Convezione nel mantello - unisalento.itithaca.unisalento.it/nr-8_2016/articolo_IIp_03.pdf · Convezione nel mantello ... ne allo strato limite termico superiore. Mo-streremo poi due

Convezione nel mantelloJohn A. Whitehead Department of Physical Oceanography,

Woods Hole Oceanographic Institution, Woods Hole, MA 02540 USA

È noto che la convezione nel mantelloterrestre determina i moti della tetto-nica a placche. Elencheremo i vinco-

li imposti dalle osservazioni geofisiche e geo-chimiche. Spiegheremo la natura dello stratolimite superiore nel caso di convezione conun numero di Prandtl infinito ed un nume-ro di Rayleigh molto alto. Formuleremo unesempio molto semplice, mostrando celle diconvezione bipolari, con particolare attenzio-ne allo strato limite termico superiore. Mo-streremo poi due esempi aggiuntivi. Nel pri-mo, il risalire dal fondo di un fluido a bas-sa viscosità attraverso un fluido più viscosoproduce un pennacchio con una grande te-sta e un piccolo condotto sottostante. Nelsecondo, una cella di convezione unipolaredella deriva continentale, al di sotto di ele-menti galleggianti ed isolanti, produce unaauto-propulsione. Questo flusso semplice hauna zona di subduzione inclinata che non èpresente nella convezione ordinaria. Citere-mo recenti articoli e libri che descrivono ilgrande numero di modelli numerici che cer-cano di incorporare tutte le complessità dellaTerra nelle simulazioni.

L’esempio più semplice possibile di convezionedi Rayleigh-Bénard è quello di uno strato oriz-zontale di fluido con una viscosità Newtonianaimmobile in un campo di gravità. Se il gradienteverticale di temperatura eccede un valore criti-co, crescono piccole perturbazioni ed emerge un

Convection in the mantle of the earthis known to drive plate tectonics. Theconstraints imposed by geophysical

and geochemical observations are listed. Thenature of the top boundary layer for convec-tion with infinite Prandtl number and highRayleigh number is explained. A very simpleexample is formulated and the bipolar con-vection cells shown, with emphasis upon thetop thermal boundary layer. Two examples ofadditional processes are shown: In the first,upwelling of low viscosity fluid from the bot-tom of a deep more viscous fluid produces aplume with a large head and small trailingconduit. In the second, a monopolar conti-nental drift convection cell under floating in-sulators produces self-propulsion. The sim-ple flow has a tilted subduction zone that islacking in ordinary convection. Some recentarticles and books are listed that describe thelarge suite of numerical models that try toincorporate all the complexities of the earthinto the simulations.

The simplest possible example of Rayleigh-Bénardconvection starts with a horizontal layer of mo-tionless fluid with a Newtonian viscosity in afield of gravity. If the vertical temperature gradi-ent exceeds a critical value, small perturbationsgrow and cellular motion emerges. The parame-

Ithaca: Viaggio nella Scienza VIII, 2016 • Convezione nel mantello 17

moto cellulare. Il parametro che descrive il gra-diente è chiamato numero di Rayleigh Ra. Lesezioni orizzontali dei flussi cellulari mostranomolte strutture distinte nelle loro sezioni oriz-zontali che dipendono da Ra, e dal numero diPrandtl Pr che è il rapporto tra diffusività viscosae quella termica. Altri parametri esprimono glieffetti della compressione, i cambiamenti dellafase di solido cristallino, variazioni di viscosi-tà, variazioni di conduttività termica, viscositànon-Newtoniana, viscosità elastica, ed effetti disuperficie.

ter describing the gradient is called the Rayleighnumber Ra. Many horizontal patterns of cel-lular flow have been found, depending on Raand the ratio of viscous to thermal diffusivity-the Prandtl number Pr. Additional parametersexpress the effects of compression, solid crys-tal phase changes, viscosity variation, thermalconductivity variation, non-Newtonian viscosity,visco-elasticity, and surface effects.

Figura 1: Celle di convezione poligonali in gligerinacon Ra di poco superiore a quello critico. L’immagine èformata con una luce quasi perfettamente parallela da unpunto distante che è inviata attraverso uno strato di fluidoe sopra uno schermo. Le regioni fredde in affondamentoagiscono come lenti convergenti e producono un’areabianca, e le regioni calde in risalita al centro agisconocome lenti divergenti e trasmettono pochissima luce. Loschermo è posizionato ad una distanza dallo strato difluido che produce il fuoco principale da luce convergente,perciò la netta localizzazione dei bordi bianchi del poligonoè un effetto ottico.

A shadowgraph of polygonal cells in glycerin withRa slightly above critical. The image is formed withalmost perfectly parallel light from a distant point sourcethat is sent up through the fluid layer and onto a screen.The cold sinking regions act as convergent lenses andproduce a white region, and the hot rising regions at thecenter act as divergent lenses and show almost no light.The screen is located at a distance from the fluid layer thatproduces the most focus by the convergent light, so thesharp localization of the white polygon boundaries is anoptical effect.

La Figura 1 mostra poligoni nella glicerina conRa vicino al valore critico. I poligoni emergonodalla dipendenza della viscosità dalla tempera-tura [1]. Questa struttura si trasforma in una concelle a forma di rotoli paralleli per valori di Rapiù grandi.

Negli anni che vanno dal 1965 al 1975, ho ese-guito un certo numero di esperimenti per docu-mentare la forma e la lunghezza d’onda dellestrutture cellulari [2, 3, 4]. Ho iniziato questistudi come studente in un dipartimento di in-gegneria interessato alla fisica in generale, ma,poiché il tipo di convezione che stavo studiandoera applicabile alla convezione del mantello ter-restre, gravitavo verso progetti di scienze dellaterra e dell’oceano e mi sono associato al Woods

Figure 1 shows polygons in glycerin with Raclose to the critical value. The polygons arisefrom viscosity dependence on temperature [1].The pattern gives way to two-dimensional rollcells at larger Ra.

In the years 1965 to 1975, I conducted a num-ber of laboratory experiments to document theform and wavelength of the cellular structure[2, 3, 4]. I began these studies as a student in anengineering department with an emphasis ongeneral physics, but since the type of convectionI was studying was applicable to mantle convec-tion, I gravitated toward projects in earth andocean science and joined Woods Hole Oceano-graphic Institution as a scientist in 1971.


Hole Oceanographic Institution come scienziatonel 1971.

