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La matematica dello spaziole diverse geometrie
Marco Andreatta
Dipartimento di Matematica, Universita di Trento
MUSE, Museo delle Scienze di Trento
Foligno2017 – p. 1/??
le radici...
Platone,Atene 427-347 a.C.
Foligno2017 – p. 2/??
le radici...
Platone,Atene 427-347 a.C.
...le opinioni vere ... s’incateninocon un ragionamento fondato
sulla causalitá, in questo consistel’ anamnesi, quella reminescenzasu cui sopra abbiamo convenuto.
Se collegate, esse dapprimadivengono scienza e, quindi,
cognizioni stabili.Ecco perché la scienza vale piú
della retta opinione: la differenza trascienza e retta opinione sta,appunto, nel collegamento.
Foligno2017 – p. 2/??
Il primo: filosofo, matematico...
Talete, Mileto 624-547 a.C.
Foligno2017 – p. 3/??
Il primo: filosofo, matematico...
Talete, Mileto 624-547 a.C.
Filosofia: tutto viene dall’acqua
Foligno2017 – p. 3/??
Il primo: filosofo, matematico...
Talete, Mileto 624-547 a.C.
Filosofia: tutto viene dall’acqua
Matematica: la retta,..., teoremi
Foligno2017 – p. 3/??
e poi molti altri.
Prima ancora: egiziani, babilonesi,...
Foligno2017 – p. 4/??
e poi molti altri.
Prima ancora: egiziani, babilonesi,...discepoli diretti furono Anassimandro e Pitagora
Foligno2017 – p. 4/??
e poi molti altri.
Prima ancora: egiziani, babilonesi,...discepoli diretti furono Anassimandro e Pitagorae poi Anassagora, Empedocle, Zenone, Democrito,Eudosso, Menacmo, Archimede, Apollonio, Diocle,..,
Foligno2017 – p. 4/??
e poi molti altri.
Prima ancora: egiziani, babilonesi,...discepoli diretti furono Anassimandro e Pitagorae poi Anassagora, Empedocle, Zenone, Democrito,Eudosso, Menacmo, Archimede, Apollonio, Diocle,..,Euclide Alessandria 325-265 a.C.
Foligno2017 – p. 4/??
il libro dei libri
Euclide scrive gli ”Elementi”: una sorta di enciclopediaformata da tredici libri.
Foligno2017 – p. 5/??
il libro dei libri
Euclide scrive gli ”Elementi”: una sorta di enciclopediaformata da tredici libri.
la pagina dell’edizione del 1482 con il quinto postulato
Foligno2017 – p. 5/??
La Geometria
Nei primi sei libri degli Elementi troviamo formalizzata unateoria, la Geometria, costituita da
Foligno2017 – p. 6/??
La Geometria
Nei primi sei libri degli Elementi troviamo formalizzata unateoria, la Geometria, costituita daOggetti, definiti a priori, tramite assiomi o postulati, e da un
Foligno2017 – p. 6/??
La Geometria
Nei primi sei libri degli Elementi troviamo formalizzata unateoria, la Geometria, costituita daOggetti, definiti a priori, tramite assiomi o postulati, e da unMetodo, logico deduttivo che si basa su quelle che Euclidechiama nozioni comuni.
Foligno2017 – p. 6/??
La Geometria
Nei primi sei libri degli Elementi troviamo formalizzata unateoria, la Geometria, costituita daOggetti, definiti a priori, tramite assiomi o postulati, e da unMetodo, logico deduttivo che si basa su quelle che Euclidechiama nozioni comuni.
Proviamo dunque a fare i geometri:
Foligno2017 – p. 6/??
La retta
Una retta é un oggetto a priori caratterizzato dalle seguentiproprietá:
Foligno2017 – p. 7/??
La retta
Una retta é un oggetto a priori caratterizzato dalle seguentiproprietá:
i) Si estende all’ infinito in due direzioni
Foligno2017 – p. 7/??
La retta
Una retta é un oggetto a priori caratterizzato dalle seguentiproprietá:
i) Si estende all’ infinito in due direzioniii) Dati due punti distinti esiste una ed una sola retta per idue punti
Foligno2017 – p. 7/??
La retta
Una retta é un oggetto a priori caratterizzato dalle seguentiproprietá:
i) Si estende all’ infinito in due direzioniii) Dati due punti distinti esiste una ed una sola retta per idue puntiiii) dati due punti su una retta il cammino piú breve perandare da un punto all’altro é dato dalla retta stessa (laretta é una geodetica)
Foligno2017 – p. 7/??
