UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIKI FAKULTET

PROBLEM KVADRATURE KRUGA 1.Drevne kvadraturePrvi pokuaj kvadrature kruga moemo nai jo kod Starih Egipana u Ahmesovom papirusu, oko 1650. g .p.n.e. Ahmes pie da treba konstruisati kvadrat od 8/9 prenika kruga.

Grci su prvi definisali ovaj problem na precizan nain. Priznavali su reenje koje potuje pravila konstrukcije lenjirom i estarom. Prvi Grk koji se bavio kvadraturom kruga je Anaksagora, dodue u zatvoru, kao bogohulni filozof.

Sledei kvadraturai (gr. ) Antifon i Brison razmatraju kvadraturu ali njihovi spisi su izgubljeni. Mnogi Grci posle njih pokuavaju, ali ne uspevaju. Oni su makar bili izuzetno poteni i profesionalni i nisu podvaljivali i varali u tvrdnji da su uspeli.

Arhimed nije reio kvadraturu, ali je prvi utvrdio da je povrina kruga jednaka povrini pravouglog trougla ija je jedna kateta jednaka polupreniku a druga obimu kruga. Prikazao je osobine spirale kojom se moe izvriti kvadratura, ali je to reenje ubrojano u mehanika.

Od 1050. g, kada je Franko od Lia objavio knjigu De quadratura circuli gde navodi konstrukciju kvadrature u kojoj je =22/7, do dananjih dana broj ljudi koji su jurili slavu objavljujui da su konano reili najtei matematiki problem svih vremena je ogroman. Pariska Akademija 1775. godine objavljuje da prestaje da prima i razmatra prijave u vezi kvadrature kruga. Broj prevaranata amatera i dalje nastavlja da raste, pa je za ovu oblast dat naziv pseudomatematika.2.Moderne prevare i prevarantiTokom 20. veka je rekord najvie izdatih tekstova o kvadraturi kruga drao izvesni Dejms Smit. Za njega su vai da nije na osnovu dobrih pretpostavki izvlaio pogrene zakljuke ve da njegovi zakljuci nemaju veze sa pretpostavkama. Njegova upornost da dokae da je =25/8 je rezultovala brojnim knjigama na tu temu.

De Morgan je 1872. godine predloio da svetac zatitnik kvadraturaa kruga bude Sveti Vito. Postoji ples posveen ovom svecu u kome uesnici vrite i urlaju, vrtei se u krug, to vodi do masovne histerije. Takoe je predloio da doktori prihvate novu dijagnozu morbus cyclometricus za ljude obuzete kvadraturom kruga.

Skuptina Savezne drave Indijane je 5. februara 1897. godine predloila zakon kojim se proglaava zvanina vrednost broja koja se ima upotrebljavati u dravi Indijani. Izvesni Edvard Gudvin, predlaga, je zakon tako loe napisao da se spominju etiri razliite vrednosti za ali je za svaki sluaj zatitio svoje otkrie kopirajtom. Autor je velikoduno ponudio dravi da koristi njegovu vrednost za u kolskim udbenicima bez nadoknade dok bi svi ostali plaali tantijeme. Zakon je proao donji dom jednoglasno (sa 76:0) ali je zaustavljen u gornjem domu. Niko ne zna da li je zakon ikad skinut sa dnevnog reda ili jo eka na izglasavanje.

Danas vie nisu u pitanju samo amateri, ve preduzimljive osobe koje svoje pronalaske tite patentima.

3.Kvadratura kruga

Kvadratura kruga je pojam vezan za jedan, od tri, najpoznatija antika matematika problema. To je skraeni naziv za problem koji se najee opisuje reenicom:

Konstruisati kvadrat iste povrine kao dati krug.

Poto je povrina kvadrata Pkvadrat = a2 a povrina kruga Pkrug = r2 tada iz jednakosti povrina a2 = r2 proizilazi da je . Jo su Grci umeli da geometrijski pomnoe dva broja, tj dve dui, odnosno da geometrijski nau kvadratni koren broja, ali je za reavanje ovog problema potrebno geometrijski konstruisati broj . Geometrijska konstrukcija broja je nemogua, a to je tek 1882. godine pokazao Lindeman dokazujui da nije algebarski ve transcedentan broj.

