ZadatakOdrediti periode i oblike vibracija (rezervoar na vrhu stuba 6x6x6 m). Pri analizi zanemariti

uticaj T i N sila na deformaciju. Podaci: E = 33 GPa, g_stuba = 25 kN/m3.

40cm

300cm

40cm

500cm

60m

3m

200t

1

VARIJANTA 1 - SISTEM SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Dinamiki model

60m

3m

M

K

X

P=1

M(x)

3,0

Odreivanje krutosti dinamikog modela: 1. Analitika integracija (MathCAD) 2. Gausova kvadratura (MathCAD)

Komentar:Deo vrha stuba duine 3 m je pri definisanju krutosti smatran beskonano krut.

2

Odreivanje fleksibilnosti dinamikog modela

Formiranje podintegralne funkcije

E 33000000:= L_kruti_deo 3.0:= L_stuba 60.0:=

M1_1SS x( ) 3.0 x+:=

D_spolja_gore 3.0:= D_unutra_gore 2.2:=

D_spolja_dole 5.0:= D_unutra_dole 4.2:=

D_spolja x( ) D_spolja_goreD_spolja_dole D_spolja_gore-

L_stubax+:=

D_unutra x( ) D_unutra_goreD_unutra_dole D_unutra_gore-

L_stubax+:=

I x( ) D_spolja x( )( )4 D_unutra x( )( )4-

64:=

PodIntegralnaFunkcija x( )M1_1SS x( )( )

2

E I x( ):=

a 0:= b 60:=

TacnoResenjeHorPomeranjea

b

xPodIntegralnaFunkcija x( )

d 0.0002525752=:=

Svojstvene vednosti

krutost1

TacnoResenjeHorPomeranje3959.2161480543=:=

PovrsinaPoprecnogPreseka x( ) D_spolja x( )( )2 D_unutra x( )( )2-

4:=

zapreminaGornjePolovineStuba

0

L_stuba

2

xPovrsinaPoprecnogPreseka x( )

d:=

zapreminaGornjePolovineStuba 116.86725=

masaGornjePolovineStuba 2.5 zapreminaGornjePolovineStuba 292.16812=:=

masa 200 masaGornjePolovineStuba+ 492.16812=:=

krutost

masa2.83627=:= T1_1SS 2

masa

krutost 2.21530=:=

3

Numerika integracija (Gausova kvadratura)

Da analiza ne bi zavisila od intervala integracije [a,b]prelazi se na interval [-1,1] supstitucijom:

x t( )b a-

2t

b a+

2+:=

t( ) PodIntegralnaFunkcija x t( )( ):=

TacnoResenjeHorPomeranjeKontrolab a-

2 1-

1

t t( )

d 0.0002525752=:=

Gausova kvadratura rauna tano polinome do 2n-1 stepena,gde je n broj taaka kvadrature

Gausova kvadratura - 2 take

Polinom aproksimacije (Legendreov polinom)

Pn t n, ( )1

2nn!

nt

t2

1-( )n

d

d

n:= Aikoef nula n, ( )

2 1 nula2

-( )n2

Pn nula n 1-, ( )( )2:=

P2 t( ) Pn t 2, ( )3 t

2

2

1

2-:=

TackeKvadrature2 P2 t( ) 0= solve t,

3

3

3

3-

:=

t1_2 TackeKvadrature21

0.57735-=:= t2_2 TackeKvadrature20

0.57735=:=

TezineKvadrature2

Aikoef TackeKvadrature202, ( )

Aikoef TackeKvadrature212, ( )

1.00000

1.00000

=:=

c1_2 TezineKvadrature20

1.00000=:= c2_2 TezineKvadrature21

1.00000=:=

t1_2( ) 0.0000016878= t2_2( ) 0.0000066403=

Resenje2b a-

2c1_2 t1_2( ) c2_2 t2_2( )+( ) 0.0002498446=:=

4

Gausova kvadratura - 3 take

P3 t( ) Pn t 3, ( ) t33 t t

21-( )

2+:=

TackeKvadrature3 P3 t( ) 0= solve t,

0

15

5

15

5-

:=

t1_3 TackeKvadrature32

0.77460-=:= t2_3 TackeKvadrature30

0.00000=:=

t3_3 TackeKvadrature31

0.77460=:=

TezineKvadrature3

Aikoef t1_3 3, ( )

Aikoef t2_3 3, ( )

Aikoef t3_3 3, ( )