La retta
Una retta é un oggetto a priori caratterizzato dalle seguentiproprietá:
i) Si estende all’ infinito in due direzioniii) Dati due punti distinti esiste una ed una sola retta per idue puntiiii) dati due punti su una retta il cammino piú breve perandare da un punto all’altro é dato dalla retta stessa (laretta é una geodetica)iv) se togliamo un punto da una retta rimangono due pezziseparati.
Foligno2017 – p. 7/??
Esempio
retta
non rette
Foligno2017 – p. 8/??
Altri oggetti
- Si definiscono poi le semirette, i segmenti, i triangoli ipoligoni,...
Foligno2017 – p. 9/??
Altri oggetti
- Si definiscono poi le semirette, i segmenti, i triangoli ipoligoni,...-Un angolo é dato da due semirette con vertice comune.
Foligno2017 – p. 9/??
Altri oggetti
- Si definiscono poi le semirette, i segmenti, i triangoli ipoligoni,...-Un angolo é dato da due semirette con vertice comune.
semiretta
angolo piatto
angolo
poligonotriangolo
segmento
Foligno2017 – p. 9/??
Congruenza e misura
-Due oggetti o figure si diranno uguali (o congruenti) se(con un movimento rigido del piano) si possonosovrapporre uno all’altro.
Foligno2017 – p. 10/??
Congruenza e misura
-Due oggetti o figure si diranno uguali (o congruenti) se(con un movimento rigido del piano) si possonosovrapporre uno all’altro.
A
C
B
A
C
B
Foligno2017 – p. 10/??
Congruenza e misura
-Due oggetti o figure si diranno uguali (o congruenti) se(con un movimento rigido del piano) si possonosovrapporre uno all’altro.
A
C
B
A
C
B
-Si definisce una unitá di misura per segmenti e angoli:- metro campione di Sevres = quarantamilonesima parte diun meridiano terrestre- angolo unitario = 180-esima parte dell’angolo piatto
Foligno2017 – p. 10/??
Il teorema di Pitagora
Pitagora,Mileto-Crotone 580-500 a.C.
Foligno2017 – p. 11/??
Il teorema di Pitagora
Pitagora,Mileto-Crotone 580-500 a.C.
Teorema.Dato un triangolo rettangolo
c
b
a
Foligno2017 – p. 11/??
Il teorema di Pitagora
Pitagora,Mileto-Crotone 580-500 a.C.
Teorema.Dato un triangolo rettangolo
c
b
a
vale l’identitá a2 + b2 = c2
Foligno2017 – p. 11/??
Prova
Prova.
b
ca
Foligno2017 – p. 12/??
Prova
Prova.
b
ca
Prendiamo due quadrati di lato a+ b:a b
Foligno2017 – p. 12/??
Prova
Prova.
b
ca
Togliamo ad ognuno 4 volte il triangolo dato
c
c
ccc
c c
a
b
Foligno2017 – p. 13/??
Prova
Prova.
b
ca
le aree delle parti in bianco sono uguali e dunque
c2 = a2 + b2
c
c
ccc
c c
a
b
Foligno2017 – p. 14/??
Un altro teorema
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Foligno2017 – p. 15/??
Un altro teorema
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Prova. Prendiamo un rettangolo (un quadrilatero con latiopposti uguali e angoli retti) e consideriamo i due triangoliformati dalla diagonale
Foligno2017 – p. 15/??
Un altro teorema
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Prova. Prendiamo un rettangolo (un quadrilatero con latiopposti uguali e angoli retti) e consideriamo i due triangoliformati dalla diagonale
Foligno2017 – p. 15/??
Un altro teorema
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Prova. Prendiamo un rettangolo (un quadrilatero con latiopposti uguali e angoli retti) e consideriamo i due triangoliformati dalla diagonale
I due triangoli hanno i lati uguali e dunque sono congruenti.Pertanto il teorema é vero per triangoli rettangoli.
Foligno2017 – p. 15/??
e ancora
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Foligno2017 – p. 16/??
e ancora
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Per un trangolo qualunque tracciamo l’altezza econsideriamo i due triangoli rettangoli ottenuti.
Foligno2017 – p. 16/??
Una prova diversa
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Foligno2017 – p. 17/??
Una prova diversa
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Prova. Consideriamo la parallela ad un lato passante per ilvertice opposto
a b
b a
Foligno2017 – p. 17/??
