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Richiami su retta, parabola e su retta, parabola e... · PDF fileRICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI . Angela Donatiello 2 Una funzione del tipo f(x) = mx + q, con m e q numeri

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Angela Donatiello 1

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI

Angela Donatiello 2

Una funzione del tipo f(x) = mx + q, con m e q numeri reali, una FUNZIONE LINEARE. Il numero q detto INTERCETTA o ORDINATA ALLORIGINE, il termine m detto COEFFICIENTE ANGOLARE.

Tale funzione definita Rx e rappresenta una retta del piano cartesiano non parallela allasse y. Se q = 0, allora la retta passa per lorigine degli assi. Esempio. y = 4 x In tal caso le due grandezze x e y sono tra loro in una relazione di proporzionalit diretta.

Def. Due grandezze si definiscono direttamente proporzionali se il loro rapporto costante.

Angela Donatiello 3

A (x1,y1) B(x2,y2)

m = =

= tg

xy

xxyy12

12

dove langolo che la retta forma con lasse delle ascisse valutato in senso antiorario.

RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE

Tasso di crescita del peso di un neonato tra la seconda e sesta settimana

Tasso di dilatazione termica

y2-y1

x2-x1

Angela Donatiello 4

m > 0 la retta una funzione crescente (x1 < x2 y1 < y2)

Per cui = tgxy

>0

acuto m < 0 la retta una funzione decrescente (x1 < x2 y1 > y2)

Per cui = tgxy

< 0

ottuso

Angela Donatiello 5

Condizione di parallelismo tra rette: 'mm'r//r =

Condizione di perpendicolarit tra rette: 'm1m'rr =

Equazione del fascio proprio di rette (retta passante per un punto assegnato P(x0,y0) ): )xx(myy 00 = Equazione della retta passante per due punti: A (x1,y1) B(x2,y2)

12

12xxyym

= e )xx(myy 11 =

)xx(xxyyyy 112

121

+=

12

1

12

1xxxx

yyyy

=

Angela Donatiello 6

FUNZIONE QUADRATICA Una funzione del tipo f(x) = ax2 + bx + c con a,b,c R ed a 0 detta funzione quadratica. Il suo grafico una parabola generica.

Il grafico della parabola simmetrico rispetto ad una retta parallela allasse y, detto asse di simmetria, di equazione

a2bx =

La parabola ha vertice nel punto di coordinate

a4;a2bV

con ac4b2 =

Se a > 0 la parabola volge la concavit verso lalto

Se a < 0 la parabola volge la concavit verso il basso

Angela Donatiello 7

Angela Donatiello 8

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Risolvere unequazione del tipo ax2 + bx + c = 0 significa risolvere il sistema

=

++=

0ycbxaxy 2

ossia cercare le intersezioni tra la funzione quadratica e lasse delle ascisse (asse x) Tali soluzioni vengono definite RADICI o ZERI della funzione.

Angela Donatiello 9

ac4b2 =

Se 0> lequazione ammette due soluzioni reali e

distinte a2

bx1

= e a2

bx2+

=

(due intersezioni con lasse x)

Se 0= lequazione ammette due soluzioni reali e coincidenti

a2bxx 21 ==

(una sola intersezione con lasse x)

Se 0

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO a > 0 ax2 + bx + c >0

0= 0

21 xxxx >< 1xx,Rx Rx

Angela Donatiello 11

a > 0 ax2 + bx + c 0

> 0 0= 0

Angela Donatiello 12

a > 0 ax2 + bx + c < 0

0= 0

21 xxx

Angela Donatiello 13

a > 0 ax2 + bx + c 0

0= 0

21 xxx 1xx = Rx/

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RICAPITOLANDO 1) Nel caso di disequazione di secondo grado Pura, Spuria o Completa con 0> , lequazione associata avr due soluzioni reali e distinte e la disequazione sar soddisfatta per intervalli esterni o interni, a seconda se sono concordi o discordi il coefficiente del termine di secondo grado e il verso della disequazione: ! 25 > 0 < 5 > 5

3! 4 < 0 0 < 0 3

( 3)! 0

( 3)! < 0

( 3)! 0 = 3

Angela Donatiello 17

DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE

0)x(D)x(N o 0

)x(D)x(N

Si studiano il segno del numeratore e il segno del denominatore, analizzandone la positivit. Si costruisce poi un grafico dei segni su cui riportare gli intervalli di positivit di numeratore e denominatore. Si determina, infine, con la regola dei segni, il segno del rapporto N/D.

Esempio. 04x5x2x

2

2

+ Sol: (-2;2)

Esempio. 08x6x3x2x

2

2

++

+ Sol: );2()4,( +

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SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Si determinano le soluzioni della prima disequazione, si determinano le soluzioni della seconda disequazione e si rappresentano tali soluzioni su un grafico di sistema. (Le soluzioni

di una singola disequazione vanno rappresentate con una linea continua su uno stesso livello, le disequazioni dellaltra disequazione su un secondo livello). Si ricercano infine le soluzioni comuni, ossia quelle che soddisfano entrambe le disequazioni.

Esempio:

+

>

01xx

x509x

2

2

Sol: ]5,3()3,(

)0()0(

0)X(D0)X(D

2

1