conferencia Gibbs, godel

8/8/2019 conferencia Gibbs, godel

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Algunos teoremas bsicos sobre los fundamentos de lamatemtica y sus implicaciones filosficas.Conferencia Gibbs. 1951Autor: Kurt Gdel

Edicin en ingls:Some basic theorems on the foundations of Mathematics and their implications.(*1951).en Kurt Gdel. Collected Works. Volumen III. Unpublished Essays andLectures.Edited by: Solomon Feferman John W. Dawson Jr. Warren Goldfarb Charles Parsons Robert Solovay.Oxford University Press - 1995

Edicin en espaol:Algunos teoremas bsicos sobre los fundamentos de la matemtica y susimplicaciones filosficas (1951).en Kurt Gdel. Ensayos inditos.Edicin a cargo de Francisco Rodrguez Consuegra.Mondadori. Barcelona. 1994.

Edicin digital, versin 1.1:Tecum. Mayo 2005


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NOTAS PRELIMINARES A LA EDICIN EN ESPAOL.Por: Francisco Rodrguez Consuegra(Extractos de la nota preliminar extensa del original).

La presente seleccin

Entre los diversos materiales inditos existentes en el Nachlass deGdel, sin duda ofrecen mayor inters aquellos que estuvieron en principiodestinados a la publicacin, bien sea como conferencias o como artculos, porel mayor cuidado que Gdel debi poner en su redaccin, sobre todo dado suextremo perfeccionismo a la hora de hacer pblicas sus ideas. A su vez, deentre ellos no hay duda de que la conferencia Gibbs, y la serie de intentos deescribir una contribucin al volumen sobre Carnap de la serle Schilpp, son losque presentan un carcter ms filosfico. Tambin entre los cientos de foliosescritos en la taquigrafa Gabelsberger hay mucho material filosfico, peroparece que de un orden ms dogmtico, es decir menos argumentado.

La conferencia Gibbs destaca, entre las otras conferencias cuyo texto seconserva, precisamente por ser la ms filosfica, a lo que hay que aadiradems el inters de ser el documento en el que Gdel se extendi ms en suintento de extraer implicaciones filosficas de sus clebres resultados meta-matemticos. El resto de las conferencias fueron mucho ms tcnicas, yestuvieron dedicadas mucho ms a divulgar nuevos resultados que a analizarsus consecuencias filosficas. El propio Gdel era plenamente consciente de laimportancia filosfica del texto ledo en Providence, en 1951, como lo prueba elque estuviera trabajando en l durante un ao, y tambin el hecho de que amenudo, en sus conversaciones con Hao Wang y otros, se refiriese a l eincluso aludiese brevemente a su contenido filosfico. Sin embargo, dado elestado del manuscrito, sin duda necesitado de una reconstruccin que el propioGdel no debi hallar tiempo ni ocasin para emprender, y quiz tambindebido a la tpica inseguridad de Gdel respecto a sus ideas filosficas, locierto es que por lo que s jams lo mostr a nadie, a pesar de que a veces ledijo a Hao Wang que pensaba mostrrselo, ante la impaciencia y posteriordesesperacin de ste al ver que el anuncio nunca se cumpla...

...

... tras haber finalizado los trabajos de reconstruccin, me enter porHao Wang de que entre los inditos a aparecer en el tomo III de las CollectedWorks de Gdel se incluira tambin la conferencia Gibbs y dos versiones del

ensayo sobre Carnap. Sin embargo, como me informa el propio Wang, que hapodido comparar m reconstruccin de la conferencia Gibbs con la queaparecer en la edicin oficial, el material que aparece en el presente libro esms amplio, sin duda porque finalmente decid salvar cuanto fragmento fueraposible, incluso en casos en los que no se puede determinar su lugar en eltexto principal....

El origen de los presentes manuscritos

Sobre la conferencia Gibbs es poco lo que he podido averiguar; y ello se

debe en su totalidad a Hao Wang y John Dawson. En particular, se ignoraexactamente cundo recibi Gdel la invitacin a darla, y tambin cmo, y a


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travs de quin, fue cursada. En todo caso, la conferencia fue leda el 26 dediciembre de 1951, a las 8 de la tarde, en la reunin anual de la AmericanMathematical Society, que tuvo lugar en la Brown University, en Providence,Rhode Island, EE. UU. Al parecer Gdel dedic la mayor parte del aoprecedente a prepararla, sin duda muy interesado en dedicarse de nuevo

abiertamente a tareas ms filosficas, tras su declaracin pblica deplatonismo en los artculos de 1944 y 1947, Sin embargo, ciertas dificultadesrelacionadas con su mala salud le causaron problemas. En concreto, fue porentonces cuando una hemorragia en su lcera de duodeno le oblig a untratamiento hospitalario.

Segn un asistente excepcional a la conferencia, Hao Wang, Gdel selimit a leer muy rpidamente el manuscrito que llevaba preparado (incluyendola cita final de Hermite), que a todas luces es el mismo cuya reconstruccinaparece aqu traducida. La concurrencia fue numerosa, en lo que debi ser unareunin plenaria de la sociedad, por lo que hay que suponer que la mayor partede los asistentes fueron matemticos. Sin embargo, al final no hubo coloquio

alguno (quiz por iniciativa del propio Gdel), aunque s un entusisticoaplauso, lo que es comprensible dado lo sumamente infrecuente de poder ver yor personalmente a un genio de !a talla de Gdel.

No hay el menor indicio de que Gdel revisara el manuscrito tras leerloen Providence. Sin embargo, su ttulo aparece en una lista personal de trabajospublicables hallada entre sus papeles, lo cual no es de extraar dada lacalidad del material y la indudable facilidad con la que su autor hubiera podidorpidamente reconstruirlo, e incluso mejorarlo. Pero naturalmente se era elproblema casi insuperable para Gdel, habitualmente desbordado por unperfeccionismo rayano en lo patolgico y por un miedo a la controversia rayanoen lo paranoico. En concreto, por los aos 1953 y 1954 Gdel respondi adiversas preguntas interesndose por el texto que estaba intentando publicarloen el Bulletin of the American Mathematical Society. Pero es prcticamenteseguro, no slo que nunca lleg a someterlo a esa revista para su publicacin,sino que ni siquiera avanz lo ms mnimo hacia ningn estadio prximo ahacerlo. En cuanto a su contenido, slo ciertas alusiones fueron hechas conposterioridad en conversaciones y correspondencia con Hao Wang y otros,pero parece que Gdel nunca consinti en mostrarlo a nadie....

Los manuscritos originales: su reconstruccin y traduccin

La conferencia Gibbs constituye sin la menor duda lo que John Dawsonme describe en una carta reciente como la pesadilla de un editor. Elmanuscrito original est en ingls, sin ttulo, escrito de puo y letra de Gdel,usando siempre un lpiz y con restos evidentes de haber borrado una y otravez y haber escrito encima de lo borrado. Adems, Gdel cambi muchasveces de opinin respecto a lo que efectivamente deba leerse en Providence,as que existen numerosos fragmentos tachados. Como consecuenciasumamente indeseable de la escritura a lpiz (y con un tipo muy blando degrafito) tenemos que muchas partes del texto, con el paso de los aos y losroces consiguientes, han quedado sumamente borrosas y a veces casi

ilegibles. A todo ello hay que aadir un extrao esfuerzo de Gdel por ahorrarpapel, lo cual se pone de manifiesto en una utilizacin exhaustiva de cada una


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de las pginas, en las que no existe casi margen ni a los lados ni en losextremos superior e inferior: Ignoro si la muy frecuente abreviacin de laspalabras inglesas es tambin producto de semejante ansia ahorrativa, aunquelo ms probable es que responda a la rapidez de su pensamiento encomparacin con la lentitud de la escritura manual (especialmente a lpiz), lo

cual fue quiz la razn de que muchas veces utilizase la taquigrafaGabelsberger.Para colmo, el manuscrito se compone de cuatro partes: el texto

principal de la conferencia (nmero 040293 de catalogacin, de 43 folios); lasnotas al pie de pgina (040295, 26 folios, y 040296, 5 folios) y lasinterpolaciones (040294, 18 folios). El problema con las interpolaciones es queno slo hay que insertarlas, mediante un muy complicado sistema de clavesgrficas, en el texto principal, sino tambin en el de las notas, e incluso amenudo en las interpolaciones mismas. Ello conduce a un sistema dereferencias cruzadas de una complejidad casi intolerable, donde a veces sellega a trabajar con cinco y seis niveles (interpolacin a la interpolacin a la

interpolacin de una nota dividida en varios fragmentos, pertenecientes apginas distintas, de un prrafo del texto principal, tambin fragmentado), todoello muy a menudo escrito, borrado y reescrito, y con trozos tachados y otrostambin tachados pero con una nota indicando que la tachadura no vale.

Mi criterio principal de reconstruccin ha sido el de conservar el mximoposible de material, incluso en el caso de que finalmente no pudiera localizarste en ningn contexto claro (en cuyo caso aparece en el apndice final, quecontiene varias notas e interpolaciones sueltas), e insertando tambin losprrafos, notas o interpolaciones finalmente tachados, preferentemente en loslugares que hubieran ocupado de haberse mantenido, los cuales aparecen enla versin aqu publicada entre corchetes dobles, es decir: [[ ]]. Esto no ha sidosin embargo posible siempre, as que hay fragmentos tachados que noaparecen en la versin finalmente publicada, lo cual, por cierto, vale tambinpara algunos fragmentos muy breves originalmente vlidos (es decir sintachar). En los casos en que la lectura inglesa es imposible, o muy dudosa, hepropuesto la mejor reconstruccin que he podido, aunque siempre indicando,con un signo de interrogacin entre corchetes sencillos, es decir: [?], que milectura no est garantizada. Cuando no slo la lectura es dudosa, perocompleta, sino que cierto enunciado, o prrafo, se hace ilegible, o dudoso, enun momento dado, ofrezco la parte legible, seguida adems de puntossuspensivos y el correspondiente signo de interrogacin, o sea: ... [?].

Finalmente, mis propias (y escasas) interpolaciones aparecen siempre entrecorchetes sencillos, a menos que se seale otra cosa.En cuanto a la presentacin final, me he visto obligado a abrir nu-

merosos prrafos, dado que Gdel no se molest en hacerlo en el manuscrito,el cual, de no ser por las interpolaciones y tachaduras, pareca destinado aconstituirun nico prrafo, quiz con el propsito de ahorrar ms y ms papel(y ello teniendo en cuenta que a veces el papel utilizado era de deshecho, y aveces ya dedicado a otros menesteres y borrado despus), o bien con la mirapuesta en manejar un manuscrito no demasiado extenso en el momento de lalectura. Por ltimo, reproduzco en cursiva no slo todo lo originariamentesubrayado por Gdel, sino tambin los ttulos de libros y revistas acadmicas,

as como algunas letras usadas como smbolos y unos pocos trminos en latn.