In questo processo di cambiamento, ho incon-trato il professore Edward Spiegel e abbiamo con-tinuato ad essere amici e colleghi da allora. Lasua abilità di trasmettere il suo entusiasmo nellascienzami ha sempremotivato ed ispirato. Cometributo alla nostra perdurante amicizia e con l’a-michevole stile del professor Spiegel presenteròquesta descrizione della convezione nel mantellodella Terra con qualche nota personale legata allemie esperienze.

Tettonica a placche

Nel corso degli anni ’60 si costituì l’idea della tet-tonica a placche e fu ipotizzato che la circolazioneall’interno della terra si muovesse tramite unaqualche sorta di celle di convezione. [5]. Speravoche il mio lavoro potesse essere utile nel com-prendere la convezione del mantello, a quindiiniziai il viaggio senza fine del cercare di com-prendere la terra e l’oceano. Innanzi tutto, eraben noto anche allora che la Terra è compostada molti strati [6, 7]. In cima ci sono sue corpidifferenti. Il primo è formato dai continenti conuno strato di sedimenti che copre roccia grani-tica (la costa continentale) con uno spessore dipoco meno di 40 km, in media. L’altro corpo èil fondo oceanico che è composto da uno stratodi sedimenti che coprono basalto (la crosta ocea-nica), che ha uno spessore medio di circa 5 km.Sotto entrambi queste regioni c’è il mantello, chesi estende in basso fino alla frontiera del ferroliquido ad un raggio di circa 3400 km. La tempe-ratura aumenta con la profondità del mantelloa causa dell’aumento del valore della pressioneidrostatica, ed esistono delle discontinuità nelvalore della densità del mantello a profonditàdiverse in corrispondenza dei cambiamenti difase della struttura cristallina dei vari minerali.Un nocciolo interno di materiale solido ha unraggio di 1200 km.

In the process, I met Professor Edward Spiegeland we have continued to be a friends and col-leagues ever since. His ability to convey his sci-entific enthusiasm has always motivated and in-spired me. In tribute to our continuing friend-ship and with Professor Spiegel’s friendly andwonderfully warm style, I am writing this de-scription of convection in Earth’s mantle withsome personal notes about my own experiences.

Plate tectonics

During the 1960’s, the idea of plate tectonics wasforming and it was hypothesized that circula-tion within the earth itself moved with a form ofcellular convection [5]. I hoped my work mighthelp understand mantle convection, and thus Ibegan the never-ending journey of trying to un-derstand the earth and ocean. First, it was wellknown even then that Earth has many internallayers [6, 7]. At the top are two different bod-ies. One body is the continents with a layer ofsediment covering granitic rock (the continen-tal crust) averaging a little less than 40 km inthickness. The other body is the ocean floor thatis composed of a layer of sediment overlyingbasalt (the oceanic crust), which averages approx-imately a thickness of 5 km. Below both regionslies the mantle, which extends down to the ironliquid core boundary at a radius of 3400 km. Tem-perature increases with depth in the mantle dueto increasing hydrostatic pressure and there arejumps in density of the mantle at a number ofdepths corresponding to phase changes in thecrystalline structure of the various minerals. Aninner core of solid material has a radius of 1200km.

Numerosi dati di geologia marina divennerodisponibili dopo il 1965 e confermarono fin neidettagli il quadro della tettonica a placche (Fi-gura 2). Sebbene il mantello sia elastico fino acirca 50km di profondità, possiamo considerareil mantello terrestre come un materiale viscosoche simuove lentamente alla temperatura di 1400

Numerousmarine geology data sets were com-ing to light after 1965 to verify the picture of platetectonics (Figure 2) in great detail. Although themantle is elastic in the upper 50km, we considerEarth’s deeper mantle to be a viscous creepingmaterial. It has a temperature of about 14000 ◦Cand lies above a hot liquid iron core.


Figura 2: (a) Una mappa semplificata delle maggioriplacche tettoniche. Queste placche si muovono su unmantello più profondo e si generano lungo i centri diespansione localizzati negli oceani (frecce divergenti)e sprofondano nella terra lungo i margini convergentiche sono anche zone di subduzione (frecce convergenti).La maggior parte dei margini convergenti sono ai bordidell’oceano Pacifico e sono associati con vulcanismo.Quando sono vicino ad un continente sono responsabilidella formazione delle montagne (figura di pubblicodominio NOOA). (b) Una rappresentazione schematicadella sezione verticale della terra dal mantello intermedioalla superficie che mostra le strutture principali.

(a) A simple map of the largest plates in plate tec-tonics. These plates move over the deeper mantle andare generated at mid-ocean spreading centers (divergingarrows) and sink into the earth at converging margins,which are also subduction zones (converging arrows).Most converging margins are at the rim of the PacificOcean and are associated with volcanism. If they arealso near a continent they produce mountain building.(NOAA public domain figure) (b) A sketch of a verticalsection of the earth from the mid-mantle to the surfaceshowing the major structures.

◦C e giace su un nocciolo di ferro liquido ancorpiù caldo.

Su entrambe le parti della dorsale medio ocea-nica, l’oceano diventa gradualmente più profon-do e, alla fine, supera la profondità di 4 km. Lun-go la dorsale il fondo oceanico si frattura costan-temente e le due metà si muovono lateralmente,mantenendo la natura di corpi solidi. Il movo-mento di ciascuna “placca” è confermato sia daidati di campo magnetico, sia dal ritrovamento difossili più antichi nei sedimenti maggiormentedistanti dalla cresta. La risalita del mantello ver-so i centri di espansione è accompagnato da unapiccola componente di magma fuso che sgorgadal fondo oceanico, in luoghi ampi solamenteuno o due chilometri posti esattamente sul cen-tro di espansione. Questo magma si solidifica eforma una crosta oceanica di basalto. Il profilodi velocità laterale al variare della profondità aldi sotto di una placca non è determinabile sul-la base dei dati ad oggi disponibili, e sono po-chi anche i dati riguardo al flusso che riporta ilmateriale verso i centri di espansione. Il profi-lo di temperatura di un corpo che si raffreddaper conduzione termica mentre si allontana co-stantemente dal centro di espansione può essere