0.55556

0.88889

0.55556

=:=

c1_3 TezineKvadrature30

0.55556=:= c2_3 TezineKvadrature31

0.88889=:=

c3_3 TezineKvadrature32

0.55556=:=

t1_3( ) 0.0000007991= t2_3( ) 0.0000044479= t3_3( ) 0.0000072276=

Resenje3b a-

2c1_3 t1_3( ) c2_3 t2_3( )+ c3_3 t3_3( )+( ) 0.0002523896=:=

Gausova kvadratura - 4 take

P4 t( ) Pn t 4, ( ) 3 t2 t2 1-( ) 3 t2

1-( )2

8+ t

4+:=

TackeKvadrature4 P4 t( ) 0= solve t,

2 30

35

3

7+

2

3530

3

7+-

3

7

2 30

35-

3

7

2

3530--

:=

t1_4 TackeKvadrature41

0.86114-=:= t2_4 TackeKvadrature43

0.33998-=:=

t3_4 TackeKvadrature42

0.33998=:= t4_4 TackeKvadrature40

0.86114=:=

5

TezineKvadrature4

Aikoef t1_4 4, ( )

Aikoef t2_4 4, ( )

Aikoef t3_4 4, ( )

Aikoef t4_4 4, ( )

0.34785

0.65215

0.65215

0.34785

=:=

c1_4 TezineKvadrature40

0.34785=:= c2_4 TezineKvadrature41

0.65215=:=

c3_4 TezineKvadrature42

0.65215=:= c4_4 TezineKvadrature43

0.34785=:=

t1_4( ) 0.0000004721= t2_4( ) 0.0000028517= t3_4( ) 0.0000058262=

t4_4( ) 0.0000074612=

Resenje4b a-

2c1_4 t1_4( ) c2_4 t2_4( )+ c3_4 t3_4( )+ c4_4 t4_4( )+( ):=

Resenje4 0.0002525676=

Gausova kvadratura - 5 taaka

P5 t( ) Pn t 5, ( )15 t t

21-( )2

85 t

3 t

21-( )+ t5+:=

TackeKvadrature5 P5 t( ) 0= solve t,

0

2 70

63

5

9+

2

6370

5

9+-

5

9

2 70

63-

5

9

2

6370--

:=

t1_5 TackeKvadrature52

0.90618-=:= t2_5 TackeKvadrature54

0.53847-=:=

t3_5 TackeKvadrature50

0.00000=:= t4_5 TackeKvadrature53

0.53847=:=

t5_5 TackeKvadrature51

0.90618=:=

TezineKvadrature5

Aikoef t1_5 5, ( )

Aikoef t2_5 5, ( )

Aikoef t3_5 5, ( )

Aikoef t4_5 5, ( )

Aikoef t5_5 5, ( )

0.23693

0.47863

0.56889

0.47863

0.23693

=:=

6

c1_5 TezineKvadrature50

0.23693=:= c2_5 TezineKvadrature51

0.47863=:=

c3_5 TezineKvadrature52

0.56889=:= c4_5 TezineKvadrature53

0.47863=:=

c5_5 TezineKvadrature54

0.23693=:=

t1_5( ) 0.0000003265= t2_5( ) 0.0000018758= t3_5( ) 0.0000044479=

t4_5( ) 0.0000065152= t5_5( ) 0.0000075773=

Resenje5b a-

2c1_5 t1_5( ) c2_5 t2_5( )+ c3_5 t3_5( )+ c4_5 t4_5( )+ c5_5 t5_5( )+( ):=

Resenje5 0.0002525750=

Gaus2Resenje2 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje1.08112- %=:=

