KVALIFIKACIJSKI DOKTORSKI ISPIT

www.gradst.hr E: [email protected] OIB: 83615500218

SVEUČILIŠTE U SPLITU

FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE

UNIVERSITY OF SPLIT FACULTY OF CIVIL ENGINEERING,

ARCHITECTURE AND GEODESY

KVALIFIKACIJSKI DOKTORSKI ISPIT

Jadran Čarija

Numeričko modeliranje nelinearnog ponašanja armirano

betonskih konstrukcija

Split, studeni 2020.

MATICE HRVATSKE 15 21000 SPLIT - HRVATSKA /

CROATIA

T: +385 (0)21 303 333 F: +385 (0)21 465 117

IBAN: HR3724070001100579623

http://www.gradst.hr/

mailto:[email protected]

Jadran Čarija Kvalifikacijski doktorski ispit

2/17 SVEUČILIŠTE U SPLITU, FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE

1. Uvod

Razvoj armirano betonskih konstrukcija počinje u 19. stoljeću, a svoju ekspanziju započinju u 20.

stoljeću, koja se nastavlja i u 21.stoljeću. Mnogi stambeni te infrastrukturni i energetski objekti, poput

mostova, elektrana, brana, građeni su od armiranog betona. Da bi se projektiranje novih, ali i obnovu

postojećih objekata učinilo što pouzdanijom, sve je veća potreba za što precizinijim opisom i prikazom

procesa loma unutar konstrukcije, izazvanog statičkim ili dinamičkim opterećenjem. Do sloma unutar

armirano betonskih konstrukcija dolazi uslijed raspucavanja betona zajedno s izvijanjem i izvlačenjem

armature (Slika 1). Razumijevanje i modeliranje nastanka pukotina, tečenja armature te klizanja

armature u betonu važan je preduvjet za održavanje i produžavanje vijeka trajanja postojećih

konstrukcija, samim time i projektiranje sve sigurnijih i pouzdanijih novih konstrukcija [1]. Zbog

nelinearnosti i disipacijskih mehanizma koji prate te pojave, modeliranje gore navedenih procesa

predstavlja složenu zadaću. Da bi se što bolje opisale navedene nelinearnosti, razvijeni su numerički

modeli za opis pukotina, diskretizaciju betona i armature te zakoni koji opisuju ponašanje u materijalu

izloženog nelinearnim deformacijama.

Slika 1. Razorni potres u Ciudad de Méxicu 2017.godine

2. Pregled polja istraživanja

2.1 Modeli pukotina

Otkad su Ngo i Scordelis [2] 1967. godine primijenili metodu konačnih elementa za analizu i

modeliranje armirano betonskih konstrukcija pa sve do danas, istraživači rade na konstatnom

poboljšavanju postojećih te razvoju novih modela za što realniji prikaz ponašanja AB konstrukcija.

U razvoju numeričkih modela betonskih i armirano betonskih konstrukcija poseban naglasak je na



modeliranju pukotina koje su glavni razlog zbog kojeg dolazi do sloma unutar konstrukcije te imaju

najveći utjecaj na trajnost konstrukcije.

Metoda razmazanih pukotina (pukotine se smatraju fiktivnima) i metoda diskretnih pukotina (pukotine

se smatraju pravim diskontinuitetima) ugrađene unutar metode konačnih elemenata te diskretni

modeli, najviše se koriste za opisivanje pukotina nastalih unutar konstrukcije.

Modeli razmazanih pukotina [3] zasnivaju se na ideji da u betonu, uslijed njegove materijalne

heterogenosti i utjecaja armature, nastaju mnoge male pukotine koje u kasnijoj fazi opterećivanja

poprimaju oblik jedne ili više glavnih pukotina te se pri pojavi pukotine elementu smanjuje krutost u

smjeru okomitome na smjer pukotine. U modelu razmazanih pukotina se oslabljenje betona opisuje

konstitutivnim vezama i lokalni diskontinuitet se raspodjeljuje na pripadnu površinu, odnosno,

prikazuje se preko kontinuuma. Modeli razmazanih pukotina mogu se podijeliti na modele fiksnih,

gdje je orijentacija pukotina nepromijenjena tijekom proračuna [4, 5] i na modele rotirajućih pukotina

gdje se normala na pukotinu usklađuje s glavnom deformacijom tijekom čitavog procesa [6, 7].

Problem razmazanih pukotina je što rješenje ovisi o diskretizaciji, tj. o veličini mreže konačnih

elemenata.

