LA CONVEZIONE. Caratteri della convezione Ci si riferisce fondamentalmente allo scambio di calore tra un solido ed un fluido in moto rispetto ad esso

LA CONVEZIONE

Caratteri della convezione

Ci si riferisce fondamentalmente allo scambio di calore tra un solido ed un fluido in moto rispetto ad esso.

Se il fluido fosse fermo:

TTL

kq p

T ≠ Tp

Tp

yx

LCon il fluido in moto:

0y

p y

TkTThq

ADERENZA DELLE PARTICELLE FLUIDE ALLA PARETE

L

TT

y

T

k

hL

q

qNu

p

y

conduzione

convezione

0

Nusselt (1882-1957)

CLASSIFICAZIONE

Origine del moto

Forzata Naturale

Geometria del solido

m

x

r

D

Deflusso interno

x

y V

Deflusso esterno

CLASSIFICAZIONE

Carattere del moto

Laminare Turbolento

STRATI LIMITE

x = 0

y

u (x)

Velocità

Le particelle a contatto con la parete si arrestano e rallentano quelle sovrastantiLe particelle a contatto con la parete si arrestano e rallentano quelle sovrastanti

Lo spessore dello strato limite d = d(x) è il valore di y per cui u=0,99u

Si denomina coefficiente d’attrito il valore:

2

2

u

C sf

con τs sforzo tangenziale alla parete

STRATI LIMITETermico

In generale:dt ≠ d

u

TT uT ,

(x)

Parete riscaldata

)(xt

Strato limite termico

Le particelle a contatto con la lastra si portano in equilibrio termico con essa e Le particelle a contatto con la lastra si portano in equilibrio termico con essa e scambiano energia con quelle sovrastantiscambiano energia con quelle sovrastanti

Lo spessore dello strato limite dt = dt(x) è il valore di y per cui: 99,0

TT

TT

p

p

Se Tp-T non varia con x, ne segue che dT cresce, diminuendo il gradiente di temperatura e quindi il calore scambiato

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 1/12

Ipotesi di flusso bidimensionaleIpotesi di flusso bidimensionale vuVV ,

Conservazione della massa nel volume di controllo:Conservazione della massa nel volume di controllo:

ue mmm

dxvdyu

dxdy

dxdy

dy

vvdydx

dx

uu

Lasciando cadere l’ipotesi di bidimensionalità, l’equazione si estende come segue:Lasciando cadere l’ipotesi di bidimensionalità, l’equazione si estende come segue:

0

z

w

y

v

x

u 0

VD

D

zw

yv

xu

D

D

wvuV ,,

VELOCITA’

notazionenotazione

vettorialevettoriale

dx

dy

x

y

z

u

v

dy

y

vv

dx

x

uu

0

z

w

y

v

x

u


se r = cost 0

z

w

y

v

x

u

In coordinate cilindriche: 01

z

vv

rr

v

r

v zrr

VELOCITA’

II Legge di Newton nel volume di controllo:II Legge di Newton nel volume di controllo:

Quantità di moto

eu MMt

MF

Forze esterne

DI MASSA(ad es. campo

gravitazionale o elettromagnetico)

DI SUPERFICIE Flussi della quantità di moto


Rappresentazione delle forze di superficie

VELOCITA’

s = sforzo normale; t = sforzo tangenziale1° pedice: orientamento della superficie su cui agisce lo sforzo2° pedice: direzione della componente dello sforzo

dx

dy

x

y

z

xxxy

yxyy

dxx xxxx

dxx xyxy

dyy yxyx

dyy yyyy

yx,

dxdyyx

p

xF yxxx

xs

, dxdyyy

p

yF xyyy

ys

,

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 4/12VELOCITA’

La portata in massa nel piano y-z è:

1udy (altezza unitaria)