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He incorporado sin comentarios todas las correcciones e interpolacionesal texto de la traduccin, con objeto de mantener los textos de Gdel limpios denotas que no sean las suyas propias (excepto en el caso de la versin VI de laserie sobre Carnap, que como he dicho contiene notas mas remitiendo a laversin V). El criterio principal ha sido siempre ofrecer un texto lo ms continuo

posible, con la excepcin, ya justificada, de incluir los pasajes tachados, quesin embargo son tiles para entender la versin definitiva. Una alternativahubiese sido ofrecer tales alternativas en notas, pero creo que en su inmensamayora no alteran demasiado la lectura.

En cuanto a la traduccin en s, he procurado que sea ms bien literal,teniendo en cuenta que el ingls de Gdel es el de un no nativo, y lo menosparafrstica posible. A veces la sintaxis o el lxico de Gdel no son correctos,pero me ha parecido ridculo sealar las incorrecciones, mxime tratndose deuna traduccin. Igualmente, he completado sin ms las numerosasabreviaturas de la conferencia Gibbs, insertando una interrogacin cuando ellono ha sido posible, o cuando es dudoso. En los casos en los que el propio

Gdel utiliza neologismos he procurado mantenerlos de alguna forma encastellano. En cuanto a ciertos trminos que hoy han sido abandonados enfavor de otros ms actuales, a veces he traducido directamente como si en eloriginal figurasen los nuevos, con objeto de facilitar la lectura a quienes sehallen ms familiarizados con ellos. Por ltimo, la misma razn de eliminarnotas me ha llevado a no justificar ni discutir mis opciones castellanas.


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NOTAS PRELIMINAR PARA LA EDICIN WEB

El texto se ha digitalizado a partir de la edicin en espaol. Sin embargo,se han incluido fragmentos de la edicin en ingls, traducidos por m, a efectosde complementar y aclarar el texto inicial.

Respecto a las notas se ha seguido el criterio de la edicin inglesa demanera que se colocan al pie de pgina y no como un apndice al final.Igualmente se ha mantenido la numeracin de ellas como est en la edicin eningls, lo que puede permitir correlacionarlas con el manuscrito original.

Las interpolaciones y notas numeradas no incorporadas por el editorespaol al texto se han mantenido en un apndice como l lo hace.

Puesto que esta es una edicin digital he usado unas convenciones decolores y estilo de texto para distinguir las notas, los insertos, lasinterpolaciones y dems recursos de los editores. El lector podr, a su criterio,reorganizar el material como prefiera.

Las principales convenciones de esta edicin web son:

NG: Las notas de Gdel, numeradas segn la secuencia de la edicin en inglsy puestas a pie de pgina: NG1, NG2, NG3, etc.

Texto de la edicin en ingls no existente en la edicin en espaol:Principalmente en las notas al pie de pgina, pero tambin en lugares del textoprincipal, se han insertado en azul correcciones e interpolaciones quecorresponden al texto establecido en la edicin en ingls. Algunas de ellasaclaran los lugares donde el editor espaol indic dudas marcando con [?].

IEE: Interpolaciones del editor espaol que no se encuentran en la edicin eningls. Destacadas entre corchetes rojos: [[IEE. ...]]

NEI : Notas del editor en la edicin en ingls, traducidas por m..

NI : Notas en las interpolaciones de la edicin en espaol. Tambin se hancolocada al pie de pgina y corresponden a notas de Gdel. Se numeransucesivamente: NI1, NI2, etc.

Algunos textos aclaratorios elaborados por el editor en espaol se incluyenentre corchetes [...]. Usualmente para corresponden a referenciasbibliogrficas.

Las dudas del editor en espaol acerca del texto definitivo se marcan segn suestilo con un ... [?]. Aqu esas dudas se ajustaron con el texto finalestablecido por los editores ingleses, de manera que se ha conservado unamarca de color[?] y escribiendo el texto definitivo en azul.

NT: Algunas notas mas para la edicin web se escriben en itlicas: [NT: aaa].

En la versin final, que formar parte de un compilado con textos de Frege,Russell, Hilbert, Bernays, Quine y otros, espero incluir el texto original en ingls


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con su paginacin exacta y digitalizado de los Collected Works, as comoalgunas aclaraciones textuales preparadas por los editores de la edicin eningls.

Se agradecen comentarios a la pgina del grupo.


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Algunos teoremas bsicos sobre los fundamentos de lamatemtica y sus implicaciones filosficas

La investigacin en los fundamentos de la matemtica durante lasltimas dcadas ha producido algunos resultados que creo de inters, no sloen s mismos, sino tambin con respecto a sus implicaciones en los problemasfilosficos tradicionales sobre la naturaleza de la matemtica. Pienso que losresultados mismos son ampliamente conocidos; sin embargo, creo que ser tilpresentarlos esquemticamente de nuevo, especialmente en vista de quegracias al trabajo de varios matemticos han adoptado una forma mucho mssatisfactoria que la que tenan originalmente. La mejora ms importante se hizoposible mediante la definicin precisa del concepto de procedimiento finitoNG1,que desempea un papel decisivo en tales resultados. Existen varias formas

diferentes de llegar a tal definicin, aunque todas ellas conducen exactamenteal mismo concepto. En mi opinin, la forma ms satisfactoria consiste enreducir el concepto de procedimiento finito al de mquina con un nmero finitode partes, tal y como ha hecho el matemtico britnico Turing. En cuanto a lasconsecuencias filosficas de los resultados en consideracin, no creo quehayan sido nunca adecuadamente discutidas o ni siquiera observadas.

Los resultados metamatemticos a que me refiero se centran en torno aun hecho bsico, del que podra incluso decirse que son slo diferentesaspectos, y que podra llamarse la incompletabidad o inagotabilidad de lamatemtica. Nos encontramos con ese hecho en su forma ms simple cuandoaplicamos el mtodo axiomtico, no a algn sistema hipottico-deductivo como

la geometra (donde el matemtico puede afirmar slo la verdad condicional delos teoremas), sino a la matemtica misma, es decir al cuerpo de aquellasproposiciones matemticas que valen en un sentido absoluto, sin ningunahiptesis adicional. Deben existir proposiciones de este tipo, pues de otra formano podran existir tampoco teoremas hipotticos. Por ejemplo, algunasimplicaciones de la forma: Si se suponen tales y cuales axiomas, entoncesvale tal y cual teorema, deben ser verdaderas en un sentido absoluto.

Asimismo, cualquier teorema de la teora de nmeros finitaria como 2 +2 = 4 es sin duda de este tipo. Por supuesto, la tarea de axiomatizar lamatemtica propiamente dicha difiere de la concepcin habitual de laaxiomtica en la medida en que, como los axiomas no son arbitrarios sino que

deben ser proposiciones matemticas correctas, no podemos huir de lanecesidad de asumir algunos axiomas o reglas de inferencia como evidentessin prueba, dado que las pruebas deben tener algn punto de partida. Sinembargo, existen concepciones ampliamente divergentes sobre la extensin dela matemtica misma, tal como la he definido. Los intuicionistas y finitistas, porejemplo, rechazan algunos de los axiomas y conceptos que otros admiten,tales como la ley del tercio excluso o el concepto general de conjunto.

NG1 Para las aplicaciones que van a tomarse en consideracin en esta conferencia, esteconcepto equivale al concepto de funcin computable de enteros (es decir; una cuyadefinicin hace efectivamente posible calcular f(n) para todo entero n que se considere). Los

procedimientos no operan sobre enteros, sino sobre frmulas, aunque a causa de [] [laenumeracin] de las frmulas en cuestin, pueden siempre reducirse a procedimientos sobreenteros.


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El fenmeno de la inagotabilidad de la matemticaNG2, sin embargo, estpresente siempre de alguna forma, con independencia del punto de vista quese adopte. As, podramos tambin explicarlo respecto a la concepcin mssimple y natural, que toma la matemtica como es, es decir sin restringirlamediante ninguna crtica. Desde este punto de vista, toda la matemtica es

reducible a la teora abstracta de conjuntos, Por ejemplo, el enunciado de quelos axiomas de la geometra proyectiva implican cierto teorema significa que siun conjunto Mde elementos llamados puntos y un conjunto Nde subconjuntosde Mllamados lneas rectas satisfacen los axiomas, entonces el teorema valepara Ny M. O bien, por mencionar otro ejemplo, un teorema de la teora denmeros puede interpretarse como una afirmacin sobre conjuntos finitos. As,el problema en cuestin es el de la axiomatizacin de la teora de conjuntos.

Entonces, cuando se aborda ese problema se ve que el resultado es porcompleto distinto del que podra haberse esperado. En lugar de terminar con unnmero finito de axiomas, como en geometra, nos encontramos con una serieinfinita de axiomas que puede ampliarse ms y ms, sin que se vislumbre final

alguno y, aparentemente, sin que exista posibilidad de abarcar todos esosaxiomas mediante una regla finita que los genereNG3. Esto sucede por el hechode que, si deseamos evitar las paradojas de la teora de conjuntos sin introduciralgo enteramente ajeno a los procedimientos matemticos reales, entonces elconcepto de conjunto debe axiomatizarse por etapasNG4.

Si, por ejemplo, comenzamos con los enteros, esto es, con los conjuntosfinitos de un tipo especial, tenemos primero los conjuntos de enteros y losaxiomas sobre ellos (axiomas de primer nivel), despus los conjuntos deconjuntos de enteros con sus axiomas (axiomas de segundo nivel), etc., paracualquier iteracin finita de la operacin conjunto deNG5. Tenemos entoncesel conjunto de todos esos conjuntos de orden finito. Pero podemos en esemomento tratar este conjunto exactamente de la misma forma en que antestratamos el conjunto de enteros, es decir; podemos "considerar sussubconjuntos (o sea, los conjuntos de orden ) y formular axiomas sobre suexistencia. Este procedimiento puede evidentemente iterarse ms all de , yde hecho hasta cualquier nmero ordinal transfinito. As, podra requerirsecomo siguiente axioma que la iteracin sea posible para cualquierordinal, esdecir, para cualquier tipo de orden que pertenezca a algn conjunto bienordenado.

Pero, hemos llegado ahora al final? De ningn modo, pues tenemosan una nueva operacin para formar conjuntos, esto es, formar un conjunto a

NG2 El trmino matemtica, aqu y en lo que sigue, se supone siempre que significamatemtica propiamente dicha (lo que obviamente incluye la lgica matemtica, en tanto se lereconoce correcta desde el punto de vista particular que se toma).NG3 En las axiomatizaciones del discurso no matemtico, tal como la geometra fsica, sepresupone lo que llamo matemtica propiamente dicha; y la axiomatizacin se refiere alcontenido de la disciplina en consideracin slo en la medida en que sta rebasa la matemticapropiamente dicha ... [?] Este contenido, al menos en los ejemplos que hemos encontradohasta ahora, puede expresarse mediante un nmero finito de axiomas.NG4 En la presentacin habitual de los axiomas esta circunstancia no es directamenteperceptible, sino que sale a relucir por s misma al emprender un examen ms detallado de lossignificados de los axiomas.NG5 La operacin conjunto de es sustancialmente la misma que la operacin conjunto

potencia, donde el conjunto potencia de M es por definicin el conjunto de todos lossubconjuntos de M.