Una prova diversa
Teorema. La somma degli angoli interni ad un triangolo =angolo piatto.
Prova. Consideriamo la parallela ad un lato passante per ilvertice opposto
a b
b a
(Proposizione) Gli angoli a e b sono uguali tra loro edunque il teorema é dimostrato
Foligno2017 – p. 17/??
Il quinto postulato di Euclide
Riconsideriamo i seguenti tre enunciati:
I) Data una retta da un punto esterna ad essa passauna ed una sola retta parallela
Foligno2017 – p. 18/??
Il quinto postulato di Euclide
Riconsideriamo i seguenti tre enunciati:
I) Data una retta da un punto esterna ad essa passauna ed una sola retta parallela
II) Esistono rettangoli (i.e. quadrilateri con angoliinterni uguali a 90◦ gradi e lati opposti uguali)
Foligno2017 – p. 18/??
Il quinto postulato di Euclide
Riconsideriamo i seguenti tre enunciati:
I) Data una retta da un punto esterna ad essa passauna ed una sola retta parallela
II) Esistono rettangoli (i.e. quadrilateri con angoliinterni uguali a 90◦ gradi e lati opposti uguali)
III) La somma degli angoli interni ad un triangolo éuguale a 180◦ gradi
Foligno2017 – p. 18/??
Il quinto postulato di Euclide
Riconsideriamo i seguenti tre enunciati:
I) Data una retta da un punto esterna ad essa passauna ed una sola retta parallela
II) Esistono rettangoli (i.e. quadrilateri con angoliinterni uguali a 90◦ gradi e lati opposti uguali)
III) La somma degli angoli interni ad un triangolo éuguale a 180◦ gradi
Abbiamo visto che I) e II) implicano III).
Foligno2017 – p. 18/??
Il quinto postulato di Euclide
Riconsideriamo i seguenti tre enunciati:
I) Data una retta da un punto esterna ad essa passauna ed una sola retta parallela
II) Esistono rettangoli (i.e. quadrilateri con angoliinterni uguali a 90◦ gradi e lati opposti uguali)
III) La somma degli angoli interni ad un triangolo éuguale a 180◦ gradi
Abbiamo visto che I) e II) implicano III).In realtá sono tutte formulazioni equivalenti delquinto postulato di Euclide,
Foligno2017 – p. 18/??
Il quinto postulato di Euclide
Riconsideriamo i seguenti tre enunciati:
I) Data una retta da un punto esterna ad essa passauna ed una sola retta parallela
II) Esistono rettangoli (i.e. quadrilateri con angoliinterni uguali a 90◦ gradi e lati opposti uguali)
III) La somma degli angoli interni ad un triangolo éuguale a 180◦ gradi
Abbiamo visto che I) e II) implicano III).In realtá sono tutte formulazioni equivalenti delquinto postulato di Euclide,La prova di uno si ottiene solo ricorrendo ad un altro.
Foligno2017 – p. 18/??
Equivalenza degli enunciati
Abbiamo visto che I) e II) implicano III).
Foligno2017 – p. 19/??
Equivalenza degli enunciati
III) implica II).Si prendano due copie di un triangolo rettangolo e le siincollano lungo l’ipotenusa come in figura,
Foligno2017 – p. 20/??
Equivalenza degli enunciati
II) implica I)Con l’aiuto di un rettangolo con un lato sulla retta ed unvertice sul punto esterno si costruisce, come in figura, laparallela alla retta r per il punto P
P
r
Foligno2017 – p. 21/??
prima di lasciar la (Magna) Grecia
Archimede,Siracusa 287-212 a.C.
Foligno2017 – p. 22/??
prima di lasciar la (Magna) Grecia
Archimede,Siracusa 287-212 a.C.
...ed il mistero del palinsesto
Foligno2017 – p. 22/??
Tra le tante scoperte di Archimede
Determinó con la miglior precisione del tempo il valore dell’area del cerchio di raggio unitario, ovvero del valore delnumero trascendente che oggi indichiamo con π(= 3, 14...).
Foligno2017 – p. 23/??
Tra le tante scoperte di Archimede
Determinó con la miglior precisione del tempo il valore dell’area del cerchio di raggio unitario, ovvero del valore delnumero trascendente che oggi indichiamo con π(= 3, 14...).
Inoltre dimostró il seguente: Teorema. La superfice dellasfera di raggio r é uguale alla superficie laterale del cilindro
circoscritto ovvero 2πr × 2r = 4πr2
Foligno2017 – p. 23/??
