bilangan hiperbolik

LAPORAN MATEMATIKA TENTANG

DASAR BILANGAN HIPERBOLIK

OLEH

DAUT TABAROK 130533608-298

DHANI KUSUMA TRIADI 130533608-294

GILANG LOVIANINDRA CIPTA 130533608-285

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

PRODI S1 PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA

Desember 2013

Bilangan hiperbolik

Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri yang

sifatnya merupakan fungsi sirkular Lebih sederhana lagi merupakan fungsi

lingkaran perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu berubah-

rubah dan membentuk pola yang sama

Pemanfaatan persamaan hiperbolik dibidang teknik elektro sangat

banyak sekali namun pada pertemuan ini diambil pada saluran panjang

transmisi tenaga listrik Kemampuan menyelesaikan persoalan saluran

panjang ditunjang oleh pemakaian bilangan kompleks pada persamaan

hiperbolik Bekal yang diberikan akan bermanfaat untuk penerapan-

penerapan yang lain di bidang intra teknik elektro maupun antar bidang

Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik

exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan

hasil dari penjumlahan sebuah deret

Persamaan bil kompleks dan hiperbolik

Bentuk terakhir dalam persamaan bilangan komplek adalah exponensial

Yaitu

apa titik temu kedua persamaan ini adalah exponensial

Persamaan bilangan kompleks

bila dijumlahkan

hiperbolik ANGKA

Sistem bilangan real dapat diperpanjang dengan cara yang baru Sedangkan

persamaan aljabar x2 - 1 = 0 memiliki solusi bilangan real x = plusmn 1 kita

menganggap keberadaan baru nomor yang u unipotent yang memiliki sifat

aljabar yang u 6 = plusmn 1 tapi u2 = 1 Dalam hal dasar standar 1 u nomor

hiperbolik w 2 IH dapat ditulis dalam bentuk w = x + uy mana x y adalah

nyata angka Dengan demikian angka hiperbolik IH IR [u] hanya nyata

nomor diperluas untuk menyertakan u unipotent dengan cara yang sama

bahwa bilangan kompleks CI IR [i] adalah bilangan real diperluas untuk

mencakup i imajiner

Bilangan hiperbolik

System bilangan real bisa di perluas dengan cara yang baru Padahal

persamaan aljabar x2 minus 1 = 0 punya solusi bilangan real x = plusmn1 kita

asumsikan keberadaan dari angka baru unipotent udimana aljabarnya u neplusmn1

but u2 = 1 Dalam hal standar basis 1 usemua angka hiperbolik w ∊ IH

bisa di tulis dengan bentuk w = x + uy dimana xy adalah bilangan real

Jumlah hiperbolik

|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2

akan disebut sebagai j-modulus w = z1 + z2 i2

Dalam rumus di atas akar kuadrat dari bilangan kompleks (di C (i1) atau C

(i2))

