Upute za kvalifikacijski ispit za upis na diplomski studij geodezije i

Sveučilište u Zagrebu Geodetski fakultet Kačićeva 26, Zagreb

doc. dr. sc. Dražen Tutić, predsjednik Povjerenstva za pripremu kvalifikacijskog ispita i provedbu razredbenog postupka za upis na diplomski studij u ak. god. 2012/13. Zagreb, 23. 07. 2012.

Upute za kvalifikacijski ispit za upis na diplomski studij geodezije i

geoinformatike u ak. god. 2012/13.

Kvalifikacijskom ispitu (testu provjere znanja) pristupaju kandidati koji su preddiplomski studij geodezije i geoinformatike završili u 9 ili više semestara te kandidati koji su završili neki drugi preddiplomski studij.

Kvalifikacijskom ispitu pristupaju i oni kandidati koji su završili studije prije uvoñenja modela 3+2, tj. dodiplomske studije za stjecanje više ili visoke stručne spreme bez obzira o kojem je studiju riječ.

Kvalifikacijski ispit sastoji se od 40 zadataka, od toga 20 iz područja geodezije, 10 iz matematike, 5 iz fizike

i 5 iz geoinformatike i informatike, a koji obuhvaćaju program preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. Za svaki zadatak na kvalifikacijskom ispitu bit će ponuñeno 5 odgovora (A, B, C, D i E).

Kandidat nakon rješavanja zadataka na posebnom kodiranom obrascu ucrtava nebrisivom tintom križić unutar kvadratića koji stoji uz izabrani odgovor.

Svaki točan odgovor nosi 10 bodova, netočan –4, a za neodgovoreno pitanje dodjeljuje se 0 bodova.

Da bi kandidat bio uvršten u rang-listu za upis, na provjeri znanja mora steći najmanje 80 bodova. Taj broj

bodova naziva se razredbenim pragom. Kandidat koji nije ostvario razredbeni prag ne može biti upisan.

Test provjere znanja traje 3 sata (180 minuta) i održat će se 18. rujna 2012. godine na Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, Kačićeva 26, Zagreb. Raspored kandidata po predavaonicama bit će objavljen na

web-stranicama i oglasnoj ploči fakulteta najkasnije jedan dan prije održavanja ispita.

Na testu je dozvoljena upotreba: - tablica s formulama iz matematike i fizike (vidi dozvoljene tablice u nastavku).

- kalkulatora koji ima samo mogućnost računanja osnovnih matematičkih funkcija (trigonometrijskih, eksponencijalnih i sl.) i ne smije imati mogućnost bežičnog povezivanja s drugim ureñajem

U nastavku su dani primjeri zadataka kakvi se mogu naći na kvalifikacijskom ispitu po pojedinim područjima s popisom literature i internetskih izvornika te dozvoljenim tablicama. Zadaci na kvalifikacijskom ispitu bit će takvog opsega da se mogu riješiti u okviru 5-6 minuta. Detaljan opis studijskog programa preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike s popisom obvezne i preporučene literature za svaki predmet nalazi se na http://www.isvu.hr/javno/hr/vu7/nasprog/2012/nasprog.shtml.

Primjeri zadataka – Geodezija 2

Primjeri zadataka iz geodezije na kvalifikacijskom ispitu za upis na Diplomski

studij geodezije i geoinformatike na Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu.

1. Čemu služi alhidadna libela?

Odgovor: Alhidadna libela služi za dovoñenje glavne (vertikalne) osi instrumenta vertikalno u prostoru.

2. Čemu služi kompenzator kod teodolita?

Odgovor: Kompenzator kod teodolita služi za dovoñenje indeksa za očitanje vertikalnog kruga u ispravan položaj.

3. Nabroji metode odreñivanja visinskih razlika.

Odgovor: trigonometrijska, geometrijska i barometrijska metoda. 4. Definiraj vizurnu (kolimacijsku) os.

Odgovor: Vizurna os je pravac koji spaja točku presjeka niti nitnog križa sa glavnom točkom objektiva.

5. Što je visina instrumenta teodolita?

Odgovor: Visina instrumenta je udaljenost od stajališne geodetske točke do horizontalne osi teodolita.

6. Pod kojom inklinacijom i na kojoj visini kruže GLONASS sateliti u orbiti?

Odgovor: 64,8°; 19 130 km

7. Valna duljina GPS L5 nosećeg vala iznosi?

Odgovor: 25,5 cm

8. Telemetrijska riječ TLM kojom počinje svaki podokvir D-kod poruke sadrži:

Odgovor: sinkronizacijsku masku

9. Koliko iznosi period rotacije GLONASS satelita i u koliko orbita su postavljeni?

Odgovor: 11h 15m 40s, 3 orbite

10. Koji je odnos snage izlaznih signala GPS kodova (C/A na L1, P na L1, P na L2):

Odgovor: C/A kod je dva puta jači od P/L1 koji je pak dva puta jači od P/L2

11. Koja je inklinacija QZSS satelita i na kojoj visini kruže u orbitama?

Odgovor: 39°–47º; 42 164 km

Primjeri zadataka – Geodezija 3 12. Što je bifazna modulacija kodova?

Odgovor: Način registracije promjene statusa koda pomakom od 180° u fazi nosača

13. Jednadžba za faznu pseudoudaljenost glasi:

Odgovor: Nc

q +∆+=Φ δλλ

1

14. Koliki je iznos fundamentalne, a koliki L2 GPS frekvencija?

Odgovor: 10,23 MHz; 1227,60 MHz

15. Koje nebeske sferne koordinatne sustave (s pripadajućim koordinatama) upotrebljavamo u astronomiji?

Odgovor: horizontski (azimut i zenitna daljina), mjesni ekvatorski (satni kut i deklinacija), nebeski ekvatorski (rektascenzija i deklinacija), ekliptički (ekliptička duljina i širina) i galaktički (galaktička duljina i širina) koordinatni sustav

15. Koje astronomske pojave mijenjaju koordinate nebeskih tijela?

Odgovor:astronomska refrakcija, paralaksa, aberacija, precesija, nutacija i vlastito gibanje zvijezda

16. Kojim je astronomskim i fizikalnim pojavama definirano vrijeme?

Odgovor: Zemljina rotacija i revolucija, gibanje planeta oko Sunca, titranje (oscilacija) atoma 17. Nabroji barem pet vremenskih skala (sunčevih, zvjezdanih, dinamičkih/koordinatnih i atomskih).

Odgovor: pravo mjesno sunčevo vrijeme, pojasno (zonsko) vrijeme, mjesno zvjezdano vrijeme, griničko zvjezdano vrijeme, efemeridno vrijeme, zemljino dinamičko vrijeme, baricentrično koordinatno vrijeme, meñunarodno atomsko vrijeme, svjetsko koordinirano vrijeme, GPS vrijeme

18. Nabroji dvije u geodetskoj inženjerskoj praksi najprimjenjivanije posredne (indirektne) metode odreñivanja astronomskog azimuta A te navedi najprimjenjivaniju metodu odreñivanja astronomskih koordinata stajališta Φ i Λ.

Odgovor: - metoda zenitnih daljina - iz poznate zenitne daljine nebeskog tijela z, deklinacije δ i astronomske

širine stajališta φ - metoda satnog kuta - iz poznatog satnog kuta nebeskog tijela t, deklinacije δ i astronomske širine

stajališta φ - metoda jednakih visina – iz mjerenja vremena prolaza tri ili više zvijezda preko istog

almukantarata 19. Najvažnije primjene odreñivanja azimuta/smjernog kuta astronomskim metodama u inženjerskoj geodetskoj praksi.