Modeli diskretnih pukotina razvijaju se paraleno s razvojem numeričkih modela armirano betonskih

konstrukcija 1960-tih godina [2]. Kod tih modela pukotine se modeliraju odvajanjem elemenata po

rubovima, pomoću dvostrukih čvorova koje se u neopterećenom stanju poklapaju. Do odvajanja,

odnosno širenja pukotine, dolazi kada čvorna sila prekorači vlačnu čvrstoću betona te se čvor razdvaja

na dva čvora [8]. Zbog nastanka dvostrukih čvorova potrebno je redefiniranje mreže tijekom

propagacije pukotine, stoga su kasnije razvijeni postupci za automatsko redefiniranje mreže [9,10].

Koristeći standardnu metodu konačnih elemenata pri simuliranju nastanka pukotina, rješenje ovisi o

veličini mreže konačnih elemenata [11-13]. Da bi se dobila rješenja neovisna o veličini mreže (problem

razmazanih pukotina) te da bi se izbjegla ovisnost širenja pukotine o rasopredu konačnih elemenata

(diskretne pukotine), razvijene su poboljšane metode konačnih elemenata, ugrađivanjem

diskontinuiteta i obogaćivanjem polja pomaka kao što su „proširena metoda konačnih elemenata“ (X-

FEM) [14] i „metoda konačnih elemenata s ugrađenim jakim diskontinuitetom“ (ED-FEM) [15].

Glavna razlika između X-FEM-a i ED-FEM je što se X-FEM smatra „metodom obogaćivanja čvorova

(obogaćivanje polja pomaka u čvorovima')“, a ED-FEM „metodom obogaćivanja elemenata

(obogaćivanje polja pomaka u elementu')“ [16]. Kod X-FEM diskontinuitet se gleda globalno

dodavanjem obogaćenog polja pomaka u čvorove te nije moguće dobiti kondeziranu matricu krutosti

za element koji slažemo u globalni sustav jednadžbi ravnoteže. U globalnom sustavu imamo dodatne

nepoznanice, za razliku od ED-FEM-a gdje se diskontinuitet promatra lokalno te je obogaćivanjem

polja pomaka unutar samog elementa moguće dobiti kondeziranu matricu krutosti, koju slažemo u



globalni sustav jednažbi ravnoteže. Time eliminiramo dodatne nepoznanice unutar globalnog sustava.

Kod X-FEM-a imamo kontinuirani put pukotine, što može predstavljati problem pri simuliranju

problema diskontinuma kada dolazi do grananja i srastanja pukotina, stoga su potrebna dodatna

poboljšanja same metode za prikaz složenijih pukotina [17].

Kod ED-FEM diskontinuitet je implementiran u ED-FEM formulaciju, što nam omogućava da skok u

polju pomaka ostaje lokaliziran unutar elementa, stoga nam nisu potrebni „algoritmi praćenja“

(tracking algortihm) te je moguć prikaz složenih pukotina, bez dodatnih intervencija unutar same

metode [18].

Kod diskretnih modela kod odabira kriterija loma najčešće provjeravamo je li kohezivna veza dosegla

maksimalnu vrijednost naprezanja za određenu vrstu materijala. U slučaju da je, uklanjamo elemente

koji su dosegli kritičnu vrijednost ili njihovo ponašanje opisujemo koristeći model omekšavanja [19,

20]. Kako u diskretnim modelima ispitujemo kriterij loma za svaki element, time omogućavamo

nastanak (simuliranje) mnogo malih pukotina, koje se povezuju, srastaju i u konačnici čine veliku

pukotinu, čime je sami prikaz (geometrija) složenih pukotina olakšan. Također, implementirajući ED-

FEM unutar diskretnog modela, dobivamo rješenja u omekšavanju koja su neovisna o veličini mreže

[21-23].

Pored gore navedenih metoda treba spomenuti metodu konačno-diskretnih elemenata (FEM/DEM)

koja objedinjuje metodu konačnih i diskretnih elemenata te se koristi za modeliranja armiranog betona

izloženog dinamičkom i cikličkom opterećenju [24]. Kod FEM/DEM metode, ponašanje materijala do

trenutka pojave pukotine modelirano je kao u metodi konačnih elemenata, dok u trenutku prekoračenja

vlačne čvrstoće nastaje diskretna pukotina. Pojava pukotina i fragmentacija diskretnih elemenata

obuhvaćena je kontaktnim elementima, koji su umetnuti između konačnih elemenata [25].

2.2 Modeli ponašanja materijala

Nelinearnosti u materijalu možemo opisati konstitutivnim zakonima koji vrijede za model oštećenja te

za model plastičnosti. Model oštećenja više koristimo za opisivanje ponašanja krtih i kvazi krtih

materijala kao što su beton, stijene, keramika i ostali kompozitni materijali, dok model plastičnosti

koristimo za opisivanje ponašanja duktilnih materijala kao što su razni metali poput bakra, čelika, zlata,

platine.

