IL TEOREMA DI GDEL

INDICE

NOTAZIONI UTILIZZATE NELLA PRESENTE ESPOSIZIONE

DEFINIZIONE DI TEORIA ASSIOMATICA DEL PRIMO ORDINE

UN SISTEMA DI ASSIOMI PER L'ARITMETICA

FUNZIONI E RELAZIONI NUMERICHE

FUNZIONI RICORSIVE PRIMITIVE E FUNZIONI RICORSIVE

ARITMETIZZAZIONE. I NUMERI DI GDEL.

IL TEOREMA DEL PUNTO FISSO. IL TEOREMA DI INCOMPLETEZZA DI GDEL

INDECIDIBILITA' RICORSIVA. TEOREMA DI CHURCH.

NOTAZIONI FREQUENTEMENTE UTILIZZATE NELLA PRESENTE ESPOSIZIONE back to index

fbf sta per "formula ben formata" del linguaggio A B(x) indica una fbf che contiene, tra i simboli di variabili non oggetto di quantificazione

universale o esistenziale la variabile x.

S B(x) sta per "B(x) un teorema della teoria S" Il simbolo "" indica un metateorema, formulato in un metalinguaggio che descrive la teoria

S anzich una formula nel linguaggio proprio di tale teoria.

Il linguaggio che viene studiato (in questo caso A) chiamato linguaggio oggetto, mentre

il linguaggio in cui formuliamo e proviamo proposizioni circa il linguaggio oggetto

chiamato metalinguaggio. Il metalinguaggio potrebbe anche essere formalizzato e essere

soggetto di studio a sua volta, studio che sar condotto con un meta-metalinguaggio e cos

via. Per fare un esempio di linguaggio oggetto e metalinguaggio, pensiamo ad un corso di

sanscrito. Il sanscrito il linguaggio oggetto, mentre il metalinguaggio, il linguaggio che

usiamo per parlare del sanscrito l'italiano. La distinzione tra prova e metaprova (cio una

prova nel metalinguaggio) conduce a una distinzione tra teoremi del linguaggio oggetto e

(meta)teoremi del metalinguaggio. Metamatematica lo studio dei linguaggi oggetto logici

e matematici.

DEFINIZIONE DI TEORIA ASSIOMATICA DEL PRIMO ORDINE back to index

Una teoria formale S definita quando sono soddisfatte le seguenti condizioni:

E' dato un insieme contabile (cio finito o numerabile) di segni come simboli di S. Una

sequenza finita di simboli di S chiamata espressione di S.

Esiste un sottoinsieme dell'insieme delle espressioni di S chiamato l'insieme delle formule

ben formate (fbf) di S. Deve esistere una procedura definita per stabilire se una data

espressione una fbf.

C' un insieme di fbf chiamate l'insieme degli assiomi di S. Deve esistere un modo per

stabilire se una fbf un assioma. In tal caso S chiamata teoria assiomatica.

C' un insieme finito R1, , Rn di relazioni tra fbf, chiamato regole di inferenza. Per ogni Ri

c' un unico intero positivo j tale che, per ogni insieme di j fbf e ogni fbf B si pu stabilire se

le j fbf date sono nella relazione Ri con B e, se cos, B detto seguire da o essere una diretta

conseguenza della menzionata fbf in virt di Ri.

Un esempio di regola di inferenza la regola modus ponens: C segue da B e da B C.

Questa non altro che una relazione tra tutte le triple ordinate B, B C, C dove B e C sono

fbf arbitrarie del sistema formale.

Una prova una sequenza B1, , Bk di fbf tale che, per ogni i, o Bi un assioma di S o Bi

una diretta conseguenza di qualcuna delle precedenti fbf nella sequenza in virt di una delle

regole di inferenza di S.

Un teorema di S una fbf B di S tale che B l'ultima fbf di qualche prova di S. Tale prova

chiamata prova di B in S.

Anche se S assiomatico, cio esiste una procedura definita per stabilire se una qualsiasi fbf

sia un assioma, la nozione di "teorema" non necessariamente definita dal momento che, in

generale, non c' una procedura definita per determinare, data una fbf B, se c' una prova di

B. Una teoria per la quale esiste una tale procedura chiamata teoria decidibile, altrimenti

teoria indecidibile.

Se una teoria decidibile, idealmente una macchina logica pu essere creata per testare se le

fbf sono teoremi laddove, per una teoria indecidibile, necessaria la creativit del logico per

stabilire se le fbf sono teoremi

Una fbf detta essere una conseguenza in S di un insieme di fbf se e solo se c' una

sequenza B1, , Bk di fbf tali che C in Bk e, per ogni i, o Bi un'assioma o Bi appartiene a

o una diretta conseguenza, mediante qualche regola di inferenza, di qualcuna delle

precedenti fbf nella sequenza. Una tale sequenza chiamata prova (o deduzione) di C da .

I membri di sono chiamati le ipotesi o premesse della prova. Viene utilizzata l'espressione

" C" come abbreviazione per "C una conseguenza di " e talvolta " S C" per indicare

che la deduzione avviene nel contesto della Teoria S.

Se un insieme finito possiamo scrivere "{B1, , Bm} C" o "B1, , Bm C". Se

l'insieme vuoto scriviamo " C" per indicare che C ovviamente un teorema.

Normalmente, in questo caso, si omette il simbolo "" e si scrive " C" per indicare che C

un teorema.

Per teoria del primo ordine si intende una teoria formale le cui fbf sono scritte impiegando

i simboli del linguaggio logico del primo ordine, come ad esempio: x1 x2 x3 (R11(x1,0)& R12(f12(x1,x2),x3)) Un linguaggio logico del primo ordine impiega come simboli logici gli usuali connettivi

logici "&", ", "", "", ecc. e in pi il quantificatore universale "" e il quantificatore

esistenziale "". Come simboli non logici impiega i simboli Rmn di relazione, quelli fmn di

funzione, le variabili individuali xi e le costanti individuali ui. In un linguaggio logico del

primo ordine, a differenza che in un linguaggio del secondo ordine, la quantificazione

universale ed esistenziale ammessa solo in riferimento alle variabili individuali, mentre non

ammessa in riferimento a propriet o funzioni o formule.