dipahami sebagai salah satu dari dua nilai yang mungkin yang diambil

dengan non-negatif

bagian nyata diberikan αβeuroR dari dua nilai

Kita memilih

Di mana

Selanjutnya j-modulus dapat juga dibenarkan sebagai berikut pertama

Persamaan Hiperbolik



lingkaran Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu

berubah-rubah dan membentuk pola yang sama


Apa itu exponensial exponensial adalah bilangan berpangkat dengan

bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret

ex=1+x+ x2

2+ x3

3 + x4

4 +hellip

untuk pangkat 1 nilai dari ex=econg 2718281828 Jadi exponensial memiliki

bilangan dasar 2718281828helliphellip

Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut

Sinh x= exminuseminus x

2

Cosh x= ex+eminusx

2

dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi

turunan yang lain sepeti

tgh x=sinh xcosh x

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik

1 Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x salah satunya deret

dari

Apabila x diganti dengan ndashx maka

2 Sinus hiperbolik dari x

Definisi

Dalam bentuk deret

memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif

3 Cosinus hiperbolik dari x

Definisi

Dalam bentuk deret

memuat semua pangkat genap dan bertanda positif

4 Tangen hiperbolik dari x

Definisi

5 Grafik Fungsi Hiperbolik

a Grafik dari dan

dan positif untuk semua harga x

b Grafik

nilai dari tidak pernah kurang dari 1

Kurva simetris terhadap sumbu y

Untuk setiap satu harga tertentu dapat diperoleh dua buah

harga x yang berjarak sama dari titik asal yaitu

c Grafik

memiliki semua nilai dari sampai

Kurva simetris terhadap titik asal

Untuk setiap satu harga hanya ada satu harga x riil

d Grafik dan

Jika maka

e Grafik

selalu terletak diantara dan


Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan

6 Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik

Contoh penjelasannya Misalkan

7 Identitas hiperbolik

dan

jika dikalikan keduanya maka

jika dikuadratkan

keduanya dikurangkan maka

keduanya ditambahkan maka

Identitas trigonometri Identitas hiperbolik

8 Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik

Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan

Fungsi hiperbolik memiliki nama yang mirip dengan fungsi

trigonmetric tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial

Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama dan sketsa

grafik mereka Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan

fungsi-fungsi ini dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik

Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini

sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga

mereka menjadi sifat kedua

bull menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi

eksponensial

dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x

bull sketsa grafik dari cosh x sinh x dan tanh x

bull mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x

bull memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan

specify domain mereka

bull menentukan fungsi reprocal sech x csch x dan coth x

Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah

cosh z=12

(ez+eminus z) sinh z=12

( ezminuseminusz )

Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya

sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil yaitu

tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12

(ez+eminus z) maka dengan mengganti z

dengan iz diperoleh

cosh iz=12

( eiz+eminusiz)=cos z

4 Karena

sin z= 12i

(e izminuseminusiz )

maka dengan mengganti z

dengan iz diperoleh

sin iz=12i

( ei2 zminuseminusi2z )=

12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i

(e zminuseminusz )=i12

(ezminuseminusz )=i sinh z

Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik

Untuk bilangan kompleks z dan w dimana z = x + iy dan k

bilangan bulatmaka

1 cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y

2 sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y

3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z

6 |sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y

7 |cosh z|2 = sinh2x + cos2y

8 cosh2 z - sinh2 z = 1

9 sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w

10cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w

11sinh z = 0 z = ki k = 0 plusmn1 plusmn2

12cosh z = 0 z = (2 + 2k)i k = 0 plusmn1 plusmn2

13sinh(-z) = - sinh z

14cosh(-z) = cosh z

15sinh(z + i) = -sinh z

16cosh(z + i) = -cosh z

17tanh(z + i) = tanh z

18-i sinh(iz) = sin z

19cosh(iz) = cosh z

20-i sin(iz) = sinh z

Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan

turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 37

Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks

ddz

(sinh z )= ddz [ ezminuseminus z

2 ]=12(ez+eminusz )=cosh z

Secara analog akan didapatkan

ddz

(cosh z )=sinh zddz

(sec hz )=minussechz tan z

ddz

( tanh z )=sec h2 zddz

(csc hz )=minuscschz coth z

ddz

(coth z )=minuscsc h2 z

1 The definisi di The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned

oleh

Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions catatan

bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan kawsh x dan menang x

Jika Anda pernah membutuhkan mereka empat fungsi hiperbolik lainnya de-

ned menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan

menebak

2 Grafik Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah

cosh (x)

sinh (x)

Perhatikan bahwa cosh (x) seperti cos (x) adalah bahkan fungsi sedangkan

sinh (x) seperti dosa (x) adalah fungsi ganjil Juga mencatat bahwa cosh (0)

= cos (0) = 1 sementara sinh (0) = sin (0) = 0 Paralel antara fungsi

hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat Yang paling penting

menjadi ini

3 Derivatif

Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x) tetapi dengan tidak dikurangi

bodoh

tanda-tanda untuk mengingat

Terakhir dan benar-benar sedikit adalah

5 Identitas

Ini tentu saja sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) =

1 jika

Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas

Pythagoras

Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran X2 + Y 2 = 1 Jika

Anda mengganti X = cosh (x)

dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x)

Anda mendapatkan

persamaan untuk hiperbola X2 1048576 Y 2 = 1 fungsi hiperbolik maka

istilah

2

Oke itu semua yang Anda benar-benar harus tahu Namun ada yang

lain

fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang

perlu cepat

baca Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang

lain di sekitar sehingga tidak ada yang tahu Anda

menjadi geek matematika lengkap

FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK

Definisi fungsi kompleks hiperbolik

Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan

Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks

Trigonometrik

yaitu

Hyperbolik Polar form

Setiap angka kompleks yang bukan 0 z ∊ ₵ bisa di tulis di dalam bentuk

polar

z = r(cos θ + i sin θ) equiv r exp i θ

untuk 0 le θ ge2 π diman θ = tanminus1(yx) adalah sudut dari vector z dengan x-

axis positif dan r = |z| equiv radic zz adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat Semua

titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari

lingkaran dimana r ge 0

Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi

Persamaan |w|h = pgt0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p

bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis

w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnp exp uOslash

dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III

w= plusmnp(coshOslash + sinhOslash) equiv plusmnpu exp uOslash

ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV Kuadran hiperbolik

dibatasi oleh

garis isotropik |w|h = 0 yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h =

pgt0 Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis dalam

arah yang ditunjukkan sebagai parameter Oslash meningkat -infin ltOslashltinfin

Sudut hiperbolik Oslash didefinisikan oleh Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam kuadran H-I dan