On both sides of a mid-ocean ridge, the oceanfloor gradually becomes deeper and ultimatelyexceeds depths of over 4 km. The ocean floorsteadily splits at the ridge and spreads apartas two solid bodies. The speed of each “plate”is verified both by magnetic field data and bydating older life in the sediment away from thecrest. Upwelling of the mantle at spreading cen-ters is accompanied by a small component ofmelted magma that rises to the ocean floor at alocation that is only one or two kilometers wideon the exact spreading center. This magma so-lidifies and forms the basaltic ocean crust. Theprofile of the lateral velocity under a plate withdepth is presently not determined by data, andreturn flow to the spreading center is poorly con-strained. The temperature profile is easily calcu-lated for a body cooled by thermal conduction asit steadily moves away from the spreading cen-ter. Results agree with extensive heat flow mea-surements on the ocean floor. The deeper oceanfloor away from the ridge crest is the result of thehydrostatic pressure balance of the developingcold boundary layer (Figure 2b). Ocean depth


calcolato facilmente. I risultati sono in accordocon le abbondanti misure del flusso di caloredal fondo oceanico. L’approfondirsi del fondooceanico lontano dalla cresta della dorsale è ilrisultato del bilancio della pressione idrostaticadello strato freddo che si sviluppa ai bordi (Fi-gura 2b). Questo è confermato dalle misure diprofondità oceanica fatta in molte parti del globo.Lungo i margini convergenti, le placche freddeaffondano nel mantello della terra spinte dallaloro grande densità perché sono fredde. Questezone erano note perché i sismografi registrano inabbondanza i grandi terremoti generati dalla lo-ro tensione in epicentri posizionati a profonditàdi centinaia di chilometri lungo le placche discen-denti. Quindi, si è verificato che questo stratosuperficiale (chiamato litosfera dai geofisici) fun-ge da strato limite freddo per la convezione delmantello [5]. Di solito per la tettonica a placchesi possono ignorare i continenti. Tuttavia, quan-do il materiale continentale incontra le zone disubduzione, molto di esso rimane alla superficiedove si formano le montangne.

La dinamica che governa il moto

Presento un modello semplice di convezione cheera di moda nel 1980. Anche allora, e certamenteadesso, la maggior parte dei modelli numericidella convezione del mantello sono molto piùcomplicati di questo. Cominciamo con una equa-zione che esprime la conservazione della massadi un fluido incomprimibile

∇′ · u′ = 0 . (1)

Gli apici denotano che tutto è dimensionale. Laragione sarà chiara presto. Una seconda equa-zione esprime la conservazione della quantità dimoto e dello stress interno per un fluido viscoso.

ρ∂u′

∂t′+ρ(u′ ·∇′)u′ = −∇′p′+∇′ ·τ ′+gαρ0T

′k̂ .

(2)Il primo e il secondo termine della (2) rappresen-tano l’ accelerazione calcolata in un certo puntoed il passaggio di quantità di moto attraversoquel punto. Il terzo termine è il gradiente dipressione; il quarto è la divergenza del tensoredegli sforzi interni; l’ultimo è la forza di gravitàche agisce sulle fluttuazioni della densità rispetto

measurements over many parts of the globe con-firm this. At convergent margins, the dense coldplates sink into the mantle of the earth propelledby their own large density because they are cold.These were known because large tensile gener-ated earthquakes are prolifically recorded by seis-mometers from locations at depths of hundredsof kilometers in the descending plates. Therefore,it is verified that this top layer (called the litho-sphere by geophysicists) is like the cold thermalboundary layer of mantle convection [5]. Gen-erally for plate tectonics the continentals are ig-nored. However, when continent material en-counters subduction zones, much of it remainsat the surface where mountains are built.

Governing dynamics

Here is a simple model of mantle convectionthat was popular in 1980. Even then, and cer-tainly now, most numerical models of mantleconvection are considerably more complicatedthan this one. We start with an equation express-ing the conservation of mass for an incompres-sional fluid

∇′ · u′ = 0 . (1)

The primes denote that everything is dimensional.The reason will become clear soon. A secondequation expresses the conservation of momen-tum and internal stress for a viscous fluid.

ρ∂u′

∂t′+ρ(u′ ·∇′)u′ = −∇′p′+∇′ ·τ ′+gαρ0T

′k̂ .

(2)The first and second terms of (2) are accelerationat a point and movement of momentum into andout of a point. The third term is the gradient ofpressure; the fourth is the divergence of internalstress; and the last is the force of gravity acting ondeviations of density from uniform density. Ver-tical change in pressure from the uniform com-


alla densità uniforme. Sono stati sottratti i cam-biamenti verticali di pressione dovuti alla com-ponente uniforme della densità del fluido sog-getto alla gravità. Una terza equazione esprimela conservazione dell’energia termica

∂T ′

∂t′+ u′ · ∇′T ′ = κ∇′2T ′ + H ′

ρCp. (3)

Il primo e il secondo termine in (3) sono il cambiodella temperatura nel tempo e la derivata avvet-tiva, che esprime il trasporto della temperaturadovuto ad un campo di velocità attraverso unpunto dato. Il terzo termine è il modo usuale dirappresentare la conduzione termica molecolaredel calore. Il quarto è il calore generato interna-mente, ad esempio, per decadimento radioattivoo per riscaldamento joule se il fluido trasportaelettricità. Nelle equazioni (1-3), il vettore veloci-tà è u′, la densità media è ρ0, la temperatura T ′, iltempo t′, l’accelerazione di gravità g, il coefficien-te di espansione termica lineare è α, la diffusivitàtermica κ, il calore generato internamente H ′, ilcalore specifico a pressione costante Cp, k̂ è unvettore unitario nella direzione z′, con la forza digravità diretta verso il basso, e, infine, il tensoredegli sforzi è

τ ′ij = µ

(∂u′i∂x′j

+∂u′j∂x′i

),

dove la viscosità, indicata con µ, è costante. All’i-nizio la temperatura è dappertutto T ′0. Il fluidoè in una camera bidimensionale di profonditàD′. La temperatura è uniforme, e la temperaturalungo il fondo è T ′0 + ∆T ′.Nel passo successivo, queste verranno trasfor-mate in equazioni prive di unità dimensionali,una tecnica normalmente usata in fluidodina-mica. Le variabili diventano adimensionali di-videndo la velocità per una velocità κ/D′ , edanalogamente si procede con le altre variabiliusando una scala di temperatura ∆T ′, di tempoD′2/κ , una scala di lunghezzaD′, e una scala dicalore interno ρCpκ∆T ′/D′2 dove κ = kT /ρCp

e kT è la conduttività termica. La temperaturaadimensionale è T = (T ′ − T ′0)/∆T ′ .Le variabili adimensionali non hanno primi.