Odgovor: - nezavisna kontrola orijentacije nadzemnih geodetskih mreža iznad dugih tunela odnosno

nezavisna kontrola odreñivanja smjera proboja i povećanje točnosti smjera proboja tunela, - odreñivanje plohe astrogeodetskog geoida

Primjeri zadataka – Geodezija 4 U nastavku su točni odgovori podcrtani. 20. Popis katastarskih čestica katastra zemljišta sadrži:

a. broj lista katastarskog plana b. broj popisnog lista c. broj zemljišnoknjižnog uloška d. OIB vlasnika

21. Upiši nomenklaturu lista katastarskog plana istog mjerila u Bečkom koordinatnom sustavu koji se nalazi sjeverno od lista OC III 26 de

Odgovor: OC III 25 di . 22. Koliko nekretnina je prikazano na priloženoj kopiji katastarskog plana:

a. 3 b. 4 c. 1 d. 0

23. Dijelovi tehničkog dijela katastarskog operata katastra zemljišta su:

a. Popis koordinata i visina stalnih geodetskih točaka b. Zapisnik katastarskog klasiranja i bonitiranja c. Popis katastarskih čestica d. Zapisnik omeñivanja granica katastarske općine

24. Nositelji prava na nekretninama sudjeluju u:

a. izradi katastarskog operata b. katastarskoj izmjeri c. izlaganju na javni uvid d. odreñivanju površina

25. Parcelacijski elaborat za provedbu dokumenta ili akata prostornog ureñenja može biti:

a. za provedbu detaljnog plana ureñenja b. za ispravljanje podataka katastarskog plana c. po rješenju o uvjetima grañenja d. za brisanje grañevina uklonjenih u posebnome postupku

Primjeri zadataka – Geodezija 5 26. Samoupravne prostorne jedinice su:

a. Katastarska oćina b. Grad c. Rudina d. Županija

27. Na slici, sjeverno od katastarske čestice 66/3, prikazana katastarska čestica bi mogla imati broj:

a. 59 b. 65 c. 66 d. 67

28. Popisno-knjižni dio katastarskog operata katastra nekretnina čine:

a. posjedovni listovi b. digitalni model terena c. zbirka parcelacijskih i drugih geodetskih elaborata d. zbirka isprava

29. Originalni podaci katastra se ne smiju iznositi iz ureda, osim

a. radnog originala b. indikacijske skice c. popisnog lista d. posjedovnog lista

Primjeri zadataka – Geodezija 6 30. Ako je geografska širina točke na sferi φ=30° koliko je duljina luka meridijana od Sjevernog pola do te

točke te koliki je polumjer paralele kroz tu točku ako je polumjer sfere R=6 370 000 metara.

RJEŠENJE:

6670648,40180m

Rs m

π ϕ= =

cos 5516581,82r R m= ϕ =

31. Ako izraz za kvadrat linearnog mjerila u slučaju preslikavanja sfere u ravninu glasi

2 2 22 2 2 2

cos sin 2 sincos cos

E F Gc

R R Rα α α

ϕ ϕ= + + gdje je α azimut diferencijala luka na sferi,

kako glasi formula za linearno mjerilo uzduž meridijana?

RJEŠENJE:

Da bismo dobili mjerilo u smjeru meridijana stavit ćemo da je α = 0°. Uvrštavanjem u gornju formulu

dobije se

.

tj.,22

2

R

Em

mR

Ec

=

==

32. Je li uspravna Mercatorova projekcija pogodna za izradu općegeografskih i političkih karata svijeta?

Zašto?

RJEŠENJE:

Uspravna Mercatorova projekcija nije pogodna za izradu općegeografskih i političkih karata svijeta zbog

velikih i lako uočljivih deformacija površina.

33. Izračunaj nereducirane koordinate u ravnini Gauss-Krügerove projekcije ako su zadane reducirane

koordinate y=6 451 832,54 i x=5 060 382,44.

RJEŠENJE:

m0 = 0,9999

K = 6 500 000

0

0

48172, 28

5060888,53

y Ky

m

xx

m

−= = −

= =


34. Koliko je linearno mjerilo u točki u ravnini Gauss-Krügerove projekcije za Hrvatsku s koordinatama

(5 520 000, 5 001 000) ako je R=6 377 355 m.

RJEŠENJE:

K = 5 500 000

m0 = 0,9999

26

2

0

1 1,000004919

4,91853 102

20002,00

m d

yd

R

y Ky

m

−

= + =

= = ⋅

−= =

Linearno mjerilo u točki iznosi 1,000 004 919.

35. Zadane su dvije točke u ravnini Gauss-Krügerove projekcije za Hrvatsku s koordinatama (5 540 000,

5 010 000) i (5 550 000, 5 000 000). Kolika je duljina geodetske linije izmeñu te dvije točke ako je:

2

2

2

2

2421

mm

m

R

y

R

y

s

d ∆++=

,

m6377355=mR

RJEŠENJE:

K = 5 500 000

m0 = 0,9999

0

1 1

2 2

1 2

2 1

2 22 1 2 1

40004,00 5010501,05

50005,00 5000500,05

45004,502

10001,00

( ) ( ) 14 143,549 98

1,000025003

14143,19636

m

y Ky

m

y x

y x

y yy

y y y

d y y x x

d

s

s

−=

= =

= =

+= =

∆ = − =

= − + − =

=

=

Duljina geodetske linije izmeñu dviju točaka iznosi 14 143,20 metara.

Primjeri zadataka – Geodezija 8 36. Koja je službena kartografska projekcija u Hrvatskoj za izradu katastarskih planova, Hrvatske osnovne

karte 1:5000 i topografskih karata u mjerilima od 1:25 000 do 1:300 000?

RJEŠENJE:

Poprečna Mercatorova projekcija, sa srednjim meridijanom 16°30' i linearnim mjerilom na srednjem

meridijanu 0,9999, je službena kartografska projekcija u Hrvatskoj za izradu katastarskih planova,

Hrvatske osnovne karte 1:5000 i topografskih karata u mjerilima od 1:25 000 do 1:300 000.

37. Koja je službena kartografska projekcija u Hrvatskoj za izradu preglednih topografskih karta u mjerilu

1:500 000 i sitnijim mjerilima?

RJEŠENJE:

Uspravna Lambertova konformna konusna projekcija, sa standardnim paralelama 43°05' i 45°55' je

službena kartografska projekcija u Hrvatskoj za izradu preglednih topografskih karta u mjerilu 1:500 000

i sitnijim mjerilima.

38. Što je HTRS96/TM ?

RJEŠENJE:

HTRS96/TM (Hrvatski terestrički referentni sustav za epohu 1995.55/Transverse Mercator) je oznaka

koordinatnog sustava poprečne Mercatorove projekcije, sa srednjim meridijanom 16°30' i linearnim

mjerilom na srednjem meridijanu 0,9999, koji je odreñen kao službeni projekcijski koordinatni sustav

Republike Hrvatske za područje katastra i detaljne državne topografske kartografije.

39. Izračunaj konvergenciju meridijana u novoj poprečnoj Mercatorovoj projekciji za Hrvatsku

(HTRS96/TM) u točki s koordinatama °= 45ϕ i °= 18λ .

( ) ( ) 52

31sin lclclc ++⋅= ϕ , ( ) ( )422

1 231cossin3

1ηηϕϕ ++=c , ( ) ( )24

2 2cossin15

1tc −= ϕϕ ,

2 3' 6,7394967754 10e −= ⋅ .

RJEŠENJE:

φ = 45° = 0,785 398 rad

λ = 18° = 0,314 159 rad


0

2 2 2

1

2

0,026179939

tg 1

cos 0,003369748

0,119045193

0,011785113

0,018514148

1,060782569

l

t

e

c

c

c rad

c

= λ − λ =

= ϕ =

′η = ϕ =

=

=

=

= °

Konvergencija meridijana iznosi 1,060782569°.

40. Odrediti nagib terena i u postocima (na dvije decimale) izmeñu točaka C i D, ako je zadano:

. Rješenje: i= 3,04%

41. Točke 1, 2, 3 i 4 su meñne točke katastarske čestice. Odredite površinu katastarske čestice [m2] analitičkom metodom, ako je zadano:

Br. točke y [m] x [m]

1 6 436 173,88 5 186 595,17

2 6 436 164,67 5 186 647,95

3 6 436 227,50 5 186 654,12

4 6 436 221,00 5 186 595,07 Rješenje: P= 3078 m2

42. Dozvoljeno odstupanje izmeñu dvostrukog mjerenja površina katastarskih čestica na analognim

planovima ovisi o:

a) veličini katastarske čestice b) načinu mjerenja površina c) nagibu terena d) mjerilu plana e) obliku katastarske čestice

Rješenje: a) i e)

HD=192.33m

i% = ? HC=183.48m

DCD= 291.46m

Primjeri zadataka – Geodezija 10 43. Izračunati nadmorsku visinu točke A u profilu ako je točka A udaljena 17 mm od izohipse s visinom 110

m i 3 mm od izohipse s visinom 111 m:

Rješenje: HA= 110,85 m

44. Na planu su očitane stranice katastarske čestice, gdje je: a= 63 mm, b= 50 mm, c= 59 mm i d= 45 mm Odrediti dimenzije katastarske čestice (a, b, c, d) u metrima, ako je ona na planu prikazana u mjerilu 1:500.