Dakle izraz kvadratura kruga je metafora i oznaava nereiv problem, mada je neki koriste za opis beznadenog ili besmislenog. Pretpostavlja se da je na ovaj problem tokom ljudske istorije potroeno vie intelektualnog napora nego za slanje oveka na Mesec.

U stvari, postoje egzaktna reenja, ali ako se ne potuju pravila konstrukcije lenjirom i estarom. Lenjirom i estarom je mogue uraditi priblinu konstrukciju, sa izvesnim stepenom aproksimacije.

Ovo vai za euklidsku geometriju.U neeuklidskoj geometriji je formula za povrinu kruga drugaija pa je i kvadratura kruga mogua u nekim sluajevima.

Ne treba poistoveivati ovaj problem sa problemom kvadrature kruga Tarskog.

3.1.Problem kvadrature kruga

Problem kvadrature kruga je jedan od tri velika matematika problema (preostala dva su problem udvostruenja kocke i problem trisekcije ugla) , ali onaj koji je najdue zadrao fascinantnost za matematiare. Problemi vezani za broj jo i danas zanimaju kako profesionalne, tako i matematiare amatere. Po starogrkom shvatanju ovaj se problem sastoji u konstrukciji (lenjirom i estarom) kvadrata koji ima istu povrinu kao zadati krug. Usprkos priznavanja samo tog naina kao matematiki pravilnog, Grci su korstili i razne mehanike konstrukcije (npr. pomou konika) koje probleme rjeavaju bar u praktinim situacijama.

Prvi poznati matematiar koji se bavio problemom kvadrature kruga bio je Anaksagora iz Klazomene (499- 428. g.p.n.e..). Dospevi u zatvor, jer je tvrdio da Sunce nije bog i da Mesec reflektuje Suneve zrake, tokom boravka u zatvoru poeo je reavati problem kvadrature kruga. Problem je izgleda ubrzo postao vrlo popularan, pa se ak spominje u Aristofanovoj drami Ptice napisanoj oko 414.g.p.n.e. Sofist i Sokratov suvremenik Antifont (480-411. g.p.n.e.) za reenje predlae upisivanje pravilnih poligona u krug, poevi od kvadrata, preko osmougla redom uz udvostruavanje broja stranica. Ideja je da e se ostatak tj. razlika do stvarne povrine kruga iscrpsti kad dodemo do dovoljno velikog broja stranica. Time je on prethodnik Eudoksove metode ekshaustije i konanog Arhimedova resenja.

Hipokrat s Hiosa (470-410. g.p.n.e.) je prvi koji je tanono odredio povrinu nekog lika obrubljenog krivuljama. Traei kvadraturu kruga, naao je povrine Hipokratovih meseca. Pritom je koristio svoj teorem da se povrine krugova odnose kao kvadrati njihovih radijusa (dokaz tog teorema moe se nai u Euklidovim Elementima i koristi metodu ekshaustije). Pod mesecom se podrazumeva geometrijski lik omeen lukovima dveju krunica razliitih sredita (A i B) i poluprenika (r i R).

Sa slike se zaljuuje da je povrina meseca jednaka razlici povrina krunih odseaka:

P = P(CFD) - P(CED)

Vei kruni odseak ima sredite B i ima povrinu P(CFD) jednaku razlici povrine pripadajueg krunog iseka i trougla. Analogno vredi za manji odseak. Savremenim zapisom dobija se da je povrina meseca jednaka

Uzmemo li da je jednostavnosti radi r = 1 imamo

Postoji pet meseca kojima se povrina (tj. kvadrat jednake povrine) moe konstruirati lenjirom i estarom. Hipokratu su bila poznata tri od njih. Pritom se, standardno, pod odredivanjem kvadrature podrazumeva konstrukcija poligona iste povrine, jer je geometrijskom algebrom bilo mogue svaki poligon pretvoriti u kvadrat iste povrine. Hipokratovi meseci bili su sledei:

1.Mesec koji je omeen polukrunicom nad hipotenuzom jednakostraninog pravouglog trougla i krunicom kojoj je sredite vrh pri pravom uglu koja prolazi kroz druga dva vrha:

Povrina ovog meseca jednaka je povrini trougla. Naime, ta je povina jednaka povrini trozgla (P) plus povrina polukruga nad hipotenuzom (P1) minus povrina iseka jednakog povrini P2 etvrtine kruga kojem je radijus jednak kateti trougla (recimo duine 1). Kako je odnos P1 : 2P2 jednak odnosu pripadajuih kvadrata prenika 2 : 1, slijedi da je P1 = P2 tj. povrina meseca P + P1-P2 je jednaka povrini trougla .