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partir de algn conjunto inicialA y de algn conjunto bien ordenado B aplicandola operacin conjunto de aA tantas veces como el conjunto bien ordenado BindiqueNG6. Y tomando B como algn buen orden de A, podemos entoncesiterar esta nueva operacin una y otra vez hasta lo transfinito. Esto produciruna nueva operacin, la cual podemos tratar de la misma manera, etc. As, el

siguiente paso ser requerir que cualquieroperacin que genere conjuntos apartir de otros conjuntos pueda iterarse hasta cualquier nmero ordinal (o sea,hasta cualquier tipo de orden de un conjunto bien ordenado). Pero, hemosllegado ahora al final? No, porque podemos requerir; no slo que elprocedimiento descrito se lleve a cabo respecto a cualquier operacin, sino queexista adems un conjunto cerrado con respecto a ella, es decir; uno queposea la propiedad de que, si el procedimiento (respecto a cualquier operacin)se aplica a elementos de este conjunto, produzca de nuevo elementos de esteconjunto,

Se observar, creo yo, que no hemos llegado al final todava, y que nopuede haber ni siquiera un final para este procedimiento de formar los axiomas,

porque la misma formulacin de los axiomas hasta cierto estadio da lugar alsiguiente axioma. Es cierto que en la matemtica de nuestros das los nivelesms altos de esta jerarqua prcticamente nunca se utilizan; puede decirse conseguridad que el 99,9% de la matemtica actual est contenido en los primerostres niveles de tal jerarqua. As, respecto a todos los fines prcticos, latotalidad de la matemtica puede reducirse a un nmero finito de axiomas. Sinembargo, esto constituye un mero accidente histrico, que carece deimportancia para las cuestiones de principio. Adems, no es del todoimprobable que este rasgo de la matemtica actual tenga algo que ver con otrode sus rasgos: su incapacidad para probar ciertos teoremas fundamentales,como por ejemplo la hiptesis de Riemann, a pesar de muchos aos deesfuerzo. Pues puede mostrarse que la pertinencia de los axiomas para losconjuntos de los niveles ms altos no se restringe en modo alguno a esosconjuntos, sino que por el contrario tienen consecuencias incluso para el nivel0, es decir; la teora de los enteros.

Para ser ms exactos, cada uno de esos axiomas conjuntistas entraa lasolucin de ciertos problemas diofnticos que han permanecido indecidiblessobre la base de los axiomas precedentesNG7. Los problemas diofnticos encuestin son del siguiente tipo: sea P (x1 ... xn, y1 ... ym) un polinomio concoeficientes enteros dados y n + m variables x1 ... xn, y1 ... ym, y considrenselas variables xi como incgnitas y las variables yi como parmetros; el

problemas entonces es: Tiene la ecuacin P = 0 soluciones enteras paracualesquiera valores enteros de los parmetros, o existen valores enteros de

NG6 A fin de llevar a cabo la iteracin puede establecerse que A = B y suponerse que se haasignado un buen orden determinado a cada conjunto. Para ordinales de la segunda clase[[ordinales lmite]] siempre tiene que formarse el conjunto de los conjuntos obtenidospreviamente.NG7Para que este teorema valga, si se asume tambin el punto de vista intuicionista o finitista,se requiere como hiptesis la consistencia de los axiomas de la teora de conjuntos, que esdesde luego auto-evidente (y por tanto puede eliminarse como hiptesis) si se considera que lateora de conjuntos es matemtica propiamente dicha. Sin embargo, para la matemticafinitaria vale un teorema similar sin ninguna hiptesis de consistencia cuestionable; a saber, laintroduccin de funciones recursivas de orden cada vez mayor conduce a la solucin de ms y

ms problemas de la clase especificada en teora de nmeros. En matemtica intuicionista secumple, sin lugar a dudas, un teorema similar para la introduccin (mediante nuevos axiomas)de ordinales cada vez mayores de la segunda clase de nmeros.


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los parmetros para los que esta ecuacin no tiene soluciones enteras? A cadauno de los axiomas conjuntistas puede asignrsele cierto polinomio P para elque el problema recin formulado se convierte en decidible gracias al axioma.Puede siempre lograrse incluso que el grado de P no sea mayor de 4.

La matemtica actual no ha aprendido todava a hacer uso de los

axiomas conjuntistas para solucionar problemas de teora de nmeros, exceptocon respecto a los axiomas del primer nivel, que son utilizados en la teoraanaltica de nmeros. Pero para dominar la teora de nmeros esto esmanifiestamente insuficiente. Algn tipo de teora de nmeros conjuntista, anpor descubrirse, llegara ciertamente mucho ms lejos.

He tratado hasta ahora de explicar el hecho que llamo incompletabilidadde la matemtica con respecto a una aproximacin concreta a la fundamen-tacin de la matemtica, esto es, la axiomtica de la teora de conjuntos. Sinembargo, el que este hecho sea enteramente independiente de la aproximacino concepcin escogidas resulta de ciertos teoremas muy generales. El primerode ellos establece simplemente que, si escogemos cualquier sistema bien

definido de axiomas y reglas de inferencia, siempre existen problemasdiofnticos del tipo descritoNG8 que son indecidibles respecto a esos axiomas,con la nica condicin de que ninguna proposicin falsa de este tipo seaderivable.

Si hablo aqu de un sistema bien definido de axiomas y reglas, quierodecir solamente que debe ser efectivamente posible escribir los axiomas enalgn formalismo preciso, o, si su nmero es infinito, debe ofrecerse unprocedimiento finito para escribirlos uno tras otro. Asimismo las reglas deinferencia deben ser tales que, dadas cualesquiera premisas, o bien puedanescribirse las conclusiones alcanzadas por cada una de las reglas, o bienpueda determinarse que no existe ninguna conclusin inmediata por la regla deinferencia en consideracin. Este requisito para las reglas y los axiomasequivale a la exigencia de que sea posible construir una mquina finita, en elsentido preciso de una mquina de Turing, que escriba todas lasconsecuencias de los axiomas una tras otra. Por esta razn el teorema enconsideracin equivale al hecho de que no existe ningn procedimiento finitode decisin sistemtica de todos los problemas diofnticos del tipo espe-cificado.

El segundo teorema tiene relacin con el concepto de ausencia decontradiccin. Para un sistema bien definido de axiomas y reglas la cuestin desu consistencia es por supuesto una cuestin matemtica bien definida en s

misma. Adems, como los smbolos y las proposiciones de un formalismo sonsiempre a lo sumo numerables, todos puedenponerse en correspondencia conlos enteros, y es plausible, y de hecho demostrable, que la cuestin de laconsistencia pueda transformarse siempre en una cuestin de teora denmeros (para ser ms precisos, en una cuestin del tipo descrito ms arriba).Ahora bien, el teorema dice que para cualquier sistema bien definido deaxiomas y reglas la proposicin que establece su consistenciaNG9 (o ms bien la

NG8 Esta ltima hiptesis puede reemplazarse por la consistencia (como ha mostrado Rosser en[Extensions of some theorems of Gdel and Church,Jrn. Symb. Logic I, pp. 87-91]), peroentonces las proposiciones indecidibles poseen una estructura ligeramente ms complicada.Adems, debe aadirse la hiptesis de que los axiomas implican las propiedades[?] primitivas

de la adicin, la multiplicacin, y


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proposicin de teora de nmeros equivalente) es indemostrable a partir deesos axiomas y reglas, con tal de que tales axiomas y reglas sean consistentesy basten para derivar cierto fragmentoNG10 de la aritmtica finitaria de losenteros.

Es este teorema el que hace particularmente evidente la incom-

pletabilidad de la matemtica. Pues hace imposible que alguien puedaestablecer cierto sistema bien definido de axiomas y reglas y, al mismo tiempo,pueda, de forma consistente, hacer la siguiente afirmacin sobre l: percibo(con certeza matemtica) que todos estos axiomas y reglas son correctosNG11yadems creo que contienen toda la matemtica. Si alguien afirma lo anterior secontradice a s mismo, pues si percibe como correctos los axiomas enconsideracin, tambin percibir (con la misma certeza) que son consistentes,con lo que debe poseer una intuicin matemtica no derivable de sus axiomas.Sin embargo, hemos de ir con mucho cuidado a la hora de comprenderclaramente la significacin de este estado de cosas. Significa esto que ningnsistema bien definido de axiomas correctos puede contener toda la matemtica

propiamente dicha? S, si por matemtica propiamente dicha se entiende elsistema de todas las proposiciones matemticas verdaderas; pero no, si porello se entiende el sistema de todas las proposiciones matemticasdemostrables.

Distinguir esos dos significados de la matemtica como matemtica ensentido objetivo y en sentido subjetivo. Evidentemente ningn sistema biendefinido de axiomas correctos puede abarcar toda la matemtica objetiva,puesto que la proposicin que establece la consistencia del sistema esverdadera, pero no demostrable en l. Sin embargo, no se excluye la existenciade una regla finita que genere todos los axiomas evidentes de la matemticasubjetiva. No obstante, si tal regla existe, nuestro entendimiento humanociertamente nunca podra conocerla como tal, es decir, nunca podramos sabercon certeza matemtica que todas las proposiciones que genera soncorrectasNG12; o, en otras palabras, podramos percibir como verdaderas slouna proposicin tras otra, para cualquier nmero finito de ellas. Sin embargo, laafirmacin de que son todas verdaderas podra como mucho conocerse concerteza emprica, sobre la base de un nmero suficiente de casos particulareso mediante otras inferencias inductivasNG13.

Si ello fuera as, significara que la mente humana (en el dominio de la

NG10 Esto es, los axiomas de Peano ms la regla usual de definicin por induccin, con [?]unalgica que satisfaga los requisitos finitistas ms estrictos.NG11

Si se dice slo creo que podr percibirlos como verdaderos uno tras otro (donde sesupone que su nmero es infinito), entonces no se entra en contradiccin (vase ms abajo).NG12 Pues esto (o la consecuencia sobre la consistencia de los axiomas) constituira unaintuicin matemtica no derivable de los axiomas y reglas en consideracin, lo cual es contrarioa la suposicin. [NT: La versin en espaol dice: ... no derivable de la regla en consideracinpara los axiomas; esta traduccin no se ajusta con precisin al sentido del original que dice... not derivable from de axioms [?] rules under consideration ...].NG13 Por ejemplo, es concebible (aunque ms all de los lmites de la ciencia actual) que lafisiologa del cerebro avanzara tanto que pudiese saberse, con certeza emprica, que: 1. elcerebro basta para la explicacin de todos los fenmenos mentales y es una mquina en elsentido de Turing, y 2. tal y cual es la precisa estructura anatmica y el funcionamientofisiolgico de la parte del cerebro que lleva a cabo el pensamiento matemtico. Ms an, en elcaso de que se adopte el punto de vista finitista (o intuicionista), tal inferencia inductiva podra

basarse en la creencia (ms o menos emprica) de que la matemtica no finitaria (o nointuicionista) es consistente. [NT: La versin en espaol dice estructura matemtica en lugarde estructura anatmica; pero la inglesa escribe anatomical structure].