Un gesuita vede, ma non crede
Giovanni Girolamo Saccheri1667-1733, gesuitaprofessore di Teologia edi Matematica a PaviaSi propose di dimostrarel’esistenza di un rettangolo(quadrilatero di Saccheri),di fatto sviluppó dellageometria non euclidea.
Foligno2017 – p. 24/??
Un gesuita vede, ma non crede
Giovanni Girolamo Saccheri1667-1733, gesuitaprofessore di Teologia edi Matematica a PaviaSi propose di dimostrarel’esistenza di un rettangolo(quadrilatero di Saccheri),di fatto sviluppó dellageometria non euclidea.
Foligno2017 – p. 24/??
Il mondo é tondo
Diventa importante fare misure, dividere territori, tracciarerotte, su scala terrestre.
Foligno2017 – p. 25/??
Il mondo é tondo
Diventa importante fare misure, dividere territori, tracciarerotte, su scala terrestre.
Nel 1493 una bolla papale assegna le terre a ovest del”meridiano che sta 100 leghe ad ovest delle Azzorre” allaSpagna. Nessuno peró sa come determinare questomeridiano. Si bandiscono dei premi in denaro, il primodalla Spagna nel 1567.
Foligno2017 – p. 25/??
Il mondo é tondo
Diventa importante fare misure, dividere territori, tracciarerotte, su scala terrestre.
Nel 1493 una bolla papale assegna le terre a ovest del”meridiano che sta 100 leghe ad ovest delle Azzorre” allaSpagna. Nessuno peró sa come determinare questomeridiano. Si bandiscono dei premi in denaro, il primodalla Spagna nel 1567.
Gerardo Mercatore, 1512-1594,matematico, astronomo, cartografo, ereticosi sforza di ridurre la geometria del globo terrestre allageometria piana.
Foligno2017 – p. 25/??
Le proiezioni di Mercatore
Foligno2017 – p. 26/??
Le proiezioni di Mercatore
Foligno2017 – p. 27/??
Gauss, il Teorema Egregium
Gauss,Gottinga, 1777-1855
Foligno2017 – p. 28/??
Gauss, il Teorema Egregium
Gauss,Gottinga, 1777-1855
Teorema Egregium.
Non é possibile rappresentare lasfera su un piano in modo tale che larappresentazione preservi le misure,
nemmeno per porzioni limitate!
(Piú precisamente il teorema dicedue superfici con curvatura diversanon sono localmente isometriche)
Foligno2017 – p. 28/??
La geometria sferica
Una Sfera é il luogo dei punti nello spazio equidistanti unalungezza r da un punto fisso detto 0. Pensiamo di potermuoverci solo sulla superficie della sfera e che il raggio rsia enormemente grande rispetto alle nostre dimensioni.
Foligno2017 – p. 29/??
La geometria sferica
Una Sfera é il luogo dei punti nello spazio equidistanti unalungezza r da un punto fisso detto 0. Pensiamo di potermuoverci solo sulla superficie della sfera e che il raggio rsia enormemente grande rispetto alle nostre dimensioni.
Una retta vogliamo sia come prima caratterizzata da:ii) Si estende all’ infinito in due direzioniii) Dati due punti distinti esiste una ed una sola retta per idue puntiiii) dati due punti su una retta il cammino piú breve perandare da un punto all’ altro é dato dalla retta stessa (laretta é una geodetica)iv) se togliamo un punto da una retta rimangono due pezziseparati.
Foligno2017 – p. 29/??
I cerchi massimi
Le rette sulla sfera sono i cerchi massimi, ovvero i cerchiche si ottengono intersecando la sfera con un pianopassante per l’origine
Foligno2017 – p. 30/??
I cerchi massimi
Le rette sulla sfera sono i cerchi massimi, ovvero i cerchiche si ottengono intersecando la sfera con un pianopassante per l’origine
Di questo fatto se ne puódare una prova matematica.
Per convincersene bastaprovare a tendere un filo tra
due punti su un pallone.Oppure considerare la rotta
che percorre un aereoda Milano a New-York, ...
Foligno2017 – p. 30/??
altri oggetti
Si definiscono poi le semirette, i segmenti, i triangoli ed ipoligoni. Un angolo é dato da due semirette con verticecomune. Due oggetti o figure si diranno uguali (ocongruenti) se (con un movimento rigido della sfera) sipossono sovrapporre uno all’altro. Infine si definiscono lemisure.