UN SISTEMA DI ASSIOMI PER L'ARITMETICA back to index

Gli assiomi di Peano per la descrizione dell'aritmetica sono i seguenti: (P1) 0 un numero naturale

(P2) Se x un numero naturale, c' un altro numero naturale denotato con x' (e chiamato il

successore di x)

(P3) 0 x' per ogni numero naturale x

(P4) Se x' = y' allora x = y

(P5) (Principio di induzione matematica) Se Q una propriet che potrebbe o potrebbe non

valere per ogni numero naturale e se:

0 ha la propriet Q

Se un numero naturale x ha la propriet Q allora x' ha la propriet Q

allora tutti i numeri naturali hanno la propriet Q Questi assiomi, insieme ad un certo numero di concetti di teoria degli insiemi, possono essere

usati per sviluppare non solo la teoria dei numeri naturali, ma anche la teoria dei numeri razionali,

reali e complessi.

Tuttavia questi assiomi utilizzano nozioni intuitive e non rigorosamente formulate come quella

di "propriet", che impediscono una formalizzazione rigorosa. Pertanto i matematici hanno

costruito una Teoria S del primo ordine basata sui postulati di Peano e adeguata per ottenere tutti

i risultati di base della matematica.

Il linguaggio A della teoria S sar chiamato il linguaggio dell'aritmetica. A ha un'unica lettera

predicato A12. Scriveremo t = s per A12(t,s). A ha un'unica costante individuale a1. Useremo 0

come notazione alternativa per a1. Infine, A ha tre lettere funzioni f12, f12, f22. Scriveremo t' invece

di f11(t), (t + s) invece di f12(t,s) e (t s) invece di f22(t,s).

Gli assiomi propri di S sono: (S1) x1 = x2 (x1 = x3 x2 = x3)

(S2) x1 = x2 x1' = x2'

(S3) 0 x1'

(S4) x1' = x2' x1 = x2

(S5) x1 + 0 = x1

(S6) x1 + x2' = (x1 + x2)'

(S7) x1 0 = 0

(S8) x1 (x2)' = (x1 x2) + x1

(S9) B(0) (x B(x) B(x')) x B(x)) per ogni fbf B(x) di S. Chiameremo (S9) principio di induzione matematica. Si noti che (S9) non un singolo assioma,

ma uno schema di assiomi.

Una teoria che ha gli stessi teoremi di S spesso indicata come aritmetica di Peano o

semplicemente come PA.

Da (S9), mediante MP, otteniamo la regola di induzione:

B(0), x B(x) B(x') S x B(x) Dagli assiomi di Peano sono immediatamente derivabili anche le regole dell'uguaglianza.

Quindi S una teoria con identit. Sia data una interpretazione di S con i seguenti caratteri:

il dominio l'insieme degli interi non-negativi

l'intero 0 l'interpretazione del simbolo 0

l'operazione successore (addizione di 1) l'interpretazione della funzione f11

l'addizione e la moltiplicazione consuete sono le interpretazioni di + e

l'interpretazione della lettera predicato = la relazione identit

Questa interpretazione un modello normale di S, chiamato l'interpretazione standard o il

modello standard.

L'aumentata astrattezza della matematica a partire dalla fine dell'Ottocento sollev un problema

importante. Sorse infatti la questione se un dato insieme di postulati, posti a fondamento di un

sistema, sia coerente, in maniera tale cio che non sia possibile dedurre teoremi mutuamente

contraddittori dai postulati stessi. Il problema non sembra urgente quando si sceglie un insieme

di assiomi concernenti un gruppo ben definito e familiare di oggetti; in questo caso, infatti, non

solo importante domandarsi, ma pu anche essere possibile accertarsi, se gli assiomi sono

realmente veri riguardo a quegli oggetti. Dal momento che gli assiomi euclidei erano ritenuti

universalmente come affermazioni vere sullo spazio (o sugli oggetti nello spazio), nessun

matematico, prima del diciannovesimo secolo, consider mai la questione se un giorno potessero

venir dedotti dagli assiomi due teoremi contraddittori. La base di questa fiducia nella coerenza

della geometria euclidea il sano principio che affermazioni logicamente incompatibili non

possono essere simultaneamente vere; secondo questo principio, se un insieme di proposizioni

vero (e tali erano considerati gli assiomi euclidei), allora queste proposizioni sono mutuamente

coerenti.

Se riconosciamo l'interpretazione standard come modello per S, allora, naturalmente, S

coerente. Tuttavia questo tipo di argomentazione semantica, che implica ragionamenti di teoria

degli insiemi, considerato da alcuni troppo insicuro per servire come base delle prove di

coerenza. Perdipi, il lettore badi bene che qui non stata provata in modo rigoroso che gli

assiomi di S sono veri nell'interpretazione standard; lo abbiamo solo considerato intuitivamente

ovvio. Per queste e altre ragioni, quando la coerenza di S viene invocata nell'argomentazione di

una prova (es. tramite la reductio ad absurdum) pratica comune considerare l'affermazione sulla

coerenza di S come una assunzione esplicita non provata.

I termini 0, 0', 0'', sarenno chiamati numerali e denotati da 0 , 1 , 2 , ecc. Pi precisamente, 0

0 e, per ogni numero naturale n, n +1 (n )'. Qualsiasi modello di S infinito

Per ogni numero cardinale , S ha un modello normale di cardinalit . In S introdotta una relazione di ordine: t < s sta per w (w 0 & w + t = s)

t s sta per t < s t = s

t > s sta per s < t

t s sta per s t

t s sta per ( t < s)

eccetera

(principio di induzione completa) S z (z < x B(z)) B(x)) x B(x)

(principio del numero pi basso o least number principle) S x B(x) y (B(y) & z (z

< y B(z))): "se la propriet P vale per qualche numero naturale, allora esiste un numero

pi basso che soddisfa P". (metodo della discesa infinita) S x B(x) y (y < x & B(y))) x B(x)

Per "t|s" intendiamo z (s = t z)

Utilizzando la teoria S si pu tradurre in S e provare qualsiasi risultato di aritmetica elementare

contenuto nei testi correnti. Tra le funzioni traducibili in S ci sono funzioni numeriche come xy e

x!