Rješenje: a= 31,5 m, b= 25,0 m, c= 29,5 m, d= 22,5 m

45. Fotogrametrijska mjerna kamera snima fresku pravokutnih dimenzija 30x50cm na idealno ravnom zidu tako da je os snimanja idealno okomita na zid. Žarišna duljina ugravirana je na objektivu kamere i iznosi f=400mm. Centar projekcije se nalazi 3m udaljen od ravnine zida. Odredite mjerilo snimanja i dimenzije freske na snimci.

Rješenje: Ms=6,5; S'=46x77mm 46. Mjernom kamerom WILD P31 (c=100mm) ostvaren je idealni normalni slučaj snimanja a osi snimanja su horizontalne u prostoru. U referentnom koordinatnom sustavu date su koordinate lijevog (O1) i desnog (O2) snimališta i koordinate jedne točke T na objektu. Odredite slikovne koordinate točke T na lijevom i desnom snimku, te veličinu stereoskopske paralakse. X[m] Y[m] Z[m] O1 100 100 500 O2 400 100 500 T 600 600 600

Rješenje: ξ1=+100mm, ξ2=+40mm, pξ =+60mm η12=+20mm

Primjeri zadataka – Geodezija 11 47. Navedite i opišite koordinatne sustave u fotogrametriji

Odgovor: INSTRUMENTALNI

definiran tehnologijom snimanja odnosno fotogrametrijske izmjere jedinstven za odreñeni instrument ili senzor

SLIKOVNI utvrñen kalibracijom kamere jedinstven za pojedinu snimku MODELNI utvrñen pozicijom i orijentacijom baze, te osi snimanja lijevog snimka jedinstven za jedan model REFERENTNI pravokutni kartezijev sustav izmjere jedinstven za čitav objekt – predmet izmjere 48. Što je dubina oštrine i o čemu ovisi? Objasnite pojmove bliže i dalje granice oštrog preslikavanja te hiperfokalne udaljenosti.

Odgovor: - Dubina oštrine je prostor izmeñu bliže i dalje granice oštrog preslikavanja. - Bliža granica oštrog preslikavanja je prostor unutar vidnog polja kamere, iza kojeg se predmet

snimanja preslikava sa zadovoljavajućom oštrinom. - Dalja granica oštrog preslikavanja je prostor unutar vidnog polja kamere, ispred kojeg se predmet

snimanja preslikava sa zadovoljavajućom oštrinom. - Hiperfokalna udaljenost je udaljenost fokusiranja kamere, kod koje je dalja granica oštrog

preslikavanja u beskonačnosti.

Primjeri zadataka – Geodezija 12 49. Koje jednadžbe opisuju matematički model preslikavanja neke točke u prostoru u ravninu snimke? Izvedite ih.

Odgovor: Jednadžbe kolinearnosti.

Iz sličnosti trokuta:

uz: dobivamo konačno:

Z

X

ξ ξ

η η

−=

−

−

−=

−

−

0 0

0

0 0

0

c

X X

Z Z

c

Y Y

Z Z

' '

' '

' '

' '

ξ ξ

η η

= −−

−

= −−

−

00

0

00

0

cX X

Z Z

cY Y

Z Z

' '

' '

' '

' '

X X

Y Y

Z Z

r r r

r r r

r r r

X X

Y Y

Z Z

−

−

−

=

−

−

−

0

0

0

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

0

0

' '

' '

' '

ξ ξ ξ

η η ξ

= −− + − + −

− + − + −= −

= −− + − + −

− + − + −= −

011 0 21 0 31 0

13 0 23 0 33 00

012 0 22 0 32 0

13 0 23 0 33 00

cr X X r Y Y r Z Z

r X X r Y Y r Z Zc

Z

N

cr X X r Y Y r Z Z

r X X r Y Y r Z Zc

Z

N

X

Y

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Primjeri zadataka – Geodezija 13 50. Odredite položajne koordinate i nadmorsku visinu točke 1 ako je zadano: T A H I M E T R I J S K I Z A P I S N I K ------------------------------------------------------------ Stajalište :P1 i= 1,54 m ------------------------------------------------------------ Vizirano na: Br. r Hz Z /dk [m] [o ' "] [o ' "] [m] ------------------------------------------------------------ P2 1,630 244 37 26 93 53 44 44,296 1 1,500 252 25 21 89 47 15 27,052 koordinate poznatih točaka su: Br. y x H ------------------------------------------------------------ P1 5567997,24 5074548,52 168,48 P2 5567981,03 5074589,70 168,68 Računato: ----------------------------------------------------------------------------------------- Stajaliste :P1 5567997,24 5074548,52 168,48 Orjentacija :P2 244 37 26 93,5323 5567981,03 5074589,70 168,68 Izjednačenje: 93,5323 i= 1,54 Br. s o ' " o ' " d' d y x h ---------------------------------------------------------------------------------------- 1 1,500 252 25 21 89 47 15 27,052 27,05 5567990,84 5074574,80 168,62

Rješenje: Br. y x H

1 5567990,84 5074574,80 168,62

51. Položajno izjednačite poligonski vlak ukoliko je zadano: TAHIMETRIJSKI ZAPISNIK Stajalište i Ori Hz Z D_kosa r P2 1,64 P1 125°41'33" 91°19'26" 463,14 2,00 P3 10°02'07" 93°43'59" 369,85 1,60 P3 1,71 P2 1°24'36" 86°15'33" 369,86 1,80 P4 91°23'22" 87°13'51" 460,55 1,80 P4 1,57 P3 127°32'25" 92°45'15" 460,54 1,60 P5 230°31'24" 93°56'59" 396,63 2,00 Koordinate poznatih točaka su: br. y x P1 5575345,73 5080305,93 P2 5575483,20 5079863,79 P4 5575526,44 5079275,75 P5 5575869,21 5079473,43

Primjeri zadataka – Geodezija 14 Rješenje: Točka Beta Y X

SmK D vy[mm] ∆∆∆∆Y vx[mm] ∆∆∆∆X

P1 5575345,73 5080305,93

-7.7 162°43'43"

P2 244°20'34" 5575483,20 5079863,79

-7.7 227°04'09" 369,07 4 -270,22 10 -251,37 P3 89°58'46" 5575212,98 5079612,42

-7.7 137°02'47" 460,01 5 313,46 13 -336,67

P4 102°58'59" -------- 5575526,44 5079275,75

60°01'39" 829,08

P5 5575869,21 5079473,43

Y X Beta

Treba: 43,24 -588,04 60°01'39"

Ima: 43,23 -588,06 60°01'16"

---------- ---------- ---------- ----------

odstup.: 0,01 0,02 -0°00'23" [ 0°00'28" ]

fL= -0,02 [ 0,86 ] , fQ= -0,01 [ 0,09 ]

Duljina vlaka: 829,1 , Iznos stajališta: 2

52. Visinski izjednačite poligonski vlak ukoliko je zadano: TAHIMETRIJSKI ZAPISNIK Stajalište i Ori Hz Z D_kosa r P2 1,48 P1 124°32'15" 91°07'09" 574,39 2,00 P3 288°00'06" 92°30'10" 637,09 1,80 P3 1,72 P2 231°24'26" 87°26'26" 637,11 2,00 P4 346°55'18" 86°33'24" 687,44 1,60 P4 1,58 P3 227°12'25" 93°27'06" 687,44 1,60 P5 346°58'45" 89°20'00" 517,49 2,00 Koordinate poznatih točaka su: br. y x P1 5580561,05 5081686,12 123,53 P2 5580617,72 5081114,64 135,27 P4 5581543,27 5080485,69 148,54 P5 5581825,74 5080919,25 154,14

Rješenje: Zapisnik 'K' - Obostrano priključen

Točka natr. napr. sr D_ vH ∆∆∆∆H H

P2 135,27

-28,14 28,17 -28,16 636,48 0,01 -28,15

P3 107,12

41,41 -41,41 41,41 686,20 0,01 41,42

P4 ------- -------- ------- ------- 148,54

13,25 1322,67 0,02 13,27

^H Treba= 13,27

^H Ima= 13,25

-----------

fH= 0,02 [ 0,04 ]

Duljina vlaka: 1322,7 , Iznos stajališta: 2

Primjeri zadataka – Geodezija 15 53. Na visokom reperu Ra, čija je nadmorska visina 128,3256 m postavljeno je ravnalo s podjelom prema dolje i na njemu je očitano 11 cm i na mikrometru 45. Zatim je na letvi postavljenoj na točki B očitana vrijednost 16154. Mjereno je s instrumentom Leica na centimetarsku letvu. Kolika je nadmorska visina točke B?