Foligno2017 – p. 31/??
altri oggetti
Un definizione nuova é quella di luna, ovvero la parte disfera delimitata da due rette che formano un angolo A.
Foligno2017 – p. 31/??
altri oggetti
Un definizione nuova é quella di luna, ovvero la parte disfera delimitata da due rette che formano un angolo A.
Proposizione.L’area della luna formata
da un angolo A su unasfera di raggio r si
ottiene con laproporzione4πr2
π= Area
A
Foligno2017 – p. 31/??
altri oggetti
Un definizione nuova é quella di luna, ovvero la parte disfera delimitata da due rette che formano un angolo A.
Proposizione.L’area della luna formata
da un angolo A su unasfera di raggio r si
ottiene con laproporzione4πr2
π= Area
A
i.e.Area = 4r2A
Foligno2017 – p. 31/??
Teorema dell’ eccesso- Gauss
Teorema Dato un triangolo sferico con angoli A,B,C
Foligno2017 – p. 32/??
Teorema dell’ eccesso- Gauss
Teorema Dato un triangolo sferico con angoli A,B,C
la sua area é data dalla formula
Area = r2(A+B + C − π)
Foligno2017 – p. 32/??
Dimostrazione
Foligno2017 – p. 33/??
Dimostrazione
osserviamo che le tre lunedefinite dagli angoli A,B,C
coprono tutta la sfera,precisamente ricoprono
tre volte il triangolo edil triangolo antipodale,
ogni altro punto stasolo su una luna.
Foligno2017 – p. 33/??
Dimostrazione
osserviamo che le tre lunedefinite dagli angoli A,B,C
coprono tutta la sfera,precisamente ricoprono
tre volte il triangolo edil triangolo antipodale,
ogni altro punto stasolo su una luna.
Abbiamo dunque che vale:area luna A + area luna B + area luna C =
area della sfera + 4 volte area del triangolo
Foligno2017 – p. 33/??
Dimostrazione
osserviamo che le tre lunedefinite dagli angoli A,B,C
coprono tutta la sfera,precisamente ricoprono
tre volte il triangolo edil triangolo antipodale,
ogni altro punto stasolo su una luna.
Ovvero:4r2(A+B + C) =
4πr2 + 4 area triangolo
Foligno2017 – p. 33/??
Corollari
Area = r2(A+B + C − π)
Foligno2017 – p. 34/??
Corollari
Area = r2(A+B + C − π)
- non vale il quinto postulato di euclide
Foligno2017 – p. 34/??
Corollari
Area = r2(A+B + C − π)
- non vale il quinto postulato di euclide- gli angoli determinano il triangolo.( In geometria euclideadue triangoli con gli stessi angoli non sono congruenti,sono simili.)
Foligno2017 – p. 34/??
Corollari
Area = r2(A+B + C − π)
- non vale il quinto postulato di euclide- gli angoli determinano il triangolo.( In geometria euclideadue triangoli con gli stessi angoli non sono congruenti,sono simili.)- la curvatura dello spazio determina la geometria, forniscemaggiori elementi di conoscenza. Su questo principio sibasa anche la teoria della relativitá.
Foligno2017 – p. 34/??
Geometria iperbolica
La geometria iperbolica é una geometria piana nella quale-la somma degli angoli interni di un triangolo é minore di180 gradi- per ogni punto esterno ad una retta passano infinite retteparallele alla retta stessa- non esistono rettangoli.
Foligno2017 – p. 35/??
Geometria iperbolica
La geometria iperbolica é una geometria piana nella quale-la somma degli angoli interni di un triangolo é minore di180 gradi- per ogni punto esterno ad una retta passano infinite retteparallele alla retta stessa- non esistono rettangoli.
Questa geometria é stata teorizzata da Bolyai eLobatchewski. Dalla teorizzazione alla costruzione di unmodello la strada é lunga (Hilbert dimostró che non puóessere realizzata nello spazio) .
Foligno2017 – p. 35/??
geometri europei della fine 800
Eugenio Beltrami 1835-1900, Felix Klein 1849-1925, Henry Poincaré 1854-1912
Foligno2017 – p. 36/??
i sogni diventano...modelli
Foligno2017 – p. 37/??
i sogni diventano...modelli
Foligno2017 – p. 37/??
Geometria iperbolica
Il luogo di questa geometria (detto anche l’universo) é datodai punti di un disco nel piano di raggio r (abbastanzagrande rispetto all’osservatore) detto Disco Iperbolico.
Foligno2017 – p. 38/??