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matemtica pura) equivale a una mquina finita que, no obstante, es incapazde conocer completamenteNG14 su propio funcionamiento. Tal incapacidad paracomprenderse a s misma aparecera entonces errneamente a sus ojos comosu falta de lmites o inagotabilidad. Pero observen por favor que, si ello fueraas, esa falta de lmites no podra en modo alguno menguar la incomple-

tabilidad de la matemtica objetiva. Por el contrario, la hara particularmentenotoria. Pues si la mente humana fuera equivalente a una mquina finita,entonces la matemtica objetiva no slo sera incompletable en el sentido deno estar contenida en ningn sistema axiomtico bien definido, sino queadems existiran problemas diofnticos absolutamente irresolubles del tipodescrito ms arriba, donde el epteto absolutamente significa que tales pro-blemas no slo no seran decidibles en algn sistema axiomtico particular sinoporninguna prueba matemtica que la mente humana pueda concebir

As, la siguiente conclusin disyuntiva es inevitable: o la matemtica esincompletable en el sentido de que una regla finita no puede nunca abarcar susaxiomas evidentes, es decir, que la mente humana (incluso en el reino de la

matemtica pura) sobrepasa infinitamente la potencia de cualquier mquinafinita, o bien existen problemas diofnticos absolutamente irresolubles del tipoespecificado (donde no se excluye el caso de que ambos trminos de ladisyuncin sean verdaderos, con lo que hay, estrictamente hablando, tresalternativas).

Es ste un hecho matemtico establecido que me parece de gran intersfilosfico. En este sentido, es desde luego de gran importancia que al menoseste hecho sea enteramente independiente del punto de vista que se adopterespecto a los fundamentos de la matemticaNG15. Sin embargo, existe unarestriccin a esa independencia: la concepcin adoptada debe ser losuficientemente liberal como para admitir que las proposiciones sobre todos losenteros son plenamente significativas. Si alguien fuera un finitista tan estrictocomo para mantener que slo las proposiciones particulares del tipo de 2 + 2 =4 pertenecen a la matemtica propiamente dicha,NG16 entonces el teorema de

NG14Desde luego, el funcionamiento fsico del mecanismo del pensamiento podra muy bien sercompletamente inteligible. La intuicin de que este mecanismo particular debe conducirsiempre a resultados correctos (o slo consistentes) sobrepasara los poderes de la raznhumana.NG15 Para los intuicionistas y finitistas el teorema vale como una implicacin (en lugar de unadisyuncin). Debe observarse que los intuicionistas han afirmado siempre el primer trmino dela disyuncin y negado el segundo, en el sentido de que no puede existir ninguna proposicinindecidible demostrable (vase ms arriba, p. [?] [NT: Los editores del texto en espaol y en

ingls sealan explcitamente que no pudieron ubicar esta referencia]). Pero esto no tienesignificado para el asunto de cul alternativa se aplica a la matemtica intuicionista si lostrminos de la disyuncin se entienden en el sentido objetivo (rechazados como carentes desentido por los intuicionistas). En cuanto al finitismo, parece muy probable que el primertrmino de la disyuncin sea falso.NG16 Si se toma el punto de vista implicacionista de K. Menger, (cf. [Bltter f. d Phil, 4 (1930), p.323]) en el sentido ms estricto, ello conducira a tal actitud, pues segn l las nicasproposiciones matemticas con sentido (esto es, las nicas que, en mi terminologa,pertenecen a la matemtica propiamente dicha) seran aquellas que afirman que tal y cualconclusin puede extraerse de tales y cuales axiomas y reglas de inferencia de tal y cual forma,Sin embargo, sta es una proposicin de exactamente el mismo carcter lgico que 2 + 2 = 4.Algunas de las consecuencias no deseadas de este punto de vista son las siguientes. Unaproposicin negativa, segn la cual la conclusin B no puede extraerse de los axiomas y la

regla A, no pertenecera a la matemtica propiamente dicha. De aqu que no pudiera sabersenada acerca de ella excepto que se sigue de ciertos otros axiomas y reglas. Sin embargo, unaprueba de que de hecho se sigue (ya que esos otros axiomas y reglas son de nuevo arbitrarios)


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incompletabilidad no le sera aplicable. Pero no creo que tal actitud pudieramantenerse de forma consistente, pues juzgamos que 2 + 2 = 4 y que a + b = b+ a, para dos enteros a y b cualesquiera, exactamente por el mismo tipo derazones. Adems, este punto de vista, para ser consistente, tendra que excluirtambin los conceptos que se refieren a todos los enteros, tales como + (o a

todas las frmulas tales como prueba correcta por tales y cuales reglas), yreemplazarlos por otros que fueran aplicables slo en algn dominio finito deenteros (o frmulas). Debe observarse, sin embargo, que aunque la verdad delteorema disyuntivo sea independiente del punto de vista adoptado, la cuestinde qu alternativa sea la vlida no tiene por qu ser independiente de l.

Creo que he explicado suficientemente el aspecto matemtico de lasituacin y puedo ahora dedicarme a las implicaciones filosficas. Sin embargo,y como consecuencia del estado poco desarrollado de la filosofa en nuestrosdas, no debe desde luego esperarse que las siguientes inferencias se realicencon rigor matemtico.

En correspondencia con la forma disyuntiva del teorema principal sobre

la incompletabilidad de la matemtica, las implicaciones filosficas sernprimafacie tambin disyuntivas, aunque en todo caso se oponen decididamente a lafilosofa materialista. As, si vale la primera alternativa, esto parece implicar queel funcionamiento de la mente humana no puede reducirse al del cerebro, quees, bajo toda apariencia, una mquina finita con un nmero finito de partes,esto es, las neuronas y sus conexiones. De esta forma, uno llegaaparentemente a adoptar algn punto de vista vitalista.

Por otro lado, la segunda alternativa, en la que existen proposicionesmatemticas absolutamente indecidibles, parece refutar la concepcin de quela matemtica (en cualquier sentido) es slo nuestra propia creacin. Pues elcreador conoce necesariamente todas las propiedades de sus criaturas, ya queellas no pueden tener ms propiedades que aquellas que l les ha dado. As,esta alternativa parece implicar que los objetos y hechos matemticos, o almenos algo en ellos, existen objetiva e independientemente de nuestros actosmentales y decisiones, es decir, supone alguna forma de platonismo o realis-mo respecto a los objetos matemticosNG17. Pues la interpretacin emprica dela matemticaNG18, esto es, la concepcin de que los hechos matemticos

de ningn modo excluira la posibilidad de que (a pesar de la prueba formal en contra) algnda pudiera lograrse derivarB deA. Por la misma razn, tampoco la prueba inductiva habitualde a + b = b + a excluira la posibilidad de que se descubrieran dos enteros que no satisficieranesta ecuacin.NG17

No existe ningn trmino lo suficientemente general como para expresar exactamente laconclusin extrada aqu, que dice slo que los objetos y teoremas de la matemtica son tanobjetivos e independientes de nuestra libre eleccin y de nuestros actos creativos como lo es elmundo fsico. Sin embargo, esta conclusin no determina en modo alguno lo que sean talesentidades objetivas, es decir si se localizan en la naturaleza, en la mente humana, o en ningunade las dos. Estas tres concepciones sobre la naturaleza de la matemtica correspondenexactamente a las tres concepciones sobre la naturaleza de los conceptos que [?]tradicionalmente llevan los nombres de psicologismo, conceptualismo aristotlico y platonismo.NG18Es decir, la concepcin de que los objetos matemticos y la forma en que los conocemosno difieren esencialmente de los objetos fsicos o psquicos y las leyes de la naturaleza. Porcontra, la verdad es que, si la objetividad de la matemtica se supone, se sigue inmediata-mente que sus objetos deben ser totalmente distintos de los objetos sensibles, porque 1. Lasproposiciones matemticas, si se analizan adecuadamente, nada dicen respecto a las

entidades del mundo espacio-temporal. Esto es particularmente claro en proposicionesaplicadas como: O bien llovi ayer o bien no llovi. Esta observacin no excluye la existenciade conocimientos puramente conceptuales (ms all de la matemtica) que satisfagan estos


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constituyen un tipo especial de hechos fsicos o psicolgicos, es demasiadoabsurda para ser mantenida (vase ms abajo).

[[IEE: Por supuesto he simplificado las cosas en estas breves formula-ciones. Existen en ambos casos ciertas objeciones, aunque, en mi opinin, noresisten un examen minucioso. En el caso de la primera alternativa podra

objetarse que el hecho de que la mente humana sea ms efectiva quecualquier mquina finita no implica necesariamente que exista alguna entidadno material, como una entelequia, fuera de los cerebros, sino slo que las leyesque gobiernan el comportamiento de la materia viva son mucho mscomplicadas de lo que se haba esperado, y en concreto no nos permitendeducir el comportamiento del todo del de las partes aisladasNI1. (Estaconcepcin parece, incidentalmente, recibir tambin apoyo de la mecnicacuntica, donde el estado de un sistema complejo no puede en generaldescribirse como compuesto de los estados de los sistemas parciales.) Existede hecho una escuela de psiclogos que defiende esta concepcin: losllamados holistas. Sin embargo, me parece claro que tambin esta teora deja

de hecho de lado el materialismo, pues adscribe a la materia desde el principiotodas las misteriosas propiedades de la mente y la vida, mientras queoriginalmente la esencia misma del materialismo consista en explicar esaspropiedades a partir de la estructura del organismo y las leyes relativamentesimples de la interaccin entre las partes.]]