Il flusso della q.d.m. è pertanto: udyu

Analogamente, nel piano x-z:

dx

dy

x

y

z

yx, uu

uv

dxuux

uu

dyuvy

uv

udxv

Il flusso netto nella direzione x è dunque:

xyy

uvyx

x

uu

L’incremento temporale della quantità di moto nel volume di controllo è: dxdyu

Operando le dovute sostituzioni nella II legge di Newton si ottiene, lungo x:

y

uv

x

uuu

yx

p

xX yxxx

Forza di

volume

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 5/12VELOCITA’

Per La semplificazione delle equazioni del moto si ipotizza un comportamento newtoniano del fluido:

GLI SFORZI VISCOSI SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI AI GRADIENTI DI VELOCITA’

Introducendo la viscosità m, le equazioni che esprimono tale dipendenza sono:

y

v

x

u

x

uxx

3

22

y

v

x

u

y

vyy

3

22

x

v

y

u

y

vyxxy

La sostituzione delle relazioni citate nella II legge di Newton prima ricavata, si ottengono le equazioni di NAVIER (1785-1836) – STOKES (1819-1903)

L’espressione si semplifica notevolmente per fluidi incomprimibili e con viscosità costante

Xux

p

D

Du

2

Yvy

p

D

Dv

2

Ovvero in notazione vettoriale

FVPD

VD 2

FVVpVVt

V T

)(

trasposta

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 6/12TEMPERATURA

Si vuole descrivere l’andamento della temperatura all’interno dello strato limite termico

vcsiscconvvc LEEEE

convezione per l’ingresso del fluido superficie di controllo

volume di controllosorgenti interne

EQUAZIONE DELL’ENERGIA

dxdyeEvc

e = energia cinetica + energia potenziale

dxdyuex

dydxuex

ueuedyE xconv

, dydxve

yE yconv

,

dxdyx

Tk

xdydx

x

Tk

xx

Tkdy

x

TkE xsc

, dydxy

Tk

yE ysc

,

solo convezione, si trascura l’irraggiamento


dxdyqE si

dxdyuy

dxdyupx

XudxdyL yxxxxvc

, dydxv

xdydxvp

yYvdxdyL xyyyyvc

,

Sostituendo nell’equazione dell’energia:

uvy

vux

vy

ux

YvXuqy

Tk

yx

Tk

xve

yue

xe

y xyyyxyxx

Ricordando la definizione di entalpia per unità di massa del fluido:p

ui

L’equazione dell’energia, sfruttando l’equazione di continuità, diventa:

qy

pv

x

pu

p

y

Tk

yx

Tk

xy

iv

x

iu

i

dove:

2222

3

22

y

v

x

u

y

v

x

u

x

v

y

u


Ricordando l’espressione dell’operatore D:

Dalla definizione di entalpia per una sostanza pura monofase:

L’equazione si trasforma come segue:

Se il fluido è incomprimibile (b = 0):

zw

yv

xu

D

D

si ottiene:

qD

DpTk

D

Di

dpTdTcdpT

TdTcdi p

p

p

1

1

1

1

pT

1

con

coeff.di dilatazione

termica

q

D

DpTTk

D

DTcp

Se il fluido è un gas ideale (bT=1):

q

D

DpTk

D

DTcp

qTk

D

DTcp


Se la conducibilità termica del fluido è costante con la temperatura, non c’è generazione interna di calore ed è trascurabile la comprimibilità, insieme alla dissipazione viscosa m:

o in coordinate cilindriche:

ovvero:TkD

DTc p

2

2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

Tk

z

Tw

y

Tv

x

Tu

Tc p

2

2

2

2

2

11

z

TT

rr

Tr

rrk

z

Tv

T

r

v

r

Tv

Tc zrp


• Regime stazionario;• proprietà fisiche del fluido (k, m, cp, …) costanti;• fluido incomprimibile;• forze di massa trascurabili (X = Y = 0);• assenza di generazione interna di calore;

