Godel [_] (Para Todos) - Guillermo Martinez

8/20/2019 Godel [_] (Para Todos) - Guillermo Martinez

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∀


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Guillermo Martínez & Gustavo Piñeiro, 2009Diseño de cubierta: koothrapali

Editor digital: koothrapaliePub base r1.2


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Para Robert Cignoli, de su alumnodescarriado

GUILLERMO MARTÍNEZ

A Gisela, y a Carolina y DianaGUSTAVO PIÑEIRO


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NTRODUCCI N

El Teorema de Incompletitud de Gödel es uno dos resultados más profundos y paradójicos de l

ógica matemática. Es también, quizás, eeorema que ha ejercido más fascinación eámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sidcitado en disciplinas tan diversas como lemiótica y el psicoanálisis, la filosofía y la

ciencias políticas. Autores como Kristeva, LacanDebray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, hanvocado a Gödel y sus teoremas en arriesgada

analogías. Junto con otras palabras mágicas de l


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escena posmoderna como «caos», «fractal»«indeterminación», «aleatoriedad», el fenómende incompletitud se ha asociado también

upuestas derrotas de la razón y al fin de lcertidumbre en el terreno más exclusivo depensamiento: el reino de las fórmulas exactaPero, también, desde el interior de la ciencia sesgrime el Teorema de Gödel en agudacontroversias epistemológicas, como la quodea las discusiones sobre inteligencia artificia

Surgido casi a la par de la Teoría de lRelatividad, y de manera quizá más sigilosa, eTeorema de Gödel se ha convertido en una piezundamental y una referencia ineludible de

pensamiento contemporáneo.Pero, a diferencia de la teoría de Einstein, e

que por la sofisticación de las ecuaciones lomejores intentos de divulgación parececondenados a ejemplos con relojes y personaque no envejecen en viajes por el espacio —l

clase de divulgación que arrancó la conocid


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broma de Sabato[1]—, en el caso del Teorema dncompletitud hay una buena noticia, y es qu

puede darse una exposición a la vez rigurosa

accesible, que no requiere ninguna formaciómatemática, más que el recuerdo de la suma y lmultiplicación tal como se enseñan en la escuelprimaria.

Eso es exactamente lo que nos propusimohacer en este libro: una exposición detalladapero de extrema suavidad, totalmentautocontenida, que permita a las personas dcualquier disciplina que sólo tengan lmprescindible «curiosidad de espíritu

aventurarse a la experiencia de conocer eprofundidad una de las hazañas intelectuales máextraordinarias de nuestra época.

Pensamos y concebimos Gödel ∀ (para todoscomo un juego por etapas, con la esperanza dque los lectores se desafíen a sí mismos a pulsaenter al final de cada capítulo para pasar a

próximo nivel. El juego empieza realmente desd


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cero y gran parte de nuestro esfuerzo fue intentaa mayor claridad posible en cada una de esta

etapas para que, idealmente, cada lector pued

legar tan lejos como se proponga.Una palabra sobre el título: cada vez que sagrega «para todos» al título de libros ddivulgación (y mucho más cuando el libro sefiere a cuestiones o autores considerado

«difíciles»), se sobreentiende que el «para todoses en realidad un eufemismo entrcondescendiente y piadoso, que oculta averdadero «para los que no saben nada de nada»No es el caso de este libro. Cuando decimo«para todos» nos referimos más bien averdadero significado que tiene la expresión, eodo su alcance. Nuestro libro está dirigido n

ólo a los que «no saben nada de nada», sinambién a los lectores que hayan leído sobre e

Teorema de Gödel en exposiciones parciales, aun a los que hayan estudiado los teoremas d

Gödel y sus demostraciones en profundidad


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Porque si bien nuestro libro empieza de cerolega mucho más allá de lo que se han propuestas divulgaciones más conocidas en lengu

castellana. En particular, damos undemostración rigurosa y con todos los detalles dos teoremas, aunque en una aproximació

diferente de la más habitual, novedosa por sencillez, en la que utilizamos la mínim

cantidad posible de tecnicismos matemáticoHemos incluido también un último capítulo couna investigación propia del fenómeno dncompletitud en un contexto general

problemas abiertos, para mostrar la prolongacióque tienen estas ideas y las preguntas que loeoremas de Gödel, todavía hoy, sigueuscitando.

El material está organizado de la siguientmanera:

En el primer capítulo damos un

panorama general, y una primera


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aproximación informal, tanto de losenunciados de los teoremas de Gödelcomo de algunas derivaciones

filosóficas.En el capítulo 2 exponemos elcontexto histórico y el estado de la discusión en los fundamentos de la

matemática en el momento en queirrumpen los resultados de Gödel. Alfinal del capítulo incluimos una sección sobre las tergiversaciones y

errores más frecuentes en torno de la divulgación de los enunciados.

En el capítulo 3 introducimos ellenguaje formal necesario para enunciar los teoremas con toda la exactitud necesaria, y abrir paso a lasdemostraciones.


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Los tres capítulos terminan aparentemente da misma manera, con el enunciado de loeoremas de Gödel. Pero nuestra intención

esperanza es que se lean, cada vez, con uncomprensión más profunda, y con el nueventido y la mayor precisión que se incorpora e

cada etapa.

En el capítulo 4 exponemos algunasanalogías e intentos de aplicación delTeorema de Gödel en distintasdisciplinas sociales, fuera de la matemática. En particularanalizamos textos de Julia Kristeva,Paul Virilio, Régis Debray, GillesDeleuze y Félix Guattari, JacquesLacan, y Jean-François Lyotard.

Esto concluye la primera parte.

La segunda parte está dedicada a l


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demostración de los teoremas. La prueba qudamos tiene, creemos, la mínima cantidaposible de tecnicismos matemáticos. Mostramo

esencialmente, que toda la argumentación dGödel puede desarrollarse a partir de un únichecho matemático: la existencia en la aritméticde una operación que refleja la manera en que laetras de un lenguaje se yuxtaponen unas

continuación de las otras para formar palabras.La tercera parte, finalmente, está dedicada

una exploración propia sobre el fenómeno dncompletitud en un contexto más general

abstracto. Nos preguntamos cuál es el hechmatemático que puede rastrearse en otroobjetos, y que «divide aguas» entre teoríacompletas e incompletas.

Casi todos los capítulos incluyen al final unección de ejercicios. Después de algunas duda

decidimos agregar también la resoluciónEsperamos que esto sea un estímulo adiciona

para pensar primero «sin ayuda» una solució


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propia y sólo después comparar con la quproponemos en cada caso.

El libro se completa con tres apéndices: e

primero, para consulta durante la lectura, reúnuna variedad de teorías que sirven de ejemplo contraejemplo a distintas afirmaciones. Eegundo es una selección de textos de los propio

protagonistas —Cantor, Russell, Hilbert, etc.—obre los hitos principales del fenómeno dncompletitud, que dan en conjunto una pequeñ

historia del tema. El tercero es una biografía dKurt Gödel, con una cronología de su vida.

Hemos dejado en el último capítulo preguntaabiertas y quizás algunos lectores se propongaambién el desafío de responderlas. Otroectores, tal vez, quieran hacernos llega

ugerencias o críticas sobre distintos puntos dnuestra exposición, o señalarnos errores que snos hayan deslizado. Decidimos por eso abrir ublog para recibir comentarios:


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www.godelparatodos.blogspot.com

Pondremos allí también en forma completalgunos de los textos citados que debimo

esumir para el formato libro, y también distintoartículos de la bibliografía que nos resultaroparticularmente interesantes.

Queremos finalmente agradecer a Xavie

Caicedo por varias conversaciones explicaciones esclarecedoras sobre puntodelicados de la teoría y también la lectura finagenerosa y atenta de Pablo Coll, Gisela Serrano

Pablo Amster.Para esta nueva edición española quisiéramoagradecer también los comentarios y aportes dVerónica Becher, Roberto Cignoli, Cristia

Caravello, Máximo Dickmann, FranciscEspinosa, Javier Fresán, Hernán GonzálezTomás Ibarlucía, María Celia Ibarra, PablKaczor, Laureano Luna, Luciano Robino y EnzTagliazucchi.

http://www.godelparatodos.blogspot.com.es/


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PRIMERA PARTE


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CAPÍTULO UNO

UN PANORAMA GENERAL

Lo verdadero y lo demostrable. Los sistemasaxiomáticos formales. Completitud y axiomas. Elinfinito: La bête noire en los fundamentos de la matemática. El Teorema de Incompletitud. La prueba original de Gödel. El Teorema de Consistencia.Extensión y alcance del Teorema de Gödel.Precauciones. Gödel, las computadoras y la inteligencia artificial. Derivaciones filosóficas.Ejemplos y ejercicios.

Hay un concepto que es elcorruptor y el desatinador de los

otros. No hablo del Mal, cuyolimitado imperio es la ética; hablodel infinito.

JORGE LUIS BORGES Avatares de la tortuga


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§ 1. LO VERDADERO Y LO DEMOSTRABLE

El Teorema de Incompletitud de Gödel trat

de la verdad en matemática y de la parte dverdad que puede ser comprobada a partir daxiomas, en esos fragmentos de texto de líneaucesivas encadenadas por pasos lógicos que lo

matemáticos llaman demostración.En otras disciplinas del conocimient

iempre ha sido claro que lo verdadero nnecesariamente coincide con lo demostrablemaginemos, para dar una analogía con l

usticia, que se comete un crimen en un cuartcerrado y que el juez de instrucción, al llegaencuentra que hay únicamente dos sospechosounto al cadáver.