2.Mesec kojem jedan rub nastaje tako da se jednakokrakom trapezu ABCD kojem su krakovi i jedna baza duine 1, a druga baza AB duine 3, opie krunica, a drugi rub je luk krunice prolazi kroz B i D i ima sredite S na simetrali trapeza tako da su dijagonale trapeza tangente na nju (u A i B):

Ako su mali odseci redom povrina R, S i T (oito jednake, jer pripadaju istoj krunici i imaju jednake tetive duine 1), a veliki odseak povrine U (koja je 3 puta vea od bilo koje od njih), imamo

R + S + T = U

Kako je povrina meseca jednaka povrini trapeza plus R + S + T minus povrina U, sledi da mesec ima istu povrinu kao trapez ABCD

.

3. Promatra se 5 tetiva od kojih su dve jednake a, a druge tri jednake c i pritom je 2a = 3c. Stoga je povrina dva vea odseka jednaka povrini tri manja. Hipokrat dobija da je mesec EKBGF po povrini jednak zbiru povrina tri trougla.

Napomenimo da Hipokrat nije pokazao da je mogue nai kvadraturu proizvoljnog meseca obrubljenog lukovima krunica i vrlo je verovatno bio svestan da njegove metode ne rjeavaju problem kvadrature kruga.

Hipija iz Elide ( 460- 400 g.p.n.e.) je bio dravnik i filolozof. Zaradivao je putujui i drei predavanja iz poezije, gramatike, politike, arheologije, matematike i astronomije. Platon ga opisuje kao tatog, umiljenog i arogantnog ovjeka sa irokim, ali povrnim znanjem. Njegov jedini doprinos matematici je otkrie krivulje kvadratise oko 420.g.p.n.e.. Ta se krivulja moe iskoristiti za reenje kvadrature kruga i trisekciju ugla. Njen opis i opis primene na kvadraturu kruga moe se nai kod Papusa.

Kvadratisa je krivulja koja je geometrijsko mjesto taaka F koje su take preseka stranice kvadrata BC koja se jednolikom brzinom sputa na stranicu AD i druge stranice AB istog kvadrata koja jednoliko rotira do poloaja AD i to tako da stranica BC padne na AD tano kad i AB. Kvadratisa spada u tzv. Mehanike krivulje koje nije mogue konstruisati lenjirom i estarom, pa tako naravno i ovo reenje ne zadovoljava zahtev konstrukcije.

Pomou kvadratise problem je pokuao reiti i Dinostrat ( 390- 320.g.p.n.e.). Najvei napredak u reenju ovog problema, tj. dokaz da je povrina kruga jednaka povrini pravouglog trougla kojem je jedna kateta jednaka radijusu, a druga obimu kruga, dao je Arhimed.

4.Leonardo da Vini

Leonardo da Vinci ( 1452. - 1519.) bio je italijanski slikar, arhitekta, pronalaza, kipar, pripovjeda, matematiar i inenjer.

Ukratko - najvei genije renesanse, ovek koji predstavlja renesansni ideal svestrana oveka, viestruko nadarena, neutoljive znatielje i udnje za novim saznanjima. Njegovi spisi odraavaju duh naunog istraivanja i mehanike inventivnosti koja je bila vekovima ispred svoga vremena.

Umetnik po dispoziciji, otkrio je da su mu oi bile glavni put do znanja; za Leonarda vid je bio ovekov primaran organ ula zato jer vid sam pretvara injenice u iskustva odmah, korektno i sa sigurnou. To znai da svaki fenomen koji je razmatran postaje objekt znanja. Saper vedere (znati kako videti) postaje glavna tema njegovih prouavanja ovekovih dela i kreacija prirode. Njegova kreativnost sezala je u svako podruje u kojem se koristilo grafiko predstavljanje: bio je slikar, kipar, arhitekta i inenjer. Ali, on je iao i iznad svega toga. Njegov velianstven intelekt, neuobiajena snaga opservacije te majstorstvo umetnosti crtanja vodili su ga u razmatranje same prirode, koju je prouavao s metodinou i ubacujui logiku - u emu su njegova umetnost i znanje bili jednako zastupljeni.