ponent of density of the fluid in gravity has beensubtracted away. A third equation expresses theconservation of thermal energy

∂T ′

∂t′+ u′ · ∇′T ′ = κ∇′2T ′ + H ′

ρCp. (3)

The first and second terms of (3) are the change intemperature with time at a point and the advec-tive derivative, which expresses the movementof temperature by a flow field into and out ofa point. The third term is standard molecularthermal conduction of heat. The fourth is heatgenerated internally, perhaps for example by ra-dioactive decay or by joule heating if the fluidconducts electricity. In equations (1-3), the veloc-ity vector is u′, the average density is ρ0, temper-ature is T ′, time is t′, acceleration of gravity is g,the linear thermal coefficient of expansion is α,thermal diffusivity is κ, internal heat generationisH ′, specific heat at constant pressure is Cp, k̂ isa unit vector in the upward z′ coordinate direc-tionwith the force of gravity directed downward,and finally the stress tensor is

τ ′ij = µ

(∂u′i∂x′j

+∂u′j∂x′i

),

where viscosity denoted byµ is constant. Initiallythe temperature everywhere is T ′0. The fluid isin a two-dimensional chamber of depthD′. Tem-perature is uniform, and the temperature alongthe bottom is T ′0 + ∆T ′.Next, these will be transformed to dimensionlessequations, a technique that is commonly done influid dynamics. The variables are made dimen-sionless by dividing velocity by a velocity κ/D′,and likewise for the other variables using temper-ature scale∆T ′, time scaleD′2/κ, length scaleD′,and internal heating scale ρCpκ∆T ′/D′2 whereκ = kT /ρCp and kT is thermal conductivity. Di-mensionless temperature is T = (T ′ − T ′0)/∆T ′.

Dimensionless variables have no primes. The


L’equazione del calore adimensionale è

∂T

∂t+ u · ∇T = ∇2T + h . (4)

Per l’equazione della quantità di moto, il no-stro processo di riscalare le variabili introduceun numero di Prandtl Pr = ν/κ nel denomi-natore di entrambi i termini che corrispondonoalla parte sinistra dell’Eq. (2). Poichè il man-tello terrestre ha Pr > 1020, quei termini sa-ranno trascurati. Per semplificare ulteriormen-te, studieremo un fluido bidimensionale. Usia-mo vorticità ζ = ∂w/∂x− ∂u/∂z che obbedisceall’espressione

∇2ζ = −Ra∂T∂x

, (5)

e, per soddisfare automaticamante l’Eq. (1), vie-ne usata una funzione di corrente ψ dove u =

−∂ψ/∂z e w = ∂ψ/∂x. Questo soddisfa

∇2ψ = ζ . (6)

Il numero di Rayleigh è Ra = gα∆D3/κ do-ve ν = µ/ρ0. Il numero di Rayleigh per il ri-scaldamento interno è Rai = hRa. Per forniredegli esempi, le equazioni (4,5,6) sono risolte nu-mericamente. Le condizioni al contorno sonoψ = ζ = 0 per tutti i bordi, che corrispondo-no a bordi lisci e impenetrabili dal fluido, pri-vi di attrito viscoso lungo tutti e quattro i lati.Sul bordo superiore, la temperatura è mantenutacompletamente uniforme in modo che T = 0, eil bordo inferiore ha T = 1. Non c’e’ flusso dicalore attraverso i lati della camera. La versio-ne adimensionale della legge di Fourier per laconduzione di calore, con x la coordinata longitu-dinale, è ∂T/∂x = 0. Le condizioni iniziali sonoψ = ζ = T − 1 = 0 nell’interno. L’equazione(4) è risolta numericamente usando uno sche-ma leapfrog–trapezoidale ad ogni passo. Quindi(5) è risolta usando uno dei codici di soluzio-ne numerica veloce dell’equazione di Poisson,disponibili per queste particolari condizioni alcontorno. Successivamente, (6) è risolta nellostesso modo, ed il il ciclo è poi ripetuto per ilnumero desiderato di iterazioni.

dimensionless heat equation is

∂T

∂t+ u · ∇T = ∇2T + h . (4)

For themomentum equation, our scaling places aPrandtl number Pr = ν/κ in the denominator ofboth terms corresponding to the left hand side of(2). Since the mantle of the earth has Pr > 1020,those terms will be dropped. To further simplify,twodimensional flow is studied. Weuse vorticityζ = ∂w/∂x− ∂u/∂z which obeys

∇2ζ = −Ra∂T∂x

, (5)

and, to automatically satisfy (1), a stream func-tion ψ is used where u = −∂ψ/∂z and w =

∂ψ/∂x. This satisfies

∇2ψ = ζ . (6)

The Rayleigh number is Ra = gα∆D3/κ inwhich ν = µ/ρ0. Internal heating Rayleigh num-ber is Rai = hRa. To illustrate examples, equa-tions (4,5,6) are solved numerically. Boundaryconditions are set to ψ = ζ = 0 on all boundaries,which corresponds to no penetration by fluid andto slippery boundaries with zero viscous dragalong all four sides. At the top boundary, the tem-perature is kept completely uniform soT = 0 andthe bottom boundary has T = 1. Chamber sideshave zero heat flux. The dimensionless version ofFourier’s law of heat conduction with x the side-ways coordinate is ∂T/∂x = 0. The initial condi-tions are in the interior. Equation (4) is advancednumerically using a leapfrog-trapezoidal schemefor each time step. Then, (5) is solved using oneof the many available Poisson’s equation fast nu-merical solver codes available for these particularboundary conditions. Next, (6) is solved in thesame way followed by a repeat of the cycle for asmany time steps as desired.

Il flusso

Ogni sequenza di calcolo riproduce delle strut-ture nel campo di velocità e di temperatura. Un

The flow

Each calculation sequence generates flow andtemperature patterns. A good example of flow


Figura 3: Vista laterale di una coppia dicelle convettive con Ra = 2 × 105, h = 8(quindi Rai = 1.6× 106), e valore infinito diPr. Le linee di flusso sono mostrate a colori, ele direzioni delle due celle sono schematizzatesopra ognuna. Le isoterme sono mostrate innero e sono equispaziate di un intervallo di0.1 tra freddo e caldo. La dimensione lateraledella camera è di 16 volte la profondità delfluido.