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Fig. 1: La cuestión de lo demostrableempieza cuando los dos dicen:

«Yo no fui».

Cualquiera de estos dos sospechosos saboda la verdad sobre el crimen, que puedesumirse en la frase «Yo fui» o «Yo no fui». E

decir, la cuestión de la verdad del suceso, quhubo un crimen y hay un culpable, no está e


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duda. Sin embargo, si el juez no dispone de lconfesión directa del culpable, debe intentar ucamino indirecto: recolección de evidencia

materiales, verificación de horarios y coartadahuellas dactilares, etc. Muchas veces este caminndirecto no alcanza a demostrar, de acuerdo coos estrictos requisitos legales, ni la culpabilida

de uno ni la inocencia del otro. Hay una verdadpero el método, a veces, es insuficiente pardemostrarla de acuerdo a la exigencia de supropios protocolos. Algo similar ocurre en larqueología, en las hipótesis alrededor de unexcavación. Hay también una verdad precisa, qucorresponde a lo que en una época determinadueron esos seres humanos, con sus rituales

costumbres, pero los arqueólogos sólo puede

nferir, a partir de los despojos que encuentranversiones parciales de esa verdad. En este caso lverdad es como un límite, la sucesión en eiempo de restos hallados, e hipótesi

provisorias.


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En muchos otros campos del conocimientestán representados estos dos mundos distintoo verdadero y lo demostrable. Aunque s

olapan, no necesariamente coincidenCuriosamente, los matemáticos, por lo menohasta el siglo XIX,[2] siempre pensaron que en sdisciplina los dos mundos eran identificables,

que cualquiera que fuera la verdad que pudieraobservar en el mundo platónico de los objetomatemáticos bajo estudio (cierto orden, ciertaconexiones, cierto patrón de regularidad), es

verdad podría reobtenerse «por escrito» mediantel método axiomático, como tesis de undemostración. Sin embargo, el Teorema dncompletitud de Gödel puso en evidencia unimitación intrínseca a las demostracione

basadas en sistemas de axiomas. Pero parentender qué dice exactamente el teorema (y quno dice) debemos precisar mejor qué entiendeos matemáticos por demostración y por sistem

axiomático.


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Una demostración en matemática es uncadena de afirmaciones, de oracioneafirmativas, en las que aparecen fórmulas

consideraciones lógicas (véase por ejemplo laFig. 2).


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Fig. 2: Pizarrón con líneas de unademostración. Q.E.D. son las letras conque los matemáticos terminan unademostración y significan «Comoqueríamos demostrar» (quod erat demonstrandum).

Cada una de estas afirmaciones, tambiélamadas enunciados, es, o bien un axioma (u

enunciado que se da por válido al inicio de

azonamiento), o bien se obtiene de eslabone


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anteriores en la cadena por reglas lógicas biedeterminadas. Los teoremas son los enunciadoque admiten una demostración.

Una vez escrita una demostración —y éste equizás el punto más sólido de la matemáticcomo ciencia— cualquiera puede detenerscuanto quiera entre paso y paso para inspeccionaa corrección del argumento. Más aúndealmente incluso una persona si

conocimientos matemáticos debería ser capaz deguir y corroborar una demostración verificand

cada una de las ligaduras lógicas. Es uprocedimiento casi mecánico, similar al de lcomputadora que dibuja rayitas rectas, en píxelmuy pequeños, sin saber que al finaconformarán una figura de complejida

nsospechada.Repetimos entonces: una demostración es un

ucesión en general muy larga de enunciadoque se encadenan uno a otro por pasos mu

elementales, estrictamente lógicos. Estos paso


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pueden examinarse con todo el detenimientnecesario para tener la absoluta seguridad de quno se ha cometido ningún error. Cuando e

azonamiento es profundo, la tesis, aunque sdesprende necesariamente de la sucesión dpasos, sorprende con respecto a los axiomas, da misma manera que la secuencia de actonocentes de un ilusionista no hace esperar e

efecto maravilloso final. La inteligencia, lcreatividad, estuvo antes, en la elección inspiradde cada paso para encontrar, entre todas laposibles bifurcaciones, el camino oculto quleva de los axiomas a la tesis.


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Fig. 3: La demostración como un

laberinto de bifurcaciones. El caminoes «fácil» sólo después de marcado.

En un ensayo en que examina «La filosofía da composición», de Poe, Borges recuerda l

ustificación minuciosa, la maquinaria de cálculntelectual que alega Poe sobre la escritura de s

poema «El cuervo», y a continuación declara:

Yo, ingenuamente acaso, creo en las


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explicaciones de Poe. Descontada alguna posible ráfaga de charlatanería, piensoque el proceso mental aducido por él ha

de corresponder, más o menos, al procesoverdadero de la creación. Yo estoy segurode que así procede la inteligencia: porarrepentimientos, por obstáculos, poreliminaciones. La complejidad de lasoperaciones descriptas no me incomoda,sospecho que la efectiva elaboración tieneque haber sido aún más compleja ymucho más caótica y vacilante. Loanterior no quiere decir que el arcano dela creación poética, de esa creaciónpoética, haya sido revelado por Poe.En los eslabones examinados la

conclusión que el escritor deriva de cada premisa es, desde luego, lógica, pero nola única necesaria. [Borges]


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Si cambiamos en la frase final «escritor» po«matemático» la analogía con una demostracióen matemática es perfecta: porque también aqu

«en los eslabones examinados la conclusión quel matemático deriva de cada premisa es, desduego, lógica, pero no la única necesaria».

§ 2. LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOSFORMALES

Dijimos antes que incluso una persona siconocimientos matemáticos debería ser capaz deguir y corroborar una demostración. En eondo, la idea que está en el corazón de la

demostraciones a partir de axiomas es que caddemostración pueda ser corroborada de unmanera absolutamente mecánica, sin que senecesario «entender» qué dice cada línea, en uncantidad finita de pasos lógicos. El cumplimient


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de este requisito para las demostraciones estntimamente ligado a la manera de elegir y fija

en cada caso el conjunto de axiomas. En realidad

a condición crítica que debe pedirse al conjuntde axiomas es la siguiente:

(R) Dado un enunciado cualquiera, pueddeterminarse, en una cantidad finita d

pasos, si el enunciado pertenece o no aconjunto de axiomas.

Esta pequeña precisión técnica, dada por la

condición (R) —que en la mayoría de ladivulgaciones no se menciona— es fundamentapara enunciar y entender en su verdadero alcancel Teorema de Gödel. Diremos en lo sucesivo

para seguir el nombre que le dio originariamentGödel, que un conjunto de axiomas es recursivi verifica esta condición. Todo conjunto dad

por una lista finita de axiomas es recursivo, perambién hay conjuntos infinitos de axiomas qu


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on recursivos. (Véanse los Ejercicios 1.1 y 1.2 ainal del capítulo). La importancia de est

definición, repetimos, es que:

Toda demostración a partir de un conjuntrecursivo de axiomas puede corroborarse euna cantidad finita de pasos.

Probaremos esto en el próximo capítulo. Valambién que si un conjunto de axiomas eecursivo, todas las demostraciones a que pued

dar lugar el conjunto de axiomas pueden se

generadas mecánicamente por una computadoraVéase el Ejercicio 1.4.)

§ 3. COMPLETITUD Y AXIOMAS

Históricamente, la noción de axioma estuvprimero asociada a la noción de verdad, y a l

posibilidad de seleccionar, en cierta área u objet


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de estudio, una parte de los enunciadoverdaderos, algunos «pocos» principios críticobien determinados, que permitieran reobtener e

odo.En este sentido, diremos que un conjunto denunciados verdaderos seleccionados comaxiomas es completo si pueden reobtenerse, vídemostraciones, como teoremas, todos loenunciados verdaderos del área o del objeto qunos proponemos axiomatizar.

Dado un objeto matemático O, sconsideramos el conjunto T (O) de todos loenunciados verdaderos en O, este conjuntiempre puede postularse como un conjunto d

axiomas completo para O. Se lo llama laxiomatización trivial: la demostración de cad

enunciado verdadero consta de una sola líneaPero, en general, este conjunto no es recursivoos axiomas no pueden reconocers

efectivamente, o ser presentados a través de un

ista, y esta axiomatización trivial no sirve por l


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anto a los propósitos de establecedemostraciones que puedan ser corroboradamecánicamente. La condición (R) tambié

captura la noción de «pocos» y de «biedeterminados», «dados por una lista». En efectovale que si el conjunto de axiomas es recursivoos axiomas pueden presentarse efectivamente e

una lista (posiblemente infinita). (Véase eEjercicio 1.4.)

§ 4. EL INFINITO: LA BÉTE NOIRE EN LOSFUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA

A principios del siglo XX, a partir de

urgimiento de paradojas y de una crisis en loundamentos de la matemática quexaminaremos con más detalle en el próximcapítulo, los matemáticos quisieron evitar hastdonde fuera posible, dentro de la


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demostraciones, los razonamientos y loprocedimientos que involucraran el infinitconsiderado «todo a la vez», y se preguntaron s

podrían restringirse, entre todas lademostraciones, y para probar cualquieesultado, únicamente a aquellas que n

necesitaran invocar el infinito como unotalidad (el infinito actual, según la definició

de Aristóteles, véase el Apéndice II) o que lhicieran de una manera «segura». La intencióera refundar la matemática sobre bases sólidas ibres de contradicciones, a partir de sistema

axiomáticos. Un sistema axiomático (o teoría) nes más que un conjunto determinado de axiomacon las reglas lógicas que permiten desarrollaas demostraciones.