H-II atau Oslash equiv tanhminus1(yx) dalam H-II dan H-IV hanya

sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah 12 θ

wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal

ke titik exp uOslash= coshOslash + sinhOslash adalah 12Oslash

Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar

interpretasi bilangan kompleks perkalian

r1exp i θ1r2exp i θ2=r1 r2 exp [i(θ1+ θ2) ]

Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris

bilangan hiperbolik perkalian tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi

menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic

A Invers hiperbolik

Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai pada saat mencari nilai fungsi

hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y Invers berarti kebalikanya

yaitu yang diketahui sumbu y yang akan dicari adalah sumbu x

Notasi invers hiperbolik

Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111

frac12 (exminuseminusx) = 2111

sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x

exminuseminusx = 4222

exminus 1

ex = 4222

(ex iquest2 ndash 1 = 4222 ex

(ex iquest2 ndash 4222 ndash 1 = 0

Dengan menggunakan rumus abc

ex=4222plusmnradic42222minus4 1 (minus1)

2

ex=4446 atau ex=minus0224

dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula maka

jawaban yang tepat adalah

ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung

x = 2111 hyp shift sin = 1492

MENGHITUNG HARGA FUNGSI HIPERBOLIK

Harga sinh x cosh x dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari

dalam tabel

tetapi untuk harga x lainnya harga fungsi hiperbolik ini harus kita

hitung sendiri

JAWAB

Contoh 1 Menghitung sinh 1275 =

sinh x = frac12 (ex ndash e -x)

sinh 1275 = frac12 (e1275 ndash e -1275)

Dengan menggunakan kalkulator didapat

e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794

Jadi sinh 1275 = frac12 (3579 ndash 0279)

= frac12 (3300) = 165

Jadi sinh 1275 = 165

Contoh 2 Menghitung cosh 2156 =

cosh x = frac12 (ex + e -x)

cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377

Contoh 3 Menghitung tanh 127 =

tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854

MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

Menghitung tanh-1 0623 =

ARTINYA tanh x = 0623 = 0623

e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299

Identitas hiperbolik

coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x

cosh2 x - sinh2 x = 1

sech2 x = 1 - tanh2 x

cosech2 x = 1 - coth2 x

sinh 2x = 2 sinh x cosh x

cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka

G B Thomas Jr CALCULUS Addison-Wesley 1953

wwwgooglecom

Bilangan hiperbolik



lingkaran perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik selalu berubah-

rubah dan membentuk pola yang sama

Pemanfaatan persamaan hiperbolik dibidang teknik elektro sangat

banyak sekali namun pada pertemuan ini diambil pada saluran panjang

transmisi tenaga listrik Kemampuan menyelesaikan persoalan saluran

panjang ditunjang oleh pemakaian bilangan kompleks pada persamaan

hiperbolik Bekal yang diberikan akan bermanfaat untuk penerapan-

penerapan yang lain di bidang intra teknik elektro maupun antar bidang


exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan

hasil dari penjumlahan sebuah deret

Persamaan bil kompleks dan hiperbolik

Bentuk terakhir dalam persamaan bilangan komplek adalah exponensial

Yaitu

apa titik temu kedua persamaan ini adalah exponensial

Persamaan bilangan kompleks

bila dijumlahkan

hiperbolik ANGKA









mencakup i imajiner

Bilangan hiperbolik






Jumlah hiperbolik

|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2



(i2))


dengan non-negatif


Kita memilih

Di mana










ex=1+x+ x2

2+ x3

3 + x4

4 +hellip





2

Cosh x= ex+eminusx

2



tgh x=sinh xcosh x

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik


dari



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi


a Grafik dari dan


b Grafik





c Grafik




d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

hiperbolik ANGKA









mencakup i imajiner

Bilangan hiperbolik






Jumlah hiperbolik

|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2



(i2))