Zadano: Ha 128,3256 m ravnalo 11 cm mikrometar 45 m*10-4 lb 1,6154 m Računato: ravnalo (m) -0,11 m ravnalo (m) -0,11 m mikrometar 0,0045 m la -0,1055 m/2 H -1,7209 m H -1,7209 m Rješenje: Hb 126,6047 m

54. Na visokom reperu Ra, čija je nadmorska visina 127,6556 m postavljeno je ravnalo s podjelom prema dolje i na njemu je očitano 12 cm i na mikrometru 32. Zatim je na letvi postavljenoj na točki B očitana vrijednost 23154. Mjereno je s instrumentom Zeiss Koni 007 na polucentimetarsku letvu. Kolika je nadmorska visina točke B?

Zadano: Ha 127.6556 m ravnalo 12 cm mikrometar 32 m*10-4 lb 2,3154 m/2 Računato: ravnalo (m) -0,12 m ravnalo (m/2) -0,24 m/2 mikrometar 0,0032 m la -0,2368 m/2 H*2 -2,5522 m/2 H -1,2761 m Rješenje: Hb 126,3795 m

55. Zadane su koordinate točaka A, B i C. Izračunati smjerne kutove B

Aν i C

Bν , te duljine BCAB did .

Nacrtati skicu.

Točka Y X

A 6 358 185,142 5 055 965,321

B 6 358 570,587 5 056 347,958

C 6 358 827,208 5 055 746,061

Rješenje: B

Aν = ____45-12-35_____, ABd = __543,120___m

C

Bν = ____156-54-32____, BCd = __654,320___m.


56. Izračunati koordinate točke 1 u poligonskom vlaku, ako je zadan početni smjerni kut "10'29230o=B

Aν ,

koordinate točke B(yB = 6 345 510,249, xB = 5 065 605,614), te izmjeren vezni kut "22'2585o=β , i

duljina 1d = 241,552 m. Nacrtati skicu.

Rješenje: y1 = __6 345 678,321__m, x1 = __5 065 432,123__m.

57. Na terenu je izmjerena duljina d = 235,78 m i kut "45'23125o=α . Kolike su vrijednosti tih veličina (u MILIMETRIMA za duljine i u stupnjevima za kutove) na kartama Gauss-Krugerove projekcije, ako je mjerilo karte:

a. 1 : 1 000 d = __235,78___mm, "45'23125o=α

b. 1 : 2 500 d = __94,312___mm, "45'23125o=α

c. 1 : 5 000 d = __47,156___mm, "45'23125o=α . 58. Zadana je nadmorska visina točaka A i B: mH 331,198A = i mH 848,197B = . Geometrijskim

nivelmanom je na točki A očitano na letvi: .458,1A ml = Treba: nacrtati skicu, odrediti visinu vizure,

[HVV], visinsku razliku izmeñu točaka A i B [HAB], te očitanje na letvi u točki B [ℓB]. Nacrtati skicu. Rješenje: HVV = __199,789__ m,

HAB = ___-0,483__ m, ℓB = ____1,941_ m.

59. Odrediti relativnu visinu objekta Ho, ako je horizontalna udaljenost od instrumenta do objekta očitana s

karte mjerila 1: 5 000, d = 28,5 mm, te izmjerene zenitne udaljenosti: prema vrhu objekta

"45'28641o=z i zenitna udaljenost prema podnožju objekta "39'351152

o=z . Nacrtati skicu.

Rješenje: D = ___142,500___m.

H1 = ___ 68,033___m. H2 = ___-68,257___m. Ho = ___136.289___m.

60. U laboratoriju se ispituje sekundni teodolit na trostrukom kolimatoru s cijevima A, B i C. Treba se odrediti standardno odstupanje dvostruke kolimacione pogreške u jednom girusu ako su zadana sljedeća opažanja Hz pravaca:

VIZURA 1.POLOŽAJ 2.POLOŽAJ

A 0-00-26 180-00-47

B 33-33-55 213-34-13

C 66-55-44 246-56-03

Postupak:

- Računa se 2c=pII-pI -180

- Traži se aritmetička sredina za 2c

- Pogreške se odreñuju kao razlika aritm. sredine i svake pojedine vrijednosti

- Stand. odstupanje se odreñuje kao korijen iz sume kvadrata pogrešaka kroz broj prekobrojnih mjerenja

Primjeri zadataka – Geodezija 17 Numerički primjer:

ZADANO:

VIZURA 1.POL 2.POL 2C

A 0,0026 180,0047 21

B 33,3355 213,3413 18

C 66,5544 246,5603 19

RAČUN:

SREDINA 19,33333333 "

POGREŠKE

VA -1,667 "

VB 1,333 "

VC 0,333 "

KVADRATI

VA2 2,778

VB2 1,778

VC2 0,111

STAND.ODST 1,53 "

61. Uspostavljena je linija snimanja izmeñu poznatih točaka A(5000,00 5000,00) i B(5111,11 5321,09). Ortogonalnom metodom, odnosno dvostrukom pentagonalnom prizmom i mjernom vrpcom odreñena je apscisa (aps=10 m) i ordinata (ord=3 m). Treba odrediti koordinate detaljne točke C koja se nalazi s desne strane linije snimanja od A prema B. Prefiksi koordinata u GK projekciji su izostavljeni! Postupak:

- Izračuna se smjerni kut NIAB

- Izračuna se dijagonala D (hipotenuza) pravokunog trokuta s katetama aps i ord

- U istom pravokutnom trokutu se izračuna šiljasti kut EPS nasuprot ordinati

- Izračuna se orjentirani smjerni kut FIAC kao NIAB+EPS

- YC=YA+D*sin(FIAC)

- XC=XA+D*cos(FIAC)

Numerički primjer: ZADANO:

YA 5000,00 XA 5000,00

YB 5111,11 XB 5321,09

APS 10,00 ORD 3,00

RAČUN:

DYAB 111,11 DXAB 321,09

DY/DX 0,346040051076021

NIAB 19,0876694642304 NIAB(DMS) 19,0516

DAC 10,44

EPS 16,6992442339936 EPS(DMS) 16,4157

FIAC 35,786913698224 FIAC(DMS) 35,4713

DACSINFIAC 6,11 DACCOSFIAC 8,469149512

YC 5006,11 XC 5008,47

Primjeri zadataka – Geodezija 18 62. Koliko lučnih sekundi odstupa vizurna os nivelira od idealnog horizonta ako je „iz sredine“ i „s kraja“, a nivelir se nalazi točno na sredini izmeñu letava A i B, i to na 27 m od svake. Pri niveliranju „s kraja“ udaljenost do bliže letve A se zanemaruje! Podaci su sljedeći: IZ SREDINE: LA = 1515 mm LB = 1501 mm S KRAJA: LA = 1620 mm LB = 1617 mm Postupak:

- Računa se točna vis. razlika iz sredine dHS=LAS-LBS

- Računa se „TREBA“ očitanje na udaljenijoj letvi s kraja LBKtreba=LAK-dHS

- Računa se pogreška na letvi DELTA=LBKtreba-LBKima

- Nehorizontalnost vizure se računa iz pravokutnog trokuta kao EPS=ARCTG(DELTA/(dA+dB))*RO“


DA 27

DB 27

LAS 1515 LBS 1501

LAK 1620 LBK 1617

RAČUN:

DHS 14 mm

TREBA LBK 1606 mm

TREBA-IMA -11 mm

(T-I)mm/(DA-DB)m -0,000203704

ARCTG -0,011671362

DMS -0,00420169

EPS -42 "

63. Na terenu su poznate dvije točke: stajališna A(5432109,87 5012345,67) i orjentacijska B(5444444,44 5023456,78). Treba odrediti smjerni kut od točke C prema točki D ako su dana opažanja mjernom stanicom:

VIZURA HZ pravac (D-M-

S) HZ duljina

B 0-00-15

C 30-30-30 87,65 m

D 42-42-42 56,78 m Postupak:

- Računa se orijentacija THETA=NIAB-PRAVACNAB

- Računaju se orjentirani smjerni kutovi kao FIAC=PRAVACNAC-THETA, analogno i FIAD

- YC=YA+DULJINANAC*SIN(FIAC), ZA XC s kosinusom te analogno za YD i XD

- SMJERNI KUT NICD se dobije iz koordinata C i D

Primjeri zadataka – Geodezija 19 Numerički primjer:

ZADANO:

YA 5432109,87 XA 5012345,67

YB 5444444,44 XB 5023456,78

VIZURA HZ PRAVAC HZ DULJINA

D M S

B 0 0 15

C 30 30 30 87,65

D 42 42 42 56,78

RAČUN:

B 0,004166667

C 30,50833333

D 42,71166667

DYAB 12334,57 DXAB 11111,11

DYAB/DXAB 1,110111411

NIAB 47,98714179 NIABDMS 47,59137104

THETA 47,98297513 THETADMS 47,58587105

FIAC 78,49130846 FIACDMS 78,29287105

FIAD 90,69464179 FIADDMS 90,41407104

DACSINFIAC 85,888 DACCOSFIAC 17,488

DADSINFIAD 56,776 DADCOSFIAD -0,688

YC 5432195,758 XC 5012363,158

YD 5432166,646 XD 5012344,982

YD-YC -29,112 XD-XC -18,176

NICD 238,0214451

NICDDMS 238,0117

64. Odredite aritmetičku sredinu jednostruke pogreške indeksa vertikalnog kruga ako su u laboratoriju na kolimatoru opažane zenitne udaljenosti u oba položaja. Dobivenu vrijednost izrazite u lučnim sekundama!