Es natural entonces, para este propósito defundación, que la primera condición que s

pida a un sistema axiomático es que no dé lugar contradicciones. Esta condición se llam

consistencia. Un sistema axiomático e


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consistente si no puede probarse a partir de loaxiomas una contradicción, es decir, uenunciado y su negación.

El desafío propuesto por David Hilbert, en lque se llamó el programa formalista, erencontrar un sistema axiomático consistente abarcador, de gran alcance, que permitiereobtener, a través de demostraciones «seguras»odos los resultados verdaderos de la matemática

Esto permitiría decidir la verdad o falsedad dcada afirmación matemática de manerpuramente sintáctica, en el siguiente sentido: sa afirmación fuera verdadera, sería uno de loeoremas del sistema axiomático; y si l

afirmación fuera falsa, su negación sería uno dos teoremas del sistema.

Los dos sistemas elementales y extensivos eos que se pensaba para basar toda la matemática

y en los que se ensayó esta clase de aproximacióaxiomática eran la teoría de conjuntos y l

aritmética elemental, es decir, los números qu


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usamos para contar con las operaciones de sumy multiplicación. En particular el propio Hilbee había dedicado a buscar un sistema axiomátic

para la aritmética y estaba convencido, a pesar das dificultades que encontraba, de quinalmente tendría éxito (véase, por ejemplBernays] o [Hilbert (1)]).

En las primeras líneas de su famoso trabajde 1931, «Sobre proposiciones formalmentndecidibles de los Principia Mathematica istemas relacionados» (véase [Gödel (1)] Davis]), Gödel hace un balance de la situación:

Es bien sabido que el desarrollo de la matemática en la dirección de la mayorprecisión ha conducido a la formalización

de extensos territorios de la matemática,en el sentido de que las pruebas puedenser desarrolladas de acuerdo a unas pocasreglas mecánicas. Los sistemas formales

más extensivos construidos hasta el


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presente son el sistema de Principia Mathematica (PM), por un lado y, por elotro lado, el sistema axiomático de

Zermelo-Fraenkel para la teoría deconjuntos (con los desarrollos posterioresde J. v. Neumann). Estos dos sistemas sontan abarcadores que todos los métodos dedemostración usados en la matemática de

hoy en día pueden ser formalizados enellos, es decir, pueden ser reducidos a unos pocos axiomas y reglas deinferencia. Es razonable por lo tanto hacer

la conjetura de que estos axiomas y reglasde inferencia son también suficientes para decidir todas las preguntas matemáticasque pueden ser formalmente expresadasen estos sistemas.

Y a continuación adelanta la tesis principade su teorema, que da por tierra con laesperanzas formalistas al anunciar que es


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propósito es imposible:

En lo que sigue mostraremos que esto no

es así , sino que más bien, en ambossistemas, existen problemas relativamentesimples de la teoría elemental de númerosnaturales que no pueden ser decididossobre la base de los axiomas.

De esta manera, la situación entre lverdadero y lo demostrable en el terreno de laritmética elemental es análoga a la del crimecon dos sospechosos en el cuarto cerradocualquiera que sea el sistema axiomáticrecursivo) propuesto, habrá enunciados qu

quedan fuera del alcance del método d

demostración, enunciados que para el sistemon indecidibles, en el sentido de que no pued

demostrarse ni su verdad ni su falsedad, ni s«inocencia» ni su «culpabilidad». Dicho de otr

modo, la verdad no puede reducirse enterament


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al plano sintáctico de lo demostrable. Slamamos T (N) al conjunto de todos lo

enunciados verdaderos en los números naturale

el teorema nos dice que no hay manera de elegconvenientemente una parte recursiva de T (Nque pueda generar, vía demostraciones, el todo.

§ 5. EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD

Hemos dicho que un conjunto de enunciado

verdaderos seleccionados como axiomas ecompleto si pueden reobtenerse, vídemostraciones, como teoremas, todos loenunciados verdaderos del área o del objeto qu

nos proponemos axiomatizar.Hay, sin embargo, una segunda definición dcompletitud que prescinde de la noción dverdad, y que es la que usó Gödel para enuncia

u teorema. De acuerdo con esta definición u


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istema axiomático es completo si todenunciado es o bien demostrable, o bien refutabla partir de los axiomas del sistema (dond

refutable significa que puede demostrarse snegación). Dicho de otro modo, un sistemaxiomático es incompleto si hay algún enunciadque el sistema no puede ni demostrar ni refutaEsta clase de enunciados que no puededemostrarse ni refutarse dentro de un sistema slaman indecidibles (para ese sistema).

Veremos en el capítulo 3 que si se eligen loaxiomas dentro del conjunto de enunciadoverdaderos, las dos definiciones soequivalentes. Con esta precisión podemos daahora la formulación quizá más conocida deTeorema de Incompletitud de Gödel, que incluy

una contribución posterior de John Rosser.


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TEOREMA DE INCOMPLETITUD (Gödel Rosser):Todo sistema axiomático consistente

recursivo para la aritmética tiene enunciadoindecidibles. En particular; si los axiomadel sistema son enunciados verdaderos

puede exhibirse un enunciado verdadero y ndemostrable dentro del sistema.

§ 6. LA PRUEBA ORIGINAL DE GÖDEL

La demostración original de Gödel, tal comél mismo señala (en «On UndecidablPropositions of Formal Mathematical Systems»

véase [Davis]), puede verse como unormulación matemática de la paradoja dementiroso (llamada también paradoja dEpiménides). La paradoja suele expresarse con lrase «Yo miento», pero puede reformulars


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como:

«Esta afirmación mía es falsa».

Esta frase, que es en sí misma unafirmación, no es ni verdadera ni falsa. En efectoi fuera verdadera, de acuerdo con lo que diceería falsa, y si fuera falsa, otra vez por lo qu

afirma, sería verdadera.Los lógicos Bertrand Russell y AlfreWhitehead habían propuesto eludir esta clase dparadojas imponiendo la restricción de que loenunciados no pudieran referirse a sí mismoesto es, que no pudieran afirmar nada de s

mismos). En el caso de la frase de Epiménides, lafirmación se refiere a sí misma, para decir de smisma que es falsa.

Pero, tal como señala Gödel, esta restriccióotal de la autorreferencia es demasiado drástica

porque se puede establecer, con una sencilla idematemática, una manera libre de paradojas e

que los enunciados pueden expresar distinta


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propiedades de sí mismos.Esto es justamente lo que hizo Gödel en s

eorema fundamental: estableció un

correspondencia entre enunciados del lenguaje números naturales, de tal manera que a cadenunciado se le asigna un único número, que eu código de identidad. Conocido el número

puede saberse exactamente de qué enunciadproviene, de la misma manera que el número ddocumento permite identificar sin ambigüedad cada persona. Ahora bien, al mirar loenunciados como números, Gödel logró expresaen el lenguaje de la aritmética, utilizando sólo laoperaciones de suma y multiplicación, distintapropiedades sobre los enunciados comrelaciones aritméticas entre números. E

particular, probó que para cada conjuntecursivo de axiomas propuesto, el hecho de qu

un enunciado sea demostrable a partir de esoaxiomas puede ser expresado con una fórmula e

el lenguaje de la aritmética. Y, por lo tanto


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ambién es expresable, con la negación de estórmula, el hecho de que un enunciado no se

demostrable. De esta manera logró construir

exhibir explícitamente un enunciado que dice dí mismo, de manera análoga a la paradoja dEpiménides:

«Yo no soy demostrable».

Más aún, Gödel probó (desde fuera deistema) que si todos los axiomas son enunciado

verdaderos, su enunciado es también verdadero, obtuvo así un enunciado del que sabemos que everdadero, pero que escapa al alcance ddemostración del sistema de axiomas. En ldemostración que daremos a partir del capítulo 5e reproducirá esta parte del argumento par

exhibir un enunciado con estas características.

§ 7. EL TEOREMA DE CONSISTENCIA


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Dentro del mismo trabajo, Gödel mostró quambién la propiedad de consistencia de uistema axiomático recursivo para la aritmétic

es expresable en el lenguaje de la aritmética poun enunciado. Esto le permitió probar un segundeorema sobre la consistencia, que es en s

mismo otra limitación al alcance de los métodoinitistas:

TEOREMA DE CONSISTENCIA:El enunciado que expresa la consistencia dun sistema axiomático recursivo para l

aritmética no es demostrable dentro de essistema.

Una palabra de precaución: el Teorema d

Consistencia no dice de ningún modo que lodiversos sistemas axiomáticos para la aritméticpropuestos históricamente hasta ahora seanconsistentes, sino que la consistencia no e

demostrable dentro del sistema.


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Si bien tanto el Teorema de Incompletitucomo el de Consistencia se refieren en principi

únicamente a la aritmética, Gödel advirtió questos resultados podían ser generalizados cualquier sistema formal en que pudieradefinirse los números naturales (donde sistem

ormal se entiende, en un sentido amplio, comun conjunto de símbolos con reglas finitistas qundiquen cómo emplearlos, y con la condición decursividad que ya mencionamos para e

conjunto de axiomas). En el artículo «OUndecidable Propositions of FormaMathematical Systems» [Davis] da cuenta en uPostscriptum de 1964 de los avances posterioredebidos a Alan Turing, y escribe:

La existencia de proposicionesaritméticas indecidibles y la nodemostrabilidad de la consistencia de un


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sistema dentro del mismo sistema,pueden ser ahora probados rigurosamentepara todo sistema formal consistente que

contenga una cierta cantidad de teoría denúmeros finitista.

