tahmini yakınlığı olsun Hδ üzerindeki halkanın içteki eğrisi taban eğrisidir

ve bu eğri üzerinde orijin O olmak üzere pozitif yönde herhangi bir nokta alınız. Şimdi, bir (içe ait)

koordinat sistemi oluşturabiliriz. xδ : R2 → Hδ alırız ve xδ (0,0) = 0, xδ (w,0) taban eğrisi üzerinde O

dan w kadar uzaklıkta noktadır ve xδ (w,s), xδ (w,0) dan s kadar uzaklıkta xδ (w,0) boyunca olan çapsal

geodezik üzerinde olan noktadır, pozitif yön dıştan içe doğru seçilmiştir. Böyle koordinatlara geodezik

dikdörtgen koordinat denir. Bakınız Şekil 5.8.

Şekil 5.8 Halkalı Hipebolik Düzlem Üzerinde Geodezik Dikdörtgen Koordinatlar

a.Koordinat haritasının R2 nin tamamından halkalı hiperbolik düzlemlere 1-1 ve örten olduğunu

gösteriniz. Halkalı şeritlerin ve geodeziklerin haritası nasıl olur?

b.λ ve µ, a’da bahsedilen çapsal geodeziklerin ikisi olsun. Taban eğrisi üzerindeki λ ve µ

arasındaki uzaklık w ise,bu uzaklığın kâğıt hiperbolik model üzerinde taban eğrisinden s=nδ

uzaklığında olduğunu gösteriniz.

w(ρ/ ρ+δ)n = w(ρ/ ρ+δ)s/δ

Şimdi, δ→0 iken limit alınız ve λ ve µ arasındaki uzaklığın wexp(-s/ ρ) olduğunu gösteriniz.

Böylece, koordinat grafiği x, (dikey) ikinci koordinat eğrisi boyunca uzaklığı korur ama

x(a,b)noktasında birinci koordinat eğrisindeki uzaklıklar boyunca exp(-b/ ρ)nin etkisi ile korumayabilir.

(R2 deki uzaklıklarla karşılaştırıldığı zaman).

PROBLEM 5.3 YALANCI KÜRE HİPERBOLİKTİR.

Lokal olarak halkalı hiperbolik düzlem, z nin sürekli türevleşebilen fonksiyon grafiğinin z ekseni

etrafında döndürülmesi ile tanımlanan (düzgün) yüzey kısımlarına izometriktir. Bu yüzeye yalancı küre

denir.

İSPAT TASLAĞI

1. Halkalı hiperbolik düzlemdeki her nokta diğer noktalara benzemektedir( halkalı oluşumu

düşününüz, halkalı şeridin genişliği δ 0’ a giderken noktanın ebadı değişmez.).

2. Halkalı şeritlerden biri ile başlayınız, onu düzlemde tam bir halkaya tamamlayınız. Sonra

dönüş yüzeyini bu halkanın kenarının iç kısmını diğer halkalı şeritlerle birleştirerek oluşturunuz.

Halkalı hiperbolik düzlem oluşumunda tanımlanmıştır. (Bakınız Şekil 5.9). İkinci ve sonraki halkalılar

kesik koni oluşturacaktır. Sonuç olarak, δ 0’ a giderken halkalı şeritlerin genişliklerini hayal ediniz.

3.Şekil 5.9 daki geometriyi kullanarak yüzey üzerindeki nokta koordinatları için differensiyel bir

denklem oluşturunuz. Eğer, f(r) (z koordinatı) z ekseninden r uzaklıktaki yüzeyin yüksekliği ise,

differensiyel denklem aşağıdaki gibidir. (ρ sabit)

dr / dz = -r/ (ρ2 –r2 )

neden?

Şekil 5.9 Yalancı Küre

4.(tablo ve bilgisayar cebir sistemini kullanarak) r’nin bir fonksiyonu olan z= f(r) fonksiyonu

için differensiyel denklemi çözünüz. Dikkat ederseniz, r’yi z ‘nin fonksiyonu olarak elde

etmiyorsunuz. Bu eğriye tractrix denir.

5.Sonra (1.dönem yüksek matematikteki teoremleri kullanarak) r’nin z’nin sürekli türevleşebilir

bir fonksiyonu olduğunu gösteriniz.

Ayrıca yalancı küre örebiliriz. 5 veya 6 zincirle başlarız sonra spiral modelle devam ederiz

hiperbolik düzlem oluşana kadar öreriz. Şekil 5.10’a bakınız. Dikkat ederseniz örgünün alt kısmı tam

halka oluşturmaktadır, yüzeylerde dalgalar oluşmakta sonra dönme yüzeyi yok olur.

Şekil 5.10 Dalgalı Örgü Yalancı Küre

“Yalancı küre”terimi Hermann Van Helmhaltz (1821- 1894, Alman) tarafından oluşturuldu.