Gaus3Resenje3 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.07351- %=:=

Gaus4Resenje4 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.00301- %=:=

Gaus5Resenje5 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.00010- %=:=

7

Trapezno pravilo

t2L_stuba

160.00000=:=

y0t2 PodIntegralnaFunkcija 0 t2( ) 0.0000000965=:=

y1t2 PodIntegralnaFunkcija 1 t2( ) 0.0000078073=:=

ResenjeTrapeznoPravilo2 t2y0t2

2

y1t2

2+

0.0002371148=:=

t3L_stuba

230.00000=:=

y0t3 PodIntegralnaFunkcija 0 t3( ) 0.0000000965=:=

y1t3 PodIntegralnaFunkcija 1 t3( ) 0.0000044479=:=

y2t3 PodIntegralnaFunkcija 2 t3( ) 0.0000078073=:=

ResenjeTrapeznoPravilo3 t3y0t3

2y1t3+

y2t3

2+

0.0002519952=:=

t4L_stuba

320.00000=:=

y0t4 PodIntegralnaFunkcija 0 t4( ) 0.0000000965=:=

y1t4 PodIntegralnaFunkcija 1 t4( ) 0.0000028843=:=

y2t4 PodIntegralnaFunkcija 2 t4( ) 0.0000058017=:=

y3t4 PodIntegralnaFunkcija 3 t4( ) 0.0000078073=:=

ResenjeTrapeznoPravilo4 t4y0t4

2y1t4+ y2t4+

y3t4

2+

0.0002527580=:=

t5L_stuba

415.00000=:=

y0t5 PodIntegralnaFunkcija 0 t5( ) 0.0000000965=:=

y1t5 PodIntegralnaFunkcija 1 t5( ) 0.0000020637=:=

y2t5 PodIntegralnaFunkcija 2 t5( ) 0.0000044479=:=

y3t5 PodIntegralnaFunkcija 3 t5( ) 0.0000063883=:=

y4t5 PodIntegralnaFunkcija 4 t5( ) 0.0000078073=:=

ResenjeTrapeznoPravilo5 t5y0t5

2y1t5+ y2t5+ y3t5+

y4t5

2+

0.0002527777=:=

8

t6L_stuba

512.00000=:=

y0t6 PodIntegralnaFunkcija 0 t6( ) 0.0000000965=:=

y1t6 PodIntegralnaFunkcija 1 t6( ) 0.0000015795=:=

y2t6 PodIntegralnaFunkcija 2 t6( ) 0.0000035293=:=

y3t6 PodIntegralnaFunkcija 3 t6( ) 0.0000052888=:=

y4t6 PodIntegralnaFunkcija 4 t6( ) 0.0000067118=:=

y5t6 PodIntegralnaFunkcija 5 t6( ) 0.0000078073=:=

ResenjeTrapeznoPravilo6 t6y0t6

2y1t6+ y2t6+ y3t6+ y4t6+

y5t6

2+

0.0002527361=:=

Trapezno2ResenjeTrapeznoPravilo2 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje6.12114- %=:=

Trapezno3ResenjeTrapeznoPravilo3 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.22965- %=:=

Trapezno4ResenjeTrapeznoPravilo4 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.07235 %=:=

Trapezno5ResenjeTrapeznoPravilo5 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.08015 %=:=

Trapezno6ResenjeTrapeznoPravilo6 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.06368 %=:=

9

Simpsonovo pravilo (n mora biti paran broj)

s3L_stuba

230.00000=:=

y0s3 PodIntegralnaFunkcija 0 s3( ) 0.0000000965=:=

y1s3 PodIntegralnaFunkcija 1 s3( ) 0.0000044479=:=

y2s3 PodIntegralnaFunkcija 2 s3( ) 0.0000078073=:=

ResenjeSipsonovoPravilo3s33

y0s3 4 y1s3+ y2s3+( ) 0.0002569554=:=

s5L_stuba

415.00000=:=

y0s5 PodIntegralnaFunkcija 0 s5( ) 0.0000000965=:=

y1s5 PodIntegralnaFunkcija 1 s5( ) 0.0000020637=:=

y2s5 PodIntegralnaFunkcija 2 s5( ) 0.0000044479=:=

y3s5 PodIntegralnaFunkcija 3 s5( ) 0.0000063883=:=

y4s5 PodIntegralnaFunkcija 4 s5( ) 0.0000078073=:=

ResenjeSipsonovoPravilo5s53

y0s5 4 y1s5+ 2 y2s5+ 4 y3s5+ y4s5+( ) 0.0002530385=:=

s7L_stuba

610.00000=:=

y0s7 PodIntegralnaFunkcija 0 s7( ) 0.0000000965=:=

y1s7 PodIntegralnaFunkcija 1 s7( ) 0.0000012681=:=

y2s7 PodIntegralnaFunkcija 2 s7( ) 0.0000028843=:=

y3s7 PodIntegralnaFunkcija 3 s7( ) 0.0000044479=:=

y4s7 PodIntegralnaFunkcija 4 s7( ) 0.0000058017=:=

y5s7 PodIntegralnaFunkcija 5 s7( ) 0.0000069159=:=

y6s7 PodIntegralnaFunkcija 6 s7( ) 0.0000078073=:=

ResenjeSipsonovoPravilo7s73

y0s7 4 y1s7+ 2 y2s7+ 4 y3s7+ 2 y4s7+ 4 y5s7+ y6s7+( ):=

ResenjeSipsonovoPravilo7 0.0002526795=

Simpson3ResenjeSipsonovoPravilo3 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje1.73418 %=:=