Model oštećenja-očvršćivanje

Kachanov je prvi koji je predstavio model oštećenja za probleme puzanja 1958 [26]. Lemaitre i



Chaboche [27] nastavili su razvijati model oštećenja koristeći koncept efektivnih naprezanja za

definiranje varijable oštećenja. Ortiz [28] je razvio model oštećenja, gdje je za varijablu oštećenja uzeo

modul popustljivosti 𝐷, što predstavlja inverznu vrijednost od modula elastičnosti E za neoštećeni

materijal. Mehanika oštećenja kontinuuma bavi se razvojem mikro pukotina, što se manifestira

očvršćavanjem materijala i smanjenjem krutosti materijala.

Kod modela oštećenja dolazi do smanjenja krutosti materijala u rasterećenju, kada je materijal

zahvaćen neelastičnim deformacijama, također nema trajnih deformacija tijekom totalnog rasterećenja

[11] (Slika 2). U daljnjem tesktu prikazat će se konstitutivni odnosi za model oštećenja za očvršćivanje.

Slika 2. Dijagram naprezanje-deformacije za model oštećenja s totalnim rasterećenjem

Konstitutivni odnos za model oštećenja možemo zapisati u obliku:

𝜖 = 𝐷𝜎; 𝐷𝜖 [1

𝐸, ∞⟩ (1)

Možemo zapaziti da za neoštećeno stanje materijala, modul popustljivosti 𝐷 jednak je inverznoj

vrijednosti modula elastičnosti E. Funkcija oštećenja za očvršćivanje definirana je:

0 ≥ 𝜙(𝜎, 𝑞) = |𝜎| − (𝜎𝑓 − 𝑞) (2)

gdje je 𝜎𝑓 veličina naprezanja nakon kojeg dolazi do pojave prvih pukotina. Izraz 𝑞 = - 𝐾 𝜉 je funkcija

modula očvršćivanja 𝐾 i unutarnje varijable očvršćivanja u oštećenju 𝜉 koja predstavlja oštećenje

materijala. Za negativne vrijednosti funkcije oštećenja 𝜙 nema promjene unutarnjih varijabli i tada

smo u elastičnoj domeni, a kada je 𝜙 ≥ 0, tada dolazi do promjene unutarnjih varijabli.

Možemo primijetiti kako koristeći linerni zakon očvršćivanja dobivamo nelinearni odnos između

naprezanja i deformacija [11] (Slika 2).



Model plastičnosti-očvršćivanje

Model plastičnosti karakterizira pojava trajnih deformacija (plastične deformacije), kada je materijal

izložen opterećenju većim od granice tečenja karakterističnim za taj matarijal. Do pojave trajnih

deformacija dolazi uslijed poremećaja unutar kristala na mikrorazini, tj. pomicanja kristala duž

dislokacijskih ravnina. Grana mehanike kontinuuma koja se bavi trajnim, nereverzbilnim

deformacijama zove se teorija plastičnosti. Za razliku od modela oštećenja, kod totalnog rasterećenja

u modelu plastičnosti i dalje imamo deformacije u materijalu izazvane nelinearanim ponašanjem

materijala, ali nemamo smanjenje krutosti materijala (Slika 3).

Slika 3. Dijagram naprezanje-deformacije za model plastičnosti s totalnim rasterećenjem

Konstitutivni odnos u plastičnom modelu možemo prikazati u obliku:

𝜎 = 𝐸(𝜖 − 𝜖𝑝) (3)

gdje je E modul elastičnosti, a 𝜖𝑝 predstavlja plastičnu deformaciju.

Funkcija tečenja za model plastičnosti definirana je kao:

0 ≥ 𝜙(𝜎, 𝑞) = |𝜎| − (𝜎𝑦 − 𝑞) (4)

gdje je 𝜎𝑦 naprezanje (granica tečenja) nakon kojega dolazi do pojave plastičnih deformacija. Izraz 𝑞

= - 𝐾 𝜉 je funkcija modula očvršćivanja 𝐾 i unutarnje varijable plastičnosti u očvršćivanju 𝜉 koja

predstavlja trajne plastične deformacije. Za negativne vrijednosti funkcije plastičnosti 𝜙 nema

promjene unutarnjih varijabli i tada smo u elastičnoj domeni, a kada je 𝜙 ≥ 0 dolazi do promjene

unutarnjih varijabli.



Model oštećenja-omekšavanje

U trenutku kada materijal dosegne kritično naprezanje te nakon pojave diskontinuiteta, dolazi do

omekšavanja materijala. Odnos naprezanja i deformacija u omekšavanju možemo opisati koristeći

mehaniku plastičnosti ili oštećenja. U daljnjem tekstu prikazat ćemo konstitutivne zakone kod modela

oštećenja za omekšavanje.

