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INTRODUZIONE
Nella convezione naturale il moto del fluido è indotto dall’azione del campo gravitazionale sulle differenze di peso specifico del fluido, che a loro volta sono originate dalle variazioni di densità dovute alle variazioni di temperatura del fluido.
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-2
Si viene a creare così una macchina termica che converte il calore scambiato dalle due sorgenti a differenti temperatura (la parete e la massa del fluido) in energia meccanica, che a sua volta viene dissipata a causa delle azioni viscose nel fluido.
ANALISI DIMENSIONALE
Si ipotizza
( ), , , , ,c p D g Th f c β = ρ µ λ ∆
Si ha K = 7, R = 4 (M,L,T,Θ) � K-R=3
Quindi il problema è descritto da tre gruppi adimensionali; si sceglie
1c
p
h DNu
cPr
π = =λµ υπ = = =
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-3
2
3
3 2
pcPr
a
g T DGr
υπ = = =λ
β ∆π = =υ
( ),Nu Gr Pr=Φ
Quindi si ha
ad esempion mNu C Gr Pr=
Dove i coefficienti sono ricavati da esperienze o da considerazioni teoriche (v. in seguito).
numero di Grashof
CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE
Inoltre, fuori dallo strato limite la
continuità
2
2
0
1
0
yx
x x xx y
vv
x y
v v vpv v g
x y x y
p
y
∂∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ = − + υ − ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ = ∂
N-S su x
N-S su y
Equazioni dello strato limite laminare
x
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-4
Inoltre, fuori dallo strato limite la pressione è dovuta al battente idrostatico
pg
x ∞∂ = −ρ∂
quindi N-S su x può scriversi anche come
( )2
2
inerzia diss. viscosa + galleggiamento
x x xx y
v v vv v g
x y y ∞ ∂ ∂ ∂ρ + = µ + ρ −ρ ∂ ∂ ∂
=
y
y
CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE
Si considerano le variazioni di densità dovute alla temperatura
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p T
T T p p T T p p T TT p∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∂ρ ∂ρρ ≅ ρ + − + − = ρ + β − − κ − ≅ ρ + β − ∂ ∂
Per cui N-S su x diviene (approssimazione di Boussinesq)
( )1 T T∞β −+2
2( )x x x
x y
v v vv v T T g
x y y ∞∞
∂ ∂ ∂µ + = +β − ∂ ∂ ρ ∂
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-5
Passando agli ordini di grandezza
2
2
inerzia diss. viscosa + galleggiamentoT
vv g T
x
υ + β ∆δ
∼
∼
Notare che non si è invece modificata l’equazione di continuità per tener conto della variazione di densità
CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE
Aggiungiamo il bilancio termico nello strato limite (solo conduzione trasversale)
Passando agli ordini di grandezza
2T
v T Ta
x
∆ ∆δ
∼
∼
2
2x y
T T Tv v a
x y y
∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-6
convezione conduzione trasversale∼
Dall’equazione di continuità si ha
Ed infine si ha
( ) 0yc
T
T yh
T=
−λ ∂ ∂ λ=∆ δ
∼
yx
T
vv
yδ∼
CONVEZIONE NATURALE SU PARETE VERTICALE
Quindi, risolvendo le “equazioni” agli ordini di grandezza di bilancio dimassa, quantità di moto ed energia, per ricavare hc come dato dall’ultimarelazione, e tenendo conto che nell’equazione di momento il termine digalleggiamento deve essere per forza significativo (sennò non si ha convezione!) risulta infine:
• se nell’ eq. di momento prevale il termine di diss. viscosa sulgalleggiamento
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-7
30.25c
x x x
h x g T xNu C Ra Ra
a
β ∆= = =λ υ
viceversa, se nell’ eq. di momento prevale il termine digalleggiamento
( )3
0.25 0.25 0.52
xx x x x
Rag T xNu C Ra Pr C Gr Pr Gr
Pr
β ∆= = = =υ
n. di Rayleigh
n. di Grashof
ALCUNE CONFIGURAZIONI TIPICHE(MOTO ESTERNO)
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-8
Cilindro orizzontale
Piastre riscaldate
ALCUNE CONFIGURAZIONI TIPICHE(MOTO INTERNO)
< Canali stretti o larghi
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-9
Spazi confinati >
MOTO INTERNO TRA DUE LASTRESoppressione della convezione
NuH = 1 indica che lo scambio termico è puramente conduttivoPer lastre orizzontali, riscaldate dal di sotto, la convezione si instaura per RaH > 1708.Per lastre inclinate o verticali la situazione è più complessa
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. CN-10