Alcuni risultati aritmetici standard, come il teorema di Dirichlet, sono provati con l'aiuto della

teoria delle variabili complesse, e a tutt'oggi non si sa se di tali teoremi esistono prove elementari

(cio prove in S). La formulazione di alcuni risultati aritmetici coinvolge concetti non-elementari,

come la funzione logaritmica, e, tranne che in casi speciali, questi risultati non possono neanche

essere formulati in S.

Come vedremo successivamente, ci sono fbf chiuse che non sono n provabili n non-provabili

in S, se S coerente; dunque c' una fbf che vera nell'interpretazione standard ma non

provabile in S. Vedremo anche che questa incompletezza di S non pu essere soltanto attribuita

all'omissione di qualche assioma essenziale, ma ha cause pi profonde, che sono comuni anche

ad altre teorie. Esistono modelli non-standard per S di qualsivoglia cardinalit

Esistono almeno 20 modelli non-isomorfi di S di cardinalit

FUNZIONI E RELAZIONI NUMERICHE back to index

Una funzione numerica una funzione i cui argomenti e i cui valori sono numeri naturali e una

relazione numerica una relazione i cui argomenti sono numeri naturali. Ad esempio una

moltiplicazione una funzione numerica a due argomenti, mentre l'espressione x + y < z

determina una relazione numerica a tre argomenti. Le funzioni e le relazioni numeriche sono

intuitive e non sono inserite in nessun sistema formale.

Sia K una teoria nel linguaggio A dell'aritmetica. Una relazione numerica R(x1, , xn) si dice

relazione esprimibile in K se e soltanto se esiste una fbf A(x1, , xn) di S con n variabili libere

tali che: per ogni numero naturale k1, , kn, (1) Se R(k1, , kn) vera, allora S A(k 1,, k n) (2) Se R(k1, , kn) falsa, allora S A(k 1, , kn) Sia K una teoria con identit nel linguaggio A dell'aritmetica. Una funzione numerica f(x1, ,

xn) si dice funzione rappresentabile in K se e soltanto se esiste una fbf A(x1, , xn+1) di S con

le variabili libere x1, , xn+1 tali che per ogni numero k1, , kn+1: (1) se f(k1, , kn) = kn+1, allora S A(k 1, , kn, k n+1) (2) S (E1 xn+1) A(k1, , k n, xn+1)

Se in questa definizione si sostituisce al posto della (2) la (2') S (E1 xn+1) A(x1, , xn, xn+1) allora la funzione si dir fortemente rappresentabile in S. Si noti che la (2') implica la (2).

Perci ogni funzione fortemente rappresentabile anche rappresentabile. L'inverso anch'esso

vero:

Se f(x1, , xn) rappresentabile in K, allora fortemente rappresentabile in K Poich si tratta di propriet equivalenti, d'ora in poi le utilizzeremo in modo intercambiabile.

Una funzione rappresentabile in K rappresentabile in ogni estensione di K Se R(x1, , xn) una relazione, allora la funzione caratteristica CR(x1, , xn) si definisce come

quella funzione che ha valore 1 se R(x1, , xn) vera, mentre ha valore 0 se R(x1, , xn) falsa. [1305221653] Data una teoria K con identit nel linguaggio A tale che K 0 1 allora una relazione

numerica R(x1, , xn) esprimibile in S se e soltanto se CR(x1, , xn) rappresentabile in K

FUNZIONI RICORSIVE PRIMITIVE E FUNZIONI RICORSIVE back to index

Le seguenti funzioni sono chiamate funzioni iniziali.

(I) La funzione zero, Z(x) = 0 per ogni x

(II) La funzione successore, N(x) = x + 1 per ogni x

(III) La funzione proiezione, Uin(x1, , xn) = xi per tutte le xi, , xn Le seguenti sono regole per ottenere nuove funzioni da funzioni date:

(IV) Sostituzione:

f(x1, , xn) = g(h1(x1, , xn), , hm(x1, , xn))

f si dice ottenuta per sostituzione dalle funzioni

g(y1, , ym)

h1(x1, , xn)

hm(x1, , xn)

La sostituzione vale anche nel caso che ogni hi sia una funzione di una parte soltanto delle

variabili.

(V) Recursione

f(x1, , xn, 0) = g(x1, , xn)

f(x1, ,xn, y +1) = h(x1, , xn, y, f(x1, , xn,y))

Se poniamo n = 0 abbiamo la formula ricorsiva consueta:

f(0) = k dove k un numero naturale fissato

f(y +1) = h(y, f(y))

Si dice che f ottenuta da g e h (nel caso n = 0 dal solo h) per recursione. I parametri

della recursione sono x1, , xn

(VI) -operatore ristretto

Sia g(x1, , xn, y) una funzione tale che per ogni x1, , xn c' almeno un y tale che g(x1,

, xn y) = 0. Denotiamo con y(g(x1, , xn, y) = 0) il minimo numero y tale che g(x1,

, xn, y) = 0.

In generale, per ogni relazione R(x1, , xn) denotiamo con yR(x1, , xn, y) il minimo

y tale che R(x1, , xn, y) sia vero, se un tale y esiste.

Se f(x1, , xn) = y(g(x1, , xn, y) =0) allora si dice che f ottenuto da g per mezzo

del -operatore ristretto se per ogni x1, , xn esiste almeno un y tale che g(x1, , xn, y) =

0 Una funzione si dice funzione ricorsiva primitiva se e soltanto se pu essere ottenuta dalle

funzioni iniziali per mezzo di un numero finito di sostituzioni (IV) e ricorsioni (V)

Una funzione f si dice funzione ricorsiva se e soltanto se pu essere ottenuta dalle funzioni

iniziali per mezzo di un qualsiasi numero finito di sostituzioni (IV), ricorsioni (V) e -operatore

ristretto (VI). Ogni funzione ricorsiva primitiva ricorsiva, mentre il contrario falso Sia g(y1, , yk) una funzione ricorsiva (primitiva). Siano x1, , xn distinte variabili e per 1

i k, sia zi una delle variabili x1, , xn. Allora la funzione f tale che f(x1, , xn) = g(z1, ,

zk) ricorsiva (primitiva). Quest'ultimo teorema consente di produrre nuove funzioni ricorsive con i seguenti metodi:

Aggiunta di variabili fittizie: f(x1, x2, x3) = g(x1, x3). La variabile x2 detta variable fittizia,

perch irrilevante per il valore della funzione.