View from the side showing a pair ofconvection cells with Ra = 2x105, h = 8(thus Rai = 1.6x106), and infinite Pr. Flowlines are shown in color and the directionsof the two cells are sketched above each.Isotherms are shown in black and are equallyspaced every 0.1 interval between hot andcold. The lateral size of the actual chamber is16 times the fluid depth.

buon esempio del campo di moto e di temperatu-ra è mostrato nella Figura 3. Gran parte del motoè prodotta dallo strato limite freddo vicino al bor-do superiore che genera una forza verso il bassonelle regioni dove il fluido affonda a causa dellasua alta densità. Moti più deboli occorrono nelleregioni ascendenti al di sopra del più debole stra-to limite inferiore caldo vicino al pennacchio alcentro. Le celle mostrano uno strato limite super-ficiale con uno spessore verticale leggermentemaggiore di quello delle placche tettoniche. Nelmodello si trova un flusso di calore che è in accor-do generale con il corrispondente flusso di caloredel fondo oceanico. In aggiunta, le velocità so-no in accordo con le vere velocità delle placche,ma questo solo se facciamo i calcoli per valori diRa più grandi, e selezioniamo con cura i valoridella viscosità e profondità per la penetrazionedel flusso. Questi valori stanno all’interno di ungrande intervallo di possibili valori di viscosi-tà trovati all’interno del mantello dalle misuregeofisiche.

Progressi

Sebbene l’intero quadro della tettonica a placchee della deriva dei continenti sia stato abbondante-mente verificato negli ultimi 50 anni, la documen-tazione del moti profondi del mantello ha fattoprogressi lenti. Qui elenchiamo alcune scoperte[8, 9].

and temperature at one instant is shown in Fig-ure 3. Much of the motion is produced by a topcold boundary layer that generates a downwardforce in the sinking regions because of its highdensity. Smaller motion rises above the weakerbottom hot boundary layer near the plume in thecenter. The cells have a surface thermal bound-ary layer with a vertical thickness slightly greaterthan the tectonic plates. One can find a heat flowin the model that is in general agreement withcorresponding heat flows on the ocean floor. Inaddition, the speeds are in agreement with ac-tual plate speeds but this is true only if we do thecalculation for larger Ra and pick certain valuesof viscosity and depth for the penetration of flow.These values lie within a large range of possiblevalues of viscosity inside the mantle found bygeophysical measurements.

Advances

Although the entire picture of plate tectonics andcontinental drift has become abundantly verifiedover the past 50 years, documenting the deepflow within the mantle have progressed slowly.Here are a few advances [8, 9]:


1. La geochimica che misura diversi elementied isotopi, rivela numerosi dettagli dei pro-cessi di fusione che producono lava e roccesuperficiali. Queste indicano che c’è più diuna riserva di materiale nel mantello pro-fondo che fornisce lava ai centri di espan-sione ed agli hotspots. La posizione dellamaggior parte di queste riserve all’internodel mantello non è ancora chiara.

2. Le diverse velocità delle onde sismiche (siaelastiche che di compressione) hanno rive-lato grandi chiazze nel mantello in aggiun-ta alla struttura a strati conosciuta da de-cenni. Nonostante alcune di queste chiaz-ze siano chiaramente associate a placcheche sprofondano, altre sono probabilmentecollegate all’allineamento cristallino, allatemperatura, ai cambiamenti di fase, e for-se anche alla composizione chimica dellaroccia nel vasto interno del mantello. Qua-lunque implicazione riguardo al campo divelocità è assai vaga. Al fondo del mantel-lo esiste uno strato distinto. Questo stratonon è uniforme intorno al bordo nucleo-mantello. Potrebbe trattarsi di una chiazzadi tipo termo-chimico simile alla base delpennacchio nella Figura 3.

3. Per descrivere in modo sistematico questeosservazioni, sono stati sviluppati diversimodelli numerici di convezione del mantel-lo. Questi hanno numerose proprietà a) Lostrato superficiale non è facilmente caratte-rizzabile matematicamente come un mate-riale solido tridimensionale che però flui-sce costantemente. Soltanto recentementesi è stati capaci di riprodurre placche tri-dimensionali su una sfera. b) Strati inter-ni prodotti da cambiamenti di fase nellastruttura cristallina del mantello a causa dieffetti di pressione e temperatura possonogenerare improvvisi e rapidi cambiamentidi velocità (valanghe). c) Lo strato limiteinferiore è difficile da inserire perché glieffetti dell’alta temperatura e pressione sullento fluire del mantello sono poco noti.Se il materiale in questa zona differisca daquello del mantello, o se questo sia sem-plicemente uno strato limite freddo, nonè noto. d) In generale, la domanda se il

1. Geochemistry that measures assorted ele-ments and isotopes reveals numerous de-tails ofmelting processes that produce lavasand surface rocks. These indicate that thereis more than one deep mantle reservoir ofmaterial supplying lavas at spreading cen-ters and hotspots. The locations of most ofthe large bulk reservoirs within the mantleremains unclear.

2. Different seismologic wave speeds (bothelastic and compression waves) have re-vealed large patches in the mantle in ad-dition to the layered structure that has beenknown for decades. Although somepatchesare clearly associated with sinking slabs,others are probably connected to crystalalignment, temperature, phase changes, andperhaps even bulk composition in the vastmantle interior. Any connections with ac-tual flows are vague. At the bottom of themantle a distinct layer exists. This layer isnot uniformaround the core-mantle bound-ary. It may be a thermo-chemical patch likethe plume base in Figure 3.

3. To sort out these observations, numericalmodels of mantle convection have been de-veloped. These have numerous features: a)The surface layer is not easily mathemati-cally characterized in three dimensions as asolidmaterial that also flows steadily. Onlyrecently have people been able to makethree-dimensional plates on a sphere. b)Internal layers from phase changes in thecrystalline structure of the mantle due topressure and temperature effects can leadto abrupt and rapid velocity changes (ava-lanches). c) The bottom boundary layer isdifficult to include since the effects of hightemperature and pressure upon the creep-ing behavior of the mantle are vaguelyknown. Whether material in this zone dif-fers from other mantle material or whetherthe layer is just a cold boundary layer isunknown. d) Generally speaking, the ques-tion of a shallow or deep return flow fromsubduction zone to ridge is not clearly re-solved bynumericalmodels. It is not knownexactly how the return flow interacts withphase changes, and the three dimensional


flusso di ritorno dalla zona di subduzionealla dorsale sia più o meno profondo nonè chiaramente risolta dai modelli numerici.Non è noto esattamente come il flusso diritorno interagisca con i cambiamenti di fa-se, e il flusso di ritorno in tre dimensioni inuna sfera non è ancora stato chiaramentestudiato.