Konstitutivni zakon za ponašanje u omekšanju [29] možemo prikazati kao:

𝑡 = ��−1𝛼, �� 𝜖 [0, ∞) (5)

gdje t predstavlja naprezanje u diskontinuitetu, 𝛼 predstavlja skok u polju pomaka, a �� predstavlja

modul popustljivosti za omekšavanje. Možemo vidjeti kako u totalnom rasterećenju dolazi do

zatvaranja pukotina (Slika 4).

Slika 4. Dijagram naprezanja i skoka u polju pomaka na mjestu točke diskontinuiteta

Funkcija sloma za model oštećenja u omekšavanju uključuje naprezanje na mjestu pojave

diskontinuiteta te ju možemo zapisati u obliku:

��(𝑡, ��) = 𝑡 − (𝜎𝑢 − ��) ≤ 0 (6)

gdje je 𝜎𝑢 granično naprezanje nakon kojega dolazi do pojave diskontinuiteta, a �� kao funkciju

ponašanja materijala u omekšavanju možemo zapisati u eksponencijalnom obliku:

�� = 𝜎𝑢 − (1 − exp (−𝜉𝜎𝑢

𝐺𝑓)) (7)

gdje, 𝐺𝑓 predstavlja odgovarajuću energiju loma, a 𝜉 kao unutarnja varijabla oštećenja za omekšavanje

predstavlja ukupno oštećenje materijala. Kao i kod modela oštećenja za očvršćivanje, tako i kod

funkcije sloma za omekšavanje vrijedi ako je 𝜙 < 0, tada smo u elastičnoj domeni i nema promjene

unutranjih varijabli, dok za 𝜙 ≥ 0 smo u domeni omekšavanja te dolazi do promjene unutarnjih



varijabli oštećenja za omekšavanje.

2.3 Diskretizacija betona

Za diskretizaciju betona možemo koristiti „solid“ model zasnovan na 2D elementima (trokuti,

četverokuti), ali i diskretne modele kao što su model ćelija i model čestica.

Glavna prednost diskretnih modela je u adekvatnom prikazivanju heterogenosti materijala na mezo

skali, što omogućuje simulaciju nastanka i širenja pukotina. Modeli ovakvog tipa su prikladni za

prikazivanje lomova kod heterogenih materijala, kao što je beton uz veliku efikasnost proračuna [30,

31].

Diskretni modeli se mogu podijeliti na modele ćelija i modele čestica. Modeli čestica su pogodniji za

opisivanje velikih pomaka, jer kod modela čestica raspored samih čestica može se mijenjati, odnosno

česticama se mijenjaju susjedne čestice tijekom nanošenja opterećenja. Za razliku od njih, u modelu

ćelija čvorovi zadržavaju svoje pozicije te nema promjene pozicija susjednih čvorova unutar samog

modela. Uzimajući to u obzir, model ćelija je prikladniji za analizu malih deformacija [32].

Model ćelija može se definirati kao diskretni model gdje slaganjem 1-D elemenata možemo prikazati

neko čvrsto tijelo [33]. Opisujući interakciju između čestica, model ćelija možemo podijeliti u „model

opruga“ i „model greda“. U „modelu opruga“ kohezivne veze između čestica modeliramo pomoću

opruga, dok kod „modela greda“, kohezivne veze modeliramo pomoću greda te možemo koristiti

Bernoullijeve grede ili Timoshenko grede, koje su prikladnije kada su elementi u modelu ćelija kraći

i veće debljine. Diskretizaciju domene kod obaju modela možemo vršiti pomoću Voronoi ćelija.

Mijenjajući materijalna svojstva kohezivnim vezama između različitih Voronoi čestica, postižemo

heterogenost materijala.

2.4 Ugradnja armature u model betona

2.4.1 „Solid“ modeli

U „solid“ modelima s obzirom na način modeliranja (ugradnje) armature, numeričke modele

armiranog betona možemo podijeliti na tri grupe: model razmazane (eng. smeared) armature, model

ugrađene (eng. embedded) armature i model diskretne (eng. discrete) armature.

U modelu razmazane armature [34, 35] imamo jednoliko raspoređenu (razmazanu) armaturu s

određenim kutom nagiba naspram elementa betona unutar kojeg se ugrađuje. Ovakvi modeli mogu biti

pogodni kada imamo kompleksni raspored armature ili ojačanja vlaknima unutar betona. Nedostatak

ovog modela je što se veza između armature i betona smatra idelanom, te ne možemo prikazati klizanje



armature u betonu.

U modelu ugrađene armature [36, 37], unutar matrice betona, možemo ugraditi armaturu neovisno o

mreži konačnih elemenata. Za diskretizaciju armature koristimo 1D elemente ugrađujući ih unutar 2D

ili 3D betonskih elemenata. Da bismo dobili krutost elementa betona s ukomponiranom armaturom,

potrebno je zbrojiti matricu krutosti betona i matricu krutosti armature koju dobivamo koristeći matrice

transformacije. Kod ovih modela moguće je modeliranje klizanja armature u betonu [38].