Simpson5ResenjeSipsonovoPravilo5 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.18342 %=:=

Simpson7ResenjeSipsonovoPravilo7 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.04126 %=:=

10

3/8 pravilo (n mora biti deljivo sa 3)

tro4L_stuba

320.00000=:=

y0tro4 PodIntegralnaFunkcija 0 tro4( ) 0.0000000965=:=

y1tro4 PodIntegralnaFunkcija 1 tro4( ) 0.0000028843=:=

y2tro4 PodIntegralnaFunkcija 2 tro4( ) 0.0000058017=:=

y3tro4 PodIntegralnaFunkcija 3 tro4( ) 0.0000078073=:=

TroOsminskoPravilo43

8tro4 y0tro4 3 y1tro4+ 3 y2tro4+ y3tro4+( ) 0.0002547134=:=

tro7L_stuba

610.00000=:=

y0tro7 PodIntegralnaFunkcija 0 tro7( ) 0.0000000965=:=

y1tro7 PodIntegralnaFunkcija 1 tro7( ) 0.0000012681=:=

y2tro7 PodIntegralnaFunkcija 2 tro7( ) 0.0000028843=:=

y3tro7 PodIntegralnaFunkcija 3 tro7( ) 0.0000044479=:=

y4tro7 PodIntegralnaFunkcija 4 tro7( ) 0.0000058017=:=

y5tro7 PodIntegralnaFunkcija 5 tro7( ) 0.0000069159=:=

y6tro7 PodIntegralnaFunkcija 6 tro7( ) 0.0000078073=:=

TroOsminskoPravilo73

8tro7 y0tro7 3 y1tro7+ 3 y2tro7+ 2 y3tro7+ 3 y4tro7+ 3 y5tro7+ y6tro7+( ):=

TroOsminskoPravilo7 0.0002527871=

TroOsminskoPr4TroOsminskoPravilo4 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.84654 %=:=

TroOsminskoPr7TroOsminskoPravilo7 TacnoResenjeHorPomeranje-

TacnoResenjeHorPomeranje0.08387 %=:=

11

Rekapitulacija rezultata

Gaus2 1.08112- %= Trapezno2 6.12114- %= Simpson3 1.73418 %= TroOsminskoPr4 0.84654 %=

Gaus3 0.07351- %= Trapezno3 0.22965- %= Simpson5 0.18342 %= TroOsminskoPr7 0.08387 %=

Gaus4 0.00301- %= Trapezno4 0.07235 %= Simpson7 0.04126 %=

Gaus5 0.00010- %= Trapezno5 0.08015 %=

Trapezno6 0.06368 %=

12

VARIJANTA 2 - SISTEM SA DVA STEPENA SLOBODE

Dinamiki model

60m

3m

M1

K

X

M2

P =11

M (x)1

3,0P =12

M (x)2

M1_2SS1

2

1

4+

200 150.00000=:= M2_2SS

1

4200 masaGornjePolovineStuba+:=

MatricaMasa_2SSM1_2SS

0

0

M2_2SS

150

0

0

342.16812

=:=

Mom1_2SS x( ) 3 x+:= Mom2_2SS x( ) x:=

delta11_2SS

a

b

xMom1_2SS x( )( )

2

E I x( )

d 0.0002525752=:=

delta22_2SS

a

b

xMom2_2SS x( )( )

2

E I x( )

d 0.0002125786=:=

delta12_2SS

a

b

xMom1_2SS x( ) Mom2_2SS x( )

E I x( )

d 0.0002312862=:=

13

delta21_2SS delta12_2SS 0.0002312862=:=

MatricaFleksibilnosti_2SSdelta11_2SS

delta21_2SS

delta12_2SS

delta22_2SS

0.0002525752

0.0002312862

0.0002312862

0.0002125786

=:=

DinamickaMatrica_2SS MatricaFleksibilnosti_2SS MatricaMasa_2SS:=

DinamickaMatrica_2SS0.0378862872

0.0346929247

0.0791387515

0.0727376292

=

svojstveneKruzneFrekvencije_2SS1

eigenvals DinamickaMatrica_2SS( )