4. Stime del tasso di raffreddamento della Ter-ramostrano che ilmantello è quasi del tuttoscaldato dall’interno dal decadimento ra-dioattivo di minime quantità di radio, ura-nio e torio. Il mantello e il nucleo sonoancora in corso di raffreddamento pur es-sendosi formati 4.6 miliardi di anni fa. Lalocalizzazione della fonte di calore internae della convezione transiente del mantellonell’arco della storia della Terra non è anco-ra chiaramente identificata dalle simulazio-ni numeriche. Lentamente stiamo imparan-do sempre di più sulla convezione nel nu-cleo che produce il campo magnetico terre-stre. Questa potrebbe essere accompagnatadalla crescita del nucleo interno.

5. Esiste un ciclo interessante detto ciclo diWilson. I continenti formano ciclicamenteun grande supercontinente che lentamentesi rompe in un certo numero di continentiche vanno alla deriva per poi riassemblarsiin un altro supercontinente dopo circa 500milioni di anni. Al momento, il ciclo diWilson è riprodotto in alcuni modelli, ma ilruolo dei continenti in questi modelli nonè chiaro. Discuterò ulteriormente questoproblema.

6. Luoghi di attività vulcanica concentratacon eruzioni sequenziali lungo una linea di-ritta sulla superficie di una placca tettonicapotrebbero essere una chiara indicazioneche la placca si sta muovendo al di sopradi un pennacchio caldo che risale dal man-tello producendo l’apparente movimentodell’′′hot spot′′. Un ampio dibattito si èsviluppato negli ultimi 40 anni se questiascendessero attraverso il mantello inferio-re e superiore partendo dall’interfaccia tranucleo e mantello, o comunque da grandiprofondità dove il mantello è relativamente

return flow on a sphere is not clearly con-strained yet.

4. Estimates of Earth’s cooling rate show thatthe mantle is largely heated from withinby radioactive decay from trace amounts ofradium, uranium and thorium. The man-tle and core may also be still slowly cool-ing from the formation period 4.6 billionyears ago. The location of internal heat-ing and transient mantle convection overthe history of Earth is not clearly resolvednumerically. Slowly we are learning moreabout the convection in the core that pro-duces Earth’s magnetic field. This may beaccompanied by growth of the inner core.

5. An interesting cycle known as the Wilsoncycle exists. The continents cyclically formone large supercontinent that slowly breaksinto a number of continents drifting apartonly to reassemble into another superconti-nent approximately 500 million years later.To date, the Wilson cycle is reproduced insome models, but the exact role that thecontinents play in this is still unclear. Morediscussion about this is given below.

6. Locations of concentrated volcanic activ-ity that have sequentially erupted along astraight line on the surface of the tectonicplates may be signatures of the plate mate-rial travelling above an ascending hot ther-mal mantle plume in a ”hot spot” frameof motion. A large debate occurred dur-ing the past 40 years about whether or notthese rise up through the lower and uppermantle from the core-mantle interface, orat least from some great depth where themantle is relatively motionless. Geochemi-cal and geometric constraints of these ”hotspots” indicate an origin from a region dif-ferent from the very top of the mantle be-low the plates. Seismic resolution capa-bilities to view the proposed deep man-tle plumes developed slowly, but recentseismic results show the origins of somehotspots to be deeper than 2000 km.


privo di moto. Vincoli geochimici e geome-trici di questi ′′hot spot′′ indicano un’origi-ne da una regione diversa da quella partedel mantello posta immediatamente al disotto delle placche. Le capacità di risolu-zione sismica per osservare questi ipoteticipennacchi nella profondità del mantello siè sviluppata lentamente, ma recentemen-te risultati sismici mostrano le origini diqualche ′′hot spot′′ a profondità superioriai 2000 km.

Qualche esempio

Il mio coinvolgimento con gli ′′hot spots′′ dell’ar-gomento 6 cominciò per caso. Avevamo condottodegli esperimenti nei quali un olio ′′intrusivo′′con una certa viscosità e densità era iniettato nelfondo di una camera che conteneva olio di un’al-tra viscosità e di densità leggermente più alta[10]. L’olio più profondo e più leggero fluttuòverso l’alto dal fondo poiché era meno denso. Laforma e la velocità del materiale che emergevafu fotografata e la posizione dell’intrusione furegistrata. Una prima motivazione era quella dicapire la struttura delle cupole salifere e di altrestrutture geologiche nelle quali uno strato di saleemerge attraverso rocce più dense dopo che il sa-le diventa caldo emobile. Le cupole salifere sonodi grande interesse per l’industria del petrolioperché formano eccellenti campi di petrolio. Gliesperimenti mostrarono che, nei casi in cui il ma-teriale inserito aveva viscosità inferiore a quellaambientale, il materiale inserito inizialmente for-ma una sfera di raggio crescente. Dopo qualchetempo, la sfera diventa sufficientemente grandeda sollevarsi dal fondo grazie alla spinta di Ar-chimede (come un grande pallone liquido in unbagno di olio denso). Poi si muove verso l’alto aduna velocità relativamente costante lasciandosidietro un condotto verticale.Successivamente, il liquido fluisce verso l’al-

to attraverso il condotto, come se fosse un tubosolido, e raggiunge il bozzo sferico. Ipotizzam-mo che questa struttura fosse realizzata sotto lacatena delle isole Hawaii, e le parole “testa delpennacchio” e “coda a condotto” sono poi sta-te spesso utilizzate per descrivere la sfera ed ilcondotto. Le teste dei pennacchi e le code sono

Some examples

My involvement with the ”hot spots” in topic6 began by accident. We had conducted someexperiments in which an ”intrusive” oil of oneviscosity and density was injected into the bot-tom of a chamber holding oil of a second viscos-ity and slightly higher density [10]. The lighterdeep oil floated upward from the bottom since iswas less dense. The shape and speed of the ris-ing material was photographed and the locationof the intrusion recorded. One primary motiva-tion was to learn the structure of salt domes andother geological structures inwhich a layer of saltrises through denser rock after the salt becomesheated and mobile. Salt domes are of great inter-est to the oil industry because they form excellentoil fields . The experiments showed that for runsin which the intrusive material is lower in viscos-ity than the ambient material, the intrusion firstformed a sphere of gradually increasing radius.After some time, the sphere became large enoughto rise buoyantly (like a big liquid balloon in abath of thick oil) away from the bottom. Thenit moved upward at relatively constant speedfollowed by a vertical cylindrical conduit.

