Le osservazioni possono essere qualitative o quantitative:

• qualitative: osservazioni non numeriche, rispondono alla domanda “quale”.• quantitative: osservazioni numeriche, rispondono alla domande “quanto”.

Le osservazioni quantitative vengono anche chiamate misure.

Le misure sono osservazioni quantitative

• MISURE

Le misure:

• implicano sempre un confronto;• sono sempre espresse con un’unità di misura;• hanno un certo grado di incertezza dovuto a

limitifisici dell’osservatore e dello strumento adoperato

per fare la misura.

I numeri sono esatti, le misure sono inesatte.

L’incertezza è anche chiamata errore.

• LE MISURE SONO OSSERVAZIONI QUANTITATIVE

In ambito scientifico viene adoperato il Sistema Internazionale delle Unità di misura (abbreviato SI)Il SI è basato su un gruppo di sette unità fondamentali:

Le misure sono sempre espresse con unità di

misura

• MISURE

Le unità derivate sono ricavate dalle sette unità fondamentali:

• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA

Le unità fondamentali spesso sono troppo grandi o troppo piccole per esprimere una misura.

I multipli o sottomultipli decimali permettono di adattare le dimensioni delle unità di misura.

• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA

Grandezze estensive

massal’unità di misura è il kilogrammo (kg)

volumel’unità di misura è il litro (L)

lunghezzal’unità di misura è il metro (m)

Le grandezze estensive, come lunghezza, volume e massa, dipendono dalle dimensioni del campione.

2. Grandezze estensive e grandezze intensive • LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA

Le grandezze intensive, come densità, peso specifico, temperatura di ebollizione e temperatura di fusione, non dipendono dalle dimensioni del campione.

2. Grandezze estensive e grandezze intensive

Grandezze intensive

densità

peso specifico

temperatura di ebollizione

temperatura di fusione

• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA

Ancora oggi vengono adoperate alcune unità di misura non appartenenti al SI:

• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA

Misura Nome Simbolo Valore

lunghezza angstrom Å 10-10 m

massa tonnellata t 103 kg

tempo minutoora

minh

60 s3600 s

volume litro l 10-3 m3

È utile ricordare che: 1 l = 1 dm3 = 1000 cm3 = 1000 ml

La massa di un oggetto viene determinata con la bilancia La temperatura viene misura con un termometro. Il suo valore viene espresso comunemente in gradi Celsius (°C):

• LE MISURE SONO SEMPRE ESPRESSE CON UNITÀ DI MISURA

Rapporto tra la scala kelvin (SI), e la scala Celsius.− Il grado kelvin ha esattamente la stessa ampiezza del grado Celsius.−Lo zero della scala Kelvin viene detto zero assoluto.− La conversione Kelvin-Celsius è possibile con la seguente espressione:TK = (tC + 273,15 °C) (1K/1 °C)

La differenza tra una misura ed il valore “reale” è detta errore.

Gli errori sono dovuti a limitazioni intrinseche nelle procedure di misurazione.

In campo scientifico si registrano tutte le cifre di una misura compresa la prima cifra incerta.

Le cifre ottenute da una misurazione, di cui l’ultima a destra non è nota con certezza, sono dette cifre significative.

Le misure hanno sempre un certo grado di incertezza

• MISURE

Un maggior numero di cifre significative e quindi una minore incertezza si ottiene adoperando uno strumento più preciso.

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Il termometro a sinistra indica una temperatura di 24.3 ºC (3 cifre significative). Il termometro a destra, più preciso, indica una temperatura di 24.32 ºC (4 cifre significative).

Gli errori possono derivare da:

• lettura non corretta della scala• uso scorretto dello strumento di misura• dilatazione o contrazioni legate a variazioni di

temperatura

Ogni misura può essere accompagnata da errori. Ne esistono di due tipi:

• sistematici, per esempio a causa di strumenti di cattiva qualità;• accidentali, a causa di cambiamenti delle condizioni durante la misurazione.

Cercando di ridurre al minimo questi due tipi di errore si può ottenere una misura accurata. Gli errori possono essere limitati effettuando una serie di misure della stessa grandezza.

Si stima il valore centrale calcolando la media.

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Spesso ripetendo le misure si ottengono valori diversi. Si assume allora come risultato il valore medio delle varie misure

Se la grandezza è stata misurata poche volte si assume come errore assoluto la semidifferenza tra il massimo e il minimo valore misurato.

5. Misure precise e misure accurate • LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Il valore medio e l’errore assoluto

misure delle numero

misure delle sommamedio valore

2

minimo valoremassimo valoreassoluto errore

Errore Relativo

Non sempre l’errore assoluto ci offre una stima efficiente del “peso” dell’errore stesso sulla misura. È più grave commettere un errore di 1 cm su 1 m, o di 1 m su 1 km? Sicuramente è più grave il primo. Perché?

Chiamiamo Errore Relativo er il rapporto:

ovaloremedi

ee assolutor

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Errore Relativo

Ora vediamo il perché della risposta precedente. Nel primo caso abbiamo un errore relativo

01.01

01.0

m

mer

mentre nel secondo caso abbiamo

001.01000

1

m

mer

che è più piccolo del primo.

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Errore Percentuale

Quando si fanno tante misure di una grandezza, siamo in grado di scartare quelle misure che sono fuori da un intervallo accettabile. L’Errore Percentuale ep, definito come segue, ha proprio questo scopo:

100 rp ee

e si esprime come percentuale, cioè col simbolo “%”.