Kod diskretnih modela armature, isto kao i kod modela ugrađene armature, unutar 2D betonskih

elemenata, ugrađujemo 1D element armature. Kod diskretnih modela štapni modeli armature

poklapaju se s čvorovima betonskih elemenata [39]. Ovakvo modeliranje predstavlja problem u

inženjerskoj praksi, jer se mreža konačnih elemenata betona mora prilagoditi položaju armature.

Kod diskretnih modela armature za opisivanje klizanje armature mogu se koristiti zasebni kontaktni

(eng. interface) elementi, koji sadrže karakteristike posmične veze između armature i betona [40].

Uz ovu osnovnu podjelu imamo i kombinaciju diskretnog i ugrađenog modela armature, gdje možemo

armaturu postaviti neovisno o čvorovima konačnog elementa betona kao kod ugrađenog modela

armature, a koristeći zasebne kontaktne elemente možemo direktno opisati klizanje između armature i

betona kao kod diskretnog modela armature [41].

2.4.2 Diskretni modeli

Kod diskretnih modela nema klasične podjele modela s obzirom na način ugradnje armature te ćemo

prikazati neke postojeće primjere modela armiranog betona ili betona ojačanog vlaknima.

Za analizu pojave i širenja pukotina u armirano betonskim konstrukcijama Bolander [42], Saito [20]

koristili su mrežni model opruga krutih tijela, RBS ( eng. rigid body spring), s ugrađenom armaturom.

Armaturna šipka može se pozicionirati neovisno o definiranoj mreži. Svaka armaturna šipka modelira

se nizom štapnih ili grednih elemenata. U postupku generiranja štapni (gredni) elementi i čvorovi se

automatski određuju kao sjecišta s oprugama (Slika 5). Veza između armature i betona modelirana je

preko opruga u kontaktima, tzv. spojnim (eng. linkage) elementima koji su modelirani u smjeru

tangente na armaturnu šipku te sadrže karakteristike posmične veze između armature i betona.



Slika 5. Uvođenje armature u model opruga krutih tijela

Schlangen [43] koristi diskretni model ćelija za opisivanje betonskih konstrukcija ojačanih vlaknima.

U diskretni model betona ugrađena su vlakna koja su povezana sa čvorovima betona preko veznih

(eng. bond) elemenata (Slika 6). Vlakna su modelirana pomoću grednih ili štapnih elemenata.

Svojstva veznih elemenata dobivena su iz eksperimentalnih ispitivanja koristeći „pull out“ test te

predstavljaju interakciju između vlakana za ojačanje i betona.

Slika 6. Prikaz modela ćelija

Gerstle i drugi [44] koriste mikropolarni peridinamčki model ćelija za modeliranje armiranog betona.

Slika 7 prikazuje model ćelija betona, gdje možemo vidjeti da je svaka čestica udaljena od susjedne

čestice za udaljenost s. Za udaljenost između čestica uzima se veličina zrna agregata.



Slika 7. Prikaz modela betona

Za modeliranje armature koristi se 1D mikropolarni peridinamički model ćelija (Slika 8), što

predstavlja šipke armature s pripadajućim poprečnim presjekom. Čestice armature su povezane sa

česticama betona unutar udaljenosti međudjelovanja s. Međudjelovanje između čestica armature i

betona jednako je međudjelovanju između čestica betona i betona, uz razliku što je ovdje ponašanje

linearno elastično, bez oštećenja.

Slika 8. Prikaz ugrađene armature u model ćelija, gdje crvene točke označavaju mjesto

povezivanja betona i armature

Aydin i drugi [45] u svom radu koriste model ćelija za modeliranje armirano betonskog elementa.

Mreža je napravljena od jednoliko raspodijeljenih čvorova međusobno udaljenih na zadanu

udaljenost. Svaki čvor je u interakciji s ostalim točkama s unaprijed određenom udaljenošću

međudjelovanja (Slika 9). Armatura unutar modela također je napravljena kao model ćelija. Unutar

utjecaja djelovanja čvora armature, dolazi do povezivanja čvorova armature sa čvorovima betona.



Slika 9. Prikaz modela ćelija

3. Smjernice i izazovi budućeg istraživanja

Suočeni sa sve većim zahtjevima u inženjerstvu, gdje se traže brža (jednostavnija), ali i sve

preciznija rješenja za nelinearne probleme unutar armirano betonske konstrukcije, model ćelija se

nameće kao praktičan i pouzdan model. Kod krtih i kvazi krtih materijala poput betona modovi

sloma su kompleksni te imamo otvaranje u vlaku, klizanje u posmiku, ali i kombinaciju ta dva moda.