No se sabe si la primera alternativa es vlida, pero de cualquier modoest bastante de acuerdo con las opiniones de algunos de los investigadoresms destacados en fisiologa nerviosa y cerebral, que niegan decididamente laposibilidad de una explicacin puramente mecanicista de los procesospsquicos y neuronales. En cuanto a la segunda alternativa, podra objetarseque el constructor no necesariamente conoce todos las propiedades de lo queconstruye. Por ejemplo, construimos mquinas y sin embargo no podemospredecir sus comportamientos con todo detalle. Pero se trata de una objecinmuy pobre. Pues no creamos mquinas de la nada, sino que las construimosde algn material dado. Si la situacin fuera similar en la matemtica, entoncesese material o base de nuestras construcciones sera algo objetivo, lo que portanto exigira la adopcin de alguna concepcin realista, incluso si algunosotros ingredientes de la matemtica fueran de nuestra propia creacin. Lomismo ocurrira si en nuestras creaciones utilizramos algn instrumento queradicara en nosotros pero que fuera distinto de nuestro yo (tal como la razn,interpretada como algo semejante a una mquina pensante). Pues los hechos

matemticos expresaran entonces (por lo menos en parte) propiedades de eseinstrumento, el cual gozara entonces de existencia objetiva.En tercer lugar, podra objetarse que el significado de una proposicin

requerimientos. 2. Los objetos matemticos son conocidos con precisin y se puedenreconocer reglas generales con certeza, esto es, mediante inferencia deductiva, no medianteinferencia inductiva. 3. Pueden conocerse (en principio) sin usar los sentidos (esto es, pormedio de la sola razn), pues ellos no tienen nada que ver con las entidades actuales sobre lasque los sentidos (incluido el sentido interior) nos informan, sino con posibilidades eimposibilidades). [NT: Esta nota se ha tomado casi totalmente de la edicin en ingls, ya quedifiere de manera considerable de la incluida en la edicin en espaol].NI1 [[La otra posibilidad, esto es, atribuir razn ya al comportamiento de las parteselementales (es decir, las neuronas o ... [?]) parece completamente improbable (tanto en s

mismo como en vista del xito de la fsica al explicar el comportamiento de todos no estructura-dos en trminos de leyes computables).]]


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independencia de qu alternativa sea la vlida. Me parece que el principalargumento que apunta en esa direccin es el siguiente. Primero de todo, si lamatemtica fuera nuestra libre creacin, es cierto que todava podra darse laignorancia respecto a los objetos creados, pero slo por falta de una claraconciencia de lo realmente creado (o quiz debido a la dificultad prctica de

clculos demasiado complicados). Por tanto, tendra que desaparecer (almenos en principio, aunque quiz no en la prcticaNG21) tan pronto comoalcanzsemos una perfecta claridad. Sin embargo, los desarrollos modernos enfundamentacin de la matemtica han logrado un insuperable grado deexactitud, aunque ello no ha servido de ninguna ayuda a la solucin de losproblemas matemticos.

Segundo, la actividad del matemtico muestra muy poco de la libertadque un creador debera disfrutar. Incluso si, por ejemplo, los axiomas sobre losenteros fueran de libre invencin, todava debera admitirse que el matemtico,una vez imaginadas las primeras propiedades de sus objetos, ha llegado alfinal de su poder creativo, y no est en situacin de crear a su voluntad tambin

la validez de los teoremas. Si algo como la creacin existe a fin de cuentas enla matemtica, entonces lo que hace cada teorema es precisamente restringirla libertad de creacin; pero aquello que la restringe debe evidentemente existircon independencia de la creacinNG22.

Tercero, si los objetos matemticos son creacin nuestra, entonces losenteros y los conjuntos de enteros tendrn evidentemente que ser doscreaciones distintas, la primera de las cuales no necesita de la segunda. Sinembargo, a fin de probar ciertas proposiciones sobre los enteros se necesita elconcepto de conjunto. As que, con objeto de hallar las propiedades quenosotros hemos dado a ciertos objetos producto de la imaginacin pura,debemos primero crear ciertos objetos adicionales, lo cual constituye desdeluego una situacin muy extraa.

Lo que he dicho hasta ahora ha sido formulado en trminos del ms bienvago concepto de libre creacin o libre invencin. Existen intentos deotorgar significados ms precisos a este trmino. Sin embargo esto tiene slocomo consecuencia que tambin la refutacin del punto de vista en cuestin sehace ms precisa y convincente. Me gustara mostrar esto en detalle para lams precisa, y al mismo tiempo ms radical, formulacin que se ha dado hastaahora. Se trata de la que afirma que las proposiciones matemticas sonverdaderas solamente en virtud de ciertas reglas arbitrarias sobre el uso desmbolos.

[Nota de Gdel: Omitir desde aqu hasta la p. 29 (del manuscrito

NG21Esto es, todo problema debera ser reducible a algn clculo finito.NG22 No sirve de nada decir que estas restricciones se producen por la exigencia deconsistencia, que en s misma es una libre eleccin nuestra, porque podra escogerse elproducir la consistencia y adems ciertos teoremas. Ni tampoco sirve decir que los teoremas selimitan a repetir (totalmente o en parte) las propiedades primeramente inventadas, porqueentonces la conciencia exacta de lo que se supuso al principio tendra que bastar para decidircualquier cuestin de la teora que resulta refutada mediante los argumentos primero y tercero.Sobre la cuestin de si proposiciones indecidibles pueden decidirse arbitrariamente por unnuevo acto de creacin, vase la nota [?]. [NEI: Ninguna nota del manuscrito se ocupa de este

asunto. Sin embargo una anotacin abreviada en la pg. 29 (del manuscrito original) contiene lafrase creacin continua. Este podra ser un recordatorio de Gdel a s mismo para escribiralgo acerca del asunto].


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original)]NEI

[[Se trata de la que interpreta las proposiciones matemticas comoexpresando solamente ciertos aspectos de convenciones sintcticas (olingsticas)NG23, esto es, tales proposiciones simplemente repetiran parte de

esas convenciones. Segn esta concepcin, las proposiciones matemticasdebidamente analizadas deben mostrarse como carentes de contenido, comopor ejemplo el enunciado todos los garaones son asnos.

[[Todos estarn de acuerdo en que esta proposicin no expresa ningnhecho zoolgico, ni ningn otro hecho objetivo, sino que su verdad dependesolamente de la circunstancia de que hemos usado el trmino garan comoabreviatura de asno macho, ya que las reglas ms simples acerca del uso desmbolos son las definiciones. Pero el tipo ms corriente de convencionessimblicas es, con mucho, el de las definiciones (sean explcitas ocontextuales, donde las ltimas deben sin embargo ser tales que hagan posiblela eliminacin del trmino definido en cualquier contexto en que aparezcan).

Por tanto, la versin ms simple de la concepcin en cuestin consistira en laafirmacin de que las proposiciones matemticas son verdaderas solamente envirtud de las definiciones de los trminos que aparecen en ellas. Lo quesignifica que sustituyendo sucesivamente todos los trminos por susdefiniciones, cualquier teorema puede reducirse a la forma a = a (obsrveseque a = a debe admitirse como verdadero si se admiten definiciones, puespodemos definir b mediante b = a, y entonces, gracias a esta definicin,reemplazarb pora en esta igualdad).

[[ [...cualquier teorema puede reducirse a] una tautologa explcita, talcomo a = a, o p p, opq p, o algo parecido (no importa, en este sentido, loNEI

Puesto que el material no fue tachado, es una conjetura plausible suponer que debaomitirse de la presentacin oral. Tambin son posibles otras conjeturas, por ejemplo quetiempo despus Gdel pens que haba duplicacin o quiz mejoras en el borrador del artculono publicado de 1953 acerca de Carnap].NG23 Esto es, tales convenciones no deben referirse a ningn objeto extralingstico (como haceuna definicin demostrativa), sino establecer reglas acerca del significado o verdad [?] de lasexpresiones simblicas sobre la sola base de su estructura externa. Adems, estas reglasdeben desde luego ser tales que no impliquen la verdad o falsedad de ninguna proposicinfctica (ya que en tal caso no podra decirse que estn vacas de contenido ni que sonsintcticas). Debe observarse que si el trmino regla sintctica se entiende de esta formageneral, entonces la concepcin considerada incluye la fundamentacin formalista como unaelaboracin especial de ella. Puesto que segn la ltima la matemtica se basa slo en ciertasreglas sintcticas de la forma: las proposiciones de tal y cual estructura son verdaderas (los

axiomas), y si las proposiciones de estructura ... son verdaderas, entonces tales y cualesproposiciones son tambin verdaderas. Adems, la prueba de consistencia, como puedeverse fcilmente, tiene como consecuencia que estas reglas carezcan de contenido en lamedida en que no impliquen proposiciones fcticas. Por otro lado, tambin se ver ms abajoque, a la inversa, la viabilidad del programa nominalista implica la viabilidad del programaformalista. Puede dudarse si esta concepcin (nominalista) podra incluirse en la concepcinque considera la matemtica como una libre creacin de la mente, porque aqulla niega laexistencia de objetos matemticos. Sin embargo, la relacin entre ambas es muy estrecha, yaque bajo la otra concepcin la as llamada existencia de los objetos matemticos consistesolamente en su propiedad de ser construidos, y los nominalistas no negaran que de hechoimaginamos objetos (no existentes) tras los smbolos matemticos, y que esas ideas subjetivassuministran incluso los principios que sirven de gua en la eleccin de las reglas sintcticas.(Para una exposicin muy lcida de los aspectos filosficos de esta concepcin nominalista,

vase H. Hahn,Act Sci. et ind226 (1935), o R. Carnap,Act. Sci. 291 (1935), Erk. 5 (1935), p.30). [NT: Esta nota , en la edicin en ingls, se coloca como la Nota 23 despus de laspalabras Se trata de la que23 .. antes del texto interpolado].


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que se considere como tautologa explcita, excepto el que, a fin de justificar eltrmino explcita, debe ser posible, e incluso fcil, hallar, para unaproposicin dada, si es o no una tautologa explcita).

[[Pero entonces se sigue directamente de los teoremas mencionadosanteriormente que tal reduccin a tautologas explcitas es imposible. Pues ello

inmediatamente supondra un procedimiento mecnico para decidir sobre laverdad o falsedad de toda proposicin matemtica. Sin embargo, talprocedimiento no puede existir; ni siquiera para la teora de nmeros. Es ciertoque la refutacin se refiere slo a la versin ms simple de este punto de vista(nominalista); pera las versiones ms refinadas no sobreviven tampoco a ella.El enunciado ms dbil que debera al menos ser demostrable, a fin de que laconcepcin sobre el carcter tautolgico de la matemtica fuera sostenible, esel siguiente: toda proposicin matemtica demostrable puede deducirse de lassolas reglas semnticas sobre la verdad y falsedad de los enunciados (es decir;sin usar o saber nada ms salvo esas reglas)NG24, mientras que las negacionesde proposiciones matemticas demostrables no pueden derivarse de ese modo

(cf. nota NG23). (En lenguajes formulados de forma precisa tales reglas estoes, reglas que estipulen las condiciones bajo las que un enunciadodeterminado es verdadero aparecen como medio de determinar el significadode los enunciados. Adems, en todos los lenguajes conocidos hayproposiciones que parecen ser verdaderas en virtud slo de esas reglas.) Porejemplo, la disyuncin y la negacin se introducen mediante las reglassiguientes: 1.p q es verdadero si al menos uno de sus trminos lo es, y 2. pes verdadero sip no lo es. Se sigue entonces claramente de esas reglas que pp es siempre verdadero para cualquier p. (Las proposiciones que puedenderivarse as se llaman tautologas.)