dengan non-negatif


Kita memilih

Di mana










ex=1+x+ x2

2+ x3

3 + x4

4 +hellip





2

Cosh x= ex+eminusx

2



tgh x=sinh xcosh x

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik


dari



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi


a Grafik dari dan


b Grafik





c Grafik




d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

|w|j = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2



(i2))


dengan non-negatif


Kita memilih

Di mana










ex=1+x+ x2

2+ x3

3 + x4

4 +hellip





2

Cosh x= ex+eminusx

2



tgh x=sinh xcosh x

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik


dari



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi


a Grafik dari dan


b Grafik





c Grafik




d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom









ex=1+x+ x2

2+ x3

3 + x4

4 +hellip





2

Cosh x= ex+eminusx

2



tgh x=sinh xcosh x

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik


dari



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi


a Grafik dari dan


b Grafik





c Grafik




d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

ex=1+x+ x2

2+ x3

3 + x4

4 +hellip





2

Cosh x= ex+eminusx

2



tgh x=sinh xcosh x

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik


dari



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi


a Grafik dari dan


b Grafik





c Grafik




d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom



Definisi

Dalam bentuk deret



Definisi


a Grafik dari dan


b Grafik





c Grafik




d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom





c Grafik




d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom



d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

d Grafik dan

Jika maka

e Grafik



Untuk maka

Untuk maka

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

f Grafik dan




dan


jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

jika dikuadratkan





Jika ditambahkan

Jika dikurangkan

dan substitusi

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

Contoh penggunaan










eksponensial








cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom





cosh z=12


( ezminuseminusz )



tanh z=sinh zcosh z

coth z=cosh zsinh z

sec hz= 1cosh z

csc hz= 1sinh z

Hubungan

fungsi

hiperbolik

dengan

fungsi

trigonometr

i

1 cosh iz = cos z

2 sinh iz = i sin z

3 cos iz = cosh z

4 sin iz = i sinh z

Bukti

1 Karena

cosh z=12


dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

dengan iz diperoleh

cosh iz=12


4 Karena

sin z= 12i



dengan iz diperoleh

sin iz=12i


12 i

(eminus zminuse

z)=minus12i

(ezminuse

minusz )

iquest i212i



Sifat-sifat

fungsi

hiperbolik


bilangan bulatmaka



3sinh z=sinh z

4cosh z=cosh z

5tanh z=tanh z









14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom






14cosh(-z) = cosh z





19cosh(iz) = cosh z





ddz




ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

ddz

(cosh z )=sinh zddz


ddz



ddz



oleh





menebak


cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

cosh (x)

sinh (x)





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom





menjadi ini

3 Derivatif


bodoh



5 Identitas


1 jika


Pythagoras




Anda mendapatkan


istilah

2


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom


lain


perlu cepat








Trigonometrik

yaitu



polar













dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom












dibatasi oleh















A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom




A Invers hiperbolik





Rumus

Atau

Kasus Soal

sinhminus12111

Jawab

cara dengan rumus

sinhminus12111=x

Sama dengan

Sin x = 2111


sinhminus1 y=x

coshminus1 y=x


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom


exminus 1

ex = 4222





2




ex=4446

X = ln 4446

X = 1492

cara langsung




dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom



dalam tabel


hitung sendiri

JAWAB





e1275 = 3579 dan e --1275 = (1 3759) = 02794


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom


= frac12 (3300) = 165




cosh 2156 = frac12 (e2156 + e -2156)


e2156 = 8637 dan e -2156 = (1 8637) = 0116

Jadi cosh 2156 = frac12 (8637 + 0116)

= frac12 (8753) = 4377

Jadi cosh 2156 = 4377


tanh x =

tanh 127 =

Jadi tanh 127 = =

tanh 127 = 0854




e-x - e-x = 0623 (ex + e-x)

e-x - e-

x

e-x + e-

x

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

(1 ndash 0623) ex = (1 + 0623) e-x

0377 ex = (1623 e-x

= 1623e2

MAKA (ex)2 = 1623 0377

= 2073 jadi tanh-1 0623 = 0730

x = ln 2073

= 07299


coth x = 1 tanh x

sech x = 1 cosh x

cosech x = 1 sinh x






= 1 + (2 sinh2 x)

= (2 cosh2 x) + 1

Daftar pustaka


wwwgooglecom

Daftar pustaka


wwwgooglecom

Documents

bilangan hiperbolik