Model ćelija omogućava simuliranje oba moda loma (mod I i mod II) uzimajući u obzir heterogenost

materijala. Prikazivanje materijala na mezo skali u modelu ćelija, osim prikaza heterogenosti

materijala, omogućava nam i modeliranje veza između materijala i ojačanja koje smo unijeli u sami

materijal, koristeći vezne elemente. Parametri veznih elemenata dobivaju se eksperimentalno iz

„pull out“ testa [46] te izravno opisuju interakciju između materijala i ojačanja koje smo unijeli u

materijal, poput čelika i betona u armiranom betonu. Prednost modela ćelija je što ojačanje

(armaturu ili vlakna) možemo postaviti bilo gdje unutar materijala, neovisno o samoj mreži

materijala [20, 46]. Modeli ćelija sve se više koriste i za modeliranje ojačanja betona s vlaknima od

različitih materijala poput poput drva ili PVA (polivinil alkohol) [47, 48] te ojačanja drugih

materijala poput plastike ojačane staklenim vlaknima [49]. Također, modeli ćelija omogućavaju nam

modeliranje popravaka oštećenih materijala, „ubacujući“ novi materijal u postojeći materijal

modeliranjem veza (veznih elemenata) između novog i starog materijala [48].

Uzimajući u obzir trenutno stanje područja istraživanja, daljnji izazovi u budućem istraživanju

uključuju razvoj numeričkog modela zasnovanog na metodi konačnih elemenata s ugrađenim

diskontinuitetom (ED-FEM) koji opisuje nastanak pukotina u betonu koristeći model

otvaranja/zatvaranja pukotina. Za što precizniju analizu ponašanja objekata izloženih seizmičkom

opterećenju moramo u obzir uzeti cikličko opterećenje i rasterećenje. Tijekom cikličkog opterećenja

dolazi do otvaranja i zatvaranja pukotina u betonu što uzrokuje stvaranje makropukotina i smanjenje

krutosti materijala. Stoga precizno modeliranje otvaranja i zatvaranja pukotina čini važan faktor za



dobivanje pouzdanog modela za analizu konstrukcije izložene potresnom djelovanju. Nadalje

potrebno je unutar postojećeg modela ćelija s Timoshenkovim gredama [21, 22] ugraditi armaturu

kao 1D element, koja će biti smještena neovisno o geometriji postojeće mreže betona. Ugradnjom

armature neovisno o geometriji postojeće mreže betona omogućeno nam je simuliranje ponašanja

složenih armirano betonskih konstrukcija. Ponašanje armature bi se opisalo koristeći model

plastičnosti-omekšavanja s ugrađenim jakim diskontinuitetom što nam omogućava prikaz sloma

armirano betonske konstrukcije po armaturi. Interakcija između betona i armature opisala bi se

koristeći spojne elemente koji sadrže karakteristike posmične veze između armature i betona te

mogu direktno opisati klizanje između armature i betona.

Primjena modela ćelija s ugrađenim jakim diskontinuitetom trebala bi omogućiti efikasno i

pouzdano rješavanje nelinearnog ponašanja armirano betonskih konstrukcija

Zahvala

Istraživanje je financirano sredstvima Hrvatske zaklade za znanost u okviru projekta „Razvoj

numeričkih modela armirano-betonskih i kamenih zidanih konstrukcija izloženih potresnom

opterećenju zasnovanih na diskretnim pukotinama“, IP-2014-09-2319 te projektom

KK.01.1.1.02.0027 sufinanciranim od Vlade Republike Hrvatske i Europske unije kroz Europski fond

za regionalni razvoj.

Literatura

[1] Ibrahimbegovic A, Boulkertous A, Davenne L, Brancherie D.: Modelling of reinforced‐

concrete structures providing crack‐spacing based on X‐FEM, ED‐FEM and novel operator

split solution procedure, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.

83, No.4, 2010., pp. 452-481.

[2] Ngo D, Scordelis AG.: Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams, Journal of

ACI, Vol.64, No.3, 1967., pp 152-163.

[3] Rashid YR.: Analysis of prestressed concrete pressure vessels, Nuclear Engineering and

Design, Vol.7, 1968., pp. 334-344.

[4] Okamura H, Maekawa K.: Nonlinear Analysis and Constitutive Models of Reinforced

Concrete, Giho-do Press, University of Tokyo, Japan 1991., pp. 831-850.

[5] Sittipunt C, Wood SL.: Influence of Web Reinforcement on the Cyclic Response of Structural

Walls, ACI Structural Journal, Vol. 92, No. 6, 1995., pp. 745-756.