104.078

3.008

=:=

obliciVibracija_2SS eigenvecs DinamickaMatrica_2SS( )0.90238-

0.43095

0.73668-

0.67624-

=:=

T1_2SS2

svojstveneKruzneFrekvencije_2SS1

2.08893=:=

1_2SS obliciVibracija_2SS 1 0.73668-

0.67624-

=:=

T2_2SS2

svojstveneKruzneFrekvencije_2SS0

0.06037=:=

2_2SS obliciVibracija_2SS 0 0.90238-

0.43095

=:=

14

VARIJANTA 3 - SISTEM SA TRI STEPENA SLOBODE

Dinamiki model

60m

3m

M1

K

M2

M3

P =11

3,0

33,0

P =12

30,0

63,0 60,0

M1

X

M2

30,0

M3P =13

-30,0

15

M1_3SS1

2

1

4+

200 150.00000=:=

M2_3SS1

4200 2.5

0

15

xPovrsinaPoprecnogPreseka x( )

d+ 184.30309=:=

M3_3SS 2.515

45

xPovrsinaPoprecnogPreseka x( )

d 339.29201=:=

MatricaMasa_3SS

M1_3SS

0

0

0

M2_3SS

0

0

0

M3_3SS

150

0

0

0

184.30309

0

0

0

339.29201

=:=

Mom1_3SS x( ) 3 x+:= Mom2_3SS x( ) x:= Mom3_3SS x( ) 30- x+:=

delta11_3SS

0

60

xMom1_3SS x( )

2

E I x( )

d 0.0002525752=:=

delta22_3SS

0

60

xMom2_3SS x( )

2

E I x( )

d 0.0002125786=:=

delta33_3SS

30

60

xMom3_3SS x( )

2

E I x( )

d 0.0000211816=:=

delta12_3SS

0

60

xMom1_3SS x( ) Mom2_3SS x( )

E I x( )

d 0.0002312862=:=

delta13_3SS

30

60

xMom1_3SS x( ) Mom3_3SS x( )

E I x( )

d 0.0000584516=:=

delta23_3SS

30

60

xMom2_3SS x( ) Mom3_3SS x( )

E I x( )

d 0.0000550634=:=

16

MatricaFleksibilnosti_3SS

delta11_3SS

delta12_3SS

delta13_3SS

delta12_3SS

delta22_3SS

delta23_3SS

delta13_3SS

delta23_3SS

delta33_3SS

:=

MatricaFleksibilnosti_3SS

0.0002525752

0.0002312862

0.0000584516

0.0002312862

0.0002125786

0.0000550634

0.0000584516

0.0000550634

0.0000211816

=

DinamickaMatrica_3SS MatricaFleksibilnosti_3SS MatricaMasa_3SS:=

DinamickaMatrica_3SS

0.0378862872

0.0346929247

0.0087677351

0.0426267539

0.0391788974

0.0101483532

0.0198321495

0.0186825690

0.0071867638

=

svojstveneKruzneFrekvencije_3SS1

eigenvals DinamickaMatrica_3SS( )

3.495

148.872

20.645

=:=

obliciVibracija_3SS eigenvecs DinamickaMatrica_3SS( )

0.72489-

0.66609-

0.17564-

0.72884-

0.68082

0.07267-

0.35870-

0.13093-

0.92422

=:=

T1_3SS2

svojstveneKruzneFrekvencije_3SS0

1.79770=:=

1_3SS obliciVibracija_3SS 0

0.72489-

0.66609-

0.17564-

=:=

T2_3SS2

svojstveneKruzneFrekvencije_3SS2

0.30435=:=

2_3SS obliciVibracija_3SS 2

0.35870-

0.13093-

0.92422

=:=

T3_3SS2

svojstveneKruzneFrekvencije_3SS1

0.04221=:=

3_3SS obliciVibracija_3SS 1

0.72884-

0.68082

0.07267-

=:=

17

Odnos izmeu perioda vibracija prvog tonakod modela:

sa 1 i sa 2 stepena slobode ------------------------------->

sa 1 i sa 3 stepena slobode ------------------------------->

sa 2 i sa 3 stepena slobode ------------------------------->

T1_2SS T1_1SS-

T1_1SS5.704- %=

T1_3SS T1_1SS-

T1_1SS18.851- %=

T1_3SS T1_2SS-

T1_2SS13.941- %=

18