KVALIFIKACIJSKI DOKTORSKI ISPIT

Luka Malenica

Modeliranje tečenja u krškim vodonosnicima

Split, veljača 2018.

1

1. Uvod

Globalno 20-25% svjetske populacije koristi vodu iz krških vodonosnika [1]. Osim dostupnih količina, jako je bitna i kvaliteta vode. Kako zbog postojanja mreže krških kanala voda u kršu teče brzo prema izvorima, krški vodonosnici su posebno ranjivi na širenje onečišćenja. Razumijevanje dinamike tečenja te mogućnost predviđanja procesa u kršu je nužno za pravilno upravljanje vodnim resursima krša. Numeričko modeliranje predstavlja efikasan alat za opisivanje i razumijevanje mnogih fizikalnih problema, pa tako i za tečenje u krškim vodonosnicima.

Slika 1. Primjer krškog vodonosnika [2].

Slika 1 prikazuje konceptualni model krškog vodonosnika. Za razliku od ne-krških vodonosnika, na slici se vidi postojanje podzemnog kanalskog sustava u kojem se uglavnom odvija turbulentni tok, koji, ovisno o trenutnim hidrodinamičkim uvjetima, može biti sa slobodnim vodnim licem ili pod tlakom. Kod većine krških vodonosnika najveći dio toka vode prema izvoru se odvija kroz razvijeni kanalski sustav. Preostali dio toka se odvija kroz sustav manjih pukotina i pora koji zajednički nazivamo krškom matricom i koja je karakterizirana postojanjem saturirane i nesaturirane zone. U matrici se u pravilu odvija laminarno difuzno strujanje (procjeđivanje) koje se može obično opisati Darcy-evim zakonom.

Veza između kanala i matrice postoji u oba smjera. Tokom kišnih razdoblja (Slika 2a) dio oborina direktno ponire kroz jame i pukotine, a dio se kroz nesaturiranu zonu (sporo) infiltrira u podzemlje. Direktno poniranje oborina dovodi do naglog povećanja protoka i tlakova u kanalima uslijed čega nerijetko dolazi do prijelaza iz tečenje sa slobodnim vodnim licem u tečenje pod tlakom. Kako se tlakovi u krškoj matrici mijenjaju znatno sporije nego u krškim kanalima, uslijed većih tlakova u kanalu dolazi do tečenja prema matrici, tj. kanal neko vrijeme prihranjuje matricu.

Tokom sušnih razdoblja (Slika 2b), zbog većeg tlaka u matrici, kanali najčešće funkcioniraju kao dren podzemne vode akumulirane u matrici.

2

Slika 2. Izmjena vode između kanala i matrice [3].

Kod modeliranja tečenja vode u kršu mogu se definirati dva glavna problema: praktični i teoretski [4]. Praktični problem predstavljaju nepoznati podaci o realnih krškim vodonosnicima, tj. ulazni podati za modeliranje kao što su geometrija i pozicija kanala, parametri tla, stvarna raspodjela kiše, itd., te su u praksi uvijek ograničeni i često nedovoljni za realne simulacije.

Teoretski problem je taj što krš predstavlja kompleksan hidraulički sustav koji nije jednostavno matematički opisati. Velike računalne domene, kompleksna geometrija, različite specifične krške formacije, kao i nelinearnost matematičkih jednadžbi čine ovaj problem izuzetno zahtjevnim za modeliranje. Također, tečenje u kanalima i matrici su fizikalno dosta različiti, što se prenosi na matematičke jednadžbe koje su različitog karaktera i čija se rješenja mijenjaju na različitim vremenskim i prostornim skalama. Različite jednadžbe za tečenje u matrici i kanalima čini krš spregnutim („coupled“) problemom brzog, često turbulentnog tečenja u krškim kanalima i sporog laminarnog tečenja u poroznoj matrici.

Stoga, većina postojećih numeričkih modela koristi značajna pojednostavljenja što dovodi do ozbiljnih ograničenja primjene razvijenih modela. MODFLOW-CFP [5] predstavlja jedan od najpoznatijih slobodno dostupnih paketa, te ga se može smatrati „state of the art“ paketom za modeliranje tečenja u kršu. Iako znatno napredniji od većine ostalih korištenih pristupa, također zanemaruje neke od ključnih efekata tečenja u kršu. Kao najveći nedostatak mogu se navesti pojednostavljene matematičke jednadžbe. Tako matematički model za tečenje u krškoj matrici koristi jednadžbe za potpuno saturirani vodonosnik i stoga zanemaruje bitne hidrodinamičke procese u nesaturiranoj zoni. Slično, model za tečenje u kanalima koristi hidrauličke jednadžbe za tečenje pod tlakom. Iako su u navedeni paket uključene korekcije za slučajeve kada su matrica i/ili kanali parcijalno saturirani, ovakav pristup ne otklanja u potpunosti dodatna ograničenja uvedena podmodelima „potpunih“ jednadžbi. Tako je, na primjer, za tečenje

3

u kanalima sa slobodnim vodnim licem pretpostavljeno da je kanal horizontalan, što može unijeti znatne pogreške u slučaju kada ovaj uvjet nije ispunjen.

