11
ELEMENTI DI CONVEZIONE NATURALE P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-1 CONVEZIONE NATURALE

ELEMENTI DI CONVEZIONE NATURALE nat14.pdfINTRODUZIONE Nella convezione naturale il moto del fluido è indotto dall’azione del campo gravitazionale sulle differenze di peso specifico

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

ELEMENTI DICONVEZIONE NATURALE

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-1

CONVEZIONE NATURALE

INTRODUZIONE

Nella convezione naturale il moto del fluido è indotto dall’azione del campo gravitazionale sulle differenze di peso specifico del fluido, che a loro volta sono originate dalle variazioni di densità dovute alle variazioni di temperatura del fluido.

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-2

Si viene a creare così una macchina termica che converte il calore scambiato dalle due sorgenti a differenti temperatura (la parete e la massa del fluido) in energia meccanica, che a sua volta viene dissipata a causa delle azioni viscose nel fluido.

ANALISI DIMENSIONALE

Si ipotizza

( ), , , , ,c p D g Th f c β = ρ µ λ ∆

Si ha K = 7, R = 4 (M,L,T,Θ) � K-R=3

Quindi il problema è descritto da tre gruppi adimensionali; si sceglie

1c

p

h DNu

cPr

π = =λµ υπ = = =

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-3

2

3

3 2

pcPr

a

g T DGr

υπ = = =λ

β ∆π = =υ

( ),Nu Gr Pr=Φ

Quindi si ha

ad esempion mNu C Gr Pr=

Dove i coefficienti sono ricavati da esperienze o da considerazioni teoriche (v. in seguito).

numero di Grashof

CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE

Inoltre, fuori dallo strato limite la

continuità

2

2

0

1

0

yx

x x xx y

vv

x y

v v vpv v g

x y x y

p

y

∂∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ = − + υ − ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ = ∂

N-S su x

N-S su y

Equazioni dello strato limite laminare

x

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-4

Inoltre, fuori dallo strato limite la pressione è dovuta al battente idrostatico

pg

x ∞∂ = −ρ∂

quindi N-S su x può scriversi anche come

( )2

2

inerzia diss. viscosa + galleggiamento

x x xx y

v v vv v g

x y y ∞ ∂ ∂ ∂ρ + = µ + ρ −ρ ∂ ∂ ∂

=

y

y

CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE

Si considerano le variazioni di densità dovute alla temperatura

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p T

T T p p T T p p T TT p∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

∂ρ ∂ρρ ≅ ρ + − + − = ρ + β − − κ − ≅ ρ + β − ∂ ∂

Per cui N-S su x diviene (approssimazione di Boussinesq)

( )1 T T∞β −+2

2( )x x x

x y

v v vv v T T g

x y y ∞∞

∂ ∂ ∂µ + = +β − ∂ ∂ ρ ∂

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-5

Passando agli ordini di grandezza

2

2

inerzia diss. viscosa + galleggiamentoT

vv g T

x

υ + β ∆δ

Notare che non si è invece modificata l’equazione di continuità per tener conto della variazione di densità

CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE

Aggiungiamo il bilancio termico nello strato limite (solo conduzione trasversale)

Passando agli ordini di grandezza

2T

v T Ta

x

∆ ∆δ

2

2x y

T T Tv v a

x y y

∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-6

convezione conduzione trasversale∼

Dall’equazione di continuità si ha

Ed infine si ha

( ) 0yc

T

T yh

T=

−λ ∂ ∂ λ=∆ δ

yx

T

vv

yδ∼

CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE

Quindi, risolvendo le “equazioni” agli ordini di grandezza di bilancio dimassa, quantità di moto ed energia, per ricavare hc come dato dall’ultimarelazione, e tenendo conto che nell’equazione di momento il termine digalleggiamento deve essere per forza significativo (sennò non si ha convezione!) risulta infine:

• se nell’ eq. di momento prevale il termine di diss. viscosa sulgalleggiamento

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-7

30.25c

x x x

h x g T xNu C Ra Ra

a

β ∆= = =λ υ

viceversa, se nell’ eq. di momento prevale il termine digalleggiamento

( )3

0.25 0.25 0.52

xx x x x

Rag T xNu C Ra Pr C Gr Pr Gr

Pr

β ∆= = = =υ

n. di Rayleigh

n. di Grashof

ALCUNE CONFIGURAZIONI TIPICHE(MOTO ESTERNO)

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-8

Cilindro orizzontale

Piastre riscaldate

ALCUNE CONFIGURAZIONI TIPICHE(MOTO INTERNO)

< Canali stretti o larghi

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-9

Spazi confinati >

MOTO INTERNO TRA DUE LASTRESoppressione della convezione

NuH = 1 indica che lo scambio termico è puramente conduttivoPer lastre orizzontali, riscaldate dal di sotto, la convezione si instaura per RaH > 1708.Per lastre inclinate o verticali la situazione è più complessa

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-10

ALCUNE CORRELAZIONI

P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-11

Vedi il testo di Bejan, Heat Transfer, cap.7 per un’analisi approfondita.