Pero a la vez, un párrafo más abajo, tambié

e cuidó de precisar que las limitaciones de loistemas formales reveladas por sus propiorabajos y los de Turing, «no establecen ningúímite para los poderes del razonamient

humano, sino más bien para las potencialidadedel formalismo puro en matemática».

Antes de terminar esta sección dejamoenunciado aquí el Teorema de Gödel en estorma más general:


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TEOREMA DE GÖDEL (forma general):Todo sistema axiomático recursivo consistente que contenga suficient

aritmética tiene enunciados indecidibles. E particular; la consistencia del sistema no edemostrable dentro del sistema.

El significado preciso de «suficient

aritmética» (lo que Gödel llama «cierta cantidade teoría de números finitista») quedará máclaro en los capítulos próximos.

§ 8. EXTENSIÓN Y ALCANCE DEL TEOREMADE GÖDEL. PRECAUCIONES

El fenómeno de incompletitud qudescribimos hasta aquí se verifica, tal comeñala Gödel, no sólo en la aritmética elementaino también en muchas otras teoría


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matemáticas, en particular, en todas aquellas eas que puedan definirse los números naturale

con las operaciones de suma y multiplicación. E

efecto, una vez reencontrados los númeronaturales con estas operaciones básicas, puedeeproducirse, dentro de estos sistemas, lo

argumentos de la demostración original. Siembargo, a la vez, hay ejemplos también muelevantes de teorías matemáticas que sí so

completas. Por mencionar uno solo, sconsideramos los números complejos, con laoperaciones de suma y multiplicación, pueddarse una axiomatización recursiva y completdel conjunto de todos los enunciados verdaderoVéase el Ejemplo 1.1 al final del capítulo). En e

Apéndice I hay varios otros ejemplos de teoría

que admiten axiomatizaciones recursivas completas.

De manera que los dos fenómenos, tanto el dncompletitud como el de completitud, convive

en la matemática. Más aún, hay ejemplos d


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eorías en apariencia muy próximas entre sí quesultan una completa y la otra no. (Véase e

Apéndice I, Ejemplo 11). Esto indica que s

equiere cierta precaución epistemológica cuande intenta extrapolar el resultado de Gödel fuerde la matemática. En realidad la argumentacióde Gödel depende de una propiedad matemáticmuy sutil, muy específica. La demostración qudaremos a partir del capítulo 5 trata de poner eevidencia esa propiedad, que hasta cierto puntdivide aguas entre las teorías completas ncompletas. La explicamos aquí hasta dond

podemos, sin tecnicismos:En el lenguaje escrito las expresiones s

unen, se yuxtaponen unas con otras para formapalabras. Por ejemplo, las expresiones «sal»

«as» se yuxtaponen para formar «salas» (o bie«assal»). Esa operación, que estudian lomatemáticos, se llama concatenación. Lo quocurre en los números naturales es que con e

auxilio de la suma y la multiplicación se pued


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eflejar esta operación y «transcribir» el lenguajen términos de relaciones numéricas. Así, y egeneral, cuando el objeto matemático logr

eflejar la concatenación del lenguaje y spueden traducir ciertas afirmaciones del lenguajen términos de relaciones y operacionematemáticas, entonces se tiene el fenómeno dncompletitud . Si no, nada se puede asegurar e

principio.Todo esto indica que se debe tener much

cuidado cuando se habla del Teorema de Gödeuera del ámbito de la matemática, porque e

muy posible que lo que se diga no tenga ningúentido, más allá de lo metafórico. Discutiremo

algunas de las extrapolaciones del Teorema dGödel fuera del ámbito de la matemática en e

capítulo 4. Por ahora sólo señalamos que si spretende intentar alguna analogía con respecto aenómeno de incompletitud debería darse u

argumento adicional de por qué se elige en tod

caso para la comparación la aritmética elementa


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una teoría incompleta), y no cualquier otra das muchas teorías matemáticas que sí admite

axiomatizaciones recursivas y completas.

§ 9. GÖDEL, LAS COMPUTADORAS Y LAINTELIGENCIA ARTIFICIAL

El mecanicismo es la postura filosófica quostiene que no existe una diferencia esencia

entre una computadora y el cerebro humano

que el funcionamiento de la mente puede seduplicado mediante procesos mecánicos.Dice Panu Raatikainen en su artículo «L

elevancia filosófica de los teoremas d

ncompletitud de Gödel» ([Raatikainen], dondambién están las referencias del párrafo): (lanegritas son nuestras)

Los teoremas de Gödel han alentado


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muchas especulaciones filosóficas porfuera de la filosofía de la matemática. Enparticular han sido repetidamente

invocados en intentos de demostrar que elpoder de la mente humana superacualquier mecanismo o sistemaformal. Un tal argumento gödelianocontra el mecanicismo fue ya considerado, sólo para refutarlo, porTuring en 1940.Una injustificada conclusiónantimecanicista fue deducida de losteoremas de Incompletitud en la muyconocida exposición popular El Teoremade Gödel, de Nagel y Newman (1958).Poco después, J. R. Lucas (1968) afirmóque los teoremas de Incompletitud deGödel «prueban que el mecanicismo esfalso, esto es, que la mente no puede serexplicada por máquinas». Enunció que

«dada cualquier máquina que es


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consistente y capaz de hacer aritmética simple, hay una fórmula que es incapazde producir aunque es verdadera… pero

de la cual podemos ver que es verdadera».Más recientemente afirmaciones muysimilares fueron expuestas por RogerPenrose (en 1990 y 1994). Crispin Wright(en 1994 y 1995) ha sostenido, desde unpunto de vista intuitivo, ideasrelacionadas. Todos ellos insisten en quelos teoremas de Gödel implican que la mente humana supera infinitamente elpoder de cualquier máquina finita. Estosargumentos gödelianos antimecanicistasson, sin embargo, erróneos. El errorbásico en todos estos argumentos es

bastante simple de explicar. Elargumento supone que paracualquier sistema formalizado, omáquina finita, existe un enunciado

de Gödel (que afirma de sí mismo que


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no es demostrable en el sistema) quees indemostrable, pero que la mentehumana puede ver que es verdadero.

Pero el Teorema de Gödel tiene enrealidad una forma condicional [la forma de una implicación] y lapretendida verdad del enunciado deGödel de un sistema depende de lasuposición de la consistencia delsistema. Esto es, todo lo que el Teorema de Gödel nos permite probar a loshumanos con certeza matemática es que,dada una teoría formalizada F, vale:

Si F es consistente entonces GF esverdadero.

Recordemos que el enunciado GF afirma «Yno soy demostrable en F». Si F es inconsistenteGF es demostrable (porque, como veremos, e

una teoría inconsistente todo enunciado e


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demostrable). Entonces GF es falso.

El argumento antimecanicista requiere

entonces que la mente humana puedatambién ver si la teoría formalizadaen cuestión es, o no es, consistente. Sinembargo esto es muy poco plausible.

Después de todo recordemos que inclusodistinguidos lógicos como Frege, Curry,Church, Quine, Rösser y Martin-Löf propusieron seriamente teoríasmatemáticas que luego resultaron serinconsistentes. Como dice Martin Davis:«La intuición no ayuda». Lucas, Penrose yotros han intentado ciertamente respondera esta crítica pero permanece el hecho de

que nunca han podido resolver elproblema fundamental enunciado antes. Alo sumo han podido cambiar el tema dediscusión. […]


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§ 10. DERIVACIONES FILOSÓFICAS

También hay que tener algún cuidado sobr

as consecuencias filosóficas que puedenferirse a partir de este resultado. Se ha escritopor ejemplo, que el Teorema de Gödel representun límite absoluto para el pensamiento lógico, un golpe mortal a la razón clásica, o el fin de lcertidumbre en el terreno de la matemáticaetcétera. Sin embargo, el propio Gödel, y a pesade haber meditado largamente sobre esto, fumuy cauteloso respecto a las consecuencia

ilosóficas de su teorema. En 1951 fue invitado dar la célebre conferencia Gibbs en la reunióanual de la American Mathematical Society, y eítulo de su disertación fue «Algunos teorema

básicos sobre los fundamentos de la matemáticy sus implicaciones filosóficas» [Gödel (2)]. Eesa conferencia expuso, a través de undicotomía, la opinión de que sus teoremas podía

ustentar un punto de vista platonista, aunque er


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muy consciente de que esta clase de ideas no eracompartidas por los matemáticos de su épocaNunca se decidió a publicar este trabajo

Posteriormente, el lógico Solomon Fefermahizo una crítica detallada de esta exposición eFeferman].

Es cierto que para los lógicos de principiodel siglo pasado (y sobre todo para los logicistacomo Bertrand Russell, Ernst Zermelo, o epropio David Hilbert) el Teorema de Gödel fualgo inesperado y, más aún, contrapuesto a lntuición «histórica» matemática, largament

entrenada a partir de Euclides, en los métodoaxiomáticos. Pero, a la vez, el Teorema de Gödeno contradice ni impugna ninguno de loeoremas ya obtenidos de la matemática, sino qu

demuestra, más bien, la limitación de un métodoY de estos resultados sobre alcance y límites dmétodos hay muchos en matemática, sólo que ne han puesto de moda en otros ámbitos ni ha

nspirado tantas lecturas dramáticas. En efecto, e


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Teorema de Gödel puede verse en unperspectiva similar a lo que fue el problema de laíz de dos para los griegos. De la misma maner

que el método de dividir enteros entre sí «nalcanza» para obtener la raíz cuadrada de dos, lométodos finitistas de demostración «nalcanzan» a probar toda la verdad en matemáticaSabemos, sin embargo, que para calcular la raíde dos se han desarrollado históricamente otrométodos más sofisticados, que involucran lnoción de límite matemático y de «aproximacióprogresiva». En particular, es muy fácil escribel programa para una computadora que funcionndefinidamente y va arrojando todos los dígito

del valor exacto de la raíz de dos, un número quno conoceremos «escrito de una vez» en nuestr

vida finita, pero que no por eso deja de tener unexistencia matemática perfectamente aceptable aceptada.