VIZURA

1. Položaj

2.Položaj

A 99,8765g 300,1204g B 102,3456g 297,6505g C 95,5555g 304,4421g

Postupak:

- Izračunaju se pojedinačne dvostruke pogreške indeksa vertikalnog kruga 2v=400g-(z1+z2)

- S dvostrukih pogrešaka indeksa vertikalnog kruga prelazi se na jednostruke

- Izračuna se aritmetička sredina

- Radi se pretvorba iz gona u lučne sekunde



VIZURA 1.POL (gon) 2.POL (gon) Z1+Z2 2v

A 99,8765 300,1204 399,9969 0,0031

B 102,3456 297,6505 399,9961 0,0039

C 95,5555 304,4421 399,9976 0,0024

RAČUN:

vA 0,00155 gon

vB 0,00195 gon

vC 0,0012 gon

mIVK 0,001566667 gon

0,00141 deg

0,0005076 dms

mIVK" 5 "

65. Poznata je visina točke A (hA=120,000 m). Treba izračunati visinu točke B, ako je poznata visina mjerne stanice i = 1,62 m, te su izvršena sljedeća opažanja:

1. položaj 2.položaj zenit (D-M-S) kosa duljina visina signala zenit (D-M-S) kosa duljina visina signala 111-11-11 123,45 m 2,15 m 248-58-58 123,54 m 2,15 m

Postupak:

- Prvo se poništava pogreška indeksa vertikalnog kruga iz 2 položaja

- Popravlja se zenit u prvom položaju

- Sredina mjerenih duljina

- dHAB=dK*cos(Z)+i-r

- hB=hA+dHAB

Numerički primjer:

ZADANO:

hA 120,000 m

i 1,62 m

1. položaj 2.položaj

zenit kosa duljina

visina signala zenit

kosa duljina

visina signala

111,1111 123,45 2,15 248,5858 123,54 2,15

RAČUN:

z1+z2 DMS 360,1009

z1+z2 DEG 360,169167

dk sred 123,495 m

2v= -0,16916667 -0,1009 dms

z1potez 111,101806 111,0607 dms

dH -44,9914366 m

hB 75,009 m

Primjeri zadataka – Geodezija 21 66. Točka B je iskolčena polarnom metodom s točke F. Elementi iskolčenja su 156,24 m i 33°34'26˝. Koliko je standardno odstupanje kuta ako je standardno odstupanje iskolčene točke B 1,27 cm, relativno standardno odstupanje duljina 1:15000 i standardno odstupanje položaja točke 4 mm (ρ je 206265˝) . Rješenje: σφ = 8,01˝ 67. Točka B je iskolčena ortogonalnom metodom. Apscisa (x) i ordinata (y) su izmjerene i iznose x=34,15 m i y=31,12 m. Koliko je relativno standardno odstupanje duljina, ako je standardno odstupanje iskolčene točke 0,69 cm, standardno odstupanje pravoga kuta 34˝ i standardno odstupanje položaja točke 4 mm (ρ je 206265˝)? Rješenje: σd/d=1:20076,58 68. Točka B je iskolčena polarnom metodom s točke F. Elementi ikolčenja su 242,00 m i 43°38'16˝. Koliko je standardno odstupanje položaja točke, ako je standardno odstupanje iskolčene točke B 2,80 cm, relativno standardno odstupanje duljina 1:12000 i standardno odstupanje kuta 16˝ (ρ je 206265˝) . Rješenje: σs = 5 mm

69. Točka C iskolčena je polarnom metodom. Izračunajte elemente iskolčenja i točnost iskolčenja točke oC, ako su zadane njene koordinate i koordinate geodetske osnove (oA i oB) sa koje se točka oC iskolčava. Standardno odstupanje položaja točke iznosi 0,5 cm. Za potrebe iskolčenja korišten je instrument Topcon GMT100 koji ima sljedeće karakteristike:

- preciznost mjerenja horizontalnih pravaca: 2" - preciznost mjerenja duljina: ±(2mm + 2ppm)

X Y A 100,00 100,00

B 100,00 243,34

C 125,25 150,50

Rješenje: d=56,46m; φ=26-33-54; σc=0,0054m

AB

C

d

ϕ

Primjeri zadataka – Geodezija 22 70. Izračunajte elemente iskolčenja za ortogonalnu metodu, polarnu metodu te metode iskolčenja presjekom lukova i presjekom pravaca ako su zadane koordinate točke koja se iskolčava (oC) i koordinate geodetske osnove (oA i oB) sa koje se točka oC iskolčava.

X Y A 100,00 100,00

B 100,00 135,00

C 120,00 115,00

Rješenje: X=15 Y=20 d1=25 d2=28,28 α=53-07-48

β=45-00-00

d

x

y

21

βα

d

C

BA

71. Točka oC iskolčena je presjekom pravaca. Izračunajte elemente iskolčenja koji nedostaju za odreñivanje točnosti iskolčenja točke oC, ako su zadane koordinate geodetske osnove (oA i oB) sa kojih se točka oC iskolčava. Standardno odstupanje položaja točke iznosi 0,5 cm. Za potrebe iskolčenja korišten je instrument Topcon GMT100 koji ima sljedeće karakteristike:

- preciznost mjerenja horizontalnih pravaca: 2" - preciznost mjerenja duljina: ±(2mm + 2ppm)

X Y

A 100,00 100,00

B 100,00 250,00

A B

C

c α=35−00−00

γ

β=35−00−00

Rješenje: c=150,00m; σc=0,0019m

72. Točka je iskolčena ortogonalnom metodom. Izračunajte relativno standardno odstupanje duljina iskolčene točke ako je:

apscisa = 100 m, ordinata = 20 m, standardno odstupanje iskolčene točke = 1,18 cm, standardno odstupanje pravoga kuta = 1,1’ standardno odstupanje položaja točke = 0,6 cm

Rješenje: σd/d = 1:12921

Primjeri zadataka – Geodezija 23 Literatura Benčić, D. (2008): Mjerni instrumenti i sustavi u geodeziji i geoinformatici. Školska knjiga, Zagreb. Benčić, D.: Geodetski instrumenti. Školska knjiga, Zagreb, 1990. Macarol, S. (1978): Praktična Geodezija. Tehnička knjiga, Zagreb. Terzić P.: Sferna astronomija, Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 1990. Terzić P.: Geodetska astronomija II, Sveučilište u Zagrebu Geodetski fakultet, Zagreb 1988 Roić, M.: Katastar - interna skripta, Geodetski fakultet, Zagreb 2011. Roić, M., Medić, V., Fanton, I., : Katastar zemljišta i zemljišna knjiga - skripta, Geodetski fakultet, Zagreb 1999. Narodne novine: Propisi Roić, M. (2011): Upravljanje zemljišnim informacijama - katastar. Sveučilište u Zagrebu Geodetski fakultet, Zagreb. Frančula, N.: Kartografske projekcije, Skripta, Geodetski fakultet, Zagreb 2000. Lapaine, M.; Tutić, D.: O novoj službenoj kartografskoj projekciji Hrvatske : HTRS96/TM. Kartografija i Geoinformacije. 6 (2007) , S.I.; 34-53 Borčić, B.: Gauß-Krügerova projekcija meridijanskih zona, Sveučilišna naklada Liber, Zagreb 1976. Kraus, K.: Fotogrametrija, Knjiga 1., prijevod na hrvatski jezik, Zagreb - Sarajevo 2005. Kapović Z: Geodezija u niskogradnji, sveučilišni udžbenik, Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 2010. Internetski izvori Geodetski instrumenti: http://www.geof.unizg.hr/~zlasic/ Geodetska astronomija: http://www.geof.hr/~dspoljar/ga.htm

http://webmath.geof.hr:8080/webMathematica/GA/sferna_astro/ga.html

Primjeri zadataka – Matematika 24

Primjeri zadataka iz matematike na kvalifikacijskom ispitu za upis na

Diplomski studij geodezije i geoinformatike na Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu.