Permutazione di variabili: f(x1, x2, x3) = g(x3, x1, x2)

Identificazione di variabili: f(x1, x2) = g(x1, x2, x1) La funzione zero ricorsiva primitiva La funzione costante Ckn(x1, , xn) = k con k numero naturale fissato, ricorsiva primitiva Ecco un elenco esemplificativo di funzioni ricorsive primitive: x + y

x y

xy

La funzione predecessore:

(x)

0 x se0

0 x se1x

x y

y x se0

y x seyx

|x y|

y x se

y x se

xy

yx

sg(x)

0 x se1

0 x se0

s g(x)

0 x se0

0 x se1

x!

min(x1, , xn)

max(x1, , xn)

rm(x,y) = resto della divisione di y per x

qt(x,y) = quoziente della divisione di y per x

Definizioni di somme limitate e prodotti limitati.

0 z se)1,,...,(...)0,,...,(

0 z se0),,...,(

111

zxxfxxfyxxf

nnzy

n

1

11 ),,...,(),,...,(

zy

n

zy

n yxxfyxxf

0 z se)0,,...,(

0 z se1),,...,(

11

nzy

nxxf

yxxf

1

11 ),,...,(),,...,(

zy

n

zy

n yxxfyxxf

Possiamo anche definire somme doppiamente limitate e prodotti doppiamente limitati in

termini di quelli gi dati; per esempio:

)1,,...,(...)1,,...,(),,...,( 111 vxxfuxxfyxxf nnvyu

n

Se f(x1, , xn, y) ricorsiva primitiva (ricorsiva), allora tutte le somme e i prodotti limitati

definiti come sopra sono ricorsive primitive (ricorsive) Date delle espressioni per relazioni numeriche possiamo applicare i connettivi del calcolo

proposizionale ad esse per ottenere nuove espressioni per relazioni. Per esempio, se R1(x,y) e

R2(x,u,v) sono relazioni, allora R1(x,y)& R2(x,u,v) una nuova relazione tra x,y,u,v.

Useremo yy

Per x> 0 sia (x) il numero degli esponenti non-zero nella fattorizzazione di x in potenze di

primi o, equivalentemente, il numero di primi che divide x.

Ogni intero positivo x ha una fattorizzazione unica in potenze di numeri primi. Se il numero: x = 2a03a1pkak usato per "rappresentare" o "codificare" la sequenza di interi positivi a0, , ak, e il numero: y = 2b03b1pmbm "rappresenta" la sequenza b0, , bm, allora il numero: x * y = 2a03a1 pkakpk+1b0pk+2b1 pk+1+mbm "rappresenta" la nuova sequenza a0, , ak, b0, , bm ottenuta giustapponendo le due sequenze.

Qui (y)j usato per indicare bj quando y = 2b03b1pmbm "rappresenta" la sequenza b0, , bm Sia

vale),...,( se),...,(

vale),...,( se),...,(

vale),...,( se),...,(

),...,(

11

1212

1111

1

nknk

nn

nn

n

xxRxxg

xxRxxg

xxRxxg

xxf

Se le funzione g1, , gk e le relazioni R1, , Rk sono ricorsive primitive (ricorsive) e se, per

ogni x1, , xn esattamente una delle relazioni R1(x1, , xn), , Rk(x1, , xn) vera, allora f

ricorsiva primitiva (ricorsiva) E' essenziale per quanto seguir definire funzioni attraverso un tipo di ricorsione in cui il valore

f(x1, , xn, y + 1) dipende non solo da f(x1, xn, y) ma anche da pi di uno o da tutti i valori di

f(x1, , xn, u) con u y. Questo tipo di ricorsione chiamato ricorsione course-of-values. Sia f#(x1, , xn,y) = u

Ogni relazione ricorsiva esprimibile in S

Chiamiamo relazione aritmetica una relazione che l'interpretazione di una qualche fbf B(x1,

, xn) nel linguaggio A dell'aritmetica rispetto al modello standard Ogni relazione ricorsiva aritmetica.

ARITMETIZZAZIONE. I NUMERI DI GDEL. back to index

Per una arbitraria teoria K del primo ordine, colleghiamo a ciascun simbolo u di K un intero

positivo dispari g(u), chiamato il numero di Gdel di u o il godeliano di u, nel seguente modo: g( ( ) = 3

g( ) ) = 5

g( , ) = 7

g( ) = 9

g( ) = 11

g( ) = 13

g(xk) = 13 + 8k per k 1

g(ak) = 7 + 8k per k 1

g(fkn) = 1 + 8(2n3k) per k 1

g(Akn) = 3 + 8(2n3k) per k 1 Chiaramente, ogni numero di Gdel di un simbolo un intero positivo dispari. Perdipi, quando

diviso per 8, g(u) produce un resto di 5 quando u una variabile, un resto di 7 quando u una

costante individuale, un resto di 1 quando u una lettera funzione e unr esto di 3 quando u una

lettera predicato. In tal modo, differenti simboli hanno numeri di Gdel differenti.

Data un'espressione u0u1, , ur dove ogni uj un simbolo di K, definiamo il suo numero di Gdel

g(u0u1ur) mediante l'equazione: g(u0u1ur) = 2g(u0)3g(u1) prg(ur) dove pj denota il j-esimo numero primo e assumiamo che p0 = 2

Espressioni differenti hanno numeri di Gdel differenti, in virt della unicit della fattorizzazione

degli interi in numeri primi. Inoltre, le espressioni hanno numeri di Gdel diversi da quelli dei

simboli, dato che le prime hanno numeri pari e i secondi numeri dispari. E' importante notare che

un singolo simbolo, considerato come espressione, ha un numero di Gdel differente dal suo

numero come simbolo. Per esempio, il simbolo x1 ha come numero di Gdel 21, mentre

l'espressione coerente nel solo simbolo x1 ha numero di Gdel 221.