[[Es de hecho cierto que, en los simbolismos de la lgica matemticacuyas reglas han sido convenientemente escogidas, la verdad de los axiomasmatemticos es derivable de esas reglasNG25; sin embargo (y este es el granobstculo), en esta derivacin los conceptos y axiomas matemticos y lgicosmismos deben aplicarse de una forma especial, esto es, como referidos asmbolos, combinaciones de smbolos, conjuntos de smbolos, etc. De aqu quesi esta teora desea probar el carcter tautolgico de los axiomas matemticos,debe suponer primero su verdad. As, mientras que la idea original de estaconcepcin era hacer comprensible la verdad de los axiomas matemticosNG24Respecto al requisito de consistencia, vase la nota [NG23?] [[NEI: Es posible que Gdelintentase escribir una nueva nota sobre este asunto. En el manuscrito, el texto dado est

encima de un texto tachado en el cual se dice algo sobre el requisito de consistencia, textoque quiz l pens que repeta puntos de la nota NG23]] . [[IEE. De otro modo la solucin serapor supuesto trivial. El requisito de consistencia se sigue tambin directamente del concepto deregla sintctica (como se explica en la nota [?]), puesto que un sistema inconsistente de reglassintcticas implicara la verdad de toda proposicin fctica, mientras que la carencia decontenido significa que ninguna proposicin fctica se seguira, y de aqu el conflicto con loscriterios de verdad que se derivan de definiciones ... [?].]]NG25Cf. Ramsey, F,R, Proc. Lond. Math. Soc. II, ser 25 (1926), pp. 368 y 382, y Carnap, R, Log.Synt. of Lang., 1937, pp, 39, I 10 y 182. Merece la pena mencionar que Ramsey logra inclusoreducirlos a tautologas explcitas de la forma a = a mediante definiciones explcitas, pero aexpensas de admitir proposiciones de longitud infinita (e incluso transfinita), lo cual entraadesde luego la necesidad de presuponer la teora de conjuntos transfinita, a fin de poder tratarcon esas entidades infinitas. Carnap se limita a proposiciones de longitud finita, pero en su

lugar se ve obligado a considerar conjuntos infinitos, conjuntos de conjuntos, etc., de es asproposiciones finitas.


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mostrando que son tautologas, termina sin embargo en lo opuesto, es decir, laverdad de los axiomas debe primero suponerse y slo despus puedemostrarse que son tautologas en un lenguaje convenientemente escogido.[[IEE. Que esto pueda hacerse no es desde luego sorprendente: puedehacerse para cualesquiera axiomasNI2.]] Adems, un enunciado similar vale

para los conceptos matemticos, es decir: en lugar de ser capaces de definirsus significados mediante convenciones sintcticas, debemos primeroconocerlos a fin de comprender las convenciones sintcticas en cuestin, o laprueba de que ellas implican los axiomas matemticos, pero no susnegaciones.

[[Es entonces claro que la elaboracin de la concepcin nominalista nosatisface el requisito establecido en la pgina [?] porque lo que se utiliza en lasderivaciones no son slo las reglas, sino adems toda la matemtica. Sinembargo, esta elaboracin del nominalismo producira una refutacin completadel mismo (debo confesar que no puedo imaginar ninguna refutacin mejor deesta concepcin que esta prueba de ella), con tal de que pueda aadirse una

cosa: que el resultado descrito es inevitable (es decir, independiente dellenguaje simblico particular y la interpretacin de la matemtica escogidos).

[[Esto exactamente no puede probarse, pero s algo tan parecido quebasta tambin para refutar la concepcin en cuestin. Lo que puede hacerse essealar esto: se sigue que una prueba del carcter tautolgico (en un lenguajeadecuado) de los axiomas matemticos es al mismo tiempo una prueba de suconsistencia, pero por los metateoremas mencionados esto no puede lograrsecon medios ms dbiles de prueba que los ya contenidos en esos axiomasmismos. Esto no quiere decir que todos los axiomas de un sistema dado debanusarse en su prueba de consistencia. Por el contrario, los axiomas de fuera delsistema que son necesarios hacen habitualmente posible prescindir de algunosde los axiomas del sistema (aunque aqullos no impliquen a stos)NG26.

[[Sin embargo, lo que se sigue con certeza prctica es esto: con objetode probar la consistencia de la teora clsica de nmeros (y a fortioride todosistema ms potente) deben usarse ciertos conceptos abstractos (y losaxiomas evidentes directamente referidos a ellos), donde abstractos significano referidos a objetos sensiblesNG27, de los que los smbolos son un tipo

NI2 [[IEE. Supongamos, por ejemplo, que alguien posee un sexto sentido que le aporta slounas pocas percepciones, y que stas no tienen ninguna conexin causal con las percepcionesde los otros sentidos. En ese caso, podra incorporar esas percepciones en unas pocas reglassintcticas que podra probar como tautolgicas (esto es, sin consecuencias para las otras

percepciones), usando en la prueba las propiedades [?] percibidas de las percepciones de susexto sentido. Pienso que este smil expresa muy bien tanto la relacin de la razn con lossentidos como el valor de verdad de las teoras que pretenden probar que la razn estautolgica]].NG26Por ejemplo, cualquier sistema de axiomas S para la teora de conjuntos perteneciente a laserie explicada al inicio de la conferencia, incluido el axioma de eleccin, puede probarse quees consistente utilizando el axioma de orden superior (o por medio del axioma de que S esconsistente). De manera similar, no es imposible que pudiera demostrarse la consistencia delos axiomas de orden inferior por medio de axiomas de mayor nivel que tengan, sin embargorestricciones tales que sean aceptables para los intuicionistas.NG27 Tales conceptos abstractos son, por ejemplo, conjunto, funcin de enteros,demostrable (este ltimo en el sentido no formalista de cognoscible como verdadero),derivable, etc., o finalmente existe, referido a todas las combinaciones posibles de

smbolos. La necesidad de tales conceptos para la prueba de consistencia de la matemticaclsica surge del hecho de que los smbolos pueden ser puestos en correspondencia con losenteros, y por tanto la teora de nmeros finitaria (y a fortiori la clsica) contiene todas las


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especial. Estos conceptos abstractos no son sin embargo sintcticos (sino msbien aquellos cuya justificacin mediante consideraciones sintcticas debieraconstituir la principal tarea del nominalismo). De aqu se sigue que no existejustificacin racional de nuestras creencias precrticas sobre la aplicablidad yla consistencia de la matemtica clsica (ni siquiera de su nivel ms bajo, la

teora de nmeros) sobre la base de una interpretacin sintctica.[[Es verdad que este enunciado no vale para ciertos subsistemas de la

matemtica clsica, que pueden contener incluso alguna parte de la teora delos conceptos abstractos mencionados. En este sentido, el nominalismo puedesealar algunos xitos parciales, pues es de hecho posible basar los axiomasde esos sistemas en consideraciones puramente sintcticas [[IEE. (sin usoalguno de conceptos abstractos.)]]. De esta forma el uso de los conceptostodos y existe, referidos a enteros, puede justificarse (esto es, puedeprobarse como consistente) por medio de consideraciones sintcticas. Sinembargo, para el axioma ms esencial de la teora de nmeros, el de induccincompleta, la fun-damentacin sintctica, incluso dentro de los lmites en que es

factible, no ofrece justificacin alguna de nuestra creencia precrtica en l,puesto que este axioma mismo ha de usarse en las consideraciones sin-tcticasNG28.

[[El hecho de que, cuanto ms modestos somos con respecto a losaxiomas para los que deseamos establecer una interpretacin sintctica,menos matemticas necesitamos para hacerlo, tiene la consecuencia de que sifinalmente somos tan modestos como para limitarnos a algn dominio finito, porejemplo, a los enteros hasta 1.000, entonces las proposiciones matemticasvlidas en ese campo pueden interpretarse como tautolgicas incluso ensentido estricto, es decir; como reducibles a tautologas explcitas mediantedefiniciones explcitas de los trminos. Ello no es sorprendente, porque elfragmento de matemtica necesario para la prueba de consistencia de estamatemtica finita est ya contenido en la teora de los procesos combinatoriosfinitos que son necesarios para reducir una frmula a una tautologa explcitamediante sustituciones.

[[Esto explica el bien conocido, aunque confuso, hecho de que frmulascomo 5 + 7 = 12 puedan reducirse a tautologas explcitas mediante ciertasdefiniciones. Este hecho, incidentalmente, es tambin confuso porque en talesreducciones (si es que stas se interpretan como simples sustituciones deldefiniendum por el definiens sobre la base de definiciones explcitas) el + no esidntico al + ordinario, pues puede definirse slo para un nmero finito de

argumentos (por enumeracin de este nmero finito de casos). (Si, por otrolado, + se define contextualmente, entonces el concepto de multiplicidad finitaha de usarse ya en la prueba de 2 + 2 = 4.) Una circularidad similar [[IEE. a la

pruebas que pueden basarse en ellos. Hasta ahora la evidencia de este hecho no esabsolutamente concluyente porque los axiomas evidentes sobre los conceptos no abstractos enconsideracin no han sido investigados de forma suficientemente minuciosa. Sin embargo, elhecho en s es reconocido incluso por destacados formalistas.NG28 La objecin surgida aqu contra la fundamentacin sintctica de la teora de nmeros essustancialmente la misma que Poincar dirigi contra la fundamentacin de la teora denmeros de Frege y contra la de Hilbert. Sin embargo, esta objecin no se justifica contraFrege porque los conceptos y axiomas que l tena que presuponer no contenan

explcitamente el concepto de multiplicidad finita y sus axiomas, mientras que los conceptosy consideraciones gramaticales necesarios para establecer las reglas sintcticas y su carctertautolgico s que los contienen.


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que acabo de sealar en la reduccin de 5 + 7 =12 a una identidad explcitaNI3]]tiene tambin lugar en la prueba de que p p es una tautologa, porque ladisyuncin y la negacin aparecen tambin en ella en sus significadosintuitivos.]]

[Nota de Gdel tras la omisin de los textos tachados acabados detranscribir: Comenzar]

[[IEE. Hasta ahora mis consideraciones sobre el platonismo han sidoprincipalmente apagoge [as llama Aristteles a la reduccin al absurdo enAnal. Pr. i. 6, 28b2], es decir, he tratado de refutar la concepcin contraria ensus diversas formas. Cmo conclusin de esta conferencia me gustaradescribir de forma positiva y con algn detalle la concepcin acerca de lanaturaleza de la matemtica a la que en mi opinin los modernos desarrollosen los fundamentos nos conducen. Creo que ello puede ser llevado a cabomejor... [?] la concepcin que he estado criticando.]]