1. Dani su vektori 1,3, 2a = −r

, 1,4, 1b = −r

.

a) Odrediti jedinični vektor 0br

.

b) Odrediti skalarnu projekciju ba vektora ar

na vektor br

.

c) Odrediti kosinus kuta što ga zatvaraju vektori ar

i br

.

d) Odrediti jedinične vektore okomite na vektore i j k+ −rr r

i 2j k+rr

.

Rješenje:

a) 0

11,4, 1

3 2b = −r

b) 3

2ba =

c) 3

cos2 7

ϕ =

d) ( ) ( )1 13 2 i 3 2

14 14i j k i j k− + − + −

r rr r r r

2. Za matrice

−

−

=

300

120

011

A i

−

=

421

132

121

B riješiti jednadžbu 11 −− =⋅ BAX .

Rješenje:

2 34 7 1

1 13 7 0

1 15 7 1

X

− − = −

−

3. a) Determinanta

2 1 3 4

0 1 1 4

5 2 4 8

1 0 1 1

−

−

− − −

−

je jednaka: 20 ili -6 ili 8 ili 18.

b) Ako je det 3A = − i det 6B = , onda je ( )2 3det A B− = ?

Rješenje: a) 8

b) ( )2 3det 24A B− =

4. Izračunati ( )3

3 32lim 5 4 .n

n n n→∞

+ − −

Rješenje: 9

2

Primjeri zadataka – Matematika 25 5. Definirati pojam derivabilne (diferencijabilne) funkcije :f I → R u točki Ic ∈ .

Rješenje: Neka je I ⊆ R otvoren interval, :f I → R zadana realna funkcija i Ic ∈ . Kažemo da je funkcija f

derivabilna (diferencijabilna) u točki Ic ∈ ako postoji limes

( ) ( )

0 0lim lim

x x

f c x f cf

x x∆ → ∆ →

+ ∆ −∆=

∆ ∆.

U protivnom kažemo da f nije derivabilna (nije diferencijabilna) u točki c. Realni broj

( )( ) ( )

0lim

x

f c x f cf c

x∆ →

+ ∆ −′ =

∆

zovemo derivacija funkcije f u točki c i označavamo ( ) ( ) ( )dx

cdfcDf,cf ili′ .

6. Odrediti lokalni ekstrem funkcije 2 6 3.z x y x y x= − − + +

Rješenje: Lokalni maksimum se postiže u točki ( )0 4 4T , i iznosi: 15Max

z .=

7. Izračunati ,3

yds

x zΓ +∫ gdje je Γ luk krivulje zadane sa: 2 3

, ,32

t tx t y z= = = , od točke

(0,0,0)A do točke 2 2

2, 2, .3

B

Rješenje: 1

2

8. Izreći Stokesov teorem.

Rješenje: Neka je ar

vektorska funkcija klase ( )1

C na području koje sadrži otvorenu plohu ,S čiji je rub

S∂ jednostavna Jordanova zatvorena krivulja. Tada vrijedi: ∫∫∫ =⋅∂ PS

dParotrdarrr

.

9. Izračunati geodetsku zakrivljenost krivulje 2

π=v na paraboloidu

[ ] 0,2 , , ,sin ,cos 2 π∈∈=== vRuuzvuyvux .

Rješenje: 0gK =

10. Ploha S … ( ) [ ] [ ], , 0,2 , 0,r r u v v uπ π= ∈ ∈r r

ima prvu kvadratnu formu 2 2 2 2 2I sinr du r u dv≡ + .

a) Izračunati površinu četverokuta omeñenog krivuljama: 1 20,2

u uπ

= = i 1 20,4

v vπ

= = .

b) Čemu služi prva kvadratna forma plohe?

Rješenje:

a) 2P4

rπ

=

b) Za izračunavanje: duljine luka krivulje na plohi, površine omeñenog dijela plohe, kuta izmeñu dviju krivulja na plohi.


11. Izračunati udaljenost pravaca 4

4

0

2

1

1 −=

−=

−

− zyxpK i

=−+

=−+

752

3

zyx

zyxqK .

Rješenje: 29

378

12. a) Definirati rang matrice.

b) Za koje vrijednosti parametra λ je rang matrice

1 2 1

2 2

3 6 3

M λ

− = − − −

jednak 1; 2; 3?

Rješenje:

a) Rang ( )r M matrice M je broj ne-nul redaka u njenom reduciranom obliku.

b) Za 4λ = − je ( ) 1r M = ; za 4λ ≠ − je ( ) 2r M = ; ne postoji Rλ ∈ za koji bi bilo ( ) 3r M = .

13. Za matricu

−=

51

31A naći sve svojstvene vrijednosti.

Rješenje: 1 22, 4λ λ= =

14. Izračunati ( )1

2

0lim 1 .x

xx

→+

Rješenje: 1

15. Odrediti ekstreme funkcije 2ln

.x

yx

=

Rješenje: ( ) 22

41 0 ;min MaxT , T e ,

e

= =

16. Ispitati konvergenciju reda brojeva: 1

7 !n

nn

n

n

∞

=

⋅∑ .

Rješenje: Red divergira

17. Definirati pojam vektorske funkcije r

r

skalarnog argumenta. Zapis u Kartezijevom sustavu.

Rješenje: Vektorske funkcije rr

skalarnog argumenta su funkcije kojima je domena neki podskup I

realnih brojeva, a funkcijske vrijednosti su u 3 3| .O

E OT T E= ∈r

U Kartezijevom sustavu u prostoru možemo pisati: [ ]( ) ( ) ( ) ( ) , ,r t x t i y t j z t k t I a b= + + ∈ =rr r

r

,

pri čemu su , ,x y z skalarne komponente vektorske funkcije rr

.

18. Dano je polje 2 2 2.f x y z= Izračunati derivaciju zadanog polja u točki 0 (1, 1,3)T − u smjeru vektora:

2 2 .s i j k= − + −rr r

r

Rješenje: 22−


19. Sfera je zadana jednadžbom ( ) [ ] [ ], cos sin , sin sin , cos , 0,2 , 0,r u v r v u r v u r u v uπ π= ∈ ∈r

.

a) Odrediti prvu kvadratnu formu dane plohe.

b) Izračunati duljinu luka krivulje na danoj plohi koja se dobije za 6

uπ

= .

Rješenje:

a) 2 2 2 2 2I sinr du r u dv≡ +

b) s rπ= 20.

a) Definirati geodetsku zakrivljenost krivulje na plohi u nekoj njenoj točki. b) Definirati geodetsku liniju plohe. c) Da li su u sustavu meridijana i paralela na sferi neke od tih krivulja geodetske linije? Ako da, koje?

Rješenje: a) Geodetska zakrivljenost krivulje na plohi u nekoj točki je zakrivljenost ortogonalne projekcije te krivulje na

tangencijalnu ravninu plohe u toj točki. b) Geodetska linija neke plohe je ona krivulja plohe koja u svakoj točki ima geodetsku zakrivljenost jednaku nuli. c) Meridijani i ekvator su geodetske linije.