[6] Gupta AK, Akbar H.: Cracking in reinforced concrete analysis, Journal of Structural

Engineering, Vol.110, 1984., pp. 1735-1746.

[7] Palermo D, Vecchio FJ.: Compression field modeling of reinforced concrete subjected to

reversed loading: formulation, Structural Journal, Vol. 100, 2003., pp. 616-625.

[8] Nilson A.H.: Nonlinear analysis of reinforced concrete by the finite element method, ACI

Journal, Vol.65, 1968., pp. 757-766

[9] Ingraffea AR, Saouma V.: Numerical modeling of discrete crack propagation in reinforced

and plain concrete. In: Sih G.C., DiTommaso A. (eds) Fracture mechanics of concrete:

Structural application and numerical calculation. Engineering Application of Fracture

Mechanics, Vol.4, Springer, Dordrecht, 1985.

[10] Yang ZY, Chen J.: Finite element modelling of multiple cohesive discrete crack propagation

in reinforced concrete beams, Engineering Fracture Mechanics, Vol.72, 2005., pp. 2280-

2297.

[11] Ibrahimbegovic A. Nonlinear Solid Mechanics: Theoretical Formulations and Finite Element

Solution Methods, Springer, London, 2009.

[12] Bažant ZP, Belytschko T, Chang TP.: Continuum theory for strain softening, Journal of

Engineering Mechanics, Vol.110, No.12, 1984., pp. 1666-1692.

[13] Needleman A.: Material rate dependence and mesh sensitivity in localization problems,

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.67, No.1, 1988., pp. 69-85.

[14] Moes N, Dolbow J, Belytschko T.,: A Finite Element Method for Crack Growth without

Remeshing, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.46, 1999., pp.

131-150

[15] Simo JC, Oliver J, Armero F.: An analysis of strong discontinuities induced by strain-

softening in rate-independent inelastic solids, Computational Mechanics, Vol.12, No.5,

1993., pp. 277-296.

[16] Oliver J, Huespe AE, Sanchez PJ.: A comparative study on finite elements for capturing strong

discontinuities: E-FEM vs. X-FEM, Computer Methods in Applied Mechanics and


[17] Song JH, Belytschko T.: Cracking node method for dynamic fracture with finite elements.

International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.77, No.3, 2009., pp. 360-

385.

[18] Nikolić M, Do XN, Ibrahimbegovic A, Nikolić Ž.: Crack propagation in dynamics by

embedded strong discontinuity approach: Enhanced solid versus discrete lattice model,

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.340, 2018., pp. 480-499.

[19] Schlangen E, Van Mier JGM.: Simple lattice model for numerical simulation of fracture of

concrete materials and structures, Materials and Structures, Vol.25, 1992., pp. 534-542.



[20] Saito S, Hikosaka H.: Numerical analyses of reinforced concrete structures using spring

network models, Journal of Materials, Concrete Structures and Pavements, JSCE, Vol.44,

No.627, 1999., pp. 289-303.

[21] Nikolić M, Ibrahimbegovic A.: Rock mechanics model capable of representing initial

heterogeneities and full set of 3D failure mechanisms, Computer Methods in Applied

Mechanics and Engineering, Vol.290, 2015., pp. 209-227

[22] Karavelić E, Nikolic M, Ibrahimbegovic A, Kurtović A.: Concrete mesoscale model with full

set of 3D failure modes with random distribution of aggregate and cement phase. Part I:

Formulation and numerical implementation, Computer Methods in Applied Mechanics and


[23] Čarija J, Nikolić M, Ibrahimbegovic A, Nikolić Ž,: Discrete softening-damage model for

fracture process representation with embedded strong discontinuities, Engineering Fracture

Mechanics, Vol.236, 2020., pp. 107211.

[24] Živaljić N, Smoljanović H, Nikolić Ž.: A combined finite-discrete element model for RC

structures under dynamic loading, Engineering Computations Vol. 30, No.7, 2013., pp. 982-

1010.

[25] Nikolić Ž, Živaljić N, Smoljanović H, Balić I.: Numerical modelling of reinforced-concrete

structures under seismic loading based on the finite element method with discrete inter-

element cracks, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, Vol.46, No.1, 2017., pp.

159-178.

[26] Kachanov L. Time of the rupture process under creep conditions, TVZ Akad Nauk S.S.R.

Otd. Tech. Nauk, Vol.8, 1958., pp. 26-31.

[27] Lemaitre J, Chaboche J.: Aspect phenomenologique de la rupture par endommagement,

Journal de mecanique appliquee, Vol.2, No.3, 1978., pp. 317-365.

[28] Ortiz M.: A constitutive theory for the inelastic behavior of concrete, Mechanics of Materials,

Vol.4, No.1, 1985., pp. 67-93.