Područje istraživanja buduće doktorske disertacije je direktno vezano uz projekt Hrvatske zaklade za znanost (HrZZ) pod nazivom: „Modeliranje tečenja u krškim vodonosnicima“, čiji je glavni zadatak razvoj novog numeričkog modela za tečenje u kršu. Osim korištenja potpunijih jednadžbi za opisivanje tečenja u matrici i kanalu, plan je i razviti novu numeričku metodu primjerenu za ovakav tip problema. Također, kako verifikacija krških numeričkih modela predstavlja značajan problem, u sklopu HrZZ projekta izgrađen je trodimenzionalni fizikalni model koji predstavlja konceptualni model jednog pojednostavljenog krškog vodonosnika. Planirani eksperimenti na fizikalnom modelu bi uz rezultate za verifikaciju trebali omogućiti i bolje razumijevanje dinamike tečenja vode u kršu. Stoga prvi korak prema realnijem modeliranju tečenja u stvarnim krškim vodonosnicima je razvoj novog numeričkog modela te njegova verifikacija usporedbom s eksperimentalnim rezultatima.

U nastavku se prvo opisuje izgrađeni fizikalni model, zatim se predlažu matematički modeli za matricu, kanal te njihovu interakciju. Na kraju se ukratko daje opis predložene numeričke diskretizacije za rješavanje matematičkih jednadžbi.

2. Fizikalni model

U ovom odjeljku se daje opis eksperimentalnog modela koji je shematski prikazan na Slika 3. Model se nalazi u dvorištu budućeg Hidrotehničkog laboratorija Fakulteta građevinarstva, arhitekture i geodezije u Žrnovnici.

Slika 3. Shema fizikalnog modela za modeliranje tečenja u kršu.

Model se sastoji od betonske konstrukcije (6.0m x 2.5m x 2.0m) s dva rezervoara (uzvodni i nizvodni) u kojima se definiraju razine vode, tj. piezometarske razine kao rubni uvjeti. Između rezervoara se nalazi heterogeni porozni medij (matrica) ispunjen uglavnom kvarcnim pijeskom različitih frakcija, a na vrhu se nalazi 25 cm šljunka (epikrš). Unutar poroznog medija postavljene su perforirane plastične cijevi (krški kanali) s

4

ugrađenim vertikalnim cijevima (ponorima-„sinkholes“). Na vrhu bazena ugrađene su prskalice za simulaciju oborina.

Pomoću posebno napravljenih oštrobridnih trokutnih preljeva, tokom eksperimenta se mjere protoci iz matrice (što u praksi gotovo nikad nije moguće) i krških kanala (izvori). Također, unutar samog modela ugrađeni su piezometri, te se uz još određen broj pomičnih tlačnih senzora mjere tlakovi u poroznoj matrici u približno 50 točaka.

Slika 4. Fotografija fizikalnog modela.

Slika 5 prikazuje primjer hidrograma izmjerenog na fizikalnom modelu. Mjerenja počinju od postignutog stacionarnog stanja u matrici za zatvoreni završetak krškog kanala (izvor). Približno nakon 10 minuta od početka mjerenja kanal se otvara. Protok u kanalu (Qkanal) jako brzo raste dok protok u matrici (Qmatrica) opada (kanal funkcionira kao dren podzemne vode). U 40-toj minuti od početka eksperimenta počinje simulacija kiše (Qkiša), dok u 95-toj minuti se uključuje direktno prihranjivanje vode (Qdirektno) kroz ponor u kanal. U 130-toj minuti se prekidaju kiša i direktno prihranjivanje te se protoci nakon određenog vremena vraćaju na stanje prije kiše.

5

Slika 5. Rezultati fizikalnog modela: hidrogram.

Iako navedeni fizikalni model nije potpuno realan model stvarnog krškog vodonosnika, činjenica da se u praksi isti matematički modeli koriste za opisivanje tečenja u kršu i jednom ovakvom sustavu čini ga dosta atraktivnim i otvara mogućnost provjere ispravnosti numeričkih modela krša.