Literatura Apsen, B.: Riješeni zadaci iz više matematike I, II, II, 1992. Beban-Brkić, J.: Matematika I, Skripta Geodetskog fakulteta, Zagreb, (više izdanja) Demidović, B. P.: Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize za tehničke fakultete, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995. Elezović, N., Aglić, A.: Linearna algebra, Zbirka zadataka, Element, Zagreb (više izdanja) Elezović, N.: Linearna algebra, Element, Zagreb (više izdanja) Javor, P.: Matematička analiza 1, Element, Zagreb, 1999. Javor, P.: Matematička analiza 2, Element, Zagreb, 2000. Javor, P.: Uvod u matematičku analizu, Školska knjiga, Zagreb, 1991. Jovičić, D.: Praktikum, Matematika III, Interna skripta Geodetskog fakulteta, Zagreb, dostupna na http://www.geof.unizg.hr/~jbeban/mat3.htm Kovač Striko, E.: Matematika 2, Skripta Fakulteta prometnih znanosti, Zagreb, 1999. Lapaine, M.: Vektorska analiza, Interna skripta Geodetskog fakulteta, Zagreb, 2006. Lipschutz, S.: Differential Geometry, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book company, New York 1969. Slapničar, I.: Matematika I, II, III, Skripte Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split, 2010. Žarinac-Frančula, B.: Zbirka zadataka i repetitorij iz Matematike 4, Sveučilišna naklada Liber/Školska knjiga, Zagreb (više izdanja) Internetski izvori Beban Brkić, J.: Analitička geometrija i linearna algebra, Geodetski fakultet / E-učenje, Zagreb, 2011. Beban Brkić, J.: Diferencijalna geometrija, Geodetski fakultet / E-učenje, Zagreb, 2011. Slapničar, I.: http://lavica.fesb.hr/mat1/ Slapničar, I.: http://lavica.fesb.hr/mat2/ Slapničar, I.: http://lavica.fesb.hr/mat3/ Na ispitu je dopušteno koristiti formule na slijedeće dvije stranice te Matematičke formule (žute tablice, ISBN: 953-197-907-3).



Primjeri zadataka – Fizika 30

Primjeri zadataka iz fizike na kvalifikacijskom ispitu za upis na Diplomski

studij geodezije i geoinformatike na Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu.

1. Koordinate tijela koje se giba u xy ravnini ovise o vremenu t tako da je x = - (5,0 m) sin(ωt) i

y = – (5,0 m) cos(ωt), gdje je ω konstanta, a t u sekundama. Odredite iznos radijalnog (centripetalnog)

ubrzanja.

Rješenje: (5 m) ω2

2. Jednostavno njihalo (masa m na niti) obješeno o strop vagona gibajućeg vlaka, otklonilo se iz

ravnotežnog položaja za veličinu kuta θ = 20°. Koliko je ubrzanje vlaka sa stajališta inercijalnog

sustava? Pretpostavite da je ubrzanje slobodnog pada g = 9,81 m/s2.

Rješenje: 3,6 m/s2

3. Poznato je da je period ophodnje Zemlje oko Sunca T = 3,156*107 s, udaljenost Zemlje od Sunca

r = 1,496*1011 m, a Gravitacijska konstanta G = 6,67*10-11 Nm2kg-2. Kolika je masa Sunca?

Rješenje: 1,99*1030 kg

4. Masa obješena na niti duljine L = 0,70 m, otklonjena za veličinu kuta θ = 25,0° od vertikale, giba se

jednoliko po kružnici u horizontalnoj ravnini s periodom T = 1,60 s. Koliko je ubrzanje slobodnog pada

odreñeno ovim stožastim njihalom?

Rješenje: 9,78 m/s2

5. Gravitacijsko polje je konzervativno. Koliki je rot g ?

Rješenje: 0

6. Kolika bi bila promjena u duljini dana zbog potpunog topljenja Zemljina polarnog leda kao posljedica

globalnog zagrijavanja? Pretpostavite da je polarni led mase m = 2,00*1019 kg u obliku dva diska

polumjera r = 6,00*105 m, te da se je voda nastala topljenjem rasprostrla u tanku sfernu ljusku. Masa

Zemlje (bez leda) M = 5,98*1024 kg, a polumjer Zemlje R = 6,37*106 m.

Rješenje: 0,478 s

7. Tanki homogeni štap duljine L = 50,0 cm, učvršćen na jednom kraju slobodno se njiše u vertikalnoj

ravnini, malom amplitudom, te s periodom T = 1,16 s. Koliko je ubrzanje slobodnog pada?

Rješenje: 9,78 m/s2

Primjeri zadataka – Fizika 31

8. Dva jednaka sinusoidna vala, valne duljine λ = 3,00 m putuju u istom smjeru brzinom v = 1,00 m/s.

Drugi val nastao je u istoj točki kao i prvi, ali s kašnjenjem. Koliko je minimalni vremenski interval

izmeñu nastanka tih dvaju valova ako je amplituda rezultantnog vala jednaka amplitudi inicijalnih

valova.

Rješenje: 1 s

9. Pronañite izraz za iznos magnetskog polja indukcije B u točki P na osi kružne strujne petlje (slika).

Rješenje: 2322

20

2 /)( Rx

RI

+

µ

10. Kružna zavojnica s N = 25 namotaja žice i polumjera r = 0,50 m postavljena je tako da joj je os paralelna

s Zemljinim magnetskim poljem iznosa B = 48000 nT. Tada se zavojnica u ∆t = 0,20 s zaokrene za θ =

180°. Ako je otpor zavojnice R = 0,50 Ω, pronañite koliki je iznos prosječne inducirane struje u

zavojnici.

Rješenje: 0,019 A

Literatura

Kittel, C., Knight, W., Ruderman, M., Berkeleyski tečaj fizike, I dio (Mehanika), Tehnička knjiga, Zagreb,

1986. Purcell, M., Berkeleyski tečaj fizike, II dio (Elektricitet i magnetizam), Tehnička knjiga, Zagreb 1988. Paić, M., Gibanje, Sile, Valovi, Liber, Zagreb, 1997. Paić, M., Osnove fizike, III dio, Liber, Zagreb, 1989. Paić, M., Osnove fizike, IV dio, Sveučilišna naklada Liber, Zagreb, 1983 Keller, Gettys, Skove: Physics, 2. ili novije izdanje Raymond A. Serway, John W. Jewett: Physics for Scientists and Engineers (6. ili novije izdanje)

Na ispitu je dopušteno koristiti Formule iz fizike (zelene tablice, ISBN: 953-197-917-0).

Primjeri zadataka – Geoinformatika i informatika 32

Primjeri zadataka iz informatike i geoinformatike na kvalifikacijskom ispitu za upis na Diplomski studij geodezije i geoinformatike na Geodetskom fakultetu

Sveučilišta u Zagrebu. 1. Koji su osnovni koraci pri rukovanju geoinformacijama?

Odgovor: Osnovni koraci pri rukovanju geoinformacijama su:

– registriranje, unošenje i spremanje

– korigiranje i prilagoñavanje

– obrada i analiziranje

– prikazivanje geoinformacija.

2. Koje oblike unosa podataka podržava softver za obradu geoprostornih podatka?

Odgovor: Softver za obradu geoprostornih podatka obično podržava različite oblike unosa podataka kao što je

npr. unos iz:

– digitalizatora

– fotogrametrijskih instrumenata

– mjernih stanica

– GPS-a

– skeniranja i prepoznavanja uzoraka

– drugih programa.

3. Koje programe za prilagodbu geometrijskih podataka sadrži svaki GIS?

Odgovor: Svaki GIS sadrži programe za prilagodbu geometrijskih podataka:

– Funkcije za opću upotrebu

– Ureñivanje i korigiranje pogrešaka

– Mogućnost kreiranja topologije

– Transformacije u zajedničku kartografsku projekciju

– Transformacije u zajednički koordinatni sustav

– Prilagoñavanje rubova karte i susjednih područja

– Koordinatno stanjivanje i izglañivanje linija

4. Na kojim se razinama mogu analizirati podaci?

Odgovor: Podaci se mogu analizirati na različitim razinama:

– Podaci u tablicama atributa poredani su za prezentaciju u izvještajima ili za upotrebu u drugim računalnim

sustavima

– Operacije se obavljaju na geometrijskim podacima, na način pretraživanja ili u svrhu računanja

– Aritmetičke, Booleove i statističke operacije obavljaju se u tablicama atributa

– Geometrija i tablice atributa, upotrebljavaju se zajedno kako bi se:

– dobili novi skupovi podataka na temelju originalnih i izvedenih atributa

– dobili novi skupovi podataka na temelju geoprostornih odnosa

Primjeri zadataka – Geoinformatika i informatika 33 5. Što obuhvaća intelektulano vlasništvo? Što je autorsko prvo? Što je autorsko djelo? Čime je regulirano autorsko

pravo za geoinformacije?

Odgovor:

– Intelektualno vlasništvo obuhvaća industrijsko vlasništvo, autorsko pravo i srodna prava.

– Autorsko pravo je pravo autora na njihovim djelima iz književnoga, znanstvenog i umjetničkog područja.

Autorsko pravo pripada, po svojoj naravi, fizičkoj osobi koja stvori autorsko djelo.