[29] Jukic M, Brank B, Ibrahimbegovic A.: Failure analysis of reinforced concrete frames by beam

finite element that combines damage, plasticity and embedded discontinuity, Engineering

Structures, Vol.75, 2014., pp. 507-527.

[30] Cusatis G, Bažant ZP, Cedolin L.: Confinement-shear lattice CSL model for fracture

propagation in concrete, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.195,

No.52, 2006., pp. 7154-7171.

[31] Zhang H, Savija B, Figueiredo SC, Schlangen E.: Experimentally validated multi-scale

modelling scheme of deformation and fracture of cement paste, Cement and Concrete

Research, Vol.102, 2017., pp. 175-186.

[32] Grassl P, Davies T., Lattice modelling of corrosion induced cracking and bond in reinforced

concrete, Cement and Concrete Composites, Vol. 33, No.9, 2011., pp. 918-924.



[33] Nikolić M, Karavelić E, Ibrahimbegovic A, Miscević P.: Lattice Element Models and Their

Peculiarities, Archives of Computational Methods in Engineering, Vol.25, No.3, 2018., pp.

753-784

[34] Koichi M, Hauke B.: Three-dimensional modeling of reinforced concrete with multi-

directional cracking, Journal of Materials, Concrete Structures and Pavements, JSCE, Vol.45,

No.634, 1999., pp. 349-368.

[35] Dahmani L, Khennane A, Kaci S.: Crack identification in reinforced concrete beams using

ANSYS software, Strength Material Vol.42, No.42, 2010., pp. 232–240.

[36] Nikolić Ž, Mihanović A.: Non-linear finite element analysis of post-tensioned concrete

structures, Engineering Computations, Vol.14, No.5, 1997., pp. 509-528.

[37] Marović P, Nikolić Ž, Galić M.: Some aspects of 2D and/or 3D numerical modelling of

reinforced and prestressed concrete structures, Engineering Computations, Vol.22, No.5-6,

2005., pp. 684-710.

[38] Elwi AE, Hrudey TM.: Finite Element Model for Curved Embedded Reinforcement, Journal

of Engineering Mechanics, Vol.115, No.4, 1989., pp. 740-754.

[39] Kwan AKH, Ng PL.: Modelling dowel action of discrete reinforcing bars for finite element

analysis of concrete structures, Computers and Concrete, Vol.12, No.1, 2013., pp. 19-36.

[40] Ng PL, Lam JYK, Kwan AKH.: Tension stiffening in concrete beams: Part 1 - FE analysis,

Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Structures and Buildings, Vol.163, No.1,

2010., pp. 19-28.

[41] Bitencourt Jr LAG, Manzoli OL, Trindade YT, Rodrigues EA, Dias-da-Cost D.: Modeling

reinforced concrete structures using coupling finite elements for discrete representation of

reinforcements, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 149, 2018., pp. 32-44.

[42] Bolander JE, Saito S.: Fracture analyses using spring networks with random geometry,

Engineering Fracture Mechanics, Vol. 61, No. 5-6, 1998., pp. 569-591.

[43] Schlangen E, Qian Z.: 3D modeling of fracture in cement-based materials, Journal of

Multiscale Modelling, Vol. 1, No. 2, 2009., pp. 245-261.

[44] Gerstle W, Geitanbaf HH, Asadollahi A.: Computational simulation of reinforced concrete

using the micropolar state-based peridynamic hexagonal lattice model, In Proc., 8th Int. Conf.

on Fracture Mechanics of Concrete and Concrete Structures. Toledo, Spain: IA-FRAMCOS,

2013., pp. 261–270.

[45] Aydin BB., Tuncay K, Binici B.: Simulation of Reinforced Concrete Member Response

Using Lattice Model, Journal of Structural Engineering, Vol.145, No. 9, 2019., pp. 04019091

[46] Montero-Chacón F, Schlangen E, Cifuentes H, Medina F.: A numerical approach for the

design of multiscale fibre-reinforced cementitious composites, Philosophical Magazine, Vol.

95, No. 28-30, 2015., pp. 3305-3327.



[47] Montero F, Schlangen E.: Modelling of fracture in fibre-cement based materials. In: Tenth

international symposium on brittle matrix composites. Springer: Poland; 2012.

[48] Lukovic M, Dong H, Schlangen E, Ye G, Van Breugel K.: Tailoring strain-hardening

cementitious composite repair systems through numerical experimentation, Cement and

Concrete Composites, Vol. 53, 2014., pp. 200-213.

[49] Gaetani A, Fascetti A, Nistico N.: Parametric investigation on the tensile response of GFRP

elements through a discrete lattice modeling approach, Composites Part B: Engineering, Vol.

176, 2019., pp. 107254

Documents

KVALIFIKACIJSKI DOKTORSKI ISPIT