La esencia de esta concepcin es que no existen cosas tales como loshechos matemticos, y que la verdad de las proposiciones mediante las quecreemos expresar hechos matemticos se debe slo a un huero funcionar dellenguaje (en virtud de reglas ms bien complicadas que definen el significadode las proposiciones, es decir, que determinan bajo qu circunstancias esverdadera una proposicin dada), mediante el cual dichas reglas hacenverdaderas a aquellas proposiciones con independencia de lo que los sean loshechos. Tales proposiciones pueden correctamente describirse como vacas decontenido. Entonces, es de hecho posible construir un lenguaje en el que lasproposiciones matemticas carezcan de contenido en este sentido.

El problema es slo que: 1. para mostrar que los hechos matemticos noexisten han de usarse los mismos hechos matemticosNEI (u otros igualmentecomplicados); 2. mediante este mtodo, si se dividen los hechos empricos endos partes A y B, tales que 8 no implique nada en A, puede construirse unlenguaje en el que las proposiciones que expresen B carezcan de contenido. Ysi nuestros adversarios objetaran que estaramos as ignorando ciertos hechosobservables B, podramos responder que ellos hacen lo mismo, por ejemplo,con la ley de induccin completa, que percibimos como verdadera sobre labase de nuestra comprensin (esto es, percepcin) del concepto de nmeroentero. Adems, se ve fcilmente que para cualquier divisin de los hechosempricos en dos clases A y B, tales que los hechos de B no impliquen nada

acerca de los de A, podramos construir un lenguaje, usando slo los hechosde B, en el que las proposiciones que expresaran los hechos de B estuvieranvacas de contenido y fueran verdaderas slo en virtud de reglas semnticas.

Sin embargo, me parece que a pesar de ello hay un ingrediente en estaconcepcin errnea de la verdad matemtica que es perfectamente correcto y

NI3 [[IEE. Esta circularidad no implica que (como Poincar ... [?]) la derivacin fregeana de talesecuaciones a partir de axiomas lgicos o conjuntistas contenga un crculo vicioso (cf. nota [?]).[[pues para Frege, a diferencia del nominalismo, una inferencia no es una operacincombinatoria de ciertas combinaciones de smbolos (que implica el concepto de multiplicidadfinita), sino una intuicin acerca de los conceptos lgicos que aparecen en ella.]] ]]NEI En la pg. 29 [NT: del manuscrito original]del texto manuscrito por Gdel aparece en este

punto una observacin no numerada citada. Realmente es una anotacin taquigrfica, mas queuna nota al pie o una marca para un inserto de texto. Una transcripcin se da en las NotasTextuales.


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de hecho revela la verdadera naturaleza de la matemtica. A saber: es correctoproclamar que las proposiciones matemticas no dicen nada acerca de lo fsicoo psquico que exista en el espacio y el tiempo, porque son ya verdaderas envirtud del significado de los trminos que aparecen en ellas, con independenciadel mundo de las cosas. Lo errneo, sin embargo, consiste en decir que el

significado de los trminos (o sea, los conceptos que stos denotan) sea algohecho por nosotros y consista meramente en convenciones semnticas.Creo que la verdad es que esos conceptos forman una realidad objetiva

por s mismos, la cual no podemos crear o cambiar, sino slo percibir odescribirNG29. Por tanto, las proposiciones matemticas, aunque no digan nadaacerca de la realidad espacio-temporal, pueden sin embargo poseer uncontenido objetivo slido, en la medida en que digan algo acerca de larelaciones entre los conceptos. La existencia de relaciones no tautolgicasentre los conceptos de la matemtica aparece [[IEE no tanto en el hecho trivialde que tanto para la matemtica como para la sintaxis deban necesariamenteasumirse ciertos primitivos, esto es, ciertas ideas indefinibles, sino]] sobre todo

en el hecho de que para los trminos primitivos de la matemtica debenasumirse axiomas que de ningn modo son tautologas, en el sentido de serreducibles a a = a, sino que se siguen del significado del trmino primitivo enconsideracin.

Por ejemplo, el axioma bsico, o ms bien el esquema axiomtico, parael concepto de conjunto de enteros dice que, dada una propiedad bien definidade los enteros (es decir, una expresin proposicional (n) con una variableentera n), existe el conjunto Mde aquellos enteros que poseen la propiedad .Considerando ahora la circunstancia de que pueda ella misma contener eltrmino conjunto de enteros, nos encontramos aqu con una serie deaxiomas bastante complejos sobre el concepto de conjunto. No obstante, esosaxiomas (como muestran los resultados mencionados) no pueden reducirse anada sustancialmente ms simple, no digamos a tautologas explcitas. Escierto que tales axiomas son vlidos en virtud del significado del trminoconjunto; podra incluso decirse que expresan el verdadero significado deltrmino conjunto, y que por tanto podran ser adecuadamente calificados deanalticos; sin embargo, el trmino tautolgico, es decir vaco de contenido,est aqu fuera de lugar; porque incluso la afirmacin de la existencia de unconcepto de conjunto que satisface aquellos axiomas (o de la de suconsistencia) est tan lejos de carecer de contenido que no puede percibirse [?][NT: La edicin inglesa dice: ... contenido que no pueda demostrarse sin ...]

sin usar de nuevo el concepto mismo de conjunto, o algn otro conceptoabstracto de naturaleza similar.Este argumento particular se dirige por supuesto slo a los matemticos

que admiten el concepto de conjunto en la matemtica propiamente dicha. Sinembargo, para los finitistas cabra aducir el mismo argumento a propsito delconcepto de entero y del axioma de induccin completa. Pues, si no se admiteel concepto general de conjunto en la matemtica propiamente dicha, entoncesla induccin completa debe tomarse como axioma. [[IEE. No creo que a esta

NG29 Esto vale tambin para aquellas partes de la matemtica que pueden reducirse a reglassintcticas (vase ms arriba), pues tales reglas se basan en la idea de multiplicidad finita (estoes, de una secuencia finita de smbolos), y esta idea y sus propiedades son enteramente

independientes de nuestra libre eleccin. De hecho su teora es equivalente a la teora de losenteros. La posibilidad que esta teora incorpora de construir as un lenguaje en forma dereglas sintcticas no prueba nada. Vase la nota [?].


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concepcin sobre la analiticidad de la matemtica pueda objetarse que unaproposicin matemtica indecidible, cuya verdad pueda reconocerse al menosde forma probable, no puede ser analtica. Pues estoy usando el trmino, noen.]] Deseo repetir que aqu analtico no quiere decir [[IEE. el sentido subje-tivista de]] verdadero en virtud de nuestras definiciones, sino ms bien [[IEE.

en el sentido objetivista de]] verdadero en virtud de la naturaleza de losconceptos concurrentes; a diferencia de [[IEE. sinttico, que significara]]verdadero en virtud de las propiedades y el comportamiento de las cosas.

Este concepto de analtico est tan lejos de significar vaco decontenido que es perfectamente posible que una proposicin analtica seaindecidible (o decidible slo de forma probable). Pues nuestro conocimiento delmundo de los conceptos puede ser tan limitado e incompleto como el quetenemos del mundo de las cosas. Es cierto e innegable que este conocimientoes (en ciertos casos), no slo incompleto, sino incluso indiferenciado, Esto tienelugar en las paradojas de la teora de conjuntos, que se aducen frecuentementecomo una refutacin del platonismo, aunque en mi opinin de forma

completamente injusta. Nuestras percepciones visuales contradicen a vecesnuestras percepciones tctiles, por ejemplo en el caso de una vara inmersa enagua, pero nadie en su sano juicio concluira de ello que el mundo externo noexiste.

Desde luego no pretendo que las consideraciones anteriores equivalgana una prueba real de esta concepcin acerca de la naturaleza de lamatemtica, Lo ms que podra afirmar sera haber refutado la concepcinnominalista, que considera que la matemtica consiste solamente enconvenciones sintcticas y sus consecuencias. Adems, he aducido algunospotentes argumentos contra la concepcin ms general segn la cual lamatemtica es una creacin nuestra. Sin embargo, existen otras alternativas alplatonismo, en particular el psicologismo y el realismo aristotlico. A fin dedemostrar la verdad del realismo platnico tales teoras han de refutarse unatras otra, y entonces debera mostrarse que agotan todas las posibilidades. Noestoy ahora en posicin de hacer[[IEE. concluyentemente]] esto; sin embargo,me gustara ofrecer algunas indicaciones en esa lnea.

Una forma posible de psicologismo admite que la matemtica investigalas relaciones entre los conceptos, y que los conceptos no pueden crearse avoluntad, sino que nos son dados como una realidad que no podemos cambiar;sin embargo, afirma que tales conceptos son slo [[IEE. estructuras o]] dispo-siciones psicolgicas [[IEE. en nuestras mentes]], es decir, que no son nada,

sino las ruedas de nuestra mquina pensante, por as decir Para ser mspreciso, un concepto consistira entonces en la disposicin a: 1. tener ciertaexperiencia mental cuando pensamos en l, y 2. aprobar ciertos juicios (o tenerciertas experiencias de conocimiento directo) acerca de sus relaciones conotros conceptos y con objetos empricos.

La esencia de esta concepcin psicologista es que el objeto de lamatemtica no es nada ms que el conjunto de leyes psicolgicas segn lascuales los pensamientos, las convicciones, etc., tienen lugar en nosotros, en elmismo sentido en que el objeto de otra parte de la psicologa es el conjunto deleyes segn las cuales las emociones tienen lugar en nosotros. La principalobjecin a esta concepcin que se me ocurre en este momento es que si fuera

correcta no poseeramos conocimiento matemtico alguno. No sabramos, porejemplo, que 2 + 2 = 4, sino slo que nuestra mente est constituida de tal


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forma, que acepta la verdad de tal enunciado, y que no habra entonces raznalguna para que, a travs de otra lnea de pensamiento, no pudiramos llegar ala conclusin opuesta con el mismo grado de certeza. Por tanto, quienquieraque afirme la existencia de algn dominio, por pequeo que sea, deproposiciones matemticas que sepamos ciertas, no pueda aceptar esta

concepcin.[[IEE. Otra forma de psicologismo dice que no son los conceptos ma-temticos, sino los objetos a los que ellos se refieren, los que tienen uncarcter puramente subjetivo o menta, por ejemplo, el de ser operaciones de lamente, tales como pasar al siguiente nmero entero al contar. Si, segn estepunto de vista, se mantiene que las proposiciones acerca de esas entidadesmentales son analticas (en cualquier sentido de este trmino), entonces[[tambin se es un platnicoNI3]] debe afirmarse que nuestro conocimiento de(as proposiciones analticas se limita a las proposiciones que se refieren afenmenos mentales, lo cual [[si se acepta el platonismo]] me parececompletamente antinatural e inaceptable. Si, por otro lado, se mantiene que las

proposiciones acerca de esas entidades mentales son sintticas, es difcil vercmo puede conocerse cualquier proposicin matemtica universal, exceptopor generalizacin inductiva.NI4]]

[[IEE. Respecto a la concepcin correspondiente al realismo aristotlico[[(que afirma que los conceptos son partes o aspectos de cosas espacio-temporales) me parece que difcilmente podr ofrecer una explicacinsatisfactoria de los conceptos pertenecientes a niveles superiores al primero (ytodos los conceptos matemticos son as)]], difcilmente podr mantenerse quelos objetos de la matemtica son objetos singulares de la naturaleza (talescomo montones de piedras). Sin embargo, si se afirma que los objetos de lanaturaleza con los que trata la matemtica son cualidades (y relaciones),entonces han de afrontarse todas las dificultades relacionadas con laconcepcin aristotlica de que las cualidades y las relaciones son partes(abstractas) de las cosas. En particular, la transitividad de la relacin de parteparece implicar que las cualidades de cualidades son cualidades de las cosas.Adems, es muy difcil pensar en todos los mundos posibles como partes delmundo real. No he clarificado satisfactoriamente an todos los aspectos deestas cuestiones. Desde luego, todas estas consideraciones son ms bienvagas.]]