Y lejos de ser un golpe fatal a lo

procedimientos de la razón, la matemátic


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avanza en todas las áreas sin preocuparsdemasiado por el Teorema de Gödel. El Teoremde Gödel es visto antes como una curiosida

ilosófica que como una preocupación práctica da disciplina. Esto también es muy importantpara tener en cuenta: no es que los matemáticoestán detenidos en un limbo de indecisión desdque Gödel demostró este teorema. Si bien eenómeno de incompletitud tiene gramportancia conceptual en algunas rama

vinculadas a la computación, a la topología, o a teoría abstracta de modelos, y el Teorema d

Gödel inauguró toda una nueva rama de lmatemática vinculada al problema de la decisiónuera de estos ámbitos el Teorema de Gödel e

mirado como un exotismo de los lógicos por l

gran mayoría de los matemáticos. ¿Por quéPorque los matemáticos, en la práctica diaria, in ni siquiera reparar del todo en ello, utilizaeorías axiomáticas muy poderosas qu

«empujan» los posibles enunciados indecidible


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a planos esotéricos, por fuera del contenidmatemático inmediato que atañe e interesa a cadeoría. Esto explica que, más allá de alguna

excepciones notables (por ejemplo, el llamadHalting Problem en computación o el Teoremde Rice, véase [Davis, Sigal, Weyuker], o lvinculación de la indecidibilidad de la aritméticcon la solución de ecuaciones diofánticas y edécimo problema de Hilbert, véase por ejemplMatijasevich] o [Davis, Matijasevich

Robinson]), no sea demasiado frecuente n«natural» tropezarse en la práctica matemáticcon enunciados matemáticos indecidibles.

Al final del capítulo próximo haremos undiscusión más exhaustiva de las tergiversacioney errores más frecuentes en torno del Teorema d

Gödel.

§ 11. EJEMPLOS Y EJERCICIOS


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Ejercicio 1.1: Todo conjunto dado por una listinita de axiomas es recursivo.

Resolución: Supongamos que el conjunto daxiomas tiene m axiomas. Cada axioma estescrito como una sucesión finita de símboloTenemos así una lista de m axiomas

A1A2

…

Am

donde cada uno de estos axiomas está escrito couna cantidad finita de símbolos.

Dado ahora un enunciado E cualquiera, ambién tiene una cantidad finita de símboloChequeamos los símbolos de E uno a uno con lode A1. Si hay más o menos símbolos, o no ha

coincidencia perfecta, proseguimos el cheque


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con los símbolos de A2, y así sucesivamenthasta llegar al último, Am. Dado que la lista tienólo una cantidad finita de axiomas, este proces

ermina en una cantidad finita de pasos y nopermite decidir si el enunciado E es o no es unde los axiomas de la lista.

Ejercicio 1.2: Consideremos la siguiente listnfinita de axiomas:

x + x = 0 → x = 0

x + x + x = 0 → x = 0 x + x + x + x = 0 → x = 0.....................

x + x + x + … + x = 0 → x = 0

Mostrar que este conjunto infinito daxiomas es recursivo.

Resolución: Dado un enunciado E, si en


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aparece algún símbolo distinto de « x», «+», «=»«→» o «0», o bien, si en E falta alguno de estoímbolos, diremos que E no pertenece a

conjunto de axiomas. Si E tiene todos estoímbolos, nos fijamos en la longitud deenunciado E (la cantidad total de símbolos), ólo debemos examinar si E coincide símbolo ímbolo con el axioma de la lista que tiene esongitud. De manera que, a pesar de que la list

es infinita, podemos decidir en una cantidainita de pasos si E es o no uno de los axiomas da lista.

Ejercicio 1.3: Sea N el conjunto de los númeronaturales 1, 2, 3,… junto con las operaciones d

uma y multiplicación. Sea T (N) el conjunto dodos los enunciados verdaderos en N. EntonceT (N) es un conjunto de axiomas completo.

(Este ejercicio muestra que es necesario, eel Teorema de Gödel, el requisito de que e


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conjunto de axiomas sea recursivo).

Resolución: Todo enunciado verdadero sobtiene a partir de los axiomas mediante undemostración que tiene un solo paso. En efectoi E es verdadero, E es un axioma de T (N). Est

es lo que se llama la axiomatización trivial, en lque se eligen como axiomas todos los enunciadoverdaderos.

El Teorema de Gödel nos dice, en particulaque T (N) no es un conjunto recursivo daxiomas. Y nos dice que tampoco es posibl

elegir una parte recursiva de T (N) que permitobtener como teoremas a todos los enunciadoverdaderos.

Ejercicio 1.4: Consideremos un alfabeto dímbolos numerados S1, S2, S3,… (puede seinito o infinito, como los números naturales

Sea un conjunto recursivo de axiomas expresado


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con estos símbolos. Entonces todas lademostraciones pueden ser generadamecánicamente por una computadora.

Resolución: Los enunciados, por seucesiones finitas de símbolos, pueden ordenars

con un orden similar al del diccionarioSuponemos entonces antes de empezar que loenunciados están efectivamente ordenados deste modo y que podemos referirnos al primeenunciado, al segundo enunciado, etcétera. Asenemos a los enunciados dispuestos en un

primera fila infinita: E1, E2, E3,…En una segunda fila, también infinita

queremos disponer las sucesiones que constan ddos enunciados. ¿Cómo hacemos esto

Utilizaremos lo que se conoce como el métoddiagonal de Cantor :


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E1 E2 E3 ···

E1

E2E3···

La numeración de los pares de enunciadoprocede hacia la derecha y hacia abajo, y avanzpor diagonales cada vez más largas, recorriend

progresivamente todas las filas y columnas deiguiente modo:

(E1, E1) (E1, E2) (E2, E1) (E1, E3) (E2, E2)(E3, E1) (E1, E4)…

Si miramos sólo los subíndices tenemos eiguiente recorrido:


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De una manera análoga (¡pensarlo!), tambiépodemos ordenar en una sola fila las sucesionede tres enunciados, y las sucesiones de cuatrenunciados, y, en general, la sucesiones de

enunciados, para todo n. Así, podemos ahorpensar en un gran cuadro en el que, en la primerila, aparecen los enunciados ordenados, en legunda fila las sucesiones de dos enunciados, e

a tercera fila las sucesiones de tres enunciadoetcétera.


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Primera fila:(enunciados)

— — — — — … Segunda fila:(sucesiones dedos enunciados)

— — — — …— — — —

Tercera fila:(sucesiones detres enunciados) — — — …— — —

— — —

Cuarta fila:(sucesiones decuatro enunciados)

— — …— —— —— —

··· ···


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La computadora realiza, otra vez, uecorrido diagonal, avanzando progresivament

hacia la derecha y hacia abajo, y verifica, par

cada sucesión de enunciados, si la sucesión es no una demostración. Cada una de estaverificaciones termina en una cantidad finita dpasos, lo que le permite seguir avanzandndefinidamente para recorrer todas laucesiones finitas de enunciados e ir arrojand

como outputs sólo aquellas sucesiones que sí sodemostraciones. En particular, al verificar laucesiones que constan de un solo enunciado, v

arrojando una lista de los axiomas.

Ejercicio 1.5: Utilizar el método diagonal d

Cantor para probar que el conjunto de todos loextos que pueden escribirse con un alfabetnumerable es un conjunto también numerableRecordar que un conjunto es numerable si pued

ponerse en correspondencia uno a uno con lo


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números naturales).Este ejercicio permite concluir que todos lo

extos escritos y por escribir desde el inicio de l

escritura hasta el fin de los tiempos, en cualquiedioma, no pueden sobrepasar el infinito de lonúmeros naturales. (Véase el Apéndice IEjemplo 5, sobre otros infinitos más grandes).

Resolución: Un alfabeto numerable será uconjunto de símbolos (las letras), que podemonotar S1, S2, S3,…

Las palabras de dos letras se obtienen poconcatenación de dos símbolos, es deciescribiendo un símbolo a continuación del otro, pueden listarse de este modo: S1S1, S1S2, S2S1S1S3, S2S2, S3S1,…

Observemos que esto no es más que el listadque da el método diagonal de Cantor. Probamoasí que el conjunto de palabras de dos letras enumerable. De la misma manera puede probars


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que el conjunto de palabras de tres letras enumerable y en general el conjunto de palabrade n letras es numerable.

Disponemos una vez más un cuadro paraplicar el método diagonal de Cantor de estmanera:

En la primera fila escribimos las palabrasde una letra.

En la segunda fila las palabras de dosletras.

En la tercera fila las palabras de tres letras.Etcétera.

Este cuadro nos permite utilizar otra vez emétodo diagonal de Cantor para enumerar todaas palabras. De esta manera probamos que e

conjunto de todas las palabras es numerable.Ahora bien, ¿qué es un texto? Cada text

puede pensarse como una sucesión finita d


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palabras (con el añadido, dentro del alfabeto, dos signos de puntuación y el espacio, com

«letras» auxiliares). De manera que, una vez má

disponemos un cuadro para aplicar el métoddiagonal de Cantor de esta manera:

En la primera fila escribimos el

conjunto numerable de todas laspalabras (tal como lo obtuvimos delrecorrido diagonal anterior).