Helmhaltz küresel uzay ile yalancı küresel uzayı karşılaştırmıştı. Ancak Helmhaltz,bu geometri ile bir

yüzey bulamamıştır. Uvgenio Beltrami (1835- 1900, İtalyan) yalancı küre dediği bir yüzey oluşturdu

ve bu yüzeyin geometrisini lokal olarak Lobatchevsky’in oluşturduğu hiperbolik geometriyle aynı

olduğunu gösterdi. (Tarihi açıklama için bak. [HI. Katz] sayfa 781–783) Matematikçiler tamam

hiperbolik düzlem olabilecek yüzeyler için daha fazla araştırdılar. (o günlerde yüzey “gerçek analitik

yüzey” demekti.) Hilbert böyle bir yüzeyin olmayacağını bulduktan sonra çalışmalar durduruldu. (

onun teoremini bu bölümün birinci kısmının sonunda hiperbolik geometrinin kısa tarihinde anlattık.)

İÇE AİT / DIŞA AİT/LOKAL / GLOBAL

Düzlem ve kürelerde, rotasyonlar ve yansımalar hem içe ait hem de dışa ait olabiliyordu. İçe ait

olur çünkü böcek tarafından iki boyutlu rotasyon ve yansıma görülebilir. Bu içe ait dönme ve

yansımalar dışa da aittir, çünkü 3 boyutlu uzayda izometri olarak görünebilirler. (örneğin, kürenin

büyük daire’ye göre yansıması, 3 boyutlu uzayın büyük direyi içeren düzleme göre yansıması olarak

görülebilir.)

Böylece rotasyonlar ve yansımaları düzlem ve küre üzerine görmek kolaydır. Ayrıca küre ve düzlem

üzerindeki bütün rotasyon ve yansımalar globaldir, çünkü bunlar, düzlemin ve kürenin tamamını

kendilerine götürür. (örneğin; bir küre üzerindeki herhangi bir nokta etrafındaki bir içe ait rotasyon her

zaman tüm kürenin bir rotasyondur).Silindir ve konilerde içe ait rotasyonlar ve yansımalar lokal

olarak oluşur çünkü silindirler ve koniler lokal olarak düzleme izometriktir. Ancak, koni ve

silindirlerde bazı içe ait rotasyonlar dışa ait ve globalde olabilir; örneğin tepe açısı <3600 olan dairesel

koninin tepe noktası etrafındaki rotasyonlar veya silindir üzerindeki her hangi bir nokta etrafındaki

yarım dönüş. Tepe açısı >3600 olan dairesel koninin tepe noktası etrafındaki rotasyonlar-koniler

küresel ama dışa ait değildir. Geodezik boyunca katı (rigid) hareket simetrileri silindirlerde global ve

dışa ait ama konilerde değildir.(nedenini anladınız mı?) yansımalar genelde ne dışa ait ne de

globaldirler.(silindir ve konilerdeki istisnaları anladınız mı?).

PROBLEM 5.4 YÜZEYLERDE ROTASYONLAR VE YANSIMALAR

Fiziksel hiperbolik düzlemlerden gördüğümüz gibi geodezikler iki noktanın birleşiminden

oluşmaktadır ve bu geodezikler yansıma simetrisine sahiptirler.( eğer bunu problem 5.1c de

görmediyseniz, geri dönün ve modelinizle tekrar çalışın. Bölüm 17 de daha üst yarı düzlem modeli

kullanarak ispatlayacağız.). bölüm 17 de bu yansımaların tüm hiperbolik uzayın global yansımaları

olduğunu göstereceğiz. Hiperbolik düzlemin dışa ait yansımalarının olmadığına dikkat ediniz. Ayrıca,

verilenlere göre içe ait rotasyonların varlığı da kesin değildir.

a.l ve m hiperbolik düzlem üzerinde P noktasında kesişen iki geodezik olsun. l üzerindeki Rl

yansıması ile m üzerindeki Rm yansımasının bileşimine bakınız. Rm Rl bileşiminin P etrafında

rotasyon olduğunu gösteriniz. Rotasyonun açısı nedir?

Şekil 5.11 İki Yansımanın Bileşimi Bir Dönmedir

A,m üzerinde ve B de l üzerinde nokta olsun ve Q m ve l üzerinde olmayan her hangi bir nokta

olsun. A,B ve Q nun Rl tarafından nereye gönderildiğini bulunuz ve sonra da Rm Rl tarafından nereye

gönderildiklerini bulunuz. Bakınız Şekil 5.11. P dışındaki bütün noktalar neden aynı açı ile aynı yönde

dönüyorlar.

Bölüm 11 de simetri ve izometri hakkında daha detaylı çalışacağız. Bu bölümde her izometrinin

(düzlem,küre ve hiperbolik düzlemlerde) bir, iki veya üç yansımanın bileşimi olduğunu göstereceğiz.

a.Problem 3.2 nin (VAT) silindir, koni (tepe noktalarını içeren) ve hiperbolik düzlemler için uygun

olduğunu gösteriniz.

3.2 ispatınızı kontrol etmek isterseniz, ispatlarınızı simetrileri içerecek şekilde değiştiriniz,

böylece bu ispatların diğer yüzeyler içinde sağlandığını göreceksiniz.

b.Tanımlarınızdaki yansıma tanımını kullanmadan bir şeklin P noktası etrafında Өaçısı ile

rotasyonunu tanımlayınız.

P noktasında olmayan bir noktaya rotasyon ne yapar?

c.Popüler lise kitapları rotasyonu iki yansımanın bileşimi olarak tanımlar. Bu iyi bir tanım mı?

Neden ya da neden değil?