Subsequently, the liquid flowed up by ordi-nary pipe flow through the conduit into the spher-ical head. We suggested that this structure wasoccurring under the Hawaiian Island chain andthe words “plume head” and “conduit tail” havebecome the words commonly used to describethe sphere and the conduit. Plume heads andtails are very robust and found using many other


Figura 4: Quattro teste corrispondenti a pennacchiin formazione in un sottile strato di glicerina coloratameno denso, posto al di sotto di uno strato molto piùspesso di olio di silicone trasparente, molto più denso. Laviscosità della glicerina è circa pari a quella dello sciropporiscaldato, e la viscosità dell’olio al silicone è di moltiordini di grandezza più grande.

Four plume heads forming in a thin layer of lighter,dyed glycerin under a much thicker layer of denser, clearsilicon oil. The viscosity of the glycerin is about the sameas warmed syrup, and viscosity of the silicon oil is manyorders of magnitude greater.

strutture osservate frequentemente, e si trova-no usando molti altri liquidi di viscosità diversacome sciroppo, glicerina ed in diverse simula-zioni numeriche. Si trovano anche quando lasorgente del fluido che risale non è localizzata.Per esempio, la Figura 4 mostra un esperimen-to dove uno strato sottile di fluido con viscositàe densità inferiori è inserito sotto un fluido piùviscoso. Quattro teste di pennacchi si sono for-mate e stanno ascendendo. Più tardi, i condotticilindrici sotto di loro permetteranno al fluido difluire verso l’alto dopo questo prima ascesa. Ilconcetto di testa/coda è stato applicato in varimodi. Primo, quando la sfera arriva alla cimaspiega le gigantesche inondazioni di basalto. Ap-parentemente, queste avvengono quando apparesulla superficie terrestre un nuovo ′′hotspot′′ ela maggior parte di esse è poi seguita da una ca-tena di ′′hotspot′′. Questi eventi possono averprodotto qualche evento di estinzione. Secondo,il movimento del mantello può piegare i condot-ti e, sotto particolari condizioni, formare nuoveteste di pennacchi che emergono dalle piegheformatesi nel condotto. È stato suggerito che l’in-clinazione aiuta a produrre una successione divulcani ben separati l’uno dall’altro lungo unacatena di ′′hotspot′′ [11, 12]. Studi quantitativiindicano che alcuni condotti sono troppo larghiper sviluppare pieghe sufficienti ma altri non losono. Un’applicazione dettagliata alle catene di′′hotspot′′ note diventerà presto possibile grazieai progressi della sismologia.

liquids of assorted viscosities such as syrups andglycerin as well as with numerical runs. Theyare even found when the fluid source is not local-ized. For example, Figure 4 shows an experimentwhere a thin sheet of fluid with lower viscosityand density is placed under a more viscous fluid.Four plume heads have formed and are risingup. Later, the cylindrical conduits under themwill support upward flow of remaining fluid af-ter this first event. The head/tail concept hasbeen applied to the earth in many ways. First,when the sphere arrives at the top it explainsgigantic flood basalts. These apparently occurwhen a new hotspot arrives on the earth’s sur-face andmost are trailed by hotspot tracks. Theseevents may have produced some of the extinc-tion events. Second, mantle shear can tilt con-duits and under certain conditions lead to newplume heads breaking out above a tilted conduit.It was suggested that the tilt helps to producethe discrete volcanoes along some hotspot tracks[11, 12]. Quantitative studies indicate that in theearth some conduits are too large to develop suffi-cient tilt and others are not. Detailed applicationto known hotspot tracks is becoming developedbecause of advances in seismology.


Un secondo mio interesse è stato quello del-l’interazione tra i continenti e la convezione nelmantello (argomento 5). Questa è la migliore ipo-tesi riguardo alle cause del ciclo di Wilson. Neiprimi anni ’70, fu trovato che delle sorgenti dicalore poste a galleggiare in un liquido viscososviluppano un flusso che sospinge il galleggiante[13]. Un tale galleggiante, posto in un acquario,viaggerebbe avanti ed indietro se potesse cambia-re direzione ogni volta che colpisce uno dei bordi[14]. Uno strato leggermente meno denso di ma-teriale che sviluppa calore posto sopra ad un flui-do in convezione può produrre onde oscillantiche viaggiano avanti ed indietro [15, 16]. Espe-rimenti di laboratorio nel 2000 hanno mostratoche anche un isolante termico (un rozzo modellodi continente) che galleggia sopra un fluido inconvezione di Rayleigh-Bénard si auto–sospinge[17]. Studi numerici di celle di convezione bidi-mensionale con blocchi isolanti e rigidi indicanorisultati simili [18].

A second interest of mine has been the interac-tion of continents and mantle convection (topic5). This is a primary candidate for causing theWilson cycle. In the early 1970’s it was foundthat floating surface heaters in a viscous liquiddevelops a flow that self propels the float [13].Such a float in a tank will travel back and forthif the float can reflect from each boundary [14].A slightly less dense layer of heat producing ma-terial on the top of convection can develop os-cillating waves travelling back and forth [15, 16].Laboratory experiments in 2000 showed that athermal insulator (a crude model of a continent)floating on top of Rayleigh-Bénard convectionalso self propels [17]. Numerical studies of twodimensional convection cells with both insulat-ing and also rigid floating blocks show similarresults [18].

Calcoli numerici come quelli della Fig. 3 conun isolante termico galleggiante hanno mostratopiù dettagli riguardo all’auto–propulsione, inclu-dendo il ciclo di Wilson dato che il galleggianteva da un bordo della camera all’altro e ritorno[19]. La Figura 5 mostra la circolazione sotto ilgalleggiante. È diversa dalle altre celle convet-tive perché è un monopolo e non un dipolo co-me nelle celle convettive ordinarie. Noi chiamia-mo questa cella auto-propagantesi come la ′′cellaconvettiva della deriva continentale′′ o ′′cella dideriva′′ in breve. Gli studi numerici produconodue scoperte inaspettate. La prima è che la celladi deriva aumenta grandemente il trasferimentodi calore dal mantello alla superficie. Secondo,la placca in subduzione nella cella di deriva af-fonda diagonalmente invece che verticalmentecome succede nelle celle di convezione ordinaria.(Per esempio le coppie di circolazione alternatasenza inclinazione nella Figura 3). Questa plac-ca piegata assomiglia a quella che affonda nelmantello nella Figura 2b.