• approssimazione di strato limite

Condizioni particolariu >> v

x

v

y

v

x

u

y

u

,,

x

T

y

T

Per gli sforzi tangenziali si ottiene:

y

uyxxy

l’equazione di continuità assume la forma: 0

y

v

x

u

l’equazione della quantità di moto lungo x diventa: 2

21

y

u

x

p

y

uv

x

uu

l’equazione della quantità di moto lungo y diventa: 0y

pvelocità disaccoppiata

dalla temperatura

l’equazione dell’energia diventa:

2

2

2

y

u

cy

Ta

y

Tv

x

Tu

p


Parametri di similitudine

L’obiettivo è di trovare equazioni rappresentative del moto in cui compaiano solo gruppi adimensionali

Si introducono le variabili adimensionali seguenti:

L

xx *

L

yy *

u

uu*

v

vv*

p

p

TT

TTT

*2

*

u

pp

Sostituendo nelle2

21

y

u

x

p

y

uv

x

uu

2

2

2

u

u

cy

Ta

y

Tv

x

Tu

p

si ottiene:con le

condizioni al contorno:

Parete

00,** xu 00,** xv

Corrente libera

1,** xu2*

*2

*

*

*

**

*

**

y

u

Lux

p

y

uv

x

uu

STRATO LIMITE DI VELOCITA’

STRATO LIMITE TERMICO

2*

*2

*

**

*

**

y

T

Lu

a

y

Tv

x

Tu

00,** xT

Parete

1,** xT

con le condizioni

al contorno:


Parametri di similitudine

Introducendo i numeri adimensionali

2*

*2

*

*

*

**

*

**

Re

1

y

u

x

p

y

uv

x

uu

L

2*

*2

*

**

*

**

PrRe

1

y

T

y

Tv

x

Tu

L

Lu

LRe

a

Pr

le equazioni si trasformano come segue:

0*

*

*

*

y

v

x

u

EQUAZIONI ADIMENSIONALI

Lo sforzo tangenziale alle parete è:0

*

*

0 *

yy

s y

u

L

u

y

u

da cui si ricava il coefficiente di attrito:

0*

*

2*Re

2

2

yL

sf y

u

uC

Il numero di Nusselt si esprime come:

0*

*

*

y

y

T

k

hLNu

EFFETTI DI TURBOLENZA 1/3Si tratta di una distorsione delle linee di corrente del deflusso laminare.

Se Re è piccolo, i disturbi vengono dissipati, altrimenti si amplificano e il moto diventa turbolento.

Il deflusso turbolento dà luogo a fluttuazioni nel tempo delle proprietà P del moto:

La grandezza P è data, istante per istante, da:

' PPP

Valore medio temporale

Componente fluttuante

EFFETTI DI TURBOLENZA 2/3Nelle ipotesi di deflusso stazionario, fluido incomprimibile a proprietà costanti,le equazioni della conservazione della quantità di moto (lungo l’asse x) e dell’energia diventano:

''vuy

u

yx

p

y

uv

x

uu

'''' vucy

u

yTvc

y

Tk

yy

Tv

x

Tuc ppp

Lo sforzo tangenziale si esprime pertanto come segue:

''vuy

utot

e il flusso termico totale:

''Tvcy

Tkq ptot

Si intensificano i trasferimenti di quantità di moto e di energia al fluido

Uno dei modelli più semplici per la spiegazione della turbolenza chiama in causa i vortici

Porzioni del fluido in moto nello strato limite prima di dissolversi nella matrice fluida

EFFETTI DI TURBOLENZA 3/3Si introduce la viscosità turbolenta eM come: ''vu

y

uM

e la diffusività termica turbolenta eH come: ''vTy

TH

y

uMtot

y

Tacq Hptot

La maggiore intensità di mescolamento rende i profili di velocità più uniformi nel moto turbolento

il gradiente di velocità (quindi gli sforzi alle pareti) e il gradiente di temperatura (quindi il flusso termico) risultano superiori nel moto turbolento rispetto al moto laminare

Documents

LA CONVEZIONE. Caratteri della convezione Ci si riferisce fondamentalmente allo scambio di calore tra un solido ed un fluido in moto rispetto ad esso