En la segunda fila escribimos el

conjunto de todas las sucesiones dedos palabras.

En la tercera fila escribimos elconjunto de todas las sucesiones detres palabras.

Etcétera.

Todos los textos posibles están en est


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cuadro, que es algo así como una biblioteca dBabel magnificada. Ahora utilizamos por últimvez el recorrido diagonal y obtenemos una list

numerable de todos los texto. Esto prueba que econjunto de todos los textos posibles a partir dun alfabeto numerable es también numerable

Ejemplo

1.1: La teoría de primer orden de lonúmeros complejos.

Recordemos que los números complejo

pueden pensarse como expresiones del tipoa + bi, donde a y b son números reales, e i es llamada unidad imaginaria, con la propiedad2 = −1.

La suma de dos números complejos está daddel siguiente modo:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i

El producto de dos números complejos est


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dada del siguiente modo:

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd ) + (ad + be)i

Sea L = {+, ·, 0, 1} donde + y · son símbolode funciones binarias y 0 y 1 símbolos dconstantes. Consideremos la siguiente lista denunciados (donde el símbolo ⋀ significa «y», e

ímbolo ⋁ significa «o» y el símbolo ∃ signific«existe»):

(1) x + ( y + z) =

( x + y) + z

(asociatividad)

(2) x + 0 = x ⋀0 + x = x

(existencia deelemento neutro)

(3) ∃ y( x + y = 0 ⋀ y + x = 0) (existencia deelemento inversopara +)

(4) x + y = y + x (conmutatividad)


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(5) 1 · x = x ⋀ x · 1 = x (1 es una unidad para el producto)

(6) x · ( y · z) = ( x · y) · z (asociatividad de ·)

(7) x · y = y · x (conmutatividad de ·)

(8) x · ( y + z) =( x · y) + ( x · z)

(distributividad de ·sobre +)

(9) x · y = 0 →( x = 0 ⋁ y = 0)

(no hay divisores de 0)

(10) x ≠ 0 →∃ y( y · x = 1)(existencia deelemento inversopara ·)

(11n) n1 ≠ 0 (una lista infinita deaxiomas: 1 ≠ 0;

1 + 1 ≠ 0; etc.)

(12n) ∃ y( xn · yn + xn−1 · yn−1 + … + x1 · y +

x0 = 0) ⋁ xn = 0


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12n) es en realidad también una lista infinita daxiomas, que expresa el hecho de que todpolinomio tiene raíz.

Ésta es una axiomatización recursiva completa para los números complejos (véasChang y Keisler]).

Una paradoja?

Sabemos que los números naturales son uubconjunto de los números complejos y puede

obtenerse como 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, etcétera. Máaún, las operaciones de suma y producto qudefinimos más arriba, restringidas a estubconjunto, coinciden con la suma y el product

habitual de números naturales. ¿Contradice acasesto lo que hemos dicho sobre la extensión deTeorema de Gödel y el fenómeno dncompletitud a los sistemas donde puede

definirse los números naturales con la


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operaciones de suma y producto?En realidad no. Pero la explicación de est

aparente dilema deberemos demorarla para má

adelante, hasta el capítulo 3, porque requiere unexplicación sutil sobre lo que significa «definos números naturales».

Ejemplo

1.2: Una demostración matemática Irracionalidad de raíz de 2

Damos aquí el ejemplo de una demostració

ípica, y que ha sido crucial en la historia de lmatemática: la irracionalidad de la raíz cuadradde 2, es decir, el hecho de que la raíz cuadrada d2 no puede obtenerse de dividir entre sí númeroenteros.

La demostración es «por el absurdo». Estignifica que supondremos, transitoriamente, quí existen números enteros a y b tales que

√2 = a/b. Bajo esta hipótesis se desarrolla u


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azonamiento que conducirá a una contradiccióabsurdo). El razonamiento es la siguiente caden

de afirmaciones:

Afirmación 1: (Hipótesis transitoria dabsurdo). Existen números enteros a y b taleque √2 = a/b.

Afirmación 2: Si √2 = a/b, al elevar acuadrado ambos miembros se mantiene ligualdad y obtenemos 2 = a2/ b2.

Afirmación 3: (*) 2b2 = a2 (siguinmediatamente de la Afirmación 2 por lareglas del producto y la división).

Afirmación 4: Recordatorio de la escuelprimaria. Los números primos son aquello(mayores que 1) que se dividen sólo por smismos y por el 1 (como 2, 3, 5, 7, 11). Lonúmeros naturales (mayores que 1) s


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escriben de manera única como producto dlos números primos que intervienen en sdescomposición (llamada tambié

factorización). Afirmación 5: En el miembro de la derecha dla igualdad (*), los factores primos denúmero a2 aparecen todos una cantidad par dveces. (En efecto, de la Afirmación 4 se sigude inmediato que los primos en ldescomposición de a2 son exactamente los dla descomposición de a, de manera que lcantidad de veces que aparece cada primo ela factorización de a se duplica con lelevación al cuadrado, es decir, se multiplicpor 2 y por lo tanto se convierte en unúmero par).

Afirmación 6 : En particular el factor primo aparece en la factorización de a2 (sigue de l

Afirmación 4, porque aparece en el miembr


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de la izquierda de la igualdad).

Afirmación 7 : El factor primo 2 aparece un

cantidad par de veces en el número a2

. (Siguinmediatamente de las afirmaciones 5 y 6 ).

Afirmación 8: En 2b2 (el miembro de lizquierda en la igualdad (*)) el factor primo aparece una cantidad impar de veces. Eefecto, si el factor primo 2 aparece en enúmero b2 lo hará, por las razones ya vistaun número par de veces, y con el primer que aparece como factor la cantidad total dveces se incrementa en uno y cambia lparidad, de modo que la cantidad total dveces que aparece el factor 2 en el miembrizquierdo será impar. (Si 2 no aparece en lfactorización de b2, la cantidad total dapariciones del factor 2 será 1, que tambiées impar).


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Afirmación 9: (Contradicción) Un mismnúmero tiene dos factorizaciones en primodistintas, una en la que el factor 2 aparec

una cantidad par de veces (a2) ( Afirmación 7y otra en que aparece una cantidad impar dveces (2b2) ( Afirmación 8). Esto contradice l

Afirmación 4.

Dado que los pasos del razonamiento socorrectos, y cada una de las afirmaciones desda segunda hasta la novena son verdaderas, l

única falsedad posible en la cadena es lAfirmación 1, nuestra suposición transitorioriginal. Por lo tanto es falso que puedaencontrarse tales números enteros a y b y hemoprobado la tesis: No pueden encontrarse númeroenteros a y b tales que √2 pueda obtenerse ddividir a por b.


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CAPÍTULO DOS

HILBERT Y EL

PROBLEMA DE LOSFUNDAMENTOS

El programa de Hilbert. Discusión: Qué dicen y qué

no dicen los teoremas de Gödel. Ejemplos yejercicios.

—El nombre de la canción sellama «Ojos de bacalao» —dijo elCaballero Blanco. —Así que ése es el nombre de lacanción, ¿no? —preguntó Alicia,que comenzaba a sentirseinteresada. —No, veo que no me entiende. Así es como se llama el nombre. Elnombre en realidad es «El hombre

viejo viejo».


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LEWIS CARROLL A través del espejo

El Teorema de Incompletitud de Kurt Gödel deaño 1931 se proponía, tal como observa el propiGödel en las primeras líneas, cerrar undiscusión que se desarrollaba en el terreno de loundamentos de la matemática sobre la cuestió

de los alcances de los métodos de demostracióbasados en axiomas y procedimientos mecánico

Esta discusión se podría resumir en la siguientpregunta: dada una demostración poprocedimientos cualesquiera de una verdamatemática, ¿sería posible encontrar siempre un

demostración alternativa de ese mismo hechbasada en enunciados «seguros», finitistas, estes, en enunciados cuya verdad pudiercorroborarse en una cantidad finita de pasos

Era la matemática, como creían Bertran


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Russell y David Hilbert, enteramente reductiblal lenguaje y a los sistemas formales, a esaucesiones de líneas encadenadas por argumento

y reglas lógicas que llamamos demostración?Para entender el origen y el verdadero sentidde esta discusión, debemos hacer una mínimmención histórica a la evolución del problema dos fundamentos. Ya en la segunda mitad deiglo XIX, a partir de los trabajos de Ka

Weierstrass para esclarecer algunos conceptoelacionados con la noción de límite, se habí

despertado un interés por encontrar nocionebásicas, elementales, que permitieran obteneodas las otras y regenerar el edificio de la

matemáticas desde bases sólidas e indiscutibleUna de las nociones propuestas, por s

implicidad, fue la de conjunto. En efecto, partir de la noción intuitiva de conjunto, tal come aprende en la escuela primaria, puede

definirse la mayor parte de los otros concepto

matemáticos: números, relaciones, funcione


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etcétera. En 1902 el lógico alemán Gottlob Fregestaba por culminar un tratado definitivo sobros fundamentos de la matemática basado en est

eoría intuitiva de conjuntos, cuando recibió uncarta del joven Bertrand Russell (véase eApéndice II), en la que exponía la famosparadoja que le quitó, en dos líneas, todo eustento a su trabajo: la noción intuitiva d

conjunto era demasiado laxa y llevaba contradicciones.