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Errore Percentuale

Tornando alla domanda precedente possiamo dire che nel primo caso avevamo

ep = 0.01×100 = 1%mentre nel secondo caso

ep = 0.001×100 = 0.1%

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Propagazione degli errori

Quando si eseguono misure indirette, cioè quando si fanno calcoli con le misure di grandezze (per esempio calcoli di aree o volumi), gli errori si propagano nei calcoli. Vediamo come risultano l’errore assoluto e relativo a seguito di operazioni matematiche.

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Somma e differenza

Se X è una misura indiretta, ottenuta dalla somma o dalla differenza di due misure omogenee a e b, allora

ea(X) = ea(a) + ea(b).Gli errori assoluti di a e b si sommano

sempre, indipendentemente dal fatto che la misura X sia ottenuta come somma o come differenza tra a e b.

Il tutto vale anche se le misure sono più di due.

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Prodotto e quoziente

Se X è una misura indiretta, ottenuta dal prodotto o dal quoziente di due misure a e b, allora

er(X) = er(a) + er(b).Gli errori relativi e percentuali di a e b si

sommano sempre, indipendentemente dal fatto che la misura X sia ottenuta come prodotto o come quoziente tra a e b.

Il tutto vale anche se le misure sono più di due.

• LE MISURE HANNO SEMPRE UN CERTO GRADO DI INCERTEZZA

Le misure sono riportate secondo la convenzione delle cifre significative

• MISURE

Regole per determinare il numero di cifre significative:

• Le cifre diverse da zero sono sempre significative.• Gli zero compresi tra cifre diverse da zero sono sempre significativi.• Gli zeri posti all’estrema destra di una cifra decimale sono significativi.• Gli zeri all’estrema sinistra di un numero decimale non sono mai significativi.

• il numero di cifre significative non varia cambiando l’unità di misura.

Esempi

12.45 ha 4 cifre significative47.3 ha 3 cifre significative0.34 ha 2 cifre significative0.340 ha 3 cifre significative23.073 ha 5 cifre significative10.0220 ha 6 cifre significative0.001 ha 1 cifra significativa

• MISURE

Quando le misure sono espresse con la notazione esponenziale le cifre significative sono quelle del numero decimale che precede la potenza del 10.

Il numero di cifre significative è indipendente dall’unità (multipli o sottomultipli) utilizzata.

Nei calcoli che coinvolgono dati sperimentali bisogna considerare il numero di cifre significative con cui sono espresse le misure.

• LE MISURE SONO RIPORTATE SECONDO LA CONVENZIONE DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE

Calcoli con le cifre significative:

• Moltiplicazioni e divisioni: il numero delle cifre significative del risultato non deve essere più grande del numero di cifre significative del fattore con minor precisione.

• LE MISURE SONO RIPORTATE SECONDO LA CONVENZIONE DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE

Calcoli con le cifre significative:

• Addizioni e sottrazioni: il risultato deve contenere lo stesso numero di decimali della misura che ne contiene il minor numero

Nota: i numeri sono esatti quindi i numeri derivati da una definizione o da un conteggio diretto sono chiamati numeri esatti e si assume che abbiano un numero infinito di cifre significative.

• LE MISURE SONO RIPORTATE SECONDO LA CONVENZIONE DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE

3,247 3 cifre decimali 41,36 2 cifre decimali +125,2 1 cifra decimale 169,8 risultato arrotondato a 1 cifra decimale

La massa è la misura della resistenza che un corpo oppone alla variazione del suo stato di quiete e di moto.

Sulla Terra il peso di un corpo (misurato in newton) è pari alla forza con cui la sua massa viene attratta dalla Terra

P = m g dove:P è il peso del corpom è la massa del corpo g è l’accelerazione di gravità (9,8 m/s2)

2. Grandezze estensive e grandezze intensive • Massa e peso

La densità è una proprietà intensiva molto utile

• Densità

La densità (d) è una proprietà intensiva definita come il rapporto tra massa (m) e volume (v), d = m/v.

Ogni sostanza pura ha un suo valore di densità caratteristico.A temperatura ambiente:

La maggior parte delle sostanze espande quando viene scaldata.

La densità dipende dalla temperatura.Per l’acqua:

Il valore di 1,00 g/cm3 per l’acqua può essere usato quando l’acqua è a temperatura ambiente e sono richieste solo tre cifre significative.

• LA DENSITÀ È UNA PROPRIETÀ INTENSIVA MOLTO UTILE

La densità (kg/m3) di un corpo è il rapporto fra la sua massa e il suo volume:

d = m/V

Il peso specifico (N/m3) di un corpo è il rapporto fra il suo peso e il suo volume, ovvero corrisponde al prodotto della densità per l’accelerazione di gravità

Ps = P/V = m g/V = d g

2. Grandezze estensive e grandezze intensive • LA DENSITÀ È UNA PROPRIETÀ INTENSIVA MOLTO UTILE

Il valore numerico della densità di una sostanza dipende dalle unità di misura adoperate per esprimere la massa e il volume.

La densità relativa di una sostanza è definita come il rapporto tra la densità della sostanza stessa e l’acqua:

La densità relativa di una sostanza:• è minore di uno per le sostanze meno dense dell’acqua;• è più grande di uno per le sostanze più dense dell’acqua;• è indipendente dalle unità di misura.

• LA DENSITÀ È UNA PROPRIETÀ INTENSIVA MOLTO UTILE