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RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI

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Una funzione del tipo f(x) = mx + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL’ORIGINE, il termine m è detto COEFFICIENTE ANGOLARE.

Tale funzione è definita Rx∈∀ e rappresenta una retta del piano cartesiano non parallela all’asse y. Se q = 0, allora la retta passa per l’origine degli assi. Esempio. y = 4 x In tal caso le due grandezze x e y sono tra loro in una relazione di proporzionalità diretta.

Def. Due grandezze si definiscono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante.

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A (x1,y1) B(x2,y2)

m = α=ΔΔ

=−− tg

xy

xxyy12

12

dove α è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse valutato in senso antiorario.

RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE

Ø Tasso di crescita del peso di un neonato tra la seconda e sesta settimana

Ø Tasso di dilatazione termica

y2-y1

x2-x1

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m > 0 la retta è una funzione crescente (x1 < x2 ⇒y1 < y2)

Per cui α=ΔΔ tgxy

>0

α⇒ acuto m < 0 la retta è una funzione decrescente (x1 < x2 ⇒y1 > y2)

Per cui α=ΔΔ tgxy

< 0

α⇒ ottuso

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Condizione di parallelismo tra rette: 'mm'r//r =⇔

Condizione di perpendicolarità tra rette: 'm1m'rr −=⇔⊥

Equazione del fascio proprio di rette (retta passante per un punto assegnato P(x0,y0) ): )xx(myy 00 −=− Equazione della retta passante per due punti: A (x1,y1) B(x2,y2)

12

12xxyym

−−

= e )xx(myy 11 −=−

⇒ )xx(xxyyyy 112

121 −

−−

+= ⇒ 12

1

12

1xxxx

yyyy

−−

=−−

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FUNZIONE QUADRATICA Una funzione del tipo f(x) = ax2 + bx + c con a,b,c ∈ R ed a ≠0 È detta funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola generica.

Ø Il grafico della parabola è simmetrico rispetto ad una retta parallela all’asse y, detto asse di simmetria, di equazione

a2bx −=

Ø La parabola ha vertice nel punto di coordinate ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−a4

;a2bV

con ac4b2 −=Δ

Ø Se a > 0 ⇒ la parabola volge la concavità verso l’alto

Ø Se a < 0 ⇒ la parabola volge la concavità verso il basso

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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Risolvere un’equazione del tipo ax2 + bx + c = 0 significa risolvere il sistema

⎩⎨⎧

=

++=

0ycbxaxy 2

ossia cercare le intersezioni tra la funzione quadratica e l’asse delle ascisse (asse x) Tali soluzioni vengono definite RADICI o ZERI della funzione.

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ac4b2 −=Δ

Ø Se 0>Δ ⇒ l’equazione ammette due soluzioni reali e

distinte a2

bx1Δ−−

= e a2

bx2Δ+−

=

(due intersezioni con l’asse x)

Ø Se 0=Δ ⇒ l’equazione ammette due soluzioni reali e

coincidenti a2bxx 21 −==

(una sola intersezione con l’asse x)

Ø Se 0<Δ ⇒ l’equazione non ammette soluzioni reali, ciò vuol dire che la funzione quadratica non ha intersezioni con l’asse x

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO a > 0 ax2 + bx + c >0

0=Δ 0<Δ 0>Δ

21 xxxx >∨< 1xx,Rx ≠∈∀ Rx∈∀

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a > 0 ax2 + bx + c ≥ 0

Δ > 0 0=Δ 0<Δ

21 xxxx ≥∨≤ Rx∈∀ Rx∈∀

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a > 0 ax2 + bx + c < 0

0=Δ 0<Δ 0>Δ

21 xxx << Rx∈∃/ Rx∈∃/

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a > 0 ax2 + bx + c ≤0

0=Δ 0<Δ

0>Δ

21 xxx ≤≤ 1xx = Rx∈∃/

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RICAPITOLANDO 1) Nel caso di disequazione di secondo grado Pura, Spuria o Completa con 0>Δ , l’equazione associata avrà due soluzioni reali e distinte e la disequazione sarà soddisfatta per intervalli esterni o interni, a seconda se sono concordi o discordi il coefficiente del termine di secondo grado e il verso della disequazione: 𝑥! − 25 > 0 ⇒ 𝑥 < −5 ∨ 𝑥 > 5

3𝑥! − 4𝑥 < 0 ⇒ 0 < 𝑥 <43

−2𝑥! + 3𝑥 + 2 ≥ 0 ⇒ −12≤ 𝑥 ≤ 2

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2) Nel caso di disequazione di secondo grado Completa con 0<Δ , l’equazione associata non avrà soluzioni reali, per cui la

parabola a cui il polinomio si riferisce non interseca l’asse x. Pertanto, facendo in modo di avere il coefficiente del termine di secondo grado positivo, si avranno due casi:

𝑥! + 𝑥 + 1 > 0 ⇒ ∀𝑥 ∈ 𝑅

𝑥! − 2𝑥 + 7 < 0 ⇒ 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒

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3) Nel caso di disequazione di secondo grado Completa con 0=Δ il polinomio è necessariamente un quadrato di binomio,

pertanto si presenteranno 4 casi possibili:

𝑥! − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)!

(𝑥 − 3)! > 0 ⇒ ∀𝑥 ≠ 3

(𝑥 − 3)! ≥ 0 ⇒ ∀𝑥 ∈ 𝑅

(𝑥 − 3)! < 0 ⇒ 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒

(𝑥 − 3)! ≤ 0 ⇒ 𝑥 = 3

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DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE

0)x(D)x(N≥ o 0

)x(D)x(N≤

Si studiano il segno del numeratore e il segno del denominatore, analizzandone la positività. Si costruisce poi un grafico dei segni su cui riportare gli intervalli di positività di numeratore e denominatore. Si determina, infine, con la regola dei segni, il segno del rapporto N/D.

Esempio. 04x5x2x

2

2≤

−

+− Sol: (-2;2)

Esempio. 08x6x3x2x

2

2≤

++

−+− Sol: );2()4,( +∞−∪−−∞

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SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Si determinano le soluzioni della prima disequazione, si determinano le soluzioni della seconda disequazione e si rappresentano tali soluzioni su un grafico di sistema. (Le soluzioni

di una singola disequazione vanno rappresentate con una linea continua su uno stesso livello, le disequazioni dell’altra disequazione su un secondo livello). Si ricercano infine le soluzioni comuni, ossia quelle che soddisfano entrambe le disequazioni.

Esempio: ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−

−>−

01xx

x509x

2

2

Sol: ]5,3()3,( ∪−−∞

⎩⎨⎧

<

<

>

>

)0()0(

0)X(D0)X(D

2

1