Leonardov rad je saetak tog izvanrednog perioda ljudske svesti poznatog kao italijanska renesansa, perioda velikih kulturnih prednosti i velikih projekata. Leonardova djela odraz su ljudi toga doba, onoga to su osjeali i inili. No, jo vanije, Leonardovi izumi svedoe o tome ko i ta je on bio - ovek koji je bio oblikovan najomiljenijim i najstimulativnijim gradom toga doba Treba samo pogledati neke od najinteresantnijih ideja sadranih u vie od 5000 stranica Leonardovih zapisa kako bismo shvatili veliinu njegovih misli.

Uprkos injenici da je bio bez formalnog obrazovanja, Leonardo je tokom godina sakupio zavidnu biblioteku koja je obuhvatala tekstove o filozofiji prirodi, literarna djela, do onih posveenih tehnici i umetnosti. S autorima ovih tekstova Leonardo se aktivno uputao u polemike dijaloge, podvrgavajui ak i ve priznate doktrine strogo racionalnom zakljuivanju i iskustvenim dokazima. Broj i raznovrsnost knjiga u njegovoj biblioteci odraavaju znatielju njegova uma koji se oprobao u svim moguim smerovima istraivanja. Upotpunjen knjigama, Leonardov radni sto bio je mesto gde je probleme kojima se bavio zapisivao reima, upotpunjene skicama i crteima, te eksperimentima uraenih runo ili uz pomo sofisticiranih instrumenata.

Leonardo je sva svoja istraivanja zapisivao na listove papira, takozvane kodekse. Re je o 5000 stranica karakteristinog Leonardova rukopisa, pisanog zrcalno i zdesna ulevo, na koje je zapisivao sve ime se bavio. esto su se na istom listu papira tako nali matematiki prorauni, tehniki izumi, ali i umjetnike skice i studije. Poslije smrti njegova vernog uenika Francesca Melzija (1493. - 1570.), kipar Pompeo Leoni (1533. - 1608.) taj je materijal grupisao tematski, spajajui pojedine delove srodnog sadraja. Tako preureeni, Leonardovi najvaniji nauni i inovatorski rukopisi danas su dostupni podeljeni u deset svezaka.

S matematikog gledita, najzanimljiviji kodeksi su Atlanticus, Arundel, Forster, kodeksi Francuskog instituta i Madridski kodeksi. Leonardo je dospio u 21. vek zahvaljujui svojoj modernosti, svojoj hrabrosti da se upusti na nesigurna polja, pogotovo na podruju prirodnih nauka, zahvaljujui neustraivom pogledu u bunost i neprestanom trudu da uvek bude korak ispred svoga doba.

4.1.Geometrija

Leonardova znanja iz geometrije vidimo iz Madridskih kodeksa, koji se sastoje od dva dela, kao i iz kodeksa Forster. Tako moemo uoiti da su ga jako zanimale konstrukcije pravilnih mnogouglova pomou lenjira i estara, pri emu je opseg mnogougla dijelio na 3, 4, 5, 6, 7, 8, pa sve do 48 jednakih delova. Leonardo je dao i dve konstrukcije pravilnog petougla. Naravno, mnoge od njegovih konstrukcija samo su pribline. Suoio se i s problemom konstrukcije kvadrata ako je dat kao suma dvaju kvadrata, dajui pritom samo priblinu proceduru. Rijetko je davao objanjenja svojih konstrukcija, pa izgleda kao da su proizlazile same od sebe.

INCLUDEPICTURE "seminarski%20rad%20iz%20mnm/leonardo_files/parabola.jpg" \* MERGEFORMAT

INCLUDEPICTURE "seminarski%20rad%20iz%20mnm/leonardo_files/cikloida.jpg" \* MERGEFORMAT Leonardove skice koje prikazuju konstrukciju elipse, parabole i cikloide.

Leonardo raspravlja i o nejednakosti trougla, vrednosti zbira veliina unutranjih uglova trougla, jednakosti spoljanjeg ugla trougla i zbira njemu naspramnih unutranjih uglova. Zanimljivo je da je ta, nama danas elementarna pitanja, genije savladavao tek u svojoj od 44 godine.