La Paradoja de Russell

Los conjuntos, por lo general, no son

elementos de sí mismos: el conjunto detodos los números no es en sí mismo unnúmero, el conjunto de todos los alumnosde una clase no es en sí mismo un alumno

de la clase. Sin embargo, pueden


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concebirse conjuntos que son elementosde sí mismos: el conjunto de losconceptos es en sí mismo un concepto. El

conjunto de todos los conjuntos es en símismo un conjunto. Así, puedeconcebirse también el conjunto S de losconjuntos que no son elementos de símismos.

S = {X tal que X no pertenece a X}

Ahora bien: ¿S pertenece a S?Si S pertenece a S, es uno de los X

que verifica la propiedad entre llaves, porlo tanto, S no pertenece a S.

Si S no pertenece a S, es uno de los Xque verifica la propiedad entre llaves, por

lo tanto S pertenece a S.Tenemos así que tanto la pertenencia

como la no pertenencia de S a sí mismonos lleva a una contradicción.

Esta paradoja fue popularizada por el


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mismo Russell como la paradoja delbarbero: un barbero de cierto puebloafeita a todos los hombres que no se

afeitan a sí mismos. ¿Debe el barberoafeitarse a sí mismo?

La Paradoja de Russell fue una verdaderconmoción en los fundamentos de la matemáticaPor un lado mostraba que si se quería persistir eusar la noción de conjunto para basar l

matemática, debían hacerse cuidadosaestricciones en la selección, y también en laormas de generar nuevos conjuntos a partir d

conjuntos dados. Es decir, debía reemplazarse l

noción intuitiva de conjunto por una serie deglas de admisión, y, en lugar de todos loconjuntos imaginables, restringirse solamente os que cumplieran estas reglas. Pero por otrado, el descubrimiento de esta paradoja en u


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erreno en apariencia tan elemental, arrojabambién una sombra de incertidumbre sobre otro

campos de la matemática. Si la manipulación d

conjuntos había dado lugar a contradiccionecómo podía asegurarse que no ocurriría lmismo, y que no habría otras paradojas aacecho, en la manipulación, por ejemplo, de lonúmeros que usamos para contar con laoperaciones básicas de suma y multiplicación, edecir, la aritmética elemental, tal como lconocemos desde siempre?

El propio Bertrand Russell, en colaboraciócon Alfred Whitehead, y también otromatemáticos como Ernst Zermelo y AbrahamFraenkel, se propusieron entonces la tarea de daundamento axiomático tanto a la teoría d

conjuntos como a la aritmética, con el propósitde evitar la posible aparición de esta clase dcontradicciones. Por su parte, David Hilbert Paul Bernays desarrollaron una teoría general d

a demostración basada en axiomas, dentro de u


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programa ambicioso para «eliminar de manerdefinitiva cualquier duda sobre la confiabilidade la inferencia matemática» [Hilbert (1)]. L

undamentación a partir de axiomas tiene unarga y sólida tradición en la historia de lmatemática y se remonta a los cinco postuladoque dio Euclides para la geometría, cincenunciados muy simples sobre puntos, rectas paralelismo, a partir de los cuales se obtienecon demostraciones rigurosas, como teoremaos demás enunciados de la geometría clásicvéase el Apéndice I, Ejemplo 1).

Hay, en el enfoque axiomático, una diferencide punto de vista muy importante. Lundamentación que se había intentado a part

de conjuntos se refería todavía a objeto

matemáticos con un significado tan familiar establecido para los matemáticos como lanociones de número y función. En esta clase dundamentación, se buscaban objetos que diera

ugar a todos los demás objetos. En el enfoqu


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axiomático, en cambio, los objetos con significado matemático peculiar se reemplaza

por un texto, una lista de enunciados, un

ucesión de condiciones a cumplir, un intento dcaracterización desde el lenguaje. Vale la penepetirlo: la búsqueda de objetos primitivos seemplaza por la búsqueda de propiedade

críticas de los objetos a estudiar que puedaexpresarse por escrito (los axiomas) y a partir das cuales se deduzcan como teoremas todas la

demás propiedades y las relaciones entre sí desos objetos. Se establece así una distinción entrun plano semántico, en que los objetomatemáticos tienen un significado preciso particular, y un plano sintáctico, o formal, en que proponen axiomas y demostraciones que de

cuenta de las propiedades características de estoobjetos.

Pero en esta transposición del planemántico al plano sintáctico, los objetos baj

estudio pierden su especificidad y se vuelve


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genéricos: tal como escribió David Hilbert aanalizar los axiomas de Euclides, podríaeemplazarse en cada postulado las nociones d

«puntos, líneas y planos» por «mesas, sillas arros de cerveza» [Hilbert (2)]. Ya no importa lnaturaleza de los objetos, sino sólo las relacioney restricciones que se imponen entre sí, de lmisma manera que en el luego de ajedrez la piezdel caballo queda definida, no por ningún rasgparticular del mundo equino, sino sólo por sorma de desplazarse en el tablero.

¿Cómo saber entonces si a través de loaxiomas, en esta aproximación desde el lenguajeestamos hablando todavía de los mismos objetocon todas sus propiedades? ¿Cómo saber si ldescripción es exhaustiva, y si para cad

propiedad que se verifica en un objeto sencontrará un correlato sintáctico bajo la formde una demostración? Esto es lo que se llama eproblema de la completitud.

Ahora bien, si en la aproximación a través d


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axiomas puede perderse en especificidad, haalgo también que se gana, y es la posibilidad ddisponer de un método de demostración qu

puede ser corroborado línea a línea, en uncantidad finita de pasos, tal como se repasa unuma de varias cantidades en el ticket deupermercado. Más aún, la idea fundamental qu

está detrás del método axiomático es que estcorroboración pueda hacerse de una manermecánica, sin recurrir a la inteligencia. Es decique las demostraciones puedan someterse a lnspección de una computadora que, si

necesidad de comprender qué dice cada línea, el significado del teorema que se quiere probapuede verificar que se cumplen los requisitoógicos que permiten pasar de una línea de l

demostración a la siguiente, hasta llegar a lúltima, y que en este examen dictamina lcorrección o incorrección de la prueba.

Para alcanzar este grado de precisión en la

demostraciones, y llegar a un procedimient


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absolutamente mecánico, que puedmplementarse en una computadora, deb

explicitarse también, en forma sintáctica, com

axiomas agregados, y como marco general doda teoría, la lógica que se emplea en loazonamientos matemáticos. Esto incluye a lo

axiomas puramente lógicos, como el principio dercero excluido (o bien vale una afirmación,

bien su negación es válida), y las reglas ddeducción lógica, llamadas reglas de inferenciaque se emplean para pasar de una línea en ldemostración a la siguiente. Un ejemplo típico eo que se llama la regla de modus ponens: si e

una línea está escrito un enunciado del tipoA → B y en alguna línea posterior aparece eenunciado A, la regla dice que puede escribirse

continuación, como una derivación lógica, eenunciado B.

Un resultado fundamental de la lógicadebido también a Gödel (su tesis doctora

publicada como La suficiencia de los axiomas de


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cálculo lógico de primer orden en [Gödel (1)]es que este marco lógico, común a todas laeorías, puede darse a través de una cantida

inita de axiomas lógicos y una cantidad tambiéinita de reglas de inferencia. En el capítulpróximo veremos que el marco lógico pueddarse en realidad con sólo diez axiomas lógicos dos reglas de inferencia.

Recordemos, antes de seguir, que ematemática, en un sentido amplio, se llameoría (o sistema axiomático) a un conjunto d

afirmaciones (o enunciados) seleccionados comaxiomas, junto con este marco lógico que guíos razonamientos. Una demostración a partir d

una teoría es una lista (finita) de enunciados en lque cada enunciado es, o bien un axioma lógico

o bien un axioma de la teoría, o bien se obtiende enunciados anteriores ya escritos en la listpor las reglas de inferencia. Un teorema de leoría es un enunciado que admite un

demostración a partir de los axiomas de la teoría


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Ahora bien, lo que está en el corazón demétodo axiomático es que las demostracionepueden ser corroboradas en un número finito d

pasos lógicos. El requisito adicional que debener el conjunto de axiomas propuesto para quas demostraciones realizadas a partir de eso

axiomas sean efectivamente corroborables en uncantidad finita de pasos es la condición (R) decursividad que ya adelantamos en el capítul

anterior:

(R) Dado un enunciado cualquiera, pued

determinarse, en una cantidad finita d pasos, si el enunciado pertenece o no aconjunto de axiomas.

En efecto, vale la siguiente


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Proposición: Si un conjunto de axiomas erecursivo, toda demostración a partir de loaxiomas es corroborable en una cantida

finita de pasos.Dejamos la demostración como un ejercici

al final del capítulo (Ejercicio 2.1).Diremos entonces que una teoría (o conjunt

de axiomas) es recursiva si cumple lacondición (R). Por extensión, diremos tambiéque una propiedad es recursiva si la verificacióde esa propiedad puede realizarse por u

procedimiento mecánico, en una cantidad finitde pasos. Por ejemplo, la propiedad «Ser unúmero primo» es recursiva, porque basta dividel número dado por los números menores que é

para detectar, en una cantidad finita de pasos, shay divisores propios o bien si el único divisor eel uno.

Ya hemos visto en el capítulo anterior qu

oda teoría dada por un conjunto finito d


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axiomas (como los cinco postulados de Euclideses recursiva, pero que también hay teorías confinitos axiomas que son recursivas. En e

Apéndice I pueden encontrarse varios otroejemplos de teorías recursivas con infinitoaxiomas.