Se e0, e1, , er una sequenza finita di espressioni di K, possiamo assegnare un numero di Gdel

a questa sequenza ponendo: g(e0, e1, , er) = 2g(e0)3g(e1) prg(er) Successioni differenti di espressioni hanno numeri di Gdel differenti. Dal momento che il

numero di Gdel di una sequenza di espressioni pari e l'esponente di 2 nella sua fattorizzazione

in primi anch'esso pari, differisce dai numeri di Gdel dei simboli e delle espressioni. Si ricordi

che una prova in K un certo tipo di sequenza finita di espressioni e, dunque, ha un numero di

Gdel.

Pertanto g una funzione bijettiva dall'insieme dei simboli di K, espressioni di K e sequenze

finite di espressioni di K, nell'insieme degli interi positivi. Il codominio di g non l'intero insieme

degli interi positivi. Per esempio, 10 non un numero di Gdel.

Questo metodo di associare numeri con simboli, espressioni e successioni di espressioni fu

elaborato originariamente da Kurt Gdel nel 1931 per aritmetizzare la metamatematica, cio per

rimpiazzare asserzioni intorno un sistema formale da asserzioni numeriche equivalenti e poi

esprimere queste asserzioni entro il sistema formale stesso. Questa idea si rivelata fondamentale

in logica matematica per la risoluzione di numerosi problemi.

L'assegnazione dei numeri di Gdel qui esposta non l'unico modo possibile di assegnare numeri.

Altri metodi sono esposti in Kleene, Introduction to Metamathematics, Van Nostrand, 1952, e

Smullyan, Theory of Formal Systems, Princeton University Press, 1965.

Una aritmetizzazione di una teoria K una funzione bijettiva g dall'insieme dei simboli di K,

espressioni di K e sequenze finite di espressioni di K nell'insieme degli interi positivi. La funzione

g deve soddisfare le seguenti condizioni:

g effettivamente computabile

c' una procedura effettiva per stabilire se un dato intero positivo m nel codominio di g e,

se m nel codominio di g, per trovare l'oggetto x tale che g(x) = m Una teoria K detta avere un vocabolario ricorsivo primitivo (vocabolario ricorsivo) se le

seguenti propriet sono ricorsive primitive (ricorsive):

IC(x) : "x il numero di Gdel di una costante individuale di K" FL(x) : "x il numero di Gdel di una lettera funzione di K" PL(x) : "x il numero di Gdel di una lettera predicato di K"

Si ricordi che una funzione si dice funzione ricorsiva primitiva se e soltanto se pu essere ottenuta dalle

funzioni iniziali per mezzo di un numero finito di sostituzioni (IV) e ricorsioni (V)

Si ricordi che una funzione f si dice funzione ricorsiva se e soltanto se pu essere ottenuta dalle funzioni

iniziali per mezzo di un qualsiasi numero finito di sostituzioni (IV), ricorsioni (V) e -operatore ristretto (VI).

Si ricordi che una relazione R(x1, , xn) detta relazione ricorsiva primitiva (o relazione ricorsiva) se e

soltanto se la sua funzione caratteristica CR(x1, , xn) ricorsiva primitiva (o ricorsiva). In particolare, un

insieme A di numeri naturali un insieme ricorsivo primitivo se e soltanto se la sua funzione caratteristica

CA(x) ricorsiva primitiva (o ricorsiva).

Qualsiasi teoria K che ha solo un numero finito di costanti individuali, lettere funzione e

lettere predicato ha un vocabolario ricorsivo primitivo. In particolare, qualsiasi teoria K nel

linguaggio A dell'aritmetica ha un vocabolario ricorsivo primitivo. In particolare, S ha un

vocabolario ricorsivo primitivo.

[1305221913] Sia K una teoria con un vocabolario ricorsivo primitivo (ricorsivo). Allora le

seguenti relazioni e funzioni sono ricorsive primitive (ricorsive). In ciascun caso forniamo

per prima la notazione e la definizione intuitiva, e poi la formula equivalente da cui pu essere

dedotta la ricorsivit primitiva (ricorsivit). EVbl(x) : "x il numero di Gdel di una espressione coerente in una variabile"

zz

EIC(x) : "x il numero di Gdel di una espressione coerente in una costante individuale"

yy

Notare che (y) = n + 1 e anche che n = ArgT((x))0, dal momento che (x)0 il godeliano

di fkn. Quindi Trm(x) equivalente alla seguente formula: EVbl(x) EIC(x) yy

Atfml(y) zz

Num(y) : il godeliano dell'espressione y Nu(x) : "x il godeliano di un numerale" D(u) : il godeliano di B(u) se il godeliano di una fbf B(x1)

Una teoria K detta teoria con un insieme di assiomi ricorsivo primitivo (ricorsivo) se la

seguente propriet PrAx ricorsiva primitiva (ricorsiva): PrAx(y) : "y il godeliano di un assioma proprio di K"

S ha un insieme di assiomi ricorsivo primitivo [1305221915] Sia K una teoria con un vocabolario ricorsivo primitivo (ricorsivo) e un insieme di

assiomi (axiom set) ricorsivo primitivo (ricorsivo). Allora le seguenti tre relazioni sono

ricorsive primitive (ricorsive):

Ax(y) : "y il godeliano di un assioma di K" LAX(y) PrAx(y)

Prf(y) : "y il godeliano di una prova in K"

Pf(y,x) : "y il godeliano di una prova in K della fbr con godeliano x" Sia K una teoria con identit il cui linguaggio contiene la costante individuale 0 e la lettera

funzione f11 e tale che K ha un vocabolario ricorsivo primitivo (o ricorsivo) e un insieme di

assiomi ricorsivo primitivo (o ricorsivo). Valga anche la seguente propriet: Per due qualsiasi numeri naturali r,s se K r = s, allora r = s Allora una qualsiasi funzione f(x1, , xn) che rappresentabile in K ricorsiva.