3. Matematički model tečenja u kršu

3.1. Tečenje u matrici

Tečenje u varijabilno saturiranim poroznim sredinama može se opisati zakonom očuvanja mase i Darcy-evim zakonom. Kombinirajući navedene dvije jednadžbe dolazi se do mješovite formulacije Richards-ove jednadžbe koja glasi [6]:

𝑆(ℎ𝑀) ∙ 𝑆𝑠 𝜕ℎ𝑀𝜕𝑡

∙𝜕𝜃(ℎ𝑀)

𝜕𝑡= 𝛁 ∙ (𝑲(ℎ𝑀)𝛁ℎ𝑀) + 𝑞 (1)

gdje je 𝑆 [𝐿3/𝐿3] saturiranost tla, 𝑆𝑠 [𝐿−1] koeficijent specifičnog uskladištenja, 𝜃 [𝐿3/𝐿3]

obujamska vlažnost tla, ℎ𝑀 [𝐿] piezometarska razina u matrici, 𝑲 [𝐿/𝑇] tenzor hidrauličke propusnosti i 𝑞 [1/𝑇] je izvorni član koji može služiti i za uspostavljanje veze između matrice i kanala. Iako konstitutivni odnosi između 𝜃 i ℎ𝑀 omogućuju da se jednadžba (1) napiše kao funkcija samo jedne nepoznanice (𝜃 ili ℎ𝑀), numerički je najpovoljnije aproksimirati direktno izraz (1). Linearizacija volumenske vlažnosti 𝜃 preko piezometarske razine ℎ𝑀 omogućuje da je nepoznata varijabla pri rješavanju problema samo piezometarska razina ℎ𝑀.

Zbog izrazite nelinearnosti parametara tla u nesaturiranoj zoni, navedeni problem često zahtjeva jako finu prostornu i vremensku diskretizaciju, kao i određene tehnike stabilizacije u svrhu osiguranja konvergencije numeričkog postupka.

6

3.2. Tečenje u krškim kanalima

Tečenje u kanalima je u pravilu potpuno opisanom sustavom Navier-Stokes-ovih jednadžbi [6]. Međutim kako je rješavanje punih 3D jednadžbi računalno veoma zahtjevno, kao što i mogućnost strujanja sa slobodnim vodnim licem dovodi do problema modeliranja ili višefaznog tečenja (vode i zraka) ili nepoznate geometrije vodnog lica (geometrijska nelinearnost), tim problem postaje još zahtjevniji. Da bi razvijeni model bio primjenjiv (na skali realnog krškog vodonosnika) potrebno je pojednostavniti matematički model tečenja u kanalu. Jedna od mogućnosti je koristiti 1D Saint-Venant-ove jednadžbe koje opisuju tečenje u otvorenim koritima, ali uz manje modifikacije mogu aproksimirati i tečenje u cijevima pod tlakom. Sustav Saint-Venant-ovih jednadžbi je definiran jednadžbom očuvanja mase:

𝐵(ℎ𝐶)𝜕ℎ𝐶𝜕𝑡

+𝜕(𝐴(ℎ𝐶)𝑢)

𝜕𝑥= 𝑞 (2)

te jednadžbom očuvanja količine gibanja:

1

𝑔

𝜕𝑢

𝜕𝑡+1

𝑔𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕ℎ𝐶𝜕𝑥

+ 𝑆𝑓 = 0 (3)

gdje je 𝐵 [𝐿] širina kanala u razini vodnog lica, 𝐴 [𝐿2] površina poprečnog presjeka toka, 𝑢 = 𝑄/𝐴 [𝐿/𝑇] je srednja brzina u presjeku, 𝑄[𝐿3/𝑇] volumetrijski protok, 𝑞 [𝐿2/𝑇] izvorni član, 𝑔 [𝐿/𝑇2] gravitacijsko ubrzanje, ℎ𝐶 [𝐿] piezometarska visina izmjerena od pretpostavljene referentne ravnine, a 𝑆𝑓 [𝐿/𝐿] nagib energetske linije. U ovisnosti o

relativnoj važnosti pojedinih članova u jednadžbi (3), različite aproksimacije Saint-Venant-ovih jednadžbi mogu biti definirane. Najjednostavnija aproksimacija koja opisuje nestacionarno tečenje i efekte povratnog toka (tj. mirni režim strujanja) je ne-inercijska aproksimacija Saint-Venant-ovih jednadžbi:

𝐵(ℎ𝐶)𝜕ℎ𝐶𝜕𝑡

+𝜕

𝜕𝑥

(

𝐾𝐶(ℎ𝐶)

√|𝜕ℎ𝐶𝜕𝑥|

𝜕ℎ𝐶𝜕𝑥

)

= 𝑞 (4)

Navedena jednadžba (difuzijsko-valna jednadžba – „diffusion wave equation“) opisuje nestacionarno tečenje sa slobodnim vodnim licem u otvorenim kanalima kada su inercijski članovi znatno manji od članova gravitacije, trenja i tlaka. Jednadžba (4) se može koristit i za tečenje pod tlakom tako da se za geometriju zatvorenog kanala pretpostavi postojanje fiktivnog proreza na vrhu kanala, tzv. „Preissmann-ov slot“.