– Autorsko djelo je originalna intelektualna tvorevina iz književnoga, znanstvenog i umjetničkog područja koja

ima individualni karakter, bez obzira na način i oblik izražavanja, vrstu, vrijednost ili namjenu.

– Autorsko pravo za geoinformacije regulirano je Zakonom o autorskom pravu i srodnim pravima.

Zadane su tri tablice u relacijskoj bazi podataka: djelatnik, grad i fakultet. Oznakom * je u svakoj tablici označen primarni ključ: br_znan, grad_id i id_fakulteta.

grad

grad_id* naziv_grada broj_stanovnika

10000 Zagreb 700000

10310 Ivanić-Grad 30000

10312 Kloštar Ivanić 10000

10314 Križ 10000

10340 Vrbovec 15000

10345 Gradec 10000

djelatnik

ime Prezime br_znan* broj_radova grad_id Id_fakulteta

Marko Markić 1345 10 10000 1

Pero Perić 5679 2 10310 3

Slaven Basa 8888 32 10340 4

Marin Palin 6974 18 10345 2

Bojan Baričević 9731 20 10314 1

Tina Buljan 6879 4 10312 2

Mate Knez 2345 2 10310 2

Toni Gave 9764 33 10000 1

Frane Lokas 3354 40 10310 3

Mate Korda 9784 9 10314 4

Matija Lokas 1428 10 10345 3

Ana Vikić 7741 12 10340 2

Ana Šubat 7486 4 10340 1

Mile Kozjak 5497 20 10310 5

Dino Tomić 8748 21 10310 3

fakultet

id_fakulteta* naziv_fakulteta

1 Medicinski

2 Ekonomski

3 FER

4 Geodetski

5 Grañevinski

6. Napišite naredbu u SQL-u koja će izbrisati sve djelatnike koji imaju više od 30 radova i manje od 10.

Rješenje: DELETE FROM djelatnik WHERE broj_radova NOT BETWEEN 10 AND 30; 7. Napišite naredbu u SQL-u koja će ispisati ime i prezime svih djelatnika čije prezime sadrži slovo 'o' na drugom mjestu unutar prezimena (npr. Lokas, Kozjak, Korda ...).

Rješenje: SELECT ime, prezime FROM djelatnik WHERE prezime LIKE '_o%';

Primjeri zadataka – Geoinformatika i informatika 34 8. Napišite naredbu u SQL-u koja će ispisati prosjek broja radova svih djelatnika koji dolaze iz pojedinog grada.

Rješenje: SELECT AVG(broj_radova), naziv_grada FROM djelatnik INNER JOIN grad ON djelatnik.grad_id=grad.grad_id GROUP BY naziv_grada;

9. Napišite naredbu u SQL-u koja će ispisati imena i prezimena svih djelatnika iz Zagreba. Rješenje: SELECT ime, prezime FROM djelatnik INNER JOIN grad ON djelatnik.grad_id=grad.grad_id WHERE naziv_grada = 'Zagreb';

10. Napišite naredbu u SQL-u koja će napisati imena gradova, te ukupan broj i prosjek broja radova po djelatniku za svaki od gradova.

Rješenje: SELECT, naziv_grada, SUM (broj_radova), AVG(broj_radova) FROM djelatnik INNER JOIN grad ON djelatnik.grad_id=grad.grad_id GROUP BY naziv_grada;

11. Je li četvrti bit binarnog zapisa dekadskog broja 156 jednak 0 ili 1?

Odgovor: Četvrti bit jednak je 1 (10011100)

12. Ako u Javi konstantu zadamo na sljedeći način: 1.2E108F, tada je ta konstanta:

Odgovor: Konstanta nije ispravno zadana

13. Je li sljedeći dio kôda u Javi sintaktički ispravno napisan? Ako je odgovor "da", napišite koja će biti

vrijednost od varijable rezultat nakon izvršavanja navedenih instrukcija, a ako je odgovor "ne", napišite zašto nije ispravan.

int x = 16, y = 3; int rezulat; rezultat = x + y/2.0;

Odgovor: NE, jer je vrijednost izraza, koja se želi dodijeliti int varijabli rezultat, tipa double (tj. 17.5).

14. Je li sljedeći dio kôda u Javi sintaktički ispravno napisan? Ako je odgovor "da", napišite što će se ispisati

njegovim izvršavanjem, a ako je odgovor "ne", napišite zašto nije ispravan.

StringBuffer s1 = new StringBuffer ("Programiranja"); StringBuffer s2 = new StringBuffer ("Programiranja"); System.out.println (s1 == s2);

Odgovor: DA, ispisat će se false jer s1 i s2 referenciraju na različite objekte jednakog sadržaja.

15. Je li sljedeći dio kôda u Javi sintaktički ispravno napisan? Ako je odgovor "da", napišite što će se ispisati

njegovim izvršavanjem, a ako je odgovor "ne", napišite zašto nije ispravan.

int x = 0, y = 0; do x += ++y; while (y < 5); System.out.println("x = "+x+", y = "+y);

Odgovor: NE, jer se instrukcija za ispis vrijednosti varijabli x i y nalazi izvan dosega tih varijabli.

Primjeri zadataka – Geoinformatika i informatika 35

16. Pogledajte dio kôda u Javi. Koliko će se puta izvršiti instrukcije u petlji for s brojačem k?

Kolika će biti vrijednost varijable i na kraju izvoñenja petlji for s brojačima k i j?

int i = 0, j, k; geod: for (j = 1; j < = 5; j + +) if (j = = 3) break; geof: for (k = 1; k < = 5; k + +) i = i + k;

Odgovor: Instrukcije u petlji for s brojačem k izvršit će se 10 puta. Vrijednost varijable i na kraju

izvoñenja petlji for s brojačima k i j bit će 30.

17. Zbog koja dva razloga je sintaksa navedenog kôda u Javi neispravna?

public class Program public static void main(String[]args) int a = 2, b = 5; System.out.println(racun(a,b)); public double racun(int i, int j) return ( i + 2 * j); public int racun(int x, int y) return ( x - 2 * y);

Odgovor:

1. Metoda racun(int, int) dva puta je definirana, tj. neispravno je preopterećenje (engl. overloading)

metoda,

2. Iz statičke metode main ne može se pozvati nestatička metoda racun.

18. Zbog koja dva razloga je sintaksa navedenog kôda u Javi neispravna?

class Test public static void potencija(int x, double y) return Math.pow(x,y); public static void main(String[]args) double i = 2.; int j = 3; System.out.println("Rezultat = " + potencija(i,j));

Odgovor:

1. Pozvanoj metodi potencija (int,double) želi se proslijediti argumente (double, int) – ne postoji

automatska konverzija tipa double u tip int,

2. Metoda potencija je deklarirana kao void pa ne može vratiti vrijednost iz ključne riječi return

Primjeri zadataka – Geoinformatika i informatika 36 19. Zašto donji program u Javi ne radi i na koji se način može otkloniti pogreška?

class Kut private double alpha; Kut(double x) alpha = x; class Program public static void main(String[]args) Kut k = new Kut(Math.PI); System.out.println("Sinus kuta "+k.alpha+" je "+Math.sin(k.alpha));

Odgovor:

Jer se iz klase Program ne može direktno pristupiti privatnoj varijabli alpha u klasi Kut. Pogreška se

može ukloniti dodavanjem metode (funkcije) koja će u trenutku njenog poziva vratiti vrijednost varijable

alpha. Dakle, prvo treba klasi Kut dodati metodu, npr.

double vrati()

return alpha;

Zatim u klasi Program umjesto pozivanja varijable alpha objekta k tipa klase Kut treba pozvati metodu

vrati(), tj. umjesto instrukcija k.alpha treba napisati instrukciju k.vrati():

Literatura

Worboys, M.F. and Duckham, M. (2004) GIS: A Computing Perspective, Second Edition, CRC Press.

Douglas, K., Douglas, S (2005): PostgreSQL (2nd Edition), SAMS.

Medak, D. (2011): Baze podataka - predavanja. Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu.

Chapman, S. J.: Java for Engineers and Scientists. Prentice Hall 2003.

Lapaine, M.: Rukovanje geoinformacijama, interna skripta, Geodetski fakultet, Zagreb 2006.

Internetski izvori

http://www.geof.hr/~nvucetic/indexprog.htm

http://download.oracle.com/javase/tutorial/index.html

Documents

Upute za kvalifikacijski ispit za upis na diplomski studij geodezije i