[1305221646] Sia K una teoria il cui linguaggio contiene la lettera predicato "=", la costante

individuale 0 e la lettera funzione f11. (a) Se K soddisfa la [1305221645] allora coerente

(b) Se K non-coerente, allora ogni funzione numerica rappresentabile in K

(c) Se K coerente e la relazione "=" (identit) esprimibile in K, allora K soddisfa la Si

supponga che S sia coerente. Allora la classe di funzioni ricorsive si identifica con la classe

delle funzioni rappresentabili in S. Una relazione numerica R(x1, , xn) ricorsiva se e soltanto se esprimibile in S

Si consideri la teoria nel linguaggio A con la seguente lista finita di assiomi propri: x1 = x1

x1 = x2 x2 = x1

x1 = x2 (x2 = x3 x1 = x3)

x1 = x2 x1' = x2' (dove x' il successore di x')

x1 = x2 (x1 + x3 = x2 + x3 & x3 + x1 = x3 + x2)

x1 = x2 (x1 x3 = x2 x3 & x3 x1 = x3 x2)

x1' = x2' x1 = x2

0 x1'

x1 0 x2 (x1 = x2')

x1 + 0 = x1

x1 + x2' = (x1 + x2)'

x1 0 = 0

x1 x2' = (x1 x2) + x1

(x2 = x1 x3 + x4 & x4 < x1 & x2 = x1 x5 + x6 & x6 < x1) x4 = x6 Chiameremo questa teoria teoria RR. Chiaramente RR una subteoria di S, dal momento che

tutti gli assiomi di RR sono teoremi di S. Inoltre (vedi corollario pi sotto) RR una teoria con

identit. Si noti infine che RR ha solo un numero finito di assiomi propri. Sono provabili i seguenti

teoremi: RR una teoria con identit [1305221634] Tutte le funzioni ricorsive sono rappresentabili in RR In base alla [1305221634] tutte le funzioni ricorsive sono rappresentabili in ogni estensione

di RR. Pertanto, per la [1305221637] e la [1305221646(c)] in ogni estensione coerente di RR

nel linguaggio A che ha un insieme di assiomi ricorsivo la classe delle funzioni

rappresentabili identica alla classe delle funzioni ricorsive. Inoltre, per la [1305221653] le

relazioni esprimibili in tale teoria sono le relazioni ricorsive. RR una subteoria propria di S

IL TEOREMA DEL PUNTO FISSO. IL TEOREMA DI INCOMPLETEZZA DI GDEL back to index

Se K una teoria nel linguaggio A, ricordi che la funzione diagonale D ha la propriet che, se

u il godeliano di una fbf B(x1), allora D(u) il godeliano della fbf B(u ).

Quando C una espressione di una teoria e il godeliano di C q, denoteremo il numerale q con

C. Possiamo pensare C come il "nome" di C nel linguaggio A. Si supponga che la funzione diagonale D sia rappresentabile in una teoria con identit K nel

linguaggio A. Allora, per ogni fbf (x1) nella quale x1 l'unica variabile libera, esiste una

fbf chiusa C tale che K C (C)

(Teorema del punto fisso) Si assuma che tutte le funzioni ricorsive siano rappresentabili in

una teoria con identit K nel linguaggio A. Allora, per ogni fbf (x1) nella quale x1 l'unica

variabile libera, esiste una fbf chiusa C tale che K C (C)

Si tenga presente che i termini "teorema del punto fisso" e "lemma della diagonalizzazione" sono

spesso usati in modo intercambiabile in altre esposizioni.

Sia K una teoria il cui linguaggio contiene la costante individuale 0 e la lettera funzione f11. Allora

K detta -coerente se, per ogni fbf B(x) di K contenente x come unica variabile libera, se K

B(n ) per ogni numero naturale n, allora non si d il caso che K x B(x)

Sia K una teoria nel linguaggio A. K detta una teoria vera se tutti gli assiomi propri di K sono

veri nel modello standard. Dal momento che tutti gli assiomi logici sono veri in tutti i modelli e

MP e Gen conducono da fbf vere in un modello a fbf vere in quel modello, tutti i teoremi di una

teoria vera sono veri nel modello standard. Una qualsiasi teoria K deve essere -coerente.

Se K -coerente, allora coerente. L'inverso non vero

Un enunciato indecidibile di una teoria K una fbf chiusa B di K tale che n B n B sono

teoremi di K; in altre parole, tale che (non-k B) e (non-k B) (Teorema di incompletezza di Gdel) Sia K una teoria con identit nel linguaggio A che

soddisfa le seguenti tre condizioni: (1) K ha un set di assiomi ricorsivo (cio PrAx(y) ricorsivo)

(2) K 0 1

(3) Ogni funzione ricorsiva rappresentabile in K Per l'assunto (1) sono applicabili le proposizioni [1305221913], [1305221914],

[1305221915].

Per gli assunti (2) e (3) e il teorema [1305221653] ogni relazione ricorsiva esprimibile in K.

Per l'assunto (3) applicabile il teorema del punto fisso.

Si noti che K potrebbe essere RR, S o una qualsiasi estensione di RR che ha un set di assiomi

ricorsivo.

Si ricordi che Pf(y,x) significa che y il godeliano di una prova in K di una fbf con godeliano

x.

Per il teorema [1305221915], Pf ricorsiva. Dunque Pf esprimibile in K per mezzo di una

fbf

Pf(x2,x1). Sia (x1) la fbf: (x2) Pf(x2,x1) Per il teorema del punto fisso, ci deve essere una fbf chiusa G tale che: [1305221928] K G (x2) Pf(x2,G) In termini dell'interpretazione standard, la formula (x2) Pf(x2,G) dice che non c' un

numero naturale che sia il godeliano di una prova in K della fbf G, che equivale ad asserire

che non c' alcuna prova in K di G. Dunque, G equivalente in K ad una asserzione che G

non provabile in K. In altre parole, G dice "Io non sono provabile in K". E' un analogo del

paradosso del mentitore: "Io sto mentendo" (cio "Questa asserzione non vera"). Comunque,

sebbene il paradosso del mantitore conduce ad una contraddizoine, Gdel mostr che G una

proposizione indecidibile di K. Ci riferiremo a G come alla proposizione di Gdel per K.

Dati gli assunti (1)-(3) si ha: (a) Se K coerente, non-K G

(b) Se K -coerente, G una proposizione indecidibile di K La prova riportata in Mendelson, Op. cit., p. 207

Il teorema di incompletezza di Gdel vale per qualsiasi teoria con identit K nel linguaggio

A che soddisfa le condizioni (1)-(3).