3.3. Interakcija između matrice i krških kanala

Dva najčešća pristupa u literaturi za uspostavljanje veze između matrice i kanala su jednakost tlakova te izraz za fluks na granici između dviju domena [4]. Prvi pristup je uglavnom korišten kada su obje domene potpuno saturirane, te stoga nije pogodan za postavljeni konceptualni model. Kod drugog pristupa definira se protok između matrice i kanala:

7

𝑄𝑒𝑥 = 𝛼𝑒𝑥𝛼(ℎ𝐶 − ℎ𝑀) (5)

gdje su ℎ𝐶 i ℎ𝑀 piezometarske visine u kanalu i matrici, a 𝛼𝑒𝑥 je parametar koji se u pravilu kalibrira.

4. Numerički model tečenja u kršu

Numerički model za diskretizaciju navedenog matematičkog modela se bazira na integralnoj formulaciji konačnih volumena (direktnom zadovoljenju zakona održanja na diskretnim konačnim volumenima) te Fup baznim funkcijama. Fup bazne funkcije spadaju u klasu atomskih baznih funkcija i mogu se definirati kao beskonačno derivabilni spline-ovi [8]. Rješenja u matrici i kanalu se opisuju umnoškom nepoznatih koeficijenata i baznih funkcija:

ℎ𝑀(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) =∑𝛼𝑗(𝑡) ∙ 𝜑𝑗(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑗

(6)

ℎ𝐶(𝑡, 𝑙) =∑𝛽𝑘(𝑡) ∙ 𝜙𝑘(𝑙)

𝑘

(7)

3D bazne funkcije 𝜑𝑗 opisuju rješenje u poroznoj matrici, a 1D bazne funkcije 𝜙𝑘 u krškim

kanalima, gdje su 𝛼𝑗 i 𝛽𝑘 Fup koeficijenti koji definiraju rješenje u matrici i kanalima.

Opisani pristup baziran na Fup baznim funkcijama omogućuje aproksimaciju višeg reda, te aproksimativna rješenja definirana kao kontinuirane funkcije s kontinuiranim i glatkim derivacijama.

5. Zaključak

U ovom radu je opisana problematika modeliranja tečenja u krškim vodonosnicima koristeći fizikalni i numerički model koji se planira razviti u doktorskoj disertaciji. Osim manjeg broja dvodimenzionalnih modela, ovakav tip eksperimentalnog modela u literaturi nije pronađen, te kao takav nudi mogućnost za provjeru ispravnosti postojećih numeričkih modela krša. Također opisani numerički model uzima potpunije (fizikalnije) jednadžbe od postojećih numeričkih modela u kršu, te bi zajedno s novom numeričkom metodom (metode bazirane na korištenju Fup baznih funkcija kao beskonačno derivabilnih splineova) koja se razvija za potrebe ovog istraživanja trebao predstavljati iskorak prema boljem razumijevanju i realnijem modeliranju svih procesa vezanih uz tečenje vode u krškim vodonosnicima.

Acknowledgements

Ovo istraživanje je finacirano od strane Hrvatske zaklade za znanost kroz znanstvani projekt “ Modeliranje tečenja u krškim vodonosnicima”; UIP-2013-11-8103.

8

Literatura

[1] Ford, D. and Williams, P., Karst Hydrogeology and Geomorphology, John Wiley & Sons Ltd., 2007.

[2] International Association of Hydrogeologist, link (http://karst.iah.org/karst_hydrogeology.html), pristupljeno: 15.07.2017.

[3] Faulkner J., Hu B. X., Kish S., and Hua F., Laboratory analog and numerical study of groundwater flow and solute transport in a karst aquifer with conduit and matrix domains, Journal of Contaminant Hydrology, 2009.

[4] De Rooij R., Towards improved numerical modeling of karst aquifers: coupling turbulent conduit flow and laminar matrix flow under variably saturated conditions, University of Neuchatel, 2008.

[5] Shoemaker W. B., Kuniansky E. L., Birk S., Bauer S., and Swain E. D., “Documentation of a Conduit Flow Process (CFP) for MODFLOW-2005,” 2005.

[6] Clement T. P., Wise W. R., and Molz F. J., A physically based, two-dimensional, finite-difference algorithm for modeling variably saturated flow, Journal of Hydrology, 1994.

[7] Batchelor, G. K., & Young, A. D. An Introduction to Fluid Mechanics, Journal of Applied Mechanics, 1968.

[8] Gotovac H, Andričević R, Gotovac B. Multi-resolution adaptive modeling of groundwater flow and transport problems. Adv Water Resour 2007, 30(5):1105–26.