4.2.Leonardova matematika posle susreta sa Paciolijem

Bez formalnog obrazovanja i uz to jo disleksian, Leonardo nije bio u stanju itati tekstove na latinskom i grkom, to mu je jo vie odmagalo u savladavanju tadanje matematike kulture. Meutim, 1493. godine u Urbinu i 1494. godine u Veneciji napokon izlazi enciklopedija Luce Paciolija Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita. Tu je knjigu Leonardo odmah kupio i prouio. Tada ga je najvie fascinirao problem kvadrature kruga i teorija lunula. Susret Leonarda i Luce Paciolija dogodio se 1496. godine u Milanu. Tada je zapoelo i njihovo "matematiko" prijateljstvo(ilustracije za Paolijevu knjigu naslikao je sam Leonardo i time likovnu vrednost knjige svoga prijatelja uinio nenadmanom u matematikoj literaturi) .

4.2.1.Proporcije

Jo od antikih vremena kipari i slikari tajnu "lijepe estetike" eleli su objasniti uz pomo matematikih odnosa. U tome je prednjaio starorimski arhitekta Vitruvije iz ijeg je univerzalnog dela O arhitekturi Leonardo uio o proporcijama ljudskog tela. itajui Vitruvijevo delo otkrivamo sledee proporcije:

dlan je irine 4 prsta,

stopalo je irine 4 dlana,

lakat je irine 6 dlanova,

visina mukarca je 4 lakta (odnosno 24 dlana),

korak je 4 lakta,

duina rairenih mukih ruku jednaka je njegovoj visini,

udaljenost od linije kose do brade je 1/10 visine mukarca,

udaljenost od vrha glave do brade je 1/8 visine mukarca,

maksimalna irina ramena je 1/4 visine mukarca,

rastojanje od lakta do vrka ruke je 1/5 visine mukarca,

rastojanje od lakta do pazuha je 1/8 visine mukarca,

duina ruke je 1/10 visine mukarca,

rastojanje od brade do nosa je 1/3 duine glave,

udaljenost od linije kose do obrva je 1/3 duljine lica,

duina uva je 1/3 duljine lica.

Kao rezultat, 1492. godine nastao je poznati Leonardov crte Vitruvijev ovjek, upotpunjen belekama. Na njemu je prikazan lik golog mukarca s ispruenim rukama u dve pozicije, upisan istovremeno u krug i kvadrat. Crte i tekst ponekad se zovu zakon proporcija ili, ree, proporcije ovjeka.

Ovj crte prua savren primer Leonardova interesa za problematiku proporcija, a predstavlja i temelj Leonardovih pokuaja povezivanja oveka i prirode. To je bila nauna analiza koja je imala kosmoloki znaaj (povezanost oveka i svemira) i umetniki znaaj (pravilna reprezentacija ljudskog tela i stvaranje arhitekture temeljene na proporcijama ljudskog tela). Neki naunici veruju da kvadrat na Leonardovu crteu simbolizira materijalnu egzistenciju, a krug duhovnu.

Leonardo svojim crteom oito ilustruje Vitruvijevo djelo O arhitekturi koje objajava:

"Pupak je prirodno smeten u centar ljudskog tela, i ako mukarac lei licem okrenutim frontalno, a ruke i noge rairene, od pupka kao centar, upisan u krug, ono dodiruje njegove prste ruku i nogu. No, nije samo da je ljudsko telo opisano krugom, to se moe vidjeti smjetajui ga u kvadrat. Za merenje od stopala do vrha glave, a zatim preko rairenih ruku, vidimo da su te dve duine jednake; pa linije u pravim uglovima jedno od drugoga, okruujui telo, grade kvadrat."

Leonardo da Vinci, Vitruvijev ovjek.

Naravno, ne postoji univerzalni skup proporcija ljudskog tela. Antropologija je stvorena s ciljem opisivanja tih individualnih varijacija. Vitruvijeva mjerenja mogu biti interpretirana kao prosene proporcije ili moda kao opis idealne ljudske forme. Vitruvije prolazi kroz tekoe u matematikom preciziranju definicije u znaenju pupka kao centra tela, a razliite definicije vode do drugaijih rezultata; npr. centar ljudskog tela zavisi od pozicije krajeva i u stajaem stavu je najee 10 cm nie od pupka, blizu vrha kostiju bokova.