Geometria iperbolica
Il luogo di questa geometria (detto anche l’universo) é datodai punti di un disco nel piano di raggio r (abbastanzagrande rispetto all’osservatore) detto Disco Iperbolico.
Foligno2017 – p. 38/??
Geometria iperbolica
Il luogo di questa geometria (detto anche l’universo) é datodai punti di un disco nel piano di raggio r (abbastanzagrande rispetto all’osservatore) detto Disco Iperbolico.
Si definisce una distanzaparticolare tra due punti A e Bnel disco in modo taleche il cammino piú breve,ovvero la retta, per andareda A a B sia quello datodal cerchio passanteper i due punti e perpendicolareal bordo del disco.
Foligno2017 – p. 38/??
Geometria iperbolica
Il luogo di questa geometria (detto anche l’universo) é datodai punti di un disco nel piano di raggio r (abbastanzagrande rispetto all’osservatore) detto Disco Iperbolico.
Piú precisamente la distanzasi definisce considerandoil cerchio per A e Bintersecante ortogonalmente ilbordo del disco nei punti A’ e B’.Allora d(A,B) =1/2|log[(AA′/BA′)(BB′/AB′)]|.Si noti che se tengo fisso Ae mi muovo con B versoil bordo del disco la distanzad(A,B) tende ad infinito.
Foligno2017 – p. 38/??
Teorema di geometria iperbolica
Teorema Dato un triangolo iperbolico con angoli A,B,C
Foligno2017 – p. 39/??
Teorema di geometria iperbolica
Teorema Dato un triangolo iperbolico con angoli A,B,C
Area = r2(π − (A+ B + C))
Foligno2017 – p. 39/??
Conclusione
A concludere enunciamo uno dei teoremi piú belli e difficilidel secolo scorso.
Foligno2017 – p. 40/??
Conclusione
A concludere enunciamo uno dei teoremi piú belli e difficilidel secolo scorso.Teorema di uniformizzazione di Riemann-Poincaré.Ogni geometria piana é riconducibile a una delle tregeometrie sopra descritte (euclidea, sferica, iperbolica).
Foligno2017 – p. 40/??
Conclusione
A concludere enunciamo uno dei teoremi piú belli e difficilidel secolo scorso.Teorema di uniformizzazione di Riemann-Poincaré.Ogni geometria piana é riconducibile a una delle tregeometrie sopra descritte (euclidea, sferica, iperbolica).
Foligno2017 – p. 40/??
Conclusione
A concludere enunciamo uno dei teoremi piú belli e difficilidel secolo scorso.Teorema di uniformizzazione di Riemann-Poincaré.Ogni geometria piana é riconducibile a una delle tregeometrie sopra descritte (euclidea, sferica, iperbolica).
Un teorema simile per dimensionisuperiori non é stato dimostrato;
quel che é certo é che legeometrie di tipo iperbolicosono le piú diffuse e ignote.
Foligno2017 – p. 40/??
Kant - Riemann
Lo spazio non e un concetto che si deriva dalla
esperienza esterna... la rappresentazione dello
spazio deve gia esistere come ”fondamento” (a priori).
Di conseguenza la rappresentazione dello spazio
non puo essere acquisita dalla relazione con
fenomeni esterni attraverso l’esperienza.
Kant 1724-1804 - Critica della Ragion Pura
Foligno2017 – p. 41/??
Kant - Riemann
Lo spazio non e un concetto che si deriva dalla
esperienza esterna... la rappresentazione dello
spazio deve gia esistere come ”fondamento” (a priori).
Di conseguenza la rappresentazione dello spazio
non puo essere acquisita dalla relazione con
fenomeni esterni attraverso l’esperienza.
Kant 1724-1804 - Critica della Ragion Pura
Nasce quindi il problema del trovare il dato piu semplice
dal quale dedurre le relazioni metriche dello spazio....
il sistema piu importante e quello concepito
a fondamenta della geometria da Euclide.
Questo dato e, come tutti i dati, non necessario,
ma solo di certezza empirica, e una ipotesi...
Riemann 1826-1866 -
Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometriaFoligno2017 – p. 41/??
M.C. Escher
Tassellatura iperbolica di Coxeter
Foligno2017 – p. 42/??
M.C. Escher
Rielaborazione di EscherFoligno2017 – p. 42/??
M.C. Escher
Escher: Cerchio limite IIIFoligno2017 – p. 42/??
M.C. Escher
Poster premiato con il 2003 Math AwarenessFoligno2017 – p. 42/??