Progredendo

Studi numerici che investigano molti dei concettisono condotti da un grande numero di gruppi.Alcuni modelli numerici tentano di essere piùrealistici incorporando numerosi processi che av-

Calculations like those in Figure 3 along witha floating thermal insulator showed more de-tails of the self-propelling aspect, including theWilson cycle as the float goes from one end ofa chamber to the other and back [19]. Figure 5shows the circulation under the float. It is dif-ferent from other convection cells because it isa monopole rather than the bipole of ordinaryconvection cells. We call the self- propagatingcell the ”the continental drift convection cell” or”drift cell” for short. The numerical studies pro-duced two unexpected new findings. First thedrift cell greatly enhances heat transfer from themantle to the top. Second, the subducting slab inthe drift cell sinks at an angle rather than ver-tically downward as happens in the ordinaryconvection cells. (See the pairs of alternatingcirculation and no tilts in Figure 3). This tiltedslab resembles the tilted plate sinking into themantle in Figure 2b.

Continuing progress

Numerical studies that investigate many of theconcepts are conducted by a large number ofgroups. Some numerical models attempt morerealismby incorporating the numerous processes


Figura 5: Una cella di deriva continentale prodotta da un continente isolante termico con una larghezza adimensionale(divisa per la profondità) di 2.5 e una lunghezza adimensionale di 32. Il numero di Rayleigh basato sulriscaldamento interno è 1.6 × 106. (a) Questa immagine laterale ingrandita mostra la placca fredda inclinatache si immerge sotto il bordo che avanza del continente grigio che si muove verso sinistra. Il monopolo sotto ilcontinente galleggiante ha una circolazione antioraria. Un piccolo pennacchio cresce dal fondo alla destra delcontinente. Le linee di flusso sono mostrate da contorni colorati. Le isoterme ogni 0.1 unità sono mostrate innero. (b) Una immagine meno ingrandita della stessa cella di deriva. Le celle di convezione su entrambi i latidel continente in moto sono indisturbate. I contorni in colori caldi individuano la circolazione antioraria, equelli in colore freddo la circolazione oraria. Dalla Figura 1 di [19].

The Continental drift convection cell produced by a thermally insulating continent with a scaledwidth (divided by the depth) of 2.5 and scaled chamber length of 32. The Rayleigh number based on internalheating is 1.6 × 106. (a) This close-up side view shows the tilted cold slab dipping under the leading edge ofthe grey continent moving to the left. The monopole under the float has counterclockwise circulation. A smallplume rises from the bottom to the right of the continent. The flow lines are shown by color contours. Every0.1 isotherm is shown in black. (b) A more distant view of the same drift cell. The convection cells on eitherside of the moving continent are undisturbed. The warmer color contours show counterclockwise circulationand the colder color contours show clockwise circulation. From Figure 1 of[19].

vengono nella Terra [8, 9]. Qui ne citiamo alcuni.Leggi di flusso non-Newtoniane. Convezione intre dimensioni, sia in una sfera o in una scatola.Effetti della pressione includendo la compressio-ne del materiali e i suoi cambiamenti di fase. Laformazione di liquidi nel mantello. L’inclusionedi piccole tasche di liquido. La migrazione del li-quido nel mantello superiore. Il raffreddamentotransiente su scale di centinaia di milioni o addi-

occurring in the earth [8, 9]. Here are a few. Non-Newtonian flow laws. Convection in three di-mensions either on a sphere or in a box. Pres-sure effects including compression of materialand phase changes in the material. The forma-tion of melts within the mantle. The inclusionof small pockets of melt, The migration of meltin the upper mantle. Transient cooling over hun-dreds of millions and even billions of years. The


[22] G. F. Davies: Mantle convection for geologists. Cambridge University Press, Cambridge (2011).

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John A. Whitehead: ha conseguito la laurea iningegneria meccanica presso la Tufts Universi-ty nel 1963 ed il master ed il dottorato pressola Yale University nel 1965 e nel 1968, rispettiva-mente. Dopo aver lavorato come ricercatore post-doc ed assistente ricercatore in geofisica pressol’Istituto di Geofisica e Fisica Planetaria dellaUCLA, nel 1971 si è unito allo staff scientificodel Woods Hole Oceanographic Institution doveè stato scienziato assistente, associato e senior,fino a diventare emerito nel 2007. Ha direttoper oltre trent’anni il laboratorio di Dinamicadei Fluidi Geofisici, ed ha partecipato alla ScuolaEstiva in Dinamica dei Fluidi Geofisici per oltrequaranta anni. Buona parte della sua attività diricerca si è concentrata sulla comprensione del-la complessa meccanica dei fluidi degli oceani edell’interno dei pianeti utilizzando esperimentidi laboratorio e la teoria fluidodinamica. Inoltre,ha partecipato a diverse crociere, programmi distudio, gruppi di lavoro e studi scientifici in tuttoil globo.

John A. Whitehead: earned his bachelor’s de-gree in mechanical engineering from Tufts Uni-versity in 1963 and his master’s degree and Ph.D.from Yale University in 1965 and 1968, respec-tively. After working as a postdoctoral fellowand then an assistant research geophysicist at theInstitute of Geophysics and Planetary Physics,UCLA he joined the Scientific Staff at WoodsHole Oceanographic Institution in 1971 and wasan assistant, associate and senior scientist andbecame Scientist Emeritus in 2007. He ran theGeophysical Fluid Dynamics laboratory for overthirty years and has participated in the Geophysi-cal FluidDynamics Summer School for over fortyyears. Much of his research has focused on un-derstanding the complex fluid mechanics of theoceans and planetary interiors through the useof laboratory experiments and fluid dynamicstheory. In addition, he has been active in manycruises, programs, working groups and scientificstudies around the globe.



Documents

Convezione nel mantello - unisalento.itithaca.unisalento.it/nr-8_2016/articolo_IIp_03.pdf · Convezione nel mantello ... ne allo strato limite termico superiore. Mo-streremo poi due