Primetimo da Leonardov crte kombinacija Vitruvijeva saznanja sa vlastitom opservacijom tadanjeg ljudskog tela. Pri crtanju ispravno primeuje da kvadrat nema isti centar kao krug, pupak, ali je negde nie u anatomiji ljudskog tela. Ova je inovativan dio Leonardovog crtea i ono to ga razlikuje od ranijih ilustracija. On se takoe razlikuje od Vitruvijeva crtea crtajui ruke podignute u poziciji u kojoj su vrhovi prstiju u ravni s vrhom glave, dok su kod Vitruvija mnogo vie, pri emu ruke grade linije koje prolaze kroz pupak.

Ovaj crte esto se upotrebljava kao simbol esencijalne simetrije ljudskog tela i po ekstenziji, i svemira u celini. Leonardov Vitruvijev ovjek ostaje do dana danaenjeg jedan od najspominjanijih i najreprodukovanijih crtea u svetu. Proporcije ljudskog tela, kao to je predloio sam Vitruvije, inspirisale su brojne umetnike u vlastitim verzijama prikaza Vitruvijeva oveka. Jedan takav prikaz nalazimo i na kovanici od 1eura.

Vitruvijev ovek na italijanskoj kovanici od jednog eura.

Mnogi geometrijski crtei i osvrti u razlitim kodeksima imaju za temu zlatni rez. Meutim, esto je raun koji ide uz njih bio neispravan. Za primer emo uzeti problem iz Kodeksa Francuskog instituta u kojem se, kao to je ve napomenuto, bavio geometrijom. Leonardo je elio podeliti segment duine 12 u razmeri zlatnog reza koristei se pritom propozicijom iz Euklidovih Elemenata. Pronalazi mere 4 i 8, aproksimirajui na pogrean nain; precizniji raun daje 4.5835921 i 7.4164079. Tane vrednosti su iracionalni brojevi o kojima Leonardo nije mogao znati.

5.Konstrukcije estarom i lenjirom

Druga Leonardova omiljena tema spada meu klasine probleme geometrije. Stari Grci geometriju su tretirali lenjirom i estarom; ako je bio postavljen neki konstruktivni problem, njegovo se rjeenje trailo upotrebom samo lenjira i estara. Zbog toga je dolo do problema pri duplikaciji kocke, kvadraturi kruga i trisekciji ugla. Tek u 19. veku matematiari su dokazali da se ti problemi ne mogu reiti samo lenjirom i estarom.

Leonardo se u Atlantskom kodeksu pozabavio problemom duplikacije kocke. Problem je vezan uz legendu u kojoj je Delijsko proroite postavilo zahtjev da se oltar u obliku kocke zamijeni drugim, dvostruko veim. To znai, ako prvobitni oltar ima ivice duine a, traeni oltar e imati ivice duine b=2a. Ve iz ovoga moemo naslutiti da e Leonardovo reenje ovoga problema biti aproksimativno. Zato? Od Pitagorina vremena znalo se da 2 nije racionalan broj. Stoga su matematiari i arhitekti pokuavali da nau racionalne brojeve koji e najbolje aproksimirati broj 2. Ve spomenuti Leon Battista Alberti predlagao je da se broj 2 aproksimira sa 7/5. Broj 2 nije samo iracionalan, on ak nije ni konstruktibilan lenjirom i estarom.

No, vratimo se Leonardu. U ve spomenutom kodeksu dao je "reenje" problema duplikacije kocke za kocku ija je stranica duine 4 (dakle zapremine 64) i kocku stranice 5 (dakle zapremine 125), tvrdei da je druga zapremina dvostruko vea od poetne. Danas uz pomo kalkulatora lako izraunamo da je stranica kocke zapremine 128, priblino jednaka 5.039. S empirijskog gledita, greka je mala i Leonardovo reenje je prihvatljivo. Bez imalo sumnje, Leonardo je bio majstor aproksimacija kojima je posvetio mnogo panje.