El enfoque axiomático, sintáctico, plantea dnmediato el problema de hasta qué punto lo

axiomas propuestos logran realmente capturar os objetos que nos proponemos estudiar coodas sus propiedades y relaciones. Si se detect

un enunciado que se cumple en el mundo de loobjetos pero no puede demostrarse a partir deconjunto de axiomas, es claro que el conjunto daxiomas propuesto será insuficiente. Diremoque una teoría es completa si todo enunciado qu

e verifica en el mundo de los objetos puede sedemostrado como un teorema a partir de loaxiomas de la teoría. Es decir, cada propiedaemántica, expresada por un enunciado, que s

cumple en el mundo «real» de los objetos, tien


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un correlato sintáctico, el texto de undemostración, y puede reobtenerse como ueorema a partir de los axiomas.

Hemos identificado hasta ahora trecondiciones «deseables» para una teoría istema axiomático. La primera, la más básica,

que está en el origen del programa formalista, eque el sistema no dé lugar a contradiccioneDiremos que una teoría o sistema axiomático econsistente si no puede demostrarse a partir dos axiomas una contradicción (un enunciado u negación).

La segunda, que el sistema sea recursivo, euna condición de restricción, o sobriedad: nonteresa tener «pocos» axiomas, reconocible

bien determinados, que puedan presentars

ehacientemente, para garantizar lcorroboración de las demostraciones de unmanera mecánica y en una cantidad finita dpasos. La tercera, que el sistema sea completo, e

una condición de acopio: los axiomas deben se


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«bastantes» para garantizar la completitud. Sestablece entonces un problema de balance entrestos dos últimos requisitos que se contrapesa

entre sí: los «pocos» axiomas deben ser a la ve«bastantes».

§ 1. EL PROGRAMA DE HILBERT

La preocupación fundamental que da origeal programa de David Hilbert es la cuestión d

cómo manipular con reglas lógicas los conjuntonfinitos pensados como totalidades acabadapor ejemplo, la totalidad de los númeronaturales, o la totalidad de los puntos de u

egmento. Esto es lo que se llama el infinitactual, en contraposición con el infinitotencial, que se corresponde con la idea de u

conjunto que puede ampliarse tanto como s

quiera (para cada númeron puede encontrars


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uno mayor, para cada punto a cierta distancipuede encontrarse otro más lejano), pero que ne presenta «todo a la vez». Hilbert advierte qu

os mismos riesgos y problemas que habíaaparecido en el campo del análisis al consideraumas y productos infinitos podían surgir en la

demostraciones al utilizar los conceptos «parodo» y «existe», aplicados a totalidadenfinitas, si no se tomaban precauciones para nraspasar la esfera de lo intuitivo y lo finito.

En efecto, para totalidades finitas, lafirmación de que todos los objetos poseen uncierta propiedad es equivalente a la conjuncióde varios enunciados particulares por medio de lpalabra «y». Afirmar que todos los alumnos duna fila tienen guardapolvo equivale a decir: e

primero de la fila tiene guardapolvo y el segundde la fila tiene guardapolvo y… y el último de lila tiene guardapolvo. De manera análoga l

afirmación de que en una totalidad finita exist

un objeto con una cierta propiedad es equivalent


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a una composición de enunciados particularepor medio de la palabra «o». Así, para totalidadeo conjuntos finitos vale el principio del tercer

excluido: o bien todos los objetos poseen uncierta propiedad, o bien existe entre ellos uno quno la posee. Para totalidades finitas valeambién las siguientes equivalencias (donde ∀ e

el símbolo matemático que abrevia «Para todo»∃ es el símbolo que abrevia «Existe» y ¬ es eímbolo de negación de un enunciado):

¬∀ xA( x) equivale a ∃ x¬A( x)

¬∃ xA( x) equivale a ∀ x¬A( x)

En la práctica matemática es usual suponein más, la validez de estas equivalencia

ambién cuando se habla de totalidades infinitapero en el terreno de las demostraciones se correl peligro de deslizar inferencias transfinitas, abrir la puerta a posibles errores.

Al considerar una infinidad de objeto


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observa Hilbert, ni la negación del juicio genera∀xA( x), ni la negación del juicio existencia∃xA( x) tienen, en principio, un contenido preciso

porque involucran conjunciones lógicas, disyunciones lógicas, infinitas. Más aún, si lafirmación ∀ xA( x) no es válida, no siempre estnos permite probar que hay un objeto con lpropiedad ¬A. En la demostración del Teoremde Gödel veremos, por ejemplo, que puedexhibirse una fórmula de la aritmética E ( x) taque E (1) es demostrable y E (2) es demostrably… y E (n) es demostrable cualquiera que sea npero sin embargo el enunciado ∀ xE ( x) no edemostrable.

Es decir, no vale en general la inferenciransfinita (la inferencia a partir de una list

nfinita de premisas): a diferencia de lo quocurre con la definición de verdad, en qudecimos que ∀ xE ( x) es verdadero si y sólo si soverdaderos todos los enunciados E (1), E (2), …

E (n),… dar demostraciones para E (1) y para


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E (2) y… para E (n) cualquiera que sea n, npermite inferir que habrá también undemostración para el enunciado ∀ xE ( x). (Véase e

Ejemplo 2.1 al final del capítulo). Tampoco valin más que o bien ∀ xA( x) es válido o bien∃x¬A( x) es válido.

Lo que se propone Hilbert es «indagar poqué y en qué medida la aplicación de modos dnferencia transfinitos tal como éstos s

presentan en el análisis y en la teoría dconjuntos nos permite obtener resultadocorrectos». Y su plan, para una teoría de ldemostración «segura», es reducir las inferenciaransfinitas a enunciados finitistas. «El manejibre de lo transfinito y su entero dominio

control» sostiene, «debe tener lugar a partir de l

inito». (Todas las citas de esta sección, salvndicación diferente, están tomadas del artícul

«Acerca del infinito» [Hilbert (1)].)Hilbert propone diferenciar entre enunciado

«con sentido», o finitistas, cuya verdad


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alsedad pueden determinarse en una cantidainita de pasos y que tienen una evidencintuitiva concreta, y enunciados «ideales» que

aunque no tengan un contenido intuitivo precisopueden agregarse siempre y cuando no den lugaa inconsistencias en las teorías.

En la teoría de la demostración, a losaxiomas finitos se añaden los axiomas ylas fórmulas transfinitas, de manera análoga a como en la teoría de losnúmeros complejos a los elementos realesse añaden los imaginarios. La extensiónpor medio del agregado de ideales eslícita y permisible solamente cuando conello no se provoca el surgimiento de

contradicciones.

Esto lo lleva naturalmente a plantearse lcuestión de la consistencia.


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La elección, la interpretación y la manipulación de los axiomas no puedenestar basadas simplemente en la buena fe

y en lo que nuestras creencias nosindiquen. Tanto en la geometría como enla física es posible dar pruebas deconsistencia relativa. Esto es, de reducirel problema de la consistencia en esas

esferas a la consistencia de los axiomasde la aritmética. Pero es evidente que notiene sentido buscar una demostración deese tipo [consistencia relativa] para la

aritmética misma. En la medida en quenuestra teoría de la demostración, basada en el método de los elementos ideales,hace posible este último y decisivo paso,constituye una especie de punto finalnecesario en la construcción del edificiode la teoría axiomática. Y lo que ya hemos tenido que padecer en dosocasiones, primero con las paradojas del

cálculo infinitesimal y luego con las


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paradojas de la teoría de conjuntos, nopodrá pasarnos una tercera vez, novolverá a pasar nunca.

Lo que se proponía Hilbert, en definitiva, erecuperar toda la matemática y en particular leoría de conjuntos infinitos de Cantor («nadi

nos expulsará del paraíso que Cantor ha creadpara nosotros») a partir de su teoría de ldemostración, y reobtener, para caddemostración obtenida con métodos cualesquierde la práctica matemática usual, undemostración rigurosa y «segura» que utilizarólo inferencias finitas. Como culminación d

este proyecto, planeaba una demostración poestos métodos «seguros» de la consistencia de l

aritmética.Vale la pena aquí insistir sobre un punto, qu

es el que da origen al programa formalista y eque está en el fondo de la discusión filosófic

que se libró por décadas en el terreno de lo


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undamentos de la matemática: los sistemaaxiomáticos se propusieron como una manera dibrar a la matemática de la aparición d

paradojas y contradicciones. Pero el desafío parestos sistemas era mostrar que tenían la mismpotencia, el mismo alcance, y podían recuperaobre nuevas bases, toda la matemática hech

anteriormente. Es decir, se trata de un problemobre los alcances de los métodos formales d

demostración.Muchas veces en su historia, la matemátic

e enfrentó a la insuficiencia (relativa) de supropios métodos. Ya hemos mencionado que ldificultad de los antiguos griegos para calcular laíz cuadrada de dos puede verse como limitación del método de dividir números entero

entre sí. Y que fue esta insuficiencia lo que diugar a un concepto más amplio de número y

nuevos métodos para estimarlos y definirlos.De la misma manera, durante mucho tiemp

e pensó que las ecuaciones de polinomios en un


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variable de grado cinco podían resolversutilizando raíces (tal como se había hecho paros polinomios de grado dos, tres y cuatro). Si

embargo, el método de expresar la solución coaíces probó ser insuficiente para los polinomiode grado ma

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Godel [_] (Para Todos) - Guillermo Martinez