Si assuma che K soddisfa anche la condizione: [1305221945] K una teoria vera (in particolare K potrebbe essere S o una qualsiasi sottoteoria di S). Allora il teorema di

incompletezza nella parte (a) afferma che, se K coerente, G non provabile in K. Ma,

secondo l'interpretazione standard, G asserisce la sua propria non-provabilit in K. Dunque,

G vero per l'interpretazione standard.

Perdipi, quando K una teoria vera, pu essere formulata la seguente argomentazione

intuitiva che dimostra l'indecidibilit di G in K: (i) Supponiamo che K G. Dal momento che K G (x2) Pf(x2,G) segue che K (x2)

Pf(x2,G). Dal momento che K una teoria vera, (x2) Pf(x2,G) vero per

l'interpretazione standard. Ma questa fbf dice che G non provabile in K,

contraddicendo la assunzione originale. Dunque non-K G

(ii) Supponiamo K G. Dal momento che K G (x2) Pf(x2,G), segue che K (x2)

Pf(x2,G). Cos, K (x2) Pf(x2,G). Dal momento che K una teoria vera, questa

fbf vera per l'interpretazione standard, cio G provabile in K. Questo contraddice il

risultato (i). Dunque, non-K G. La prova della indecidibilit di una proposizione di Gdel G richiedeva l'assunzione della -

coerenza. Rosser ha provato che, al prezzo di un lieve incremento della complessit della

proposizione indecidibile l'assunto dell'-coerenza pu essere sostituito da quello della coerenza.

Come in precedenza, sia K una teoria con identit nel linguaggio A che soddisfa le condizioni

(1)-(3) del teorema di incompletezza di Godel. Si assuma in aggiunta che: (4) K x n x = 0 x = 1 x = n per ogni numero naturale n

(5) K x n n x per ogni numero naturale n Cos K pu essere una qualsiasi estensione di RR con un set di assiomi ricorsivi. In particolare,

K pu essere RR o S.

Si ricordi che, per la proposizione [1305221913], Neg una funzione ricorsiva primitiva tale che,

se x il godeliano di una fbf B, allora Neg(x) il godeliano di (B).

Dal momento che tutte le funzioni ricorsive sono rappresentabili in K, sia Neg(x1, x2) una fbf che

rappresenti Neg in K. Si costruisca la seguente fbf (x1):

(x2) (Pf(x2,x1) (x3) (Neg(x1,x2) (x4) (x4 x2 & Pf(x4,x3)))) Per il teorema del punto fisso, c' una fbf chiusa R tale che

[1305221015] K R (R) R chiamata la proposizione di Rosser per K. Il significato intuitivo di R che

nell'interpretazione standard R asserisce che, se R ha una prova in K, diciamo con godeliano x2,

allora R ha una prova in K con godeliano inferiore a x2. Questa una maniera indiretta da parte

di R di asserire la propria non-provabilit sotto l'assunzione della coerenza di K. Questo

espresso nel seguente (Teorema di Godel-Rosser) Si supponga che K soddisfi le condizioni (1)-(5). Se K

coerente allora R una proposizione indecidibile di K.

La prova in Mendelson, Op. cit. p. 209 La proposizione di Gdel e la proposizione di Rosser per la teoria S sono proposizioni indecidibili

di S. Esse hanno un certo significato intuitivo metamatematico. Per esempio, una proposizione G

di Gdel asserisce che G non provabile in S. Fino a tempi recenti, non erano note proposizioni

indecidibili di S che avessero una intrinseca natura matematica. Ma nel 1977 Kirby, Paris e

Harrington hanno trovato una proposizione indecidibile di significato matematico di calcolo

combinatorio collegata al cosiddetto teorema finito di Ramsey.

Una teoria K detta una teoria ricorsivamente assiomatizzabile se c' una teoria K* che ha gli

stessi teoremi di M e tale che K* ha un set di assiomi ricorsivo. [1305222107] Sia K una teoria nel linguaggio A. Se K una estensione di RR ricorsivamente

assiomatizzabile e coerente, allora K ha una proposizione indecidibile. Un insieme effettivamente decidibile di oggetti un insieme per cui esiste una procedura

meccanica che determina, per ogni dato oggetto, se quell'oggetto appartiene o no all'insieme. Per

procedura meccanica intendiamo una procedura che attuata automaticamente senza nessun

bisogno di originalit o ingegnosit nella sua applicazione. D'altro lato, un insieme A di numeri

naturali detto essere un insieme ricorsivo se la propriet x A ricorsiva. La precisa nozione

di insieme ricorsivo corrisponde alla idea intuitiva di un insieme effettivamente decidibile di

numeri naturali. Questa ipotesi conosciuta come Tesi di Church.

Si ricordi che una teoria detta assiomatica se il suo set di assiomi effettivamente decidibile.

Chiaramente, il set di assiomi effettivamente decidibile se e soltanto se il set dei numeri di

Gdel degli assiomi effettivamente decidibile (dal momento che possiamo passare

effettivamente da una fbf al suo numero di Gdel e inversamente, dal numero di Gdel alla fbf).

Dunque, se accettiamo la tesi di Church, dire che K ha un set ricorsivo di assiomi equivalente a

dire che K una teoria assiomatica e dunque, la proposizione mostra che RR essenzialmente

incompleta, cio, che ogni estensione assiomatica coerente di RR ha una proposizione

indecidibile. Questo risultato veramente indesiderabile; ci dice che non esiste alcuna

assiomatizzazione completa dell'aritmetica, cio non esiste un modo di creare un sistema

assiomatico sulla base del quale possiamo risolvere tutti i problemi della teoria dei numeri. La tesi di Church equivalente all'affermazione che una funzione numerica effettivamente

computabile se e soltanto se ricorsiva. Sia K una estensione di S nel linguaggio A tale che K ha un set ricorsivo di assiomi. Sia ConK

la seguente fbf chiusa di K: (x1)(x2)(x3)(x4) (Pf(x1,x2)& Pf(x2,x4) & Neg(x3,x4)) Per l'interpretazione standard, ConK asserisce che non ci sono prove in K di una fbf e della sua

negazione, cio che K coerente. Si consideri la seguente proposizione: [1305222117] ConK G dove G una proposizione di Gdel per K. Si ricordi che G asserisce che G non provabile in K.