Jedna od najtrajnijih strasti kojoj je Leonardo posvetio mnogo panje i stranice raznih kodeksa je pitanje kvadrature ravnih likova oivienih krivama. Pod terminom kvadrature smatra se konstrukcija kvadrata povrine jednake povrini zadatog ravnog lika. Ako je pritom re o poligonalnom liku, problem je lako reiv. Stvari se poinju komplicirati ako je rije o liku omeenom krivama, to je ve poznato iz problema kvadrature kruga. esto iz Leonardovih rei moemo shvatiti da mu problem nije u potpunosti bio jasan. Poznata je 455. stranica Atlantskog kodeksa koja sadri oko 180 zadataka preoblikovanja likova unutar kojih se upisuje kvadrat u krug dobijajui pritom krune segmente. U reavanju problema kvadrature moemo zameniti jedan lik drugim, ali pritom njihove povrine moraju ostati iste. U Leonardovim rjeenjima vie je dola do izaaja njegova slikarska mata nego matematika kompetencija.

Leonardo da Vinci, kodeks Atlanticus.

Mnogo panje posvetio je i pitanjima vezanim za zapreminu; podela piramide na jednake delove, transformacija dodekaedra u kocku jednake zapremine, transforamcija piramide u drugu iste zapremine itd. Kako je izveo kvadraturu dodekaedra? Leonardo je, kako bi izraunao njegovu zapreminu, podelio poliedar na 12 piramida s petougaonom bazom, od kojih je svaku nadalje podijelio na 5 piramida trougaone osnove. Svaka od dobijenih piramida zatim je transformisana u paralelopiped, ija zapremina pomnoena sa 60 daje drugi paralelopiped koji je transfomisan u kocku istog volumena kao dodekaedar.

5.1.Lunule i kvadratura kruga

Hipokrat s Khiosa (5. vek pre Hrista), moda Pitagorejac, bio je jedan od najpoznatijih geometara tog doba. Reio je problemom kvadrature nekoliko likova u obliku polumeseca, zvanih lunule. Uzmimo kao primer jednakostranian trougao ABC s osnovom BC i naspramnim temenom A, upisanog u polukrunicu prenika BC. Ako konstruiemo izvan trougla polukrunicu prenika AB, tada je lunula dio oivien njom i prvom nacrtanom polukrunicom. Hipokrat je pokazao da je povrina te lunule jednaka polovini povrine promatranog trougla i na taj nain realizovao je kvadratru uz pomo lenjira i estara.

Lunula.

Dakle, na temelju svih znanja koja je primio od Paciolija, Leonardo se napokon poeo baviti matematikim problemima odreene vanosti. Nije na odmet rei da je Leone Battista Alberti napisao djelo O kvadraturi lunule, koje je Leonardo oito itao. Moda san o kvadraturi kruga, koji je Leonarda pratio tokom ivota, upravo nalazi svoje zaetke u tom delu.

Problem kvadrature kruga vue korene iz antikih vremena. Grci su ve od Platonova vremena znali aproksimirati povrinu kruga na razliite naine, ali nije im uspevalo pomou lenjira i estara konstruirati kvadrat jednake povrine. Tek je 1882. godine Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852. - 1939.) dokazao da je to nemogue. On je pokazao da je transcendentan broj, a pomou lenjira i estara mogu se konstruisati samo segmenti ija je duina racionalan broj i neki algebarski iracionalni brojevi.

Leonardo, oduevljen kvadraturom lunula i zanesen snom Leonea Battiste, smatrao se sposobnim reiti problem kvadrature kruga. U mnogim prilikama objavio je da je reio taj problem, no pritom nigde nije dao reenje i konstrukciju. Oito se radilo o priblinim rezultatima, dakle aproksimacijama. Arhimed, ija su djela u to vreme bila prevedena i dola u Leonardove ruke, izraunao je priblinu vrijednost broja konstruisavi pravilne poligone sa 96 strana, upisane i opisane u datoj krunici. Isto je napravio i Leonardo.

LITERATURA:

E.W.Weisstein, MathWorld. http://mathworld.wolfram.comWikipedia: The Free Encyclopedia. http://www.wikipedia.orgMatematiki fakultet, Beograd: Opta matematika, Radojii Milo

A.Kuzle, Leonardov um, seminarski rad, PMF-Matematiki odjel, Zagreb, 2006. Voditeljica rada: doc.dr.sc. A.imeija.

The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

Hrvatski elektronski asopis math.e

elektronska verzija knjige , poglavlje 3, Grka

PAGE 1