Tengo la impresin de que tras suficiente clarificacin de los conceptos

NI3

[[IEE. Como se seal en la nota [?], la mera suposicin de que los conceptos son algoobjetivo (esto es, extramental), no significa todava realismo platnico, sino ms bien unadisyuncin de esta concepcin y el conceptualismo aristotlico [[que los conceptos sonelementos (o partes abstractas) del mundo espacio-temporal, que conocemos mediante laaplicacin de nuestra facultad mental de analizar (o abstraer) al material aportado por lossentidos]]. Sin embargo, en esta teora no parece posible ninguna otra proposicin a prioriacerca de los conceptos, excepto aquellas que establecen relaciones parte-todo entre esosconstituyentes, es decir, aquellas que pueden reducirse a tautologas explcitas. De aqu quecomo consecuencia de la naturaleza no tautolgica de los axiomas matemticos (vase msarriba), el conceptualismo aristotlico [[parezca implicar que la naturaleza sinttica de lamatemtica no puede sostenerse]] no sea aplicable a la matemtica.]]NI4 [[IEE. Kant sostuvo esa posibilidad en virtud de su intuicin pura, cuya funcin eshacernos presente una totalidad de objetos singulares (esto es, puntos, lneas, etc.), de tal

manera que, a diferencia de las percepciones sensibles, podamos entender directamente lasproposiciones generales, con independencia de esa percepcin, sin ninguna extrapolacin oinduccin. ... [?].]]


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en cuestin ser posible conducir estas discusiones con rigor matemtico, y deque el resultado ser entonces que (bajo ciertas hiptesis que difcilmentepueden negarse en particular la hiptesis de que existe absolutamente algocomo el conocimiento matemtico) la concepcin platnica es la nicasostenible. Con ello me refiero a la concepcin de que la matemtica describe

una realidad no sensible, que existe independientemente tanto de los actoscomo de las disposiciones de la mente humana, y que es slo percibida porella, aunque probablemente de forma incompleta. Esta concepcin es ms bienimpopular entre los matemticos, aunque algunos de los grandes la hanadoptado, por ejemplo Hermite, que escribi una vez lo siguiente:

Existe, si no me equivoco, todo un mundo que es el conjunto de lasverdades matemticas, al que no tenemos acceso ms que por lainteligencia, al igual que existe el mundo de las realidades fsicas;ambos son independientes de nosotros y de creacin divina.NG30

NG30 Cf G. Darboux, [Eloges ocadem. et discours,, 1912, p. 142]. El pasaje citado contina comosigue: que no parecen diferentes ms que a causa de la debilidad de nuestra mente y quepara un pensamiento ms potente no son sino una sola y la misma cosa, cuya sntesis serevela parcialmente en la maravillosa correspondencia que existe entre la matemticaabstracta, de una parte, y la astronoma y todas las ramas de la fsica de la otra [en francs,en el original]. As, Hermite parece aqu inclinarse hacia el realismo aristotlico. Sin embarg lo

hace slo de forma metafrica, ya que el platonismo permanece como la nica concepcincomprensible para la mente humana.


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Apndice: interpolaciones y notas sueltas

[Contiene diversas interpolaciones y notas que, al igual que las que he

ido intercalando en el texto precedente a travs de corchetes dobles, fueronfinalmente desechadas por Gdel, o incluso tambin tachadas, pero que, adiferencia de ellas, no he podido determinar su lugar original en el texto. Setrata de un material a menudo comprensible por s mismo, y en muchos casossusceptible de ser relacionado con ideas que aparecen aqu y all en el textoanterior, y por supuesto siempre interesante. Conservo su nmero originalaunque slo sea para preservar el orden en que fueron escritas y dar al menosalguna idea de su relacin con el texto.]

Interpolaciones

15. [[Existe una forma ms suave (y no tan completamente absurda) deempirismo (defendida por Aristteles) segn la cual los conceptos (esto es, laspropiedades) son partes de las cosas (y por tanto no tan diferentes de su ... [?]espacial) que llegan a nuestro conocimiento mediante los sentidos. ... [?]. Lasproposiciones lgicas o matemticas, sin embargo, no son empricamenteverdaderas, sino que establecen slo esta relacin de la parte al todo.]]

17. Uno podra sin embargo decir que a fin de desarrollar la concepcinnominalista no se necesita una prueba matemtica de este hecho, sino que laevidencia emprica (obtenida al extraer las consecuencias de las reglassintcticas) es suficiente. [[En este sentido restringido, el punto de vista

nominalista puede de hecho sostenerse (tomando como una de las reglassemnticas que todo lo derivable de los axiomas matemticos arbitrariamente escogidos es verdadero).]] Pero a esta sugerencia debeobjetarse que [[en este sentido puede hacerse tautolgica no slo lamatemtica, sino toda la ciencia (tambin la fsica)]] el mismo hecho encuestin (o mejor, la proposicin que lo expresa), o sea, que las reglassemnticas no implican proposiciones empricas, por un lado, que talproposicin no es emprica de acuerdo con la propia interpretacin nominalistade las proposiciones matemticas (no dice nada acerca del mundo espaciotemporal ... [?]), y, por otro lado, que no es tautolgica, en cuyo caso tendraque ser demostrable mediante el anlisis del contenido de las reglas sintcticas

(mientras que por el axioma bajo el cual nosotros ... [?] indemostrable). As, laconcepcin semntica (en esta formulacin) presupone precisamente uno delos hechos matemticos cuya no existencia desea probar[?].

21, [[La razn por la que (en mi opinin) la exclusin del empirismo,junto con la objetividad de la matemtica, conduce a algo como el platonismo,es que poseemos las dos categoras de cosa y concepto, tomadas ambasen el sentido ms amplio (es decir, las de actualidad y posibilidad) ... [?].]]

24. Para ser ms precisos, se afirma que el significado de los smbolosmatemticos est completamente contenido en las reglas hechas por loshumanos que gobiernan su uso, y que los teoremas matemticos son aquellasproposiciones que son verdaderas en virtud de las convenciones lingsticas

sobre el uso de los smbolos que aparecen en ellas.26. En segundo lugar, los nominalistas podran decir que, bajo la


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suposicin de que los objetos y hechos matemticos son creaciones libres, laexistencia de una proposicin indecidible es algo imaginable. Significa slo quemediante nuestros actos creativos no hemos determinado los objetos en todossus aspectos, y por tanto hemos de suplementar esos actos por otros nuevosque determinen, por ejemplo, sip o no-p es verdadero (en el caso de quep sea

indecidible). Este argumento, una vez generalizado, parece muy convincente;sin embargo, aplicado a cierta ... [?] situacin se convierte en ... [?]. Esto es,puesto que la cuestin de la consistencia del sistema matemtico creado es enparticular una de las proposiciones indecidibles del sistema, entonces elargumento dice aqu que podemos decidir sobre la consistencia de un sistemaarbitrario mediante una nueva suposicin arbitraria.

28. En contradiccin directa con la concepcin nominalista, que desealimitarse en sus presuposiciones a un subsistema definido (y muy pequeo) dela matemtica, a saber el que trata (de forma finitaria) con combinacionesfinitas de objetos discretos (los smbolos). Por tanto, esta base esdemostrablemente insuficiente incluso para la prueba de consistencia de la

teora de nmeros (porque sta est contenida en la matemtica). [Nota al pie:]El punto decisivo al respecto es que para esta proposicin y a fortioriparatodas las necesarias para lograr la prueba de consistencia deben usarseaxiomas sobre ciertos conceptos abstractos. La esencia del nominalismo esque no acepta tales conceptos abstractos en s mismos, sino slo en la medidaen que ellos pueden interpretarse en trminos de smbolos y objetos sensibles.Pero tal interpretacin se demuestra como imposible excepto para unfragmento muy pequeo de la matemtica, con tal de que se requiera de unainterpretacin que deba ofrecer un fundamento racional para nuestrascreencias precrticas (lo cual es el motivo mismo de cualquier interpretacintal).

Notas

11. Este argumento no es vlido para los finitistas, porque tal concepcinrechaza explcitamente cualquier concepto general de conjunto o funcin deenteros, incluso en el sentido intuicionista restringido de funcin constructible ocomputable. Sin embargo, una situacin similar predomina en la matemticafinitaria en la medida en que para probar ciertas proposiciones sobre ciertasfunciones (tales como + y ) deben introducirse otras funciones(recursivamente definidas) (tales como la exponenciacin), y en la matemtica

finitaria las definiciones por induccin no pueden considerarse como merasabreviaturas, sino que cada una de ellas constituye ... [?].12. Pues a fin de lograr una interpretacin de la matemtica debe

requerirse que se siga de las reglas semnticas, no slo que los axiomasmatemticos son verdaderos, sino tambin que sus negaciones no lo son, o almenos ... [?] similar debe hacerse. [[Porque si las reglas semnticas sobre losconceptos lgicos y matemticos no son sino meros recursos para asociar a larealidad nuevos tipos de expresiones de un modo ms til, aunque mscomplicado, del que resulta al establecer los hechos empricos singularesmediante proposiciones atmicas (tales como esto es rojo), entonces talesreglas no deben ciertamente permitirnos deducir nuevas proposiciones

atmicas, como sera el caso si ellas implicaran una contradiccin.]] Porque losaxiomas en cuestin no seran ciertamente tautolgicos (esto es, vacos de


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contenido) si implicaran proposiciones empricas, como sera el caso si impli-caran una contradiccin, pues entonces se seguira cualquier proposicinemprica. [[Es claro tambin que si la matemtica consiste meramente enconvenciones lingsticas entonces debe ser imposible que impliqueproposiciones empricas.]] De aqu que a fin de probar el carcter t

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conferencia Gibbs, godel