Dunque asserisce che, se K coerente, allora G non provabile in K. Ma questa proprio la

prima met del teorema di incompletezza di Gdel. Il ragionamento metamatematico utilizzato

nella prova di quel teorema pu essere espresso e sviluppato entro K stesso, cosicch si ottiene

una prova in K di Nella loro prova del secondo teorema di Gdel, Hilbert e Bernays basarono il

loro lavoro su tre cosiddette condizioni di derivabilit. Per amor di precisione ci limiteremo qui

alla teoria S, sebbene tutto ci che diremo vale per le estensioni ricorsivamente assiomatizzabili

di S.

Per formulare i risultati di Hilbert-Bernays, sia Bew(x1) un simbolo che sta per la formula (x2) Pf(x2,x1) Cos, nell'interpretazione standard, Bew(x1) significa che c' una prova in S della fbf con numero

di Gdel x1; cio, la fbf con godeliano x1 provabile in S. Si noti che una proposizione di Gdel

G per S soddisfa la condizione del punto fisso:

S G Bew(G) Le condizioni di derivabilit di Hilbert-Bernays sono:

(HB1) Se S C allora S Bew(C)

(HB2) S Bew(C D) (Bew(C) Bew(D))

(HB3) S Bew(C) Bew(Bew(C)) dove C e D sono fbf chiuse arbitrarie di S. (HB1) immediata e (HB2) una facile conseguenza

delle propriet di Pf. La prova di (HB3) difficile e sottile e viene qui omessa.

Una proposizione di Gdel G per S asserisce la propria non-provabilit in S: S G Bew(G) Possiamo applicare il teorema del punto fisso per ottenere una proposizione H tale che S H Bew(H) H chiamata la proposizione di Henkin per S. H asserisce la propria provabilit in S.

Chiediamoci se H sia provabile, non-provabile o indecidibile in S.

Scriviamo C per Bew(C), dove C una qualsiasi fbf. Riscriviamo le condizioni di Hilbert-

Bernays: (HB1) Se S C allora S C

(HB2) S (C D) ((C) (D))

(HB3) S (C) (C) La proposizione di Gdel e la proposizione di Henkin soddisfano le equivalenze: S G G

S H H (Teorema di Lb) Sia C una proposizione di S. Se S C C, allora S C Sia H una proposizione di Henkin per S. Allora S H e H vera per l'interpretazione standard

Il teorema di Lb ci mette in grado di provare il secondo teorema di Godel. (Secondo Teorema di Godel) Se S coerente, allora non-S ConsS

INDECIDIBILITA' RICORSIVA. TEOREMA DI CHURCH. back to index

Se K una teoria, sia TK il set dei godeliani dei teoremi di K.

K detta una teoria ricorsivamente decidibile se TK un set ricorsivo (cio la propriet x TK

ricorsiva). K detta una teoria ricorsivamente indecidibile se K e tutte le estensioni consistenti

di K sono ricorsivamente indecidibili.

Se accettiamo la Tesi di Church, allora la indecidibilit ricorsiva equivale alla indecidibilit

effettiva, cio alla non-esistenza di una procedura decisionale meccanica per testare la propriet

di essere un teorema. La non esistenza di una simile procedura meccanica significa che richiesta

ingegnosit per determinare se arbitrarie fbf sono teoremi. Sia K una teoria coerente con identit nel linguaggio A in cui la funzione diagonale D

rappresentabile. Allora la propriet x TK non esprimibile in K

Un insieme B di numeri naturali detto insieme aritmetico se c' una fbf B(x) nel linguaggio

A con una variabile libera x, tale che, per ogni numero naturale n, n B se e soltanto se B(n)

vero nell'interpretazione standard. (Teorema di Tarski) Sia Tr l'insieme dei numeri di Gdel di fbf di S che sono vere per

l'interpretazione standard. Allora Tr non aritmetico. Sia K una teoria coerente con identit nel linguaggio A in cui tutte le funzioni ricorsive sono

rappresentabili. Si assuma anche che K 0 1. Allora K ricorsivamente indecidibile. RR essenzialmente ricorsivamente indecidibile Sia K una teoria con un vocabolario ricorsivo. Se K ricorsivamente assiomatizzabile e

ricorsivamente indecidibile, allora K una teoria incompleta (cio ha una proposizione

indecidibile). (Teorema di Godel-Rosser) Ogni estensione coerente e ricorsivamente assiomatizzabile di

RR ha una proposizione indecidibile

Siano K1 e K2 due teorie nello stesso linguaggio. K2 chiamata una estensione finita di K1 se e

soltanto se c' un insieme A di fbf e un insieme finito B di fbf tali che:

i teoremi di K1 sono precisamente le fbf derivabili da A;

i teoremi di K2 sono precisamente le fbf derivabili da A B.

Denoti K1 K2 la teoria il cui set di assiomi l'unione del set di assiomi di K1 e di quello di K2.

Diciamo che K1 e K2 sono teorie compatibili se K1 K2 coerente. Siano K1 e K2 due teorie nello stesso linguaggio. Se K2 una estensione finita diK1 e se K2

ricorsivamente indecidibile, allora K1 ricorsivamente indecidibile. Sia K una teoria nel linguaggio A. Se K compatibile con RR, allora K ricorsivamente

indecidibile. Ogni teoria vera K ricorsivamente indecidibile Sia PS il calcolo predicativo nel linguaggio A. Allora PS ricorsivamente indecidibile

Con PF intendiamo il pieno calcolo predicativo del primo ordine, contenente tutte le lettere

predicato, le lettere funzione e le costanti individuali. Sia PP il puro calcolo predicativo del primo

ordine, contenente tutte le lettere predicative ma non lettere funzione o costanti individuali. C' una funzione ricorsiva h tale che, per ogni fbf B di PF con godeliano u, c' una fbf B' di

PP con godeliano h(u) tale che B provabile in PF se e soltanto se B' provabile in PP. PF e PP sono ricorsivamente indecidibili.